FICHA N°8: orden y comparación en Objetivo: comprender el ... · no tiene al 8 como factor (no...

OCTAVO 2020

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

En ℚ existe una relación de orden, es decir, dos números racionales 𝑎

𝑏 𝑦

𝑐

𝑑 cumplen una y solo una de las

siguientes relaciones:

𝑎

𝑏<

𝑐

𝑑

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

𝑎

𝑏>

𝑐

𝑑

Utilizando esta relación, los números racionales se pueden ordenar y comparar. Para ello, se pueden emplear fracciones equivalentes (amplificando o simplificando) con el fin de igualar los denominadores o sus representaciones en la recta numérica. EJEMPLOS: Comparar y ordenar números racionales.

Se adjunta un link que ayuda a comprender la situación:

Nombre del video: “ORDENAR CUATRO FRACCIONES EN FORMA DESCENDENTE”, de julio profe.

https://www.youtube.com/watch?v=kTmvME9DK2M

EJERCICIOS: Recordatorio: el mínimo común múltiplo (mcm), se obtiene de las tablas de multiplicar de cada número. Ejemplo: mcm(3) Su tabla es la siguiente, solo se anotarán algunos, para hacer la referencia:

𝟑 ∙ 𝟏 = 𝟑 𝟑 ∙ 𝟐 = 𝟔 𝟑 ∙ 𝟑 = 𝟗

𝟑 ∙ 𝟒 = 𝟏𝟐 𝟑 ∙ 𝟓 = 𝟏𝟓 𝟑 ∙ 𝟔 = 𝟏𝟖 𝟑 ∙ 𝟕 = 𝟐𝟏 𝟑 ∙ 𝟖 = 𝟐𝟒

Entonces, el 𝒎𝒄𝒎(𝟑) = {𝟑, 𝟔, 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖, 𝟐𝟏, 𝟐𝟒, … } 1. Analiza cada par de números. Luego, escribe >; < 𝑜 = según corresponda.

a) 1

2

50

100

FICHA N°8: orden y comparación en ℚ

Objetivo: comprender el orden de los números racionales

Nombre: Fecha: Curso:

=

Explicación 50

100=

1⋅50

2⋅50=

1

2 así,

1

2=

1

2

https://www.youtube.com/watch?v=kTmvME9DK2M

OCTAVO 2020


b) −9

15 −

3

5

c) 7

9

4

7

d) −2

9 −

3

11

e) 41

5

22

5

f) −4

5 −

8

3

=

>

<

>

>

Explicación

−3

5=

−(3⋅3)

9⋅3=

−9

15, se amplificó la fracción, para que los denominadores sean iguales, así

−9

15=

−9

15.

(Igualmente se puede hacer el proceso de simplificación con la fracción −9

15 )

Explicación 7

9,

4

7, tienen diferente denominador, así que se amplificarán para igualarlos.

𝑚𝑐𝑚(7) = {7,14,21,28,35,42,49,56,63 … } y 𝑚𝑐𝑚(9) = {9,18,27,36,45,54,63 … }, el primer factor que se repite es el 63, entonces, ese será el m.c.m entre el 6 y el 7.

a) 7∙7

9∙7,

4∙9

7∙9→

49

63,

36

63 ahora que los denominadores son iguales (63), entonces comparamos los numeradores, el

49 es mayor que 36, por lo tanto, 49

63>

36

63→

7

9 >

4

7

Explicación

−2

9, −

3


𝑚𝑐𝑚(9) = {9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99 … } y 𝑚𝑐𝑚(11) = {11,22,33,44,55,66,77,88,99 … }, el primer factor que se repite es el 99, entonces, ese será el m.c.m entre el 9 y el 11.

b) −2∙11

9∙11, −

3∙9

11∙9→ −

22

99, −

27

99 ahora que los denominadores son iguales (99), entonces comparamos los

numeradores, el -27 es menor que -22, por lo tanto, −22

99= −

27

99 → −

2

9> −

3

11

Explicación Primero hay que transformar el número mixto a fracción impropia para facilitar la situación.

