EVOLUCIÓN DE LOS PATRONES DE INTERACCIÓN...

EVOLUCIÓN DE LOS PATRONES DE INTERACCIÓN COMUNICATIVA

DE LOS DOCENTES DE MATEMÁTICAS.

CASO UPTC.

JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO

DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

RED DE UNIVERSIDADES ESTATALES DE COLOMBIA – RUDECOLOMBIA

CADE-UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA

TUNJA

2017

EVOLUCIÓN DE LOS PATRONES DE INTERACCIÓN COMUNICATIVA

DE LOS DOCENTES DE MATEMÁTICAS.

CASO UPTC.

JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO

Trabajo, requisito parcial para optar el título de

Doctor en Educación

DIRECTOR

Dr. ALFONSO JIMÉNEZ ESPINOSA

DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

RED DE UNIVERSIDADES ESTATALES DE COLOMBIA – RUDECOLOMBIA

CADE-UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA

TUNJA

2017

Nota de aceptación

Jurado:

Dr. William Alfonso Pacheco Serrano

Jurado

Jurado

Director

Dr. Alfonso Jiménez Espinosa

A:

Lina María, Lina, mis padres

(Rosalba y Rafael), hermanos,

sobrinos y en general toda mi

familia.

Doy gracias:

A Dios, por darme la fortaleza para culminar esta meta y a todas las personas que

me ayudaron a consolidar este proyecto.

Al doctor Alfonso Jiménez Espinosa, por su dedicación, paciencia, compañerismo

y aportes en pro del desarrollo del proyecto en calidad de director del mismo.

Al doctor Viçenc Font Moll, por su colaboración y sugerencias, tanto en la

consolidación del anteproyecto como en el desarrollo del trabajo investigativo.

Por su acompañamiento durante la pasantía en la Universidad de Barcelona.

A los docentes de la Licenciatura en Matemáticas “Fernando”, “Juan” y

“Gustavo”, ya que, con su colaboración e intervención en el proyecto, hicieron

viable su desarrollo.

A los doctores Joaquín Giménez y Yuly Vanegas, por sus aportes y apoyo durante

la pasantía en la Universidad de Barcelona.

Al doctor Ángel José Chacón Velasco, por su colaboración en el trabajo inicial

del proyecto investigativo.

A los compañeros de la Licenciatura en Matemáticas, que siempre me alentaron

a continuar en este proceso.

A los estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas que permitieron nuestra

intervención e hicieron posible avanzar en el desarrollo de la investigación.

A los compañeros Olga Patiño y Zamir Chaparro, por su colaboración en la

lectura y aportes al proyecto.

A mi hermano Rafael por su apoyo en la corrección final del escrito.

A Lina María y Lina, gracias por su cariño y voz de aliento permanente.

Contenido

Pág

Resumen 13 Abstract 14 Introducción General 15 Capítulo 1. Generalidades 19

Problema de Investigación 19

Objetivos 28

Objetivo general 28

Objetivos específicos. 28

Justificación 29

Capítulo 2. Referentes de la investigación 34 Las Interacciones en el Aula de Matemáticas 34

Adaptaciones del interaccionismo simbólico a la educación matemática. 35

Caracterización del interaccionismo simbólico y la educación matemática. 36

Los patrones de interacción y comunicación. 38

Interacción en que la intervención del profesor es discreta. 53

Aspectos interaccionales en la Teoría de Situaciones Didácticas. 56

Tipos de interacción y modelo didáctico del profesor. 58

Modelos Didácticos del Profesor 58

Análisis didáctico 65

Acerca del análisis. 65

Análisis didáctico en la educación matemática. 67

Modelo de Análisis Didáctico del Grupo PNA de La Universidad de Granada. 69

Algunos Aspectos Teóricos del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática. 72

Modelo de Análisis Didáctico utilizado en esta investigación. 85

Estudios Empíricos Relacionados con el Modelo de Análisis Didáctico del EOS. 85

La comunicación 87

Algunos modelos explicativos de la comunicación. 89

Clases de comunicación. 90

Semiótica y comunicación. 92

La comunicación en el aula de matemáticas. 96

Comunicación y control del aula. 101

Contrato didáctico, normas sociomatemáticas y comunicación. 102

Comunicación y discurso matemático. 104

Modos de comunicación. 105

Capítulo 3. Metodología 108 Fases de la Investigación 108

Opciones Metodológicas 109

Metodología para cada Objetivo 111

Sujetos Investigados. Un Estudio de Casos. 116

Métodos, instrumentos y procedimientos para la recolección de información 117

Instrumentos por Objetivos de Investigación. 120

Validez de los instrumentos y del análisis de la Información. 122

7

Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas

de la UPTC 124 Aspectos metodológicos 124

Resultados 125

Triangulación de información 133

Capítulo 5: Grupo de Trabajo Colaborativo 134 Trabajo en Contexto Colaborativo 134

El Grupo 138

Reflexiones y Discusiones en el Grupo 144

Reflexiones sobre el Grupo 151

Capítulo 6. Caso Fernando 154 Aspectos Personales 154

Antes del Trabajo Colaborativo 155

Análisis Didáctico de las clases iniciales. 156

Análisis de interacción de las clases iniciales. 190

Análisis de la comunicación en las clases iniciales. 202

Durante el trabajo colaborativo 214

Después del Trabajo Colaborativo 217

Propuestas del profesor sobre su práctica pedagógica. 217

Análisis Didáctico. 218

Análisis de Interacción. 249

Análisis de la Comunicación. 262

Discusión Final 271

Análisis Didáctico. 272



Capítulo 7. Caso Juan 296 Aspectos Personales 296

Antes del Trabajo Colaborativo 297

Análisis didáctico de las clases iniciales. 299

Análisis de Interacción de las clases iniciales. 323

Análisis de la comunicación en las clases iniciales. 332

Durante el Trabajo Colaborativo 343

Despúes del Trabajo Colaborativo 350

Propuestas del profesor sobre su práctica pedagógica. 350

Análisis de didáctico. 352


Análisis de la comunicación. 390

Discusión Final 399

Análisis didáctico. 399



Capítulo 8. Conclusiones 421 Conclusiones en base a los objetivos propuestos 421

Limitaciones de la Investigación 432

8

Posibles ampliaciones. 433

Difusión de los resultados 433

Referencias Bibliográficas 435 Anexos 449

9

Lista de Tablas

Pág

Tabla 1. Patrones de extracción y discusión 43

Tabla 2. Clasificación de los patrones de interacción según Flanders 49

Tabla 3. Clasificación de los patrones de interacción 52

Tabla 4. Elementos y relaciones en la exploración de un concepto 71

Tabla 5. Análisis Didáctico propuesto por el PNA. 72

Tabla 6. Definiciones básicas del Enfoque Ontosemiótico. 73

Tabla 7. Clases de comunicación según criterios varios. 91

Tabla 8. Clasificación de los códigos propuesta por Giraud 96

Tabla 9. Los docentes y su clasificación de acuerdo con Díaz (2010). 126

Tabla 10. Preguntas con mayor frecuencia de respuestas positivas. 128

Tabla 11. Resultados de la evaluación de cada miembro del grupo a la clase del docente

Fernando. 143

Tabla 12. Análisis de la primera clase. 159

Tabla 13. Indicadores de idoneidad primera clase. 171

Tabla 14. Análisis Segunda clase. 177

Tabla 15. Idoneidad didáctica de la segunda clase. 186

Tabla 16. Idoniedad didáctica de las clases iniciales. 190

Tabla 17. Interacciones primera clase. 191

Tabla 18. Orden de interacción comunicativa de la primera configuración. 193

Tabla 19. Participación del estudiante respecto al tiempo en la primera clase. 196

Tabla 20. Interacciones segunda clase. 197

Tabla 21. Interacciones por tiempo y configuración de la segunda clase. 198

Tabla 22. Participación del estudiante respecto al tiempo en la segunda clase. 199

Tabla 23. Análisis de interacción de las clases iniciales. 199

Tabla 24. Participación del estudiante respecto del tiempo en las dos clases. 200

Tabla 25. Modos de comunicación en la primera clase. 206

Tabla 26. Modo de comunicación segunda clase. 212

Tabla 27. Análisis de la tercera clase. 220

Tabla 28. Indicadores de idoneidad en la tercera clase. 229

Tabla 29. Idoneidades de la tercera clase de Fernando. 231

Tabla 30. Análisis de la cuarta Clase. 234

Tabla 31. Indicadores de idoneidad cuarta clase. 244

Tabla 32. Análisis de interacción de la tercera clase. 249

Tabla 33. Análisis de interacción por configuración., tercera clase. 251

Tabla 34. Análisis de tiempo de participación. Tercera clase. 253

Tabla 35. Análisis de interacción cuarta clase. 254

Tabla 36. Análisis de interacción por tiempo y configuración. Cuarta clase. 256

Tabla 37. Análisis de tiempo de participación en la cuarta clase de Fernando. 258

Tabla 38. Análisis de interacción en la tercera y cuarta clases. 258

Tabla 39. Análisis de participación respecto al tiempo, de la tercera y cuarta clase. 260

Tabla 40. Modos de comunicación en la tercera clase. 266

Tabla 41. Modos de comunicación en la cuarta clase. 269

10

Tabla 42. Resultados del análisis de los criterios de idoneidad didáctica en las dos fases.

272

Tabla 43. La práctica pedagógica del docente al finalizar el trabajo. Análisis por

idoneidad. 276

Tabla 44. Interacciones típicas de la clase. 281

Tabla 45. Flujo de participación de la primera clase.. 286

Tabla 46. Flujo de participación de la tercera clase. 290

Tabla 47. Modos de comunicación. 294

Tabla 48. Análisis Didáctico Primera Clase. 301

Tabla 49. Indicadores de idoneidad primera clase. 306

Tabla 50. Análisis didáctico de la segunda clase. 312

Tabla 51. Idoneidad didáctica de la segunda clase. 318

Tabla 52. Tendencia de la idoneidad diáctica. 322

Tabla 53. Análisis de interacción primera clase. 323

Tabla 54. Análisis de participación. Primera clase Juan. 326

Tabla 55. Análisis de interacción de la segunda clase. 327

Tabla 56. Análisis de participación respecto del tiempo en la segunda clase. 329

Tabla 57. Análisis de interacción en las dos clases. 329

Tabla 58. Análisis de participación de los estudiantes respecto del tiempo en las clases

iniciales. 331

Tabla 59. Modos de comunicación en la primera clase. 336

Tabla 60. Modos de interacción en la seguna clase. 341

Tabla 61. Análisis didáctico de la tercera clase. 354

Tabla 62. Análisis de Idoneidad de la tercera clase. 361

Tabla 63. Análisis didáctico de la Cuarta clase. 366

Tabla 64. Análisis de Idoneidad de la cuarta clase. 372

Tabla 65. Idoneidad didáctica de la tercera y cuarta clase. 376

Tabla 66. Análisis de interacción de la tercera clase. 377

Tabla 67. Análisis de interacción por tiempo y configuración de la tercera clase. 379

Tabla 68. Participación de los estudiantes en la tercera clase. 381

Tabla 69. Análisis de interacción de la cuarta clase. 382

Tabla 70. Análisis de interacción por tiempo y configuración de la cuarta clase. 384

Tabla 71. Participación de los estudiantes en la tercera clase. 386

Tabla 72. Análisis de interacción en la tercera y cuarta clase. 386

Tabla 73. Análisis de participación respecto al tiempo, de la tercera y cuarta clase. 388

Tabla 74. Modos de comunicación en la tercera clase. 393

Tabla 75. Modo de comunicación cuarta clase. 397

Tabla 76. Tipología del docente antes y después del trabajo colaborativo. 400

Tabla 77. Análisis de idoneidad de la clase del profesor. 401

Tabla 78. La práctica pedagógica del docente al finalizar el trabajo. Análisis por

idoneidad. 404

Tabla 79. Interacciones del docente. 408

Tabla 80. Flujo de participación de la primera clase. 413

Tabla 81. Flujo de participación de la tercera clase. 416

Tabla 82. Modos de comunicación. 420

11

Lista de Figuras

Pág

Figura 1. Elementos de la Comunicación. 26

Figura 2. Interacciones en el aula de clase. 39

Figura 3. Tendencia del profesor hacia un modelo didáctico. 64

Figura 4. Mapa conceptual sobre sistemas de prácticas institucionales. 74

Figura 5. Sistemas de prácticas personales. 75

Figura 6. Configuración de objetos y procesos matemáticos desde el Enfoque

Ontosemiótico. 81

Figura 7. Interacción entre los objetos matemáticos propuestos por el Enfoque

Ontosemiótico. 82

Figura 8. Mapa Conceptual sobre los signos según Peirce (1974). 93

Figura 9. Tipos de Comunicación según Brendefur y Frykholm (2000). 107

Figura 10. Relación de los docentes con la tendencia tradicional – tecnológica. 131

Figura 11. Relación de las categorías frente a la tendencia tradicional – tecnológica. 132

Figura 12. Resultados de las dos encuestas 133

Figura 13. Hexágono que representa la tendencia de la evaluación del grupo a la clase del

docente Fernando. 143

Figura 14. Resumen de las Idoneidades de la primera clase. 173

Figura 15. Resumen de las Idoneidades de la segunda clase. 188

Figura 16. Tendencia de las idoneidades de las clases de Fernando. 190

Figura 17. Idoneidades de la cuarta clase de Fernando. 246

Figura 18. Idoneidad didáctica de la tercera y cuarta clase. 248

Figura 19. Tendencia de las idoneidades de la tercera y cuarta clase de Fernando. 248

Figura 20. Tendencia de las idoneidades de las dos fases. 272

Figura 21. Análisis de idoneidad. 273

Figura 22. Resumen de las Idoneidades de la primera clase de Juan. 308

Figura 23. Resumen de las Idoneidades de la segunda clase. 320

Figura 24. Tendencia de las idoneidades de las clases de Juan. 322

Figura 25. Idoneidades de la Tercera clase. 363

Figura 26. Idoneidades de la Cuarta clase. 374

Figura 27. Tendencia de las idoneidades de la tercera y cuarta clase. 376

Figura 28. Tabla de Valores 396

Figura 29. Idoneidades de Juan, en la primera (negro) y segunda (rojo) fases. 400

12

Lista de Anexos

Pág.

Anexo 1. Formato de consentimiento informado. 450 Anexo 2. Cuestionario para identificar la tendencia del modelo pedagógico de los docentes de la Licenciatura en Matemáticas. 451 Anexo 3. Cuestionario para identificar las concepciones de los docentes de la Licenciatura en Matemáticas. 455 Anexo 4. Transcripción de la primera clase del docente Fernando. 459 Anexo 5. Transcripción de la primera clase del docente Juan. 482 Anexo 6. Guía entrevista semiestructurada 1 a profesores. 498 Anexo 7. Propuesta para orientar el Grupo de Trabajo Colaborativo. 499 Anexo 8. Guía entrevista semiestructurada 2 a profesores. 500 Anexo 9. Guía entrevista semiestructurada 3 a profesores. 501 Anexo 10. Guía entrevista semiestructurada 4 a profesores. 502 Anexo 11. Guía entrevista semiestructurada 5 a profesores. 503 Anexo 12. Transcripción cuarta clase del docente Fernando. 504 Anexo 13. Transcripción de la cuarta clase del profesor Juan. 521 Anexo 14. Reuniones del Grupo de Trabajo Colaborativo. 532 Anexo 15. Transcripción de la tercera reunión del Grupo de Trabajo Colaborativo. 536 Anexo 16. Transcripción de la octava reunión del Grupo de Trabajo Colaborativo. 541 Anexo 17. Transcripción de la vigésima reunión del Grupo de Trabajo Colaborativo. 551 Anexo 18. Transcripción de la vigésima primera reunión del Grupo de Trabajo Colaborativo. 567

13

Resumen

En esta investigación se pretendió analizar aspectos de la práctica profesional, en

especial los patrones de interacción comunicativa, de docentes de la Licenciatura en

Matemáticas de la UPTC y su (re)significación a partir de la reflexión sobre su propia

práctica. Para ello se asumieron referentes desde cuatro grandes tópicos: las interacciones;

los modelos pedagógicos y didácticos del profesor; el análisis didáctico de una clase,

haciendo énfasis en el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática, el cual fue

tomado como referente para este estudio; y la comunicación, entendida como una interacción

social mediada por el lenguaje y donde el objetivo de cada sujeto es entender y hacerse

entender. Esta investigación corresponde a un estudio mixto, con predominio cualitativo,

con enfoque descriptivo interpretativo, y metodología, estudio de caso. El trabajo de campo

consistió en actividades realizadas al interior de un Grupo de Trabajo Colaborativo,

compuesto por tres profesores y el investigador, todos de la Licenciatura en Matemáticas de

la UPTC, donde se reflexionó sobre la práctica pedagógica de los participantes en el Grupo.

Se realizó un análisis completo antes, durante y después del Trabajo Colaborativo, lo cual

permitió determinar aspectos de (re)significación. Una de las conclusiones fundamentales

de la investigación es que, al finalizar la labor con el grupo de trabajo colaborativo, los

docentes lograron (re)significar sus prácticas profesionales, pues pasaron de una tipología

de clase con características unidireccionales a reflexivas. Así mismo, también lograron

(re)significar los patrones de interacción comunicativa, donde en la primera fase se

presentaron patrones centrados en el profesor, para pasar a unos centrados en el estudiante.

Palabras Clave: Profesor de matemáticas, prácticas pedagógicas, patrones de interacción

comunicativa, comunicación, Enfoque Ontosemiótico, (re)significación.

14

Abstract

In this research, it was intended to analyze aspects of professional practice, in

particular the patterns of communicative interaction, of teachers of the UPTC Mathematics

degree and it´s (re) significance from reflection on its own practice. In order to do so, they

assumed references from four major topics: interactions; the teaching and teaching models

of the teacher; the didactic analysis of a class, emphasizing the Ontosemiótico approach of

mathematical cognition, which was assumed as the basis for this study; and communication.

This research corresponds to a mixed study, with a qualitative predominance, with a

descriptive interpretative approach, and a case study methodology. The basis of the project

was the activities carried out within a collaborative working group, consisting of three

professors and the researcher, all of the degree in mathematics of the UPTC, where he

reflected on the pedagogical practice of the participants in the group. A thorough analysis

was carried out before, during and after the collaborative work, which allowed to determine

aspects of (re) significance. One of the fundamental conclusions of the research is that, at

the end of the work with the collaborative Working Group, the teachers achieved to mean

their professional practices, since they passed from a class typology with unidirectional to

reflective characteristics. Likewise, they also achieved mean the patterns of communicative

interaction, where in the first phase were presented patterns centered on the teacher, to move

to some centered in the student.

Key words: Maths teachers, pedagogical practices, communicative interaction patterns,

communication, Ontosemiotic approach, (re) significance.

15

Introducción General

Uno de los problemas persistentes en cualquier área ha sido ¿qué hacer para facilitar

su aprendizaje?, ¿qué debe hacer el maestro para contribuir con este proceso?, en especial,

en matemáticas existe un aditamento que es la utilización natural de su simbología, aspecto

que acentúa la problemática1. Se reconoce la matemática como una de las áreas más difíciles

de aprender, por diferentes motivos, entre los que se destacan las concepciones del docente

(Leguizamón, Patiño y Suárez, 2015), de las cuales depende en general su práctica

pedagógica, y en especial los roles que tanto docente como estudiante asumen en el aula.

Con relación al papel que tienen los alumnos y el profesor en los procesos aprendizaje

y enseñanza, respectivamente, se ha ido tomando consciencia que éstos están regidos por

determinadas pautas de interacción que merecen ser investigadas por sí mismas (Chaparro y

Leguizamón, 2015). Otro tópico igualmente investigable, es la forma como el docente

imparte sus clases y qué debería hacerse para mejorarlas. De lo anterior surgió la pregunta

que orientó esta investigación: ¿Cómo la toma de conciencia por parte del profesor de

aspectos relevantes de su práctica profesional, en especial de los patrones de interacción

comunicativa, permite (re)significar sus prácticas de aula? Para responderla se realizó esta

investigación, cuya memoria presenta ocho capítulos, estructurados de la siguiente manera.

