Final Señales

1) Seales 1) Defina y grafique el impulso unitario de tiempo discreto: Se define como la variacin en el momento lineal que experimenta un objeto fsico en un sistema

cerrado. Pero en seales es una funcin singular, un concepto matemtico que se define como:

Impulso unitario (tiempo discreto) se lo define como:

La funcin es cero para cualquier n y 1 para n=0

Haciendo uso del programa Matlab y la funcin stem, graficamos el impulso unitario discreto:

Ilustracin 1

Comandos en Matlab, para graficar el impulso unitario discreto
http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Objeto_f%C3%ADsico

Grfico 1

Grfico impulso unitario discreto sin desplazar en el tiempo

Si se desplaza el impulso en el tiempo la definicin queda de la siguiente forma:

Nuevamente haciendo uso del Matlab, nos queda el impulso desplazado en el tiempo de la

siguiente forma:

Grfico 2

Grfico impulso unitario discreto desplazado en el tiempo una unidad

Existen tres propiedades muy importantes que se usan frecuentemente cuando se opera con la

Seal Impulso:

Propiedad de Muestreo:

Propiedad de Desplazamiento:

Propiedad de Escalamiento:

2)

Defina y grafique el escaln unitario de tiempo discreto:

Escaln unitario (tiempo discreto) se lo define como:

La funcin en n=0 es indefinido, cuando n .

Haciendo uso del Software Matlab:

Ilustracin 2

Comandos para graficar un escaln unitario de tiempo discreto

Grfico 3

Grfico escaln unitario discreto sin desplazar en el tiempo

3)

Explique la igualdad [n-no]*x[n]= [n-no]*x [no]

Recordemos la definicin de impulso en tiempo discreto:

Supongamos que tenemos una seal x[n].Podemos obtener una nueva seal.

Z[n]=x[n] [n-no]

De la siguiente forma:

Z[n]=

Podemos resumir la operacin como:

X[n] [n-no]=x[no] [n-no]

Dicha ecuacin se denomina muestre en tiempo discreto.

4)

Explique y de ejemplo de cmo calcular la potencia en decibeles de un sonido digitalizado:

Para calcular la potencia en dB de un sonido digitalizado, nos ayudaremos con el Matlab, lo

primero es usar el comando wavread, para abrir un archivo de audio, hecho eso procedemos a

calcular la energa, esta nos servir para poder encontrar la potencia.

Para poder calcular la potencia en dB debemos elegir una potencia de referencia, a fin de poder

compararla con nuestro sonido digitalizado. De este modo con Matlab:

Ilustracin 3

Comando para calcular, la energa, potencia y luego los dB de una seal de audio

Una vista de la consola:

Donde nos dice que la potencia de referencia es 1 dB ms grande que la potencia del sonido

digitalizado usado.

Ilustracin 4

Consola de Matlab, donde se pueden observar los valores de Energa, potencia y dB

5)

Explique y de ejemplos de cmo generar seales peridicas de tiempo discreto:

Para generarse una seal peridica en Software Matlab, primero definimos la variable x, la cual va

a tomar valores desde -150, hasta 150, con un incremento de 1, luego definimos nuestro algoritmo

nuestra funcin peridica, y= seno ((pi*x/ 180).

Lo que en el Matlab queda como:

Ilustracin 5

Como generar una seal peridica, con Matlab

Grfico 4

Seal sinusoidal discreta, creada con Matlab

6)

Genere dos seales peridicas de diferentes frecuencias y la misma amplitud:

Para generar dos seales con el Matlab, para posteriormente calcular sus energas es:

Ilustracin 6

Como crear dos seales peridicas, para luego calcular sus potencias en dB

Grfico 5

Seal Peridica creada con Matlab

Grfico 6

Seal Peridica creada con Matlab, con el doble de frecuencia que la seal de la figura 8

Calculando las potencias en dB vemos en la consola de Matlab:

Ilustracin 7

energas y potencias de las dos seales peridicas

7)

Grabe un sonido empleando Matlab. Realice las operaciones necesarias para incrementar en 10

decibeles la potencia del sonido.