41

5=

(4 ∙ 5) + 1

5=

21

5

21

5,

22

5, tienen igual denominador, así que solo comparamos los numeradores. Como 21 es menor que 22, se

tiene que, 41

5<

22

5→

21

5<

22

5

Explicación

−4

5, −

8


𝑚𝑐𝑚(5){5,10,15,20,25 … } y 𝑚𝑐𝑚(3) = {3,6,9,12,15 … }, el primer factor que se repite es el 15, entonces, ese será el m.c.m entre el 5 y el 3.

c) −4∙3

5∙3, −

8∙5

3∙5→ −

12

15, −

40

15 ahora que los denominadores son iguales (15), entonces comparamos los

numeradores, el -12 es mayor que -40, porque el -12 está más cerca del cero, por lo tanto,

−12

15, −

40

15→ −

4

5> −

8

3

OCTAVO 2020


2. Ordena los grupos de números racionales de acuerdo al criterio dado.

Explicación

1) −4

5,

1

2,

3

8, −

2

6, −

4

8, se observa que las fracciones tienen diferente denominador, excepto dos de ellas (

3

8, −

4

8), pero el 5

no tiene al 8 como factor (no está en su tabla de multiplicar), entonces para determinar un denominador común en

este caso, hay tres caminos, uno es multiplicar los denominadores entre sí, determinar el mcm (5,2,8,6), o bien,

determinar el mcm mediante el método de la división por números primor

Camino 1 (denominador común): 5 ∙ 2 ∙ 8 ∙ 6 ∙ 8 = 3840

Camino 2 (mcm(5,2,8,6)):

𝑚𝑐𝑚(5) = {5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,70,80 … }

𝑚𝑐𝑚(2) = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38 … 76,78,80 … }

𝑚𝑐𝑚(8) = {8,16,24,32,40,48,56,64,72,80 … }

𝑚𝑐𝑚(6) = {6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84 … }

Si observan bien, este camino es muy largo, ya que vamos en 80, y aun no hay un mcm entre los números, asi que en este

caso no es viable este camino, ya que es muy largo.

Camino 3 (mcm por medio de la división por números primos):

2 5 6 8 2

1 5 3 4 2 5 3 2 2 5 3 1 3 5 1 5 1

Ahora solo multiplicamos lo que está en amarillo, 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 120, así tenemos que el 𝑚𝑐𝑚(5,2,8,6) = 120

−4

5< −

4

8< −

2

6<

3

8<

1

2

−6

9<

1

5<

2

3< 2

2

5< 3

3

4

−14

7< −

4

3< −

3

5< −

1

2< −

1

6

5

3>

3

2>

2

5>

1

4>

1

8

4

5>

5

8> −

3

4> −

5

6> −

1

2

7

2> −

3

10> −

5

15> −

12

10> −3

1

5

OCTAVO 2020


Explicación (continuación 1) Si nos damos cuenta hay una diferencia entre el número obtenido en el camino 1 y el camino 3, se debe a que, en el 1,

solo es un factor en común que tienen los números, pero en el camino 3 se obtiene el factor más pequeño que tienen los

4 números en común. Por lo demás, se puede ocupar cualquier camino, ya que “todos los caminos llegan a Roma”.

Volvamos a la solución, se tiene que el 𝑚𝑐𝑚(5,2,8,6) = 120, por lo tanto, hay que amplificar las fracciones del ejercicio

para que tengan este denominador.

−4

5= −

4 ∙ 24

5 ∙ 24= −

96

120

1

2=

1 ∙ 60

2 ∙ 60=

60

120

3

8=

3 ∙ 15

8 ∙ 15=

45

120

−2

6= −

2 ∙ 20

6 ∙ 20= −

40

120

−4

8= −

4 ∙ 15

8 ∙ 15= −

60

120

Ahora ordenamos de la manera que indican en el ejercicio, en este caso, creciente (de menor a mayor).

−96 < −60 < −40 < 45 < 60, por lo tanto, −96

120< −

60

120< −

40

120<

45

120<

60

120→ −

4

5< −

4

8< −

2

6<

3

8<

1

2

ahora escribimos la solución

−4

5< −

4

8< −

2

6<

3

8<

1

2

Explicación:

2) 33

4,

2

3, −

6

9,

1

5, 2

2

5, se observa que hay números mixtos y también hay fracciones que se pueden simplificar, por lo

tanto, para reducir los números, resolveremos las dos cosas.

