Funciones I

Función.- Es una relación o correspondencia binaria (es

decir, entre dos magnitudes), de manera que a cada valor de la primera, le corresponde un único valor de la segunda.

Ejemplo: Sea la relación R = {(x, y) A x A / y = x + 1}

donde: A = {1; 2; 3}

¿"R" es función? Solución.- Como: A = {1; 2; 3}, entonces:

A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}

Luego, los pares que verifican la relación: y = x + 1

son los siguientes: (1; 2), (2; 3)

Así: R = {(1; 2), (2; 3)} Observa que las primeras componentes no se repiten, entonces "R" es una función.

Observaciones:

1. Recuerde que en todo par ordenado se tiene:

2. Indicar cuáles de los siguientes conjuntos determinan

una función:

A = {(2; 3), (5; 7), (1; 4)} B = {(4; 1), (9; 8), (3; 6)} C = {(2; 3), (1; 7), (3; 5)}

a) Sólo A b) Sólo B c) Sólo C

d) Ninguno e) Todos

3. Dados los conjuntos:

P = {(1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5)} Q = {(5; 1), (3; 9), (5; 6)}

R = {(2; 3), (5; 1), (9; 4)}

entonces:

a) “P” no es función b) “Q” es función

c) “R” no es función

d) “P” y “Q” son funciones

e) “P” y “R” son funciones 4. Si se tiene:

(x ; y) A ( 5 ; 3),( 4 ;1), (5; 4)

B (2; 7), (5; 49 ),(3; 7)

Primera componente

Segunda componente

C (1; 4), (3; 5), (70; 2)

2. Si tenemos un conjunto de pares ordenados, basta que la primera componente de dos pares diferentes, sean iguales, para determinar que no es función.

Ejemplo:

El conjunto: P = {(1; 3), (2; 7), (5; 6), (30; -5)}

... es función.

entonces:

a) “B” no es función b) “A” es función

c) “A” y “C” son funciones

d) “A” y “B” no son funciones

e) “A” y “C” no son funciones 5. Sabiendo que:

F = {(2a; 3), (3; 7), (1; 4), (8; 10)}

es una función, ¿qué valor natural puede no tomar "a"?

a) 1 b) 2 y 5 c) 3 d) 4 y 8 e) 4

Bloque I

6. Si el conjunto:

1

J 8; x , 5; 3 , ; 5 , 8; 2x 31. Será cierto qué "F" es función, si:

F = {(1; 2), (3; 7), (5; 3), (1; 9)} 2

es una función, entonces el valor de "x" es:

a) sí b) no c) quizás. a) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) -1

(b-1; 9)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Bloque II

e) 5

7. Determinar el valor que no puede tomar "a", si:

11.Según el gráfico:

3

D 3a; 5, 7; 1, ; 4 , 6; 12

5

es una función. ("a" IN)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. El gráfico:

el valor de "a + b" es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12.Del gráfico:

-2 -1 1 2

-1

a) Determina una función

b) No determina una función

c) Posee cuatro pares ordenados

d) a y c

e) b y c

9. Si tenemos el siguiente gráfico:

hallar "a + b + c"

1. De acuerdo al gráfico:

f

Entonces:

-3 -2 -1 1 2 3 1 2

5 3

a) Determina una función

b) No determina una función

c) Posee cinco pares ordenados d) a y c e) b y c

7 5 calcular: f(1) + f(5) + f(7)

10.Dado el gráfico:

(2a+1; 8)

a) 10 b) 5 c) 2 d) 3 e) 13

2. Considerando la función anterior, determinar:

f (f (7)) + f (1)

f (5)

Entonces "a+b" vale:

a) 2 b) 9 c) 8 d) 6 e) 4

7 a) 5 b) 1 c)

3

5 d) e) 2

3

a) 2 b) 5 c) 4 d) 1 e) 3

3. Dadas las funciones "f" y "g" definidas por: 6. Según el gráfico:

f g

1 2 3 5

3 1 1 2

5 3 2 3

hallar: hallar:

f (1) + f (2) + f(3)

f + f

f(1) g(3) (3,5) (3,6)

f(g(2) ) f(g(3) )

