Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales...
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Universidad Nacional de San Luis Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales Departamento de Física Caracterización de Medios Porosos y Procesos Percolativos y de Transporte. Maestrando: Lic. Raúl Horacio López. Asesor Científico: Dr. Jorge Andrés Zgrablich. Co-Asesor Científico: Dra. Ana María Vidales. San Luis, Argentina - 2002
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Universidad Nacional de San LuisFacultad de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales
Departamento de Física
Caracterización de Medios Porosos y
Procesos Percolativos y de Transporte.
Maestrando: Lic. Raúl Horacio López.Asesor Científico: Dr. Jorge Andrés Zgrablich.Co-Asesor Científico: Dra. Ana María Vidales.
San Luis, Argentina - 2002
Este trabajo, un humilde tributo a la imaginación, está dedicado a:
Papá, Estela y Malena
Negro y Norma
Totó y Porota
Agradecimientos:
Son muchas las personas ha quienes les debo agradecer, ya que, de no haber sido por
ellas, difícilmente podría haber concretado este trabajo.
• En primer lugar quiero agradecer a un "Grupo" de personas, que hace unos cuantos
años atrás, me brindó la oportunidad de comenzar con este apasionante trabajo que es el de
la investigación científica. Al principio eran compañeros de trabajo, pero luego de
compartir momentos tan gratos, tengo la inmensa fortuna de poder contar con ellos como
amigos: Roly, Federico y Moira, Charly, Daniel, Félix, Víctor, Sergio, Ana, Karim y Mónika,
Jóse, Chelco, Diego y Andrea, Rodolfo, Marcelo y Valeria, Pepe y Fernando.
De más está decir que este agradecimiento lo hago extensivo a sus respectivas familias.
• A "Usted" Giorgio, que es el gran responsable de haber formado este excelente Grupo,
le agradezco el haberme dirigido en este trabajo, como así también su paciencia,
permanente aliento y apoyo.
• A mis Amigos, que me han acompañado en las buenas y malas desde que llegué a San
Luis, hace ya más de veinte años.
• A toda mi Familia, a quienes les debo lo que soy.
• Y muy especialmente a "la Ani."
Al Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales de la
Univ. Nac. de San Luis y al Conicet, instituciones que hicieron posible este trabajo.
Indice
Introducción ............................................................................. 1
Capítulo 1: Modelos Discretos y Correlaciones .............. 4
1.1 Modelos Discretos versus Continuos .............................. 5
1.2 Modelo Dual de Sitios y Enlaces ...................................... 7
1.3 Simulación de la Red ......................................................... 11
1.4 Efectos de Tamaño Finito ............................................... 16
1.5 Función de Correlación Espacial .................................... 18
1.6 Redes Tridimensionales .................................................... 28
Referencias ......................................................................... 35
Capítulo 2: Procesos Percolativos ................ .................. 37
2.1 Introducción a la teoría de la percolación ...................... 38
2.2 Percolación invasiva .......................................................... 46
Referencias ......................................................................... 55
Capítulo 3:
Resultados de la Percolación Invasiva con Correlación .. 573.1 Resultados .......................................................................... 58
Referencias ......................................................................... 78
Conclusiones y Perspectivas Futuras.......................... 79
1
Introducción
La mayoría de los fenómenos de transporte y percolativos relacionados con una gran
variedad de problemas físicos que tienen lugar en la superficie y en el interior de la materia son
simulados con la ayuda de un espacio discreto representado por un arreglo regular de sitios o
enlaces o por una combinación de ambos1.
Diferentes problemas físicos pueden ser tratados asociando cada elemento de la red
(sitios y enlaces) con alguna propiedad del sistema bajo estudio, por ejemplo, un sólido poroso
puede ser representado por una red tridimensional de poros (sitios) conectados por canales
(enlaces), donde la propiedad relevante en este caso es el tamaño♣ característico del poro o del
canal. Una superficie adsortiva heterogénea puede ser representada por una red bidimensional
de pozos adsortivos (sitios) conectados por barreras de potencial (enlaces) a través de los
cuales las partículas adsorbidas podrán migrar de un sitio a otro, en este caso la propiedad
relevante de cada elemento es la energía. Nos concentraremos en el estudio de esta clase de
medios desordenados, en donde la propiedad asociada con cada elemento tiene una
distribución de probabilidad y especialmente en los sólidos porosos.
La complejidad en estas redes puede ser introducida de diferentes formas:
Modificando la homogeneidad del medio (por homogéneo entendemos un sistema en
donde las propiedades son independientes del tamaño lineal).
Mediante correlaciones espaciales entre las propiedades asociadas con cada elemento
en función de su distancia de separación
Variando la conectividad.
Por la presencia de anisotropías, etc.
El entendimiento de cómo influye la complejidad sobre los procesos físicos a ser considerados
está basado en un completo conocimiento de la manera en que la topología de la red es
afectada una vez que la complejidad es introducida.
En las primeras etapas del estudio de los fenómenos de transporte en medios porosos, la
mayoría de los investigadores asumieron que la heterogeneidad en una región del sistema era
aleatoria y no correlacionada con otras regiones del medio. Además, supusieron que tal
heterogeneidad ocurría a escalas mucho más pequeñas que el tamaño lineal del sistema. Estas
2
suposiciones fueron hechas debido a la dificultad para modelar el sistema en una forma más
realística, dada las limitaciones computacionales de la época y/o por falta de evidencia
experimental. Estos modelos simples permitieron un primer entendimiento de los fenómenos
de transporte en medios porosos. Sin embargo, la evidencia actual nos sugiere que una gran
cantidad de materiales porosos no están de acuerdo con estas suposiciones simplistas. Dichos
materiales exhiben correlaciones a diferentes escalas, por lo que, para tratar tales correlaciones,
ha sido necesaria la introducción de la geometr ía f rac tal 2 la cuál nos dice cómo los valores de
las propiedades del sistema en diferentes regiones dependen de la escala de observación, cómo
están correlacionadas unas con otras y cómo se puede modelar tales correlaciones en una
forma realística.
Una vez que hemos aceptado que los medios porosos son heterogéneos, debemos ser
cuidadosos con sus consecuencias. Por ejemplo, consideremos la permeabilidad de un medio
poroso, la cual es una medida de cuan fácilmente un determinado fluido puede fluir a través
del mismo. En un medio poroso natural, la permeabilidad varía según la región del medio, por
lo que mientras una parte del medio puede ser altamente permeable, otra región puede ser
prácticamente impermeable. Además, la zona permeable puede estar (o no) conectada a la
impermeable, por lo que si nuestro objetivo es describir de una manera realística el medio
poroso, es necesario tomar en cuenta la interconectividad.
La herramienta para considerar el efecto de la interconectividad de las diferentes
regiones de un medio poroso es la t eoría de la perco la ción 3. La percolación nos dice como la
interconectividad de un dado sistema afecta a sus propiedades globales, y si por ejemplo, la
fracción de volumen de la región permeable es menor que cierto volumen crítico, el medio
poroso no es permeable y la permeabilidad total del sistema es cero. En el problema clásico de
percolación se asume que las regiones permeables e impermeables están distribuidas
aleatoriamente y son independientes unas de otras. Posteriormente fueron desarrollados
modelos percolativos más realísticos capaces de tomar en cuenta correlaciones y otros factores
que afectan al sistema.
En el presente trabajo, nos enfocaremos sobre los efectos de las correlaciones
espaciales, por lo que es necesario un completo conocimiento de la Función de Corre lac ión
Espacial C(r) , entre sitios ( y/o enlaces) separados por una distancia r (en unidades de red).
♣ En una geometría de poros esféricos, cada sitio de la red almacenará el radio de dicho poro.
3
Esta función de correlación puede ser medida4 a través de simulaciones de Monte Carlo,
usando redes de tamaño finito L .
La simulación de dichas redes involucra esencialmente un modelo y una sucesión de
estados que lleven al sistema al es tado f ina l de equi l ibr io . Además, debido al tamaño finito
de la red, C(r) no puede ser medida para cualquier r arbitrariamente grande debido a los
efectos de tamaño siempre presentes. Es importante investigar cual debe ser la longitud L de
la red para la cual los efectos de tamaño se vuelven despreciables y cuál es la cantidad de pasos
necesarios para alcanzar el equilibrio. Un estudio cuidadoso del comportamiento de las
correlaciones ha sido omitido hasta el presente por lo que creemos importante llevar a cabo
dicho estudio.
En el primer capítulo de este trabajo desarrollamos mediante simulaciones de Monte
Carlo, un estudio de la propagación de las correlaciones en redes de sitios y enlaces generadas a
través del Modelo Dual de s i t ios y enlaces (DSBM)5, 6, 7 introducido por el Profesor Vicente
Mayagoitia, en donde los valores de las propiedades asignadas a sitios y enlaces son
muestreados desde dos distribuciones que pueden llegar a tener un cierto traslape. Las
correlaciones aparecen cuando el principio de construcción es establecido. Este modelo ha
sido usado con éxito en diversos problemas físicos, tales como: adsorción, difusión superficial
sobre superficies heterogéneas, procesos percolativos, fenómenos de transporte en medios
porosos, etc. Además el tiempo de relajación necesario para alcanzar el equilibrio del sistema es
determinado y el tamaño mínimo de la red ha ser usado es establecido para diferentes
correlaciones, representadas por el traslape Ω del sistema. Por último, presentamos una
ecuación empírica más adecuada para relacionar la longi tud de corre lac ión caracte rí st i ca l0 con
el traslape. Este estudio se realizó en 2 y 3 dimensiones.
En el Capítulo 2 introduciremos los conceptos básicos de la percolación y haremos una breve
descripción de la percolación invasiva con entrampamiento. Los parámetros presentados en
este capítulo son comunes a todos los procesos percolativos y veremos que factores los afectan
.
En el capítulo 3 se estudiará el problema de la percolación invasiva sobre superficies
correlacionadas dentro del marco del DSBM y veremos con son afectados los parámetros de
interés. Por último daremos las conclusiones y perspectivas futuras.
4
Capítulo 1
Modelos Discretos y Correlaciones
5
1.1.- Modelos Continuos versus Discretos
Entender las propiedades de transporte y flujo en el seno de un medio poroso de
cualquier naturaleza, implica contar con una representación realística del mismo. Cada modelo
utilizado dependerá del tipo de medio que se intenta modelar y además de las limitaciones
matemáticas y computacionales que se tenga. Por lo que deberán usarse modelos
suficientemente simplificados para simular los procesos de interés en un tiempo de cómputo
razonable y sin dejar de lado las características más sobresalientes del sistema en estudio.
Podemos separar los modelos en dos grandes familias:
I. Los modelos cont inuos son usados generalmente en la ingeniería para describir
materiales complejos y de geometría irregular, caracterizados por diversas longitudes de
escala. Las leyes físicas que gobiernan el flujo y el transporte a nivel microscópico son
bien entendidas, por lo que uno, en principio, podría plantear las ecuaciones
diferenciales para el momento, energía y masa junto con las condiciones iniciales y de
contorno para la interfase fluido-sólido y resolver el problema. Sin embargo, las
interfases típicas en los sólidos porosos son muy irregulares lo que se traduce en
problemas de contorno intratables matemáticamente. Otra limitación de estos modelos
aparece cuando queremos describir la interconectividad en la red o cuando en el
sistema están presentes correlaciones, en especial, cuando éstas son del orden del
tamaño lineal del sistema.
II. La segunda clase de modelos, los mode los di sc re tos , están libres de estas
limitaciones. Estos modelos han sido desarrollados para describir fenómenos a nivel
microscópico y han sido extendidos en los últimos años para tratar sistemas
macroscópicos. Su principal desventaja, desde un punto de vista práctico, es su elevado
costo computacional para describir un sistema real en una forma discreta.
Dependiendo del tamaño del sistema y del fenómeno a simular, es posible que los
6
tiempos de cálculo se vuelvan prohibitivos, si bien, hoy por hoy, podemos atacar
problemas que eran impensables 10 años atrás♠.
Estas clases de modelos son muy útiles cuando en el sistema juega un papel central la
interconectividad y cuando hay presente correlaciones. La idea original de representar un
medio poroso a través de una red discreta tuvo su origen en la década del 50, pero recién a
principios de los 80 fue cuando se desarrollaron procedimientos rigurosos que permitieron
mapear, en principio, cualquier medio poroso desordenado en una red equivalente. Una vez
realizado el mapeo uno puede estudiar un dado fenómeno en forma completa.
El modelo Dual de Sitios y Enlaces corresponde a la familia de los modelos discretos. En la
siguiente sección daremos una descripción general del modelo, el lector que esté interesado
puede consultar las referencias: [8] y [9] para más detalles.
♠ En los años 90 el Laboratorio de Ciencia de Superficie y Medios Porosos contaba con microprocesadores 486,cuya velocidad era de unos 10 MIPS (Millones de instrucciones por segundo) actualmente la capacidad propia decálculo es de unos 10000 MIPS.
7
1.2.- Modelo Dual de Sitios y Enlaces
Supongamos que un sólido poroso puede ser representado por una red de sitios
conectados por enlaces. El número medio de enlaces que emergen de un sitio define la
conectividad♦ z de la red. Cualquier distribución de tamaño para sitios y enlaces considerados
como elementos diferentes, puede ser descripta mediante las funciones dens idad FS(R) y FB(R),
de forma tal que: FS(R)dR (FB(R)dR) es la probabilidad de hallar un sitio (enlace) de tamaño
comprendido entre R y R+dR. Las funciones de di str ibución de sitios y enlaces, S(R) y B(R)
están definidas por:
= =∫ ∫R R
S B0 0
S(R) F ( R)dR y B(R) F ( R)dR (1.1)
y representan la probabilidad de hallar respectivamente un sitio o un enlace de tamaño no
mayor que R
Sean b =[b1, b2 ) y s =[s1, s2 ) los intervalos en donde las funciones densidad están
definidas (en el caso más simple éstas serán uniformes, como muestra la Figura 1-1). La
manera en que sitios y enlaces se conecten para formar la red estará dada por la densidad de
probabi l idad conjunta si t io-enla ce , F( RS , RB ) , de encontrar un sitio de tamaño entre RS y RS
+ dRS conectado a un enlace de tamaño entre RB y RB + dRB .
Figura 1-1 :
Funciones densidades uniformes para
enlaces (---) y para sitios (). El área
sombreada denota el traslape Ω entre las
distribuciones. FB está definida en el
intervalo b =[b1, b2) y FS en el s =[s1,
s2).
♦ La conectividad se mantuvo constante en este trabajo.
Rs
2s
1 b2
b1
ΩΩΩΩ
FS
F B
FB
,
FS
8
Ahora estamos en condiciones de formular las dos leyes básicas que describen y dan
consistencia al DSBM, ellas son:
0 B(R) S(R)- ≥Primera Ley : (1.2)
= 0 para S B S BF(R , R ) R < RSegunda Ley : (1.3)
La primera ley establece que sólo podrán conectarse en una red todos los sitios de una
dada distribución si existe un número suficiente de enlaces de tamaño adecuado, lo que implica
que b1 ≤ s1 y b2 ≤ s2 , por lo que la distribución de enlaces estará siempre a la izquierda de la
distribución de sitios. Mientras que la segunda, llamada Principio de Construc c ión (PC) , es de
naturaleza local y expresa el hecho de que el tamaño RS de un sitio debe ser mayor que o al
menos igual al tamaño RB de sus enlaces vecinos. La densidad de probabilidad conjunta
F ( RS , FR ) , está definida mediante:
( , ) ( ) ( ) ( , )S B S B S S B B S B S BF R R dR dR F R F R R R dR dRΦ= (1.4)
en donde Φ(RS,RB) representa la Func ión de Correlac ión entre s i t i os y en laces y es la que
lleva la información de cómo es la asignación de sitios y enlaces en la red. Por supuesto que la
función de correlación será diferente para los diferentes métodos de construcción de la red. En
el caso más simple, en donde la asignación es de la forma más aleatoria posible permitida por
el Principio de Construcción, llamado el caso Auto consi st ent e♠ , Φ se reduce a:
e
RS
RB
S B
dBB-SS B
S BB B
0 R < R
Φ( R ,R ) = R R
B(R ) S(R )-
∫ ≥
(1.5)
♠ En otras palabras, esto significa máxima entropía configuracional para un dado conjunto de pares de (RS, RB)muestreados desde FS(RS), FB(RB),
9
La función de correlación sitios-enlaces (Φ(RS,RB) ) puede calcularse explícitamente
para el caso de distribuciones de tamaño uniformes. Supongamos que sitios y enlaces se hallan
uniformemente distribuidos, con densidades:
si0 en otro caso
0 1 2S
F s R sF (R)
≤ ≤=
(1.6)
si0 en otro caso
0 1 2B
F b R bF (R)
≤ ≤=
(1.7)
En la Figura 1-2 se representan estas funciones para diferentes traslapes. A partir de la
ecuación (1.5) resulta:
eS B-β( R ,R )Ω
(1-Ω)
S BΦ(R ,R ) =(1 -Ω)
(1.8)
donde:
1
si y
si y
si y
si y
S 1B 1 S 2
2 1
B 1 S 2
S B S BB 1 S 2
2 1
2 BB 1 S 2
2 1
R - s R s R bb - s
R s R > bβ(R ,R ) = R - R R > s R b
b - sb - R R > s R > bb - s
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤
≤≤≤≤ ≤≤≤≤
(1.9)
y 0 2 1Ω F (b - s )≡≡≡≡ (1.10)
Figura 1-2Funciones densidades uniformes para enlaces (---) y para sitios (). Los diferentes traslapes seobtuvieron desplazando la distribución de enlaces a la derecha y manteniendo fija la de sitio.
