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1
B
0
Ce
e
er
EXAMEN PARCIAL DEL CURSO DE DINMICA
Fecha: 11 de Marzo del 2008
1.- En un instante dado, una gra se mueve a lo largo de una va a velocidad y aceleracin que se muestra en la figura, mientras pivotea simultneamente alrededor de su eje vertical con velocidad y aceleracin angular, como se ilustra. Una pluma OC, sujeta mediante un pivote horizontal al poste vertical de la gra, soporta un carro C que se mueve hacia fuera a lo largo de la pluma con velocidad y aceleracin que se muestra. En el instante dado, la pluma se eleva alrededor del pivote O, como se ilustra, con velocidad angular y aceleracin angular. Usando coordenadas esfricas en el eje vertical OB de la gra, encuentre la velocidad y aceleracin del carro C.
Solucin
1).- Orientacin de los vectores unitarios que definen las coordenadas esfricas en OB.
2).- Calculo del movimiento de C respecto a OB
a) Identificacin de los parmetros que definen el movimiento.
5m r = 90= srad /1=
smr /1=
srad /5.0=
-
2
2/2 smr =
srad /1=
2/2 srad=
b) Clculo del movimiento. ____
5OC rr e=
5*0.5 5*( 1) 90C r rOB
V r e r e r sen e e e sen e = + + = + +
2.5 5 ( / )C rOB
V e e e m s= +
2 2
2 2C rOB
a r r r Sen e r r e r Sen r Sen e
= + + + +
( ) ( ) ( )22 5*0.5 5*1*1 2*1*0.5 5*1 2*1*( 1)*1 5*( 2)*1C rOB
a e e e = + + + +
24.25 6 12 ( / )C rOB
a e e e m s = +
3).- Calculo del movimiento del marco mvil OB y del punto base O.
( )___ 10O mV e s= ( )___ 24O ma e s=
4).- Calculo de la velocidad y aceleracin de C respecto al marco inercial tierra.
( )___ ___ ____ ___ 2.5 5 10C O C OB OC rOB
V V V r e e e = + + = + +
__
2.5 15 ( / )C rV e e e m s = +
__
15.24 /CV m s=
( )__ __ 4.25 6 12 4C o C rOB
a a a e e e = + = + +
__
24.25 6 16 ( / )C ra e e e m s = +
OO OBOB ==__________
-
3
r
A
__
217.609 /Ca m s=
2.- En el instante que se muestra, la barra OB gira en el sentido de la manecillas del reloj con una velocidad angular OB = 2 rad/s y aceleracin angular OB = 8 rad/s2. El collarn C est unido por un perno a una barra AC y se desliza sobre OB. Usando coordenadas Polares, determine la velocidad angular y aceleracin angular de la barra AC en el instante dado.
Solucin
1).- Orientacin de los vectores unitarios e identificacin de los parmetros que definen el movimiento en coordenadas polares, para los dos puntos de referencia O y A.
cosr
e sen e e =
cose e sen e = +
10 pies = 2 /rad s =
? =
28 /rad s =
? =
36 64 10r pies= + =
0=
r AC =
0=
r AC =
2) Clculo de la velocidad y aceleracin de C, tomando como punto de referencia a O. ___
10*2 20 (pies/s)CV e e e e e e = + = + = +
.(1)
-
4
2__
2 10*4 2 *2 10*8Ca e e e e
= + + = + +
( )__ 240 4 80 /Ca e e pies s = + +
(2)
3) Calculo de la velocidad y aceleracin de C, tomando como punto de referencia a A. ___ 4 310* 10
5 5C rV r e r e e e e = + = = +
.(3)
(1) = (3) e igualando componentes.
208 20 6 3.33 / 8* 26.66676
piey rad ss
= = = = =
Luego: 3.33AC = = rad/s
__
2 2 10*3.33 10C r ra r r e r r e e e = + + = +
__ 3 4 4 3111.11 105 5 5 5C
a e e e e = + +
8 66.667 6 88.887e e = +
.(4)
(2) = (4) e igualando la componente en e (transversal)
24*26.667 80 6 88.887 16.297 /rad s + = + =
Luego: 297.16=AC (rad/s2)
3.- La figura representa un dispositivo para prensar. En el instante considerado en la figura, la manivela OA de longitud es horizontal y son conocidas su velocidad y aceleracin angulares. El ngulo en B es recto. Usando el mtodo de los centros instantneos de velocidad nula, determinar las velocidades angulares de las barras.
