1. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Y ESTADISTICADIAGNOSTICO MATEMTICAS II1. Realizar las operaciones indicadas y escribir el resultado sin exponentes negativos o nulos:2 2/36 1/ 3 2 / 3 x a. x x1 / 4 3 2 z k x 3 x k 2 x 3 b. x k y 2 z k 2 z 2 y k 3 2 2 x3 x k z k x 3 c. 2z 2 yk z k xk y2 2. Dados los puntos: A(3, -2), B(-1, -4), C(2, 1) y D (4, 5). Calcular:a. El permetro del cuadriltero descrito por los puntos dados.b. El permetro del cuadriltero descrito por los puntos medios de los lados del cuadriltero primitivo.c. Que figura es este nuevo cuadriltero? Justificar la respuesta.d. Determine el rea del tringulo formado por los puntos A B C.3. Determinar a que seccin cnica corresponde cada una de las siguientes ecuaciones.a. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4b. x2 + 3 8y + y2 = 0c. x2 + 12y = 0d. 9y2 = 36 + 4y2e. 12x2 + 18y2 12x -12y - 5 = 0 x2 2 4. Dada la funcin Sea f ( x) = . Determine: x +1a. El dominio y rango de f(x)b. Las asntotas que posee la funcin f(x).c. Los intervalos de monotona de la funcin f(x)d. El tipo de concavidad en cada uno de los intervalos de la funcin f(x).e. Los extremos existentes y el tipo. 5. Halle la derivada de la funcin: a.b.c. SONIA MARITZA MENDOZA MATEMATICAS II

2. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Y ESTADISTICAPROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMTRICAS GUIA #1 En lastransacciones financieras como Si a este primer trmino le llamamos a y d es la prstamos, depreciaciones, imposiciones, diferencia comn de una PA , los trminos anualidades, ajustes por correccin monetaria, sucesivos de la PA son: entre otros, se usa el inters simple y el intersa, a+d, a+2d, a+3d compuesto en los cual las cantidades Para encontrar el nsimo trmino, lo resultantes al final de cada perodo siguen unaencontramos aplicando la frmula: regla. Tn= a + ( n-1) .d COMPETENCIAS:Tambin resulta conveniente obtener una Identificar progresionesaritmticasy frmula para la suma de los primeros n trminosgeomtricas como sucesiones en las cuales de una progresin aritmtica.la diferencia o el cociente entre trminosSea Sn la suma de los primeros n trminos de unaconsecutivos es constante. n Aplicar lassucesionesaritmticas y progresin aritmtica. S n = (a1 + an )geomtricas en la solucin de problemas de 2Actividad 1.inters simple, compuesto o cualquier otra1. Prueba esta frmula, haciendo n=1,2,y 3situacin que lo requiera. Que encuentras?ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE2. Dada la sucesin 1,5,9,13.... Calcule: PROGRESIONES ARITMTICA. a. El dcimo quinto trmino- Tomemos el ejemplo siguiente:b. El nsimo trmino Un cliente especial pide al banco la cantidad3. (DEPRECIACIN) Una empresa instala una de 5000 dlares a un inters del 1% mensual. El mquina con un costo de 1700 dlares. El est de acuerdo en pagar 200 dlares al valor de la mquina se deprecia capital cada mes, ms el inters en el balance. anualmente en 150 dlares. Determine una Al final del primer mes, paga 200 ms el intersexpresin para el valor de la mquina de 5000 al 1% mensual, que son 50 dlares. En despus de n aos. Si el valor de desecho es consecuencia, el primer pago es de 250 y slo de 200 dlares. Cul es el tiempo de vida le queda debiendo 4800 al banco. El trmino til de la mquina? del segundo mes, paga 200 al capital ms los 4. Calcule la suma de los primeros 20 trminos intereses sobre 4800, los cuales son de 48 dlaresde la progresin. al 1% mensual. Por tanto, su segundo pago es 5. Los pagos mensuales que una dienta de 248 dlares. Continuando en esta forma, susefecta al banco por un prstamo forman pagos sucesivos en dlares son: 250,248,una PA, Si sus pagos sexto y dcimo son de 246,244.... ,202. 345 y 333 dlares, respectivamente. De Esta sucesin es un ejemplo de Progresin cunto ser su dcimo quinto pago al aritmtica. banco?DEFINICIN: Una sucesin se dice que es unaprogresin aritmtica (PA), cuya diferencia INTERES SIMPLEentre cualquier trmino y el anterior es la Sea P una cantidad de dinero invertida a unamisma a lo largo de toda la sucesin. Latasa de inters anual del R por ciento. En undiferencia algebraica entre cada trmino y el ao la cantidad de inters ganada est dadaanterior se denomina, diferencia comn y se por I=P.(R/100)denota por d. Si la inversin es a inters simple, entonces enaos sucesivos el inters slo se paga sobre el En el ejemplo anterior la sucesin de los pagoscapital P y no sobre los montos de inters es una (PA) porque la diferencia entre cualquier generados. As que, se agrega una cantidad trmino y el anterior es 2. Esta PA tiene a 250 constante I a la inversin al final de cada ao. como su primer trmino y a 2 como suDespus de 1 ao el valor total es P + I, despus diferencia comn.de 2 aos es P + 2I, y as sucesivamente. La De manera similar: 2,5,8,11,14... es una PA cuyo sucesin de valores anuales de la inversin, primer trmino es 2 y diferencia comn 3. SONIA MARITZA MENDOZA MATEMATICAS II 3. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Y ESTADISTICAP, P+I, P+2I, P+3I, . . . 1100 + 10% de 1100= 1100(1 + 0.1) =1100(1.1) = forman de esta manera una progresin 1000(1.1)2 aritmtica cuyo primer trmino es P y con Definicin: Una sucesin de trminos se dice diferencia comn 1. Despus de 1 aos el valorque estn en una progresin geomtrica (PG) est dado por P + tI. si la razn de cada trmino al trmino anterior es siempre la misma. Esta razn constante se denomina razn comn de la PG. Puede expresarse como Tn = a . rn-1, en donde a es el Ej. (Inters simple) Se invierte una suma deprimer trmino de la progresin y r es el $2000 con inters simple a una tasa de interscociente constante o razn de la progresin. anual del 12%. Encuentre una expresin para el Para hallar la suma de los primeros n trminos de valor de la inversin t aos despus de que sea (1 r ) realiz. Calcule el valor despus de 6 aos. la progresin geomtrica. s n =;r1 Solucin Aqu P = 2000 y R = 12. Por tanto, la1 r cantidad de inters anual es : Ej. Para determinar los trminos quinto y n-simode la sucesin 2, 6, l 54, Se analiza que tipo deprogresin corresponde, de tal forma que enconsecuencia, los trminos sucesivos tienen una Despus de t aos el inters total agregado es razn constante de 3; esto es r=3. Asimismo, tI= 240t, de modo que el valor de la inversin es: a=2. Por tanto, T5 =ar4 = 2(34) = 162 y P + tI = 2000 + 240t Tn =arn-1 = 2(3n-1) Despus de 6 aos, este valor es: 2000 + 6(240) = 3440 dlares.INTERES COMPUESTOEl caso general de una inversin que crece a un Actividad 2. inters compuesto es: Si una suma P se invierte a 1. (Pago de prstamo) Considere el prstamouna tasa de inters del R por ciento anual, eldel banco al seor Muoz por $5000 a un valor de la inversin al trmino del n-simo aointers mensual del 1%. Cada mes paga est dada por la frmula$200 al capital mas el inters mensual delbalance pendiente. Cunto deber pagaren total en el tiempo que est pagando el Estos valores para n= 1,2,3 forman una PG. Laprstamo? razn comn es r = 1+i y el primer trmino es 2. (Pago de prstamos) Un individuo est dea=T1= P(1+i)acuerdo en pagar una deuda libre deinters de $5800 en cierto nmero de pagos, Actividad 3.cada uno de ellos (empezando por el 1. Calcule la suma de los 10 primeros trminossegundo) debiendo exceder al anterior porde la sucesin 2-4, 8-10,.$20. Si el primer pago es de $100, calcule2. (Planes de ahorro) Cada ao una personacuntos pagos deber efectuar con objeto invierte 500.000 en un plan de ahorros delde finiquitar la deuda.cual recibe intereses a una tasa fija del 8% anual, Cul es el valor de este plan dePROGRESIONES GEOMTRICAS.ahorros al dcimo aniversario de la primera Suponga que se depositan $1000 en un bancoinversin?(incluya el pago actual). que ofrece una tasa de inters del 10% 3. Suponga que $4000 se invierten a plazo fijo capitalizable anualmente. El valor de estaanual tasa de inters nominal anual del 6% inversin (en dlares) al cabo de 1 ao es igualcon capitalizaciones mensuales. Calcule su a: 1000 + l0% de 1000 = 1000(1 + 0,1) = 1100. valor despus de 1 ao y despus de 4 aos. Si la inversin es a inters compuesto, entonces 4. En una sucesin geomtrica el primer durante el segundo ao el inters se paga por trmino es 32 y el quinto es 2; si hay tres la suma total de $1100. Por tanto, el valor de la trminos entre ellos, cules son? inversin (en dlares) al trmino de 2 aos es:SONIA MARITZA MENDOZA MATEMATICAS II 4. A. DERIVAR CON LAS REGLAS BASICAS (TEOREMAS):En los ejercicios 1 a 12 halle la derivada de la funcin dada aplicando los teoremas: B. DERIVADAS DE ORDEN SUPEIOR E IMPLICITAS:En los ejercicios 1 a 5, obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones. C. APLICACIN DE MAXIMOS Y MINIMOS 6. Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un crculo y con la otra un cuadrado. Cmo debe ser cortado el alambre para que:a. La suma de las reas de las dos figuras sea mxima.b. La suma de las reas de las dos figuras sea mnima.PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL 5. 7. Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortandocuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. Cul debe ser la longitud del lado delcuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea mximo? Cul es el volumen de lacaja? x2 + 1 D.Sea f ( x) =. Determine:x2 41. Las asntotas que posee la funcin f(x).2. Los intervalos en los que la funcin f(x) es creciente y en los que decrece.3. El tipo de concavidad en todos los intervalos de la funcin f(x).4. Los extremos existentes y el tipo.5. La grfica de la funcin f(x).E.Analice la continuidad para la funcin f(x). Si es discontinua, aclare de que tipo. Argumente.1/ x2 si x 0f(x)=1si x = 0 F.Realice:Lim 2 + x 21. x2 7+ x 32. La ecuacin de la pendiente de la recta que es tangente a la grfica de la funcin x2y3 6 = 5y3 + x3. La derivada de f(x). Siendo f(x) = (g o h) (x) Donde: g(u) = u3 3u2 + 1 y h(x) = x2 + 2. G.Un ingeniero debe construir un puente colgante y, para ello requiere que todo el peso del puente est bien distribuido a lo largo de los cables de los cuales debe colgar el puente. Las observaciones que ha hecho son las siguientes:Distancia del puente100 metros82.9 metros 10 metros 24.4 metros 100 metros al cable (y) Largo del puente (x)1 metro 2 metros4.85 metros6.75 metros9 metros 1. Represente la grfica de esta situacin en el plano cartesiano.2. Construya la ecuacin correspondiente.3. Identifique si es una funcin y si lo es analice su simetra (par, impar o ninguna).PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL 6. ANTIDERIVADA INTRODUCCINLa operacin de encontrar todas las soluciones de esta ecuacin se Un fsico que conoce la velocidad de una partcula podra deseardenomina integracin, y se denota por el smbolo . La solucin a la conocer su posicin en un instante dado. Un ingeniero que puede ecuacin dy= f(x) dx se denota por y = f(x)dx = F(x) + C de donde f(x) medir la razn variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere es el integrando, dx indica la variable de integracin y C es una conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un constante. Llamamos a la f(x)dx la integral indefinida de f respecto bilogo que conoce la razn a la que crece una poblacin de de x. (2) Realice un esquema donde seale los elementos que bacterias puede interesarse en deducir el tamao de la poblacin en conforman la integracin. algn momento futuro. En cada