DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA

Física 2º Bach.Tema: Vectores y tiro parabólico 08/10/10

Nombre:

1. Dados los vectores a=i−3j2k , con origen en el punto C(2, 1, 0) y b=3j−2k , con origen en el punto D(0, 1, -1), calculaa) a ·a×b [1]b) Ma, D [1]Solución

2. Dados los puntos A(-6, 0, -2), B(6, 1, 1) y C(6, 3, 2) (coordenadas en m), calcula:a) El perímetro del triángulo ABC [1]b) El área del triángulo ABC [1]c) La proyección del vector AC sobre el lado AB [1]Solución

3. Un futbolista lanza una falta desde un punto que está a 35,0 m de la portería y en línea con uno de los postes. La pelota sale con un ángulo de 30,0º. Si la pelota entra en la portería pegada al poste y rozando el larguero, después de describir una parábola, calcula:a) La velocidad con la que salió la pelota de la bota del futbolista. [3]b) La altura máxima que alcanzó. [2]DATOS: Supón que la pelota es puntual y que el larguero está a 2,40 m del suelo. g = 9,81 m/s2

Solución

Soluciones

1. Dados los vectores a=i−3j2k , con origen en el punto C(2, 1, 0) y b=3j−2k , con origen en el punto D(0, 1, -1), calcula a) a ·a×bSolución:Cero. El vector a×b es un vector perpendicular a a , y el productor escalar de dos vectores perpendiculares es cero, porque a ·b=∣a∣·∣b∣· cosab y el cos 90º = 0b) Ma, DMa, D=DC×a=2ik ×i−3j2k =−6k−4jj3i=3i−3j−6k

2. Dados los puntos A(-6, 0, -2), B(6, 1, 1) y C(6, 3, 2) (coordenadas en m), calcula: a) El perímetro del triángulo ABCb) El área del triángulo ABCc) La proyección del vector AC sobre el lado AB Solución:El perímetro del triángulo ABC es igual a la suma de los lados: ∣AB∣∣BC∣∣CA∣

AB=12ij3k ∣AB∣=1221232=12,4 m

BC=2jk ∣BC∣= 2212=2,24 m

CA=−12i−3j−4k ∣CA∣=−122−32−42=13,0mEl perímetro del triángulo ABC vale 12,4 + 2,2 + 13,0 = 27,6 mb) El área del triángulo ABC es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados:

AB×BC=12ij3 k ×2jk=24 k−12ji−6i=−5i−12j24 k

Area ABC= 12∣AB×BC∣=−52−122242

2=13,6 m2

c) La proyección del vector AC sobre el lado AB es:

Proyección deACsobre AB=AC ·AB∣AB∣

=12i3j4 k · 12ij3 k 12,4

= 14431212,4

=12,8 m

3. Un futbolista lanza una falta desde un punto que está a 35,0 m de la portería y en línea con uno de los postes. La pelota sale con un ángulo de 30,0º. Si la pelota entra en la portería pegada al poste y rozando el larguero, después de describir una parábola, calcula:a) La velocidad con la que salió la pelota de la bota del futbolista.b) La altura máxima que alcanzó.DATOS: Supón que la pelota es puntual y que el larguero está a 2,40 m del suelo. g = 9,81 m/s2 Solución:Como se encuentra sometido solamente a la acción de la fuerza peso, y por tanto su aceleración a=−9,8jm·s−2 es un vector constante, su ecuación de movimiento es

r=r0v0 t−21 a t2

Se coloca el origen de coordenadas en el punto O, en el suelo desde donde sale la pelota. Se toma como eje X+ el horizontal en el sentido de avance del objeto, y el eje Y+ el vertical hacia arriba, tal como se muestra en la figura, y se sustituyen las constantes de la ecuación por los siguientes valores:

v 0

X

Y30º

35 m

2,4

m

h

r0 = (0, 0)

v0=v0 cos30,0 iv0 sen30,0 j=0,866 v0i0,500 v0

j m/s

a=−9,81jm·s−2

La ecuación de movimiento queda como sigue:

r=0,866 v0 ti0,500 v0 t j12 −9,81 j t 2=0,866 v0 ti0,500 v0 t−4,91 t 2j m

En el sistema de coordenadas elegido, cuando la pelota entre en la portería a 2,40 m de altura su posición será r p = (35,0; 2,40) m. Igualando

35,0i2,40 j=0,866 v0 ti0,500 v0 t−4,91 t2 j

de donde se puede establecer una ecuación para cada componente:

coordenada X: 35,0 = 0,866 v0 tp

coordenada Y: 2,40 = 0,500 v0 tp – 4,91 tp2

Despejando v0 tp en la primera,

v0 tp=35,00,866

=40,4 m

y sustituyendo en la segunda:

2,40 = 0,500 · 40,4 – 4,91 tp2

se calcula el tiempo que tarda la pelota en llegar a la portería

t p= 17,84,91

=1,91s

y la velocidad inicial de la pelota:

v0=35,00,866=

40,4t p

= 40,41,91=21,2 m/s

b) Cuando la pelota alcanza la altura máxima, la componente vertical de su velocidad vale 0

vy = 0

Ahora que ya se conoce la velocidad inicial, el vector de posición puede escribirse:

r=0,866· 21,1 t i0,500 · 21,2 t−4,91 t2 j=18,4 t i10,6 t−4,91 t2j m

La velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo.

v= d rdt

= ddt

18,4 t i10,6 t−4,91 t 2j =18,4i10,6−9,81 t j m/s

En el punto más alto:

10,6 – 9,81 th = 0

th=10,69,81

=1,08s

Sustituyendo este valor en el vector de posición queda:

r h=18,4 ·1,08i10,6 ·1,08−4,91 ·1,082j=19,9i5,73j m

donde se ve que la altura máxima es 5,73 m.