4 AÑO

Funciones I

Importante El concepto de función es una de las ideas fundamentales en la matemática. Casi cualquier estudio que se refiere a la aplicación de la matemática a problemas prácticos o que requiera el análisis de datos emplea este concepto matemático que te explicaré a continuación:

Por ejemplo las compañías como Luz del Sur o Edelnor tienen como unidad de medida para facturar sus recibos el kilowatt - hora (kw-h). El (kw-h) indica cuántos kilowatts se han consumido de electricidad en casa. El (kw-h) cuesta S/.2.

Supongamos que hoy papá nos dice que vayamos a pagar el recibo mensual de luz, en el camino observas que el monto a pagar es de S/.80, entonces tú rápidamente haces cálculos, si por 1 kw-h nos cobran 2 soles, ¿cuántos kw-h consumimos en casa?

1 kw-h S/.2 x kw-h S/.80

Rpta.: x = 40 kw-h

Ahora piensas y dices, si hubiera consumido 30 kw-h, ¿cuánto habríamos pagado?, realizas otra regla de tres y

el resultado es S/.60. Es decir, nos damos cuenta de que entre lo que pagamos y lo que consumimos existe una relación. Si consumes más, pagas más, si consumes menos, pagas menos.

También podemos decir que el pago que efectuamos depende de la electricidad que consumimos, o, el pago está en función de la electricidad que consumimos.

Este ejemplo es uno de los muchos que existen cuando hablamos de función.

Aquí algunos más que aclaran la idea:

- El área de un círculo depende o está en función de la

longitud de su radio. - Las cuentas mensuales de agua y electricidad dependen

de la cantidad de agua o electricidad que se utilicen. - El desarrollo muscular y firmeza de un cuerpo depende

de los ejercicios físicos que se practiquen. Esta idea nos ayudará a entender el siguiente marco teórico.

Funciones Par ordenado Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden:

(a, b)

Primera componente Segunda componente

Propiedades: 1. (a, b) (b, a) (no conmutativa) 2. Si: (a, b) = (c, d) a = c b = d Producto cartesiano Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos, se llama producto cartesiano (A × B) al conjunto de pares ordenados (a, b) donde “a” “A” y “b” “B”, es decir:

A × B = {(a, b) / a A b B}

Ejemplo: Sea: A = {1; 2; 3}

B = {2; 3; 4}

A × B = {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 2), (2; 3), (2; 4),

(3; 2), (3; 3), (3; 4)} Propiedades: 1. n(A × B) = n(B × A)

2. n(A × B) = n(A) × n(B)

Relación Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos, se llama relación de “A” en “B”, a todo subconjunto “R” del producto cartesiano “A × B”, es decir, “R” es una relación de “A” en “B”

“R” “A × B”.

En particular, si: A = B, “R” se llama relación en “A” (relación entre elementos de “A”).

La definición anterior de relación exige la comparación de elementos pares por eso suele llamarse “relaciones binarias”. Ejemplo: En el conjunto: A = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1}

Establecemos las siguientes relaciones:

- “a” es el doble de “b”.

- “a” es igual a “b”.

R R

Es cr ib ir l os p ar es q ue c um pl en l as r el ac io ne s

respectivamente. - M

R1

= {(a, b) / “a” es el doble de “b”} 1 = {(2; 1), (4; 2), (6; 3), (8; 4)} 2

R2

= {(a, b) / “a” es igual a “b”} 3 = {(1; 1),(2; 2),(3; 3),(4; 4),(5; 5),(6; 6),(7; 7),(8; 8),(9; 9)}

- Si “R” es una relación entre elementos de “A” y “B”, al

conjunto “A” se le llama conjunto de partida de la relación y a “B” conjunto de llegada.

- Se llama Dominio de una relación “R” al conjunto de -

todos los elementos (a A) tales que existe por lo menos M

un (b B) con (a, b) IR.

- Se llama Rango de una relación “R” al conjunto de todos 1

los elementos (b B) tales que existe por lo menos un 2

(a A) con (a, b) IR.

