1) Seales 1) Defina y grafique el impulso unitario de tiempo discreto: Se define como la variacin en el momento lineal que experimenta un objeto fsico en un sistema
cerrado. Pero en seales es una funcin singular, un concepto matemtico que se define como:
Impulso unitario (tiempo discreto) se lo define como:
La funcin es cero para cualquier n y 1 para n=0
Haciendo uso del programa Matlab y la funcin stem, graficamos el impulso unitario discreto:
Ilustracin 1
Comandos en Matlab, para graficar el impulso unitario discreto
http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Objeto_f%C3%ADsicoGrfico 1
Grfico impulso unitario discreto sin desplazar en el tiempo
Si se desplaza el impulso en el tiempo la definicin queda de la siguiente forma:
Nuevamente haciendo uso del Matlab, nos queda el impulso desplazado en el tiempo de la
siguiente forma:
Grfico 2
Grfico impulso unitario discreto desplazado en el tiempo una unidad
Existen tres propiedades muy importantes que se usan frecuentemente cuando se opera con la
Seal Impulso:
Propiedad de Muestreo:
Propiedad de Desplazamiento:
Propiedad de Escalamiento:
2)
Defina y grafique el escaln unitario de tiempo discreto:
Escaln unitario (tiempo discreto) se lo define como:
La funcin en n=0 es indefinido, cuando n .
Haciendo uso del Software Matlab:
Ilustracin 2
Comandos para graficar un escaln unitario de tiempo discreto
Grfico 3
Grfico escaln unitario discreto sin desplazar en el tiempo
3)
Explique la igualdad [n-no]*x[n]= [n-no]*x [no]
Recordemos la definicin de impulso en tiempo discreto:
Supongamos que tenemos una seal x[n].Podemos obtener una nueva seal.
Z[n]=x[n] [n-no]
De la siguiente forma:
Z[n]=
Podemos resumir la operacin como:
X[n] [n-no]=x[no] [n-no]
Dicha ecuacin se denomina muestre en tiempo discreto.
4)
Explique y de ejemplo de cmo calcular la potencia en decibeles de un sonido digitalizado:
Para calcular la potencia en dB de un sonido digitalizado, nos ayudaremos con el Matlab, lo
primero es usar el comando wavread, para abrir un archivo de audio, hecho eso procedemos a
calcular la energa, esta nos servir para poder encontrar la potencia.
Para poder calcular la potencia en dB debemos elegir una potencia de referencia, a fin de poder
compararla con nuestro sonido digitalizado. De este modo con Matlab:
Ilustracin 3
Comando para calcular, la energa, potencia y luego los dB de una seal de audio
Una vista de la consola:
Donde nos dice que la potencia de referencia es 1 dB ms grande que la potencia del sonido
digitalizado usado.
Ilustracin 4
Consola de Matlab, donde se pueden observar los valores de Energa, potencia y dB
5)
Explique y de ejemplos de cmo generar seales peridicas de tiempo discreto:
Para generarse una seal peridica en Software Matlab, primero definimos la variable x, la cual va
a tomar valores desde -150, hasta 150, con un incremento de 1, luego definimos nuestro algoritmo
nuestra funcin peridica, y= seno ((pi*x/ 180).
Lo que en el Matlab queda como:
Ilustracin 5
Como generar una seal peridica, con Matlab
Grfico 4
Seal sinusoidal discreta, creada con Matlab
6)
Genere dos seales peridicas de diferentes frecuencias y la misma amplitud:
Para generar dos seales con el Matlab, para posteriormente calcular sus energas es:
Ilustracin 6
Como crear dos seales peridicas, para luego calcular sus potencias en dB
Grfico 5
Seal Peridica creada con Matlab
Grfico 6
Seal Peridica creada con Matlab, con el doble de frecuencia que la seal de la figura 8
Calculando las potencias en dB vemos en la consola de Matlab:
Ilustracin 7
energas y potencias de las dos seales peridicas
7)
Grabe un sonido empleando Matlab. Realice las operaciones necesarias para incrementar en 10
decibeles la potencia del sonido.
