167

CAPITULO 5

FILTROS ACTIVOS

5.1. INTRODUCCIÓN. Un filtro activo es un circuito que contiene amplificadores operacionales. Normalmente un filtro de segundo orden contiene un amplificador operacional y un circuito RC. La figura 5.1 muestra el esquema básico de un filtro con realimentación negativa mientras que en la figura 5.2 se muestra el esquema de un filtro con realimentación positiva.

Figura 5.1

Figura 5.2 A continuación se presentan las siguientes definiciones que nos ayudarán en el análisis.

168

1. Función de transferencia hacia delante.(Feedforward)

032

1

==

VVVTF

2. Función de transferencia hacia atrás.(Feedback)

023

1

==

VVVTB

Aplicando el principio de superposición resulta:

321 VTVTV BF +=

Topología con realimentación negativa. Para el circuito de la figura 5.1, se tiene: oin VVVVVV === 321 Sí se toma el modelo ideal del amplificador, estoe es, 0== pn VV , resulta la función de transferencia del circuito:

B

F

i

o

TT

VVsT −==)(

Tanto la función de transferencia FT como BT están asociadas al circuito RC, es decir, tienen los mismos polos. Lo anterior nos permite expresar la función de transferencia en la forma:

)()(

)(/)()(/)()(

sQsQ

sPsQsPsQsT

B

F

B

F −=−=

De acuerdo con el resultado anterior se puede afirmar que los ceros de la función de transferencia son los ceros de FT mientras que los polos son los ceros de BT .

Topología con realimentación positiva Para el circuito de la figura 5.2, se tiene: oip VVVVVV === 321

Sí se toma el modelo ideal del amplificador, estoe es, kVVV opn /== , resulta la función de transferencia del circuito:

169

B

F

i

o

kTkT

VVsT

−==

1)(

Teniendo en cuenta lo planteado para la otra topología, resulta:

)()()(

)(/)(1)(/)()(

skQsPskQ

sPskQsPskQsT

B

F

B

F

−=

−=

De acuerdo con el resultado anterior se puede afirmar que los ceros de la función de transferencia son los ceros de FT mientras que los polos son las raíces del polinomio:

)()( skQsP B− Cualquiera que sea la topología la función de transferencia es una función bicuadrática de la forma:

012

2

012

2)(asasabsbsbKsT

++++

=

Como se puede ver, la función bicuadrática presenta dos polos y dos ceros, de cuya ubicación depende el tipo de filtro.

5.2. FILTRO PASABAJAS DE SEGUNDO ORDEN. A partir de la función bicuadrática, el filtro pasabajas de segundo orden corresponde a los datos: 00 12 == bb . Lo anterior significa que la función de transferencia tiene dos polos finitos y dos ceros de transmisión en el infinito. Así las cosas, la función de transferencia se puede escribir en su forma canónica, así:

22

2

2)(

p

p

ssKsT

ωαω

++=

En la expresión anterior se tiene: K es la ganancia del filtro α es el amortiguamiento

pω es la frecuencia de paso El amortiguamiento y la frecuencia de paso se relacionan entre sí mediante el factor de calidad: Q del circuito, así:

αω2

pQ =

170

A continuación se muestra una topología con realimentación positiva, conocida como Sallen and Key, cuya función de transferencia corresponde al filtro pasabajas de segundo orden. El amplificador operacional de la figura 5.3 se considera ideal, es decir, el circuito se puede modelar como se indica en la figura 5.4, con 1≥k .

Figura 5.3

Figura 5.4

Aplicando las leyes y principios resultan las ecuaciones:

1. 2

001

1

/)(R

kVVVVsCR

VV xx

xi −+−=

− 2. ksVCR

kVVx //02

2

0 =−

El sistema en forma matricial es:

ix VRV

V

kRksC

R

kRsCsC

RR

=

+−

+−++

0

1

11

111

10

2

2

2

211

21

x

171

Resolviendo para el voltaje de salida resulta:

[ ] 1)1( 1121222

21210 +−+++=

sCRkCRCRsCCRRkVV i

La función de transferencia se puede expresar en la forma:

2121221211

2

2121

1111

1

)(

CCRRs

CRk

CRCRs

CCRRksT+

−+++

=

Por comparación con la forma canónica de la función de transferencia del filtro pasabajas, resulta:

