Examen Final de Probabilidad y Estadística - frm.utn.edu.ar · Apellido y Nombre: Legajo:...

Apellido y Nombre: Legajo:

Examen Final de Probabilidad y Estadística Por cada ítem correctamente contestado se asignará un punto.

Número de ítems contestados correctamente:

Calificación: Responder Al contestar cada uno de los siguientes ítems, tenga en cuenta que sólo una de las cuatro opciones de cada uno de ellos es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta, tampoco se descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que Usted proponga. Una vez entregado el examen podrá ser interrogado para justificar algunas respuestas. El presidente de la Industrias Hidráulicas H&H, una empresa que provee componentes de repuesto y reparación para la industria hidráulica portátil, anunció en la reunión semanal de personal que la empresa va por buen camino. En los últimos tres años se ha logrado estabilidad y un prometedor crecimiento en ciertos números de áreas. Sin embargo, en general, en gran medida basan sus decisiones en los años de experiencia colectiva y en las buenas corazonadas. Laura, una experimentada analista de datos y planeadora estratégica, se ha integrado al equipo para ayudarles a analizar, de manera más cuantitativa y estadística, dónde está la empresa hoy y dónde espera estar dentro de algunos años. A su llegada, Laura estudió la estructura actual de la empresa que tiene tres centros de distribución: Argentina, Brasil y Chile. De los datos sobre los valores de ventas del último año, extrajo tanto el número de pedidos por día como el valor en dólares de tales pedidos (referidos como VENTAS en cada uno de los tres centros). Revisando las VENTAS de los 253 días del último año, Laura observó que uno de los centros se incorporó a poco andar dicho año, por lo que en los primeros 28 días del año dicho centro no registra ventas. Corrió el software con las VENTAS diarias de los 759 días de los tres centros (253 x 3) y observó que, precisamente, la moda de las ventas es igual a cero, mientras que la mitad de las ventas no exceden de $4.281. El coeficiente de variación es igual a 85,4288% y, por lo que observa, en promedio, las ventas diarias se alejan del promedio de ventas diarias de los tres centros juntos en $6.024,54. Un cuarto de las ventas son iguales o mayores que $11.109. El récord de ventas, $32.892, se registró en el centro de distribución en Argentina, el primer día del cuarto trimestre, valor que nunca se superó. Por último, el rango intercuartil es de $8.320. a b c d (1) A partir de la información, Laura debe concluir que:

a) La distribución de los datos es sesgada a la derecha. b) Hubo días con ventas muy buenas que dieron lugar a datos apartados. c) Un cuarto de las ventas están entre los $4.281 y los $11.109. d) Todas las anteriores.

a b c d (2) Si Laura sabe también que el percentil 99 de las ventas es igual $25.821, debe interpretar que:

a) El promedio del 1% de las mejores ventas es igual a $25.821. b) El uno por ciento de las ventas son iguales o menores que $25.821. c) El percentil noventa y nueve es un dato apartado. d) Ninguna de las anteriores.

a b c d (3) Laura se quedó observando el gráfico de cajas. De acuerdo a la información disponible, ella

debería observar que: a) El gráfico de caja, no tiene extensión izquierda. b) En el gráfico de caja de las ventas, el promedio de las mismas está dentro de la caja. c) Los días sin ventas son datos apartados. d) Ninguna de las anteriores.

a b c d (4) La estadística descriptiva de las ventas diarias, permite a Laura observar que:

a) La mitad de las ventas diarias están entre los $2.789 y los $11.109. b) Un cuarto de las ventas diarias se encuentran entre los $4.281 y los $11.109. c) El 75% de las ventas diarias es de por lo menos $2.789. d) Todas las anteriores.

a b c d (5) También se puede decir que:

a) La desviación estándar de las ventas diarias es mayor que el rango intercuartil. b) La desviación estándar representa al 85,4288% del rango de las ventas. c) El promedio de las desviaciones respecto de la media es igual a $6024,54. d) Ninguna de las anteriores.

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a b c d (6) Como se dijo antes, se sabe que el percentil 99 es igual a $25.821 y que la distribución es

sesgada. Si las ventas diarias se distribuyeran normalmente con la misma media y la misma desviación estándar, Laura debería concluir que: a) El percentil 99 sería el mismo. b) El percentil 99 sería mayor que $25.821. c) El percentil 99 sería menor que $25.821. d) No se puede responder con la información disponible.

En el cálculo de probabilidades, los resultados se redondean al cuarto decimal.

a b c d (7) De acuerdo a la información analizada por Laura, las probabilidades de que la venta de un día

dado se haya realizado en Argentina, Brasil y Chile, son, respectivamente: 0,3461; 0,3461 y 0,3078. Por otra parte, si la venta de un día corresponde al centro en Argentina, la probabilidad de que haya superado los $7.000, es 0,9605; si corresponde a Brasil 0,0316 y si se realizó en Chile 0,013. Laura ha seleccionado al azar la venta de un día dado y sabe que es mayor de $7.000; en tales condiciones la probabilidad de que la venta corresponda al centro de Chile es: a) 0,0315 b) 0,9569 c) 0,0115 d) Ninguna de las anteriores.

a b c d (8) Si Laura selecciona al azar una venta de un día dado, la probabilidad de que se haya realizado

en Brasil o Chile es: a) 0,1065 b) 0,5474 c) 0,6539 d) Ninguna de las anteriores.

a b c d (9) Si Laura selecciona al azar seis de las ventas diarias de la empresa, la probabilidad de que la

cuarta de las ventas seleccionadas sea la primera que corresponda al centro en Chile: a) No se puede calcular con la información disponible. b) Se puede obtener utilizando la distribución binomial. c) Es igual a 0,1021. d) Ninguna de las anteriores.

a b c d (10) Laura corrió el programa para comparar el promedio de las ventas diarias de los tres centros y

obtuvo que los promedios de las ventas diarias en Argentina, Brasil y Chile son, respectivamente, $14.406,10; $3.970,03 y $2.780,22. Para probar que el promedio de las ventas diarias de Brasil es mayor que el promedio de las ventas diarias en Chile, al nivel de significancia del 0,05: a) La hipótesis alternativa debe ser: µBrasil < µChile. b) La hipótesis nula debe ser: µBrasil > µChile. c) La hipótesis alternativa debe ser: µBrasil > µChile. d) Ninguna de las anteriores.

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Examen Final de Probabilidad y Estadística Espacio reservado para la Calificación del Examen

Situación NO APROBADO APROBADO Conceptos:

# ítems correctos Menos de 4 3 4 5 6 Calificación: Problemas:

Calificación 2 3 6 8 10 Final: Responder Al contestar cada uno de los siguientes ítems, tenga en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones de cada uno de ellos es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta, tampoco se descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que Usted proponga. Para aprobar la evaluación se requiere contestar correctamente un mínimo de cuatro ítems. La calificación se asignará de acuerdo al siguiente cuadro: Introducción

Norberto, profesor de Química Analítica, le pidió a Daniel, profesor de Probabilidad y Estadística, que estudiara algunas experiencias propuestas por Skoog, West, Holler y Crouch en su texto de Química Analítica, experiencias que tienen que ver con ambos espacios curriculares.

Los autores proponen una serie de experimentos con el propósito de presentar varias de las herramientas, técnicas y habilidades necesarias para trabajar en un laboratorio de química analítica. Describen cada una de las técnicas por separado, al igual que las operaciones unitarias. Consideran importante aprender las técnicas adecuadas y adquirir las habilidades pertinentes antes de realizar otros experimentos de laboratorio.

El primero de los experimentos tiene que ver con el manejo de la balanza analítica. En síntesis, el experimento consiste en comparar dos métodos de pesada. En primer lugar se debe obtener la masa de un número dado de monedas nuevas, determinando la masa de cada una de ellas (Peso Individual). A continuación, se debe determinar la masa de todas las monedas juntas, para después quitar una por una las monedas y calcular su masa por diferencia (Peso Por Diferencia).

Daniel aceptó la propuesta y trabajó con Daniela Fernández. Daniela es una ingeniera química que realiza una pasantía de articulación entre los espacios curriculares de Probabilidad y Estadística y Química Analítica.

Daniela pesó 35 monedas de diez centavos en la balanza del laboratorio por un método y otro. En el Anexo se muestran los resultados de la masa de las monedas obtenidos mediante ambos métodos de pesada y la distribución de frecuencias de los mismos y las estadísticas correspondientes.

Para responder los ítems, debes USAR SÓLO LA INFORMACIÓN DE LOS Cuadros 3-4-5

a b c d e (1) De la información del Cuadro 5 para el Peso Individual se debe concluir que:

a) Un cuarto de las monedas pesan 2,2054 gramos o más. b) La mitad de las monedas pesan 2,2381 gramos. c) La suma de las desviaciones del peso de las monedas respecto de la media es 0,0349399. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (2) De la información del Cuadro 5 para el Peso Por Diferencia, se concluye:

a) El promedio de las desviaciones cuadráticas respecto del peso promedio es 0,00124882. b) La mitad de las monedas pesan 2,2391 gramos o más. c) La mitad de las monedas pesan entre 2,207 y 2,2552 gramos. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (3) De la tabla de frecuencias para el Peso Individual de las monedas (Cuadro 3) y aceptando

que se puede utilizar el concepto de probabilidad frecuencial, se puede decir que, la probabilidad de que al seleccionar al azar una de las monedas pese más de 2,22 gramos es:

a) 0,2857 b) 0,1429 c) 0,7143 d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.


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a b c d e (4) De la tabla de frecuencias para el Peso Por Diferencia de las monedas (Cuadro 4) se concluye que:

a) Hay tres monedas cuyo peso excedió los 2,16 gramos pero no sobrepasó los 2,175 gramos. b) El 5,71% de las monedas tuvieron un peso que no sobrepasó los 2,16 gramos. c) El peso de diez monedas excedió los 2,22 gramos. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (5) A partir de la información disponible en el Anexo para el Peso Por Diferencia, se concluye:

a) El peso de algunas monedas da lugar a la presencia de datos apartados. b) El peso de sólo una de las monedas debe considerarse como dato apartado. c) Los datos apartados serían fácilmente identificables en una ojiva. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (6) A partir de la información del Cuadro 5 para el Peso Por Diferencia, se concluye que:

a) El percentil 92 es menor de 2,2668 gramos. b) El percentil 25 es igual a 2,2552 gramos. c) El 5% del peso de las monedas de diez centavos excede de 2,1546 gramos. d) El percentil 97 podría ser igual o mayor que 2,2861 gramos. e) No sé.

