Capítulo 9 (FILTROS ACTIVOS).pdf

Filtros activos

Contenido del capítulo

9.19.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

Introducción

Filtros activos comparados con los filtrospaSIVOS

Tipos de filtros activosLa función bicuadráticaFil tras B utterworth

Filtros pasabajasFiltros pasaaltas

9.8 Filtros pasabanda9.9 Filtros de rechazo de banda

9.10 Filtros pasatodas9.11 Filtros de capacitar conmutado9.12 Recomendaciones para el diseño de filtros

RESUMEN ~ REFERENCIAS

PREGUNTAS DE REPAso ~ PROBLEMAS

l·

l'I

9.1Introducción

9.2Filtros activos

comparados con

los filtros pasivos

En ingeniería eléctrica, un filtro es un circuito selectivo de frecuencia que pasa una banda

específica de frecuencias, y que bloquea o atenúa señales con frecuencias fuera de esta banda, En general, estas señales son voltajes, Los filtros que emplean sólo elementos pasivos,tales como capacitores, inductores y resistores, se llaman filtros pasivos. Los filtros que utilizan las propiedades de los ampli'ficadores operacional es, además de resistores y capacitores, se llaman filtros activos o, más a menudo, filtros analógicos, en contraste con los filtros digitales. Tanto los filtros analógicos como los digitales se pueden incluir en el mismocircuito integrado. En este capítulo se presentan los filtros activos, y se analizan y se dise

ñan las topologías de circuitos simples. Por su importancia práctica, los filtros analógicosa menudo se estudian en un solo curso [3, 4],

Los objetivos de aprendizaje de este capítulo son los siguientes:

• Comprender las diferencias entre los filtros pasivos y los activos• Examinar las características y tipos de los filtros activos• Analizar filtros activos

• Diseñar filtros activos que satisfagan las especificaciones en frecuencia deseadas

En los circuitos electrónicos se utilizan tanto filtros activos como pasivos. Sin embargo, losfiltros activos ofrecen las siguientes ventajas sobre los filtros. pasivos:

• Flexibilidad en el ajuste de ganancia y frecuencia: Dado que los amplificadores operacionales proporcionan una ganancia en voltaje, la señal de entrada en los filtros ac-

421

- --~~~~-~~~.~----~---~~-.--.-- ------- ---------,---- ------_-=.._----------- ---.--------.....- -~--

422

9.3Tipos de filtros

activos

FIGURA 9.1Circuito de filtrado

CAPíTULO 9 ~ FILTROS ACTIVOS

tivos no se ve atenuada, como en los filtros pasivos. Los filtros activos son fáciles deajustar o sintonizar.

• Efecto de no carga: Debido a la alta resistencia de entrada y a la baja resistencia de

salida de los amplificadores operacionales, los filtros activos no provocan efectode carga en la fuente de entrada o en la carga.

• Costo y tamaño: Los filtros.activos son menos costosos que los pasivos por la disponibilidad de los amplificadores de bajo costo y la ausencia de inductores.

• Efectos parásitos: Los efectos parásitos se reducen en los filtros activos por el menor tamaño de éstos.

• Integración digital: Los filtros analógicos y los circuitos digitales se pueden incluiren el mismo circuito integrado.

• Funciones de filtrado: Los filtros activos son capaces de realizar más funciones defiltrado que los filtros pasivos.

• Ganancia: Un filtro activo puede proporcionar una ganancia, mientras que el filtropasivo a menudo exhibe una pérdida significativa.

Los filtros activos también tienen algunas desventajas:

• Ancho de banda: Los componentes activos tienen un ancho de banda finito, que limi·ta las aplicaciones de los filtros activos al rango de frecuencia de audio. Los filtrospasivos no adolecen de tal limitación en frecuencia y pueden usarse hasta frecuen·cias aproximadamente de 500 MHz.

• Derivas: Los filtros activos son sensibles a las derivas de los componentes, ocasio·nadas por las tolerancias de fabricación o cambios ambientales; en contraste, los filotros pasivos se ven menos afectados por tales factores.

• Fuentes de alimentación: Los filtros activos requieren fueQtes de alimentación; lospaSIVOS, no.

• Distorsión: Los filtros activos sólo puede manejar un rango limitado de magnitud dela señal; más allá de este rango, introducen distorsiones inaceptables.

• Ruido: Los filtros activos utilizan resistores y elementos activos, los cuales producenruido eléctrico.

En general, las ventajas de los filtros activos sobrepasan sus desventajas en aplicaciones de comunicación de voz y transmisión de datos. Los filtros activos se utilizan en casitodos los sistemas electrónicos complejos en aplicaciones de comunicación y procesamiento de señales, tales como televisión, teléfono, radar, satélites espaciales y equipo biomédi·co. Sin embargo, los filtros pasivos todavía son muy utilizados.

Sea V¡ L. O el voltaje de entrada al circuito de filtrado que se muestra en la figura 9.1. Elvoltaje de salida Vo y su corrimiento en fase (J dependen de la frecuencia w. Si se convierten dos voltajes al dominio de s de Laplace, la relación del voltaje de salida Vo(s) entre elvoltaje de-entrada V¡(s) se conoce como función de transferencia de voltaje H(s):

Vo(s)

H(s) = Ves)I

La forma general de la función de transferencia H(s) es

amsln + ... + a2i + als + aoH(s) = ? para 112: In (9.1)

Sil + ... + b2s- + biS + bo

cuyos coeficientes se determinan de manera que satisfagan las especificaciones de filtradodeseadas. La sustitución de S = jw da H(jw), la cual tiene una magnitud y un retraso de fase. Según la especificación deseada de magnitud o de retraso de fase, los filtros activos seclasifican como filtros pasabajas, filtros de pasaaltas, filtros pasabanda, filtros de rechazode banda o filtros pasatodas. En la figura 9.2 se muestran las características ideales de

estos filtros. El fil~ro pasabajas deja pasar frecuencias de cd hasta una frecuencia deseada

'"{-

•

-_ .. -_ ,._- - _., --- -- ._-----------_. __ ---' _ __ ._---_ .. ---==_. --------_._------~=-~,~~~.~-----------

fa (= Wa/27T) y atenúa las frecuencias altas. fo se conoce comofrecuencia de corte. El rango de frecuencia baja de Oa f o se conoce como banda de paso o ancho de banda, y el rangode frecuencia alta de fo a infinito se conoce como banda de atenuación completa. El filtropasaaltas es el complemento del filtro pasabajas, el rango de frecuencia de Oa f o es la banda de atenuación completa y el rango defo a infinito es la banda de paso.

El filtro pasabanda deja pasar frecuencias de fL a fH y atenúa completamente todas lasdemás frecuencias. El filtro de rechazo de banda es el complemento del filtro pasabanda;se atenúan completamente las frecuencias de fL a fH, y se dejan pasar todas las demás frecuencias. En ocasiones, los filtros de rechazo de banda se conocen como filtros supresores

de banda. El filtro pasatodas, o sin atenuación deja pasar todas las frecuencias de Oa infinito, aunque produce un retraso de fase.

Es imposible crear filtros con las características ideales mostradas en la figura 9.2. Enlugar de los cambios abruptos en el comportamiento de paso a atenuación completa y

de atenuación completa a paso, los filtros reales exhiben una transición gradual de la banda de atenuación completa a la banda de paso. En los incisos (a), (b), (c) y (d) de la figura9.3, se muestran las características de un filtro real. En el inciso (e) se combinan todas lascaracterísticas. La frecuencia de corte corresponde a la frecuencia a la cual la ganancia alcanza el 70.7% de su valor máximo. La fora de la transición o la rapidez con la que cambia la característica se conoce como velocidad de reducción o rapidez de atenuación pro-

FIGURA 9.Z Características ideales de los filtros

Wz w (en rad/s)W¡

_423

IH[

+-- Paso-+

(d) Filtro de rechazo de banda ideal

--+lUz W (en rad/s)

"Paso--+ , -a ~

E8

W¡

(e) Filtro pasabanda ideal

SECCIÓN 9.3 ~ TIPOS DE FILTROS ACTIVOS

IHI

". ~ :'d

Paso-+

" g]"i5.¡--+ ~ ~-+

Paso-E B

':u

00

WaW (en rad!s)00

waW (en rad/s)00

(a) Filtro pasabajas ideal

(b) Filtro pasaaltas ideal

FIGURA 9.3 Características de un filtro real

W¡ Wa W2 w (en rad!s)

(d) Filtro de rechazo de banda

0.707

W¡ Wa W2 w (en rad!s)

(e) Filtro pasabanda

IHI

w (en rad!s)

(b) Filtro pasaaltas

IHI

Wa W (en rad/s)

(a) Filtro pasa bajas

IHI

0.707

1 -

00 w (en rad!s)

(e) Características combinadas

424

9.4La función

bicuadrática

CAPíTULO 9 ~ FILTROS ACTIVOS

gresiva. Si se traza la gráfica de la frecuencia con una escala logarítmica, la gráfica se co

noce como gráfica de Bode, y la rapidez de atenuación gradual, o pendiente asintótica, semide en múltiplos de ±6 dE por octava o ±20 dE por década.

ASPECTOS PRINCIPALES DE LA SECCIÓN 9.3r------------.,,-------------------------,

• De acuerdo con sus características en frecuencia, los filtros se clasifican como pasabajas, pasaaltas, pasabanda, rechazo de banda o pasatodas.No es posible crear filtros con las características ideales de cambios abruptos en el comportamiento de la banda de paso a la de atenuación completa, y viceversa. Los filtros reales exhiben una transición gradual de la banda de atenuación completa a la banda de paso.

Para un filtro activo con n > 2, la ecuación (9.1) se vuelve compleja. Por tanto, por lo general se utiliza una función de transferencia de segundo orden (es decir, una función conn = 2). Lafunción bicuadrática, que sirve como bloque básico para una amplia variedadde filtros activos, tiene la forma general

k2s2 + k¡(wo/Q)s + kow~H(s) = K 2 2 (9.2)

s +(wo/Q)s+wo

donde Wo es lajrecuencia natural no amortiguada (o de resonancia), Q es el factor de calidad o cifra de mérito y K es la ganancia en cd. Las constantes k2, k¡ Y ko son ±1 o O. Enla tabla 9.1 se muestran los valores posibles para cada tipo de filtro. Si se sustitu ye s = j wen la ecuación (9.2), se obtiene en el dominio de la frecuencia la H(jw) , la cual tiene unamagnitud y un retraso de fase: •

. -k2w2 + jk¡(wo/Q)w + kow~ (kow~ - k2(2) + jk¡(wo/Q)wH( ) -------- -------- (9.3)

]W = -w2 + j(wo/ Q)w + w~ (w; - (2) + j(wo/ Q)w

donde w = 271"f, en rad/s

f = frecuencia de la entrada, en Hz

Se puede demostrar (apéndice B) que Q está relacionado con el ancho de banda, BW, y conWo por medio de

,

,1"

donde

WoQ---- BW - wH - wL

WH = frecuencia de corte alta, en rad/s

wL = frecuencia de corte baja, en rad/s

(9.4)

TABLA 9.1Funciones bicuadráticas de

los filtros

Filtro k2k¡ko Función de transferencia

2HLP =

Kwo

PasabajasOO1

s2 + (wo/ Q)s + w~Ks2

PasaaltaslOOH =

HP l + (wo/Q)s + w~

K(wo/Q)sPasabanda

OlOH -BP - l + (wo/Q)s + w~

K(l + w~)De rechazo de banda

1O1H -

BR - s2 + (wo/Q)s + w~2 / 2

S - (wo Q)s + WoPasatodas1-11H -K

AP - l + (wo/Q)s + w~

--:z:-=--'--I

.-._,'-,'~'."~.__._.. ~~-"-' '---~--'-._.""~.-~..-~._=.~--~..=====~---------------~._-----~- ...,---_..._---

..:jSECCIÓN 9.5 ~ FILTROS BUTIERWORTH

ASPECTOS PRINCIPALES DE LA SECCIÓN 9.4

425

(9.5)

(9.6)

I

1-

9.5Filtros

Butterworth

• El factor de calidad Q es una medida del ancho de banda de un filtro. Cuanto más alto sea

el valor de Q, más selectivo será el filtro .• El denominador de todas las funciones cuadráticas de filtro es el mismo; el numerador de

pende del tipo de filtr~.