2212112121

2 11121CRk

CRCRCCRRkK p

−++=== αω

Es claro que se tienen diversas maneras de escoger los resistores y los capacitores para ciertas características dadas de factor de calidad y frecuencia de paso. Ejemplo 5.1. Diseñe un filtro pasabajas de segundo orden de tipo Butterworth con las siguientes características: πω 1201max == pdbA Solución. La función de atenuación, en este caso es:

( ) 5088.0110;;21 max1.0212 ≤⇒−≤=++= εεω

ε A

p

sSSSSA

En consecuencia tenemos:

( )( )22

22

5.52825.5285.528)(

5.5285.52821)(

++=⇒

+

+=

sssTsssA

Comparando con la función de transferencia del filtro resulta:

25.52825.5281 === αω pK de donde resultan dos ecuaciones así:

172

2

22111211

5281.2252811.1 ==+CRCRCRCR

Como vemos, se trata de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas. Si imponemos que KRR 1021 == , tenemos:

nFCCC

nFCCC

134105281.2

26810252811.1

282

21

14

11

=⇒∗=

=⇒∗=+

El circuito resultante se muestra en la figura 5.5.

Figura 5.5

Ejemplo 5.2. Diseñe un filtro pasabajas de segundo orden de tipo Chebyshev con las siguientes características: πω 1201max == pdbA Solución. Usando las tablas de filtros Chebyshev con dbA 1max = resulta la función de atenuación:

π1209826.01025.10977.1)(

2 sSSSsA =++

=

La correspondiente función de transferencia es:

1025.1120

0977.1120

9826.0)( 2

+

+

=

ππss

sT

173

Sí se hace 1025.1/9826.0=K podemos escribir:

22

2

)120(1025.1)120(0977.1)120(1025.1)(

πππ

++=

ssKsT

Comparando con la función de transferencia del filtro resulta:

)120(0977.12)120(1025.1891.0 22 παπω === pK

Es claro que, puesto que 1<K la realización del circuito requiere de una etapa de atenuación con 891.0=K . Las dos ecuaciones correspondientes al filtro con 1=k son:

2

22111211

)120(1025.11.285.41311.1 π==+CRCRCRCR

Como vemos, se trata de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas. Si imponemos que KRR 1021 == , tenemos:

82

21

4

11

10)120(1025.11.2

1085.41311.1

π=

⋅=+

CC

CC

De las ecuaciones anteriores resulta: nFCnFC 132484 21 == La figura 5.6 muestra el circuito resultante con la etapa de atenuación a la salida.

Figura 2.6

174

5.3. FILTRO PASAALTAS DE SEGUNDO ORDEN. A partir de la función bicuadrática, el filtro pasabajas de segundo orden corresponde a los datos: 001 012 === bbb . Lo anterior significa que la función de transferencia tiene dos polos finitos y dos ceros de transmisión en cero. Así las cosas, la función de transferencia se puede escribir en su forma canónica, así:

22

2

2)(

psssKsT

ωα ++=

Una de las topologías más usadas para el diseño de filtros pasaaltas es la mostrada en la figura 5.7, conocida como Sallen and Key, que consiste básicamente de la topología pasabajas con los capacitores y resistores intercambiados.

Figura 5.7

Al efectuar el análisis del circuito se encuentra que la función de transferencia viene dada por:

2121111222

2

2

1111)(

CCRRs

CRk

CRCRs

sksT+

−+++

=

Por comparación con la forma canónica de la función de transferencia del filtro pasabajas, resulta:

1112222121

2 11121CRk

CRCRCCRRkK p

−++=== αω

Es claro que se tienen diversas maneras de escoger los resistores y los capacitores para ciertas características dadas de factor de calidad y frecuencia de paso. Puede verse que el proceso de diseño de un filtro activo pasaaltas es muy similar al correspondiente pasabajas.

175

Ejemplo 5.3. Diseño un filtro Butterworth de orden dos con: 4

p 102 5.0max ⋅== πωdbA Solución.

