TECNICAS PARA

MULTIPLICAR

Autor:

Otto Franco Sotomayor

Guayaquil, 30 de Agosto de 1993.

TECNICAS PARA MULTIPLICAR

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PROLOGO

La razón de este trabajo es mostrar un conjunto de técnicas que faciliten el cálculo de multiplicaciones, técnicas fáciles de recordar de manera que sin perder mucho tiempo se aprende algo nuevo que podría servir en un momento determinado,y aún si no sirviera resulta simplemente interesante.

En este trabajo nos vamos a concentrar principalmente en las multiplicaciones entre dos números de dos cifras pues éstas sirven para calcular multiplicaciones más grandes como se muestra en el ejemplo (a) del capítulo 3, y la forma de calcular multiplicaciones entre un número de 2 cifras por otro de 1 cifra de una manera eficiente se ilustra en el ejemplo (d) del capítulo 3. Para calcular las multiplicaciones entre 2 números de 2 cifras emplearemos recursos algebraicos descritos en el capítulo 2.

Mis agradecimientos son hacia quienes pusieron a mi disposición una computadora para desarrollar el método expuesto en esta monografía, entre ellos mi madre que ayudó también en algunas correciones de esta técnica.

INTRODUCION

Técnicas para Multiplicar es una recopilación de técnicas que sirven para resolver casos particulares de multiplicaciones que como ya dijimos serán del tipo de dos números de dos cifras. Sabiendo estas técnicas muchos casos se resolverían mentalmente en forma lógica, en cuestión de segundos y estando seguro del resultado obtenido (el producto de la multiplicación).

Estas técnicas son fáciles de recordar debido a que están basadas precisamente en la lógica.

El contenido de esta exposición no sirve para resolver ninguno de los problemas científicos, pero sin duda alguien lo encotraría de su interés tal como si fuera un juego cualquiera es decir recreativo.

INDICE

PAGINA SECCION

2 Prólogo 3 Introducción

4 Indice

5 Capítulo I.-INTRUCCIONES PRELIMINARES.

8 Capítulo II.-DESCRIPCION DE LOS RECURSOS.

26 Capítulo III.-EJEMPLOS DE CALCULOS

28 Conclusiones

29 Referencias Bibliográficas

CAPITULO I

INSTRUCCIONES PRELIMINARES En este momento vamos a dar unas instrucciones que nos lleven a establecer un dominio sobre todas las multiplicaciones entre 2 números de 2 cifras. El caracter * será utilizado como signo de multiplicación.

Ahora definiremos las variables A, B, C..., que serán las componentes de una multiplicación entre dos números de dos cifras.

A y B serán los dos factores. La variable D se formará con las dos últimas cifras del producto de A*B. La variable C se formará con las dos primeras cifras del mismo producto, la mayoría de los productos tienen cuatro cifras (el 82,83%). Si el producto tiene tres cifras, entonces C se formaría con la primera cifra del producto. Ejemplos: 83*57=4731 donde A=83 B=57 C=47 D=31 38*14= 532 donde A=38 B=14 C=5 D=32

Las variables A1 y A2 serán la primera y la última cifra dede A, análogamente se definirán B1, B2; C1, C2; D1, D2.

En 83*57=4731 tenemos:

A=83 A1=8 A2=3 B=57 B1=5 B2=7 C=47 C1=4 C2=7 D=31 D1=3 D2=1

Si el producto de una multiplicación tiene tres cifras, entonces C1=0 y C2=C.

E, F, G son otras variables que definiremos a continuación:

La variable E se forma con todas las cifras del producto menos la última de la derecha. Ejemplo: en 83*57=4731, E=473.

F se forma con las dos cifras del medio del producto.

G con las dos cifras de los extremos del producto.

Si el producto tiene tres cifras G será la cifra del extremo derecho. Ejemplos:

83*57=4731 -----> F=73 G=41 43*17= 731 -----> F=73 G= 1 84*13=1092 -----> F=09 G=12 38*14= 532 -----> F=53 G= 2

El lector deberá desarrollar la tabla completa de todas las multiplicaciones entre dos números de dos cifras (omitiendo los númerosmúltiplos de10), para ello se ubicarán las multiplicaciones en orden decreciente, primero la tabla del 99, luego la del 98, 97, 96, etc., llegando hasta la del 21.

La tabla de un número X cualquiera consta de todas las multiplicaciones con el primer factor siendo X y con el segundo factor cambiante en orden decreciente y no mayor a X. Ejemplo:

La tabla del 94: 94*94=8836 94*93=8742

94*92=8648

94*91=8554

94*89=8366

94*88=8272 .......... ..........

Y así hasta 94*11=1034. 94*95 se encuentra en la tabla del 95. 94*96 se encuentra en la del 96. 94*97 en la del 97, etc.

Para calcular todos los productos se usa calculadora o computadora. Se debe dejar un espacio de 3/4 a 1 pulgada entre multiplicación y multiplicación. Se deben usar páginas grandes donde puedan caber 5 ó 6 columnas de multiplicaciones a lo ancho y muchas multiplicaciones a lo largo. Mientras más rápido se concluya esta primera tarea mejor.

