Física C 2007

6. 0 Introducción al concepto de paquetes de ondas

Dra. Hilda Larrondo, Dr. Celso Aldao, Ing. Javier Viau.

1. La necesidad experimental de un nuevo objeto: el paquete de ondas

En el siglo XX se inicia en la física una de las revoluciones más notables, con la

aparición de dos nuevas teorías: la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica. El estado

de situación en ese momento era el siguiente:

• La mecánica de Newton, sumamente exitosa en la explicación de todos los fenómenos

mecánicos, tenía su centro en el concepto de partícula. Una partícula que en adelante

llamaremos clásica (es decir que responde a las leyes de Newton) tiene las siguientes

características:

• Está localizada en el espacio: su posición está perfectamente definida

mediante su vector posición r.

• Está localizada en el tiempo: su posición se conoce para cada instante t.

• Transporta masa m0.

• Transporta cantidad de movimiento dada por p=m0v.

• Transporta energía cinética dada por E=m0 v2 /2

• No posee spin (ímpetu angular intrínseco)

• La teoría electromagnética de Maxwell, por otra parte había conseguido aparentemente

explicar la naturaleza de la luz y unificar las ondas electromagnéticas con los restantes

fenómenos ondulatorios conocidos (ondas mecánicas). La onda electromagnética plana

armónica tiene las siguientes características distintivas:

• No está localizada sino que por el contrario ocupa todo el espacio.

• No está localizada en el tiempo sino que es eterna.

• Transporta cantidad de movimiento. Esa cantidad de movimiento está

distribuida en todo el espacio ocupado por la onda por lo que se trabaja con

una densidad de ímpetu Pem tal que un elemento de volumen d/v posee un

ímpetu hp dado por dp= Pem dV.

• Transporta energía pero esa energía está distribuida en todo el espacio

ocupado por la onda por lo que se trabaja con una densidad de energía uem

tal que un elemento de volumen dV posee una energía dU dada por dU=

uem dV.

• La densidad de energía uem y la densidad de ímpetu Pem están relacionadas

por uem=Pem c, donde c es la velocidad de propagación (velocidad de la

luz).

• Puede poseer ímpetu angular (caso de polarización circular o elíptica), que

está distribuido en toda la región ocupada por la onda por lo que se trabaja

con una densidad de ímpetu angular Lem tal que el ímpetu de un elemento

de volumen dV está dado por dL= Lem dV.

• La densidad de ímpetu angular y la densidad de energía están relacionadas

por la expresión uem= Lem ω.

Nótese que cantidades distribuidas (masa, p, E, L) pueden también obtenerse a partir de

chorros de partículas. En efecto si imaginamos un chorro de partículas, todas con igual p,

igual Ec, igual m, y N es el número de tales partículas por unidad de volumen, resulta

u=NEc; δ=Nm; P=Np.

Sin embargo existe un experimento que permite distinguir un chorro de partículas

clásicas de ondas armónicas planas: es la difracción a través de una rendija. Imaginemos un

chorro, de sección cilíndrica, constituido por partículas clásicas. El chorro impacta sobre una

placa con un orificio circular. Las partículas pueden atravesar el orificio en cuyo caso

continúan su trayectoria recta hasta impactar sobre la pantalla donde dejan una mancha

circular del mismo tamaño que el orificio de la placa; o bien pueden impactar contra la placa

perforada en cuyo caso sólo les queda rebotar o ser absorbidas, según el tipo de choque que

sufran (elástico, inelástico, plástico).

Las ondas, por el contrario sufren difracción, que resulta apreciable sólo si la

dimensión del orificio es comparable con la longitud de onda. Otros fenómenos

característicos de las ondas son el efecto túnel, el principio de superposición, la interferencia,

etc. Dado que se había demostrado experimentalmente que la luz sufría difracción si se

interponían orificios adecuados, parecía estar clara su naturaleza de onda.

A comienzos del siglo XX habían aparecido problemas para explicar ciertos hechos

experimentales. Algunos de los más significativos para el desarrollo de la teoría cuántica

fueron:

• El efecto Compton.

• La radiación del Cuerpo Negro.

• El efecto fotoeléctrico.

Para esa misma época Einstein formuló su teoría de la relatividad restringida,

basándose en la equivalencia entre todos los sistemas inerciales. Posteriormente, sobre la base

de la equivalencia entre un sistema de referencia acelerado y un campo gravitatorio elaboró

su teoría de la relatividad general.

El propio Einstein logró explicar el efecto fotoeléctrico introduciendo el nombre de

fotón para el cuanto de luz que un poco antes había sido utilizado por Planck para explicar la

radiación del cuerpo negro. (ver el cuadro 6.1 de Ondulatoria Elemental)

En resumen, algunos hechos experimentales mostraban la conveniencia de considerar

la luz como chorro de partículas. Pero por otra parte otros hechos experimentales, como la

difracción, eran explicables si la luz es una onda. Por esa época en que no se lograba

reconciliar ambas situaciones, se habló de la dualidad onda partícula: la luz es a veces onda, a

veces partícula, pero no ambas cosas simultáneamente.