0
1
2 F
B
FS
F B , F
S
ΩΩΩΩ = 0
b2
b 1 s2s1 R
FB
FS
ΩΩΩΩ = 0.5
b 2b 1 s2s1 R
FB
FS
ΩΩΩΩ = 0.9
b2b
1s
2s1 R
10
El grado de traslape Ω , definido como el área común entre las funciones de densidad
de sitios y enlaces, es una medida natural de la correlación sitio-enlace. La función Φ tiene las
siguientes propiedades:
i. Ω 0 S BΦ ( R ,R ) 1→ = , ∀ RS ,RB , Sitios y enlaces están distribuidos completamente al azar
ii. Ω 1 S B S BΦ ( R ,R ) δ( R - R )→→→→ ∝∝∝∝ , ∀ RS ,RB , Sitios y enlaces vecinos están fuertemente
correlacionados formando grandes parches de aproximadamente el mismo tamaño.
Por lo tanto el parámetro fundamental que describe la topología de la red en el modelo
Dual es el traslape Ω. Este comportamiento también sugiere que Ω debe poder relacionarse
con alguna longi tud de correlac ión espacia l 10 (la cual será un parámetro físico más
representativo) característica de la función de correlación espacial definida en la ecuación
(1.14). En efecto, es esperable que C(r) decaiga aproximadamente en una forma exponencial
(este podría ser el comportamiento exacto para una red unidimensional generada por una
sucesión de eventos de Markov) :−
≈ 0
rrC(r) e (1.11)
donde r0 es la longitud de correlación (medida en constantes de red). Esta expresión ha sido
extensivamente usada en diferentes aplicaciones del DSBM junto con el ansatz 10, 11 :
≈−0Ωr
1 Ω(1.12)
que relaciona el traslape con la longitud de correlación, de forma tal que:
r0 → 0 cuando Ω → 0
r0 → ∞ cuando Ω → 1
Más adelante veremos que la ecuación (1.12) no se cumple en forma general, en particular, falla
para traslapes elevados (Ω > 0.7). Es por esta razón que, en lo que sigue, se hará un cuidadoso
estudio de cómo alcanzar el equilibrio en la generación de redes en el modelo Dual y el efecto
de tamaño finito en dichas redes.
11
1.3.- Simulación de la Red.
La generación de redes en el DSBM ha sido intensamente investigada a lo largo de
estos últimos años, lográndose un entendimiento casi total del problema. El método que
usaremos es el propuesto en la Ref. [12], el cual puede ser resumido de la siguiente manera:
Figura 1-3:
Representación esquemática de una red
bidimensional de LxL sitios y 2LxL
enlaces (L=4). Por simplicidad los sitios y
los enlaces son del mismo tamaño. Los
enlaces en línea de puntos representan las
condiciones de borde periódicas usadas en
todas las simulaciones.
i. Una red inicial de tamaño lineal L es generada (Figura 1-3), en donde cada elemento
del red contendrá el valor del radio del sitio RS , y el de sus z enlaces RB , ambos
muestreados desde las correspondientes funciones densidad FS(R) y FB(R) (Figura 1-1).
Los radios de sitios y enlaces son distribuidos aleatoriamente en el red. La red así
generada tendrá las funciones FS(R) y FB(R) correctas, pero no la Φ(RS,RB) correcta
(Figura 1-4-a) , en particular no se cumplirá el PC♣.
ii. A continuación una sucesión de eventos de Markov es generada eligiendo al azar
pares de sitios (o enlaces) y se intenta intercambiarlos. El intercambio es realizado
(probabilidad de transición igual a 1) si se verifica el PC, caso contrario es rechazado
♣ Si no hay traslape entre las distribuciones todos los radios de los enlaces serán menores o iguales al de los sitios,de modo que, cuando Ω = 0 se cumple el PC independientemente de cómo están distribuidos espacialmente sitiosy enlaces.
L
Sitio
Enlace
12
(probabilidad de transición igual a 0). Esta sucesión de eventos conduce finalmente al
“estado de equilibrio”, es decir, se cumple el principio de construcción en toda la red.
(Figura 1-4-b).
Este procedimiento no sufre de los efectos espurios introducidos por métodos
anteriores, los cuales asignaban los tamaños de los sitios y enlaces a través de una secuencia
determinística sobre el red lo que introducía una fuerte anisotropía en la correlación entre
los elementos del red.
Figura 1-4
a) Función de correlación sitio-enlace Φ (RS,RB) , para un dado valor de RS. Se observa que lafunción de correlación obtenida por simulación difiere notablemente de la analítica, esto se debe alno cumplimiento del PC. (Paso i).
b) Al finalizar el Paso ii) se tiene una plena coincidencia entre la curva analítica y la simulación.() Φ (RS,RB) analítica. () Φ (RS,RB) obtenida por simulación.
Una vez que la Φ(RS,RB) analítica coincide con la experimental (simulada) se podría
suponer que la red alcanzó el equilibrio. Pero, ¿qué pasará con la topografía de la red si uno
continúa intercambiando elementos entre si (siempre y cuando se respete el PC).
Adelantándonos al final del trabajo, podemos asegurar que la topografía se ve fuertemente
afectada si uno continúa "batiendo" la red. Es por esta razón que surge la necesidad de
estudiar cómo y cuánto es afectada la red y que parámetro es necesario monitorear para poder
asegurar que se ha alcanzado el equilibrio. El parámetro que usaremos, y que demostró ser el
indicado, es la longitud de correlación espacial r0 , obtenida de la función de correlación
espacial C(r). En los sistemas en donde existe una transición de estados, la longitud de
correlación es la medida típica del grado de ordenamiento del sistema en su búsqueda del
0
1
2
b 2b 1
s2s1
R B = R S0
Φ
(RS 0 ,
RB )
RB
0
1
2
b 2b 1
s2s1
R B = R S0
Φ (R
S 0 , R
B )
RB
a) b)
13
estado de equilibrio, y como veremos más adelante el Modelo Dual muestra una transición en
su morfología alrededor de Ω ≈ 0.5 en donde el sistema pasa de un estado diluido sin una
longitud de correlación característica, a un estado fuertemente correlacionado en donde los
elementos de la red se agrupan formando parches de tamaños similares. Es en este punto
donde la longitud de correlación se vuelve importante debido a que su valor es proporcional al
tamaño medio de los parches.
En lo que sigue de este capítulo demostraremos que la forma en que se alcanza el
equilibrio depende del traslape y del tamaño de la red y veremos que la cadena de eventos
de Markov necesarios para lograr el equilibrio estadístico es considerablemente mayor que
la necesaria para lograr el cumplimiento del PC.
De modo que, las preguntas centrales a ser contestadas son: ¿Cuándo la red alcanza el
equilibrio estadístico? y ¿cómo está relacionada la longitud de correlación con el traslape?.
Comenzaremos nuestro estudio sobre redes cuadradas bidimensionales para luego extenderlo a
3-D. Para esto usaremos en todos nuestros cálculos distribuciones uniformes del tipo de las
mostradas en la Figura 1-2. Los diferentes traslapes serán obtenidos mediante el
desplazamiento de la distribución de sitios, manteniendo fija la de los enlaces.
En primer lugar, un conjunto de simulaciones numéricas de redes bidimensionales de
tamaño lineal L, con L comprendido entre 102 y 103 fueron llevadas a cabo para un dado
traslape. Luego, el translape fue cambiado y un nuevo conjunto de redes fue generado y así
sucesivamente para Ω = 0, 0.1, 0.2, .........., 0.8, 0.85, y 0.9. Por simplicidad F0=1, (s1,s2)=(2,3) y
(b1,b2) fueron desplazados de acuerdo al traslape requerido.
El número de transiciones necesario para alcanzar el equilibrio es del orden de 100
pasos de Monte Carlo (MCS) para un Ω = 0.5 (1 MCS = LxL intentos de transición♠), de 500
MCS para Ω = 0.7 y para traslapes cercanos a la unidad la cantidad de MCS crece
considerablemente. (100000 MCS para Ω = 0.9). En todos los casos el estado inicial fue una
distribución aleatoria de sitios y enlaces.
♠ Para una red tridimensional 1 MCS = LxLxL.
14
La función de correlación simulada en el equilibrio ΦS i m(RS,RB)fue comparada con la
analítica de acuerdo a la Ec. (1.8). A partir de la Ec. (1.4):
SimSim S B S B
S BS S S B B B
F (R ,R )dR dRΦ (R ,R ) =F (R )dR F (R )dR
(1.13)
En donde FS i m(RS , RB) es la función densidad de probabilidad conjunta sitio-enlace simulada,
de encontrar un sitio de tamaño entre RS y RS + dRS conectado a un enlace de tamaño entre RB
y RB + dRB . En la Figura 1-5 se observa la función de correlación al comienzo de la
simulación, en donde el PC aún no se cumple debido a que la distribución espacial de sitios y
enlaces es totalmente aleatoria. Una vez que se alcanza el equilibrio, se obtiene una
concordancia excelente entre la función de correlación obtenida por simulación y la analítica.
En la Figura 1-6 podemos apreciar dichas funciones para diferentes traslapes y para
determinados valores de RS ya que la función de correlación define una superficie (ver Figura
1-7).
Figura 1-5
Función de correlación sitios-enlaces Φ(RS,RB )para diferentes traslapes y un RS fijo. Las líneascorresponden a la Φ analítica y los símbolos a la ΦS i m antes de comenzar con el intercambio.
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.000.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
R S = 2.5
( ) Ω = 0.5( ) Ω = 0.7
Φ (R
S , R
B )
RB
15
Figura 1-6Idem que la Figura 1-5 pero en el estado de equilibrio. En todos los casos el rango (s1,s2) se mantuvoconstante en (2,3) y se desplazo la distribución de enlaces (b1,b2) hasta conseguir el traslape deseado.
Figura 1-7Esta gráfica nos da una idea del tipo de superficie que forma la función de correlación.
1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.000.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5 R
S = 2.1
R S = 2.3 R
S = 2.5
Ω = 0.5
Φ
(RS ,
RB )
RB
1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.000.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5 R
S = 2.1
R S = 2.3 R S = 2.5
Ω = 0.7
Φ (R
S , R
B )
R B
1.61.8
2.02.2
2.4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.0
2.22.4
2.62.8
3.0
Ω = 0.5 R
S = 2.1
RS = 2.2
RS = 2.3
RS = 2.4
RS = 2.5
RSR
B
Φ (R
S , R
B )
16
1.4.- Efectos de Tamaño Finito.
En los sistemas reales las dimensiones de la muestra pueden considerarse infinitas en
comparación con los tamaños atómicos. En una computadora la cantidad de memoria
disponible para almacenar una red es finita, y además, a medida que se trabaje con redes de
tamaño mayor, se consumirá más tiempo para ejecutar todas los cálculos necesarios. Esto
resulta en una restricción en el tamaño del sistema simulado.
A los efectos de determinar las dimensiones del sistema a simular es necesario tener en
cuenta cuáles son las longitudes caract er í st i cas del s i s t ema bajo estudio. En algunos casos,
por ejemplo en el modelo de Ising, la longitud de correlación en una transición de fase de
segundo orden para un ferromagneto a la temperatura crítica Tc , diverge en el punto crítico
para el límite termodinámico.
• Por lo tanto, para obtener información fiable, es necesario que las dimensiones del sistema
sean en lo posible mucho mayores que las longitudes características
En la Figura 1-8 se observan cualitativamente los efectos de tamaño finito a través de los
típicos snapshots correspondientes a redes de diversos traslapes. Los diversos sombreados
representan diferentes intervalos de tamaño de sitio. Para traslapes bajos la topografía de la red
no presenta discrepancias para los diversos tamaños. Para el caso de Ω = 0.9 la importancia del
tamaño de la red se vuelve más que evidente, la red correspondiente a L = 200 puede verse
como si fuera una porción de la red de L = 700. Uno podría cometer el error (si sólo viera la
red para L = 200) de suponer que alguna clase de estratificación se despliega sobre la red
debido al elevado traslape, es decir, debido a la presencia de fuertes correlaciones. Como se
observa, este efecto desaparece a medida que aumentamos el valor de L.
Para determinar cuantitativamente el tamaño lineal mínimo de una red dado su traslape, es
necesario contar con un parámetro que nos de información acerca de la longitud característica
del sistema. El parámetro que demostró ser el adecuado fue la longitud de correlación espacial,
r0 , obtenida de la Función de Corre lac ión Espacial .
17
Figura 1-8Representación gráfica de las redes de sitios y enlaces (no mostrados) obtenidas por simulación. Seobservan los efectos de tamaño finito para diferentes valores del traslape. La fila superior corresponde aL = 200, la del medio L = 400 y la inferior a L = 700. El color negro corresponde a los sitio de menortamaño (RS = 2) y el blanco a los más grandes (RS = 3).
Ω = 0.5 Ω = 0.7 Ω = 0.9
18
1.5.- Función de Correlación Espacial♦♦♦♦.
Haciendo un análisis estadístico de los tamaños de los sitios y/o enlaces, se encuentra
que existe un parámetro r0 asociado a la topografía de la red, este aparece al medir la
correlación espacial entre los sitios y/o enlaces de la red. La función correlación espacial entre
el tamaño de los sitios CS S como función de la distancia entre sitios r (en unidades de red)
puede calcularse como:
( ) ( )( )
jS S S S
SS 2
S S
R R R RC (r) =
R R
- --
(1.14)
en donde SR , jSR representan el tamaño del sitio i y j respectivamente separados una distancia
r , SR el valor medio del tamaño de poros y los corchetes angulares se refieren al promedio
sobre una asamblea estadística de sistemas similares. Análogamente, se pueden calcular la
función de correlación entre enlaces CB B y entre sitios y enlaces CS B . En la Ec. (1.14) se ha
considerado al sistema invariante bajo traslaciones13 ( i jS SR = R ).
Midiendo esta función sobre las redes simuladas y haciendo uso de la Ec. (1.11) uno
puede obtener el parámetro r0 para diferentes traslapes y establecer un criterio para el tamaño
lineal mínimo de la red. Ahora bien, cuando uno mide la función de correlación espacial se
encuentra con que la topografía de la red es modificada considerablemente si continuamos
intercambiando elementos estando la red en equilibrio, una vez que se verifica el principio de
construcción. Continuar intercambiando elementos estando el principio de construcción ya
satisfecho significa seguir intercambiando elementos al azar con probabilidad igual a uno si
verifican el principio y probabilidad de transición igual cero si no lo verifican. Estos sucesivos
intercambios provocan un aumento del tamaño medio de los parches, es decir, los elementos
de tamaño similar se agrupan entre sí formando islas cada vez más grandes, esto es reflejado en
un incremento en la longitud de correlación y como se aprecia en la Figura 1-10 el aumento
dependiendo del traslape puede ser de más del 100%. Como se observa en los snapshoots (ver
Figura 1-11) estas islas están compuestas por elementos de tamaño muy parecidos entre sí y a
♦ Dicha función es la usual función de correlación de pares de sitios (enlaces) separados una distancia r definidacomo: CS S( r )=c ov (R S(0) ,RS( r ) )/var (RS) , donde c ov y var significan covariancia y variancia respectivamente.
19
medida que aumentamos el traslape este efecto sobre el tamaño de los parches se vuelve más
notorio. Resumiendo:
• A medida que aumentamos el intercambio de elementos (estando el PC satisfecho) la
longitud de correlación aumenta.
Este aumento continua hasta que se estabiliza en un determinado valor, y el tiempo que tarda
la longitud de correlación en alcanzar el equilibrio depende del traslape, y como es de esperar,
es mayor cuanto más alto sea este último.
Es de importancia destacar que, a medida que intercambiamos elementos, la función de
correlación Φ(RS,RB) no se modifica.
La convergencia al equilibrio para Ω entre 0 y 0.6 está entre 0 y 1x105 MCS para todos los
valores de L empleados. Los efectos de tamaño finito no fueron importantes para los tamaños
usados, comenzado con L = 200. Esto es, no hubo diferencias apreciables entre los tiempos de
relajación ni tampoco en el valor de r0 obtenido para diferentes L . Por lo tanto, es de esperar
que un tiempo de equilibrio♥ igual a teq= 1x105 MCS sería adecuado para este traslape.
