EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (ÁLGEBRA)

Apellidos: __________________________Nombre: _______________

Curso: 2º Grupo: Día: CURSO 2016-17

Opción A

1.- Considera las matrices A = (−1 22 −1

) , B = (1 0 0

−2 1 03 2 1

) y C = ( 1 0 0−1 5 0

)

a) [1,5 puntos] Determina la matriz X para la que AtXB-1 = C, (At la matriz traspuesta de A). b) [1 punto] Calcula el determinante de B-1(CtC)B, (Ct la matriz traspuesta de C).

2.- Considera las siguientes matrices de orden 2:

A = (1 −4

−2 −1) B = (

1 2−1 0

) D = (4 2

−2 −3)

a) [1,5 puntos] Determina dos matrices M y N de orden 2 tales que:

{𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 = 𝐷𝐴𝑀 = 𝑁

b) [1 punto] Sea una matriz G de orden 3, G = [C1, C2, C3] donde C1, C2, C3 representan sus columnas y su determinante vale 2. ¿Cuánto vale el determinante de la matriz H = [C3, C3+C2, 3C1]?

3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

{

λx + y − z = −1λx + λz = λ

x + y − λz = 0

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de .

b) [1 punto] Resuelve el sistema para = 0.

4.- [2,5 puntos] Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Esas latas de tomate se venden a 1, 1,8 y 3,3 euros, respectivamente. Compramos en total 20 latas, que pesan un total de 10 kg y nos cuestan 35,6 euros. Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemos comprado.

Opción B

1.- Considera las matrices A = (−1 22 m

) y B = (1 2 0

−2 m 03 2 m

)

a) [1,5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango. b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.

2.- Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

a) [0,5 puntos] El determinante de A3. b) [0,5 puntos] El determinante de A-1. c) [0,5 puntos] El determinante de 2A. d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son,

respectivamente, 3C1 - C3, 2C3 y C2. 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

{

2x + y + (α − 1)z = α − 1x − αy − 3z = 1

x + y + 2z = 2α − 2

[1 punto] Resuelve el sistema para = 1.

[1,5 puntos] Determina, si existe, el valor de para el que (x, y, z) = (1,-3, ) es la única solución del sistema dado.

4.- [2,5 puntos] En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una moneda.

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SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Opción A

1.- Considera las matrices A = (−𝟏 𝟐𝟐 −𝟏

) , B = (𝟏 𝟎 𝟎

−𝟐 𝟏 𝟎𝟑 𝟐 𝟏

) y C = (𝟏 𝟎 𝟎

−𝟏 𝟓 𝟎)

a) [1,5 puntos] Determina la matriz X para la que AtXB-1 = C, (At la matriz traspuesta de A). b) [1 punto] Calcula el determinante de B-1(CtC)B, (Ct la matriz traspuesta de C).

Solución:

a) Para determinar la matriz pedida debemos resolver la ecuación matricial:

AtXB-1 = C (At) -1.AtXB-1.B = (At) -1.C.B X = (At) -1.C.B

Por lo tanto deben existir las matrices inversa de A = At = (−1 22 −1

) y B. Como son matrices cuadradas basta

que sus determinantes sean no nulos:

|A| = |−1 22 −1

| = 1-4 = -3 0

|B|= |1 0 0

−2 1 03 2 1

| = (1+0+0)-(0+0+0) = 1 0

Hallemos (At) -1= A -1= 1

|A|Adj(At)

Como Adj(At) = (−1 −2−2 −1

) obtenemos:

A -1= 1

|A|Adj(At) =

−1

3(

−1 −2−2 −1

)

X = (At) -1.C.B = 1

3(

1 22 1

) (1 0 0

−1 5 0) (

1 0 0−2 1 03 2 1

) = 1

3(

−1 10 01 5 0

) (1 0 0

−2 1 03 2 1

) = = 1

3(

−21 10 0−9 5 0

)

b) Para calcular el determinante de B-1(CtC)B utilizamos las propiedades de éstos, en especial que:

el determinante de un producto es el producto de los determinantes

el determinante de la matriz inversa es igual al cociente entre la unidad y el determinante de la matriz dada.

|B-1(CtC)B|= 1

|B||C𝑡C||B| = |CtC|= |(

1 −10 50 0

) (1 0 0

−1 5 0)| = |

2 −5 0−5 25 00 0 0

| = 0

ya que todos los términos de la tercera fila son ceros.