En el capítulo 1 se presenta el problema de investigación, los objetivos propuestos,

la justificación y el estado del arte. En el capítulo 2 se abordan los diferentes referentes

que se consideraron básicos para el desarrollo de la investigación, aclarando que algunos

de sus elementos se determinaron a priori y otros se fueron complementando con el avance

del proyecto. Inicialmente se presenta el interaccionismo, compuesto por cuatro secciones.

En la primera se trata el interaccionismo en forma general y su relación con la matemática.

En la segunda se estudian los patrones de interacción desde el punto de vista de varios

autores como Voigt, Wood, Peressini y Knuth, Brendefur y Frykholm, Loska, Mercer,

1 Una problemática se toma como el cuestionamiento acerca de una situación determinada.

16

Sierpinska, Villalta y Martinic, Alrø y Skovsmose, y Schwarz, Dreyfus, Hadas y

Hershkowitz. Posteriormente, se trata la interacción donde la intervención del profesor es

discreta. La última sección se refiere a la relación entre la Teoría de las Situaciones y el

Interaccionismo Simbólico, en donde se abordan aspectos como el contrato didáctico, el

efecto topaze y el efecto Jourdain. Luego se presentan los modelos pedagógicos y

didácticos del profesor y el tipo de interacción que prioriza. Se han considerado tanto

modelos genéricos de autores que no son del área de la Educación Matemática, como otros

modelos propuestos específicamente para los docentes de matemáticas. Se plantea la

clasificación de modelos de profesor de matemáticas propuesta por Ernest. A

continuación, se aborda la tipología de modelos pedagógicos y didácticos propuesta por

Porlán. Estas clasificaciones se complementan con el modelo de profesor constructivista,

sugerido por el constructivismo de Piaget, la perspectiva sociocultural de Vygotsky y el

interaccionismo de Bruner. Posteriormente se plantea la sección referente al análisis

didáctico2, en la cual se revisan diferentes modelos teóricos para analizar la práctica del

profesor; se trata de los llamados modelos de análisis didáctico. Finalizando esta tercera

sección se justifica la selección del modelo de análisis didáctico propuesto por el Enfoque

Ontosemiótico de la Cognición Matemática EOS, dada su generalidad y especialmente,

porque propone dos tipos de análisis específicos (el análisis de las trayectorias3 y

configuraciones didácticas4, y el análisis de la dimensión normativa) que permiten

describir y explicar las interacciones en el aula y, por otra parte también propone un tipo

de análisis para la valoración de la interacción (idoneidad didáctica). La cuarta sección se

refiere a la Comunicación. Inicialmente se aborda el concepto de comunicación desde

diversos autores, donde a partir de los existentes se construyó el concepto que se asume

para la investigación: la comunicación es una interacción social mediada por el lenguaje y

donde el objetivo de cada sujeto es entender y hacerse entender. Luego se mencionan

2 Análisis didáctico: “...el análisis de los contenidos de las matemáticas que se realiza al servicio de la

organización de su enseñanza en los sistemas educativos…”, (González, S.f, p. 2).

3 Trayectoria didáctica es la distribución a lo largo del tiempo de las configuraciones didácticas (Godino,

contreras, Font, 2006).

4 configuración didáctica “es la secuencia interactiva de estados de las trayectorias que tienen lugar a

propósito de una situación-problema (o tarea)” (Godino, Contreras y Font, 2006, p. 27)

17

algunos modelos de comunicación de acuerdo con la evolución histórica del concepto,

modelos sistémico, lineal y orquestal. Posteriormente, se propone una de muchas

clasificaciones de la comunicación, tomada de Niño (1998). A continuación se trata la

relación entre semiótica y comunicación, estudiando la semiótica desde diversos autores.

También dentro del aula se abordan aspectos como el control de la clase, el contrato

didáctico, las normas sociomatemáticas y el discurso matemático como comunicación.

Finalmente se estudian los modos de comunicación desde el punto de vista de Brendefur

y Frykholm (2000).

El capítulo 3 trata la metodología empleada en el presente documento. El tipo de

investigación es mixto, con diseño anidado o incrustado concurrente de modelo dominante

(Hernández, Fernández y Baptista, 2014), el cual es el cualitativo, con enfoque descriptivo

interpretativo y con metodología estudio de caso agregado (Stake, 1994). En este capítulo se

describen las fases de la investigación, características metodológicas generales, metodología

para cada objetivo, sujetos investigados, aspectos éticos, instrumentos para la recolección de

la información, y la validez de los instrumentos y del análisis de la información.

En el capítulo 4 se presentan los resultados relacionados con el objetivo específico 1.

En concreto, para determinar los modelos didácticos dominantes de los profesores de la

Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, se estudió un grupo de 13 profesores cuya

dedicación es de tiempo completo en la Licenciatura de Matemáticas. El objetivo era situar

a estos profesores en algunos de los cuatro modelos de clase, contemplados en el marco

teórico del capítulo 2. Para ello, se realizó una triangulación de fuentes (dos cuestionarios y

una entrevista no estructurada).

En el capítulo 5 se presenta lo referente al grupo de trabajo colaborativo. Uno de los

aspectos fundamentales en esta investigación fue el trabajo desarrollado en el Grupo

Colaborativo iniciado el 27 de marzo de 2015, y culminado (para el proyecto) el 23 de agosto

de 2016; con 25 sesiones de trabajo. Inicialmente se abordan algunos aspectos teóricos sobre

el trabajo colaborativo, luego se describen características y particularidades del Grupo. De

igual manera, se realizó un planteamiento acerca de las reflexiones del trabajo desarrollado,

18

además de la problemática propuesta para las reuniones, y sobre la continuidad del trabajo

colaborativo.

En el capítulo sexto se abordó el Caso del Docente Fernando, el cual se dividió en

cuatro partes: a) presentación del docente. b) antes del trabajo colaborativo; en la cual se

identificaron algunas concepciones del profesor respecto a la matemática y su didáctica, y

se realizó el análisis didáctico a dos de sus clases, teniendo como parámetro los criterios del

Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática EOS. c) durante el trabajo colaborativo;

se determinaron concepciones de los docentes acerca del trabajo que se estaba realizando en

el grupo colaborativo, sobre la matemática y su didáctica, al igual que sobre los patrones de

interacción comunicativos y la comunicación en sí; el grupo hizo el plan de una clase y de

manera democrática lo aplicó el docente Fernando; la clase fue valorada por todo el grupo

de acuerdo a los parámetros del EOS (capítulo 5). d) después del trabajo colaborativo; en

donde nuevamente se identificaron algunas concepciones del docente sobre la matemática y

su didáctica, y se realizó el análisis didáctico a dos clases, desde el EOS. Se cerró el caso

con una discusión final.

En el capítulo séptimo se trató el Caso del Docente Juan, el cual se analizó siguiendo

la metodología empleada en el caso Fernando. En el capítulo octavo se abordan las

conclusiones del estudio, a partir de la consecución de los objetivos propuestos.

Adicionalmente, se plantean las limitaciones y posibles ampliaciones de esta investigación,

así como la difusión de los resultados presentados en ponencias y revistas indexadas. Una

de las conclusiones fundamentales de la investigación es que, al finalizar la labor con el

grupo de trabajo colaborativo, los docentes lograron (re)significar5 sus prácticas

profesionales, pues cambiaron de una tipología de clase tradicional- tecnológica (centrada

en el docente) a una no tradicional-tecnológica (centrada en el estudiante), es decir, el

docente pasó de presentar características unidireccionales a reflexivas. Así mismo, también

lograron (re)significar los patrones de interacción comunicativa; en la primera fase se

presentaron patrones centrados en el profesor, para mudar a unos centrados en el estudiante.

5 (re)significación es el proceso donde generamos nuevos significados para lo que hacemos y sabemos

(Jiménez, 2005).

Capítulo 1. Generalidades

En este apartado se presenta el problema de investigación, contextualizado desde la

experiencia del investigador y de forma general, se describen sus características y se justifica

su relevancia. También se proponen los objetivos del estudio.

Problema de Investigación

Se inicia destacando aspectos de la experiencia del investigador con las clases de

matemáticas; se van a describir desde tres perspectivas: como estudiante, como docente de

educación básica y media, y como docente universitario.

Estudió su bachillerato hasta quinto (hoy décimo) en la Escuela Normal Mixta de San

Mateo (hoy Escuela Normal Superior de San Mateo) y el grado sexto (undécimo) en la

Escuela Normal de Varones de Tunja (Escuela Normal Superior Santiago de Tunja). Las

clases de matemáticas que recibió eran de tipo trasmisionista, expositivas, con escasa

participación de los estudiantes; en esta etapa la importancia fundamental radicaba en el

avance de los contenidos escolares. El trabajo desarrollado por los docentes se sustentaba en

el modelo repetitivo, algorítmico, las tareas consistían en una gran cantidad de ejercicios con

el mismo patrón y las evaluaciones se basaban en responder ejercicios del mismo tipo o

recitar definiciones o propiedades, características de una clase tradicional (Porlán, 1995). La

comunicación era unidireccional (Shanon, 1949, citado por Winkin, 1994), en donde el

docente es el transmisor y el alumno el receptor.

Al inicio de su formación profesional en la UPTC como Licenciado en Matemáticas,

en 1977, el panorama de las clases de matemáticas impartidas en la Universidad no cambió

mucho, los docentes repetían lo que estaba en un texto, hacían énfasis en las demostraciones

y propiedades, pero realmente no se veía nada de contextualización ni de aplicación. Su

tendencia de enseñanza era autoritaria, el estudiante debía obedecer ciegamente al profesor,

el aprendizaje se basada en procesos de memorización y repetición; según Ernest (1989) esa

Capítulo 1. Generalidades 20

tendencia de enseñanza corresponde a un profesor que tiene características de entrenador,

con un tipo de comunicación unidireccional.

En lo referente a la formación pedagógica recibida en la Universidad, se hizo mucho

énfasis en el planeamiento de la clase con objetivos de tres niveles: cognoscitivos, afectivos

y psicomotores. Los pasos de la clase eran: iniciación, motivación, desarrollo, fijación o

mecanización, evaluación y tarea. La tendencia didáctica enfocada se relaciona con lo que

Porlán (1995) denominó tendencia tecnológica, cuyo aspecto fundamental era cumplir con

los objetivos propuestos. La formación pedagógica era descontextualizada, no había relación

con las otras asignaturas del plan de estudios, básicamente se desarrollaba en tres materias:

Ayudas Educativas, se ilustraba la manera de utilizar diferentes materiales que facilitaban la

enseñanza de la temática por parte del docente; Micro-práctica, se trabajaban estrategias de

enseñanza, manejo de grupo, se realizaban algunas simulaciones de clase con los

compañeros y finalmente se realizaba una clase con estudiantes de bachillerato, de la cual

dependía el éxito o fracaso de la práctica en general; finalmente se realizaba una práctica

integral que era una inmersión de tiempo completo en algún Colegio, durante dos meses.

En lo que respecta a su experiencia como docente de matemáticas de educación básica

y media, se remonta al año 1981 y desarrollada por 8 años. Allí su desempeño estaba basado

en la formación que recibió, junto con las clases de los docentes universitarios que le

parecieron más impactantes. Al mismo tiempo cursó la especialización en matemática

avanzada en la Universidad Nacional, donde nuevamente recibió clases en las que el docente

era totalmente autoritario, no había suficiente participación de los estudiantes y la

comunicación era unidireccional.

Posteriormente, empezó a cuestionar la eficacia de la metodología asumida y que le

habían enseñado, ya que observaba que los estudiantes aparentemente aprendían, pero

tiempo después parecía como si nunca se hubiera estudiado la temática. Adicionalmente,

durante su formación universitaria, tuvo el honor de tener como docente al maestro Manuel

Suárez Martínez, cuya metodología era totalmente diferente, se dio cuenta que era un

docente con tendencia constructivista; y por la experiencia vivida con él, comenzó a plantear


cambios en su metodología, aunque no muy de fondo, pues el estilo comunicativo que

caracterizaba sus clases era unidireccional.

En mayo de 1990 inició su experiencia docente universitaria en la UPTC, institución

en la cual continúa trabajando hoy en día. Su vinculación fue como asesor docente, es decir

el encargado de orientar las prácticas pedagógicas en la Licenciatura en Matemáticas. En los

primeros años y siguiendo el contexto que se tenía en las demás licenciaturas, se orientaba

hacia una práctica pedagógica desde la perspectiva de la tecnología educativa; seguía los

mismos pasos en la realización de las clases que cuando era estudiante de la Licenciatura.

Sin embargo, recordaba las fabulosas clases recibidas del maestro Manuel Suárez y empezó

a inquietarse por lograr cambios, en ese momento inició a estudiar la Maestría en Educación

en la Universidad Pedagógica Nacional, lo cual le ayudó a reflexionar sobre su práctica

docente. El modelo del momento era el constructivismo (especialmente desde la

epistemología genética de Piaget); decidió tratar de orientar su trabajo hacia allí.

Desde entonces, junto con otros docentes está empeñado en tratar de cambiar la clase

de matemáticas, orientando a los maestros en formación de la Licenciatura en Matemáticas

hacia una clase diferente. Sin embargo, cuando se va a asesorar las prácticas de los maestros

en formación en algunas instituciones educativas de básica y media, se observa que hay

profesores titulares de las instituciones que los orientan hacia una estructura de clase

tecnológica (Porlán, 1995), aspecto que se evidencia en las observaciones que los estudiantes

escriben en los planeamientos de clase. Indagando con estos profesores sobre la situación, y

según sus comentarios, las únicas clases con orientación diferente a la asumida por ellos,

recibidas en la licenciatura, fueron básicamente las que tienen orientación pedagógica (las

didácticas). Esto y el conocimiento del contexto lo llevó a cuestionarse sobre las clases de

la Licenciatura en Matemáticas, especialmente sobre la oportunidad de participación de los

estudiantes; la clase sigue siendo de tipo unidireccional.

A través de los años, la matemática ha tenido el triste honor de ser considerada como

una de las asignaturas del currículo más difíciles de aprender, desde el punto de vista de los

estudiantes; opinión compartida por algunos padres de familia y hasta por algunos docentes.


Este imaginario popular se debe en gran parte a que la matemática escolar se ve como una

serie de conceptos abstractos, de desarrollo algorítmico, terminada, demostraciones

incomprensibles, definiciones mecánicas, pero sobre todo de un uso prematuro de la

simbología (Bracchi y Paulozzo, 2011; Font, 2003). Dicho imaginario se origina, en parte,

por clases monótonas, repetitivas y con falta de significado, las cuales terminan dando una

imagen negativa de la matemática en los estudiantes; imagen que acaba afectando al proceso

de enseñanza y aprendizaje de esta disciplina (D’Amore, 2006).

A pesar de que es importante la forma en que el profesor enseña matemáticas, ésta no

es la única causa por la que el estudiante no las aprende, ya que el docente no es el único que

interviene en el proceso. Ahora bien, los imaginarios del profesor son un aspecto muy

relevante para tener en cuenta. Por ejemplo, tal como se manifiesta en Jiménez (2010),

existen imaginarios entre los docentes donde el único requisito para ser un buen docente de

matemáticas es saber matemáticas, sin tener en cuenta que tanto el currículo como las

acciones y las concepciones del docente inciden en el aprendizaje del estudiante (D´Amore,

2005). En estos imaginarios, el problema se reduce a que el profesor debe saber matemáticas,

pero no se cuestiona qué tipo de matemáticas debe saber y enseñar, pero “el problema no es

sólo cuánta matemática se sabe, ni cuál es la mejor forma de enseñarla, sino tener suficiente

claridad sobre qué es realmente la matemática” (Hersh, 1986, citado por Jiménez, 2010, p.

135).

Las consideraciones anteriores ponen de manifiesto que la enseñanza de las

matemáticas es un tema complejo en el que hay que tener en cuenta muchos aspectos. Ahora

bien, la práctica profesional6, aunque no totalmente, está dirigida y orientada por el

pensamiento del docente (Ponte, Boavida, Graça, y Abrantes, 1997). Uno de los aspectos

más relevantes en esta práctica, es la concepción del docente acerca de la naturaleza de las

matemáticas, pues ésta y la de las instituciones escolares influyen en su enseñanza tal como

han evidenciado diferentes investigaciones. Por ejemplo, Godino, Contreras y Font (2006,

6 Se considera como práctica profesional a la práctica pedagógica realizada por un docente en ejercicio, es decir

una persona ubicada en una institución educativa que desarrolla la labor de docente.


p. 38) afirman que “se reconoce la importancia que tiene una visión adecuada de la naturaleza

de la matemática como condicionante de los distintos modelos de instrucción7, así como de

la actuación de los profesores en clases”.

También es importante el conocimiento que tiene el docente de las capacidades y el rol

que debe cumplir el estudiante en el aprendizaje. Con relación a este aspecto, Ponte, Boavida,

Graça, y Abrantes (1997, cap. 4 p. 20) manifiestan “[…] estas creencias y valores tienen que

ver directamente con la naturaleza y finalidades de la disciplina, como cuerpo de saber y

como práctica social y también como objeto de estudio”. Una de las creencias más arraigadas

es que el estudiante se considera como un acumulador de información, cuyo aprendizaje

depende exclusivamente del actuar del docente; es decir, se le considera un usuario de las

matemáticas que debe aplicar técnicas, métodos, reglas y algoritmos, sin capacidad de

ofrecer aportes personales (Edo, 2005).

Con relación al papel que tienen los alumnos y el profesor en los procesos aprendizaje

y enseñanza, respectivamente, se ha ido tomando consciencia que éstos están regidos por

determinadas pautas de interacción que merecen ser investigadas por sí mismas. El estudio

de los patrones instruccionales en el aula se ha desarrollado recientemente por la confluencia

de investigaciones comparadas (Alexander, 2000; Clarke, Keitel y Shimizu, 2006; Stigler,

Gallimore y Hiebert, 2000). La hipótesis de que en cada país dominan patrones

instruccionales específicos ha ido tomando fuerza a partir de los análisis de videos asociados

a los estudios Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS, 1995),

TIMSS-R (1999) y Stigler et al, (2000). Dichos trabajos produjeron evidencia respecto a la

existencia de patrones instruccionales dominantes en diferentes países, para matemáticas y

ciencias. Desde el punto de vista de los intereses de esta investigación, los estudios

mencionados proveen información que permite afirmar que el patrón instruccional que se

7 En este contexto se entiende como “ instrucción matemática (o proceso de estudio dirigido) a los procesos de

enseñanza y aprendizaje organizados, en los cuales intervienen unos determinados sistemas de prácticas matemáticas

(conocimientos institucionales), unos sujetos (estudiantes) cuyo compromiso es la apropiación personal de dichas prácticas, el profesor o director del proceso de instrucción y unos recursos instruccionales” (Godino, Contreras y Font,

2006, p. 40).


llama formalista8-magistral tiene una fuerte presencia en muchos países y en particular en la

enseñanza universitaria de las matemáticas.

En el ámbito latinoamericano, diversas investigaciones corroboran esta afirmación

(Ramos, 2006; González, 1994) al poner de manifiesto que muchos profesores de

matemáticas basan su docencia en el enfoque formalista (Quevedo, 1998). Su actuar se

centra en explicar las formas y las relaciones entre objetos matemáticos de base axiomática

(González, 1994), con presentación de conocimientos terminados que impiden las acciones,

conjeturas e imaginación de los estudiantes; se usa de forma mecánica y con exceso de

simbología, demasiada generalización y pocos procesos de abstracción, al igual que de forma

totalmente descontextualizada.

Este tipo de enseñanza de las matemáticas se apoya también en las concepciones del

docente sobre las capacidades de sus estudiantes y el papel pasivo que el alumno debe tener en

el aprendizaje (Porlán, 1995). Esta manera de enseñar las matemáticas privilegia el saber

sobre la relación personal con éste, lo que implica un determinado tipo de comunicación que

asigna un rol secundario y pasivo al sujeto que construye conocimiento (D’Amore, 2006).

El enfoque formalista-magistral privilegia un concepto de comunicación unidireccional, en

donde lo importante es la transmisión de mensajes desde un emisor (profesor) hasta un

receptor (estudiante), mediadas por un canal y un código (Jakobson, 1974), lo que no facilita

la comprensión del mensaje y la participación del receptor.