F

N

a

b c d

M F N

F = {(1; c), (2; d), (3; b)} es función.

F S

a b

c

Ejemplo:

Sea la relación:

R1

= {(1; 2), (2; b), (2; 7), (3; 2), (1; -2)}

M F S

F = {(1; b), (2; a), (2; c)} Si: a b c, luego no es función porque se repite el

primer elemento. D = {1; 2; 3} R

1 1 = {2; b; 7; -2}

Si: a = c b, es función.

Definición de funciones Sean “A” y “B” dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser A = B) llamaremos función definida en “A” a valores en “B” (función de “A” en “B”) a toda relación:

F A × B que tiene la propiedad:

(a, b) F y (a, c) F; entonces: b = c Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.

Notación:

Si “F” es una función de “A” y “B” se designa por:

F

F: A B ó a b

A B

Se lee: “F” es una función de “A” en “B”.

Ejemplos:

Observación: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. Ejemplo: Hallar los valores de “a” y “b” para que el conjunto de pares ordenados:

A = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b), (-1; b - a), (a + b2; a)}

sea una función.

Solución: En una función dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. (2; 5) y (2; 2a - b) A 5 = 2a - b ...(1)

(-1; -3) y (-1; b - a) A b - a = -3 ...(2) De (1) y (2), resolviendo: a = 2; b = -1

F = {(2; 5), (-1; -3), (3; 2)}

- Si “F” es una función de “A” en “B”, el conjunto “A” se

llamará conjunto de partida de la función y “B” el conjunto de llegada.

- F - El dominio de una función “F” se designa por “DF” y se

A B define como el conjunto siguiente:

a

b 1 DF

= {x A / y; tal que (x, y) F} c

- El rango (o imagen) de una función “F” se designa por Siendo a b c, diremos: A F B

F = {(a; 1), (b; 1), (c; 1)} es función. “R

F” o “Im

F” y se define como el conjunto siguiente:

RF

= {y B / x; tal que (x, y) F}

G 8

es decir son las segundas componentes de los pares

ordenados.

- Si el par ordenado (a, b) F escribiremos: b = F

(a) y

diremos que “b” es imagen de “a” por “F” (o también, que “b” es el valor de “F” en “a”).

F = {(a, b) A × B / b = F

(a); a D

F}

Ejemplo:

Sea la función: F = {(2; 3), (3; 4), (7; 3), (-2; 6), (4; 1)}

Hallar:

Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos

las más conocidas:

- Cuando tenemos una función donde su dominio no

presenta rango, se despeja “x” en función de “y”. - Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos

desigualdades. c. Para la función definida por:

G(x)

= 2x2 + 3x + 2; x IR

Solución:

y = 2x2 + 3x + 2 2x2 + 3x + (2 - y) = 0

M = F(2)

+ F(3)

+ F(7)

+ F(-2)

+ F(4)

- 3 x =

9 - 4(2)(2 - y)

2(2)

Solución:

Como: F(2)

= 3; F(3)

= 4; F(7)

= 3; F(-2)

= 6; F(4)

= 1 M = 17

Regla de correspondencia

Para que se pueda definir bien una función es suficiente

Si “x” IR, luego “y” también IR

7 Pero: 0; 9 - 8(2 - y) 0 y

8

R = 7

;

d. Para la función definida por:

conocer su dominio (DF) y una regla que permita asignar

para cualquier x DF; su imagen F

(x).

Ejemplo:

Solución:

H(x) = x2 - 4x + 7; x [2; 3]

1. Hallar el dominio de las siguientes funciones:

y = x2 - 4x + 7 y = (x - 2)2 + 3 como: 2 x 3 0 x - 2 1 al cuadrado:

a. F = {(2; 3), (4; 5), (6; 3), (-2; a)} más tres:

0 (x - 2)2 1

DF

= {2; 4; 6; -2} 3 (x - 2)2 + 3 4 3 y 4 RH = [3; 4]

b. F(x) = x - 2 e. Para la función:

DF = x - 2 0; x 2 DF = [2; +> F

(x) =

x 2

x 2 1

c. F(x)