El denominador de la función de transferencia de un filtro determina los polos y la rapidezde atenuación de la respuesta en frecuencia. Obsérvese en la tabla 9.1 que el denominadorde la función bicuadrática tiene la misma forma para todos los tipos de filtros. Los filtrosButterworth [2] se obtienen del cuadrado de la magnitud.

l1 Hn(jw)12 = 1 + (w/wo)2n

la cual da la magnitud de la función de transferencia como

1

IHn(jw)i = [1 + (w/wo)2n]1/2

En la figura 9.4 se muestran gráficas de esta respuesta, conocida como respuesta Butterworth, para n = 1, 2, 4, 6, 8 Y 10. Este tipo de respuesta tiene las siguientes propiedades:

1. I Hn(jO) i = 1 para todos los valores de n (ganancia en voltaje a frecuencia cero;esto es, la ganancia en voltaje decd cuando w = O)

2. I Hn(jwo) 1 = 1/v2 "'"0.707 para todos los valpres de n (ganancia en voltaje a lafrecuencia w = wo)

3. I Hn(jwo) I exhibe una reducción gradual n-polos cuando w> wo'

4. Se puede demostrar que todas las derivadas de IHn(jw) I excepto una, son igualesa cero en la vecindad de w = O. Es decir, la respuesta es máximamente plana cuando w = O.

5. Cuando n > 10, la respuesta se aproxima a la característica ideal del cambio abrupto de la banda de paso a la banda de atenuación completa.

Si se sustituye w = s/j en la ecuación (9.5), la función de transferencia para los filtrosButterworth en el dominio s es

iHn(s)12 = 11 + (-I):1(s/wo)2n I(9.7)

= I Dn(S)~n(-S) I

(9.8)

FIGURA 9.4

IHUw)1Respuesta Butterworth 1.0

0.8J

0.6

0.4\::t

0.2

w

OO

0.40.81.21.62.0wo

426 CAPÍTULO 9 ~ FILTROS ACTIVOS

donde Dn(s) es un polinomio en s, cuyas raíces tienen partes reales negativas y IDn(s) I =1 Dn( -s) l·

Función de

Butterworth

para n = 2

Si wa = 1, para n = 2, la ecuación (9.7) toma la siguiente forma

I His) 12 = 11 ~ s¡ I = 1 DiS)~i -s) I

La factorización de 1 + i da D2(s)D2( - s) como

(9.9)

.,~

_ 4 _ ( - 1 - j)( - 1 + j)( 1 - j)( 1 + j)Dis)D2(-s) - s + 1 - s - Y2 s - Y2 s - Y2 s - Y2de donde

( - 1- j)( -1 + j)Dis) = s - Y2 s - Y2 = s2 + Y2s + 1

Y Di-s) = (s - ~)(s - 1;1) = s2 - Y2s + 1

Como I D2(s) 1 = I D2( - s) 1, la ecuación (9.7) da la función de Butterworth con partes reales negativas. Esto es, para D2(s) únicamente, se obtiene la forma general

1 w2H (s) = -------- = o (9.10)

2 (s/Wo)2 + Y2(s/Wo) + 1 s2 + Y2wos + w~

cuyo factor de calidad es Q = 1/Y2 = 0.707. Por tanto, con n = 2, un filtro Butterworth

tiene la característica en frecuencia de un sistema de segundo ord~n (apéndice B), y la respuesta en frecuencia disminuye a razón de ,-40 dB / década o - 12 dB / octava.

. ,i

i

Función de

Butterworth

para n = 3

Si wa = 1, para n = 3 la ecuación (9.7) se vuelve

IH3(s) 12 = 11 ~ s61 = I D3(S)~3(-S) I

Al factorizar 1 - s6, se obtiene

D3(s)D3(-s) = 1 - i = (i + s + 1)(i - s + 1)(s + I)(-s + 1)

la cual da D3(s), cuyas raíces poseen partes reales negativas, como

D3(s) = (i + s + 1)(s + 1) = s3 + 2i + 2s + l

La función de transferencia para n = 3 está dada por

(9.11)

1

(s/wi + 2(s/wo)2 + 2(s/wo) + 1

w3o

s3 + 2w i + 2w2s + w3o o o

(9.12)

(9.13)

En consecuencia, para n = 3, el filtro Butterworth tiene la característica en frecuencia deun sistema de tercer orden, y la respuesta en frecuencia disminuye a razón de -60 dB/década o -18 dB / octava.


• Los filtros Butterworth producen respuestas máximamente planas.

• Con n > 10, la respuesta se aproxima a la característica ideal de cambio abrupto de la banda de paso a la banda de atenuación completa. Sin embargo, un filtro con n = 2 es bastantesatisfactorio en la mayor parte de las aplicaciones.

SECCIÓN 9.6 ~ FIL1ROS PASABAJAS 427

(9.14)

9.6Filtros pasa bajas

Filtros pasa bajas

de primer orden

Según el orden del polinomio bicuadrático de la ecuación 9.2, los filtros pasabajas se clasifican en dos tipos: de primero y segundo orden.

La función de transferencia de un filtro pasabajas de primer orden tiene la forma general

R(s)=~s + Wo

En la figura 9.5(a) se muestra la característica en frecuencia típica. En la figura 9.5(b) semuestra un filtro de primer orden que utiliza una red RC de filtrado. El amplificador operacional funciona como amplificador no inversor, el cual tiene como características una impedancia de entrada muy alta y una impedancia de salida muy baja.

-20 dB/década ,

Banda de paso 1_ Banda ~e __-, atenuaClOn

i

,: I _,~

FIGURA 9.5

Filtro pasabajas de primerorden con K = 1 I~~I

0.707

ofa f(en Hz)

(a) Característica pasabajas (b) Filtro

El voltaje (VX en el dominios de Laplace) en la terminal no inversora del amplificadoroperacional puede obtenerse con la regla del divisor de voltaje:

l/sC 1

VxCs) = / V¡(s) = . Vi (s)R + 1 sC 1 + sRC

El voltaje de salida del amplificador no inversor es

V (s) = (1 + RF)vx(S) = (1 + RF) 1 V¡(s)o . R¡ R¡ 1 + sRC

la cual da la función de transferencia en voltaje R(s) como

K

1 + sRC

h

Vo(s)R(s) = -- =

V¡(s)

donde la ganancia en cd es

RFK= 1 +-

R¡

Con la sustitución de s = jw en la ecuación (9.15), se obtiene

Vo(jw) K

H(jw) = V).(j'w) = 1 + jwRC

(9.15)

(9.16)

(9.17)

de donde la frecuencia de corte fo' cuando la ganancia es 3 dB, es

(9.18)

~ FILTROS ACTIVOS

1

fa = 27TRC

La magnitud y el ángulo de fase de la ganancia del filtro se obtienen de la siguientemanera:

CAPÍTULO 9418

y

IH(jw) I = K[1 + (w/wo)2]1/2

4> = - tan - 1 (f/ fa)

(9.19)

(9.20)

donde f = frecuencia de la señal de entrada, en Hz.

EJEMPLO 9.1

fE

Diseño de un filtro pasabajas de primer orden

(a) Diseñar un filtro pasabajas de primer orden con una frecuencia de corte alta fo = 1 kHz, y unaganancia en la banda de paso de 4. Si la frecuencia deseada se cambia a f n = 1.5 kHz, calcular el

nuevo valor de Rn.

(b) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta de frecuencia del filtro diseñado en elinciso (a), de 10 Hz a lO kHz.

SOLUCIÓN (a) La frecuencia de corte alta es f o = 1 kHz. Elegir un valor de C menor o igual que 1 ¡.tF; seaC = 0.01 ¡.tE El valor de R se calcula con la ecuación (9.18):

R = _1_ = l = 15916 D (usar un potenciómetro de 20 kD,)27rfaC 27r X 1 kHz X 0.01 ¡;..F

Escoger valores de R¡ y RF que satisfagan la ganancia K en la banda de paso. De acuerdo con la

ecuación (9.16), K = 1 + RF/R,. Como K = 4,

RdR¡ = 4 - l = 3

SiR1 = 10kD,RF= 30kD.Calcular el factor de escalamiento en frecuencia, FSF = f o/ f n:

FSF = fo/ fn = 1 kHzj 1.5 kHz = 0.67

Calcular el nuevo valor de Rn = FSF X R:

e:''';:'r1

I

\¡

Rn = FSF x R = 0.67 x 15916 = 10664 D (usar un potenciómetro de 15 kD)

(b) En la figura 9.6 se muestra un filtro pasabajas con los valores calculados de los parámetros del

circuito y el amplificador operacional LF411. El archivo del circuito para la simulación con PSpicees el siguiente:

Ejempla 9.1 Filtro pasabajas de primer orden

VIN 1 O AC IV

R 1 2 15916

FIGURA 9.6 Filtro pasabajas para la simulación con PSpice

R

;15916.0 .2 .' _+ Vcc

\

e d15V0.01 J.LF 3

UI

_ VEE2

o -- 15V

R¡ 10 knRF

o30kn

4

•

SECCIÓN 9.6 ~ FILTROS PASABAJAS

C 2 O O.OlUF

RIN 3 2 2MEG

modelo lineal del amplificador operacionalROUT 5 4 750HMS

EA 5 O 2 3 2E+5

Rl ~ O 10K

RF 3 4 30K

RL 4 O 20K

.AC DEC 100 10HZ 10KHZ

. PRINT AC VM (4)

. PROSE

.END

429

(9.22)

!

1

Filtros pasabajas

de segundo orden

De la gráfica de la ganancia en voltaje (figura 9.7), se obtiene K = 4.0 (el valor esperado es 4)

y fa = 998 Hz (el valor esperado es 1 kHz) cuando I H(jw) I = 0.707 X 4 = 2.828. Por tanto, los resultados se aproximan a los valores esperados.

FIGURA 9.7 Gráfica de la respuesta

en frecuencia del ejemplo 9.1 obtenida

con PSpice

La rapidez de atenuación gradual de un filtro de primer orden es de sólo -20 dB/década enla banda de atenuación. Un filtro de segundo orden tiene una reducción en la banda de atenuación de -40 dB/década y, por tanto, se le prefiere en lugar de un filtro de primer orden.Además, el filtro de segundo orden se puede convertir en el bloque básico para construir filtros de mayor orden (n = 4, 6, ... ). Si se sustituyen k2 = k¡ = O Y ko = 1 en la ecuación(9.2), se obtiene la forma general

Kw2

H(s) = 2 o ? (9.21)s + (wo/Q)s + w~

donde K es la ganancia en cd. En la figura 9.8(a) se muestra una característica de frecuencia típica; para valores grandes de Q, se presentan sobrepasas en la frecuencia de resonancia f O' Para frecuencias mayores que f o' la ganancia se reduce gradualmente a razón de-40 dB / década. El filtro de primer orden se puede convertir en uno de segundo orden agregando una red RC adicional, conocida como circuito de Sallen-Key, como se muestra en lafigura 9.8(b). La red RC de entrada se muestra en la figura 9.8(c); el circuito equivalenteaparece en la figura 9.8(d). La función de transferencia de la red de filtrado es

K/R2R3C2C3

? R3C3 + R2C3 + R2C2 - KR2C2s- + s ------------- + ----R2R3C2C3 R2R3C2C3

donde K = (l + RF/R¡) es la ganancia en cd. (Véase el problema 9.2 para la deducción.)

0.707 +

Banda de"' -+atenuaClOn

IH I(en Hz)

--40 dB / década

FILTROS ACTIVOS

Banda de paso

o

I~~I

CAPÍTULO 9

FIGURA 9.8

Filtro pasabajas desegundo orden con K = 1

4'30

(a) Característica pasabajas (b) Filtro

Yx = YJK

. '1

(e) Red de retroalimentación de entrada (d) Circuito equivalente

La ecuación (9.22) es similar en cuanto a la forma a la ecuación (9.21). Haciendo eldenominador igual a cero, se obtiene la ecuación característica

/

(9.23)? R3C3 + R2C3 + R2C2 - KR2C2 1r+s . . +----=0R2Rl:;2C3 R2R3C2C3

la cual tiene dos partes reales y dos raíces iguales. Haciendo s = júJ en la ecuación (9.23)e igualando las partes reales a cero, se obtiene

de donde la frecuencia de corte es

(9.24)úJo 1

¡; = - = --=--=--_---:--o 21f 21fYR2R3C2C3

Para simplificar el diseño de filtros de segundo orden, nohnalmente se utilizan resis

tencias y capacitancias iguales; esto es, R 1 = R2 = R3 = R, C2 = C3 = C. En tal caso, laecuación (9.22) se reduce a

(9.25)Kw2o

H(s) = ?i + (3 - K)úJos + úJ~

Si se compara el denominador de la ecuación (9.25) con el de la (9.21), se ve que Qpuede ser relacionada con K por medio de

1

Q=3-K(9.26)

1

(9.27)o K=3--

Q

La respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden en el punto correspondiente a 3 dB depende del factor de amortiguamiento ~, de modo que Q = 1/2~. Un valor de Q

de 1v'2( =0.707), el cual representa un compromiso entre la magnitud pico y el ancho de

banda, hace que el filtro exhiba las características de una banda de paso plana así como una

banda atenuada, y que produzca una ganancia en cd fija K = 1.586:

SECCIÓN 9.6 ~ FILTROS PASABAJAS 431

(9.28)K = 1 + RF = 3 - V2 = 1.586R1

Sin embargo, se puede obtener más ganancia con la adición de una red divisora de voltaje,como se muestra en la figura 9.9, de modo que sólo una fracción x del voltaje de salida seretroalimente de nuevo al capacitar C2. Esto es,

I

I

I

I,

R4x=---R4 + Rs

la cual modifica la función de transferencia de la ecuación (9.25) a

2Kwo

H(s) = ------s2 + (3 - xK)wos + w~

y al factor de calidad Q de la ecuación (9.26) a

1Q=-3 -xK

(9.29)

(9.30)

(9.31)

I

~.