caso, el problema es hallar una Definicin. La notacin f(x)dx = F(x) + C donde C es una constante funcin cuya derivada sea una funcin conocida. Si existe tal funcin arbitraria, significa que es una primitiva de f. Esto es, F(x) = f(x) para F, se le denomina una antiderivada de f.todo x en el dominio de f. COMPETENCIAS Encuentra mediante el proceso de derivacin, antiderivadasF(x) + C representa una familia de funciones (para cada uno de los generales para una funcin especfica.valores de C se tiene una funcin de esta familia); dicha familia de Resuelve problemas de valor inicial.antiderivadas es llamada la integral indefinida de la funcin f (x) y se Aplica la nocin de antiderivada en la solucin de situacionesdenota con el smbolo f (x)dx, o sea f (x)dx = F(x) + C donde F '(x) = problemas.f(x) ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Reglas bsicas de integracin La pregunta aqu es: cmo encontrar F(x) a partir de f(x)? Por La naturaleza inversa de la integracin y la derivacin se refleja en el ejemplo; suponga que se le pide hallar una funcin F que tiene la hecho de que mediante la sustitucin de F(x) por f(x) en esta siguiente derivada: F (x) = 4 x 3 . A partir del conocimiento de las definicin obtenemos:F(x)dx = F(x) + CLa integracin es la inversa de la derivacin derivadas,probablementese dira queF ( x) = x 4 , yaqued 4Adems si, f(x)dx = F(x) + C entonces: ( x ) = 4 x 3 . Llamamos a la funcin F una antiderivada de F. Otrasddx [ f ( x)dx] = f ( x) La derivacin es la inversa de la integracin antiderivadas de F (x) = 4 x 3 son: G ( x) = x 4 + 5 y H ( x) = x 4 36 . Como dx se puede observar que si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquierEstas dos ecuaciones permiten obtener directamente frmulas de otra antiderivada es de la forma F(x) + C. Esta funcin se llamaintegracin a partir de frmulas de derivacin, como se muestra en el antiderivada general (cada valor de C nos da una antiderivada). siguiente resumen: (1)En que consiste el proceso de antiderivacin? Teorema. Si F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y solo si es de la forma: G(x)= F(x) +C, para todo x en I donde C es una constante arbitraria. Notacin para antiderivadas o primitivas Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F(x) es una dy solucin de la ecuacin diferencial de la forma= f (x) . Cuando se dx resuelve una ecuacin de este tipo, es conveniente escribir en la forma diferencial correspondiente dy= f(x) dx. PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL 7. El orden de una ecuacin diferencial lo determina el orden de la msalta derivada presente en ella. Una ED primer orden; es aquella quesolo contiene primeras derivadas y las de orden superior cuandocontienen derivadas de orden superior a 1.Una ED es lineal si presenta la siguiente forma: Observaciones sobre las ED lineales:1. La variable dependiente y todas sus derivadas slo pueden tener exponente igual a 1.2. Los coeficientes slo involucran la variable independiente x. Ejemplo 1. CalcularSolucin: Para hallar la integral de esta expresin, se debe (reescribir) transformar la expresin dada en una equivalente(integrar) aplicando la frmula (5), se tiene que la antiderivadageneral (simplificada):Ejemplo 2.. Un auto se mueve con velocidad constante de 40 m/s.Cul es la posicin s(t) para un tiempo t, si en t=1 segundo el auto sehallaba en s= 10m?Solucin. Se debe encontrar una ecuacin para s(t) a partir deldsds Ecuacin diferencial (ED). hecho d que v(t) =40; como v(t ) = , tenemos: = 40dtdt Es una ecuacin que contiene las derivadas o diferenciales de una oSi se sabe que la derivada de s(t) es 40, cul ser entonces s(t)? A ms variables dependientes con respecto a una o ms variablespartir de la derivada se aplica la frmula (2) para obtener que la independientes. Tambin definida como una ecuacin que contieneantiderivada general es s(t) = 40t + C (la cual se puede verificar una funcin desconocida y una o ms de sus derivadas.derivando s(t) deducir que s(t)= 40)Cmo se sabe el valor de c? La Clasificacin de las ED.informacin adicional s(1) = 10 significa que en el tiempo 1 segundo la Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar segn tresposicin era 10 m, es decir: 10 = 40(1) + C, de donde c= -30. Por lo caractersticas: tipo, orden y linealidad.tanto s(t) = 40t 30 Segn el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). UnaSiempre que se tiene una condicin inicial como el ejemplo anterior, EDO es aquella que slo contiene derivadas ordinarias (derivadas dees posible determinar una antiderivada particular. una o varias funciones de una sola variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o ms variables independientes).PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL 8. dy La ecuacin= f (x) con y0 = f(x0), se llama problema de valor dx inicial y consiste en encontrar y = f(x) que satisfaga las condiciones dadas. Ejemplo 3. La aceleracin de dv / dt de cierto automvil deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad deldv automvil. Solucin.= k .(250 v)dt TALLER 1. Escriba una ecuacin diferencial que sea un modelo matemticode la situacin descrita. a. La tasa de cambio de una poblacin P con respecto al tiempo t es proporcional a la raz cuadrada de P. b. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la velocidad de un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v. c. En una ciudad que tiene una poblacin fija de P personas, la4. Una moneda se deja caer desde un edificio y toca el suelo en 6 tasa de cambio con respecto al tiempo del nmero N de segundos. Cul es la altura del edificio? personas que han odo un cierto rumor es proporcional al 1x+a nmero de las que todava no lo han odo.5. Comprueboque f ( x) = ln es una antiderivada de d. En una ciudad que tiene una poblacin fija de P personas, la 2a x a tasa de cambio con respecto al tiempo del nmero N de1 f ( x) = personas que han contrado cierta enfermedad es a2 x2 proporcional al producto del nmero de personas enfermas y 6. La pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f(x) el nmero de las que no lo estn. est dada por 2x 1. Si f(0)=1 halle la funcin f(x). 2. En cada caso encuentre la antiderivada general para la funcin7. Un objeto, en cada libre, se mueve con aceleracin -9.8 m/s2.dada. a. Encuentre una ecuacin para la velocidad suponiendo quev(0)=0.b. A partir de la ecuacin para v(t) encuentre la ecuacin dea. f(x)=b. f(x)= c. f(x)= s(t), suponiendo que el objeto cae desde una altura de 10 m(s(0)=10).8. Determinar si el enunciado es falso o verdadero. Si es falso,d. f(x) =e. f(x)=f.explicar por qu o proporcionar un ejemplo que lo demuestre. 3. Completar la siguiente tablaa. Cada antiderivada o primitiva de una funcin polinmica de nIntegral original ReescribirIntegrarSimplificar grado es una funcin polinmica de grado (n+1)b. La antiderivada o primitiva de f(x) es nica.c. Si f(x) = g(x) entonces g(x) dx = f(x) + c. PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL 9. FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION 10. CAPITULO 1: ANTIDERIVACIN: INTEGRAL INDEFINIDAEJERCICIOS:1. Encuentre la antiderivada ms general de la funcin dada:4. Evaluar la integral trigonomtrica y comprobar elresultado por derivacin:2. Completar la siguiente tabla Integral originalReescribir Integrar SimplificarNo hay que confundir nunca el conocimiento con la sabidura.El primero nos sirve para ganarnos la vida; la sabiduranos ayuda a vivir. Sorcha Carey 3. Evaluar las siguientes integrales indefinidas y comprobar el resultado por derivacin 11. CAPITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES (ED) Definicin Es una ecuacin que contiene las derivadas odiferenciales de una o ms variables dependientesSolucin 6con respecto a una o ms variables independientes. Ecuacin diferencia Ordinaria (slo aparece una Es una ecuacin que incluye a x y a y a las variable independiente), de tercer orden (la derivada mayor es de orden tres); lineal (los coeficientes sloderivadas de y. dependen de la variable independiente x y la variable Es una ecuacin que contiene una funcindependiente y sus derivadas son de primer grado).desconocida y una o ms de sus derivadas.(Edwards y Penney). Clasificacin de las ED. B. En los problemas 7 a 11, escriba una ecuacin Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar diferencial que sea un modelo matemtico de la segn tres caractersticas: tipo, orden y linealidad. situacin descrita. Segn el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o6. La tasa de cambio de una poblacin P con respecto parcial (EDP). Una EDO es aquella que slo contiene al tiempo t es proporcional a la raz cuadrada de P. derivadas ordinarias (derivadas de una o varias 7. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la funciones de una sola variable independiente). Unavelocidad de un bote costero de motor es EDP, en cambio, contiene derivadas parcialesproporcional al cuadrado de v. (derivadas de una o varias funciones de dos o ms 8. La aceleracin de dv / dt de cierto automvil variables independientes).deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 El orden de una ecuacin diferencial lo determina elkm/h y la velocidad del automvil. orden de la ms alta derivada presente en ella. Una ED9. En una ciudad que tiene una poblacin fija de P primer orden; es aquella que solo contiene primeras personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo derivadas y las de orden superior cuando contienendel nmero N de personas que han odo un cierto derivadas de orden superior a 1.rumor es proporcional al nmero de las que todava no lo han odo. Una ED es lineal si presenta la siguiente forma:10. En una ciudad que tiene una poblacin fija de P personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del nmero N de personas que han contrado cierta enfermedad es proporcional al producto del nmero de personas enfermas y el nmero de las que no lo Observaciones sobre las ED lineales:estn. 3. La variable dependiente y todas sus derivadas slo Solucin 9.pueden tener exponente igual a 1. dv 4. Los coeficientes slo involucran la variable = k .(250 v)independiente x.dtACTIVIDAD C. Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad A. En cada uno de los problemas 1 a 6, determine elinicial de 64 pies por segundo a partir de una altura orden de la ecuacin diferencial dada; diga tambininicial de 80 pies. si la ecuacin es lineal o no lineal. Encontrar la funcin de posicin que expresala altura s en una funcin del tiempo t. Cundo llegar la pelota al suelo? D. Se arroja hacia arriba una pelota, con velocidad de48 pies/s desde el borde de un acantilado a 432pies sobre el fondo. Calcule su altura sobre elfondo a los t segundos despus. Cundo alcanzasu altura mxima? Cundo llega al fondo? E. Una partcula, o punto material, se mueve en lnearecta y su aceleracin est expresada pora(t) = 6.t + 4. Su velocidad inicial es v(0) = -6cm/s ysu desplazamiento inicial s(0) = 9cm. Determine sufuncin de posicin, s(t). EL XITO NUNCA EST ANTES QUE ELESFUERZO, NI SIQUIERA EN EL ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuacin diferencial involucra una o msderivadas de la funcin. 12. Se debe tener en cuenta el concepto de cierto componente de una fotocopiadora est dadoantiderivada.por 30 0.02x. Si el costo de producir una unidad Una solucin de una ecuacin diferencial eses de US $35 dlares. Cul ser el costo dehallar cualquier funcin que satisfaga laproducir 100 unidades?ecuacin. 