Para traslapes mayores que 0.6 y menores que 0.85 el tiempo necesario está acotado entre
1x105 MCS y 6x105 MCS, y los efectos de tamaño se vuelven significativos a partir de Ω = 0.7
(Ver Figura 1-11).
Cuando el traslape se incrementa aún más (Ω = 0.9) el tamaño de la red se vuelve
determinante, como se puede observar en las fotografías de la Figura 1-8. En la Figura 1-9 se
muestra cuantitativamente el efecto de tamaño para redes de traslape 0.9 . En la parte a) el
logaritmo de la función correlación espacial C(r) definida en la Ec. (1.14) es graficado versus r
para diferentes valores de t y para dos tamaños de red L = 200 (símbolos vacíos) y L = 700
(símbolos llenos). Como se ve para L = 200 el equilibrio se alcanza en t e q = 6x105 MCS, pero
cuando L es incrementado a L= 700 , los valores de C(r) para r grandes necesitan más tiempo
de relajación para alcanzar el equilibrio.
♥ No confundir este tiempo con el tiempo de equilibrio necesario para lograr que se cumpla el PC.
20
Figura 1-9Gráfica semilogarítimica de la función de correlación espacial C(r) versus r para diferentes MCS y para
dos tamaños diferentes de red. a) Para r entre 1 y 100. b) Para r entre 1 y 10.
En la parte b) se repiten las mismas curvas pero sólo se graficó hasta r = 10 para poder
apreciar que el efecto no es importante para r < 4 .
Haciendo un ajuste lineal sobre las diferentes curvas hasta r = 10 en la gráfica del
Ln(C(r)) , obtenemos, desde las correspondientes pendientes, el valor de r0 como función de
t. El resultado se muestra en la Figura 1-10 donde la parte (a) corresponde a Ω = 0.9 y la parte
(b) a Ω = 0.7 . Estas gráficas muestran el comportamiento de la longitud de correlación con t
hasta que el equilibrio, teq , es alcanzado. Como se observa, este se alcanza rápidamente para
Ω = 0.7. También se aprecia leves fluctuaciones con el tamaño de la red, pero estas
desaparecen cuando aumentamos el tamaño de la red.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
-1
-2
-3
-4
-5
-6
(a)
L = 200 t = 0 t = 1x105
t = 5x105
t = 6x105
Ln(
C(r
))
r
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.00
-0.05
-0.10
-0.15
-0.20
-0.25
(b)
L = 700 t = 0 t = 1x105
t = 9x105
t = 1x106
Ln(
C(r
))
r
21
Figura 1-10
Longitud de correlación r0 versus t hasta que el equilibrio es alcanzado.(a) Para Ω =0.9 y (b) Ω = 0.7
Para Ω = 0.9 la convergencia al equilibrio es más lenta. Además, para L = 200 y para L = 400
se obtienen longitudes de correlación diferentes; la longitud de correlación aumenta al
aumentar L. En L = 700 r0 se estabiliza y las fluctuaciones que se observan en L = 400
desaparecen. En la Figura 1-11 se observa la importancia que tiene el intercambio posterior al
haberse cumplido el PC . Este efecto es más notorio cuanto más elevado es el traslape y para
traslapes del orden de Ω ≈ 0.9 el problema de la dependencia con el tamaño se vuelve crítico.
Esta gráfica nos da una idea de cuanto es afectada la topografía de la red dependiendo del
número de intercambios, a medida que se intercambian elementos, el tamaño medio de los
parches se incrementa notablemente hasta que se logra el equilibrio a t = t e q .
0.0 5.0x104 1.0x105 1.5x105 2.0x105 2.5x105 3.0x1050
1
2
3
4
5
6
7
8
0.0 2.0x105 4.0x105 6.0x105 8.0x105 1.0x106
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
t
r0
(b)
Ω = 0.7 L = 200 L = 400 L = 700
(a)
Ω = 0.9 L = 200 L = 400 L = 700
r0
t
22
Figura 1-11Idem que la Figura 1-8. La columna de la izquierda corresponde a Ω = 0.7 y la de la derecha a Ω = 0.9.La primer fila de cada juego de fotografías representa al sistema en el instante en que se verifica el PC.La segunda fila es para t = t e q , es decir, cuando el valor de r0 se estabiliza.
t = 0
Se cumpleel PC.
t = teq
L = 200
L = 200
L = 400
L = 400
t = 0
Se cumpleel PC.
t = teq
L = 700
L = 700
t = 0
Se cumpleel PC.
t = teq
23
Esto se ve reflejado en un aumento en la longitud de correlación. Por ejemplo, para Ω = 0.9 ,
el valor de r0 se incrementó al doble respecto del valor que tenía a t = 0 (pasó de 60 a 120
unidades de red). Este cambio tan grande en la topografía debe tenerse en cuenta a la hora de
simular cualquier tipo de proceso físico-químico sobre esta clase de redes generadas a través
del Modelo Dual.
Figura 1-12(a) Función de Correlación Espacial para diversos valores del traslape para L = 700. (b) Gráficasemilogarítmica de C(r) que muestra un buen comportamiento lineal hasta r = 10.
En la Figura 1-12 C(r) versus r es graficado para diversos valores del traslape y para un
tamaño de red de L = 700. El criterio usado para la determinación del número necesario de
MCS necesario para alcanzar el equilibrio estadístico, t e q fue el siguiente:
20 40 60 80 1000.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
t= teq
(a) Ω = 0.9 Ω = 0.85 Ω = 0.8 Ω = 0.75 Ω = 0.7 Ω = 0.65 Ω = 0.6
r
C(r
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
-3.0
(b)
r
ln(C
(r))
24
El cambio en r0 desde t = teq a t = teq + 105 MCS deberá ser menor al 1%.
La Figura 1-12(a) muestra el comportamiento lineal de la función de correlación
espacial hasta r = 10 (Siempre medido en unidades de red). Las curvas de la Figura 1-12(b)
fueron ajustadas mediante una regresión lineal, de donde se obtuvo el valor de la longitud de
correlación espacial r0♣ .
Figura 1-13Tiempo de relajación necesario para llegar al equilibrio versus el traslape para L = 700.
En la Figura 1-13 se muestra la variación de teq con el traslape de acuerdo con el criterio
anteriormente mencionado. Mediante este procedimiento, el comportamiento de r0 como
función de Ω puede ser determinado como se observa en la Figura 1-14, en donde los
símbolos corresponden a los resultados obtenidos por simulación, los cuales fueron ajustados
con la función:
(((( ))))2
0 2Ωr = 2
1 -Ω (1.15)
♣ Hay otras formas de definir la longitud de correlación a partir de la Función de Correlación, por ejemplo,tomando la distancia a la cual la función ha decaído un cierto porcentaje.
0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.950
1x105
2x105
3x105
4x105
5x105
6x105
7x105
8x105
9x105
1x106
t eq
Ω
25
Como se puede ver, para valores de traslape elevado esta función difiere sustancialmente de la
dada en la Ec. (1.12), pero ajusta muy bien si consideramos los datos obtenidos a t = 0, salvo
para traslapes mayores o iguales a 0.9.
Figura 1-14
Relación entre la longitud de correlación r0 y el traslape Ω. Los símbolos abiertos representan el valor
de r0 al instante en que se empieza a cumplir el PC. Los símbolos llenos a t = teq .
Para traslapes tan altos como es 0.9 hay que tener en cuenta que el tiempo para lograr
que una red de L = 700 logre cumplir el PC puede ser de varios días♦, ya que la mayoría de los
intentos de cambios entre elementos, sitio-sitio o enlace-enlace no es favorable. Debido a la
gran cantidad de tiempo que demanda la generación de redes de elevado traslape y su posterior
relajación sería muy útil implementar un algoritmo que aproveche alguna característica del
sistema para llevarlo más rápidamente al equilibrio y por supuesto que no introduzca ningún
tipo de anisotropía. Para determinar esto graficamos los histogramas de los eventos favorables
(intercambios que se realizaron con éxito) versus diversas cantidades: tamaño medio de los
elementos intercambiados, distancia en unidades de red entre elementos intercambiados, etc. y
♦ En una Pentium II de 400 Mhz. es de unas 36 hs.
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0
20
40
60
80
100
120
140
Ω
r0
Ω /(1-Ω ) 2Ω 2/(1-Ω )2
Sim u lación (t = teq
) Sim u lación (t = 0 )
26
encontramos que el comportamiento de los eventos favorables en función de la diferencia de
tamaño de los elementos intercambiados (i jS SR - R ) podía resultar de utilidad.
En la Figura 1-15 se han graficado dichos histogramas para varios traslapes y diversos tiempos
(sólo se han graficado los histogramas correspondientes a sitios♠). Estos histogramas se
obtienen de la siguiente forma:
1. Fijado el t en cierto valor se continua intercambiando elementos por 10 MCS más y se
contabilizaba los eventos favorables que ocurrían según su diferencia de tamaño.
2. Se cambia de red, y se vuelve al punto 1 (este procedimiento se promedia varias veces).
Para Ω = 0 obtenemos una curva que decrece linealmente a medida que aumenta la diferencia
de tamaño, esto se explica fácilmente ya que la cantidad de elementos cuya diferencia es 1 es
cero, recordemos que 2 < RS < 3.
Una diferencia intermedia de por ejemplo ( = 0.8i jS SR - R ) sólo puede llegar a ser creada
cuando intercambiamos algún sitio RS > (2 + 0.8 ) , y sólo un 20 % de los sitios verifican esa
condición. Al disminuir más la diferencia de tamaño, mayor cantidad de sitios verifican la
condición y por ende aumenta la cantidad de eventos favorables; además en Ω = 0 siempre se
verifica el PC . Cuando aumentamos el traslape, el histograma presenta un comportamiento
exponencial decreciente, lo que nos dice que hay una alta probabilidad de éxito al intentar
intercambiar elementos semejantes y una muy baja entre elementos de tamaño diferente. Estas
características se acentúan a medida que aumenta el traslape. Resulta interesante destacar que
dichos histogramas son independientes del tiempo. Resumiendo:
• Los eventos más favorables son los intercambios entre elementos de tamaño semejante.
Teniendo en cuenta este comportamiento, pueden acelerarse notablemente los tiempos de
relajación. La idea es ordenar en un arreglo todos♣ los elementos (sitios y enlaces) de menor a
mayor y sortear, en alguna posición del mismo tratando de intercambiar el elemento presente
♠ El comportamiento de los enlaces es análogo al observado en los sitios.♣ Téngase presente que, para una red de L =700, esto implica ordenar, de menor a mayor 1470000 elementos, porlo tanto se deben emplear algoritmos de ordenamiento altamente optimizados (El implementado demora unos 5segundos).
27
en esa posición con algún vecino. El rango de vecinos disponibles para el intercambio se
deduce de los mencionados histogramas).
Figura 1-15
Eventos Favorables versus la diferencia de tamaño entre sitios intercambiados, (i jS SR - R ) para
diferentes traslapes y para diversos tiempos.
0 .0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
Eve
ntos
Fav
orab
les
Ω = 0 . 7t = 0t = 1 x 1 0 5
t = 3 x 1 0 5
0 .0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
Ω = 0t = 0t = 1 x 1 0 5
Eve
ntos
Fav
orab
les
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .00 .0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
Eve
ntos
Fav
orab
les
RS
i
- RS
j
Ω = 0 . 9 t = 0 t = 1 x 1 0 5
t = 5 x 1 0 5
t = 1 x 1 0 6
28
1.6.- Redes Tridimensionales.
En el capítulo anterior presentamos el Modelo Dual y lo aplicamos en la generación de
redes bidimensionales. En el próximo capítulo simularemos en ellas el flujo de fluidos
inmiscibles y se estudiará como las correlaciones afectan dicho fenómeno. El otro problema
en el que estamos interesados es el de la caracter ización de mater iale s porosos , para atacarlo,
es necesario contar con una adecuada representación del medio, es decir, necesitamos simular
una muestra porosa real mediante una red tridimensional de sitios (poros) y enlaces (canales)
interconectados entre sí.
Existen innumerables ejemplos de materiales tanto naturales como sintéticos que
presentan una composición en dos fases: una matriz sólida y una fase hueca dispersa sobre la
primera, de modo más o menos desordenado, constituyendo lo que se define como un material
poroso. Los medios porosos son protagonistas de numerosos procesos de interés tanto
científico como tecnológico, en áreas como la agricultura, medicina, fisicoquímica, ingeniería
en petróleo, etc. Específicamente están involucrados en procesos tales como extracción de
petróleo, recuperación de aguas subterráneas, catálisis heterogéneas, adsorción de gases,
desplazamientos de fluidos inmiscibles y procesos separativos, entre otros tantos. Todo esto
explica el interés tanto científico como económico en el estudio de estos sistemas por parte de
experimentales y teóricos. Dentro de las descripciones más usuales para estos medios se
encuentran los llamados modelos discretos que representan al sistema poroso como un
conjunto de elementos que pueden ser sitios, enlaces o la combinación de ambos, en un
arreglo topológico particular y que son simulados generalmente a través de métodos de Monte
Carlo. Los resultados obtenidos de este tipo de modelos han sido de gran utilidad para
entender y caracterizar estos medios y los procesos que en ellos ocurren.
La descripción de materiales porosos es un problema de gran interés en la ciencia de los
materiales, el mismo involucra :
(i) El modelado puramente teórico (idealizado) de la forma geométrica de un poro
individual y el tratamiento de los fenómenos que toman lugar dentro de el.2, 14, 15.
29
(ii) La caracterización del espacio poroso combinando modelos analíticos y simulación con
técnicas experimentales16, 17.
Figura 1-16Representación esquemática de una red
tridimensional de LxLxL sitios y 3LxLxL
enlaces (L=4). Por simplicidad los sitios y los
enlaces son del mismo tamaño. Las condiciones
de borde usadas fueron condiciones periódicas.
Para una mayor claridad estas no fueron
"dibujadas" pero son las mismas que las que se
observan en la Figura 1-3.
El último punto incorpora la simulación por computadora para tratar problemas irresolubles
analíticamente dada la complejidad y la inhomogeneidad de un medio poroso y los procesos
que se desarrollan en ellos, como por ejemplo, la condensación-evaporación capilar, intrusión-
retracción de mercurio, desplazamiento de fluidos miscibles e inmiscibles , etc1. Como es de
esperar, las características topológicas (geometría de la red, correlaciones espaciales,
conectividad, etc.) del espacio poroso influyen fuertemente en los procesos mencionados
anteriormente, por lo que deberán ser incorporados consistentemente en la descripción teórica.
Actualmente, la obtención de información detallada del espacio poroso como la distribución
de sitios (cavidades) y enlaces (gargantas), conectividad, correlaciones espaciales, entre otras, es
una de las mayores limitaciones para caracterizar adecuadamente los materiales porosos. La
utilización del Modelo Dual, el cual está dentro de los llamados modelos discretos, nos permite
una representación intuitiva del espacio poroso como así también la incorporación en forma
consistente de distinto grado de desorden, siempre presente en los mismos. Esta es una ventaja
importante del Modelo Dual frente a otros modelos los cuales incorporan dichas características
de una forma independiente1 y aparentemente alejada de la realidad.
En trabajos anteriores18 se ha utilizado el Modelo Dual para caracterizar sólidos porosos
tridimensionales, pero sin tomar en cuenta las correlaciones espaciales en ellos presentes y tan
30
importantes a la hora de simular los distintos fenómenos de interés. Por lo que extenderemos
el estudio del comportamiento de las correlaciones espaciales a sistemas tridimensionales.
A continuación presentaremos los resultados obtenidos en redes tridimensionales de
conectividad constante z = 6, es decir, cada sitio esta conectado a 6 enlaces en un arreglo
tridimensional cúbico simple. El problema se enriquece notablemente si variamos la
conectividad pero se dificulta notoriamente a la hora de discernir sobre cual es el efecto
predominante sobre un determinado proceso simulado sobre dichas redes, además, estudios
recientes sugieren que el efecto más importante es debido a las correlaciones19. Como en la
sección anterior, nos concentraremos en el estudio de las correlaciones espaciales que se
presentan en las estructuras generadas a través del Modelo Dual.
Para disminuir el efecto de tamaño finito se utilizaron condiciones de borde periódicas, y se
determinó, mediante el estudio de la función de correlación espacial, cuál debía ser el tamaño
lineal mínimo de una red, dado su traslape para alcanzar el equilibrio estadístico.