Números mixtos a fracciones:

33

4=

(3∙4)+3

4=

15

4 esta fracción es irreducible, así que la dejamos tal cual.

22

5=

(2∙5)+2

5=

12

5, esta fracción es irreducible, así que la dejamos tal cual.

Simplificación de fracciones:

−6

9= −

2 ∙ 3

3 ∙ 3= −

2

3

Ahora, ya hechos los cambios necesarios, buscamos el mcm(4,3,5) ,mediante el método de división por primos, ya que

es más rápido (se deja libertad al estudiante de elegir el camino que le acomode, llegarán al mismo resultado).

3 4 5 2

3 2 5 2

3 1 5 3

1 5 5

1

El mcm(4,3,5) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60

OCTAVO 2020


Explicación (continuación 2):

Ahora amplificamos las fracciones del ejercicio para poder igualar los denominadores.

33

4=

15

4=

15 ∙ 15

4 ∙ 15=

225

60

2

3=

2 ∙ 20

3 ∙ 20=

40

60

−6

9= −

2

3= −

2∙20

3∙20= −

40

60, recordar que esta fracción fue simplificada.

1

5=

1 ∙ 12

5 ∙ 12=

12

60

22

5=

12

5=

12 ∙ 12

5 ∙ 12=

144

60

Comparamos de manera creciente los numeradores, ahora que todos los denominadores son iguales.

−40 < 12 < 40 < 144 < 225 →40

60<

12

60<

40

60<

144

60<

225

60 lo que es igual a las fracciones

originales y por consecuente solución,

−6

9<

1

5<

2

3< 2

2

5< 3

3

4

Explicación:

3) −14

7, −

1

2, −

4

3, −

3

5, −

1

6 , las fracciones presentes son irreducibles, así que no hay que simplificar, pero si se debe

transformar un número mixto a fracción impropia.

Número mixto a fracción:

−14

7= −

(1 ∙ 7) + 4

7= −

11

7

Determinar el 𝑚𝑐𝑚(7,2,3,5,6)

2 3 5 6 7 2

1 3 5 3 7 3

1 5 1 7 5

1 7 7

1

Así, el 𝑚𝑐𝑚(2,3,5,6,7) = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 210

Ahora amplificamos las fracciones:

−14

7= −

11

7= −

11 ∙ 30

7 ∙ 30= −

330

210

−1

2= −

1 ∙ 105

2 ∙ 105= −

105

210

−4

3= −

4 ∙ 70

3 ∙ 70= −

280

210

−3

5= −

3 ∙ 42

5 ∙ 42= −

126

210

−1

6= −

1 ∙ 35

6 ∙ 35= −

35

210

OCTAVO 2020


Explicación (continuamos 3):

Luego comparamos los numeradores y ordenamos de forma creciente como indica el ejercicio.

−330 < −280 < −126 < −105 < −35, numeradores que corresponden a las fracciones:

−330

210< −

280

210< −

126

210< −

105

210< −

35

210→ −1

4

7< −

4

3< −

3

5< −

1

2< −

1

6

La solución es:

−14

7< −

4

3< −

3

5< −

1

2< −

1

6

Explicación:

4) 2

5,

1

4,

5

3,

1

8,

3

2 todas las fracciones son irreducibles y no hay números mixtos, así que procedemos a determinar el mcm.

𝑚𝑐𝑚(2,3,4,5,8)

2 3 4 5 8 2

1 3 2 5 4 2

3 1 5 2 2

3 5 1 3

1 5 5

1

Luego, se tiene que el 𝑚𝑐𝑚(2,3,4,5,8) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 120

Ahora, amplificamos las fracciones para igualar los denominadores.

