Física I- Expansión Térmica de Sólidos y Líquidos (Autoguardado)

8/17/2019 Física I- Expansión Térmica de Sólidos y Líquidos (Autoguardado)

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TRABAJO Y ENERGÍADEFINICIÓN DE TRABAJO DE UNA FUERZA

dW =´

F ∗d ŕ

dW = F ∗dr∗cos (θ )

dW = F t ∗dr

Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, dr es el

módulo del vector desplazamiento d ŕ , y θ el ángulo que forma el vector

fuerza con el vector desplazamiento.

El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma detodos los trabajos innitesimales

W AB= limm→∞

´ F ∗∆ ŕ=∫ A

B

´ F ∗d ŕ

W AB=∫ A

B

F t ∗dr


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Signifcado geomt!ico es el área bajo la representación gráca de lafunción que relaciona la componente tangencial de la fuerza F t, y eldesplazamiento s.

!uando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando lacomponente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.

W = F t ∗dr

Ca!acte!"#tica#

". El trabajo realizado por una fuerza es una magnit$d e#ca%a!.&' #as unidades del trabajo realizado por una fuerza son$

W = [ ´ F ]∗[ L ][ N ]∗[ m ]=[1J ]

%. !omo se dene a partir del (!od$cto e#ca%a! de do# )ecto!e# sufórmula es$

W =∫ A

B

´ F ∗d ŕ=∫ A

B

F ∗dr cos(θ)

Entonces el trabajo realizado por una fuerza es$& m*+imo cuando es tangente a la trayectoria de una part'cula

(θ=0°)

& m"nimo ,ce!o- cuando es perpendicular a la trayectoria (θ=90°)

(. Al dividir la fuerza en$& Com(onente tangente a %a t!a.ecto!ia y otra no!ma% a %a

t!a.ecto!ia, se tiene que el trabajo se debe a la componente

tangencial mientras que la componente normal no efect)a ning)ntrabajo. Es decir, solo la componente que produce una variación enel módulo de la velocidad produce trabajo.

& En un movimiento circular con velocidad angular constante, lafuerza neta aplicada al sistema no realiza trabajo alguno.

*. +i la componente tangencial de la fuerza act)a$

• En el mismo sentido del movimiento, la part'cula se acelera, por tanto$ elproducto escalar -/trabajo0, es (o#iti)o'

• En sentido contrario al movimiento, la part'cula se decelera, por tanto$ elproducto escalar -/trabajo0, es negati)o.

• De forma perpendicular al desplazamiento, el trabajo es n$%o.


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1. El trabajo que realiza una fuerza depende de la trayectoria seguida porla part'cula de A 2asta B.

3. El trabajo que realiza una fuerza tangencial en todo punto de latrayectoria y de módulo constante, para llevar una part'cula de un

punto A al punto B es

W AB=∫ A

B

´ F ∗d ŕ=∓∫ A

B

F ∗dr=∓ F ∫ A

B

dr=∓ ( F ∗ L )

Donde # es la longitud total de la trayectoria seguida.

EJERCICIO /

Si $na (a!t"c$%a !eco!!e 0 m 1a2o %a acci3n de $na 4$e!5acon#tante6 ca%c$%a!7a' E% t!a1a2o !ea%i5ado (o! %a 4$e!5a 8 N 9$e 4o!ma $n *ng$%o

de 0:; con %a


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W = F F F F F F F F F F F F ⋅ ∆ rr r r r r r r r r r r = F ⋅ ∆ r ⋅ cos(α )

Datos$

6 / "77 8

9r / * m

ma: / ;

El trabajo má:imo capaz de desarrollar la máquina se da cuando la fuerza

y el desplazamiento tienen la misma dirección, puescos(θ)=cos(0)=1.

Wmax= F ∗∆ r∗cos (0)=100∗5=500 J

A2ora si nos dan los siguientes datos$

6 / "77 8

9r / * m

/ esolvemos aplicando la misma e:presión anterior

W = F ⋅∆ r ⋅cos (α )

cos (α )= W

∆ r∗ F =

250J

5m∗100 N

α =cos−1 (0.5)=π

3 rad=60 °

EJERCICIO >'Ca%c$%a! e% t!a1a2o nece#a!io (a!a e#ti!a! $n m$e%%e ? cm6 #i %acon#tante de% m$e%%e e# /::: N@m'

a 4$e!5a nece#a!ia (a!a de4o!ma! $n m$e%%e e# F =1000 · x N 6

donde ,+- e# %a de4o!maci3n' E% t!a1a2o de e#ta 4$e!5a #e ca%c$%amediante %a integ!a%

https://www.fisicalab.com/apartado/desplazamientohttps://www.fisicalab.com/apartado/desplazamiento