El comportamiento observado es análogo al encontrado en redes bidimensionales,
observándose una menor velocidad en alcanzar el equilibrio, es decir, un mayor tiempo de
intercambio t e q (tiempo de equilibrio). Además, como se hace necesario generar redes de
tamaño lineal mayor que la longitud de correlación espacial característica para ese Ω (como
mínimo un orden de magnitud mayor). Por ejemplo para Ω = 0.7 se obtiene un r0 ≈ 30 ; por
lo que si deseamos una red libre de efectos de tamaño deberemos generarla con un L ≈ 10 r0 ,
o sea, L ≈ 300. Esto implica generar un arreglo que pueda almacenar 2.7 x 107 sitios y 8.1 x 107
enlaces, considerando que cada elemento ocupa 4 bytes♣ necesitamos unos 400 megabytes de
memoria RAM para almacenar dicha estructura. Si bien contamos con computadoras con esa
cantidad de memoria RAM, los procesos a simular en dichas redes consumen mucho tiempo
de cálculo. Esto nos limita a utilizar tamaños de red del orden de L ≈ 128. Además, como en el
caso bidimensional, la longitud de correlación espacial aumenta a medida que incrementamos
el traslape, por lo que traslapes mayores a 0.7 ( L = 300) no podrán ser simulados con la
capacidad de cálculo actual.
31
En este último punto hay que hacer una observación, cuando decimos que no podemos
construir redes de traslape mayor a 0.7, nos referimos a generar redes en donde la longitud de
correlación espacial ha llegado al equilibrio, bien podríamos simular redes de hasta Ω ≈ 0.9
con un dado valor de r0 que aún no ha llegado al equilibrio, por ende el valor de r0 no será muy
grande y el tamaño lineal de red necesario para evitar efectos de tamaño no será prohibitivo.
Además, hay que tener en cuenta para que serán usadas dichas redes, en nuestro caso el
presente trabajo está pensado para que en una segunda etapa se utilicen está clase de redes para
representar sólidos mesoporosos tridimensionales, simulando en ellos procesos de adsorción-
desorción y levantar las correspondientes isotermas20. Esta clase de redes han demostrado ser
aptas para tratar este tipo de problema. Al día de hoy, se continua trabajando en este tema con
el objeto de caracterizar sólidos mesoporosos a partir de datos experimentales, obteniéndose
resultados más que alentadores21.
En las imágenes de la Figura 1-17 se observa la importancia del tamaño lineal de las redes
tridimensionales y como varía la topografía de las mismas a medida que aumenta el tiempo.
Igual que en el caso bidimensional se observa la formación de regiones de elementos similares
entre sí (parches). Estas son cada vez más grandes a medida que aumenta el traslape y dicho
aumento es acentuado cuando el sistema llega al t = t e q . Estas fotografías nos advierten sobre
cuan importante es el efecto de las correlaciones sobre la topología del sistema (incluso para
traslapes intermedios), y por ende, la precaución que debemos de tener cuando simulemos en
ellos los procesos físico-químicos de interés ya que serán fuertemente afectados.
Obteniendo la Función de Correlación Espacial y, a partir de ésta, la longitud de correlación
espacial, podemos establecer criterios de equilibrio análogos al caso en 2 Dimensiones, con la
salvedad de que estaremos limitados a Ω < 0.7 debido a la capacidad computacional actual.
♣ Los elementos son del tipo Float, es decir, cada dato ocupa 32 bits (4 bytes).
32
Ω = 0.5 Ω = 0.6 Ω = 0.7
L = 32t = teq
L = 32t = 0
L = 64t = 0
L = 64t = teq
RS 2 3
33
Ω = 0.5 Ω = 0.6 Ω = 0.7
Figura 1-17 :Fotografías de redes tridimensionales para diferentes tamaños y traslapes. Se observacomo la topografía del sistema es fuertemente influenciada por estos parámetros y por el tiempo.La columna de la izquierda corresponde a Ω = 0.5, la central a Ω = 0.6 y la de la derecha a Ω = 0.7. Laprimer fila de cada juego de fotografía representa al sistema en el instante en que se verifica el PC. Lasegunda fila es para t = t e q , es decir, cuando el valor de r0 se estabiliza.
En la Figura 1-18 podemos observar la variación de r0 con t para diferentes valores de L . La
fuerte dependencia de r0 con L, para traslapes mayores que 0.5, exige que para evitar efectos
de borde deben usarse mayores tamaños de red y/o estudiar cuan fuertemente es afectado por
este hecho el fenómeno a simular. Por ejemplo, en un ciclo de adsorción-desorción de
nitrógeno, un tamaño lineal de red pequeño se traduce en que la rama de desorción comienza a
L = 128t = 0
RS 2 3
L = 128t = teq
34
descender a una presión levemente mayor a la que debería ser22. Dicho efecto desaparece para
L ≈ 100 (Ω <0.75).
Figura 1-18 :Longitud de correlación r0 versus t hasta que el equilibrio es alcanzado. De arriba haciaabajo: Ω =0.5, Ω =0.6 y Ω = 0.7. En Ω =0.5 la escala del tiempo llega hasta 5x104, mientras que paralas otras dos llega hasta 6x105 pasos de Monte Carlo.
Resumiendo, en las redes tridimensionales la longitud de correlación es fuertemente afectada
por el tamaño del sistema para traslapes mayores 0.5 y el t e q es mayor que el correspondiente al
caso bidimensional. Por lo que dado el proceso a estudiar, es conveniente un estudio en
particular de cuan fuertemente es afectado por las correlaciones y en base a esta información
determinar la longitud mínima de red ha ser utilizado.
0 1x105 2x105 3x105 4x105 5x105 6x105
0
10
20
30
40
50
0 1x104 2x104 3x104 4x104 5x1040.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
L = 32 L = 64 L = 128
r0
t
0
10
20
30
40
50
L = 32 L = 64 L = 100 L = 128
r0
L = 32 L = 64 L = 128
t
r0
35
Referencias
1 M. Sahimi, Flow and Transport in Porous Medias and Fractured Rock; VCH: Weinheim, Germany,1995; and references therein.
2 A.-L. Barabási and H.E.Stanley, Fractal Concepts in Surface Growth; Cambridge University Press,1995.
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5 V. Mayagoitia, B. Gilot, F. Rojas and I. Kornhouser. J. Chem. Soc., Faraday Trans. I, 84,801, (1988).
6 V. Mayagoitia, M. J. Cruz and F. Rojas. J. Chem. Soc., Faraday Trans. I, 85, 2071, (1989).
7 V. Mayagoitia, F. Rojas, J. L. Riccardo, V. Pereyra and G. Zgrablich. Phys. Rev. B, 41,7150 (1990).
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11 J. L . Riccardo. Tesis de PhD. Univ. Nac. de San Luis. (1991).
12 J. L. Riccardo, W. A. Steele, A. J. Ramirez Cuesta and G. Zgrablich. Pure Monte CarloSimulation of Model Heterogeneous Subtrates: From Random Surfaces to Many-Site Correlations ;Langmuir 13, 1064-1072, (1997).
13 J. M. Yeomans. Statistical Mechanics of Phase Transitions. Oxford Science Publications. USA,1992.
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36
4393 (1992), H. Liu, L. Zhang and N. A. Seaton, Chem. Eng. Sci. 49, 1869 (1993).
17 R.H. López, A.M. Vidales , G. Zgrablich, F. Rojas, I. Kornhauser and S. Cordero.Determination of Pore Size Distributions Using the Dual Site-Bond Model: Experimental Evidence. Colloidand Surfaces, A: Physiochem. and Eng. Asp. In Press (2002).
18 A. J. Ramirez Cuesta, S. Cordero, F. Rojas, R. Faccio and J. L. Riccardo. On Modeling ,Simulation and Statistical Properties of Realistic Three Dimensional Porous Networks. Journals of PorousMaterials 8, 61-76, 2001.
19 S. Cordero Sánchez. Tesis de PhD. Univ. Autónoma Metropolitana - Iztapalapa - México.(2002).
20 R. H. López, A. M. Vidales and G. Zgrablich. Percolation Effects on Adsorption-DesorptionHysteresis". Langmuir. 16, 6999 (2000).
21 R. H. López, A.M. Vidales and G. Zgrablich. Determination of The Pore Size Distribution ofCorrelated Mesoporous Networks, Granular Matter, 3 Issue 1/2 69-73 (2001).
22 R. H. López, A.M. Vidales and G. Zgrablich “Influence of Pore Size Distributions on SorptionIsotherms: 3-D Simulation Experiments, Proceedings of the Sixth International Conference ofFundamentals of Adsorption (FOA 6), 873, (1998).
37
Capitulo 2
Procesos Percolativos
38
0.0 0.5 1.0
pc
Cor
rien
te
F racción de en laces no cortados (p )
Figura 2-0: Esquema del problema del saboteadorestocástico. En la parte inferior se grafica la corriente enfunción del porcentaje de enlaces no cortados.
2.1:
2.1.- Introducción a la teoría de la percolación (Figura 1)
El término percolación fue introducido por Broadbent y Hammersley1 en 1957
motivados por el comportamiento de un fluido (por ejemplo agua) cuando atraviesa un
medio poroso (como el café). La teoría de la percolación es el modelo más sencillo para un
número considerable de fenómenos físicos, en los cuales el desorden está presente. Junto
con el concepto de los f ractal es , los cuales están íntimamente ligados al problema de la
percolación, y las leyes de scaling , son herramientas de una gran importancia teórica en
diversos campos de la ciencia, la biología, la física, la química y la geofísica, y de gran
importancia práctica , por ejemplo, en la industria del petróleo. En esta sección
desarrollaremos brevemente los conceptos básicos de la teoría de la percolación y de los
fractales.
Para introducirnos en el
tema, consideremos el siguiente
ejemplo clásico: Supongamos
una malla cuadrada conductora
como la de la Fig. 2-1, la cual
está siendo atacada por un
"saboteador es tocás t i co" , quién
va cortando interconexiones al
azar. La malla tiene sus
extremos conectados a una
diferencia de potencial, de
modo que, al estar intacta,
circulará por ella una corriente
dada (I = IMáx). A medida que
el saboteador corte enlaces, la
corriente irá disminuyendo,
hasta que, luego de cortar una
cierta fracción de enlaces, la
corriente será cero.
39
La pregunta que nos hacemos es: ¿cuántas (que porcentaje de) conexiones deberá
cortar el saboteador para interrumpir el flujo de corriente?
Esta pregunta apunta hacia la cuestión central del Modelo de Percolación:
La existencia de una transición aguda donde la conectividad de largo alcance desaparece (la
corriente se hace cero). El porcentaje de enlaces para el cual se produce este cambio
dramático en la longitud de correlación del sistema, es lo que se denomina umbral de
percola ción, pc . En este punto, todas las propiedades significativas del sistema varían
cuantitativamente. La parte inferior de la Fig. 2.1 muestra la curva de la corriente en
función del porcentaje de conexiones no cortadas, observándose el efecto macroscópico
que ocurre cuando la fracción de enlaces no cortados es del 50%. En este punto el sistema
pasa de conducir electricidad a no conducir.
Para utilizar un lenguaje común, ilustraremos el problema de percolación con un
arreglo de sitios cuadrados tal como es mostrado en la Figura 2-2, en donde cada sitio está
aleatoriamente ocupado con una probabilidad de ocupación (concentración) p , esto es,
cada sitio está ocupado (con probabilidad p) ó vacío (con una probabilidad 1-p = q )
independientemente del estado (lleno u ocupado ) de cualquiera de sus vecinos. En dicha
Figura se puede apreciar grupos de sitios ocupados o vacíos. Llamaremos c lus te r o racimo
a un grupo de sitios ocupados de primeros vecinos. La teoría de la percolación trata con el
número y las propiedades de estos clusters.
Figura 2-2: Percolación sobre una red bidimensional de tamaño lineal L = 6. Los sitios estánocupados con una probabilidad p = 21/36 ≈ 0.59. En dicho red existe un cluster percolante detamaño 8 (), un cluster de tamaño 7 (), un cluster de tamaño 4 () y dos cluster de tamaño 1 ().
40
Para redes finitos L < ∞, es intuitivamente claro que si la probabilidad de
ocupación p , es pequeña, la chance de tener un c luste r percolante , es decir, un cluster que
atraviese el red de un dado extremo al opuesto es baja. En cambio, para p → 1, tenemos
una alta probabilidad de tener un cluster percolante. En la Figura 2-3 un red cuadrado
bidimensional está ocupado aleatoriamente con una probabilidad de ocupación p cada vez
mayor.
Llamaremos umbral de percola ción, pC a la concentración (probabilidad de
ocupación) p , a la cual aparece por primera vez un cluster percolante (c lust er inf in i to).
En la inmediata vecindad del umbral de percolación ocurren cambios dramáticos en el
sistema. En particular, las ideas de cambio de esca la o sca l ing (se obtienen leyes generales a
partir del comportamiento del sistema frente a cambios de escala), que tienen tanta
prominencia en las teorías modernas de las transiciones de fase, estructuras de polímeros,
etc. , encuentran una representación transparente en el marco de los modelos de
percolación.
Cuando p → pC , el tamaño promedio del cluster diverge y, cerca de pC , esta
divergencia puede ser descripta por un exponente c r í t i co universal , del tipo de los usados
en las teorías de transiciones de fase y que son sugeridos por los argumentos de cambio de
escala.
El problema de la red cuadrada de sitios de la Figura 2-3, recibe el nombre de percolación
aleatoria de sitios y se encuentra que su umbral de percolación es: pC = 0.59. El mismo
problema pero para una red de enlaces conduce a una pC = 1/2. En la Tabla 1 se listan
varios umbrales de percolación para diferentes redes.
Red # nn pc (Sitios) pc (Enlaces)1d 2 1 12d Hexagonal 3 0.6962 1-2sen(π/18) ≈ 0.652712d Cuadrada 4 0.592746 1/22d Triangular 6 1/2 2sen(π/18) ≈ 0.347293d Diamante 4 0.43 0.3883d Cúbica simple 6 0.3116 0.24883d BBC 8 0.246 0.10833d FCC 12 0.198 0.119Red de Bethe z 1/(z-1) 1/(z-1)
Tabla 2-1: Los umbrales de percolación del problema de percolación de sitios para diferentesgeometrías están dados en la tercer columna. La columna 2 lista el número de primeros vecinos.Observesé que en una dada dimensión, el umbral de percolación disminuye a medida que aumentael número de primeros vecinos.
41
Figura 2-3: Percolación en un cluster bidimensional de tamaño lineal L x L = 150 x 150 paradiferentes probabilidad p = 0.45, 0.55, 0.59, 0.65 y 0.75 de izquierda a derecha. Los sitios ocupadosson mostrados en gris mientras que los sitios que pertenecen al cluster más grande sonrepresentados en negro. Los sitios blancos no están ocupados. Observe que el cluster más grandepercola para p ≥ 0.59.
Consideremos ahora el problema de calcular el número medio de singuletes,
dobletes, tripletes, etc. en la percolación de sitios sobre una red cuadrada.
Sean N sitios en una red con condiciones de contorno periódicas y N → ∞.
Consideremos la probabilidad de que un sitio sea un singulete. Para ello, el sitio debe estar
ocupado y sus cuatro vecinos deben estar vacíos, o sea la probabilidad es pq4 . Por lo tanto
el número medio de singuletes es: Npq4 . Si definimos nS(p) como el número med io de
racimos de tamaño s por s i t i o , entonces:
41n (p) = pq (2.1)
Cuando contamos dobletes, la correspondiente probabilidad es p2q6 , pero cada doblete
puede orientarse según dos direcciones en la red:
2 62n (p) = 2p q (2.2)
42
Para calcular nS(p) nos encontramos con un problema de teoría de grafos que
consiste en enumerar todos los diferentes racimos conectados que pueden construirse con s
sitios de la red. Este problema fue considerado por primera vez por Golomb2 que
denominó a los racimos con el nombre de pol inomios . Harary 3 hizo notar que el mismo
problema se presenta en biología en la enumeración de los diferentes posibles tipos de
animales celulares, y llamó a los racimos animales ret i culados , término que es ahora
ampliamente aceptado. Para calcular su contribución a nS(p) se necesitan dos números
asociados a un tipo particular de animal reticulado:
1. El número de sitios perimétricos t necesario para aislarlo.
2. El número de maneras independientes g st en que pueden colocarse sobre la red unanimal reticulado de tamaño s y perímetro t.
En general la expresión para el número de cluster es:
s ts
tn (p) = g(s, t) p q∑ (2.3)
Además, si no hay racimo infinito, lo que es de esperar a concentraciones lo
suficientemente bajas, la probabilidad de que un sitio pertenezca a un cluster de tamaño s es
nSs , y la probabilidad de que un sitio arbitrario pertenezca a algún cluster debe ser igual a
p , es decir, se debe satisfacer la condición:
s cs
sn (p) = p ( p < p )∑ (2.4)
La generalización de la ec. (2.4), válida para todo p es:
( ) ss
P p sn (p) = p p+ ∀∑ (2.5)
La suma corre sobre todos los s finitos y por supuesto excluye al cluster infinito. La ec.
