lgebra de Diagramas de Bloques

FUNCION DE TRANSFERENCIALa aplicacin del concepto de funcin de transferencia est limitada a los sistemas descritos mediante Ecuaciones Diferenciales Lineales Invariantes con el Tiempo (EDLIT). Sin embargo el enfoque de la funcin de transferencia se usa extensamente en el anlisis y diseo de dichos sistemas. En esta seccin veremos sus caractersticas, as como su tratamiento con MATLAB.Definicin y caractersticas:

La Funcin de Transferencia (FdT) de un sistema lineal es el cociente entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, considerando nulas las condiciones iniciales

Es una representacin matemtica de los sistemas lineales donde la relacin entre la entrada y la salida es una ecuacin diferencial lineal del tipo:

Caractersticas:

El denominador de la Funcin de Transferencia se denomina, Polinomio caracterstico: sus races se llaman polos del sistema.

Las races del numerador se denominan ceros del sistema:

5Un sistema fsico es realizable si ai y bi son nmeros reales y ( tiene igual o mayor nmero de polos que de ceros)

Se trata de una caracterstica interna de cada sistema.Es independiente de la entrada del sistema.Conociendo la funcin de transferencia se puede encontrar la repuesta del sistema para cualquier tipo de entrada.

Funcin de Transferencia de un sistema realimentado:

Podemos encontrar la FdT de un sistema realimentado de la siguiente figura:

Funcin de Transferencia para el errorPara ver la evolucin de un sistema slo nos hace falta saber la FdT del mismo y aplicarle una entrada:

Pero a veces interesa saber cmo evoluciona el error del sistema (E(s)) en vez de la salida.

Entonces la FdT para estudiar el error es:

Y mediante esta FdT podremos saber la evolucin del error aplicando:

Funcin de Transferencia para el error en un sistema realimentadoPara un sistema realimentado como el de la figura la FdT del error es

Definimos la FT del error como WE(s),luego:

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Diagrama de Bloques

Un sistema de control puede tener varios componentes que muestren las funciones que cada uno de estos realizan en un sistema de control.

Para mostrar las funciones que lleva a cabo cada componente en la ingeniera de control, por lo general se usa una representacin denominada diagrama de bloques.Un diagrama de bloques de un sistema es una representacin grfica de las funciones que lleva a cabo cada componente. Tal diagrama muestra las relaciones existentes entre los diversos componentes.

En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un smbolo para representar la operacin matemtica que sobre la seal de entrada hace el bloque para producir la salida.La figura muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha que seala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la salida. Tales flechas se conocen como seales.

Observe que las dimensiones de la seal de salida del bloque son las dimensiones de la seal de entrada multiplicadas por las dimensiones de la funcin de transferencia en el bloque.Un diagrama de bloques contiene informacin relacionada con el comportamiento dinmico, pero no incluye informacin de la construccin fsica del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques.Un bloque es usado para indicar una relacin entre las seales de entrada y salida de un sistema.Un sumador es usado para mostrar la adicin o sustraccin de seales, puede tener una infinidad de seales de entrada, pero una nica salida. Una unin indica que una seal se distribuye por varios caminos.

Diagrama de Bloques en el dominio de la Transformada de Laplace El Diagrama de Bloques (DB) en el dominio transformado de un Sistema Lineal (SL) se obtiene reemplazando cada bloque por la Funcin de Transferencia (FT) que lo caracteriza.

Grafica de Flujo de sealesLas graficas de flujo de seales son una alternativa a los diagramas de bloques. A diferencias de ellos que estn formados por bloques, seales, puntos suma y puntos de derivacin. Una grafica de flujo de seales est formada solo por ramas y nodos que representan sistemas y seales respectivamente. Un sistema esta representado por una lnea con una flecha que muestra la direccin del flujo de las seales en el sistema. Adyacente a la lnea escribimos la funcin de transferencia.

G(s)Formula de ganancia de Mason para diagramas de flujo de sealesLa regla de Mason para reducir una grafica de flujo de seales a una sola funcin de transferencia requiere la aplicacin de una formula. La formula de Mason tiene varios componentes que deben evaluarse, para lo cual se estudian algunas definiciones bsicas y despus de esto, se expresa la formula de Mason y algunos ejemplos.

Definicin 1.- Trayecto directo.- Trayecto que va de un nodo de entrada a un nodo de salida sin pasar por ningn otro nodo ms de una vez y siguiendo la misma direccin del flujo de seales.

Definicin 2.- Ganancia de trayecto directo.- Es el producto de ganancias de las ramas encontradas al recorrer el trayecto directo.

Definicin 3.- Malla o Lazo.- Trayecto que inicia en un nodo y termina en el mismo nodo sin pasar por ningn otro nodo ms de una vez y siguiendo la direccin del flujo de seales. Definicin 4.- Ganancia de malla.- Es el producto de ganancia de las ramas encontradas al recorrer la malla o lazo.Definicin 5.- Mallas o lazos que no se tocan.- Son lazos que no tienen nodos en comn.

Definicin 6.- Determine: el numero de trayectos directos, la ganancia del trayecto directo,los lazos, los lazos disjuntos de dos en dos, lazos disjuntos de tres en tres, etc., as como las ganancias correspondientes.

Para determinar la funcin de transferencia del diagrama de flujos debemos de aplicar la siguiente frmula que es denominada Ley de Mason:

Donde:

La determinante es

Continuacin

Ntese los signos alternados de Obsrvese que las sumas se toman sobre todos los posibles caminos desde la entrada a la salida.Ejemplo de diagrama de flujo de seales, la aplicacin de la regla de Mason es como sigue:

1.- solo existe un camino directo (p=1), cuya ganancia es:

2.- Existen cuatro lazos cerrados cuyas ganancias son:

3.- Como existen 4 lazos, hay 6 posibles grupos de 2 lazos ( )

pero de ellos son solo no adyacentes los siguientes:

4.- Como existen 4 lazos, hay 4 posibles grupos de 3 lazos (

), pero de ellos son solo no adyacentes los siguientes:

5.- Como existen 4 lazos, slo hay un posible grupo de 4 lazos

pero estos son adyacentes.6.- De acuerdo con lo anterior, el valor de

es:

7.- Al eliminar los lazos que tocan el nico camino directo slo subsiste el lazo

. Por lo tanto resulta:

8.- Dado que slo hay un camino directo, la funcin de transferencia se calcula como