2.- Considera las siguientes matrices de orden 2:

A = (𝟏 −𝟒

−𝟐 −𝟏) B = (

𝟏 𝟐−𝟏 𝟎

) D = (𝟒 𝟐

−𝟐 −𝟑)

a) [1,5 puntos] Determina dos matrices M y N de orden 2 tales que:

{𝑨𝑴 + 𝑩𝑵 = 𝑫𝑨𝑴 = 𝑵

b) [1 punto] Sea una matriz G de orden 3, G = [C1, C2, C3] donde C1, C2, C3 representan sus columnas y su determinante vale 2. ¿Cuánto vale el determinante de la matriz H = [C3, C3+C2, 3C1]?

Solución: a) Despejando el sistema de ecuaciones matriciales obtenemos:

{AM + BN = DAM = N

N+BN = D (I+B).N = D N = (I+B)-1.D

La matriz E = I+B = (1 00 1

)+(1 2

−1 0) = (

2 2−1 1

)

Calculamos su inversa, teniendo en cuenta que |E| = |2 2

−1 1| = 2+2 = 4 y Adj(Et) = (

1 −21 2

) obtenemos:

E -1= 1

|E|Adj(Et) =

1

4(

1 −21 2

)

Siendo la matriz N = (I+B)-1.D = E -1.D = 1

4(

1 −21 2

) . (4 2

−2 −3) = (

2 20 −1

)

Para calcular M despejamos en la 2ª ecuación;

3

A.M = N M = A -1.N

Hallamos la inversa de A, teniendo en cuenta que |A| = |1 −4

−2 −1| = -1-8 = -9 y Adj(At) = (

−1 42 1

) obtenemos:

A -1= 1

|A|Adj(At) =

−1

9(

−1 42 1

)

Siendo la matriz M = A -1.N = −1

9(

−1 42 1

) . (2 20 −1

) = 1

9(

2 6−4 −3

)

b) El determinante de la matriz H es: |H|= |C3, C3+C2, 3C1| = |C3, C3, 3C1|+|C3, C2, 3C1| Como los elementos de la 2ª columna se descomponen en sumandos, su determinante es igual a la suma de 2 determinantes que tiene todas las demás columnas iguales y uno de sumandos de la 2ª columna. |H|= |C3, C3+C2, 3C1| = 0+|C3, C2, 3C1| Si dos filas o columnas de la matriz son iguales el determinante vale 0. |H|= -|3C1, C2, C3| Si permutamos dos filas o columnas de una matriz cambia el signo del determinante. |H|= -3|C1, C2, C3|= -3|G| = -3.2 = -6 Si se multiplican los elementos de una columna por un número multiplicamos el determinante por dicho número.

3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

{

λx + y − z = −1λx + λz = λ

x + y − λz = 0

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de .

b) [1 punto] Resuelve el sistema para = 0.

Solución: a) Para discutir el sistema utilizamos el Teorema de Rouché-Frobenius. Siendo la matriz de coeficientes y ampliada:

A = (λ 1 −1λ 0 λ1 1 −λ

) y A* = (λ 1 −1λ 0 λ1 1 −λ

|−1λ0

)

Hallemos el valor del determinante de A:

|A| = |λ 1 −1λ 0 λ1 1 −λ

| = (0+-) – (0+2-2) = 0

Luego el determinante será siempre nulo cualquiera que sea el valor de . Si tomamos el menor de orden 2 formado por las dos primeras filas y columnas:

|λ 1λ 0

| = -

Que será nulo si = 0. Como la tercera columna es linealmente dependiente de las dos primeras, hallamos el determinante formado por las primera, segunda y cuarta columnas de la matriz ampliada:

|C1, C2, C4|= |λ 1 −1λ 0 λ1 1 0

| = (0+-) – (0+2+0) = -2

Si ≠ 0 rango(A) = 2 rango(A*) = 3. El sistema es incompatible y no tiene solución.