(2.5)se reduce a la (2.4) para p < pC , ya que P(p) , la probabi l idad de que un si t i o
arbi t rario pertenezca al c luster inf ini to , es idéntica a cero en ese rango.
Desafortunadamente no es posible obtener una solución analítica para el número de
cluster nS(p) en d > 1, ya que hay un número muy grande de diferentes formas en que los
43
cluster pueden acomodarse. Aún en 2d , para cluster relativamente pequeños uno no puede
calcular en forma exacta a nS(p) . Una simulación por computadora4 contó
20.457.802.016.011 diferentes configuraciones posibles de racimos con s = 25 sobre un
sistema bidimensional. A pesar de estas complicaciones, estamos capacitados, mediante las
propiedades de escaleo de contabilizar ciertos parámetros que caracterizan a los clusters.
En particular estamos interesados en encontrar el comportamiento asintótico del número
de cluster en el umbral de percolación, nS(pC) .
Cuando p → pC , es de esperar que S, el tamaño medio de racimo tienda a infinito, es decir:
21
1
( )( ) s sc
s s
s n pS p para p psn
∞=
∞=
∑= → ∞ →∑ (2.6)
en p = pC el denominador permanece finito, por lo que en el umbral el numerador debe
diverger. Si por ejemplo, nS decayera exponencialmente con s , el tamaño medio del
cluster S , permanecería constante en p = pC , luego, un decaimiento tipo ley de potencias
es más plausible y define el llamado exponente de Fisher5 a través de:
-τs cn (p ) s∝ (2.7)
Esta relación es válida para grandes valores de s. El parámetro τ es un exponente crítico
universal que depende sólo de la dimensión, en 2d τ =187/91 (≈ 2.05) y para 3d, τ = 2.2 .
En general se tiene que:
converge si a
diverge si aa
s=1
< -1
-1 s =
∞
≥
∑
(2.8)
Como el numerador de la ec. (2.6) debe diverger implica que :
2 - τ -1 τ 3≥ ⇒ ≤ (2.9)
y además como (2.5) debe permanecer finita en p = pC , se tiene que:
1-τs
s=1 s=1sn (p) s < τ > 2
∞ ∞∝ ∞ ⇒∑ ∑ (2.10)
Que esta de acuerdo con los valores obtenidos por simulación para el exponente crítico
universal τ.
44
Por supuesto, existen otra relaciones de escaleo con sus correspondientes exponentes
críticos. Un sumario de exponentes críticos y de relaciones entre ellos puede ser consultado
en la Ref. 7.
Por último enfocaremos nuestra atención a la geometría del cluster, para esto,
estudiaremos la geometría fra ctal , la cual nos da información sobre la densidad del cluster
en diferentes escalas de longitud. Consideremos la cantidad M(L), la cual denota la masa del
cluster percolante encerrada en un red de tamaño lineal L . Si el cluster percolante fuera un
objeto compacto, entonces, M(L) ∝ LD, en donde D es la dimensión Euclídea (para un
cluster bidimensional D = 2). Sin embargo, se encuentra que, para p = pC el cluster
percolante es un objeto f rac tal con una dimensión fra ctal Df < D. Es decir para el cluster
percolante tenemos que:
( ) fDM L L∝ (2.11)
La interpretación de la ec. (2.11) es que para p = pC la correlación espacial en el sistema
crece enormemente, pero los racimos grandes y el racimo infinito no se presentan como
objetos geométricos compactos, sino que por el contrario aparecen como objetos tortuosos
y con huecos en su interior. Así, la masa del racimo no varía con su longitud lineal como
ocurriría para un objeto normal en el espacio euclídeo, sino que lo hace con un exponente
menor que D.
En el umbral de percolación p = pc , el cluster infinito de percolación es un objeto fractal, y
podemos estimar su comportamiento geométrico mediante su dimensión fractal.
Existen diversos métodos para calcular la dimensión fractal del cluster infinito de
percolación. El más simple consiste en graficar en una escala doble-logarítmica el tamaño
del cluster más grande (el cluster percolante) en función de L, el tamaño lineal de la red. La
pendiente de esta curva equivale a la dimensión fractal (Figura 2-4). Para el problema de la
percolación aleatoria de sitios en 2d se tiene que Df = 91/48 ≈ 1.89 (en 3d , Df = 2.53).
Muchos materiales de interés tecnológico, como superficies rugosas o medios
porosos heterogéneos, son de naturaleza fractal, sin embargo su dimensión fractal puede
no coincidir con la de un racimo infinito de percolación. Por otra parte, varias leyes
fundamentales de la física han sido modificadas para tratar procesos en sistemas fractales,
así por ejemplo la ley de Fick con un coeficiente de difusión constante no describe
45
correctamente la difusión en un medio fractal, ya que en este caso dicho coeficiente
depende del tiempo y de la longitud.
Figura 2-4: Masa del cluster más grande a p = pc (cluster percolante), como función del tamañolineal del red, L.
El estudio de las propiedades y cantidades de interés en el problema de percolación
y en especial de las características del cluster de percolación puede ser profundizado en
numerosas contribuciones científicas6, 7 , tal estudio está fuera del alcance de este resumen
introductorio a la teoría de percolación. En la siguiente sección introduciremos otro tipo de
percolación, la perco lación invasiva . Este tipo de percolación es más adecuado para
simular desplazamientos de fluidos inmiscibles en medios porosos que la percolación
aleatoria.
M
46
2.2.- Percolación invasiva
La percola ción invasiva fue propuesta por vez primera por Wilkinson y
Willemsen8 (1983), inspirado en los trabajos de Lenormand y Bories9 (1980) y Chandler10 et.
al (1982). El trabajo original de Wilkinson trató sobre el problema del desplazamiento de
un fluido, el defensor , por otro fluido, el atacante , en un medio poroso. Posteriormente se
generalizó para cualquier proceso percolativo que se desarrolla a lo largo del camino de más
baja resistencia.
Esta clase de percolación tuvo su origen en el estudio del flujo de dos fluidos
inmiscibles en un medio poroso y nos parece adecuado introducir brevemente los
conceptos físicos involucrados en este problema.
La mayoría de los sólidos porosos pueden ser representados adecuadamente como
una red de poros conectados entre sí por canales más angostos que los poros11. Este medio
puede ser idealizado como un red regular en donde los sitios y los enlaces de la red
representan a los poros y a los canales respectivamente (Figura 2-5). En 3D podemos
imaginarnos, por simplicidad, a los poros como esferas y a los canales como cilindros, por
supuesto, otro tipo de geometría puede ser empleado.
Figura 2-5: Representación esquemática del espacio poroso mediante sitios y enlaces. En la filasuperior se observa una porción de un material poroso (derecha) y una ampliación de dichaestructura (izquierda). En la fila siguiente se muestra como se asocia el espacio poroso y los canalesa los sitios y enlaces respectivamente.
Espacio poroso
Sitio
Enlace
Espacio poroso
Canal
47
Consideremos un sólido poroso cuyo espacio poroso está ocupado por un fluido
no mojante (ver Figura 2-6 ) , por ejemplo petróleo, el cual está siendo desplazado por un
fluido mojante como el agua a una velocidad infinitesimal y constante. En este límite, las
fuerzas viscosas son dominadas completamente por las fuerzas capilares que actúan sobre
la interfase petróleo-agua. Como el desplazamiento es cuasi-estático, la diferencia de
presión entre los dos fluidos en la interfase está dada por la ecuación de Young-Laplace12:
1 2
1 1cap nw wP P P
r r
= − = γ +
(2.12)
en donde los subíndice w y nw se refieren a la fase mojante (wetting) y a la no mojante
(nonwetting) respectivamente, γ es la tensión interfacial y r1 y r2 son los radios principales
de curvatura. Las fuerzas capilares son tales que el agua desplaza espontáneamente al
petróleo, de hecho, para mantener una velocidad de flujo infinitesimal debe ser aplicado un
gradiente de presión negativo a través del sistema.
Figura 2-6: Un fluidomojante es aquel cuyoángulo de contacto φ, esmenor a 90°, de modo queel líquido puede fluirfácilmente por la superficie.En cambio si las fuerzas decohesión son mayores a lasde adhesión, φ es mayorque 90° y hablamos de unlíquido no mojante.
Las fuerzas capilares son más fuertes en los espacios más estrechos del medio
poroso, por lo que la interfase agua-petróleo avanzará por los poros de radios más
pequeños, estando la dinámica del proceso gobernada por el radio local de los poros. Esto
es consistente con modelos teóricos simples y observaciones experimentales13, en donde el
agua desplazaba al petróleo de los poros accesibles más pequeños.
Cuando un fluido mojante (agua) desplaza espontáneamente a uno no mojante
(petróleo) de un sólido poroso hablaremos de imbibic ión . Si es el no-mojante el que se
inyecta en el medio poroso y desplaza al mojante diremos que se produce un drenaje .
φ < 90°
φ > 90°
φ < 90°
φ > 90°
48
Como hemos visto, en la imbibición el frente avanza por el espacio mas pequeño, con lo
que, si simulamos dicho fenómeno en una red de sitios y enlaces generada con el modelo
Dual, en donde cada sitio está conectado a enlaces de menor tamaño, la interfase avanzará
preferentemente por los enlaces. De modo que, en la imbibición el avance estará
determinado principalmente por el tamaño de los sitios, que son los "más difíciles" de
ocupar. En cambio, en el drenaje son los enlaces los que limitan el avance del frente.
Figura 2-7: Representación es-quemática de cómo un canalporoso es ocupado por un fluidomojante y uno no mojante.
Debemos distinguir dos tipos de percolación invasiva, el primero y más usado es la
percola ción invasiva con entrampamiento (TIP) 8 , 14 en donde se asume que el fluido
defensor es incompresible, por lo que puede ser entrampado si es rodeado por el fluido
invasor, en este caso se forman regiones aisladas de fluido defensor a las que llamaremos
i s las . (Figura 2-8).
El otro modelo, la perco lación invasiva s in entrampamiento (NTIP)8 asume que el
fluido defensor es compresible por lo que no habrá entrampamiento.
Es claro que el primer modelo es el que más se adecua para tratar el problema de flujo de
líquidos y es en el que nos concentraremos. En la versión estándar de este modelo se
trabajó con una red bidimensional sólo de sitios, y se le asignó a cada sitio un número
random uniformemente distribuido entre [0 , 1]. Luego, el fluido invasor fue inyectado en
el medio, desplazando en primer lugar al fluido defensor que ocupaba los sitios con el
menor número random, luego de invadir un sitio se debe controlar la formación de
regiones de fluido defensor entrampado. Esta clase de procesos tiene dos umbrales de
percola ción (percolat ion threshold), el primero es cuando el fluido invasor arriba por
primera vez al extremo opuesto del medio que es el instante en donde se forma el cluster
percolante de fluido invasor y el segundo es cuando el fluido defensor cesa de percolar, es
decir, solo queda en el medio islas o fluido invasor. El algoritmo que emplearon fue el
siguiente :
φNo mojante Mojante
49
Figura 2-8:
Representación de una red
de LxL sitios y 2LxL enlaces, con
L = 5. Inicialmente la red está llena
con el fluido defensor (), en este
caso, un fluido no-mojante por
ejemplo petróleo. El fluido atacante
() será agua (mojante). El
atacante entra por el extremo
superior de la red y desplaza al
defensor por la parte inferior. Por
simplicidad se han supuesto
condiciones de borde cerradas en
los extremos izquierdo y derecho y
se han dibujado los sitios y enlaces
de un dado tamaño.
En la Figura inferior el
fluido mojante ha invadido el sólido
poroso y una fracción del fluido
defensor ha sido extraído del sólido
por su extremo inferior. La parte
encerrada entre líneas de punto es
una porción de fluido defensor que
ha quedado entrampada por el
atacante, formándose una isla de
fluido defensor entrampado de
tamaño 2. En la recuperación de
petróleo por agua, cerca del 40%
del petróleo es entrampado por
agua15.
50
Algoritmo original para simular una TIP:
1. Se genera una red cuadrada de sitios aleatoriamente distribuidos entre [ 0 , 1 ).
Inicialmente todos los sitios están ocupados con el fluido defensor.
2. Se identifica la fuente por donde el fluido invasor va a ingresar y el sumidero por donde
va a escapar el defensor. Esta elección dependerá del problema físico bajo estudio. En
este caso la fuente y el sumidero son dos caras opuestas, los otros dos lados de la red
presentan condiciones de borde cerradas.
3. La interfase avanza ocupando el sitio más pequeño disponible, es decir, un sitio primer
vecino que este en contacto con la interfase. Para hacer esto se debe recorrer toda la
interfase y seleccionar el menor elemento
4. Las regiones ocupadas por el defensor que estén desconectadas del sumidero son
entrampadas y no serán invadidas (Figura 2-8). La búsqueda de las regiones
entrampadas se realiza usando el algoritmo de Hoshen-Kope lman16 (HK). Dicho
algoritmo recorre toda la red y etiqueta las distintas regiones entrampadas con un
número en particular para no invadirlas en el paso siguiente.
5. El proceso termina cuando el invasor alcanza el lado opuesto, en ese punto se forma el
cluster percolante y se almacenan las cantidades de interés (volumen invadido, número
de sitios-enlaces invadidos, cantidad de islas entrampadas, etc.). Dependiendo del
problema el proceso puede ser continuado hasta que no quede fluido defensor en la
red, es decir, sólo queda fluido defensor entrampado y el invasor.
Este tipo simulaciones originan patrones del tipo de los mostrados en la Figura 2-9.
Existen dos diferencias importantes entre la percolación ordinaria y la percolación invasiva:
a) En la IP el invasor crece a lo largo del camino de menor resistencia y forma un
único cluster. No como en la percolación ordinaria en la cual se pueden formar
clusters desconectados.
b) La IP es un proceso d inámico , el cual sigue un secuencia determinada de sitios a
invadir.
La combinación de estos dos efectos provocan un cambio en la clase de universalidad a la
que pertenece la TIP en substratos bidimensionales, respecto a la percolación común.
51
Esto esta avalado por un sin número de estudios numéricos y simulaciones de Monte
Carlo. En 3 dimensiones no se ha reportado diferencias importantes en la dimensión fractal
del cluster percolante entre la TIP y la percolación random (Df ≈ 2.53).
Figura 2-9: Representación esquemática de una simulación de percolación invasiva conentrampamiento sobre una red bidimensional aleatoria de sitios y enlaces con L = 256. El fluidoinvasor (en negro) fue inyectado por el borde izquierdo. El defensor es el color gris y el fluidodefensor entrampado está en blanco. La fotografía corresponde al instante en que el fluido invasorllega por primera vez al extremo derecho. El sistema cuenta con condiciones de borde periódicas.
Este tipo de patrones fueron confirmados experimentalmente por Lenormand y Zarcone17,
que obtuvieron un valor de Df = 1.83 ± 0.01 para el cluster percolante en excelente
acuerdo con el valor predicho por las simulaciones. En dicho trabajo, los autores
desarrollaron una técnica que les permitió moldear una resina transparente mediante
técnicas de fotograbado, con lo que generaron un red conteniendo 250000 canales con
diferentes radios. El fluido mojante (defensor) fue un aceite de parafina y el no mojante
(invasor) fue aire. La Figura 2-10 muestra los patrones que obtuvieron mediante esta clase
de experimentos. Cabe mencionar que para calcular la dimensión fractal fijaban un origen
O y contaban (a ojo!!!) la cantidad de canales invadidos dentro del cuadrado de LxL
centrado en O.
En cuanto a la estructura del camino que sigue el fluido, se han observado
diferencias importantes si se permite entrampamiento o no, y la pregunta de a que clase de
universalidad pertenece la IP ha sido investigado intensamente en los últimos años18, 19. Se
acepta que las propiedades de escaleo de la NTIP son consistentes con las de la percolación
FluídoInvasor
FluídoDefensor
52
random, con una dimensión fractal de Df = 1.8959 para el cluster percolante sobre una red
cuadrada de sitios19. Mientras que para la TIP la dimensión fractal aceptada es,
Df = 1.825, algo menor que la de la percolación random. En otras palabras, hasta ahora se
asumía que las propiedades de escaleo de la TIP en dos dimensiones eran universales,
independientes del tipo de red y distintas de las de la percolación random.
A principios del año 2002, Knackstedt et al 19 publicaron resultados de TIP y NTIP
obtenidos de simulaciones sobre arreglos en 2D en donde reportaron estimaciones muy
precisas de la dimensión fractal del cluster percolante en diversos tipos de redes que
indicaban, en contra de lo que se suponía, que las propiedades de escaleo de este modelo
no son universales y dependen del red. Los resultados indican que la Df del cluster
percolante en redes con bajo número de coordinación Z , tienen el valor generalmente
aceptado de Df = 1.82, pero tiende al valor Df = 1.89 de la percolación random para valores
de Z lo suficientemente grandes. Al aumentar la conectividad disminuye el efecto del
entrampamiento por lo que es de esperar este tipo de comportamiento. La Tabla 2-2
muestra dichos resultados.