Para grabar un sonido, usamos la funcin wavrecord y wavwrite para grabar en formato wav el

audio de modo que:

Ilustracin 8

Como grabar un sonido con Matlab

Grfico 7

Seal original

Para incrementar en 10 dB la seal original hacemos:

Ilustracin 9

Lectura de la seal ya grabada, y aumentada en 10 dB

Ilustracin 10

Grafica de las dos seales donde se aprecia que la segunda seal tiene ms potencia en dB que la segunda

Y la pantalla de consola donde se ve la energa de la seal original, es mucho ms chica que la energa de la

seal que es 10 decibeles ms grandes

2) Sistemas

1)

Defina sistema lineal:

Se dice que un sistema f es lineal si su respuesta para una entrada compuesta 1+ 2 cumple

con la siguiente propiedad,

( 1+ 2) = (x1) + (x2),

Conocida como principio de superposicin.

Ejemplo: circuito RC:

Defina sistema no lineal:

Se dice que un sistema f es no lineal si su respuesta para una entrada compuesta 1+ 2

cumple con la siguiente propiedad,

f( 1+ 2) ( 1 )+ ( 2) ,

Y por lo tanto, no cumple con el principio de superposicin.

Ejemplo: nivel de un depsito que se descarga por gravedad:

2)

Defina sistema con memoria:

Los sistemas con memoria o dinmicos son aquellos en los que la salida actual depende de

entradas de un momento distinto al actual. Por ejemplo,

( ) = ( ) ( ) ,

Defina sistema sin memoria:

Los sistemas sin memoria o estticos son aquellos en los que la salida actual depende nicamente

de la entrada actual.

3)

Supongamos un sistema donde la relacin entre entradas y salida est definida por la ecuacin

diferencial:

Elija los valores de a y b. Explique si el sistema es lineal o no lineal con memoria o sin memoria, de

tiempo discreto o continuo.

Los valores que elijo de a es 20, y de b es 3.

El sistema es lineal, porque las derivadas con operaciones lineales, es un sistema con memoria y

es de tiempo continuo.

4)

Supongamos que tenemos un sistema donde la relacin entre la entrada y la sala est definida

por la ecuacin de diferencias.

Elija los valores a, b, c. Explique si el sistema es lineal no lineal, con memoria o sin memoria, de

tiempo discreto o continuo.

Elijo los valores a=2, b=4, c=6

El sistema es de tiempo discreto, con memoria, porque la salida actual depende de entradas de un

momento distinto al actual. El sistema es lineal, ya que solo aparecen productos en la expresin.

5)

De un ejemplo de sistema lineal de tiempo continuo con memoria:

Sistema masa resorte:

Ilustracin 11

Diagrama del sistema lineal de tiempo contino con memoria

Sistema mecnico (segunda ley de Newton):

Fuerza ejercida por el solenoide: F (t)=

Es un sistema lineal y con memoria porque aparecen derivadas, y es de tiempo contino.

6)

De un ejemplo de sistema lineal de tiempo discreto con memoria:

Sistema secuencial Flip flop:

Son sistemas en los cuales la salida depende de la secuencia de entradas a travs del tiempo. En

cambio en los sistemas combinacionales la salida depende solamente de la entrada actual.

Ilustracin 12

Sistema combinacional

7)

De un ejemplo de sistema no lineal de tiempo continuo con memoria:

Circuito con Diodo tnel:

Ilustracin 13

Circuito con diodo tnel

La relacin constitutiva del diodo es . Usando las leyes de Kirchhoff y tomando como

variables de estado x1=vc (tensin en el capacitor) y x2=iL (corriente en la inductancia), el circuito

puede escribirse con las siguientes ecuaciones de estado.

Donde u=E e i=h(v) es la caracterstica v-i del diodo tnel.

8)

De un ejemplo de sistema no lineal de tiempo discreto con memoria:

Es un sistema no lineal debido a que aparecen funciones trigonomtricas y funciones

exponenciales, es discreto y con memoria ya que la salida depende de una entrada anterior.

3) Convolucion: 1)

Explique la igualdad:

Para que la igualdad sea cierta k=n-5, de modo que, , muestreo en tiempo discreto.