FIGURA 9.9

Circuito Sallen-Keymodificado

EJEMPLO 9.2

m

SOLUCIÓN

Por tanto, con Q = 0.707, xK = 1.586, permite al diseñador obtener más ganancia K en cdal elegir un valor más bajo de x, donde x < l.

Diseño de un filtro pasabajas de segundo orden

(a) Diseñar un filtro pasabajas de segundo orden corno el de la figura 9.9, con una frecuencia de cor

te alta h = f o = 1 kHz, una ganancia en la banda de paso K = 4 Y Q = 0.707, 1, 2 e oo.

(b) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del voltaje de salida delfiltro diseñado en el inciso (a), de 10 Hz a 10 kHz.

(a) Para simplificar los cálculos de diseño, sean R¡ = Rz = R3 = R4 = R Y sea Cz = C3 = C. Eligir un valor de C menor o igual que 1 fLF; sea C = 0.01 fLF Con Rz = R3 = R Y Cz = C3 = C, laecuación (9.24) se reduce a

de donde el valor de R es

1 1R = -- = -------- = 1591611 (usar un potenció metro de 20 k11)

27TfoC 27T X 1 kHz X 0.01 fLF

432 CAPÍTULO 9

Luego,

~ FILTROS ACTIVOS

(9.32)

Con Q = 0.707 Y K = 4, la ecuación (9.31) da x = 1.586/ K = 1.586/4 = 0.396. De la ecuación ' 1(9.29), se obtiene .¡

Rs 1 1 - x-=--1 =--R4 x x

la que, con x = 0.396 Y R4 = R = 15916 nda

Para Q = 1 Y K = 4, la ecuación (9.31) da 3 - xK = l o x = 2/ K = 0.5, Y

Rs = 1.525 X 15 916 = 24275 n (usar un potenciómetro de 30 kD),

,\¡¡

íJ

,.,

; Define un parámetro VAL

R5 depende del parámetro VAL

Asigna valores al parámetro

VAL

Rs = R = 15916 D

Para Q = 2 Y K = 4, la ecuación (9.31) da 3 - xK = 1/2 o x = 2.5/K = 0.625, Y

Rs = 0.6R = 9550 nPara Q = 00 y K = 4, la ecuación (9.31) da 3 -xK = I/Q = O ox = 3/K = 0.75, Y

Rs = 0.333R = 5305 n(b) El filtro pasabajas, con los valores diseñados de los parámetros del circuito y un modelo simplede cd del amplificador operacional, se muestra en la figura 9.-10. El listado del archivo del circuitopara la simulación con PSpice es el siguiente:

Ejemplo 9.2 Filtro pasabajas de segundo orden

VIN 1 O AC IV

.PARAM VAL = 15K

Rl 4 O 15916

RF 4 6 47748

R2 1 2 15916

C2 2 8 O.OIUF

R3 2 3 15916

C3 3 O O.OlUF

R4 8 O 15916

R5 6 8 (VAL)

.STEP PARAM VAL LIST 9550 15916 24275

RIN 4 3 2MEG

ROUT 5 6 750HMS

EA 5 O 3 4 2E+5

modelo lineal del amplificador operacional

FIGURA 9.10 Filtro pasabajas de segundo orden para la simulación con PSpice

RF

47748 D.

Parámetros:

RVAL 24275

1

6

Rs

(RVALI

8

R415916D.

Il

SECCIÓN 9.6 ~ FILTROS PASABAJAS

* RL 6 o 200K


. PROBE

.END

433

Filtros Butterworth

pasabajas

La gráfica generada por PSpice para la ganancia en voltaje Av [=V(R5:2)jV(Vs: +)] se muestra enla figura 9.11. Para Q = 0.797, se obtiene fa = 758 Hz (el valor esperado es 1 kHz), con una ganancia de 2.833 (el valor estimado es 4 X 0.707 = 2.828). El error en la frecuencia se debe a que la ganancia del amplificador operacional es finita y depende de la frecuencia. Si se utiliza un amplificadoroperacional ideal, en la simulación se aproxima mucho al valor esperado. El valor pico de la ganancia aumenta conforme lo hace el valor de Q; no obstante, el ancho de banda también aumenta un poco (fa = 1113 Hz con Q = 2).

FIGURA 9.11 Respuesta en frecuenciadel ejemplo 9.2 obtenida con PSpice

La respuesta Butterworth requiere que I H(jO) I = 1 (o O dB); la función de transferencia dela ecuación (9.25) para el circuito Sallen-Key da I H(jO) I = K para lograr una respuestaButterworth con la topología de conmutador Sallen-Key. Por consiguiente, se debe reducirla ganancia en 1/ K. Considérese la parte del circuito que está a la izquierda de las terminales a y b en la figura 9.8(b). La resistencia R2 está en serie con el voltaje de entrada Vi' comose muestra en la figura 9.12(a). La reducción de la ganancia se logra añadiendo una red di

visora de voltaje formada por Ra Y Rb, como se muestra en la figura 9.12(b). El circuitoSallen-Key para la respuesta Butterworth aparece en la figura 9.12(c). Los valores de Ra YRb deben ser tales que Rerrt = R2, Y el voltaje a través de Rb sea V¡/K. Esto es,

Las ecuaciones (9.35) y (9.36) garantizan una ganancia a frecuencia cero de O dB para todos los valores de Q. Por ejemplo, si K = 4 Y R2 = 15916 n,

Ra = 4 X 15916 = 63 664 n y Rb = 4 X 15916/(4 - 1) = 21 221 n

RaRb---=RR + R 2

a b

Rb 1

Ra + Rb K

Al despejar Ra Y Rb, se obtiene

para IH(jO) I = 1 (o O dB)

KRb = -- R2 para I H(jO) I = 1 (o O dB)K-I

(9.33)

(9.34)

(9.35)

(9.36)

434 CAPíTULO 9 ~ FILTROS ACTIVOS

FIGURA 9.12 Circuito Sallen-Key para la respuesta Butterworth

+

(a) (b) (e)

Sin embargo, es más deseable tener una ganancia de OdB a la frecuencia de resonancia wo;

es decir, I H(jwo) I = l (o O dB). Si se sustituye s = jwo en la ecuación (9.25), la magnitudde la ganancia es Kj(3 - K), de donde la reducción de ganancia requerida es (3 - K)/ K. Esdecir,

(9.37)

(9.38)

(9.39)

Rb '3 - K.-Ra + Rb K

Despejando Ra y Rb de las ecuaciones (9.33) y (9.37); se obtiene

K .Ra = Rz 3 -.:...K para I H(jwo) I = 1 (o O dB)

K

Rb = Rz 2K _ 3 para I H(jwo) I = 1 (o O dB)

Por consiguiente, se puede diseñar un filtro activo de modo que tenga una ganancia de OdB

para w = O o para w = wo' En el caso donde IH(jwo) I = 1 (o O dB), la ganancia a frecuencia cero se reduce en un factor de (3 - K)/ K Es decir,

I H(jO) I = 3 - K para I H(jwo) I = 1 (o O dB) (9.40)

Para Q = v2 y K = 3 - 1/ Q = 1.586, la ecuación (9.40) da IH(jO)1 = 3 - K = 1.414 siempre que el filtro se diseñe de modo que I H(jwo) I = 1 (o O dB).

EJEMPLO 9.3 Diseño de un filtro Butterworth pasabajas de segundo orden para I HUwo) I = 1

(a) Diseñar un filtro Butterworth pasabajas de segundo orden como el de la figura 9.12(c), de modo

que I H(jwa) I = 1 (o O dB), la frecuencia de corte sea fa = I kHz y Q = 0.707.

(b) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del voltaje de salida delfiltro diseñado en el inciso (a), de 10Hz a 10kHz.

y

SOLUCIÓN (a) Para la respuesta Butterworth, Q = 0.707 Y del ejemplo 9.2, e = 0.0 I fLF Y R = 15 916 n. Dela ecuación (9,27),

K = 3 - I/Q = 3 - 1/0.707 = 1.586

RF = (K - I)R, = (1.586 - 1) X 15916 = 9327 nDe la ecuación (9.38),

Ra = RK/(3 - K) = 15916 X 1.586/(3 - 1.586) = 17852 nDe la ecuación (9.39),

Rb = RK/('2K - 3) = 15916 X 1.586/(2 X 1.586 - 3) = 146760 nDe la ecuación (9.40),

I H(jO) I = 3 - K = 3 - 1.586 = 1.414

i

J~ SECCIÓN 9.6 FILTROS PASABAJAS 435

(b) Para la simulación con PSpice, el circuito de la figura 9.10 se puede modificar quitando R4 y Rs,

remplazando R2 con Ra Yagregando Rb· En la figura 9.13 se muestra este circuito modificado. El listado del archivo del circuito para la simulación con PSpice/SPICE es el siguiente:

Ejemplo 9.3 Filtro Butterworth pasabajas de segundo orden

VIN 1 O AC lV

Rl 4 O 15916

RF 4 6 9327

RA 1 2 17852

RB 2 O 146760

C2 2 6 O.OlUF

R3 2 3 15'916

C3 3 O O.OlUF

RIN 4 3 2MEG modelo lineal del amplificador operacional

ROUT 5 6 750HMS

EA 5 O 3 4 2E+5


.PROBE

.END

FIGURA 9.13 Filtro Butterworth pasabajas de segundo orden para la simulación con PSpice

RF

9327 D.

Vs

IV

1RA

17852 D. 2

7

RB C2

146760D. 0.01 fLF

..

61~'~'&- O__ Vcc

~I- 15V

¡:,j;rt

La gráfica producida por PSpice/SPICE para la ganancia en voltaje se muestra en la figura 9.14, dedonde I H(jwa) 1 = 1.0 cuando fa = 1 kHz y I H(jO) I = 1.414, valores que corresponden a los valoresesperados.

FIGURA 9.14 Respuesta en

frecuencia del ejemplo 9.3 obtenida

con PSpice

436

9.7Filtros pasaaltas

Filtros pasaaltas

de primer orden

CAPÍTULO 9 ~ FILTROS ACTIVOS

~ NOTA: La simulación se ejecutó con el modelo lineal de cd descrito en la sección 6.3.


• Se prefieren filtros de segundo{)rden con una rapidez de atenuación de 40 dBjdécada. en lugar de los de primer orden que tienen una rapidez de atenuación de 20 dBjdécada. Se pueden usar fj.ltros de primero y segundo órdenes como bloques básicos para construir filtros demayor orden .

• El circuito Sallen-Key es un filtro de segundo orden de uso común. Este circuito se puedediseñar de modo que exhiba las características de una banda de paso plana así como de una

banda de atenuación, y se puede modificar para que tenga una ganancia en la banda de paso así como una respuesta Butterworth.

