FÍSICA GENERAL. ESTATICA

8/10/2019 FSICA GENERAL. ESTATICA

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4.1. Introduccin

Este captulo aborda las condiciones en que un objeto rgido est en

equilibrio. El termino equilibrio implica que el objeto est en reposo o que

su centro de masa se mueve con velocidad constante en relacin con un

observador en un marco de referencia inercial. Aqu solo se trata con el

primer caso, en el que el objeto est en equilibrio esttico. El equilibrio

esttico representa una situacin comn en la prctica ingenieril, y los

principios que involucra son de especial inters para ingenieros civiles,

arquitectos e ingenieros mecnicos. Si es estudiante de ingeniera, sin

duda llevara un curso avanzado de esttica.

4.2. Objeto rgido en equilibrio

En captulos anteriores se explic el modelo de partcula en equilibrio, en

el que una partcula se mueve con velocidad constante porque la fuerza

neta que acta sobre ella es cero. La situacin con objetos reales

(extendidos) es ms compleja, porque dichos objetos con frecuencia no

se pueden modelar como partculas. Para que un objeto extendido este

enequilibrio, se debe satisfacer una segunda

condicin; la cual incluye el momento de

torsin neto que acta sobre el objeto

extendido.

Considere una sola fuerza que acta sobreun objeto rgido, como se muestra en la figura

4.1. El efecto de la fuerza depende de la

ubicacin de su punto de aplicacin P. Si esel vector de posicin de este punto relativo a O, el momento de torsin

CAPTULO IV:

ESTTICA

Dibujo 4.1


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asociado con la fuerza respecto a un eje a travs de O se conoce por laecuacin:

=

Dibujo 4.2

Recuerde de la explicacin del producto vectorial en la seccin de

vectores, que el vector es perpendicular al plano que forman y .Puede usar la regla de la mano derecha para determinar la direccin de

, como se muestra en la figura 4.2. Por tanto, en la figura 4.1 se dirigehacia usted afuera de la pgina.

Como puede ver de la figura 4.1, la tendencia de

a dar vuelta el objeto

respecto a un eje a travs de O depende del brazo de momento d, as

como de la magnitud de .Recuerde que la magnitud de es Fd.En esta explicacin se investigan aquellas situaciones rotacionales en las

cuales la aceleracin angular de un objeto rgido es cero. La condicin

necesaria para equilibrio rotacional es que el momento de torsin neto

alrededor de algn eje debe ser cero. Ahora se tienen dos condiciones

necesarias para el equilibrio de un objeto:

1. La fuerza externa neta sobre el objeto debe ser igual a cero:

= 02. El momento de torsin externo neto sobre el objeto alrededor de

cualquier eje debe ser cero:

= 0


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Estas condiciones describen el modelo de anlisis de objeto rgido en

equilibrio. La primera condicin es un enunciado del equilibrio

traslacional; establece que la aceleracin trasnacional del centro de masa

del objeto debe ser cero cuando se ve desde un marco de referencia

inercial. La segunda condicin es un enunciado de equilibrio rotacional;

afirma que la aceleracin angular en torno a cualquier eje debe ser cero.

En el caso especial de equilibrio esttico, que es el tema principal de

este captulo, el objeto en equilibrio est en reposo relativo con el

observador y por eso no tiene rapidez traslacional o angular.

Las dos expresiones vectoriales conocidas por las ecuaciones anteriores

son equivalentes, en general, a seis ecuaciones escalares: tres de la

primera condicin para equilibrio y tres de la segunda (que corresponden

a las componentes x, y y z). Por tanto, en un sistema complejo que

involucra muchas fuerzas que actan en varias direcciones, se podra

enfrentar con resolver un conjunto de ecuaciones con muchas incgnitas.

En este caso la discusin se restringe a situaciones en las que todas las

fuerzas se encuentran en el plano xy. (Se dice que las fuerzas cuyas

representaciones vectoriales estn en el mismo plano son coplanares)

Con esta restriccin, solo debe lidiar con tres ecuaciones escalares. Dos

vienen de equilibrar las fuerzas en las direccionesx e y. La tercera viene

de la ecuacin de momento de torsin, especialmente cuando el momento

de torsin neto en torno a un eje perpendicular a travs de cualquier punto

en el planoxy debe ser cero. Por tanto, las dos condiciones del modelo

del objeto rgido en equilibrio proporcionan las ecuaciones:

= 0 , = 0 = 0Donde la ubicacin del eje de la ecuacin del momento de torsin es

arbitraria.