= x - 2

x 5 +

x x - 3

Solución:

x 2 2 2 2

D

F =

x - 2

x 5

0 x - 3 0

y = ; yx x 2

1

y

+ y = x x (y - 1) = -y

y

- 3

-5 2 +

x 3 x2 =

1 - y

y

x = ±

y

1 - y

DF = <-; -5> [2; +> - {3}

2. Hallar el rango de las siguientes funciones:

1 - y

0; y - 1

0

a. F = {(2; 3), (4; 6), (5; 7), (7; 6), (-2; 3)}

RF

= {3; 6; 7}

b. Sea: F(x)

= x2

y = x2 x IR; y IR+ {0} D

F = <-; +>; R

F = [0; +>

+ +

- 0 1 +

y [0; 1> RF

= [0; 1>

Gráfica de una función

3. Hallar el dominio de la función:

Sea “F” una función real, la gráfica de “F” es el conjunto “G” de todos los puntos (x, y) en el plano, tal que “x” está en el dominio de “F” e “y” es la imagen de “x” por “F”, es

Solución:

F(x)

=

x 1 +

1 - x

decir:

G = {(x, y) R2 / y = F

(x); x D

F}

Luego:

D(F)

= x + 1 0 1 - x 0 x -1 1 x

- Una gráfica cualquiera será función, si y sólo si, al trazar

una paralela al eje “y” corta a la gráfica en un sólo punto.

Ejemplos:

a. F

(x) es función, entonces “L

1” la recta paralela al eje “y”

corta a la gráfica en un solo punto.

- -1 1 +

DF = x [-1; 1]

4. Hallar el dominio y rango de la siguiente función:

x F

(x) = -

2 + 3

y L1

F(x)

Solución: - D

F = IR

- RF: despejar “x” en función de “y”.

x

x b. G(x) no es función entonces “L2” la recta paralela al eje

y - 3 = - 2

Luego: y IR

-x = 2y - 6 x = 6 - 2y

“y” corta a la gráfica en más de un punto. 5. Hallar el dominio y el rango de la siguiente función:

x 2 y L2 F

(x) =

x 8

x

G(x)

Solución: - D

F = IR - {8}

- RF: despejar “y” en función de “x”.

Problemas resueltos

x 2 y =

x 8

yx + 8y = x + 2

1. Calcular “n” en la función:

yx - x = 2 - 8y x(y - 1) = 2 - 8y

2 - 8y

Solución:

F = {(7; 9), (n; 2), (3; 4), (7; n2)} Luego: y IR - {1}

x = y - 1

Dos pares distintos no tienen la misma primera

componente, entonces:

(7; 9) y (7; n2) F 9 = n2 n = 3 (no cumple)

n = -3 (cumple con la func.)

2. Indicar la suma de los elementos del rango de la función:

F(x)

= 3x + 1 siendo el dominio: D

F = {1; 2; 3; 4}

Solución: Para: x = 1 F

(x) = 4

x = 2 F(x)

= 7 x = 3 F

(x) = 10

x = 4 F(x)

= 13

Luego, suma de elementos del rango:

4 + 7 + 10 + 13 = 34

Problemas para la clase

1. Hallar “ab”, si el conjunto de pares ordenados representa

una función.

F = {(2; 3), (3; a - b), (2; a + b), (3; 1)}

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

2. Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa

una función señalar el dominio y rango de la función:

f = {(2; 4a-b), (3; b), (2; 3), (5; 6), (3; 1)}

a) D

F = {2; 3; 5}; R

F = {3; 6; 1}

b) DF

= {3; 6; 1}; RF

= {2; 3; 5} c) D

F = {2; 3; 6}; R

F = {3; 1; 5}

d) DF

= {3; 1; 5}; RF

= {2; 3; 6} e) D

F = {5; 3; 1}; R

F = {3; 6; 1}

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 a) y IR - {-4} b) y IR - {4}

c) y IR - {2} d) y IR - {-2}

a) {1; 5} b) {5; 9} c) {1; 5; 6} d) {1; 5; 9} e) {5; 6; 9}

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

F F F

3. De la función:

F = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)}

9. Hallar el dominio de la función:

4x - 2 Calcular: A = F(F(2) )