Completada esta tarea veremos cómo se deben llenar los espacios.

Debajo de cada multiplicación de la tabla se deberá poner la multiplicación o la fuente algebraica de donde fue deducida. Esto se debe hacer con el fin de facilitar la tarea de recordar como se calcula cada multiplicación.

Ejemplo: El comienzo del desarrollo de la tabla del 86 tendría la siguiente apariencia: (se han señalado con flechas las multiplicaciones pertenecientes a la tabla del 86; cada multiplicación con flecha ha sido deducida de la multiplicación escrita debajo.)

---> 86*86=7396 96*76=7296 ---------- ---> 86*85=7310 43*17=731 ---------- ---> 86*84=7224 85² =7225 ---------- ---> 86*83=7138 85*84=7140 ---------- ---> 86*82=7052 84² =7056 ---------- ---> 86*81=6966 43*27=1161 ---------- ---> 86*79=6794 76*79=6004 ---------- ---> 86*78=6708 82² =6724 ---------- .......... .......... Y así hasta llegar a 86*11= 946.

En el caso de la multiplicación 86*79=6794, debajo de ella se ha escrito 76*79=6004; eso significa que 86*79=6794 ha sido deducida de 76*79=6004 utilizando uno de los 23 recursos que describiremos más adelante. En este caso se usó el recurso 8.

Ahora ¿de dónde se dedujo 76*79=6004? Eso tendría que estar en el desarrollo de la tabla del 79, teniendo conocimiento de los recursos sabremos que 79*76=6004 es fácilmente deducida de 79*19=1501 con el recurso 1.

En el caso de 86*84=7224, esta multiplicación se dedujo de 85²=7225 con el recurso 7 (debajo de 86*84=7224 se escribió 85²=7225), pero observando la multiplicación 86*84=7224 se ve que también pudo haber sido deducida de 86*7=602 (ver recurso 1). De aquí se verá que una multiplicación dada se puede deducir utilizando uno o varios de los recursos, si varios son posibles se debe elegir uno solo, el que más facilite su cálculo.

Los resursos 1 y 16 tienen preferencia casi absoluta sobre todos los demás recursos, pues abarcan muchas multiplicacionmes de la tabla completa. El recurso 1 tiene su estética algebraica.

Es importante recordar que no es conveniente llenar los espacios, o sea desarrollar la tabla, yendo en el mismo orden secuencial que han sido escritas todas las multiplicaciones de la tabla, ya que será mucho más fácil y rápido trabajar primero con todas las multiplicaciones de la tabla completa que sean deducibles mediante los recursos 1 y 16, o sea los recursos de 1º preferencia; luego trabajaremos las multiplicaciones deducibles con los otros recursos.

En la tabla completa hay 3321 multiplicaciones de 2 números de 2 cifras.

CAPITULO II

DESCRIPCION DE LOS RECURSOS

En este capítulo describiremos los recursos algebraicos que podemos utilizar, el lector puede inventar otros.

2.1.-RECURSO1: Este recurso emplea las importantes "multiplicaciones basicas".

Se llama "multiplicación básica" aquella que sirve para calcular toda una serie de multiplicaciones a partir de ella de una manera directa: simplemente multiplicando C y D de la multiplicación básica.

Tomando por ejemplo la multiplicación básica 79 * 9 = 711: 79* 9= 7 11

De ella se pueden deducir: 79*18=14 22 79*27=21 33 79*36=28 44 79*45=35 55 79*54=42 66 79*63=49 77 79*72=56 88 79*81=63 99

Las multiplicaciones básicas sí pueden ser entre un número de dos cifras por otro de una cifra.

D en la multiplicación básica generalmente es pequeño.

D en una multiplicación deducida a partir de la básica es un múltiplo de D correspondiente a la básica y no debe rebasar 99, en el caso de 79*9=711 la serie llega hasta 79*81=6399.

C de la multiplicación deducida también es múltiplo de C de la básica.

La siguiente lista de multiplicaciones básicas servirá para deducir una buena porción de todas las multiplicaciones entre dos números de dos cifras.Esta lista puede ser memorizada.

Todas las multiplicaciones básicas son muy importantes.

