evolución histórica del conepto de numero

8/12/2019 evolucin histrica del conepto de numero

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TEMA 10.- SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NMERO.EVOLUCIN HISTRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA

1.- Introduccin

2.- Sucesivas ampliaciones del concepto de nmero y problemas que resuelve cadauna.

2.1- Nmeros naturales.2.2.- Nmeros enteros.2.3.- Nmeros racionales.2.4.- Nmeros reales.

2.5.- Nmeros complejos.2.6.- Nmeros algebraicos y transcendentes.2.7.- Nmeros cuaterniones.

3.- Evolucin histrica.3.1.-Babilonia.

3.2.- Los egipcios.3.3.- Los griegos.

3.4.- Los romanos.3.5.- Los chinos.

3.6.- Los hindes.3.7.- Los rabes.3.8.- Los mayas.


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Tema 10.- Sucesivas ampliaciones del concepto de nmero. Pg. 1Evolucin histrica y problemas que resuelve cada una.

TEMA 10.- SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NMERO.EVOLUCIN HISTRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA

1.- Introduccin

El concepto de nmero es tan antiguo como la matemtica misma. Inclusopodra decirse que es ms antiguo que sta, ya que desde sus orgenes el hombreha sabido distinguir los conceptos de uno, dos y varios. Es de resaltar que lagramtica griega inclua tres nmeros: el singular, el dual y el plural. Es conocidopor cualquier psiclogo que una persona es capaz de distinguir grupos de hasta treselementos sin necesidad de contar.

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcasen bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de unnmero al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistemade representacin ms prctico.

La primera sistematizacin de un sistema numrico es seguramente anterior

a la existencia de testimonio escrito, y an las tribus ms atrasadas, disponen deun sistema ms o menos rudimentario de contar.

Paralelamente al concepto de nmero natural se desarrolla en la humanidad

el concepto de magnitud y su relacin con los nmeros.


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2.- Sucesivas ampliaciones del concepto de nmero y problemas que resuelvecada una.

2.1- Nmeros naturales.

2.1.1 Orgenes y motivacin

Existen desde un principio concepciones muy diversas del concepto denmero. En sus primeros orgenes los nmeros eran los que servan para contar, es

decir, los nmeros naturales, aunque no aceptaban el cero como nmero. Es decir,que la motivacin de los nmeros naturales es la necesidad de contar y sunaturaleza est est estrechamente vinculada al concepto de nmero.

2.1.2Evolucin histrica

El ser humano ha empleado a lo largo de la historia diversos sistemas denumeracin para contar. Las muescas encontradas en algunos palos y rocas

demuestran que ya en la Prehistoriacontaban agrupando, en este caso, en gruposde tres o cinco, lo que en el lenguaje actual significa que empleaban el 3 y el 5 como

bases de sus sistemas de numeracin.

BABILONIA.

La primera escritura conocida, que apareci poco antes de finales del IVmilenio a.C. en Mesopotamia, fue la escritura cuneiforme, consistente en grabar,

mediante un estilete de forma triangular smbolos en una tablilla de arcilla. Esastablillas se utilizaban para realizar anotaciones de cantidades asociadas a diversas

clases de mercancas, siendo las primeras actas contables que se conocen.El gran descubrimiento de la cultura babilnicafue la introduccin de un sistemade numeracin posicional, que consiste en atribuir un valor diferente a las cifras

segn el lugar que ocupen en la escritura de un cierto nmero. El sistema babilnicoempleaba la base 60,y todava quedan restos de esa base, por ejemplo en la formade medir un ngulo o en la medida del tiempo.

El sistema era pseudoposicional, es decir, hasta el 60 era aditivo yposiconal para nmeros mayores. Para la unidad se usaba la marca vertical que sehaca con el punzn en forma de cua. Se ponan tantos como fuera preciso hasta

llegar a 10, que tena su propio signo. De este se usaban los que fueran necesarios

completando con las unidades hasta llegar a 60. los nmeros mayores de 60 se


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representaban en varios estadios: en el primero se representaban las unidades, en

el segundo grupos de 60, en el tercero grupos de 260 , etc.Adems, no conocan el cero, al que solan sustituir por un espacio en blanco.

hueco. Esto presentaba un inconveniente, al no disponer de smbolo para el cero.Como no estaba bien definido el tamao de los huecos, no era fcil averiguar elnmero de ceros que contena el nmero que otro haba escrito.