Para grabar un sonido, usamos la funcin wavrecord y wavwrite para grabar en formato wav el
audio de modo que:
Ilustracin 8
Como grabar un sonido con Matlab
Grfico 7
Seal original
Para incrementar en 10 dB la seal original hacemos:
Ilustracin 9
Lectura de la seal ya grabada, y aumentada en 10 dB
Ilustracin 10
Grafica de las dos seales donde se aprecia que la segunda seal tiene ms potencia en dB que la segunda
Y la pantalla de consola donde se ve la energa de la seal original, es mucho ms chica que la energa de la
seal que es 10 decibeles ms grandes
2) Sistemas
1)
Defina sistema lineal:
Se dice que un sistema f es lineal si su respuesta para una entrada compuesta 1+ 2 cumple
con la siguiente propiedad,
( 1+ 2) = (x1) + (x2),
Conocida como principio de superposicin.
Ejemplo: circuito RC:
Defina sistema no lineal:
Se dice que un sistema f es no lineal si su respuesta para una entrada compuesta 1+ 2
cumple con la siguiente propiedad,
f( 1+ 2) ( 1 )+ ( 2) ,
Y por lo tanto, no cumple con el principio de superposicin.
Ejemplo: nivel de un depsito que se descarga por gravedad:
2)
Defina sistema con memoria:
Los sistemas con memoria o dinmicos son aquellos en los que la salida actual depende de
entradas de un momento distinto al actual. Por ejemplo,
( ) = ( ) ( ) ,
Defina sistema sin memoria:
Los sistemas sin memoria o estticos son aquellos en los que la salida actual depende nicamente
de la entrada actual.
3)
Supongamos un sistema donde la relacin entre entradas y salida est definida por la ecuacin
diferencial:
Elija los valores de a y b. Explique si el sistema es lineal o no lineal con memoria o sin memoria, de
tiempo discreto o continuo.
Los valores que elijo de a es 20, y de b es 3.
El sistema es lineal, porque las derivadas con operaciones lineales, es un sistema con memoria y
es de tiempo continuo.
4)
Supongamos que tenemos un sistema donde la relacin entre la entrada y la sala est definida
por la ecuacin de diferencias.
Elija los valores a, b, c. Explique si el sistema es lineal no lineal, con memoria o sin memoria, de
tiempo discreto o continuo.
Elijo los valores a=2, b=4, c=6
El sistema es de tiempo discreto, con memoria, porque la salida actual depende de entradas de un
momento distinto al actual. El sistema es lineal, ya que solo aparecen productos en la expresin.
5)
De un ejemplo de sistema lineal de tiempo continuo con memoria:
Sistema masa resorte:
Ilustracin 11
Diagrama del sistema lineal de tiempo contino con memoria
Sistema mecnico (segunda ley de Newton):
Fuerza ejercida por el solenoide: F (t)=
Es un sistema lineal y con memoria porque aparecen derivadas, y es de tiempo contino.
6)
De un ejemplo de sistema lineal de tiempo discreto con memoria:
Sistema secuencial Flip flop:
Son sistemas en los cuales la salida depende de la secuencia de entradas a travs del tiempo. En
cambio en los sistemas combinacionales la salida depende solamente de la entrada actual.
Ilustracin 12
Sistema combinacional
7)
De un ejemplo de sistema no lineal de tiempo continuo con memoria:
Circuito con Diodo tnel:
Ilustracin 13
Circuito con diodo tnel
La relacin constitutiva del diodo es . Usando las leyes de Kirchhoff y tomando como
variables de estado x1=vc (tensin en el capacitor) y x2=iL (corriente en la inductancia), el circuito
puede escribirse con las siguientes ecuaciones de estado.
Donde u=E e i=h(v) es la caracterstica v-i del diodo tnel.
8)
De un ejemplo de sistema no lineal de tiempo discreto con memoria:
Es un sistema no lineal debido a que aparecen funciones trigonomtricas y funciones
exponenciales, es discreto y con memoria ya que la salida depende de una entrada anterior.
3) Convolucion: 1)
Explique la igualdad:
Para que la igualdad sea cierta k=n-5, de modo que, , muestreo en tiempo discreto.
K comienza en cero porque el sistema es causal, que quiere decir esto, que la salida solo depende
del pasado y del presente.
2)
Sean
Ilustracin 14
Entrada x[n]
Ilustracin 15
Respuesta al impuso h[n]
4)
Grafique
Ilustracin 16
Grafica de la respuesta al impulso
Para hacer la Convolucion:
1) Una de las secuencias se queda tal y como esta.
Se usara x[n] como secuencia fija.
2) A la segunda secuencia se le invierte el orden y se le desplaza a lo largo del recorrido de
la primera desde -1 .