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7 a) 1 b) 2 c)

4

7. Definida la función: 2x 7; si

x 3

21

d) 4 e) 2

f ( x ) x 1;

si x 3

4. Del gráfico:

Marca la altenativa correcta:

a) f(1) = -5 b) f(3) = -1

c) f(0) = 1 d) f(5) = 6

e) f(4) = 9

8. Con la función definida en la anterior pregunta,

determinar el valor de la expresión:

hallar:

J f(5) f(1)

f(2) f(3)

f (f (5)) + f (0)

f (1)

a) 1,50 b) 3,75 c) 2,45 d) 2,50 e) 3,25

9. Si se tiene la función:

a) 0,5 b) 1,0 c) 2,75

d) 3,25 e) 2,0

3x a ;

H(x)

si: x 1

5. Determinar el valor de:

f (f (1)) + f (f (3))

x b ; si: x 5

f (5)

sabiendo que para la función tenemos:

Determinar "a2 + b2", sabiendo además que:

H(0) = 2; H(7) = 9

a) 0 b) 2 c) 4 d) 16 e) 8

10.Consideremos a la función:

2x 3a ; si: J( x )

x 3

x 2b ; si: x 3

Si se sabe que: J(a) = 11; J(b) = 7; a > 5 b < 0

hallar "a"

7 a) -11 b)

3

1 d) 1 e)

3

Bloque III

c) 5

6. Sea:

G = {(3; 6), (5; 9), (8; 4), (7; 6)}

H = {(3; 9), (5; 12), (8; 7), (7; 9)}

Si: f(G(m) ) h(m) , hallar "f

(9) + f

(4)"

a) 12 b) 7 c) 19 1. Sea "f" una función:

f = {(1; 2), (2; a), (3; b), (4; 5)} y f(x)

= cx + d

hallar "a + b + c + d"

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

2. Siendo: F

(x) = ax + b, obtener "F

(a) . F

(b)"

Sabiendo que (1; 5) y (- 1; 1) pertenecen a "F".

a) 72 b) 63 c) 56 d) 42 e) 18

d) 5 e) 13

7. Si:

G = {(5; 7), (8; a + 4b); (8; 3), (5; 2a - 15)};

representa una función.

b El valor de " " es:

a

2 a) 4 b) 2 c)

11

11 d) - 6 e)

3. Dada la función "F", tal que:

F(4)

= 1; 2F(2)

= 3F(3)

Además: F(x)

= ax + b; luego podemos afirmar:

a) F

(-1) = 6 b) F

(3) = - 2

c) F(- 4)

= F(14)

d) F(10)

= 5

e) F(2)

+ F(8)

= 0

4. Sea f

(x) una función lineal tal que:

f(x + 1)

= 3x + 8 hallar la ordenada del punto de abscisa 8.

a) 13 b) 1 c) 29 d) 15 e) 18

5. Sea f

(x) una función definida por:

f= {(a; b), (3; c), (1; 3), (2b; 4)}

f(x)

= x - 2a

hallar "abc"

2

8. A partir de la función:

H = {(a+1;3), (2a-1;a), (a+1;2a-7), (9;b-3), (b;a-1)}

Hallar: H(a + 4)

+ H(b - 2)

a) 3 b) 9 c) 8 d) 6 e) 4

9. Si:

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {1; 2; 3; 4; 5}

F: A B es una función F = {(a; 1), (2; 4), (4; 4), (b; 4), (c; 5)}

Indique el mayor valor de "a + b + c"

a) 1 b) 10 c) 14

d) 15 e) 16

a) 6 b) - 5 c) - 8 d) 4 e) - 12

Autoevaluación

1. Dados los conjuntos: 3. Dada la función: f(x) = 3x - 1, observa el gráfico.

M (

16 ; 5), (7; 4), ( 4; 5) 1

0

1

0

N (3 ; 7), 6; , (3) 2

;4 0

2

2

P ( 49 ; 6), 1; , 7; 5

36

Entonces:

a) “M” no es función b) “N” y “P” son funciones

c) “N” es función

Determina el valor de: + +

a) 2 b) 6 c) 5 d) -1 e) 0

4. Si tenemos:

d) “P” es función 3x 1 ; si f ( x )

x 0 e) “M” y “P” no son funciones

x 5 ; si x 0

2. Del gráfico:

El conjunto de pares ordenados ...