2

5=

2 ∙ 24

5 ∙ 24=

48

120

1

4=

1 ∙ 30

4 ∙ 30=

30

120

5

3=

5 ∙ 40

3 ∙ 40=

200

120

1

8=

1 ∙ 15

8 ∙ 15=

15

120

3

2=

3 ∙ 60

2 ∙ 60=

180

120

Comparamos los numeradores y ordenamos de forma decreciente (de mayor a menor), 200 > 180 > 48 > 30 > 15,

numeradores que corresponden a las fracciones: 200

120>

180

120>

48

120>

30

120>

15

120→

5

3>

3

2>

2

5>

1

4>

1

8

La solución es

5

3>

3

2>

2

5>

1

4>

1

8

OCTAVO 2020


Explicación:

5) 4

5,

5

8, −

3

4, −

5

6, −

1

2 todas las fracciones son irreducibles y no hay números mixtos, así que procedemos a determinar

el mcm.

𝑚𝑐𝑚(2,4,5.6,8)

2 4 5 6 8 2

1 2 5 3 4 2

1 5 3 2 2

5 3 1 3

5 1 5

1

Luego, se tiene que el 𝑚𝑐𝑚(2,3,4,5,8) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 120


4

5=

4 ∙ 24

5 ∙ 24=

92

120

5

8=

5 ∙ 15

8 ∙ 15=

75

120

−3

4= −

3 ∙ 30

4 ∙ 30= −

90

120

−5

6= −

5 ∙ 20

6 ∙ 20= −

100

120

−1

2=

1 ∙ 60

2 ∙ 60= −

60

120

Comparamos los numeradores y ordenamos de forma decreciente (de mayor a menor), 92 > 75 > −60 > −90 > −100,


120>

75

120> −

60

120> −

90

120> −

100

120→

4

5>

5

8> −

3

4> −

5

6> −

1

2

La solución es

4

5>

5

8> −

3

4> −

5

6> −

1

2

OCTAVO 2020


Explicación:

6) −31

5,

7

2, −

3

10, −

5

15, −

12

10 se observa que hay números mixtos y también hay fracciones que se pueden simplificar,

por lo tanto, para reducir los números, resolveremos las dos cosas.

Números mixtos a fracciones:

−31

5= −

(3∙5)+1

5= −

16

5 esta fracción es irreducible, así que la dejamos tal cual.

Simplificación de fracciones:

−5

15= −

1 ∙ 5

3 ∙ 5= −

1

3

−12

10= −

6 ∙ 2

5 ∙ 2= −

6

5

Ahora, ya hechos los cambios necesarios, buscamos el mcm(2,3,5,10) ,mediante el método de división por primos, ya

que es más rápido (se deja libertad al estudiante de elegir el camino que le acomode, llegarán al mismo resultado).

2 3 5 10 2

1 3 5 5 3

1 5 5 5

1 1

El mcm(2,3,5,10) = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 30


−31

5= −

16

5= −

16 ∙ 6

5 ∙ 6= −

96

30

−3

10= −

3 ∙ 3

10 ∙ 3= −

9

30

−5

15= −

1

3= −

1 ∙ 10

3 ∙ 10= −

10

30

−12

10= −

6

5= −

6 ∙ 6

5 ∙ 6= −

36

30

7

2=

7 ∙ 15

2 ∙ 15=

105

30

Comparamos los numeradores y ordenamos de forma decreciente (de mayor a menor), 105 > −9 > −10 > −36 > −96


30> −

9

30> −

10

30> −

36

30> −

96

30→

7

2> −

3

10> −

5

15> −

12

10> −3

1

5

La solución es:

7

2> −

3

10> −

5

15> −

12

10> −3

1

5

OCTAVO 2020


3. Resuelve los problemas.

a) Un grupo de amigos comprará un regalo a Pablo por su cumpleaños. Camila solo puede pagar 1

9 del precio,

Héctor 2

7, Elías

3

8 y el resto lo pagará Sofía. ¿Quién aportará más dinero?

Explicación:

En el ejercicio nos piden quién aporta más dinero, notar que no pregunta la cantidad de dinero, solo

nombrar a la persona que pagó más. En definitiva, nos piden la fracción más grande de todas.

Los datos son los siguientes:

Camila paga 1 9ൗ , Héctor 2 7ൗ , Elías 3 8ൗ y Sofía el resto.

Primero igualaremos las fracciones conocidas, para conocer el “total” y así conocer el “resto” que paga

Sofía, y luego comparar para saber quién paga más.