Solucin
1).- Clculo de la velocidad de las barras:
a).- Determinacin de los centros instantneos de velocidad nula y clculos elementales.
-
5
11
sen C AC A sen
= =
11
cottg C BC B
= =
b).- Clculo de las velocidades
1
AAB
Vsen
C Asen
= = =
(Unidades de velocidad angular)
1cos
cosB ABV C B sen lsen
= = = (Unidades de velocidad)
cos cos
2 2B
CBVCB
= = =
(Unidades de velocidad angular)
cos
2DB CB
= = (Unidades de velocidad angular)
4.- En el sistema de engranajes de la figura, OB gira con B y B conocidas en torno del punto O fijo. El pin 1, de centro O, tiene 1 y 1 tambin conocidas. Se pide los Valores de 2 y 2. Si OC = r y BC = 2r.
Solucin
1).- Clculo de la velocidad angular del engranaje :
a).- Clculo de la velocidad de B, como parte de la barra OB
2 3B B BV k x r j r i = = (1)
b).- Clculo de la velocidad de B, como parte del disco 2 1 2 2 15 ( 2 ) (2 5 )B A ABV V k x r k x r j k x r j r r i = + = + = ..(2)
-
6
(1) = (2)
12 1 2
3 53 2 52
BBr r r
+= = (Unidades de velocidad angular)
2).- Clculo de la aceleracin angular del engranaje :
a).- Clculo de la aceleracin de B, como parte de la barra OB
2 23 (3 ) 3 3B B B B Ba k x r j r j r i r j = =
b).- Clculo de la aceleracin de A2 (punto perteneciente al engranaje coincidente con el punto A1 del engranaje , ambos en A)
2 22 2 2 2 2 2 2(2 ) (2 )A B BA BA Ba a k x r r a k x r j r j = + = +
2 22 2 2(3 2 ) (3 2 )A B Ba r r i r r j = + (3)
c).- Clculo de la aceleracin de A1
2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1(5 ) (5 ) 5 5A OA OAa k x r r k x r j r j r i r j = = = (4)
Como las aceleraciones tangenciales son iguales (en la direccin horizontal), en (3) y (4):
12 1 2
3 53 2 52
BB
rr r r
+ = = (Unidades de aceleracin angular)
5.- Los tres slidos de la figura son engranajes cuyo dentado no se muestra. El pin cnico gira con constante conocida, y el pin tiene constante tambin conocida. Determinar la velocidad y aceleracin angulares del pin cnico .
-
7
Solucin
1).- Clculo de la velocidad angular del pin :
a).- Clculo de la velocidad de A, como parte de en movimiento alrededor del punto fijo D)
1 ( ) ( cot 30 )A DA X Y ZV x r i j k x Ri R j = = + + +
3 ( 3 )A Z Z X YV R i R j R R k = + + .(1)
b).- Clculo de la velocidad de A como parte de en movimiento alrededor de un eje fijo
AV j x R i R k = = (2)
(1) = (2):
0Z =
3X YR R R = (3)
c).- Clculo de la velocidad de B, como parte de
1 ( ) (2 ) 2B DB X Y YV x r i j x R i R j = = + = .(4)
d).- Clculo de la velocidad de B, como parte de
(2 ) 2B DBV k x r k x R i R j= = = ..(5)
(4) = (5):
-
8
( )2 23Y Y X
R R y + = = =
Luego:
1( )
3i j +=
(Unidades de velocidad angular)
2).- Clculo de la aceleracin angular:
a).- Por el teorema de adicin
1 1 DCDC
= + ..(I)
Si:
1C DC C DC OCV x r y V x r = =
( ) ( ) ( )2 2 cos 30 2 cos30 30 2 23CRV i j x R i R sen j k + = + =
..(6)
Tambin:
2 32 cos 302C DC DC
V j x R i R j
= = (7)
(7) = (6):
3 ( 2 )(2 )2 2 3DC DC
R RR j
= =
Luego en (I):
1( ) ( 2 )
33 DCi j j + = +
1( ) ( )
33DCi j + +=
b).- Derivando (I) respecto al tiempo:
-
9
0 0
1 1 1( 2 ) ( ) ( )
3 33DC DCDC DCx j x i j
+ + = + + =
1( 2 )( )
3 3k +=
(Unidades de aceleracin angular)