Física I Grado en Ingeniería de Organización Industrial...

Ana Mª Marco Ramírez Curso 2017/2018

Dpto.Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

El sólido rígido

Física I Grado en Ingeniería de

Organización IndustrialPrimer Curso

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ÍndiceCondición geométrica de rigidez.Condición cinemática de rigidez.Campo de velocidades de un sólido rígido.Cantidad de movimiento de un sólido rígido.Momento cinético de un sólido rígido. Momento de inercia.Tª del momento cinético. El péndulo físico.Energía cinética de un sólido rígido.Energía potencial de un sólido rígido.

Condición geométrica de rigidez

Caso particular de sistema de partículas en que las distancias entre dos partículas dadas se mantiene siempre constante.Dadas las partículas i y k, de vectores posición Ԧ𝑟𝑖 y Ԧ𝑟𝑘, con Ԧ𝑟𝑖𝑘 = Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖 ,

se cumple que:

Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖 = Ԧ𝑟𝑖𝑘 = 𝑑𝑖𝑘 = 𝑐𝑡𝑒

(condición geométricade rigidez)

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Índice

Condición geométrica de rigidez.Condición cinemática de rigidez.Campo de velocidades de un sólido rígido.Cantidad de movimiento de un sólido rígido.Momento cinético de un sólido rígido. Momento de inercia. El péndulo físico.Energía cinética de un sólido rígido.Energía potencial de un sólido rígido.

Condición cinemática de rigidez (I)

Partimos de la condición geométrica de rigidez:

Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖 = Ԧ𝑟𝑖𝑘 = 𝑑𝑖𝑘 = 𝑐𝑡𝑒

Elevando al cuadrado la expresión de arriba:Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖

2 = Ԧ𝑟𝑖𝑘2 = 𝑑𝑖𝑘

2

Recordemos que :Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖

2 = Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖 ⋅ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖Derivando el primer miembro:

𝑑 Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖2

𝑑𝑡=𝑑 𝑑𝑖𝑘

2

𝑑𝑡= 0

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Condición cinemática de rigidez (II)

Hemos obtenido:𝑑 Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖

2

𝑑𝑡=𝑑 𝑑𝑖𝑘

2

𝑑𝑡= 0

Derivando el segundo miembro:𝑑 Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖 ⋅ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖

𝑑𝑡= 2

𝑑 Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖𝑑𝑡

∙ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖

= 2 Ԧ𝑣𝑘 − Ԧ𝑣𝑖 ∙ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖Igualando: 2 Ԧ𝑣𝑘 − Ԧ𝑣𝑖 ∙ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖 = 0

Ԧ𝑣𝑘 ∙ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖 = Ԧ𝑣𝑖 ∙ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖

(condición cinemática de rigidez)6

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Índice


Campo de velocidades de un sólido rígido (I)

Cada punto del sólido puede en principio moverse con una velocidad diferente, siempre que se cumpla la condición cinemática de rigidez:

Ԧ𝑣𝑘 ∙ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖 = Ԧ𝑣𝑖 ∙ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖El primer miembro, Ԧ𝑣𝑘 ∙ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖 , es la proyección de Ԧ𝑣𝑘 en la dirección de Ԧ𝑟𝑖𝑘, y elsegundo miembro, Ԧ𝑣𝑖 ∙ Ԧ𝑟𝑘 − Ԧ𝑟𝑖 ,la proyección de Ԧ𝑣𝑖. Y la condición cinemática derigidez nos dice que son iguales.

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Campo de velocidades de un sólido rígido (II)

Llamamos campo de velocidades de un sólido rígido a la distribución de los vectores velocidad de cada punto del sólido. De acuerdo con la condición cinemática de rigidez, podemos decir que el campo de velocidades del sólido rígido es equiproyectivo.Y según el Teorema de Chasles, la ecuación del campo de velocidades es:

Ԧ𝑣𝑖 = Ԧ𝑣𝑂 +𝜔 × Ԧ𝑟𝑖

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Índice


Cantidad de movimiento de un sólido rígido

Vimos que, siendo Ԧ𝑟𝑖′ la posición de una partícula referida al c.m., entonces, Ԧ𝑟𝑖 = Ԧ𝑟𝑐𝑚 + Ԧ𝑟𝑖′