Si = 0 la matriz de coeficientes y ampliada:

A = (0 1 −10 0 01 1 0

) y A* = (0 1 −10 0 01 1 0

|−100

)

Si tomamos el menor de orden 2 formado por las dos primeras columnas y la primera y tercera filas:

|A| = |0 11 1

| = -1 0

4

Por lo tanto rango(A) = 2. Como la tercera y cuarta columnas son iguales, rango(A*) = 2. Como rango(A) = rango(A*)=2 < nº de incógnitas, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones

b) En el apartado anterior hemos visto que es un sistema compatible indeterminado. Tomamos las 1ª y 3ª ecuaciones, parametrizando en función de z = t:

{y − z = −1

x + y = 0 {

y = −1 + tx = −y

{y = −1 + t

x = 1 − t

Luego las infinitas soluciones del sistema son de la forma:

(x, y, z) = (1-t, -1+t, t) con t R

4.- [2,5 puntos] Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Esas latas de tomate se venden a 1, 1,8 y 3,3 euros, respectivamente. Compramos en total 20 latas, que pesan un total de 10 kg y nos cuestan 35,6 euros. Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemos comprado.

Solución: Sean:

X el número de latas de tomate del fabricante A

Y el número de latas de tomate del fabricante B

Z el número de latas de tomate del fabricante C Como compramos en total 20 latas, tenemos que x +y +z= 20. Como pesan 10 kg., tenemos que 0,25x +0,5y +z = 10 Como cuestan 35,6 €, tenemos que x+ 1,8y+ 3,3z = 35,6 El sistema de ecuaciones, eliminado decimales, es:

{

x + y + z = 20x + 2y + 4z = 40

10x + 18y + 33z = 356

Resolvemos el problema aplicando el método de Gauss:

(1 1 11 2 4

10 18 33|

2040

356)

Restando a la 2ª ecuación la 1ª y a la 3ª la 1ª multiplicada por 10 obtenemos:

(1 1 10 1 30 8 3

|2020

156)

Restando a la 3ª ecuación la 2ª multiplicada por 8 obtenemos:

(1 1 10 1 30 0 −1

|2020−4

)

Siendo el sistema escalonado asociado:

{x + y + z = 20 y + 3z = 20 −z = −4

La tercera da z = 4 que sustituyendo en la segunda da: y = 20-3z = 20-12 = 8 sustituyendo ambos valores en la primera obtenemos: x = 20-y-z = 20-12 = 8 Por lo tanto se han comprado 8 latas del fabricante A, 8 latas del fabricante B y 4 latas del fabricante Z.

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Opción B

1.- Considera las matrices A = (−𝟏 𝟐𝟐 𝒎

) y B = (𝟏 𝟐 𝟎

−𝟐 𝒎 𝟎𝟑 𝟐 𝒎

)

a) [1,5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango. b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.

Solución: a) Discutamos el rango de A. Su determinante es:

|A| = |−1 22 m

| = -m-4

que será nulo si m = -4

Si m -4 rango(A) = 2

Si m = 4 rango(A) = 1 Discutamos el rango de B. Su determinante es:

| B| = |1 2 0

−2 m 03 2 m

| = (m2+0+0)-(0+0-4m) = m2+4m = m(m+4)

Si m 0 y m -4, rango(B) = 3.

Si m = 0

B = (1 2 0

−2 0 03 2 0

) y como el menor formado por las dos primeras filas y columnas |1 2

−2 0|= 4 0,

rango(B) = 2.

Si m = 4

B = (1 2 0

−2 4 03 2 4

) y como el menor formado por las dos primeras filas y columnas |1 2

−2 4|= 8 0,

rango(B) = 2. Por lo tanto el valor de m para los que A y B tienen el mismo rango es m = 0.

b) Los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante son las soluciones de la ecuación obtenida al igualar los valores de ambos obtenidos en el apartado anterior:

-m-4 = m(m+4) m(m+4)+ (m+4) = 0 (m+4).(m+1) = 0 cuyas soluciones son: m= -1 y m = -4.

2.- Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

a) [0,5 puntos] El determinante de A3. b) [0,5 puntos] El determinante de A-1. c) [0,5 puntos] El determinante de 2A. d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son,

respectivamente, 3C1 - C3, 2C3 y C2.

