Algebra abstracta Semestre 4

Fascículo No. 1

Tabla de Contenido Contenido

Presentación

Programación general

Preliminares

Lógica proposicional

Proposiciones

Términos de enlace

Forma de las proposiciones moleculares

Simbolización de las proposiciones

Términos de enlace y simbología Conjunción

Tabla de verdad

Disyunción

Tabla de verdad

Resumen

Bibliografía recomendada

Párrafo nexo

Autoevaluación formativa

Presentación En este curso de Algebra Abstracta encontrarás algunas bases fundamentales e

interesantes que harán incrementar el ahínco por tu profesión. Para los temarios

en los que se basa el curso es necesario que conozcas algunos requisitos

mínimos sobre programación de tal manera que se muestren habilidades en

cuanto a análisis y compresión de conceptos para resolver problemas de lógica

aplicada en Ingeniería de Sistemas.

Los contenidos que se tratan están dados por: funciones, lógica, relaciones,

análisis combinatorio y teoría de grafos. El propósito e importancia de este curso

es que te brinde la capacidad de deducción y destreza en los razonamientos de la

Matemática Moderna, permitiendo un nivel de profundidad necesario, pero a la vez

sencillo, para adquirir una fácil comprensión.

Al preparar este módulo se tuvo cuidado en la forma de presentar las temáticas ,

de manera que puedan ser utilizadas satisfactoriamente y se puedan ejercitar las

relaciones lógicas que se presentan a diario en la labor del Ingeniero de Sistemas.

Recuerda que ante alguna dificultad podrás encontrar el apoyo de tu profesor y

compañeros.

Es necesario que conozcas la importancia que tienen las Matemáticas Discretas

en la ciencia computacional; por tal razón te deseo el mejor éxito en el desarrollo

de este curso.

