Funcion compleja

Universidad Politécnica Salesiana. Guamán, Pulla, Quizhpi, San Martin. Función Compleja.

FUNCIÓN COMPLEJA.Luis Pulla Sánchez, Flavio Quizhpi Cuesta, Christian San Martín Feijóo, Telmo Guamán Espinoza.

[email protected], [email protected], [email protected], [email protected], Universidad Politécnica Salesiana

I. RESUMEN.

En cursos de álgebra elemental, además de aprender que existen números complejos, se estudian algunas de sus propiedades. No obstante, en cursos de cálculo es probable que no se utilicen números complejos. En cursos avanzados se pueden utilizar ocasionalmente números complejos. Sin embargo, en esta presentación se introducen los conceptos de análisis complejo, es decir el estudio de funciones de variable compleja. Aunque existen muchas semejanzas entre este análisis y el real, también existen muchas diferencias interesantes y algunas sorpresas.

ABSTRACT. In elementary algebra courses, and learn that there are complex numbers, we study some of its properties. However, in calculus courses is unlikely to use complex numbers. In advanced courses may occasionally use complex numbers. However, in this presentation complex analysis concepts are introduced, namely the study of complex functions. Although there are many similarities between this analysis and real, there are many interesting differences and some surprises.

Palabras Clave: Función compleja, variable, derivada, analítica.

II. INTRODUCCIÓN.

Indudablemente, en matemáticas aparecen números complejos. Al

aprender a resolver la ecuación cuadrática a x2+bx+c=0 por

medio de la formula cuadrática, se observa que las raíces de la ecuación no son reales, sino complejas, cuando el discriminante

b2−4 ac es negativo.

Hace 200 años, más o menos el tiempo que tomo a los números complejos ganar cierta respetabilidad en la comunidad matemática, el símbolo (i) que se utilizaba originalmente como un disfraz para el engorroso símbolo √−1. Ahora simplemente se dice que i es la

unidad imaginaria y se define por medio de la propiedad i2=−1.

Utilizando la unidad imaginaria se construye el número complejo de dos números reales.

III. MARCO TEORICO.

A. NUMERO COMPLEJO.

Un número complejo es cualquier número de la forma:

z=a+ib

Donde a y b, son números reales e i es la unidad imaginaria.

B. FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA.

Cuando tenemos un dominio A que es un conjunto de números z,

se dice que f es una función de variable compleja z o simplemente una función compleja.

La imagen de w , de un número complejo z de algún número

complejo u+iv , esto es:

w=f (z )=u (x , y )+iv(x , y)

Donde uy v son las partes real e imaginaria de w , y son funciones

de valores reales. Además z varía en un conjunto de números complejos S y se le da el nombre de variable compleja.

El conjunto S es el dominio de definición de f (z) y el conjunto de

números complejos que w=f (z ) toma, a medida que z varie

sobre S, se llama rango de valores de la función w=f (z ) .Pero nos encontramos ante el hecho de que no se puede graficar una función compleja w=f (z), puesto que se necesitaría 4 dimensiones para hacerlo.

Algunos ejemplos de funciones de una variable compleja son.

f ( z )=z2−4 z, donde z es cualquier número complejo.

f ( z )= z

z2+1, donde z≠ i y z≠−i

Cada una de estas expresiones puede expresarse así:

f ( z )=z3−4 z

f ( z )= (x+iy )2−4 (x+iy )2

f ( z )= ( x2− y2−4 x )+ i(2 xy−4 y )Entonces:

u ( x , y )= x2− y2−4 x

v ( x , y )=2xy−4 yAun no es posible dibujar una gráfica, una función compleja

w=f (z) puede interpretarse como un mapeo o transformación del plano z, como se aprecia en la figura 1.

Figura 1. Transformación del plano z al plano w.

C. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

Supóngase que una función está definida en una vecindad de zo

excepto posiblemente en el mismo zo. Entonces se dice que f

posee un límite en zo, escrito como:

limz → zo

f ( z )=L

Que quiere decir que los puntos f ( z ) se pueden acercar

arbitrariamente al punto L si se elige el punto z suficientemente

cercano, aunque no igual, al punto zo.

Matemáticas Avanzadas.

1

mailto:[email protected]





Si para todo número real positivo ∈>0, existe un número real

positivo δ >0 tal que:

|f ( z)−L|<∈Como se puede apreciar en la figura 2, para cada ∈−vecindad

de L, existe una δ−vecindad de zodefinida por:

0<|z−zo|<δ

Tal que las imágenes de todos los puntos z≠ zo en esta vecindad

se encuentran en la ∈−vecindad de L.

Figura 1. Significado trigonométrico de un límite complejo.

Pero como z y zoson puntos en el plano complejo, cuando se dice

que existe:

limz → zo

f ( z )

Se entiende que f (z) se acerca a L cuando el punto z se acerca a

zo desde cualquier dirección.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

Límite de la suma.

limz → zo

[ f ( z )+g ( z ) ]=L1+L2

Límite del producto.

limz → zo

f ( z ) g (z )=L1 L2

Límite del cociente.

limz → zo

f ( z )g ( z )

=L1

L2

L2≠ 0

D. CONTINUIDAD EN UN PUNTO.

Una función f es continua en un punto zo si:

limz → zo

f ( z )=f ( z0 )

Si tenemos que si dos funciones f y g son continuas en un punto

zo, entonces su suma y su producto son continuos en zo. El

cociente de las dos funciones es continuo en zo siempre y cuando

g(zo)≠ 0.

Una función definida por:

f ( z )=an zn+an−1 zn−1+…+a2 z2+a1 z+a0

an≠ 0

Donden es un entero no negativo y los coeficientes a i,

i=0,1 , …, n, son constantes complejas, se denomina polinomio

de grado n, de modo que la función polinómica simple f ( z )=z

es continua en todos los puntos, esto es, en todo el plano z y por tanto en cualquier punto.

Una función racional:

f ( z )= g ( z )h (z )

Donde g y h son funciones polinomicas, es continua excepto en

aquellos puntos para los cuales h ( z )=0

E. DERIVADA.

La derivada de una función compleja se define en términos de un límite. El símbolo utilizado ∆ z es el número complejo

∆ x+i ∆ y .

Se dice que una función f (z) es diferenciable e un punto zo si el

siguiente límite existe:

f ' ( z0 )= limz → z0

f ( z0−∆ z )−f (z0)∆ z

Esta expresión indica la derivada de f en z0.

Si se hace z0+∆ z=z, se tiene ∆ z=z−z0, entonces la

derivada de f puede escribirse como:

f ' ( z0 )= limz → z0

f (z)−f (z0)z−z0

Para esta formula existe un numero complejo f ' ( z0 ) para el que,

dado un ∈>0, puede hallarse un δ >0 tal que.

|f (z)−f (z0)z−z0

−f ' ( z0 )|<∈Cuando

|z−z0|<δ

REGLAS DE DERIVACIÓN.

Si f y g son derivables en un punto z, y c es una contante compleja, entonces:

Regla de la constante

ddz

c=0

ddz

cf ( z )=c f ' ( z )

Regla de la suma

ddz

[ f ( z )+g ( z ) ]=f ' ( z )+g ' ( z )

Regla del producto

ddz

[ f ( z ) g ( z ) ]=f ( z ) g' ( z )+g ( z ) f ' ( z )

Regla del cociente


2


ddz [ f ( z )

g (z ) ]= g ( z ) f ' ( z )−f ( z ) g '(z )

[ g ( z ) ]2

Regla de la cadena

ddz

f ( g ( z ) )=f ' ( g ( z ) ) g' ( z )

Regla de potencias de z.

ddz

zn=n zn−1

Siendo n un entero.