Ahora sabemos que la solución que explica ambas características es introducir un

nuevo objeto: los paquetes de ondas.

2. Paquete de ondas

Un paquete de ondas unidimensional es una

función de x y de t localizada espacialmente. La

forma aproximada de un posible paquete de onda puede verse en la figura

Cuando se lo mira a t=t0 fijo el paquete se convierte en una función de la variable

espacial x. Presenta una oscilación de longitud de onda λ0 que es lo que le dará la posibilidad

de sufrir difracción e interferencia cuando lo hagamos interactuar con objetos de dimensiones

comparables a dicha longitud de onda. Pero también tiene una envolvente que lo limita

espacialmente. Una gráfica similar se obtiene si fijamos x=x0 y representamos la función de t

resultante (relea ahora el punto 3.6 de Ondulatoria Elemental).

Para armar un paquete de ondas comenzamos sumando dos ondas armónicas de igual

amplitud A y diferentes pulsaciones y números de onda. El resultado puede obtenerse muy

fácilmente con Mathematica y se ve en la figura siguiente.

La oscilación tiene una pulsación ω0 igual al promedio de las pulsaciones de ambas

ondas y un número de onda k0 igual al promedio de los números de onda de ambas ondas. La

envolvente tiene un período dado por T=2*Tbat=2*2π/(ω1-ω2) y una longitud de onda dada

por λenv=2*λbat=2*2π/(k1-k2).

Incrementemos el número de senoides pero manteniendo la amplitud A, la pulsación

media ω0, el número de onda medio k0 y las separaciones entre pulsaciones y k´s contiguos

-1 -0.5 0.5 1

-2

-1

1

2

k1 k0 k2

-1 -0.5 0.5 1

-3

-2

-1

1

2

3

k1 k0 k2

(∆ω y ∆k). El resultado, obtenido nuevamente con Mathematica se muestra en las figuras

siguientes. Como puede verse, al sumar N ondas con las condiciones fijadas arriba, el período

de la envolvente no se altera, aparecen (N-2) “paquetes secundarios”, la amplitud de los

paquetes principales es proporcional a N y el ancho de los paquetes principales disminuye al

aumentar N.

-1 -0.5 0.5 1

-4

-2

2

4

-1 -0.5 0.5 1

-4

-2

2

4

k1 k2 k0 k3 k4

k3 k1 k0 k2 k4

-1 -0.5 0.5 1

-100

-50

50

100

Podemos inferir fácilmente el modo de obtener el paquete mostrado en la figura 1.

Vamos a disminuir ∆ω y ∆k para que el período de la envolvente vaya aumentando (en el

límite en que ∆ω y ∆k tienden a cero, ambos períodos de la envolvente, el espacial y el

temporal, tenderán a infinito).

Simultáneamente mantendremos constantes ω0 y k0 para que no se alteren las

características de la oscilación, iremos aumentando el número de senoides que sumamos, de

modo que cuando N tienda a infinito esperamos haber localizado el paquete.

La figura siguiente muestra el paquete obtenido (para t=t0). La curva en forma de

pulso rectangular de (a) indica que las senoides que hemos sumado tienen todas la misma

amplitud. La envolvente obtenida tiene la forma de la función sen x/x .

En forma rigurosa, el modo de hallar la distribución de amplitudes y fases de las

distintas senoides que es necesario sumar para obtener un paquete de forma dada es el cálculo

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2

-100

-75

-50

-25

25

50

75

100

(b)

(a)

kmin k0 kmax

de la Transformada de Fourier. Damos a continuación una introducción al tema (Lea también

el cuadro 3.1 de Ondulatoria Elemental).

3. Series de Fourier

El teorema de Fourier establece que una función periódica puede expresarse como

suma de cosenos y senos de frecuencias correspondientes a la de la función dada y sus

armónicas. Es decir que al sumar funciones seno y coseno de frecuencias múltiplos de una

frecuencia fundamental, con una amplitud elegida apropiadamente, podremos obtener una

función periódica arbitraria.

Entonces, una función f(x) que se repite cada 2π puede expresarse como una

superposición de funciones sinusoidales de la siguiente manera

...2sensen...2coscos)( 21210 ++++++= xBxBxAxAAxf , (1)

que podemos expresar en forma más sucinta como

f (x) = An cos(nx) + Bnsen(nx)[ ]n=0

∞

∑ . (2)

La forma de la función resultante de la suma dada en la Eq. 2 depende de las amplitudes de

las funciones seno y coseno que sumemos, es decir, de los valores de An y Bn.