Programación general

Lógica proposicional Proposiciones

Términos de enlace

Forma de las proposiciones moleculares

Simbolización de las proposiciones

Términos de enlace y simbología Conjunción

Tabla de verdad

Disyunción

Tabla de verdad

Fascículo 1

Autoaprendizaje

Proposiciones compuestas Tablas de verdad

Equivalencia lógica

Negación

Proposición condicional

Tabla de verdad

Proposición bicondicional

Tabla de verdad

Fascículo 2

Autoaprendizaje

Tautologías y contradicciones

Concepto de tautología

Tabla de verdad

Concepto de contradicción

Tabla de verdad Algebra declarativa Leyes esenciales para el algebra declarativa

Reglas de inferencia y demostración Modus ponendo ponens

Modus tolendo tollens

Fascículo 3

Autoaprendizaje

Términos, predicados y cuantificadores universales Términos

Predicados

Cuantificadores universales

Certeza y Validez Términos de enlace de certeza funcional

Conjunción

Disyunción

Proposiciones condicionales

Equivalencia

Consistencia

Fascículo 4

Autoaprendizaje

Conjuntos Concepto de conjuntos

Conjunto vacío

Igualdad de conjuntos

Subconjuntos

Unión

Intersección

Diferencias y complementos

Universal

Fascículo 5

Autoaprendizaje

Tuplas, sucesiones y conjuntos de potencia Par ordenado

Producto cartesiano

Colecciones de conjuntos

Sucesiones y cadenas

Fascículo 6

Autoaprendizaje

Relaciones Concepto de relación

Relación binaria

Dígrafos

Dominios y rangos

Relación inversa

Composición de relaciones

Reflexiva

Simétrica

Antisimétrica

Transitiva

Relación de equivalencia

Fascículo 7

Autoaprendizaje

Relación de orden parcial Orden parcial débil

Orden parcial estricto

Conjunto parcialmente ordenado

Conjunto totalmente ordenado

Diagrama de Hasse

Sucesión descendente

Fascículo 8

Autoaprendizaje

Funciones Concepto de función

Dominio y contradominio de una función

Operador módulo: mód

Funciones localizadoras

Representación de funciones

Composición de funciones

Fascículo 9

Autoaprendizaje

Clases de funciones Función uno a uno

Función sobreyectiva

Función biyectiva

Función inversa

Sucesión de elementos

Cadena o arreglo sobre X

Inducción matemática Definición

Proceso de inducción

Fascículo 10

Autoaprendizaje

Métodos de conteo Enumeraciones, homomorfismos e isomorfismos

Primer Principio del conteo

Segundo Principio del conteo

Permutaciones y combinaciones

Combinaciones generalizadas

Relaciones de recurrencia Concepto de recurrencia

Sucesión de Fibonacci

Desarreglos

Fascículo 11

Autoaprendizaje

Grafos Definiciones y conceptos básicos

Grafo dirigido

Grafo no dirigido

Grafo simple

Orden de un Grafo

Camino simple

Costo

Ciclo simple

Camino hamiltoniano

Camino de Euler

Fascículo 12

Autoaprendizaje

Clases de grafos

Grafo conexo

Grafo planar

Grafos isomorfos

Representación de grafos Matriz de adyacencia

Matriz de incidencia

Fascículo 13

Autoaprendizaje

Árboles

Concepto de árbol

Arbol libre

Arbol con raíz

Arboles de jerarquización

Propiedades de los árboles

Arbol binario

Arbol binario completo

Arbol binario de búsqueda

Fascículo 14

Autoaprendizaje

Lógica proposicional

En esta primera parte del Algebra Abstracta te encontrarás con relaciones entre

las Matemáticas y la Lógica, analizando ejemplos de razonamiento deductivo de

tal manera que te introduzcas en el análisis y comprensión de la teoría

proposicional.

El desarrollo de las actividades propuestas te permitirá comprender y razonar

diferentes conceptos que se presentan a lo largo del fascículo y que serán de gran

importancia y necesarios en el progreso continuo con el que se llevará a cabo el

curso.

Indicadores de logro

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante:

• Reconoce el lenguaje lógico y exacto que utilizan las proposiciones.

• Razona de manera exacta los argumentos de las proposiciones.

• Utiliza símbolos que identifiquen las proposiciones atómicas.

• Identifica y explica los términos de enlace.

• Identifica y explica los símbolos de los términos de enlace.

La lógica se encarga de estudiar los métodos de razonamiento que, en algunos

casos, pueden ser válidos y en otros no serlo. Una de las aplicaciones importantes

de ella para el Ingeniero de Sistemas es que permite mostrar la secuencia o el

razonamiento lógico que los programas realizan.

Proposiciones Las proposiciones se caracterizan por ser afirmaciones que pueden resultar

siendo verdaderas o falsas. Las proposiciones involucran dos clases:

proposiciones atómicas y proposiciones moleculares.

Las proposiciones atómicas se identifican por ser proposiciones simples o

básicas; las proposiciones moleculares se obtienen al juntar varias

proposiciones atómicas con un término de enlace.

Ejemplo

� Hoy es lunes festivo

� No hay clase de Algebra Abstracta

Estas oraciones representan dos proposiciones atómicas; a través de un término

de enlace se puede obtener una proposición molecular:

� Hoy es lunes festivo y no hay clase de Algebra Abstracta

En este caso el término de enlace es "y" el cual se utiliza para construir una

proposición molecular.

Términos de enlace Los términos de enlace son palabras cortas que te permiten unir o enlazar

proposiciones atómicas y convertirlas en proposiciones moleculares. Los términos

de enlace utilizados son:

"y", "o", "no", "si..., entonces"

Observación

Recuerda que el añadir un término de enlace a una o dos proposiciones atómicas

se forma una proposición molecular. Los términos de enlace: "y", "o", "si...,

entonces" se utilizan para enlazar dos proposiciones atómicas. El término de enlace "no" se utiliza sobre una sola proposición atómica.

Ladillo El término de enlace "no" es el único que no conecta dos proposiciones. Cuando a una sola proposición se le agrega "no", se forma una proposición molecular.

Ejemplo

a. El Sol no está hecho de nubes blancas, es una proposición en la que actúa el

término de enlace "no" sobre una sola proposición atómica: "El sol está hecho

de nubes blancas".

b. Los estudiantes de Algebra Abstracta estudiarán para el parcial o

probablemente les vaya bien. El término de enlace "o" conecta dos

proposiciones atómicas: "Los estudiantes de Algebra Abstracta estudiarán para

el parcial" y "Probablemente les vaya bien".

c. Si la selección Colombia gana el mundial entonces habrá día cívico. Esta

proposición muestra el término de enlace "si...,entonces", que conecta dos

proposiciones atómicas.

d. Los Ingenieros de Sistemas desarrollan software y los Físicos analizan los

diferentes comportamientos del Universo. Este es otro ejemplo del término de

enlace "y" que conecta dos proposiciones atómicas.

Actividad 1.1

1. Señale cada proposición atómica con una A y cada proposición molecular con

una M. Escriba junto a cada proposición el término de enlace utilizado:

a. El Player permite ejecutar en Windows, aplicaciones interactivas multimedia

creadas en Director.

b. Las imágenes fijas pueden ser pequeñas o grandes, o incluso ocupar toda la

pantalla.

c. Los desarrolladores de multimedia deberían explorar el Photo CD como una

herramienta y como una plataforma de distribución.

d. La mayoría de los gerentes entran en contacto con la realidad sólo a través de

sus informes y reuniones diarias.

e. A este perro grande le gusta cazar gatos.

f. La asignatura preferida de los estudiantes de cuarto semestre es Algebra

Abstracta.

g. Luis es muy buen estudiante o es muy afortunado.

h. Yo hago mi cacareo y tú haces tus graznidos

i. Los gerentes de alto nivel comparten una comprensión común de la estrategia

de la organización.

j. Si realizaron la actividad, entonces habrá quiz.