Los filtros pasaaltas se clasifican de manera general en dos tipos: de primer orden y de segundo orden. Los filtros de mayor orden se sintetizan a partir de estos dos tipos básicos.Como la escala en frecuencia de un filtro pasabajas va de O a fa y la de un filtro pasaaltasva de fa a 00, sus escalas en frecuencia guardan una relación recíproca. Por consiguiente, sise diseña un filtro pasabajas, puede ser convertido en uno pasaaltas mediante una transformación RC-CR. Esta transformación se logra remplazando Rn con Cn y Cn con Rn. El amplificador operacional, modelado como una fuente de voltaje controlada por voltaje, no es

afectado por esta transformación. Los resistores utilizados para establecer la ganancia encd del amplificador operacional, tampoco son afectados. •

La función de transferencia de un filtro pasaaltas de primer orden tiene la forma general

sKH(s) = -- (9.41)

s + Wo

En la figura 9 .15( a) se muestra una característica en frecuencia pasaal taso Se puede formar

un filtro pasaaltas de primer orden intercambiando el resistor y el capacitar dependientesde la frecuencia del filtro pasabajas de la figura 9.5(b). Esta configuración se muestra en lafigura 9.l5(b). El voltaje en la terminal no inversora del amplificador operacional se obtiene con la regla del divisor de voltaje. Esto es,

R s

Vx(s) = R + l/sC V¡(s) = s + l/RC V¡(s)

El voltaje de salida del amplificador no inversor es

-/(Bandade+atenuación

FIGURA 9.15

Filtro pasaaltas de primerorden

0.707

o

I~~I

Banda __de paso

f(en Hz)

(a) Característica pasaaltas (b) Filtro

--_..----:.--:--'''-'n- - ---_._------ ---::-'--=--'-----._----=----=--=--=---===========~~------------

SECCIÓN 9.7 ~ FILTROS PASAALTAS

de donde la ganancia en voltaje es

Vo(s) sKH(s) = -- = ---

V¡(s) s + l/RC

donde K = 1 + RF/R¡ es la ganancia en voltaje de cd.

Sustituyendo s = jú} en la ecuación (9.42), se obtiene

Vo(jw) jwK jwK

H(jw) = Vi(jw) = jw + 1/RC jw + Wo

de donde la frecuencia de corte f o cuando la ganancia es 3 dB es

437

(9.42)

(9.43)

(9.44)Wo 1

fo = 271" = 21TRC

como en la ecuación (9.18). La magnitud y el ángulo de fase de la ganancia del filtro pueden obtenerse de

y

(w / wo)K

[1 + (w/wo)2]l/2

4J = 90° - tan-1 (f/fo)

(f/fo)K

[1 + (f/fo)2]1/2(9.45)

(9.46)

'.--~L

EJEMPLO 9.4l1J

SOLUCIÓN

Este filtro deja pasar todas las señales que tengan frecuencias mayores que f o' Sin embargo, el límite de frecuencia alta queda determinado por el ancho de banda del propio amplificador operacional. El producto ganancia-ancho de banda de un amplificador operacionalreal ¡.LA741 es de 1 MHz.

Diseño de un filtro pasaaltas de primer orden Diseñar un filtro pasaaltas de primer orden con una

frecuencia de corte fa = 1 kHz y una ganancia en la banda de paso de 4.

Los filtros pasaaltas se forman intercal1)biando R y e de la red Re de entrada, así que también se apli

can los procedimientos de diseño y de escalamiento en frecuencia para filtros pasabajas. Ya que fa =1 kHz, se pueden utilizar los valores de R y e calculados para el filtro pasabajas del ejemplo 9.1; esdecir,

e = 0.01 ¡.¡.F

R = 15 916 D (usar un potenciómetro de 20 kD)

Asimismo, se utiliza R1 = 10 kD Y RF = 30 kD para obtener K = 4.Se puede ejecutar una simulación con PSpice/SPICE que confirme los valores de diseño, inter

cambiando las posiciones de R y e en la figura 9.6, de modo que los enunciados para R y e son lossiguientes:

eR

2 O.OlUF

o 15916

Con C conectado entre los nodos 1 y 2

Con R conectado entre los nodos 2 y O

.,

'; ~

Filtros pasaaltas

de segundo orden

El filtro pasaaltas de segundo orden tiene una característica de banda de atenuación de40 dE/década. La forma general de un filtro de pasaaltas de segundo orden es

s2KH(s) =------ (9.47)i + (wo/ Q)s + w~

donde K es la ganancia de frecuencia alta. En la figura 9 .16(a) se muestra una respuesta enfrecuencia caracteóstica. Como en el caso del filtro de primer orden, el filtro pasaaltas desegundo orden se forma a partir de un filtro pasabajas de segundo orden, intercambiandolos resistores y capacitores dominantes en frecuencia. En la figura 9 .16(b), se muestra unfiltro pasaaltas de segundo orden derivado del circuito Sallen-Key de la figura 9.8(b). La


va

+

¡(en Hz)

Banda

de paso

Banda deatenuación

R¡

FIGURA 9.16 Filtro pasaaltas de segundo orden

I~~I

o

0.707

438

(a) Característica pasa altas (b) Filtro ¡.7

función de transferencia se puede deducir aplicando la transformación RC en CR y sustitu

yendo l/s en lugar de s en la ecuación (9.22). Con R[ = R2 = R3 = R Y C2 = C3 = C, lafunción de transferencia es

(9.48)

(9.49)

,:.

(9.50)

S2KH(s) = ------

s2 + (3 - K)(Vé + w~

y la ecuación (9.24) da la frecuencia de corte como

1 w~~~ -_o '--1-\ 1.fo = 2TT =;;rVk2R3C2C3 í 2TTRC

"'---'-' /Q y K del circuito no cambian. Se puede agregar una red divisofc1 de voltaje, como se mues-tra en la figura 9.17, de modo que sólo una fracción x del voltaje de salida se retroalimente de nuevo a través del resistor R2• La función de transferencia de la ecuación (9.48) sevuelve entonces,

FIGURA 9.17Filtro pasaaltas de segundo

orden modificado

+

EJEMPLO 9.5m

Diseño de un filtro pasaaltas de segundo orden

(a) Diseñar un filtro pasaaItas de segundo orden como el de la figura 9.17, con una frecuencia de cor

. te fa = 1 k.Hz, una ganancia en la banda de paso de K = 4 Y Q = 0.707, 1, 2 e oo.

(b) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del voltaje de salida delfiltro diseñado en el inciso (a), de 10 Hz a 100 kHz.

SOLUCIÓN (a) Como los filtros pasaaltas se forman con intercambiar tan sólo las R y las C de la red RC de en

trada y como fa = 1 kHz, entonces se pueden usar los valores de R y C determinados para el filtro

pasabajas de segundo orden del ejemplo 9.2; es decir, e = 0.01 fLF,Y

R4 = R = 15916 D. (usar un potenciómetro de 20 kD.)

Para Q = 0.707,

Rs = 24275 D. (usar un potenciómetro de 30 kD.)

SECCIÓN 9.7 FILTROS PASAALTAS 439

Para Q = 1,

,l',1

;1'1

¡i·1

Rs=R=15916D.

Para Q = 2,

Rs = 0.6R = 9550 D.

Para Q = 00, .

Rs = 0.3333R = 5305 D.

VEE

6 h15VRs

{RVAL} 18 - O'-- Vcc

R4 - 15V1591611 +

R¡1591611

Parámetros:

RVAL 24275

1

FIGURA 9.18 Filtro pasaaltas de segundo orden para la simulación con PSpice

RF4774811

(b) En la figura 9.18 se muestra el circuito que se obtiene al intercambiar las posiciones de R y e en

la figura 9.10. En la figura 9.19 se mueslran las gráficas producidas por PSpice. Tal como se esperaba, la ganancia en voltaje muestra un valor pico mayor para un valor alto de Q. Los enunciados dePSpicejSPICE para R y e son los siguientes:

C2 12 O.OlUF Con C2 conectado entre los

R2

28 15916 Con R2 conectado entre los

C3

23 O.OlUF Con C3conectado entre los

R3

3O.15916 Con R3conectado entre los nadas 1 Y 2

nadas 2 y B

nadas 2 y 3

nadas 3 y O

FIGURA 9.19 Gráficas de PSpice de la

respuesta en frecuencia del ejemplo 9.5

~.''(-.Se notará el decaimiento más pronunciado debido

a las capacitancias internas del amplificadorMA74 1.

-440

-Filtros Butterworth

pasaaltas


Como la escala de frecuencia de un filtro pasabajas es el recíproco de la de un filtro pasaaltas, la respuesta Butterworth de la ecuación (9.6) también se puede aplicar a los filtros pasaaltas. La magnitud de la función de transferencia se vuelve

1

!Hn(jw) I = [1 +.(wo/w)2n]I/2 (9.51)

donde IHn(joo I = 1 para toda n, en lugar de IHn(jO) I = 1. La respuesta Butterworth requiere que IH(j 00) I = 1 (o O dB); sin embargo, la función de transferencia de la ecuación(9.48) da I H(j 00) I = K. Por consiguiente, la ganancia se debe reducir en l/K. La reducción de la ganancia se logra agregando a la figura 9.20(a) una red divisora de voltaje, for

mada por Ca y Cb, como se muestra en la figura 9.20(b). El circuito completo aparece en lafigura 9.20(c). Los valores de Ca y Cb deben ser tales que Cent = C2, y que el voltaje a través de Cb sea VJ K. Es decir,

f'. '

~.~

¡

. ~

Las ecuaciones (9.54) y (9.55) garantizan una ganancia a frecuencia alta de O dB para todos los valores de Q. Para C2 = 0.01 fLF YK = 4, se tiene

Ca = 0.01 fLF/4 = 2.5 nF y Cb = 0.01 fLF X (4 - 1)/4 = 7.5 nF

Ca + Cb = C2

Ca 1

Ca + Cb K

Al despejar Ca y Cb, se tiene

C2Ca=J( paraIH(joo)¡ =1(oOdB)

K-ICb = C2 -K- para I H(joo)I = 1 (o O dB)

(9.52)

(9.53)

(9.54)

(9.55)

FIGURA 9.20 Filtro Butterworth pasaaltas de segundo orden

R¡

+

(a) (b) (e)

Sin embargo, como en el caso de los filtros pasabajas, es más conveniente tener una

ganancia de O dB a la frecuencia de resonancia wo; es.decir, I H(jwo) I = l (o O dB). Al sustituir s = jwo en la ecuación (9.48), la magnitud de la ganancia es K/O - K), de donde lareducción de ganancia requerida es (3 - K)/K. Por lo tanto, la ecuación (9_53) se transformaen

3-KK

(9.56)

==~_~_ ~.__._~__~~~_~~~~ __~ ._"-.'~~~_~_~.__. ,__ -__~~~__ -~T·~ _-"=<z::s._

~1".1

í

~.,,*.' .-.J~j

SECCIÓN 9.7 ~ FILTROS PASAALTAS

Al despejar Ca y Cb de las ecuaciones (9.52) y (9.56), se obtiene

.3 - KCa = C2 -- para I H(jwo) I = 1 (o O dB) .. K

2K- 3Cb = C2 K para I H(jwo) I = 1 (o O dB)

441

(9.57)

(9.58)

~.'

EJEMPLO 9.6

fE

Por consiguiente, se puede diseñar un filtro Butterworth pasaaltas con una ganancia de OdB

para w = 00 o w = wo' No obstante, en el caso donde se especifica IH(jwo) I = 1 (o O dB),la ganancia a frecuencia alta se reduce en un factor de (3. - K)/ K Es decir,

IH(joo) I = 3 -: K para IH(j~ ) I = dCl\9 dB) (9.59). " . ....:. . _ _ ,".' _ ;:~,:.::,.~;;,}'. ... ~"::;'¡¡~'::~;~J\;

Para Q = V2 y K =3 -i/Q =.1.'586, la·~cJa'ci<s~~(9..59) da IH(jwo)I = 3 - K = 1.414,siempre que se diseñe el filtro para IH(jwo) I ':::;;l,,,(t/Q)aB).

• ,;,~ .: .. ' .~. ";i'~: ';. ,::,

'. ···"·:~¡~';:(I:.,;;:;.·~:;~··::tt:\'. ,:

".:'\': ¡'./

Diseño de un filtro Butterworth piisaaltas~~(S~~~d'~~;~den para IRU=) I = 1(a) Diseñar un filtro Butterworth pasaaltas de~segundQ,;prden, como el de la figura 9.20(c), con

IH(j=) I = 1 (o O dB), una f~ecuencia d~tortefo,.=.)kBz y Q = 0.707.

(b) Usar PSpice/SPICE pa~~ trazar la g~áfi~~ d~:i~;~s'~~esta en frecuencia del voltaje de salida delfiltro diseñado en el inciso (a), de 10 Hz aJOornz.. ..,. ,.,;; '.

h~', _",.;.