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W =∫ A

B

F ∗dx

W =∫ A

B

(1000∗ x ) dx=1000∫0

0,05

( x )dx=1000 ( x2

2 )00,05

=1,25 J

El área del triángulo es de ",?;6 /8:;'

ENERGÍA CINTICA

+i F es la fuerza que act)a sobre una part'cula de masa m'


6/23

W =∫ A

B

´ F . d ŕ=∫ A

B

F t ∗dr

Aplicando la eordenando factores se tiene, el cociente entre el desplazamiento -d!- yel tiempo ,dt-6 o la velocidad que es lo mismo.

W =∫ A

B

(m∗dr

dt ). dv=∫ AB

( m∗v ) . dv=¿

W =m∫ A

B

v.dv

W =m( v2

2 ) AB

( vB )[¿¿2−(v A )

2]

W =1

2 m¿

El trabajo de dicha fuerza (F) es igual a la diferencia entre la energ'acintica nal e inicial de la part'cula.Entonces la energ'a cintica se dene como$

Ec=12

m .v2

TEOREA DE TRABAJOENERGÍA

El trabajo realizado sobre una part'cula por una fuerza resultante modicasu energ'a cintica@.

EJERCICIO ?

Ha%%a! %a )e%ocidad con %a =$e #a%e $na 1a%a de#($# de at!a)e#a!$na ta1%a de cm de e#(e#o! . =$e o(one $na !e#i#tencia

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular1/circular1.htm#Aceleraci%C3%B3n%20tangencialhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular1/circular1.htm#Aceleraci%C3%B3n%20tangencial


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con#tante de F/8:: N' a )e%ocidad inicia% de %a 1a%a e# de ?:m@# . #$ ma#a e# de /? g'

El trabajo realizado por la fuerza 6 -&0 es

W = (−1800 N ) · (0,07m )=−126 J

( vB )[¿¿2−(v A )

2]

W =12 m¿

−126 J =1

2 (15 g∗1kg103 g )∗[( vB )2−(450 ms )2

]

v B=431m

s

ENERGÍA OTENCIA

Fuerza es conservativa, cuando el trabajo realizado por esta fuerza esigual a la diferencia entre el valor inicial y nal de la función

E p= E p( x ! ")

W =∫ A

B

F .dr= Ep A− EpB

Esta función solo depende las coordenadas, y se la conoce como energía potencial.

E p= E p( x ! ")

Acotaciones importantes


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& Entonces el trabajo de una fuerza conservativa no depende delcamino seguido para ir del punto A al punto B.

& El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un caminocerrado es cero.

∮ F . dr=0

EJERCICIO 0

So1!e $na (a!t"c$%a actKa %a 4$e!5a F =(2 x! #+ x2 $) N ' Ca%c$%a! e%

t!a1a2o e4ect$ado (o! %a 4$e!5a a %o %a!go de% camino ce!!adoABCA'

a c$!)a AB e# e% t!amo de (a!*1o%a != x

2

3

BC e# e% #egmento de %a !ecta =$e (a#a (o! %o# ($nto# ,:6/-. ,>6>-

CA e# %a (o!ci3n de% e2e Y =$e )a de#de e% o!igen a% ($nto,:6/-

SOUCIÓN

El trabajo innitesimal dL es el producto escalar del vector fuerza por elvector desplazamiento

dW = F · dr=( F x #+ F ! $ )· (dx #+d! $ )= F x . dx+ F ! . d!

& x ! se relacionan mediante la ecuación de la

trayectoria !=% ( x)

& dx 6 d ! se relacionan a travs de d!=% &( x )· dx . Donde % & ( x)

quiere decir, derivada de la función % ( x)

con respecto a x

.


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rocedemos a calcular el trabajo en cada uno de los tramos y el trabajototal en el camino cerrado.

a' T!amo AB7

Crayectoria$ !=

x2

3 ,

d!=2

3 x·dx

.

