Final 2009 - 2 (1)

SIMULACIÓN Y CONTROL DE PROCESOS PERFOMANCE PI-426A

SOLUCIÓN DEL EXAMEN FINAL 2009-2INTEGRANTES:-Arce Chacmana, Humberto.-Granda Vasquez , Carlos.

PARTE CONCEPTUAL

PROBLEMA N°3:

Se tiene un SCR puro cuya función de transferencia del proceso está dado por:

G (s )= 2.5(5 S+1)(0.8S+1)(0.2S+1)

a) Encuentre las raíces de la ecuación característica. Identificar el par de raíces dominantes, y calcular el coeficiente de amortiguamiento y la razón de decaimiento (Decay Ratio) de la respuesta.

La ecuación característica será:

1+ 2.5(5S+1)(0.8S+1)(0.2S+1)

(5S+1 ) (0.8S+1 ) (0.2S+1 )+2.5=00.8 S3+5.16S2+6S+3.5=0

Cuyas raíces son:

-5.16105771-0.6444711452 + 0.6575343318 i-0.6444711452 - 0.6575343318 i

El par de raíces dominantes son:

−0.6444711452+0.6575343318 i

−0.6444711452−0.6575343318 i

Debido a que se encuentran más cerca del eje imaginario.

Cálculo del coeficiente de amortiguamiento:

1


Con las dos raíces dominantes de la ecuación característica se debe satisfacer la ecuación:

τ 2 . S12+2 τξ S1+1=0

Formando la ecuación con las 2 raíces:

S12+1.28894229S1+0.8476944541=0

Dándole forma se obtiene:

1.17967033S12+1.52052698S1+1=0

τ=1.086126297

ξ=0.699977059 Cálculo de razón de decaimiento

Reemplazando datos:

DR=0.002116109

b) Diseñar el controlador PI según el criterio de Bode explícito, que sería necesario para el sistema de control considerando un TI = 0.5 min. ¿Será posible considerar esos parámetros de control?

Para una función del tipo:

G (s )= 1a .S3+b .S2+c . S+1

AR= 1

√(1−bw2 )2+ (cw−aw3 )2

2


θ=arctg (−(cw−a w3)1−bw2 )

Remplazando:

AR= 1

√(1−5.16w2)2+(6w−0.8w3 )2

θ=arctg (−(6w−0.8w3)1−5.16 w2 )

Realizando el diagrama Bode

0 2 4 6 8 10 120

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

AR

PARTE PRÁCTICA

En el sistema de control mostrado:

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El controlador primario está definido kc=9.5, τi=9.9 min

a) Se desea diseñar el controlador secundario mediante el criterio de bode explicito asumiendo que es un controlador proporcional ¿Cuál sería los parámetros de sintonía según Z-N?

b) Hacer el diagrama de bode de forma explícita para determinar el AR del lazo secundario.c) Utilizando el criterio de Routh ¿Cuál será la condición necesaria y suficiente para que el

sistema de control sea estable?

Solución:

b) Para el lazo secundario:

FTLA= 1(s+1)2∗(10 s+1)

= 1( s2+2∗s+1 )∗(10 s+1)

AR= 1√¿¿¿

∅=ATAN ( −2ω1−ω2 )+ATAN (−10ω)−180… (2)

Tabulando datos de ∅ vsωDeducimos que el valor de ω>1, por lo tanto la ecuación (2), el segundo miembro es disminuido en 180.Graficando ∅ vsω

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1 10

-205

-200

-195

-190

-185

-180

-175

-170

-165

θ vs ω

ω

θ

De la ecuación (2) obtenemos para un valor de -180=θω=1.095

Y de la ecuación (1) Graficando AR vs ω

1 100.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

AR vs ω

ω

AR

AR =0.04132

K u=1AR

=24.2

5


a) Usando los parámetros de sintonía según Z-N:Para un controlador proporcional.

K c=0.5KuK c=12.1

c) Utilizando el criterio de Routh ¿Cuál será la condición necesaria y suficiente para que el sistema de control sea estable?

Controlando el lazo esclavo .yaqué el lazo master está siendo controlado con un controlador PI.En el lazo esclavo.

FTLA= 1(s+1)2∗(10 s+1)

= 1( s2+2∗s+1 )∗(10 s+1)

La ecuación característica seria: EC=FTLA+1

EC=1+K c

(s+1)2∗(10 s+1)=0

(10 s+1 ) (s+1 )2+K c=0

K c+10 s3+21 s2+12 s+1=0

El controlador proporcional optimo dentro de la cascada será aquel que proporcione un asentamiento de ¼ , es decir.: ζ = 0.21545

ζ=cos∅ ,∅=77.56°

tan∅= ℑR

=4.533 , ℑR

=4.533 kk

Entonces la raíz será:k+4.533k i

Reemplazamos este valor en la ecuación característicaK c+10¿

Ordenando la parte imaginaria y la parte real:

1+K c−(606.44 ¿k3+410.508∗k2−12k )=0…. Parte Real

−(795.46 k3−190.386 k2−54.396 k )i=0…Parte ImaginariaResolviendo la Parte imaginariaHay 3 raíces: k=0, 0.4073 7 y -0.1679.

Por criterio escogemos el valor de k=−0.1679

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Reemplazando este valor en la ecuación de la parte real.K c=9.7

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