a) Determina una función b) No determina una función

c) Tiene tres elementos

d) Es un absurdo

e) Forman un triangulito

Determinar: f(f(-4))

a) 4 b) -5 c) -1 d) -4 e) 0

5. Con la función definida en el ejercicio anterior, calcular

el valor de:

f(f (f (10) ) )

f(3)

3 1 a) b) 5-1 c)

10 10

d) 2-1 e) 0

ÁLGEBRA 2

AÑO

Funciones II

Recordando que el dominio de una función "f" es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función.

Así: Df

= {x A / y ; tal que (x; y) "f"}

También el rango de una función "f" es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función.

Asi: D

f = {y B / y ; tal que (x; y) "f"}

Dominio y rango de la función lineal

y = f(x)

= ax + b / a IR b IR

Como a cada valor de "x" le corresponde un valor de "y" entonces si a "x" le asignamos valores reales obtendremos para "y" también valores reales. Luego el dominio y rango de la función lineal será:

Df = IR y Rf = IR Ejemplo:

La función: f(x)

= 2x - 5; por ser lineal su dominio y

rango será: Df = IR y Rf = IR Ejemplo:

Ejemplo: La función: f

1 x = ; es lineal pues

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 9; 16}

la relación:

f(x)

=

(x)

1

5 3

1 x

f = {(2; 4), (3; 9), (4; 16)} es una función 3 5

f: A B con Dominio: Df = {2; 3; 4} y Rango Rf = {4; 9; 16}

Para que se puede definir bien una función es

Luego su dominio y rango será: Df = IR y Rf = IR

Dominio y rango de la función racional:

suficiente conocer su dominio (Df) y una regla que

permita relacionar cualquier "x Df" con su imagen

"f(x)

".

y = f(x) = ax b

cx d

Ejemplo:

Dada la función: f(x)

= 2x2 + x - 3 Donde: x {- 1; 2; 4}

El dominio de la función (todos los valores de "x") es el conjunto de los números reales IR menos el conjunto de valores de "x" que anulen al denominador.

Df: IR - {cx + d = 0}

Hallar el rango de la función Resolución:

Ejemplo:

2x 1

Como: x {- 1; 2; 4} Df = {- 1; 2; 4}

Ahora para cada "x" obtenemos su imagen f(x)

o

simplemente el rango de la función. x = - 1 f

(- 1) = 2(-1)2 + (-1) - 3 = 2 - 1 - 3 f

(- 1) = - 2

x = 2 f(2)

= 2(2)2 + 2 - 3 = 8 + 2 - 3 f(2)

= 7

x = 4 f(4) = 2(4)2 + 4 - 3 = 32 + 4 - 3 f(4) = 33

finalmente la imagen o rango de la función será:

Rf = {- 2 ; 7; 33}

* Hallar el dominio de la función: f(x)

= 4 x 8

Resolución:

El dominio de la función se obtendrá así: Df: x IR - {4x - 8 = 0}

Resolviendo la ecuación: x = 2

x IR - {2}

Observación: El dominio de la función:

2x 1

Como: x IR 3y - 1 0 3y 1

y = f(x)

=

manera:

; lo podemos encontrar de la siguiente 4 x 8 1

y 3

y IR si el denominador nunca deberá ser nulo entonces:

4x - 8 0

4x 8 x 2

Df: x IR - {2}

El rango de la función será:

1 Rf: y IR -

3

Método práctico: Sólo para hallar el rango de la función:

x 4 * Hallar el dominio de la siguiente función: f

(x) =

3x 6

y = f

(x) =

4 x 1

x 2

6

3x 9

Dividiendo los términos lineales del numerador y denominador; así:

x

1

Resolución: Rf: y IR - y IR -

y IR x - 2 0 3x + 9 0

x 2 3x - 9 x 2 x - 3

Ejemplo:

3x 3

Df: x IR - {- 3; 2}

* Hallar el dominio y rango de la función:

10x 1

ax b Para hallar el rango de la función racional: y =

cx d

se despeja "x" en función de "y".