4.3. Diagrama de cuerpo libre (DCL)

Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un diagrama vectorial que describe

todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo u objeto en particular.


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Consiste en colocar la partcula en el origen de un plano de coordenadas,

y representar a las fuerzas que actan sobre ella por medio de los

vectores correspondientes, todos concurrentes en el origen.

El objetivo de realizar los DCL es visualizar mejor el sistema de fuerzas

que actan sobre un cuerpo; adems, se identifican mejor las fuerzas

pares, como la de accin - reaccin y las componentes de las fuerzas.

Si en un sistema existen dos o ms cuerpos de inters, stos se deben

separar y cada uno tiene un DCL propio con sus respectivas fuerzas

actuando.

Ejemplos: Dibujar el Diagrama de Cuerpo Libre de las figuras mostradas.

4.4. Problemas resueltos

1. Determinar la fuerza P necesaria para

mantener el motor de 200 kg en la

posicin en la cual = 30. El dimetro

de la polea B es despreciable.

Solucin:


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Como el tringulo que forman las cuerdas es issceles (AC = AB) y el

ngulo = 30, los ngulos B y C son iguales a 75.

Peso del motor = mg = 200 kg . 10 m/s2= 2 000 N

Por Ley de senos, tenemos:

(+) = P = 1 793,15 N

2. El poste uniforme de 15 m tiene una masa de 150 kg y apoya sus

extremos lisos contra las paredes verticales, siendo T la tensin del

cable vertical que lo soporta. Calcular las reacciones enA y B.

Solucin:

El peso del poste es = mg = 150 kg x 10 10 m/s2= 1 500 N

P

15= 30

C

2 000 N

75

T

1 500

BY

AY

4 8

6

9


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La distancia horizontal de la lnea de accin de la tensin T est

ubicada a 4 m del punto A.

La lnea de accin del peso del poste est en la mitad de su longitud.

La inclinacin del poste es de 37,

por tanto, la distancia vertical de A hacia B es 9 m

Clculo de la tensin T:

Fy = 0T1 500 = 0 T = 1 500 N

Clculo de las reacciones:

MA= 0 +

1 500 (4)1 500 (6) + BY(9) = 0 BY= 333,33 N

Fx = 0 AY- BY= 0 AY= BY AY= 333,3 N

3. Sin carga, la camioneta de 1600 kg tiene su centro de gravedad en la

posicin que se indica. Si se aade un carga cuyo centro de gravedad

se encuentra a una distancia x = 400 mm por detrs del puente

trasero, determinar para qu peso WL de esa carga sern iguales las

fuerzas reactivas sobre todas las ruedas.

Solucin:

Por condicin del problema, las reacciones en las ruedas con iguales.

MA= 0 +

- 16 000 (1 125) + R (2 800)WL (3 200) = 0

A B

1 675 4001 125

R R

16 000 WL

G


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7 R8 WL = 45 000 . (1)

Fy= 0

R + R16 000WL = 0

WL = 2 R16 000 . (2)

Reemplazando (2) en (1)

7 R8 (2 R16 000) = 45 000

R = 9 222,22 N

En (1): WL = 2 444,44 N

4. Un saco de cemento de 325 N de peso cuelga en equilibrio de tres

alambres, como se muestra en la figura. Dos de los alambres forman

ngulos 1= 60 y 2= 25 con la horizontal. Si supone que el sistema

est en equilibrio, encuentre las tensiones T1, T2y T3en los alambres.

Solucin:

Por la ley de senos:

115 =

150 =

95

= = 325 0,9 =

0,5 =

325 0,99

=0,9 325

0,99 = 295,7

=0,5 325

0,99 = 163,12

5. Una escalera uniforme de 15 m que pesa 500 N descansa contra unapared sin friccin. La escalera forma un Angulo de 60 con la

T2

2560

T3

95

T1


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horizontal. a) Encuentre las fuerzas horizontal y vertical que ejerce el

suelo sobre la base de la escalera cuando un bombero de 800 N est

a 4 m desde la parte baja.

