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Tema 6. Difracción

6.1. Introducción 6.2 Principio de Huygens-Fresnel

Aproximación de Fraunhofer 6.3 Difracción de Fraunhofer por aberturas

Abertura rectangular Abertura circular Abertura sinusoidal.

6.4 Poder de resolución de los instrumentos ópticos Criterio de Rayleigh

6.5 Redes de difracción. A.1 Apéndice. Integral de difracción.

2

6.1. Introducción Se conoce como difracción la tendencia de una onda a desviarse de la propagación rectilínea mientras se propaga o pasa a través de un obstáculo u apertura. En la figura podemos ver cómo alrededor de los bordes de los dedos

aparecen franjas de difracción y más claramente, en la segunda fotografía se muestra la luz difractada por la estructura metálica de un circuito impreso.

Por ejemplo, si mandamos un haz laser a través de un orificio circular de unas décimas de milímetro, observaremos que, lejos de producir una sombra nítida sobre una pantalla, tal como predice una propagación rectilínea, aparece sin embargo una distribución de luz como la que se muestra en la figura, es decir, una serie de anillos de luz y sombra que ser repiten con una cierta periodicidad. Aunque la distribución de irradiancia en la pantalla presenta un máximo en el centro, el disco central de luz no se corresponde con el tamaño que se esperaría de una propagación rectilínea, así como tampoco serían explicables las franjas periódicas de luz-oscuridad. Lo mismo ocurre si mandamos el mismo haz de luz sobre una

rendija. En este caso, aparece una serie de máximos y mínimos en torno al centro de la pantalla donde esperaríamos una distribución de luz parecida a la rendija. Esta aparición de franjas periódicas de luz y sombra nos indica que en esencia, la difracción es un problema de naturaleza interferencial.

En la mayoría de los casos estas distribuciones de luz son difíciles de observar en la vida diaria, dado que la separación entre las regiones de luz y sombra suele ser muy pequeña, pero tienen una influencia fundamental en la calidad de la imagen que proporcionan los instrumentos ópticos y en la capacidad de éstos para resolver detalles de la imagen que proporcionan de un objeto. Por ello, el studio de la difracción es de enorme importancia.

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La difracción tiene consecuencias muy importantes para la formación de la imagen por sistemas ópticos. En efecto, éstos están formados por lentes de tamaño finito y por diafragmas, normalmente circulares, por ejemplo, en el caso del ojo es el iris, el elemento que más limita la apertura del sistema completo. Así, cuando un haz de luz incide sobre el sistema, supuesto libre de aberraciones, la imagen de un punto objeto no es un punto, como predice la óptica geométrica, sino una mancha de difracción. La consecuencia inmediata es que la imagen de dos puntos objeto separados una cierta distancia en espacio objeto, pueden aparecer juntos en el espacio imagen tal como se ve en la figura. Esto quiere decir que la difracción impone un límite a la capacidad de resolución de los sistemas ópticos. Más adelante demostraremos que el ángulo mínimo de resolución de un sistema óptico de apertura D, e iluminado por una radiación de longitud de onda λ viene dado por

En la figura se pueden ver tres situaciones: a la izquierda las imágenes de los puntos aparecen resueltas; en el centro están en el límite de resolución, mientras que en la imagen de la derecha, los puntos aparecen confundidos en una sola máncha de difracción y el sistema es incapaz de resolverlos.

difracción

Dsen λθ 22.1=

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Por otro lado, la difracción proporciona la base de instrumentos de gran importancia en el análisis de las propiedades de las fuentes de radiación. Un caso de enorme transcendencia lo constituyen las redes de difracción. El caso más sencillo es la una red formada por un conjunto de rendijas muy estrechas y equiespaciadas entre si una distancia muy pequeña, comparada con la longitud de onda media de la radiación que incide sobre la red. Si sobre tal estructura enviamos un haz de radiación policromática, al otro lado de la red, la radiación aparece descompuesta en sus radiaciones monocromáticas, lo que permite medir su contenido espectral. En la foto de la derecha se muestra el espectro de una lámpara de Hg producido con una red de difracción de 600 lineas/mm. Un fenómeno familiar de descomposición cromática producida por difracción es la que aparece cuando incide luz blanca sobre la superficie de un disco compacto o un DVD. La superficie del CD presenta una distribución de almenas que actúan como las rendijas de una red de difracción.

Como veremos más adelante, no existe una estricta distinción conceptual entre interferencia y difracción. En muchos casos ésta se puede ver como producida por la interferencia de infinitas fuentes elementales. Una teoría de la difracción ha de partir de las ecuaciones de Maxwell y su estudio riguroso es muy complejo. Aquí nos acercaremos al fenómeno de la difracción a partir del principio de Huygens-Fresnel que en muchos casos

suministra resultados más que suficientes. Por otro lado tienen la ventaja de que, en cierto modo, es una generalización de los fenómenos interferenciales que venimos tratando en los capítulos anteriores.

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6.2 Principio de Huygens-Fresnel De acuerdo con este principio, cada punto de un frente de onda se puede suponer como centro secundario de perturbación que emite ondas esféricas. Por otra parte, la perturbación total que llega a otro punto arbitrario posterior es el resultado de la interferencia de todas las onditas secundarias coherentes originadas en el frente de onda considerado. Por ejemplo, considérese el caso presentado en la figura en el que un frente de onda esférico correspondiente a una onda monocromática que incide sobre una apertura Σ. Sea la amplitud de la onda incidente en un punto de la apertura será La onda secundaria procedente del punto en torno al elemento de superficie dΣ, contribuirá a la perturbación total en P de forma proporcional a la amplitud en E y al área del elemento dΣ que se toma como elemento emisor secundario. Por lo tanto, el campo elemental que llega a P debido a la onda secundaria radiada por dΣ se podrá poner como donde hemos incluido el factor eiks que tiene en cuenta la propagación de la onda secundaria desde Σ hasta el punto P. La perturbación total en P debido a todos los puntos del frente de onda que llenan la apertura se obtendrá sumando todas estas ondas, es decir En 1882 Kirchhof dio una justificación teórica sólida a esta expresión a partir de la ecuación de ondas escalar. Nosotros partiremos de este resultado que como se ve, se basa en el concepto interferencial. La integral no representa otra cosa que una superposición de infinitas ondas, cada una con su amplitud y fase correspondiente.

ikrerEE 0=

Σ= dsee

rEdE

iksikr

P0

( )∫Σ+ Σ= de

rsEE srik

P0

P(xp,yp,zp)