Resolución:

f(x)

= 5x 1

Ejemplo:

Cálculo del dominio: 5x + 1 0 5x - 1

1 * Hallar el rango de la función: f

(x) =

x 4

3x 6

1

x 5

Df: x IR - 5

Resolución:

x 4

Cálculo del rango: (utilizo el método práctico)

10x

Como: y = f(x)

; entonces: y = 3x 6

Rf: y IR -

y(3x - 6) = x + 4

Efectuando la multiplicación

3yx - 6y = x + 4

Despejando "x"

3yx - x = 6y + 4

Común: x

x(3y - 1) = 6y + 4

6y 4

5x

y IR - {2}

Dominio y rango de la función cuadrática

y = F(x)

= ax2 + bx + c; a 0

• El dominio de la función está representado por todos

los números reales es decir: Df = IR.

• Los valores de "y"; es decir el rango de la función

cuadrática se obtiene despejando "x" en función de "y".

x = 3y 1

2

Ejemplos: * Hallar el dominio y rango de la función cuadrática:

f(x) = 2x2 + 3x + 2

Resolución:

Cálculo del dominio: x IR

Cálculo del rango: y = 2x2 + 3x + 2

formando una ecuación de segundo grado:

2x2 + 3x + (2 - y) = 0

Usando la fórmula general para despejar "x" en función de "y".

ax2 + bx + c = 0 (a 0)

Resolución: Como: y = f

(x), entonces: y = 3x2 - 5x + 1 ; la ecuación

de segundo grado será: 3x2 - 5x + (1 - y) = 0

Así como el problema anterior para encontrar el rango

de la función resolveremos: = b - 4ac 0

Discriminante de

la ecuación de 2do grado

a = 3 ; b = - 5 y c = 1 - y

(- 5)2 - 4(3)(1 - y) 0

25 - 12(1 - y) 0 Despejando "y":

25 - 12 + 12y 0

13 + 12y 0

b x =

b2 4ac

2a

12y - 13

13 y

12

2 = b - 4ac

Discriminante de la ecuación

13 Rf = [ ; + >

12

3 x =

9 4(2)(2 y)

2(2) Dominio y rango de la función raíz cuadrada

Para que "x IR" lo que está dentro de la raíz cuadrada o sea la discriminante () deberá ser una cantidad no negativa es decir:

= 9 - 4(2)(2 - y) 0

Resolviendo:

y = f( x )

• Al resolver la inecuación f

(x) 0 obtendremos el

dominio de la función.

• El rango de la función se obtiene construyendo la

función a partir del dominio de la función. Ejemplo:

9 - 8(2 - y) 0

9 - 16 + 8y 0

Hallar el dominio y rango de la función:

- 7 + 8y 0 8y 7

f(x)

=

x 5

y 7 8

7 Rf = [

8 ; + >

Resolución: Cálculo del dominio: x - 5 0

x 5

Df = [5 ; + >

* Ejemplo:

Calcular el rango de la función cuadrática.

f(x) = 3x2 - 5x + 1 ; x IR

Cálculo del rango:

Construyendo la función y = f(x)

=

dominio.

Dominio: x 5

Resto 5: x - 5 5 - 5

x - 5 0

x 5

partiendo del

Extraemos :

x 5 0

Los valores enteros son: - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

como: y =

x 5

y 0

* Ejemplo:

# elementos = 11

Rf = [0; + > Calcular el dominio y rango de la función:

* Ejemplo:

Hallar el rango de la función:

Resolución:

f(x)

=

x 2 10 x 21

Resolución:

f(x)

= x 2 - 6

Cálculo del dominio: - x2 + 10x - 21 0

Cálculo del dominio: x + 2 0 x - 2

Rf = [ - 2; + >

Cálculo del rango:

Dominio: x - 2

x + 2 0

Multiplicando por (- 1):

x2 - 10 x + 21 0

x - 7

x - 3

(x - 3)(x - 7) 0

extraemos : x 2 0 3 7

restando 6: x 2 - 6

0 - 6

Df: 3 x 7 ó [3; 7] Cálculo del rango:

como: y = x 2 - 6

f(x)

=

x 2 10x 21

luego: y - 6

Rf = [- 6; + >

completando cuadrado:

* Ejemplo:

f(x)

= x 2 10 x 25 4

Calcular el dominio de la función:

- x2 + 10x - 25 = - (x2 - 10x + 25)

= - (x - 5)2

f(x)

=

x 4 4

6 x Luego:

Indicar el número de elementos enteros.

f(x)

=

(x 5)2 4

Resolución:

Cuando el radical es de índice par lo que está dentro

Recordamos que para hallar el rango de la función

debemos partir del dominio para construir la función f de la raíz debe ser una cantidad no negativa, es decir:

x + 4 0 6 - x 0 Resolviendo las inecuaciones:

x - 4 6 x

x - 4 x 6 Graficando:

Dominio

- 4 6

x [- 4; 6]

Df: 3 x 7 Restando 5: 3 - 5 x - 5 7 - 5

- 2 x - 5 2

Al cuadrado: 0 (x - 5)2 22

0 (x - 5)2 4

Multiplicando por - 1: - 4 - (x - 5)2 0

Sumando 4: - 4 + 4 - (x - 5)2 0 + 4

0 - (x - 5)2 4

(x)

a) 24 b) 18 c) 14 d) 10 e) 6 a) {2; 3; 5} b) {1; 6; 2} c) {2; 3}

d) {3; 5} e) {1; 6}

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

extraemos : 0 (x 5)2 4 4

como: y = f(x)

= (x 5)2 4

entonces: 0 y 2

Rf = [0; 2]

Dominio y rango

la

función

Lineal

F(x)=ax+b Racional

F = ax+b

Cuadrática 2

F =ax +bx+c

Raíz cuadrada

x cx+d (x) y F( x )

Dominio

x IR

Dominio

xIR-{cx+d=0}

Dominio

x IR

Dominio

se resuelve la

inecuación

F(x) 0

Rango

y IR

Rango

a x IR

c

Rango

Se resuelve

la inecuación

Rango

Se debe

construir la

0

: Discriminante

función a

partir del

dominio

Problemas para la clase

Bloque I 1. Dada la función: F = {(2; 1), (3; 6), (5; 2)}

hallar el dominio de la función.

3. Señale la suma de los elementos del rango de la

función: F(x)

= 2x + 3; siendo: x = {0; 1; 2; 3}

2. Dada la función: G = {(5; 1), (6; 2), (8; 1), (9; 2)}

hallar el rango de la función.

a) {1} b) {5; 2} c) {1; 8}

d) {5; 6; 8; 9} e) {1; 2}

4. Señale la suma de los elementos del rango de la

función: F(x)

= x2 - 1; siendo: x = {- 2; - 1; 1; 2}

a) [6; + > b) <- ; 6] c) <- ; 9> d) [8; + > e) <- ; 8]

5. Dada la función:

y

9

y = f(x)

Bloque II

1. Determine el rango de la función: f

(x) =

10x 1

2x 4

1

2

1 6 x

a) IR b) IR - {5} c) IR - 5

d) IR - {2} e) IR - {- 2}

8x 1

Indicar el dominio de la función.

a) [1; 6] b) [1; 6> c) <1; 6]

d) [2; 9] e) <2; 9]

2. ¿Cuál es el rango de la función: g(x)

=

1

? 2x 1

1

a) IR - b) IR - {4} c) IR -

2 6. Dada la función:

y

9

2

d) IR - {4} e) IR

x

3. Indicar el dominio de la función: F(x)

= 2

y = f(x)

3

2 10 x

x 1

a) IR - {1} b) IR - {- 1} c) IR - {- 1; 1}

d) IR - {10} e) IR - {x}

x 1

Indicar el rango de la función.

a) IR b) [2; 10] c) <2; 10>

d) [3; 9] e) <3; 9>

7. Hallar el dominio de la función: F

(x) = 2x - 1

4. Indicar el dominio de la función: F(x)

=

a) IR - {- 3; 3} b) IR - {3} c) IR - {- 3} d) IR - {1} e) IR

x 2 9

a) IR b) IR+ c) IR- 1

d) 2 e) 1

5. ¿Cuál es el dominio de: g(x)

= x 2 ?