LOS MAYAS

La cultura maya, que no pudo recibir ninguna influencia de las culturas

occidentales, desarroll un sistema de numeracin posicional en base 20 (con el 5cmo base auxiliar) en el que ya utilizaban el cero. A pesar de utilizar el sistema denumeracin en base 20 no necesitaron de 20 smbolos diferentes, sino que con la

sola utilizacin de puntos (que tenan valor de 1), rayas (que tenan valor de 5) y unsmbolo especial para el cero (en forma de concha), consiguieron escribir cualquier

cantidad. La unidad se representaba por un punto, dos, tres y cuatro puntosservan para 2,3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se aadan los puntos

necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de lamisma forma se contina hasta el 20, con cuatro rayas. Hasta aqu parece unsistema de base 5 aditivo, pero considerados cada uno un solo signo, estos smbolos

constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar elvalor de cada cifra por 1,20, 202,203..segn el lugar que ocupe, y sumar elresultado.

LOS EGIPCIOS

A partir de los papiros que han llegado hasta nuestra poca, como el papirode de Rhind y el papiro de Mosc, se ha podido saber que los egipcios disponan dedos sistemas de numeracin:

A) El jeroglficoDesde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir losnmeros en base 10 utilizando los jeroglficos de la figura.

Este sistema era aditivo no posicional y en el cual utilizaban jeroglficospara representar el 1 y las seis primeras potencias de 10. Se utilizaban tantos decada uno como fuera necesario y se podan escribir de izquierda a derecha, alrevs o de arriba abajo, cambiando la orientacin de las figuras segn el caso. Alser indiferente el orden se escriban a veces segn criterios estticos, y solan ir

acompaados de los jeroglficos correspondientes al tipo de objeto (animales,prisioneros, vasijas, etc.) cuyo nmero indicaban.

Estos signos fueron utilizados hasta la incorporacin de Egipto al imperioromano. Pero su uso qued reservado a las inscripciones monumentales, en el uso

diario fue sustituido por la escritura hiertica y demtica, formas ms simplesque permitan mayor rapidez y comodidad para los escribas.


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En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una formapropia, y as se introdujeron smbolos particulares para20,30,.90200,300.900,2000,3000., con lo que disminuyeron el nmero desmbolos necesarios para escribir una cifra.

LOS GRIEGOS.

Utilizaron varios sistemas de numeracin entre los que cabe destacar:

A) El sistema tico.Es un sistema aditivo en base 10 en el cual, exceptuando a la unidad que es

una raya vertical, los signos utilizados para representar el 5 y las potencias de 10

corresponden a la primera letra de la palabra que indica dicha cantidad, o es unacombinacin de esas letras numerales (principio de acrofona). Los nmeros 50,500, 5000, etc, se denotan mediante signos que siguen el principio multiplicativo.

B) El sistema jnico o alfabtico.Este sistema es tambin aditivo en base 10 y utilizaba 27 letras

correspondientes al alfabeto griego, agrupadas en tres conjuntos de nueve, paradesignar los nmeros 1 al 9; 10 al 90; 100 al 900 (no conocen el cero). Para

distinguir si una letra representaba o no una cantidad, se introdujeron nuevossmbolos. Y un acento precediendo a un nmero (menor o igual que 9) equivala a ese

nmero multiplicado por 1000.

Los griegos:

o Utilizaban fracciones de cualquier tipo, adems de establecer equivalenciasentre ellas a partir de las proporciones.

o Descubrieron los nmeros irracionales.o Llegaron a demostrar algunas de las propiedades de las operaciones con

nmeros aunque hacindolas para magnitudes como longitudes, reas, etc.

LOS ROMANOS

El sistema de numeracin romano es del que ms vestigios quedan ennuestra cultura.

Es un sistema de numeracin aditivo que utiliza los siguientes smbolosI=1 ; V=5 ; X=10 ; L=50 ; C=100 ; D=500 ; M=1000

sujetos a las siguientes reglas:o

Una misma cifra slo puede repetirse seguida un mximo de tres veces.