Y derivando: Ԧ𝑣𝑖 = Ԧ𝑣𝑐𝑚 + Ԧ𝑣𝑖′

La cantidad de movimiento del sist. de partículas:Ԧ𝑝 = Σ Ԧ𝑝𝑖 = Σ𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 = Σ𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑐𝑚 + Σ𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖

′ = 𝑀 Ԧ𝑣𝑐𝑚 (1)Usando la ecuación del campo de velocidades:Ԧ𝑝 = Σ Ԧ𝑝𝑖 = Σ𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 = Σ𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑂 + Σ𝑚𝑖 𝜔 × Ԧ𝑟𝑖 = Σ𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑂 +

𝜔 × (Σ𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖) = 𝑀 Ԧ𝑣𝑂 + 𝜔 ×𝑀Ԧ𝑟𝑐𝑚 = 𝑀( Ԧ𝑣𝑂 + 𝜔 × Ԧ𝑟𝑐𝑚) (2)Igualando (1) y (2): Ԧ𝑣𝑐𝑚 = Ԧ𝑣𝑂 +𝜔 × Ԧ𝑟𝑐𝑚 (el c.m. también cumple la ec. del campo de velocidades)

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Índice


Momento cinético de un sólido rígido (I)

Para un sistema de partículas obtuvimos:𝐿 = Ԧ𝑟𝑐𝑚 ×𝑀 Ԧ𝑣𝑐𝑚 + ΣԦ𝑟𝑖

′ ×𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖′ = Ԧ𝑟𝑐𝑚 ×𝑀 Ԧ𝑣𝑐𝑚 + 𝐿′

Donde:

𝐿′ = ΣԦ𝑟𝑖′ ×𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖

′ era el momento cinético del sistema de partículas respecto al c.m. yԦ𝑟𝑐𝑚 ×𝑀 Ԧ𝑣𝑐𝑚 , el momento cinético respecto al origen de coordenadas que tendría una partícula de masa 𝑀 = Σ𝑚𝑖 , que se encontrase en la posición del c.m., Ԧ𝑟𝑐𝑚, y se moviese a la velocidad del c.m., Ԧ𝑣𝑐𝑚.

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Momento cinético de un sólido rígido (II)

En este tema hemos visto que Ԧ𝑣𝑖 = Ԧ𝑣𝑂 + 𝜔 × Ԧ𝑟𝑖 ,

y que Ԧ𝑣𝑐𝑚 = Ԧ𝑣𝑂 +𝜔 × Ԧ𝑟𝑐𝑚Además, sabemos que Ԧ𝑟𝑖 = Ԧ𝑟𝑐𝑚 + Ԧ𝑟𝑖′ y queԦ𝑣𝑖 = Ԧ𝑣𝑐𝑚 + Ԧ𝑣𝑖′

Combinándolo todo:Ԧ𝑣𝑖 = Ԧ𝑣𝑂 + 𝜔 × Ԧ𝑟𝑖 = Ԧ𝑣𝑂 + 𝜔 × Ԧ𝑟𝑐𝑚 + 𝜔 × Ԧ𝑟𝑖′Ԧ𝑣𝑖 = Ԧ𝑣𝑐𝑚 + Ԧ𝑣𝑖

′ = Ԧ𝑣𝑂 + 𝜔 × Ԧ𝑟𝑐𝑚 + Ԧ𝑣𝑖′

Igualando: Ԧ𝑣𝑖′ = 𝜔 × Ԧ𝑟𝑖′

→ 𝐿′ = ΣԦ𝑟𝑖′ ×𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖

′ = Σ𝑚𝑖(Ԧ𝑟𝑖′ × (𝜔 × Ԧ𝑟𝑖′))

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Momento cinético de un sólido rígido (III)

Descomponemos Ԧ𝑟𝑖′ en una parte paralela a 𝜔 y

otra perpendicular a 𝜔: Ԧ𝑟𝑖′ = ℎ𝑖 + 𝑅𝑖,

donde ℎ𝑖 es la parte de Ԧ𝑟𝑖′ paralela a

𝜔, y 𝑅𝑖, la parte de Ԧ𝑟𝑖′ perpendicular a

𝜔 , con ℎ𝑖 ∙ 𝑅𝑖 = 0, y ℎ𝑖2 + 𝑅𝑖

2 = 𝑟𝑖′2

.