8. Hallar el rango de la función: f

(x) = 5x + 1

a) [2; + > b) <- ; 2] c) <- 2; 2] d) [- 2; 2> e) IR

a) 1 b) 5 c) IR+

d) IR- e) IR

9. Determine el dominio de la función: f(x)

=

x 3

x 2

6. ¿Cuál es el dominio de h(x)

=

8 x ? 1 x

a) IR - {2} b) IR - {3} c) IR - {- 2}

d) IR - {- 3} e) IR - {1}

x 5

7. Hallar el dominio de la función: h(x)

= 4

a) <- ; 1] b) [1; + > c) [0; + >

d) {1} e) IR 10.Determinar el rango de la función: f

(x) =

x 1

x 3

a) IR - {5} b) IR - {- 3} c) IR - {2} d) IR - {- 1} e) IR - {1}

8. Hallar el dominio de la función: f(x)

=

x 6

a) [3; + > b) [3; + > c) [6; + > - {3} d) [3; + > - {6} e) IR

a) 2 002 b) 4 004 c) 0 d) 1 e) 1 000

9. Hallar el dominio de la función: f

(x) =

6 x

x 1

6. Sea: f(x)

=

7

2x 3

y Domf = [2; 5]

a) <- ; 1] b) [6; + > c) <- ; 6] d) <- ; 6] - {1} e) [6; + > - {1}

10.Determinar el dominio de la función:

Halle el rango de "f(x)

"

a) [1; 7] b) [1;

7

3 ] c) [2; 5]

f(x)

=

x 2

8 x d) [3; 7] e) [2; 8]

7. Hallar el dominio:

a) [- 8; 2] b) [- 2; 8] c) [2; 8]

d) IR e) IR+

Bloque III

f(x)

=

5x 2

x 2 5x 6

2

; es:

1. Dados las funciones: a) IR b) IR - c) IR - {3}

f(x)

=

x 2 .

x 3 5

d) IR - {2} e) IR - {2; 3}

g(x)

= (x 2)(x 3) 8. Hallar el dominio:

De sus dominios se puede afirmar:

a) Df = Dg b) Df Dg = Ø

c) Df Dg = Df d) Df Dg = Dg

f(x)

=

3x 2

x 3 x 2

20x

e) Df Dg = Df 2. Calcule usted, el número de valores enteros del

a) {0; 4; 5} b) IR - {0; 4; 5}

c) IR d) IR+

e) IR - {0; 4; - 5}

dominio: f(x)

=

2002 x

x 2002 9. Hallar el dominio y rango de la función:

3. Hallar el rango de:

f(x)

=

y

6

x 1

x 1 2

a) IR - {1} b) IR c) IR - {- 1}

d) IR - {± 1} e) {- 1; 1}

4. Determinar el rango de:

3x 1

- 5 3 x

- 4

f(x)

=

x 2 a) x <- 5; 3] ; y [- 4; 2]

1 b) x <- 5; 3] ; y [- 4; 3]

a) IR - {2} b) IR - c) IR - {3} c) x [- 5; 3] ; y [2; 6]

d) IR e) Ø

3 d) x <- 4; 6] ; y [- 5; 3]

e) x [- 5; 3] ; y [- 4; 6]

5. Hallar el dominio y rango de la función:

f(x) = 4 x 3

8 3 x

10.Obtener el número de elementos enteros del dominio

de:

x 3 3 x

a) IR; IR b) [3; + >; IR

c) <- ; 3]; [- 3; 3] d) {3}; {0}

F(x)

=

x 2 1

e) [- 3; 3]; IR a) 5 b) 7 c) 3

d) 6 e) 4

ÁLGEBRA 2

AÑO

Funciones III

... Y continuando con la Función ...