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o Si una letra est colocada a la derecha de otra de mayor valor se suman susvalores.

o Una letra colocada a la izquierda de otra de mayor valor, resta su valor.o Una cifra colocada entre dos de mayor valor, resta a la de la derecha.o Las nicas cifras que pueden restar son, I, X y C; pero I slo puede

restarse de V y X; X slo de L y C; y C slo de D y M.o Una raya sobre una o varias cifras multiplica su valor por mil.

LOS CHINOS.

En China coexistieron dos esquemas de notacin numrica:

A) Sistema multiplicativo.Para expresar los nmeros utilizaban un sistema decimal formado por 13

signos que corresponden a las nueve unidades y a las primeras 4 potencias de 10. Ala hora de representar un nmero, se procede por adicin y multiplicacin a la vez.

B) Sistema posicional.Se remonta al siglo II a.C. Es un sistema anlogo a nuestra numeracin

moderna. Es en base 10 y el valor de sus cifras viene determinado por la posicin

que ocupan. Se utilizan 18 smbolos, para representar los dgitos del 1 al 9 y los 9primeros mltiplos de 10 (decena, centena, millar y decena de millar). Se escriba

tanto de arriba abajo como de izquierda a derecha.

Conocan bien las fracciones, siendo capaces de obtener el mnimo comndenominador de varias de ellas. Pero tenan preferencia por su escritura decimal.

Los nmeros negativos tambin fueron utilizados por los chinos.

Tambin estudiaron a fondo el nmero , dando una aproximacin de l queno se vio superada hasta el siglo XV.

Fue en el siglo VIII cuando los sabios chinos introdujeron un signo especialpara escribir la ausencia de unidades, representado por un pequeo crculo (idea

que tomaron de los matemticos hindes). Es a partir de este momento cuandocomenzaron a representar nmeros fraccionarios e irracionales de una formasimilar a la actual occidental.

3.6.-LOS HINDES.


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Es a la cultura india a la que debemos el sistema de numeracin posicional.Fue en el ao 510 cuando el astrnomo indio Aryabhata inventa una notacinnumrica que precisa de un conocimiento perfecto del cero (aunque no exista unsigno especial para denotar una posicin que faltaba) y del principio deposicionamiento en base decimal. Esta notacin le permite realizar fcilmente

races cuadradas y cbicas.

En el ao 628, el matemtico Brahmagupta utiliza asiduamente este sistemade numeracin posicional, describe mtodos de clculo con las 9 cifras y el cero, dalas reglas algebraicas fundamentales de nmeros positivos y negativos, en las queel cero est presente como concepto matemtico, y define el infinito matemtico

como el inverso del cero. Fue entonces cuando se formaliza el uso de los nmerosnegativos.

En el ao 875-876 se realizan las inscripciones indias en piedra de Gwalior,donde aparece por primera vez el cero en forma de un pequeo crculo.

3.7.- LOS RABES.

Los rabes tuvieron el acierto de recopilar todo el saber acumulado por lasotras culturas: egipcios, griegos, indios, etc, terminando por imponerse el hind, ya

que era ms sencillo para escribir y realizar operaciones, y lo introdujeron enoccidente.

Hasta el ao 875 d.C., en la India, no hay constancia de un usosistemtico de un smbolo para denotar el cero.

El matemtico rabe Al-Khowarizmi adopt el sistema de numeracinhind, esto es, el sistema posicional en base 10, y lo difundi por el mundo rabe.Aunque hubo que esperar al siglo XIII para que Jordanus Nemorarius lointrodujera en Europa.

Los matemticos no se preguntaron acerca de la consistencia de los nmeros

naturales hasta finales del siglo XIX. Coincidiendo con la crisis de fundamentacin

de las matemticas, originada esencialmente por los trabajos de Cantor, el


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matemtico italiano Peano construy su fundamentacin de la aritmtica queincluye la definicin axiomtica:

- de los nmeros naturales:o el cero es un nmero naturalo a cada nmero natural se le asigna un siguiente que es tambin un

nmero naturalo no existe ningn nmero natural cuyo siguiente sea el ceroo si los siguientes de dos nmeros naturales son iguales es que esos

nmeros naturales son tambin iguales

- del principio de induccin: todo conjunto de nmeros naturales quecontenga el cero y que para cada uno de sus elementos contenga tambin a su

siguiente, entonces contiene a todos los nmeros naturales.

