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Tema:“Calculo mecánico: Flechas y Tensiones”.

I. OBJETIVOS.

Que el estudiante simule la influencia de la variación de las condiciones ambientales en los valores de la tensión mecánica de los conductores y cables de tierra.

Que el estudiante se familiarice con la determinación y el uso de la plantilla de flechas, principalmente para las condiciones extremas de operación.

II. INTRODUCCIÓN.

Los conductores de las líneas eléctricas generalmente son cables, en su mayor parte heterogéneos, es decir, que  están  formados por  grupos  de  conductores  de diferentes  materiales   (combinación de  conductores  de aluminio y acero, cobre y acero, etc.).

Por tanto, el cálculo mecánico de éstos conductores debe hacerse en función del módulo de elasticidad y del coeficiente de dilatación, correspondientes a la proporción en que se encuentren el aluminio y el acero (éstos valores son proporcionados por el fabricante).

Las influencias atmosféricas que determinan el comportamiento mecánico de los cables (modificando la tensión mecánica que se dio a los mismos cuando se tensaron) son principalmente:

Las variaciones  de  la   temperatura  ambiente,  que por  efecto  de contracción o dilatación alteran   la longitud de éstos, haciéndola mayor o menor.

• Si la temperatura aumenta, la longitud del cable se alarga (aumentando su flecha) y su tensión mecánica disminuye.

• Si  la  temperatura disminuye,  la  longitud del  cable disminuye (disminuyendo su  flecha) y su tensión mecánica aumenta.

La  fuerza que ejerce el  viento  sobre  los conductores,  que actúa como una sobrecarga,  ya que al sumarse con el propio peso del cable hace que el efecto sea el de un aumento aparente de dicho peso.

La fuerza que ejerce  la escarcha (hielo) sobre  los conductores,  supone otra sobrecarga, de acción vertical, que se superpone al peso propio del cable, ésta condición se aplica a zonas geográficas de baja temperatura.

Resulta, por tanto, indispensable tomar en cuenta las modificaciones que sufre el conductor por temperatura o sobrecarga para conocer si para cualquier situación se han de cumplir  las prescripciones reglamentarias de aislamiento y montaje.

Todas las modificaciones que se deban prever en el funcionamiento mecánico de las líneas se reflejan en una relación entre ellas, que se llama “Ecuación de Cambio de Estado”.

Dos criterios generales se utilizan para el cálculo de tensiones y flechas: La curva de la catenaria, en donde se asume que la masa del conductor está uniformemente distribuida 

a lo largo de la longitud del arco descrito por dicho conductor la tensión mínima en el cable está en el 

                                                                                                                                                                                                                                                                                               

Facultad de Ingeniería.Escuela de Eléctrica.Asignatura: “Diseño de Líneas de Transmisión”.

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 α  θ2  ­ θ1 t2  ­ t1

E φ=

a2

24 [ w22

t22  ­ 

w12

t12 ]

                                                                                                                              punto más bajo y la tensión máxima está en los puntos de apoyo. La tensión en cualquier punto del cable consta de dos componentes: una horizontal (que es uniforme a lo largo del cable) y una vertical (que varia desde cero en el punto más bajo del cable hasta un valor máximo en los soportes). Lo anterior significa que la tensión total en el cable es variable.

La curva de la parábola, se asume que la masa del cable está uniformemente distribuida a lo largo de una línea horizontal que depende de los puntos de soporte del cable. La ecuación matemática del cable es la de una parábola.

Los resultados de ambos métodos son similares cuando la relación flecha­vano es pequeña, sin embargo, la diferencia en los resultados llega a ser considerable a medida que la flecha aumenta. Por tanto, para vanos largos en donde la flecha es más grande, se tendrá una diferencia entre ambos métodos.

El método de la parábola, más sencillo, se limita a relaciones flecha­vano menores que 0.05 y el método de la catenaria para relaciones entre 0.05 y 0.20. Difícilmente se encontrarán relaciones mayor a 0.20.