Q(x,y,z)

O

dΣ x0

y0

r

s

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6.3 Difracción de Fraunhofer La integral anterior es muy difícil de evaluar en general. Pero en determinadas situaciones físicas de interés podemos llevar acabo algunas simplificaciones que nos permitirán realizar cálculos analíticos. En efecto, de la figura, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene Si las condiciones experimentales son tales que las dimensiones de la apertura difractora son muy pequeñas comparadas con r y s se podrán realizar algunas aproximaciones, los valores de r y s en el denominador, se podrán substituir por z0 y z, respectivamente, por lo que

Por otra parte, los valores de r y s en las exponenciales vienen dados por

Por lo tanto, el exponente del integrando se podrá escribir como Se puede observar que el primer término no depende de las variables de integración por lo que podrá salir fuera de la integral. Por otra parte, el segundo término es cuadrático en las variables y si la zona de integración es muy pequeña comparado con z0 y z, podremos despreciar su contribución. Por lo tanto, la integral de difracción queda reducida a

( ) ( )( ) ( ) 222

20

20

20

zyyxxs

zyyxxr

pp +−+−=

+−+−=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )zyy

zxx

zz

yy

z

xxzs

zyy

zxxz

z

yy

z

xxzr

pppp22

1

221

22

2

2

2

2

0

20

0

20

020

20

20

20

0

−+

−+≅

−+

−+=

−+

−+≅

−+

−+=

zzrs 0

11 ≅

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

++

++

+++

++

+++=

−+

−+

−+

−++≅+

zy

zy

yzx

zx

xzz

yxzyx

zyx

zz

zyy

zxx

zyy

zxx

zzsr

pppp

pp

0

0

0

0

0

2222

0

20

20

0

22

0

20

0

20

0

21

21

22

2222

∫Σ

++

+

Σ= deyxECyxE zy

zyy

zx

zxxik

ppP

pp

0

0

0

0

),(),( 0

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Donde hemos englobado en el factor C todos los términos que no dependen de la variable de integración y cuyo conocimiento no es necesario en muchos casos de interés donde estaremos interesados por aspectos espaciales de la redistribución de la irradiancia (posiciones de máximos y mínimos, etc). Si renombramos como p y q a las cantidades el campo difractado por la apertura en el punto P vale Podemos concluir que el campo en P es proporcional a la transformada de Fourier de la función E0(x,y) que nos da la distribución de amplitud del campo incidente en el plano de la apertura. En el caso de que la apertura s presenta una cierta transmitancia, t(x,y), obviamente, el campo inediatamente después de ella será t(x,y)E0(x,y), por lo que la integral de dfracción se podrá poner de una manera general como siendo T(x,y)= t(x,y)E0(x,y) la función transmitancia de la apertura particular.

zy

zyq

zx

zxp

p

p

+=

+=

00

00

( )∫Σ+= dxdyeyxECyxE qypxik

ppP ),(),( 0

( )∫Σ+= dxdyeyxTCyxE qypxik

ppP ),(),(

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6.4 Difracción de Fraunhofer. Abertura rectangular Podríamos aplicar a esta situación física los resultados del apartado anterior. Pero nos parece instructivo realizar de nuevo los cálculos partiendo del principio de Huygens-Fresnel ya que nos permitirá ver el significado de la integral de Fraunhofer y de las aproximaciones realizadas para llegar a ella. En efecto, supongamos que la luz procedente de una fuente puntual se colima mediante una lente L0, de tal manera que la onda plana resultante incide sobre una rendija de anchura a y longitud L>>a. sobre una rendija. Queremos calcular la irradiancia en el punto P de la pantalla. Según el

principio de Huygens, cada punto del frente de onda sobre la rendija se convierte en emisor de ondas secundarias. Podemos dividir la rendija en rectángulos infinitesimales de anchura dy y longitud L tal como se muestra en la figura. La amplitud del campo emitido por cada rendija elemental será proporcional al área de la rendija, es decir, dE0=C Ldy. Por lo tanto, el campo radiado por la

rendija central dEc en la dirección hacia el punto P y que forma un ángulo θ con el eje óptico se podrá poner como (ver figura) Por otro lado, el campo radiado en la misma dirección por otra rendija elemental situada a la distancia y del centro se podrá escribir de manera análoga:

)))((()(

)( 0

0

tyrkieyr

dyCLydE pyω−∆−

∆−=

∆=y sen θ

θyp

y

L

dy y

)()( 0

0

tkrierdyCLydE pc

ω−=

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La única diferencia entre las dos expresiones radica en el hecho de que esta última expresión refleja el hecho de que la onda correspondiente recorre un camino óptico hasta P que es menor en la cantidad ∆(y). Esta cantidad depende de la posición de la rendija respecto del centro y vale Si la dimensión transversal de la rendija es pequeña podremos poner que r0-∆y ≈ r0 en el denominador. Nótese que en la exponencial no podríamos hacer esta aproximación ya que allí, basta un pequeño cambio en el valor de la fase para que se altere el valor de la interferencia de esta onda con las demás. Por todo ello, el campo total en P será la suma de las contribuciones de todas las rendijas elementales: Si definimos la función transmitancia de la apertura como El campo difractado dado por la expresión de más arriba se podrá poner como Si se compara esta expresión con la expresión general obtenida en la sección 5.2, se verá que es la misma si tenemos en cuenta que en la situación experimental analizada ahora se tiene que z0→∞ que se corresponde con el hecho de que la onda que incide sobre la rendija viene del infinito. Así pues, el campo difractado en la pantalla viene determinado por la transformada de Fourier de la función transmitancia de la rendija. En este caso, la integral se obtiene fácilmente, y arroja el siguiente resultado: El resultado de la superposición es una onda de la misma frecuencia que la incidente pero con una amplitud dada por la cantidad contenida en el corchete. La irradiancia de la onda será proporcional al cuadrado de esta amplitud y da lugar a una dependencia de la irradiancia con el ángulo de observación tal como se muestra en la figura.