LISTA DE MULTIPLICACIONES BASICAS: 94*31=2914 76* 4= 304 54* 2= 108 27*19= 51394*16=1504 74*23=1702 53*23=1219 27* 3= 81 94*14=1316 74* 3= 222 53*21=1113 26* 4= 10494*13=1222 73*18=1314 53*19=1007 23*23= 529 93*14=1302 73*17=1241 53*17= 901 23*14= 322 93*13=1209 73* 7= 511 53* 2= 106 23* 7= 161 93*12=1116 72* 7= 504 52* 2= 104 19*16= 304 92*12=1104 71*31=2201 51* 2= 102 19* 6= 114 92*11=1012 71*24=1704 47*23=1081 18* 6= 108 89* 9= 801 71*17=1207 47*13= 611 17*16= 272 88* 8= 704 71*13= 923 47* 3= 141 17*13= 221 87*23=2001 69*29=2001 46* 9= 414 17* 7= 119 87*15=1305 69*19=1311 45* 9= 405 17* 6= 102 87* 7= 609 69*16=1104 44* 7= 308 17* 3= 51 87* 6= 522 69* 3= 207 43*31=1333 16* 7= 112 86*13=1118 68* 3= 204 43*27=1161 14* 8= 112 86*12=1032 67* 3= 201 43*19= 817 13* 9= 117 86* 7= 602 65*17=1105 43*12= 516 13* 8= 104 85*13=1105 64* 8= 512 43* 7= 301 13* 7= 91 85*12=1020 63*27=1701 41*37=1517 85* 6= 510 63*21=1323 41*31=1271 12* 9= 10884*13=1092 63*17=1071 39*13= 507 23* 9= 20784* 6= 504 63*13= 819 39* 8= 312 34* 9= 306 83*23=1909 63* 8= 504 39* 3= 117 45* 9= 40583*17=1411 62*18=1116 38*29=1102 56* 9= 50483*14=1162 61*23=1403 38*19= 722 67* 9= 60383*11= 913 59*29=1711 38* 8= 304 78* 9= 70282*21=1722 59*19=1121 38* 3= 114 89* 9= 80182*16=1312 59*18=1062 37*19= 703 82*11= 902 59*17=1003 37*14= 518 19*11= 20981*31=2511 59*12= 708 37* 3= 111 28*11= 30881*21=1701 59* 7= 413 36* 3= 108 37*11= 40779*23=1817 58*19=1102 35* 3= 105 46*11= 50679*19=1501 58*16= 928 34* 3= 102 55*11= 60579*14=1106 58* 9= 522 32*29= 928 64*11= 70479* 9= 711 58* 7= 406 31*23= 713 73*11= 80378*14=1092 57*23=1311 31*17= 527 82*11= 90278*13=1014 57* 9= 513 31*13= 403 91*11=100178* 9= 702 57* 3= 171 29* 7= 20378* 4= 312 57* 2= 114 29* 4= 11677*13=1001 56* 9= 504 28* 4= 11277* 4= 308 54*13= 702 27* 4= 108

Cuando se subraya un grupo de cifras, significa que interesan más para algo; como en el caso de la multiplicación básica 47*23=1081 se calcularán los múltiplos con el número subrayado 08, entonces de 47*23=1 08 1 se deducirán:

47*46=2 16 247*69=3 24 394*23=2 16 294*69=6 48 6

Ejemplos de aplicación:

(Los ejemplos que se dan en la descripción de los 23 recursos son tomados de la tabla completa desarrollada por O.Franco no publicada aquí.) 94*64=60 16 94*16=15 04 ----------- 93*84=78 12 93*14=13 02 ----------- 92*27=24 84 23* 9= 2 07 ----------- 91*77=70 07 91*11=10 01 ----------- 63*56=35 28 89*72=64 08 63* 8= 5 04 89* 9= 8 01 ----------- ----------- 62*39=24 18 87*77=66 99 31*13= 4 03 87* 7= 6 09 ----------- ----------- 52*36=18 72 84*29=24 36 52* 2= 1 04 7*29= 2 03 ----------- ----------- 43*28=12 04 78*42=3 27 6 43* 7= 3 01 78*14=1 09 2 ----------- ------------ 37*24= 888 76*52=39 52 37* 3= 111 76* 4= 3 04 ----------- ----------- 73*63=45 99 73* 7= 5 11 ----------- 72*17=12 24 6*17= 1 02 ----------- 68*63=42 84 68* 3= 2 04 ----------- 67*66=44 22 67* 3= 2 01 -----------

2.2.- RECURSO 2: Basado en la ecuación

(A+1)(B+1) - AB = A+B+1

Esta ecuación se puede usar cuando A*B termina en 00.

Ejemplos: (Cada ejemplo consta de una dupleta de multiplicaciones, la de arriba de deduce de la de abajo)

76*41=3116 61*26=158675*40=3000 60*25=1500

2.3.- RECURSO 3: Basado en

(A+10)(B+10) - A*B = 10(A+B+10) donde A+B es múltiplo de 10 y así 10(A+B+10 ) es múltiplo de 100. Ejemplo:

47*13= 611 37* 3= 111 donde 10(A+B+10)=10(37+3+10)=500 y 611-111=500 -------------------------------- Otros ejemplos: 82*18=1476 72* 8= 576 (y 576=24²) ---------- 62*38=2356 52*28=1456 ---------- 42*28=1176 32*18= 576 ----------

2.4.- RECURSO 4: Este recurso está basado en que si A+B=100+10x, donde x es un entero del 1 al 9, entonces se cumple

A*B - (A-10x)(B-10x) = 1000x └──────┘ └──────────────┘ 1ºmultiplic. 2ºmultiplic.

Puede considerarse que A*B se deduce de (A-10x)(B-10x) o viceversa, y los productos de las dos multiplicaciones tendrán en común las 3 últimas cifras. Ejemplo:

93*57=5301 43* 7= 301

Aquí A=93, B=57, A+B=150, por lo tanto x=5.