3) Para cada desplazamiento, se multiplican las muestras punto a punto y se suman los
productos parciales.
Ilustracin 17
Convolucion el resultado final es la salida y[n]
4) Series de Fourier
1)
Calcule los coeficientes de Fourier de la seal peridica
Elijo T1= 3, T2=6,
Para k=0
Para k
Por lo tanto:
2)
Calcular los coeficientes para la seal:
T1=3,
Aplicando la propiedad de corrimiento en el tiempo de la serie de Fourier:
Por lo tanto:
3)
Calcular los coeficientes de Fourier de la seal:
Por propiedad de linealidad de la serie de Fourier tenemos:
3= 1 2
4)
Calcular los coeficientes de la serie de Fourier de la seal:
T2=6,
Aplicando la propiedad de corrimiento en el tiempo de la serie de Fourier:
5)
Calcular los coeficientes de la serie de Fourier de la seal:
Aplicando la propiedad de corrimiento en el tiempo de la serie de Fourier:
7)
Calcule los coeficientes de Fourier de la seal peridica
Donde N1=1, N2=4
Ilustracin 18
Aplicando la matriz para calcular los coeficientes:
Donde Co=C1=C2=C3=1/4
8)
Calcular los coeficientes de Fourier de la seal x2[n]=x1[n-N1]
Aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo:
9)
Calcular los coeficientes de Fourier de la seal x3[n]=x1[n]-x2[n]
Aplicando la propiedad de linealidad:
10)
Calcular los coeficientes de Fourier de la seal x4[n]=x3[N-2N2]:
Aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo:
12)
Aplique el algoritmo FFT a un sonido grabado de por lo menos 10 segundos de duracin. Explique
qu es lo ha obtenido, y grafique la amplitud en decibeles del resultado de la FFT en funcin de
la frecuencia. Indique cual es la frecuencia mxima que aparece en el grafico y explique por qu.
Para hacer esto nos ayudamos con el Matlab:
Ilustracin 19
Comandos para grabar un sonido de al menos 10 segundos y luego calcular la FFT
Ilustracin 20
Transformada rpida de Fourier
La frecuencia del ltimo bin, conteniendo la frecuencia mxima de la FFT, es fs/2.
Por lo tanto, el rango de frecuencia de una FFT es desde 0 Hz hasta fs/2.
5) Preguntas integrales:
1)
Explique la relacin entre Convolucin y la funcin de transferencia:
La integral de Convolucion:
Esta integral permite calcular para un sistema lineal invariante en el tiempo la respuesta y (t) generada por una entrada arbitraria x (t) en funcin de la respuesta al impulso h (t). Supongamos ahora que la entrada arbitraria es una exponencial compleja.
Entonces resulta,
Es decir,
La transformada de Laplace bilateral de la respuesta al impulso h (t) del sistema lineal invariante en el tiempo:
Podemos escribir la respuesta del sistema a una exponencial compleja como:
Esto nos da la oportunidad de interpretar la transformada de Laplace de una funcin f(t) como el factor (la magnitud) F(s) de la respuesta a una exponencial compleja de un sistema LIT con respuesta al impulso f(t). Observe que en el caso de usar la transformada de Laplace unilateral al definir la funcin de transferencia deberan coincidir los lmites de integracin de:
2)
Explique con sus palabras que es y para qu sirve el algoritmo FFT:
Debido a que usamos computadoras, estamos trabajando con seales discretas, y aprovechando
esta particularidad se aplica lo que conocemos como transformada rpida de Fourier (FFT). Este
algoritmo es eficiente y permite calcular la transformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa.
La entrada es un registro temporal de N muestras de tamao, y la salida es el espectro de
frecuencia de N muestras de tamao.
Para simplificar el clculo de la FFT, N est normalmente restringida a un valor igual a una potencia
de 2.
3)
Escriba la formula de la Convolucion en tiempo discreto. Cules son las relaciones ente las
seales que aparecen en la formula?
Para calcular la Convolucion:
Donde:
4)
Explique, con fundamentos porque la Convolucion en tiempo discreto es una operacin
conmutativa. Indique como se modifica la frmula para indicar la conmutacin.
Consideremos la operacin de Convolucion:
Realizamos un cambio de variable m=n-k y por consecuencia definimos k=n-m para obtener:
Y finalmente:
5)
De un ejemplo de aplicacin del principio de superposicin a la resolucin de una Convolucion en
tiempo discreto.
