Exposicion ecuaciones diferenciales ordinarias (edo) final
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TRATAMIENTO NUMERICO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DUBAN CASTRO FLOREZ HERNAN FULA BOHORQUEZ DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ ELIANA CATHERINE GOMEZ PINTO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA INGENIERIA DE PETROLEOS 2010
Transcript of Exposicion ecuaciones diferenciales ordinarias (edo) final
TRATAMIENTO NUMERICO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
PARCIALESDUBAN CASTRO FLOREZ
HERNAN FULA BOHORQUEZDANIEL FERNANDO RODRIGUEZ
ELIANA CATHERINE GOMEZ PINTO
METODOS NUMERICOS EN INGENIERIAINGENIERIA DE PETROLEOS
2010
2.3. MÉTODO DE RUNGE KUTTA
BIBLIOGRAFIA
AGENDA
2.2. MÉTODO DE EULER MEJORADO
2.1. MÉTODO DE EULER
2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1. INTRODUCCIÓN
En este trabajo se presentarán algunas de las técnicas numéricas para aproximar la solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) lineales de segundo orden y con dos variables independientes. Para esto se parte de la modelación de fenómenos físicos como la conducción de calor en una barra aislada.
INTRODUCCION
Dado que las Ecuaciones Diferenciales Parciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde se involucran una función de más de una variable independiente y sus derivadas parciales.
De ahí su importancia, pues prácticamente en todos los fenómenos que se estudian en ingeniería y otras ciencias, aparecen más de dos variables, y su modelación matemática conduce frecuentemente a EDP.
DERIVADAS POR DIFERENCIAS FINITAS
Proceso de discretización: El conjunto infinito de números que representan la función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado por un número finito de parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación
Entre las diferentes formas de discretización posibles (elementos finitos, volúmenes finitos, etc.), una de las más simples es mediante el Método de Diferencias Finitas.
DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA
En una solución por este método, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente solucionable por medios comunes (especialmente matriciales).
VALOR EN LA FRONTERAConsideremos el problema de encontrar la función f(x) que satisface la ecuación diferencial:
Sujeta a las condiciones de frontera
Las ecuaciones anteriores son utilizadas para la descripción analítica de muchos procesos físicos, por ejemplo:
Conducción de calor a través de una pared plana (TQ en 1-D)
Flujo en canales y tuberías
Deflexión transversal de cables
Deformación axial de barras (ver Figura).
Entre otros
DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA
En la primera condición de frontera, aplicada en x = 0, el valor de la función f(x) se especifica como f0, tal como se muestra en la
siguiente ecuación:
f = f 0 en x = x0
Una condición de frontera de este tipo se denomina condición de frontera Dirichlet. En la segunda condición, aplicable a la condición remanente de la frontera x = L, el valor de la función corresponde a la ecuación:
Este tipo de condición de frontera se denomina condición de frontera Neumann .
DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA
APROXIMACIÓN DE DERIVADAS MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS
Forma alternativa para obtener aproximaciones de diferencia. Permite deducir:
Fórmulas de diferencia sistemáticamente
Términos de error de truncamiento.
Se pueden obtener las aproximaciones de diferencia hacia atrás, centrada y hacia adelante.
Rnxxxf
xxxfxfxf iii
iiiii ...)(!2
)(''))((')()( 2
111
La serie de Taylor para una función f evaluada en Xi+1 es:
h
xfxfxf iii
)()()( 1'
Truncando en el término de la primera derivada y realizando los cambios pertinentes se obtiene:
DIFERENCIAS FINITAS EN 1-D
EDP Parabólicas
A través de los métodos explícitos se calculan los valores en cada nodo para un tiempo posterior, basándose en los valores presentes del nodo y sus vecinos.
Métodos Explícitos o de diferencias progresivas
X Punto de la malla usado en la diferencia temporal.
O Punto de la malla usado en la diferencia espacial.
EDP Parabólicas
Las ecuaciones parabólicas están temporalmente abiertas en los extremos mientras que las elípticas están acotadas en todas las dimensiones.
Métodos Explícitos o de diferencias progresivas
EDP Parabólicas
Para la ecuación de conducción de calor:
Se aproxima la primera y segunda derivada por diferencias finitas, hacia delante y centradas respectivamente.
tUU
tU
XUUU
XU
Li
Li
Li
Li
Li
1
211
2
2 2
Métodos Explícitos o de diferencias progresivas
tU
XU
2
2
)*(*)(
* Li
Li
Li
Li
Li UUU
Xt
UU 1121 2
Donde:
2)(
*Xt
EDP Parabólicas
• Convergencia: Conforme a X y t tienden a cero, los resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximarán a la solución verdadera.