Al 93 se le restó entonces 50 para llegar al 43.

Al 57 se le restó 50 para llegar al 7.

Y al 5301 se le restó 5000 para llegar al 301, por medio de eso se sabe que 93*57=5301 puede ser deducida de 43*7=301. Otros ejemplos: 94*76=7144 24* 6= 144 (y 144=12²) ----------

94*16=150484* 6= 504----------93*27=251173* 7= 511----------92*58=533642* 8= 33614* 8= 112----------

(cuando hay una tripleta de multiplicaciones sin ninguna indicación, significa que cada multiplicación se ha deducido de la situada inmediato inferior aunque no con el mismo recurso. Aquí 14*8=112 es una de las multiplicaciones básicas.)

88*62=5456 64*46=294438*12= 456 54*36=194438* 3= 114 -------------------- 63*27=170188*52=4576 73*37=270148*12= 576 -------------------- 57*23=131187*43=3741 77*43=331157*13= 741 -------------------- 53*37=196182*58=4756 63*47=296142*18= 756 ----------6*18= 108 37*13= 481---------- 87*63=5481

En cualquier ejemplo que conste de una dupleta de multiplicaciones, la de arriba se deduce de la de abajo, y la de abajo si pertenece a la tabla completa se encontrará deducida en el lugar que le corresponde en el desarrollo de dicha tabla con el recurso que más le haya convenido.

2.5.- RECURSO 5: Basado en la ecuación:

(10A1+A2)(10B1+B2) - (10A1+B2)(10B1+A2) = 10(A1-B1)(B2-A2). donde A1>B1 y B2>A2.

Ejemplo: 78*69=5382 79*68=5372donde 10(A1-B1)(B2-A2)= 10(7 - 6)(9 - 8)= 10 y 5382-5372 = 10 7 y 6 son las primeras cifras de 78 y 69, 9 y 8 son las últimas.

Se consideran los casos en que 10(A1-B1)(B2-A2) es múltiplo de 100, también casos con A1-B1=1 ó B2-A2=1 y otros pocos casos.

TABLA DE VALORES A1-B1; B2-A2; Y EL CORRESPONDIENTE

10(A1-B1)(B2-A2):

A1-B1 B2-A2 10(A1-B1)(B2-A2) 1 1 10 1 2 20 2 1 20 2 2 40 2 5 100 4 5 200 5 2 100 5 4 200 5 6 300 6 5 300 Ejemplos:

94*79=7426 79*47=371399*74=7326 77*49=3773---------- 77*39=300383*35=2905 ----------85*33=2805 56*42=2352---------- 52*46=2392

2.6.- RECURSO 6: Basado en la ecuación

A*B - (A+1)(B-1)= A-B+1

con A>B ; ecuación que se puede usar si (A+1)(B-1) termina en 00.

Ejemplos.-

83*76=6308 59*16= 94484*75=6300 60*15= 900---------- ----------59*26=1534 43*26=111860*25=1500 44*25=1100---------- ----------

2.7.- RECURSO 7.- Hay 4 subdivisiones:

a) Cuando la diferencia entre A y B es corta y par. Ejemplo:

68*62=4216 65² =4225

65 es el promedio entre 68 y 62. La diferencia entre A*B y el cuadrado del promedio entre A y B dependerá del valor de A-B de acuerdo a la siguiente tabla:

A-B Diferencia.

2 1 4 4 6 9 8 16 10 25 12 36 14 49 16 64 18 81

Ejemplos: 84*82=6888 83² =6889 ---------- 82*72=5904 39*27=1053 77² =5929 33² =1089 ---------- ---------- 73*59=4307 31*23= 713 66² =4356 27² = 729 ---------- ----------

b) Cuando la diferencia entre A y B es corta, impar y mayor que 1. Ejemplo:

78*71=553875*74=5550

75 y 74 son los dos números que están en el justo medio de 78 y 71 La diferencia entre A*B y el producto de los dos números que están en el medio de A y B dependerá del valor de A-B de acuerdo a la siguiente tabla:

A-B Diferencia.

3 2 5 6 7 12 9 20 11 30 19 90 21 110

Ejemplos:

79*74=5846 74*53=3922 56*47=263277*76=5852 64*63=4032 52*51=2652(A-B=79-74=5 y ---------- ----------diferencia=6) 73*52=3796 46*37=1702---------- 63*62=3906 42*41=172264*61=3904 ---------- ----------63*62=3906 61*42=2562 32*23= 736---------- 52*51=2652 28*27= 756

c) Cuando la diferencia entre A y B es 10y siendo "y" par. Ejemplo:

62*42=2604 52² =2704

52 está en el justo medio de 62 y 42, y la diferencia entre A*B y el cuadrado del promedio de A y B estará dada por la tabla:

A-B Diferencia.

20 100 40 400 60 900 80 1600

Ejemplo.- 94*14=1316 54² =2916 (A-B=80 por lo tanto difer.=1600)

d) Cuando la diferencia entre A y B es 10y siendo "y" impar y mayor que 1. Ejemplo: 87*37=3219 67*57=3819.

