ECUACIO

N DEL CALOR

RESEÑA HISTORICALa hipótesis de la sustancia calórica fue

apoyada por la Teoría de la Conducción del Calor desarrollada por J. B. Fourier entre 1811y 1822.

Hasta entonces existía sólo para la Mecánica una teoría matemática, fundada por Newton, mientras que la enseñanza de los fenómenos calóricos era empírica y tan sólo contenía caracteres descriptivos.

Fourier fue el primero en lograr construir una teoría matemática del calor con su ecuación de conducción y el Método de Series de Fourier utilizado por primera vez al resolverla.

Partió de la hipótesis de la sustancia calórica y demostró que su teoría cumplía con la condición de la conservación del caloricum.

IMPORTANCIALa ecuación del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia. En las matemáticas, son las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales por antonomasia. En la estadística, la ecuación del calor está vinculada con el estudio del movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker–Planck. La ecuación de difusión, es una versión más general de la ecuación del calor, y se relaciona principalmente con el estudio de procesos de difusión química.

INTRODUCCIÓNLa ecuación del calor predice que si un cuerpo a una temperatura T se sumerge en una caja con agua a menor temperatura, la temperatura del cuerpo disminuirá, y finalmente (teóricamente después de un tiempo infinito, y siempre que no existan fuentes de calor externas) la temperatura del cuerpo y la del agua serán iguales (estarán en equilibrio térmico).

DEFINICION GENERAL La ecuación del calor es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales parabólica que describe la distribución del calor (o variaciones de la temperatura) en una región a lo largo del transcurso del tiempo. Para el caso de una función de tres variables en el espacio (x,y,z) y la variable temporal t, la ecuación del calor es:

donde α es la difusividad térmica, que es una propiedad del material.

METODOS PARA LA ECUACION DEL

CALORPOR SERIES DE FOURIER * ECUACION UNIDIMENSIONAL DEL CALOR

(ECUACION BASE)

POR INTEGRALES DE FOURIER * ECUACION UNIDIMENSIONAL DEL CALOR

(ECUACION BASE)

METODO N°01:POR SERIES DE FOURIERLa técnica mas popular y ampliamente utilizada

para resolver la ecuación de calor unidimensional es la de separación de variables, en la cual se usan series de Fourier de medio rango.

Su éxito depende de la habilidad para expresar la temperatura T(x,t) en función de la posición x y el tiempo t, como el producto de dos funciones X(x) Y(t).

Donde X(x) depende solo de x y Y(t) depende solo de t. Si no se puede lograr esta separación, entonces se usan otras técnicas. En el siguiente ejemplo mostramos como aplicar esta técnica.

ECUACION DEL CALOR EN FORMA

UNIDIMENSIONAL

MODELO DERIVADO LEY DEL ENFRIAMIENTO DE

NEWTON

METODO N°02:POR INTEGRALES DE FOURIER*En este caso se tiene como condición

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