FUNCIONES

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada

Que cumple con las siguientes dos condiciones:

1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados

con elementos de Y, es decir, 2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un

único elemento de Y, es decir, si

Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un)

se denota , en lugar de

Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.

Dominio

El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que

puede transformar, se denota o bien y está definido por:

Rango

El rango de está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto

de todos los objetos transformados, se denota o bien y está definida por:

Funciones según tipo de aplicación

Dados dos conjuntos X e Y, podemos clasificar a todas las funciones definidas entre ellos, en:

Función inyectiva

Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,

O lo que es lo mismo,

(Una función f: A--> B se dice inyectiva o uno a uno si y sólo si elementos distintos en A le corresponden imágenes distintas en B).

Función sobreyectiva

Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el

conjunto imagen . Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,

(Una función f: A-->B se dice epiyectiva o sobre si y sólo si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A).

Estas funciones también se conocen como exhaustivas o epiyectivas.

Función biyectiva

Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

Ejemplos:

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

BiyectivaNo sobreyectiva, no

inyectiva

De los siguientes ejemplos. ¿Cuáles es (son) función(es) inyectiva o 1 a 1?

De los siguientes ejemplos. ¿Cuál(es) es (son) función(es) epiyectiva o sobre?

Función compuesta o composiciones de funciones

Dados dos funciones f: A--> B --> C queremos definir una nueva función desde x a

z utilizando las funciones f y g. Tal función se denotará por g o f y se llama

compuesta de f por g (o la composición) de f o g

Son tres funciones:

Se tiene que f(x) = 2x - 2 y g(x) = x + 2; entonces

(f o g) (x)=

A) 2X

B) 2X - 2

C) 2X + 2

D) 2X + 4

E) 2X + 6

Solución:

f(x) = 2x - 2 y g(x) = x + 2; entonces (f o g) (x) =

f(x +2) =

= 2 (x+2) - 2

= 2x + 4 - 2

= 2x + 2

(f o g) (x)= 2x + 2

Funciones de una variable

Si a cada elemento x de un conjunto X se  le hace corresponder, mediante una regla o fórmula, un elemento y, y sólo uno de otro conjunto Y, dicha correspondencia se denomina  función. El conjunto X se llama Dominio de la función y el conjunto Y Contradominio (codominio) o Dominio de imágenes. Una función es pués un conjunto de pares ordenados (x, y) en donde no puede haber dos parejas distintas en que se repita el primer elemento.

 Definición de función de una variable: Sea X un conjunto de números reales, una función  f  de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a X uno y sólo un número real  y que pertenece a un conjunto Y. Cada elemento de Y queda notado y determinado por  y = f (x).

Ejemplo de funciones de una variable independiente:

          La expresión de la función (1) indica que para hallar la imagen de un valor particular de x, debemos multiplicarlo por 3 y al resultado restarle 2 unidades. La fórmula de la (2) hace que a los valores de x se les eleve a la tercera potencia, al resultado se le reste 7 unidades y al total se le saque la raíz cuadrada. En la práctica, lo que debemos hacer, para hallar el valor correspondiente de la función para un valor particular de x (que pertenece, obviamente, al dominio de la función), es reemplazar en la expresión la x por el valor particular asignado y efectuar las operaciones indicadas. Calculemos, por ejemplo, la imagen para x igual a 2 en las funciones (1) y (2):

 

Otra notación adecuada para establecer el conjunto de pares ordenados de una función de una variable independiente es:

        A x e y se les llama variables, a la x: variable independiente, a la y: variable dependiente. La razón de ello es que la x puede tomar valores arbitrarios (siempre y cuando pertenezcan al dominio de la función); mientras que la y obtiene su valor dependiendo del asignado a x y, después de pasar por las operaciones que indica la fórmula de la función. Como se puede colegir, el dominio de una función es aquel conjunto de números que puede tomar la variable independiente. Si estamos trabajando con los números reales, por ejemplo, debemos tener en cuenta dos restricciones importantes: "la división por 0 no existe" y "la raíz de índice par de números negativos no está definida en los reales". El dominio de una función se halla, por lo general, de una forma analítica. Para hallar el contradominio de una función es aconsejable deducirlo observando la gráfica de dicha función.Ejemplo ilustrativo:Hallar el dominio de las siguientes funciones,