+e tiene que$ F =(2 x! #+ x2

$) N

F

(¿¿ x dx+ F ! d!)[ N ]dW =¿

dW =(2 x∗ x2

3 )dx+( x2∗23

x.dx )

dW =( 2 x3

3 )dx+(2 x3

3 )dx

dW =( 43 x3)dx

W AB=4

3∫0

3

x3dx

W AB=4

3 ( x4

4 )03

W AB=1

3 [34−0 ]

W AB=27J

1' T!amo BC

T!a.ecto!ia7 recta que pasa por los puntos -7,"0 y -%,%0


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p'(d#'(t' (m )=1−30−3

=2

3

!=mx+)

a!a e% ($nto ,:6/-

1=( 0∗23 )+)→)=1Entonces la recta queda$

!=2

3 x+1

d!=2

3. dx

+e tiene que$ F =(2 x!#+ x2 $) N

F

(¿¿ x dx+ F ! d!)[ N ]dW =¿

dW =(2 x∗[

2

3 x+1])dx+(

x2∗23 dx )

dW =( 43 x2)dx+(2 x )dx+( 23 x 2)dx

dW =(2 x2 )dx+(2 x ) dx

dW =(2 x2

+2 x ) dx

W B* =2∫3

0

( x2+ x ) dx

W B* =2[ x3

3 +

x2

2 ]30


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W B* =2[(03

3 +

02

2 )−( 33

3 +

32

2 )]W AB=−27 J

c' T!amo CD

#a trayectoria !=1

d!=0.dx

Además7 +:

+e tiene$ F =(2 x! #+ x2

$) N

F

(¿¿ x dx+ F ! d!)[ N ]dW =¿

dW =(2∗0∗1 ) dx+(02

∗0 ) dx

dW =0→W *A=0

W AB*A=W AB+W B* +W *A=27+ (−27 )+0=0

EMANSIÓN TRICA DE SÓIDOS Y Í9UIDOS

• El estudio del te!m3met!o %"=$ido utiliza el cambio mejor conocido enuna sustancia$

“A medida que aumenta la temperatura, su volumen aumenta”

• Este fenómeno se conoce como expansión térmica.

AICACIONES7 en juntas de e:pansión trmica, en edicios, autopistasde concreto, v'as ferroviarias, paredes de ladrillo, puentes, etc. ara

compensar los cambios dimensionales que ocurren a medida que cambiala temperatura.


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• #a expansión térmica se da por la separación promedio entre losátomos en un objeto.

• A temperatura ordinaria, la distancia de los átomos está casi a "7 &"" m y

una frecuencia cercana a "7"% z.

• El espaciamiento promedio entre los átomos es más o menos de "7 &"7 m.

A medida que la temperatura del sólido aumenta, los átomos oscilan conmayores amplitudes como resultado, la separación promedio entre ellosaumenta. n consecuencia! el objeto se expande.

+uponga que un objeto tiene$

" #ongitud inicial L# a determinada temperatura

" Esta longitud aumenta en un ∆ L para un cambio de temperatura

∆ + . uesto que un cambio en longitud se da por cada grado de

cambio en temperatura.

Entonces el coeciente de e:pansión lineal promedio se dene como

α =∆ L/ L#

∆ +

#os e:perimentos demuestran que ∝ es constante para pequeFos

cambios de temperatura.ara propósitos de cálculo, esta ecuación por lo general se escribe como$

∆ L=α ∗ L#∗∆ +

L% − L#=α ∗ L#∗(+ % −+ # )

Dónde&

L% ! L# 7 son longitudes inicial y nal

& + % ! + # 7 son temperatura inicial y nal

& α # coeciente promedio de e:pansión lineal para un material

determinado en G!&"

Es )til pensar en la e:pansión trmica como un aumento efectivo o como

una ampliación fotográca de un objeto. or ejemplo, a medida que una

rondana metálica se calienta, gura "H.4


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Codas las dimensiones, incluido el radio del oricio, aumentan de acuerdo

con la ecuación$∆ L=α ∗ L#∗∆ +

Cambin la cavidad en un trozo de material se e:pande de igual forma

como si la cavidad estuviese llena con el material.

A continuación se menciona los coecientes de e:pansión lineal promedio

de diferentes materiales.

ara estos materiales α es

positiva, lo que indica un

aumento en longitud a

temperatura creciente.

+in embargo, ste no siempre es

el caso. En algunas sustancias,como la calcita -!a!I%0

cuando: se expanden a lo largo

de una dimensión ( α

positiva), y si se contraen en otra

dimensión ( α negativa), a medida que sus temperaturas aumentan.

EMANSIÓN OUTRICA


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• uesto que las dimensiones lineales de un objeto cambian con la

temperatura, entonces el área supercial y el volumen tambin cambian.

Este cambio en volumen es proporcional al volumen inicial Ji y al cambio

en temperatura de acuerdo con la relación$

∆ , = -∗, #∗∆ +

Donde - es el coeciente de e:pansión volumtrica promedio, Ji el

volumen inicial y ∆ + la variación de temperatura.