La obra de Peano est ntimamente conectada con la de Fregue, quinescribi su fundamentacin de la aritmtica y fue el primero en definir el nmerocardinal.

Construyendo axiomticamente el conjunto de los nmeros naturales, n, ydefiniendo sobre l las operaciones internas de la suma y de la multiplicacin y las

relaciones de equivalencia < y , tenemos que (, +, ) es un semianilloconmutativo con elemento unidad, estrictamente ordenado por la relacin < ytotalmente ordenado por la relacin .


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2.2.- Nmeros enteros

Nmeros negativos

Las culturas egipcia, babilnica, e incluso griega, fueron incapaces deaceptar los nmeros negativos, en particular los enteros negativos, como talesnmeros, y los desechaban cuando aparecan como soluciones de algunasecuaciones.

Los matemticos chinos manejaban conceptos equivalentes a nmeros

positivos y negativos, representando los positivos en color rojo y los negativos ennegro. Pero no aceptaban que un nmero negativo fuese solucin de una ecuacin.

Los matemticos hindes aceptaban los nmeros negativos, siendoBrahmagupta el primero en aceptar las races negativas de una ecuacincuadrtica. Adems, conocan las reglas de los signos.

La introduccin de los nmeros negativos en Europa la realiza NicolasChuquet, matemtico francs; en su obra realiza operaciones con nmeros enteros,utilizando operaciones fundamentales suma, resta, producto y divisin.

Hubo que esperar al S.XIX para que Weierstrass diera el modelo de losnmeros enteros, definindolos como clases de pares de naturales mediante una

relacin de equivalencia.

Necesidad de ampliar el campo de los nmeros naturales

En los nmeros naturales una ecuacin de la forma a + x = b no siempre tiene

solucin, porque x = b a slo tendra sentido en nsi ba. Es evidente, por tanto, lanecesidad de crear unos nuevos entes numricos que permitan dar siempre solucina dicha ecuacin, es decir, hacer siempre posible la sustraccin.

Hay otras razones, adems de la indicada, que obligan a crear a los nmeros

enteros:- La necesidad de expresar cantidades de las magnitudes que presentan un

doble sentido y que suelen tomarse como positivos hacia arriba o hacia la derecha ycomo negativos hacia abajo o hacia la izquierda, a partir de un origen dado.

- La necesidad de expresar numricamente el problema de la deuda mediantenmeros negativos.


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De este modo, construimos el conjunto de los nmeros enteros, z, a partir

de n, definiendo z= nxn/R, siendo R la relacin de equivalencia: (a,b)R(c,d)

a+d = b+c, (a,b), (c,d)nxn.

Definiendo zde esta forma y con las operaciones internas de la suma y el

producto, se demuestra que : (z, +, ) es un anillo conmutativo y unitario ,adems de un dominio de integridad, estando totalmente ordenado por larelacin .

Adems, se demuestra que zes una extensin algebraica de , al ser nisomorfo al subconjunto de zde los nmeros enteros positivos, z+, por lo que z.


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2.3.- Nmeros racionales.

Las fracciones.

En un principio las fracciones no eran consideradas como autnticos

nmeros, no eran ms que relaciones entre nmeros enteros. Era debido a que enmuchas civilizaciones se consideraba a la unidad como un dios, y por tanto no podaser dividido. Cuando se desarroll la aritmtica y el clculo, se vio que estabansometidas a las mismas reglas que el resto de los nmeros y podan considerarsecomo tales.

El uso de la regla de tres en los clculos relacionados con transacciones

econmicas oblig a los egipciosa manipular los racionales positivos. Sus papirosmuestran algunas anomalas de difcil justificacin, como la especial relevancia de

las llamadas fracciones unitarias, esto es, los nmeros de la forman

1, con nn, que

empleaban como unidades bsicas para expresar las dems.