)(

0

0

2/)2/()( tkrie

senkasenkasen

rCLayE ω

θθ −

=

dysenkyietkrierCLyE

a

ap ∫

−

−=2/

2/

0

0

)()()( θω

fyy

seny p≅=∆ θ

≥

≤≤−=

2

220

1),(

a

aa

y

yyxT

2

2

0 )2/()2/()(

θθθ

senkasenkasenII =

dyfyy

ikeyxTtkrie

rCLyE

p

p ∫∞

∞−

−== ),()()( 0

0

ω

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Como se puede apreciar, la distribución de la irradiancia sobre el plano de la pantalla muy alejada de la rendija no es uniforma sino que presenta un máximo central donde se concentra gran parte de la energía. Por otra parte aparecen mínimos nulos cuya posición se puede obtener a partir de la expresión de la irradiancia. En efecto, la irradiancia será nula cuando Esto se obtiene en los puntos de la pantalla cuya posición angular

Si, como hemos supuesto en el cálculo, la rendija está muy alejada de la pantalla y observamos en regiones donde y<<D, se tendrá que sen θ ≅ tan θ =y/D, y los mínimos aparecerán en las posiciones dadas por El aspecto del diagrama difraccional se muestra debajo para dos rendijas de anchuras diferentes. Cuanto más pequeña es la anchura de la rendija más ancho es el máximo central y más se separan entre si los máximos o mínimos entre sí.

2

20

)2/(

)2/()(θ

θsenkasenkasenIyI =

aDmym

λ=

02/0)2/(2 ≠= θθ senkaysenkasen

...3,2,12/ ±== mmsenka πθ

...3,2,1±== mamsen λθ

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6.5 Difracción de Fraunhofer. Abertura circular El estudio de la difracción a través de una rendija circular es de particular importancia dado que, en general, los sistemas ópticos formadores de imagen están compuestos de lentes y diafragmas circulares. Para calcular la irradiancia en un plano muy alejado de la abertura o en el plano focal de una lente, aplicaremos el mismo razonamiento que en el caso de una rendija. La única diferencia aparece debida a la simetría particular de la abertura. En efecto, consideremos el sistema de la figura en el que la onda plana producida por la lente L0, ilumina la abertura circular de diámetro D. Podemos dividir la abertura en rendijas infinitesimales de espesor dz y longitud 2x. Por lo tanto, el área de una de

estas rendijas será dA=2xdz. Además, las coordenadas x y x están relacionadas mediante la ecuación de la circunferencia Por lo tanto, el elemento de área se podrá escribir como

Al igual que en el caso de la rendija, el campo radiado por la subrendija central se podrá poner como Por otra parte, el campo radiado por la rendija situada a la distancia z del centro será donde se ha tenido en cuenta el retraso ∆ de onda secundaria respecto de la onda central. El campo total en P debido a las contribuciones de todas ls rendijas infinitesimales será

4

222 Dzx =+

dzsenzikezDtkrierCLE

D

D∫

−

−−=2/

2/

022

0

0 4)(2 θω

)( 0

0

trkier

CLdAdE ω−=

))((2 0

0

trkierCLxdzdE ω−∆−

∆−=

y

∆=s sen θ

dzzDdA 22

42 −=x

x

D

Z

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Esta integral no es tan sencilla como en el caso de la rendija. Si hacemos el cambio Por lo que la integral de difracción se puede poner como sigue Esta integral no admite una función primitiva pero su valor se puede expresar en términos de las funciones de Bessel. En efecto, la función de Bessel de primera especie vale Teniendo en cuenta esta definición, el campo total en P se puede escribir como Finalmente la irradiancia vale

Obsérvese que la forma de la función es parecida a laque obtuvimos para la rendija salvo que esta función tiene simetría radial. Los mínimos no se obtienen a una distancia angular periódica. El primer mínimo tienen lugar para o lo que es lo mismo, para posiciones puntos en la pantalla cuya posición angular respecto del centro de la apertura vienen dada por

dusenuDik

eutkrierLDE ∫

−

−−=1

1

0200

21)( θω

duDdzuDz22

=⇒=

duuieuJ ∫−

−=1

1

21 1)( α

παα

)(2/

)2/( 00

01

0

tkriesenDksenDkJ

rLDE ω

θθπ −=

2

0

010 2/

)2/(

=

θθ

senDksenDkJ

II

86.320 =θsenDk

Dsen λθ 22.1=

kD/2S

en θ

3.86

θ

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Este es uno de los resultados más importantes de este tema. En particular, para los sistemas formadores de imágenes que están formados por lentes y aperturas circulares, este resultado establece que la imagen de un punto es una mancha de difracción formada por anillos concéntricos, denominada mancha de Airy. De toda la energía, aproximadamente el 90 por ciento se concentra en el máximo central. Las imágenes de abajo muestran el diagrama de difracción producido por un orificio circular (a) y por la luz difractada por un glóbulo rojo (b)

L

a b

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Es fácil darse cuenta que la imagen de de un objeto extenso perderá definición por el hecho de que, de cada uno de los puntos del objeto, el sistema óptico formará una mancha de Airy que se superpondrán con otras manchas próximas, lo que impedirá distinguir detalles finos, s decir, puntos muy próximos entre sí. Veremos este punto a continuación.

6.6 Difracción y poder de resolución El poder de resolución de un instrumento óptico es una medida de su capacidad para separar las imágenes de dos objetos que se encuentra muy juntos en el espacio objeto. Por ejemplo, cuando miramos al cielo nocturno a ojo desnudo, vemos estrellas que parece ser estrellas simples. Pero miramos a través de un telescopio muchas de esas estrellas aparecen como estrellas dobles. Para entender este comportamiento, consideremos dos puntos objeto S1 y S2 que se encuentran muy próximos. Cada uno de ellos se va a representar en el plano imagen como una mancha de

Airy con centro en la imagen geométrica S’1 y S’2, respectivamente. Aunque las imágenes no sean puntuales, si están

suficientemente separadas se puede decir sin ambigüedad que corresponden a dos objetos diferentes tal como se aprecia en la figura (a). Pero si los puntos objetos se acercan lo suficiente, sus manchas de Airy solapan, las intensidades se suman y

el resultado es que no podemos distinguir un punto de otro, lo cual ocurrirá cuando la distancia entre las imágenes sea menor que el radio del disco central de una de las manchas. En la imagen de más abajo se puede apreciar lo que decimos. Todo ello nos lleva a plantear un criterio de resolución que establezca la situación límite a partir de la cual los dos puntos dejan de verse separados. El criterio se debe a Lord Rayleigh y establece que dos imágenes están justamente resueltas cuando la distancia entre los centros de las manchas de Airy es igual al radio del disco central. Esto ocurre cuando

Dsen m

λθ 22.1=

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Por lo tanto, cuanto mayor sea el diámetro de la apertura más pequeño será el ángulo mínimo de resolución. Así, por ejemplo, para el caso del ojo, es el tamaño de la pupila el que determina su poder de resolución, ignorando las

aberraciones . Para un tamaño medio de pupila de 3 mm y para una radiación de longitud de onda λ=500 nm, el ángulo mínimo es Este ángulo corresponde a una separación angular de 0.69 minutos de arco. En la figura inferior se muestran las manchas de difracción o manchas de Airy producidas por la difracción en el ojo en ausencia de aberraciones, para diferentes diámetros pupilares.

