FCD Guía 1.funciones

UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No. 1

Ing. Edgar Vargas Ruiz I - 2012 1

UNIDAD ACADEMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ASIGNATURA: FUNDAMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD TEMATICA FUNCIONES

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Analizar las diferentes clases de funciones reales que involucren desigualdades, interpretación gráfica y aplicaciones en el área de desempeño.

Analiza función real de una variable, sus comportamientos y discrepancias mediante procedimientos analíticos y gráficos.

Obtiene nuevas funciones a partir de otras funciones dadas. Utiliza las funciones para resolver problemas de aplicación en

diferentes contextos

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Real iza r las ac t iv idades que a cont inuac ión se enunc ian ten iendo en cuenta la carpeta guía de Apuntes de l Pro fesor ACTIVIDAD No 1

1. Para cada una de las siguientes funciones determine su dominio.

3 2

2

2

2 2 2

6 2) 3 24 ) ( ) ) ( )

1 2 4

2 1) 4 ) ( ) ) ( )

23 1

3 2 1 1) ) ( ) ) ( )

5 4 5 6 1

x xa y x x b f x c g x

x x

xd y x e h x f j x

xx

x x xg y h f x i g x

x x x x x

2) 25j y Log x ) ( ) 3 4 8k f x x 2) xl y e

2. Para cada una de las siguientes funciones determine su recorrido.

2

3 1 7 6) ) )

4 4 2

) 1 ) 3 ) 1 3

x x xa y b y c y

x x x

d y x e y x f y x

2) 2 5 7g y x x 5 3) ( ) 2 5h f x x x

3. Determinar cuáles de las siguientes igualdades son funciones y trace sus gráficas.

4)4)25)5()3()

1)104)22)

2222

22

xyfxyexxd

yxcyxbxya

4. Halle el dominio, el rango y los interceptos de las funciones. Trace sus gráficas:

a) 4 9y x b) 3 1y x c)

3 8y x

d) 2( ) 5 4f x x x e)

2( ) 4 1f x x f) 4 2( )f x x x

g) ( ) 2 3f x x h) 1

( )f xx

i) 2( ) 1f x x



ACTIVIDAD No 2

1. Encuentre , , ,f

f g f g f gg

, gf y determine sus dominios

a. x

xgxxxf1

)(,432)( 2 b. 2)(,1

)(

xxgx

xxf

c. 1)(,sen)( 3 xxgxxf d. 2)(,

3

1)( xxg

xxf

2. Determine cuáles de las siguientes funciones son inyectivas. Cuando una función no lo sea de un

contraejemplo, cuando si sea inyectiva demuéstrelo.

a. 3( ) 2f x x b. 3)( xxg c. 2)( xxh

3. Muestre con un ejemplo que, en general, el dominio de gf NO es en general la intersección de los

dominios de las funciones f y g.

4. La función 23)( xxf es inyectiva. Halla 1f y la función

f

1. Qué puede concluir acerca de

1f

y f

1?

5. Encuentre una fórmula explícita para la inversa1f

a. 37)( xxf b. x

xf1

)( c. x

xxf

2

12)(

ACTIVIDAD No 3

1. Trace las gráficas de las siguientes funciones:

a. 2

2 1

( ) 1 2

12

1

x si x

f x x si x

si xx

b.

2 1 1 1

( ) 2 1 3

1 3

x si x

g x x si x

x si x

c.

2 1 1

( ) 3 1 4

5 2 4

x si x

h x x si x

x si x

d. 2

3 0

( ) 2 0 2

3 2

x si x

w x x si x

x si x

2. Realice movimientos en el plano para obtener la gráfica de:

a. 2( ) ( 4)f x x b. 2( ) 3g x x c.