F(F(3) ) F(x) = x 4

a) 1 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8 4. Dado:

a) x IR b) x IR - {2}

c) x IR - {-4} d) x IR - {4} e) x IR - {1}

F = {(0; 1), (1; 2), (2; 3)} 10.Hallar el rango de la función:

Hallar: F(1)

(0) F(2)

(1) F(0)

(2)

F

(x) =

4x - 1

x 2

5. Del siguiente diagrama:

f g e) y

11.Hallar el rango de la función:

1 2 5

2 5 2

3 3 3

F

(x) =

5x 1

2x - 3

Calcule el valor de:

5 5 a) y IR - {- } b) y IR - { }

2 2 f(2) g(f(2) )

2 3 f(3) g(f(3) )

3

a) 1 b) 5

5 c)

8

c) y IR - { 3

} d) y IR - { 2

}

3 e) y IR - {-

2 }

12.¿Cuántos enteros hay en el dominio de la función?

6 d)

5

8 e)

5

F(x)

= 4

2 x

6

2 - x

6. Sabiendo que el conjunto de pares ordenados:

F = {(1; 5), (a; 6), (3; a2), (3; 2a + 3)}

Representa una función; indicar el rango.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) Más de 6 13.¿Cuántos enteros presenta el dominio de la función?

F(x) =

4 1 x

8

3 - x

7. Sea la función “F” tal que:

F = {(3; a2),(3; 1),(5; 4),(5; a + b),(b; 4)}

Calcular la suma de los elementos del dominio.

a) 3 b) 5 c) 8 d) 13 e) 11

8. Hallar el dominio de la función:

7x 1

14.Hallar el rango en:

F(x)

= x2 + 4x + 7; x IR

a) y IR b) y [1; + > c) y [3; + > d) y <- ; 1] e) y <- ; 3]

F(x) =

x - 7 15.Hallar el rango en:

F(x)

= x2 - 6x + 5; x IR

a) x IR b) x IR - {7} c) x IR - {1} d) x IR - {8} e) x IR - {-7}

a) <- ; -4] b) [-4; + > c) <- ; 4] d) <- ; 0] e) [4; + >

a) b) 1 c) IR

d) IR+ e) [1; 2]

a) 18 b) 16 c) 29 d) 27 e) 23

a) VVV b) VVF c) VFV d) FFV e) FFF

16.Obtener el número de elementos enteros del dominio

de la función: 23.Sea la función:

F = {(a; b), (3; c), (1; 3), (2b; 4)}

Además: F(x)

= x - 2a x 3 3 - x Indicar el producto de los elementos de:

F(x) = x2 - 1

DF RF

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

17. Calcular el rango de la función:

a) -3 b) -1 c) 1

d) 3 e) 2 24.Indicar la suma de los elementos del dominio de:

F

(x) =

(x 2) (x 2 6x - 16)(x - 6)

2

b F = {(a; b), (1; 7), (

2

c ; c), (

2

; 11)}

(x - 2)(x - 4x - 12) si: F(x) = x + 3a

a) IR - {-6; -10; -4} b) IR - {-2; 2; 6}

c) IR - {6; 14; 10} d) IR - {6}

e) IR - {10; 4}

18.Dada las funciones “F” “G” de variable real:

4 - x 2

a) 15 b) 12 c) 10 d) 9 e) 6

25.Indicar el dominio de:

y = x - 2

F(x) =

x - 2 a) IR+ b) [0; 2] c) <2; + >

G(x)

= 3x2 + 6x + 8; x IR d) [2; + > e) <- ; 2]

26.Indicar el rango de f: R R

Hallar: DomF Ran

G F(x) = x2 + 10x + 30

+

19.Calcular el dominio de la función:

2n | 4x - 1 | - | 2x 1 |

a) IR b) IR

d) [5; + > e) [30; + >

27. Dada la función:

c) [-5; + >

F(x)