Mediante el cambio de variable s

s pω=) y teniendo en cuenta lo estudiado en el capítulo 4,

el equivalente pasabajas del filtro presenta la función de atenuación:

ssSSSSA pωε

ε ==++= )))))12)( 2

La función de transferencia para el filtro pasaaltas es:

22

2

2 2)(

21

1)(pppp

ssssT

ss

sTεωωεωεωε ++

=⇒

+

+

=

Pero: 3493.0110 max1.10 =⇒−≤ εε A La función de transferencia resultante es:

842

2

1079.131025.5)(

⋅+⋅+=

ssssT

Comparando con la función de atenuación del circuito pasaaltas, tenemos:

824 1079.131025.521 ⋅=⋅== pK ωα

Con base en lo anterior se escriben las siguientes ecuaciones:

8

2121

4

1222

1079.131.2

1052.211.1

⋅=

⋅=+

CCRR

CRCR

Imponiendo que nFCC 121 == , encontramos: KRKR 3.9194.7 12 == La figura 5.8 muestra el circuito resultante.

176

Figura 5.8 Ejemplo 5.4. Diseño un filtro pasaaltas Chebyshev de segundo orden con: 4

p 102 5.0max xdBA πω == Solución. El equivalente pasabajas tiene la función de atenuación siguiente:

sSSSSA

42 1024314.1

5152.14256.1)( ⋅=

++=

π

La función de transferencia del filtro pasaaltas es:

244 1021024256.15152.1

4314.1)(

⋅+

⋅+

=

ss

sTππ

La función de transferencia se puede expresar en la forma:

( )2442

2

1021024256.15152.15152.1945.0)(

⋅+⋅⋅+=

ππ ssssT

( )2442

2

10266.0102941.0945.0)(

⋅⋅+⋅⋅+=

ππ ssssT

Por comparación con la forma canónica resulta:

177

2424 )102(66.0102941.02945.0 ⋅⋅=⋅⋅== πωπα pK

Como vemos, se requiere de una etapa de atenuación con 945.0=K Las ecuaciones del filtro, con 1=k , son:

8

2121

1222

1006.261.2

5912011.1

xCCRR

CRCR

=

=+

Imponiendo que: nFCC 121 == , tenemos: KRKR 34.1183.33 12 == La figura 5.9 muestra el circuito resultante con la etapa de atenuación.

Figura 5.9

5.4. FILTRO PASABANDA DE SEGUNDO ORDEN. A partir de la función bicuadrática, el filtro pasabanda de segundo orden corresponde a los datos: 010 012 === bbb . Lo anterior significa que la función de transferencia tiene dos polos finitos y un cero de transmisión en cero. Así las cosas, la función de transferencia se puede escribir en su forma canónica, así:

22 22)(

psssKsTωα

α++

=

Una manera más adecuada para escribir la función de transferencia es:

178

20

2)(

ω++=

BssBsKsT

En la expresión anterior: B es el ancho de banda

0ω es la frecuencia central

El factor de calidad del circuito es: B

Q 0ω=

Una de las topologías más usadas para el diseño de filtros pasaaltas es la mostrada en la figura 5.10 y se conoce como topología Sallen and Key.

Figura 5.10 Al aplicar las leyes de Kirchhoff resultan las ecuaciones:

( )

( ) pxp

px

pxpxx

xi

VR

sCsVCRV

VVsC

RkVV

VVsCsVCR

VV

+=⇒=−

−+−+=

−

322

32

221

1

1.2

.1

Resolviendo el sistema, resulta la función de transferencia: 20

2)(

ω++=

BssBsKsT

En la expresión anterior se tiene que:

21321

2120

1223131111

1111CCRRR

RRCRk

CRCRCRB

BCRkK +

=−

+++== ω

Para diseñar un filtro pasabanda de tipo Butterworth se procede de la siguiente manera:

x

179

Datos: max,, 0 AB ω

Con la información dada se calcula: 110 max1.0 −= Aε

El equivalente pasabajas del filtro es: Bs

sssSS

ST2

02

11)( ωε +

==+

= ))))

)

La función de transferencia a realizar es:

20

2 )/()/()(

ωεε

++=

sBssBsT

La forma canónica de la función de transferencia es: 20

2)(

ω++=

BssBsKsT

Con base en lo presentado previamente se tiene:

21321

2120

1223131111

1111// CCRRR

RRCRk

CRCRCRB

BCRkK +

=−

+++== ωεε

Sí se toman los resistores con igual resistencia: RRRR === 321 , resulta:

212

20

121

2311// CCRC

kCR

BBRCkK =

−+== ωε

ε

Resulta, en consecuencia, un sistema de tres ecuaciones no lineales así:

20

2

21

12

1

2

/31

/

ω

ε

ε

RCC

RBC

kC

KRBCk

=

=−

+

=

Para facilitar la solución del sistema se hacen los cambios de variable: 21

11C

yC

x == .