(a) Para Q = 0.707, el ejemplo 9.5 da C = 0.01 ¡.¡.FY R = 15 916 n. De acuerdo con la ecuación(9.27),

De la ecuación (9.54),

Ca = C/K =.0.01 ¡.¡.F/1.586 = 6.305 nF

De la ecuación (9.55),

Cb = C(K - l)/K = 0.01 ¡.¡.FX (1.586 - 1)/1.586 = 3.695 nF

(b) Para la simulación con PSpice/SPICE, el circuito de la figura 9.13 se puede transformar en el cir

cuito de la figura 9.21, quitando R4 y Rs, intercambiando las posiciones de R y C, remplazando C2

con Ca y agregando Cb entre los nodo s a y b. Los enunciados de PSpice para R y C son los siguien-~s: .

SOLUCIÓN

y

K = 3 - l/Q = 3 - 1/0.707 = 1.586

RF = (K - l)R¡ = (1.586 - 1) X 15916 = 9327 n

FIGURA 9.21 Filtro Butterworth pasaaltas de segundo orden para la simulación con PSpice

RF9327 D.

v +s _

IV

Ca6.305 nF

R¡15916D.

Cb3.695 nF

Rz15916D.

l .._._._....__~.__...__..._.,,.__.


FIGURA 9.22 Gráfica de PSpice de la


La gráfica producida pr PSpice para la g~nancia se muestra en la figura 9.22, de donde se observa queIH(joo)1 = 1.0 cuando w = oo.

Para CA conectado entre los nadas 1 y 2

Para CB conectado entre los nadas 2 y O

Para R2 conectado entre los nadas 2 y 6

Para C3 conectado entre los nadas 2 y 3

Para R3 conectado entre los nadas 3 y O

2 6.305NF

O 3. 695NF

6 15916

3 O.OlUF

O 15916

CA 1

CB 2

R2 2

C3 2

R3 3

442

.~.¡.'


• Un filtro pasabajas se puede convertir en un filtro pasaaltas aplicando la transformación RC

a CR: Rn se remplaza con Cn; y Cn, con Rn.

• El circuito pasabajas Sallen-Key se puede modificar para que exhiba una característica pasaaltas de segundo orden tanto con una ganancia en la banda de paso, como con una res-

puesta Butterworth. '

(9.61)

(9.62)

9.8Filtros pasabanda

Un filtro pasabanda posee una banda de paso entre dos frecuencias de corte hy fH, de modo que fH > fL. Cualquier frecuencia que esté fuera de este rango es atenuada. La funciónde transferencia de un filtro pasabanda tiene la forma general

KpB(wc!Q)sH (s) = ------ (9.60)

BP i + (we/ Q)s + úJ~

donde KpB es la ganancia en la banda de paso y úJc es la frecuencia central en rad/s. Existen dos tipos de filtros pasabanda: de banda ancha y de banda angosta. Aunque no hay unalínea divisoria'entre los dos, es posible identificarlos a partir del factor de calidad Q. Unfiltro se puede clasificar como de banda ancha si Q:S 10, y como de banda angosta siQ > 10. Cuanto mayor sea el valor de Q, más selectivo será el filtro o más angosto será suancho de banda (BW). Por lo tanto, Q es la medida de la selectividad de un filtro. La rela

ción de Q con el ancho de banda de 3 dB y la frecuencia central fe es

úJe feQ=-=--BW fH-k

Para un filtro de banda ancha, la frecuencia central fe se define como

fe = VkfH

••

donde fL = frecuencia de corte baja, en Hz

f H = frecuencia de corte alta, en Hz '

En un filtro de banda angosta, la salida alcanza su valor pico en la frecuencia central fe-

t·

"

.~.,.

"

SECCIÓN 9.8 ~ FILTROS PASABANDA 443

Filtros pasabandade banda ancha

La característica en frecuencia de un filtro de pasabanda ancha se muestra en la figura9.23(a), donde fH > h. Esta característica se obtiene aplicando la ecuación (9.60), la cualquizás no de una ganancia de banda media plana dentro de un ancho de banda amplio. Una

configuración alternativa consiste en usar dos filtros: un filtro pasabajas y uno pasaaltas. Lasalida se obtiene multiplicando la respuesta de frecuencia baja por la de frecuencia alta, co

mo se muestra en la figura 9.23(b); esta solución se 9btiene simplemente poniendo en cascada las secciones pasaaltas y pasabajas de primer ¿r,den (o de segundo orden). El ordendel filtro pasabanda depende del orden de las secciones pasabajas y pasaaltas. Esta configuración tiene la ventaja de que la rapidez en 1<). que aumenta o disminuye la atenuación así

como la ganancia a banda media se pueden fijar de una manera independiente, Sin embargo, requiere más amplificadores operacionales y componentes.

En la figura 9.23(c) se muestra un filtro pasabanda de banda an'cha de±20 dB/décadaconstruida con filtros pasabajas y pasaaltas de primer orden. En este caso, la magnitud dela ganancia en voltaje es igual al producto de las magnitudes de la ganancia en voltaje de losfiltros pasaaltas y pasabajas. De acuerdo con las ecuaciones (9.15) y (9.42), la función detransferencia del filtro pasabanda de banda mediu para la realización de primer orden seconvierte en

(9.63)

FIGURA 9.23 Filtro pasabanda de banda ancha

.fH leen Hz)

I~:I

O

0.707 -

x

A leen Hz)O

0.707

leen Hz)

I~~I

Barda.de paso

I~~I

0.707

Banda de

atenuaciónO !L

(a) Característica pasabanda de banda ancha (b) Producto de las características pasaaltas y pasabajas

i.

R'I R'F

L_,l.. __._"" • _

Sección pasaaltas

(e) Filtro

Sección pasabajas

y

444

EJEMPLO 9.7(i]

SOLUCIÓN


Con las ecuaciones (9.21) y (9.47) se obtiene la función de transferencia para la realizaciónde segundo orden:

2 2KpBWHS

H(s) = ------------ (9.64)[i + (wL/ Q)s + wt][s2 + (wH/ Q)s + w~]

donde KpB = ganancia total en la banda de paso = ganancia pasaaltas KH X ganancia pasabajas Kv

Diseño de un filtro pasabanda de banda ancha

(a) Diseñar un filtro pasabanJa de banda ancha con h= 10 kHz, fH = 1 MHz y una ganancia en labanda de paso KPB = 16.

(b) Calcular el valor de Q parael filtro.

(c) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado en elinciso (a), de 100 Hz a 10 MHz.

(a) Sea KH = 4, la ganancia de la sección pasaaItas. Para la sección de pasaaltas de primer orden,fH = 10 kHz. Siguiendo los pasos del ejemplo 9.4, sea e = 1 nF. Entonces,

R = 1/(27T X 10 kHz X 1 nF) = 15.915 kil

Y KH = 1 + RF/R¡ = 4 o RdRJ = 4 - 1 = 3

Si RJ = 10 kil, RF = 3R¡ = 30 kil.Para la sección pasabajas de primer orden, fH = 1 MHz y la ganancia deseada es KL

KpB/KH = 16/4 = 4. Siguiendo los pasos del ejemplo 9.1, sea C = 10 pI;. Entonces

R' = 1/(27T X I MHz X 10 pF) = 15.915 kil

Y KL= I + Rp/R; =4 o Rp/R'¡ =4-1 =3

Si R; = 10 kil, Rp = 3R; = 30 kil.

(b) De acuerdo con la ecuación (9.62),

fe = VIO kHz X 1 MHz = 100 kHz

BW = I MHz - 10kHz = 990 kHz

De la ecuación (9.61), se tiene que

Q = 100 kHz/(1 MHz - 10 kHz) = 0.101

(c) En la figura 9.24 se muestra el filtro pasabanda de banda ancha con los valores calculados. El listado del circuito para la simulación con PSpice es el siguiente:

.~ t

-~

.;)

Ejempio 9.7 Filtro pasabanda de banda

VIN 1 O AC lV

Rl 3 O 10K

RF 3 q 30K

C 1 2 1NF

R 2 O 15915

R1P 7 O 10K

RFP 7 8 30K

CP 6 O 10PF

RP q 6 15916

Xl 3 2 q O OPAMP

X2 7 6 8 O O PAMP

.SUBCKT OPAMP 1 2 3 q

RIN 1 2 2MEG

ROUT 5 3 750HMS

EA 5 q 2 1 2E+5

.ENDS

.AC DEC 100 100HZ 10MEGHZ

.PROBE

.END

ancha

llamadas del subcircuito op-amp

definición del subcircuito

SECCIÓN 9.8 ~ FILTROS PASABANDA

FIGURA 9.24 Filtro pasabanda de primer orden para la simulación con PSpice

445

8Rp

15915 i1

La respuesta en frecuencia se muestra en la figura 9.25, de donde KpB = 15.842 (el valor esperado es 16), h = 10.04 kHz (el valor esperado es 10 kHz) y fH = 997 kHz (el valor esperado es 1MHz). Con un valor bajo del ancho de banda, es posible que la respuesta del filtro pasaaltas no alcance el valor esperado antes de que el filtro pasabajas entre en operación. Por consiguiente, la ganancia en la banda de paso puede ser mucho menor que 16.

.fi

-~

1:1 •

.•..'¡ .

FIGURA 9.25 Gráfica de PSpice de larespuesta en frecuencia del ejemplo 9.7

I

j

I

I

Filtros pasabanda

de banda angosta

En la figura 9.26(a) se muestra la respuesta en frecuencia típica de un filtro pasabanda debanda angosta. Esta característica se puede deducir estableciendo un valor alto de Q parael filtro pasabanda mostrado en la figura 9.26(b). Este filtro utiliza sólo un amplificadoroperacional en el modo inversor. Ya que posee dos trayectorias de retroalimentación, también se conoce como filtro de retroalimentación múltiple. Con un valor bajo de Q, tambiénexhibe la característica de un filtro pasabanda de banda ancha.

En general, el filtro pasabanda de banda angosta también se diseña para valores específicos de fe y Q o fe y BW. El amplificador operacional, junto con C2 y R2, se puede considerar como un diferenciador inversor, de modo que Vo(s) = (- sC2R2) VxC.I\ el circuito del.filtro equivalente se muestra en la figura 9.26(c). La función de transferencia de la red defiltrado es

;Ii

!

L

Vo(s) (-I/R,C1)s

HBP(s) = V.(s) = 2 / / l/C) l/R R C CI S + (l R2)(l C1 + . 2 s + 1 2 1 2(9.65)

FIGURA 9.26 Filtro pasabanda de banda angosta

;,.•..

t;:~¡.~'t~

t

~!!j1~~~¡,~

CI

CI

Vi -

+


A fe tH tren Hz)

I ~~ I

o

0.707

446

(a) Característica de banda angosta (b) Filtro (c) Circuito equivalente

cuya forma es similar a la de la ecuación (9.60). (Véase el Probo 9.15 para la deducción.) .Con C¡ == C2 == C, la ecuación (9.65) proporciona lo siguiente

i\.

\I

1

(9.70)

(9.69)

(9.68)

(9.67)

(9.66)1

CYR1R2

Q .R =--

2 7TfCC

R·K == -l = 2Q2 (9.71)

PB ?R- 1

La resistencia R¡ puede ser remplazada por RA, y la resistencia RB puede ser conectada entre los nodos a y O, de modo que se satisfaga la especificación de diseño I HBP(jwd I ~

1 (o O dB) para la respuesta Butterworth. El método para calcular los valores de RA y RB

correspondientes a una reducción de ganancia de l/ KpB (= 1/2Q2) se explica en la sección 9.6.

Obsérvese que, de acuerdo con la ecuación (9.71), para un valor conocido de Q, el va

lor de KpB es fijo. Sin embargo, se pueden obtener dos valores diferentes de KpB y Q eligiendo un solo valor de RB sin que se cambie el valor de R l' El nuevo valor de la gananciaKpB está relacionado con 2Q2 por

1w -

C - YR¡R2C¡C2

Q=~ (R;2~R;

KpB (~C) = R/C¡

Las soluciones de estas ecuaciones dan los valores de los componentes:

KpB RB

2Q2 R) +RB

de donde el valor de RB es

R,KpBRB=--2--

2Q -KpB(9.72)

••

sIempre que2

KpB < 2Q (9.73)

Por otra parte, la frecuencia central fe se puede cambiar a un nuevo valor fe sin cambiar la ganancia en la banda de paso (o ancho de banda) tan sólo con cambiar RB a RB, demodo que

i'<~

~o,,

SECCIÓN 9,8 ~ FILTROS PASABANDA

(fe )2RB = RB fe

447

(9.74)

el407 nF

o,

1,

i:',1

'1

E}EMPL09.8rn

SOLUCIÓN

Diseño de un filtro pasabanda de banda angosta

(a) Diseñar un filtro pasabanda de banda angosta, como el de la figura 9.26(b), de modo que fe =1kHz, Q = 4 Y KpB = 8.