K comienza en cero porque el sistema es causal, que quiere decir esto, que la salida solo depende

del pasado y del presente.

2)

Sean

Ilustracin 14

Entrada x[n]

Ilustracin 15

Respuesta al impuso h[n]

4)

Grafique

Ilustracin 16

Grafica de la respuesta al impulso

Para hacer la Convolucion:

1) Una de las secuencias se queda tal y como esta.

Se usara x[n] como secuencia fija.

2) A la segunda secuencia se le invierte el orden y se le desplaza a lo largo del recorrido de

la primera desde -1 .

3) Para cada desplazamiento, se multiplican las muestras punto a punto y se suman los

productos parciales.

Ilustracin 17

Convolucion el resultado final es la salida y[n]

4) Series de Fourier

1)

Calcule los coeficientes de Fourier de la seal peridica

Elijo T1= 3, T2=6,

Para k=0

Para k

Por lo tanto:

2)

Calcular los coeficientes para la seal:

T1=3,

Aplicando la propiedad de corrimiento en el tiempo de la serie de Fourier:

Por lo tanto:

3)

Calcular los coeficientes de Fourier de la seal:

Por propiedad de linealidad de la serie de Fourier tenemos:

3= 1 2

4)

Calcular los coeficientes de la serie de Fourier de la seal:

T2=6,


5)

Calcular los coeficientes de la serie de Fourier de la seal:


7)

Calcule los coeficientes de Fourier de la seal peridica

Donde N1=1, N2=4

Ilustracin 18

Aplicando la matriz para calcular los coeficientes:

Donde Co=C1=C2=C3=1/4

8)

Calcular los coeficientes de Fourier de la seal x2[n]=x1[n-N1]

Aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo:

9)

Calcular los coeficientes de Fourier de la seal x3[n]=x1[n]-x2[n]

Aplicando la propiedad de linealidad:

10)

Calcular los coeficientes de Fourier de la seal x4[n]=x3[N-2N2]:

Aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo:

12)

Aplique el algoritmo FFT a un sonido grabado de por lo menos 10 segundos de duracin. Explique

qu es lo ha obtenido, y grafique la amplitud en decibeles del resultado de la FFT en funcin de

la frecuencia. Indique cual es la frecuencia mxima que aparece en el grafico y explique por qu.

Para hacer esto nos ayudamos con el Matlab:

Ilustracin 19

Comandos para grabar un sonido de al menos 10 segundos y luego calcular la FFT

Ilustracin 20

Transformada rpida de Fourier

La frecuencia del ltimo bin, conteniendo la frecuencia mxima de la FFT, es fs/2.

Por lo tanto, el rango de frecuencia de una FFT es desde 0 Hz hasta fs/2.

5) Preguntas integrales:

1)

Explique la relacin entre Convolucin y la funcin de transferencia:

La integral de Convolucion:

Esta integral permite calcular para un sistema lineal invariante en el tiempo la respuesta y (t) generada por una entrada arbitraria x (t) en funcin de la respuesta al impulso h (t). Supongamos ahora que la entrada arbitraria es una exponencial compleja.

Entonces resulta,

Es decir,

La transformada de Laplace bilateral de la respuesta al impulso h (t) del sistema lineal invariante en el tiempo:

Podemos escribir la respuesta del sistema a una exponencial compleja como:

Esto nos da la oportunidad de interpretar la transformada de Laplace de una funcin f(t) como el factor (la magnitud) F(s) de la respuesta a una exponencial compleja de un sistema LIT con respuesta al impulso f(t). Observe que en el caso de usar la transformada de Laplace unilateral al definir la funcin de transferencia deberan coincidir los lmites de integracin de:

2)

Explique con sus palabras que es y para qu sirve el algoritmo FFT:

Debido a que usamos computadoras, estamos trabajando con seales discretas, y aprovechando

esta particularidad se aplica lo que conocemos como transformada rpida de Fourier (FFT). Este

algoritmo es eficiente y permite calcular la transformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa.

La entrada es un registro temporal de N muestras de tamao, y la salida es el espectro de

frecuencia de N muestras de tamao.