• ara encontrar la correspondencia entre α y - , suponga que el

coeciente de e:pansión lineal promedio del sólido es el mismo en todas

direcciones es decir, suponga que el material es isotrópico.

• !onsidere una caja sólida de dimensiones l, ? y 2. +u volumen a cierta

temperatura Ci es Ji., #=∗/∗0

+i la temperatura cambia a

+

(¿¿ #+∆+ )¿

, su volumen cambia a

,

(¿¿ #+∆ , )¿

'

or lo tanto$(, #+∆ , )=( ∗/∗0 )+(∆ ∗∆ /∗∆0 )

(, #+∆ , )=( +∆ )∗(/+∆ / )∗(0+∆ 0)

(, #+∆ , )=[ +(∝∗∗∆+ )]∗[/+(∝∗/∗∆ + )]∗[0+(∝∗0∗∆ + )]

(, #+∆ , )=(∗/∗0)∗(1+∝∆ + )3

(, #+∆ , )=, #∗[1+3∝ ∆ + +3 (∝ ∆ + )2+(∝ ∆ + )3 ]

( , #+∆ , ), # =

, #

, #∗[1+3∝∆ + +3 (∝∆ + )2

+ (∝∆ + )3

]


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1+∆ ,

, #=1+3∝ ∆ + +3 (∝ ∆ + )2+ (∝ ∆ + )3

∆ , , #

=3∝∆ + +3 (∝∆ + )2+ (∝∆ + )3(a)

De aqu' (∝ ∆ + ≪1) es un valor pequeFo, ya que ∝ está elevado a "7&1.

Kncluso para valores representativos de ∆ + (¿ 100°* ) , al estar elevados

(∝ ∆+ )2 ! (∝ ∆ + )3 , es posible despreciarlos.

3

(∝ ∆+ )2 0¿0

Luedando la ecuación -a0,∆ ,

, #=3∝∆ +

∆ , = (3∝ )∗, #∗∆ +

Al comparar con la ecuación$

∆ , = -∗, #∗∆ +

+e tiene que$(3∝)= -

A continuación se presenta se presenta los coecientes de e:pansión

promedio para algunos l'quidos.


16/23

DEOSTRACIÓN DE REA DE UNA ACA RECTANGUAR

• En forma similar, se puede demostrar que el cambio en el área de una

placa rectangular está dada por∆ A=2∗∝∗ A #∗∆+

+e sabe que la plaza es muy na por lo que espesor es despreciable,

entonces solo se tiene los lados del rectángulo largo -l0 y anc2o -a0

A #=∗a

+i la temperatura cambia

+

(¿¿ #+∆+ )¿

, el área tambin cambia

A

(¿¿ #+∆ A)¿

( A#+∆ A)= (∗a )+( ∆ ∗∆ a )

( A#+∆ A)= (+∆ )∗(a+∆ a )

( A#+∆ A)= [+(∝∗∗∆ + )]∗[ a+(∝∗a∗∆ + )]

( A#+∆ A)=(∗a)∗(1+∝∆+ )2

( A#+∆ A )= A#∗[1+2∝ ∆ + +(∝∆ + )2 ]


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( A #+∆ A ) A #

= A#

A#∗[1+2∝ ∆+ +(∝ ∆ + )2 ]

1+

∆ A

A# =1+2∝

∆ + + (∝

∆ + )

2

∆ A

A#=2∝∆ + +(∝ ∆+ )2())

De aqu' (∝∆ + ≪1) es un valor pequeFo, ya que ∝ está elevado a "7&1.

Kncluso para valores representativos de ∆ + (¿ 100 ° * ) , al estar elevados

(∝ ∆+ )2 se 2ace más pequeFo, por lo que, es posible despreciarlos.

(∝∆+ )2 0

Luedando la ecuación -a0,∆ A

A#=2∝∆ +

∆ A=(2∝ )∗ A #∗∆+

EJERCICIOS

/' Un mat!a5 )o%$mt!ico


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SOUCIÓN

, % =, #+∆ ,

,

(¿¿ % −, #), % =100mL+¿

>ecordemos que∆ L=∝∗ L∗∆ +

a!te ,a-Entonces el volumen al cual se e:pande el matraz al colocar la acetona a

%*G! es$

, ac't2(a (35° * )=, exp . p1r'x (35° * )=, p1r'x (20 ° * )+(∝∗, p1r'x(20° * )∗∆+ )

, ac't2(a (35°* )=, exp . p1r'x (35°* )=, p1r'x (20 °* ) (1+∝∗∆ + )

, ac't2(a (35° * )=, exp . p1r'x (35° * )=100mL 1+(3,2∗10−6 1° * )(35−20 ) °*

, ac't2(a (35° * )=, exp . p1r'x (35° * )=100,0048 mL

A2ora cuando la acetona se enfr'a en el matraz 2asta


19/23

, ac't2(a (20° * )=, p1r'x (20 °* )d'sp4's d''(%r#am#'(t2=99,779789mL

arte -b0

M variación de volumen del matraz cuando este está a %*G!, una vezcolocado la acetona.