La evolución del ángulo mínimo de difracción en función del diámetro pupilar se muestra en la gráfica inferior

radmsen 4-x10-6x10x 2

350022.1 ==θ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1 2 3 4 5 6 7 8 Diámetro pupilar (mm)

Dp=1 mm Dp=2 mm Dp=3 mm Dp= 4 mm

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Podemos comparar este resultado con el ángulo mínimo de resolución de un telescopio comercial cuyo objetivo es de

unos 25 mm de diámetro, se tiene que corresponde a 0.08 minuto de arco, es decir, una observación del cielo nocturno con el telescopio tendría una resolución angular del orden de 8 veces mayor que observando a ojo desnudo. Sin embargo, la distorsión que introduce la atmósfera empobrece la imagen disminuyendo con ello el poder de resolución efectivo. En este sentido, la óptica adaptativa ha desarrollado sistemas para mejorar el rendimiento de los telescopios terrestres

Aquí se muestra un ejemplo de cómo la corrección de las aberraciones introducidas por la turbulencia de la atmósfera permiten resolver una estrella binaria desde la tierra. Se trata de la imagen obtenida sin y con corrección por el telescopio de 3.5 m de Starfire Optical Range que opera en el infrarrojo en torno a 900 nm. La resolución teórica es es decir, unas 1000 veces mayor que la del ojo.

θm

arc of seconds 064.05.3

1090022.122.1 9

min =×⋅=⋅=−

aλθ

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En el caso del telescopio Hubble, que orbita fuera de la atmósfera terrestre, se puede decir que trabaja en el límite de difracción. Su espejo primario tiene un diámetro de 2.5 m, por lo que el ángulo mínimo de resolución es Si se observa un objeto estelar a L=1000 años luz (9.5x1015 km), se podría distinguir detalles separados entre sí al menos y = Lθm =2.3x109 km, que es del orden de la distancia Sol- Urano. Gracias a este elevado poder de resolución, y a la gran cantidad de luz que recoge el espejo primario de Hubble, se han podido detectar varios planetas orbitando alrededor de sus estrellas.

''05.07-x10-6x10x

44.2250050022.1

≡== radmsenθ

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En el caso de un microscopio e iluminación incoherente, también podemos aplicar el criterio de Rayleigh para establecer la separación mínima que es capaz de resolver. En este caso, el objetivo forma una imagen real de dos puntos próximos situados muy cerca del foco objeto. La imagen son dos manchas de Airy que caen en foco imagen del ocular. En la imagen de la derecha se muestran las figuras de Airy de cada punto del objeto en el plano imagen del objetivo La distancia mínima entre los centros de las imágenes será Teniendo en cuenta que en un microscopio bien corregido de aberraciones se cumple la condición del seno de Abbe la separación mínima entre dos puntos objeto que puede resolver el microscopio en iluminación incoherente es siendo A.N= n sen σ la apertura numérica del objetivo. Normalmente el objeto se encuentra en aire, es decir, n=1, y el ángulo subtendido por el borde del objetivo toma valores tales σ << 900, de modo que como máximo n sen σ =1. Por lo tanto, para λ = 500 nm, se tiene ymin=300 nm. Si se usa un objetivo de inmersión en aceite (n= 1.5) se llega hasta y’= 200 nm. En el caso del observación a ojo desnudo, y a una distancia de 25 mm, el tamaño mínimo que puede resolver el ojo es de y= 25x2x10-4= 50 µm, casi tres órdenes de magnitud menos. En la tabla inferior se da la resolución en micras para ters tipos de objetivos de diferentes aumentos y aperturas numéricas.

''61.0

'22.1

'22.1

''' 00σ

λλλθsennDn

sD

ssensy m ====

θm

σ σ’y

y’

s s’

D

''' σσ senynsenyn =

NAsenny

.61.061.0' 00 λ

σλ

==

Apertura numérica

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Objective Type Plan Achromat Plan Fluorite Plan Apochromat

Magnification N.A. Resolution (&microm) N.A. Resolution

(&microm) N.A. Resolution (&microm)

4x 0.10 2.75 0.13 2.12 0.20 1.375 10x 0.25 1.10 0.30 0.92 0.45 0.61 20x 0.40 0.69 0.50 0.55 0.75 0.37 40x 0.65 0.42 0.75 0.37 0.95 0.29 60x 0.75 0.37 0.85 0.32 0.95 0.29

100x 1.25 0.22 1.30 0.21 1.40 0.20 N.A. = Numerical Aperture

Como se desprende de las ecuaciones, la longitud de onda de la luz utilizada es un factor importante en la resolución de un microscopio. Cuanto más corta es la longitud de onda mayor resolución se alcanza. El mayor poder de resolución se alcanza en el ultravioleta cercano, que representa la longitud de onda más corta para microscopía óptica. En general, los microscopios usan luz procedente de una lámpara de tunsgteno para iluminar los especimenes, la cual emite centrada en torno a 550 nm, que es la longitud de onda para la cual el ojo tiene una respuesta fotométrica mayor. Los valores dados en la tabla anterior están calculados para esta longitud de onda. El efecto de la longitud de onda se da en la tabla siguiente donde se ha fijado la apertura numérica al valor A.N.=0.95.