PROBLEMAS

No olvide definir variables en estudio, identificar la distribución de probabilidad con su justificación, plantear la solución del problema, realizar los cálculos necesarios e interpretar los resultados para responder a las consignas. 1. 30 p

El primer estudio de Daniela condujo a que es aceptable suponer que el peso de las monedas de diez centavos de la población en estudio está normalmente distribuido, con media 2,232 gramos y desviación estándar 0,035 gramos. Si de tal población de monedas Daniela extrae una muestra aleatoria de ocho, ¿cuál es la probabilidad de que encuentre que al menos una pese más de 2,3 gramos? 2. 35 p

Daniela ya sabe que el peso de las monedas de diez centavos, obtenido por uno y otro método de pesada, está normalmente distribuido. Se propone ahora establecer si la dispersión del peso de las monedas (en términos de la desviación estándar) obtenido por ambos métodos de pesada es la misma. ¿A qué conclusión debería llegar Daniela, si utiliza los procedimientos de estimación de parámetros para realizar tal comprobación, al nivel de confianza del 90%? ¡No olvide interpretar el resultado para responder a la consigna! ¡Atención! Sólo en este problema, para responder la consigna y poder utilizar las tablas de texto, suponga que Daniela ha trabajado con muestras de 41 monedas. 3. 35 p

Cuando se utiliza las monedas de diez centavos en telefonía pública se presentan dos situaciones. Si las monedas están gastadas, la pérdida de peso debe ser reconocida por el equipo para no confundirlas con las de cinco centavos. El peso en exceso no tiene mayor importancia por la gran diferencia que tiene con las de veinticinco centavos. Si el equipo de telefonía pública ha sido preparado para reconocer las monedas de diez centavos con un peso promedio de 2,24 gramos, en base a la evidencia de la muestra de las 35 monedas:

a) Establezca una prueba de hipótesis para probar que el equipo de telefonía reconocerá las monedas de diez centavos sin confundirlas con las de cinco centavos, al nivel de significancia del 0,01. Utilice la información disponible en el Anexo para el Peso Individual, suponiendo que la desviación estándar de la población de monedas es conocida y vale 0,035 gramos. ¡No olvide interpretar el resultado!

b) Calcule e interprete el valor P de la prueba. Escala de calificación en función del puntaje para la resolución de problemas

Puntaje 00-35 36-45 46-54 55 -60 61-66 67-73 74-80 81-87 88-94 95-100

Calificación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


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Anexo Cuadro1: Peso Individual de las monedas de diez centavos, en gramos. Método Directo.

2,2441 - 2,2381 - 2,2036 - 2,2615 - 2,2664 - 2,1500 - 2,2270 - 2,3146 - 2,1869 - 2,2837 2,2333 - 2,2375 - 2,2554 - 2,2367 - 2,2453 - 2,1843 - 2,2581 - 2,1552 - 2,2054 - 2,2304 2,2446 - 2,2109 - 2,2573 - 2,2390 - 2,2438 - 2,2047 - 2,2755 - 2,1936 - 2,2416 - 2,2494 2,2256 - 2,2388 - 2,2547 - 2,1745 - 2,2326

Cuadro2: Peso Por Diferencia de las monedas de diez centavos, en gramos. Método por Diferencia de Pesadas.

2,2447 - 2,2397 - 2,2053 - 2,2645 - 2,2668 - 2,1496 - 2,2283 - 2,3174 - 2,1875 - 2,2861 2,2340 - 2,2384 - 2,2559 - 2,2405 - 2,2474 - 2,1852 - 2,2593 - 2,1546 - 2,2070 - 2,2304 2,2477 - 2,2106 - 2,2575 - 2,2391 - 2,2441 - 2,2041 - 2,2772 - 2,1939 - 2,2414 - 2,2504 2,2257 - 2,2391 - 2,2552 - 2,1781 - 2,2337

Cuadro3: Tabla de frecuencias para la variable Peso Individual. Método Directo.

Límites de Clase Punto Frecuencias Simples Frecuencias Acumuladas Clase (Inferior Superior] Medio Absoluta Relativa Absoluta Relativa ............................................................................................................................................................... 1 (2,13 2,16] 2,145 2 0,0571 2 0,0571 2 (2,16 2,19] 2,175 3 0,0857 5 0,1429 3 (2,19 2,22] 2,205 5 0,1429 10 0,2857 4 (2,22 2,25] 2,235 16 0,4571 26 0,7429 5 (2,25 2,28] 2,265 7 0,2000 33 0,9429 6 (2,28 2,31] 2,295 1 0,0286 34 0,9714 7 (2,31 2,34] 2,325 1 0,0286 35 1,0000

Cuadro4: Tabla de frecuencias para la variable Peso Por Diferencia. Método por Diferencia de Pesadas.

Límites de Clase Punto Frecuencias Simples Frecuencias Acumuladas Clase (Inferior Superior] Medio Absoluta Relativa Absoluta Relativa ............................................................................................................................................................... 1 (2,13 2,16] 2,145 2 0,0571 2 0,0571 2 (2,16 2,19] 2,175 3 0,0857 5 0,1429 3 (2,19 2,22] 2,205 5 0,1429 10 0,2857 4 (2,22 2,25] 2,235 15 0,4286 25 0,7143 5 (2,25 2,28] 2,265 8 0,2286 33 0,9429 6 (2,28 2,31] 2,295 1 0,0286 34 0,9714 7 (2,31 2,34] 2,325 1 0,0286 35 1,0000

Cuadro 5: Estadística descriptiva del peso de las monedas de diez centavos, obtenido por ambos métodos de pesada.

Estadística Método 1: Peso Individual

Método 2: Peso por Diferencia

Gráficos de tallos y hojas Unidad = 0,01 Ejemplo : 21 | 5 representa 2,15 gramos.

Cantidad de observaciones Promedio Mediana Moda Varianza Desviación estándar Mínimo Máximo Rango Cuartil Inferior Cuartil Superior Rango intercuartil Coeficiente de variación Percentiles: P01 P05 P10 P90 P95 P99

35 2,23155 2,2381 0,00122079 0,0349399 2,15 2,3146 0,1646 2,2054 2,2547 0,0493 1,56572% 2,15 2,1552 2,1843 2,2664 2,2837 2,3146

35 2,23258 2,2391 2,2391 0,00124882 0,0353387 2,1496 2,3174 0,1678 2,207 2,2552 0,0482 1,58286% 2,1496 2,1546 2,1852 2,2668 2,2861 2,3174

Muestra 1: Peso Individual 2 21 | 55 3 21 | 7 6 21 | 889 10 22 | 0001 (10) 22 | 2233333333 15 22 | 4444445555 5 22 | 667 2 22 | 8 1 23 | 1 Muestra 2: Peso Por Diferencia 2 21 | 45 3 21 | 7 6 21 | 889 10 22 | 0001 (9) 22 | 223333333 16 22 | 44444455555 5 22 | 667 2 22 | 8 1 23 | 1

Apellido y Nombre: .......................................................................................

Legajo: Carrera: Calificación:

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Examen Final de Probabilidad y Estadística Consigna general Al contestar cada uno de los siguientes ítems, tenga en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones de cada ítem es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar todas las respuestas, sólo aquéllas en que se lo solicita. Tampoco se descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que Usted proponga. Al finalizar el examen, se considerará si corresponde la posibilidad ser interrogado para justificar algunas las respuestas. Introducción

El gerente del área Gestión del Conocimiento de una importante empresa internacional visitó la Facultad con el objeto de ofrecer dos becas a la excelencia, para alumnos de una de las carreras que se imparten en la misma.

A tal fin, se está realizando un estudio que contempla el comportamiento histórico de los estudiantes de la carrera en cuestión desde el 16/11/84 al 05/07/04. Para realizar el estudio, Sección Alumnos ha proporcionado la información referida a cada una de las CALIFICACIONES registradas en los exámenes finales o de promoción de los alumnos activos al 5 de Julio de 2004, con aplazos incluidos. Es decir, todas las calificaciones asignadas como resultado del examen evaluado en la mesa examinadora o promoción otorgada, se registran como una calificación, resulte aplazado (0 al 3) o aprobado (4 al 10). Todas las calificaciones se miden en la escala del cero al diez (sin decimales). El total de calificaciones del periodo estudiado es de 3560.

A partir de lo indicado en esta introducción y de los resultados de la corrida del programa que se entregan en el Anexo, le pedimos responder los siguientes ítems:

a b c d e (1) La unidad de análisis en esta parte del estudio abordado para el otorgamiento de becas es: a) El alumno evaluado. b) La asignatura a la que corresponde el examen. c) El resultado de la evaluación. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (2) Para ordenar un poco más las ideas de la situación, pensemos si podría suceder que:

a) Un mismo alumno haya sido calificado más de una vez. b) Un mismo alumno haya sido calificado más de una vez en la misma materia. c) Un mismo alumno haya sido calificado en más de una materia. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (3) De análisis de CALIFICACIONES se concluye que:

a) Exactamente un cuarto de los exámenes resultaron aplazados. b) A la mitad de los exámenes se le asignó una calificación comprendida entre 3 y 8 puntos. c) La mitad de los exámenes obtuvo una calificación de 5,92 puntos o menos. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (4) Del análisis de la distribución de frecuencias se puede decir que:

a) El patrón de comportamiento de las calificaciones presenta dos agrupamientos principales. b) La distribución de las calificaciones es sesgada a la derecha. c) Sería una decisión acertada el suponer que las calificaciones se distribuyen normalmente. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (5) Teniendo en cuenta que las calificaciones son números enteros, de la lectura de la tabla de

frecuencias resulta que: a) El 10,03% de los exámenes fue calificado con seis puntos. b) El 70,08% de las calificaciones es mayor de cuatro puntos. c) Sólo 679 exámenes fueron calificados con más de ocho puntos. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (6) Si el percentil 90 resulta igual a nueve, debe interpretarse que:

a) El noventa por ciento de los alumnos obtuvo una calificación de nueve puntos. b) Noventa alumnos fueron calificados con nueve puntos. c) En el noventa por ciento de los exámenes los alumnos fueron calificados con nueve puntos. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.