Solución: a) Aplicamos la propiedad de que el determinante de un producto es igual al producto de los determinantes |A3| = |A|.|A|.|A| = 5-5.5 = 125

b) Aplicamos el hecho de que el determinante de la matriz unidad es 1 y de nuevo que el determinante de un producto es igual al producto de los determinantes

A.A-1 = I |A. A-1| = |I| = 1 |A|.|A-1| = 5.|A-1| |A-1| = 5

1

c) Al multiplicar una matriz por un número, cada elemento de dicha matriz aparece multiplicado por dicho número. Utilizando la propiedad de que al multiplicar una columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho número, puede salir éste fuera del determinante como factor común. Si una columna del determinante está multiplicada por un número dicho número puede salir como factor común fuera del

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determinante multiplicando a éste. Como hay tres columnas, sale el 2 tres veces multiplicándolo. |2A| = 23|A| = 8.5 = 40

d) En primer lugar intercambiamos dos columnas entre sí, por lo cual cambia el signo del determinante. |3C1 - C3, 2C3, C2 | = -|3C1 - C3, C2, 2C3| Sacamos como factor común multiplicando al determinante al número que está multiplicando una columna -|3C1 - C3, C2, 2C3| = -2|3C1 - C3, C2, C3| Si una columna de un determinante es suma de dos sumandos podemos expresar dicho determinante como la suma de dos determinantes colocando en dicha columna los sumandos respectivos. -2|3C1 - C3, C2, C3| = -2|3C1, C2, C3| +2|C3, C2, C3| Si un determinante tiene dos columnas iguales el determinante es nulo cero y sacando factor común al número que multiplica una columna, obtenemos finalmente: -2|3C1, C2, C3| +2|C3, C2, C3| = -6|C1, C2, C3| +0 = -6.5 = -30

3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

{

𝟐𝐱 + 𝐲 + (𝛂 − 𝟏)𝐳 = 𝛂 − 𝟏𝐱 − 𝛂𝐲 − 𝟑𝐳 = 1

𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟐𝛂 − 2

[1 punto] Resuelve el sistema para = 1.

[1,5 puntos] Determina, si existe, el valor de para el que (x, y, z) = (1,-3, ) es la única solución del sistema dado. Solución:

a) Para = 1 el sistema es:

{

2x + y = 0x − y − 3z = 1 x + y + 2z = 0

Sumando a la 2ª ecuación multiplicada por 2 la 3ª multiplicada por 3 obtenemos 5x+y = 2 que junto con la primera da el nuevo sistema:

{2x + y = 05x + y = 2

Restando de la segunda la primera da: 3x = 2 x = 2

3

Sustituyendo en la primera queda: y = −4

3

Sustituyendo en la 3ª ecuación del primer sistema: 2z = 4−2

3 z =

1

3

La solución del sistema es (x, y, z) = (2

3,

−4

3,

1

3 ).

b) Sustituimos la solución (x, y, z) = (1,-3, ) en el sistema dado y comprobamos si es una solución común a las tres ecuaciones:

2.1 +(-3)+ (-1) = -1 -1+2- = -1 2-2 = 0 = 0 y = 2

1-(-3)- 3 = 1 1+3-3 = 1 0 = 0

1-3+2 = 2-2 -2+2 = 2-2 0 = 0

La segunda y tercera ecuaciones son siempre ciertas cualesquiera que sean los valores de ., por lo tanto

(x, y, z) = (1,-3, ) es la única solución del sistema dado para = 0 y = 2.

4.- [2,5 puntos] En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una moneda.

Solución: Sean: x = el peso de una sortija

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y = el peso de una moneda z = el peso de un pendiente De las condiciones del problema obtenemos dos ecuaciones: x + y + z = 30 4x + 3y + 2z = 90 Y aparte una tercera que, como desconocemos el objeto, puede ser: x = 18 ó y = 18 ó z = 18 por lo tanto tenemos tres posibles sistemas. La forma más sencilla de resolverla es probar con las soluciones de los tres y elegir como válido el que sea compatible, determinado y con soluciones positivas:

Si el objeto irreconocible es una moneda, tenemos el sistema:

90 2z 3y 4x

30 z y x

18 y

Sustituyendo el valor de y en las otras dos ecuaciones:

90 2z 544x

30 z18x

36 24x

12 z x

z

Restando a la 2ª ecuación la primera multiplicada por 3 tenemos:

2x = 12 x = 6 Que sustituyendo nuevamente en la primera, nos da: z = 12-x = 12-6 = 6 que es una solución válida puesto que los pesos de los tres objetos son positivos: - el peso de una sortija es 6 g - el peso de una moneda es 18 g - el peso de un pendiente es 6 g

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EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (2)

Apellidos: __________________________Nombre: _______________

Curso: 2º Grupo: Día: CURSO 2016-17

OPCIÓN A

1.- [2,5 puntos] Un Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n, son semejantes si existe una matriz

invertible, P, tal que B = P-1.A.P, donde P-1 denota la matriz inversa de P. Determina si son semejantes A =

(1 20 1

) y B = (1 00 −1

)

2.- [2,5 puntos] Halla el rango de la siguiente matriz según los valores de α.