Considerando sólo diferencias múltiplos de 10 podemos decir que 67 y 57 están en el medio de 87 y 37.

La Diferencia entre A*B y el producto de los dos números que están en el medio bajo esta consideración, estará dada por la tabla:

A-B Diferencia.

30 200 50 600 70 1200

Ejemplos:

86*16=1376 83*53=4399 56*46=2576 73*63=4599 ---------- ---------- El recurso 7 exige saber bien todos los cuadrados y los productos de la forma A(A-1) y los de la forma A(A-10), siendo A un número de 2 cifras.

2.8.- RECURSO 8.- Si una multiplicación A*B tiene en el producto F=00 entonces una pequeña serie de multiplicaciones puede deducirse de ésta fácilmente.

Se podrá calcular (A+10y)B donde "y" es un entero positivo, siempre que yB no rebase 99, simplemente se suma yB al valor de F que es 00 en el producto de

A*B.

Tomando por ejemplo: 53*19=1007 de ahí se pueden deducir: 63*19=1197 73*19=1387 83*19=1577 93*19=1767

Y también de 53*19=1007 surge 53*29=1537.

Las multiplicaciones con F=00 usadas para esta clase de deducción son:

91*88=8008 77*78=6006 56*18=1008 91*77=7007 77*65=5005 53*19=1007 91*66=6006 77*52=4004 48*21=1008 91*55=5005 77*39=3003 42*24=1008 91*44=4004 77*26=2002 36*28=1008 91*33=3003 77*13=1001 91*22=2002 72*14=1008 91*11=1001 69*58=4002 87*69=6003 69*29=2001 87*46=4002 67*15=1005 87*23=2001 64*47=3008 84*12=1008 63*16=1008 82*61=5002 59*17=1003 79*76=6004 59*34=2006 79*38=3002 59*51=3009

Ejemplos de la tabla:

79*58=4 58 2 69*58=4 00 2 ------------ 59*27=1 59 3 59*17=1 00 3 ------------ 53*29=1 53 7 53*19=1 00 7 ------------

2.9.- RECURSO 9.- Números pares multiplicados por múltiplos de 5. Ejemplos:

94*85=7990 47*17=799 ---------- 86*85=7310 43*17=731 ---------- 82*65=5330 41*13=533 ---------- 62*45=2790 31* 9=279 ----------

Siendo A un número par cualquiera , y sea B un múltiplo de 5 , para calcular A*B se divide A para 2, se divide B para 5, y se calcula : (A/2)(B/5)

lo que dará un resultado que es la décima del producto de A*B.

2.10.- RECURSO 10.- Múltiplos de productos terminados en 99.

Ejemplos:

94*17=15 98 69*26=17 94 47*17= 7 99 23*13= 2 99 ----------- ----------- 93*29=26 97 65*23=14 95 31*29= 8 99 13*23= 2 99 ----------- ----------- 82*39=31 98 41*39=15 99 -----------

El lector podrá deducir el mecanismo algebraico involucrado en este recurso.

2.11.-RECURSO 11.- Cálculo de multiplicaciones cuando uno de los factores termina en 1 ó 9.

Ejemplos:

69*43= (70-1)*43 = 70*43 - 43 = 3010 -43 = 2967

93*61= 93*(60+1) = 93*60 + 93 = 5580 +93 = 5673

2.12.- RECURSO 12.- Números pares por números poco menores a 50.

Sea A un número par y sea B= 49, 48, 47,....... hasta 15 donde D esté a punto de rebasar 99, entonces:

B-C=(100-A)/2

D=(100-A)(50-B)

Ejemplo: 86*49=42 14 86*48=41 28 86*47=40 42 86*46=39 56 86*45=38 70 86*44=37 84 86*43=36 98

Para A=86: B-C=7 y D son múltiplos de 14.

Este mismo principio se usa para multiplicaciones de números múltiplos de 4 por números poco menores a 75, 50, 25.

Siendo A el múltiplo de 4 y B poco menor a 75, entonces:

B-C=3/4(100-A)

D=(100-A)(75-B).

Si B es poco menor a 50 tenemos:

B-C=1/2(100-A)

D=(100-A)(50-B)

Si B es poco menor a 25:

B-C=1/4(100-A)

D=(100-A)(25-B).

Ejemplo: Si A=84:

84*74=62 16 84*73=61 32 84*72=60 48 B-C=12 84*71=59 64 84*69=57 96

84*49=41 16 84*48=40 32 84*47=39 48 84*46=38 64 B-C=8 84*45=37 80 84*44=36 96

84*24=20 16 84*23=19 32 84*22=18 48 B-C=4 84*21=17 64 84*19=15 96

En los tres casos los D son múltiplos de 16.

2.13.- RECURSO 13.- Múltiplos de 4 por números que están alrededor de la cuarta parte de los mismos.

Ejemplo:

68*19=1292 =34*38. ---------- Para calcular esta clase de multiplicaciones se saca la mitad de A y se duplica B, y se emplea el recurso 7.

2.14.- RECURSO 14.- Multiplicación de un múltiplo de 11 por cualquier número de 2 cifras.