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a b c d e (7) Haciendo un análisis de los percentiles disponibles, el percentil 40 podría resultar: a) Menor de 3. b) Mayor de 8. c) Igual a 3. d) No se puede responder con la información disponible. e) No sé.

a b c d e (8) De la lectura de las estadísticas descriptivas de las calificaciones resulta que:

a) La suma de las desviaciones respecto de la calificación promedio es igual a 2,76 puntos. b) El setenta y cinco por ciento de los alumnos fue calificado con ocho puntos. c) La calificación media es de siete puntos. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (9) El análisis de datos apartados en las calificaciones debe llevarnos a concluir que:

a) Hay calificaciones que deben ser consideradas como datos apartados por ser muy bajas. b) Hay calificaciones que deben ser consideradas como datos apartados por ser muy altas. c) No hay datos apartados. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (10) Si se representa en un gráfico de caja a las calificaciones se comprobaría que:

a) La calificación promedio quedaría fuera de la caja. b) La extensión superior tiene una longitud de dos puntos. c) La extensión izquierda debe prolongarse hasta la calificación de 1,5 puntos. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (11) Sobre un total de 3560 evaluaciones calificadas, 900 resultaron aplazos y 211 obtuvieron la

máxima calificación. Si se selecciona al azar una de las evaluaciones, la probabilidad de que resulte aprobada es: Se ha redondeado al cuarto decimal.

a) 0,1315 b) 0,1759 c) 0,2528 d) 0,7472 e) No sé.

a b c d e (12) Se sabe que sobre un total de 3560 evaluaciones calificadas, 900 resultaron aplazos y 211

obtuvieron la máxima calificación. Se puede comprobar que la probabilidad de que al seleccionar al azar diez calificaciones todas resulten de exámenes aprobados es:

Se ha redondeado al cuarto decimal. a) 0,0542 b) 0,0747 c) 0,7472 d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (13) JUSTIFICAR. Aunque no es cierto, para responder, suponga que la población de las

calificaciones de los exámenes de Estadística están normalmente distribuidas, con media y desviación estándar de 5,83 y 2,79 puntos, respectivamente. Si se decide seleccionar al diez por ciento de los mejores calificados, ¿cuál es la calificación de corte?

Se ha redondeado al segundo decimal. a) 7,55 b) 8,68 c) 9,40 d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.



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a b c d e (14) JUSTIFICAR. Suponga que se desconoce la distribución de la población de las 3560 calificaciones, pero se sabe que la media es 5,92 y la desviación estándar es 2,76 puntos. Si se toma una muestra aleatoria de 441 calificaciones independientes, la probabilidad de que el promedio resulte mayor de seis puntos es:

a) Menor de 0,05 b) Exactamente 0,05 c) Mayor de 0,05 d) No se puede calcular con la información disponible e) No sé

a b c d e (15) Si se quiere calcular la probabilidad de que al seleccionar al azar tres calificaciones sólo la

última resulte aprobada, se debe emplear el modelo de la distribución: a) Binomial b) de Poisson c) Normal d) Ninguno de los anteriores e) No sé

Anexo Cuadro1: Tabla de frecuencias de las CALIFICACIONES

Límites de Clase Punto Frecuencias Simples Frecuencias Acumuladas Clase (Inferior Superior] Medio Absoluta Relativa Absoluta Relativa ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (-0,5 0,5 ] 0 1 0,0003 1 0,0003 2 (0,5 1,5 ] 1 179 0,0503 180 0,0506 3 (1,5 2,5 ] 2 661 0,1857 841 0,2362 4 (2,5 3,5 ] 3 59 0,0166 900 0,2528 5 (3,5 4,5 ] 4 165 0,0463 1065 0,2992 6 (4,5 5,5 ] 5 275 0,0772 1340 0,3764 7 (5,5 6,5 ] 6 357 0,1003 1697 0,4767 8 (6,5 7,5 ] 7 570 0,1601 2267 0,6368 9 (7,5 8,5 ] 8 614 0,1725 2881 0,8093 10 (8,5 9,5 ] 9 468 0,1315 3349 0,9407 11 (9,5 10,5 ] 10 211 0,0593 3560 1,0000

Cuadro 2: Estadística descriptiva de las CALIFICACIONES de los alumnos activos al 5 de Julio de 2004.

Estadísticas Valores Percentiles Observaciones

Cantidad de observaciones Promedio Mediana Moda Varianza Desviación estándar Mínimo Máximo Rango Cuartil Inferior Cuartil Superior Rango intercuartil Coeficiente de variación

3560 5,92 7 2 7,63 2,76 0 10 10 3 8 5 46,64%

P01 = 1 P05 = 1 P10 = 2 P25 P50 P75 P90 = 9 P95 = 10 P99 = 10

Puede completar el valor correspondiente. Puede completar el valor correspondiente. Puede completar el valor correspondiente.

Reservado para la calificación del examen que Usted está rindiendo. Situación NO APROBADO APROBADO

# ítems correctos Menos de 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Calificación 1 2 2 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 10

Apellido y Nombre:

Legajo: ..........................

Carrera:

041202ExEstadistica 1

Examen de Probabilidad y Estadística Consigna general Al contestar cada uno de los siguientes ítems, tenga en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones de cada uno de ellos es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta, tampoco se descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que Usted proponga. Para aprobar la evaluación se requiere contestar correctamente un mínimo de cuatro ítems. Cada respuesta correcta suma un punto en la escala del cero al diez. Introducción

El laboratorio de ensayos de materiales ha incorporado veinte nuevos técnicos. Al iniciar su trabajo se les tomó una evaluación de diagnóstico, luego se les dio un curso de capacitación de 30 horas en el mismo laboratorio y finalmente se los evaluó por segunda vez. La evaluación consistió en preparar una probeta de hormigón para ser ensayada a compresión. Uno de los indicadores tomados en cuenta fue el tiempo requerido para la preparación de la probeta, en segundos. Los resultados obtenidos fueron medidos ANTES y DESPUÉS de la capacitación. También se sabe que la preparación de la probetas, desde el punto de vista técnico, fue realizada correctamente por todos. Cuadro 1: Estadísticas del tiempo requerido para la preparación de una probeta de hormigón para su ensayo a compresión.

ANTES DESPUÉS ------------------------------------------------------------ Cantidad 20 20 Media 437,55 370,85 Mediana 443,5 371,5 Moda 508,0 321,0 Varianza 5399,4 1503,3 Desviación estándar 73,5 38,8 Mínimo 260,0 308,0 Máximo 600,0 480,0 Rango 340,0 172,0 Cuartil Inferior 403,0 347,5 Cuartil Superior 480,5 394,0 Rango Intercuartil 77,5 46,5 Coef. de Variación 16,8% 10,5%

Percentiles para tiempo ANTES de la capacitación ------------------------------------------------------------- 1,0% = 260,0 5,0% = 285,5 10,0% = 340,5 25,0% = 403,0 50,0% = 443,5 75,0% = 480,5 90,0% = 508,0 95,0% = 554,0 99,0% = 600,0

a b c d e (1) De las Estadísticas del Cuadro 1 se debe interpretar que:

a) El 75% de los tiempos DESPUÉS de la capacitación son iguales o superiores a 347,5 s. b) Los tiempos ANTES de la capacitación están más dispersos que después de la misma. c) La mitad de los tiempos empleados ANTES de la capacitación no superan los 443,5 s. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (2) Si el percentil 90 de los tiempos ANTES de la capacitación es igual a 508 s, se debe

interpretar que: a) Noventa técnicos tardaron no más de 508 s. b) El 10% de los tiempos son iguales o inferiores a 508 s. c) El 90% de los tiempos no superan los 508 s. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (3) Si el coeficiente de variación del tiempo DESPUÉS de la capacitación es del 10,5%:

a) Debe interpretarse que el 10,5% de los tiempos están por encima de la media. b) Debe interpretarse que la desviación estándar es mayor que la media. c) Significa que el valor máximo del tiempo está un 10,5% por encima de la media. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

Se observó que uno de los técnicos fue muy meticuloso en su trabajo y preparó correctamente la probeta. Sin embargo fue el que más se demoró en realizar la tarea. No obstante la capacitación y el comentario que el capacitador le hizo, éste no cambió su manera de trabajar y también resultó con el mayor tiempo después de la capacitación. En el Gráfico de Caja se observa este detalle.

Calificación:

Apellido y Nombre:

Legajo: ..........................

Carrera:


Gráfico de Caja

260 360 460 560 660

ANTES

DESPUES

a b c d e (4) De acuerdo al gráfico de caja, es posible concluir que:

a) El técnico meticuloso tardó dos minutos menos en preparar la probeta DESPUÉS de la capacitación.

b) La distribución de los tiempos ANTES de la capacitación presenta un leve sesgo a la izquierda.

c) Un técnico que DESPUÉS de la capacitación emplee más de 463,75 s en preparar la probeta, aparecería como un dato apartado en el gráfico de caja.

d) Todas de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (5) Si las probetas estuvieron correctamente preparadas, de acuerdo al gráfico de caja, Usted

consideraría que, una razón para concluir que la capacitación mejoró el desempeño general del grupo es:

a) Aumentó la dispersión de los tiempos medidos. b) Disminuyó el tiempo promedio. c) Se mantuvo la presencia del al menos un dato apartado. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (6) Un intervalo de confianza del 95,0% para la media de los tiempos ANTES de la

capacitación es el siguiente: 437,55 ± 34,39, es decir, [403,16 ; 471,94], en segundos. Se debe concluir entonces que:

a) Se tiene la certeza de que el intervalo [403,16 ; 471,94] contiene al verdadero tiempo promedio.

b) Con una confianza del 95%, se puede decir que el error máximo en la estimación de la media de los tiempos no excederá los 34,39 s.

c) Si se agregara cinco nuevos técnicos a la muestra de los evaluados, a igualdad del resto de las condiciones, la precisión disminuiría.

d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (7) Si se sabe que la probabilidad de que un técnico capacitado emplee menos de cinco minutos

en preparar la probeta correctamente es igual 0,45: a) La probabilidad de que el tercero de los técnicos evaluados sea el primero que demore

menos de cinco minutos en preparar la probeta es igual a 0,1361. b) La probabilidad de que de los veinte evaluados, se encuentre que al menos siete que

demoren menos de cinco minutos es igual a 0,8701. c) La probabilidad de que al seleccionar al azar uno cualquiera de los técnicos, éste haya

demorado al menos cinco minutos en preparar la probeta, es igual a 0,5500. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (8) Si se quiere probar que el tiempo promedio empleado en preparar correctamente las

probetas DESPUÉS de la capacitación es menor de 370 s: a) La hipótesis alternativa debería ser: H1: ? ? 370 s. b) La hipótesis nula debería ser: H0: ? ? 370 s. c) La hipótesis nula debería ser H0: ? ? 370 s. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

Apellido y Nombre:

Legajo: ..........................

