Consideraciones EstadsticasDepartamento de Ingeniera Mecnica

Diseo de Elementos de Mquinas II

Profesor: Jos Bienvenido Pimentel

Omar Nova Peralta 11-0497 ID: 1045284

Fernando Adan Gonzlez Pea 11-0364 ID: 1045151

Argenis Joaqun Suriel Hernndez 10-1088 ID: 1044248

Jacobo Jos Len Pea 11-0407 ID: 1045194

Mircoles 21 de Mayo del 2014

La estadstica es una ciencia formal y

una herramienta que estudia el uso y

los anlisis provenientes de una

muestra representativa de datos,

busca explicar las correlaciones y

dependencias de un fenmeno fsico o

natural, de ocurrencia en

forma aleatoria o condicional.

Estadstica

Conceptos Variable aleatoria: Es una variable estadstica cuyos

valores se obtienen de mediciones en algn tipo de experimento aleatorio.

Espacio muestral: consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.

Muestra: una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una poblacin estadstica.

Tablas

Espacio muestral

de un lanzamiento

de dados.

Distribucin de

probabilidad.

Distribucin de

probabilidad

acumulada.

Grficas

Distribucin de

frecuenciasDistribucin de

frecuencias acumulada.

Media aritmtica

la media aritmtica es el valor

caracterstico de una serie de datos

cuantitativos objeto de estudio que

parte del principio de la esperanza

matemtica o valor esperado, se

obtiene a partir de la suma de todos

sus valores dividida entre el nmero

de sumandos.

Varianza

Es la medida de las diferencias con la

media elevadas al cuadrado.

Por qu al cuadrado?

Elevar cada diferencia al cuadrado

hace que todos los nmeros sean

positivos (para evitar que los nmeros

negativos reduzcan la varianza)

Desviacin estndar

Es la raz cuadrada de la varianza.

Por qu la raz cuadrada?

Porque la varianza hace que las

diferencias grandes se destaquen

mucho, adems de que el resultado

final queda en las unidades de

medidas deseadas (las de la media).

Coeficiente de variacin

El coeficiente de variacin esla relacin entre la desviacintpica de una muestra ysu media.

Se utiliza cuando se desea hacerreferencia a la relacin entre eltamao de la media y lavariabilidad de la variable.

Su frmula expresa la desviacinestndar como porcentaje de lamedia aritmtica, mostrando unamejor interpretacin porcentualdel grado de variabilidad que ladesviacin tpica o estndar

EjemploEjemplo 20-1. Cinco toneladas de varilla de 2

pulgadas de acero 1030 rolado en caliente se

deben almacenar

en un lugar de trabajo. Nueve piezas de prueba

tensil de geometra estndar se han maquinado

desde ubicaciones aleatorias en diversas varillas.

En el informe de pruebas, las resistencias

tensiles finales estn dadas en kpsi. En orden

ascendente (no necesariamente), se muestran en

la tabla 20-3. Encuentre la media x, la

desviacin estndar sx, y el coeficiente de

variacin Cx

a partir de la muestra, de tal manera que sean

stos las mejores estimaciones de la poblacin

madre (el almacenamiento que la planta

convertir en productos).

Distribuciones de Probabilidad

Distribucin uniforme

FDP FDA

Media y Desviacin

estndar

Distribucin Normal

Distribucin Normal La integral de la transformada se tabula en la tabla A-10. La variante de

transformacin z se encuentra normalmente distribuida, con una media de cero y una desviacin estndar y variancia iguales a la unidad. Esto es, z = N(0, 1). La probabilidad de una observacin menor que z es () en el caso de valores negativos de z, y 1 () cuando se trata de valores positivos de z en la tabla A-10.

Distribucin Lognormal En ocasiones, las variables aleatorias tienen las siguientes dos

caractersticas:

La distribucin es asimtrica alrededor de la media.

Las variables slo tienen valores positivos.

Tales caractersticas descartan el uso de la distribucin normal. Existen otras distribuciones que son potencialmente tiles en tales situaciones, una de las cuales es la distribucin lognormal.

Distribucin Lognormal

Distribucin WeilbullLa expresin de la confiabilidad es el valor de la funcin de densidad acumulativa

complementaria

de la unidad. Para Weibull este valor es tanto explicito como simple. La confiabilidad

dada por la distribucin Weibull de tres parmetros es

Distribucin Weilbull

Distribucin Weilbull

Ejemplo

Solucin Para x = :

Utilizando la tabla A-34 se buscan los valores de la funcin Gamma

Solucin = 1 ()

Solucin Para y = :

Utilizando la tabla A-34 se buscan los valores de la funcin Gamma

Solucin = 1 ()

Ejemplo

Solucin

Se calcula la media y la desviacin estndar

Solucin Se obtienen luego la media y desviacin estndar secundarias

Luego se define la FDP lognormal

Solucin Para calcular la vida en la que el 10% de los cojinetes fallarn bajo carga

estable se transforma a la variable z:

=ln

ln = + = 15.292 + 0.496

A partir de la tabla A-10 se busca el valor de z para el cual 10% de los cojinetes fallan.

Solucin

Se busca el valor de z para el cual el debe ser 0.1. Por lo tanto el valor de z es negativo y es igual

al valor de Z para el cual el valor

de es 0.1. Interpolando de la tabla se obtiene que z = -1.282.

Por lo tanto:

ln = 15.292 + 0.496 1.282 = 14.66 = 2.33 106

Propagacin del Error.

En el diseo de mecnico los mtodos para controlar lacalidad se encuentran profundamente arraigados en eluso de la estadstica y los diseadores ingenierilesnecesitan un conocimiento estadstico para cumplir conlos estndares de control de calidad. Por ejemplo, en laecuacin del esfuerzo axial,

=

Podemos observar que tanto la fuerza F como el rea Ason variables aleatorias. Cuando se resuelve laecuacin, se dice que los errores inherentes en F y A sepropagan a la variante del esfuerzo .

Esto se puede escribir como

z = x + y

La media seria dada como:

z = x + y

La desviacin estndar sigue el teorema de Pitgoras.De esta manera, la desviacin estndar tanto de lasuma como de la resta de variables independientes es:

z = (x2 + y

2)1/2

ProblemaResuelto.

Regresin lineal

Regresin lineal

El mtodo habitual y el que se empleara para nuestros fines de diseoconsidera una lnea recta la mejor si minimiza los cuadrados de lasdesviaciones de los puntos de datos con respecto a la lnea.

Regresin lineal

Considerando un conjunto N de puntos de datos (xi, yi). En general, la lneade mejor ajuste no intersecara un punto de datos. En consecuencia se puedeescribir:

donde = yi y es la deviation entre el punto dado y la lnea.

Regresin lineal

La suma de los cuadrados de las desviaciones esta dada por:

Minimizando a , se igualan a cero los resultados de derivar parcialmente conrespecto a m y a b.

Regresin lineal

Esto produce dos ecuaciones simultaneas de la pendiente y la intercepcinen y denotadas como respectivamente. Resolviendo estasecuaciones:

Regresin lineal

Un coeficiente de correlacin con el intervalo -1 < r < 1 se ha concebidopara mostrar que tan bien se correlacionan x y y entre si. La formula es:

donde son las desviaciones estndar de las coordenadas x y yde los datos.

Regresin lineal

Las desviaciones estndar de son:

donde

Ejemplo de regresin lineal

Solucin del Ejemplo

Solucin del Ejemplo

Solucin del Ejemplo

Solucin del Ejemplo