La Ecuación de Cambio de Estado se define como:

Ecuación 5.1: “Ecuación de Cambio de Estado”.

Donde:α: coeficiente de dilatación lineal del conductor [ °C ].θ2: temperatura final del conductor [ °C ].θ1: temperatura inicial del conductor [ °C ].t2: tensión final en el conductor [ kg ].t1: tensión inicial en el conductor [ kg ].E: módulo de elasticidad del conductor [ kg / mm2 ].φ: sección transversal del conductor [ mm2 ].a: longitud del vano [ m ].w2: peso por unidad de longitud final del conductor [ kg / m ].w1: peso por unidad de longitud inicial del conductor [ kg / m ].

Una plantilla de curvas de flechas es utilizada para determinar gráficamente en un plano de planta y perfil la localización y altura de las estructuras, puesto que a través de ésta es posible:

Mantener el libramiento a tierra adecuado, lo mismo que el libramiento en cruzamientos. Prever el balanceo excesivo de los aisladores y el levantamiento de las estructuras. El uso adecuado de las limitaciones mecánicas de las estructuras de soporte. Lograr economía en el diseño.

La plantilla de flechas consta de las siguientes curvas como mínimo: Curva fría o curva de flechas mínimas verticales.

Generalmente se elabora para temperatura de 15 °C sin sobrecargas y para condiciones de flecha inicial.  Ésta  curva  se  utiliza  para   revisar  el   levantamiento  de   las  estructuras   (tensión vertical)   y  el balanceo en la cadena de aisladores.

Curva caliente o curva de flechas máximas verticales.

                                                                                                                                                                                                                                                                                               

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                                                                                                                              En forma general se elabora a 60 °C sin sobrecargas, es decir, sin hielo y sin viento y para condiciones de flecha final. Ésta curva se utiliza para localizar la posición de las estructuras, revisar libramientos, revisar balanceo en la cadena de aisladores y altura de las estructuras en los planos de planta y perfil.

Curva de tierra.Consiste en una curva paralela a la curva caliente, desplazada de ésta la distancia del libramiento a tierra.

Curva de pie de apoyo.Ésta se traza paralela a la curva caliente, desplazada una distancia igual a la altura que hay desde el suelo hasta el punto de engrape del conductor interior y es utilizada para determinar la ubicación de las estructuras.

Planteamiento de la ecuación de la flecha.Un conductor de peso uniforme, sujeto entre dos apoyos por los puntos A y B situados a la misma altura, forma una curva llamada catenaria. La distancia f entre el punto más bajo situado en el centro de la curva y la  recta AB, que une los apoyos, recibe el nombre de flecha. Se llama vano a la distancia "a" entre los dos puntos de amarre A y B.

Figura 5.1.

Los postes deberán soportar las tensiones TA y TB que ejerce el conductor en los puntos de amarre.

La tensión T = TA = TB dependerá de la longitud del vano, del peso del conductor, de la temperatura y de  las condiciones atmosféricas.

Para vanos de hasta unos 500 metros podemos equiparar la forma de la catenaria a la de una parábola, lo cual ahorra unos complejos cálculos matemáticos, obteniendo, sin embargo, una exactitud más que suficiente.

La catenaria deberá  emplearse necesariamente en vanos superiores a los 1000 metros de longitud, ya que cuanto mayor es el vano menor es la similitud entre la catenaria y la parábola.

Calculamos a  continuación  la   relación que  existe  entre   la   flecha  y   la   tensión.  Para  ello   representamos el conductor de un vano centrado en unos ejes de coordenadas:

                                                                                                                                                                                                                                                                                               

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y =x2  P2 TO

y = f       ;       x =a2

                                                                                                                              

Figura 5.2.

Consideramos un trozo de cable OC que tendrá un peso propio PL aplicado en el punto medio y estará sometido a las tensiones TO y TC aplicadas en sus extremos.