Se acaba de mencionar un concepto básico en la enseñanza y el aprendizaje de

cualquier área y en especial de la matemática; la comunicación. La comunicación en el aula

de matemáticas es un aspecto prioritario; sin embargo, aunque son muchos los estudios que

se han hecho al respecto, en la clase de hoy no se le concede la importancia que merece, no

se le da relevancia a la forma como interactúan el profesor y los estudiantes y su incidencia

positiva o negativa en el aprendizaje.

8 Se toma el término <Formalista> para expresar descontextualizado, pues en este enfoque no hay más que reglas

que permiten deducir fórmulas a partir de otras, en donde cada fórmula no se refiere a nada en especial (Font, 2003).


La problemática sobre la comunicación en las clases es común a las diferentes áreas,

sin embargo, se acentúa en el aula de matemáticas por la naturaleza abstracta de la misma.

Por lo anterior, a la hora de aprender o enseñar matemáticas la comunicación tiene unas

características específicas que pueden dificultar su aprendizaje; al respecto Cockroft (1985,

p. 4) afirma:

Las Matemáticas proporcionan un medio de comunicación de la información, conciso

y sin ambigüedades porque hace un uso amplio de la notación simbólica. Sin embargo,

es la necesidad de usar e interpretar esta notación y de entender las ideas y conceptos

abstractos que le sirven de base, lo que resulta un escollo para mucha gente. En efecto,

la notación simbólica que capacita a las matemáticas para que se usen como medio de

comunicación, ayudando así a hacerlas ¨útiles¨, puede también hacer las Matemáticas

difíciles de entender y usar.

El enfoque formalista-magistral privilegia un concepto de comunicación

unidireccional, donde el docente no es consciente de las dificultades que puede generar en

el alumno; la comunicación se asume como organización y transmisión de información que

implica una metodología del profesor basada en la exposición de contenidos en forma

algorítmica donde se persigue que el estudiante básicamente repita pasos (Jiménez, Suárez

y Galindo, 2010; Edwards y Mercer, 1988).

Si se adiciona a la anterior problemática el lenguaje utilizado por el docente en su

discurso en el aula, el cual en el enfoque formalista es técnico y básicamente simbólico y

que por ello es diferente al utilizado por el estudiante, va necesariamente a producir una

dificultad en la comunicación, generando un comportamiento pasivo del estudiante, el cual

no va a participar y tampoco a hacer preguntas; espacios que de todas maneras el docente no

brinda (Jiménez, 2011).

Por otro lado, en una clase formalista es típica la interacción donde el profesor es

estructurante, tiende a seguir un patrón de estructura jerárquica (Menezes, 1995), también se

corresponde con un patrón de interacción cíclico (Lampert y Cobb; 1996), en donde el


profesor expone los procedimientos, luego plantea preguntas o problemas para los

estudiantes, los cuales generalmente son extraídos del texto guía, recibe las respuestas de los

estudiantes, evalúa y continúa el proceso de la clase. Lo anterior muestra que en el aula la

autoridad está representada por el profesor (Alrø y Skovsmose, 2002), el cual plantea una

relación comunicativa asimétrica con los alumnos.

Igualmente, el enfoque formalista se corresponde con el modelo lineal o telegráfico de

comunicación, también llamado el modelo matemático. Se basa en la transmisión de

contenidos, donde se destacan dos protagonistas: el emisor y el receptor; es un modelo

unidireccional, un proceso informativo en un solo sentido, que como lo menciona Galeano

(sin fecha), el modelo se aplica para cualquier mensaje independiente de su significación; su

esquema está compuesto por cinco elementos: fuente, transmisor, canal, receptor y destino;

tiene en cuenta el ruido que causa una perturbación.

Figura 1. Elementos de la Comunicación. Fuente: elaboración propia.

La comunicación en el aula puede interpretarse como el proceso de intercambio de

mensajes entre docente y estudiantes, el cual es muy complejo; sin embargo, cuando se envía

un mensaje este no queda automáticamente comprendido de la misma forma que lo envía el

emisor, sino que el receptor crea su propio significado respecto al mensaje.

Dado que se reconoce que la comunicación9 es una condición necesaria para que se

produzca el proceso de enseñanza y de aprendizaje (Ponte, 1997; Amayuela, Colunga y

9 La comunicación es una interacción social mediada por el lenguaje y donde el objetivo de cada sujeto

es entender y hacerse entender.


Álvarez, 2005); sigue siendo importante la búsqueda de alternativas dentro del aula de

matemáticas que lleven a mejorar el proceso comunicativo.

En esta investigación, se quiere determinar elementos que permitan evidenciar si el

enfoque magistral-formalista, con patrones de comunicación unidireccionales es el

dominante en la enseñanza universitaria en la UPTC10 y en particular en la Licenciatura en

Matemáticas de la UPTC; problematizando las prácticas de aula y los patrones de interacción

comunicativa. Igualmente se pretende identificar si es posible (re)significar11 la práctica

profesional universitaria, mediante el trabajo en grupo colaborativo.

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, se formula la siguiente pregunta:

¿Cómo la toma de conciencia12 por parte del profesor de aspectos relevantes de su práctica

profesional, en especial de los patrones de interacción comunicativa, permite (re)significar

sus prácticas de aula?

La pregunta general, se ha concretado en las siguientes preguntas más específicas:

• ¿Cuál es el modelo de clase preponderante en los profesores de la Licenciatura en

Matemáticas de la UPTC?

• ¿Qué modelos de clase y patrones de interacción comunicativa se pueden inferir del

análisis didáctico de las mismas en algunos docentes de la Licenciatura en Matemáticas

de la UPTC?

• ¿Qué modelo de clase propusieron los profesores de la Licenciatura en Matemáticas de

la UPTC, como (re)significación de sus prácticas de aula, después de participar en un

grupo de trabajo colaborativo en el que reflexionan sobre sus clases; en particular sobre

los patrones de interacción comunicativa que en ellas se dan?

10 Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC). 11 (re)significación es el proceso donde generamos nuevos significados para lo que hacemos y sabemos

(Jiménez, 2005). 12 La toma de conciencia se asume como darse cuenta de una situación tras haber reflexionado sobre

ella.


• ¿Qué (re)significación de las prácticas profesionales y en especial de los patrones de

interacción (si es que se produce) de los docentes de la Licenciatura en Matemáticas de

la UPTC se puede inferir del análisis didáctico de clases, después de haber participado

en el grupo de trabajo colaborativo?

Objetivos

Objetivo general. Analizar aspectos de la práctica profesional, en especial los

patrones de interacción comunicativa, de docentes de la Licenciatura en Matemáticas de la

UPTC y su (re)significación a partir de la reflexión sobre su propia práctica.

Objetivos específicos.

• Objetivo 1. Caracterizar los modelos de clase de profesores de la Licenciatura en

Matemáticas de la UPTC.

• Objetivo 2. Identificar los patrones de interacción comunicativa de algunos profesores

de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, a partir del análisis didáctico de sus

clases.

• Objetivo 3. Identificar elementos de la práctica pedagógica de algunos profesores de la

Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, en especial de la comunicación, susceptibles

de ser replanteados.

• Objetivo 4. Caracterizar la (re)significación de las prácticas docentes de los profesores

participantes en el grupo colaborativo, mediante el estudio de su participación en el

grupo y el análisis didáctico de clases posteriores.


Justificación

La motivación que llevó a seleccionar la comunicación en el aula de matemáticas como

problemática a ser analizada, fue inicialmente el reconocimiento de la relevancia que tenía

ésta en la dificultad de los estudiantes para el aprendizaje de las matemáticas. Esta dificultad

observada en las clases era también una problemática de mis colegas de la UPTC, pero,

además, luego de revisar literatura sobe el asunto de la comunicación en el aula, se evidenció

que se trata de un problema relevante en el entorno colombiano y mundial, además en todos

los niveles educativos (Lineamientos Curriculares, 1998; NTCM, 1998, Menezes, 2004).

Dentro de las muchas problemáticas que se tienen acerca de la enseñanza de la

matemática, uno de los aspectos que más llama la atención es justamente la comunicación

que se tiene en el aula de clase, ya que según Vilalba (2006) cualquier actividad humana

entre dos o más personas tiene siempre un carácter comunicativo, cualquiera sea su

dimensión. De por sí, en todas las áreas existen problemas comunicativos, pero dado el

lenguaje particular de la matemática, podría decirse que es un aditamento más para que se

priorice el estudio de la situación.

Al tópico de la comunicación en el área de matemáticas se le ha dado poca importancia,

hasta el punto que se le considera unidireccional, ya sea porque el docente básicamente

resalta los procedimientos y cálculos mecánicos, o por el mismo lenguaje que utiliza en la

clase; estos son algunos de los aspectos que hacen que la comunicación verbal en la clase de

matemáticas sea prácticamente inexistente (Menezes, 1995). Pero esta situación en

Educación Matemática ha venido cambiando a través de los años. Según Menezes (2004) en

países como Estados Unidos, Inglaterra y Australia, la temática se ha venido trabajando

asiduamente desde los años 80 y han surgido referencias sobre la comunicación en

documentos curriculares para la enseñanza de la matemática.

En la National Concilium Teaching of Mathematics (NTCM), importante asociación

de profesores de matemáticas de Estados Unidos, se publicó The Curriculum and Evaluation

Standards for School Mathematics (NTCM, 1998) donde se destaca el papel fundamental


que juega la comunicación en la construcción de las relaciones entre las nociones informales

y el lenguaje abstracto y simbólico de las matemáticas.

En el caso colombiano, en los Lineamientos Curriculares (1998) se plantea la

comunicación como uno de los procesos generales, donde se reconoce que una necesidad

común inherente a todas las profesiones es la habilidad para comunicarse. También allí se

resalta que la comunicación es vital para la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de los

procesos matemáticos; sin embargo, no se le ha puesto suficiente atención desde las prácticas

de aula de matemáticas por las limitaciones de tiempo, y en parte porque se considera que

no es importante y la responsabilidad corresponde a otras áreas.

Además de las investigaciones sobre los procesos de comunicación en el aula de clases,

autores como Steinbring, Bartolini y Sierpinska (1998) han planteado la imperiosa

necesidad, tanto para el maestro como para el investigador de comprender la naturaleza del

discurso matemático.

Adicionalmente, este estudio se centra especialmente en el profesor, ya que en este

contexto sigue siendo el protagonista de las situaciones de aula, y es creciente el

reconocimiento que se le hace como generador de cambios en las prácticas y clases de

matemáticas (Ponte, 1994). Los docentes siguen siendo figuras centrales en la organización

de los sistemas educativos, por lo que cualquier intento de mejora de éstos pasa

ineludiblemente por sus manos (Menezes, 2004). También se ha centrado en la reflexión del

profesor, ya que diversas investigaciones han venido mostrando la eficacia de crear

dispositivos para la reflexión del profesor sobre su propia práctica, para favorecer su

desarrollo profesional y para la (re)significación de la misma (Jiménez, 2002). Además,

dicha reflexión se orientaría al análisis y valoración de los patrones de interacción

comunicativa ya que la conciencia del profesor sobre ellos es un primer paso esencial para

poder cambiar y mejorar su práctica docente.

Igualmente, la participación de profesores en proyectos de naturaleza colaborativa, aún

escasos pero que en los últimos años han ido aumentando, da más posibilidades de favorecer


su desarrollo profesional (NCTM, 1994), al respecto Ponte (1995) menciona la necesidad

existente de cooperación entre docentes e investigadores; los docentes deben asumir un papel

protagónico en el grupo y dejar de ser sólo ejecutores ya que cuentan con su propia

experiencia profesional; se aclara que los grupos de trabajo colaborativo son menos

estructurados que los cursos y exigen de los profesores mucho empeño durante un lapso

relativamente largo de tiempo (Boavida y Ponte, 2002). Estos proyectos pretenden llevar a

los profesores a investigar sobre sus prácticas a partir de sus propias problemáticas. Es

importante este tipo de investigación porque es un instrumento valioso para la comprensión

de la realidad, adicionalmente lleva a los profesores a plantear sus concepciones sobre

algunos aspectos de la enseñanza (Elliott, 1990) y finalmente obligan a profundizar en el

papel de estos contextos de investigación en el desarrollo profesional del docente. También

estas investigaciones ayudan a romper con la concepción de muchos docentes, de que

enseñar e investigar son dos cosas diferentes y opuestas; y solo se ve la enseñanza como un

espacio donde se aplican teorías; es decir, como un punto de llegada y no de partida, (Ponte,

1998).

Al revisar las fuentes bibliográficas, en primera instancia se pretendió profundizar en

los modelos pedagógicos y didácticos que eran más afines con la presente investigación y se

aclara que, aunque algunos son genéricos para cualquier área; en este proyecto se enfocaron

hacia la matemática y la clase de matemáticas. Inicialmente se tomó una clasificación de los

docentes según Ernest (1989): profesor entrenador, tecnólogo, humanista, progresista y

crítico, lo cual permitió determinar unas características diferenciadoras de los docentes.

Posteriormente se indagó sobre tendencias didácticas, entre las cuales está la clasificación

de Porlán (1995): tendencia tradicional; tendencia tecnológica, allí se complementó con

Gimeno (1982); tendencia espontaneista o activista, tendencia constructivista, con las ideas

de Sierpinska (1998) y Piaget (1978). Adicionalmente se tomó la tendencia sociocultural con

autores como Sierpinska (1998) y Vygotsky (1995), tratándose el tema de normas

sociomatemáticas (Yackel y Cobb, 1996; Voigt, 1995; Planas, 2005; Planas e Iranzo, 2009,

Planas y Edo, 2008; Planas y Civil, 2009); al igual que la tendencia interaccionista (Bruner,

1972; Bruner, 1973; Bruner, 1988; Marques, 2007; Sierpinska, 1998), dentro de la cual se

abordó el tema de la lingüística y conflictos entre significados (Godino, Batanero y Font,


2007; Hoffmann, Lenhard y Seeger, 2005; Mercer y Littleton, 2007 en Planas e Iranzo, 2009;

Planas e Iranzo, 2009).

Otra preocupación de este proyecto fue el de analizar clases de algunos docentes de la

Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, por lo cual fue importante revisar literatura acerca

del análisis didáctico utilizado por varios autores (Freudhental, 1983; Puig y Cerdán, 1988;

Gallardo y González, 2006; Pappus, 1970, en Rico, 2013; Arnauld y Nicole, 1987, en Rico,

2013; Rico, 2013). En especial se realizó un estudio sobre el análisis didáctico propuesto por

el grupo de Rico (Rico, 1997; Gómez, 2002; Rico, 2004; Gómez, 2006; MEN, 2003) y el

propuesto por el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática (Godino y Batanero,

1994; Godino, Batanero y Font, 2007; Godino, 2002; Font, 2001; Pochulu y Font, 2011;

Ernest 1989; Font, Planas y Godino, 2010; Moore, 1974; Shulman, 2004; Ball, Lubienski

y Mewborn, 2001; Godino, Contreras y Font, 2006; Font, Contreras, 2008; Yackel y Cobb,

1996; Brousseau, 1997; D’Amore, Font y Godino, 2007; Godino, Font, Wilhelmi y Castro,

2009; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006; Alsina y Domingo, 2010; Vygotsky, 1988;

Barrody, 1993).

Un aspecto fundamental para esta investigación son los patrones de interacción, por lo

cual se inició indagando sobre la interacción en general (Brendefur y Frykholm, 2000; Cobb,

1995; Voigt, 1995, Wood, 1995, 1998; Jiménez, 2011; Coll et al, 2008). Teniendo en cuenta

que el interaccionismo surge en un ambiente educativo y no es propio de la matemática,

se proponen inicialmente las adaptaciones del interaccionismo simbólico a la educación

matemática (Godino y Llinares, 2000; Godino et al, 2000; Sierpinska y Lerman, 1996;

Bauersfeld, 1994; Godino, 2002; D´amore, Font y Godino, 2007). Posteriormente se indagó

sobre los patrones de interacción (Godino y Llinares, 2000; Voigt, 1995; Wood, 1995;

Wood, 1998). Así mismo, se plantean algunas clasificaciones de los patrones de interacción

como los siguientes: patrón de estructura jerárquica (Menezes, 1995); patrón de interacción

cíclico (Lampert y Cobb, 1996); el diálogo triádico (Lemke, 1985); autoridad en el aula (Alrø

y Skovsmose, 2002); organización en el aula (Mehan, 1982; Wood, 1999; Lemke, 1990;

Ponte, Oliveira, Cunha y segurado, 1988). Algunas otras clasificaciones son propuestas por


Voigt (1985), Wood (1995), Peressini y Knuth (1998), Brendefur y Frykholm (2000), Alrø

y Skovsmose (2002), Loska (1998), Schwarz, Dreyfus, Hadas y Hershkowitz (2004),

Sierpinska (1996), Rojas (2011), Schwarz, et al, (2004); Villalta y Martinic (2009); flanders

(1977); Slavin (1996); Velasco (2007); Cornejo y Redondo (2007). Otro aspecto que se

consideró importante se refiere a las interacciones donde la actuación del profesor es

discreta; con autores como: Blunk (1998); Ponte et al (1998); Artzt (1996); Alrø y

Skovsmose (2002); Cesar (2000); Ponte et al (1998); Yackel y Cobb (1996); Cobb (1995).

También se consideraron relevantes las interacciones en la teoría de las situaciones

didácticas, desde: Brousseau (1986); Godino et al (2000); Chevallard, Bosch y Gascón

(1997); Jiménez (2011).

Finalmente se consultó igualmente bibliografía sobre la comunicación, destacando

diferentes aspectos como los que se presentan a continuación. Para la definición de

comunicación se tomaron en cuenta: Niño (1998); Menezes (1999); Ponte (1997); Jiménez

(2011); Vigotsky (1995); Marc y Picard (1992); Porlán (1995); Niss (1999). En cuanto a los

modelos explicativos de la comunicación: Bertalanffy (1950); Poyatos (1994); Shanon

(1949; cit. Dins Winkin, 1994); Galeano (sin fecha); Bateson y Ruesch (1968); Winkin

(1994). En cuanto a las clases de comunicación: Keidar (2005); Niño (1998). Respecto de

Semiótica y comunicación: Peirce (1974); Saussure (1995); Hjelmslev (1969); Eco (1976);

Vygotsky (1988); Vygotsky (1991); Piaget (1978); Piaget (1970); Piaget (1968); Giraud

(1971). Respecto a la comunicación en el aula de matemáticas: Sfard (2002, 2008); Wood

(1998); Alrø y Skovsmose (2006); Lampert y Cobb (2003), Bishop y Goffree (1986); Ponte

y Santos (1998); Ponte y Serrazina (2000); Voigt (1995); Yackel y Cobb (1998); Jiménez

(2011); Sierpinska (1998); Vygotsky( 1995); Vygotsky (1993); Bussi (1998); Bruner (1973);

Bruner (1972); Marques (2007); Ponte et al. (2007); Brousseau (1988); Filloux (1974);

Brousseau (1991); Medeiros (1999); Yackel e Cobb (1996); Brousseau (1986); Sfard

(2008); Rittenhouse (1998); Barufi (1999); Lampert y Cobb (2003); Bonilla (1987); Beyer

(1994). En lo referente a los modos de comunicación: Brendefur y Frykholm (2000); NCTM

(1989,1991); Thompson (1992); Jiménez (2011); Cobb et alter (1997); Lampert (1990);

Menezes (2004); Steffe e D´Ambrosio (1995).

Capítulo 2. Referentes de la investigación

Se presentan como base de la investigación, los siguientes tópicos, que orientaron en

forma general la investigación: las interacciones en el aula de matemáticas; modelos

pedagógicos y didácticos de los docentes; análisis didáctico de clases; y la comunicación en

el aula.

Las Interacciones en el Aula de Matemáticas

Este apartado está dividido en cuatro secciones. Inicialmente se trata la interacción de

forma general y como corriente pedagógica, su adaptación a la educación matemática y la

caracterización del interaccionismo dentro de la educación matemática. En una segunda

parte se estudian los patrones de interacción y comunicación partiendo de qué se entiende

por patrón de interacción, para posteriormente plantear la clasificación de autores como

Voigt, Wood, Peressini y Knuth, Brendefur y Frykholm, Loska, Mercer, Sierpinska, Villalta

y Martinic, Alrø y Skovsmose y finalmente la clasificación propuesta por Schwarz, Dreyfus,

Hadas y Hershkowitz. Luego se trata la interacción donde la intervención del profesor es

discreta. La última sección se refiere a la relación entre la teoría de las situaciones y el

interaccionismo simbólico, en donde se abordan aspectos como el contrato didáctico, el

efecto topaze y el efecto Jourdain.