Resolución versus longitud de onda Wavelength

(Nanometers) Resolution

(Micrometers) 360 .19 400 .21 450 .24 500 .26 550 .29 600 .32 650 .34 700 .37

La expresión que nos da la resolución en un microscopio obtenida anteriormente sugiere que para obtener mayores resoluciones deberíamos trabajar con longitudes de onda lo más cortas posibles. En un principio se hicieron intentos con luz ultravioleta o rayos X, pero las dificultades para focalizar estas radiaciones impidieron llegar a resultados útiles. El resultado más interesante vino de la mano de la mecánica cuántica. En efecto, según esta teoría las partículas como el protón o el electrón se pueden comportar como ondas cuya longitud de onda depende de la cantidad de movimiento a través de la ecuación de L. de Broglie siendo h=1.06x10-34 J.s es la constante de Planck y mv la cantidad de movimiento de la partícula. Para el caso de electrones acelerados mediante un potencial de unos 50 KV, la velocidad que adquiere un electrón se puede obtener igualando la energía potencial eV a la energía cinética ganada por el electrón en el seno de ese potencial:

vmh

=λ

2v21 meV =

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Por lo tanto, la longitud de la onda asociada será Si comparamos la resolución obtenible con microscopio que forme imágenes focalizando electrones en lugar de fotones, la resolución relativa que se alcanzaría sería Es decir un microscopio electrónico presenta una resolución cien mil veces mayor que uno óptico: En la figura de la izquierda se muestra una micrografía por microscopía electrónica de un corte histológico del estroma corneal donde se pueden apreciar las fibrillas de colágeno cuyo diámetro es de aproximadamente 25-30 nm. La figura de de la izquierda muestra una imagen resuelta de conos y bastones de la retina.

nmmeVh

mh

e310x5

2v−===λ

53

10500

10x5 −−

==nme

λλ

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6.7 Redes de difracción. Espectroscopía En esta sección vamos a analizar los fenómenos de difracción que se producen cuando la luz pasa a través de varias aberturas situadas en una pantalla. En particular nos centraremos en el estudio de estructuras formadas por aberturas idénticas situadas de forma periódica. El caso más sencillo es el constituido por una red de N rendijas de anchura a separadas entre sí una distancia d, que denominaremos paso de la red. Estas estructuras se pueden obtener por medios mecánicos u ópticos y puede tener centenares de líneas por milímetro. Lo más interesante es que cuando son iluminadas por un haz monocromático, producen fuertes fenómenos de interferencia en el sentido de que sólo emerge luz en unas direcciones bien definidas, anulándose en todas las demás, tal como se ve en la figura de la izquierda, en la que una haz laser de He-Ne incide sobre una red produciente en la pantalla de enfrente una serie de máximos de difracción Si sobre la red incide luz policromática, cada color producirá órdenes de difracción con diferente ángulo, con lo que la red permite descomponer cromáticamente el haz incidente y eventualmente, ser analizado. Esta es la aplicación más importante de las redes de difracción. Por ejemplo, en la imagen inferior se muestra la radiación que emerge de una lámpara de descarga que contiene vapor de hidrógeno. Obsérvese que la radiación lateral que no pasa por la red es blanca mientras que la lámpara a través de red podemos ver los diferentes colores en que se descompone el primer orden de difracción. En lo que sigue analizaremos con detalle estos fenómenos y estableceremos relaciones cuantitativas que nos permitan caracterizar el funcionamiento de una red de difracción.

d

22

6.7.1 Ecuación de la red Antes de realizar un cálculo exhaustivo de la respuesta de una red de difracción a una onda plana incidente sobre ella, vamos a obtener, utilizando argumentos de interferencia, algunas características importante de la misma. Para

empezar, supongamos la situación de la figura. Una onda plana incide sobre una red compuesta de N rendijas de anchura a y separadas una distancia d. De cada rendija emergerán ondas que se dirigen hacia delante. Supongamos que estamos interesados en saber si existe alguna dirección dada por el ángulo θ donde todas las ondas interfieran constructivamente. En efecto, ello es posible si la diferencia de camino entre dos ondas consecutivas ∆ es un múltiplo entero de la longitud de onda, es decir Por lo tanto, habrá máximos en la direcciones dadas por Así pues, para m=0, aparecerá un máximo en la dirección dada por θ = 0, es decir, en la propia dirección del haz. Dando valores a m

obtenemos las diferentes direcciones en las que se producen máximos importantes ya que interfieren constructivamente todas las ondas.

Por ejemplo, para el caso de un laser de He-Ne de λ=632 nm y una red de 600 líneas/mm, los ángulos de los máximos vienen dados por es decir, Para m=3, el seno del ángulo es mayor que la unidad, por lo que sólo aparecerán estos órdenes.

θ d

∆∆∆∆

λθ msend ==∆

...2,1,0 ±±== md

msen λθ

Red dedifracción

Orden 0

Orden 1

Orden -1

Orden -2

Orden 2

Haz de luz blanca

radiación monocromática

...2,1,038.0600/110632 6

x ±±===−

mmmsenθ

00 3.493.22,0 ±±=θ

23

Si iluminamos la red con luz blanca, cada radiación monocromática, dentro de un mismo orden, emergerá de la red con un ángulo diferente. Por ello, cada orden aparecerá descompuesto en radiaciones monocromáticas, siendo el ángulo más pequeño para la radiación de menor longitud de onda. En el caso del visible, el violeta será el color difractado con el menor ángulo y el rojo con el mayor, tal como se muestra en la figura. Nos podemos preguntar si un ángulo diferente. Por ello, cada orden aparecerá descompuesto en radiaciones monocromáticas, siendo el ángulo más pequeño para la radiación de menor longitud de onda. En el caso del visible, el violeta será el color difractado con el menor ángulo y el rojo con el mayor, tal como se muestra en la figura. Este comportamiento de la red tiene importantes aplicaciones en el campo de la espectroscopía ya que nos permite analizar el espectro de la radiación emitida por las fuentes de luz, sea una lámpara de descarga, la luz del sol o la radiación proveniente de una galaxia. Pero así como la difracción imponía un límite a la capacidad de resolución espacial de los sistemas ópticos, también aquí la difracción a través de las rendijas va a imponer un límite al poder separador de la red. Para evaluarlo deberemos calcular la onda transmitida por toda la estructura y veremos cómo la anchura de la rendija y el número de ellas determinará la capacidad de la red para discriminar entre dos radiaciones próximas. Sí si queremos calcular el campo transmitido en un punto cualquiera de la pantalla tendremos que sumar todos los campos radiados por cada rendija teniendo en cuenta que las diferencias de fase entre ellas. Como hemos demostrado en la sección 6.2, el campo que emerge de una rendija de anchura a y en un punto cuya posición angular viene dada por θ, es

La amplitud de esta onda la hemos puesto como E0/N para indicar, que la amplitud de la onda plana incidente se reparte por igual entre cada rendija. El campo en P será la suma de todas las ondas radiadas por las N rendijas, teniendo en cuenta que la diferencia de fase entre dos rendijas consecutivas es ∆:

θλπβω

ββ senacontkriesen

NE

yE =−= )()()( 01

]))1(([...