Ya hemo s vi sto l a de fini ción de F unci ón, las características del Dominio y Rango, y su ubicación (como pares ordenados) en el plano cartesiano.

Solución:

Aquí aplicaremos un "truco" muy sencillo:

Ahora trabajaremos con sus gráficas (o dibujitos),

viendo las principales, sus propiedades de traslación, intersección, etc.

Por ejemplo:

Igualdad

de

Funciones

f (x) = g(x)

x2

+ 1 = 3x - 1

x2

- 3x + 2 = 0

Función Gráfica

y

x -2

x -1

Luego: x = 2 ; x = 1

1. y = x

2. y = x2

Estos son los valores de "x"

en los puntos de intersección

x

Reemplazando "x" en cualquier función:

• x = 2 f(2)

= 22 + 1 = 5 y = 5

El punto de intersección es: (2, 5)

• x = 1 g

(1) = 3(1) - 1 = 2 y = 2

La primera función es llamada "FUNCIÓN IDENTIDAD" y la segunda es llamada "FUNCIÓN CUADRÁTICA".

Ahora veamos un ejemplo de intersección de funciones:

Sean las funciones: f(x)

= x2 + 1

g(x)

= 3x - 1

Hallar los puntos de intersección del gráfico:

El otro punto de intersección es: (1, 2)

Fácil!! ... no crees?

Ahora te toca a ti ... ok? ... LA FUNCIÓN DEBE CONTINUAR!!

Bloque I

f(x) Y g(x) 1. Cuál es el gráfico de: f

(x) = x

a) b)

X

c) d)

2. Cuál es el gráfico de: f(x)

= - x2

a) b)

c) d)

3. Indicar el gráfico de: f(x)

= x + 3

a) b)

7. A qué función corresponde el gráfico:

a) f(x)

= x2 + 4 b) f(x)

= x2 - 4

c) f(x)

= - x2 + 4 d) f(x)

= - x2 - 4

e) f(x)

= x2

8. Si se tiene: f

(x) = 2x + 2; g

(x) = x2 - 1; entonces,

hallar los puntos de intersección del gráfico.

a) (-1; 3)

b) (3; 7), (-1; 5)

c) (3; -1)

d) (3; 8), (-1; 0)

e) (3; 9), (-1; 4)

9. Indicar los puntos de intersección de:

c) d)

4. Indicar el gráfico de: f(x)

= x2 - 7

f(x) = x2 + 1

g (x) = 3x - 1

a) (2; 1)

b) (-2; 5), (1; 4)

c) (1; 2)

d) (1; 2), (2; 5)

e) (5; 1), (2; 2)

a) b) 10.Según el gráfico, indicar "a +b"; donde:

f(x)

= - 2x + 1

g(x)

= 2x2 - 3

c) d)

5. El siguiente gráfico: pertenece a:

g(x)

b a

f(x)

a) 2 b) -1 c) -2

d) 1 e) 0

a) x + 3 b) - x2 + 3 c) x2 - 3

d) x2 + 3 e) - x2 - 3

6. El gráfico: corresponde a la función:

a) f(x)

= x + 7 b) f(x)

= x - 7

c) f(x)

= - x - 7 d) f(x)

= - x + 7 e) f

(x) = -x

11.Determinar el valor de "a + b" según el siguiente

gráfico:

g(x)= -2x - 4

a

f(x) = -3x2+1

b

(x)

(x)

22 a)

3

5 d)

3

28 b) - 1 c)

3

e) 1

I. 2 Dom f

II. 5 Dom f

III.- 2 Dom f, son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo II c) II y III d) Todas e) N.A.