𝜔 × Ԧ𝑟𝑖′ = 𝜔 × ℎ𝑖 + 𝜔 × 𝑅𝑖 → 𝜔 × Ԧ𝑟𝑖

′ = 𝜔𝑟𝑖′ sen 𝜃𝑖 =

𝜔 × 𝑅𝑖 = 𝜔𝑅𝑖 → 𝑅𝑖 = 𝑟𝑖′ sen 𝜃𝑖,

y 𝜔 ∙ Ԧ𝑟𝑖′ = 𝜔𝑟𝑖

′ cos 𝜃𝑖 = 𝜔 ∙ ℎ𝑖 + 𝜔 ∙ 𝑅𝑖 = 𝜔ℎ𝑖 →ℎ𝑖 = 𝑟𝑖′ cos 𝜃𝑖 15

Momento cinético de un sólido rígido (IV)

Sustituyendo lo obtenido atrás y usando la fórmula del doble producto vectorial:

𝐿′ = Σ𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖′ × 𝜔 × Ԧ𝑟𝑖

′ = Σ𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖′ × 𝜔 × 𝑅𝑖 =

= Σ𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖′ ∙ 𝑅𝑖 𝜔 − Ԧ𝑟𝑖′ ∙ 𝜔 𝑅𝑖

= Σ𝑚𝑖 ℎ𝑖 ∙ 𝑅𝑖 + 𝑅𝑖 ∙ 𝑅𝑖 𝜔 − ℎ𝑖 ∙ 𝜔 + 𝑅𝑖 ∙ 𝜔 𝑅𝑖= Σ𝑚𝑖𝑅𝑖

2 𝜔 − Σ𝑚𝑖ℎ𝑖𝑅𝑖 𝜔

Vamos a estudiar algunos casos particulares que simplifican la expresión anterior, al anularse el segundo sumatorio, Σ𝑚𝑖ℎ𝑖𝑅𝑖 𝜔 = 0

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Momento cinético de un sólido rígido (V). Momento de inercia

Caso particular 1: Sólido rígido simétrico y todos los puntos del sólido girando en torno a un eje de simetría que pasa por el c.m. (eje de rotación).

Entonces, Σ𝑚𝑖ℎ𝑖𝑅𝑖 𝜔 = 0 por simetría, ya que, para todos los puntos, los sumandos se anulan dos a dos. Y 𝑅𝑖 es la distancia entre i y el eje de giro.

En este caso, 𝐿′ = Σ𝑚𝑖𝑅𝑖2 𝜔 = 𝐼𝑐𝑚𝜔

donde 𝐼𝑐𝑚 = Σ𝑚𝑖𝑅𝑖2 es el momento de inercia del

sólido con respecto a ese eje que pasa por el c.m.

Para una distribución continua:𝐼𝑐𝑚 = 𝜏 𝑟2𝑑𝑚17

Momento cinético de un sólido rígido (VI).

Caso particular 2: Otra forma de que se anule el término Σ𝑚𝑖ℎ𝑖𝑅𝑖 𝜔 es que ℎ𝑖 = 0 ∀𝑖

Entonces, Ԧ𝑟𝑖′ = ℎ𝑖 + 𝑅𝑖 = 𝑅𝑖,

y de nuevo, 𝐿′ = Σ𝑚𝑖𝑅𝑖2 𝜔 = 𝐼𝑐𝑚𝜔

En estos dos casos, se cumple que

𝐿 = Ԧ𝑟𝑐𝑚 ×𝑀 Ԧ𝑣𝑐𝑚 + 𝐼𝑐𝑚𝜔

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Momento cinético de un sólido rígido (VII). Teorema de Steiner.