El desafío es entonces encontrar los valores de las constantes An y Bn que debemos incorporar

en la suma de la Eq. 2 para obtener la función f(x) dada. El valor medio de f(x) debe ser dado

por el término A0 ya que las funciones seno y coseno no tienen valor medio,

A0 =1

2πf (x)dx

− π

π

∫ . (3)

Para determinar el resto de los valores An multiplicamos ambos miembros de la Eq. 2 por

cos(px) e integramos

f (x)cos( px)dx−π

π

∫ = cos( px) An cos(nx)n=0

∞

∑

dx

−π

π

∫ + cos(px) Bnsen(nx)n=0

∞

∑

dx

−π

π

∫ . (4)

Si recordamos que

pndxpxnx

siempredxpxnx

≠=

=

∫

∫

−

−

,0)cos()cos(

,0)sen()cos(

π

π

π

π,

de la Eq. 4 podemos obtener una expresión para An

An =1

πf (x)cos(nx)dx

−π

π

∫ . (5)

De igual modo, pero multiplicando ambos miembros de la Eq. 2 por sen(px), se obtiene una

expresión para Bn

Bn =1

πf (x)sen(nx)dx

−π

π

∫ . (6)

Los coeficientes An y Bn dados por las Eqs. 5 y 6 son válidos para una función de período 2π.

Este resultado se puede fácilmente extender a funciones de cualquier período T mediante los

siguientes cambios de variables. Primero definimos

w1 =2πT

wn = nw1 = n2πT

, (7)

Entonces,

x = w1t

dx =2πT

dt

nx = wnt

. (8)

Al reemplazar en las relaciones encontradas para An, An y Bn se obtienen los valores de los

coeficientes para una función de cualquier período T.

∫

∫

∫

−

−

−

=

=

=

2/

2/

2/

2/

2/

2/0

)sen()(2

)cos()(2

)(1

T

Tnn

T

Tnn

T

T

dttwtfT

B

dttwtfT

A

dttfT

A

(9)

La expansión f(t) correspondiente adopta la siguiente forma,

f (t) = An cos(wnt) + Bn sen(wn t)[ ]n= 0

∞

∑ . (10)

Si escribimos la expansión de la siguiente manera

[ ]∑∞

=

++=1

0 )sen()cos(2

)(n

nnnn twBtwAA

tf , 11)

entonces no necesitamos una definición exclusiva para A0 ya que queda incluida en la de An,

Otra manera de escribir la expansión es la siguiente

[ ]∑∞

=

++=1

0 )sen()cos(2

)(n

nnnn twbtwaTT

atf . (12)

En este caso, los coeficientes an y bn adoptan la siguiente forma

∫

∫

−

−

=

=

2/

2/

2/

2/

)sen()(

)cos()(

T

Tnn

T

Tnn

dttwtfb

dttwtfa

(13)

4. Forma exponencial de la serie de Fourier

La expansión dada por la Eq. 12 puede escribirse como

f (t) =a0

T+

2

Tan

2 + bn

2cos(wnt + Φn )

n=1

∞

∑ , (14)

donde hemos definido Φn=arc tg(-bn/an).

Ahora definimos cn=cn eiΦn

, donde cn=(an2+ bn

2)1/2

, es decir cn=an+ibn. Entonces,

∑∞

=

Φ++=1

0 )cos(2

)(n

nnn twcTT

ctf (15)

Si recordamos que cos x=(e ix

+e-ix

)/2, la Eq. 15 puede reescribirse como

{ }∑∞

=

Φ+−Φ+ ++=1

)()(0 1)(

n

twitwi

nnnnn eec

TT

ctf . (16)

Si entendemos, por definición, que w-n=-wn y Φ-n=-Φn, la Eq. 16 puede expresarse como

∑∞

−∞=

=n

tiw

nnec

Ttf

1)( (17)

Dado que cn=an+ibn, entonces

[ ]dttwitwtfcT

Tnnn ∫− −=

2/

2/)sen()cos()( , (18)

que finalmente puede escribirse de la siguiente manera

dtetfcT

T

tiw

nn∫−

−=2/

2/)( . (19)

5. Integral de Fourier

El método de Fourier no sólo es útil para analizar funciones periódicas sino que

también puede ser aplicado a funciones no periódicas. Los resultados obtenidos para

funciones periódicas pueden fácilmente ser extendidos para utilizarlos en funciones no

periódicas. En este caso, podemos considerar que el período de la función cubre el intervalo

(-∞, ∞).

La diferencia esencial que resulta de aplicar el método de Fourier a una función no

periódica respecto de una periódica radica en que el espectro resultante es continuo en lugar

de discreto. Es decir, hasta ahora tratamos con coeficientes que corresponden a valores

determinados de frecuencia (wn). El resultado para una función no periódica, por el contrario,

da lugar a un espectro continuo en el que la amplitud correspondiente a cada frecuencia está

dada por una función llamada transformada de Fourier de la función.