• Estabilidad: Los errores en cualquier etapa del cálculo no se amplifican, sino que se atenúan conforme avanza el cálculo.
“El método es convergente y estable si ≤1/2 o”
Se tendrá un valor óptimo ≤1/6 al minimizar los errores de truncamiento.
Métodos Explícitos: Convergencia y estabilidad
2
21 X
t
EDP Parabólicas
En la frontera izquierda: i=0
Para este punto en la siguiente ecuación:
Se sustituye la aproximación en términos de la 1ra
derivada:
En la frontera derecha: i=m+1
Para este punto en la siguiente ecuación:
Se sustituye la aproximación en términos de la 1ra derivada:
dxU
xUUxUU
dxU LL
LL
2
2 1111
Métodos Explícitos: Derivada en las condiciones de frontera
LLLL UUUU 1011
0 21 )(
LLLL UUxU
xUU 1011
0 212
)(
dxU
xUUxUU
dxU L
mLm
Lm
Lm
22 22
Lm
Lm
Lm
Lm UUUU 21
11 21
)(
x
UxUUUU L
mLm
Lm
Lm 221 1
11 )(
EJEMPLO. EDP PARABÓLICA [2]
2
2
x
Tk
t
T
Calcular la distribución de temperatura en una barra larga y delgada que tiene una longitud de 10 cm. K=0.835cm2/s.
1X en 5T y 0X en 1T :0t
10x0 para Tt
000
00
:
st
cmx
10
2
.
2x
tk
0208750.
METODO EXPLICITO
EJEMPLO. EDP PARABÓLICA
li
li
li
li TTTT 111
nodo tiempo Ecuación Resultado
X=20.1 2.0875
0.2 4.0878
X=40.1 0
0.2 0.043577
X=60.1 0
0.2 0.021788
X=80.1 1.0438
0.2 2.0439
100020020875001 .lT
0020020875003 .lT
087520200208750022 .. T
002043810208750023 ..T
00250020875004 .lT
00438125002087500438124 ...T
100087522002087500875221 ...T
0020020875002 .lT
EDP Parabólicas
Método Implícito Simple•Aunque utilizan algoritmos más complicados que los métodos explícitos, mejoran los problemas de estabilidad y no excluyen información de importancia para la solución.
La derivada espacial se aproxima en un nivel de tiempo posterior.
Para el ejemplo de la barra visto anteriormente, la segunda derivada se aproxima mediante:
Tiene una exactitud de segundo orden. Cuando esta ecuación se reemplaza en la EDP original, resulta una ecuación con varias incógnitas que no puede resolverse como en el método explícito.
EDP Parabólicas
Método Implícito Simple
2
11
111
2
2
)(
2
x
TTT
x
T li
li
li
EDP Parabólicas
Método Implícito SimpleEl sistema debe resolverse simultáneamente pues con las condiciones de frontera, las formulaciones implícitas dan como resultado un conjunto de m ecuaciones lineales algebraicas con el mismo número de incógnitas. Así, el problema se reduce a la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas en cada punto en el tiempo.
•que se puede expresa como:
Donde:
Esta ecuación se aplica a todos los nodos interiores, excepto al primero y al último de los nodos, los cuales deben modificarse para considerar las condiciones de frontera.
t
TT
x
TTTk
li
li
li
li
li
1
2
11
111
)(
2
li
li
li
li TTTT
11
111 )21( 2)( x
tk
EDP Parabólicas
Método Implícito Simple
Para el extremo izquierdo de la barra (i=0):
Donde es una función que describe cómo cambia la temperatura con el tiempo de la frontera.
Sustituyendo en la ecuación de diferencias, se obtiene la ecuación para el primer nodo interior:
)( 110
lo
l tfT
)( 1lo tf
)()21( 112
11
lo
li
ll tfTTT
EDP Parabólicas
Método Implícito Simple
De manera similar se obtiene la ecuación para el último nodo interior (i=m):
Donde describe los cambios específicos de temperatura en el
extremo derecho de la barra. (i=m+1)
Cuando se escriben las ecuaciones de diferencias para todos los nodos, se obtiene el sistema de ecuaciones a resolver. El método tiene la ventaja de que el sistema es tridiagonal.