Caso particular 3: Supongamos ahora que tenemos un sólido rígido que gira en torno a un eje que pasa, no por su centro de masas, sino por un punto fijo 𝑂, en el que por comodidad situaremos el origen de coordenadas. Partiendo

de 𝐿 = Ԧ𝑟𝑐𝑚 ×𝑀 Ԧ𝑣𝑐𝑚 + 𝐼𝑐𝑚𝜔

y sustituyendo Ԧ𝑣𝑐𝑚 = Ԧ𝑣𝑂 +𝜔 × Ԧ𝑟𝑐𝑚,𝐿 = Ԧ𝑟𝑐𝑚 ×𝑀 𝜔 × Ԧ𝑟𝑐𝑚 + 𝐼𝑐𝑚𝜔 =

= 𝑀𝑟𝑐𝑚2 𝜔 −𝑀 Ԧ𝑟𝑐𝑚 ∙ 𝜔 Ԧ𝑟𝑐𝑚 + 𝐼𝑐𝑚𝜔 = 𝑀𝑟𝑐𝑚

2 + 𝐼𝑐𝑚 𝜔 = 𝐼𝜔

Y la expresión 𝐼 = 𝑀𝑟𝑐𝑚2 + 𝐼𝑐𝑚 es el Tª de Steiner

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𝜔

Ԧ𝑟𝑐𝑚O

Teorema del momento cinético (I).

Para los casos particulares 1 y 2, vamos a obtener la derivada temporal del momento cinético, 𝐿 = Ԧ𝑟𝑐𝑚 ×𝑀 Ԧ𝑣𝑐𝑚 + 𝐼𝑐𝑚𝜔 .

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𝑑𝐿

𝑑𝑡=𝑑 Ԧ𝑟𝑐𝑚𝑑𝑡

×𝑀 Ԧ𝑣𝑐𝑚 + Ԧ𝑟𝑐𝑚 ×𝑀𝑑 Ԧ𝑣𝑐𝑚𝑑𝑡

+ 𝐼𝑐𝑚𝑑𝜔

𝑑𝑡=

= Ԧ𝑟𝑐𝑚 ×𝑀 Ԧ𝑎𝑐𝑚 + 𝐼𝑐𝑚 Ԧ𝛼 = Ԧ𝑟𝑐𝑚 × Ԧ𝐹neta,ext + 𝐼𝑐𝑚 Ԧ𝛼

Arriba hemos usado resultados obtenidos en el tema de sistemas de partículas.

Teorema del momento cinético (II).

En el tema de sistemas de partículas, obtuvimos

𝑑𝐿

𝑑𝑡= ΣԦ𝑟𝑖 × Ԧ𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡 = Σ(Ԧ𝑟𝑐𝑚+Ԧ𝑟𝑖′) × Ԧ𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡

= Ԧ𝑟𝑐𝑚 × Σ Ԧ𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡 + ΣԦ𝑟𝑖′ × Ԧ𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡= Ԧ𝑟𝑐𝑚 × Ԧ𝐹neta,ext + ΣԦ𝑟𝑖′ × Ԧ𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡

Comparando las dos expresiones para 𝑑𝐿𝑑𝑡

, sale

ΣԦ𝑟𝑖′ × Ԧ𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡=𝐼𝑐𝑚 Ԧ𝛼

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Teorema del momento cinético (III).

ΣԦ𝑟𝑖′ × Ԧ𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡=𝐼𝑐𝑚 Ԧ𝛼

La suma de los momentos de las fuerzas exteriores referidos al c.m. es igual al producto de la aceleración angular por el momento de inercia del sólido respecto a un eje que pasa por el c.m.

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Teorema del momento cinético (IV).

En el caso 3, obtuvimos 𝐿 = 𝐼𝜔 →𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝐼 Ԧ𝛼

Entonces, 𝑑𝐿

𝑑𝑡= ΣԦ𝑟𝑖 × Ԧ𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡 = 𝐼𝛼

La suma de los momentos de las fuerzas exteriores referidos al origen 𝑂 es igual al producto de la aceleración angular por el momento de inercia del sólido respecto a un eje que pasa por el origen.

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Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010


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Ejemplo: El péndulo físico (I)

Objeto rígido de masa mOscila alrededor de un eje que pasa por un punto fijo

Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: oscilaciones¿Es un M.A.S.?