Solucin:

MO= 0 +

R (15 Sen60) - 500 (7,5 Cos60)800 (4 Cos60) = 0

R = 267,5 N

Fy= 0

V800 - 500 = 0

V = 1 300 N

Fx= 0

HR = 0

H = R = 267,5 N

6. Un automvil de 1 500 kg tiene una base de ruedas (distancia entre

los ejes) de 3 m. El centro de masa del automvil est en la lnea de

centros en un punto 1,20 m detrs del eje frontal. Encuentre la fuerza

que ejerce el suelo sobre cada rueda.

Solucin:

Sea R1la reaccin en cada rueda delantera y R2la reaccin en cada

rueda trasera:

800 N500 N

R

H

V

O

A B

2R1 2R215 kN

1,2 m 1,8 m


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MA= 0 +

- 15 x 1,2 + 2R2x 3 = 0 = 0

R2= 3 kN

Fy= 0

2R115 + 6 = 0

R1= 4,5 kN

7. Un puente de 50.0 m de largo y 8.00 x 104kg de masa est sostenido

sobre un pilar uniforme en cada extremo, como muestra la figura. Un

camin de 3 x 104kg de masa se ubica a 15 m de un extremo. Cules

son las fuerzas sobre el puente en los puntos de soporte?

Solucin:

MA= 0 +

- 300 x 15 - 800 x 25 + B x 50 = 0 = 0

B = 490 kN Fy= 0

A300800 + 490 = 0

A = 610 kN

8. Un oso hambriento que pesa 700 N camina hacia afuera de una viga

en un intento por recuperar una canasta de comida que cuelga en el

extremo de la viga. La viga es uniforme, pesa 200 N y mide 6 m delargo; la canasta pesa 80 N. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre

A B

300 kN

15 m 35 m

800 kN


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para la viga. b) Cuando el oso est enx = 1.00 m, encuentre la tensin

en el alambre y las componentes de la fuerza que ejerce la pared

sobre el extremo izquierdo de la viga. c) Qu pasara si? Si el

alambre puede resistir una tensin mxima de 900 N, cul es la

distancia mxima que el oso puede caminar antes de que el alambre

se rompa?

Solucin:

a)

b) MO= 0 +

- 700 x 1 - 200 x 3 - 80 x 6 + T Sen60 x 6 = 0

T = 296,37 N

Fy= 0

V70020080 + 296,37 Sen60 = 0

V = 723,3 N

Fx= 0

H296,37 Cos60 = 0

H = 148,2 N

c) T = 900 N, x = ?

MO= 0 +

- 700 x - 200 x 3 - 80 x 6 + 900Sen60 x 6 = 0

x = 5,14 m

V 80 N

200 N

1 m 3 m

700 kN

H O

60

T


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9. Un tiburn de 10 000 N esta sostenido mediante un cable unido a una

barra de 4 m que se articula en la base. Calcule la tensin en la soga

entre la barra y la pared, si supone que la misma sostiene el sistema

en la posicin que se muestra en la figura. Encuentre las fuerzas

horizontal y vertical que se ejercen sobre la base de la barra. Ignore

el peso de la barra.

Solucin:

MO= 0 +

(T Sen80) x 410 000 Sen60 x 4 = 0

T = 5 077,13 N

Fy= 0

V + 5 077,13 Cos2010 000 = 0

V = 8 263,5 N

Fx= 0

H5 077,13 Cos20 = 0

H = 4 770,9 N

10 000 N

T

H

V

O

20

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4.5. Problemas propuestos

1. Un semforo que pesa 122 N cuelga de un cable unido a otros dos

cables sostenidos a un soporte como se muestra en la figura. Los

cables superiores forman ngulos de 37.0 y 53.0 con la horizontal.

Estos cables superiores no son tan fuertes como el cable vertical y se

rompern si la tensin en ellos supera los 100 N. El semforo

permanecer colgado en esta situacin, o alguno de los cables se

romper?

2. Un tornillo de hierro de 65.0 g de masa cuelga de una cuerda de 35.7

cm de largo. El extremo superior de la cuerda est fijo. Sin tocarlo, un

imn atrae el tornillo de modo que permanece fijo, desplazado

horizontalmente 28.0 cm a la derecha desde la lnea vertical previa de

la cuerda. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del tornillo. b)

Encuentre la tensin en la cuerda. c) Encuentre la fuerza magntica

sobre el tornillo.