2( ) 4h x x d. ( ) 1 3j x x

e. 1

( ) 31

p xx

f. ( ) 3h x x g. ( ) ( 1) 2f x Ln x



3. Observe las gráficas que aparecen a continuación y decida cuál de ellas representa de forma más aproximada a la gráfica de la función:

3( ) ( 2) 1 3H x x

ACTIVIDAD No 4

1. Sea )(xf una función impar, cuyo dominio es: [-5,5]. Complete su gráfica:



2. En las preguntas a y b, usted debe completar la información que hace falta en cada caso.

a. Sean _______________)(3)()( 2 xhyxxgxxf

( ) ( )( ) ( ( ( ))) ( ( )) ( _____________ )

________________, 3

K x f g h x f g h x f g x f

x si x

El dominio de K es: _________________________

b. A la función xy se le han aplicado movimientos en el plano cartesiano. Escriba debajo de cada

gráfica la ecuación correspondiente:

3. Señale cuál de las siguientes gráficas representa una función impar. (justifique la respuesta)



4. Sea f (x) = 3x - 2. Graficar f (x) y cada una de las siguientes funciones:

1 2

3 4

5 6

( ) ( ) 2 ( ) ( 2)

( ) 2 ( ) ( ) ( 4)

( ) ( ) ( ) ( )

f x f x f x f x

f x f x f x f

f x f x f x f x

ACTIVIDAD No 5 Resuelve los siguientes ejercicios teniendo en cuenta los tipos de funciones vistos en clase

1. Cuando se producen y venden 500 unidades de un producto se tiene una perdida de $ 400000, cuando se producen y venden 1000 unidades se tiene una ganancia de $ 600000, si los costos variables por unidad son de $ 1000:

a. Halle la función costo total y la función ingreso b. Halle el punto de equilibrio c. ¿Qué utilidad se tiene cuando se venden 2500 unidades? d. ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para obtener una utilidad de $500000? 2. La demanda mensual de un producto tiene un comportamiento lineal, se sabe que a un precio de

$5000 la unidad, se demandan 6000 unidades mensuales y por cada $500 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 1000 unidades. Si los costos fijos son de $ 8000000 mensuales y los costos variables de $ 3000

a. Exprese la utilidad en función del número de unidades demandadas. b. represente gráficamente esta función c. ¿Cuántas unidades se deben producir para que la utilidad sea máxima? 3. La demanda mensual de un artículo es de 4000 unidades, si los costos fijos mensuales para

producirlo, son de $ 5000000, el precio de venta del articulo es de $6250 y el costo variable es el 60% del precio de venta

a. calcule la utilidad b. Si el productor aspira a obtener una utilidad mínima del 20% sobre los costos totales. ¿se

justifica producir? 4. Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a US $2 cada una. Si x es el número de

cajas producidas a la semana en miles de unidades, entonces, los costos de producción están dados por:

21000 1300 100C x x dólares

Determine el nivel de producción en que la compañía tiene punto de equilibrio.

5. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda: 225 269 5 2 1p x y p x

a. Identifique: ¿Cuál corresponde a la oferta?. ¿Cuál es la demanda? b. Halle el punto de equilibrio y represente en un mismo plano las dos ecuaciones. c. Si p=7 ¿Qué ocurre? 6. El ingreso personal per cápita es el ingreso personal promedio de un país. La siguiente tabla

muestra el ingreso personal per cápita para cierto país durante dos años. Suponiendo que la relación es lineal, (a) escriba una ecuación que relaciones esas dos cantidades y (b) estime el ingreso personal para el año 2010.

Año 1990 1997

Ingreso personal (dólares) 18,477 25,660



7. En décadas recientes, la mujer ha modificado el papel que desempeña en la sociedad colombiana.

La siguiente tabla muestra el porcentaje de mujeres que trabajan como profesionales. Suponiendo que la relación es lineal, (a) escriba una ecuación que relaciones esas dos cantidades y (b) estime el porcentaje de mujeres profesionistas que estarán trabajando para el año 2010.

Año 1990 1997

Porcentaje 26.2 30.8

8. Los datos dados a continuación se refieren a la población mundial, en millones de personas. Construya un modelo lineal que se adapte a los datos. Utilice el modelo para predecir la población mundial en el año 2000.