Eje

m



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El péndulo físico (II)

Eje

senM mgD cmM r mg

Segunda Ley de Newton para una rotación:

2

2

dI

dt

senmgD

Si sen

2

2

d mgD

dt I

Ecuación diferencial de un MAS

cm

cm

r D

r D D

ΣԦ𝑟𝑖 × Ԧ𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡 = ΣԦ𝑟𝑖 × Ԧ𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡 = 𝐼 Ԧ𝛼

𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡=𝑑2𝜙

𝑑𝑡2

m



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El péndulo físico (III)

Eje

2

2

d mgD

dt I

Solución:

0 cos( )t con: mgD

I

Periodo del péndulo físico:2

2I

TmgD

• Puede usarse para medir I

• Si I=mD2: T del péndulo simple

m

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Índice


Energía cinética de un sólido rígido (I)

Para un sistema de partículas, obtuvimos:𝐾 = 1

2𝑀𝑣𝑐𝑚2 + Σ12𝑚𝑖𝑣𝑖′

2 = 12𝑀𝑣𝑐𝑚

2 + 𝐾′

Vamos a sustituir en 𝐾′ la expresión obtenida para Ԧ𝑣𝑖′:𝐾′ = Σ12𝑚𝑖𝑣𝑖′

2 = Σ12𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖′ ⋅ Ԧ𝑣𝑖′ = Σ12𝑚𝑖 𝜔 × Ԧ𝑟𝑖′) ⋅ (𝜔 × Ԧ𝑟𝑖′

= Σ12𝑚𝑖 𝜔 × 𝑅𝑖) ⋅ (𝜔 × 𝑅𝑖

Recordando una de las aplicaciones del doble producto vectorial:

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A B C D C D A B C B D A A D B A C B D A D B C

Energía cinética de un sólido rígido (II)

𝐾′ = Σ12𝑚𝑖 𝜔 ⋅ 𝜔 𝑅𝑖 ⋅ 𝑅𝑖 − 𝜔 ⋅ 𝑅𝑖 𝜔 ⋅ 𝑅𝑖

= 12Σ𝑚𝑖𝑅𝑖

2 𝜔2 = 12𝐼𝑐𝑚𝜔

2

Donde, recordemos, 𝑅𝑖 = 𝑟𝑖′ sen 𝜃𝑖 , es la componente de Ԧ𝑟𝑖

′ según la dirección normal a 𝜔, y la distancia de la partícula i al eje de giro, e

𝐼𝑐𝑚 = Σ𝑚𝑖𝑅𝑖2 es el momento de inercia del

sólido con respecto a un eje de simetría que pasa por el c.m.

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Energía cinética de un sólido rígido (III)

Por tanto, hemos llegado a la expresión:𝐾 = 1

2𝑀𝑣𝑐𝑚

2 + 𝐾′ = 12𝑀𝑣𝑐𝑚

2 + 12𝐼𝑐𝑚𝜔

2

donde

el término 12𝑀𝑣𝑐𝑚

2 es la energía cinética de traslación del c.m., y

el término 12𝐼𝑐𝑚𝜔

2, la energía cinética de rotación del sólido rígido en torno a un eje que pasa por su c.m.

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Índice


Energía potencial de un sólido rígido

La energía potencial 𝑈 de un sistema de partículas (y por tanto la del caso particular que constituye el sólido rígido) se obtiene sumando las energías potenciales de cada una de las partículas:

𝑈 = 𝑈1 Ԧ𝑟1 + 𝑈2 Ԧ𝑟2 +⋯ =

𝑖

𝑈𝑖 Ԧ𝑟𝑖

Para el caso gravitatorio, tomando Ԧ𝑔 = −𝑔𝑘,

quedaría 𝑈𝑖 Ԧ𝑟𝑖 = 𝑚𝑖𝑔𝑧𝑖

𝑈 = 𝑚1𝑔𝑧1 +𝑚2𝑔𝑧2 +⋯ =

𝑖

𝑚𝑖𝑧𝑖 𝑔 = 𝑀𝑧𝑐𝑚𝑔

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