A = (α 1 1 22 α α2 12 1 1 2

)

3.- Sabemos que el sistema de ecuaciones

{2x − y + 3z = 1x + 2y − z = 2

Tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación ax + y + 7z = 7 a) [1,25 puntos] Determina el valor de a. b) [1,25 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad.

4.- [2,5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados

diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30 % de las cajas.

OPCIÓN B

1.- a) [1,25 puntos] Demuestra que la matriz A = (2 11 2

) verifica una ecuación del tipo A2+αA+βI=0 determinando

α y β (I denota la matriz identidad). b) [1,25 puntos] Utiliza el apartado anterior para hallar la inversa de A.

2.- [2,5 puntos] Obtén el valor del siguiente determinante sin utilizar la regla de Sarrus y explicando razonadamente las propiedades que aplicas en cada paso.

|abc −ab a2

−b2c 2b2 −ab−b2c2 −b2c 3abc

|

3.- Considera la matriz A = (1 1 1m m2 m2

m m m2)

a) [1 punto] Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.

b) [1,5 puntos] Estudia si el sistema 𝐴. (xyz

) = (111

) tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos

en el apartado anterior.

4.- Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) [1,25 puntos] ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50? b) [1,25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo.

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SOLUCIÓN DEL EXAMEN

OPCIÓN A

1.- [2,5 puntos] Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n, son semejantes si existe una matriz invertible, P, tal que B = P-1.A.P, donde P-1

denota la matriz inversa de P. Determina si son semejantes A =

(𝟏 𝟐𝟎 𝟏

) y B = (𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

)

Solución: Si A y B son semejantes, se cumple que B = P-1.A.P, multiplicando a la izquierda por P:

P.B = P.P-1.A.P P.B = A.P

Como P es una matriz desconocida de orden 2 será de la forma P = (a bc d

) que sustituyendo en la ecuación

anterior da:

(a bc d

) (1 20 1

) =(1 00 −1

) (a bc d

) (a −bc −d

) =(a + 2c b + 2d

c d)

Igualando elementos:

{

a = a + 2c−b = b + 2c

c = c−d = d

b = c = d = 0 y a cualesquiera.

La matriz es P = (a 00 0

) que no es invertible ya que su determinante es siempre nulo. Por lo tanto las matrices

A y B no son semejantes.

2.- [2,5 puntos] Halla el rango de la siguiente matriz según los valores de α.

A = (𝜶 𝟏 𝟏 𝟐𝟐 𝜶 𝜶𝟐 𝟏𝟐 𝟏 𝟏 𝟐

)

Solución: Calculamos el determinante formado por las tres primeras columnas de A y hallamos los valores que lo anulan:

|C1, C2, C3| = |α 1 12 α α2

2 1 1| = (2+22+2)-(2+3+2) = -3+32-2

Sus raíces las calculamos igualando a cero y resolviendo la ecuación obtenida:

-3+32-2 = 0 (2-3+2) = 0 {α = 0

α2 − 3α + 2 = 0

z = 3±√9−8

2 =

3±1

2 = {

21

Luego las soluciones de la ecuación son = 0, =1 y =2.

Si = 0

A = (0 1 1 22 0 0 12 1 1 2

)

Como la 2ª y 3ª columnas son iguales y el determinante

|C1, C2, C4| = |0 1 22 0 12 1 2

| = (0+2+4)-(0+2+4) = 2 0

rg(A) = 3

Si = 1

A = (1 1 1 22 1 1 12 1 1 2

)

Como la 2ª y 3ª columnas son iguales y el determinante

|C1, C2, C4| = |1 1 22 1 12 1 2

| = (2+2+4)-(4+1+4) = -1 0

rg(A) = 3

10

Si = 2

A = (2 1 1 22 2 4 12 1 1 2

)

Como la 1ª y 3º filas son iguales rg(A) = 2

3.- Sabemos que el sistema de ecuaciones

{𝟐𝐱 − 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟏𝐱 + 𝟐𝐲 − 𝐳 = 𝟐

Tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación ax + y + 7z = 7 a) [1,25 puntos] Determina el valor de a. b) [1,25 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad.