])2([])([)()(

1

111tNrkieE

trkieEtrkieEtkrieEEω

ωωωθ−∆−+

+−∆++−∆++−=

d

a

Red dedifracción

Orden 0

Orden 1

Orden -1

Orden -2

Orden 2

Haz de luz blanca

24

donde ∆= d sen θ representa la diferencia de camino óptico entre dos haces consecutivos. Teniendo en cuenta los factores comunes, la expresión anterior se puede rescribir como El primer término, E1, representa el campo difractado por una de las rendijas, mientras que el término entre corchetes representa la interferencia de N ondas y su suma no es otra cosa que la de una progresión geométrica de razón eik∆. Por lo tanto, el campo total en un punto de la pantalla vale La irradiancia se la onda será proporcional al cuadrado del módulo de la amplitud de la onda resultante, esto es: Ahora que tenemos la expresión completa de la irradiancia, podremos extraer algunas consecuencias importantes. Como se ve aparece un producto de dos funciones cada una de las cuales representa al término difraccional e interferencial, respectivamente. Ambas son funciones oscilantes y dado que d>>a, la función interferencial oscilará mucho más deprisa que la difraccional. Por otra parte, cuando Nα→0, Así pues esta función dará lugar a máximos muy pronunciados cuando La primera condición se cumple para todos los valores de tales que Y de estos valores, la segunda sólo se cumple para Por lo tanto, ambas condiciones se verifican a la vez si

( ) )(1...1)θ( 1tkrieNikeikeEE ω−

∆−++∆+=

[ ]2/)1(

2

2)(1

1)θ( 0

1+∆+−

∆

∆=−

−∆−∆

= Nktkrieksen

NKsensenNEtkrie

ike

ikNeEE ωβ

βω

θλ

πβθλ

πα

θθαα

ββθ

senasenddonde

IIsenNsensen

N

II id

==

=

⋅

=

,

)().()()(22

20

KKKK πππππαNN

NN

NNN2320=

22

0

)(lim N

senNsen =

⋅

→αα

α

002 == αα senyNsen

λθπα mdsenom ==

KKKK ππαNN

NN 20=

25

Por lo tanto, obtendremos máximos muy brillantes en aquellas direcciones que cumplan esta ecuación, que no es otra que la ecuación de la red que ya obtuvimos al principio utilizando un simple razonamiento de interferencia. Pero hemos obtenido más cosas. Entre los valores α=0 y α=Νπ/Ν, existen N-1 valores de α donde se anula el numerador de la función Fi(θ) pero no el denominador, por lo que para estos valores la irradiancia total se anulará. Por lo tanto, entre dos máximos, que denominaremos principales, aparecerán N-1 mínimos nulos. En la figura hemos representado el factor interferencial Fi(θ) en función de la posición angular sen θ, para el caso de 6 rendijas:

En efecto, los máximos principales aparecen en las posiciones Y entre dos máximos consecutivos aparecen 5 mínimos. El primer mínimo ocurrirá en la posición angular dada por Este resultado es importante porque nos da la anchura angular de los máximos principales: para N muy grande, Pero esta gráfica no representa la irradiancia real en la pantalla. Hemos de multiplicarla por el factor difraccional que todavía no hemos considerado. En la figura de abajo hemos realizado una representación de Fd(θ) también en función de sen θ . Esta función, como ya vimos, presenta mínimos de difracción en Por lo tanto, esta función va a modular a la anterior. En efecto el producto se representa en la tercera figura

00λ/aλ/2aλ/6a 2 /aλ sen θ

N2

dλ

Nπ

...2,1,0 ±±== mdmsen λθ

Nsen

Nλθπα =⇒=

Nλθ 2=∆

00λ/aλ/2aλ/6a 2 /aλ sen θ

N2

dλ

Nπ

dm

amsen λλθ >>=

00λ/aλ/2aλ/6a 2 /aλ sen θ

N2

dλ

dλ2

Nπ

26

6.7.2 Poder de resolución de una red de difracción Una propiedad importante de las redes de difracción es su capacidad para separar dos longitudes de onda muy próximas. Ellos s debido a que al hacer interferir muchas ondas debido a que hay muchas rendijas, los máximos de difracción son muy estrechos. Recuérdese que la anchura angular del máximo principal dependía del número de rendijas : Supongamos, entonces que sobre una red de difracción inciden dos radiaciones de longitudes de onda muy próximas, λ y λ+∆λ. La posición angular de los máximos de difracción será diferente para cada longitud de onda, tal como se muestra en la figura. Por ello, si las longitudes de onda no difieren mucho, puede suceder que los máximos de difracción solapen y no sea posible resolverlos. Cada una de las radiaciones cumple la ecuación de la red: Desarrollando la última ecuación Como cos ∆θ ≅1 y sen ∆θ ≅ ∆θ, se llega Siguiendo el criterio de Lord Rayleigh, supondremos que estos máximos están justamente resueltos cuando cada uno coincide con el primer mínimo del otro. Ello implica que deben estar separados angularmente la semianchura de un máximo, es decir

Nλθ 2=∆

λλ ∆+λ

θsen

Ndλ

( ) ( )λλθθλθ

∆+=∆+=

msendmsend

λλθθθθ ∆+=∆+∆ mmsendsend coscos

dmmd λθλθθ ∆≅∆⇒∆=∆cos

NmNddm λλλλ =∆⇒≥∆

min

27

Se suele definir el poder de resolución de una red como Por lo tanto el poder de resolución de una red viene dado por el producto del orden interferencial en el que se trabaja por el número de líneas iluminadas por el haz incidente. La situación convencional para analizar el espectro de una fuente en el visible usa un goniómetro que permite medir con precisión los ángulos de difracción, en un orden dado para cada una de las longitudes de onda. Esquemáticamente se muestra en la figura inferior. En ella la luz procedente de la fuente ilumina una rendija cuya imagen se forma en el infinito con un anteojo y se dije a la red de difracción, situada en el centro del goniómetro. Mediante un anteojo de observación con un retículo incorporado se miden los ángulos

Cuanto mayor es el orden mayor es la separación entre las diferentes líneas del espectro, por lo que sería deseable medir en órdenes altos, pero entonces puede suceder que se de solapamiento de órdenes, es decir, que algunas líneas de un orden invadan parte del espectro del orden siguiente. En la figura se puede apreciar cómo parte del espectro del orden 2 invade al orden 3 o viceversa. En este caso Hay que tener cuidado a la hora de realizar la medida.