Kx1[n] + Kx2[n]= Ky1[n] + Ky2[n]
6)
Escriba la formula de la Convolucion en tiempo continuo. Cules son las relaciones ente las
seales que aparecen en la formula?
La integral de Convolucion:
7)
Explique, con fundamentos porque la Convolucion en tiempo continuo es una operacin
conmutativa. Indique como se modifica la frmula para indicar la conmutacin
Consideremos la Convolucion:
Realizamos un cambio de variable y por consecuencia para obtener:
Ejemplo:
Consideremos x (t)=(t) y h(t)
Sabemos que:
Si t=v
Donde:
=1, el rea de un impulso es igual a uno
La Convolucion de una funcin cualquiera por un impulso es la funcin cualquiera.
8)
Calcule los coeficientes de la serie de Fourier de una onda cuadrada con periodo T=1seg, y valor
promedio nulo, y explique cmo hara para calcular los coeficientes de:
a) La misma seal desfasa
b) La misma seal pero con una a frecuencia 100 veces mayor.
c) La misma seala pero integrando sobre dos periodos.
Considerando la seal:
Ilustracin 21
Onda cuadrada tiempo continuo, periodo 1seg no desfasada
Si la seal no est desfasada
Si k=0,
=0
Se verifica que el valor promedio es nulo.
=
=
a)
Si la seal est desfasada, aplico las propiedades de desplazamiento en el tiempo:
=
Donde es el desfasaje que experimenta la seal.
b) Ahora si la frecuencia es 100 veces mayor:
Ahora si la frecuencia es 100 veces mayor, por lo tanto
ahora nuestro periodo de integracin ser T=0.010 Seg.
El valor promedio sigue siendo nulo,Co=0.
d) Si integramos sobre dos periodos:
El resultado de la integral es:
9)
Calcule los coeficientes de la serie de Fourier de una onda cuadrad con periodo N=4, y valor
promedio nulo, y explique cmo hara para calcular los coeficientes de:
a) La misma seal desfasa
b) La misma seal pero con una a frecuencia 100 veces mayor.
c) La misma seala pero integrando sobre dos periodos
Considerando la seal:
Ilustracin 22
onda cuadrada tiempo discreto N=4 no desfasada
Calculando los coeficientes de Fourier:
Los coeficientes son:
Co=0, C1=2/4, C2=2/4, C3= (2+2i)/4
10)
Escriba las ecuaciones que definen la transformada de Fourier de tiempo continuo. Cul es la
transformada de ,suponiendo que x(jw) es transformada de x(t).
Explique (y fundamente la respuesta) para que empleamos esta propiedad en el mundo real.
Las ecuaciones que definen la transformada de Fourier son:
Donde x (t) es la seal peridica y T es el periodo.
La transforma de de Fourier de es:
*X(jw)
Con a1=-a-1=1/2i, ak=0 con otro valor.
Donde (*) Es la Convolucion entre las seales.
Las aplicaciones ms importantes de la propiedad de la multiplicacin es la modulacin en
amplitud en los sistemas de comunicaciones. Otra importante aplicacin es la construccin de
filtros pasa banda selectivos en frecuencia con frecuencia central sintonizable que se puede
ajustar simplemente girando una perilla. Por lo que a esta propiedad se la llama propiedad de
modulacin.
11)
Escriba las ecuaciones que definen la Transformada de Laplace:
12)
Aplique la transformada de Laplace a la resolucin de las siguientes ecuaciones
Diferenciales con condiciones iniciales nulas.
a)
Transformada de Laplace:
Haciendo la anti transformada de Laplace:
b)
Transformada de Laplace:
c)
Transformada de Laplace:
d)
Transformada de Laplace:
13)
Para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas arriba, indique funciones de transferencia y
las respuestas al impulso de los sistemas asociados.
Para cada una de las funciones de transferencia, indique los polos.
Para la transformada del inciso:
a)
Ecuacin de transferencia:
Utilizando el software Nspire cx cas (Texas Instruments) Respuesta al impulso:
Los polos estn en: s=-2
Ilustracin 23 Polo en s=-2
b)
Ecuacin de transferencia:
Respuesta al impulso:
Los polos estn en: S=-0.6:
Ilustracin 24
Polo en s=-0.6
c)
Ecuacin de transferencia:
Respuesta al impulso:
Los polos estn en: s=-1+i, s=-1-i complejos conjugados.