3. La distancia entre dos postes de telfono es de 50.0 m. Cuando un

ave de 1.00 kg se posa sobre el alambre del telfono a la mitad entre

los postes, el alambre se comba 0.200 m. Dibuje un diagrama decuerpo libre del ave. Cunta tensin produce el ave en el alambre?

Ignore el peso del alambre.

4. Una viga horizontal uniforme con una longitud de 8.00 m y un peso de

200 N se une a una pared mediante una junta articulada. Su extremo

lejano esta sostenido mediante un cable que forma un ngulo de 53.0

con la viga (figura). Una persona de 600 N est de pie a 2.00 m de la

pared. Encuentre la tensin en el cable as como la magnitud ydireccin de la fuerza que ejerce la pared en la viga.


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5. Se construye un mvil con barras ligeras, cuerdas ligeras y recuerdos

marinos, como se muestra en la figura. Determine las masas de los

objetos a) m1, b) m2y c) m3.

6. Encuentre la masa m del contrapeso necesario para equilibrar el

camin de 1 500 kg sobre el plano inclinado que se muestra en la

figura. Suponga que ninguna polea tiene friccin ni masa.

7. La figura muestra un martillo de oreja que se usa para quitar un clavo

de una tabla horizontal. Se ejerce una fuerza de 150 N

horizontalmente como se muestra. Encuentre a) la fuerza que ejerce


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el martillo sobre el clavo y b) la fuerza que ejerce la superficie sobre

el punto de contacto con la cabeza del martillo. Suponga que la fuerza

que ejerce el martillo sobre el clavo es paralela al clavo.

8. El Sr. Distrado se pone su armadura y sale del castillo en su noble

corcel en su bsqueda por mejorar la comunicacin entre las

damiselas y los dragones. Por desgracia, su escudero bajo

demasiado el puente levadizo y finalmente se detuvo a 20 bajo la

horizontal. Distrado y su caballo se detienen cuando su centro de

masa combinado est a 1 m del extremo del puente. El puente

uniforme mide 8 m de largo y tiene una masa de 2 000 kg. El cable de

elevacin est unido al puente a 5 m de la bisagra en el lado del

castillo y a un punto en la pared del castillo 12 m arriba del puente. La

masa combinada de Distrado con su armadura y su corcel es 1 000

kg. Determine a) la tensin en el cable y las componentes de fuerza

b) horizontal y c) vertical que actan sobre el puente en la bisagra.

9. Una nueva estufa de cocina de General Electric tiene una masa de

68 kg y las dimensiones que se muestran en la figura. La estufa

viene con una advertencia de que se puede inclinar hacia adelante


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si una persona se para o sienta sobre la puerta del horno cuando

est abierta. Qu puede concluir acerca del peso de tal persona?

Podra ser un nio? Mencione las suposiciones que hizo para

resolver este problema. La estufa viene con una escuadra que se

fija en la pared para evitar un accidente.

10.Una seal uniforme de peso Fg y ancho 2L cuelga de una viga

horizontal ligera con bisagra en la pared y sostenida por un cable.

Determine a) la tensin en el cable y b) las componentes de la

fuerza de reaccin que ejerce la pared sobre la viga, en trminosde Fg, d, L y .

11.Una pluma uniforme de 1 200 N esta sostenida mediante un cable,

como se muestra en la figura. La pluma est articulada en la parte

baja, y un objeto de 2 000 N cuelga de su parte superior. Encuentre

la tensin en el cable y las componentes de la fuerza de reaccin

que ejerce el suelo sobre la pluma.


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12.Una gra de 3 000 kg de masa soporta una carga de 10 000 kg,

como se muestra en la figura. La gra se articula sin friccin en A

y descansa contra un soporte uniforme en B. Encuentre las fuerzas

de reaccin enA y B.

13.Una barra uniforme de peso Fg y longitud L esta sostenida en sus

extremos mediante un canal, como se muestra en la figura. a)

Demuestre que el centro de gravedad de la barra debe ser vertical

sobre el punto O cuando la barra est en equilibrio. b) Determine

el valor de equilibrio del ngulo .