Por contra, los babilonios manejaban con soltura los racionales positivos,dividiendo la unidad en potencias sucesivas de 60.

Losgriegos, intentaron elaborar una notacin general para cualquier tipo de

fraccin (no solo las unitarias), pero su numeracin alfabtica no era apta, por loque tuvieron que abandonar dicho intento y adoptar la notacin en base 60 de losbabilonios (para las fracciones).

La notacin moderna de las fracciones se la debemos de nuevo a los hindes,quienes, con su notacin posicional, simbolizaban las fracciones casi como nosotros.Esta notacin fue adoptada por los rabesquienes introdujeron la famosa barrahorizontal para separar numerador y denominador.

Cuando se descubrieron las fracciones decimales (las que tienen

denominador potencia 10) se hizo patente la necesidad de prolongar la numeracinposicional decimal hind en el otro sentido (ahora se dira: a la derecha de lacoma). As se puede anotar con facilidad todas las fracciones y los nmeros

enteros seran un tipo particular de nmeros: los que poseen cifras significativas ala derecha de las unidades. Este tipo de fracciones ya se usaban en China, en laArabia medievaly en la Europa renacentista.

En 1579, Francois Vite, proclama su decidido apoyo a estas fracciones.


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Fueron Brgiy Stevin, dos matemticos a caballo entre el siglo XVI y XVII,los que contribuyeron al desarrollo y divulgacin de las fracciones decimales. Yste ltimo, en 1585, solicit el uso de una escala en base 10 para las fracciones,como ya lo estaba para los enteros. Fue precisamente Simon Stevinel primero enescribir los nmerosdecimales sin denominador, sino que encerraba en un crculo, acontinuacin de cada dgito, la potencia de 10 que deba llevar como divisor.

El suizo Jost Brgisimplific la notacin, eliminando la mencin al orden delas cifras y sustituyndolo por un circulito situado en la parte superior de lasunidades.

Y poco tiempo despus, el cartgrafo italiano Magn (1555-1617), sustituyel redondelito por el punto situado entre las unidades y las dcimas, que ha

perdurado hasta nuestros das.

En cuanto a la coma, el primero que la utiliz fue el holands WillebrodSnellius, a comienzos del siglo XVII.

Necesidad de ampliar el campo de los nmeros enteros.

En el conjunto de los nmeros enteros, la ecuacin ax = b, a0, a,bz, no

siempre tiene solucin; slo sera posible cuando b fuera mltiplo de a.

Por otra parte, tenemos la necesidad de representar las magnitudes por

nmero, esto es, el problema de la medida. Para representar cada cantidad bastaindicar el nmero m de unidades que contiene y el nmero n de ellas que contiene la

unidad fundamental. Y as la fraccinn

mrepresenta o mide una cantidad.

Aritmticamente, definimos el conjunto de los nmeros racionales como q

= zxz0/, donde z0= z* = z{0} y es la relacin de equivalencia b

a

d

c

ad = bc,

a,cz, b,dz0.

De este modo, definiendo las operaciones internas de la suma y de la

multiplicacin tenemos que (q, +, ) es un cuerpo conmutativo, y esttotalmente ordenado por la relacin . Adems (q, ) es un retculo.


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Tambin se demuestra que qes una extensin algebraica de z, ya que Zes isomorfo al subconjunto de q de las fracciones con denominador la unidad:

U =

1

x/Q . Entonces zq.

2.4.- Nmeros reales.

Nmeros irracionales.

Debemos a la escuela Pitagricael descubrimiento de los irracionales, queellos llamaron inconmesurables,aquellos que nos son ni enteros ni racionales. DesdeThales (s. VI a.C.), los griegos conocan la nocin de proporcin e intentaroncalcularla para distintos pares de longitudes y reas. As, la escuela Pitagrica

demostr que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no es racional.

Los europeos, beneficindose del sistema de numeracin posicional hind debase 10 que haban adoptado fueron capaces de definirlos con precisin: esos

nmeros podan expresarse en forma decimal, siendo infinitas las cifras tras lacoma, sin que reprodujeran nunca en el mismo orden. Esa era la diferencia quetenan con los nmeros racionales.