mNPr =∆

=minλλ

orden m=-1 orden m=0

orden m=1

orden m=2

28

Como ejemplo de aplicación, imaginemos que queremos resolver la emisión de una lámpara de sodio de muy baja presión con una red de 600 líneas/mm. El gas de la lámpara está formado por átomos de sodio que presentan la estructura atómica que se muestra más abajo. El nivel excitado, de hecho esta formado por dos niveles de energía muy juntos debido a la interacción spin-órbita. Por lo tanto, la radiación emitida contendrá dos longitudes de onda muy próximas. La difrencia entre ellas es de 0.597 nm. Por lo tanto, si aplicamos la expresión que nos da la resolución de una red, necesitaríamos iluminar un número de líneas mínimo de La espectroscopía es hoy una herramienta imprescindible en la detección de las líneas de absorción y emisión de cualquier medio material. El espectro de una sustancia constituye algo así como sus huellas dactilares. El esquema de un espectrómetro comercial se muestra en la figura. La luz cuyo espectro se desea analizar se introduce mediante lentes o fibra óptica en el espectrofotómetro que consta de una serie de espejos para amplificar la separación entre los diferentes líneas. En el caso de la figura, la luz llega primero a un espejo cóncavo que colima el haz de luz sobre la red de difracción. Aquí se descompone el haz en sus componentes monocromáticas que se dirigen a otro espejo cóncavo de mayor radio que las focaliza en un detector. Los datos en intensidad y posición pasan a un ordenador para su procesado y en la pantalla se muestra el espectro.

mmN ==

592.03.589

29

La figura inferior muestra de una manera genérica, el tipo de información que puede obtenerse a partir de los espectros de un material. Imaginemos que iluminamos un cierto gas con una fuente de luz cuyo espectro conocemos. Este será nuestro espectro de referencia, y construye el conjunto de líneas de emisión que enviamos sobre la muestra. Ahora podemos recoger la luz transmitida directamente o bien la luz dispersado por la muestra, medir su espectro y compararlo con el de la fuente. Las líneas oscuras que aparecen en el espectro de transmisión han sido absorbidas por el gas. Así se obtiene el espectro de transmisión o absorción del gas. La radiación difundida en otras direcciones se produce por absorción del la radiación incidente por los átomos del gas y posterior reemisión a otras longitudes de onda. Constituye el espectro de emisión del gas. A continuación se muestran los espectros en el visible emitidos por tres lámparas de descarga de tres elementos: Hidrógeno, Mercurio y Neon.

Hg Ne H

30

Como dijimos anteriormente, el espectro de emisión o de absorción es la huella dactilar del medio material que lo produce. En la fotografía tomada por el Hubble se muestra la nube rojiza de gas que rodea a la nebulosa del cangrejo. Al medir su espectro se vio que se correspondía esencialmente con la línea roja del átomo de hidrógeno, o que permite determinar naturaleza de las nubes interestelares. Los satélites captan información de masas vegetales, gases, etc a partir de los espectrofotómetros que llevan incorporados, cada uno diseñado en el rango específico para la función. La astronomía y la cosmología han avanzado durante este siglo gracias a estas técnicas. Merece la pena comentar que una de las hipótesis en las que se basa la teoría cosmológica standardt del Big-Bang descansa en los cambios observados en los espectros emitidos por estrellas y galaxias. En efecto, commo ya comentamos en el tema 1, el efecto Doppler establece que la frecuencia de las ondas emitidas por una fuente que está en movimiento relativo al observador o detector es diferente de la que se detecta si la fuente está en reposo.oso. En el dibujo se muestra el efecto. La fuente emite ondas a frecuencia constante, esto es, las crestas abandonan la fuente de ondas (sonido o luz) a intervalos regulares de tiempo T. Si la fuente se aleja del observador de la izquierda a velocidad constante v, entonces durante el periodo de tiempo comprendido entre crestas sucesivas, la fuente se habrá desplazado una distancia vT. Esto aumenta el tiempo que necesita una cresta en llegar al observador en una cantidad vT/c, donde c ocurre pero a es la velocidad con la que se propagan las ondas en el espacio. Por lo tanto, el tiempo transcurrido entre la llegada de la primera cresta y la siguiente será: Teniendo en cuenta que λ=cT, la longitud de onda que medirá el observador de la izquierda será

cTTT v' +=

+=cv1' λλ

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Un razonamiento análogo demostraría que el observador de la derecha mediría una longitud de onda más corta. Basta con cambiar el signo de la velocidad. En general, el cambio en la longitud de onda se podrá poner El efecto Doppler permite medir la velocidad a la que se mueve un objeto luminoso si podemos medir el corrimiento que experimenta el espectro de la radiación emitida por el mismo. Un ejemplo práctico es el RADAR de tráfico. En efecto, considérese que desde un coche de policía en reposo se envía una onda electromagnética de frecuencia conocida, (típicamente en el rango de la banda X de radiofrecuencias, en torno a los 10 GHz). Esta onda se refleja en un vehiculo en movimiento a una velocidad v. Debido al efecto Doppler, la frecuencia de la onda que llega al vehiculo vienen dada por Por la misma razón , la frecuencia de la onda reflejada por el vehículo en movimiento cambia a Como v<<c, la expresión anterior se puede aproximar a Por lo tanto, si hacemos interferir la señal de salida con la onda reflejada por el vehículo, la superposición de ambas dará lugar, como hemos visto en el apartado 1.4.3 a una onda modulada en amplitud cuya irradiancia oscila a la frecuencia de batido νR− ν. Lo interesante para la cosmología es que este mismo hecho permite medir la velocidad con la que se mueven las estrellas, galaxias o los quasares respecto de nosotros. En este caso se compara el espectro emitido por una estrella cercana en reposo relativo respecto a nosotros, con el espectro emitido por la estrella o galaxia en movimiento. En efecto, supongamos que tomamos como referencia el espectro del hidrógeno que se ha medido con alta precisión.

