Funcionales lineales

22/09/2014 Kenyer Aguiar

Dual de un espacio normado

Sea X espacio vectorial sobre K(K = R oC)

Definicion

Un funcional lineal en X es una funcion f : X K que es lineal.El dual algebraico de X es

X = {f : X K tal que f es funcional lineal }

El dual topologico de X es

X = L(X ,K) = {f : X K tales que f es funcional lineal continuo }

Proposicion

Sea X un espacio normado entonces X es un espacio de Banach.

Dual de un espacio normado

Sea X espacio vectorial sobre K(K = R oC)

Definicion

Un funcional lineal en X es una funcion f : X K que es lineal.El dual algebraico de X es

X = {f : X K tal que f es funcional lineal }

El dual topologico de X es

X = L(X ,K) = {f : X K tales que f es funcional lineal continuo }

Proposicion

Sea X un espacio normado entonces X es un espacio de Banach.

Dual de un espacio normado

Sea X espacio vectorial sobre K(K = R oC)

Definicion

Un funcional lineal en X es una funcion f : X K que es lineal.

El dual algebraico de X es

X = {f : X K tal que f es funcional lineal }

El dual topologico de X es

X = L(X ,K) = {f : X K tales que f es funcional lineal continuo }

Proposicion

Sea X un espacio normado entonces X es un espacio de Banach.

Dual de un espacio normado

Sea X espacio vectorial sobre K(K = R oC)

Definicion

Un funcional lineal en X es una funcion f : X K que es lineal.El dual algebraico de X es

X = {f : X K tal que f es funcional lineal }

El dual topologico de X es

X = L(X ,K) = {f : X K tales que f es funcional lineal continuo }

Proposicion

Sea X un espacio normado entonces X es un espacio de Banach.

Dual de un espacio normado

Sea X espacio vectorial sobre K(K = R oC)

Definicion

Un funcional lineal en X es una funcion f : X K que es lineal.El dual algebraico de X es

X = {f : X K tal que f es funcional lineal }

El dual topologico de X es

X = L(X ,K) = {f : X K tales que f es funcional lineal continuo }

Proposicion

Sea X un espacio normado entonces X es un espacio de Banach.

Funcionales lineales continuos

Definicion (Nucleo de un funcional lineal)

Dado un funcional lineal f el nucleo de f es :

ker(f ) = {x X : f (x) = 0}.

Teorema

Sean X un espacio normado y f un funcional lineal en X , entoncesf es continuo si y solo si ker(f ) es cerrado.

El teorema de Hanh- Banach

Definicion (Funcional sublineal)

Sea X un espacio vectorial real. Un funcional sublineal en X es unafuncion p : X R que satisface

(i) p(x + y) p(x) + p(y) para todo x , y X .(ii) p(x) = p(x) para todo x X y 0.

Ejemplo

Sea b = {bn} una sucesion de numeros reales, entonces

f (b) = lmn bn

es un funcional lineal. Ademas el lmite superior

p(b) = lmnbn

es un funcional sublineal.

El teorema de Hanh- Banach

Lema

Sean X un espacio vectorial real y V una variedad lineal propia deX , xo X \ V y

V1 = V + {xo : R}.

Sean p : X R un funcional sublineal y f : V R tales que

f (x) p(x) para todo x V .

Entonces existe f1 : V1 R funcional lineal extension de f tal que

f1(x) p(x) para todox V1.

El teorema de Hanh- Banach

Lema

Sean X un espacio vectorial real y V una variedad lineal propia deX , xo X \ V y

V1 = V + {xo : R}.

Sean p : X R un funcional sublineal y f : V R tales que

f (x) p(x) para todo x V .

Entonces existe f1 : V1 R funcional lineal extension de f tal que

f1(x) p(x) para todox V1.