14.Se ejerce una fuerza en un gabinete rectangular uniforme de 400

N de peso, como es muestra en la figura. a) El gabinete se desliza

con rapidez constante cuando F = 200 N y h = 0,4 m. Encuentre el

coeficiente de friccin cintica y la posicin de la fuerza normal

resultante. b) Si considera F = 300 N, encuentre el valor de h para

el que el gabinete apenas comience a inclinarse.


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15.Considere el gabinete rectangular del problema 14, pero con una

fuerza aplicada horizontalmente en el borde superior. a) Cules la fuerza mnima que se requiere para comenzar a inclinar el

gabinete? b) Cul es el coeficiente de friccin esttica mnimo

requerido para que el gabinete no se deslice con la aplicacin de

una fuerza de esta magnitud? c) Encuentre la magnitud y la

direccin de la fuerza mnima requerida para inclinar el gabinete si

el punto de aplicacin se puede elegir en cualquier parte sobre el

gabinete.

16.Una viga uniforme de masa m se inclina en un ngulo con la

horizontal. Su extremo superior produce una inclinacin de 90 en

una soga muy rugosa amarrada a una pared, y su extremo inferior

descansa sobre un suelo rugoso. a) Sea s el coeficiente de

friccin esttica entre viga y suelo. Suponga que ses menor que

la cotangente de . Determine una expresin para la masa mxima

M que se puede suspender desde lo alto antes de que la viga se

deslice. b) Determine la magnitud de la fuerza de reaccin en el

suelo y la magnitud de la fuerza que ejerce la viga sobre la soga

en P en trminos de m, M y s.

17.La figura muestra una estructura que soporta una fuerza hacia

abajo de 1 000 N aplicada en el punto B. La estructura tiene peso

despreciable. Los pilares en A y C son uniformes. a) Aplique las

condiciones de equilibrio para probar que nA= 366 N y nC= 634 N.


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b) Encuentre la fuerza de tensin o de compresin en cada una de

las tres barras.

18.Un lado de una repisa esta sostenido por una mnsula montada

sobre una pared vertical mediante un solo tornillo, como se

muestra en la figura. Ignore el peso de la mnsula. a) Encuentre la

componente horizontal de la fuerza que ejerce el tornillo en la

mnsula cuando una fuerza vertical de 80 N se aplica como se

muestra. b) Mientras su abuelo riega sus geranios, la fuerza de

carga de 80 N aumenta con rapidez de 0,150 N/s. En que

proporcin cambia la fuerza que ejerce el tornillo? Sugerencia:

Imagine que la mnsula est ligeramente floja. Puede resolver los

incisos a) y b) con ms eficiencia si llama a la fuerza de carga W y

resuelve simblicamente para la fuerza del tornillo F.

19.Una escalera de tijera de peso despreciable se construye como se

muestra en la figura. Un pintor de 70 kg de masa est de pie en la

escalera, a 3 m desde la parte baja. Suponga que el suelo no tiene

friccin. Encuentre a) la tensin en la barra horizontal que conecta

las dos mitades de la escalera, b) las fuerzas normales en A y B,

y c) las componentes de la fuerza de reaccin en la nica bisagra

C que la mitad izquierda de la escalera ejerce en la mitad derecha.


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Sugerencia: Trate la escalera como un solo objeto, pero tambin

cada mitad de la escalera por separado.

20.Dos pelotas de squash, cada una de 170 g de

masa, se colocan en un frasco de vidrio como

se muestra en la figura. Sus centros y el punto

A se encuentran en una lnea recta. Suponga

que las paredes no tienen friccin. a)

Determine P1, P2 y P3. b) Determine la

magnitud de la fuerza que ejerce la pelota

izquierda sobre la pelota derecha.

21.En los estudios de fisiologa del ejercicio, a veces es importante

determinar la posicin del centro de masa de una persona. Esta

determinacin se realiza con el dispositivo que se muestra en la

figura. Una plancha ligera descansa sobre dos basculas, que leen

Fg1 = 380 N y Fg2 = 320 N. Una distancia de 2 m separa las

bsculas. A qu distancia de los pies de la mujer esta su centro

de masa?

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