±=cv1' λλ

+=cv1' νν

++=

+

+=

+=2

2vv21v1v1v1'cccccR νννν

cc RRv2v21 =−⇒

+≅ νννν

32

Si ahora medimos la radiación procedente de la nebulosa del cangrejo, vemos unas líneas y podemos reconocer que algunas de ellas se corresponden con las del hidrógeno pero ligeramente desplazadas. Podemos asociar este desplazamiento al movimiento relativo y como podemos calcular el corrimiento de cada línea espectral, podemos obtener la velocidad relativa. Lo mismo sucede si observamos la radiación procedente de una galaxia. Ahora aparecen más líneas, pero vemos que la línea del hidrógeno sigue apareciendo, solo que más desplazada. El astrofísico E. Hubble midió estos desplazamientos de una manera sistemática y observó que para objetos suficientemente lejanos ocurrían siempre hacia el rojo, lo que indicaba que todas las galaxias se estaban alejando de nosotros.

nebulosa

galaxia

33

En la figura de abajo se muestra el espectro de radiación emitido por una fuente de luz en el laboratorio. Las líneas emitidas por esta fuente constituyen el espectro de la mismas y está asociado a la emisión de en átomos o moléculas de la fuente de radiación. Sus longitudes de onda se conocen con precisión. En la misma figura se muestra el espectro de la luz emitida por una estrella. Sobre el espectro continuo aparecen unas líneas oscuras causadas por la absorción de esas determinadas radiaciones por electos químicos de la atmósfera externa de la estrella. Como se ve, cuando se compara con las emisiones en el laboratorio, aparecen corrimientos de las líneas debidas al efecto Doppler. Como ejemplo, se muestra el corrimiento en las líneas del Hidrógeno de una galaxia. En la figura de la derecha se puede observar el corrimiento hacia el rojo de las líneas espectrales del Hidrógeno del espectro emitido por la Galaxia 8C1435+635, obtenido recientemente con el telescopio William Hershel en la isla de la Palma.

Otro ejemplo se muestra en la figura de la izquierda en la que se puede observar el aspecto real de la detección de un espectro emitido por una estrella cercana en reposo comparado con el espectro emitido por una galaxia en movimiento. Obsérvese el corrimiento experimentado por las líneas de emisión del calcio, magnesio y sodio. Este desplazamiento espectral corresponde a una velocidad de recesión de 12.000 km/s

Calcio

Magnesio

Sodio

Espectro de la galaxia

Espectro estelar

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Hubble, en llevó a cabo una medición sistemática de los corrimientos espectrales de una gran número de galaxias, encontrando un desplazamiento hacia el rojo que aumentaba linealmente con la distancia entre nuestra galaxia y las observadas, tal como se muestra en la figura. Este hecho experimental apoya fuertemente la idea de un universo en expansión. De las gráficas se desprende que las galaxias más lejanas se alejan de nosotros más deprisa. De hecho encontró una dependencia lineal de la velocidad con la distancia siendo r la separación entre galaxias y H0 la constante de Hubble cuyo valor actual es H= 67 km/s/Mpc. Todo esto nos dice que mucho tiempo atrás todas las galaxias han debido estar muy juntas. Para ser más específicos, si su velocidad ha sido constante, entonces el tiempo que todo par de galaxias ha necesitado para llegar a su situación actual será es decir, ha sido el mismo para todas ellas:¡ en el pasado deben haber estado todas unidas en un mismo instante de tiempo!, hace aproximadamente 20.000 millones de años.

rHV 0=

00

1HrH

rVrt ==≈

35

La espectroscopía también ha jugado y lo sigue haciendo, un papel muy importante en el desarrollo de la física cuántica. De hecho, el intento de explicar la forma de la curva del espectro de emisión de cuerpos en equilibrio térmico a una temperatura dada dio origen a la introducción del concepto de cuanto de energía y el análisis de las líneas espectrales de gases atómicos, como el hidrógeno obligó a pensar en modelos atómicos, como el modelo de átomo de Borh.

Lámpara de HidrógenoY su espectro

36

Los espectros de las moléculas, y agregados moleculares líquidos y sólidos son más complejos que los espectros atómicos, pero se obtienen de la misma manera. Mas abajo sedan los espectros de diversos medios biológicos como la clorofila.

37

Apéndice. Difracción de Fraunhofer. Red sinusoidal Vamos a analizar ahora la difracción que se produce cuando una onda plana ilumina una abertura cuya transmitancia cambia de un punto a otro siguiendo una función sinusoidal. El montaje es el mismo que utilizamos para el caso de las rendijas sencillas. La novedad estriba en que ahora la rendija es una transparencia que absorbe más en unas zonas que en otras y su transmitancia no es 1 a lo largo de la extensión de la transparencia. Esto se puede conseguir, por ejemplo, fotografiando un diagrama interferencial tipo Young. La película que se resulta tendría un pefil de transmitancia cosenoidal. Por o tanto, situamos la película o transparencia a continuación de la lente. Asumiremos una transmitancia dada por la función La distribución de irradiancia en el plano imagen será proporcional a la transformada de Fourier de la función T(x,y), es decir, donde senθ=y’/f. Teniendo en cuenta que la función cos (x) se puede expresar como

( ) dysenykieyfmdysenykieyxTtkrierAyE

a

ay

s ∫∫−

∞

∞−

+=−=2/

2/

0

0

)(2cos1)(),()()'( θπθω

∆=y sen θ

θ

y’

y

L

y

≥

≤≤−+=

2

22

0

2cos1),(

a

aay

s

ssiyfmyxT

π

−+= ixeixex

21cos

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la integral anterior se puede llevar a cabo fácilmente en términos de funciones exponenciales: El resultado final es La irradiancia de la onda, despreciando términos en orden 3 en el seno es Por lo tanto, en el punto P de la pantalla, situado a una distancia y’ del centro, la irradiancia se compone de tres máximos de irradiancia, uno centrado en el origen (1er término) y los otros dos situados a la derecha e izquierda del centro a una altura a la derecha e izquierda de este a una altura dada por Por otro lado, el campo radiado en la misma dirección por otra rendija elemental situada a la distancia y del centro se podrá escribir de manera análoga:

)))((()(

)( 0

0

tyrkieyr

dyCLydE pyω−∆−

∆−=

dy

dyyfsenyki

eyfsenyki

emsenykieCyEa

a

yy∫−

−+

++=

2/

2/

)2()2()()'(πθπθθ

dyyfsenyki

eyfsenyki

emsenykieCyEa

a

yy∫−

−+

++=

2/

2/

)2()2()()'(πθπθθ

−−

+++

+=)'/'()'/'(

)'/'()'/'(

'/')'/'()'(

y

y

y

y

ffyaffysen

ffyaffysen

fyafyasenCyE

λπλπ

λπλπ

λπλπ

yffy '' λ±=

−−

++

++= 2

2

2

2

2

2

0 ))'/'(()'/'(

))'/'(()'/'(

)'/'()'/'()'(

y

y

y

y

ffyaffysen

ffyaffysen

fyafyasenIyI

λπλπ

λπλπ

λπλπ

39