Así las cosas, el sistema a resolver es:

( )2

022

/3/

ω

εε

Rxy

RBxkyKRBkx

=

=−+=

Sustituyendo la primera en la segunda resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

180

20

22/)1(3

ωε

RxyRBKyx

=+=+

Eliminando la variable y se obtiene la ecuación cuadrática:

0/)1(26 20

22 =++− ωε RxRBKx

La solución de la ecuación es: 6

6)/()1(/)1( 20

22 ωεε −+±+=

BKRRBKx

Debe cumplirse que: ε

ω/

61 0

BK ≥+ . Cuando se toma la igualdad se obtiene:

xKRBk

yCx

Ry

xCRBKx

ε

ω

ε

/

/12

/16

/)1(

2

20

2

1

=

=⇒=

=⇒+

=

Los resultados son:

1/

6 0 −=ε

ωB

K 0

16ωR

C = 0

2 36ωR

C = 0

/6ω

εBKk =

Ejemplo 5.5. Diseñe un filtro Butterworth de orden dos, con las siguientes características:

dBAB 5.0max102105 440 =⋅=⋅= ππω

Solución. Con base en la información dada se encuentra que: 3493.0=ε

Aplicando la restricción resulta: 14.1/

61 0 ≥⇒≥+ KB

Kε

ω

Tomando 14.1=K y KR 10= se tiene: 2.352.056.1 21 === knFCnFC El circuito resultante es el mostrado en la Figura 5.11. Se deja al estudiante la correspondiente simulación.

181

Figura 2.11

5.5. FILTROS PASABANDA DE BANDA ANCHA. Un filtro pasabanda es de banda ancha cuando el factor de calidad: Q es relativamente bajo. Una manera de diseñar este tipo de filtros consiste en colocar en cascada un filtro pasabajas con otro pasaaltas según lo sugiere la figura 5.12. La función de transferencia del circuito mostrado es:

( )

++

++= 2

112

2

222

2

22

22 ωαωαω

sssK

ssKsT HL

Figura 5.12

El diagrama de Bode de la función de transferencia pasabanda es la suma de los diagramas de Bode de las funciones de transferencia pasabajas y pasaaltas tal como lo ilustra las figuras 5.13, 5.14 y 5.15. El éxito en el diseño del filtro lo garantiza la presencia del seguidor de voltaje con el fin de que uno de los circuitos no sea una carga para el otro.

−

+

iV −

+

0VPasabajas Pasaaltas Seguidor

−

+

PBV

182

Figura 5.13 Figura 5.14 Ejemplo 5.6. Diseñe un filtro de tipo Butterworth con las siguientes características:

dbAB 1max102102 41

4 =⋅=⋅= πωπ

Figura 5.15

Solución. Puesto que : 12 ωω −=B , entonces : 4

2 102.2 ⋅= πω

462221

2 10084.21044 xooo ≅⇒⋅=⇒= ωπωωωω Debemos diseñar los filtros pasabajas y pasaaltas así:

183

1. Filtro pasabajas: dBAp 1max102.2 4 =⋅= πω la función de atenuación correspondiente es:

( )

( ) ( ) 1,96894968942

96894196894

296894

968945088.0110

12

22

22

max1.0

212

=+⋅+

=⇒+

+

=

=⇒≤⇒−≤

=++=

L

A

p

kss

sTsssA

sS

sSSSSA

εε

ωε

Comparando con la función de transferencia canónica resulta:

2

22111211

968941.229689411.1 ==+CRCRCRCR

Imponiendo KRR 1021 == , resulta: nFCnFC 065.146.1 21 == b. Filtro Pasaaltas: dBAp 1max102 4 =⋅= πω

Se hace la correspondiente transformación a pasabajas, así: s

s3102 ⋅

=π)

La función de atenuación del filtro pasabajas de segundo orden es:

sSSSSA ))))) 2/12 12)( ε=++=

Puesto que: 5088.0110 max1.0 =−≤ Aε , se tiene que:

ssS 4480102713.0 3

=⋅⋅

=π)

La función de transferencia del filtro pasaaltas es:

22

2

2 4480244804480448021

1)(++

=

+

+

=ss

s

ss

sT

Comparando con la función de atenuación del circuito pasaaltas, resulta:

184

2

21211222

44801.22448011.1 ==+CCRRCRCR

Imponiendo que: nFCC 1021 == , resulta: KRKR 78.1557.31 22 == Puesto que las etapas son activas el circuito no requiere de seguidor, es decir, se pueden conectar directamente en cascada como lo ilustra la figura 5.16.