Para simplificar el clculo de la FFT, N est normalmente restringida a un valor igual a una potencia

de 2.

3)

Escriba la formula de la Convolucion en tiempo discreto. Cules son las relaciones ente las

seales que aparecen en la formula?

Para calcular la Convolucion:

Donde:

4)

Explique, con fundamentos porque la Convolucion en tiempo discreto es una operacin

conmutativa. Indique como se modifica la frmula para indicar la conmutacin.

Consideremos la operacin de Convolucion:

Realizamos un cambio de variable m=n-k y por consecuencia definimos k=n-m para obtener:

Y finalmente:

5)

De un ejemplo de aplicacin del principio de superposicin a la resolucin de una Convolucion en

tiempo discreto.

Kx1[n] + Kx2[n]= Ky1[n] + Ky2[n]

6)

Escriba la formula de la Convolucion en tiempo continuo. Cules son las relaciones ente las

seales que aparecen en la formula?

La integral de Convolucion:

7)

Explique, con fundamentos porque la Convolucion en tiempo continuo es una operacin

conmutativa. Indique como se modifica la frmula para indicar la conmutacin

Consideremos la Convolucion:

Realizamos un cambio de variable y por consecuencia para obtener:

Ejemplo:

Consideremos x (t)=(t) y h(t)

Sabemos que:

Si t=v

Donde:

=1, el rea de un impulso es igual a uno

La Convolucion de una funcin cualquiera por un impulso es la funcin cualquiera.

8)

Calcule los coeficientes de la serie de Fourier de una onda cuadrada con periodo T=1seg, y valor

promedio nulo, y explique cmo hara para calcular los coeficientes de:

a) La misma seal desfasa

b) La misma seal pero con una a frecuencia 100 veces mayor.

c) La misma seala pero integrando sobre dos periodos.

Considerando la seal:

Ilustracin 21

Onda cuadrada tiempo continuo, periodo 1seg no desfasada

Si la seal no est desfasada

Si k=0,

=0

Se verifica que el valor promedio es nulo.

=

=

a)

Si la seal est desfasada, aplico las propiedades de desplazamiento en el tiempo:

=

Donde es el desfasaje que experimenta la seal.

b) Ahora si la frecuencia es 100 veces mayor:

Ahora si la frecuencia es 100 veces mayor, por lo tanto

ahora nuestro periodo de integracin ser T=0.010 Seg.

El valor promedio sigue siendo nulo,Co=0.

d) Si integramos sobre dos periodos:

El resultado de la integral es:

9)

Calcule los coeficientes de la serie de Fourier de una onda cuadrad con periodo N=4, y valor

promedio nulo, y explique cmo hara para calcular los coeficientes de:

a) La misma seal desfasa

b) La misma seal pero con una a frecuencia 100 veces mayor.

c) La misma seala pero integrando sobre dos periodos

Considerando la seal:

Ilustracin 22

onda cuadrada tiempo discreto N=4 no desfasada

Calculando los coeficientes de Fourier:

Los coeficientes son:

Co=0, C1=2/4, C2=2/4, C3= (2+2i)/4

10)

Escriba las ecuaciones que definen la transformada de Fourier de tiempo continuo. Cul es la

transformada de ,suponiendo que x(jw) es transformada de x(t).

Explique (y fundamente la respuesta) para que empleamos esta propiedad en el mundo real.

Las ecuaciones que definen la transformada de Fourier son:

Donde x (t) es la seal peridica y T es el periodo.

La transforma de de Fourier de es:

*X(jw)

Con a1=-a-1=1/2i, ak=0 con otro valor.

Donde (*) Es la Convolucion entre las seales.

Las aplicaciones ms importantes de la propiedad de la multiplicacin es la modulacin en

amplitud en los sistemas de comunicaciones. Otra importante aplicacin es la construccin de

filtros pasa banda selectivos en frecuencia con frecuencia central sintonizable que se puede

ajustar simplemente girando una perilla. Por lo que a esta propiedad se la llama propiedad de

modulacin.