F. ANALTICIDAD EN UN PUNTO.

Se dice que una función compleja w=f (z) es analítica en un

punto z0 si f es derivable en z0y en todo punto de alguna vecindad

de z0.

Una función es analítica en un dominio D si es analítica en todos los puntos D.

La Analticidad en un punto es una propiedad de vecindad, por tanto, no es sinónimo de derivabilidad en un punto.

Una función que es analítica en cualquier punto z es una función

entera. Los polinomios son derivables en todo punto z y por esta razón son funciones enteras.

IV. DESARROLLO.

Programa. Gráficas de f (z).

disp('****** Funcion Compleja ******');

disp('');

fz = input('Ingrese la funcion compleja f(z): ');

cplxroot(2);

z=cplxgrid(12);

cplxmap(z,fz);

xlabel('Parte Real Re(z)');

ylabel('Parte Imaginaria Im(z)');

zlabel('Parte real de la imagen de la funcion, Re(f(z))');

Ejercicio 14. Derivar.

f ( z )= ( z2−4 )(z2+1)Derivando

f ' ( z )=2 z ( z2+1 )+2 z ( z2−4 )f ' ( z )=2 z (z2+z2+1−4)

f ' ( z )=2 z (2 z2−3 )Grafica de f (z)

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Parte Real Re(z)Parte Imaginaria Im(z)

Par

te r

eal d

e la

imag

en d

e la

fun

cion

, R

e(f(

z))

Ejercicio 18. Encontrar el valor de la derivada de:

f ( z )= z2

(z+i)2

f ' ( z )=2 z¿¿

f ' ( z )=( z+ i)(2 z2+2 zi−2 z2)

(z+ i)4

f ' ( z )= 2 zi

(z+i)3

Grafica de f (z)

-1-0.5

00.5

1 -1-0.5

00.5

1

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

x 1032

Parte Imaginaria Im(z)Parte Real Re(z)

Par

te r

eal d

e la

imag

en d

e la

fun

cion

, R

e(f(

z))

Ejercicio 22. Encontrar el calor de la derivada de:

f ( z )=z3−2 z

f ' ( z )=3 z2−2Reemplazamos el valor de z=-i

f ' ( z )=3 z2−2


3


f ' (−i )=3 (−i)2−2

f ' (−i )=3 i2−2

f ' (−i )=3 (√−1 )2−2

f ' (−i )=−5

Grafica de f (z)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

01

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Parte Real Re(z)Parte Imaginaria Im(z)

Par

te r

eal d

e la

imag

en d

e la

fun

cion

, R

e(f(

z))


4


V. CONCLUSIONES

Los números complejos se introducen en los cálculos matemáticos para dar sentido a las raíces obtenidas de los números negativos, con el fin de que todas las operaciones puedan ser resueltas matemática y gráficamente.

Mediante los procesos vistos en esta presentación pudimos asemejar los cálculos de derivación y límites de las variables reales a las variables complejas. Además Matlab nos permitió representar los resultados de dichos cálculos o en si las funciones, en gráficas que ya nos fue fácil de interpretar analíticamente.

En si podemos decir que los números complejos con la base y la estructura matemática más importante para el análisis y desarrollo de nuevas propuestas tanto científicas como intelectuales de la humanidad en el transcurso de los siguientes años.

VI. REFERENCIAS

[1]. Dennis G. Zill, Jacqueline M. Dewar, Michael Cullen. Calculo Vectorial, Analisis de Fourier y Analisis Complejo. Tercera Edición. Capítulo 9: Funciones de una variable compleja. Pág. 416.

[2]. Erwin Kreyszig, Matematices Avanzadas Para Ingeniería. Volumen II. Capítulo 12: Números Complejos. Funciones Analíticas complejas. Pag. 129.

Autor:

Telmo Guaman

Luis Pulla

Mateo Quizhpi

Cristhian San Martín

Ingeniería Eléctrica.

Universidad Politécnica Salesiana

Enero 2014


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Funcion compleja

Engineering

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