2. Formar cuatro proposiciones moleculares utilizando una o dos de las

proposiciones escritas a continuación, junto con un término de enlace. Por

ejemplo, se puede utilizar el término de enlace "y" entre dos de ellas y también

se puede utilizar la misma proposición atómica más de una vez. Utilice cada

uno de los términos de enlace una sola vez, de manera que cada una de las

proposiciones moleculares tenga distinto término de enlace:

a. El viento sopla muy fuerte.

b. Pablo podría ganar muy fácilmente.

c. La lluvia puede ser la causa de que abandone la carrera.

d. Veremos qué planes hay para mañana.

e. Todavía tendríamos tiempo de llegar a las siete.

f. El amigo de Juan tiene razón.

g. Estábamos confundidos respecto a la hora de la junta.

Forma de las proposiciones moleculares El término de enlace es aquél que hace que se formen proposiciones moleculares,

es decir, no dependen del contenido de la proposición o de las proposiciones

atómicas. La forma sigue siendo la misma. Se puede hacer uso de paréntesis que

identifiquen cada una de las proposiciones atómicas.

Se pueden presentar varios casos en las proposiciones. Por ejemplo, se puede

incluir un "O" inicial si se quiere:

O hace frío o hace calor

O x + y = 6 y y =2, o x = 0

En el último ejemplo se puede notar que se ha utilizado el término de enlace "y", y

esto hace que se puedan incluir las palabras "a la vez", por ejemplo:

A la vez llueve y hace sol

Las palabra "a la vez" e "y" hacen parte de un mismo término de enlace. En otros

casos, cuando es utilizado el término de enlace "si...,entonces", se incluyen ambas

palabras, sin embargo, generalmente se suprime la palabra "entonces", por

ejemplo:

Si el día es frío, es invierno

Si Javier quiere a Pilar, Pilar quiere a Javier

Cuando se utiliza el término de enlace "no", es posible escribir "no ocurre que" en

lugar del "no", por ejemplo:

Algebra Abstracta no es difícil

No ocurre que el Algebra Abstracta sea difícil

Entonces es posible presentar una proposición molecular utilizando el término de

enlace "No ocurre que".

Simbolización de las proposiciones Para denotar las proposiciones se utilizan símbolos en lugar de las proposiciones

completas. Se usan letras minúsculas, como: "p", "q", o "r". Por ejemplo:

La clase de sistemas ya empezó o el profesor llegó temprano

• p: La clase de sistemas ya empezó

• q: El profesor llegó temprano

Si sólo se utilizan los símbolos, entonces las proposiciones quedarán de la

siguiente forma:

• (p) o (q)

De la misma manera sucede con el término de enlace "y". Cuando se simboliza el

término de enlace "no", éste se pone delante del símbolo que sustituye la

proposición atómica; el término de enlace no es una parte de la proposición

atómica, por lo cual, debe separarse de ésta. Por ejemplo:

• Las vacas no son animales de dos patas

• q: Las vacas son animales de dos patas

Luego la proposición molecular será entonces:

• No (q)

Observación

Recuerda que una afirmación puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a

la vez.

Actividad 1.2

1. Traducir al lenguaje corriente las siguientes proposiciones, especificando cuál

es la proposición atómica representada por cada uno de los símbolos.

a. Si (p), entonces (q)

b. (r) o (p)

c. (p) y (q)

d. No (r)

e. Si (q), entonces (r)

f. No (p)

g. (r) y (q)

h. (r) o (q)

i. No (q)

k. Si (r), entonces (p)

2. Cada una de las proposiciones siguientes es molecular. Primero, indique cuáles

son los términos de enlace en cada proposición, luego escriba por separado las

proposiciones atómicas que se encuentran en las proposiciones moleculares y

finalmente, represente y especifique las proposiciones con las letras (p), (q) y

(r).

a. Juan es el segundo y Tomás es el cuarto.

b. O la selección Colombia es la ganadora o Brasil es el ganador.

c. Paraguay no es el ganador.

d. Si la selección Colombia es la ganadora entonces obtendrá el título mundial.

e. Si los estudiantes de cuarto semestre estudian entonces aprobarán el curso.

f. Los Alpes son montañas jóvenes y los Apalaches son montañas viejas.

g. Si un material se calienta entonces se dilata.

h. Muchos planetas son demasiado cálidos para que vivan seres como nosotros o

demasiado fríos para que vivan seres como nosotros.

i. La Universidad San Martín no ofrece la carrera de Ingeniería Civil.

j. Si llueve con frecuencia, los campesinos se quejan. Si no llueve con

frecuencia, los campesinos se quejan. Por consiguiente, los campesinos se

quejan.