= ; n IN F = {(4; 8),(b; 3),(5; a2),(4; a + b),(5; 9)}

Obtener: F(b) + F(5) + b

a) <- ; 0] [1; + > b) <- ; 1]

c) <- ; 0] [2; 6> d) <- ; -1] [0; + >

e) IR-

20.Determine el rango de la función:

28.Dada la función:

n

an - xn

F(x)

= (|x - 5| + 1 + x) 5 - x F(x)

= ; n IN

a) [0; + > b) <-1; + > c) <- ; 0]

d) IR e) <- ; 4] 21.Dada la función: F

(x) = 2x2 + 3x + 2; x IR

indicar verdadero (V) o falso (F). I. Dom

F = IR; n: impar

II. DomF

= [-a; a]; n: par III. F

(x) = F

(-x); n: par

a

Donde: Ran(f)

= a 1

;

Calcular el valor de “a”.

a) 6 b) 7 c) 8

29.Hallar el dominio de la función:

d) 9 e) 10 22.Sabiendo que:

F(x)

| 3x 1 | - | 2x - 1 | = 4

| 4x - 1 | - | 2x 1 |

F = {(5; 7a + 2b), (2; 5), (2; a + 2), (5; 5b - 2a)}

es una función. Calcular:

F(2)

+ F(F )

(2)

a) 6 b) 7 c) 34 d) 44 e) 54

a) x <- ; -2] <1; + > b) x <- ; -2] [0; + > c) x [-2; 1]

d) x [-2; 0]

e) x IR

a) -2 b) 4 c) 6 d) 3 e) -6

30.Hallar el rango de la función: 3. Sean las funciones:

F = {(-3; 2),(-4; 1),(0; -2),(1; -2)} y = F

(x) = 5 - x 3 x

Hallar:

G = {(0; 3),(-4; 3),(7; 1),(8; -3)}

a) y [ 2 ; 4] b) y [0; 4 2 ]

c) y IR d) y [2 2 ; 4]

F(-4) G E =

(7)

e) y [0; 2 2 ]

Autoevaluación

1. Hallar el rango de la función: F = {(1; b),(1; b2 - 2),(b; 2),(-1; 3)}

F(G(7) )

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2

4. Hallar el dominio de:

x 2 - 5x 6

a) {3} b) {-1; 2; 3}

F(x) =

x - 2

c) {-1; 3} d) {2; 3}

e) {1; -2; 2; 3}

2. Sea la función “F” tal que:

F = {(2; 5),(3; a2),(3; 4),(a; 5)} Hallar “a”.

a) IR b) IR - {-2} c) IR - {2}

d) IR - {3} e) IR - {1}

5. Hallar el dominio de la siguiente función:

V = x 2 - 4

a) x 2 x < -2 b) x 2 c) x -2 d) x 1

e) <- ; -2] [2; + >

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AÑO

Funciones II

Introducción Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo, el salario de una persona puede depender del número de horas que trabaje, la producción total de una fábrica puede depender del número de máquinas que se utilicen, la distancia recorrida por un objeto puede depender del tiempo transcurrido desde que salió de un punto específico, la resistencia de un cable eléctrico de longitud fija depende de su diámetro, etc. La relación entre este tipo de cantidades suele expresarse mediante una función. Para nuestro estudio las cantidades involucradas en estas relaciones son números reales.

El uso de rectas numéricas y gráficas de coordenadas es una técnica matemática muy conocida. Sin embargo el advenimiento de calculadoras y software de computadora con capacidades de graficación ha tenido un efecto significativo sobre la facilidad de producir gráficas y por

2. Función identidad

Regla de correspondencia: F(x)

= x D

F = IR; R

F = IR

Significa que:

F = {...,(1; 1), (2; 2), (3; 3), ...}

F(x)

= {(x; y) / F(x)

= x x = y} Gráfica:

y

F(x) = x

x

3. Función valor absoluto

Regla de correspondencia: F(x) = |x|

tanto de su utilidad. x;

si : x 0

Ahora es posible generar gráficas con rapidez y precisión

tanto a partir de fórmulas como de datos numéricos tomados de experimentos científicos o de grandes bases de datos cuyo acceso ha sido posible gracias a las

Significa que:

|x| = - x; si : x 0

DF = IR; R

F = IR+ {0}

computadoras. Como resultado, las representaciones gráficas se están haciendo cada vez más comunes y complejas. Por tanto, es importante que los estudiantes de matemáticas adquieran experiencia en la interpretación inteligente de las representaciones gráficas y en la comprensión de las conexiones entre las formas simbólicas, gráficas y numéricas de las mismas ideas.