Habíamos visto que las frecuencias en las Eqs. 9, 13 y 19 vienen dadas por

wn=nw1=n(2π/T). De aquí se observa que las armónicas están uniformemente distribuidas en

frecuencia de tal modo que la diferencia entre dos armónicas sucesivas es:

∆w = wn+1 − wn =2πT

(20)

Como lo adelantamos, podemos considerar que en una función no periódica el período

es infinito. Primero escribimos la expansión dada en la Eq. 17 de la siguiente manera

wectfn

tiw

nn ∆= ∑

∞

−∞=π2

1)( , (21)

y a continuación hacemos T→∞. Note que ∆w→0 y cn se convierte en una función de w que

llamamos F(w). Con estas consideraciones podemos escribir la transformada de Fourier de

una función no periódica y su expansión de la siguiente manera

dwewFtf

dtetfwF

iwt

iwt

∫

∫∞

∞−

+

∞

∞−

−

=

=

)(2

1)(

)()(

π (22)

Si estamos tratando con una función de la posición f=f(x), entonces el par

transformado se puede escribir

dkekFxf

dxexfkF

ikx

ikx

∫

∫∞

∞−

+

∞

∞−

−

=

=

)(2

1)(

)()(

π

(23)

6. El principio de incerteza La integral de Fourier nos brinda las herramientas

matemáticas para manejarnos con “paquetes de

ondas” o “pulsos”. La onda armónica pura es una

idealización pues en la vida real es imposible

producir una onda que se extienda a todo el espacio y

que dure eternamente sino que, por el contrario, uno

siempre se enfrenta con fenómenos de duración y

extensión finitas. Por ejemplo la función de la figura

es un “paquete” obtenido al multiplicar una función

senoidal por una modulante gausiana. Como

acabamos de ver la integral de Fourier nos permite construir ese pulso o cualquier otro

sumando ondas senoidales. Comencemos viendo las características generales de una función

tipo pulso o paquete.

Dada una función g(u) de una variable cualquiera u de energía finita, lo que matemáticamente

se indica diciendo que es una función de cuadrado integrable, es decir una función que

cumple:

(24)

Se define el centro de la función por la expresión

(25)

y se define el radio de g(u) por la expresión:

(26)

Explícitamente hemos elegido la variable u para que quede claro que lo anterior puede

hacerse para una función de cualquier variable. Para cada variable u existe una variable

conjugada û y una función asociada �(û) que es la transformada de Fourier de g(u). También

pueden evaluarse utilizando las expresiones (25) y (26), el centro y el radio de �(û). Puede

demostrarse que existe una relación entre los radios de ambas funciones dada por:

(27)

relación que se conoce como “principio de incerteza”. Y también puede demostrarse que en

la ecuación (27) sólo se cumple la igualdad para el caso de una función g(u) de la forma

(28)

Donde las constantes a, b, c≠ y α>0, son constantes. Esta función se denomina función

Gaussiana y es la única que tiene esa propiedad.

Ahora relea los puntos 3.2, cuadro 3.1 y punto 3.6 del libro Ondulatoria Elemental

Luego lea los puntos 6.1, 6.2 y el cuadro 6.1.

Note que en la definición del par transformado de Fourier es posible modificar el factor de

proporcionalidad de cada integral. En el cuadro 6.1, por ejemplo se optó por una expresión

simétrica. En este apunte en cambio se adoptó el factor de normalización usual en teoría de

comunicaciones.

∞<∫∞

∞−

duug2

)(

duug

duugu

u

∫

∫∞

∞−

∞

∞−∗

⋅

=2

2

)(

)(

( )2/1

2

22

)(

)(

2

⋅−

⋅=∆

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

∗

duug

duuguu

g

2

1ˆ

≥∆⋅∆ gg

( )α4

2

)(bu

jaueceug

−−

=

Guía de Problemas Unidad 6

1. La energía de arranque fotoeléctrico del potasio es 2 eV. Suponiendo que sobre él incide luz de

3.6 E-7 m de longitud de onda, hallar: a) el potencial que detiene a los fotoelectrones, b) la

energía cinética y la velocidad de los más rápidos electrones liberados.

2. Cuando se ilumina cierta superficie metálica con luz de diferentes longitudes de onda, se miden

los potenciales de detención de los fotoelectrones que se miden en la tabla.

λ(x 10E-7 m) V (Volts)

3.66 1.48

4.05 1.15

4.36 0.93

4.92 0.62

5.46 0.36

5.79 0.24

Representar el potencial de detención en función de la frecuencia de la luz. Determinar del

gráfico: a) el umbral de frecuencia, b) la energía de arranque fotoeléctrico del metal, c) la razón

h/e.