La interacción se considera la dinámica del proceso comunicativo, y es muy

importante en el estudio de la comunicación en el aula, como lo destacan algunas

investigaciones (Brendefur y Frykholm, 2000; Cobb, 1995; Voigt, 1995; Wood, 1995, 1998;

Jiménez, 2011).

Dado que los procesos de interacción escolar se generan en ambientes

socioculturales, Coll et al (2008b, p. 39) definen la interactividad en términos de la

interacción como: “la articulación de las actuaciones del profesor y los alumnos en torno

a una tarea y un contenido determinados de enseñanza y aprendizaje”, en donde el

Capítulo 2. Referentes de la Investigación 35

conocimiento emerge del propio proceso de interacción resaltando que la construcción

de éste está estrechamente relacionada con el contexto en que se adquiere.

El interaccionismo como corriente pedagógica, a diferencia del constructivismo

Piagetano y el de Vygotsky, sí fue generado pensando en la educación, pero no de manera

particular a la matemática, por ello se abordará a continuación esta especificidad.

Adaptaciones del interaccionismo simbólico a la educación matemática.

Una parte importante de la investigación en educación matemática estudia las

relaciones entre profesor, estudiante y la tarea matemática en las clases de matemáticas,

donde se responden interrogantes sobre la forma de compartir significados matemáticos,

sin que la continuidad de la clase se pierda y sobre la comprensión del estudiante respecto

de las intervenciones del profesor (Godino y Llinares, 2000).

Para responder estas inquietudes, Godino et al (2000) consideran necesario utilizar

constructos teóricos procedentes de otras áreas como la etnometodología,

interaccionismo social y análisis del discurso, realizándoles algunas adecuaciones ya que

estas disciplinas no están interesadas con aspectos relacionados con enseñanza y

aprendizaje de contenidos curriculares y en especial con los de educación matemática.

Esta perspectiva se basa en que la práctica en el aula de matemáticas es vista como un

proceso orientado por reglas y convenios emergentes de la misma disciplina matemática

y de la práctica, donde las dimensiones culturales y sociales son parte del aprendizaje

matemático.

Según Sierpinska y Lerman (1996) el interaccionismo es una de las corrientes sobre

el desarrollo intelectual que enfoca una perspectiva sociocultural sobre las fuentes y el

crecimiento del conocimiento, tiene como objetivo de estudio las interacciones entre

individuos analizadas dentro de una cultura.


De acuerdo con lo anterior, los fundamentos del interaccionismo se pueden

sintetizar en: la cultura del aula que está constituida por la interacción entre profesores y

estudiantes; las reglas y convenios que emergen interactivamente, tanto los referentes a

la disciplina, como los de índole social; y la comunicación, la cual surge de la búsqueda

de consensos y los significados compartidos.

El interaccionismo simbólico se ubica entre las perspectivas individualista y

colectivista (Bauersfeld, 1994). La individualista proviene de la psicología cognitiva, cuyo

representante es Piaget y en donde el sujeto construye su conocimiento matemático. En la

perspectiva colectivista relacionada con Vygotsky, el sujeto se vuelve objeto de prácticas

culturales y el conocimiento matemático que se da es interiorizado. De esta manera, el

interaccionismo simbólico toma en cuenta tanto los procesos individuales como los sociales

a través de la negociación de las normas de aula, las cuales pueden ser de carácter general

o específico de la matemática.

Caracterización del interaccionismo simbólico y la educación matemática.

El interaccionismo simbólico (Godino y Llinares, 2000) dentro de la educación

matemática puede ser caracterizado de acuerdo con su expresión acerca del significado, del

conocimiento matemático, de las formas de conocer, el lenguaje, el aprendizaje, la

enseñanza, los cuales se tratan a continuación:

Significado. El desarrollo del significado se da en la interacción e interpretación entre

los miembros de una cultura ya que el ser humano se relaciona con lo que lo rodea, de

acuerdo con lo que este entorno significa para él; este significado surge de la interacción

social que cada sujeto tiene con el otro, y se modifica mediante el proceso interpretativo que

realiza cada individuo cuando se relaciona con su contexto (Godino y Llinares, 2000). Para

ese proceso de interpretación es fundamental tener en cuenta las intenciones de los

participantes ya que el significado está en el uso de las palabras, frases, signos y símbolos

más que en sí mismos, de ahí la importancia que se le otorga al lenguaje.


Conocimiento matemático. La perspectiva interaccionista le otorga al conocimiento

un carácter discursivo, la matemática es una forma particular de discurso, entendiéndose éste

como el uso del lenguaje como medio para lograr unos fines cognitivos, sociales y otros.

Respecto a las matemáticas, Godino et al (2000) las consideran como una forma de ver el

mundo y de pensar sobre él; la clase de conocimiento matemático que los estudiantes

desarrollan depende del tipo de comunicación que se establezca, de ahí la importancia de

ésta en el proceso educativo, donde se privilegia una práctica basada en convenciones

sociales más que en verdades universales.

Lenguaje. Aunque el lenguaje del interaccionismo simbólico se distingue del utilizado

en el constructivismo Piagetiano y en la perspectiva de Vigotsky, comparte el sentido en que

el lenguaje no es una representación del mundo; es un medio de comunicación que podría

ser reemplazado por algún otro. Esto implica que en el interaccionismo simbólico dentro de

la clase hay que hacer negociación continua de significados, para poder hacer una buena

adaptación a los significados institucionales del contenido y aumentar la reflexión sobre los

procesos constructivos personales (Godino y Llinares, 2000). También es importante

explicitar que el lenguaje puede ser expresado en forma oral, escrita o gestual y representado

por términos, expresiones, notaciones y gráficos, como lo manifiestan, Godino (2002) y

D´amore, Font y Godino (2007).

Aprendizaje. Para el interaccionismo, el aprendizaje comprende dos aspectos: un

proceso de adaptación interactiva por medio de la participación activa en dicha cultura y un

proceso personal de formación. En la clase de matemáticas, la construcción personal de los

significados se realiza en la interacción con la cultura de la clase y el estudiante contribuye

a su vez con la formación de esa cultura; es decir, que el aprendizaje no se entiende como un

compromiso individual donde la mente de la persona trata de adaptarse a un entorno, ni

tampoco es una enculturación a una cultura ya organizada (Godino y Llinares, 2000). Es

bueno resaltar la particularización tanto de la cultura como del grupo que la construye, lo

que constituye una práctica matemática diferente; es decir, “la práctica matemática en el

aula es un proceso de matematización compartido que define una ‘subcultura’ específica

para ese profesor, esos alumnos y esa aula” (Bauersfeld, 1994; p. 140).


La enseñanza. El profesor debe procurar organizar un ambiente interactivo y

reflexivo con sus estudiantes, proponiendo secuencias realizables de actividades y

construyendo de esta manera la cultura de la clase, más que de transmitir o redescubrir un

conocimiento dado de antemano. Para poder llegar a la construcción subjetiva y a las

adaptaciones viables, el grupo requiere oportunidad para entablar discusiones y negociación

de significados. El uso de los medios educativos depende de las convenciones sociales

compartidas. El estudiante alcanza su conocimiento matemático básicamente por su

participación en las prácticas sociales del aula.

En este apartado se ha realizado la caracterización del interaccionismo simbólico y

su relación con la educación matemática, pero dada la diversidad de culturas que se pueden

generar producto de las diversas clases, es adecuado tratar de identificar regularidades que

permitan comprender las interacciones en distintos contextos. Dichos patrones se

estudiarán a continuación.

Los patrones de interacción y comunicación.

Se puede asumir el patrón de interacción como aquellas regularidades que son

interactivamente constituidas por el profesor y los estudiantes, y que tienen como objetivo

llegar a significados compartidos obtenidos a través de negociación (Godino y Llinares,

2000; Voigt, 1995; Wood, 1995). Según Voigt (1995), dada la ambigüedad y diferentes

interpretaciones que se pueden presentar en la clase de matemáticas, la negociación de

significados es muy frágil.

Para Wood (1998), un observador puede caracterizar los patrones de interacción y

comunicación que se revelan en la clase de matemáticas, pues se identifican las distintas

visiones sobre enseñanza y aprendizaje que son defendidas por los participantes; estos

patrones son construidos durante las primeras clases mediante la negociación explícita o

implícita de normas que van a regular las acciones de la clase y describen una forma de

comunicación, dejan identificar el rol del docente, del estudiante y el de las actividades

matemáticas que se realizan en el aula.


Se pueden tomar diferentes enfoques para caracterizar las interacciones en el aula, por

ello surge de forma natural analizar la relación entre los intervinientes en este proceso, es

decir, interacción profesor-alumno, profesor grupo, profesor-clase, alumno-alumno, alumno-

grupo, alumno-clase, grupo-clase, teniendo en cuenta que son relaciones simétricas.

Figura 2. Interacciones en el aula de clase. Fuente: elaboración propia.

Se parte en este estudio del supuesto de que la mayor parte de las actividades que se

realizan en el aula de matemáticas son definidas por el profesor, destacando que la tipificación

de las interacciones en la clase básicamente está de acuerdo con la posición asumida por éste.

Por lo anterior, se identifican interacciones en que el docente asume claramente un rol

estructurante (la conducción de un diálogo por turnos, por ejemplo) y por otro lado, las

interacciones donde el profesor asume un papel referencial (la asesoría eventual a los

estudiantes que desarrollan una tarea en grupo).

Interacción en donde el profesor es estructurante. Este tipo de interacción es muy

común en las prácticas escolares, y valorada por la enseñanza tradicional. Generalmente el


docente tiende a seguir un patrón de estructura jerárquica (Menezes, 1995). Por ejemplo,

Lampert y Cobb (1996) se refieren a un patrón de interacción cíclico, en donde el profesor

expone los procedimientos, luego plantea preguntas o problemas generalmente extraídos del

texto guía, recibe las respuestas de los estudiantes, evalúa y continúa el proceso de la clase.

Como este caso surgen otros más, como el propuesto por Lemke (1985), al que

denominó diálogo triádico o secuencia triádica en el que la intervención del alumno está entre

dos intervenciones del profesor. Esta secuencia tiene la siguiente estructura: Iniciación (I),

Respuesta (R), Evaluación (E), la cual, según el autor, tiene una mayor potencialidad en la

medida en que no enfatiza sólo en la evaluación ni en el mismo feedback, sino que tienen algo

adicional y es que reta a los estudiantes para que continúen con su raciocinio, justificación o

argumentación. También la secuencia triádica puede ser tomada como forma de orientar los

aprendizajes, conducir el conocimiento y la comprensión de los alumnos permitiendo al

profesor ¨mantener el control del discurso y también controlar o ignorar determinadas

respuestas¨ (Pimm, 1987, p. 64). Existe una creencia por parte de los profesores que por medio

de la secuencia triádica pueden involucrar un mayor número de alumnos (Lemke, 1990); a

pesar de esta participación los estudiantes se limitan a respuestas muy cortas y a solicitud del

profesor, traduciéndose en una participación alta pero de baja calidad. En la secuencia triádica

los momentos de iniciación y conclusión generalmente son desarrollados por el docente.

Lo anterior lleva a resaltar la existencia de una autoridad en el aula (Alrø y Skovsmose,

2002), es el profesor quien controla las actividades, estableciéndose una relación asimétrica

entre alumnos y profesor. A este tipo de aula, los autores mencionados atribuyen el nombre

de aula absolutista, en donde se parte del principio de que existe una verdad absoluta que el

profesor debe repetir y transmitir, corrigiendo los errores de los alumnos y orientándolos por

los mejores caminos.

Otra forma habitual en el aula es la organización en tres fases: introducción, trabajo y

conclusión-revisión (Mehan, 1982). En la fase inicial se nota claramente el control del

profesor apelando para ello a la secuencia triádica. Cuando los alumnos son incentivados a

plantear preguntas, estos pueden progresivamente asumir algún control (Wood, 1999). Las


preguntas formuladas por los alumnos generalmente están en la fase de trabajo y orientadas

a resolver sus dudas; el hecho de que determinadas preguntas, si se hacen en la primera fase,

pueden interrumpir la continuidad de la clase, aunque no es una norma explícita, si está inserta

en la cultura de una buena parte de las clases de matemáticas (Lemke, 1990). Los alumnos

que vivencian una clase con esta estructura reconocen la autoridad del profesor especialmente

en las fases de introducción y conclusión, ya que en la fase intermedia generalmente están

presentes otras autoridades como la del texto, la de compañeros con mejor desempeño

reconocido por el grupo y por el profesor (Alrø y Skovsmose, 2002).

Las interacciones profesor-alumno-clase, pueden variar de acuerdo con el aula. Por

ejemplo, el profesor asume el papel de orientador y no de controlador en el aula, no se limita

a la exposición de la materia y a la solución de ejercicios, lo que implica dar respuesta a

preguntas abiertas y exploración de situaciones (Ponte, Oliveira, Cunha y Segurado, 1988).

Las preguntas formuladas por el profesor toman importancia relevante, ya que bien orientadas

pueden desarrollar capacidades de comunicación y raciocinio (Menezes, 1995); el modo y el

momento en que se plantea la pregunta es importante, por ejemplo, si el profesor la formula

al inicio de una interacción estaría condicionando las acciones siguientes.

La investigación en educación matemática identifica varios patrones de interacción,

propuestos por distintos autores como Voigt (1985), Wood (1995), Peressini y Knuth (1998),

Brendefur y Frykholm (2000), Alrø y Skovsmose (2002), Loska (1998), Schwarz, Dreyfus,

Hadas y Hershkowitz (2004), y Sierpinska (1996).

Voigt (1985) propone el patrón de elicitación o extracción y el patrón de discusión. En

el patrón de extracción, Voigt plantea la combinación de dos afirmaciones aparentemente

contradictorias. La extracción de un cuerpo bien definido de conocimientos matemáticos es

yuxtapuesta con la propuesta de un aula de clase liberal y centrada en el estudiante. En este

patrón el autor distingue tres fases:


• El profesor propone una tarea ambigua y los alumnos presentan diversas respuestas y

soluciones que el profesor evalúa.

• Si las soluciones de los alumnos son muy divergentes, el profesor los guía hacia la

respuesta a través de la formulación de pequeñas preguntas y extrayendo trozos de

conocimiento. Voigt (1985) plantea que este patrón se asimila con el “catecismo

socrático”, en donde los pequeños pedazos de conocimiento son asociados con

pequeños avances en razonamiento.

• El profesor y los alumnos reflexionan y evalúan sobre el resultado obtenido.

Este patrón generalmente se asocia con clases tradicionales, pero sin incluir el tercer

punto.

El patrón de discusión. Voigt (1985) lo organiza de la siguiente manera:

• Los alumnos solucionan el problema propuesto por el profesor en pequeños grupos

de trabajo.

• Los estudiantes presentan la solución y explican su proceso de resolución a toda la

clase sin que el profesor haya tenido la preocupación de saber con anticipación el

resultado al que el estudiante llegará.

• El profesor por medio de preguntas va clarificando partes de la explicación de los

estudiantes, de tal manera que lentamente vaya emergiendo una solución que sea

aceptada por todos.

• El profesor pregunta a otros estudiantes por distintas formas de solución y el proceso

reinicia.

Voigt (1985) afirma que el profesor, cuando obtiene divergencia en las soluciones

presentadas por los estudiantes, aplica automáticamente el patrón de extracción. A

continuación, se presentan algunas diferencias entre los dos patrones propuestos por Voigt.


Tabla 1. Patrones de extracción y discusión

Patrón

Extracción Discusión

Solución El solucionar la tarea es el

principal objetivo

El solucionar la tarea es el inicio

para un proceso de explicación

Participación En la participación los alumnos

tienen que seguir el proceso que

el profesor enseñó

En la participación los alumnos

pueden dar sus argumentos y

contribuciones originales

Competencias de los alumnos Las competencias de los alumnos

son implícitas u ocultas

Las competencias de los alumnos

son públicas

Autonomía La autonomía es nula, debe

repetir los mismos pasos del

profesor

La autonomía es total, los

estudiantes pueden aprender cómo

argumentar matemáticamente. Fuente: adaptado de Voigt (1985).

Paralelamente Wood propone otros tres patrones de interacción: El patrón del embudo,

el patrón de focalización y el tradicional.

En el patrón del embudo (Wood, 1994, 1998) se plantean las fases:

• El profesor propone un problema a sus estudiantes cuya solución ya conoce y

desea verificar el conocimiento de sus alumnos.

• Los alumnos se muestran incapaces de resolverlo.

• El profesor va formulando preguntas más fáciles relacionadas con el problema,

de tal manera que las respuestas se orienten a la solución del mismo.

En este patrón de interacción el aprendizaje del estudiante no es realmente

significativo, pues las actividades intelectuales que exige del estudiante son de bajo nivel.

El patrón de focalización (Wood, 1994, 1998) es al comienzo similar al anterior,

salvo que en lugar de resolver el problema conduciendo al estudiante, el profesor enfoca su

atención a través de preguntas en aquellos tópicos del problema que no han sido

comprendidos por los estudiantes, permitiendo de esta manera la resolución del problema,

así:


• El profesor propone un problema a los estudiantes, con cierto nivel de dificultad;

• Ante las dificultades de los estudiantes, el profesor formula una serie de preguntas

con el objetivo de focalizar la atención en un aspecto del problema que es clave para

su comprensión y resolución.

• El profesor permite que un estudiante resuelva el problema, incentivando el

raciocinio y la comunicación de sus ideas al resto de la clase.

Wood (1998) propone un patrón adicional que llamó tradicional, el cual se

caracteriza por las siguientes fases:

• El profesor inicia con una pregunta.

• El alumno responde.

• El profesor evalúa la respuesta del alumno.

Este patrón es utilizado por algunos docentes de matemáticas, se caracteriza porque

los alumnos asisten para poder posteriormente reproducir, a través de prácticas repetitivas o

rutinarias, lo que aprendieron.

Coincidiendo con Rojas (2011) es bueno hacer algunas precisiones sobre los patrones

propuestos, pues los dos autores Wood (1998) y Voigt (1985) describen dos posiciones

encontradas. En la primera, tal vez teniendo en cuenta tendencias didácticas tradicionales,

las actividades de clase están centradas en el profesor (patrón del embudo y patrón de

extracción) y en la segunda posición contemplan actividades en donde los significados son

construidos colectivamente, tal vez orientados por una tendencia interaccionista (patrón de

focalización y patrón de discusión).

Otro aspecto de resaltar es que los patrones de uno y otro autor no coinciden; el patrón

de extracción presentado por Voigt (1985) propone adicionalmente una reflexión sobre lo

realizado, que lo hace diferente al patrón del embudo presentado por Wood (1998). De la

misma manera en el patrón de extracción, las opiniones del estudiante son consideradas desde


el comienzo del proceso, lo que lo diferencia de patrón de focalización. Según Rojas (2011)

entre los dos patrones presentados por Wood (1998) se encuentra el patrón de extracción de

Voigt (1985). Por otro lado, en el patrón de discusión el profesor interviene con aportes que

permiten construir el significado consensuado con los alumnos, criterio que no se tiene en el

patrón de focalización.

Peressini y Knuth (1998) presentan los patrones univocal y dialógico. Es importante

tener en cuenta que asociados a los patrones de interacción, del embudo y de focalización,

está la comunicación univocal y dialógica, a la cual se hará refererencia en otro apartado.

Peressini y Knuth (1998) hablan de los patrones de interacción univocal y dialógico con un

sentido diferente; el patrón univocal tiene como único objetivo la transmisión de la

información, por otra parte, el dialógico es un apoyo al pensamiento en el sentido de dar

significado a través de la interacción.