(b) Calcular el valor de RB requerido para cambiar la frecuencia central de 1 kHz a 1.5 kHz.

(e) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del filtro de paso de ban

da angosta diseñado en el inciso (a), de 100 Hz a 1 MHzo '.

(a) fe = 1 kHz y' Q = 4. Sea C¡ = C2 ='e .= 0~()o47·¡l,F.Yerificar' si se satisface la condición de la

ecuación (9.73). Es decir~. ~2 X 4-2.~ ~2~ él c~~lés\ih~~lor mayor que KpB = 8. Por tanto, sedebe usar RB en la figma9.26(b). Cori lasecuaciolles '(9:69);C9.70), (9.71) y (9.72), se obtiene

R ~ .,oQ:', ,:=' F_':'.~}-/"~{:'~;~o~:~~:'~" = 16.93 kn

::~!C:P:riii~F~~1{f~;98ill'¿¡ ,"' ~" l ',' ','. ,'.'''''0:':''-,'

R =: ,': Q,', ,~.-: ":/./ ;", 4 = 5 64 knB 27ifcC(2Q2 - KpB) 271'X 1 kHz X 0.0047 ¡.¡..FX (2 X 42 - 8) .

(b) De la ecuación (9.74), se ve que el nuevo valor de RÍl es

R' = R (fe)2 = 5.64 kn( 1 kHz )2~.02:51 k~B B fe 1.5 kHz , 00 o,

(c) En la figura 9.27 se muestra el filtropasabanda de banda angosta con los valores de diseño. Ellistado del circuito para la simulación con PSpice es el siguiente:

Ejemplo 9.8 Filtro pasabanda de banda angosta

VIN 1 O AC lV

Rl 1 2 l6.93K

Cl 2 3 O.0047UF

RB 2 O 5,64K

FIGURA 9.27 Filtro pasabanda de banda angosta para.la

simulación con PSpice

Rz,270.9kfi

3

r '.I

R¡

16.93 kfi 2

4

__ VEE

~± Vcc ~O

+ 15 V

j

---------•."1t;,j-7~

.¡~~

C2 2 6 0.0047UF

R2 3 6 270.9K

RIN 3 O 2MEG modelo lineal del amplificador operacional

ROUT 5 6 7S0HMS

EA 5 O O 3 2E+5

RL 6 O 20K


. PROBE

,END

CAPÍTULO 9 ~ FILTROS ACTIVOS448

La respuesta en frecuencia se muestra en la figura 9.28, de donde fe '" l kHz (el valor esperadoes 1 kHz) y KpB = 8.



1-

'-

~~. ~,.~


I• La característica pasabanda de banda ancha se obtiene poniendo en cascada un filtro pasaal

tas con un filtro pasabajas .• Un filtro pasabanda de banda angosta posee una frecuencia central claramente sintonizada,

y se puede realizar con sólo un amplificador operacional que funcione en modo inversor.

9.9Filtros de rechazo

de banda

El filtro de rechazo de banda atenúa las señales dentro de la banda de atenuación y deja pasar las que se encuentran fuera de esta banda. También se llama filtro de eliminación o supresión de banda. La función de transferencia de un filtro de rechazo de banda de segundoorden tiene la forma general

KpB(i + w~)H (s) = 2 (9.75)

BR i + (wc/Q)s + Wc

donde KpB es la ganancia de la banda de paso. Los filtros de rechazo de banda se clasificancomo supresores de banda ancha o supresores de banda angosta. En general, un filtro supresor de banda angosta se conoce como filtro de ranura. Debido a su Q más alto (> 10),el ancho de banda de un filtro supresor de banda angosta es mucho más pequeño que el deun filtro supresor de banda ancha.

Filtros supresoresde banda ancha

La característica en frecuencia de un filtro supresor de banda ancha se muestra en la figura9.29(a). Esta característica se obtiene agregando una respuesta pasabajas a una pasaaltas,como se muestra en la figura 9.29(b); la solución se obtiene sumando las respuestas de una

J..;' ..•.."

SECCIÓN 9.9 ~ FILTROS DE RECHAZO DE BANDA

FIGURA 9.29 Filtro supresor de banda ancha

1

449

I~;I

0.707

Banda

de paso

o

Banda suprimida

Banda

de paso

¡(en Hz)

0.707

o

I~;I

fH ¡(en Hz)

+ 0.707

o

I~;I

!L f(en Hz)

..•.

f' "o :.:ea'~ "' ..~ 'r-.

(a) Característica de ranura (b) Suma de las características pasabajas y pasaaltas

. f'

I

1.,.j

;1

EJEMPLO 9.9m

SOLUCIÓN

(c) Filtro

sección pasaaltas de primer orden (o de segundo orden) y de una sección pasabajas con unamplificador sumador. Esta configuración se muestra en la figura 9.29(c). El orden del filtro supresor de banda depende del orden de las secciones pasaaltas y pasabajas. Para obtener una respuesta de supresión de banda, la frecuencia de corte h del filtro pasaaltas debeser mayor que la frecuencia de corte fH del filtro pasabajas, Además, las ganancias en labanda de paso de las secciones pasaaltas y pasabajas deben ser iguales.

Diseño de un filtro supresor de banda ancha

(a) Diseñar un filtro supresor de banda ancha, como el de la figura 9.29(c), con h = 100 kHz,fH = 10 kHz y una ganancia en la banda de paso KpB = 4.

(b) Calcular el valor de Q para el filtro.

(c) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado en elinciso (a) de 10 Hz a 10 MHz.

(a) En el ejemplo 9.7 se diseñó un filtro pasabanda de banda ancha con h = 10kHz y fH = I MHz.En este ejemplo, h = 100 kHz y fH = 10 kHz. Es decir, h > fH• Sin embargo, se pueden seguirlos pasos de diseño del ejemplo 9.7 para determinar los valores de los componentes, siempre que seintercambien las secciones pasaaltas y pasabajas. Por tanto, para la sección pasaaltas h = 100 kHz,e = 100 pF YR = 15.915 kU y para la sección pasabajas fH = 10 kHz, C' = 1 nF y R' = 15.915kil. Para una ganancia en la banda de paso KPB = 4, usar R¡ = R; = 10 kil YRF = RF = 30kil.

'"' _ ..._- ---------_._---------------------

"¡

Para el amplificador sumador, establecer una ganancia de l. Seleccionar R2 == R3 == R4 == 10 kil.(b) De la ecuación (9.62),

fe == VIO kHz x 100 kHz == 31.623kHz, ,o;",

450 CAPÍTULO 9 FILTROS ACTIVOS

y BW == 100 kHz - 10kHz == 90 kHz

De la ecuación (9.61), se obtiene

Q == 31.623 kHz/(lOO kHz - 'lO kHz) == 0.351

(e) En la figura 9.30 se muestra el circuito para la simulación con PSpice del filtro supresor de banda ancha. El listado del circuito es el siguiente:

Ejemplo 9.9 ·Filtro supresor de banda ancha

VIN 1 O AC IV

RI O 4 10K

RF 4 5 30K

RIP 7 O 10K

RFP 7 6 30K

C 1 3 100PF.

R 3 O 15916

RP 1 2 15916

CP 2 O 1NPF

R2 5 8 10K

R3 6 8 10K

R4 8 9 10K

Xl 4 3 5 O OPAMP Invoca al subci¡¡cuito del amplificador operacionalX2 7 2 6 O OPAMP

X3 8 09 O OPAl1P

.SUBCKT OPAMP 1 2 3 Definici6n del subcircuito del amplificador operacionalvi- vi+ vo+ vo-

.,-

~:{•. '~,~

RIN 1 2 2MEG

ROUT 5 3 750HMS

EA 5 4 2 1 2E+5

.ENDS

+Vcc

J±: 15V ~+ VEE· o_ 15V ."'

5

3

FIGURA 9.30 Filtro supresor de banda ancha para la simulación con PSpicee

100 pF

66

.AC DEC 100 100HZ 10MEGHZ

. PROBE

.END

SECCIÓN 9.9 ~ FILTROS DE RECHAZO DE BANDA 451

(9.76)

~ .. ~~.~"

Filtros supresores

de banda angosta

La respuesta en frecuencia se muestra en la figura 9.31, donde se observa que fe = 31.376 kHz(el valor esperado es 31.623 kHz) y KpB = 4 (el valor esperado es 4).

FIGURA 9.31 Gráfica de PSpice derespuesta en frecuencia del ejemplo 9.9

En la figura 9.32(a) se muestra la respuesta en frecuencia de un filtro supresor de banda an

gosta. Este filtro, a menudo llamado filtro de ranura, ep general se utiliza en instrumentosde comunicación y biomédicos para eliminar frecuencias indeseables, tales como la inter

ferencia de las líneas de transmisión de energía eléctrica de 60 Hz. En general como filtrode corte se utiliza una red en T gemela, compuesta de dos redes en T, como se muestra enla figura 9.32(b). Una red se compone de dos resistores y un capacitar; la otra, de dos capacitores y un resistor: Para aumentar el factor de calidad Q de una red en T gemela, ésta

se utiliza junto con un seguidor de voltaje. Se puede demostrar [7] que la función de trans

ferencia de una red en Tgemela está dada por7 7

KpB(S~ +w~)HNF(s) = 7 2

s- + (wo/ Q)s + Wo

donde

Wn - I/RC

w() = 1/v'3RCQ = V3j4KpB = 1

FIGURA 9.32 Filtro supresor de banda angosta

I~I1--

0.707 -

o./H k: A nen Hz)

+\'¡ -

R¡ = R

C¡ = C

RR. =.' ,

C, = C

+

(a) Característica de supresión de banda angosta (b) Filtro

----_--L. :c',.__. .. • .

Por consiguiente, la frecuencia de supresión de ranura, que es la frecuencia a la cual ocurre la máxima atenuación, está dada por

Diseño de un filtro de ranura

(a) Diseñar un filtro de ranura, como el de la figura 9.32(b), con iN = 60 Hz.

(b) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado en elinciso (a) de l Hz a 1kHz.

(9.77)

FILTROS ACTIVOSCAPÍTULO 9

EJEMPLO 9.10m

452

un resistor estándar de 59 kil,

0% de tolerancia)

dos resistores de 59 kil en paralelo)

dos capacitores de 0.047 fLFen paralelo)

SOLUCIÓN (a) iN = 60 Hz. Elegir un valor de C menor o igual que l f-lF; sea C = 0.047 f-lF.Entonces, de acuerdo con la ecuación (9.77),

lR = --. = -------- = 56.44 kil

27r!NC 27r X 60 Hz X 0.047 fLF

R3 = R/2 = 28.22 kil

C3 = 2C = 0.094 fLF

(b) En la figura 9.33 se muestra el circuito del filtro de ranura para la simulación con PSpice. El listado del circuito es el siguiente:

Ejemplo 9.10 Filtro de ranura

VIN 1 O AC IV

Rl 1 2 56.44K

R2 2 4 56.44K

R3 3 O 28.22k

Cl 1 3 0.047UF

C2 3 4 0.047UF

C3 O 0.094UF

RL O 20K

Xl 5 4 5 O OPAMP

.SUBCKT OP.~P 1 2 3

Invoca al subcircuito del amplificador operacional

Definición del circuito del amplificador operacional

vi- vi+ vo+ vo-

RIN 1 2 2MEG

ROUT 5 3 750HMS

EA 5 4 2 1 2E+5

FIGURA 9.33 Filtro supresor de banda ancha para la simulación con PSpice

R¡R2

56.44 kíl256.44 kíl

4+

1 C¡ C2 Vcc0.047 floF

0.047 floF

~

3

+

+ VEE O

Vs _

R3 C3_ 15 V

1 V_

28.22 kíl0.094 floF

i

O

La respuesta en frecuencia del filtro se muestra en la figura 9.34, donde se observa que iN =o

60.9 Hz (el valor esperado ~s 60 Hz) y KpB =o l (el valor esperado es 1).

SECCIÓN 9.10 ~ FILTROS PASATODAS

.ENDS

.AC DEC 1001HZ 1KHZ

. PROBE

.END


respuesta en frecuencia del ejemplo 9.10'. "

..i,_,

453

L

<l·>~ ASPECTOS PRINCIPALES DE LA SECCIÓN 9.9

j

:j

• La característica de supresión de banda anchase obtiene agregando la salida de un filtro pa

sabajas a la de un filtro pasaaltas ~ediañte un iunplificador sumador.• El filtro supresor de banda angosta posee una frecuencia de supresión claramente sintoniza

da, y se logra con sólo un amplificador operacional que funcione en el modo no inversor.