5. Un proyectil se dispara verticalmente haciaEjemplos:arriba desde el suelo con una velocidad de 1600dy pies/seg. en t = 0. Despreciando la resistencia delLa velocidad se expresa como =vparaaire, calcule su altura o distancia desde el suelo.dtcalcular a y se aplica la antiderivada:6. Se lanza una piedra directamente hacia abajody = v.dt entonces dy = v.dt luego : desde una altura de 96 pies con una velocidad inicial de 16 pies/seg. y= v.dt a) Encontrar la mxima altura que alcanza el objeto sobre el suelo.La aceleracin en pies/seg2 se expresa como: b) Hallar el tiempo necesario para alcanzar sua = 32 y la velocidad es la antiderivada de la altura mxima. dvc) Hallar la velocidad al llegar al suelo.aceleracin, luego=a si despejamos a dv d) Hallar el tiempo total transcurrido hasta que dt llegue a tierra.podemos obtener la velocidad: dv = a.dt esto 7. Se dispara una bala verticalmente hacia arribaes: v = a.dt con una velocidad de 500 m/s. Cunto tiempo estuvo la bala en el aire?EJERCICIOS DE APLICACIN:1. Un baln se lanza verticalmente hacia arriba8. Un hombre parado desde el techo de un edificiocon una velocidad de 64 pies por segundo, desdetira una bola verticalmente hacia arriba con unauna cima ubicada a 96 pies de altura.velocidad inicial de 40 pies/seg. La bola llega ala) A qu altura se encuentra el baln a los t suelo a 4.25 segundos ms tarde.segundos?a) Cul es la altura mxima alcanzada por lab) En qu instante alcanza su altura mxima? bola?c) A qu altura del suelo sube el baln?b) Qu altura tiene el edificio?d) En qu instante toca el baln el suelo?c) Con qu velocidad llegar la bola al suelo? 2. Una lancha de motor se aleja del muelle a lo8. Desde lo alto de una cpula de 300 m de alturalargo de una lnea recta con una aceleracin alse lanza verticalmente hacia arriba una pelota contiempo t dada por a(t) = 12t 4 pies/seg2.una velocidad de 98 m/seg.En el tiempo t = 0 la lancha tena una velocidad dea) A qu altura se encuentra la pelota a los t8 pies/s y se encontraba a 15 pies del muelle. segundos?Calcular la distancia S(t) al embarcadero al cabob) En qu instante alcanza su altura mxima?de t segundos. c) A qu altura del suelo sube el baln? d) En qu instante toca el baln el suelo?3. Se lanza una piedra verticalmente hacia arribadesde una altura de 144 pies sobre el suelo conuna velocidad inicial de 96 pies/seg, Despreciandola resistencia del aire. Hallar Cuando le apuntamos a loa) Su altura desde el suelo a los t segundos. alto, estamos ms cerca deb) Durante qu intervalo de tiempo la piedranuestros sueos que si nos sube?c) En qu momento y con qu velocidad choca la conformamos con pequeos piedra contra el suelo a descender?objetivos 4. Un fabricante sabe que el costo marginalcorrespondiente a la produccin de x unidades deSUMAS Y NOTACIONES SIGMA Comnmente se usa esta notacin para escribir las 100 sumas con muchos trminos. Ejemplo: 222221 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . . + 1002 = i i =12y 13. n ACTIVIDADa1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an =i =1ai 1. Demuestre el teorema de linealidad. 2. Existen otras formas de escribir la siguienteexpresin? cules? El smbolo utilizado para el ndice no importa. As:todos 3. Escriba la suma que se indica en la notacin corresponden a a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an. sigma Por esta razn, con frecuencia el ndice se le llama ndice mudo. Donde (sigma mayscula griega), corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica que se estn sumando todos los nmeros de la forma indicada cuando el ndice i corresponde a todos los enteros positivos, iniciando con el entero que aparece debajo de y finalizando con el entero ubicado arriba de . PROPIEDADES DE . 1. Si todas las ci en la sumatoria tienen el mismo nvalor, digamos c, entonces c = n.ci =1 i 4. Encuentre los valores para la suma indicada:2. es considerado como un operador, operasobre sucesiones, y lo hace de una maneralineal. 5. Encontrar una frmula para la suma de ntrminos. Con esa frmula calcular el limitecuando n tiende a infinito: n nn 16i 2i 2 i 2 a. ni =12b i =1 n n c. 1 + n i =1 n nFORMULAS PARA ALGUNAS SUMAS ESPECIALES6. Dado por conocido el valor dei i =1 y Hay frmulas tiles cuando se necesita sumar los primeros n enteros positivos, as como las sumas deutilizando las propiedades de la sumatoria, cuadrados, cubos, entre otros. encontrar:nna. La suma de los primeros n impares.n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) i =2 i2 =6b. 2 + 8 + 14 + . . . + (6n -4) i =1i =1 c. La suma de los n primeros nmeros de lan 2n n(n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n 1)sucesin 3, 8, 13, . . . n(n + 1) i3 = 2 ii =1 4 =30 INVESTIGUE: Como se determina si una i =1 funcin es positiva? SUMATORIA 14. 7. Defina con sus palabras sumatoria. 13. Utilice las frmulas para las sumas especiales para encontrar cada una de las sumas: 8. Cuales son las caractersticas del subndice?9. Liste las propiedades de la sumatoria y realiceun ejemplo de cada una de estas. a. b.10. Existen otras formas de escribir la siguiente expresin? cules? c.d.e.f.11. Escriba la suma que se indica en la notacin14. Encontrar una frmula para la suma de n sigma trminos. Con esa frmula calcular el limite cuando n tiende a infinito:nnn16i 2i 2 i 2 a. ni =1 2 b n i =1 n c. 1 + n i =1 n 15. Deducir una formula para hallar el valor de: 12. Existen algunas formulas de calculo o sumas especiales, como por ejemplo: 16. ,Consulte las otras.INVESTIGUE Y DESARROLLE:1. Cmo se determina un rea bajo la curva, por medio de rectngulos? Ejemplifique cada uno de los procesos.2. Como se determina si una funcin es positiva?SUMAS Y NOTACIONES SIGMA Comnmente se usa esta notacin para escribir las sumas con muchos trminos. Ejemplo: 100 n 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . + 1002 = i =1i2 ya1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an =ai =1 i 15. El smbolo utilizado para el ndice no importa.Donde (sigma mayscula griega), corresponde a la S denuestro alfabeto, indica que se estn sumando todos losnmeros de la forma indicada cuando el ndice i correspondeAs: todosa todos los enteros positivos, iniciando con el entero que corresponden a a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an.aparece debajo de y finalizando con el entero ubicado Por esta razn, con frecuencia el ndice se learriba de . llama ndice mudo.PROPIEDADES DE . es considerado como un operador, opera sobre sucesiones, y lo hace de una manera lineal. 1. Demuestre el teorema de linealidad de 2. Demuestre las sumas telescpicasn n nn 3. Liste las frmulas para algunas sumas especiales:i , i i =1 i =12,i ,i i =13 i =1 44. Complete: 5. Encuentre los valores para la suma indicada:7. Encuentre el valor de cada una de las sumas telescpicas:8. Utilice las frmulas para las sumas especiales para encontrar cada una de las sumas: 6. Escriba la suma que se indica en la notacin sigma: a. b.c. d. e.f.9. Encontrar una frmula para la suma de n trminos. Con esa frmula calcular el limite cuando n tiende a infinito:n nn16i 2i 2 i 2 a.n i =12b. i =1 n n c. 1 + ni =1 n SUMAS Y NOTACIONES SIGMA Comnmente se usa esta notacin para escribir las sumas con muchos trminos. Ejemplo: 100n 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . + 1002 = i =1i2ya1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an =a i =1i Donde (sigma mayscula griega), corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica que se estn sumando todos los nmeros de la forma indicada cuando el ndice i corresponde a todos los enteros positivos, iniciando con el entero que aparece debajo de y finalizando con el entero ubicado arriba de . 16. El smbolo utilizado para el ndice no importa. As: todos corresponden a a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an. Por esta razn, con frecuencia el ndice se le llama ndice mudo.PROPIEDADES DE . es considerado como un operador, opera sobre sucesiones, y lo hace de una manera lineal. 1. Demuestre el teorema de linealidad de 2. Demuestre las sumastelescpicas: nnnn 3. Liste las frmulas para algunas sumas especiales: i , ii =1 i =12, ii =1 3 , i i =14.4. Complete:3. Cul es la ms aproximada para determinar el rea bajo la curva por el mtodo deSimpson y Trapecio? En que consiste el error. Ejemplos, INTEGRALES DEFINIDASUna de las muchas aplicaciones del lmite es usarlointegral definida se haba utilizado mucho antes de que para definir el rea de una regin en el plano. La 17. el matemtico alemnGeorg Friedrich Bernhard Riemann la generalizara.Definicin de una suma de Riemann Si f es una funcin continua y no negativa definida para a x b, dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho x = (b a) . Denotamos con xo (=n a), x1, x2, x3, . . . xn (=b) los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los puntos de muestra x1*, x2*, x3*, . . . , xn* en [xi-1, xi]. Entonces la suma de f, desde anLim f ( x )x* hasta b, es: in i =1 INTEGRALES DEFINIDAS Y SUS PROPIEDADESDefinicin: Si f est definida en el intervalo cerrado n [ a, b]y existe el lmiteLim f ( x )x .*iEntonces f ni =1 Cmo la integral es negativa, no representa el rea de es integrable en [ a, b] y el lmite se denota porla regin de la figura. Una integral definida puede sern bpositiva, negativa o cero. Para que pueda ser Lim x f ( x).dx*f() x = interpretada como un rea (tal como se ha definido); la n i =1iafuncin f debe ser continua y no negativa en a, b , [] Ese lmite se llama la integral definida de f entre a y b.como establece el prximo teorema. El nmero a se llama lmite inferior de integracin y el b lmite superior de integracin. Teorema 2: LA INTEGRAL DEFINIDA COMO REA DE UNA REGIN Concluimos que la integral definida y la integral Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado indefinida son entes distintos; porque la integral definida es un nmero, mientras que la integral indefinida es []a, b , el rea de la regin limitada por la grfica de f, el una familia de funciones. eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por:bTeorema 1:CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILIDAD rea = f ( x).dx Si una funcin f es continua en el intervalo cerrado a[]a, b , entonces f es integrable en a, b . Ejemplo 1:[ ]PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS: b Calcular la siguiente integral indefinida como lmite: 1 1. Si f est definida en x = a, entonces f ( x).dx = 0 ; 2 x.dx a es el rea de una regin de altura finita y de 23 Solucin: La funcin f(x) = 2x es integrable en el[ ] intervalo 2,1 , por ser continua.Adems, la anchura cero. Ejemplo: x.dx = (3 3) = 03 definicin de integrabilidad afirma que podemos utilizar cualquier particin con norma tendiendo a infinito para 2. Si f es integrableen [ a, b] , entonces calcular el lmite. bb Luego x =ba 3 = y Xi = a + i. x = 2 +3i por f ( x).dx = f ( x).dx ;a aes la definicin de una n nnintegraldefinida cuando a >b. Ejemplo: lo tanto la integral definida est dada por: 0 0 21 ( x + 2).dx = ( x + 2).dx =3 3 2 Teorema 3: PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS Si f es integrable en los tres intervalos cerrados delimitados por a, b y c entonces: bcb f ( x).dx = f ( x).dx + f ( x).dx aac 18. Teorema 4: PROPIEDAD DE LAS INTEGRALESEjemplo:Calcular lasiguienteintegral definida DEFINIDIAS [ ] Si f y g son integrables en a, b y k es una constantes, las funciones kf y f + g son integrables en [ a, b] . Adems:bb 1. kf ( x).dx = k f ( x).dx(1) Calcular el rea de la regin acotada por la grficaaa de y = 2x2 3x + 2, el eje x y las rectas verticales x = 0bb b y x = 2. Graficar. 