En el mismo orden, Brendefur y Frykholm (2000), presentan un modelo de cuatro

niveles de comunicación: unidireccional, contributiva, reflexiva e instructiva; asociado a

cada nivel de comunicación, subyace un patrón de interacción, los cuales se describen a

continuación, teniendo en cuenta que los autores los consideran como inclusivos y como

etapas progresivas a nivel de comunicación en el aula.

Patrón unidireccional. Es el más común, el profesor habla casi siempre, hace

preguntas cerradas y no da oportunidades a los alumnos de presentar sus ideas,

pensamientos, estrategias.

Patrón contributivo. Ya se muestra alguna participación de ideas, soluciones y

estrategias, pero sin gran exigencia cognitiva. Las interacciones entre alumnos son acá más

comunes.

Patrón reflexivo. Más allá de participación, se desarrollan conversaciones en torno a

los contenidos y los propios discursos. Las conversaciones son utilizadas como apoyo para


hacer exploraciones más profundas. Las reflexiones no surgen de forma espontánea por parte

del alumno, son proporcionadas por la participación en la construcción del discurso del aula.

Patrón instructivo. El profesor más allá de motivar la reflexión, procura modificar las

comprensiones matemáticas de sus alumnos, así como su propia práctica. El pensamiento

del alumno se vuelve público, mientras que el profesor se hace consciente de los procesos

de pensamiento, limitaciones y capacidades de los alumnos y eso afecta su propia práctica.

La capacidad de reflexionar sobre su práctica puede llevarlo al cambio.

Loska (1998) plantea las interacciones común y natural; presenta un método de

enseñanza que denominó neo-socrático en contraposición con el conocido método socrático.

Este autor considera que el método socrático se limita a una relación uno a uno, las preguntas

realizadas son de respuesta breve generalmente de tipo si-no, donde el rol del alumno es

seguir los pasos lógicos del pensamiento del profesor y responder una serie de preguntas que

le son formuladas. Propone el método neo-socrático que busca abarcar una buena cantidad

de estudiantes y replantea el rol del profesor; sustenta que el docente no puede hacer juicios

de valor respecto a la participación de los estudiantes en cuanto a sus contribuciones acerca

de la temática en cuestión, sino que debe permitir la participación libre del estudiante. El

alumno tiene la responsabilidad por el desarrollo de ideas y explicaciones a lo largo de la

clase, sin importar el orden en que emerjan.

Adjunto a estos dos métodos de enseñanza, Loska (1998) propone dos tipos de

discusiones o interacciones que pueden ocurrir en el aula y que llamó común y natural.

Discusión común. Está asociada al método socrático, el profesor organiza el aula en

forma lineal, haciendo que los alumnos sigan una ruta previamente fijada. Formula

secuencias de intervenciones del tipo pregunta-respuesta, se aceptan las intervenciones de

los estudiantes si están dentro de la guía propuesta.

Discusión natural. Tiene que ver con el método neosocrático, el profesor a pesar de

tener un planeamiento general no espera que las ideas surjan en un determinado orden,


procura mantener abierta una discusión que pueda tener diferentes caminos y llevar a

distintas conclusiones. El modo en que se distribuye el tiempo no es previsible en este tipo

de clase.

Basados en Mercer (1995, citado en Schwarz, et al, 2004) se plantean diferentes tipos

de diálogo que se presentan en el aula: diálogo básico, prospectivo, crítico, reflexivo y de

conferencia (Schwarz, et al, 2004). Estos autores relacionan el concepto de diálogo con el

concepto de compromiso.

Diálogo básico. Se procura establecer un conocimiento común. El profesor presenta

un tema e intenta determinar si los alumnos aprendieron lo suficiente. El profesor orienta al

alumno y se preocupa por la consolidación de su conocimiento.

Diálogo prospectivo. El profesor establece un punto de vista inicial para procurar el

aprendizaje del estudiante, clarifica el problema sin apelar a intervenciones muy elaboradas

y motiva a los estudiantes a participar.

Diálogo crítico. La preocupación de los participantes es comprender diferentes puntos

de vista, elaborar y plantear nuevas ideas, desafiar, refutar y argumentar las opiniones de los

demás. El profesor invita a plantear hipótesis y pruebas, elaborar y argumentar la

construcción de conocimiento.

Diálogo reflexivo. Los participantes procuran integrar y generalizar argumentos

válidos. Recapitulan y elaboran conclusiones sobre las acciones realizadas teniendo en

cuenta más los procesos que los resultados. La característica típica es la de recapitular y

evaluar las experiencias realizadas.

Diálogo conferencia. El compromiso es la transmisión del conocimiento. El profesor

prepara y presenta una temática en la clase como si se tratara de una conferencia. Como

alternativa, se propone la lectura de un texto, en el que el profesor plantea preguntas


previamente elaboradas. Hay preocupación permanente por la aclaración y exposición de

contenidos.

De acuerdo con Schwarz et al (2004), generalmente los profesores apelan a los

diálogos básico y prospectivo, ya que no es fácil la utilización de diálogos argumentativos.

Para desarrollar el diálogo crítico en el aula, el profesor debe tener una participación activa

en la argumentación, procurando desarrollar la discusión, motivando la participación de los

alumnos y preguntándoles para fundamentar y cuestionar los argumentos utilizados. Los

autores resaltan la combinación del diálogo crítico y reflexivo en la clase.

Sierpinska (1996) describe dos patrones más de interacción y comunicación, los

cuales denominó datsit! (¡eso es!) y arusure? (¿estás seguro?), que Godino et al (2000)

rebautizaron como patrones afirmativo e interrogativo, los cuales se describen a

continuación.

Patrón afirmativo. Sierpinska propone los siguientes pasos:

• En clase el estudiante lee un referente teórico (definiciones y ejemplos).

• El profesor hace una revisión o repetición de lo leído y termina con una pregunta

con el fin de que los alumnos encuentren la solución a la problemática

• Un estudiante contesta.

• El profesor evalúa afirmativamente (eso es).

El profesor en este caso no cuestiona cómo obtuvo el estudiante la respuesta, sino que

simplemente da la aprobación.

Patrón Interrogativo. Para este caso, Sierpinska propone que el patrón tiene los

siguientes pasos:

• En clase el estudiante lee un referente teórico (definiciones y ejemplos).

• El estudiante hace afirmaciones sobre lo leído.

• El profesor interroga sobre la afirmación del estudiante (¿Estás seguro?)


• Hay trabajo conjunto entre estudiantes y profesor para buscar la respuesta a la duda

del estudiante.

El estudiante analiza y se cuestiona sobre los referentes teóricos que le presenta el

docente, muestra dudas, pero lo más importante es que el docente en lugar de convencerlo

directamente trabaja conjuntamente con el estudiante hasta llegar a una negociación de

significados. Godino et al (2000) manifiesta que este tipo de patrón, aunque es ideal, solo

es aplicable en grupos pequeños de estudiantes interesados realmente en aprender y no sólo

por aprobar.

Según Villalta y Martinic (2009), las interacciones se pueden agrupar en tres modelos:

transmisión, sistémico- instruccional y conversacional.

Modelo de la transmisión. Se relaciona con la forma de codificar y decodificar la

información, la codificación que debe hacer el docente para entregar de forma clara la

información a sus estudiantes y la decodificación que debe hacer el estudiante para entender

el mensaje se asocia con el enfoque de directividad y no directividad de Flanders (1977),

cuya categorización se presenta a continuación.

Tabla 2. Clasificación de los patrones de interacción según Flanders

Categoría Explicación

1. Pausas de silencio y hablas

simultáneas

Momentos durante los cuales se interrumpe el intercambio verbal

entre los interlocutores (pausas de silencio) o se lleva a cabo de

una manera confusa, debido a que dos o más participantes hablan

simultáneamente.

2. Hablar sobre el estado de

ánimo de los estudiantes

Hablar acerca de los temores, las angustias, las expectativas, las

alegrías, los malestares, o cualquier otra sensación o sentimiento

de sus alumnos.

3. Elogiar o recompensar a los

estudiantes

Cuando un estudiante responde una pregunta, elabora bien un

trabajo, realiza adecuadamente un procedimiento o lleva a cabo

un comportamiento socialmente útil y recomendable como

paradigma o ejemplo a seguir, el docente debe elogiarlo y

destacarlo en una magnitud directamente proporcional al esfuerzo

hecho por el alumno.

4. Retomar ideas de los

estudiantes

Retomar las ideas expresadas por los alumnos, con el fin de

analizarlas, sin criticarlas ni elogiarlas, produce en el salón de

clases efectos positivos.

5. Solicitar información a los

estudiantes

Preguntas o expresiones del docente que esperan una respuesta

de parte de los alumnos, o del alumno señalado, sin criticar,

ni retomar ideas, ni darles órdenes o instrucciones, ni elogiar,

ni hacer referencia al estado de ánimo de los alumnos


6. Dar información a los

estudiantes

Intención que el docente le proporcione información a los

estudiantes. Típico de la clase tradicional.

7. Instrucciones u órdenes a los

estudiantes

Se entiende por órdenes, instrucciones o líneas de acción a toda

expresión verbal de parte del maestro que le sirva a los

estudiantes para saber qué hacer o cómo hacer algo, sin

criticarlos ni elogiarlos, ni retomar ideas expuestas antes por

alguno de ellos.

8. Críticas y correcciones a los

estudiantes

Se utilizan en clase expresiones verbales cuya intención es

hacer sentir mal al estudiante, corregirlo, colocarle una

calificación de reprobación, o, incluso, amenazarlo con expulsarlo

de clase o de la institución

9. Respuestas del alumno

limitadas a lo que se le pregunta

Toda expresión verbal de un alumno donde éste se limite a

contestar correcta o incorrectamente lo que le pregunte el

docente

10. Intervenciones verbales de

iniciativa por parte del alumno

Toda expresión verbal de un alumno que no sea considerada como

respuesta limitada exclusivamente a lo que el docente le ha

preguntado, sin importar si su intervención es o no correcta Autor: Flanders (1977).

Aunque a este modelo se le atribuyen bondades, como el reconocer que, si el docente

refuerza positivamente la participación de los estudiantes mejora el clima del aula, o que si

se presentan los contenidos claramente se mejora la comprensión de los estudiantes,

también hay que reconocer que la interacción es unidireccional en donde el discurso del

docente es el único considerado válido en el aula de clase y la didáctica ideal para este

modelo es que se haga una buena transmisión de contenidos.

Modelo sistémico - instruccional. La didáctica allí se entiende como una

comunicación especializada cuyo objetivo es el logro de determinados procesos cognitivos.

Un ejemplo de este tipo de propuestas es el modelo de instrucción efectiva propuesto por

Slavin (1996), el cual consta de cuatro componentes: calidad de la instrucción, nivel

apropiado de la instrucción, incentivo y motivación de los estudiantes, y tiempo; el estudio

prueba que estas variables tienen impacto en los aprendizajes. Adicionalmente emergen

otras dos variables: eficiencia instructiva y tiempo ocupado. Este modelo pretende abordar

las posibles formas de organización en la clase (Slavin, 1996), las cuales pueden ser

modificadas por el profesor buscando facilitar el aprendizaje de los estudiantes.

Otra visión de la interacción didáctica la presenta Velasco (2007), quien la define

como un proceso de razonamiento interpersonal en el aula entre profesor y estudiantes

teniendo como meta promover aprendizajes. Adicional a los indicadores de procesos


cognitivos de diferente complejidad, sugiere también indicadores sociales organizados en

forma jerárquica según la complejidad de las operaciones cognitivas, las cuales agrupa en

cinco, en forma ascendente y relacionadas con el aprendizaje: recuerda, memoriza, localiza

espacialmente; lee, compara, ordena; analiza, sintetiza, infiere, comprende; soluciona

problemas, lanza hipótesis, estructura, evalúa, diseña; hace metacognición, conocimiento

metacognitivo. Igualmente hay consenso entre investigadores sobre la existencia de

variables asociadas al aprendizaje: de la escuela, la comunidad y el hogar de los estudiantes

(Cornejo y Redondo, 2007).

El modelo Sistémico instruccional se enfoca en las variables de la clase que permiten

obtener aprendizajes, pero resalta los procesos cognitivos y los aspectos organizacionales.

Al estudiante le asigna una condición de aprendiz, pero a la vez interactivamente activo.

Modelos conversacionales. Las orientaciones constructivistas y socioculturales, con

la participación de la filosofía del lenguaje posibilitan la integración de áreas como la

etnometodología, etnografía, sociolingüística, semiótica que hacen emerger una perspectiva

socio-etnográfico-lingüística de la comunicación, que es la que sustenta los modelos

conversacionales del análisis de la interacción en el aula.

Desde esta mirada ya no se ve la interacción en el aula como un hecho de transmisión

de contenidos sino como un proceso que se crea con la estructuración de las prácticas y las

subjetividades de alumnos y profesores en la clase (Delamont, 1984; Villalta, 2009). De

acuerdo con lo anterior las interacciones en el aula se ven como prácticas comunicativas en

contextos culturalmente situados, como lo resalta Planas (2004) “el aula es una cultura con

modelos comunes de interpretación de normas, acciones y creencias que se reconstruyen a

través del discurso por medio de prácticas sociales” (p. 61).

Según Villalta (2009), existe en la escuela un discurso instruccional que se determina

por patrones distintivos de acuerdo con las formas como se utiliza el lenguaje en el aula. El

análisis de estos discursos orienta sobre la forma como los instrumentos de mediación

semiótica transforman el funcionamiento cognitivo, determinado por la participación de los


estudiantes en actividades específicas (Cubero et al., 2008). En este sentido la didáctica se

piensa como una construcción cultural donde el profesor en el encuentro de la clase,

transmite, reflexiona y reconstruye; dejando atrás la concepción de herramienta para la

transmisión de saberes.

Al igual que en la didáctica, la interacción también ha pasado por diferentes procesos:

en el modelo transmisionista se entiende como una acción unidireccional; en el modelo

sistémico-instruccional se ve como una interacción funcional al aprendizaje, y en el modelo

conversacional se ve como una construcción de significados y procesos culturales (Cubero

et al., 2008).

A continuación, se presenta una tabla donde se integran las clasificaciones

propuestas por diferentes autores, que aunque tienen miradas distintas, todos coinciden en

unos patrones de interacción usualmente desarrollados en el aula y otros que aunque con

menor nivel de utilización son considerados por investigadores como relevantes:

Tabla 3. Clasificación de los patrones de interacción

Autores Patrones de Interacción

Usuales en el Aula Relevantes para el Aula

Voigt (1995) Patrón de elicitación o

extracción

Patrón de discusión

Wood (1995, 1998) Patrón del embudo

Patrón tradicional

Patrón de focalización

Sierpinska (1996) Patrón afirmativo Patrón interrogativo

Peressini y Knuth (1998) Univocal Dialógico

Loska (1998) Discusión Común Discusión natural

Brendefur y Frykholm (2000) Patrón unidireccional

Patrón contributivo

Patrón reflexivo

Patrón instructivo

Alrø y Skovsmose (2002) Aula Absolutista Aula dialógica

Schwarz, Dreyfus, Hadas y

Hershkowitz (2004)

Diálogo Básico

Diálogo prospectivo

Diálogo conferencia

Diálogo crítico

Diálogo reflexivo

Villalta y Martinic (2009) Transmisión,

sistémico- instruccional

Conversacional

Fuente: elaboración propia.


Interacción en que la intervención del profesor es discreta.

Esta clase de interacción se tiene en la clase cuando los alumnos están trabajando una

tarea en grupo y la actuación del profesor es discreta. El profesor se desplaza por el aula,

aclara dudas, hace preguntas; es decir su papel es de generador de ambientes adecuados

para desarrollar tareas y acompañar en este proceso a los alumnos. El rol del docente en

este tipo de interacciones es muy importante, es un referencial en el doble sentido: de

favorecer un medio para las interacciones más directas entre los alumnos y de representar a

la comunidad científica, constituyendo una fuente de legitimación.

Ese papel depende del modo como el profesor afronta el desarrollo de las tareas, en

especial las que realizan los estudiantes en grupo. Algunas veces el profesor ve el trabajo

en equipo como una forma de distribuir los alumnos en el aula, para que se ayuden y de esta

manera transcurra el tiempo de clase. Esto es muy común en trabajo de pequeños grupos,

especialmente de dos alumnos que están sentados en el mismo pupitre. En ese caso el

propósito de construir los grupos no es el desarrollo de la tarea en sí, sino una forma de

compensar la falta de tiempo o la falta de material para la clase. Es necesario que el profesor

considere el trabajo en grupo como importante en sí mismo. El profesor puede contribuir al

desarrollo de las capacidades de trabajo conjunto en los alumnos según dos criterios:

cognitivos y sociales. Los cognitivos cuando se busca hablar sobre el trabajo realizado,

discutir los resultados y conclusiones del grupo; en los sociales se pretende hablar sobre la

forma como se desarrolla el trabajo (Blunk, 1998).

Una dificultad encontrada por el profesor en las clases con trabajo en grupo es el

desconocimiento de lo que hace el grupo mientras él no está con ese grupo; esto se presenta

porque el profesor le da más validez a lo que se hace en su presencia (Blunk, 1998). Sin

embargo, hay docentes que valoran más el trabajo que hace el estudiante de forma

independiente sin ninguna supervisión.


El hecho de que el profesor no participe en la mayoría de las acciones que desarrolla

el grupo tiene bondades, pues no le compete ofrecer respuestas sino preguntas y retos

(Blunk, 1998). El profesor puede aprovechar para percibir si el grupo está trabajando como

equipo, es decir si todos contribuyen con sus ideas, se ayudan mutuamente, son capaces de

solucionar sus desacuerdos, si el ambiente es saludable y si cada uno se preocupa por los

demás compañeros. Adicionalmente si el grupo trabaja sin la presencia del profesor,

desarrolla su autonomía. En los grupos generalmente se ve al profesor como una autoridad,

y su papel cuando se integra con ellos no se ve como el de compartir ideas, sino de responder

a las preguntas que ellos plantean (Blunk, 1998).

A continuación, se trabajará un poco más los tipos de interacción en los que la

intervención del profesor es discreta, distinguiendo las interacciones alumno-alumno-grupo

y alumno-grupo-clase.

La interacción alumno-alumno-grupo tiene lugar cuando dos o más alumnos se

integran sin intervención del profesor. Estas interacciones son importantes para el

crecimiento de los alumnos, sin embargo, la experiencia muestra que “la interacción entre

los alumnos es casi inexistente y poco valorizada por el profesor” (Ponte et al, 1998, p.11),

reduciéndose en muchos casos a la resolución de preguntas a los problemas.

Es a través de la práctica de trabajo en grupo que los alumnos pueden evaluar su tarea

y aprender a confrontar con los compañeros aquello que pensaron individualmente y a

participar con sus ideas. Es después de esto que los alumnos están listos para la siguiente

etapa, explicar sus ideas, argumentar y procurar convencer a los compañeros de sus

opiniones.

Otro aspecto a resaltar es la constitución de los grupos; se le da importancia a la

heterogeneidad considerándola como la mejor forma de maximizar los aprendizajes de los

alumnos. La realización de trabajos en grupo da oportunidad para que los alumnos

pregunten, expliquen y verbalicen obteniendo opiniones de los compañeros de grupo. El


trabajo en pequeños grupos se constituye en la forma natural para el desarrollo de la

comunicación matemática (Artzt, 1996).

Según varios autores las interacciones alumno-alumno en el aula, ya sea desarrollando

un proyecto o solucionando un problema en grupo, son potencialmente más ricas que un

aula con tareas más estructuradas y donde los alumnos trabajan individualmente (Alrø y

Skovsmose, 2002; Cesar, 2000; Ponte et al, 1998; Yackel y Cobb, 1996). Los alumnos se

sienten más seguros para participar en pequeños grupos que en grupos grandes; pues la

participación es más espontánea y ayuda a que todos los alumnos participen. Si la discusión

es a nivel de toda la clase, el alumno acaba por callarse por considerar que no es pertinente

su comentario, esto porque el alumno busca agradar al profesor (Alrø y Skovsmose, 2002).

Igualmente es importante resaltar que no basta que los alumnos trabajen en grupo,

interactuando con los compañeros, para asumir que el aprendizaje ocurre (Cobb, 1995).

Para Cobb hay dos niveles de análisis en la interacción entre pares de alumnos: nivel de

proceso <colaboración directa/indirecta>, y el nivel de resultado <univocal, multivocal>.