Solución: a) Nos piden que calculemos el valor de a sabiendo que el sistema:

{

2x − y + 3z = 1x + 2y − z = 2ax + y + z = 7

es compatible e indeterminado con rango 2, (dos ecuaciones y dos incógnitas principales). Por tanto el

determinante de la matriz de los coeficientes del sistema A = (2 −1 −31 2 −1a 1 7

) tiene que ser cero.

|A|= |2 −1 31 2 −1a 1 7

| = 2(14 + 1) - (-1)(7 + a) + 3(1 -2a) = 40 - 5a = 0, de donde a = 8

b) El que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad, se traduce en x + y + z = 1, por tanto nos piden que resolvamos el sistema

{

2x − y + 3z = 1x + 2y − z = 2x + y + z = 1

Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer

x =

|1 −1 32 2 −11 1 1

|

|2 −1 −31 2 −11 1 1

|

= 6

5, y =

|2 1 31 2 −11 1 1

|

|2 −1 −31 2 −11 1 1

|

= 1

5, z =

|2 −1 11 2 21 1 1

|

|2 −1 −31 2 −11 1 1

|

= −2

5,

Se obtiene la solución (x, y, z) = ( 6

5,

1

5,

−2

5)

4.- [2,5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30 % de las cajas.

Solución: Sean: x el número de cajas de 30 euros y el número de cajas de 20 euros z el número de cajas de 40 euros Del enunciado del problema obtenemos: x + y + z = 1500 [1]

30x + 20y + 40z = 40500 3x + 2y + 4z = 4050 [2] x = 0,3.1500 = 450.

11

Luego sustituyendo en [1] nos queda: y + z = 1500 – 450 = 1050 Sustituyendo en [2] nos queda: 2y + 4z = 4050- 3(450) = 2700. Queda el sistema: y + z = 1050 2y + 4z = 2700 Restando a la segunda ecuación la primera multiplicada por (-2) queda:

2z = 2700 -2.1050 = 600 z = 300 Por lo tanto: y = 1050-300 = 750 Luego el dinero pagado en cada mercado es:

En el primero 30.x = 30(450) = 13500 euros

En el segundo 20.y = 20(750) = 15000 euros

En el tercero 40.x = 40(750) = 12000 euros

OPCIÓN B

1.- a) [1,25 puntos] Demuestra que la matriz A = (𝟐 𝟏𝟏 𝟐

) verifica una ecuación del tipo A2+αA+βI=0

determinando α y β (I denota la matriz identidad). b) [1,25 puntos] Utiliza el apartado anterior para hallar la inversa de A.

Solución: a) Sustituimos valores en la ecuación matricial:

A2+αA+βI = 0 (2 11 2

). (2 11 2

)+ α(2 11 2

)+ β(1 00 1

) = (0 00 0

)

Desarrollamos la expresión efectuando las operaciones indicadas:

(5 44 5

)+ α(2 11 2

)+ β(1 00 1

) = (0 00 0

) (5 + 2α + β 4 + α

4 + α 5 + 2α + β) = (

0 00 0

)

Igualando los elementos correspondientes:

{5 + 2α + β = 0

4 + α = 0 {

5 − 8 + β = 0

α = −4 {

β = 3

α = −4

Por lo tanto se cumple la ecuación matricial: A2-4A+3I = 0 b) Para hallar la inversa de A utilizando el apartado anterior efectuamos factor común A en la ecuación matricial y despejamos la matriz identidad:

A2-4A+3I = 0 A(A-4I)+3I = 0 A(A-4I) = -3I Multiplicamos por la inversa de A por la izquierda:

A-1.A(A-4I) = -3A-1.I A-4I = -3A-1 Que despejando da lugar a:

A-1 = 1

3(4I − A) =

1

3[4 (

1 00 1

) − (2 11 2

)] = (

2

3−

1

3

−1

3

2

3

)

12

2.- [2,5 puntos] Obtén el valor del siguiente determinante sin utilizar la regla de Sarrus y explicando razonadamente las propiedades que aplicas en cada paso.