2. [ f ( x) g ( x)].dx = f ( x).dx g ( x)aa a Teorema El teorema del valor medio para integrales: Se ha5. PROPIEDADES DE ORDEN DE LA INTEGRAL comprobado que el rea de una regin bajo una curva Si f(x) 0 para a x b, entonceses mayor que el rea de un rectngulo inscrito y mayor que la de uno circunscrito. El teorema del valor medio para integrales afirma que existe, entre el inscrito y el circunscrito, un rectngulo cuya rea es precisamente la.misma que la de la regin. Si f(x) g(x) para todo x en [a, b], entonces[ Si f es continua en el intervalo cerrado a, b , existe un]bnmero c en [ a, b] tal que: f ( x).dx = f (c).(b a )a TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULODefinicin del valor medio de una funcin en un intervalo: Si f es integrable en el intervalo cerrado a, b [] Informalmente, el teorema afirma que la derivacin y lab 1 [ a, b]ba integracin (definida) son operaciones mutuamente , el valor medio de f en es:f ( x).dx inversas. Para ver cmo Newton y Leibniz se dieron a cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que (2) Determinar el valor medio de f(x) = 3x2 2x en el muestra la Figura. Cuando definimos la pendiente de la intervalo [1,4]. recta tangente, utilizamos el cociente y/x (pendiente de la recta secante). Anlogamente, al definir el rea de Segundo Teorema Fundamental del Clculo: una regin bajo una curva, usamos el producto y.x (rea de un rectngulo). As pues, en su primer paso derivacin e integracin son operaciones inversas. El teorema fundamental del Clculo establece que el proceso de lmite usado para definir ambas operaciones preserva esa relacin inicial de inversas. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO: Si f(x) es [ continua en el intervalo cerrado a, b y F es una] primitiva de f en[ a, b] , entonces:b f ( x).dx = F (b) F (a)a 19. Si f es continua en un intervalo abierto I que contiene eld x punto a, entonces para todo x de este intervalo. f (t ).dt = f ( x )dx a 20. ACTIVIDAD 21. U.F.P.S. MATEMATICAS II LAS INTEGRALES DEFINIDAS 22. bCuando se define la integral f ( x).d ( x) , implcitamente se supone que a < b. Pero la definicin a como lmite de sumas de Riemann tiene sentido an si a > b . Observemos que si invertimos el aborden de a y b, entonces x cambia de (b- a)/ n a (a b)/ n. Por tanto f ( x).d ( x) = f ( x).d ( x) ba aSi a = b, entones x = 0 luego f ( x).d ( x)a=0 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS TEOREMA. PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS: Si f es integrable en los tres intervalos cerrados delimitados por a, b y c, entonces:b c b1. af ( x ).d ( x) = f ( x ).d ( x) + f ( x).d ( x)a cTEOREMA. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS: Si f y g son integrables en [a. b] y k es una constante, se tiene:b b bbb2. k. f ( x).d ( x) = k f ( x).d ( x)a a 4. [ f ( x) g ( x)].d ( x) = f ( x).d ( x) g ( x).d ( x)aaab b b3. [ f ( x) + g ( x)].d ( x) = f ( x).d ( x) + g ( x).d ( x)a a a TEOREMA. PROPIEDADES DE ORDEN DE LA INTEGRAL 5. Si f(x) 0 para a x b, entonces . 6. Si f(x) g(x) para todo x en [a, b], entonces EJEMPLO 1. SupngaseTEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO INTEGRAL 23. Informalmente, el teorema afirma que la derivacin y la integracin (definida) son operaciones mutuamente inversas. Para ver cmo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que muestra la Figura. Cuando definimos la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente y/x (pendiente de la recta secante). Anlogamente, al definir el rea de una regin bajo una curva, usamos el producto y.x (rea de un rectngulo). As pues, en su primer paso derivacin e integracin son operaciones inversas. El teorema fundamental del Clculo establece que el proceso de lmite usado para definir ambas operaciones preserva esa relacin inicial de inversas.LA PRIMERA PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO x Si f es continua en [a. b], la funcin g definida por g ( x) = f (t ).dt a donde: a x b es continua en [ a, b] y derivable en (a, b), y g(x) = f(x).EJEMPLO 2.Solucin: Ntese que f(t) = t 2 + 1 es continua en toda la recta real. Aplicando, por tanto, laprimera parte del teorema fundamental del Clculo se obtiene 24. EJEMPLO 3.En este caso se debe emplear la regla de la cadena junto con la primera parte del teorema fundamental del clculo. Sea u = x4. Entonces:(Segn la regla de la cadena) (Segn TFC1) LA SEGUNDA PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOSi f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b], entonces Demostracin: La clave reside en escribir la diferencia F(b) F(a) de forma adecuada. Sea la siguiente particin de [a, b]. a = X0 x + 2 > x + 5 2 x < 7 2 > 5 1 < 7 2 < 5donde hemos aplicado las propiedades de pasaje de factores en las desigualdades. La solucin del sistema de desigualdades planteado es la unin de las soluciones cuando x + 5 < 0 con las soluciones cuando x + 5 0.x+2 Ahora bien; vemos que para resolver las inecuaciones 1 < < 1 en el caso de que x + 5 < 0, esx+5 necesario que se cumpla que 2 > 5. Por lo tanto para este caso no hay soluciones. En cuanto al otro caso, en el que x + 5 0, vemos que se debe cumplir que x > -(7/2). Por lo tanto el conjunto de convergencia es:C = {x/x > -(7/2)}En cuanto a la suma de la serie, recordemos que si r tiene valor absoluto menor que 1, tenemos: 11 r rn = r0 + rn = 1+ rn = n =0n =1n =11 r rn =n =11 r 1 =1 rDe esa manera obtuvimos la suma de una serie geomtrica que en vez de empezar en n = 0 empieza en n = 1. Aplicndola a nuestro caso es: LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L 46. x+2 x+2n x + 2+5x+ x+2 x + 5 = x x + 2 = x + 5 5 2 = 3 n =1 x 1x+5 x+5 4) Determinar si las siguientes series convergen absoluta o condicionalmente, o bien si no convergen: nn n n 3 1 4 1 4 7 1 4 7 10 1 4 7 (3n 2) a) n! n=1n =1b) (1) n c) 3+ + 35 35 7 357 9+ +3 5 7 (2n + 1) 1 d) nn =1 (log n)SOLUCINa) Es una serie de trminos positivos, por ende convergencia ser equivalente a convergencia absoluta. Lo abordamos por el criterio de la razn:(n + 1) n +1 a n +1 (n + 1)! n! (n + 1) n +11 (n + 1) n +1(n + 1) n lm= lm = lm= lm = lm= n a n nnn ( n + 1)! nnn n + 1nnn nnnn!nn n + 1 1 lm = lm1 + = e n n n nEl lmite da mayor que 1, y por ende la serie diverge.b) Tenemos en este caso:(n + 1) 3 3 3 n +1 = lm (n + 1) 3 = 1 lm (n + 1) = 1 lm n + 1 = 1 3n3 a n +1 lm= lm n ann n3n n 3 3 n +1 3 n n 3 3 n n 3n3El lmite existe y por ende la serie converge uniformemente, y por consiguiente converge.1 4 7 (3n 2) (3(n + 1) 2) a 3 5 7 (2n + 1) (2(n + 1) + 1)(3(n + 1) 2)lm n +1 = lm = lm =n a nn 1 4 7 (3n 2) n ( 2( n + 1) + 1) c)3 5 7 (2n + 1) 3n + 1 3lm =n 2n + 32La serie diverge, pues el lmite aplicado segn el criterio de la razn da mayor que 1.d) ste es un problema en que aparece como conveniente aplicar el criterio de la raz. LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L 47. 1 1 lm n = lm=0 n (log n) n log nEl lmite existe y es menor que 1, y en consecuencia converge. 5) Calcular: (1) n 1 a) con cuatro cifras decimales exactas.n =1 ( 2n 1)! (1) n 1 b) con un error menor a 0,00002n =1n6SOLUCINa) En este caso, al requerirse cuatro cifras decimales, el error tendr que ser menor que 0,0001. Segn lo que sabemos de series alternadas, tenemos: 11 S S n a n +1 ==. Por lo tanto para que ese error cometido al tomar n trminos de la(2(n + 1) 1)! (2n + 1)! serie sea menor que 0,0001, basta con que: 1 < 0,0001 (2n + 1)!> 10000 (2n + 1)!Aunque en matemticas universitarias no se suelen resolver ecuaciones por tanteo, en la vida real no suele haber ms remedio. ste es un caso. Tenemos que ir probando con valores de n hasta dar con uno que la satisfaga. En nuestro caso da n = 4. Por lo tanto: 4(1) n 1 111 S= 1 + = 0,8415n =1 ( 2n 1)! 6 120 5040b) Requerimos que: 1 6(1) n 1 < 0,00002 (n + 1) 6 > 50000 n = 6 S = 0,98554 (n + 1) 6 n =1 n6 UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERLIC. SONIA MARITZA MENDOZA L 48. TALLER SUCESIONES Y SERIES TEOREMA:ACTIVIDAD 1. Determinar si las siguientes sucesiones convergen o no.an =n2 1{n+2 n }() ln 2 + e n n a n = sen a) b) c) d)n2 +1 3n 2 2. Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series: (1) () 1a) n(log n) 2 n =2 b) n n +1 nn =1 3. De la seriea 1 n se sabe que la sucesin de las sumas parciales {S n} viene definida por .Hallar :a. El termino general an de la serie.b. El carcter y la suma de la serie4. Determinar si las siguientes series convergen absoluta o condicionalmente, o bien si no convergen: nnn3 1 4 1 4 7 1 4 7 10 1 4 7 (3n 2)a) n! n =1 b) (1) nn =13nc)+ + 35 35 7 35 7 9+ +3 5 7 (2n + 1) 1d) (log n) n =1 n5. Estudia el carcter de las siguientes series:LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L 49. LICENCIATURA EN MATEMATICAS E INFORMATICA MATEMATICAS 2 1. Encuentre la suma de la serie12.Escriba la serie de Maclaurin de geomtrica: sen x. 5 10/3 + 20/9 40/27 + . . . 13. Representa f(x)= sen x como la suma de su serie de Taylor centrada en 2. La serie2 n =1 2 n 1 n 3es convergente /3. 14. Exprese 1en trminos de la suma 1 + x2 o divergente?de una serie de potencias y determine el intervalo de 3. Halle la suma de la serie xn =0 n ,convergencia.1 15. Desarrolle como una serie dedonde |x|0. En el tiempo t = 1, su posicin es x = 4. Encontrar las funciones posicin y la En el tiempo t = 1, su posicin es x = 4.En el tiempo t = 1, su posicin es x = 4. aceleracin de la partcula.Encontrar las funciones posicin y laEncontrar las funciones posicin y la aceleracin de la partcula. aceleracin de la partcula. 61. 2. El valor de reventa de cierta maquinaria 3 1En el tiempo t =1, su posicin es x=10. industrial decrece durante un periodo2. Aproximar la integral definida de x3 .dxEncontrar las funciones posicin y laaceleracin de la particular. de 15 aos a un ritmo que depende de1 la edad de la maquinaria. Cuando la utilizando la regla de los trapecios y la31 maquinaria tiene x aos, el ritmo al queregla de Simpson con n=6. Encuentre 2. Aproximar la integral definida de x .dx3 est cambiando su valor es de1200.una expresin para el rea como un 0 (x15) dlares por ao. Exprese el valorlmite. Concluya con los resultadosutilizando la regla de los trapecios y la de la maquinaria como una funcin deobtenidos. regla de Simpson con n=6. Encuentre su edad y el valor inicial, si la maquinarianuna expresin para el rea como un estaba valorada originalmente en 3. Calcule la suma de Riemann f ( x )xi ilmite.Concluya con los resultados $150.000 dlares. Cunto valdr i =1obtenidos. cuando tenga 15 aos? para los datos dados.f(x) = -x /2 + 3;3. Emplear el proceso de lmite para U.F.P.S. CALCULO II QUIZ EC. DIFER. (B) P: -3 < -1.3 < 0 < 0.9 < 2;determinar el {rea de la regin entre la NOMBRE:________________COD.