Existe una colaboración directa cuando los alumnos resuelven la tarea en conjunto. En

cambio, la colaboración es indirecta cuando los alumnos piensan o resuelven la tarea solos,

no necesitan escucharse mutuamente, aunque en ocasiones los comentarios de un alumno

influyen en lo que los otros hacen. El resultado se considera univocal cuando la opinión de

un alumno prevalece sobre la de los demás. Ese alumno representa una autoridad con poder

social o científico. Se trata de un resultado multivocal cuando se escuchan todos los

miembros componentes del grupo, y tratan ellos mismos de llegar a consensos con

opiniones divergentes.

La interacción alumno-grupo-clase se presenta cuando un alumno propone una

situación individualizada a toda la clase, a su vez la interacción grupo-clase surge cuando

el representante del grupo o el grupo en su totalidad presentan el resultado del trabajo

realizado a los restantes compañeros de la clase y se proporciona un espacio de discusión.

En general en estos espacios de interacción es importante que los alumnos escuchen a los


compañeros, especialmente a los de grupos distintos, ser capaces de interpretar lo que los

compañeros expresan y cuestionarlos, si es el caso (Blunk, 1998).

Aspectos interaccionales en la Teoría de Situaciones Didácticas.

La teoría de las situaciones didácticas (Brousseau, 1986) nace como un modelo

teórico cuyo objetivo era constituir una epistemología experimental de la matemática,

independiente del interaccionismo simbólico, pero hay elementos comunes en los dos

marcos teóricos, por ejemplo, las interacciones que Brousseau denominó "efecto Topaze"

y "efecto Jourdain", los cuales se pueden describir como patrones de interacción profesor-

alumno-saber. Otro ejemplo sería la noción de contrato didáctico y las normas

sociomatemáticas. A continuación, se analizan estos aspectos.

Brousseau (1986) afirma que un proyecto social exterior condiciona la relación

didáctica entre profesor-alumnos-saber.

Se establece una relación que determina -explícitamente en una pequeña parte, pero

sobre todo implícitamente- que cada participante, el profesor y el alumno, tienen la

responsabilidad de administrar y de la cual será de una u otra forma responsable ante el

otro. Este sistema de obligaciones recíprocas se parece a un contrato. Lo que nos interesa

aquí es el contrato didáctico, es decir, la parte de ese contrato que es específico del

"contenido": el conocimiento matemático pretendido (Brousseau, 1986, p. 51, citado por

Godino et al. 2000).

Según Godino et al (2000) las actuaciones del profesor y los alumnos deben cumplir

con los siguientes aspectos: el docente debe generar las condiciones para que el alumno se

apropie de un determinado conocimiento y reconozca cuándo sucede; el alumno debe

someterse a las condiciones que el profesor proponga; la relación didáctica debe continuar

pase lo que pase; el profesor debe garantizar que los conocimientos previos y las nuevas

condiciones ofrecen la posibilidad al estudiante de apropiarse del nuevo conocimiento.


Lo fundamental del contrato didáctico no son las normas sociales sino el proceso de

búsqueda (negociación) de un contrato hipotético.

Al igual que en el interaccionismo simbólico se distinguen las normas sociales de las

sociomatemáticas; en la teoría de las situaciones didácticas el contrato didáctico forma parte

del contrato pedagógico y del contrato escolar. Chevallard, Bosch y Gascón (1997, p. 205)

tratan a profundidad estas temáticas.

Por otro lado, se tiene un patrón de interacción llamado "efecto Topaze”, el cual se

caracteriza por las restricciones del sistema social en que se puede dar la enseñanza, lo cual

implica la pérdida del sentido matemático de los conocimientos pretendidos. Este efecto se

caracteriza por lo siguiente:

• El profesor propone una tarea a los alumnos, la respuesta está más o menos

predeterminada.

• El profesor negocia las condiciones en las que se producirá la relación didáctica y

que le darán un sentido.

• Propone preguntas abiertas, con el fin de lograr que este sentido sea lo más rico y

exacto que se pueda.

• Si el alumno fracasa, da informaciones suplementarias para hacer la respuesta más

fácil.

Si los conocimientos pretendidos desaparecen completamente se tiene el "efecto

Topaze" (Brousseau, 1986). Un caso particular del efecto Topaze es el "efecto Jourdain", el

docente para no entrar en debate con el estudiante sobre el conocimiento pretendido, o con

la constatación de un fracaso, acepta una respuesta trivial, desprovista de valor e incluso de

sentido.

También en la Teoría de las Situaciones Didácticas describe otros patrones de

interacción, el relacionado con el profesor y los recursos didácticos que denomina

“deslizamiento metacognitivo” y el que relaciona al profesor con las propias situaciones

llamado “envejecimiento de las situaciones didácticas” (Brousseau, 1986).


Godino et al (2000) afirman que la tipología misma de las situaciones didácticas

(acción, formulación-comunicación, validación, institucionalización) puede ser tomada

como una forma de interacción entre profesor-alumnos-saber-medio. Pero, aunque en la

teoría de las situaciones didácticas se tiene en cuenta el contrato didáctico y algunas normas

sociales, en el fondo “la Teoría de las Situaciones Didácticas sigue viendo el aprendizaje

como un acto individual, desconociendo la influencia social y de alguna forma aún se encaja

dentro de las teorías cognitivistas” (Jiménez, 2011, p. 8).

Tipos de interacción y modelo didáctico del profesor.

Una vez revisada la literatura sobre la interacción en el aula de matemáticas, en el

siguiente apartado pasaremos a caracterizar los diferentes modelos didácticos del profesor,

dado que el tipo de interacción que el profesor prioriza en sus clases es uno de los criterios

fundamentales para caracterizar dichos modelos didácticos.

Modelos Didácticos del Profesor

Uno de los aspectos claves para elaborar los llamados modelos o estilos pedagógicos

y didácticos del profesor es el tipo de interacción que prioriza. En este capítulo se hace una

revisión de las diversas clasificaciones de modelos pedagógicos y didácticos que ha generado

la literatura dedicando especial atención al tipo de interacción de cada modelo. En este caso

en particular se han considerado tanto modelos genéricos del profesor propuestos por autores

que no son del área de la Educación Matemática, como otros modelos propuestos

específicamente para los profesores de matemáticas.

Inicialmente se presenta la clasificación de modelos de profesor de matemáticas

propuesta por Ernest. A continuación, se aborda la tipología de modelos propuesta por

Porlán. Estas clasificaciones se complementan con el modelo de profesor constructivista

sugerido por el constructivismo de Piaget, la perspectiva sociocultural de Vygotsky y el

interaccionismo de Bruner. A continuación, se explicita que un docente no se puede ubicar


exactamente dentro de un modelo, pues tiene características de muchos, pero tiene más

tendencia hacia un modelo que a otro.

Ernest (1989) opina que, a la hora de enseñar matemáticas, los conocimientos de los

conceptos matemáticos son importantes, pero lo que más determina las prácticas del docente

de matemáticas son sus concepciones: acerca de la naturaleza del área, sobre la naturaleza

de la enseñanza de las matemáticas y sobre el proceso de aprendizaje de la misma; las cuales

determinan las tendencias de enseñanza, de aprendizaje y los medios educativos que utiliza.

Por lo anterior propone la siguiente clasificación:

Profesor Entrenador. La base de todo es la autoridad. Entiende la matemática como

un conjunto de normas, reglas y verdades orientadas por la autoridad. Su objetivo es la

fijación de habilidades y destrezas. Su tendencia de enseñanza es autoritaria, donde lo

fundamental es el buen comportamiento del estudiante el cual debe obedecer ciegamente al

profesor. Su modelo de aprendizaje es basado en procesos de memorización y repetición.

Los medios educativos son el papel, lápiz y tablero. Hay un especial rechazo por el uso de

la calculadora en el aula.

Profesor Tecnólogo. La matemática la concibe como conocimiento práctico, útil. El

objetivo de la educación matemática es la aplicación del conocimiento a otras áreas como

las ciencias naturales, sociales, tecnología e industria. La enseñanza busca el desarrollo de

habilidades de los estudiantes donde el docente transmite los contenidos y el aprendizaje se

basa en la solución de problemas prácticos y el desarrollo de destrezas. Se prioriza el uso

recursos tecnológicos como computador, calculadora y en general recursos que faciliten la

experimentación.

Profesor Humanista. La matemática se asocia con conocimiento puro. En la

educación matemática se tienen en cuenta la cultura y el desarrollo del pensamiento. La

enseñanza se basa en la transmisión de estructuras, explicación de los contenidos, motivación

del estudiante. El estudiante al aprender busca comprender los conceptos y sus aplicaciones.


Básicamente no se prioriza en la utilización de medios educativos, se usan los estrictamente

necesarios.

Profesor Progresista. Se concibe la matemática como una estructura de conocimientos

personalizados, donde se pretende utilizar la matemática como fuente de autorrealización y

el desarrollo de cada uno. La enseñanza se orienta al trabajo personal del estudiante y al

desarrollo de su autonomía. El aprendizaje busca la creatividad, exploración e indagación.

No se enfatiza en un medio específico, se utiliza cualquiera que pueda servir para la

formación de conceptos y estructuras.

Profesor crítico. La matemática se entiende como grupo de conocimientos permeados

por la cultura y por tanto dependientes de un sistema social, los cuales al igual que la cultura

están en continua dinámica de cambios. La educación matemática pretende el cambio social

a través de cambios individuales. El profesor metodológicamente se centra en la discusión,

pretende que el estudiante siempre esté cuestionando las verdades matemáticas. El

aprendizaje aquí se concibe como la solución de problemas de la cotidianidad, y la reflexión

personal sobre las concepciones sociales de la matemática. No hay un material específico,

sino que el estudiante de acuerdo a sus requerimientos los utiliza.

A continuación, se plantearán inicialmente aspectos de las tendencias didácticas,

asumidas con la concepción de Porlán (1995), complementada con el constructivismo clásico

de Piaget, el enfoque sociocultural de Vygotsky y el interaccionismo de Bruner.

Modelo tradicional. También llamado obsesión por los contenidos. Se presenta

porque el docente considera que hay una única forma de desarrollar el trabajo en el aula.

Enseñar se asume como explicar los contenidos básicos a los estudiantes, tratando de definir

sus significados y en algunas oportunidades presentando el ejemplo o la demostración. El

docente se preocupa por desarrollar una serie de contenidos organizados secuencialmente,

asumiendo que es el conocimiento que el estudiante necesita de la disciplina en un

determinado grado. En la mayor parte de la clase el profesor explica y el alumno escribe la


información, en algunos casos se presentan aspectos como hablar acerca de la temática o

ante problemas de aplicación plantear su comprobación o demostración.

Este modelo refleja de alguna manera a una gran cantidad de docentes y se debe a que

“es la única forma como sabemos hacerlo” (Porlán, 1995, p 146), ¿por qué?, por diversas

razones, es lo que el contexto institucional y en fin la sociedad espera de ellos, es lo que se

observaba en las clases en la época de estudiantes.

La transmisión verbal de conocimientos es una práctica generalizada, lo que no implica

que sea la mejor, pues en la mayoría de los casos no consigue un adecuado aprendizaje. Para

Porlán (1995) algunos aspectos negativos serían: se pierde la motivación de los estudiantes

al establecer de manera impositiva por parte del docente las temáticas; se vende la idea de

una matemática terminada, pues se plantean los contenidos como unidades de verdad; el

profesor siempre culpa al estudiante por el fracaso de su aprendizaje, ya que la premisa es

que si el profesor explica adecuadamente el estudiante debe aprender; los estudiantes tienden

a preparar mecánicamente las evaluaciones, ya que casi siempre las evaluaciones buscan la

memorización por parte del estudiante.

Modelo tecnológico. Llamado también obsesión por los objetivos. Su pretensión

inicial es superar algunos problemas que presenta el enfoque tradicional, especialmente el

reduccionismo en los procesos didáctico y metodológico. Se destaca porque toda práctica

educativa se realiza con una intencionalidad, o sea el logro de unos objetivos, es decir se

apoya una mayor rigurosidad donde se clarifican las metas a obtener y las actividades a

desarrollar. Se enfatiza en las relaciones entre los conceptos y distintos grados de

complejidad. En cuanto al aprendizaje Porlán (1995) plantea que sucede por un proceso de

asimilación de conceptos con niveles crecientes de dificultad. Pretende hacer una evaluación

objetiva del progreso de los aprendizajes del estudiante con el fin de determinar la

recuperación de los aspectos no exitosos detectados en la prueba diagnóstica inicial, al igual

que la realización de una prueba diagnóstica final; las pruebas objetivas se realizan en test

de opciones múltiples. Al igual que el enfoque tradicional presenta algunas fallas como: la

idea de eficacia se convierte en una obsesión eficientista, rígida y uniformizadora (Gimeno,


1982; en Porlán, 1995, 153); los objetivos se tornan rígidos, si no se comprende que éstos

deben ser replanteados a la luz de las necesidades e intereses de los estudiantes; la evaluación

al ser de tipo cerrado tiene la tendencia a favorecer aprendizajes mecánicos; genera

problemas de rigidez en las prácticas causados por las secuencias de actividades cerradas, al

igual que falta de motivación.

Modelo espontaneísta o activista. Denominada igualmente obsesión por los alumnos.

Busca posicionar al estudiante como el centro del proceso para que pueda tomar decisiones

sobre qué y cómo aprender en un ambiente agradable y natural, lo que le permite realmente

interesarse siendo también ente organizador. Lo anterior buscando contrarrestar la posición

de poder total asumida por el docente en los enfoques anteriores, donde en forma autoritaria

decide qué, cómo, cuándo, con qué y por qué se debe aprender matemáticas, sin tener en

cuenta para nada la opinión del estudiante.

La labor del docente pasa a ser orientador, coordinador de actividades de iniciativa del

estudiante, apoyando la interacción y comunicación entre todos los alumnos, pero ante todo

es un improvisador permanente, sin tomar en ningún momento conductas calificadoras o

sancionadoras.

Al ser el estudiante el eje del proceso de enseñanza se asume como contrapuesto a las

anteriores tendencias donde el eje es el docente y pone de manifiesto uno de los problemas

históricos de la educación, los estudiantes mentalmente separan los significados académicos

de los significados de la vida cotidiana (Porlán, 1995).

Según Porlán algunas de las características propias del enfoque espontaneista son: no

existe una programación definida, ni contenidos claros y específicos, completa negociación

con los estudiantes de proyectos a trabajar los cuales pueden ser orientados a todo el grupo

o a pequeños grupos, se da especial importancia a las salidas de observación, actividades de

consenso y comunicación; el plan de trabajo se adecúa según los intereses de los estudiantes

y periódicamente se realizan asambleas con el fin de discutir sobre la dinámica del aula.


Al igual que las tendencias anteriores también tiene sus problemas, pues sin un diseño

previo es imposible que los docentes exploten en su totalidad las potencialidades de los

estudiantes, como se prioriza exclusivamente los intereses de los estudiantes, es decir cambia

la estructura de poder básicamente al estudiante, puede ser tan perjudicial como el caso

contrario.

Modelo Constructivista. Actualmente hay una tendencia a aceptar que el aprendizaje

no es una simple reproducción del contenido que se ha de aprender, sino que implica un

proceso de construcción o reconstrucción en el que las aportaciones de los alumnos juegan

un papel decisivo. Este punto de vista sobre el aprendizaje conlleva la tendencia hacia una

enseñanza en la que el papel del profesor es más complejo, ya que, además de favorecer en

sus alumnos la construcción de significados, tiene que orientarla en la dirección que marcan

los contenidos del aprendizaje. Aceptar que la enseñanza está mediatizada por la actividad

constructiva de los alumnos obliga a sustituir la imagen clásica del profesor como transmisor

de conocimientos por la imagen del profesor como orientador o guía. Pero, aceptar que los

contenidos que han de construir los alumnos son el resultado de una elaboración social,

obliga también a matizar la imagen del profesor-orientador y aceptar que también tiene como

misión conectar los procesos de construcción de los alumnos con los significados colectivos

culturalmente organizados (Sierpinska, 1998; Piaget, 1978; Vygotsky, 1995).

Sin ánimo de ser exhaustivos se puede decir que un modelo de profesor

constructivista, que en particular tiene en cuenta las aportaciones de Piaget, Vygotsky y

Bruner, entre otros (Sierpinska, 1998; Piaget, 1978; Vygotsky, 1995; Yackel y Cobb, 1996;

Voigt, 1995; Planas e Iranzo, 2009; Planas, 2005; Planas y Edo, 2008; Planas y Civil, 2009;

Bruner, 1972; Marques, 2007; Bruner, 1988; Bruner (1960); Godino, Batanero y Font, 2007;

Hoffmann, Lenhard y Seeger, 2005; Mercer y Littleton, 2007) , se caracteriza por:

• Tener en cuenta los niveles de desarrollo evolutivo de los alumnos.

• Procurar un aprendizaje activo y significativo.

• Ser consciente de la importancia que los conocimientos previos del alumno tienen con

respecto al éxito de cualquier actividad de enseñanza/aprendizaje que se vaya a realizar.


• Valorar la importancia que tienen los aspectos afectivos sobre el aprendizaje.

• Tener en cuenta las diferentes explicaciones que dan las distintas teorías

psicopedagógicas sobre las dificultades que tienen los alumnos para aprender

matemáticas.

• Saber que lo que un alumno es capaz de aprender por sí mismo, viene determinado por

su nivel de desarrollo evolutivo y por sus conocimientos previos, pero esta capacidad de

aprendizaje hay que diferenciarla de la capacidad de aprender con la ayuda y el estímulo

de otras personas (no sólo los profesores, también los amigos, padres, compañeros, etc.).

La diferencia entre estos dos niveles de capacidad es lo que Vygotsky llama la zona de

desarrollo próximo. Así pues, la enseñanza más eficaz es aquella que parte del desarrollo

efectivo del alumno, no para amoldarse a él, sino para hacerlo progresar a través de la

zona de desarrollo próximo, y de esa manera generar nuevas zonas de desarrollo

próximo.

• Reconocer que existen unas interacciones sociales que permiten el desarrollo armónico

de las clases de matemáticas, las cuales implícita o explícitamente orientan el actuar tanto

del docente como de los estudiantes.

En general un docente tiene características de varios modelos, por ello se dice que tiene

tendencia hacia un determinado modelo, porque la mayoría de sus características como

docente se corresponden con ese modelo. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:

Figura 3. Tendencia del profesor hacia un modelo didáctico. Fuente: elaboración propia.


Análisis didáctico

Una vez revisada la literatura sobre la interacción y los modelos didácticos del profesor

(haciendo énfasis en el tipo de interacción que propicia cada modelo), se requieren

herramientas teóricas para analizar la práctica del profesor y poder catalogarla con tendencia

hacía alguno de los modelos didácticos teóricos. En este apartado se revisan diferentes

modelos teóricos para analizar la práctica del profesor, se trata de los llamados modelos de

análisis didáctico. Por último, se explica que en esta investigación se opta por el modelo de

análisis didáctico propuesto por el EOS dada su generalidad y, sobre todo, porque propone

dos tipos de análisis específicos (el análisis de las interacciones y de las trayectorias

didácticas, y el análisis de la dimensión normativa) que permiten describir y explicar las

interacciones en el aula y, por otra parte, también propone un tipo de análisis para la

valoración de la interacción (idoneidad didáctica).

En los últimos diez años en Educación Matemática se están utilizando procedimientos,

conceptos y términos, con significados diferentes de referencia al mismo ente, y cuya

utilidad es cada vez más reconocida. Uno de ellos es el Análisis Didáctico (AD), que ha sido

utilizado por algunos autores (Freudhental, H., 1983; Puig, L., Cerdán, F., 1988) para

señalar “...el análisis de los contenidos de las matemáticas que se realiza al servicio de la

organización de su enseñanza en los sistemas educativos…”, (González, S.f, p. 2).

Aunque se encuentran en la literatura muchos puntos de vista y diferentes aspectos, se

va a considerar para su análisis el enfoque del AD como instrumento para el análisis

curricular, en el sentido de diseño, desarrollo del currículo y formación de profesores. Sin

embargo, cabe aclarar que el AD también ha sido tomado como metodología de

investigación (Gallardo y González, 2006).