Teorema de Hanh-Banach caso espacio vectorial real

Teorema (Hanh- Banach, espacio vectorial real)

Sea X un espacio vectorial real y p : X R un funcional sublineal.Sean M una variedad lineal propia de X y f un funcional linealdefinido en M. Si f (x) p(x) para todo x M entonces existe unfuncional lineal F : X R tal que

(i) F (x) = f (x) para todo x M.(ii) F (x) p(x) para todo x X .

Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo

Sea X espacio vectorial complejo.

Proposicion

Sea f funcional lineal complejo en X , entonces existen u y vfuncionales R-lineales a valores reales tales que f = u + iv .

Proposicion

Sea f una funcional lineal compleja en X y sea u = Re f entoncesf (x) = u(x) iv(x), es decir

Im f (x) = Re f (ix).

Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo

Sea X espacio vectorial complejo.

Proposicion

Sea f funcional lineal complejo en X , entonces existen u y vfuncionales R-lineales a valores reales tales que f = u + iv .

Proposicion

Sea f una funcional lineal compleja en X y sea u = Re f entoncesf (x) = u(x) iv(x), es decir

Im f (x) = Re f (ix).

Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo

Sea X espacio vectorial complejo.

Proposicion

Sea f funcional lineal complejo en X , entonces existen u y vfuncionales R-lineales a valores reales tales que f = u + iv .

Proposicion

Sea f una funcional lineal compleja en X y sea u = Re f entoncesf (x) = u(x) iv(x), es decir

Im f (x) = Re f (ix).

Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo

Sea X espacio vectorial complejo.

Proposicion

Sea f funcional lineal complejo en X , entonces existen u y vfuncionales R-lineales a valores reales tales que f = u + iv .

Proposicion

Sea f una funcional lineal compleja en X y sea u = Re f entoncesf (x) = u(x) iv(x), es decir

Im f (x) = Re f (ix).

Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo

Proposicion

Hay una correspondencia biunvoca entre los funcionales linealesreales y los funcionales lineales complejos.

Proposicion

Sea X un espacio vectorial complejo. Dado u : X R un funcionalreal, consideremos el funcional complejo f (x) = u(x) iu(ix).Entonces para cada x X existe (x) R tal que

|f (x)| = u(ei(x)).

Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo

Proposicion

Hay una correspondencia biunvoca entre los funcionales linealesreales y los funcionales lineales complejos.

Proposicion

Sea X un espacio vectorial complejo. Dado u : X R un funcionalreal, consideremos el funcional complejo f (x) = u(x) iu(ix).Entonces para cada x X existe (x) R tal que

|f (x)| = u(ei(x)).

Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo

Proposicion

Hay una correspondencia biunvoca entre los funcionales linealesreales y los funcionales lineales complejos.

Proposicion

Sea X un espacio vectorial complejo. Dado u : X R un funcionalreal, consideremos el funcional complejo f (x) = u(x) iu(ix).Entonces para cada x X existe (x) R tal que

|f (x)| = u(ei(x)).

Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo

Definicion (Seminorma)

Sea X un espacio vectorial complejo. Una seminorma en X es unafuncion p : X R tal que

(i) p(x + y) p(x) + p(y) para x , y X .(ii) p(x) = ||p(x) para x X y C.

Teorema (Hanh-Banach caso esp vect complejo)

Sea X espacio vectorial complejo y sea p : X R una seminorma.Sea M un a variedad lineal propia de X y sea f : M C unfuncional lineal tal que |f (x)| p(x) para todo x M. Entoncesexiste un funcional lineal F : X C tal que

(i) F (x) = f (x) para x M.(ii) |F (x)| p(x) para x X .

Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo

Definicion (Seminorma)

Sea X un espacio vectorial complejo. Una seminorma en X es unafuncion p : X R tal que

(i) p(x + y) p(x) + p(y) para x , y X .(ii) p(x) = ||p(x) para x X y C.