Términos de enlace y simbología De la misma manera como las proposiciones utilizan símbolos para poderlas

representar, los términos de enlacen tienen el mismo comportamiento. A cada

término de enlace se le asigna un símbolo.

Conjunción La unión de dos proposiciones atómicas a través de la palabra "y" se llama

conjunción de las dos proposiciones y se simboliza por "∧". Sean p y q dos

proposiciones. Entonces p∧q es verdadera si y sólo si tanto p como q son

verdaderas; p ∧q se llama conjunción.

Ejemplo

• El programa tiene un error y la entrada es errónea

• p: El programa tiene un error

• q: La entrada es errónea

• (p) y (q) ≡ p ∧ q

Observación

Recuerda que el símbolo ∧ sustituye al término de enlace completo tanto si se

refiere a "y" como si es "a la vez... y..." en lengua castellana

Tabla de verdad Es una tabla de veracidad que muestra las posibles combinaciones de los valores

de verdad para una proposición P(p1...,pn).

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disyunción La unión de dos proposiciones atómicas a través de la palabra "o" se llama

disyunción de las dos proposiciones y se simboliza por "∨".

Sean p y q dos proposiciones. Entonces p ∨ q es falso solo sí tanto p como q son

falsos. Si p � q son verdaderos, entonces p ∨ q es verdadero; p ∨ q se llama la

disyunción de p y q.

Ejemplo

• O éste es el laboratorio de Física o es el laboratorio de Biología

• p: Éste es el laboratorio de Física

• q: Es el laboratorio de Biología

• (p) o (q) ≡ p ∨ q

Observación

Recuerda que el símbolo ∨ sustituye al término de enlace completo tanto si en la

lectura o escritura de la proposición se emplea sólo "o" o bien "o..., o...". Tabla de verdad

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Actividad 1.3

1. A partir de las siguientes proposiciones moleculares, establezca las

proposiciones atómicas utilizando la simbolización de las proposiciones; luego

determine si cada una de ellas es verdadera o falsa y establezca el criterio de

verdad, a partir de las tablas de verdad.

Ejemplo

Las rosas son rojas y las violetas son azules.

p: Las rosas son rojas

q: las violetas son azules

Luego: p:V ∧ q:V entonces, p ∧ q : V

a. Estamos en Diciembre y celebramos Amor y Amistad.

b. El viento arrastra las nubes o lloverá con seguridad.

c. Hoy es sábado y no hay clase.

d. El programa ha efectuado una operación no válida y se cerrará.

e. La música está muy suave o la puerta está cerrada.

f. San Andrés está al Oriente de Colombia y Cali está al Norte de Colombia.

g. Ha llegado el invierno y los días son más cortos.

h. El año tiene doce meses o sale el sol.

i. En la noche sale el Sol y la Luna sale en la mañana.

j. Inicio el computador o instalo el programa.

Resumen Durante el desarrollo de este fascículo reconocimos el lenguaje lógico de las

proposiciones y razonamos los argumentos de ellas; además se logró simbolizar

las proposiciones con letras de tal manera que representara lo que decían cada

una de ellas y finalmente, logramos identificar los términos de enlace que

conectan dos o más proposiciones atómicas, identificando las tablas de verdad

que los caracterizan.

Bibliografía recomendada GROSSMAN, Stanley. Matemática discreta y lógica. Grupo Editorial Iberoamérica.

Capítulo 1. México 1988.

JOHNSONBAUGH, Richard. Matemáticas discretas. Grupo Editorial Iberoamérica.

Capítulo 1. México 1988.

SUPPES, Patrick y HILL, Shirley. Introducción a la lógica matemática. Editorial

Reverté Colombiana. Capítulo 1, páginas 1 - 37. Barcelona, 1988.

Nexo En el siguiente fascículo, continuaremos con los razonamientos que nos conlleva

la lógica proposicional, es decir, analizaremos las proposiciones compuestas y las

tablas de verdad, ya que son claves e importantes para la mayoría de conceptos

que se desarrollarán a lo largo del curso.

Autoevaluación formativa

1. Realice una historia (tema libre) no menor a 15 renglones, de tal manera que

utilice los términos de enlace trabajados; luego simbolice las proposiciones

atómicas a través de "p", "q", "r", "s", "t", y "u" y finalmente establezca el criterio

de verdad para:

a. p ∧ r

b. q ∧ r

c. r ∧ p

d. r ∧ q

e. p ∧ q

f. q ∧ p

g. r ∨ p

h. p ∨ r

i. q ∨ r

j. r ∨ q

k. p ∨ q

l. q ∨ p

2. Con los símbolos "s", "t" y "u", establezca todas las posibilidades para la

conjunción y la disyunción como se estableció con "p", "q" y "r" en el punto

anterior y determine el criterio de verdad.