Primero veremos una forma de hallar el residuo de dividir cualquier número para 9: Se suman los dígitos de este número, si el resultado sale mayor que 9 se suman los dígitos de este resultado, y así se sigue hasta que se obtenga un resultado menor o igual a 9. Este será el residuo buscado.

El residuo de dividir un número A para 9 lo llamaremos A’, por ejemplo si A= 87 : 8+7=15; 1+5=6. Entonces A’ =6.

Si A*B=P entonces puede demostrarse que (A’*B’)’ = P’.

El recurso 14 usa este principio:

Considerando A=11*m, donde m es un entero del 1 al 9, y B es cualquier número de 2 cifras; para tratar una multiplicación de este tipo:

Abajo de A se escribe el valor de m.

Abajo de B se escribe el valor de B’,

luego se calcula el valor de (m*B’)’ y se lo escribe abajo del producto de A*B.

Veremos la relación entre el producto de A*B y (m*B’)’ mediante ejemplos:

Ejemplo: 44*31=13 64 4 4 7 Se observa que (m*B’)’ = (4*4)’ = 7.

Si multiplicamos ese 7 por 11 obtenemos 77, y se ve que 77=13+64.

Sea v=(m*B’)’ siempre se cumplirá:

11*v= C + D

excepto cuando 11*v < C, donde se cumplirá:

11*v + 99 = C + D. Ejemplos:

71*44=31 24 94*77=72 38 8 4 5 4 7 1 (55=31+24 ----------- 11*v= C+D) 87*22=19 14 ------------ 6 2 3 69*55=37 95 ----------- 6 5 3 79*22=17 38 (132=33+99=37+95 7 2 5 11*v+99= C+D) ----------- ---------------- 78*44=34 32 69*44=30 36 6 4 6 6 4 6 ----------- (66=30+36) 74*22=16 28 ------------- 2 2 4 68*44=29 92 ----------- 5 4 2 71*55=39 05 (121=22+99=29+92) 8 5 4 ----------------- ----------- 62*44=27 28 71*22=15 62 8 4 5 8 2 7 ----------- ----------- 61*44=26 84 57*44=25 08 7 4 1 3 4 3 ----------- ----------- 61*22=13 42 55*31=17 05 7 2 5 5 4 2 ----------- ----------- 58*44=25 52 44*43=18 92 4 4 7 4 7 1 ----------- -----------

Hay tres casos particulares: a) Si A es múltiplo de 11 y B es mútiplo de 9 entonces 99 = C + D. b) Si A=66 hay tres subcasos:

B es múltiplo de 3 ---> 99 =C + D B es múltiplo de 3 +1 ---> 66 =C + D B es múltiplo de 3 -1 ---> 33 =C + D (ó 132=C+D si 33<C)

c) Si A=33 hay tres subcasos:

B es múltiplo de 3 ---> 99 =C + D B es múltiplo de 3 +1 ---> 33 =C + D B es múltiplo de 3 -1 ---> 66 =C + D.

Si A=11 no se aplica este método del recurso 14, pues multiplicar por 11 es muy simple y se lo hará directamente, de la manera convencional y poniendo a 11 como multiplicador.

Para calcular 22*B con B<60 simplemente calcúlese 11*(2B).

Para calcular 44*B con B<30 simplemente calcúlese 11*(4B).

2.15.- RECURSO 15.- Multiplicar números impares por 15.

Ejemplos: 79*15=118 5 viene de 78*15=117 0 ------------- 53*15= 79 5 viene de 52*15= 78 0 ------------- Análogamente se podrían calcular todas las multiplicaciones de este tipo.

2.16.- RECURSO 16.- Existen multiplicaciones de formas especiales como 99*B, 91*B ó 75*B que son muy fáciles de calcular. 99, 91 y 75 son algunos de los números especiales. B es cualquier número de 2 cifras.

Cuando en el desarrollo de la tabla completa nos topemos con una multiplicación que tenga un factor que sea un número especial (o los dos factores), debajo de ella escribimos solamente "R16", entendiéndose que esa multiplicación se calcula con el recurso 16.

Calculo de 99*B.-

C=B-1 D=100-B.

Cálculo de 98*B.-

cuando B>50 ---> C=B-2 D=2(100-B) cuando B<50 ---> C=B-1 D=2( 50-B)

Cálculo de 97*B.-

B>66 ----> C=B-3 66>=B>33 ----> C=B-2 33>=B ----> C=B-1.

Para calcular D1 tómese las dos últimas cifras del resultado de 3(100-B).

Cálculo de 96*B.- B>75 ----> C=B-4 75>=B>50 ----> C=B-3 50>=B>25 ----> C=B-2 25>=B ----> C=B-1

D siempre es múltiplo de 4, calcúleselo con el recurso 12. Cálculo de 95*B.- B>80 ----> C=B-5 80>=B>60 ----> C=B-4 60>=B>40 ----> C=B-3

40>=B>20 ----> C=B-2 20>=B ----> C=B-1

cuando B1 es par D=5(20-B2) cuando B1 es impar D=5(10-B2).