5.6. FILTROS RECHAZABANDA Recordemos que la función bicuadrática presenta la forma general:

012

2

012

2)(asasabsbsbKsT

++++

=

Figura 5.16 La característica rechazabanda corresponde al caso: 01 12 == bb . La forma canónica de la función de transferencia de un filtro rechazabanda de segundo orden es la siguiente:

20

2

20

2

)(ω

ω++

+=

BsssKsT

En la expresión anterior: 0ω es la frecuencia central

B es el ancho de banda La topología de la figura 5.17 permite obtener la función de transferencia del filtro rechazabanda. El parámetro p será el responsable del ancho de banda del filtro, mientras que la frecuencia central dependerá de R y C.

185

Figura 5.17 Al aplicar las leyes y principios resultan las siguientes ecuaciones de nodo:

1. R

pp

VVkVVp

CsVVCs xxxi

1

)/()( 00

+

−+−=−

2. )(1/0

0 VVCsp

ppR

kVVR

VVy

yyi −+

+−

=−

3. 0/

)/( 00 =

−+−

pRkVV

kVVp

Cs yx

El sistema, en forma matricial es el siguiente:

=

+−

++−

++

+

+−

++

011

1)1(1)1(0

101)1(

0

i

i

y

x

VRp

pCsV

VVV

kRkCs

RCs

kRCsp

RCsp

Rp

kCs

RCsp

Resolviendo para el voltaje de salida se encuentra que la función de transferencia viene dada por:

186

222

222

1)1)(1(2

1

)(

CRs

pRCkps

CRs

ksT+

−++

+=

Comparando con la forma canónica resulta:

00)1)(1(21 ωω

pkpB

RC−+

==

El factor de calidad del filtro es: )1)(1(2 kp

pQ−+

=

Puede verse que es necesario que la ganancia sea menor que la unidad. Sí la ganancia es unitaria el circuito es un filtro pasatodo. Puesto k debe ser mayor que la unidad, los polos de la función de transferencia se ubicarán a la derecha del eje imaginario haciendo que el sistema sea inestable. Sí tomamos 1.1=k , la función de transferencia será:

200

2

02

51)(

ωω

ω

++

−

+=

sp

ps

sksT

Ejemplo 5.7. Diseñe un filtro rechazabanda de tipo Butterworth con las siguientes características:

dbAB 3max105102 40

4 =⋅=⋅= πωπ

Solución. Con la información dada se tiene que, para 1.1=k

12/51

52/5 =⇒=+

⇒= pp

pQ

De otro lado: 64 10366.61051 −⋅=⇒⋅= RCRC

π

Sí se toma: nFC 10= se obtiene: Ω= 6.636R Sí se toma: nFC 1= se obtiene: KR 366.6= Para la segunda opción resulta el circuito de la figura 5.18.

187

Figura 5.18 Se puede diseñar un sistema de control que permita desplazar los polos hacia la izquierda del eje imaginario con lo que el sistema se vuelve estable. Por el momento estudiaremos otra alternativa para diseñar filtros rechazabanda.

5.7. FILTROS RECHAZABANDA A PARTIR DE UN PASABANDA Consideremos el esquema de la figura 5.19. Figura 5.19

La salida del bloque pasabanda viene dada por: iE VBssBsKV 2

02 ω++

=

La salida del sumador es:

iiiEi VBssBsKVV

BssBsKKVVKVV

++−=⇒

++−=−= 2

0202

020 1

ωω

pasabanda

K

∑ 0ViV

+

EVPasabanda

K

188

Con base en lo anterior, la función de transferencia del sistema corresponde a un filtro rechazabanda, así:

20

2

20

2

)(ω

ω++

+=

BsssKsT

La topología de la figura 5.20 permite la realización de la función de transferencia dada aunque la salida queda invertida, así:

ie VBssBsKV 2

02 ω++

=

ei VKRR

RKKVV+

++−= )1(0

Simplificando resulta:

20

2

20

2

)(ω

ω++

+−=

BsssKsT

Ejemplo 2.8. Diseñe un filtro rechazabanda de tipo Butterworth con las siguientes características:

dbAB 3max105102 40

4 =⋅=⋅= πωπ

Solución. Primero que todo se diseña el filtro pasabanda a partir de su función de transferencia, así:

20

2)(

ω++=

BssBsKsTpb

Con base en lo presentado previamente se tiene:

21321

2120

1223131111

1111CCRRR

RRCRk

CRCRCRB

BCRkK +

=−

+++== ω

Sí se toman los resistores con igual resistencia: RRRR === 321 , resulta:

212

20

121

2311CCRC

kCR

BBRC

kK =

−+== ω

189

Figura 5.20 Resulta, en consecuencia, un sistema de tres ecuaciones no lineales así:

20

2

21121

231 ωRCC

RBC

kC

KRBCk

==−

+=

Para facilitar la solución del sistema se hacen los cambios de variable: 21

11C

yC

x == .

Así las cosas, el sistema a resolver es:

( )2

022

3

ωRxy

RBxkyKRBkx

=

=−+=

Sustituyendo la primera en la segunda resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

20

22)1(3

ωRxyRBKyx

=+=+

Eliminando la variable y se obtiene la ecuación cuadrática:

0)1(26 20

22 =++− ωRRBxKx

La solución de la ecuación es: 6

6)1()1( 20

22 ω−+±+=

BKRRBKx

Debe cumplirse que: B

K 061 ω≥+

190

Tomando 124.5=K y KR 10= se tiene: 022.552.056.1 21 === knFCnFC La figura 5.21 muestra el circuito resultante.

Figura 5.21 La ventaja de esta topología es que genera tanto el filtro pasabanda como el rechazabanda, así:

20

2

20

20

20

2 ωω

ω ++++

=+++

=Bss

sKVV

BssBsK

VV

ii

e

5.8. FILTRO RECHAZABANDA A PARTIR DE UN FILTRO PASABAJAS Y UNO PASAALTAS. Consideremos el diagrama de bloques de la figura 5.22

Sabemos que : 222

2

2

i

o22

112

211

2VVy

2 ωαωαω

++=

++=

sssk

ssk

VV HL

i

o

En consecuencia tenemos:

( ) 212122

21

2

, para ;2

ααωωωαω

==++

+=

ssksk

VV LH

i

o

Si adicionalmente tomamos kL = 1 y kH = 1, resulta la función de atenuación:

( ) 22

22

o

o

sBsssAωω

+++

=

191

Vi

Vo2HP

LP

Vo = Vo1 + Vo2

Vo1

Figura 5.22

Justamente, la función de atenuación corresponde a un filtro rechazabanda con un ancho de banda B y una frecuencia central 0ω . El diagrama de Bode de la función de atenuación se muestra en la Figura 5.23 Ejemplo 5.9. Realice, usando el circuito mencionado, la característica de atenuación rechazabanda :

dB1maxA;10x;10x3B;10x2 41

44o =π=ωπ=π=ω

Solución. Encontrando la realización de tipo Butterworth de orden dos, se puede observar la gráfica de un rechazabanda en la figura 5.23. La figura 5.24 muestra las características del filtro.

La función de transferencia del filtro rechazabanda es: 20

2

20

2

)(ωε

ω++

+=

BssssT

Con los datos se tiene:

( ) 5.0 tomose;6283247953

6283222

22

=++

+= ε

ssssT

Como se indicó al principio, se trata de diseñar un filtro pasabajas y otro pasaaltas, tales que:

( ) ( ) 22

2

22

2

6283247953;

628324795362832

++=

++=

ssssT

sssT HPLP

192

Figura 5.23

Figura 5.24

a. El circuito pasabajas se muestra en la figura 5.25

2

2121

1211

628321.2

4795311.1

=

=+

CCRR

CRCR

Tomando KRR 1021 == resulta: nFCnFC 61.017.4 21 ==

193

C2

R1

C1

Vo1(s)Vi

R2

Figura 5.25

b. El circuito pasaaltas es el de la figura 5.26

C1

Vi R2 Vo2

C2

R1

Figura 5.26

2

2121

1222

628321.2

4795311.1

=

=+

CCRR

CRCR

Tomando : nFCC 1021 == tenemos: Ω== 60717.4 21 RKR Para sumar las funciones de transferencia, usamos el circuito de la figura 2.27

Vo2R

R

Vo = - (Vo1 + Vo2)

RVo1

Figura 5.27

194

El circuito definitivo se muestra en la figura 5.28

Ra

C2

R1

R

C1

Cb

R2

Vi Rb

R

VoCa

R

Figura 5.28

Se toma KR 10= y se procede a la simulación.