Año 1986 1991

Población 4,396 5,422

9. Un estudio médico muestra la altura media que debe tener un bebé en sus dos primeros años de edad. El citado estudio se resume en la siguiente tabla.

Edad (meses) 0 6 12 18 24

Altura (cm) 50 67 75 81 87

Representa la gráfica de la altura en función de la edad. Interpreta el crecimiento de la función.

10. El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próximos ocho años viene dado por la función B definida por

2

( )

7 si 0 5

10 si 5 8

B t

t t t

t

donde t indica el tiempo transcurrido en años. a) Represente gráficamente la función B y explique cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años. b) Calcule cuándo el beneficio esperado es de 11.25 millones de euros.

EVALUACIÓN

1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, colocando una (V) o una (F)

respectivamente dentro del paréntesis.

a. El dominio de la función xxf 3)( es )3,[ ………………………….( )

b. Dadas las funciones xxgx

xf

)(;42

1)( la función compuesta H(x) = ))(())(( xfgxfg

es: 42

1)(

xxH ………...………………. ( )

2. Trace la gráfica de la función y determine su dominio y su rango (recorrido)

21 1 1

( ) 2 1 2

3 2 3

x si x

f x si x

x si x



3. Suponga que la función 2y x se ha desplazado en el plano originando las funciones dadas,

aparéelas con las gráficas que se presentan a continuación, colocándole el número de la función a la gráfica correspondiente.

2 2

2 2

1. 3 2 2. 2 2

3. 2 2 4. 1 4

y x y x

y x y x

4. Dadas las funciones 2( ) 16 , ( )f x x g x x es correcto afirmar que: (Marque su única respuesta

encerrando en un círculo la correspondiente letra)

2

) ( )( ) 16 ( )

) ( )( ) 16 ( ) [0, )

) ( )( ) 4 ( )

) ( )( ) 4 ( ) [4, )

a f g x x y Dom f g

b f g x x y Dom f g

c f g x x y Dom f g

d f g x x y Dom f g

5. Dada la siguiente función determine en forma clara: Dominio, Asíntotas (si las hay) horizontales,

verticales y oblicuas, Interceptos. A partir de estos datos trace su gráfica.

3

11 2

2 1

xy

x

6. Sea 2 3y x halle su dominio, compruebe que es uno a uno, halle su inversa y el dominio de

la inversa

7. Dadas las funciones x

xf1

)( , 1)( 2 xxg entonces ))2

1(( fg es:

A. 2

1 B.

2

1 C. -

2

1 D. 1

8. Aparee las funciones de la columna de la izquierda con sus inversas de la derecha, colocando el

número correspondiente.



2

3

3

11. ( ) ____ ( ) , 0

1 22. ( ) ln( 5) ____ ( )

1

13. ( ) ____ ( )

14. ( ) ____ ( ) 5

2

5. ( ) ____ ( )

x

f x m x x xx

xg x x r x

x

h x x t xx

xj x s x e

x

k x x n x x

9. Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos.

2

2

( ) ( ) tan( ) _______ ( ) _______1

1( ) 1 _______ ( ) 2 _______

2( ) 1 _______ ( ) _______

xf x sen x x j x

x

g x x g xx

xh x x x h x

x

10. Dada la función f(x), relacione el número de la gráfica con la expresión correspondiente.

11. La inversa de la función x

xxf

25

31)(

es:

A. 5 1

2 3

xy

x

B.

15

23

x

xy C.

x

xy

31

25

D.

x

xy

25

31

BIBLIOGRAFÍA

APUNTES DEL DOCENTE

STEWART James , Cálculo conceptos y aplicaciones, Editorial Thomson

HOFFMANN Bradley Rosen, Cálculo Aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial MC Graw Hill. 8ª edición

ARYA Lardner, Matemáticas aplicada a la Administración y a la Economía. Editorial Pearson, 5ª ed.

y = f(x-4) ________ y = f(x)+3 _________

y = 3

1f(x) _________

y = - f(x+4) __________ y = 2f(x+6) _________

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