3. Sea un neutrón térmico, es decir un neutrón que se desplaza con la velocidad típica de una

partícula atmosférica a la temperatura ambiente (su energía cinética vale 3/2kT, con k=1.38×10-23

J/K y T la temperatura absoluta). Encuentre la longitud de onda de De Broglie para tal neutrón.

Puede realizar experimentos de difracción de neutrones en esas condiciones? (mn=masa del

neutrón=1.67×10-27

kg).

4. A través de qué ddp deben ser acelerados electrones (q=1.6×10-19

C, m=9.1×10-31

kg) para que su

longitud de onda de De Broglie sea de tamaño típico del entramado interactómico “d” de un

cristal (d≅1nm)?

5. Los aceleradores de partículas modernos pueden imprimir con relativa facilidad una energía total

de 1GeV (=109 eV; y 1eV=1.6×10

-19 J) a un electrón. En esas condiciones, de acuerdo a la Teoría

de la Relatividad, su energía total vale E2=p

2c

2+m0

2c

4 (p=ímpetu, c=velocidad dela luz). Calcule

la longitud de onda de De Broglie para tal electrón y discuta si de acuerdo a la misma es posible

utilizar (al electrón) como “luz” para “ver” el núcleo atómico.

6. Según la teoría de la relatividad las partículas puede destruirse para transformarse en energía y viceversa. Puede un fotón crear un solo electrón? Justifique

7. Una partícula de masa en reposo m0 se mueve a velocidad v. Demuestre que en el caso en que

v<<c la relación de Einstein masa-energía se reduce a la expresión clásica.

8. Una partícula tiene una energía cinética muy elevada comparada con su energía de reposo.

Demuestre que su longitud de onda es aproximadamente igual a la de un fotón de igual energía. 9. Complete el cuadro siguiente indicando la longitud de onda central del paquete de ondas que

representaría las siguientes partículas

PARTÍCULA MASA (kg) VELOCIDAD

(m/s) λ (nm)

Bolita 2 x 10-2

1 x 10-2

Esfera de látex 1 x 10-15

3 x 10-4

Partículas α de 1MeV 6.7 x 10-27

6.9 x 106

Protón de 1Mev 1.7 x 10-27

1.4 x 107

Electrón de 100ev 9.1 x 10-31

5.9 x 106

Neutrón de 0.1 ev 1.7 x 10-27

4.3 x 103

10. Calcular la longitud de onda central del paquete de ondas que representa un electrón acelerado a

través de una diferencia de potencial de 110V. Compararla con la longitud de onda de una OEM

en el rango de rayos X.

11. Se mide la posición de un insecto de masa 10g con un error de 1nm. Determinar la incertidumbre

en su velocidad para no violar el principio de incerteza.

12. Un haz angosto, de protones monoenergéticos llega a una ranura aún más angosta que el haz

sobre una pantalla opaca. Trace los diagramas que indiquen la figura que se formará sobre la

pantalla a tiempos cada vez mayores. Qué diferencia habría si el haz no fuera monoenergético? 13. Un estado atómico excitado normal tiene una vida media de 10

-8 s. Dentro de ese tiempo se

produce la caída al estado de energía más baja. Determinar la incertidumbre mínima en la energía

del fotón generado en la transición, en J y en eV. Calcue el ancho de la línea espectral producida.

14. Dos ondas armónicas se mueven simultáneamente a lo largo de un alambre largo. Sus funciones

de onda vienen dadas por:

( ) ( )1 10.002 cos 6.01 601 e 0.002 cos 5.99 599y x t y x t= − = −

con x y t en unidades del SI. Hallar la onda resultante. ¿Cuáles son sus velocidades de fase y de

grupo? Es éste un fenómeno dispersivo?

15. Cuando se toca una cuerda de violin al mismo tiempo que un diapason de frecuencia 400HZ se

oyen los baticos de la cuerda a un ritmo de tres por segundo. Cuando la tension de la cuerda

aumenta ligeramente, disminuye la frecuencia de los batidos. ¿Cuál es la frecuencia inicial de la

cuerda del violin?. Nota: recuerde que cuando una cuerda es traccionada aumenta su frencuencia.

16. Analice la velocidad de grupo del paquete de ondas que se forma en aguas marinas teniendo en

cuenta que, en aguas profundas la velocidad de fase vale 2 /fv g k= , mientras que para aguas

playas 2

fv hg= . ¿En qué casos la relación es dispersiva?

17. Halle la gráfica para t=0 de los batidos que se producen sumando tres ondas, luego cinco ondas, y

luego siete ondas de frecuencias muy parecidas, todas ellas con la misma velocidad de fase pero

con vectores de onda y pulsaciones dados por kn=k0±δk⋅n y ωn=ω0±δω⋅n. Encuentre para cada

caso cuánto vale el producto ∆k.∆ω, donde ∆k es el ancho del paquete en k en tanto que ∆x, es la

extensión del paquete en x. Discuta qué sucede con la energía, en especial, en qué regiones

espaciales va a aparecer más localizada. Finalmente discuta la evolución temporal del paquete.