Funciones especiales

1. Función constante

Regla de correspondencia: F

(x) = k

F = {..., (-2; 2), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), ...} F

(x) = |x|

y = |x| x = 1; y = 1 x = -1; y = 1

Gráfica:

y

y = |x|

x 4. Función raíz cuadrada

Regla de correspondencia: F = x

Significa que:

DF

= IR ; RF

= k (x)

DF = IR+ {0}; RF = IR+ {0}

Gráfica:

F = {..., (0; k), (1; k), (2; k), ...} F = {(x, y) / F

(x) = k}

y

F(x) = k

Significa que:

F = {(0; 0),(1; 1),(2; 2 ),(3; 3 ),...}

Gráfica:

y

y = x

2 3 6 x x

5. Función lineal

Regla de correspondencia: F(x)

= ax + b “a” y “b” constantes cualesquiera, a 0

DF = IR; R

F = IR

Su gráfica es una recta, con pendiente “a” e intercepto “b”.

Gráfica:

{x

1; x

2} raíces de la ecuación, cuando: y = 0.

y

V x

x1 = x2 = - b

y y

b b

2a a > 0 = 0

{x1; x

2} raíces iguales de la ecuación, cuando: y = 0.

x x

Ejemplo:

y = mx + b y = mx + b

m > 0 m < 0

y x1 = x2 = - b 2a

V x

Calcular la función lineal que tenga F(1)

= 3 y además F

(2) = 2F

(3)

Solución: F

(x) = mx + b

F(1)

3 = m + b ... () Además: F

(2) = 2F

(3)

2m + b = 2(3m + b)

a < 0 = 0

y

De () y ():

2m + b = 6m + 2b b = - 4m ... ()

m = -1 b = 4

V F -

b 2a

- b x 2a

F(x)

= -x + 4

6. Función cuadrática

a > 0 < 0

y

- b 2a

b x

Es una función con dominio en el conjunto de los números reales y cuya regla de correspondencia es:

F(x)

= ax2 + bx + c a; b; c IR; a 0 - Su gráfica es una parábola respecto a una recta

vertical, llamada eje de simetría, abierta hacia arriba,

F - 2a

V a < 0 < 0

si: a > 0; y hacia abajo, si: a < 0.

- Nota gráfica:

Sea la función: y = ax2 + bx + c

= discriminante = b2 - 4ac

y

- b 2a

x1 x2 x

b V F -

2a

Esta función, cuando: y = 0, los valores de “x” son

números complejos.

Otras funciones Funciones pares Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto al eje “y”, y se cumple que: I. Si: x D

F -x D

F

a > 0 > 0

V y

F - b 2a

II. F(x)

= F(-x)

x DF

Funciones impares Son aquellas que se caracterizan por ser simétricas respecto

x1 x2

- b x 2a

al origen: I. Si: x D

F

-x D

F

a < 0 > 0 II. -F

(x) = -F

(-x) x D

F

G (-x) Ejemplos:

Indicar qué funciones son pares, impares o ni par ni impar:

I. F(x)

= x4 + 1 II. G(x)

= x3 III. H(x)

= x - |x|

Solución:

I. F

(x) es par porque:

F(-x)

= (-x)4 + 1 F

(-x) = x4 + 1

F(-x) = F(x) F(x) es par.

II. = (-x)3

G(-x) = -x3

-G(-x)

= x3

-G(-x)

= G(x)

G(x)

es impar.

II. H(-x)

= - x - |-x| -H

(-x) = x + |x|

-H(-x)

H(x)

; también H(-x)

H(x)

H(x)

no es par ni impar.