Teorema (Hanh-Banach caso esp vect complejo)

Sea X espacio vectorial complejo y sea p : X R una seminorma.Sea M un a variedad lineal propia de X y sea f : M C unfuncional lineal tal que |f (x)| p(x) para todo x M. Entoncesexiste un funcional lineal F : X C tal que

(i) F (x) = f (x) para x M.(ii) |F (x)| p(x) para x X .

Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo

Definicion (Seminorma)

Sea X un espacio vectorial complejo. Una seminorma en X es unafuncion p : X R tal que

(i) p(x + y) p(x) + p(y) para x , y X .(ii) p(x) = ||p(x) para x X y C.

Teorema (Hanh-Banach caso esp vect complejo)

Sea X espacio vectorial complejo y sea p : X R una seminorma.Sea M un a variedad lineal propia de X y sea f : M C unfuncional lineal tal que |f (x)| p(x) para todo x M. Entoncesexiste un funcional lineal F : X C tal que

(i) F (x) = f (x) para x M.(ii) |F (x)| p(x) para x X .

Teorema de Hanh-Banach caso esp normado

Proposicion

Sea X un espacio vectorial complejo y normado. Dado u : X Run funcional lineal real y continua, consideremos el funcional linealcomplejo f (x) = u(x) iu(ix). Entonces f es continuo yf = u.

Teorema (Hanh-Banach caso esp vect normados)

Sea X un K - espacio vectorial normado, M un subespacio propiode X y f : M K un funcional lineal continuo. Entonces existe unfuncional lienal continuo F : X K tal que

(i) F (x) = f (x) para x M(ii) F = f .

Corolarios del teorema de Hanh-Banch

Corolario

Sea (X , ) un espacio normado y sea xo X , xo 6= 0, entoncesexiste F X tal que F (xo) = xo 6= 0 y F = 1.

Corolario

Sea (X , ) es pacio normado y sea xo X . Si F (xo) = 0 paratodo F X entonces xo = 0.

Corolario

Sea (X , ) espacio normado, sea M un subespacio (cerrado) de Xy sea xo X tal que d = dist(xo ,M) > 0, entonces existe F X tal que

F (M) = {0}, F (xo) = 1, F = 1/d .

Corolarios del teorema de Hanh-Banch

Corolario

Sea (X , ) un espacio normado y sea xo X , xo 6= 0, entoncesexiste F X tal que F (xo) = xo 6= 0 y F = 1.

Corolario

Sea (X , ) es pacio normado y sea xo X . Si F (xo) = 0 paratodo F X entonces xo = 0.

Corolario

Sea (X , ) espacio normado, sea M un subespacio (cerrado) de Xy sea xo X tal que d = dist(xo ,M) > 0, entonces existe F X tal que

F (M) = {0}, F (xo) = 1, F = 1/d .

Corolarios del teorema de Hanh-Banch

Corolario

Sea (X , ) un espacio normado y sea xo X , xo 6= 0, entoncesexiste F X tal que F (xo) = xo 6= 0 y F = 1.

Corolario

Sea (X , ) es pacio normado y sea xo X . Si F (xo) = 0 paratodo F X entonces xo = 0.

Corolario

Sea (X , ) espacio normado, sea M un subespacio (cerrado) de Xy sea xo X tal que d = dist(xo ,M) > 0, entonces existe F X tal que

F (M) = {0}, F (xo) = 1, F = 1/d .

Corolarios del teorema de Hanh-Banch

Corolario

Sea (X , ) un espacio normado y sea xo X , xo 6= 0, entoncesexiste F X tal que F (xo) = xo 6= 0 y F = 1.

Corolario

Sea (X , ) es pacio normado y sea xo X . Si F (xo) = 0 paratodo F X entonces xo = 0.

Corolario

Sea (X , ) espacio normado, sea M un subespacio (cerrado) de Xy sea xo X tal que d = dist(xo ,M) > 0, entonces existe F X tal que

F (M) = {0}, F (xo) = 1, F = 1/d .