11)

Escriba las ecuaciones que definen la Transformada de Laplace:

12)

Aplique la transformada de Laplace a la resolucin de las siguientes ecuaciones

Diferenciales con condiciones iniciales nulas.

a)

Transformada de Laplace:

Haciendo la anti transformada de Laplace:

b)


c)


d)


13)

Para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas arriba, indique funciones de transferencia y

las respuestas al impulso de los sistemas asociados.

Para cada una de las funciones de transferencia, indique los polos.

Para la transformada del inciso:

a)

Ecuacin de transferencia:

Utilizando el software Nspire cx cas (Texas Instruments) Respuesta al impulso:

Los polos estn en: s=-2

Ilustracin 23 Polo en s=-2

b)


Respuesta al impulso:

Los polos estn en: S=-0.6:

Ilustracin 24

Polo en s=-0.6

c)



Los polos estn en: s=-1+i, s=-1-i complejos conjugados.

Ilustracin 25 Polo en s=-1+i,-1-i

d)



Los polos se encuentran en s=-2, s=0

Ilustracin 26 Polo en s=-2, s=0

Todos los sistemas analizados en el punto 13, eran estables por tener los polos en el eje de las

abscisas negativo.

14)

Escribir tres ecuaciones diferenciales calculando los coeficientes para obtener Respuestas Subamortiguada, Crticamente amortiguada y Sobreamortiguada (a) calcule H(s), sus polos y ceros. (b) calcule h (t) (c) calcule la respuesta al escaln, resolviendo las ecuaciones diferenciales y calculando la integral de convolucion. (d) calcule la respuesta a una funcin senoidal, resolviendo las ecuaciones Diferenciales y calculando la integral de convolucion. (e) Grafique la respuesta en frecuencia e indique que tipo de filtro define Cada ecuacin diferencial.

.

Ecuacin diferencial de una Respuesta Subamortiguada:

En el software Matlab:

num=[1]

den=[1 6 5]

cir=tf(num,den);

printsys (num,den,'s')

step(cir)

Ilustracin 27

Grafico de la respuesta sobre-amortiguada en Matlab


Sus polos estn en: s=-5, s=-1 Ceros estn en s=-3

Respuesta al escaln:

Respuesta a una funcin senoidal:

h (t)= Con Matlab:

H = tf([1 3],[1 6 5]);

bode(H)

Hacemos un grafico de bode, donde graficamos la respuesta en frecuencia donde se aprecia que es un pasa bajos:

Ilustracin 28

Respuesta en frecuencia, Pasa Bajos

Respuesta crticamente amortiguada:

Ilustracin 29

Grafico de la respuesta crticamente amortiguada en Matlab


h(t)= Polos en s=-5, ceros en s=-3 Respuesta al escaln:

h(t)= Respuesta a una funcin senoidal:

Usando nuevamente el Matlab obtenos la respuesta en frecuecia donde obtenemos un filtro pasa bajos:

Ilustracin 30

Respuesta en frecuencia, pasa bajos

Respuesta subamortiguada:

Ilustracin 31

Grafico de la respuesta sub-amortiguada en Matlab


Polos en s= , ceros en s=-3 Respuesta al escaln:

Respuesta a una seal senoidal:

Usando nuevamente el Matlab obtenemos la respuesta en frecuencia donde obtenemos un filtro pasa bajos:

Ilustracin 32

Respuesta en frecuencia, pasa banda

Bibliografa

http://www.scribd.com/doc/2634854/MODELOS-MATEMATICOS-DE-SISTEMAS-FISICOS

control1.files.wordpress.com/2009/02/modelo-matematico-de-sistemas-dinamicos.pdf

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es.wikipedia.org/wiki/Transformada_rpida_de_Fourier

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Seales y Sistemas segunda edicin Alan V.Oppenheim

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Apuntes aportados por la catedra

http://www.unet.edu.ve/aula10c/Asenales/Unid01/terce09.htm

http://es.wikibooks.org/wiki/Introducci%C3%B3n_a_Se%C3%B1ales,_Sistemas_y_Control

http://www.detcp.upct.es/Personal/Vgarceran3/Transparencias_Tema_6_Parte_I.pdf
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