18. Imagine que una antena o un laser o maser, en régimen pulsado, está produciendo trenes de onda

electromagnéticos (paquetes de onda) de una extensión finita, digamos ∆x=10-6

m. Por otra parte

está Ud. emitiendo tan poca potencia, que está seguro d eno enviar más de un paquete por

segundo al aire. Cómo describiría Ud. la llegada de esos paquetes al detector (o receptor)? Sería

un proceso continuo o discreto. Conociendo que la OEM pueden producir empuje, sería continuo

o discreto este empuje en el receptor? Discuta.

19. a) En el problema anterior, cuál sería el valor más probable de la longitud de onda promedio del

paquete: λ=10-4

m, λ=10-6

m, λ=10-8

m. b) Suponga ahora que la OEM del mismo problema

atraviesa una pantalla provista de dos rendijas. Aparecerá el fenómeno de interferencia?

20. De acuerdo a lo discutido en los tres problemas anteriores, qué observaría en la pantalla colocada

luego de las dos rendijas a medida que pasa el tiempo y van arribando los paquetes?

21. A la luz del principio de incerteza de Heisenberg discuta la posibilidad de comportamiento

ondulatorio en los siguientes casos: a) una partícula de polvo, de 1µm de diámetro, masa≅10-15

kg

y velocidad de 1mm/s. b) Un electrón en órbita atómica (Sugerencia: trate de ver si es posible que

las indeterminaciones ∆x y ∆p son despreciables respectivamente a los tamaños e ímpetus

involucrados).

22. En un monitor de TV de una computadora, se sabe que el punto en que inciden los electrones en

la paantalla tiene una dimensión máxima de 1/3 mm. Dichos electrones han sido acelerados a

través de una ddp de 14000 V y recorren unos 50cm antes de impactar. Estime el tamaño

longitudinal de los electrones. Repita la estimación para el tamaño en dirección transversal. A qué

se parecen esos electrones?

23. Escriba la ecuación de onda de Schrödinger dependiente del tiempo y a continuación, la misma

ecuaión pero conjugando ambos miembros. Operando con ambas ecuaciones trate de deducir una

ecuación de continuidad para ψ2=ρ. Recuerde la expresión de las ecuaciones de continuidad

que Ud. aprendió al estudiar la conservación de la carga, la masa y la energía. Cuál es ahora el

vector densidad de corriente J?

24. Una forma de entender la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es a través de la

Ecuación de Onda independiente del tiempo, también llamada Ecuación de Helmholtz. Suponga

que la solución de la ecuación de onda es más complicada que una simple onda armónica viajera,

pero que posee frecuencia bien definida, es decir suponga que tiene la forma y(x,t)=ψ(x)e-iωt

y

escriba la ecuación que satisface ψ(x). Utilice esta ecuación para hallar los modos de oscilación de

una cuerda vibrante de longitud L sujeta por un extremo y libre por el otro.

25. Repita el procedimiento del problema anterior para el caso de la Ecuación de Schrödinger, en la

cual existe energía potencial distinta de cero (la partícula descripta no es libre) pero la energía

total se conserva. Obtenga la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Ecuación de Schrödinger y Corrientes de Probabilidad

Ing. Daniel Zarlenga

Ecuación de Schrödinger En cuanto a ondas electromagnéticas, ya vimos que su comportamiento está regido por las ecuaciones de Maxwell. También hemos visto que a una partícula con masa se le puede asignar una ecuación de onda. En tres dimensiones: mientras que en una dimensión: La función Ψ es en general compleja, y posee parte real e imaginaria. No es un vector, sino un escalar. En lugar de las ecuaciones de Maxwell, ¿cuál es la ecuación que debe satisfacer Ψ?. La respuesta es: la ecuación de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger es, en tres dimensiones donde Ψ=Ψ(x,y,z,t), y EP es la energía potencial a que está sometida la partícula. Por lo general, esta energía es del tipo electrostática, por lo cual: donde q es la carga de la partícula que se está considerando, y v(x,y,z,t) es el potencial electrostático que recibe dicha carga, a causa de otras cargas. En una dimensión, la ecuación de Schrödinger se reduce a: y se llama ecuación de Schrödinger unidimensional, dependiente del tiempo. Esto es porque Ψ es función no sólo de x, sino también de t. Aún escrita en una dimensión, hallar las soluciones de esta ecuación diferencial puede tornarse complicado. Pero todo se facilita si la energía potencial EP sólo depende de x, es decir si EP no varía con el tiempo: (1) En este caso, la ecuación de Schrödinger puede resolverse en dos partes: una para la variable “x” (cuya solución depende del caso particular), y la otra para la variable “t” (dando esta última siempre la misma solución). Para demostrar esto, escribiremos Ψ(x,t) como producto de dos funciones: una depende solamente de x y la otra solamente de t:

( )tzyx ,,,Ψ

( )tx,Ψ

( )t

jtzyxEm P ∂

Ψ∂=Ψ⋅+Ψ∇⋅− hh ,,,2

22

( ) ( )tzyxvqtzyxEP ,,,,,, ⋅=

( )t

jtxExm P ∂

Ψ∂=Ψ⋅+∂

Ψ∂⋅− hh ,2 2

22

( )t

jxExm P ∂

Ψ∂=Ψ⋅+∂

Ψ∂⋅− hh2

22

2

(2) y reemplazamos la (2) en la (1): (3) Dividimos ambos miembros de la (3) por el producto Φ⋅τ: (4) En (4), hay una igualdad de dos funciones, una de “x” y una de “t”. Dicha igualdad debe cumplirse para todo x y para todo t. Solución: ambas son iguales a una constante, la cual posee dimensiones de energía. La llamamos E: (5) En este caso, la E resulta ser la energía total de la partícula considerada, es decir la suma de la energía cinética y la energía potencial EP. Dado que la fuerza electrostática es conservativa, la E es una constante que no depende de x ni de t. La (5) son dos ecuaciones diferenciales, escritas como si fuera una sola. La primera es sólo en la variable “t”: (6) La solución de (6) es sencilla: por tablas, cada vez que tenemos una ecuación diferencial de la forma: la solución siempre es: donde K es una constante que depende del caso a resolver. Aplicando esto en la (6), hallamos su solución como: (7) en la cual hicimos K=1. Esta es siempre la solución temporal, lo cual facilita mucho las cosas, ya que lo único que debemos resolver en cada caso particular es la ecuación diferencial (8) en la variable “x”. La segunda ecuación diferencial que sale de la (5) es:

( ) ( ) ( )txtx τ⋅Φ=Ψ ,

( )t

jxExm P ∂

∂Φ=⋅Φ⋅+∂

Φ∂⋅⋅− τττ hh2

22

2

( )t

jxExm P ∂

∂=+∂

Φ∂⋅Φ

⋅− ττ11

2 2

22

hh

( ) Et

jxExm P =

∂∂=+

∂Φ∂⋅

Φ⋅− τ

τ11

2 2

22

hh

01

=

+

∂∂

⇒=∂∂

jEt

Et

jh

hτττ

τ

0=+ay

dxdy

axeKy /−⋅=

h/jEte −=τ

( ) ExEdxd

m P =+Φ⋅Φ

⋅− 2

22 12h

(8) La (8) se llama ecuación unidimensional de Schrödinger independiente del tiempo. En cada caso particular que nos toque, siempre que EP no dependa del tiempo, hallamos la solución de (8): Φ(x) y luego la multiplicamos por el factor (7). El producto resulta ser Ψ.

Corriente de probabilidad En el curso de física 2, vimos que la corriente I podía expresarse como la integral de la densidad de corriente J: (9) El área Σ puede ser abierta o cerrada. Si el área es cerrada, entonces encierra un volumen V. En ese caso, la corriente total de cargas en toda la superficie Σ se produce a costa de una disminución de la carga encerrada en el volumen. (Fig. 1) Es decir: (10) donde ρ es la densidad volumétrica de cargas. Pero, de acuerdo al teorema de la divergencia: (11) Combinando las dos anteriores: (12) De donde: (13)

( ) Φ⋅=Φ⋅+Φ⋅−⇒ ExEdxd

m P2

22

2h

∫Σ⋅=⇒ AdJI

rr

QENC V

J dA

J

J

dA

dA Σ

∫∫ −=−=⋅Σ V

ENC dVdtd

Qdtd

AdJ ρrr

∫∫ ⋅∇=⋅Σ V

dVJAdJrrr

∫∫ −=⋅∇VV

dVdtd

dVJ ρr

dtd

Jρ

−=⋅∇r

Es decir, la divergencia de J es igual a la rapidez en que disminuye la densidad de carga. Esto es válido para todo punto (x,y,z) y para todo tiempo. En mecánica cuántica no se suele analizar lo que ocurre con las cargas, haciéndoles “un seguimiento de cada una” como lo hace la mecánica clásica. En cambio, se trabaja con probabilidades. Entonces, en lugar de tener cargas encerradas en un volumen V, tenemos una probabilidad “Pr” encerrada de encontrar una carga. Como toda probabilidad, puede tener un valor de entre 0 (si es imposible que esté dentro de V) y 1 (si es seguro que está dentro de V). ¿De qué nos sirve tener estas probabilidades?. En que si hay muchas cargas en juego (digamos millones o más) los promedios terminan siendo la realidad. Por ejemplo, si hubiera una sola carga y la probabilidad es de 0,6, entonces no sabemos si la carga está allí o no (sí que hay un 60% de probabilidades de que sí esté). Pero si hay 1.000.000 de cargas y la probabilidad es de 0,6, entonces habrá una cantidad muy cercana a 600.000 partículas encerradas en V. Multiplicando ese número de cargas por la carga unitaria, se llega a saber la carga encerrada con suficiente precisión. Ahora, si lo que hay encerrado es una probabilidad, entonces, haciendo una comparación con las ecuaciones (9) a (13) y la fig. 1, existirán las siguientes dualidades:

Caso de la carga determinista Caso de la probabilidad Carga encerrada QENC Probabilidad encerrada Pr Densidad de carga ρ Densidad de probabilidad |Ψ(x,y,z,t)|2 Corriente I Corriente de probabilidad IP

Densidad de corriente J Densidad de corriente de probabilidad JP En este caso, entonces, la ecuación dual con la (13) debería ser: (14) Si estamos en una sola dimensión, la (14) queda simplemente: (15) ¿Cómo podemos calcular JP(x,t)?. La solución está en resolver el ejercicio 23 de la nueva guía 6. Para esto, escribimos la ecuación de Schrödinger unidimensional dependiente del tiempo: (16) Y luego la conjugamos. Conjugar es fácil: si aparece un número complejo en la forma binomial: (a+jb), el conjugado es (a-jb). Si aparece un número en formato polar: AejΘ, el conjugado es Ae-jΘ. En definitiva, ¡siempre se cambia “j” por “-j”!. Si hay una combinación de sumas, restas, productos, cocientes, exponenciales, etc., de varios números complejos, se cambia “j” por “–j” en cada uno de los componentes de esa combinación. Pero no siempre hay un número conocido. Puede haber una constante, por ejemplo C, que se sabe que es compleja, pero no se conoce su valor exacto. En este caso, se indica su

( )2,,, tzyxdtd

J P Ψ−=⋅∇r

( ) ( ) 2,, txt

txJx P Ψ

∂∂

−=∂∂

( )t

jtxExm P ∂

Ψ∂=Ψ⋅+∂

Ψ∂⋅− hh ,2 2

22

conjugado mediante un asterisco: C*. Y otras veces, se trata de funciones complejas, por ejemplo Ψ. En ese caso, se indica también su conjugado mediante Ψ*. Si ahora nos tocara multiplicar C por C*, nos da |C|2. Y si multiplicamos la función Ψ por Ψ* nos da |Ψ|2. ¿Por qué es así?. Porque si por ejemplo C=c1+jc2, entonces C*=c1-jc2 y por lo tanto CC*=( c1+jc2)( c1-jc2)= c1

2-jc1c2+jc1c2+c22=c1

2+c22=|C|2.

Ahora sí, estamos en condiciones de conjugar la (16), cuyo resultado es: (17) Ahora, observemos los miembros derechos en (16) y (17), ¿cómo podemos manipularlos para obtener el término de derivada de |Ψ|2 respecto del tiempo, como el de la ecuación (15)?. ¡Hay que pensarlo!. Luego de operar algebraicamente, se llega a que la ecuación de la densidad de corriente de probabilidad en una dimensión es: (18) ¿Cómo usamos la ecuación (18)?. Veamos un ejemplo: si cierta partícula con masa está representada por: (ver ecuaciones 2 y 7), entonces: (en general la constante A es compleja). Reemplazando en la (18), nos da: (19) es decir, es igual a p/m (velocidad de la partícula), multiplicado por la densidad de probabilidad |A|2. Otro ejemplo: si cierta partícula con masa está representada por: (ver ecuaciones 2 y 7), entonces: Reemplazando en la (18), nos da: (20)

( )t

jtxExm P ∂

Ψ∂−=Ψ⋅+∂

Ψ∂⋅−*

*2

*22

,2

hh

Ψ

∂Ψ∂

−Ψ∂Ψ∂

=xxmj

J P

**

2h

2Amk

J P

h=

2Amk

J P

h−=

( )h/EtkxjeA −⋅=Ψ

( )h/** EtkxjeA −−⋅=Ψ

( )h/EtkxjeA +−⋅=Ψ

( )h/** EtkxjeA +⋅=Ψ

Es decir, la corriente de probabilidad es negativa (partícula que viaja hacia –x). Otro ejemplo: si cierta partícula con masa está representada por: (ver ecuaciones 2 y 7), entonces: Reemplazando en la (18), nos da: (21) Los resultados (19), (20), y (21) son conocidos “de memoria” y se usarán ampliamente en la bolilla 7.

0=PJ

h/jEtkx eeA −− ⋅⋅=Ψ

h/** jEtkx eeA ⋅⋅=Ψ −