Acerca del análisis.

Existen dos conceptos cuyos significados van de la mano, pero son complementarios,

por un lado, está el análisis y por otro la síntesis. Según el diccionario de la lengua española


en su edición de tricentenario, el análisis es “distinción y separación de las partes de algo

para conocer su composición¨, entre otras acepciones; mientras que la síntesis es “la

composición de un todo por la reunión de sus partes” (Real Academia Española, 2006).

El análisis siempre se ha asociado a la filosofía. Fue Sócrates quién planteó las bases del

análisis como lo entendemos en la actualidad; a su vez, Platón adaptó la definición socrática

en su método de división y Aristóteles en su concepción de análisis lo tomó como reducción,

en sus métodos silogísticos.

Igualmente, acerca de los significados de análisis y síntesis se encuentra lo siguiente

en el libro VII de la Colección Matemática de Pappus,

El análisis es el camino que parte de la cuestión que se busca, suponiéndola

conocida, para llegar, por medio de las consecuencias que se deduzcan, a la síntesis

de lo que se dio por conocido. Suponiendo obtenido, en efecto, lo que se busca se

considera lo que se deriva de ello y lo que le precede, hasta que volviendo sobre los

pasos dados, se llega a una cuestión que ya se conoce o pertenece al orden de los

principios; y este camino se llama análisis porque es una inversión de la solución,

mientras que en la síntesis, por el contrario, suponiendo la cuestión, finalmente,

conocida por el análisis, disponiendo sus consecuencias y causas en su orden natural

y enlazando unas y otras, se llega a construir lo que se busca; y este método es la

síntesis. Hay dos clases de análisis, el propio de la investigación, que se llama

teorético, y el que aplica para encontrar lo que se propone, y que se llama

problemático. (Pappus, 1970, p. 991-992; en Rico, 2013, p. 3).

Si se mira con detenimiento la forma de identificación de un objeto matemático, aún

hoy día se tienen en cuenta estos aspectos, basados en conjeturas se hacen

particularizaciones hasta lograr identificar bien el objeto y sus propiedades, es decir se

realiza un proceso de análisis, luego a partir de lo realizado se rearma el ente para poderlo

explicar de una mejor forma y allí está el proceso de síntesis.

Los trabajos de Descartes al inicio de la revolución científica también muestran los

procesos de análisis y síntesis, siempre precediendo el análisis a la síntesis.


Puede denominarse, en general, método al arte de disponer adecuadamente una

secuencia de varios pensamientos bien para descubrir la verdad cuando la ignoramos

o bien para darla a conocer a otros cuando ya es conocida. Así, hay dos clases de

métodos; uno, permite descubrir la verdad y se denomina análisis o método de

resolución y, también puede denominarse método de invención; el otro permite hacer

entender la verdad a otras personas cuando la verdad ya ha sido descubierta. Este

último se denomina síntesis o método de composición, pudiendo ser también conocido

como método de enseñanza. El análisis, por lo general, sirve solamente para resolver

alguna cuestión de ciencia y no para someter a este método el cuerpo completo de una

ciencia (Arnauld y Nicole, 1987, p. 418; en Rico, 2013, p. 3-4).

De acuerdo con lo anterior los autores plantean una definición de lo que se entiende

por método y proponen dos clases de métodos, el de resolución o invención correspondiente

al análisis y el de composición o enseñanza que tiene que ver con la síntesis.

Análisis didáctico en la educación matemática.

Las investigaciones sobre las competencias, los conocimientos matemáticos y el

desarrollo profesional del profesor han adquirido relevancia internacional en los últimos

años y han puesto de manifiesto su complejidad y las limitaciones del conocimiento

producido por dichas investigaciones (Sullivan y Wood, 2008; Schueler y Roesken-Winter,

2016). Por lo tanto, existe una necesidad creciente en el campo de la investigación, por

relacionar los modelos teóricos de la formación docente con la práctica docente, una

necesidad que también está presente en los programas de formación y en la enseñanza de los

proyectos de innovación.

La necesidad de herramientas teóricas para el análisis de la práctica docente se deriva,

por ejemplo, del hecho de que no basta contemplar, en la formación de profesores,

oportunidades para que éstos reflexionen sobre su práctica, porque necesitan herramientas

teóricas que permitan llamar la atención sobre aspectos importantes de los procesos de

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Por otro lado, la investigación ha proporcionado


ejemplos para demostrar que estas herramientas teóricas pueden ser enseñadas a maestros y

futuros maestros (Turner, 2016; Giménez, Font y Vanegas, 2013; Seckel, 2016).

Desde diferentes perspectivas de investigación, cada una relacionada directamente con

las prácticas docentes, se hace hincapié en la manera en que el conocimiento de los maestros

sobre el contenido matemático se pone de manifiesto mediante el empleo de buenas prácticas

en sus clases. Entre ellas podemos destacar: 1) las obras de Rowland et al. (Rowland,

Huckstep y Thwaites, 2005; Liston, 2015) y su propuesta de cuatro categorías de

conocimiento (fundación, transformación, conexión y contingencia) que caracterizan el

conocimiento de la enseñanza activa del Maestro; 2) los aportes derivados de la Lesson

Study Methodology (Fernández y Yoshida, 2004), que incluyen un modelo de análisis

colaborativo empleado por los profesores para planificar, implementar, observar y

reflexionar sobre sus clases de matemáticas; 3) Las contribuciones de Davis (Davis, 2008;

Davis y Renert, 2013) en el marco de su propuesta de Estudio Conceptual, que combina

elementos de los dos enfoques relevantes para la investigación de la educación matemática:

“concept analysis” y “lesson study”. Cada una de estas propuestas se centra comúnmente en

la naturaleza específica concedida a los conocimientos matemáticos para la enseñanza. Este

enfoque tiene ventajas sobre otras investigaciones de carácter más general, que diferencian

el conocimiento didáctico general del conocimiento matemático como disciplina científica.

Las investigaciones anteriormente mencionadas tienen como objetivo común mejorar

las prácticas matemáticas en el aula, centrándose en la complejidad a priori de los objetos

matemáticos, o más bien en el conocimiento matemático del maestro que está en juego en el

manejo de los complejos objetos matemáticos. Este es un propósito compartido por otros

enfoques orientados al conocimiento profesional, cuyo objetivo es reconocer las acciones

que permiten al profesor de matemáticas desarrollar con éxito su profesión. Por ejemplo,

Mason (2002) destaca la importancia de la competencia referida como "mirar con sentido"

el pensamiento matemático de los estudiantes. Dicha competencia permite que el profesor

de matemáticas vea contextos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de una manera

profesional que puede diferenciarse de la manera en que un profesor que no es de

matemáticas vería la situación (Fernández, Llinares y Valls, 2012; Mason, 2002). Del mismo


modo, otros autores hacen hincapié en la importancia de la competencia en el análisis

didáctico (Gómez, 2006), que permiten al profesor identificar y organizar los múltiples

significados del concepto que desea enseñar y, en segundo lugar, seleccionar esos

significados para ser estudiados en los procesos de instrucción.

Para poder realizar sistemáticamente un análisis didáctico que permita la descripción,

explicación y evaluación de los procesos de instrucción, es necesario contar con

herramientas especialmente diseñadas para hacer frente a la complejidad de las matemáticas

y a la complejidad de los procesos de instrucción. Para abordar esta necesidad, la

investigación en la educación matemática ha dado lugar a marcos teóricos específicos que

proporcionan herramientas de análisis. El Enfoque Ontosemiótico (EOS) de la enseñanza de

matemáticas es uno de estos. A continuación se desarrolla con más detalle el modelo de

análisis didáctico de Rico y colaboradores, y el modelo de análisis didáctico propuesto por

el EOS.

Modelo de Análisis Didáctico del Grupo PNA de La Universidad de Granada.

El concepto de AD desde una primera panorámica es planteado por Rico (1997, p.

55), desarrollado entre otros por Gómez (2002), se enfoca en el nivel local de planificación,

es decir, se da relevancia a la planeación considerada como uno de los aspectos importantes

en el trabajo del profesor no sólo de matemáticas sino también de otras áreas del currículo,

asumida como una competencia indispensable del profesor de matemáticas (Rico, 2004). El

docente debe poder desarrollar distintos tipos de planeación, y tener en cuenta que para

planear una unidad didáctica o una sesión de clase, el profesor se debe basar en la

exploración y estructuración de los diversos significados del ente matemático, resultado de

la negociación y construcción de los mismos, apoyado en los organizadores del currículo

planteados por Rico (1997).

La propuesta de Gómez (2006) es analizar el significado de un concepto matemático

desde tres dimensiones: estructura conceptual, sistemas de representación y fenomenología.


La estructura conceptual alude a las relaciones del concepto con otros conceptos, dentro de

la estructura matemática del propio concepto; los sistemas de representación son las formas

como se puede representar el concepto y sus relaciones con otros conceptos; la

fenomenología abarca los contextos, situaciones o problemas que podrían dar sentido al

concepto.

Según Gómez (2002), el profesor puede basarse en el análisis de contenido, análisis

cognitivo, análisis de instrucción y análisis de actuación para planificar una unidad didáctica

o una sesión de clase. La identificación y organización de los diferentes significados de un

concepto por parte del profesor tiene que ver con el análisis de contenido. El análisis

cognitivo hace referencia a la descripción de las hipótesis que asume el docente referente a

cómo los estudiantes pueden progresar en la construcción de su conocimiento a partir de las

tareas y actividades de enseñanza y aprendizaje propuestas. En el análisis de instrucción, el

profesor diseña, analiza y selecciona las tareas que serán las actividades mencionadas

anteriormente. El análisis de actuación alude a la identificación por parte del docente de las

capacidades que los estudiantes han desarrollado, al igual que de las dificultades

manifestadas por los mismos.

Gómez (2006, p. 6) define Análisis Didáctico como “un procedimiento cíclico que

incluye estos cuatro análisis, atiende a los condicionantes del contexto e identifica las

actividades que idealmente un profesor debería realizar para organizar la enseñanza de un

contenido matemático concreto”.

A continuación, describiremos el ciclo de AC del que habla Gómez (2006). Basado

en los resultados obtenidos en el análisis de actuación del ciclo anterior y teniendo en cuenta

los contextos social, educativo e institucional, el profesor determina el contenido a tratar y

los objetivos de aprendizaje que se desean lograr. Luego, el profesor inicia la planeación

con el análisis de contenido, donde el resultado debe ser: identificar y organizar los distintos

significados del concepto asumido como foco de la instrucción, es la base del análisis

cognitivo y la realización de este último sirve como base para la revisión del análisis de

contenido. Igualmente sucede con el análisis de instrucción, donde su formulación depende


de los resultados de los análisis de contenido y cognitivo, y también al realizarse surge la

necesidad de revisar los anteriores análisis.

Lo anterior se traduce en lo siguiente, al realizar el análisis cognitivo, el profesor

selecciona unos significados del objeto, y teniéndolos en cuenta al igual que los objetivos

que se ha fijado con anterioridad, determina las capacidades que se prospecta desarrollar en

los estudiantes, a su vez plantea hipótesis acerca de las posibles vías por las que se puede

desarrollar su aprendizaje cuando aborden las tareas. Con esta información el profesor

diseña, selecciona y evalúa las tareas. Por lo anterior, las tareas que componen las

actividades deben estar acordes con los resultados de los tres análisis mencionados y el

evaluar las tareas puede llevar al profesor a un nuevo ciclo de análisis antes de escoger las

tareas definitivas. Finalmente, el profesor aplica estas actividades, y en esta etapa analiza

las actuaciones de los estudiantes, que le proveen información que sirve como punto de

inicio para un nuevo ciclo. Según Gómez (2006), el conocimiento didáctico es el

conocimiento que el profesor pone en juego durante este proceso.

Otro aspecto que resalta Gómez (2006), es que el eje articulador de los análisis es una

noción, y los organizadores del currículo expresan el significado técnico de esa noción. A

cada noción le asignan un significado teórico, un significado técnico y un significado

práctico. Lo anterior hace una analogía con las componentes de una competencia: ser,

conocer y saber hacer (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2003).

Según Gómez (2006, p. 8) para la exploración de un concepto en matemáticas escolares

se deben tener en cuenta los siguientes elementos y relaciones:

Tabla 4. Elementos y relaciones en la exploración de un concepto

Concepto

Matemático

Elementos

Objetos Casos particulares de un concepto.

Conforman la extensión del concepto.

Conceptos Predicados que son saturados por los objetos.

Conforman estructuras matemáticas.

Estructuras

Matemáticas

Conformadas por conceptos.

Relaciones Horizontales Relaciones entre representaciones.

Verticales Relaciones entre los tres tipos de elementos.

Fuente: Gómez (2006).


Análisis Didáctico en relación con las capacidades del profesor de matemáticas.

Gómez (2006, p. 10,11) propone una forma para identificar las capacidades que

contribuyen al desarrollo de la competencia de planificación del profesor de matemáticas,

basado en la noción de análisis didáctico, lo cual se plantea en el siguiente cuadro:

Tabla 5. Análisis Didáctico propuesto por el PNA.

Análisis Capacidades

Análisis de Contenido

Recabar la información necesaria que le permita identificar los significados del concepto

Organizar esta información de tal forma que sea útil para la planificación

Seleccionar, a partir de esta información, aquellos significados que él considera relevantes para la

instrucción, al tener en cuenta las condiciones de los contextos sociales, educativos e institucionales

Seleccionar los significados relevantes para la instrucción al tener en cuenta las condiciones del

contexto del aula (que surgen de la información que se obtiene del análisis cognitivo)

Análisis Cognitivo

Establecer

Las competencias que se quieren desarrollar

Los focos de interés que se han de tratar

Las capacidades que los escolares tienen antes de la instrucción

Las capacidades que se espera que los escolares desarrollen con motivo de la instrucción (que

contribuyen a las competencias previamente identificadas y que delimitan los significados a tratar)

Las tareas que conforman la instrucción (cuyo establecimiento involucra las capacidades que se

enumeran en el análisis de instrucción)

Las dificultades que los escolares pueden encontrar al abordar esas tareas

Las hipótesis sobre los caminos por los que se puede desarrollar el aprendizaje.

Análisis de Instrucción

Analizar

una tarea

con el

propósito de

Identificar las capacidades que se pueden poner en juego cuando los escolares la aborden.

Identificar las competencias a las que esas capacidades, con la tarea en cuestión, pueden contribuir.

Establecer los posibles caminos de aprendizaje que los escolares pueden recorrer cuando aborden la

tarea.

Evaluar la pertinencia de la tarea a partir de esta información.

Análisis de Actuación

Comparar las previsiones que se hicieron en la planificación con lo que sucedió cuando esa planificación se puso en práctica en el aula.

Establecer los logros y deficiencias de la planificación (actividades y tareas) en su puesta en práctica en el aula.

Caracterizar el aprendizaje de los escolares con motivo de la puesta en práctica de las actividades.

Producir información relevante para una nueva planificación.

Fuente: Gómez (2006).

Algunos Aspectos Teóricos del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática.

El Enfoque Ontosemiótico (EOS) surge con la formulación ontológica de objetos

matemáticos que tienen en cuenta tres criterios de la matemática: resolución de problemas

como actividad socialmente compartida, lenguaje simbólico y sistema conceptual

lógicamente organizado. El grupo de Godino y Font toma como concepto básico la situación

problemática y definen práctica, objeto y significado, resaltando la génesis institucional y

personal del conocimiento matemático.


Sistemas de prácticas referentes a tipos de problemas. Se mencionó como punto de

partida la resolución de problemas, por lo cual es importante plantear algunas apreciaciones

de lo que se entiende por problema. Según Hoc (1987) citado por Chamorro (2003, p. 276)

“un problema es la representación de un sistema cognitivo construido a partir de una tarea,

sin disponer inmediatamente de un procedimiento admisible para alcanzar el objetivo”. Otra

postura por mencionar es la de Schoenfeld (1985) citado por Santos (2007, p. 48) para el

cual ¨un problema es una tarea difícil para el individuo que está tratando de hacerla¨. Como

se puede deducir de las posiciones anteriores, un problema es una encrucijada en donde hace

falta ingenio para poder salir de ella. Para el caso matemático se pueden aplicar las anteriores

definiciones con la particularidad que las situaciones se refieren a entes matemáticos, lo que

sí es claro es que solucionar un problema matemático va más allá de aplicar algoritmos y

realizar operaciones.

Para facilitar la resolución de problemas matemáticos y el planteamiento de su teoría,

Godino y Batanero (1994, p 334) proponen algunas definiciones que se presentan en la tabla.

Tabla 6. Definiciones básicas del Enfoque Ontosemiótico.

Práctica Matemática Se denomina práctica matemática a toda actuación o manifestación (lingüística

o no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a

otros la solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas.

Prácticas Personales Las prácticas personales pueden ser acciones observables o no realizadas por una

persona con los mismos fines que la práctica matemática.

Práctica Significativa Ahora bien, es importante destacar que no siempre con la práctica matemática se

logra el objetivo, sino que en algunas ocasiones se fracasa, por lo que Godino

consideró indispensable plantear lo siguiente:

Una práctica personal es significativa (o que tiene sentido) si, para la persona, esta

práctica desempeña una función para la consecución del objetivo en los procesos

de resolución de un problema, o bien para comunicar a otro la solución, validar

la solución y generalizarla a otros contextos y problemas.

Institución Una institución (I) está constituida por las personas involucradas en una misma clase

de situaciones problemáticas. El compromiso mutuo con la misma problemática

conlleva la realización de unas prácticas sociales compartidas, las cuales están,

asimismo, ligadas a la institución a cuya caracterización contribuyen.

Institución

Matemática

Se denomina institución matemática (M) a las personas que pertenecen a una

institución enfocada a la resolución de nuevos problemas matemáticos. Son, por

tanto, los productores del "saber matemático". Otras instituciones alrededor de

las situaciones matemáticas son los "utilizadores" del saber matemático

(matemáticos aplicados) y los "enseñantes" del saber matemático (la escuela del

saber matemático).


Sistema de prácticas

institucionales,

asociadas a un

campo de problemas.

PI(C).

Está constituido por las prácticas consideradas como significativas para resolver

un campo de problemas C y compartidas en el seno de la institución I.

Representaremos a este sistema por la notación PI(C).

Como ejemplos de estas prácticas sociales que son observables se tiene:

descripciones de problemas o situaciones, representaciones simbólicas,

definiciones de objetos, enunciados de proposiciones y procedimientos que son

invariantes características del campo de problemas, argumentaciones, entre otras.

Sistema de prácticas

personales asociadas

a un campo de

problemas.

Pp(C)

Está constituido por las prácticas prototípicas que una persona realiza en su

intento de resolver un campo de problemas C. Se representa este sistema por la

notación Pp(C)

Fuente: Godino, Batanero y Font (2007).

En los sistemas institucionales, Godino, Batanero y Font (2007) proponen la siguiente

tipología:

Figura 4. Mapa conceptual sobre sistemas de prácticas institucionales.

Fuente: elaboración propia


En cuanto a los sistemas personales plantean los siguientes tipos:

Figura 5. Sistemas de prácticas personales. Fuente: Godino, Batanero y Font (2007).

En el Enfoque Ontosemiótico se busca una adaptación progresiva de los significados

personales a los institucionales. La enseñanza es vista como la participación del estudiante

en la comunidad de prácticas que valida los significados institucionales. El aprendizaje

consiste en la apropiación de los significados institucionales por parte de los estudiantes.

Emergencia de los objetos matemáticos.

En el Enfoque Ontosemiótico los objetos matemáticos son entes abstractos que surgen

de los sistemas de prácticas ligadas a la solución de una tipología de problemas

matemáticos13. Como sistemas, emergen las propiedades holísticas que hacen que el todo

sea algo más que la suma de las partes y que se interrelacionan con todos los elementos del

sistema14. Dado que el objeto es relativo respecto de las prácticas de cada institución, las

cuales cambian de una institución a otra, Godino y Batanero (1994) definen:

13 Un problema es una encrucijada en donde hace falta ingenio para poder salir de ella. Para el caso

matemático, las situaciones se refieren a entes matemáticos.