Cálculo de 91*B.-

B2>B1 ----> C=B-B1-1 F=múltiplo de 9 B2<=B1 ----> C=B-B1 F=múltiplo de 9 +1

Se debe observar una tabla del 91 para constatar estas fórmulas. Cálculo de 89*B.- Tomando un B1 tal que sea de 1 al 8, y tomando todos los B tal que10*B1 < B < 10*B1 +10, en este grupo debe haber un solo valor de B múltiplo de 9, y ese valor es 9(B1+1). B > 9(B1+1) -----> C=B-B1-2 B <= 9(B1+1) -----> C=B-B1-1

D1= última cifra de 19-B1-B2

D2 se calculará fácilmente ya que en cualquier multiplicación:

D2= última cifra de A2*B2.

Ejemplo.-Con B1=7:

89*79=70 31 89*78=69 42 89*77=68 53 89*76=67 64 89*75=66 75 89*74=65 86 89*73=64 97 89*72=64 08 89*71=63 19

72 es el múltiplo de 9 de este grupo con B1=7, entonces:

B=79,78,77,76,75,74,73 ----> C=B-9B=72,71 ----> C=B-8

Así mismo se debe observar una tabla del 89 y practicarla. Cálculo de 75*B.- Si B es múltiplo de 4 entonces 75*B se calcula muy fácilmente mediante 75*B=(3/4 B)100. Habría que recordar todos los B múltiplos de 4 hasta 96, y sus respectivos 3/4 B.

Ejemplos: B --> 3/4 B

24 --> 18 28 --> 21

32 --> 24 36 --> 27 44 --> 33 48 --> 36 52 --> 39 56 --> 42, etc.

Si B es múltiplo de 4 entonces: 75(B+1)= (3/4 B)100 +75 75(B-1)= (3/4 B - 1)100 +25 75(B+2)= (3/4 B + 1)100 +50. Así se cubren todas las multiplicaciones con factor 75.

Cálculo de 25*B.- Si B es múltiplo de 4 entonces:

25*B= (1/4 B)100 25(B+1)=(1/4 B)100 +25 25(B+2)=(1/4 B)100 +50 25(B+3)=(1/4 B)100 +75

Cálculo de 67*B.-

Si B=3n (n es un entero) se usa la multiplicación básica 67*3=201 para calcular 67*B.

Si B=3n+1 entonces 67*(3n+1)=67*3n + 67. Si B=3n-1 entonces 67*(3n-1)=67*3n - 67.

Para esto será necesario recordar todos los múltiplos de 3 y sus respectivas 2/3 partes.Ejemplos:

3n ---> 2n

42 ---> 28 45 ---> 30 48 ---> 32 51 ---> 34 54 ---> 36 57 ---> 38 60 ---> 40, etc.

Cálculo de 51*B.-

Si B es par se usa 51*2=102.

Si B es impar es decir de la forma 2n+1 hágase:

51*(2n+1)= 51*2n + 51.

Casos especiales.-

Cálculo de 85*B sólo para ciertos valores de B:

79 >= B >= 74 ----> B-C=12 D=15(80-B) 59 >= B >= 54 ----> B-C= 9 D=15(60-B) 39 >= B >= 34 ----> B-C= 6 D=15(40-B) 19 >= B >= 14 ----> B-C= 3 D=15(20-B). Cálculo de 37*B con B=3n:

Sean n1 y n2 la primera y última cifra de n, entonces si n1+n2<=9 podremos calcular 37*B con:

C1=n1 F=11(n1+n2) D2=n2.

Ejemplos.- 37*24= 888 37*27= 999 37*36=1332 37*48=1776 37*54=1998 37*69=2553

y hay otras multiplicaciones como ésas. Esta propiedad surgió de 37*3=111.

Cálculo de 74*B si B=3n y si n1+n2<=9 siendo n1 y n2 las cifras de 2n:

C1=n1 F=11(n1+n2) D2=n2.

Ejemplos.- 74*18=1332 74*21=1554 74*27=1998 74*36=2664 74*39=2886 74*48=3552 74*63=4662 y otras.

Cálculo de 34*B si B=3n-1 y B>50.

34-C = (101-B)/3 C-D = (101-B)/3. Ejemplo: 77*34=26 18

En estos casos B, C y D forman siempre una progresión aritmética decreciente y en este caso la diferencia entre ellos es 8 dado por la fórmula (101-B)/3 escrita arriba reemplazando B por 77, pudiéndose hacer esto ya que 77 es de la forma 3n-1.

Cálculo de algunas multiplicaciones con factor 12.-

12(25+a) = 300+12a 12(50+a) = 600+12a 12(75+a) = 900+12a

donde 1 <= a <= 8 aunque puede extenderse hasta a=13 ó más.

2.17.- RECURSO 17.- Calcular A*B donde A2=9 y B2=1:

A>B ----> C=(A1+1)B1 D1=A1-B1 A<B ----> C=(A1+1)B1-1 D1=10+A1-B1

Practicar este tipo de multiplicaciones.

2.18.- RECURSO 18.- Este recurso consiste en deducir una multiplicación de otra mediante multiplicar o dividir el producto y/o los factores en casos que esta operación se vea fácil.