12.Determinar "a2 + b2" según el gráfico:

6. Dada la función:

f( x )

3x ; indicar lo correcto:

x 2 25

f = 2x 2 - 7

a b

a) 5 Dom f b) - 5 Dom f c) 3 Dom f

d) - 5 Dom f e) 0 Dom f 7. Si tenemos la función:

g = -x2+ 5

a) 4 b) 0 c) 8 d) 1 e) - 2

h( x )

a) IR+ D o m f =

5

x 2 1

; entonces:

b) - 1 Dom f

Bloque II

c) {1, - 1} Dom f d) Dom f = IR

e) Dom f = Ø

1. Determinar el dominio de la función:

x 5 f( x )

x 1

8. Dada la función: g( x )

2x 8 , entonces se cumple:

a) IR - {5} b) IR - {1} c) IR - {-5}

a) 0 Dom f b) Dom f = 4,

d) IR - {1} e) IR c) Dom f = , 4 d) 5 Dom f

2. Determinar el dominio de:

x 2

e) Dom f = IR 1 x

f( x )

x 7 9. Si tenemos: h( x ) , de las afirmaciones:

7

a) IR b) IR - {7} c) IR - {-7} d) IR - {0} e) Ø

I. 7 Dom f

II. 0 Dom f 3. Indicar el dominio de:

III.Dom f = , 1

, son verdaderas

g( x )

x 1

a) I y II b) Sólo III c) II y III d) Sólo II e) N.A.

a) 1,

b) 1 ,

c) , 1 10.Dadas las funciones:

d) , 1 e) , 1 f(x)

7 x

y g(x)

1

x2 1

; x IN

4. Cuál es el dominio de: g( x ) 4 x Indicar: Dom f Dom g

a) 4,

b) , 4

c) , 4 a) {x IN / x < 7}

d) 4,

5

e) 4, b) {x IR / 0 < x 7}

c) {x IN / x 7}

d) {x IN / x 7} 5. Si: f( x ) ; entonces; de las afirmaciones:

x 2 4

e) {x IR / 0 < x < 7}

Bloque III

1. Hallar la gráfica de la función: f

(x) = x - 2

4. Graficar: g

y

(x)

= x + 3

y

y y

a) b)

x x

a) b) x x

y y

y y

c) d) x x

y

e) x

c) x

d) x

y

e) x

5. Graficar: y = - x

2. Graficar: y = x - 2 y y

y y

a) b) x x

a) b) x x

y y

y y

c) d) x x

c) x

y

d) x

y e) x

e) x

3. Graficar: f(x)

=

y

a)

x

x 2

y b)

x

6. Graficar: y = - x

y y

a) b)

x x

y y

y y

c) d) x

x

c) d) x x

y

y e) x

e) x

2. = x

7. G r a f i c a r : F

(x) = | x - 4 | + 2

y y

a) b)

x x

9. Halle el área de la región formada por la función

constante: f(x)

= 7; la función lineal: g(x)

= 3x - 2 y el

eje "y".

a) 9 u2 b) 3 c) 27

2

9 y y

c) d)

d) e) N.A. 2

x x 10.Si f(x)

es una función lineal que pasa por los puntos (4; 7) y (5; g

(4)); donde:

y g(x)

= 2x + 2

hallar el punto de intersección de "f(x)

" y "g(x)

". e)

x a) (3; 5) b) (7; 16) c) (8; 10)

d) (9; 15) e) (1; 4)

8. Graficar: y = - | x | + 2

y y

a) x b) x

y y

c) x d) x

y

e) x

Autoevaluación

2

E l g r á f i c o c o r r e s p o n d i e n t e a : f

(x) - 1, es:

1. En el gráfico:

f(x)

; pertenece a la función: a) b) c)

a) 2x - 3 b) 2x + 3 c) -2x + 3 d) -2x - 3 e) x

d)

2

3. Dado el gráfico: 5. Dada la función: h (x) 2x 1 , indicar la verdad (V) o

falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

g (x) x

2

f(x) x

I. Dom h =

1 ;

II. 1 Dom h III.0 Dom h

Uno de los puntos de intersección es:

a) (1; 0) b) (0; 1) c) (0; 0) d) (1; -1) e) (-1; 0)

a) VFV b) FVV c) FFV

d) VVF e) VFF

5

4. De la función: f (x) , se deduce que: 2 x

a) Dom f = IR b) 2 Dom f

c) Dom f = IR+ d) 2 Dom f

e) 5 Dom f