Formulas t Cola

Modelo M |M |1| ∞| ∞

Suposiciones del modelo

En esta sección se presentan fórmulas que pueden utilizarse para determinar las características de operación constante

de una línea de espera de canal único. Las fórmulas son apropiadas si las llegadas siguen una distribución de probabilidad

de Poisson y los tiempos de servicio llevan una distribución de probabilidad exponencial y la cola tiene una disciplina

FIFO.

Las características de operación presentadas en las siguientes ecuaciones son apropiadas sólo cuando la tasa de servicios

µ es mayor que la tasa de llegadas λ expresado de otra manera, cuando λ/µ < 1. Si no existe esta condición, la línea

de espera seguirá creciendo sin límite porque la instalación de servicio no tiene su�ciente capacidad para atender a las

unidades que llegan.

λ = número medio de llegadas por periodo de tiempo (tasa de llegadas)

µ = número medio de servicios por periodo de tiempo (tasa de servicios)

Características operativas

1. Factor de utilización del sistema o probabilidad de que el sistema este ocupado. (fracción promedio de tiempo que los

servidores individuales están utilizando para atender a los clientes):

ρ =λ

µ

2. La probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

P0 = 1− λ

µ

3. La probabilidad de que haya n unidades en el sistema:

Pn =

(λ

µ

)nP0

4. El número promedio de unidades en la línea de espera:

Lq =λ2

µ(µ− λ)

5. El número promedio de unidades en el sistema:

Ls = Lq +λ

µ

6. El tiempo promedio que la unidad pasa en la línea de espera:

Wq =Lqλ

7. El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

Ws =Wq +1

µ

8. La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda cierta cantidad de tiempo t es:

P (Ws > t) = e−µ(1−ρ)t para t ≥ 0

9. La correspondiente probabilidad de que el tiempo de espera en la cola exceda t es:

P (Wq > t) = ρe−µ(1−ρ)t para t ≥ 0

1

Modelo M |M |K| ∞| ∞


En esta sección se presentan fórmulas para determinar la características de operación constante de una línea de espera

de múltiples canales. Estas fórmulas son apropiadas si existen las siguientes condiciones:

1. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.

2. El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial.

3. La tasa de servicios µ es la misma para cada canal.

4. Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego se dirigen al primer canal abierto para que las atiendan.

Como µ es la tasa de servicios de cada canal, kµ es la del sistema de múltiples canales. Al igual que para el modelo

de espera de canal único, las fórmulas de las características de operación de líneas de espera de múltiples canales

se aplican sólo en situaciones en las que la tasa de servicios del sistema es mayor que su tasa de llegadas, en otros

términos, las fórmulas se aplican sólo si kµ > λ.

λ = tasa de llegadas del sistema

µ = tasa de servicios de cada cana

k = número de canales o servidores


1. La fracción promedio de tiempo que los servidores individuales están utilizando para atender a los clientes.

ρ =λ

kµ

2. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

P0 =

[k−1∑n=0

(λ/µ)n

n!+

(λ/µ)k

k!

(kµ

kµ− λ

)]−13. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:

Pn =(λ/µ)n

n!P0 para n ≤ k

Pn =(λ/µ)n

k!k(n−k)P0 para n > k

4. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la atiendan:

Pw =1

k!

(λ

µ

)k ( kµ

kµ− λ

)P0

5. Número promedio de unidades en la línea de espera:

Lq =(λ/µ)kλµ

(k − 1)!(kµ− λ)2P0

6. Número promedio de unidades en el sistema:

Ls = Lq +λ

µ

2

7. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera:

Wq =Lqλ

8. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

Ws =Wq +1

µ

9. La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda cierta cantidad de tiempo t.

Si k − 1− (λ/µ) = 0:

P (Ws > t) = e−µt[1 +

P0(λ/µ)k

k!(1− ρ)µt

]para t ≥ 0

Caso contrario:

P (Ws > t) = e−µt

[1 +

P0(λ/µ)k

k!(1− ρ)∗ 1− e

−µt(k−1−(λµ))

(k − 1− (λ/µ))

]para t ≥ 0

10. La correspondiente probabilidad de que el tiempo de espera en la cola exceda t es:

P (Wq > t) = [1− P (T = 0)] e−kµ(1−ρ)t para t ≥ 0

Donde:

P (T = 0) =k−1∑n=0

Pn

Modelo M |M |1|N


En otros casos, el número máximo de unidades o clientes que buscan ser atendidos se supone que es �nito. En esta

situación la tasa de llegadas al sistema cambia, según el número de unidades que hay en la línea de espera, y se dice

que el modelo tiene una población con fuente �nita. Las fórmulas de las características de operación de los modelos de

línea de espera previos deberán modi� carse para tener en cuenta el efecto de poblaciones �nitas.

El modelo de población con fuente �nita analizada en esta sección se basa en los siguientes supuestos:

Las llegadas de cada unidad sigue una distribución de probabilidad de Poisson, con tasa de llegadas λ.

Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con tasa de servicios µ.

La población de unidades que buscan ser atendidas es �nita.




N = Número máximo de clientes en el sistema


P0 =

[N∑n=0

N !

(N − n)!

(λ

µ

)n]−1

3

2. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:

Pn =N !

(N − n)!

