EXAMEN A

Problema 1: Calcula la integral impropia

Sugerencia. Utiliza el siguiente procedimiento:

a) Calcula primero

Cambia a coordenadas polares y observa que la región de integración es todo el plano

b) Obtén el valor de sacando raíz cuadrada al resultado anterior

2 puntos

SOLUCIÓN

Por lo que

EXAMEN A

Problema 2:

a) Si x = rcos , = (t), utilice la regla de la cadena para calcular dt

dxv

b) si

y

xz sin , x = ln(u) , y = v , encuentre

u

z

en el punto P(u,v) = (1,1)

2 puntos

SOLUCIÓN

(a)

(b)

Por otro lado, cuando por lo que

EXAMEN A

Problema 3: Construya el tensor de deformación D

para el fluido que se muestra en la figura:

fluido que se aproxima al eje x desde la dirección y, gira en la esquina y continúa en la dirección x.

Es un fluido bidimensional, lo que significa que:

Ayuda: Usted sabe que el tensor de deformación está definido como

.

También sabe que la matriz del gradiente de velocidades es:

Figura: Lineas de movimiento del fluido

2 puntos

RESPUESTA

Para el perfil de velocidades dado, el tensor de deformación es

EXAMEN A

Problema 4: Determinar los extremos relativos: máximos, minimos y puntos de silla de la siguiente

función:

524),( 242 yxyxyxf

2 puntos

Respuesta:

4120

02),(

1,1,00)1(4044

2042

2

23

yff

ffyxH

yyyyyyyf

xxf

yyyx

xyxx

y

x

)1,2(Minimo0,0)1,2(

)Minimo(2,10,0)1,2(

)0,2(Silla de Punto0)0,2(

xx

xx

fH

fH

H

EXAMEN A

Problema 5: Calcular los valores propios y los vectores propios de la siguiente matriz:

233

040

211

2 puntos

Respuesta:

0)1)(4)(4(0]43)[4(0]6)2)(1)[(4(

0)4(6)2)(4)(1(

0)]3)(4([2]00[1)]2)(4)[(1(

0

233

040

211

2

1,4,4 321

3

0

2

0

023

000

010

203

203

010

203

233

080

213

4

2

31

1

x

xx

1

2

0

02

0

210

000

001

211

000

004

211

000

215

633

000

215

4

32

1

2

xx

x

1

0

1

0

0

000

010

101

303

010

202

333

030

212

1

2

31

3

x

xx

EXAMEN A

Problema 6: Calcular para la función f(x,y,z) = exp(xy-z):

a) El gradiente de f b) El rotacional del gradiente de f

2 puntos

Respuestas:

a)

kji

kjikji

)()()(

kji

xyef

exeyez

f

y

f

x

ff

ezxyz

ez

fxezxy

ye

y

fyezxy

xe

x

f

z

f

y

f

x

ff

zxy

zxyzxyzxy

zxyzxyzxyzxyzxyzxy

b)

k0j0i0

][k][j][i

///

kji

)(

zxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxy

zxyzxyzxy

xyeexyeeyeyexexe

exeye

zyxf

EXAMEN B

Problema 1: Calcula la integral impropia

Sugerencia. Utiliza el siguiente procedimiento:

a) Calcula primero

Cambia a coordenadas polares y observa que la región de integración es el primer cuadrante del

plano

b) Obtén el valor de sacando raíz cuadrada al resultado anterior

2 puntos

SOLUCIÓN

Por lo que

EXAMEN B

Problema 2:

a) Si )(,2/1 xyyyz , usando la regla de la cadena calcule dx

dz

b) Sea )](exp[ yxxz , donde )sin(),cos( ttyttx , encontrar dt

dzcuando t = .

2 puntos

SOLUCIÓN

(a)

(b)

Cuando Por lo que

EXAMEN B

Problema 3: Construya el tensor de deformación D

para el fluido que se muestra en la figura:

fluido que se aproxima al eje x desde la dirección y, gira en la esquina y continúa en la dirección x.

Es un fluido bidimensional, lo que significa que:

Ayuda: Usted sabe que el tensor de deformación está definido como

.

También sabe que la matriz del gradiente de velocidades es:

Figura: Lineas de movimiento del fluido

2 puntos

RESPUESTA

Para el perfil de velocidades dado, el tensor de deformación es

EXAMEN B

Problema 4: Determinar los extremos relativos: máximos, minimos y puntos de silla de la siguiente

función:

542),( 224 yxyxyxf

2 puntos

Respuesta:

20

0412),(

2042

1,1,00)1(4044

2

23

x

ff

ffyxH

yyf

xxxxxxxf

yyyx

xyxx

y

x

)2,1(Máximo0,0)2,1(

)Máximo(1,20,0)2,1(

)2,0(Silla de Punto0)2,0(

xx

xx

fH

fH

H

EXAMEN B

Problema 5: Calcular los valores propios y los vectores propios de la siguiente matriz:

684

020

240

2 puntos

Respuesta:

0)4)(2)(2(0]86)[2(0]8)6)()[(2(

0)2(8)6)(2)((

0)]4)(2([2]00[4)]6)(2)[((

0

684

020

24

2

4,2,2 321

1

0

1

0

0

000

010

101

404

010

404

484

040

242

2

2

31

1

x

xx

0

1

2

0

02

100

000

021

1200

000

121

884

000

484

884

000

242

2

3

21

2

x

xx

2

0

1

0

02

000

010

102

204

010

204

284

060

244

4

2

31

3

x

xx

EXAMEN B

Problema 6: Calcular para la función f(x,y,z) = cos(xy-z):

a) El gradiente de f b) El rotacional del gradiente de f

2 puntos

Respuestas:

a)

kji)sin(

k)sin(j)sin(i)sin(kji

)sin()cos(

)sin()cos()sin()cos(

kji

xyzxyf

zxyzxyxzxyyz

f

y

f

x

ff

zxyzxyzz

f

zxyxzxyyy

fzxyyzxy

xx

f

z

f

y

f

x

ff

b)

k0j0i0

)]cos()sin()cos()sin([k

)]cos()cos([j

)]cos()cos([i

)sin()sin()sin(

///

kji

)(

zxyxyzxyzxyxyzxy

zxyyzxyy

zxyxzxyx

zxyzxyxzxyy

zyxf