________ x1=-2, x2= -0.5, x3=0, x4=2. grfica de la funcin y el eje y el 1. El fabricante de un automvil indica en 4. Dada la funcin f(x) como en laintervalo dado. Dibuje la regin. y3-x+1; su publicidad que el vehculo tarda 13siguiente grfica, encuentre la funcin1 x 2. x segundos en acelerar desde 25 4. Dada la funcin f(x) como en la kilmetros por hora hasta 80 kilmetros G ( x) = f (t ).dt , grafquela y verifique que siguiente grfica, encuentre la funcin por hora.Suponiendo aceleracin 1xconstante, calcular la aceleracin en m/s2 y la distancia que recorre el G es continua y que cumple con el Teorema Fundamental del Clculo.G ( x) = f (t ).dt , grafquela y verifique que1 automvil durante los 13 segundos. G es continua y que cumple con el 2. Un proyectil es lanzado verticalmente Teorema Fundamental del Clculo. desde el suelo a 1200 m/s en lnea recta (solo acta la fuerza de gravedad). Sea f(t) la altura en metros que alcanza el proyectil en t segundos despus del lanzamiento. La altura del proyectil se representa por la siguiente ecuacin:5. Evaluar: f(t) = 1200.t-5t2 . Determinar la velocidad 6 45dx del proyectil en funcin de cada instante del recorrido, adems de laa. 0 x (6 x).x.dx c. 3+ x2 5. Evaluar:2 4 altura mxima. 5dx r b. r. (r x )dx z a. x (6 x).x.dx c. 3+ x 2 22zd. a .dz0 2 U.F.P.S. INGENIERIA MATEMATICAS II0 0r z NOMBRE:________CODIGO:_____FECHA:___ b. r. ( x r )dx 2 23z 1. Una particular se mueve a lo largo del d. a .dzU.F.P.S. INGENIERIAMATEMATICAS II 01 0 eje x a una velocidad de v(t ) = t , t>0.NOMBRE:________CODIGO:_____FECHA:___1. Una particular se mueve a lo largo del En el tiempo t =1, su posicin es x=4.U.F.P.S. INGENIERIAMATEMATICAS II 1 Encontrar las funciones posicin y laeje x a una velocidad de v(t ) = t , t>0.NOMBRE:________CODIGO:_____FECHA:___ aceleracin de la particular. 62. 1. Una particular se mueve a lo largo delMATEMATICAS II(1P)FECHA:______U.F.P.S.LIC. MAT. E INF.1 NOMBRE:____________CODIGO:______MATEMATICAS II(1P)FECHA:______eje x a una velocidad de v(t ) =t , t>0. 1 nNOMBRE:____________CODIGO:______En el tiempo t =2, su posicin es x=4.1. Explique por qu 3 .n i=1 i2 debe ser1. Demuestre que si f es unEncontrar las funciones posicin y la 1polinomio de grado 3 o menor, x .dx2aceleracin de la particular.una buena aproximacin ala regla de Simpson da el valor 2. Determinar el valor de n tal que el error 0bde aproximacin de la integral definidasea menor que 0.00001 utilizando la para n grande. Calcule expresin de la suma para n=10 ylaexacto de f ( x).dx a (V.1.0) regla de regla de Simpson y trapecios. evale por mediodel teorema n 1 2fundamental del calculo.Compare2. Explique por qu 3 . n i=i2 deberesultados yconcluya.2 1 x + 2 .dx (V.1.5)seruna buena aproximacin a0 12. La tasa de poblacin dP/dt de una x .dxn2 3. Calcule la suma de Riemann i =1f ( xi )xipoblacin de bacterias proporcional a la raz cuadrada dees 0para n grande.Calculet, donde P es el tamao de la la expresin de la suma parapara los datos dados.f(x) = -x /2 + 3;P: -3 < -1.3 < 0 < 0.9 < 2; poblacin y t es el tiempo en dasn=5 y evale por medio del (0 t 10). El tamao inicial de teoremafundamental delx1=-2, x2= -0.5, x3=0, x4=2. la poblacin es igual a 500.calculo. Compare resultados y 4. Dada la funcin f(x) como en laDespus de un da la poblacin ha concluya. (V.1.5)siguiente grfica, encuentre la funcincrecido hasta 600. Escriba unaxecuacin diferencial para P en el3. La tasa de poblacin dP/dt deG ( x) = f (t ).dt , grafquela y verifique que1 instantet.Determine poblacin en funcin del tiempola una poblacin de bacterias es proporcional a el doble de laG es continua y que cumple con eltranscurrido. Estime el tamao de raz cuadrada de t, donde P esTeorema Fundamental del Clculo. la poblacindespusde una el tamao de la poblacin y t semana. (V.1.5) es el tiempo en das (0 t 3. Evale la suma de Riemman para10). El tamao inicial de la f(x) = 2 x2, 0 x 2, con poblacin es igual a500. cuatrosubintervalos; tome Despus de un da la poblacin cualquiera de los puntos extremos ha crecido hasta 600. Escriba como los puntosmuestra. una ecuacin diferencial para P (V.1.0) en el instante t. Determine la4. Demuestre que si f es un polinomiopoblacin en funcin del tiempo 5. Evaluar: de grado 3 o menor, la regla de transcurrido. Estime el tamao45dx6Simpson da el valor exacto de de la poblacin despus de una a. 7+x c. x (6 x).x.dx b semana.(V.1.5)22r0 4 f ( x).dx a (V.1.0)4. Evale la suma de Riemman para f(x) = 2 x2, 0 x 2, con b. r. (r x )dx 2 22zd. a .dz 0 cinco subintervalos;tome0 U.F.P.S. LIC. MAT. E INF. cualquieradelos puntos 63. extremos como los puntosU.F.P.S. ING. PROD. IND.MATEMATICA II PRIMER PREVIO muestra.(V.1.0) MATEMATICA II PRIMER PREVIO1. Estime el rea bajo la grfica 1. La tasa de produccin dA/dt de f(x)=sen x desde x=/6 hasta x=/2 cierto articulo es proporcional a la raz con 4 rectngulos de aproximacin cuadrada de t, donde A es lacircunscritos.(V.1.0) cantidad de artculos producidos y t2. Hallar la suma de Demuestre que: es el tiempo en das (0 t 30). La dx 1 x cantidad inicial de artculos es igual a a 2 +x2=aarc tang +Ca 500. Despus de un da la produccin 3. Calcular el rea de la regin bajo la ha crecido hasta 600. Escriba unacurva aplicando el mtodo de Simpson ecuacin diferencial para A en elo el mtodo de Trapecio; siendo f(x) instante t. Determine la produccin=1+x2 en [0, 1] para n = 5. en funcin del tiempo transcurrido. 4. Estime la cantidad de artculos Demuestre despus de una semana.(V.1.5) que paray= f(x) = x2- 4x + 3 2. Hallar la suma de Riemman que se el sugiere a la grfica y exprese como un lmite. (V.1.0) y= f(x) = x2- 4x + 3movimiento rectilneo con aceleracinconstante a, velocidad inicial vo ydesplazamientoinicial x o,eldesplazamiento, en el momento t es 1 2x= at + vo .t + xo 3. Aproximar la integral definida de2 3 5. Hallar la suma de Riemman asociada a 1 1 x .dx utilizando la regla de los f(x) = 2x x3 en el intervalo [1, 3] coninfinitos intervalos. trapecios y la regla de Simpson con 6. Evaluar: n=5. Encuentre una expresin para el rea como un lmite. Concluya con los resultados obtenidos.(V.1.5) 4. Estime el rea bajo la grfica f(x)=sen x desde x=/6 hasta x=/2 con 4 rectngulos de aproximacin inscritos.(V.1.0) U.F.P.S. ING. PROD. IND. 64. (1 x) 6 en funcin del tiempo transcurrido.1. Hallex .dxa. x (6 x).x.dxb.Estime la cantidad de artculos despus de una semana. 0(V.1.5)dy r 4 5dx U.F.P.S. ING. PROD. IND. 2. Desarrolle 9 y 2 16 r. (r 2 x 2 )dx 0c. 3+ x 2 d.MATEMATICA IIPRIMER PREVIO 1. Aproximar la integral definida de 3 z 13. Demuestre que: .dx utilizando la regla de los a1 2z.dzx cot g u.du = cot g n 1u cot g n 2u.du n 1 0 trapecios y la regla de Simpson conn 1 7. Riemman que se sugiere a la grfica yn=6. Encuentre una expresin para elx 2 dxexprese comoun lmite. rea como un lmite. Concluya con4. Resuelva ( 4 x 2 )3 / 2(V.1.0)los resultados obtenidos. (V.1.5) 8. Aproximar la integral definida de2. Hallar la suma de Riemman que se 3U.F.P.S. CALCULO II 1 sugiere a la grfica y exprese como1 x .dx utilizando la regla de losun lmite.(V.1.0)1 Previo - Tcnicas de integracinNOMBRE:________________COD.________ 3. La tasa de produccin dA/dt detrapecios y la regla de Simpson concierto articulo es proporcional al doblen=4. Encuentre una expresin para elrea como un lmite. Concluya con de la raz cuadrada de t, donde A es la cantidad de artculos producidos y t1. Halle (1 x)x .dxlos resultados obtenidos. (V.1.5)dy 9. La tasa de produccin dA/dt decierto articulo es proporcional a la raz es el tiempo en das (0 t 30). La cantidad inicial de artculos es igual a2. Desarrolle 9 y 2 16 500. Despus de un da la produccincuadrada del doble de t, donde A esha crecido hasta 600. Escriba unala cantidad de artculos producidos y tecuacin diferencial para A en el3. Demuestre que:es el tiempo en das (0 t 30). Lainstante t. Determine la produccin1 cot g u.du = n 1 cot g u cot g n 2u.du nn 1cantidad inicial de artculos es igual a en funcin del tiempo transcurrido.500. Despus de un da la produccin Estime la cantidad de artculosha crecido hasta 600. Escriba una x 2 dx despus de una semana. (V.1.5) 4. Resuelva 4. Estime el rea bajo la grfica( 4 x 2 )3 / 2y= f(x) = x2- 4x + 3 f(x)=sen x desde x= /2 hasta x = con 4 rectngulos de aproximacin inscritos. (V.1.0) U.F.P.S. CALCULO II U.F.P.S. CALCULO II1 Previo - Tcnicas de integracin 1 Previo - Tcnicas de integracinNOMBRE:________________ COD.________ NOMBRE:________________COD.________1. Demuestre que:ecuacin diferencial para A en elinstante t. Determine la produccin 65. 1x.dx cot g u.du = n 1 cot gu cot g n 2u.du n n 12. Solucione x 2 2x + 52. Halle x 2 .e3 x dx3. Desarrolle: dx cos6 4 x sen 2 x3. Desarrollesen x dxa.dx4. Resuelva ax [(a ) 1 dx ] 2x 04. Resuelva U.F.P.S. CALCULO II U.F.P.S. CALCULO II1 Previo - Tcnicas de integracin 1 Previo - Tcnicas de integracinNOMBRE:________________COD.________ NOMBRE:________________COD.________ 1. Demuestre que:11. Halle x ln( x 2 + 9).dx cot g u.du = n 1 cot gu cot g n 2u.dunn 1x.dx2. Halle x .e 2 3xdx2. Solucione x 2 2x + 5 sen 2 x dx3. Desarrollesen x dx 3. Desarrolle: cos6 4 x [(a ) 1 dx ]a.dx 2x 04. Resuelva 4. Resuelva ax U.F.P.S. CALCULO II1 Previo - Tcnicas de integracinNOMBRE:________________COD.________1. Halle x ln( x 2 + 9).dx 66. UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDERUNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 1 PREVIO - MATEMATICAS IIUNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 1 PREVIO - MATEMATICAS II NOMBRE:________________CODIGO: _______ 1 PREVIO - MATEMATICAS IINOMBRE:________________CODIGO: _______ FECHA:____________PROF. SONIA MENDOZANOMBRE:________________CODIGO: _______ FECHA:____________PROF. SONIA MENDOZAFECHA:____________PROF. SONIA MENDOZA 1. Se lanza un objeto directamente1.Se lanza un objeto directamente hacia arriba desde una altura inicial de 1. En la superficie de la luna, lahacia arriba desde una altura inicial de 1000 pies con una velocidad de 50 piesaceleracin debida a la gravedad es1000 pies con una velocidad de 50 pies por segundo, encuentre: -5,28 pies por segundo por segundo. Si por segundo, encuentre: a. Su velocidad y altura 4 segundos un objeto se lanza hacia arriba desdea. Su velocidad y altura 4 segundosdespus. una altura inicial de 1000 pies con una despus. b. La mxima altura que alcanza elvelocidad de 56 pies por segundo,b. La mxima altura que alcanza elobjeto?encuentre:objeto? a. La velocidad y altura 4,5 segundos ms tarde. 2. Demuestre que: b. La mxima altura que alcanza el2.Demuestre que:x a objeto. dx 1x ax2dxa2= 12a Lnx +a +C2.Demuestre que:x 2 a2 = 2aLn x +a+C3. Resolver las siguientes integrales cos ecx.dx = Ln cos ecx cot gx + C 3.Resolver las siguientes integralesaplicando la integracin por partes: aplicando la integracin por partes:3. Resolver las siguientes integrales x .( Lnx) .dx x.arctgx.dx 3 2 a.b. 32 a. x .