Gráficas de funciones Aquí se dan algunos medios auxiliares para trazar gráficas de determinados tipos de funciones:

Desplazamiento vertical de la gráfica de y = f(x)

Función Efecto sobre la gráfica Interpretación gráfica

y

y = f(x) + c

donde: c > 0

La gráfica de “f” se des- plaza verticalmente hacia arriba una distancia “c”.

y = f(x) + c

y = f(x)

c > 0

y = f(x) - c donde: c > 0

La gráfica de “f” se des- plaza verticalmente hacia abajo una distancia “c”.

y

y = f(x)

x

c > 0

x y = f(x) - c

Desplazamiento horizontal de la gráfica de y = f(x)

Función Efecto sobre la gráfica Interpretación gráfica

y = f(x - c)

donde: c > 0

La gráfica de “f” se despla- za horizontalmente hacia la derecha una distancia “c”.

y y = f(x) y = f(x - c)

f(a) f(a + c)

a a + c x

c > 0

y = f(x + c)

donde: c > 0

L a gr áf ic a de “ f” s e desplaza horizontalmente hacia la izquierda una distancia “c”.

y = f(x + c) y

y = f(x)

f(a - c) f(a)

a - c a x

c > 0

F = 2

Problemas resueltos 1. Hallar la gráfica de:

x - 2;

(x) 0;

si : x 0

si : x 0

4. Graficar:

Solución: Tabulando:

y = -2x + 4

Solución:

- DF: <-; +>

x 1; si : x 0 x y y

2 0

0 4 4

1 2

- RF: <-; -2> <1; +>

2 x y

1 5. Realice la gráfica de la siguiente función:

x

-2

Solución:

F(x)

=

x 1

2. Hallar la gráfica de:

F(x)

=

Solución: - Cálculo de D

F:

x2 - 5x 6

x y

0 1

-1 0

2 3

x + 1 0

x -1

y

De donde:

x2 - 5x + 6 0 (x - 3)(x - 2) 0

x 2 x 3

-1 x

DF: <-; 2> <3; +>

- Cálculo del rango: Problemas para la clase

RF = [0; +>

y

1. Graficar: F(x)

= |x - 3|

6

2 3 x

3. Dada la función:

y

4

y y a) b)

x x -3 3

y y

Calcular:

3

2

1

2 3 4 5 x

c) 3 x

y

-3

x

d) x

-3

F(F(3) ) F(F(4) )

e)

F(F(5) )

Solución: F

(3) = 2; F

(4) = 3; F

(5) = 4

Luego:

2. Graficar: F(x)

= | x + 8 |

y y

F(2) F(3)

F(4)

1 2 = 1

3

a) 8 b) x

x -8

y

c)

8 x

y

8

e) x

y d)

x -8

y

5 c)

-3 x

y

y

5

d) x

3

3. Graficar: F(x) = |x| + 3

e) 3

5 x

y

a) 3 x

y

c) x

3

y

b)

x -3

y

d)

-3 x

6. Graficar: F(x)

= (x + 3)2 - 5

y

a) x

y

c) x

y b) x

y d) x

y y

3

e) x e)

x

4. Graficar: y = |x| - 8 7. Graficar: F(x)

= -x2

y y y y

a) b)

8 x

-8 x

a) x b) x

y y y y

c) 8 d) x

x -8 c) d)

x x

y

8

e) x 5. Graficar: F

(x) = (x - 5)2 + 3

y

e) x

8. Graficar: F

(x) = - | x |

y y y y

a) -3 x

b) 5 a)

-3 x

x

x b)

x

y y

c) x d) x

y

c) x

y

d) x

y

e) x

y

e) x

9. Graficar: F(x)

= 10x - x2 - 25

y

a) x

y

c) x

y

b) x

y

x

d)

12.Graficar: F

(x) = - - x

y

a) x

y

c) x

y

b) x

y

d) x

y

e) x

y

e) x

10.Graficar: F(x)