Tomando momentos respecto al punto C tendremos:

Ecuación 5.2

Por lo tanto el valor de y será:

Ecuación 5.3

Si llamamos P al peso unitario del conductor, el peso total del conductor en el tramo OC, que hemos llamado PL, será igual al peso unitario por la longitud del conductor.

Por lo tanto admitiendo que:Ecuación 5.4

y sustituyendo esta expresión en la Ecuación 5.3, resulta que:

Ecuación 5.5

Si ahora consideramos el punto A correspondiente al amarre del cable en vez del punto C, tendremos que:

Ecuación 5.6

Por lo tanto al sustituir queda:

Ecuación 5.7

                                                                                                                                                                                                                                                                                               

PLx2= TO  y

y =x P L

2 TO

PL= P x

f =P a2

8 TO

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T O=P a2

8 f

                                                                                                                              

Podemos despejar el valor de la tensión TO y tendremos que :

Ecuación 5.8

La Ecuación 5.7 nos relaciona la flecha f en función de la tensión TO, del peso unitario del conductor P y de la longitud del vano a.

Si comparamos la Ecuación 5.7 con la ecuación de la catenaria:

Ecuación 5.9

Podremos observar la complejidad de ésta y como se demostrara en el desarrollo de la guía, los resultados serán prácticamente iguales (para ciertos valores de vanos).

Nos interesa trabajar con la tensión TA en lugar de la empleada hasta ahora TO. Observamos el triángulo de fuerzas compuesto por TO, TA y PL:

Figura 5.3.

Y aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:

Ecuación 5.10

En los casos prácticos que se nos presentan en las líneas aéreas de alta tensión, el valor del ángulo formado por TO y TA es muy pequeño, por lo que podemos asegurar que TO ≅ TA. Esto equivale a afirmar que la tensión a lo largo del conductor es constante.

                                                                                                                                                                                                                                                                                               

f =T O

P [ Cosh a P2 TO

 ­ 1 ]

T A2= TO

2 P 

a2

2

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                                                                                                                              III. MATERIAL Y EQUIPO.

No. Cantidad Descripción1 1 Computadora con MATLAB 5.32 1 Disco flexible3 1 Guía de laboratorio

Tabla 5.1.

IV. PROCEDIMIENTO.

Paso 1. Con un conductor HAWK calculamos las flechas para distintos vanos con un coeficiente de seguridad de 4. El conductor HAWK presenta una tensión de rotura de 8820 kg y un peso unitario de 0.975 kg/m. Las ecuaciones a utilizar son las correspondientes al calculo de flecha por el método de la parábola (Ecuación 5.7) y por el método de la catenaria (Ecuación 5.9).

Ecuación 5.7

Ecuación 5.9

Donde:f: es la flecha.P: es el peso del cable por unidad de longitud.TO: es la tensión de diseño.a: es el vano.

Los valores que sustituimos son:

Paso 2. Elabore un programa en MATLAB que calcule la flecha por los métodos de la catenaria y parábola para diferentes valores de distancia entre apoyos (vano),  además que calcule su respectivo porcentaje de error (tomando como referencia la flecha obtenida con la catenaria). Los diferentes valores de vano que utilizara aparecen en la Tabla 5.2.

% Calculo de flechas %

disp('Calculo de flecha por el metodo de la parabola y de la catenaria')

b=input('Cual es la tension de rotura del cable a utilizar [ kg ]: ');

P=input('Cual es el peso del cable por unidad de longitud [ kg / m ]: ');

n=input('Cual es el factor de seguridad a utilizar en su diseño: ');

T=(b/n);

a=input('Cual es el valor del vano: ');

                                                                                                                                                                                                                                                                                               

f =P a2

8 TO

f =T O

P [ Cosh a P2 TO

 ­ 1 ]