( Lnx ) .dx b.x.arctgx.dx aplicando la integracin por partes: x.arctgx a. x.senx. cos x.dx b. (x 2 + 1) 2.dx 4.Desarrolle: 4. Desarrolle:2x 2x 3 a. x 2xdxb. x2x 3 dx4. Desarrolle:x.dx a. x 2 x +1 dxb.x 2 + 2x + 2dx2 x +12+ 2x + 25 a. 5 x 2 2 x +1b. x 2 x + .dx4 5. Aplique la sustitucin trigonomtrica 5. Aplique la sustitucin trigonomtrica 5.Aplique la sustitucin trigonomtrica para integrar:para integrar:para integrar: x 2 .dxx 2 .dx 22x 5x 25 x 2 .dx b. (x dx a. b. 2x2 5 .dx) a.b..dx a. 2x +a2 x 2 2x + 53/ 2 x2 + a2 x 67. UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 1 2 1 PREVIO - MATEMATICAS II4. Resolver las siguientes integralesy= a.t + vo .t + yo NOMBRE:________________CODIGO: _______aplicando la integracin por partes: 2 FECHA:____________PROF. SONIA MENDOZA x . cos(ax).dx ln x + 1.dx2a. b. 2.Demuestre que: 1. En la superficie de la luna, ladx 1a+xaceleracin debida a la gravedad es-5,28 pies por segundo por segundo. Si5. Desarrolle:x.dx a 2 x2=ln 2a a x+Cun objeto se lanza hacia arriba desdeuna altura inicial de 1000 pies con una a. 5 x 2 2 x +1velocidad de 56 pies por segundo, 3.Aplique la sustitucin trigonomtrica2x 3encuentre:a. La velocidad y altura 4,5 segundos b. 2 x + 2x + 2 dx para integrar: x .3ms tarde.a 2 x 2 b 2 .dxb. La mxima altura que alcanza el4.Resolver las siguientes integralesobjeto. UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDERaplicando la integracin por partes:1 PREVIO - MATEMATICAS IIx.dx sen x 2. Demuestre que:NOMBRE:________________CODIGO: _______2 dxFECHA:____________PROF. SONIA MENDOZAa. x 3 .e x .dx b.2 = ln x + x 2 a 2 + C x2 a21. Demuestre que para el movimiento rectilneo con aceleracin constante 5.Desarrolle:2xx 3. Aplique la sustitucin trigonomtricaa,velocidad inicialvo ypara integrar: a. dx desplazamiento inicialy o, el2 x +1dx desplazamiento, en el momento t es: (x 2+ a 2 )2 b.x2 x +54.dx 68. U.F.P.S. LIC. MATEMATICAS E INFORMATICA MATEMATICAS II2 r 4 z 5dx NOMBRE: ________________CODIGO:_____________FECHA:__________ 2 2a. x (6 x).x.dx b. r. ( x r ) dxc.3zd. a .dzdx1x 3+ x 1.Demuestre que:a 2+x2 = arc tang +Caa 0U.F.P.S. 0 LIC. MATEMATICAS E INFORMATICA MATEMATICAS II 2 0 2. Calcular el rea de la regin bajo la curva aplicando elNOMBRE: ________________CODIGO:_____________FECHA:__________mtodo de Simpson o el mtodo de Trapecio; siendo f(x) =1+x2 dx 1xen [0, 1] para n = 5. 1. Demuestre que:2 x x a 2= arc sec +Caa 3. Demuestre que para el movimiento rectilneo con aceleracinconstante a, velocidad inicial vo y desplazamiento inicial xo, el 2. Calcular el rea de la regin bajo la curva aplicando el mtodo de Simpson o el mtodo de Trapecio; siendo f(x) =2+x21 2desplazamiento, en el momento t es x = at + vo .t + xo en [0, 1] para n = 5.2 3. Demuestre que para el movimiento rectilneo con aceleracin 4. Hallar la suma de Riemman asociada a f(x) = 2x x3 en elconstante a, velocidad inicial vo y desplazamiento inicial xo, elintervalo [1, 3] con infinitos intervalos.1 2 5. Evaluar: desplazamiento, en el momento t es x = at + vo .t + xo26 r 4 z5dx 4. Hallar la suma de Riemman asociada a f(x) = 2x x3 en el a 2 z .dz 2 2 a. x (6 x).x.dx b. r. ( r x ) dxc.d.intervalo [2, 3] con infinitos intervalos.3+ x0 0 2 0 5. Evaluar: 6 r 4 z 5dx a U.F.P.S. LIC. MATEMATICAS E INFORMATICA MATEMATICAS II22 2za. x (6 x).x.dx b. r. ( r x ) dxc.d. .dz NOMBRE: ________________CODIGO:_____________FECHA:__________3+ x 0 0 2 0 1. Demuestre que: e x .dx = e x +CU.F.P.S. LIC. MATEMATICAS E INFORMATICA MATEMATICAS II 2. Demuestre que: [v(t ) ] = vo 19.6[ x(t ) xo ] . Cuando se arroja 22NOMBRE: ________________CODIGO:_____________FECHA:__________un objeto hacia arriba, con velocidad inicial vo desde un puntoax xa xo metros sobre el piso.1. Demuestre que:a .dx = +C ; a > 0, a 0ln a 3. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la regla 2 2[ ]2[2. Demuestre que: v(t ) = vo 19.6 x(t ) xo . Cuando se arroja] (x2de Simpson cuando n = 6 para 3x).dx un objeto hacia arriba, con velocidad inicial vo desde un punto 0 a xo metros sobre el piso. 4. Utilizar el proceso de limite para encontrar el rea de la regin 3. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la reglaentre la grfica de la funcin 4y2 - y3 x = 0 y el eje y sobre el3 (x2intervalo [1,3]. de Simpson cuando n = 6 para 3 x ).dx 5. Evaluar: 14. Utilizar el proceso de limite para encontrar el rea de la regin entre la grfica de la funcin 4y2 - y3 x = 0 y el eje y sobre el intervalo [2,5]. 69. 5. Evaluar: 4. Teniendo ya pirmide con una base cuadrada, donde h es la2r 4z altura de la pirmide y B es el rea de la base. Determine el 5dx volumen del slido en funcin a la altura y la base. exp.2. 22 a. x (6 x).x.dx b. r. ( x r ) dx c.3zd. a .dz 3+ x 000 2 U.F.P.S. - 2 PREVIO INGENIERIA CIVIL - MATEMATICAS II U.F.P.S. - 2 PREVIO INGENIERIA CIVIL - MATEMATICAS II NOMBRE:_________________________________CODIGO: _____________ NOMBRE:_________________________________CODIGO: _____________ FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA1. Desarrollar aplicando el mtodo de integracin por fracciones1. Determine el rea de la regin R, si R est limitado por: ( x 2 + 1).dxy = |x|, eje x, x = -2, x = 1. - 1076 simples parciales. x3 + 1 7.17 2. Desarrollar aplicando el mtodo de integracin por fracciones 2. Determine el rea de la regin R, si R est limitado por: x.y = 1,sen dx = 2, eje x, y = 2, eje y. - 1193 -simples parciales.2 cos + cos 2 7.45 3. Determinar:3. Determinar: x 2 .dx dxa. 21 + 4 x x 2 6.62 b. x. arc tg x.dx 4.38 a. 5 4x26.36b. x. sen x. cos x.dx 4.344. Halle el volumen del slido que se genera al girar la regin 4. Halle el volumen del slido que se genera al girar la reginlimitada por y = 2x2; el eje y; y = 6 en torno al eje y. exp.3.limitada pory = 9 x 2 ; y= 0 y el eje x; en torno al eje x.exp.3.prop U.F.P.S. - 2 PREVIO INGENIERIA CIVIL - MATEMATICAS II NOMBRE:_________________________________CODIGO: _____________ U.F.P.S. - 2 PREVIO INGENIERIA CIVIL - MATEMATICAS II FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA NOMBRE:_________________________________CODIGO: _____________ FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA 1. Determine el rea de la regin R, si R est limitado por:x21. Determine el rea de la regin R, si R est limitado por:y = -x + 2, y =, y = x + 2.- 1084 y = 3x + 2, y = x , eje y. - 1017 -2 2. Desarrollar aplicando el mtodo de integracin por fracciones2. Desarrollar aplicando el mtodo de integracin por fraccionessen x . dxsimples parciales. 4 x 4 2 x 3 x 2 + 3x + 1x3 + x 2 x 1 .dx - 7.44 simples parciales. cos x ( 1 + cos 2 x) - 7.50 3. Determinar:3. Determinar:dx x . x . ln x.dx 32a. a 2 x 2 + b 2 .dx 6.40x b. 4.35 3a. 26.29 b. x .e 3 .dx 4.33 x. 4 x 16 70. 4. Una pirmide de 7 m de altura tiene una base cuadrad de 7 m dx xpor lado. La seccin transversal de la pirmide perpendiculara. x. 4 x 2 166.29b. x 3 .e3 .dx 4.33a la altura es x metros hacia abajo desde el vrtice, siendo uncuadrado con x metros por lado. Hallar el volumen de lapirmide.exp.2.4. Demuestre que volumen del cono de radio r y altura h 1 equivale a .r 2 h U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II 3 CODIGO: ______________ CODIGO:_____________ 2 PREVIOU.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZACODIGO: ______________ CODIGO:_____________ 2 PREVIOFECHA:_______________________PROF. SONIA MARITZA MENDOZA 1. Desarrollar aplicando el mtodo de integracin por fracciones et 1. Determine el rea de la regin R, si R est limitado por:simples parciales. e 2t + 3.et + 2.dt7.46y = x2, y = -x2 , x = -1 , x = 1.- 11148 2. Desarrollar aplicando el mtodo de integracin por fracciones 2. Determine el rea de la regin R, si R est limitado por las 3x 4curvas y= x2 - 3x + 2, el eje x y las rectas x=1, x= 4 - 1014- simples parciales. (x 2 + 1) 2.dx 7.47 3. Determinar: x 2 .dx3. Determinar:a.6.62 b. x. arc tg x.dx 4.38 dx21 + 4 x x 2 a. 5 4x2 6.36b. x. sen x. cos x.dx 4.34 4. Halle el volumen del slido obtenido al girar la regin limitadapor y = x2 y x = y2, en torno de y = -1.4. Demuestre que volumen de un cilindro circular recto de radio r y altura h equivale a .r 2 hU.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II CODIGO: ______________ CODIGO:_____________ 2 PREVIOU.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZACODIGO: ______________ CODIGO:_____________ 2 PREVIOFECHA:_______________________PROF. SONIA MARITZA MENDOZA 1. Determine el rea de la regin R, si R est limitado por: y = x 2 ,y = x, x= 2. - 1017 1. Determine el rea de la regin R, si R est limitado por: y = x2 , y = - |x| , x = -1 ,x = 1.- 1051 - 2. Desarrollar aplicando el mtodo de integracin por fraccionessen x . dxsimples parciales. cos x ( 1 +cos x)2 - 7.50 2. Desarrollar aplicando el mtodo de integracin por fraccionesx5 + 2 3. Determinar: simples parciales.x 21.dx - 7.11 71. 3. Aplique la sustitucin trigonomtrica para integrar: (V.1.0) 3. Determinar:dxa.x . 3 a 2 x 2 + b 2 .dx 6.40b. x .ln x.dx 24.35 x 2 x 2 +a 24. Demuestre que: (V.1.5) 4. Halle el volumen del slido obtenido al girar la regin limitadan 1 senx. cos x n 1por y = x x2 y y = 0 alrededor de la recta x= 2. sen n x.dx =n + n sen n 2 x.dx U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS IIU.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II NOMBRE: ____________CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO NOMBRE: ____________CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO4 x 4 2 x 3 x 2 + 3x + 1 x 4 x3 + 2 x 2 x + 2 1. Halle:Dividir 7.44x3 + x 2 x 1 dx (V.1.0)1. Halle:7.30( x 1)( x 2 + 2) 2 dx (V.1.0)2. Demuestre por medio de derivacin: (V.1.5)2. Demuestre por medio de derivacin: (V.1.5)dx 2 x +a 2= ln( x + x 2 + a 2 ) + C dx = ln( x + x 2 + a 2 ) + Cx 2 +a 2 3. Aplique la sustitucin trigonomtrica para integrar:(V.1.0)3. Aplique la sustitucin trigonomtrica para integrar: (V.1.0)22x +a xdx6.50 x2 +a2 xdx6.414. Demuestre que: 4.63 (V.1.5)4. Demuestre que:4.64 (V.1.5)cos n 1 x.senx n 1 n 1 cos n x.dx =+cos n 2 x.dx cosx.senx n 1 cos cos n 2 x.dxnn n x.dx = +n nU.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICAMATEMATICAS IIU.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICAMATEMATICAS II NOMBRE: ____________CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIONOMBRE: ____________CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO 4 x 4 2 x 3 x 2 + 3x + 1 1. Halle x3 + x 2 x 1dx(V.1.0)1. Halle4 x 4 2 x 3 x 2 + 3x + 1 dx(V.1.0)x3 + x2 x 1 2. Demuestre por medio de derivacin:(V.1.5)2. Demuestre por medio de derivacin:(V.1.5)dx1 x ax2 a2=2a lnx +a +C x 2dx a2=12a lnx ax +a +C 72. 