Funcion Delta de Dirac
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Delta de Dirac
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Delta de DiracLa delta de Dirac (inapropiadamente llamada funcin delta de Dirac) es una distribucin (funcin generalizada) introducida por primera vez por el fsico ingls Paul Dirac y, como distribucin, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:
Diagrama esquemtico de la funcin delta de Dirac.
Siendo
para el caso
En fsica, la delta de Dirac puede representar la distribucin de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta funcin constituye una aproximacin muy til para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstraccin matemtica que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina tambin funcin de impulso. Adems, la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas. Concretamente, se tiene la siguiente relacin con la funcin escaln:
Intuitivamente se puede imaginar la funcin (x) como una funcin que tiene un valor infinito en x = 0; tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno.
DefinicionesLa delta de Dirac es una funcin generalizada que viene definida por la siguiente frmula integral:
La delta de Dirac no es una funcin estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requerira tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el lmite de una sucesin de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergera hacia infinito; de ah la "definicin convencional" dada por la tambin convencional frmula aplicada a las funciones definidas a trozos:
Es frecuente que en fsica la delta de Dirac se use como una distribucin de probabilidad idealizada; tcnicamente, de hecho, es una distribucin (en el sentido de Schwartz). En trminos del anlisis dimensional, esta definicin de implica que posee dimensiones recprocas a dx.
Delta de Dirac
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Definicin como distribucin de densidad
Definicin como lmite de sucesiones de funcionesLa delta de Dirac se define como "lmite distribucional" de una sucesin de funciones que convergen puntualmente a la funcin cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesin de funciones fn(x) converge distribucionalmente cuando:
Donde
es una funcin perteneciente a un espacio vectorial de funciones, y d es un funcional continuo del espacio
vectorial dual (el conjunto de esos elementos continuos es un subespacio vectorial del dual, conocido como espacio dual topolgico del espacio original de funciones. La delta de Dirac centrada se puede definir como el lmite distribucional del funcional dado por es decir, el lmite en el sentido de las distribuciones de una sucesin de funciones tales que: ,
Algunos ejemplos posibles de sucesin de funciones que cumpla lo anterior son:
PropiedadesEstas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una funcin f(x) e integrando teniendo en cuenta que la funcin delta no puede formar parte del resultado a menos que est dentro de una integral. En coordenadas esfricas se tiene:
Delta de Dirac
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Vase tambin delta de Kronecker teora de distribuciones
Enlaces externos Delta de Dirac [1] en MathWorld (en ingls)
Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ DeltaFunction. html
Fuentes y contribuyentes del artculo
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Fuentes y contribuyentes del artculoDelta de Dirac Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46563049 Contribuyentes: Correogsk, Davius, Dianai, Dodo, Dramey, Dusan, Farisori, Jcaraballo, Matdrodes, Mister, Paintman, Parodrilo, Pino, Rouxfederico, Wricardoh, Xenoforme, Yrithinnd, 29 ediciones annimas
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Dirac distribution PDF.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dirac_distribution_PDF.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: EugeneZelenko, Juiced lemon, PAR, Qef, 1 ediciones annimas
LicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/