= - x

y

13.Graficar: F(x)

y

= | x2 - 5 |

a) x

b) x

y y

a) b)

x x

y y

c) x

d)

x

y y

c) d)

x x

y y

e)

x e) x

11.Graficar: F(x)

= - x 14.Graficar: F(x) = ||x - 1| - 3|

y y

a)

x b) x

y y

3

a) 1

b)

3 1 x

y y y

e) c)

x d) x

-3 x

17. Graficar: F(x)

= x|x|

y

x y y

e) a)

x b)

x

15.Si la gráfica de la función: y = F(x)

, es:

y

7

3

2 5 x

Graficar la función: y = F(x + 5) - 7

y y

c) d)

x

x

y

e)

x

y y

a) x

b) x

y y

c) x

d) x

y

18.Graficar:

y

1

a)

y

c)

F(x)

x

-1

1

x

|x|

x

y

1

b) x -1

y

d) x

e) x

y

e)

x

16.Si la gráfica de la función: y = F(x)

; es:

y

19.Graficar: y = |x|3

4

-3 3 x

y y

a)

x b)

x

Graficar la función: y = |F(x - 2)

- 3|

y y y y

a) b) x x

y y

c) d)

x x

c) x

d) x

y

e)

x

a) 18 u2 b) 16 c) 12

d) 9 e) 6

2

e)

20.Graficar:

y

y = (|x| - 4)2

y

24. S e a l a f u n c i ó n : F

(x) = x(x - 2). Indicar cuál de las

siguientes gráficas representa el área limitada por el eje de abscisas y la función: F

(|x|)

a) b)

x x

y y

c) d)

y y

1 2

a) 2 b) -2 x x

-1 -2

y y

x

y

e) x

x -2 2 x c)

-1

y

2

d) x

2

x -2

21.Cuál de las siguientes gráficas representa la función:

-1 F (x) =

2

x 1 25.La función cuadrática: y = F(x)

tiene como gráfico:

y

1

a) x

y

1

b) x

-1

y (p;0)

-3 x

y

x c)

-1

y

1

e) -1 x

y Calcular “p + q” d) a) 6 b) -6 c) 3

x d) -3 e) 5

26.Hallar el área de la región formada por las gráficas de

las funciones “F” y “G” tales que: F

(x) = |x - 5| ; G

(x) = 3

22.Si la gráfica de la función:

F(x)

= |||x - 3| - 2| -1| es aproximadamente:

27. Si: ab < 0, indicar la gráfica de la función:

y - b2 = ax (ax - 2b)

y y

a

Hallar “m + n + p + a”

m n p a) b)

x x

a) 2 b) 4 c) 12 y y

d) 14 e) 18 x

23.Determine el área de la región formada por la función: c)

x d)

F(x)

= - |x| + 4 y el eje de las abscisas. y

a) 8 u2 b) 12 c) 16 x

d) 32 e) 64 e)

F

28.Graficar: x - 1

3. Construir la gráfica de la función:

F(x)

= -3

y

1

a) 3 x

y

b) -1 x

y

a) 3

y

c)

F(x)

x

x

F(x) y

x

b) -3

y

d)

y y -3 F(x) x

3 3

c) x

y

d) -1 x y

e) 3

F(x)

x

e) 1 3 x

4. Graficar: y = |x - 2|

Autoevaluación

1. ¿Cuál de las siguientes gráficas no pertenece a una

función?

y F(x)

x a) 2

y F(x)

b) x 2

y F(x)

a)

x

y

F(x)

b) x

y

c)

-2

F(x)

F(x)

x

y

y

F(x)

d) x 2

y F(x)

c)

x

y F(x)

d) x

e) x

-2

y

F(x)

e)

5. Hallar el área de la región sombreada formada por la recta “L” y los ejes de coordenadas, siendo:

x

2. Construir la gráfica de la función:

F(x)

F(x)

10 - 2x =

5

F(x) =

x - 2

y

(x)

a)

y F(x)

b) L x x

y

F(x)

c) 2 x

-2 x

y

F(x)

d) x

a) 5 b) 10 c) 15 d) 40 e) 20

F(x) y

e) 2 x