Determinar el 𝑚𝑐𝑚(9, 7, 8):

7 8 9 2

7 4 9 2

7 2 9 2

7 1 9 3

7 3 3

7 1 7

1

Así el 𝑚𝑐𝑚(9, 7, 8) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 = 504

Ahora amplificamos las fracciones para comparar:

1

9=

1 ∙ 56

9 ∙ 56=

56

504

2

7=

2 ∙ 72

7 ∙ 72=

144

504

3

8=

3 ∙ 63

8 ∙ 63=

189

504

Mencionar que 504

504 es el total que cuesta el regalo, por lo tanto, la suma de lo que pagan los 4, debe ser

dicha fracción.

56

504+

144

504+

189

504=

389

504

Por lo tanto, para saber el “resto” que pagó Sofía, debemos operar lo siguiente:

504

504−

389

504=

115

504, esto es lo que Sofía paga del regalo,

115

504.

Ahora comparamos las fracciones y las ordenamos de menor a mayor, según lo indique su numerador:

56

504<

144

504<

115

504<

189

504

De acuerdo a lo anterior, la fracción más grande, es 189

504 y equivale a

3

8, por ende, Elías es quien paga más

dinero para el regalo.

Solución

Elías aporta más

dinero

OCTAVO 2020


b) Se terminó la venta del álbum de fútbol Súper Balón. Pedro alcanzó a completar 7

8 de este y a Loreto le falto

por completar 1

10 del álbum. ¿Cuál de los dos jóvenes estuvo más cerca de completar el álbum?

Explicación:

Se Pregunta quién estuvo más cerca de completar el álbum, por lo tanto, en este caso también hay que

comparar las fracciones y determinar cuál es mayor.


Pedro completa 7

8 y Loreto le faltó completar

1

10, es decir, completa

9

10 de álbum.

Primero igualaremos las fracciones, para saber a quién le faltó menos para terminar de rellenar el álbum.

Determinar el 𝑚𝑐𝑚(8,10):

8 10 2

4 5 2

2 5 2

1 5 5

1

Así el 𝑚𝑐𝑚(8,10) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 40


7

8=

7 ∙ 5

8 ∙ 5=

35

40

9

10=

9 ∙ 4

10 ∙ 4=

36

40


35

40<

36

40

De lo anterior, se observa que la fracción más grande es 36

40, la que es equivalente a

9

10, y pertenece a la

información que se entrega de Loreto. Por lo tanto, es ella quien estuvo más cerca de completar el álbum.

Solución

Loreto estuvo más

cerca de terminar

OCTAVO 2020


c) Para una prueba geológica en busca de cobre, una empresa realizó tres perforaciones con las máquinas A, B

y C. La máquina A perforó 13

9 km, la B

15

13 km y la C

9

7 km, ¿Cuál de las máquinas perforó más?

Explicación:

Preguntan qué máquina, si la A, B o C, perforó más. Por lo tanto, nuevamente buscamos determinar cuál

es la fracción más grande.


La máquina A, perfora 13

9km, la B,

15

13km y la C,

9

7km.

Primero igualaremos las fracciones, para saber qué maquina perfora más kilómetros:

Determinar el 𝑚𝑐𝑚(7,9,13):

7 9 13 3

7 3 13 3

7 1 13 7

1 13 13

1

Así el 𝑚𝑐𝑚(7,9,13) = 3 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 13 = 819


13

9=

13 ∙ 91

9 ∙ 91=

1183

819

15

13=

15 ∙ 63

13 ∙ 63=

945

819

9

7=

9 ∙ 117

7 ∙ 117=

1053

819


945

819<

1053

819<

1183

819

De lo anterior, se tiene que la fracción más grande es 1183

819, que es equivalente a

13

9, Entonces la máquina

que perforó más kilómetros, fue la máquina A.

Solución

Máquina A perfora

más km

FICHA N°8: orden y comparación en Objetivo: comprender el ... · no tiene al 8 como factor (no...

Documents

Transcript of FICHA N°8: orden y comparación en Objetivo: comprender el ... · no tiene al 8 como factor (no...