Carrera:


a b c d e (9) En relación al ítem anterior, si al probar que el tiempo promedio empleado en preparar

correctamente las probetas DESPUÉS de la capacitación es menor de 370 s, resulta un valor P = 0,00001:

a) Se debería aceptar la hipótesis nula. b) Si se rechaza la hipótesis nula, se corre un riego muy grande de tomar una decisión

incorrecta. c) Una vez tomada la decisión de rechazar la hipótesis nula, ? = 0. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (10) Si se quiere probar que el tiempo promedio empleado en preparar correctamente las

probetas DESPUÉS de la capacitación es menor de 370 s: a) Si se prueba a un nivel de significancia del 0,05 y el valor P resulta igual a 0,15, se debe

rechazar la hipótesis nula. b) Si el valor P resulta igual a 0,25 y se toma la decisión de aceptar la hipótesis nula, la

potencia de la prueba será igual a 0,95. c) El valor P de la prueba se puede fijar previamente a extraer la muestra, ya que es

independiente de los valores de los tiempos empleados por los técnicos. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

Utilizar este espacio y/o el reverso para las justificaciones. ............................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Apellido y Nombre:

Legajo: ..........................

Carrera:


Sección B: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Introducción

El Grupo Cementos desarrolla un nuevo aditivo que al ser incorporado en la dosificación de los hormigones, afirma que permite lograr la resistencia media a compresión, a la edad de 21 días, es decir, antes de las cuatro semanas. De experiencias previas con ensayos similares, se sabe que la desviación estándar del proceso de producción de hormigones (poblacional) es igual a 3 MPa. Para ello ha reportado varias experiencias que a continuación estudiaremos.

Experiencia 1

En la primera experiencia, el ingeniero dosificó un hormigón para lograr una resistencia media de 35 MPa a las cuatro semanas. A partir de una muestra de 36 resultados de ensayo del hormigón a compresión con el aditivo, a la edad de 21 días, obtuvo una resistencia media de 34,5 MPa, con una desviación estándar de 2,8 MPa. a) Defina y clasifique la variable aleatoria en estudio. b) ¿Se debe aceptar lo que afirma el Grupo Cementos? Pruébelo a un nivel de significancia del 0,05. Justifique

su respuesta.

Experiencia 2

En la segunda experiencia, la dosificación del hormigón fue realizada para lograr un hormigón con una resistencia media a compresión de 30 MPa una vez transcurridas cuatro semanas de su elaboración. El ingeniero trabajó con igual cantidad de resultados de ensayos que en la Experiencia 1. Los resultados de la muestra de la segunda experiencia con la incorporación del aditivo arrojaron una media de 28,4 MPa a los 21 días. a) Calcule el valor P de la prueba para la segunda experiencia. b) ¿Qué decisión tomaría respecto de la afirmación del Grupo Cementos? Argumente su respuesta. c) En el ítem anterior Usted tomó una decisión. Una vez tomada la decisión, ¿cuál es la probabilidad de

cometer un error de tipo II? Argumente su respuesta.

Experiencia 3

En la tercera experiencia, dosificó el hormigón para lograr una resistencia media a compresión de 40 MPa a las cuatro semanas de elaborado el hormigón. En esta oportunidad trabajó con 64 resultados de ensayo incorporando el aditivo y obtuvo una resistencia media a compresión, a la edad de 21 días, de 39,7 MPa. Al ingeniero le preocupa algo. Sabe que si la resistencia media del hormigón está por debajo de los 38,5 MPa, se presentarán problemas en la estructura . En base a la evidencia muestral decide probar que la resistencia media NO esté por debajo de los 40 MPa. a) Si Usted debe asesorar al Grupo Cemento en la toma de decisiones, ¿qué decisión tomaría e indicaría en su

informe técnico, al nivel de significancia del 0,05? Justifique su respuesta. b) De acuerdo a la decisión que Usted indique en el ítem anterior, determine la probabilidad de que se

presenten problemas en la estructura e informe si su decisión tomada en el ítem anterior es muy arriesgada, en términos probabilísticos. Justifique su respuesta.

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Apellido y Nombre:

Legajo: ..........................................

Carrera:

041216EFINAL 1

Examen de Probabilidad y Estadística Calificación:

Consigna general

Al contestar cada uno de los siguientes ítems, tenga en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones de cada uno de ellos es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta, tampoco se descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que Usted proponga. Para aprobar la evaluación se requiere contestar correctamente un mínimo de cuatro ítems. Cada respuesta correcta suma un punto en la escala del cero al diez.

Asignación del puntaje

Cantidad ítems correctos Menos de cuatro 4 5 6 7 8 9 10 11 Calificación NO APROBADO 3 4 5 6 7 8 9 10

Introducción

Pablo es un fabricante de productos informáticos que está considerando la posibilidad de ampliar su planta en los siguientes cuatro años. Lo acompaña un grupo de expertos de su compañía y tiene registro de la información que ha generado su empresa durante un largo tiempo. A continuación encontrará una serie de situaciones que Pablo debe resolver y que lo invitamos a compartir.

La decisión de ampliar la fábrica: 4-71

La decisión de Pablo, en relación a la ampliación de su fábrica, se verá influenciada por el aumento en la producción que se daría si aumentan sus ventas al gobierno o al consumidor. Específicamente, Pablo ampliará la planta si se presenta uno de los siguientes eventos:

A: Las ventas al consumidor aumentan un 50% con respecto al nivel de las ventas actuales; o bien: B: Se obtiene un importante contrato de venta con el gobierno.

La compañía cree también que los dos eventos no se pueden dar el mismo año. a b c d e (1) Tal como se ha definido, los eventos A y B:

a) Son complementarios. b) *Son mutuamente excluyentes. c) Se cumple que P( A∪B) = 1 d) Todas las anteriores. e) No sé.

Pablo ha realizado un meticuloso estudio con los expertos de la compañía y sabe que la probabilidad de que las ventas al consumidor aumenten un 50% dentro de 1, 2, 3 y 4 años es de 0,05; 0,08; 0,12; 0,32, respectivamente. Han determinado también que, la probabilidad de obtener un contrato importante con el gobierno dentro de 1, 2, 3 y 4 años es de 0,08; 0,15; 0,25 y 0,32, respectivamente. a b c d e (2) En estas condiciones, la probabilidad de que Pablo decida ampliar su fábrica:

a) En el siguiente año (en el año 1) es 0,004. b) Entre uno y dos años a partir de ahora (en el año 2) es 0,23. c) Entre dos y tres años a partir de ahora (en el año 3) es 0,37. d) *Son válidas las opciones b) y c) pero NO la opción a). e) No sé.

Mejoras en la calidad de los productos: 4-22

Pablo desea mejorar la durabilidad de las computadoras personales que fabrica su compañía, con respecto a las fallas en la unidad de disco y el teclado. En la actualidad, el diseño de sus computadoras es tal que las fallas en la unidad de disco significan un tercio de las fallas de teclado. La probabilidad de que se presente una falla conjunta en la unidad de disco y en el teclado es 0,05. a b c d e (3) Si la computadora es 80% resistente a fallas en la unidad de disco y/o en el teclado:

a) La probabilidad de que se produzcan fallas en la unidad de disco y/o en el teclado es 0,20. b) La probabilidad de que se presente una falla en la unidad de disco es 0,0625. c) La probabilidad de que se presente una falla en el teclado es menor de 0,1875. d) *Todas las anteriores. e) No sé.

Apellido y Nombre:

Legajo: ..........................................

Carrera:

041216EFINAL 2

a b c d e (4) Si el teclado se mejoró de tal modo que sólo falla el doble de veces que la unidad de disco,

la probabilidad de una falla conjunta sigue siendo igual a 0,05, entonces, la probabilidad de falla de la unidad de disco obtenida en el ítem anterior, producirá una resistencia a fallas en la unidad de disco duro, en el teclado, o en ambos:

a) Mayor que 0,9. b) *Menor que 0,9. c) Igual a 0,9. d) Es imposible calcularla con la información disponible. e) No sé.

Control de calidad de insumos importados

a b c d e (5) De experiencias previas, Pablo sabe que el 2,5% de los chips que le entrega su proveedor habitual, resultan defectuosos. Los chips se reciben en lotes de 40 unidades y el muestreo de aceptación que Pablo ha implementado consiste en tomar al azar 3 chips y si ninguno resulta defectuoso, acepta el lote. De otro modo, lo devuelve a su origen. La probabilidad de que el lote revisado sea devuelto es:

a) 0,0250 b) 0,1836 c) Mayor que ¼. d) *Ninguna de las anteriores. La respuesta correcta es ......................... 0,2136 e) No sé.

a b c d e (6) Con este plan de muestreo, la probabilidad de que al seleccionar una muestra aleatoria de 3

chips, el tercero sea el primero que resulte defectuoso es: (Se ha redondeado al tercer decimal) a) 0,075 b) *0,024 c) 0,001 d) Ninguna de las anteriores. La respuesta correcta es ......................... e) No sé.

Vida útil de los chips: Estadística descriptiva e Inferencia estadística

El análisis estadístico de la vida útil de los chips que Pablo importa, obtenidos a partir de una muestra de 60 unidades, indican que la media es de 2200 días, con un coeficiente de variación del 4%; el cuartil inferior es igual a 2140 días; el superior 2290 días; la mitad de los chips duran por lo menos 2205 días y el 12% de los chips tuvo una duración mínima de 2332 días. a b c d e (7) A partir de la estadística descriptiva se debe concluir que:

a) La varianza de la vida útil de los chips es de 7744 días². b) Un cuarto de los chips tuvo una duración de por lo menos 2290 días. c) Si un chips en particular tuvo una duración de 2525 días debe considerarse como dato

apartado. d) *Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (8) Un intervalo de confianza del 98,0% para la media de la duración de los chips es el

siguiente: 2200 ± 34, es decir, [2166 ; 2234], en días. Se debe concluir entonces que: a) El 1% de los chips tuvo una duración que excedió los 2234 días. b) Con una confianza del 98%, se puede decir que el error máximo en la estimación de la

media de la duración de los chips excederá los 34 días. c) Si se agregara diez nuevos chips a la muestra, la confianza de la estimación aumentaría. d) *Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (9) Si se quiere probar que la duración media de los chips importados es mayor de 2170 días, al

nivel de significancia del 0,03: a) La hipótesis alternativa es: H1: µ ≤ 2170 días. b) *Si la muestra de los 60 chips arroja una vida útil promedio de 2200 días, se debe rechazar

la hipótesis nula. c) Si el valor P de la prueba resultara igual a 0,0041 se debería aceptar la hipótesis nula. d) Todas de las anteriores.

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041216EFINAL 3

e) No sé.