T =Qn=

88204

= 2205 kg       ;       P = 0 .975 kg   /   m

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                                                                                                                              fp=((P*a*a)/(8*T));

fc=((T/P)*(cosh((a*P)/(2*T))­1));

c=((fc/fp)­1)*100;

disp('La flecha por el metodo de la parabola es igual a:'),fp

pause(7)

disp('La flecha por el metodo de la catenaria es igual a:'),fc

pause(7)

disp('El porcentaje de error en el calculo es de:'),c

Paso 3. Con los valores obtenidos con la ejecución del programa anterior, proceda a llenar la Tabla 5.2:

Vano ( m )Flecha por el

Método de la parábola ( m )Flecha por el

Método de la catenaria ( m )% de error

100200400600800

100012001400160018002000

Tabla 5.2.

Paso 4. Sabemos que si la temperatura aumenta, la longitud del cable se alarga (aumentando su flecha) y su tensión mecánica disminuye y si la temperatura disminuye, la longitud del cable disminuye (disminuyendo su flecha) y su tensión mecánica aumenta.

Paso 5. Hacer un programa en MATLAB que nos ayude a verificar la influencia de las condiciones ambientales (en este caso la  temperatura1)  sobre  la  tensión a  la cual  esta sometida el  conductor.  Asuma un factor de seguridad de 3 y un vano de 200 metros.

% Calculo de la tension %

disp('Calculo de la tension del conductor')

f=input('Cual es el valor de la flecha [ m ]: ');

P=input('Cual es el peso del cable por unidad de longitud [ kg / m ]: ');

n=input('Cual es el factor de seguridad a utilizar en su diseño: ');

a=input('Cual es el valor del vano: ');

T=((P*a*a)/(8*f));

1 El análisis se hará de manera indirecta, es decir, se utilizara la ecuación del calculo de flecha por el método de la Parábola para el calculo de la tensión del conductor.                                                                                                                                                                                                                                                                                               

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                                                                                                                              Q=(T*n);

disp('El valor de la tension en kg es de:'),T

if Q < 8820

    disp('El cable que ha escogido en su diseño es el ideal')

else

    disp('P R E C A U C I O N')

    disp('El conductor que ha elegido en su diseño cumple con las caracteristicas electricas')

    disp('pero no con las caracteristicas mecanicas')

    disp('E L I J A   O T R O   C O N D U C T O R')

end

Flecha ( m )

Tension ( kg )

0.250.500.75

11.251.501.75

2Tabla 5.3.

V. INVESTIGACIÓN Y EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS.

1. Grafique y explique la variación de la flecha con respecto al vano (para ambos métodos).2. Para que valores de vanos es admisible utilizar el método de la parábola como una buena aproximación 

del método de la catenaria.3. Explique una alternativa para el calculo de la tensión en función de la variación de la temperatura de 

forma directa y no de forma indirecta como la realizada en el laboratorio.4. ¿Qué significa el número 8820 en el segundo programa del calculo de la tensión?.5. Grafique y explique la variación de la tensión con respecto a la flecha.6. ¿Cuáles son los valores permitidos para flechas y vanos?. Comente acerca de los resultados obtenidos 

en la Tabla 5.2.7. ¿Qué  sucede con el  análisis en cuanto a calculo de flechas y  tensiones cuando los apoyos no se 

encuentran al mismo nivel?.8. ¿Cómo se distribuyen los esfuerzos en los apoyos cuando éstos no se encuentran al mismo nivel?.

Presentar los programas realizados en un disco.

                                                                                                                                                                                                                                                                                               

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                                                                                                                              VI. BIBLIOGRAFÍA.

Luis Maria Checa.“Líneas de Transporte de Energía”.1988 Marcombo Boixareu Editores.

José Miguel Valencia & Otto Tévez.“Elaboración de una herramienta  asistida por  computadora para el  diseño eléctrico  y  el  calculo  de tensiones”.Tesis de Ingeniería Eléctrica.

Harper, Gilberto Henríquez.“Técnicas Computacionales en Sistemas Eléctricos de Potencia”.Limusa, 1986.