)()21( 11
111
l
mlm
lm
lm tfTTT
)( 11
lm tf
EJEMPLO . EDP PARABÓLICA [2]
Resolver el ejemplo anterior por este método
METODO IMPLICITO SIMPLE
1011
21
121 llll tfTTT
li
li
li
li TTTT
11
111 21
1111
1 21
l
mlm
lm
lm tfTTT
Primer nodo
Nodos interiores
Ultimo nodo
04375.1
0
0
0875.2
04175.1020875.000
020875.004175.1020875.00
0020875.004175.1020875.0
00020875.004175.1
4
3
2
1
l
l
l
l
T
T
T
T
EJEMPLO . EDP PARABÓLICA
00231
02090
04060
00472
4
3
2
1
.
.
.
.
l
l
l
l
T
T
T
T
96531
06180
11900
93053
24
23
22
21
.
.
.
.
T
T
T
T
040692
020900
040590
092154
041751020875000
020875004175102087500
002087500417510208750
000208750041751
24
23
22
21
.
.
.
.
..
...
...
..
T
T
T
T
EDP Parabólicas
Método Implícito Simple
Aunque este método es estable y convergente, presenta una deficiencia: la aproximación en diferencias temporal tiene una exactitud de primer orden; y la aproximación en diferencias espacial tiene una exactitud de segundo orden. Además, hay un límite de exactitud para el uso de pasos de tiempo grandes.
El método de Richardson tiene una exactitud de segundo orden para el espacio y para el tiempo, pero presenta serios problemas de estabilidad. El método conocido como Crank- Nicholson ofrece un esquema implícito que tiene una exactitud de segundo orden para el espacio y para el tiempo y es incondicionamente estable.
EJERCICIOS DE APLICACIÓNEDP Parabólicas
El Método de Crank - Nicholson
Se desarrollan aproximaciones por diferencias en el punto medio del incremento del tiempo.
Así, la primera derivada temporal, para el caso de la barra, se aproxima en tl+1/2 por:
t
TT
t
T li
li
1
EJERCICIOS DE APLICACIÓNEDP Parabólicas
El Método de Crank - Nicholson
La segunda derivada en el espacio puede determinarse en el punto medio promediando las aproximaciones por diferencias al principio (tl) y al final (tl+1) del incremento del tiempo:
2
11
111
211
2
2
)(
2
)(
2
2
1
x
TTT
x
TTT
x
T li
li
li
li
li
li
EDP Parabólicas
El Método de Crank - NicholsonSustituyendo y reagrupando:
Se determinan las condiciones de frontera
para obtener versiones de la ecuación de diferencias para los nodos interiores primero y último.
Para el primer nodo:
Para el último nodo:
li
li
li
li
li
li TTTTTT 11
11
111 )1(2)1(2
)()1(2)()1(2 121
11
11
lo
lllo
li
l tfTTtfTT
)( 110
lo
l tfT )( 11
11
l
mlm tfT
)()1(2)()1(2 1111
111
l
mlm
lm
lm
lm
lm tfTTtfTT
EJEMPLO . EDP PARABÓLICA [2]
METODO DE CRANK-NICHOLSON
Resolver ejemplo anterior por este método
08752
0
0
1754
041752020875000
020875004175202087500
002087500417520208750
000208750041752
4
3
2
1
.
.
..
...
...
..
l
l
l
l
T
T
T
T
02251
01070
02100
04502
4
3
2
1
.
.
.
.
l
l
l
l
T
T
T
T
EJEMPLO . EDP PARABÓLICA
09014
04270
08410
18018
041752020875000
020875004175202087500
002087500417520208750
000208750041752
24
23
22
21
.
.
.
.
..
...
...
..
T
T
T
T
00362
04220
08260
00734
24
23
22
21
.
.
.
.
T
T
T
T
Comparación de los métodos para la
solución EDP parabólicas
Explícito Implícito Crank-Nicolson
Solución directa Sistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones
Condicionalmente estable
Incondicionalmente estable
Incondicionalmente estable
Segundo orden en espacio O(∆x2) y primer orden en tiempo O(∆t)
Segundo orden en espacio O(∆x2) y primer orden en tiempo O(∆t)
Segundo orden en espacio y en tiempo O(∆x2+∆t2)
BIBLIOGRAFIA
[1] Douglas Wilhelm Harder, M.Math. Numerical Methods and Analysis for Engineers. University of Waterloo. Department of Electrical and Computer Engineering. http://www.ece.uwaterloo.ca/~ece204/TheBook/
[2] Chapra and Canale. Métodos numéricos para ingenieros. 4ª ed. Mc Graw Hill,2002
[3] Jeffery Cooper . Mathematics Department. The University of Maryland. http://www.math.umd.edu/~jec/
[4] Scientific Educational Matlab Database. Universidad de Stutgart. http://matlabdb.mathematik.uni-stuttgart.de/index.jsp