Tiempo de vida del ventilador de las PC

a b c d e (10) Pablo sabe que el tiempo de vida del ventilador que instala en las PC se puede modelar mediante una distribución exponencial, de parámetro igual a 45 meses. En estas condiciones, el modelo indicará que:

a) La probabilidad de que el tiempo de vida de un ventilador exceda los 5 años, es 0,2636. b) El percentil 90 del tiempo de vida de los ventiladores es igual a 103,616 meses. c) El primer cuartil del tiempo de vida de los ventiladores es igual a 12,95 meses. d) *Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (11) Según el modelo matemático, Pablo sabe que el percentil 98 del tiempo de vida de los

ventiladores de las PC que instala es igual a 176,04 meses. En estas condiciones, la probabilidad de que al seleccionar 600 ventiladores se encuentre que más de 18 tengan una duración de por lo menos 176,04 meses es:

a) Mayor de 0,98. b) Igual a 0,8633 c) Menor de 0,05. 0,0401 d) *Ninguna de las anteriores. El valor correcto es: ..................................... e) No sé.

Utilizar este espacio y/o el reverso para las justificaciones. ............................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Apellido y Nombre:

Legajo: ..........................................

Carrera:

050224EFINAL 1


Consigna general

Al contestar cada uno de los siguientes ítems, tenga en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones de cada uno es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta, tampoco se descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que Usted proponga. Para aprobar la evaluación se requiere contestar correctamente un mínimo de cuatro ítems. Cada respuesta correcta suma un punto en la escala del cero al diez.

Asignación del puntaje

Cantidad ítems correctos Menos de cuatro 4 5 6 7 8 9 10 11 Calificación NO APROBADO 3 4 5 6 7 8 9 10

Diego, el responsable del centro de datos, es un ingeniero en sistemas que está estudiando el tiempo que un usuario debe esperar mientras la computadora accede a la información en el disco, esto es, el tiempo de respuesta. El centro de datos donde trabaja, tiene dos unidades de disco identificados como Disco 1 y Disco 2. a b c d e (1) A partir de la información disponible hasta el momento (la enunciada en el párrafo

anterior), la variable que Diego estudia es una variable: a) Binomial. b) Continua. c) Discreta. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

Diego midió los tiempos de respuesta de las dos unidades de disco, para lograr lo que en Estadística denominamos muestras aleatorias independientes. Para el Disco 1, registró 13 tiempos de respuesta y para el Disco 2, registró 15 tiempos de respuesta. Los tiempos registrados se muestran en la Tabla 1. Tabla 1: Tiempo de respuesta en dos unidades de disco, en milisegundos.

Disco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Media Desv.

Estándar 1 59 92 54 102 73 60 73 75 74 84 47 33 61 68,23 18,66 2 71 38 47 53 63 48 41 68 40 60 44 39 34 75 86 53,80 15,81

a b c d e (2) Teniendo en cuenta la información de la Tabla 1, es posible afirmar que:

a) La mediana del tiempo de respuesta del Disco 1, es mayor que la media del mismo disco. b) El primer cuartil del tiempo de respuesta del Disco 2, es menor que su media. c) El percentil 80 de los tiempos del Disco 2, nunca podría resultar menor que el tercer cuartil. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (3) Si Diego realizara dos mediciones más del tiempo para el Disco 1 y completara así las

quince, se cumpliría que: a) La media aumentaría. b) La desviación estándar disminuiría. c) La mediana resultaría igual a 75. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (4) De experiencias previas, Diego sabe que la probabilidad de que el tiempo de respuesta del

Disco 1 supere los 92 milisegundos, es igual a 0,10. Suponiendo que los tiempos de respuesta son independientes, es posible afirmar que:

a) La probabilidad de que el tiempo de respuesta de los siguientes cuatro accesos no supere los 92 milisegundos, es igual a 0,6561.

b) La probabilidad de que recién en el tercero de los siguientes cuatro accesos se tarde más de 92 milisegundos, es igual a 0,081.

c) La probabilidad de que en una muestra de 10 mediciones del tiempo de respuesta, más de cuatro excedan de 92 milisegundos, es igual a 0,0016.


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Carrera:

050224EFINAL 2

a b c d e (5) Si Diego desea calcular un intervalo de confianza del 95% para la desviación estándar del tiempo de respuesta del Disco 1, a partir de la muestra de la Tabla 1:

a) No habría necesidad de hacer verificaciones o supuestos respecto de la distribución del tiempo de respuesta del Disco 1.

b) Debería emplear la distribución t de Student para calcular los límites del intervalo. c) Si el intervalo de confianza calculado por Diego hubiese resultado [ 13,38 ; 30,85 ], se

puede afirmar que la desviación estándar de la población del los tiempos de respuesta del Disco 1 no será mayor que 30,85 ni menor que 13,38.

d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (6) Si se quiere probar que el tiempo de respuesta medio del Disco 1 es significativamente

menor de 69 milisegundos, a partir de los resultados de la muestra de la Tabla 1: a) La hipótesis nula correspondiente es: H0: µ = 68,23 b) La hipótesis alternativa correspondiente es: H1: µ < 68,23 c) Se debería utilizar la estadística t de Student, suponiendo normalidad en la distribución del

tiempo de respuesta del Disco 1. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (7) Particularmente, Diego está interesado en detectar si existe una diferencia significativa

entre los tiempos de respuesta medios de las dos unidades de disco de la computadora. Por los resultados de las muestras, sospecha que el Disco 1 tiene un tiempo de respuesta medio mayor que el Disco 2. Para probarlo:

a) La hipótesis alternativa correspondiente es: H1: µ1 – µ2 = 0 b) Si el valor P de la prueba resulta 0,0178, debería concluir que existe una probabilidad de

0,0178 de que el tiempo medio de respuesta del Disco 1 sea mayor que el del Disco 2. c) *Si el valor P es igual a 0,0178, al nivel de significancia del 5%, se debe rechazar la

igualdad de los tiempos medios de respuesta de ambos discos. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (8) Si se desea construir un intervalo de confianza para el cociente de las desviaciones estándar

de los tiempos de respuesta de los discos 1 y 2: a) Se debe cumplir que los tiempos de respuesta de los discos estén distribuidos normalmente

y utilizar la distribución F. b) Las desviaciones estándar de las poblaciones de los tiempos de respuesta de los discos,

deben ser conocidas. c) Si al nivel de confianza del 90% el intervalo resultante fuera [ 0,54 ; 3,67 ], debe

interpretarse que la desviación estándar de los tiempos de respuesta del Disco 1 es mayor que la del Disco 2.

d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (9) A Diego le pasaron los resultados de la estadística descriptiva de 14 mediciones realizadas

en un tercer disco, pero no conoce los valores individuales de los tiempos de respuesta de este disco.

a) Si el coeficiente de variación resultante es del 15%, debe interpretarse que el rango no puede superar los 15 milisegundos.

b) Si el percentil 63 del tiempo de respuesta del Disco 3 es igual a 70 milisegundos, el tercer cuartil no podría ser inferior a 70 milisegundos.

c) Si se observa un dato apartado (atípico o anómalo), siempre será superior a la media. d) Todas de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (10) Si consideramos a los tiempos de respuesta de los discos 1 y 2 como variables aleatorias y

el coeficiente de correlación resultante es igual a 0,2020: a) La covarianza podría calcularse a partir del coeficiente de correlación y de los tiempos

medios de respuesta de ambos discos. b) La covarianza sería positiva. c) Existe una dependencia lineal exacta entre los tiempos de respuesta de los discos. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

Apellido y Nombre:

Legajo: ..........................................

Carrera:

050224EFINAL 3

a b c d e (11) Suponga para este ítem que los tiempos de respuesta del Disco 1 están normalmente

distribuidos y que se sabe que la desviación estándar de la población de los tiempos es de 18 milisegundos. Diego quiere probar que el tiempo de respuesta del Disco 1 es significativamente mayor de 68 milisegundos, con un nivel de significancia del 0,05. Para asegurar una potencia de la prueba de 0,9 cuando el tiempo medio de respuesta real del Disco 1 sea de 77 milisegundos:

a) La cantidad de mediciones realizadas para el Disco 1 de la Tabla 1 sería suficiente (tamaño de muestra).

b) El número de mediciones que debería tomar Diego está entre 16 y 28. c) El número de mediciones que debería tomar Diego está entre 29 y 40. d) Deberían realizarse más de 40 mediciones. e) No sé.

Utilizar este espacio y/o el reverso para las justificaciones. ............................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Apellido y Nombre:

Legajo: ..........................................

Carrera:

050519EFINAL 1


PARTE I: Prueba Objetiva

En la lista de arriba hay 18 afirmaciones que Usted debe aceptar o rechazar colocando (V) o (F), respectivamente, a la derecha de la numeración correspondiente. La afirmación debe aceptarse o rechazarse en su totalidad. Para aprobar la evaluación debe contestar correctamente por lo menos 12 afirmaciones. No es obligatorio justificar la respuesta; si tiene dudas de interpretación puede justificar su respuesta y se tomará como válida la justificación. La calificación de la prueba objetiva se obtendrá de acuerdo al siguiente cuadro: Situación No Aprobada Aprobada Correctas 0 –6 7 – 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Calificación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Calificación obtenida en la prueba objetiva:

Afirmaciones correctas (cantidad) = Calificación (Ver cuadro superior) =

1. ____ Para el siguiente conjunto de datos {5,5,5,5,5,8,8,8,8,8} la media es igual a la mediana, el rango

intercuartil es igual a 3 y el gráfico de caja resultaría simétrico. 2. ____ Si se tiene la ojiva de un conjunto de datos, se puede obtener el percentil 66 de dicho conjunto

numérico de la lectura de la ojiva. 3. ____ El primer cuartil de un conjunto de datos, siempre es menor que la mediana. 4. ____ Si dos eventos A y B son independientes, también deben ser mutuamente excluyentes. 5. ____ Dados dos eventos A y B con P(A) = 0,65 y P(B) = 0,35, se debe concluir que A y B son

complementarios. 6. ____ Se sabe que la probabilidad de que al seleccionar al azar una moneda de diez centavos tenga una

masa mayor de 2,28 gramos es 0,05. Entonces, la probabilidad de que al seleccionar al azar dos monedas de diez centavos ambas pesen más de 2,28 gramos, es igual a 0,10.

7. ____ Dada una variable aleatoria discreta que asume los valores {1; 3; 5; 7}, con función masa de probabilidad f(x), si se sabe que f(3) = 0,40, podría suceder que f(1) > f(3).

8. ____ Sea X una variable aleatoria discreta con función masa de probabilidad f(x). Para x = percentil 60, la función de distribución acumulada F(x), resultará igual a 0,60.

9. ____ Si se sabe que el percentil 55 de una variable aleatoria hipergeométrica es igual a 14 y que el cuartil superior es igual a 23, entonces, la probabilidad de que la variable asuma valores menores o iguales que 23, es igual a 0,75.