5.9. EJERCICIOS RESUELTOS Y SIMULACIONES 1. Realice la simulación en Matlab y en Spice del ejemplo 5.1 Solución. a. Simulación en Matlab Con la función de tranferencia resultante en ejemplo 2.1, se obtiene el diagrama de bode de la figura 5.29. num = 2.793284264459252e+005; den =[ 1 7.474335106829573e+002 2.793284264459252e+005]; bode(num,den); b. Simulación en Spice. La figura 5.30 muestra el esquemático y el resultado de la simulación se muestra en la figura 5.31

195

Figura 5.29

Figura 5.30 2. Realice la simulación en Matlab y en Spice del ejemplo 5.2 Solución. a. Simulación en Matlab. Con la función de tranferencia resultante en ejemplo 5.2, se obtiene diagrama de bode de la figura 2.32 num=0.9826; den=[7.036193308495681e-006 2.911739683866225e-003 1.1025]; bode(num,den);

196

Figura 5.31

Figura 5.32 b. Simulación en Spice. El esquemático se muestra en la figura 5.33, mientras que el resultado de la simulación se ilustra en la figura 5.34. 3. Realice la simulación en Matlab y en Spice del ejemplo 5.3

197

Solución. a. Simulación en Matlab. Se usa el mismo procedimiento del ejercicio anterior, y se usa la función de tranferencia resultante en ejemplo 5.3. La figura 5.35 ilustra el diagrama de Bode de atenuación obtenido con Matlab. b. Simulación en Spice. El esquemático se muestra en la figuras 5.36 y la simulación en la figura 5.37

Figura 5.33

Figura 5.34

198

Figura 5.35

Figura 5.36

Figura 5.37

199

5.10. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Usando la topología Sallen and Key, diseñe un filtro activo pasabajas de segundo orden de tipo Chebyshev con las siguientes características:

dbAp 2max102 4 =⋅= πω

Efectúe la simulación en Spice. 2. Usando la topología Sallen and Key, diseñe un filtro activo pasaaltas de segundo orden de tipo Chebyshev con las siguientes características: dbAp 2max102 4 =⋅= πω Efectúe la simulación en Spice. 3. Usando la topología Sallen and Key, diseñe un filtro activo pasabanda de segundo orden de tipo Chebyshev con las siguientes características:

dbAB 2max104102 340 =⋅=⋅= ππω

Efectúe la simulación en Spice. 4. Diseñe, usando un filtro pasabajas y otro pasaaltas, un filtro pasabanda de tipo Butterworth que cumpla con las siguientes características:

dbAB 2max10102 440 =⋅=⋅= ππω

Efectúe la simulación en Spice. 5. Diseñe un filtro pasabanda activo Butterworth y Chebyshev, que cumpla las siguientes características:

sradw 800023 π=

sradw 880021 π=

sradw 1000022 π=

sradw 1100024 π=

dBA 2.0max = dBA 50min = Ω= KRL 1 Encuentre a. La función de transferencia. b. Los diagramas de bode de Atenuación o Ganancia. c. Los valores de los componentes del circuito: Teóricos y comerciales. d. La simulación en Spice con los valores teóricos y comerciales. 6. Diseñe un filtro rechazabanda de segundo orden de tipo Butterworth que cumpla con las siguientes características:

dbAB 2max10102 440 =⋅=⋅= ππω

200

Efectúe la simulación en Spice.

7. Una estructura bastante conocida para realizar un filtro de tipo notch es la que se ilustra en la figura 5.38.

kVp

R1

r

V2

R3

V1

RL

C2Vi

R2

(k-1) r

Vp

C1

VoCL

C3

Figura 5.38 a. Muestre que las ecuaciones del circuito son:

( ) ( )

( )

( )L

pp

p

ppi

pp

i

ZV

VVsCR

VV

kVVsCR

VVR

VV

VVsCR

kVVVVsC

=−+−

−+−

=−

−+−

=−

122

2

232

2

1

2

123

111

.3

.2

.1

b. Tome la siguiente información:

1

//

321

321

+===

+===

ααα

ααRRRRRR

CCCCCCC

Muestre que sí 1=α , la función de transferencia es:

1231

222

222

+++

=RCssCR

sCRVV

i

o

c. Dibuje el diagrama de Bode de magnitud de la función de transferencia y simule el circuito con 4

0 102 ⋅= πω