(λ

µ

)nP0 para n = 0, 1, ..., N

3. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para que la atiendan:

PW = 1− P0


Lq = N − λ+ µ

λ(1− P0)


Ls = Lq + (1− P0)


Wq =Lq

(N − Ls)λ

7. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

Ws =Wq +1

µ

Una de las aplicaciones primordiales del modeloM/M/1 con una población �nita se conoce como problema de reparación

de máquinas. En este problema se considera que un grupo de máquinas es la población �nita de çlientes"que puede solicitar

el servicio de reparación. Siempre que una máquina se descompone ocurre una llegada en el sentido de que se inicia una

nueva solicitud de reparación. Si otra máquina se descompone antes de que se haya completado el trabajo de reparación en

la primera, la segunda máquina comienza a formar una "línea de espera"para el servicio de reparación. Otras máquinas que

se descompongan prolongarán la línea de espera. El supuesto de primera en llegar, primera en ser atendida indica que las

máquinas se reparan en el orden en que se descomponen. El modeloM/M/1 muestra que una persona o canal está disponible

para realizar el servicio de reparación. Para poner la máquina de nuevo en operación, cada máquina descompuesta debe ser

reparada por la operación de canal único.

Modelo M |M |K|N


El modelo de población con fuente �nita analizada en esta sección se basa en los siguientes supuestos:

Las llegadas de cada unidad sigue una distribución de probabilidad de Poisson, con tasa de llegadas λ.

Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con tasa de servicios µ.

La población de unidades que buscan ser atendidas es �nita.

Los canales o servidores son múltiples.



N = Número máximo de clientes en el sistema

k = número de canales o servidores

4


P0 =

[k−1∑n=0

(N !

(N − n)!n!

(λ

µ

)n)+

N∑n=k

(N !

(N − n)!k!k(n−k)

(λ

µ

)n)]−1

2. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para que la atiendan:

PW = 1−k−1∑n=0

Pn

3. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:

Pn =

N !(λµ

)nP0

(N − n)!n!; 0 ≤ n ≤ k;

N !(λµ

)nP0

(N − n)!k!k(n−k); k < n ≤ N ;

0; n > N.


Lq =N∑n=k

(n− k)Pn


Ls =

k−1∑n=0

nPn + Lq + k

(1−

k−1∑n=0

Pn

)

6. Tasa efectiva de llegadas, λef , es el número medio de clientes admitidos al sistema por unidad de tiempo de entre los

λ que intentan entrar (λef < λ):

λef = λ(N − Ls); λef = Lambda efectiva.


Wq = Lq/λef

8. Tiempo promedio de clientes en el sistema:

Ws = Ls/λef

9. Número promedio de clientes que se van sin recibir servicio:

Balking = λ− λef

5

Modelo M |M |1|N | ∞


Hay una sola cola, cuya disciplina será FIFO, La capacidad de la cola es limitada, de tal modo que sólo puede haber

N − 1 clientes como máximo en la cola. Por lo tanto, el número máximo de clientes en el sistema es N . Si un cliente

llega y el sistema está lleno, es rechazado y nunca más regresa.

Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón λ, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponen-

cialmente, Exp(λ).

Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(µ), de tal manera que µ es el número medio

de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo.

Probabilidades

El sistema nunca se satura, ya que la capacidad es limitada.

Se deduce la siguiente fórmula para las probabilidades Pn de que haya n clientes en el sistema, donde n ∈ {0, 1, 2, ..., N} :

Pn =

ρn(1− ρ)1− ρN+1

; ρ 6= 1;

1

N + 1; ρ = 1

El valor de ρ determina cómo varían los Pn :

• Si ρ < 1, los estados más probables son los de menor número de clientes, porque la oferta de servicio supera a la

demanda.

• Si ρ > 1, los estados más probables son los de mayor número de clientes, porque la demanda de servicio supera

a la oferta.

• Si ρ = 1, todos los estados son equiprobables, podemos llegar a la fórmula del caso ρ = 1 aplicando la regla de

L′Hopital al límite para ρ→ 1 de la fórmula del caso ρ 6= 1.

Probabilidad de encontrar el sistema vacío:

P0 =1− ρ

1− ρN+1

Factor de utiliación:

ρ =λ

µ

Medidas de rendimiento

Tasa efectiva de llegadas, λef , es el número medio de clientes admitidos al sistema por unidad de tiempo de entre los


λef = λ(1− PN ); λef = Lambda efectiva.

Número promedio de clientes en el sistema (este valor siempre debe ser inferior a N):

Ls =

ρ

1− ρ− (N + 1)ρN+1

1− ρN+1; ρ 6= 1;

N

2; ρ = 1

Número promedio de clientes en la cola:

Lq = λef ·Wq

6

Tiempo promedio de clientes en el sistema:

Ws =Wq +1

µ

Ws = Ls/λef

Tiempo promedio de clientes en la cola:

Wq =Ws −1

µ

Wq = Lq/λef

Modelo M |M |K|N | ∞

Probabilidades

Probabilidad de que hayan n clientes en el sistema:

Pn =

(λµ)nP0

n!; n ≤ K;

(λµ)nP0

K!K(n−K); K < n ≤ N ;

0; n > N

Probabilidad de encontrar el sistema vacío:

P0 =

(K−1∑n=0

(λµ)n

n!+

(λµ)K

K!∗

N∑n=K

ρn−K

)−1

Factor de utilización:

ρ =λ

Kµ

Número promedio de clientes en la cola:

Lq =P0(

λµ)Kρ

K!(1− ρ)2[1− ρN−K (1− (N −K)(1− ρ))

]Número promedio de clientes en el sistema:

Ls =

K−1∑n=0

n · Pn + Lq +K

(1−

K−1∑n=0

Pn

)

Tasa efectiva de llegadas, λef , es el número medio de clientes admitidos al sistema por unidad de tiempo de entre los


λef = λ(1− PN ); λef = Lambda efectiva.

Tiempo promedio de clientes en el sistema:

Ws = Ls/λef

Tiempo promedio de clientes en la cola:

Wq = Lq/λef

Número promedio de clientes que se van sin recibir servicio:

Balking = λ− λef

7

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