10. ____ Si se realiza un experimento que da lugar a una variable aleatoria binomial X de parámetros n = 8 y p = 0,05, es más probable no obtener éxitos, que obtener todos éxitos.

11. ____ El parámetro de una distribución geométrica varía entre cero y +∞. 12. ____ El parámetro de la distribución de Poisson sólo puede tomar valores entre cero y uno. 13. ____ La varianza del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la

constante por el valor esperado de la variable aleatoria. 14. ____ Si X ∼ N (µ = 3 ; σ² desconocida) y de dicha población se selecciona una muestra de tamaño cinco,

para calcular la probabilidad de que la media muestral tome valores menores que 2, se debe utilizar la distribución normal estándar.

15. ____ El primer cuartil de una variable aleatoria que sigue una distribución f, con parámetros ν1 y ν2, será siempre mayor que cero.

16. ____ Si el intervalo calculado para la media de una población, con un 95% de confianza, tiene por límites de confianza (20; 24), entonces el error máximo de estimación es igual a 4.

17. ____ El tamaño de muestra necesario para estimar la media de una población normal con varianza conocida, un error máximo de estimación dado y un nivel de confianza del 95%, será menor que el obtenido a partir de un nivel de confianza de 99%.

18. ____ La liga de defensa al consumidor demanda a un empresario porque ha tomado una muestra de treinta paquetes de azúcar y el contenido promedio arrojó el valor 970 gramos, cuando el contenido neto indicado en el paquete es de un kilogramo. La hipótesis alternativa apropiada para el procedimiento de prueba es: H1: µ = 970 gramos.

Apellido y Nombre:

Legajo: ..........................................

Carrera:

050519EFINAL 2

PARTE II: Resolución de problemas

Para obtener el puntaje total asignado a los siguientes problemas, se deben tener en cuenta las siguientes consignas generales: § Definir las variables en estudio. § Identificar la distribución de probabilidad de la variable en estudio o de la estadística utilizada, con la

justificación correspondiente. § Plantear la solución del problema. § Efectuar cálculos. § Interpretar resultados para responder a las consignas del problema. Calificación obtenida en la resolución de problemas: Puntos 00 – 54 55-59 60-64 65-74 75-81 82-87 88-94 95-100 Calificación NO APROBADO 4 5 6 7 8 9 10

1. 50p

Fernando sabe que, según los registros históricos, el tiempo promedio empleado por los trabajadores para ejecutar una tarea en la empresa, es de 45 minutos, con una desviación de 2,5 minutos. También sabe que es aceptable suponer que los tiempos están distribuidos normalmente. Si en la evaluación de la semana entrante Fernando otorgará un tiempo de 50 minutos para resolver la prueba a 20 trabajadores, ¿cuál es la probabilidad de que en el tiempo asignado todos terminen la prueba? ¿Qué piensa del tiempo asignado por Fernando para la prueba? Justifique. 2. 50p

Continuando con el estudio, Fernando sostiene la hipótesis de que no hay diferencia en el tiempo promedio que emplean hombres y mujeres para realizar la tarea del problema anterior. Suponga que Fernando registró el tiempo que emplearon 20 hombres y 20 mujeres para realizar la tarea, procesó la información y obtuvo los siguientes resultados muestrales:

Hombres Mujeres Cantidad de trabajadores 20 20

Tiempo promedio 45,5 44,5 Desviación estándar 2,4 3,2

Coeficiente de variación 9,0% 9,4% Al nivel de significancia del 0,05, ¿se debe aceptar la hipótesis que sostiene Fernando? Justifique. Nota: Es aceptable suponer que tanto los tiempo de los hombres como los de las mujeres están normalmente distribuidos y que ambos tienen la misma desviación estándar dada en el problema anterior (2,5 minutos). ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................


1

Examen Final de Probabilidad y Estadística

Cantidad de ítems correctos Menos de 5 5 6 7 8 9 10

Calificación NO APROBADO 5 6 7 8 9 10

Responder

Al contestar cada uno de los siguientes ítems, tenga en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones de cada uno de ellos es la

correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta, tampoco se

descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que usted proponga. Para aprobar la evaluación se requiere contestar correctamente un mínimo de cinco ítems.

Ver respuestas en el Anexo.

Introducción

El ingeniero a cargo de un sistema ha registrado algunas mediciones del tiempo de respuesta a un comando de

edición en particular. Los registros del tiempo y las estadísticas de los tiempos pueden consultarse en el Anexo

del examen.

Responder los ítems utilizando la información del Anexo

a b c d e (1) Teniendo en cuenta sólo los tiempos de la Fila 1 del Cuadro 1, se puede afirmar que:

a) El tiempo de respuesta medio es menor que la mediana del tiempo de respuesta.

b) El percentil 58 del tiempo de respuesta no puede resultar mayor que el cuartil superior.

c) La dispersión de los tiempos de la primera fila es menor que la dispersión de todos los

tiempos del Cuadro 1.

d) Todas las anteriores.

e) No sé.

a b c d e (2) De la lectura de la distribución de frecuencias para el tiempo de respuesta (Cuadro 2), se

debe concluir que:

a) Diez de los tiempos registrados tuvieron una duración mayor de 245,5 milisegundos, pero

no excedieron de los 253,25 milisegundos.

b) El 15% de los tiempos de respuesta fueron iguales a 284,25 milisegundos.

c) El 45% de los tiempos de respuesta estuvo por encima de los 261,0 milisegundos.


e) No sé.

a b c d e (3) Teniendo en cuenta la información del Cuadro 2 y aceptando que se puede utilizar el

concepto de probabilidad frecuencial, se puede decir que si se produce una nueva edición,

la probabilidad de que el tiempo de respuesta al comando de edición exceda de 245,5

milisegundos, es:

a) 0,2250

b) 0,3000

c) 0,7000

d) Ninguna de las anteriores.

e) No sé.

a b c d e (4) Se sabe que la probabilidad de que el tiempo de respuesta no sobrepase los 276,5

milisegundos es igual a 0,775 y que los tiempos de respuesta son independientes. La

probabilidad de que al realizar tres ediciones recién en la tercera el tiempo de respuesta

sobrepase los 276,5 milisegundos, es:

a) 0,0392

b) 0,1351

c) 0,6750


e) No sé.


2

a b c d e (5) Utilizando las estadísticas de la muestra de los tiempos de respuesta como estimadores de

los parámetros poblacionales, según Chebyshev, la probabilidad de que el tiempo de

respuesta se encuentre comprendido entre 216,1974 y 303,7926 milisegundos, es:

a) Menor o igual a 0,75.

b) Igual a 0,75.

c) Mayor o igual a 0,75.


e) No sé.

a b c d e (6) Se sabe que la probabilidad de que el tiempo de respuesta no sobrepase los 276,5

milisegundos es igual a 0,775 y que los tiempos de respuesta son independientes. La

probabilidad de que al realizar diez ediciones en la mitad de ellas se sobrepase los 276,5

milisegundos, es:

a) 0,0006

b) 0,0406

c) 0,9884

d) No se puede calcular con la información disponible.

e) No sé.

a b c d e (7) Si se acepta que el tiempo de respuesta está distribuido normalmente, con una media y

desviación estándar igual a 260 y 20 milisegundos, respectivamente, entonces:

a) La probabilidad de que el realizar la próxima edición el tiempo de respuesta exceda los 290

milisegundos, es igual a 0,0668.

b) La probabilidad de que al realizar veinticinco ediciones el tiempo medio esté por encima de

los 265 milisegundos, es igual a 0,1056.

c) El percentil 67 de los tiempos de edición es igual a 268,8 milisegundos.


e) No sé.

a b c d e (8) A partir de una estimación por intervalos del 95% de confianza, utilizando sólo los

resultados de la muestra (se desconocen los parámetros) de los tiempos de respuesta del

Anexo, se debería concluir que:

a) El 95% de los tiempos de respuesta de la población en estudio, están comprendidos en el

intervalo [253 ; 267].

b) Podemos asegurar que el intervalo [253 ; 267] contiene al verdadero valor del tiempo

medio de respuesta.

c) El error de la estimación del tiempo medio de respuesta, con una confianza del 95%, no

excederá los 7 milisegundos.


e) No sé.

a b c d e (9) Si se quiere mejorar la precisión de la estimación del ítem anterior:

a) Habría que aumentar el nivel de confianza.

b) Se debería tomar una muestra de mayor tamaño.

c) Se debería disminuir el tamaño de la muestra y aumentar el nivel de confianza.


e) No sé.

a b c d e (10) El ingeniero sabe que el sistema tendrá serias dificultades cuando el tiempo medio de

respuesta exceda los 255 milisegundos. La muestra estudiada arrojó un valor medio del

tiempo de respuesta igual a 259,925 milisegundos.

a) Al nivel de significancia del 0,05, se debe aceptar la hipótesis que sostiene que el tiempo

medio no excederá los 255 milisegundos.

b) La hipótesis alternativa apropiada para la prueba es: H1: µ > 255 milisegundos.

c) Si el valor P calculado es 0,0814, al nivel de significancia del 0,05, no se debería rechazar

la hipótesis que sostiene que el tiempo medio no excede los 255 milisegundos.


e) No sé.


3

Anexo Cuadro 1: Tiempos de respuesta al comando de edición, en milisegundos.

Fila 1

Fila 2

Fila 3

Fila 4

215 - 222 - 224 - 235 - 237 - 238 - 240 - 242 - 242 - 244

244 - 244 - 246 - 246 - 247 - 251 - 257 - 259 - 259 - 260

261 - 261 - 262 - 263 - 265 - 266 - 268 - 271 - 273 - 275

276 - 278 - 279 - 279 - 282 - 282 - 290 - 301 - 306 - 307

* Nota: Para responder los ítems de la evaluación, no debe procesar toda la información del Cuadro 1.

Utilice la información de los Cuadros 2 y 3.

Cuadro 2: Tabla de frecuencias para el tiempo de respuesta al comando de edición, en milisegundos.

Límites de Clase Punto Frecuencias Simples Frecuencias Acumuladas

Clase (Inferior Superior] Medio Absoluta Relativa Absoluta Relativa

...............................................................................................................................................................

1 (214,5 230,0] 222,25 3 0,0750 3 0,0750

2 (230,0 245,5] 237,75 9 0,2250 12 0,3000

3 (245,5 261,0] 253,25 10 0,2500 22 0,5500

4 (261,0 276,5] 268,75 9 0,2250 31 0,7750

5 (276,5 292,0] 284,25 6 0,1500 37 0,9250

6 (292,0 307,5] 299,75 3 0,0750 40 1,0000

Cuadro 3: Estadística descriptiva del tiempo de respuesta al comando de edición, en milisegundos.