Ilustracin 25 Polo en s=-1+i,-1-i
d)
Ecuacin de transferencia:
Respuesta al impulso:
Los polos se encuentran en s=-2, s=0
Ilustracin 26 Polo en s=-2, s=0
Todos los sistemas analizados en el punto 13, eran estables por tener los polos en el eje de las
abscisas negativo.
14)
Escribir tres ecuaciones diferenciales calculando los coeficientes para obtener Respuestas Subamortiguada, Crticamente amortiguada y Sobreamortiguada (a) calcule H(s), sus polos y ceros. (b) calcule h (t) (c) calcule la respuesta al escaln, resolviendo las ecuaciones diferenciales y calculando la integral de convolucion. (d) calcule la respuesta a una funcin senoidal, resolviendo las ecuaciones Diferenciales y calculando la integral de convolucion. (e) Grafique la respuesta en frecuencia e indique que tipo de filtro define Cada ecuacin diferencial.
.
Ecuacin diferencial de una Respuesta Subamortiguada:
En el software Matlab:
num=[1]
den=[1 6 5]
cir=tf(num,den);
printsys (num,den,'s')
step(cir)
Ilustracin 27
Grafico de la respuesta sobre-amortiguada en Matlab
Ecuacin de transferencia:
Sus polos estn en: s=-5, s=-1 Ceros estn en s=-3
Respuesta al escaln:
Respuesta a una funcin senoidal:
h (t)= Con Matlab:
H = tf([1 3],[1 6 5]);
bode(H)
Hacemos un grafico de bode, donde graficamos la respuesta en frecuencia donde se aprecia que es un pasa bajos:
Ilustracin 28
Respuesta en frecuencia, Pasa Bajos
Respuesta crticamente amortiguada:
Ilustracin 29
Grafico de la respuesta crticamente amortiguada en Matlab
Ecuacin de transferencia:
h(t)= Polos en s=-5, ceros en s=-3 Respuesta al escaln:
h(t)= Respuesta a una funcin senoidal:
Usando nuevamente el Matlab obtenos la respuesta en frecuecia donde obtenemos un filtro pasa bajos:
Ilustracin 30
Respuesta en frecuencia, pasa bajos
Respuesta subamortiguada:
Ilustracin 31
Grafico de la respuesta sub-amortiguada en Matlab
Ecuacin de transferencia:
Polos en s= , ceros en s=-3 Respuesta al escaln:
Respuesta a una seal senoidal:
Usando nuevamente el Matlab obtenemos la respuesta en frecuencia donde obtenemos un filtro pasa bajos:
Ilustracin 32
Respuesta en frecuencia, pasa banda
Bibliografa
http://www.scribd.com/doc/2634854/MODELOS-MATEMATICOS-DE-SISTEMAS-FISICOS
control1.files.wordpress.com/2009/02/modelo-matematico-de-sistemas-dinamicos.pdf
docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/prop_sis_lin_inv.html
es.wikipedia.org/wiki/Transformada_rpida_de_Fourier
http://webs.uvigo.es/enrique.sanchez/PDFs/125_TemaI-Senales.pdf
Seales y Sistemas segunda edicin Alan V.Oppenheim
http://www2.udec.cl/jose.espinoza/SNL/Apuntes.pdf
Apuntes aportados por la catedra
http://www.unet.edu.ve/aula10c/Asenales/Unid01/terce09.htm
http://es.wikibooks.org/wiki/Introducci%C3%B3n_a_Se%C3%B1ales,_Sistemas_y_Control
http://www.detcp.upct.es/Personal/Vgarceran3/Transparencias_Tema_6_Parte_I.pdf
http://www.scribd.com/doc/2634854/MODELOS-MATEMATICOS-DE-SISTEMAS-FISICOShttp://webs.uvigo.es/enrique.sanchez/PDFs/125_TemaI-Senales.pdfhttp://www2.udec.cl/jose.espinoza/SNL/Apuntes.pdfhttp://www.unet.edu.ve/aula10c/Asenales/Unid01/terce09.htmhttp://es.wikibooks.org/wiki/Introducci%C3%B3n_a_Se%C3%B1ales,_Sistemas_y_Controlhttp://www.detcp.upct.es/Personal/Vgarceran3/Transparencias_Tema_6_Parte_I.pdfTop Related