.- ..._~~--------------~---_.__ ._--._--_._---~---------------------------~--~

(9.79)

(9.78)

2

Vo(s) = - Vi (s) + 1 + sRC V¡(s)

de donde da la ganancia en voltaje es

Vo(s) 1 - sRC

H(s) = V(s) = 1 + sRC1

Un filtro pasatodas deja pasar todQs los componentes de frecuencia de las señales de entrada, sin atenuación. Sin embargo, este filtro produce corrimientos en fase predecibles paralas diferentes frecuencias de las señales de entrada. Las líneas de transmisión (por ejemplo,los cables telefónicos) en general introducen cambios de fase en las señales; para compensar estos cambios de fase comúnmente se utilizan filtros pasatodas. El filtro pasatodas también se conoce como ecualizador de retraso o corrector de fase.

En la figura 9.35(a) se muestra la característica de un filtro pasatodas; en la figura9.35(b) se muestra el diagrama del circuito. El voltaje de salida en el dominio de Laplacepuede obtenerse con el teorema de superposición:

RF l/sC ( RF)V (s) = -- V.(s) + 1 + - V¡(s)

o R 1 1 R + 1/sC R 1

Si se supone que RF = R¡, la ecuación (9.78) se reduce a

9.10Filtros pasa todas


Al sustituir s = jw en la ecuación (9.79), se abtiene la magnitud de la ganancia en valtajecama

IH(jw)! = 1

y el ángulo. de fase c/> cama

c/> = -2 tan-1 (wRC) = -2 tan-I (27TjRC) (9.80)

La ecuación (9.80) indica que, para valares fijas de R y C, el ángulo. de fase c/> cambia de °a-180°, canfarme la frecuencia f de la señal de entrada cambia de O a oo. Par ejemplo., siR = 21 k.fl Y C = 0.1 f.LF, se abtiene c/> = -64.4° a 60 Hz. Si se intercambian las pasicianes de R y C, el carrimiento en fase c/> es pasitiva. Es decir, la señal de salida se adelanta ala señal de entrada.

FIGURA 9.35. , Filtro pasatodas

·r..• ¡.J

¡~:.;

~:r,. ~-,:-:;;;:._- •..

, '.1.[',' :".

,,,11,

j

11

• Un filtro pasatodas no produce ninguna atenuación en la ganancia, pero introduce cambios

de fase predecibles para las diferentes frecuencias de las señales de entrada.

v

c/J = 90°

(a) Característica pasatodas

ASPECTO PRINCIPAL DE LA SECCIÓN 9.10

wt

+

R

e

(b) Filtro ~

~4~(~'~~)~

í\

9.11Filtros de capacitar

canmutada

Resistares de

capacitar canmutada

Las filtras de capacitar canmutada utilizancapacitares en circuitas integradas e interruptares MOS para simular resistores. Las frecuencias de carte san proparcianales a la frecuencia del relaj externa, y quedan determinadas par ésta. Además, la frecuencia de cartea central se puede programar para que se reduzca dande quiera, dentro de un ranga extremadamente amplió de frecuencias (por la general, un ranga de más de 200,000: 1). Las filtras de capacitar canmutada cada vez san más papulares, puesta que no. requieren campa

nentes reactivas externas, capacitar~s a inductares. Ofrecen las ventajas de baja casta,pacos campanentes externas, gran exactitud y excelente estabilidad can respecta a la temperatura.'Na abstante, generan más ruido. que las filtros activas estándares.

En tadas las filtras hasta ahara analizadas, se canectaron resistares y capacitares discretasa una a más amplificadores aperacianales para abtener las frecuencias de carte y la ganancia en valtaje deseadas. En las circuitas integradas se evita el usa .de resistares para reducir el tamaño. del circuito.; en su lugar, se simula su campartamienta mediante interruptaresactivas. En general, el resistar es simulada par un capacitar e interruptares. El valar de este resistor simulado es inversamente praporcianal a la rapidez can la que las interruptaresse abren y se cierran.

Cansidérese un capacitar con das interruptares, cama se muestra en la figura 9.36. Dehecha, las interruptares san transistares MOS que se abren' y se cierran alternadamente.Cuando. S 1 se cierra y S2 se abre, se aplica el valtaje de entrada al capaci tar. Par cansiguien-te, la carga tatal en el capacitor es .

I'.

'f

(9.81) .

FIGURA 9.36

Resistor de capacitorconmutado

SECCIÓN 9.11 ~ FILTROS DE CAPACITOR CONMUTADO 455

(a) Circuit(l • (b) Circuilo equivalente

(9.82)

Cuando S 1 se abre y S2 se cierra, la carga q fluye'~ tierra. Si los. inrerruptores son ideales (es decir, que se abren y se cierran instántáneamente, y tienen resistencia cero cuandoestán cerrados), el capacitar C se carga y se descarga d~ manera instantánea. La corriente

de carga ¡ent Y la corriente de descarga ¡sal dei capacitar se muestran en la figura 9.37. Silos interruptores se abren y se cierran con mayor rapidez, los impulsos de corriente son dela misma magnitud y ocurren más a menudo. Es decir, la corriente promedio aumenta sitambién lo hace la velocidad de conmutación. La corriente promedio que fluye por el capacitar de la figura 9.36 es

q V¡C1 =-=-

prom T T

= V¡Cfreloj

donde q = carga del capacitar

FIGURA 9.37Corriente de entrada

y de salida de un

resistor de capacitorconmutado

T = tiempo entre los cierres de SI o los cierres de S2' en segundos

freloj = 1fT = frecuencia del reloj, en Hz

La resistencia equivalente vista por el voltaje de entrad~ es

V V. lR = _1- = ---.J..-.. = --

/prom V¡Cfreloj Cfreloj

Aprendido

Apagado

(a) SI prendido (l apagado

(9.83)

Aprendido

Apagadot (in s)

(b) S2 prendido o apagado

t (in s)

(c) Corrienle de carga

-.\ Ii~~~t (in s)

(d) Corriente de descarga

.08846----- - - ------ -----_._-----_.-


la cual indica que el valor de R es una función de e y freloj. Para un valor fijo de e, el valor de R se puede ajustar si se ajusta freloj. Por consiguiente, el resistor de capacitar conmutado, también conocido como resistor ajustable por reloj, se puede construir en forma decircuito integrado con un capacitar y dos interruptores MOS. Obsérvese que cualquier cam

bio en Vi debe ocurrir a una velocidad mucho menor que freloj' sobre todo cuando Vi es unaseñal de ca.

In tegra do res de

capacitor conmutado

Se puede usar un resistor simulado como parte de un circuito integrado para formar un in

tegrador de capacitar conmutado, como se muestra en la figura 9.38. Los interruptores SIY S2 nunca deben cerrarse al mismo tiempo. Eso significa que la forma de onda del reloj

q\}e excita a los interruptores MOS no debe traslaparse, si el filtro ha de funcionar correctamente.

•Elfiltro universal combina muchas características en un amplificador operacional, y se pue-de usar para sintetizar cualquiera de los tipos normales de filtro: pasabanda, pasabajas,pasaaltas, de ranura y pasatodas. Los filtros universales están disponibles comercialmente(por ejemplo, el tipo FLT-U2 fabricado por Datel-Intersil). El filtro de capacitar conmutado es un tipo de filtro activo universal. Tiene las características de un filtro de segundoorden, y se puede poner en cascada para obtener pendientes de atenuación muy inclinadas.La figura 9.39 presenta el diagrama de bloques de los circuitos internos del MF5 de

National Semiconductor. El filtro básico se compone de un amplificador operacional, dosintegradores positivos y un nodo sumador. Un interruptor MOS, controlado por un voltaje

lógico en la terminal 5 (S A)' conecta una de las entradas del primer integrador ya sea a tie-

FIGURA 9.38Integrador de capacitor

conmutado

Filtro universal de

capacitor conmutado

+Vi -

-ICllt

'hRe;:o __~~r ~ I(ens)1e e

+

I

l

FIGURA 9.39 Filtro monolítico universal de capacitor conmutado MF5 (Cortesía de National

Semiconductor, Inc.)

14

LPBP

I

Ir

r

r 5 12

~SA INVz

N/APfHP SI

2

+

Control ;.

Reloj notraslapante

3

AGND

CLK

LSh

50/100

•...•....--~-----------------------------------------------_.-_.' .. _- --

Diseño de un filtro Butterworth de segundo orden con un filtro universal Con el MF5, diseñar

un filtro Butterworth pasabajas de segundo orden, con una frecuencia de corte de 1 kHz y una ganancia en la banda de paso de -4. Suponer una fuente de alimentación de ±5 V y un reloj CMOS.

Paso 1. Elegir el modo en el que el filtro MF5 va a funcionar. Seleccionar el modo más simple: elmodo 1, el cual tiene una salida pasabajas, pasabanda y de ranura, e invierte la polaridad de la señalde salida.

Paso 2. Determinar los valores de los resistores externos. El MF5 requiere tres resistores externos

para fijar Q y la ganancia del filtro. Los resistoresexternos se conectan como se muestra en la figu

ra 9.40. Para el modo 1, la relación entre Q, KLP Y los resistores externos viene en la hoja de datos(en la que sólo se muestran tres de los seis modos posibles) como

457~ FILTROS DE CAPACITaR CONMUTADO

Q = :~ = ~3 (9.84)z

RzK = -- (9.85)

LP R¡

En este modo, la impedancia de entrada del filtro es igual a R l' puesto que la señal de entrada se apli

ca a INV (terminal 3) a través de R l' Para generar una impedancia de entrada más o menos alta, seaR 1 = 10 kÜ. De la ecuación (9.85), se obtiene

Rz = -KLpRl =: -(-4) X 10kÜ = 40 kÜ

rra o a la salida del segundo integrador, lo que permite una mayor flexibilidad en la aplicación. El MF5 incluye una terminal (9) que establece la relación de la frecuencia del reloj

(freloj) respecto de la frecuencia central (fe) como 50: 1 o 100: 1. La frecuencia de reloj máxima recomendada es de 1 MHz, lo que da por resultado una frecuencia central máxima de

20 kHz con una relación de 50:10 10 kHz con una relación de 100:1, siempre que el producto Qf C sea menor que 200 kHz. Se dispone de un amplificador operacional extra nocomprometido, para el procesamiento adicional de las señales. Una característica muy conveniente del MF5 es que f o se puede controlar independientemente de Q y de la gananciaen la banda de paso. Sin que se vean afectadas las demás características, se puede sintoni

zar fo simplemente con variar freloj' La selección de los valores de los resistores externoses muy simple, de modo que el procedimiento de diseño es mucho más fácil que en el casode filtros activos Re normales.

SECCIÓN 9.11

SOLUCIÓN

EJEMPLO 9.11m

FIGURA 9.40 MF5 configurado como filtro pasabajas de segundo orden

R)28.28 k!1

BP LP~'siJlR2 40k!1

N V02

RI

NC

RL10k!1

INV¡INV23

12NC

SI

AGND4

MF511

V_

-VEE=-5V10Vcc = +5 V

501100'9 C2

elL ShCLK

IOW0.1 fLF 178

JUl..f50 kHz,- :!:5V-

(9.86)

458

9.12Recomendaciones

para el diseño de

filtros


Para un filtro Butterworth pasabajas de segundo orden, Q = 0.707. Por consiguiente, la ecuación(9.84) da

R3 = QR2 = 0.707 X 40 kíl = 28.28 kíl

Paso 3. Eligir las fuentes de alimentación y completar sus conexiones. En vista de que requiere una

fuente de alimentación de :!:5 V, V+ (terminal 6) se conecta a +5 V, V_ (terminal 10) se conecta a-5 V,YAGND (terminal 11) se conecta a tierra. Para elimÍnar cualquier rizo, se conectan dos capacitores de 0.1 IJ.F a través de las fuentes de alimentación.

Paso 4. Seleccionar la frecuencia del reloj freloj' La 50/100 (terminal 9) se debe conectar a V+ (terminal 6) para obtener una relación 50: loa V_ (terminal 10) para una relación de 100: l. Seleccionar

una relación frelOj respecto de fa de 50: 1. Eso significa que la 50/100 (terminal 9) se debe conectar

a V+ (terminal 6). Como la frecuencia de corte es de 1kHz, la frecuencia del reloj externo es freloj =50 X 1 kHz = 50 kHz.