Estadísticas Diagrama de tallo y hojas

Cantidad de observaciones

Promedio

Mediana

Moda

Varianza

Desviación estándar

Mínimo

Máximo

Rango

Cuartil Inferior

Cuartil Superior

Rango intercuartil

Coeficiente de variación

Percentiles:

P01

P05

P10

P90

P95

P99

40

259,925

260,5

244

479,558

21,8988

215

307

92

244

275,5

31,5

8,42505%

215

223

236

286

303,5

307

Unidad = 1,0

Ejemplo : 1 | 2 representa 12 milisegundos.

1 21 | 5

3 22 | 24

6 23 | 578

15 24 | 022444667

19 25 | 1799

(8) 26 | 01123568

13 27 | 1356899

6 28 | 22

4 29 | 0

3 30 | 167

Respuestas

1. d)

2. c)

3. c)

4. b)

5. c)

6. b)

7. d)

8. c)

9. b)

10. d)


1

Carrera: Año en que cursó la materia: Calificación Final:

Examen Final de Probabilidad y Estadística Cantidad de ítems correctos Menos de 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Calificación NO APROBADO 4 5 6 7 8 8 9 9 10

Consigna general

Lea los párrafos siguientes y conteste los ítems propuestos. Al contestar cada uno de ellos, tenga en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta, tampoco se descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que usted proponga. Para aprobar la evaluación se requiere contestar correctamente un mínimo de siete ítems. Introducción

Vanina Tkaczek y Víctor Ferrero se pusieron muy contentos al enterarse que la solicitud para la realización de una Pasantía en la industria local METAL S.A. había sido aprobada. El primer día de trabajo los recibió la responsable del control de calidad de la empresa –Erika Novello–, les mostró la planta de producción y les asignó tareas para la primera semana.

Erika les explicó que cada semana se muestrean mil piezas y se registra el número de piezas defectuosas en la muestra, seleccionándolas de lugar de la línea de producción denominado Punto F. Y les entregó el número de piezas defectuosas encontradas en cada muestra de las últimas 30 semanas.

Párrafo 1

Vanina cargó los datos en la computadora y corrió el programa para conocer las estadísticas descriptivas para el número de piezas defectuosas en el Punto F. De acuerdo a los resultados, Vanina comentó a Víctor que el promedio de piezas defectuosas es de 19,6. En la semana Nº 28 se observó 8 piezas defectuosas en la muestra, el menor observado en las 30 semanas, mientras que en la semana Nº 16 se observó el mayor número de piezas defectuosas en la muestra, 30 piezas más que en la semana Nº 28. Por lo menos un 25% de las muestras semanales tienen 23 piezas defectuosas o más. El percentil 60 es igual a 20, bla, bla, bla ...

Víctor tomó el informe, frunció el ceño y dijo: – ¡Mirá Vanina! Me parece que la dispersión es grande. Fijate, la desviación estándar representa el 35,9% del promedio de piezas defectuosas. – Comparto la idea, respondió Vanina. Me olvidaba, el rango intercuartil es igual a 7 piezas. a b c d e (1) Teniendo en cuenta la información del Párrafo 1, se debe concluir que para el número de

piezas defectuosas en la muestra: a) La mediana es igual a 19,6. b) La desviación estándar es menor de 7. c) El rango es igual a 30. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (2) En relación a lo dicho del percentil 60, Víctor debe concluir que:

a) En el 60% de las muestras semanales se encontraron 20 piezas defectuosas. b) El cuartil superior podría resultar menor de 20. c) El valor del percentil 60 podría verificarse leyendo el polígono de frecuencias. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (3) Si se construyera el gráfico de caja para las 30 muestras semanales:

a) No se observarían datos apartados (o valores extremos) . b) El número de piezas defectuosas observado en la semana Nº 16, sería un dato apartado. c) El número de piezas defectuosas observado en la semana Nº 28, sería un dato apartado. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.


2

Párrafo 2

En el segundo día de trabajo Erika se reunió con Vanina y Víctor, y les comentó que de acuerdo a los registros históricos de la industria, el 2% de las piezas observadas en el lugar estudiado de la línea de producción son defectuosas. Les explicó también que el plan de control de calidad establece seleccionar 100 piezas del proceso y si ninguna resulta defectuosa, el proceso continúa. a b c d e (4) En tales condiciones, la probabilidad de que el proceso continúe con este plan de muestreo:

(Ayuda: aplique el modelo matemático que corresponde y no una aproximación).

a) Es igual a 0,1326 b) Es igual a 0,1350 c) Es igual a 0,8674 d) Ninguna de las anteriores. El valor correcto es: ......................... e) No sé.

a b c d e (5) Si las condiciones del plan de muestreo son las mismas del ítem anterior:

a) La distribución de probabilidad del número de piezas defectuosas es sesgada a la izquierda. b) El promedio de piezas defectuosas es igual a 2. c) La desviación estándar del número de piezas defectuosas es igual a 1,96. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (6) Erika les explicó a los estudiantes que para las exportaciones, las piezas se empacan en

cajas de 200 unidades tomadas del Punto F y al llegar a destino, se toma una muestra de 10. Si ninguna de las piezas de la muestra resulta defectuosa, se acepte la caja. Caso contrario, la caja es remitida al lugar de procedencia. Con este plan de aceptación en el lugar de destino y suponiendo un 2% de piezas defectuosas en la caja, es posible afirmar que:

a) La probabilidad de que se acepte una caja cualquiera está entre 0,80 y 0,82. b) La probabilidad de que una caja cualquiera se devuelta es menor de 0,20. c) La probabilidad de que menos de tres de las piezas de la muestra que son inspeccionadas

resulten defectuosas, es mayor de 0,90. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (7) Cerca del mediodía del día martes Vanina y Víctor se preguntaban cómo sería la evaluación

del trabajo que realizaban en la empresa y decidieron preguntarle a Erika. Ella les respondió que se tomaba un examen escrito y que tenían hasta tres instancias para aprobarlo. Aprobando el examen en cualquiera de las instancias, se aprueba la pasantía.

Si la probabilidad de que un estudiante apruebe el examen escrito es igual a 0,70, la probabilidad de que un estudiante apruebe la pasantía es igual a: (recuerde que tiene de tres posibilidades como máximo y suponga independencia)

a) 0,343 b) 0,700 c) 0,973 d) Ninguna de las anteriores. El valor correcto es: ......................... e) No sé.

a b c d e (8) El día miércoles Erika se reunió con Vanina y Víctor en Punto F y les dijo: Según nuestros

estudios, en promedio, en este lugar se contabilizan 0,125 piezas defectuosas por hora. En tales condiciones y suponiendo que el modelo de Poisson explica bien el comportamiento de la variable, la probabilidad de que en un turno de ocho horas se observen entre tres y seis piezas defectuosas, inclusive:



3

a b c d e (9) Se acercaba la hora del almuerzo y Víctor le propuso a Vanina que hicieran una apuesta. Le

dijo: Si se da que recién la tercera de las piezas seleccionadas resulta defectuosa, el postre lo pago yo.

De mantenerse la condición de que el 2% de las piezas observadas en el Punto F son defectuosas, la probabilidad de que Víctor pague el postre es:


a b c d e (10) En la reunión del jueves Erika les explicó que los estudios previos permiten aceptar la

suposición de normalidad para el número de piezas defectuosas en el plan de muestreo implementado con una media de 20 piezas y una desviación estándar de 6 piezas, cuando el proceso está bajo control. En estas condiciones se cumple que:

a) El primer cuartil del número de piezas defectuosas en el proceso está entre 15 y 18. b) La probabilidad de que el número de piezas defectuosas se encuentre entre 15,38 y 16,88 es

menor de 0,12. c) La probabilidad de que el número promedio de piezas defectuosas en una muestra de nueve

piezas seleccionadas de la línea de producción, se encuentre comprendido entre 20 y 25, está entre 0,45 y 0,50.


a b c d e (11) Aceptando que el número de piezas defectuosas del proceso controlado se distribuye

normalmente, si se construye un intervalo de confianza para la varianza del número de piezas defectuosas a partir de la información de una muestra aleatoria, se cumple que:

a) Los límites de confianza superior e inferior podrían tener signos opuestos. b) Los límites de confianza superior e inferior podrían ser negativos. c) Los límites de confianza superior e inferior resultarían siempre positivos. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (12) Erika seleccionó las estadísticas de las 30 semanas y corrió el programa para construir un

intervalo de confianza para la media del número de piezas defectuosas del proceso controlado, al nivel del 95%, y obtuvo el siguiente resultado: [19,43 ; 32,07]. Se debe concluir entonces que:

a) Con un 95% de confianza, el error máximo de la estimación no excederá el valor 12,64. b) Se puede tener la certeza de que el verdadero valor del número de piezas defectuosas, no

será menor que 19,43, ni tampoco excederá de 32,07. c) Con un 95% de confianza, se puede decir que el intervalo [19,43 ; 32,07] contiene al

verdadero valor del número de piezas defectuosas del proceso controlado. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (13) Si Víctor tuviera que poner a prueba la hipótesis que sostiene que el promedio del número

de piezas defectuosas en el proceso controlado es menor de 20:

a) La hipótesis alternativa debe ser: H1: µ > 20. b) La hipótesis nula debe ser: H0: µ ≠ 20. c) Si se trabaja con un nivel de significancia 0,05 se debe interpretar que el 5% de las

decisiones resultarán incorrectas. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.


4

a b c d e (14) Si se quiere probar que el promedio del número de piezas defectuosas en el proceso

controlado es igual a 20, es correcto indicar que: a) Si al nivel de significancia del 0,05 el valor P calculado es igual a 0,005, se debe concluir

que, de acuerdo a los resultados obtenidos en la muestra, no hay evidencia suficiente como para rechazar que el número promedio de piezas defectuosas del proceso es 20.

b) El valor P calculado nunca puede dar mayor de 0,05. c) El valor P debe calcularse a partir del resultado obtenido en la muestra aleatoria. d) Todas las anteriores. e) No sé

Para finalizar

Terminaba el jueves y Erika le dijo a Vanina que el viernes iban a trabajar en cuestiones relacionadas con el error de tipo II. Al otro día se reunieron muy temprano.

Erika le dijo a Vanina que la media del número de piezas defectuosas del proceso controlado no debe exceder de 20, que recuerde que es aceptable la normalidad para el número de piezas defectuosas y que se debe trabajar con un nivel de significancia del 5%.