93*32=2976 72*57=4104 31*32= 992 9*57= 513 ---------- ---------- 87*36=3132 71* 37=26 27 87*12=1044 71*111=78 81 ---------- ------------

2.19.- RECURSO 19.- Cuadrados de números poco menores que 100

Usese (100-a)(100-a)=(100-2a)*100+ a*a.

2.20.- RECURSO 20.- Recíprocos de otros recursos. Sea por ejemplo: 86² = 7396 96*76= 7296 4*76= 304 ----------- En este caso se usó un recíproco del recurso 7.

2.21.- RECURSO 21.- Cuadrados de números cercanos a 50.

Usese (50 + a)(50 + a)= (25 + a)*100 + a*a Donde -10 < a < 10.

2.22.- RECURSO 22.- Cuadrados de todo número terminado en 5.

Usese (10a + 5)² = 100a(a+1) + 25.

2.23.- RECURSO 23.- Emplear propiedades que se cumplen sólo para algunas multiplicaciones. Sea por ejemplo determinar con la ayuda de la computadora o analíticamente todas las multiplicaciones que cumplen con la siguiente propiedad: A+B=C+D (ejemplo: 47*29=13 63)

o aquellas que cumplen con A-B=D-C (ejemplo : 79*78= 61 62) o las que cumplan con A-B=F (ejemplo: 73*57 = 4 16 1 ).

Sin embargo son preferibles los recursos algebraicos para dominar todas las multiplicaciones entre 2 números de 2 dígitos.

CAPITULO III

EJEMPLOS DE CALCULOS A continuación se dará algunos ejemplos de cálculos:

a) Calcular 7259 * 83.

7259*83 = 83*72*100 + 83*59 = 5976 *100 + 4897 = 602497.

b) Calcular el cuadrado de 3267:

3267*3267 = (3200 + 67)(3200 + 67)=

32*32*10000 + 2*32*67*100 + 67*67 =

10240000 + 428800 + 4489 = 10673289.

Obsérvese que se ha aprovechado el conocimiento de la tabla,en este caso para calcular 32*32 , 67*67 , 2*32*67=64*67.

c) Se puede deducir que la raiz cuadrada de 10 está entre 3.1 y 3.2 pues 3.1*3.1=9.61 lo cual se deduce de 31*31=961, además 3.2*3.2=10.24.

La raiz cuadrada de 61 está entre 7.8 y 7.9 pues

7.8*7.8=60.84 y 7.9*7.9=62.41.

La raiz cuadrada de 6 está entre 2.4 y 2.5 pues 2.4*2.4=5.76 y 2.5*2.5=6.25.

d) Forma de calcular multiplicaciones de número de 2 cifras por otro de una cifra.- 78*9====> 63 72 ----- 702.

e) Memorizar en cierto grado los resultados de las multiplicaciones de números de 2 cifras por 1 cifra puede servir para calcular con mayor seguridad multiplicaciones entre 2 números de 2 cifras mediante el procedimiento ya conocido por todos (el método usual).

78 * 23 _____ 234 ----------> 78*3=234 156 ----------> 78*2=156 _____ 1794.

f) Otro procedimiento general para calcular multiplicaciones entre 2 números de 2 cifras está basado en la fórmula: (10 A1 + B1)(10 A2 + B2) = 100*A1*A2 + (A1B2+A2B1)10 + B1B2.

Ejemplo: Calcular 78*69.-

Primero se hace 8*9=72 se escribe 2 en el papel y se lleva 7 el cual será sumado con el resultado de 7*9 saliendo 70 el cual se suma con el resultado de 6*8 dando 118 se escribe el 8 en el papel a la izquierda del 2 y se lleva 11 el cual se suma con el resultado de 7*6 dando 53, escríbaselo a la izquierda del 8 y finalice el cálculo.

78 69 ---- 5382.

CONCLUSIONES

Se ha expuesto un método para multiplicar usando en cierto grado la memoria y más el álgebra, este método puede ser comprendido por quien tiene mínimos conocimientos del álgebra.

El método consiste en escribir primero un listado de todas las multiplicaciones dejando un espacio entre ellas para ser llenado con su correspondiente forma de ser calculada, si una multiplicación proviene de otra multiplicación se escribe esta última debajo de la primera. Cuando se completa esta tarea para todas las multiplicaciones enlistadas, se obtiene una "tabla desarrollada" que puede ser repasada una y otra vez, sin mucho esfuerzo ya que todo está basado en la lógica (algebraica).

Lo ideal es recordar todas las multiplicaciones mediante un sistema algebraico consistente que logre cubrirlas completamente. Este sistema actualmente presentado aún puede ser mejorado mediante la introducción de nuevas técnicas.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

A.- Henry Sticker. How to Calculate Quickly. New York. Dover Publications, Inc. 1945. 185 pp.

B.- Gerald W.Kelly. Short-Cut Math. New York. Dover Publications, Inc. 112pp.

Nota: La gran mayoría de los recursos algebraicos expuestos en este trabajo son invención del autor y no se encuentran en los libros referidos.