Figura 2-10: A la izquierda se observa una fotografía del experimento de la Ref. 17, en la cual elfluido mojante (negro) es desplazado por el no mojante (blanco), el cual ha sido inyectado desde elextremo izquierdo. A la derecha se observa una ampliación de la red en donde se puede apreciarcon detalle los canales y la interfase. La distancia aproximada entre nodos es de 0.8 mm.
53
Red Z Df
Sitios NTIP 1.8959 (1)Sitios TIPHexagonal 3 1.831 (6)Cuadrada 4 1.825 (4)Triangular 6 1.890 (2)Estrella♣ 8 1.896 (2)Enlaces TIPCuadrada 1.822 (8)
Tabla 2-2: Valores de la dimensión fractal de varios redes en 2D. Dichos resultados fueronextraídos de la Ref. 19. El número entre paréntesis indica el error estimado en la última cifra.
Sin embargo, la mayoría de los procesos de percolación invasiva que han sido
tratados hasta el presente no tienen en cuenta la presencia de correlaciones espaciales. La
naturaleza del desorden en mucha clases de medios porosos desordenados está lejos de ser
aleatoria y por el contrario existen correlaciones espaciales de cierta extensión. Sin
embargo, las propiedades de escaleo de modelos percolativos con correlaciones finitas son
las mismas a las de la percolación ordinaria, siempre y cuando la longitud de escala de
interés sea mayor que la longitud de correlación. Mas aún, si la función de correlación
decae más rápido que:
- dC(r) r (2.13)
donde r es la distancia entre dos puntos y d la dimensión del sistema, las propiedades del
sistema son idénticas a las de la percolación estática7. Ahora bien, en los reservorios de
petróleo o de agua, hay presente correlaciones de largo alcance cuya extensión es la misma
o comparable con la extensión del sistema. El Modelo Dual presenta correlaciones que
pueden describir este tipo de comportamiento y como vimos en el capítulo anterior están
dadas por:
0
r-rC(r) e (2.14)
♣ Dicha red es construida mediante el agregado de enlaces diagonales al red cuadrado.
54
Si r0 ≈ 1 la curva descripta por (2.14) irá siempre por debajo de la (2.13), por lo que las
propiedades del sistema serán las mismas que las de la percolación estática. Pero si r0 > 2 la
situación se revierte y en este caso las propiedades del sistema serán diferentes.
Aumentando el valor de r0 se pueden lograr correlaciones del orden del tamaño del sistema.
Las ec. (2.13) y (2.14) describen sistemas en los cuales las correlaciones decrecen a medida
que se incrementa r. La percolación con correlaciones de largo alcance en las cuales C(r) se
incrementa cuando crece r presenta características muy distintas a las anteriores. Un
proceso estocástico con una función de correlación que se incrementa con r es el
movimiento f ra cc ional Browniano (FBM) 20 en donde:
2HC (r) r (2.15)
H es el exponente de Hurt y sólo son de interés físico los H > 0, en especial los H <1/2 ya
que para esos valores el cluster percolante presenta dimensión fractal, mientras que para
H>1/2 las correlaciones son positivas y el racimo percolante es compacto.
Sahimi 21 fue el primero en proponer un proceso percolativo con este tipo de correlaciones.
La motivación para usar esta clase de modelo provino de los trabajos de Hewett22, quien
analizó la distribución de permeabilidad y la porosidad de rocas heterogéneas a grandes
longitudes de escala, (del orden de cientos de metros) y mostró que la distribución de
permeabilidad de ciertos reservorios de petróleo y de agua podrían ser descriptos por el
FBM.
Lo anterior justifica un estudio en profundidad de cómo la percolación invasiva es afectada
por las correlaciones del tipo de las generadas por el modelo Dual. Para ello utilizaremos
un modelo de sitios y enlaces23 que es más representativo de un sólido poroso real.
En el capítulo siguiente nuestro objetivo será mostrar como son afectados los diferentes
parámetros de interés de la TIP realizada sobre redes cuadradas de sitios y enlaces ante la
presencia de correlaciones espaciales generadas por el Modelo Dual, en particular veremos
que análogamente con la conectividad, la Df del cluster percolante aumenta con la
correlación y tiende al valor de la dimensión fractal del cluster percolante de la percolación
random.
55
Referencias:
1J. M. Hammersley, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 642 (1957).
2 Golomb, American Mathematical Monthly, 61, 672 (1954).
3 Harary, Graph Theory and Theoretical Physics, Academic Press (1965).
4 A. R. Conway and A. J. Guttmann, J. Phys. A 28, 891 (1995).
5 M. E. Fisher, Physics, 3, 255 (1967).
6 R. Zallen, The Physics of Amorphous Solids , John Willey & Sons, NY (1983).
7 D.Stauffer, Introduction to Percolation Theory, Taylor & Francis (1985).
8 D. Wilkinson and J. Willemsen. Invasion percolation: a new form of percolation theory. J. PhysA: Math. Gen. 16, 3365 (1983).
9 Lenormand, R. and S. Bories, C. R. Acad. Sci. Paris B291, 279 (1980).
10 Chandler R., Koplij J., Lerman K., and J. Willemsen. J. Fluid Mech. 119, 249 (1982).
11 Lin C. and Cohen M. J. Appl. Phys. 53, 6 (1982).
12 LS. J. Gregg, K. S.W. Sing, Adsorption, Surface Area and Porosity, Academic Press, NewYork (1982).
13 R. Lenormand, E. Touboul and C. Zarcone Numerical models and experiments onimmiscible displacements in porous media. J. Fluid Mech. 189, 165 (1988).
14 Madalena M. Dias and D. Wilkinson. Percolation with trapping. J. Phys A: Math. Gen. 19,3131 (1986).
15 Martin J. Blunt and Harvey Scher. Pore-level modeling of wetting. Phys. Rev. E. 52, 6387(1995).
16 Hoshen J. And Kopelman R. , Percolation and cluster distribution I. Cluster multiple labelingtechnique and critical concentration algorithm. Physical Review B. 14, 3438 (1976).
17 Lenormand, R. and Zarcone C. Invasion Percolation in a Etched Network: Measurement of aFractal Dimension. Physical Review Letters. 54, 2226 (1985).
18 Mark A. Knackstedt, Muhammad Sahimi and Adrian P. Sheppard. Invasionpercolation with long-range correlations: First-order phase transition and nonuniversal properties. Phys.Rev. E. 61, 4920 (2000).
56
19 Mark A. Knackstedt, Muhammad Sahimi and Adrian P. Sheppard. Nonuniversality ofinvasion percolation in two dimensional systems. Phys. Rev. E. 65, 035101(R) (2002).
20 B. B. Mandelbrot and J. W. Van Ness. SIAM Rev. 10, 422 (1968).
21 M. Sahimi. J. Phys I. 4, 1263 (1994).
22 T. A. Hewett. Society of Petroleum Engineers Report No. 15386. (1986).
23 M. Sahimi, M. Hashemi and J. Ghassemzadeh. Site-bond invasion percolation with fluidtrapping. Physica A. 260, 231 (1998).
57
Capitulo 3
Resultados de la Percolación Invasiva con Correlación
58
3.1.- Resultados de la percolación invasiva de sitios y enlaces conentrampamiento sobre redes correlacionadas en 2D.
Nuestras simulaciones fueron realizadas sobre redes cuadradas de sitios y enlaces
con conectividad constante Z = 4 (cada sitio tiene 4 enlaces), construidas en base al modelo
dual y de tamaño lineal L . Las distribuciones de sitios y enlaces fueron las mismas que se
usaron en el capítulo 1, es decir, distribuciones uniformes con r comprendido en
[ 1.5 , 2.5] para sitios y la de enlaces era desplazada hasta obtener el traslape deseado. El
valor de L fue variado desde 32 a 512, dependiendo del traslape. Para evitar efectos de
tamaño finito se utilizaron condiciones de borde periódicas1 en los laterales y, la elección
del valor del L mínimo, Lm i n , fue realizado en base a la discusión del capítulo 1 en donde
concluimos que una buena elección es: Lm i n > 10 r0 . Todas las simulaciones fueron
promediadas, dependiendo del tamaño de L , entre 5000 y 10000 veces para las redes con
128 ≥ L y entre 500 y 1000 promedios para las redes con 128 < L < 300.
Figura 3-1: Esquema ilustrativo de las condiciones iniciales del proceso invasivo. El fluidoinvasor es inyectado desde la izquierda a través de los enlaces, desplazando al fluido defensor que alinicio de la simulación ocupa todo el espacio poroso. Los enlaces en línea de puntos nos dan ideade las condiciones de borde periódicas en los laterales. Por simplicidad sitios y enlaces presentan elmismo tamaño.
Se supone fluidos incompresibles con lo que el fluido defensor sólo puede retraerse
y escapar por la arista opuesta por la que es inyectado el atacante. Las otras dos caras
59
poseen condiciones de borde periódicas. El esquema de la Figura 3-1 nos da una idea de
las condiciones iniciales del proceso.
Simularemos un proceso de imbibición, por lo que el fluido invasor será mojante y la
invasión comenzará por el enlace más pequeño de la izquierda. El algoritmo utilizado es
similar al de la sección anterior, salvo ciertas diferencias que sirven para acelerar las
simulaciones. El algoritmo empleado fue el siguiente:
1. Se genera una red cuadrada de sitios y enlaces de un determinado traslape en base al
Modelo Dual. Inicialmente todos los sitios y enlaces están ocupados con el fluido
defensor.
2. Se identifica el menor de los enlaces de la cara izquierda y se lo invade.
3. Se actualiza la interfase, es decir, se agregan a la lista de elementos a invadir, todos los
primeros vecinos disponibles del último elemento invadido. Si el último elemento
invadido fue un enlace se agrega a la lista un sitio, si fue un sitio se pueden llegar a
agregar tres enlaces. Dicha lista es automáticamente ordenada de menor a mayor.
4. Las regiones ocupadas por el defensor que estén rodeadas por el invasor son
entrampadas y no serán invadidas. Para detectar las regiones entrampadas usamos un
algoritmo recursivo2 que ha mostrado ser entre un 30 y un 40% más veloz que el de
Hoshen-Kopelman.
5. Se invade el primer elemento de la lista ordenada en el paso 3 y se actualiza dicha lista.
6. El proceso termina cuando el invasor alcanza el lado opuesto, en ese punto se forma el
cluster percolante y se almacenan las cantidades de interés (Volumen invadido, número
de sitios-enlaces invadidos, cantidad de islas entrampadas, etc.). Si aún no se ha
formado el cluster, se vuelve al punto 3.
7. A la red generada en el punto 1) se la termaliza un determinado número de pasos de
Monte Carlo hasta alcanzar el equilibrio (por lo que aumenta la longitud de correlación
espacial r0 ) y se realiza una nueva TIP en esta nueva red.
La principal modificación introducida al algoritmo original está en el punto 3), en donde se
ha creado una lista para almacenar en forma ordenada de menor a mayor todos los
elementos que pueden ser invadidos. Esto hace mucho más eficiente el algoritmo ya que no
es necesario recorrer en cada paso de la invasión toda la interfase buscando el menor
60
elemento disponible. La otra modificación es haber reemplazado el algoritmo HK de
detección de regiones entrampadas por uno del tipo recursivo.
Esta claro que debido a la naturaleza dinámica de la IP y el hecho de permitir el
entrampamiento, las simulaciones de TIP consumen mucho más tiempo de cálculo que las
de percolación ordinaria. Como el lector debe haber notado el paso 4) es el más caro,
computacionalmente hablando, ya que, en cada paso de invasión se debe recorrer la red por
completo para detectar islas entrampadas. Esto es altamente ineficiente, ya que un pequeño
cambio local implica una búsqueda global en toda la red. Para restringir la búsqueda de islas
a una región lo más local posible, se podrían emplear técnicas computacionales como las de
la Ref. 3 , las cuales están siendo analizadas para su posterior utilización y así acelerar los
tiempos de cálculo y poder tratar sistemas de mayor tamaño, en especial sistemas en 3D,
los cuales necesitan para traslapes mayores a 0.8 una Lmin > 200 con lo que las simulaciones
se vuelven extremadamente lentas.
Al presente hemos logrado simular una TIP sobre redes bidimensionales de tamaño lineal♣
L = 512 en un tiempo de alrededor de 150 minutos utilizando Pentium III de 700 Mhz
bajo Linux, si utilizamos L = 256, el tiempo de cálculo disminuye a unos 10 minutos. Al
tiempo necesario para simular el fenómeno, se le debe agregar el necesario para construir la
red y llevarla al equilibrio, lo que, como hemos visto, puede ser muy costoso para traslapes
altos. Cuando el frente alcanza por vez primera algún sitio de la columna derecha el
sistema llega al breakthrough y su aspecto es el que se aprecia en la Figura 3-2. En la
misma Figura también se representó el mapa topográfico de la superficie para Ω = 0 y la
dinámica del proceso, es decir, como avanza temporalmente el fluido4.
Si las redes utilizadas son no correlacionadas ( Ω = 0 ) , estamos en las mismas condiciones
que las de la TIP ordinaria, por lo que tendríamos que recuperar la dimensión fractal,
Df ≈ 1.82 obtenida en trabajos anteriores5. Para calcular la Df graficamos en una escala
doble-logarítmica el tamaño del cluster (como hay sitios y enlaces, contamos por separado
el número de sitios y el de enlaces) percolante versus L . La pendiente de estas curvas
equivalen a la dimensión fractal para sitios y para enlaces, y como se observa, los datos de
la simulación están en un muy buen grado de acuerdo con los valores clásicos. Con una
Df = 1.828 para sitios y Df =1.82 para enlaces. También calculamos la Df correspondiente
a la suma de sitios y enlaces, obteniéndose Df = 1.821.
♣ La simulación de mayor tamaño reportada de una TIP sobre una red cuadrada bidimensional es paraL = 8192. (Ref. 5)
61
Figura 3-2: La ilustración superior representa una superficie generada por el Modelo Dual conL = 512 y traslape 0. El tamaño de los sitios esta distribuido uniformemente entre 2 (azul) y 3(verde). La figura siguiente (izquierda) muestra el instante de tiempo cuando el fluido invasor (rojo)llegó al breakthrough, luego de haber invadido 49135 sitios y 133781 enlaces (182916 pasos deinvasión). Las zonas en gris corresponden al fluido defensor entrampado. La figura de la derecharepresenta la dinámica del proceso, en ella se aprecia la secuencia temporal (en intervalos de 50000pasos de invasión) de invasión del fluido.
Nota: De 500 redes generadas con L = 512, se eligió está red, ya que es la estadísticamente másrepresentativa .
RS = 2.0
RS = 3.0
RS
t = 0 t = 50000 t [Pasos de Invasión]
62
Figura 3-3: Representación sobre una escala doble-logarítmica del número de sitios, enlaces y eltotal de elementos invadidos versus el tamaño lineal L del sistema. Las líneas llenas, de trazos ypunteadas representan los ajustes lineales respectivos. La barra de error de cada punto no se la harepresentado ya que es del orden del tamaño del símbolo.
Figura 3-4Histograma de la distribución de islas de sitios. Casi el 50% corresponden a islas de tamaño 1. Se hagraficado sólo hasta un tamaño 12, ya que las islas de mayor tamaño son muy escasas (pero existeny debido a su tamaño influyen fuertemente en el proceso).
32 55 148 403 512
148
403
1097
2981
8103
22026
59874
162755 Ω = 0.0
(En laces + Sit ios): Df = 1.821 (± 0.003)
En laces: Df = 1.820 (± 0.003)
Sit ios: Df = 1.828 (± 0.002)
M
L
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Nro
. Isla
s (%
)
Tam añ o
63
Como era de esperar la recta correspondiente a los enlaces va por encima de la de sitios
(recordemos que hay el doble de enlaces que de sitios y, además, cuando no hay traslape,
todos los enlaces son más pequeños que los sitios y por lo tanto más fáciles de invadir).
Estos resultados numéricos están avalados por trabajos teóricos6 en donde se obtuvieron
aproximaciones analíticas del valor de Df para la percolación invasiva con y sin
entrampamiento utilizando RTS (run time statistic) y transformaciones de escala.
En cuanto a la estadística de islas, en la Figura 3-4 se ha representado la
distribución de tamaño de islas de sitios en el breakthrough. El histograma nos muestra la
gran cantidad de islas de pequeño tamaño que se producen, alrededor del 90% de las islas
son menores a 5 y la mitad corresponde a islas de tamaño 1.