Una vez descubiertos los irracionales, no fue fcil realizar manipulaciones

aritmticas con ellos.

Una clase distinguida es la de los radicales de enteros positivos, con losque ya trabaj Fibonacci, cuya utilizacin fue generalizada, entre otros, porRegiomontanoy Chuqueta principios del Renacimiento.

De entre los irracionales es quizs el nmero e, la base de los logaritmosneperianos, uno de los que ha desempeado un papel ms importante en eldesarrollo de la matemtica.

De la necesidad de ampliar el conjunto de los nmeros racionales para incluirestos nuevos nmeros, los irracionales, surge el concepto de nmero real.

Nmeros reales.

Han sido numerosos los trabajos realizados por matemticos para dotar alnmero real de una teora rigurosa.

En 1830, Bolzano intent desarrollar una teora de nmeros reales como

lmites de sucesiones de nmeros racionales, aunque no se public hasta 1962.


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Fue en 1872 cuando cinco matemticos (Mray, Weierstrass, Heine, Cantory Dedekind) dieron con la definicin formal de nmero real.

Mraydefini el lmite de una sucesin como un nmero real. Y demostrque toda sucesin de Cauchy era convergente. Weierstrasssepar la definicin denmero real del concepto de lmite y defini los nmeros irracionales de forma

general como conjuntos de racionales. Heiney Cantorrealizaron trabajos similaresa los descritos.

Dedekind , sin embargo, defini el nmero real como una cortadura en elconjunto de los nmeros racionales. Consiste en obtener una particin de losnmeros racionales en dos clases disjuntas, A y B, tales que todo nmero de laprimera clase A es menor que todo nmero de la segunda clase B. Entonces existe

uno y slo un nmero real tal que si en A existe mximo o en B mnimo, el nmeroreal coincide con el mximo o mnimo, y por tanto, es racional, y en caso contrarioel nmero real no est ni en A ni en B y es irracional.

Definiendo las operaciones internas de la suma y de la multiplicacin

tenemos que (r, +, ) es un cuerpo conmutativo y est totalmente ordenado porla relacin .

Adems, a diferencia del cuerpo de los nmeros racionales, el cuerpo de los

nmeros reales es completo, ya que es un cuerpo ordenado y todo subconjuntosuyo acotado tiene supremo.


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2.5.- Nmeros complejos.

En r las ecuaciones del tipo x2 + 1 = 0 no tienen solucin. Incluso para

calcular las races de un polinomio de grado 3 con coeficientes en r se hacenimprescindibles las races cuadradas de nmeros reales negativos.

El primero en introducir los nmeros complejos fue Cardano, que en el ao1545 publica su obra Ars Magna, en la que explica como resolver los diferentes

casos de ecuaciones cbicas. Como soluciones a esas ecuaciones obtena racescuadradas negativas que l mismo denomin sofisticas.

A travs de un ingenioso razonamiento, Bombeli obtiene las propiedades delos nmeros complejos conjugados, aunque en ese momento no sirvieron de mucho.

En 1777 LeonhardEulerintrodujo el smbolo i para la raz cuadrada de 1 yla igualdad ei+1=0, en la que estn presentes los 5 nmeros ms importantes.Pasando de miembro a miembro y tomando logaritmos resulta que log(-1)=i. Estefue el primer avance en la cuestin del significado de los logaritmos de los nmerosnegativos, motivo de controversia durante algn tiempo debido a la siguienteparadoja: como 12=(-1)2, tomando logaritmos se tendra: 2log(-1) = 2log(1) = 0,

luego log(-1) = 0.

La frmula de Euler puso de manifiesto que, a diferencia de lo que pensabanlos hermanos Bernouilliy DAlembertentre otros, los logaritmos de los nmerosreales negativos no son reales, sino complejos imaginarios puros.

