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GUÍA Nº 5: Funciones de Varios Variables

En los ejercicios del 1 al 11 describa la región R del plano coordenado xy que corresponde al dominio de la función dada

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

11)

En los siguientes ejercicios determine el dominio de la función dada.

12) 13)

Dibujar las siguientes superficies y algunas curvas de nivel.

14) 15)

16)

Materia: Matemática IIICiclo: I/2012

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS

2

Relacione cada conjunto de curvas de nivel con la superficie adecuada.

17) a)

18) b)

19 c)

20) d)

3

En los siguientes ejercicios calcule

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)

31) ( continua para toda )

En los siguientes ejercicios calcule y

32) 33)

34) 35)

36) 37)

En los siguientes ejercicios, calcule la derivada parcial de la función con respecto a cada una

de las variables.

38) 39)

40) 41)

42)43)

4

44) calcule si

45)El plano corta al paraboloide en una parábola. Determine la pendiente

de la tangente a la parábola en (1, 2, 5)

Calcule todas las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones.

46) 47)

48) 49)

5

Muestre que cada una de las funciones siguientes satisface la ecuación

50 ) 51)

Muestre que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación donde es una constante.

52) 53)

54)

En los siguientes ejercicios verifique la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.

55) 56)

57)

En los siguientes ejercicios calcule escogiendo el orden más adecuado de derivación.

58)59)

60)61)

Para los siguientes ejercicios construya un diagrama de árbol y calcule utilizando la regla de la cadena. Donde se indique, evalúe la derivada en el valor dado de .

62)

6

63)

64)

65)

En los siguientes ejercicios construya un diagrama de árbol y calcule

66)

67)

68) Si

es diferenciable y , , muestre que.

69) El voltaje de un circuito que satisface la ley cae lentamente cuando la batería

se acaba. Al mismo tiempo, la resistencia aumenta conforme el resistor se calienta.

Utilice la ecuación

para determinar el cambio de la corriente ( ) en el instante en que ,

, , y .

70) Muestre que si es cualquier función diferenciable de y si , entonces

.

En los siguientes ejercicios calcule

71)

72)

7

Suponga que las siguientes ecuaciones definen a como una función diferenciable de . Use derivación

implícita para calcular

73) 74)

75) 76)

Derive implícitamente para obtener las derivadas parciales primeras de z

77) 78)

79) 80)

81) 82)

83)

Calcule el gradiente de la función indicada en el punto dado. Trace también el gradiente junto con la curva de nivel que pasa por el punto.

84) 85)

86) 87)

Calcule en el punto indicado

88)

89)

90)

Calcule la derivada de la función en en la dirección de

91)

92)

8

93)

Determine las direcciones en que las funciones crecen y decrecen más rápidamente en . Luego calcule las derivadas de las funciones en estas direcciones.

94)

95)

Determine todos los máximos locales, mínimos locales y puntos sillas de las siguientes funciones.

96) 97)

98) 99)

100) 101)

102) 103)

104) 105)

106)

107) Muestre que los únicos máximos y mínimos posibles para en la superficie

ocurren en (0,0) y (3,3). Muestre que no hay un máximo ni un mínimo en el primero de estos puntos y determine si tiene un máximo o un mínimo en el segundo punto.

9

108) Encuentre la distancia más corta del punto (1,0, -2) al plano .

109) Una compañía que fabrica cajas ha recibo un pedido de un cliente. El requisito es que la caja sea rectangular de tal modo que la suma de su largo con el perímetro de una sección transversal no exceda de 108 pulgadas.

Determine las dimensiones de una caja que cumpla las especificaciones del cliente de volumen máximo.

110) Se va a construir una caja rectangular, sin tapa, de un trozo de cartón de 12m2. Encuentre el máximo volumen de esta caja.

Diferencial total.

Si y y son los incrementos en y , entonces las diferenciales de las

variables independientes y son y . La diferencial total de la variable

dependiente es:

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Aplicación de la diferencial total a cálculos aproximados.

Supongamos que la función es derivable en el punto . El incremento

total de esta función está dado por de donde

. Si tomamos la aproximación podemos realizar algunos cálculos aproximados de la siguiente manera:

En la que el error es un infinitésimo de orden superior respecto a y .

Ejemplo: estimación del cambio en el volumen.

Calcular el volumen de material necesario para fabricar un vaso cilíndrico de las dimensio-nes siguientes (figura):

Radio interior: R Altura interior: H Espesor de las paredes y del fondo del vaso: k

Solución

Daremos dos soluciones al problema: la exacta y la aproximada.

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Solución exacta: el volumen buscado es igual a la diferencia entre los volúmenes de los

cilindros exterior e interior es decir

Solución aproximada: si denota el volumen del cilindro interior, entonces

. Si las magnitudes y aumentan en , la función recibirá el

incremento , el cual constituye el volumen buscado, es decir .

Entonces o sea:

Como Tenemos

Si aplicamos estos resultados a datos concretos, por ejemplo obtenemos:

– Valor exacto:

– Valor aproximado:

Por lo tanto, mediante la formula aproximada obtenemos un resultado con un error inferior al 2% del valor exacto.

Trace la curva junto con y la recta tangente en el punto dado. Escriba la ecuación de la recta tangente.

1) Una lata cilíndrica está diseñada para tener un radio de 1 pulgada y una altura de

5 pulgadas, pero estas medidas tienen un error de y . Estime el cambio absoluto resultante en el volumen de la lata.

2) Cierta empresa fabrica tanques cilíndricos circulares rectos, con 25 pies de altura y 5 pies de radio, para el almacenamiento de melaza. ¿Cuál es la sensibilidad del volumen de los tanques a pequeñas variaciones en la altura y el radio? (es decir, en cambio de una unidad en r ¿cuántas unidades cambia a V ? y un cambio de una unidad en h ¿Cuántas unidades cambia a V ?. Si usted es el encargado de control de calidad preocupado por el volumen correcto de los tanques ¿a qué tendrá que prestar más atención?¿a los radios o a las alturas?

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3) Suponga que en el problema anterior los valores de r y h se invierten para que y

, ¿a cuál de las dos variables deberá prestar mayor atención?

4) Usted planea calcular el área de un rectángulo largo y delgado a partir de las medidas de su largo y ancho. ¿Cuál dimensión debe medir con más cuidado? Justifique su respuesta.

5) Usted planea calcular el volumen dentro de un tramo de tubería que tiene cerca de 36 pulgadas de diámetro y 1 milla de largo. ¿Con cuál medición debe tener más cuidado, con el largo o con el diámetro? ¿por qué?

6) Cerca del punto (1,2), ¿es más sensible a los cambios en o los cambios en ?¿cómo lo sabe?

7) Un contenedor tiene la forma de una sólido rectangular y tiene una longitud interior de 8 m, un ancho interior de 5 m, una altura interior de 4m y un espesor de 4 cm. Use la diferencial total para aproximar la cantidad de Material necesario para construir el contenedor.