|𝐚𝐛𝐜 −𝐚𝐛 𝐚𝟐

−𝐛𝟐𝐜 𝟐𝐛𝟐 −𝐚𝐛−𝐛𝟐𝐜𝟐 −𝐛𝟐𝐜 𝟑𝐚𝐛𝐜

|

Solución: Sacamos factor común bc en la primera columna, factor b en la segunda columna y factor a en la tercera columna obteniendo:

|abc −ab a2

−b2c 2b2 −ab−b2c2 −b2c 3abc

| = bc. b. a |a −a a

−b 2b −b−bc −bc 3bc

|

Sacamos factor común a en la primera fila, factor b en la segunda fila y factor bc en la tercera con lo que se tiene:

ab2c |a −a a

−b 2b −b−bc −bc 3bc

| = ab2c. a. b. bc |1 −1 1

−1 2 −1−1 −1 3

| = a2b4c2 |1 −1 1

−1 2 −1−1 −1 3

|

Desarrollamos por los elementos de la primera columna:

a2b4c2 |1 −1 10 1 00 −2 4

| = a2b4c2 |1 0

−2 4| = 4a2b4c2

3.- Considera la matriz A = (𝟏 𝟏 𝟏𝐦 𝐦𝟐 𝐦𝟐

𝐦 𝐦 𝐦𝟐)

a) [1 punto] Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.

b) [1,5 puntos] Estudia si el sistema 𝑨. (𝒙𝒚𝒛

) = (𝟏𝟏𝟏

) tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos

en el apartado anterior.

Solución:

a) Si |A| 0, el rango de la matriz A es 3. Vamos a calcularlo:

|A|= |1 1 1m m2 m2

m m m2|

Desarrollamos el determinante sacando factor común m en la 2ª y 3ª filas:

|A|= m. m. |1 1 11 m m1 1 m

|

Restamos a la 2ª y 3ª filas la 1ª fila y desarrollamos por la primera columna:

|A|= m. m. |1 1 10 m − 1 m − 10 0 m − 1

| = m2.(m-1)2

Si |A| = 0 m2(m-1)2 = 0, con soluciones dobles m = 0 y m = 1. El rango de A es menor de 3 si m = 0 y m = 1. b) La matriz de coeficientes y la ampliada son:

A = (1 1 1m m2 m2

m m m2) A* = (

1 1 1m m2 m2

m m m2|111

)

Si m = 0 la matriz de los coeficientes A = (1 1 10 0 00 0 0

) y la ampliada es (1 1 10 0 00 0 0

|111

) siendo rg(A) = 1 y

rg(A*) = 2 ya que |1 10 1

| = -1 0. El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que el sistema es

incompatible y no tiene solución.

13

Si m = 1 la matriz de los coeficientes A = (1 1 11 1 11 1 1

) y la ampliada es (1 1 11 1 11 1 1

|111

) siendo rg(A) =

rg(A*) = 1. El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones. Como el rango es uno hay una única ecuación: x + y + z = 1.

Parametrizamos tomando y = λ, z = μ, y obtenemos como soluciones:

(1-λ-μ, λ, μ) con λ, μR.

4.- Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) [1,25 puntos] ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50? b) [1,25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo.

Solución: Sean: x = número de billetes de 10 euros y = número de billetes de 20 euros z = número de billetes de 50 euros Las condiciones del problema son: x + y + z = 130 (en total hay 130 billetes) 10x + 20y + 50z = 3000 (el importe de dichos billetes es de 3000) a) Si suponemos que hay triple de billetes de 10 que de 50: x = 3z. Quedaría el sistema:

{x + y + z = 130

x + 2y + 5z = 300x = 3z

Sustituyendo x = 3z en las dos primeras ecuaciones obtenemos:

{4z + y = 130

8z + 2y = 300

Restando de la segunda ecuación la primera multiplicada por 2 obtenemos 0 = 40, lo cual es absurdo y el sistema no tiene solución. No es posible que haya el triple número de billetes de 10 que de 50. b) Si suponemos que hay doble de billetes de 10 que de 50:x = 2z. Quedaría el sistema:

{x + y + z = 130

x + 2y + 5z = 300x = 2z

Sustituyendo x = 2z en las dos primeras ecuaciones obtenemos:

{3z + y = 130

7z + 2y = 300

Restando de la segunda ecuación la primera multiplicada por 2 obtenemos z = 40.

Sustituyendo en la primera: 120+y = 130 y = 10 Sustituyendo en x = 2z = 120 Por lo tanto:

Hay 80 billetes de 10 euros

Hay 10 billetes de 20 euros

Hay 40 billetes de 50 euros