Se ha demostrado7 que el exponente crítico universal τ de la percolación estática es el
mismo que el de la TIP, con lo que el análisis hecho anteriormente es válido y por
analogía, en el umbral crítico el número de cluster de tamaño s debe escalear de acuerdo a
la ec.:
sn s −τ∝ (3.1)
Graficando en un escala doble logarítmica el número de cluster de tamaño s versus s
podremos obtener una estimación del valor de τ a partir de la pendiente del ajuste lineal de
los datos. En la Figura 3-5 se observa dicha gráfica y el valor que se obtuvo fue τ ≈ 1.90 .
Este valor no está dentro del intervalo (2,3] discutido anteriormente. La desviación se debe
a la gran variación de las diferentes configuraciones de cluster y al tamaño finito del
sistema, esto último se aprecia en la gran dispersión que hay en los datos para s grandes.
Una forma más adecuada de estudiar la estadística del tamaño de los clusters es calculando
NS(s) , la fracción de sitios que están contenidos en cluster de tamaño s y más grandes que
s.
s ss>
N (s) = sn∑ (3.2)
es de esperar que esta cantidad escalee como:
2 -τsN (s) s∝ (3.3)
Como NS es una función decreciente de s , no es posible que ajustando la ec. (3.3)
obtengamos un valor para τ menor a 2. En la Figura 3-6 se ve claramente que la porción
64
recta de la curva tiene pendiente negativa, como era de esperar. El valor obtenido a partir
del ajuste de la ec. (3.3) para diferentes valores de L fue de τ ≈ 2.06 , lo que esta en un
muy buen grado de acuerdo con el valor de la percolación estática.
Figura 3-5: Gráfica de ns vs. s para una red de L =512. La línea a trazos representa el ajuste lineal ysu pendiente nos da el valor de -τ. (El exponente de Fisher). Observesé como aumenta ladispersión en los datos a medida que crece s.
Figura 3-6: Distribución de tamaños de islas entrampadas acumulada en el umbral NS , vs. s parados valores de L. La línea a trazos representa el ajuste lineal.
100 101 102 103 10410-4
10-3
10-2
10-1
100
101
L = 256 L = 512
Ns
s
1 3 7 20 55 148
0.000.010.020.050.140.371.002.727.39
20.0954.60
148.41403.43
1096.632980.96
250
ns
s
65
Los primeros indicios sobre la naturaleza de la dinámica de la TIP provienen de los
trabajos experimentales de Shaw8, en los cuales llenaba un medio poroso con agua y lo
secaba con aire caliente, de esta manera, se formaba con los poros secos un racimo de
percolación con la misma dimensión fractal de la TIP. En dichos experimentos se observó
que el frente se desplazaba invadiendo área locales. En la Figura 3-2 también se puede
observar la dinámica de la TIP sin correlación y el comportamiento es análogo al reportado
experimentalmente, es decir, una vez que un nuevo sitio fue invadido, la interfase tiende a
permanecer en esa vecindad. El crecimiento dentro de un intervalo de tiempo t¸ tiende a
ocurrir dentro de una "región", y las diferentes regiones coloreadas tienen una extensión
lineal rt similar entre sí, de hecho, se encuentra que para la TIP de sitios rt ∝ t 1 /D . Esto
puede ser explicado cualitativamente de la siguiente manera:
Al principio, el frente invasor agota todos los poros "fáciles de invadir", luego, fuerza al
invasor a una nueva región través de un "poro difícil", el cual puede tener vecinos "fáciles
de invadir", esta región es recorrida por el frente hasta que todos los poros "fáciles" se
agotan y nuevamente va en busca de otra región (poro difícil).
Para obtener una estimación cuantitativa de esta correlación temporal, se debe calcular la
función de correlación de pares, N (r, t ) , la cual nos da la probabilidad de que un sitio, a
una distancia r de un sitio de referencia, sea invadido en un tiempo t más tarde que el sitio
de referencia.
Si bien en este trabajo no profundizaremos sobre la dinámica de la TIP,
observaremos importantes diferencias cualitativas cuando en la TIP se introducen
correlaciones espaciales, lo que amerita un posterior estudio sobre el tema. La ref. 4 es un
excelente punto de partida para tratar este tópico.
Ya hemos visto que para el caso no correlacionado nuestros datos están en
concordancia con los de la TIP, y todos los parámetros estudiados nos sugieren que
pertenece a la misma universalidad de la percolación estática. El próximo paso será ver
como influye en ellos la correlación. Para empezar en las Figuras I, II, III y IV, hemos
representado el cambio cualitativo que se produce sobre la estructura del racimo percolante
debido a la variación de la topografía de la superficie, provocado por el aumento de la
correlación. La distribución de estas figuras según la columna es la siguiente:
1. Topografías de las superficies, el sitio de menor tamaño está en azul y el más grande en
verde claro.
Figura I (ΩΩΩΩ= 0.5) : Islas= 3929 - VS.= 0.13872 - Vb.= 0.46566 - Sitios= 51648 - Enlaces= 135636 - vm= 0.00275 Islas= 4072 - VS.=0 .13602 - Vb.= 0.45593 - Sitios= 52462 - Enlaces= 132690 - vm= 0.00281
Figura II (0.7): Islas=3748 - VS.=0.1537 - Vb.= 0.47503 - Sitios= 57890 - Enlaces= 145549 - vm= 0.00252Islas=4779 - VS =0.13636 - Vb.= 0.42202 - Sitios= 51998 - Enlaces= 131277 - vm= 0.00279
2.0 RS 3.0 0 s 51225612864 0 50000 t [Pa s o s d e I nva s i ón]
Figura III (0.8): Islas= 4529 - VS = 0.14232 - Vb.= 0.4232 - Sitios= 54380 - Enlaces= 131632 - vm= 0.00275 Islas= 5152 - VS = 0.13118 - Vb.= 0.40317 - Sitios= 52272 - Enlaces= 131117 - vm= 0.00279
Figura IV (0.9): Islas= 5969 - VS = 0.141 - Vb.= 0.421 - Sitios= 55696 - Enlaces= 136068 - vm= 0.00267 Islas= 5776 - VS = 0.135 - Vb.= 0.390 - Sitios= 53899 - Enlaces= 132752 - vm= 0.00274
0 s 512256128642.0 RS 3.0 0 50000 t [Pa so s d e Inv asión ]
66
2. Racimo invasor (rojo) e islas de fluido entrampado (gris claro) en el umbral percolante.
3. Dinámica del proceso hasta el breakthrough, los diferentes colores representan
intervalos de 50000 pasos de invasión (las islas entrampadas están en gris ).
Además la primer fila de cada juego de Figuras es para t = 0 y la segunda fila para t = t e q .
Si observamos sólo las primeras filas de cada conjunto de fotos , vemos que el racimos
percolante se vuelve mas compacto a medida que aumenta la correlación (dejemos de lado
por ahora la correspondiente a Ω =0.9).
En la Figura 3-7 se muestra la dependencia con Ω de vm , la veloc idad media del f rent e ,
definida como:
mLv =N
(3.4)
donde N es el número de pasos invasivos necesarios para atravesar la red de longitud L y
llegar al otro extremo.
En dicha gráfica se han representado dos curvas, la de símbolos llenos (t=0) son
simulaciones realizadas sobre redes sin relajar, es decir redes que han alcanzado el Principio
de Construcción por primera vez. La otra curva esta asociada a redes que han sido relajadas
hasta que su longitud de correlación llegó al equilibrio. Este tipo de análisis será muy
común de aquí en adelante. Debe tenerse en cuenta que la curva t = t e q puede verse como
la curva a t =0 pero con una longitud de correlación espacial mayor. Se observa que vm
( t = 0 ) fluctúa alrededor de vm = 0.0051 y logra su máximo valor para Ω = 0.9, es decir el
frente de invasión avanza con una efectividad levemente mayor para traslapes altos. ( Si
bien, el valor logrado en Ω = 0.5 está muy cercano al de Ω = 0.9 ).
Para la curva t = t e q el efecto de la correlación se aprecia más claramente y se observa que
a medida que crece el traslape (la correlación) aumenta la efectividad de la velocidad media
del frente invasor hasta el breaktrough. El por qué aumenta Vm lo discutiremos más
adelante.
67
Figura 3-7: Dependencia de la velocidad media con el traslape Ω. Los símbolos llenoscorresponden a simulaciones realizadas sobre redes sin relajar. Los símbolos vacíos a redes que hanalcanzado su equilibrio, es decir, su longitud de correlación se ha estabilizado. Las líneas son sóloguías y las barras indican los errores estadísticos.
Otra cantidad de interés en el umbral de percolación fue la f racc ión de volumen
invadido, Vs y Vb para sitios y enlaces respectivamente. Esta se muestra en la Figura 3-8,
donde se ha supuesto una geometría esférica para los sitios y una cilíndrica para los enlaces.
En el caso de estos últimos se supone además que todos poseen la misma longitud unitaria.
Para la curva correspondiente a t = 0 no se observa un cambio apreciable en Vs al variar
el traslape.
La curva para t = t e q se comporta en forma similar a la curva sin relajar hasta Ω ≈ 0.6 que
es donde la longitud de correlación espacial comienza a separarse del valor que tiene en las
redes con t = 0. A partir de este traslape el volumen invadido empieza a disminuir
alcanzando un mínimo alrededor de Ω ≈ 0.75 para luego aumentar levemente. La
presencia de este mínimo se puede explicar observando las fotos de la Figura III, en
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.0046
0.0048
0.0050
0.0052
0.0054
0.0056
0.0058
0.0060
0.0062
0.0064 t= 0 t= t
eq
Vel
ocid
ad m
edia
en
el U
mbr
al
Ω
68
donde se representó una red de L = 512 con un traslape de Ω = 0.8 antes y después de
relajar.
Figura 3-8: Fracción del volumen de los sitios invadidos hasta el momento del breakthrough enfunción de Ω. Las barras indican los errores estadísticos y las líneas son sólo guías.
Al principio, (sin relajar) la topografía nos muestra una superficie dividida en parches de
un tamaño medio de aproximadamente 10 unidades de látice, recordemos que estos
parches son regiones de sitios y enlaces de tamaños similares, y que cuanto más grande es la
longitud de correlación más extensos serán dichos parches. Ante este paisaje, el frente
invasor ingresa al primer parche que encuentra disponible e invade un sitio (enlace); como
los vecinos de ese elemento invadido son de un tamaño muy similar (ya que pertenecen al
mismo parche) el frente continua invadiendo gran parte de la superficie de la región hasta
que no queden más elementos similares para invadir, en ese punto el frente viajará a otro
parche y así sucesivamente hasta el breakthrough. Además, como los parches no son muy
grandes, hay poca probabilidad de que se produzcan grandes entrampamientos dentro de
los parches, en su interior sólo podrá haber pequeñas islas (menores al tamaño medio del
parche). Sin embargo, se observan grandes entrampamientos en el sistema, los cuales son
generados por conjuntos de parches que encierran regiones de fluido defensor.
Ahora bien, cuando relajamos la red, el efecto es que aumente la longitud de correlación, es
decir, aumenta el tamaño medio del parche por lo que de tener un sistema con muchos
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.120
0.125
0.130
0.135
0.140
0.145
0.150
0.155
0.160
0.165
0.170
0.175
0.180
t= 0 t= t
eq
Vs
Ω
69
parches pequeños, pasamos a tener un sistema con unos pocos parches grandes. Para el
frente invasor un parche sigue siendo un parche y una vez que ingresa en uno de ellos, le es
"más favorable" permanecer en él. La diferencia está en que, debido a la gran extensión y la
poca cantidad de los nuevos parches, lo más probable es que, una vez que el invasor
ingrese a uno, lo recorra hasta agotarlo, salte al siguiente parche, lo recorra, etc. pero esto
sólo lo puede hacer pocas veces (debido a la poca cantidad de parches). Al tercer o cuarto
parche recorrido, el fluido habrá llegado al otro extremo. Téngase presente que así como
hay parches de sitios-enlaces pequeños, también los hay de sitios-enlaces grandes muy
difíciles de invadir y, además, éstos pueden envolver a los parches "fáciles de invadir"
haciéndolos inaccesibles para el fluido invasor.
Esta suma de factores hace que para un dado traslape, cuanto mayor sea su tiempo de
relajación menor será la efectividad de la invasión en cuanto al volumen invadido hasta el
breakthrough, es decir menor será el volumen invadido. Obviamente esto implica un
aumento en la velocidad media para traslapes Ω > 0.6. Dicho mecanismo de llenado puede
ser confirmado apreciando las fotografías de las Figuras II y III de la dinámica del proceso.
En la Figura 3-9 se observa la distribución de islas versus el ln(s)/ln(2)♣ para redes de
L = 256 y Ω = 0.8 antes y después de relajar, junto con la correspondiente para redes con
traslape cero. Como se discutió previamente, la curva para t = 0 nos muestra una mayor
Figura 3-9: Distribución del tamaño de islas en el breakthrouhg para redes de L = 256 y diferentetraslape.
♣ Las islas de tamaño s =1 estarán en ln(1)/ln(2) =0, las de s = 2, 3 en 1, las de s = 5,6,7 en 3 y así siguiendo....
0 2 4 6 8 10 12 14
0.02
0.05
0.14
0.37
1.00
2.72
7.39
20.09
54.60
148.41
403.43
1096.63
s = 128
Ω = 0
Ω = 0.8 t= 0 t= t eq
Ns
ln (s)/ln (2)
70
cantidad de islas de tamaño 1 que la curva correspondiente a (t = t e q), debido
principalmente a que los parches pequeños presentes en las redes sin relajar favorecen la
creación de islas menores que al tamaño medio de los parches. A medida que s aumenta, es
la curva (t = t e q) la que presenta mayor número de islas de tamaño intermedio, esto ocurre
ya que los parches de mayor tamaño de las redes relajadas permiten la formación de islas
más grandes en su interior, esta tendencia se mantiene hasta que s ≈ 128 ; observando las
Figuras III vemos que este valor coincide con el tamaño medio aproximado de los parches.
Este tamaño medio de parche dificultará la formación de islas mayores, ya que para que
esto ocurra se tiene que formar parches mayores a 128, es decir, mayores a la media. En
cambio en las redes sin relajar se pueden formar más fácilmente estas islas mediante un
conjunto de pequeños parches invadidos que rodeen grandes regiones de fluido defensor y
así formar islas entrampadas mayores a 128.
Como hemos visto, para superficies relajadas en Ω = 0.6 comienza la formación de
parches, y estos aumentan en tamaño a medida que aumenta el traslape. Cuando el fluido
invasor ingresa a uno de ellos le es muy fácil continuar dentro de él (debido a la similitud de
tamaño de los elementos dentro de él), lo que dificultará la creación de islas de tamaño
mayor que el del parche medio. Además, como para tales valores de traslape existen pocos
parches (pero de gran extensión) el fluido, luego de invadir un escaso número de ellos,
rápidamente llegará al otro extremo haciendo que el volumen invadido disminuya. Según
esto, cuanto más grande sean los parches menor tiempo tardará el invasor en alcanzar el
extremo opuesto del sistema y menor será el volumen invadido. Sin embargo la Figura 3-8
nos muestra que esta tendencia del volumen a disminuir a medida que el traslape aumenta,
se revierte en Ω ≈ 0.75 en donde empieza a aumentar. Para comprender este
comportamiento observesé las Figuras III y IV, especialmente las correspondientes a la
dinámica del proceso, en ellas se observa que a partir de Ω = 0.8 la dinámica del llenado de
los parches cambia en forma cualitativa. Los parches son invadidos capa a capa
comenzando desde su parte central, esta invasión por capas continúa hasta que una capa de
fluido invasor llega a la frontera del parche, en ese instante el frente buscará la forma más
fácil de llegar a otro parche para nuevamente llenarlo desde el interior al exterior, en forma
de capas que siguen la forma del perímetro del parche. Esto ocurre debido que a traslapes
tan altos, el parche mismo presenta una estructura con un cierto orden, y como el lector
71
sospecha, los sitios-enlaces más pequeños están en la zona central, y a medida que nos
acercamos al borde, encontramos los elementos más grandes. La aparición de este
gradiente de tamaño provoca tan particular mecanismo de llenado de estas regiones, lo que
da lugar a un menor entrampamiento (dentro de los parches) y en consecuencia a un
aumento del volumen invadido. Este comportamiento no monónoto de ciertas cantidad
como función del traslape se ha observado en el umbral percolativo en sistemas
correlacionados de sitios-enlaces9
Como puede apreciarse en las Figura 3-10, la distribución del tamaño de islas para los
distintos traslapes presentan, cualitativamente, características similares al caso sin traslape,
predominando las islas de menor tamaño. Alrededor del 90% de las islas son de un tamaño
menor a 5 (independientemente del traslape) y la mitad o más corresponde a islas de
tamaño 1 (para Ω = 0.8 el 65% de las islas son de tamaño unidad).