Paso 5. En el caso de un reloj CMOS, la terminal7(L Sh) se debe conectar a tierra (terminal 11). El

filtro pasabajas SA (terminal 5) se conecta a V+ (terminal 6), y SI (terminal 4) se conecta a tierra (terminal 11).

En la figura 9.40 se muestra el circuito completo para el filtro pasabajas de segundo orden.

ASPECTO PRINCIPAL DE LA SECCIÓN 9.11

• Los filtros de capacitor conmutado utilizan capacitores en interruptores MOS en el circuito

integrado para simular resistores. Las frecuencias de corte dependen de la frecuencia de unreloj externo. Además, la frecuencia de corte o central se puede programar para quedar comprendida dondequiera dentro de un rango extremadamente amplio de frecuencias.

El diseño de filtros requiere la selección de los valores de R y e, que satisfagan dos requisitos: el ancho de banda y la ganancia. Normalmente se requieren más de dos resistores ycapacitores, y el diseñador tiene que proponer los valores de algunos de ellos, Tazón por laque no hay una solución única al problema. Las recomendaciones generales para el diseñode un filtro activo son las siguientes:

Paso 1. Decidir las especificaciones de diseño, las cuales pueden incluir las frecuencias

de corte h y fH, la ganancia en la banda de paso KpB, el ancho de banda BW, el factor deamortiguamiento S = 0.707 para una respuesta plana, I H(jwo) I = 0.707 Y I H(jO) I = l.Paso 2. Proponer un valor adecuado para el capacitor. Los valores recomendados de e vande 1 ¡J.F a 5 pE (Se recomiendan capacitores de Mylar o tantalio, porque tienen un mejordesempeño respecto de otros tipos de capacitores.)

Paso 3. Habiendo propuesto el valor del capacitor, determinar el, valor del resistor que satisfará el requisito de ancho de banda o de frecuencia.

Pasó 4. Si el valor de R no queda comprendido dentro del rango práctico de 1 k!1 a500 k!1, elegir un valor diferente de C.

Paso 5. Determinar los valores de las demás resistencias que satisfagan los requisitos de

ganancia y que queden comprendidos dentro del rango de l k!1 a 500 k!1.

Paso 6. De ser necesario, cambiar la frecuencia de corte del filtro. El procedimiento paraconvertir la frecuencia de corte original f o en la nueva frecuencia de corte f n' se llama es

calamiento enjrecuencia. Se logra multiplicando el valor de R o e (pero no ambos) por larelación de la frecuencia original f o respecto de la nueva frecuencia de corte f n' El nuevovalor de R o e se obtiene de

Frecuencia de corte original foR(o e ) = ---------R (o C)n n Frecuencia de corte nueva fn

." l·

.~j,

~,~,~

:[

• El diseño de filtros implica la selección de los valores de R y C para satisfacer las especificaciones de ancho de banda y ganancia en cd. Normalmente, se utilizan más de dos resisto

res y capacitores, y se deben suponerIos valores de algunos de ellos (normalmente, C). Noexiste una solución única a un problema de diseño .

• Una vez que el filtro se ha diseñado para una frecuencia de corte dada, se pueden determi

nar nuevos valores de R y C multiplicando el valo~ de I? o C (pero no am\:Jos) por la relación

de la frecuencia original f o respecto de la nueva frecuenG!a de corte! n:'". .:

Los filtros activos ofrecen muchas ventajas, comparadas con los filtros pasivos': Los diversos tipos de

filtros activos (pasabajas, pasaaItas, pasabanda, supresores de banda y pasatodas) se basan en las ca

racterísticas en frecuencia. El filtro de segundo orden posee una banda de atenuación bien definida,y se prefiere en lugar de uno de primer orden. El filtro pasatódás produce un corrimiento en fase proporcional a la frecuencia de la señal de entrada.

Los filtros universales son muy populares por su flexibilidad para sintetizar características en

frecuencia, con una exactitud muy alta. El filtro de capacitor conmutado es. un filtro de tipo universal que utiliza capacitores en interruptores MOS en un circuito integrado para simular resistores. Sufrecuencia de corte es proporcional a la frecuencia del reloj externo, y queda determinada por ésta.


459RECOMENDACIONES PARA EL DISEÑO DE FILTROSSECCIÓN 9.12

Resumen

:1

;/

~I,1

'1

II

!-¡

3.

4.

5.'

M. E. Van Valkenburg, Analog Pilter Design. Nueva York: CBS College Publishing, 1982.

R. Schaumann, M. S. Ghausi y K. R. Laker, Design of Analog Filters-Passive, Active RC, and Switched Capacitar. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc., 1990 .•W. K. Chen, Passive and Active Filters-Theory and lmplementation. Nueva York: John Wiley andSons, 1986.

M. H. Rashid, SPICE for Circuits and Electronics Using PSpice. Englewood Cliffs, NJ: PrenticeHall, Inc., 1995, capítulo 10.

. R. A. Gayakwad, Op-Amps and Linearlntegrated Circuits. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, lnc.,1993. .

6. L. P. Huelsman y P. E. Allen, lntroduction to the Theory and Design of Active Pilters. Nueva York:McGraw-Hill, lnc., 1980.

7. G. C. Temes y L. Lapatra, lntroduction to Circuir Synthesis and Design. Nueva York: McGraw-Hill,lnc., 1977.

1.

2.Referencias

Preguntas

de repaso

l.2.

3.

4.

5.

6.

7.

8..9.

10.

11.

12.

13.

·14.

15.

¿Qué es un filtro activo? ' ;

¿Cuáles son las ventajas de los filtros activos, comparados con los pasivos?

¿Cuáles son los tipos de filtros activos?

¿Qué son la banda de paso y la banda de atenuación de un filtro?

¿Qué es una frecuencia de corte? '. '\

¿Qué es la respuesta Butterworth de un filtro?

¿Cuáles son las diferencias entre los filtros de primero y segundo órdenes?

¿Qué es el escalamiento en frecuencia de los filtros?

¿Qué es un filtro de ranura?

¿Qué es una frecuencia de supresión de ranura?

¿Qué es un filtro pasatodas?

¿Qué es un filtro universal?

¿Qué es un resistor de capacitor conmutado?

¿Qué es un filtro de capacitor conmutado?

¿Qué es un resistor ajustable por reloj?

460

Problemas

mm 9.1

9.2

mm

9.3

mm

9.4

mm

9.5

mm

9.6

m 9.7


El símbolo m indica que se trata de un problema de diseño. El símbolo m indica que la soluciónal problema se puede verificar con PSpice/SPICE o con Electronics Workbench. Para la simu

lación con PSpice/SPICE, suponga amplificadores operacionales de parámetros R¡ = 2 Mn, Ro =75 n y Ao = 2 X 105.

~ 9.6 Filtros pasabajas

Diseñe un filtro pasabajas de primer orden, como el de la figura 9.5(b), con una frecuencia de corte

baja f o = 2 kHz y una ganancia en la banda de paso de l. Si la frecuencia deseada se cambia a f n =1.5 kHz, calcule el nuevo valor de Rn.

Deduzca la función de transferencia H(s) de la red de la figura 9.8(d).

Diseñe un filtro pasabajas de segundo orden, como el de la figura 9.9, con una frecuencia de corte ba

ja fo = lO kHz, una ganancia en la banda de paso K = 5 Y Q = 0.707, l e DO.

Diseñe un filtro Butterworth pasabajas de segundo orden, como el de la figura 9 .12(c), con I H(jwo) I= I (o O dB), una frecuencia de corte fo = 10 kHz, y una Q = 0.707.

Diseñe un filtro Butterworth de segundo orden, como el de la figura 9.9, con IH(jO) I = l (o O dB),

una frecuencia de corte fo = 10 kHz y una Q = 0.707.

Diseñe un filtro Butterworth pasabajas de tercer orden, como el de la figura P9.6, con una frecuencia

de corte alta fo = lO kHz y una ganancia en la banda de paso de lO. La función de transferencia tiene la forma general

IOw3H (s) = o ?

3 s3 + 2w i + 2w-s + w3o o o

FIGURAP9.6

Rf

e

Diseñe un filtro Butterworth pasabajas de cuarto orden, como el de la figura P9.7, con una frecuen

cia de corte alta f o = 10kHz y una ganancia en la banda de paso de 25. La función de transferenciatiene la forma general

25w4

H4(s) = o(s2 + V2wos + w~)2

FIGURAP9.7

Rf

e;

+

Diseñe un filtro pasaaltas de primer orden, como el de la figura 9.15(b). que tenga una frecuencia decorte baja fe = 400 Hz y una ganancia en la banda de paso K = 2. Si la frecuencia deseada se cambia a f n = 1kHz, calcule el nuevo valor de Rn.

Diseñe un filtro pasaaltas de segundo orden, como el de la figura 9.17, que tenga una frecuencia decorte baja fe = 2 kHz y una ganancia en la banda de paso de 2. Si la frecuencia deseada se cambiaa fn = 3.5 kHz, calcule el nuevo valor de Rn.

Diseñe un .filtro Butterworth pasaaltas de segundo orden, como el de la figura 9.20( c), con IH(joo) I= 1 (o O dB), una frecuencia de corte fe = 10 kHz y Q = 0.707.

Diseñe un filtro Butterworth pasaaltas de segundo orden, como el de la figura; 9.20( c). con I H(jwe) I =l (o O dB), una frecuencia de corte fe = 10 kHz y Q = 0.707.

Diseñe un filtro Butterworth pasaaltas de tercer orden, como el de la figura P9.12, que tenga una fre

cuencia de corte baja fe = 10 kHz y una ganancia en la banda de paso de 10..La función de transferencia tiene la forma general

IiJm 9.10

IiJm 9.11

IiJm 9.12

CAPÍTULO 9 ~ PROBLEMAS

~ 9.7 Filtros pasaaltas

461

lOS3

H3(s) = 3 2 2 3s +2ws +2ws+wo o o

FIGURA P9.12

~ 9.8 Filtros pasabanda

Diseñar un filtro pasabanda de banda ancha con h = 400 Hz, fH = 2.kHzy una ganancia en la ban

da de paso KpB = 4. Calcule el valor de Q para el filtro.

Diseñe un filtro pasabanda de banda ancha con h = 1kHz. fH = 10 kHz y una ganancia en la ban

da de paso KpB = 20. Calcule el valor de Q para el filtro.

Deduzca la función de transferencia H(s) de la red de la figura 9.26(c).

Diseñe un filtro pasabanda, como el de la figura P9.16, que tenga fe = 5 kHz, Q = 20 Y KpB = 40.

FIGURA P9.16

+

:7 I ••

.~

rlJ. . .._.._.....~_.._~_~~

462

.:-, ~'fjJm

9.18

mm

9.19

mI])

9.20

9.21mm

9.22

CAPÍTULO 9 • FILTROS ACTIVOS

(a) Diseñar un filtro pasabanda de banda angosta, como el de la figura 9.26(b), de modo que fe =2 kHz, Q = 20. Y KpB = 10. , .

(b) Calcule el valor.de RB requerido para cambiar la frecuencia central, de 2kHz a 5.5 kHz.

~ 9.9 Filtros de rechazo de banda

Diseñe un filtro supresor de banda ancha como el de la figura 9.29(a), qu~;tknga las siguientes características fH = 40.0.kHz,fL = 2 kHz y KpB = !O. Calcule el valor de Q para el filtro.

Diseñe un filtro supresor de banda ancha con una rapidez de atenuación de 40. dB/década, con las si

guientes características: fH = 400 kHz, h= ~kHz y y KpB = 40.,Diseñe un filtro activo, de ranura como el de la figura 9.32(b), con fN = 100 Hz.

Deduzca la función de transferencia R(s) de la 'red de la figura 9.32(b).

Diseñe un filtro activo, de ranura como el de la figura P9.22, con fN = 400 Hz y Q = 5.

FIGURA P9.22

+Vi -

..•.

+

.<

,~ '~,~:.:)

9.23

9.24

~ 9.10 Filtros pasa todas

Diseñe un filtro pasatodas, como el de la figura 9.35, de modo que el corrimiento en fase sea 4> =::t: 1500 a 60 Hz. .;

Utilizando el MF5, diseñe un filtro Butterworth pasabajas de segundo orden con una frecuencia de

corte de 2 kHi Y una ganancia en la banda de paso de -2. Suponga unafuen,te pe alimentación de::t:5.y y un reloj CMOS.

---_ .. _-- --

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