Para probar las condiciones del proceso, Vanina tomó una muestra aleatoria de 9 piezas y la media dio 20,9. a b c d e (15) Si el verdadero valor del promedio de piezas defectuosas en el proceso es igual a 22,5 y la

desviación estándar es de 6 piezas, la probabilidad de seguir sosteniendo que el promedio es 20 es:

a) Menor de 0,6 b) Está entre 0,60 y 0,70 c) Mayor de 0,7 d) Ninguna de las anteriores . El valor correcto es: ......................... e) No sé.

......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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1

Carrera: Año en que cursó la materia: Calificación Final:

Examen Final de Probabilidad y Estadística Cantidad de ítems correctos Menos de 6 6 7 8 9 10 11 12

Calificación NO APROBADO 4 5 6 7 8 9 10

Consigna general

Lea los apartados siguientes y conteste los ítems propuestos. Al contestar cada uno de ellos, tenga en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta, tampoco se descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que usted proponga. Para aprobar la evaluación se requiere contestar correctamente un mínimo de seis ítems. Apartado A

Santiago Iacobucci, un graduado reciente, ha sido contratado como representante técnico de la empresa SÓLIDA. Fundamentalmente, esta empresa se dedica a proveer hormigones para obras en la ciudad de Mendoza y sus alrededores. Actualmente, trabaja en el proyecto de un hormigón para la construcción de un puente que, según los pliegos de licitación, el hormigón debe tener una resistencia media a compresión a las cuatro semanas (28 días) de 22 MPa y una desviación estándar no mayor de 1,1 MPa.

a b c d e (1) Si Santiago desconoce la distribución de probabilidad de la variable en estudio, pero supone

que es simétrica, podría decir entonces que: a) El 75% de los resultados de ensayo estarían comprendidos entre 19,8 y 24,2 MPa. b) La probabilidad de que la resistencia a compresión esté por encima de 24,2 MPa está por

debajo de 0,125. c) El 99,7% de los resultados de ensayo deben quedar comprendidos entre 18,7 y 25,3 MPa. d) Todas las anteriores. e) No sé.

Apartado B

Un par de días después, Santiago tenía ya la dosificación del hormigón. Preparó algunos pastones de prueba y obtuvo los primeros resultados de la resistencia a compresión a los 28 días de elaborado el hormigón (Cuadro 1):

Cuadro 1: Resultados de ensayo del hormigón a compresión, a la edad de 28 días.

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

xi 19,6 20,6 20,7 20,8 21,0 21,2 21,4 21,9 21,9 22,2 22,2 22,3 22,3 22,4 22,4 22,5 22,7 23,1 24,0 24,3 a b c d e (2) Si se construyera un gráfico de caja para la variable en estudio:

a) No se observarían datos apartados (o valores extremos). b) La media resultaría menor que la mediana. c) Los resultados de ensayos (datos) comprendidos entre el cuartil inferior y la mediana,

estarían más dispersos que los que quedan comprendidos entre la mediana y el cuartil superior.


a b c d e (3) Santiago se propone ahora investigar qué tan aceptable es suponer la normalidad para la

variable en estudio. En principio, sólo hará un análisis exploratorio de los datos, verificando el porcentaje de datos que quedan comprendidos alrededor de la media. Si la variable estuviera distribuida normalmente con media 22 MPa y desviación estándar 1,1 MPa:

a) Alrededor de la ( µ ± σ ) quedaría comprendido aproximadamente el 68,3% de los datos. b) Aproximadamente, el 95,4% de los datos estarían en el intervalo [ 18,7 ; 25,3 ]. c) El percentil 25 podría resultar igual, pero no mayor, que el cuartil superior. d) Todas las anteriores. e) No sé.


2

a b c d e (4) Si Santiago hubiera hecho el análisis exploratorio del porcentaje de datos alrededor de la media para ver si la distribución de los valores del Cuadro 1 es aproximadamente normal, con media 22 MPa y desviación estándar 1,1 MPa:

a) Debería haber concluido que la distribución presenta un fuerte sesgo a la derecha. b) Dado que los porcentajes de datos alrededor de la media se aproximan a los teóricos,

hubiera concluido que es aceptable suponer la normalidad. c) Habría concluido que la distribución está muy sesgada a la izquierda. d) Ninguna de las anteriores. Su conclusión debería ser: ............................................................ e) No sé.

Apartado C

Los pliegos de condiciones de la obra para la que se proveerá el hormigón indican que, a la edad de 28 días, el percentil 5 de la resistencia a compresión del hormigón debe ser por lo menos igual a 21 MPa. a b c d e (5) Si se acepta la normalidad para los resultados de ensayo a compresión del hormigón,

Santiago debe proyectar el hormigón con una resistencia media dada por: a) 21 MPa + 1,645 . σ b) 21 MPa – 1,645 . σ c) 21 MPa + 1,28 . σ d) Ninguna de las anteriores. Su conclusión el valor de la media debe ser: ................................ e) No sé.

Santiago quiere ahora estimar, con un 95% de confianza, el verdadero valor de la resistencia media del hormigón que obtiene con la dosificación que ha proyectado y para ello sólo utilizará los resultados del Cuadro 1.

a b c d e (6) Suponiendo que es correcto suponer la normalidad para los resultados de ensayo a

compresión del hormigón, con un 95% de confianza, el intervalo que incluye a la verdadera resistencia del hormigón, en MPa, que ha proyectado Santiago es:

a) [ 21,25 ; 22,70 ] b) [ 21,44 ; 22,51 ] c) [ 21,53 ; 22,42 ] d) Ninguna de los anteriores. El intervalo correcto es: ................................................................ e) No sé.

Apartado D

Del análisis de los antecedentes de la empresa SÓLIDA, Santiago armó una tabla que relaciona la procedencia de los áridos con las dificultades observadas para lograr la resistencia deseada. Se presentaron dificultades para

lograr la resistencia deseada No se tuvo dificultades en lograr

la resistencia deseada

Elaborados con áridos de Anchoris 60 540

Elaborados con áridos de otra procedencia 120 90

a b c d e (7) En base a la información disponible, Santiago debe concluir que: a) La probabilidad de que se presenten dificultades para lograr la resistencia deseada en el

próximo hormigón elaborado es menor de 0,25. b) Si se sabe que un hormigón elaborado en la empresa ha presentado dificultades para lograr

la resistencia deseada, la probabilidad de que se haya utilizado áridos que no procedan de Anchoris, es igual a 0,15.

c) Si se selecciona al azar uno de los hormigones de los antecedentes de SÓLIDA, la probabilidad de que haya sido elaborado con áridos de Anchoris y no se hayan presentado dificultades para lograr la resistencia deseada, es igual a 0,9.

d) Todas las anteriores e) No sé.

a b c d e (8) De mantenerse las condiciones descritas en el cuadro del apartado D, la probabilidad de que

se presenten dificultades en lograr la resistencia deseada antes del quinto de los siguientes hormigones que se elaboren en la empresa es:

a) 0,0026 b) 0,1047 c) 0,6392 d) Ninguna de las anteriores. El valor correcto es: ...................................................................... e) No sé.


3

Apartado E

Santiago ha hecho algunas correcciones en el método de dosificación del hormigón y cree que la probabilidad de que se presenten dificultades para lograr la resistencia deseada en el próximo hormigón elaborado disminuirá. No obstante, quiere investigar experimentalmente y ver si se cumple lo que piensa.

Trabajará sólo con áridos de Anchoris y utilizará el valor 7,5% como una estimación previa del verdadero porcentaje de hormigones con dificultades para lograr la resistencia deseada.

a b c d e (9) Santiago debería concluir que, para estimar el verdadero porcentaje de hormigones que

presentarán dificultades utilizando el método corregido, con un 98% de confianza, el número de ensayos que se deben realizar es:

a) 77, si se quiere tener un error máximo de la estimación del 7%. b) Si no se usa la estimación previa del porcentaje de hormigones con dificultades y se

supone desconocida, será de 543 para el mismo nivel de confianza. c) En cualquiera de los casos y para un nivel de confianza dado, si se quiere mayor precisión,

la cantidad será mayor. d) Todas las anteriores. e) No sé.

Apartado F

Para terminar, Santiago quiere hacer algunas pruebas. La primera de ellas tiene que ver con resistencia media del hormigón elaborado. Recuerde que actualmente trabaja en el proyecto de un hormigón para la construcción de un puente que debe tener una resistencia media a compresión a las cuatro semanas de 22 MPa, con una desviación estándar no mayor de 1,1 MPa. Se acepta también suponer la normalidad para dicha resistencia.

a b c d e (10) Dado que la desviación estándar de la muestra es igual a 1,13966 MPa, para ver si cumple

las especificaciones del pliego, Santiago debe establecer: a) H0: σ = 1,1 MPa b) H1: σ > 1,1 MPa c) Si el valor P de la prueba resulta igual a 0,0411, al nivel de significancia del 5%, es posible

concluir que no hay evidencia suficiente como para rechazar la hipótesis que sostiene que la verdadera desviación estándar es de 1,1 MPa.


a b c d e (11) Por otro lado, la resistencia media obtenida en la muestra es de 21,975 MPa. Para probar lo

exigido por el pliego de condiciones, Santiago debe establecer: a) H0: µ = 21,975 MPa b) H1: µ < 21,975 MPa c) Si el valor P de la prueba resulta igual a 0,46 Santiago debería decidir rechazar la hipótesis

que sostiene que la verdadera resistencia media es 22 MPa. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

Apartado G

Han pasado seis meses, la obra está en construcción. Es invierno y la temperatura alcanza los valores negativos de la escala Celsius. Santiago está preocupado porque no puede detener la obra; el cronograma de trabajo es muy exigente. Ha evaluado entonces la posibilidad de incorporar un aditivo al hormigón que le permita hormigonar con temperaturas bajo cero. El cuidado que debe tener es que la incorporación del aditivo no influya en la resistencia a compresión, es decir, no caiga por debajo de los 22 MPa.

a b c d e (12) Santiago sabe que si la verdadera resistencia media del hormigón cae por debajo de los 21 MPa, se deberá demoler el hormigón. Realizó 36 ensayos para probar que la resistencia media del hormigón sigue cumpliendo con las especificaciones del pliego (aún con la incorporación del aditivo). Obtuvo una resistencia media de 21,7 MPa, con una desviación estándar de 1,5 MPa y decide trabajar con éste último valor.

a) Al nivel de significancia del 0,05, no debe rechazar la hipótesis que sostiene que la resistencia media del hormigón es de 22 MPa.

b) El valor P de la prueba resulta mayor de 0,10. c) La probabilidad de cometer un error de tipo II, teniendo en cuenta el límite a partir del cual

se debe demoler la estructura construida con aditivo, es menor de 0,01. d) Todas las anteriores. e) No sé.

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