5var#ac#6(=,

p1r'x (35 ° * )−, p1r'x (20 ° * ), p1r'x( 20° * )

∗100

5var#ac#6(=100,0048−100

100 ∗100

5var#ac#6(=4,8∗10−3

&' En $n d"a de in)ie!no6 %a tem(e!at$!a de %a ca!a inte!na de $na(a!ed e# ma.o! =$e %a de %a ca!a e+te!na de %a mi#ma'a tem(e!at$!a e+te!na e# ig$a% a %a tem(e!at$!a am1ienta%6Q#" o no E+(%i=$e'

SOUCIÓN

∫¿−+ 'xt + ¿¿

kA

L ¿

∫¿

+ ¿¿

kA

L ¿

∫¿+ ¿¿

kA

L ¿


20/23

∫ ¿+ ¿¿

+0A (+ ∞ )kA

L ¿+ 'xt =¿

∫ ¿+ ¿¿

+0A (+ ∞ )kA

L ¿

+ 'xt =¿

∫ ¿+ ¿¿

kA

L ¿

+ 'xt =¿

∫ ¿+ ¿¿

kA ¿+ 'xt =¿

∫ ¿+ ¿¿¿

+ 'xt =¿

ara comprobar si+ 'xt 7 + ∞ , doy valores$

k =0,13 W

m ° 8 60=15

W

m2° 8 6

∫¿=30 °* L=0,4m+ ¿


21/23

+ 'xt = (30 ° * )

(15 W m2° 8 )(0,4 m)

(0,13

W

m ° 8

)

+1

+ (+ ∞ )

1+(0,13 W m ° 8 )

(15

W

m2

° 8

)(0,4m)

+ 'xt =0,636 °* +0,979+ ∞

Asumiendo que$+ 'xt =10°*

10°* −0,636 ° * =0,979+ ∞

* =9,56

∴+ 'xt >+ ∞

>' a ma#a de $n g%o1o ae!o#t*tico . #$ ca!gamento ,#in inc%$i! e%ai!e en #$ inte!io!- e# de &:: g' E% ai!e e+te!io! e#t* a /: ;C ./:/ a' E% )o%$men de% g%o1o e# de :: m> 6 Qa =$tem(e!at$!a m"nima de1e ca%enta!#e e% ai!e en e% g%o1o ante#

de =$e #te em(iece a a#cende! ,a den#idad de% ai!e a /:;Ce# de /6&? g@m>-

Dato#7

9a#r'10 °* =1,25 kg

m3

:; a#r'=28,9 g

m2

SOUCIÓN

E:isten dos formas de encontrar la densidad del aire interno -dentro

del globo0.K. or sumatoria de fuerzas en y.


22/23

∑ F!=0

F 'mp3$'− :'s2=0

[ (, ∗∆ 9)∗g ]−[mg2)2∗g ]=0

[400m3∗(1,25 kgm3− 9a#r'#(t'r(2)∗9,8 ms2 ]−[200kg∗9,8 ms2 ]=0

9a#r'#(t'r(2=0,75 kg

m3

KK. or análisis$El globo empezará a subir cuando la sumatoria de la densidad

del globo más la densidad del aire interno sean superior a la

densidad del aire ambiente, entonces, antes de que el globo

empiece a subir, estas deberán igualarse como e indica a

continuación.

9a#r'10 ° * = 9g2)2+ 9 a#r'#(t'r(2

1,25 kg

m3=

200kg

400m3+ 9a#r' #(t'r(2

9a#r'#(t'r(2=0,75 kg

m3

+i se asume que el aire interno -dentro del globo0 se comporta

como gas ideal, se tiene que$

9a#r'#(t'r(2= :∗ :;


23/23

+ =( 101101325 )∗(28,9kg)

(0,75 kgm3 )(8,2∗10−5 m

3

° 8 )

+ =( 101∗28,9∗105

0,75∗8,2∗101325 )° 8

+ =468,4 ° 8 =195,4° *

' Si $n ca%o!"met!o de ma#a de#(!ecia1%e #e me5c%an & g de

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