Aunque se cree que ya con anterioridad Cotes y De Moivre conocan quepara cada nmero real x se cumple la igualdad: exi = cosx + isenx, fue Euler quienobserv que puesto que para cada entero k se tiene cosx=cos(x+2k) y

senx=sen(x+2k

), entonces exi

= e(x+2ki)

, luego la exponencial compleja ya no esinyectiva y por tanto su supuesta inversa, el logaritmo, no es una funcin, sino loque pas a denominarse funcin multivaluada

As mismo, Euler descubri que comoi

e 2

= -i, entonces elevando ambosmiembros a 2i se obtiene que e =(-i)2iy as, la potencia imaginaria de un nmeroimaginario es un nmero real. Pero, por el mismo argumento antes visto, la

potenciacin zz, con zc, no es una funcin.

Desde la poca de Albert Girard(1590-1633) ya se saba que los nmerosreales positivos, cero y negativos se podan representar en correspondencia con los


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puntos de una recta. Wallis sugiri que los nmeros imaginarios puros se podanrepresentar por los puntos de una recta perpendicular al eje de los nmeros reales.Pero fueron Wessel y sobre toso Gauss (s.XIX) los que establecieron lacorrespondencia entre los nmeros complejos y los puntos del plano.

Fue el matemtico alemn Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, elque demostr su famoso Teorema Fundamental del lgebra, que dice que todopolinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raz compleja.

Definiendo las operaciones internas de la suma y de la multiplicacin,

tenemos que (, +, ) es un cuerpo conmutativo y (, +, R) es un r-espaciovectorial. Adems (, +, ) es un cuerpo no ordenable.


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2.6.- Nmeros algebraicos y transcendentes.

Un nmero complejo x se dice algebraico si es raz de algn polinomio nonulo con coeficientes racionales, y se dice transcendenteen caso contrario.

Son nmeros transcendentes:

l=

Nm

!m10 llamado nmero de Liouvilledebindose a ste su demostracin

nmero e; demostrado por Hermite ; demostrado por Lindemann Gelfonddemostr que si u y v son dos nmeros algebraicos tales que u{0,1}

y v no es racional, entonces uves transcendente.

2.7.- Nmeros cuaterniones.

Hamilton intent generalizar la construccin de los nmeros complejosdotando de estructura de cuerpo extensin de r al espacio eucldeo r3. Pero ladefinicin del producto se le resisti durante 10 aos (hoy sabemos que no esposible). Con lo que Hamilton se percat de que poda arreglar la situacin

reemplazando r3 por r4y violando una de las consideradas en la poca leyes

sagradas que deba cumplir todo sistema algebraico: la conmutatividad delproducto. De modo que construy los denominados nmeros cuaterniones comoelementos de r4de la forma x = a + bi + cj + dk, donde a,b,c,dry los smbolos i,j yk cumplen las siguientes reglas:

i2= j2= k2= -1 ij = k = -ji jk = i = -kj ki = j = -ik

Con este descubrimiento, Hamilton abri las puertas al desarrollo de laslgebras asociativas.


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3.- Evolucin histrica.

Antiguamente se defina la matemtica como la ciencia del nmero, lamagnitud y la forma. Estos conceptos comenzaron a desarrollarse a partir dediferencias y contrastes entre elementos del entorno del hombre primitivo, y luegoa partir de semejanzas.

El primer procedimiento aritmtico de la historia comenz lacorrespondencia biunvoca miembro a miembro, que permita a cualquier persona la

posibilidad de comparar dos conjuntos, aunque no tuviesen la misma naturaleza.

El hombre debi sentir a continuacin la necesidad de expresar yrepresentar, de alguna manera esta propiedad. En un principio debi servirse de losdedos de las manos y posteriormente fue utilizando piedras pequeas, trazos en laarena, marcas en las cortezas de un rbol, en un hueso, etc.

La invencin de la escritura ayud al hombre a sustituir el concepto

abstracto de nmero por signos convencionales. Pero surga el problema de lainfinitud de los nmeros. La idea primitiva de agrupar las rayas marcadas en la

corteza de un rbol de 5 en 5, en clara similitud con los dedos de la mano, pudollevar al hombre a pensar en utilizar un nmero finito de signos para designar losprimeros cardinales y despus agrupar o reutilizar estos mismos signos con alguna

pequea diferencia para sealar los nmeros siguientes. Este proceso que dio lugara los sistemas de numeracin, fue bastante lento y resuelto de muy distintamanera por las distintas culturas.

Veamos a continuacin cmo lo resolvieron algunas de ellas:


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