Figura 3-10: Histograma de las distribuciones de islas en el breakthrough para diferentes traslapes ycon redes sin relajar y en equilibrio. En todas las gráficas se incluyó la correspondiente a Ω = 0como referencia. Sólo se graficó hasta un tamaño s =12 debido que las islas más grandes sonescasas, pero téngase muy presente que existen y su gran superficie afecta considerablemente elproceso.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Ω = 0.55 t = 0 t = t
eq
Nro
. Isla
s (%
)
T a m a ñ o (s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Ω = 0.7 t = 0 t = t
eq
T a m a ñ o (s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Ω = 0.8 t = 0 t = t eq
Nro
. Isla
s (%
)
T a m a ñ o (s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Ω = 0.9 t = 0 t = t eq
T a m a ñ o (s)
72
Debido a la gran cantidad de islas de pequeño tamaño en la Figura 3-11 se representó la
dependencia de las islas de tamaño s = 1 y s = 2 con el traslape. Se observa que todas la
curvas presentan un mínimo en Ω ≈ 0.6 , y luego aumentan hasta lograr sus valores
máximos para Ω → 1. Este comportamiento está íntimamente relacionado con el efecto de
las correlaciones espaciales sobre la invasión. Recuérdese que, alrededor de Ω ≈ 0.5 , el
tamaño medio del parche vale una unidad de red y, a medida que aumenta la correlación, se
incrementa el tamaño medio de parche. Así, dependiendo del tamaño medio del parche,
será el tamaño de isla que pueda formarse dentro de él. Obviamente, si por ejemplo, los
parches son de 2 unidades, será muy poco probable que se formen en su interior islas de
una unidad, ya que una vez invadido uno de los sitios al fluido le resultará muy fácil invadir
el otro debido a su similitud de tamaño. Y como el fluido prefiere viajar por los parches la
formación de islas de ese tamaño se verá disminuida.
Figura 3-11: Número de islas de tamaño s = 1 y s = 2 en función del traslape y para diferentestiempos.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9100
200
300
400
500
600
700
800
900
(s = 2) t = 0 t = t
e q
(s = 1) t = 0 t = t
e q
Ω
Nro
. de
Isla
s
73
La cantidad total de islas en el umbral presenta un comportamiento similar al de las islas de
s =1 debido a la gran cantidad de estas. La Figura 3-12 muestra este comportamiento.
Figura 3-12: Número total de islas del defensor en el umbral de percolación en función deltraslape.
En la Figura 3-13 se observa la distribución de islas versus el ln(s)/ln(2)♣ para redes de
L = 256 y dos traslapes, Ω = 0.7 y Ω = 0.5 antes y después de relajar, junto con la
correspondiente para redes con traslape cero. La curva correspondiente al traslape más alto
presenta un comportamiento análogo al de la Figura 3-9 y como se discutió previamente,
la curva para t = t e q presenta mayor cantidad de islas en comparación con la de t = 0, esta
tendencia se mantiene hasta que s es del orden del tamaño medio del parche, a partir de
este valor la tendencia se revierte y es más probable encontrar islas de mayor tamaño en las
redes sin relajar.. Para las redes de traslape menor no se aprecia este efecto debido a que las
correlaciones son despreciables.
♣ Las islas de tamaño s =1 estarán en ln(1)/ln(2) =0, las de s = 2, 3 en 1, las de s = 5,6,7 en 3 y así siguiendo....
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
t = 0 t = t
e q
Nro
. de
Isla
s en
el U
mbr
al
Ω
74
Figura 3-13: Idem que la Figura 3-9 pero para distintos traslapes. Estas gráficas corroboran elefecto de las correlaciones sobre la formación de islas.
Dimensión fractal:
Graficando en una escala doble logarítmica la masa del cluster percolante podemos
obtener su dimensión fractal. Esto se hizo para la masa de los sitios, los enlaces y la suma
de ambos y se obtuvieron sus correspondientes dimensiones fractales. En la Figura 3-14 se
han graficado los ajustes y en la Figura 3-15 se puede observar como varía la dimensión
fractal con el traslape.
Figura 3-14: Representación sobre una escala doble-logarítmica del número de sitios, enlaces y eltotal de elementos invadidos versus el tamaño lineal L del sistema para dos traslapes diferentes. Laslíneas llenas, de trazos y punteadas representan los ajustes lineales respectivos para t =0.
0 2 4 6 8 10 12 140.02
0.05
0.14
0.37
1.00
2.72
7.39
20.09
54.60
148.41
403.43
1096.63
Ω = 0
Ω = 0.5 t = 0 t = t
e q
Ns
ln (s)/ln (2)0 2 4 6 8 10 12 14
0.02
0.05
0.14
0.37
1.00
2.72
7.39
20.09
54.60
148.41
403.43
1096.63
s = 64
Ω = 0
Ω = 0.7 t = 0 t = t
e q
l n (s)/ln (2)
32 55 148 403 512148
403
1097
2981
8103
22026
59874
162755 Ω = 0 .5
Sit ios + En laces (t = 0)Sit ios + En laces (t = t
e q )
S i t ios (t = 0) Si t ios (t = t e q )
En laces (t = 0) En laces (t = t e q )
L
M
32 55 148 403 512
Si t ios (t = 0) Si t ios (t = t
e q )
En laces (t = 0) En laces (t = t e q )
Ω = 0 .7
Sit io s + En laces (t = 0)Si t io s + En laces (t = t e q )
L
75
Figura 3-15: Variación de la dimensión fractal con el traslape. Se considera por separado la masade los sitios, los enlaces y la suma de ambos. Las líneas son sólo guías y las barras indican el errorestadístico. Se ha graficado sólo hasta Ω = 0.8. Si bien las tendencias se mantienen para traslapesmayores, dicho datos no se han representado ya que es necesario trabajar con redes con L > 500,con lo que las simulaciones se hacen muy lentas y sólo se pueden hacer unos pocos promedios.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.91.80
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
Si t io s t = 0 t = t
e q
Df
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.91.80
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
En laces t = 0 t = t
e q
Df
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.91.80
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
Si t io s + En laces t = 0 t = t
e q
Ω
Df
76
La primera conclusión importante es que, independientemente del elemento seleccionado
(sitio, enlace o sitios+enlaces) la dimensión fractal del racimo percolante del fluido invasor
varía con el traslape, es decir, varía con las correlaciones espaciales. Ya sea para redes
relajadas o no, la Df aumenta a medida que se incrementan las correlaciones, logrando su
máximo valor alrededor de Ω ≈ 0.7 - 0.8 , dependiendo del elemento y de la clase de redes
utilizadas. Esta tendencia se revierte a traslapes altos y se observa un leve descenso.
Está claro que la TIP no correlacionada presenta una Df ≈ 1.82 que es diferente a la
de la percolación invasiva sin entrampamiento (Df ≈ 1.89, recuerde que la percolación
ordinaria presenta la misma dimensión fractal), es decir, el entrampamiento ha cambiado la
clase de universalidad. Intuitivamente vemos que el cambio en la universalidad está en la
dirección correcta ya que el entrampamiento impide que ciertas regiones se puedan invadir
(si no hubiera estado la condición del entrampamiento podrían haber sido invadidas), lo
que conlleva a una disminución de la dimensión fractal del racimo percolante.
Cuando en el medio hay correlaciones presentes, del tipo de las del Modelo Dual,
éstas provocan que la dimensión fractal tome valores mayores al característico Df ≈ 1.82 y,
como se observa, Df se acerca al valor de la percolación sin entrampamiento. Esto nos
dice que el entrampamiento esta perdiendo fuerza. Un claro indicio de esto último se
aprecia en la Figura 3-12 en donde el número de islas entrampadas de fluido defensor
disminuye notablemente a partir de Ω ≈ 0.4.
Faltaría sólo explicar por qué para Ω ≥ 0.8 la dimensión fractal disminuye levemente, es
decir, por qué el entrampamiento se vuelve más importante. Nuevamente la Figura 3-12
nos da indicios que para traslapes tan altos el número de islas entrampadas aumenta a un
valor muy similar al que existe para Ω = 0. Este hecho, que es provocado por el efecto de
llenado por capas de los parches hace que la Df disminuya.
Los resultado anteriores nos indican que todas las dimensiones fractales del cluster
percolante (Df de sitios, Df de enlaces y Df de sitios+enlaces) de la TIP con correlación
dependen de r0 mientras que para el caso sin correlación ellas son universales y de la misma
clase de la percolación estática. Usando un FBM para introducir las correlaciones
Knackstedt10 et al. obtuvieron que la Df aumenta con H (exponente de Hurt) pero de una
forma monótona. En nuestro modelo el comportamiento es no-monótono, observándose
un máximo para traslapes altos, provocado esencialmente por el llenado de a capas.
Posteriormente en una Rapid Communication al Physical Review E de Febrero de 2002,
Knackstedt5 et al reportaron un aumento de la dimensión fractal con la conectividad, en
77
donde se observa que los sistemas con gran conectividad tienden a la misma Df de la
percolación estática.
Resumiendo, usando un algoritmo eficiente hemos demostrado que la universalidad de la
dimensión fractal de la TIP varía con la correlación espacial generada por el Modelo Dual.
Esto es, la TIP con correlación, un proceso dinámico, no posee una única clase de
universalidad. Las implicaciones de este resultado son muy importantes en el modelado del
flujo de fluidos a través de medios porosos, en especial en la recuperación y extracción de
petróleo y/o agua de reservorios.
La extensión de ciertas secciones de este trabajo a sistemas tridimensionales puede
ser consultado en diversas publicaciones 11, 12, 13 . En dichos trabajos se encuentra que, como
el caso bidimensional, los parámetros de interés se ven afectados por la correlación. Ahora
bien, estos trabajos no tenían en cuenta la presencia de correlaciones espaciales tan
importantes como las que aparecen a altos traslapes (y en el equilibrio). Estas correlaciones
pueden ser del orden del tamaño del sistema por lo que los efectos de borde pueden haber
afectado notablemente al proceso. Por lo tanto una revisión de los mismos teniendo
presente la magnitud de las correlaciones debiera ser realizada. Por otro lado en 3D el
efecto del entrampamiento pasa prácticamente inadvertido, esto es así ya que para que se
produzca una isla de fluido defensor entrampado es necesario una superf i c i e de fluido
invasor que la contenga. Es por esto que a la TIP en 3D se la asocia con la misma
universalidad de la percolación estática14. Simulaciones en 3D realizadas sobre redes con
bajo traslape, Ω <0.7 , parecieran demostrar que la correlación tampoco afecta a la
universalidad. Pero, ¿qué pasa a altos traslapes?, en donde como se ha visto la fuerte
correlación provoca la formación de parches haciendo que el fluido se aglutine formando
islas. ¿Se producirá un mayor entrampamiento? Para responder a estas preguntar es
necesario realizar simulaciones en sistemas tridimensionales de tamaño L ≈ 100 como
mínimo, lo que por el momento escapa a nuestra capacidad de cálculo, no por el tamaño en
sí, si no por la gran cantidad de muestras necesarias.
78
Referencias:
1 A. Gabrielli, R. Cafiero and G. Caldarelli. Theory of Boundary Effects in Invasion Percolation.J. Phys A: Math. Gen. 31, 7429 (1998).
2 Martín-Herrero J. and Peón-Fernández. Alternative techniques for cluster labelling onpercolation theory. J. Phys A: Math. Gen. 33, 1827 (2000).
3 Babalievski F. Int. J. Mod. Phys. 9, 43 (1998).
4 Liv Furuberg, Jens Feder, Amnon Aharony and Torstein Jøssang. Dynamics of InvasionPercolation. Physical Review Letters. 61, 2117 (1988).
5 Mark A. Knackstedt, Muhammad Sahimi and Adrian P. Sheppard. Nonuniversality ofinvasion percolation in two dimensional systems. Phys. Rev. E. 65, 035101(R) (2002).
6 R. Cafiero, A. Gabrielli, M. Marsili and L. Pietronero. Theory of extremal dynamics withquenched disorder Invasion percolation and related models. Phys. Rev. E. 54, 1406 (1996).
7 Madalena M. Dias and D. Wilkinson. Percolation with trapping. J. Phys A: Math. Gen. 19,3131 (1986).
8 T. M. Shaw. Drying as an immiscible displacement process with fluid counterflow. Physical ReviewLetters. 59, 1671 (1987).
9 A. J. Ramirez-Cuesta, R. J. Faccio and J. L. Riccardo. Nonmonotonical behavior incorrelated site-bond percolation. Physical Review E. 57, 735 (1998).
10 Mark A. Knackstedt, Muhammad Sahimi and Adrian P. Sheppard. Invasionpercolation with long-range correlations: First-order phase transition and nonuniversal scaling properties.Phys. Rev. E. 61, 4920 (2000)
11 A. M. Vidales, R. H. López and G. Zgrablich. Role of Size Correlations in FluidDisplacemenet in Porous Solids. Langmuir 15, 5703 (1999).
12 A. M. Vidales, J. L. Riccardo and G. Zgrablich. Immiscible displacement at pore level forCorrelated Porous Media. I. Journal of Modern Physics C. 9, 837 (1998).
13 A. M. Vidales, J. L. Riccardo and G. Zgrablich. Pore-level modelling of wetting on CorrelatedPorous Media. J. Phys. D: Appl. Phys. 31, 2861 (1998).
14 A. P. Sheppard, M. A. Knacksted, W. V. Pinezewski and M. Sahimi. InvasionPercolation: new aolgorithms and universality classes. J. Phys A: Math. Gen. 32, 521 (1999).
79
Conclusiones:
Del desarrollo de este trabajo se pueden extraer las siguientes conclusiones:
Mediante simulaciones de Monte Carlo hemos realizado un estudio de las propiedades
de las correlaciones generadas por el Modelo Dual de sitios y enlaces y se ha
demostrado cómo estas propiedades son afectadas por el número de pasos de Monte
Carlo necesarios para alcanzar el equilibrio estadístico y se ha establecido cuál es la
longitud mínima del sistema para evitar efectos de tamaño finito.
Se establecieron reglas muy simples para determinar el tiempo de relajación necesario
para alcanzar el equilibrio estadístico t e q , y el tamaño mínimo de la red L para un
determinado traslape, Ω. .
El estudio también reveló que la suposición hecha en trabajos anteriores sobre la
relación entre r0 y Ω. dada por la ec. 1.12 no es válida para altos valores del traslape. Se
propone una nueva relación que es más precisa que la anterior.
El comportamiento de las propiedades de interés en la percolación invasiva sobre redes
bidimensionales de sitios y enlaces con correlación construidas en base al Modelo Dual
es tanto cualitativa como cuantitativamente diferente al correspondiente sin correlación.
Esto lo demuestra:
Cómo son afectadas todas las cantidades de interés por r0 : volumen invadido, velocidadmedia, dimensión fractal, etc.
Todas las dimensiones fractales del cluster percolante estudiadas se ven afectadas por lacorrelación. Para el caso no correlacionado se verifica el hecho de que pertenece a unauniversalidad diferente de la percolación ordinaria. Para correlaciones altas se ve unadisminución del efecto de entrampamiento y la Df tiende a los valores de la percolaciónsin entrampamiento.
En general las cantidades estudiadas no son funciones monótonas del traslape (r0 ).
Las estructuras no correlacionadas y las altamente correlacionadas parecen presentar elmayor grado de eficiencia en la invasión.
80
Perspectivas Futuras
La experiencia lograda con este estudio nos permitirá atacar un problema más que
ambicioso y de gran importancia tecnológica: la caract erización de materia les
porosos corre lac ionados , especialemente a través de transporte de fluídos. Para avanzar
en el entendimiento de este problema era necesario contar con varias herramientas, en
especial la simulación por computadora, ya que debido a la complejidad de los sistemas
estos se vuelven intratables analíticamente, salvo por aproximaciones, que en general
fallan ante la presencia de correlaciones . Es por esto que era imprescindible realizar un
estudio de esta clase, para comprender de una forma clara y concisa la naturaleza y el
comportamiento de las correlaciones introducidas por el Modelo Dual. Trabajos
preliminares14 han demostrado que este modelo es muy adecuado para representar
sólidos porosos y simular en ellos los fenómenos de interés.
Utilizando el modelo de percolación invasiva de sitios y enlaces con correlación en 3D
se pretende avanzar sobre el problema de la caracterización de la mojabilidad de rocas
porosas14, un tema de suma importancia en la industria petrolera.
San Luis, Argentina, 28 de Agosto de 2002
![Innovación Docente y Software Libreagamenon.tsc.uah.es/Personales/rlopez/docs/lopez-edu... · 2008-08-21 · que conocen los sistemas operativos como Linux [1][3], que navegan por](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/5e91813d0f844c648e218a13/innovacin-docente-y-software-2008-08-21-que-conocen-los-sistemas-operativos.jpg)