3. Aplique la sustitucin trigonomtrica para integrar:(V.1.0) x 2 .dxdx x 2 2x x 2 6.60 completar cuadradox 2 +a 24. Demuestre que:4.41 (V.1.5) 4. Demuestre que:(V.1.5)xxnsen x.dx = sen n 1x. cos x n 1n +n sen n 2 x.dx e x senx.dx = (tan3+ tan 4 )dx = 3 U.F.P.S. ING. PRODUCC. INDUSTRIAL MATEMATICAS II CODIGO:__________ CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO U.F.P.S. ING. PRODUCC. INDUSTRIAL MATEMATICAS II 1. Determine el rea de la regin R, si R est limitada por: CODIGO:__________ CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO1 5. Determine el rea de la regin R, si R est limitada por: y= 2 , y=0 x= -1, x= 1 (V.1.5)1x +1y= 2, y=0 x= -1, x= 1(V.1.5) x +1 (5 x + 2)3 2. Halle: x 3 5x 2 + 4xdx(V.1.0) Dividir 7.526. Halle: (5 x 3 + 2)dx (V.1.0)3. Integre aplicando la sustitucin trigonomtrica:(V.1.0)x 3 5x 2 + 4x7. Integre aplicando la sustitucin trigonomtrica:(V.1.0)x 2 .dx 2x .dx 6.62 completar cuadrados221 + 4 x x 21 + 4 x x 2 4. Desarrollar las siguientes integrales: (V.1.5) 4.4238. Desarrollar las siguientes integrales: (V.1.5) cos x3 sen 4 x dx =x 3cos x.dx =cos x 3 sen 4 x dx =x a. cos x.dx =b. U.F.P.S. ING. PRODUCC. INDUSTRIAL MATEMATICAS IIU.F.P.S. ING. PRODUCC. INDUSTRIAL MATEMATICAS II CODIGO:__________ CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIOCODIGO:__________ CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO 1. Determine el rea de la regin R, si R est limitada por:5. Determine el rea de la regin R, si R est limitada por:y = e x , y = e 2 , x=0(V.1.5) y = e x , y = e 2 , x=0(V.1.5)x5 2. Halle:Dividir 7.53 dx x5 ( x 3 + 1)( x 3 + 8) dx(V.1.0) ( x 3 + 1)( x 3 + 8) 6. Halle: (V.1.0)7. Aplique la sustitucin trigonomtrica para integrar: (V.1.0) 3. Aplique la sustitucin trigonomtrica para integrar:(V.1.0) 73. x 2 .dx 8. Demuestre que: (V.1.5)xx 2x x 2a. e x senx.dx = b. (tan 3+ tan 4 )dx = 3 UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 9. Calcular el rea entre las funciones: en torno a la recta y = 1 MATEMATICAS II - ING. PROD. INDUSTRIALx = y3 y y x = 1 y4 SEGUNDO PREVIO b. y = x3 y y = 4x girando alrededor de x = 4 NOMBRE:___________________COD._______ PROF. SONIA MARITZA MENDOZAUNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER4. Calcular el rea entre las funciones:MATEMATICAS II - ING. PROD. INDUSTRIAL y = x2 4 x y y = 2x 6. Determinar: SEGUNDO PREVIO x4a. x 4 1 dx NOMBRE:___________________COD._______ 9PROF. SONIA MARITZA MENDOZA 2 b. x .dx 1 x1. Determinar: x 4 2 x 3 + 3x 2 x + 3 7. Calcular el rea de la regin bajo laa. x3 2 x 2 + 3x dxcurva aplicando el mtodo de4 7 x 5 2 5 x 3 2 .dxSimpson o el mtodo de Trapecio. b. 0a. f(x) = 9 x2 con x = 1 y x = 2 para n = 10 rectngulos.2. Calcular el rea de la regin bajo la curva aplicando el mtodo deb. f(x) = 1 + x2 en [ 0, 1 ] para n = 5. Simpson o el mtodo de Trapecio.8. Calcular el volumen de los siguientesa. f(x) = 100 x2 con x = 1 y x = 3 paraslidos en revolucin.n = 6 rectngulos. a. f(x) = x2 y g(x) = x + 2b. f(x) = x3 en [ 1, 3 ] para n = 10. en torno a la recta x= 33. Calcular el volumen de los siguientesb. x2 = y 2 y 2y x 2 = 0 slidos en revolucin. Por la recta x= 0 a. f(x) = 2 - x2 y g(x) = 1 74. U.F.P.S.MATEMATICAS II 2 PREVIO3. Calcular el rea de la regin R, si est limitada por: x.y = 1; NOMBRE:______________________________COD.__________ x= 2; y =2; el eje x y el eje y. FECHA:________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. 4. Hallar la suma de Riemman asociada a. f(x) = x3 -10 en el intervalo [1, 3] con infinitos intervalos. 5.Calcular el rea de la regin R, si est limitada por: x.y = 1; b. f(x) = sen x en el intervalo [0, 2], donde x0 = 0, x1 = /4, x2 y = 3x; y = x/3.= /3, x3 = y x4 = 2, y donde c1 = /6, c2 = /3, c3 = 2/3 y 6. Hallar la suma de Riemman asociada:c4 = 3 /2. a. f(x) = x2 + 3x en el intervalo [0, 8], donde x0 = 0, x1 = 0, x 2= 0, U.F.P.S. MATEMATICAS II2 PREVIO x3 = 0 y x4 = 0, y donde c1 = 1, c2 = 2, c3 = 5 y c4 = 8. NOMBRE:______________________________COD.__________ b. f(x) = 2x x3 en el intervalo [1, 3] con infinitos intervalos.FECHA:________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. 7. Estime el rea bajo la grfica f(x) = sen x desde x = /6 hasta x = /2 con cuatro rectngulos de aproximacin1.Calcular el rea de la regin R, si est limitada por: x.y = 1; inscritos.y = 3x; y = x/3. 8. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la 2. Hallar la suma de Riemman asociada: 1 a. f(x) = x2 + 3x en el intervalo [0, 8], donde x0 = 0, x1 = 0, x 2= 0, e .dx x x3 = 0 y x4 = 0, y donde c1 = 1, c2 = 2, c3 = 5 y c4 = 8.regla de Simpson cuando n = 6 para b. f(x) = 2x x3 en el intervalo [1, 3] con infinitos intervalos. 0 3. Estime el rea bajo la grfica f(x) = sen x desde x = /6 hasta x = /2 con cuatro rectngulos de aproximacin inscritos. U.F.P.S. MATEMATICAS II2 PREVIO 4. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la NOMBRE: ______________________________ COD._________1 FECHA: ________________ e .dxPROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. x2 regla de Simpson cuando n = 6 para 1. Estime el rea bajo la grfica f ( x) =e x desde x = -20hasta x = 2 con cuatro rectngulos de aproximacin inscritos 2. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la 2 U.F.P.S. MATEMATICAS II2 PREVIO (xNOMBRE: ______________________________ COD._________ 2regla de Simpson cuando n = 6 para 3 x).dx FECHA: ________________PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. 0 75. 22. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la regla 1. Estime el rea bajo la grfica f ( x) = e x desde x = -2de Simpson cuando nhasta x = 2 con cuatro rectngulos de aproximacin inscritos 1y= f(x) = - x2+ 4x ( x .e 5 x 2. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la= 4 para ).dx 2 0 (x2regla de Simpson cuando n = 6 para 3 x).dx 3. Estime el rea bajo la 0grfica f(x) =1/2 x2+1desde x = 1/2 hasta x 3. Calcular el rea de la regin R, si est limitada por: x.y = 1;= 2 con cinco x= 2; y =2; el eje x y el eje y.rectngulos de 4. Hallar la suma de Riemman asociadaaproximacin a. f(x) = x3 -10 en el intervalo [1, 3] con infinitos intervalos.inscritos. b. f(x) = sen x en el intervalo [0, 2], donde x0 = 0, x1 = /4, x2 = /3, x3 = y x4 = 2, y donde c1 = /6, c2 = /3, c3 = 2/3 y4. Calcular el reade la regin R, si est limitada por: c4 = 3 /2. y = x2 -3x + 2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 4. U.F.P.S.MATEMATICAS II 2 PREVIO FECHA:___________U.F.P.S.MATEMATICAS II 2 PREVIOFECHA:___________ NOMBRE:__________________ COD.________PROF. SONIA M.MENDOZANOMBRE:__________________ COD.________PROF. SONIA M.MENDOZA 1. Calcular el rea de la1. Calcular el rea de laregin R, si est limitada regin R, si est limitadapor: y = 2x; y y = x3.y= f(x) = x2- 4x + 3 por: y = 2x; y y = x3. y= f(x) = x2- 4x + 3 2. Hallarla suma de2. Hallar la suma de Riemmanquese Riemmanquese sugiere a la grfica: sugiere a la grfica: 3. Estime el rea bajo la3. Estime el rea bajo lagrfica f(x) = ex desde grfica f(x) = ex desdex = -2 hasta x = 3 con cinco rectngulos de aproximacin x = -2 hasta x = 3 con cinco rectngulos de aproximacininscritos. inscritos. 4. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la regla1/ 24. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la regla sen(e t/2 de Simpson cuando n = 7 para).dt 01/ 2 U.F.P.S.MATEMATICAS II 2 PREVIO FECHA:___________sen(e t/2de Simpson cuando n = 7 para ).dt NOMBRE:__________________ COD.________PROF. SONIA M.MENDOZA 0 1. Hallar la suma de Riemman que se sugiere para la grfica: 76. U.F.P.S.MATEMATICAS II2 PREVIOFECHA:___________ 4. Hallar el centroide del rea plana limitada en el primer cuadrante NOMBRE:__________________ COD.________PROF. SONIA M.MENDOZA por la parbola y = x2 y la recta y = x. (Valor 1.0) 1. Hallar la suma deRiemman que se y= f(x) = - x2+ 4xsugiere para la U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORM.EXAMENFECHA:___________grfica:NOMBRE:__________________ COD._________ PROF. SONIA M. MENDOZA 2. Calcule las 1. Un tanque de almacenamiento es un cilindro circular recto de 20 pies de largo y 8 pies de dimetro, con su eje horizontal. Si elaproximaciones de tanque est semilleno de un lquido de peso w lb/pie 3 , hllese ella regla del trapeciotrabajo realizado al vaciarlo por una tubera que va desde ely la regla de Simpsonfondo del tanque hasta una salida situada 6 pies encima de lacuando n = 4 paraparte superior del tanque.1(Valor 1.5) ( x .e 5x 2. Un slido se genera haciendo girar la regin acotada por y=x2/2).dx0e y = 2 alrededor del eje y. Se perfora un orificio circular, centrado en el eje de giro, de modo que el slido pierde un cuarto 3. Estime el rea bajo la grfica f(x) =1/2 x2+1 desde x = 1/2 de su volumen.Qu dimetro tiene el orificio? hasta x = 2 con cinco rectngulos de aproximacin inscritos.(Valor 1.5)3. Determinar el tipo y analizar si converge o diverge. (Valor 1.0) 4. Calcular el reade la regin R, si est limitada por: n2 (2 x)y = x2 -3x + 2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 4. U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORM. EXAMENFECHA:___________ a. 4n n =121 b. n =0 x 2 NOMBRE:__________________ COD._________ PROF. SONIA M. MENDOZA 1. Un tanque de almacenamiento es un cilindro circular recto de 20 4. Hallar el centroide del rea plana limitada en el primer cuadrantepies de largo y 8 pies de dimetro, con su eje horizontal. Si el por la parbola y = x2 y la recta y = x. (Valor 1.0)tanque est semilleno de un lquido de peso w lb/pie 3 , hllese eltrabajo realizado al vaciarlo por una tubera que va desde el U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORM. EXAMEN FECHA:___________fondo del tanque hasta una salida situada 6 pies encima de la NOMBRE:__________________ COD._________ PROF. SONIA M. MENDOZAparte superior del tanque.1. Un tanque de almacenamiento es un cilindro circular recto de 20(Valor 1.5)pies de largo y 6 pies de dimetro, con su eje horizontal. Si el 2. Un slido se genera haciendo girar la regin acotada por y=x2/2tanque est semilleno de un lquido de peso w lb/pie 3 , hllese ele y = 2 alrededor del eje y. Se perfora un orificio circular,trabajo realizado al vaciarlo por una tubera que va desde elcentrado en el eje de giro, de modo que el slido pierde un cuarto fondo del tanque hasta una salida situada 8 pies encima de lade su volumen.Qu dimetro tiene el orificio? parte superior del tanque.(Valor 1.5)(Valor 1.5) 3. Determinar el tipo y analizar si converge o diverge.(Valor 1.0) 2. Un slido se genera haciendo girar la regin acotada por y=x2/2 ne y = 4 alrededor del eje y. Se perfora un orificio circular, 2(2 x)a. 4nn =1 2 1b. n =0x2 centrado en el eje de giro, de modo que el slido pierde un cuarto de su volumen.Qu dimetro tiene el orificio? (Valor 1.5)3. Determinar el tipo y analizar si converge o diverge. (Valor 1.0) 77. 2. Calcular el rea de la regin R, si est limitada por: x.y = 1;2(2 x) n a. 4n n =121b. n =0 x 2y = 3x; y = x/3. 3. Hallar el volumen generado al girar el rea acotada por laparbola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. 4. Hallar el centroide del rea plana limitada en el primer cuadrante 4. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidadpor la parbola y =3x2 y la recta y = x. (Valor 1.0) ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentrela distancia, desde este extremo al centro de masa. U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORM. EXAMENFECHA:___________5. Un canaln se llena con un lquido cuya densidad es 840 kg/m3. NOMBRE:__________________ COD._________ PROF. SONIA M. MENDOZA Los extremos del canaln son tringulos equilteros de 8 m de lado1. Un tanque de almacenamiento es un cilindro circular recto de 20 y vrtice hacia abajo. Calcule la fuerza hidrosttica sobre uno depies de largo y 6 pies de dimetro, con su eje horizontal. Si ellos extremos del canaln.tanque est semilleno de un lquido de peso w lb/pie 3 , hllese eltrabajo realizado al vaciarlo por una tubera que va desde elfondo del tanque hasta una salida situada 8 pies encima de laU.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL - MATEMATICAS II parte superior del tanque. HABILITACION PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________(Valor 1.5) NOMBRE:________________________________ COD._________________ 2. Un slido se genera haciendo girar la regin acotada por y=x2/2 1. Determinar:e y = 4 alrededor del eje y. Se perfora un orificio circular,3centrado en el eje de giro, de modo que el slido pierde un cuartox +1 sen3 x.dxde su volumen.(Valor 1.5)Qu dimetro tiene el orificio? a. x.dxb.cos x 3. Determinar el tipo y analizar si converge o diverge. (Valor 1.0) 2. Calcular el rea de la regin R, si est limitada por: x.y = 1; n y = 3x; y = x/3. 2 (2 x)a. 4n n =1 2 1n =0 x b. 2 3. Hallar el volumen generado al girar el rea acotada por laparbola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. 4. Hallar el centroide del rea plana limitada en el primer cuadrante 4. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidadpor la parbola y =3x2 y la recta y = x. (Valor 1.0) ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentrela distancia, desde este extremo al centro de masa. U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL - MATEMATICAS II 5. Un canaln se llena con un lquido cuya densidad es 840 kg/m3. HABILITACION PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ Los extremos del canaln son tringulos equilteros de 8 m de lado NOMBRE:________________________________ COD._________________y vrtice hacia abajo. Calcule la fuerza hidrosttica sobre uno de 1. Determinar: los extremos del canaln.3x +1 sen3 x.dx U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL - MATEMATICAS II a. .dxx b. cos x HABILITACION PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ NOMBRE:________________________________ COD._________________ 1. Determinar: 78. 31. Determinar:PROF. SONIA M.x +1 sen3 x.dx a.x .dxb. cos x MENDOZA FEHA: __________3x +1 sen3 x.dx 2. Calcular el rea de la regin R, si est limitada por: x.y = 1;y = 3x; y = x/3.a. .dx b. x cos x 3. Hallar el volumen generado al girar el rea acotada por la 2. Encuentre el trabajo realizado paraparbola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum.bombear agua hasta el borde 4. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidadsuperior de un depsito, que es de 50pies de largo y que tiene extremos semicirculares de radio 10 pies, ( x) = xen un punto a x unidades de un extremo. Encuentre si el depsito est lleno hasta una profundidad de 7 pies.la distancia, desde este extremo al centro de masa.3. Hallar el volumen generado al girar el rea acotada por la 5. Un canaln se llena con un lquido cuya densidad es 840 kg/m3.parbola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum.Los extremos del canaln son tringulos equilteros de 8 m de lado 4. Calcular el rea de la regin R, si est limitada por:y vrtice hacia abajo. Calcule la fuerza hidrosttica sobre uno dey = - x + 2;y = (x - 2)/2; y = x + 2.los extremos del canaln.5. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad ( x) = xen un punto a x unidades de un extremo. Encuentre U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL - MATEMATICAS II la distancia, desde este extremo al centro de masa. HABILITACION PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ NOMBRE:________________________________ COD._________________ U.F.P.S. LIC. MATEM. E INF.- MATEMATICAS II HABILITACION 1. Determinar:NOMBRE:________________________________ COD._________________31. Determinar:PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________x +1 sen3 x.dx a. .dxx b. cos xa. 3 x +1.dxb.sen3 x.dxcos x 2. Calcular el rea de la regin R, si est limitada por: x.y = 1; xy = 3x; y = x/3. 2. Encuentre el trabajo realizado parabombear agua hasta el borde 3. Hallar el volumen generado al girar el rea acotada por lasuperior de un depsito, que es de 50parbola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum.pies de largo y que tiene extremos 4. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidadsemicirculares de radio 10 pies, si el ( x) = xen un punto a x unidades de un extremo. Encuentre depsito est lleno hasta una profundidad de 7 pies.la distancia, desde este extremo al centro de masa.3. Hallar el volumen generado al girar el rea acotada por la 5. Un canaln se llena con un lquido cuya densidad es 840 kg/m3.parbola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum.Los extremos del canaln son tringulos equilteros de 8 m de lado 4. Calcular el rea de la regin R, si est limitada por:y vrtice hacia abajo. Calcule la fuerza hidrosttica sobre uno dey = - x + 2;y = (x - 2)/2; y = x + 2.los extremos del canaln. U.F.P.S. LIC. MATEM. E INF.- MATEMATICAS II HABILITACION 79. 5. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad 4. Calcular el rea de la regin R, si est limitada por: ( x) = xen un punto a x unidades de un extremo. Encuentrey = - x + 2;y = (x - 2)/2; y = x + 2. 5. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad la distancia, desde este extremo al centro de masa. U.F.P.S. LIC. MATEM. E INF.- MATEMATICAS II HABILITACION ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre 1. Determinar: PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________la distancia, desde este extremo al centro de masa. 3 U.F.P.S. - ING. CIVL- MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL FEHA: __________ x +13sen x.dxa. x.dxb. cos x NOMBRE:________________________________ COD.____________________ 1. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una parbola con la ecuacin y = kx2. Cada una de sus torres tiene 2. Encuentre el trabajo realizado parabombear agua hasta el bordeuna altura aproximada de 155 metros. y tiene una anchurasuperior de un depsito, que es de 50principal aproximadamente de 1400 metros. Determine la longitudpies de largo y que tiene extremos del cable parablico a lo largo de la anchura principal.semicirculares de radio 10 pies, si el 2. Una placa en forma de tringulo issceles con base de 6 pies ydepsito est lleno hasta una profundidad de 7 pies. altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia arriba, 5 pies bajo la superficie de una piscina. Hallar la fuerza 3. Hallar el volumen generado al girar el rea acotada por la ejercida por el agua contra un lado de la placa.parbola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. 3. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad (x) = 4. Calcular el rea de la regin R, si est limitada por: (x)1/2 en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre lay = - x + 2;y = (x - 2)/2; y = x + 2.distancia, desde este extremo al centro de masa. 5. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad 4. Encontrar el volumen del slido formado al girar la regin acotada ( x) = xen un punto a x unidades de un extremo. Encuentre por las grficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x = la distancia, desde este extremo al centro de masa. 2. 5. Determine a que tipo de serie pertenece, halle su suma si es posible y determine su carcter: (1/n.(n+1)) U.F.P.S. LIC. MATEM. E INF.- MATEMATICAS II HABILITACION NOMBRE:________________________________ COD._________________ 1. Determinar:PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ 3 x +1 sen3 x.dxa. x.dxb. cos xU.F.P.S. - ING. CIVL- MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL FEHA: __________ 2. Encuentre el trabajo realizado paraNOMBRE:________________________________ COD.____________________bombear agua hasta el borde1. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de unasuperior de un depsito, que es de 50parbola con la ecuacin y = kx2. Cada una de sus torres tienepies de largo y que tiene extremos una altura aproximada de 155 metros. y tiene una anchurasemicirculares de radio 10 pies, si el principal aproximadamente de 1400 metros. Determine la longituddepsito est lleno hasta una profundidad de 7 pies. del cable parablico a lo largo de la anchura principal. 3. Hallar el volumen generado al girar el rea acotada por la 2. Una placa en forma de tringulo issceles con base de 6 pies yparbola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia 80. arriba, 5 pies bajo la superficie de una piscina. Hallar la fuerzauna altura aproximada de 155 metros. y tiene una anchuraejercida por el agua contra un lado de la placa.principal aproximadamente de 1400 metros. Determine la longitud 3. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad (x) = del cable parablico a lo largo de la anchura principal.(x)1/2 en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre la2. Una placa en forma de tringulo issceles con base de 6 pies ydistancia, desde este extremo al centro de masa.altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia 4. Encontrar el volumen del slido formado al girar la regin acotadaarriba, 5 pies bajo la superficie de una piscina. Hallar la fuerzapor las grficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x =ejercida por el agua contra un lado de la placa.2. 3. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad (x) = 5. Determine a que tipo de serie pertenece, halle su suma si es(x)1/2 en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre laposible y determine su carcter: (1/n.(n+1)).distancia, desde este extremo al centro de masa. 4. Encontrar el volumen del slido formado al girar la regin acotada U.F.P.S. - ING. CIVL- MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL FEHA: __________ por las grficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x = NOMBRE:________________________________ COD.____________________ 2. 1. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una 5. Determine a que tipo de serie pertenece, halle su suma si es parbola con la ecuacin y = kx2. Cada una de sus torres tiene posible y determine su carcter: (1/n.(n+1)) una altura aproximada de 155 metros. y tiene una anchura principal aproximadamente de 1400 metros. Determine la longitud U.F.P.S. LIC. MAT. E INF. MATEMATICAS II - EXAMEN FEHA: __________ del cable parablico a lo largo de la anchura principal.NOMBRE:________________________________ COD.____________________ 2. Una placa en forma de tringulo issceles con base de 6 pies y 1. Demuestre que el centro de masa de cualquier varilla delgada altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia con densidad constante, se encuentra ubicado en medio de sus arriba, 5 pies bajo la superficie de una piscina. Hallar la fuerzaextremos. ejercida por el agua contra un lado de la placa.2. Una placa en forma de tringulo issceles con base de 6 pies y 3. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad (x) =altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia (x)1/2 en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre la arriba, 5 pies bajo la superficie de una piscina. Hallar la fuerza distancia, desde este extremo al centro de masa.ejercida por el agua contra un lado de la placa. 4. Encontrar el volumen del slido formado al girar la regin acotada 3. Determine a que tipo de serie pertenece, halle su suma si es por las grficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x =1 2. posible y determine su carcter: n(n + 1) n =1 5. Determine a que tipo de serie pertenece, halle su suma si es posible y determine su carcter: (1/n.(n+1)) 4. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de unaparbola con la ecuacin y = kx2. Cada una de sus torres tieneuna altura aproximada de 155 metros. y tiene una anchuraprincipal aproximadamente de 1400 metros. Determine la longituddel cable parablico a lo largo de laanchura principal. U.F.P.S. - ING. CIVL- MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL FEHA: __________5. Encuentre el trabajo realizado para NOMBRE:________________________________ COD.____________________ bombear agua hasta el borde superior 1. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de unade un depsito, que es de 50 pies de parbola con la ecuacin y = kx2. Cada una de sus torres tiene largo y quetiene extremos 81. semicirculares de radio 10 pies, si el depsito est lleno hasta una profundidad de 7 pies.U.F.P.S. - LIC. MATEMATICAS E INF. MATEMATICAS IIHABILITACIONNOMBRE:_______________________________COD.______________PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:_____________1. Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de