14 Se asume sistema como ¨un complejo de elementos en interacción" (Bertalanffy, 1950, p 31; cit.

Dins Winkin, 1981/1994: 15).

Global: Todos los sistemas de prácticas personales que el sujeto

manifieste respecto a un objeto.

Declarado: Todas las prácticas realizadas por el sujeto,

teniendo en cuenta las pruebas institucionalmente

propuestas (teniendo en cuenta las correctas y las incorrectas).

Logrado: Todas las prácticas manifestadas que están acordes

con el punto de vista institucional. Hay que tener en cuenta los

significados iniciales y finales de los estudiantes.


Objeto Institucional OI. Es un emergente del sistema de prácticas sociales asociadas

a un campo de problemas, esto es, un emergente de PI(C). Los elementos de este sistema

son los indicadores empíricos de OI. De acuerdo con lo anterior el Objeto Institucional es

considerado conocimiento objetivo, pues fue culturalmente asumido por una Institución y

es el objeto de referencia para los objetos personales. Se aclara que puede ser distinto para

instituciones diferentes. Los objetos personales es un emergente del sistema de prácticas

personales significativas asociadas a un campo de problemas, esto es, un emergente de

Pp(C); es considerado subjetivo ya que va emergiendo progresivamente y acorde con las

experiencias y aprendizajes del sujeto.

Para el tratamiento de los objetos emergentes Godino y Batanero (1994) proponen

una dicotomía para clasificarlos: los que se pueden determinar directamente en un texto

matemático (problemas, definiciones, proposiciones, teoremas, corolarios) y los que

emergen del contexto de los anteriores, de una acción (ver, operar, relacionar) sobre ellos.

Objetos matemáticos primarios. Son los primeros en la dicotomía, que a su vez para

facilitar su tratamiento son clasificados así:

▪ Elementos lingüísticos. Son los términos, expresiones, notaciones, gráficos, los

cuales son expresados por cualquiera de los giros lingüísticos: escrito, oral,

gestual.

▪ Situaciones – problemas. Planteamientos donde indica la exigencia de un

desarrollo.

▪ Conceptos- definición. Claramente identificables dentro de los textos, ya que de

alguna manera describen el objeto emergente.

▪ Proposiciones. Determinan relaciones entre los conceptos.

▪ Procedimientos. Identifican las operaciones entre los conceptos: Cálculos,

operaciones, desarrollos algorítmicos.

▪ Argumentos. Expresiones que permiten explicar los problemas, conceptos,

proposiciones o procedimientos.


Los seis tipos de entidades primarias surgen como contraposición a las entidades

típicas (conceptuales y procedimentales), que no pueden describir en su totalidad los objetos

intervinientes y emergentes del trabajo matemático. Los autores del Enfoque Ontosemiótico

asumen que el considerar una entidad como primaria es un aspecto relativo ya que en cierta

forma están dependientes de los juegos del lenguaje en que están inmersos. Los objetos

matemáticos están relacionados entre sí formando configuraciones (redes de objetos

intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas y sus interrelaciones), las cuales a

su vez pueden ser Socio-epistémicas (redes de objetos institucionales) o cognitivas (redes

de objetos personales) (Godino y Batanero, 1994).

Objetos matemáticos secundarios. Toma importancia para la identificación de los

objetos contextuales el significado de los mismos, entendiéndose que el significado de los

objetos matemáticos debe estar referido a la acción (interiorizada o no) que realiza un sujeto

en relación con dichos objetos (Godino y Batanero, 1994), por ello y basados en estos

autores, se define a continuación el significado de los objetos institucionales y personales:

El Significado de un objeto institucional OI es el sistema de prácticas institucionales

asociadas al campo de problemas de las que emerge un OI en un momento dado.

Simbólicamente, para un tiempo t y una institución I: S(OI) = PI(C). Si I=M, se habla del

significado matemático de un objeto.

En cuanto a los objetos personales se tiene que el Significado de un objeto personal Op

es el sistema de prácticas personales de una persona p para resolver el campo de

problemas del que emerge el objeto Op en un momento dado: S(Op) = Pp(C). Dos aspectos

contextuales que enmarcan los significados de los objetos matemáticos son la noción de

institución y juego de lenguaje; a partir de éstos, los objetos matemáticos que intervienen en

las prácticas y los emergentes de las mismas pueden ser clasificados como (Godino, 2002):

▪ Personal – institucional. Son objetos considerados institucionales si son

compartidos al interior de una institución, mientras que son objetos personales si son

propios del sujeto.


▪ Ostensivo – no ostensivo. De acuerdo al juego del lenguaje, se considera que un

objeto es ostensivo cuando se puede mostrar a otras personas; es decir es de

dominio público, si no lo es, se les puede mostrar a través de sus ostensivos

asociados (símbolos, gráficos, formas de notación, entre otros). Para el caso, los

objetos institucionales y personales son no ostensivos, ya que están en el

pensamiento de las personas.

▪ Expresión – contenido. Los objetos matemáticos sólo se pueden comprender como

sujetos relacionados mediante funciones semióticas, entendidas como relaciones

implicativas, donde el antecedente es una expresión o lo que se quiere significar y el

consecuente es un contenido o significado.

▪ Extensivo – intensivo. Se resalta la utilización de un objeto como un caso particular

o como un caso general.

▪ Unitario – sistémico. Dependiendo de la situación, los objetos matemáticos son

asumidos como sistemas (deben descomponerse para su estudio en sus partes

retomando sus relaciones y operaciones) o como objetos unitarios. Ejemplo, los

números Naturales.

Según Font (2001) sólo hay dos maneras de entender la comprensión, como proceso

mental y como competencia; criterios epistemológicos claramente opuestos. Los enfoques

cognitivos en didáctica de la matemática lo entienden como proceso mental, en el EOS se

asume como competencia. La comprensión también se expresa en términos de funciones

semióticas, ya que el conocimiento se entiende como el contenido de funciones semióticas.

Formas de análisis del desarrollo de una clase de matemáticas.

Para este apartado se utilizó como referencia el ejemplo de análisis de una clase no

significativa propuesto por Pochulu y Font (2011). Lo que se pretendió fue clasificar a la


clase y al profesor de acuerdo a las tipologías planteadas en el capítulo anterior: la propuesta

por Ernest (1989) donde clasifica al docente como entrenador, tecnólogo, humanista,

progresista o crítico y la clasificación de Porlán complementada con los criterios de Piaget,

Vygotsky y Bruner, donde se proponen los modelos teóricos de profesor tradicional,

tecnológico, espontaneista y constructivista. Para lograr lo anterior se toma como referencia

la Teoría de las Situaciones Didácticas y la Teoría Antropológica de lo Didáctico,

caracterizadas por tener en cuenta los puntos de vista socioculturales, y por ende también en

un modelo integrador propio de la educación matemática, como es el enfoque

Ontosemiótico. Se utilizó también el modelo de análisis didáctico propuesto por el enfoque

Ontosemiótico (Font, Planas y Godino, 2010) el cual permitió analizar los pormenores de una

clase de matemáticas.

Inicialmente se analizó el contexto de la clase con aspectos como: la institución

(ubicación, pública o privada, estrato, número de estudiantes, etc.), el docente (antigüedad

en docencia, selección, etc.), la clase (duración, grado, número de alumnos, etc.). Para el

análisis de la clase, el enfoque Ontosemiótico propone dividir el registro en configuraciones

didácticas entendidas como “las interacciones profesor-alumno, a propósito de una tarea

matemática y usando unos recursos materiales específicos” (Godino, Contreras y Font, 2006,

p 39). Los mismos autores plantean que una configuración didáctica está compuesta por

configuraciones epistémicas (tarea, reglas, argumentaciones, lenguajes), configuraciones

docentes (asignación, motivación, recuerdo, interpretación, regulación, evaluación),

configuraciones discentes (exploración, comunicación, validación, recepción,

autoevaluación), configuraciones cognitivas, afectivas y mediacionales. El cambio de

configuración didáctica está dado por el cambio de realización de una tarea, sin embargo, es

un criterio que se considera flexible y depende del investigador.

Como referente teórico para analizar las configuraciones didácticas, Godino, Contreras

y Font (2006) plantean cuatro tipos de configuraciones: magistral, personal, a-didáctica y

dialógica. Se toma una configuración didáctica como magistral cuando el profesor asume una

manera tradicional de enseñar matemáticas, donde se hace una explicación de los contenidos

por medios expositivos, desarrollo de ejemplos y ejercicios sobre la temática presentada;


implícitamente se le delega al estudiante la tarea de vivir los momentos de exploración,

formulación y validación. Otro tipo de configuración es la personal, allí es el estudiante el que

estudia sin intervención directa del docente, opuesto al caso tradicional, los estudiantes

solucionan ejercicios tomados de libros o propuestos por el profesor, muestran que están

capacitados para ello. La configuración a-didáctica considerada de naturaleza teórica se da

cuando las situaciones de acción, formulación, validación e institucionalización determinan el

rol del alumno en interacción con el medio. Por último, se tiene la configuración dialógica,

tomada como intermedia entre la a-didáctica y la magistral, allí el estudiante explora la tarea

y plantea alguna forma de solución, y el docente formula las problemáticas y valida las

respuestas o formulaciones de los estudiantes, quedando el proceso de institucionalización

como un diálogo contextualizado.

Igualmente Font, Planas y Godino (2010) proponen para poder analizar de una forma

completa un periodo de instrucción, cinco aspectos de análisis sobre los procesos de enseñanza

y aprendizaje: identificación de prácticas matemáticas; elaboración de las configuraciones de

objetos y procesos matemáticos; análisis de las trayectorias e interacciones didácticas;

identificación del sistema de normas y metanormas y valoración de la idoneidad didáctica de

la clase como tal.

Identificación de prácticas matemáticas realizadas en una clase de matemáticas.

Es bueno iniciar esta sección recordando la definición de práctica matemática dentro del

enfoque Ontosemiótico, “consideramos la práctica matemática como cualquier acción o

manifestación (lingüística o de otro tipo) llevada a cabo en la resolución de problemas

matemáticos y en la comunicación de soluciones a otras personas a fin de validarlas y

generalizarlas a otros contextos y problemas” (Godino y Batanero, 1994, p. 8). Se busca ir

desde la situación problema y las prácticas propias para su resolución hasta la identificación

de objetos y procesos matemáticos que permiten tales prácticas. Pochulu y Font (2011)

manifiestan que este es un proceso que se debiera dar como si un profesor le comentara a otro

lo que pasó en la clase, desde el punto de vista matemático. Hay que tener en cuenta que en

una práctica inicialmente interviene un agente y un medio, es decir, la persona o institución


que realiza la práctica y dónde dicha práctica se hace, igualmente hay necesidad de considerar

otros tópicos como los valores e intenciones.

Elaboración de las configuraciones de objetos y procesos matemáticos.

Se trata de determinar los objetos y procesos matemáticos que intervienen en las

prácticas matemáticas, al igual que los objetos y procesos emergentes de la realización de las

mismas. Debe analizarse las interacciones docente-estudiante y estudiante- estudiante. Se

destaca el uso de lenguajes tanto verbales como simbólicos como la parte ostensiva de los

conceptos, proposiciones y procedimientos. En resumen, busca describir la complejidad de las

prácticas matemáticas. El entramado que conforman estos objetos se presenta en la figura 6.

Figura 6. Configuración de objetos y procesos matemáticos desde el Enfoque Ontosemiótico. Fuente: Font, Planas y Godino (2010)


En la figura seis se presenta la forma de los objetos matemáticos, pero si lo que interesa

es la dinámica entre ellos, es decir la interacción entre los mismos hay que utilizar la tipología

propuesta por el enfoque Ontosemiótico (Font, Planas y Godino, 2010, p. 10).

Figura 7. Interacción entre los objetos matemáticos propuestos por el Enfoque Ontosemiótico. Fuente: Font, Planas y Godino (2010).

Lo que se pretende es modelar la actividad matemática tomando como base los

sistemas de prácticas tanto operativas (lectura y producción de texto) como discursivas

(reflexión sobre las prácticas operativas). En el primer nivel aparecen los tipos de objetos

matemáticos: lenguaje, definiciones, proposiciones, argumentos, procedimientos y

situaciones. En el último nivel (decágono) aparecen las cinco dimensiones duales bajo las

cuales se pueden analizar los objetos matemáticos: personal/institucional, unitaria/sistémica,

expresión/contenido, ostensiva/no-ostensiva y extensiva/intensiva. En cuanto a los dieciséis

procesos, en la gráfica 7 se determina cuáles están relacionados con las dimensiones duales

y cuáles con los objetos matemáticos (Font, Contreras, 2008).

Análisis de las trayectorias e interacciones didácticas.

Se deben describir los patrones de interacción, los cuales se utilizan para tipificar las

configuraciones didácticas y las trayectorias didácticas. Unas de las interacciones que hay que


privilegiar son las que giran alrededor de los conflictos semióticos, los cuales son abordados

desde el Enfoque Ontosemiótico como significados diferentes asignados a un mismo objeto

por dos entidades, ya sean personas o instituciones; si se presentan entre instituciones se les

llama conflictos semióticos epistemológicos o epistémicos, en caso contrario es decir se

presenta entre dos personas se le denomina conflicto semiótico de tipo cognitivo. Si el desfase

significativo surge de una acción comunicativa se trata de conflictos semióticos

interaccionales.

Identificación del sistema de normas y metanormas.

Son los que soportan a las configuraciones y las trayectorias didácticas; regulan las

distintas dimensiones de estos procesos (epistémica, afectiva, cognitiva, etc.). La actividad

matemática también tiene un espíritu social, en cuanto a las interacciones sociales en el aula

como base para la comunicación matemática. El aprendizaje matemático “está condicionado

no sólo por conocimientos matemáticos y didácticos, sino por algunas reglas llamadas

normas sociomatemáticas (Yackel y Cobb, 1996) y las cláusulas del contrato didáctico

(Brousseau, 1997)”, (Pochulu y Font, 2011, p. 376).

Desde el enfoque Ontosemiótico se han desarrollado trabajos como los de D’Amore,

Font y Godino (2007), y Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009), en los cuales se plantean

clasificaciones de las normas según diferentes tópicos como: el momento en que intervienen

(diseño curricular, planificación, implementación y evaluación), procesos de enseñanza y

aprendizaje que abordan (epistémica, cognitiva, interaccional, mediacional, etc.) y su origen

(disciplina, escuela, aula, etc.), entre otros. Las normas epistémicas se encuentran en los

elementos de las configuraciones de objetos que controlan las prácticas matemáticas en un

entorno institucional. Se habla de normas metaepistémicas a las que algunos autores aluden

como sociomatemáticas (Yackel y Cobb, 1996). Finalmente, para analizar los conflictos es

bueno estudiarlos desde la discordancia entre prácticas personales e institucionales, teniendo

en cuenta que en algunos casos pueden ser prácticas desviadas, aunadas al uso de normas.


Valoración de la idoneidad didáctica.

Hasta este momento con el análisis se responde a la pregunta ¿qué ha ocurrido aquí y

por qué?, pero no se evalúa el proceso de clase como tal y mucho menos se proponen

mejoras, cuestión que se soluciona con este apartado el cual se encarga de la valoración de la

idoneidad didáctica (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006). Estos autores proponen seis

criterios para determinar la idoneidad didáctica de los procesos de enseñanza y aprendizaje:

Idoneidad Epistémica. Para valorar los contenidos matemáticos enseñados,

comparando los significados de referencia con los institucionales aplicados o planeados,

según Alsina y Domingo (2010) hay que analizar qué contenidos matemáticos aparecen y

con qué frecuencia, al igual que identificar el modelo implícito que aparece en cada actividad

o serie de actividades.

Idoneidad Cognitiva. Comprende dos momentos, pre y pos ejecución de la actividad,

antes de la clase para valorar si lo que se pretende enseñar está al alcance del estudiante y

después de la clase para identificar si los aprendizajes logrados se aproximan a los

aprendizajes pretendidos, es decir, se mira el grado de proximidad entre los significados

implementados o planeados y los cognitivos o personales iniciales de los estudiantes;

Vygotsky (1988) destaca que se trata de determinar en qué medida los significados

pretendidos o implementados están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos.

Identidad Mediacional. Para valorar los recursos materiales y temporales utilizados en

la clase en cuanto a su disponibilidad y adecuación para el proceso, destacando que según

Barrody (1993) la utilización de materiales manipulativos no es una condición necesaria y

suficiente para el éxito en el aprendizaje.

Idoneidad Emocional. Para determinar el grado de interés o motivación del estudiante

en la clase, aclarando que éste puede depender de los factores internos a la clase o externos

que tienen que ver con las vivencias de los estudiantes.


Idoneidad Interaccional. Para valorar las interacciones de la clase, en el sentido de ser

válidas por los alumnos en lo concerniente a resolver dudas y dificultades, lo cual se evalúa

durante el proceso y a priori identificar conflictos semióticos potenciales. En estudios

realizados por Font, Planas y Godino (2010), y Planas e Iranzo (2009) se plantean algunas

sugerencias para mejorar esta idoneidad.

Finalmente, la Idoneidad ecológica. Para valorar la concordancia de la clase con el

proyecto educativo de la institución, los procesos curriculares, y el contexto social y

profesional.

Modelo de Análisis Didáctico utilizado en esta investigación.

Después de la revisión de la literatura sobre modelos de análisis didáctico de procesos

de instrucción realizada en los párrafos anteriores, en esta investigación se ha optado por el

modelo de análisis didáctico propuesto por el EOS dada su generalidad y, sobre todo, porque

propone dos tipos de análisis específicos (el análisis de las interacciones y de las trayectorias

didácticas, y el análisis de la dimensión normativa ) que permiten describir y explicar las

interacciones en el aula y, por otra parte también propone un tipo de análisis para la

valoración de la interacción (idoneidad didáctica).

Estudios Empíricos Relacionados con el Modelo de Análisis Didáctico del EOS.

Utilizando como marco teórico los constructos del EOS, se han realizado una serie de

experimentos de diseño, estudios de tipo naturalista y cursos de formación, los cuales han

permitido, por una parte, el desarrollo del modelo de conocimientos y competencias del

profesor de matemáticas (CCDM) propuesto por dicho enfoque, y por otra parte, han

permitido poner a prueba dicho modelo de CCDM en situaciones empíricas. En diferentes

investigaciones y contextos de formación, se han diseñado e implementado ciclos formativos

para que los profesores (o futuros profesores) desarrollen las competencias del modelo

CCDM y aprendan los conocimientos que se contemplan en él (por ejemplo, Rubio, 2012;

Pochulu, Font y Rodríguez, 2016; Seckel, 2016). Se trata de ciclos formativos en los que se


pretende enseñar a los participantes algunos de (o todos) los tipos de análisis didáctico

contemplados en el modelo de análisis didáctico propuestos por el EOS (Font, Planas y

Godino, 2010; Pino-Fan, Assis y Castro, 2015), ya que se supone que realizar estos tipos de

análisis didácticos permite desarrollar la competencia clave de este modelo, la competencia

de análisis e intervención didáctica, y también el aprendizaje de los diferentes tipos de

conocimientos contemplados en el modelo de conocimientos y competencias del profesor

de matemáticas. Por esta razón, en numerosas ocasiones se han realizado ciclos formativos

(muchos de ellos con un formato de taller) con el objetivo de enseñar el modelo de análisis

didáctico propuesto por el EOS. Se trata de ciclos formativos (talleres) diseñados como

entornos potentes de aprendizaje de manera que: 1) los asistentes tengan una participación

activa a partir del análisis de episodios de aula; y 2) los tipos de análisis que propone dicho

modelo de análisis emerjan de la puesta en común realizada en el gran grupo.

Dichos ciclos formativos (talleres), en el Office of State Assessment (OSA) son

considerados experimentos del desarrollo de las competencias y conocimientos del profesor

(EDCCP) y son un tipo de Teacher Development Experiment (TDE). Según Simon (2000),

los TDE estudian el desarrollo profesional del profesor en formación o en servicio, y se

fundamentan en los principios de los experimentos de enseñanza (Steffe y Thompson, 2000;

Cobb et al. 2003), lo que significa que un equipo de investigadores estudia el desarrollo del

profesor a la vez que lo promueve como parte de un ciclo continuo de análisis e intervención.

Este tipo de investigaciones también contemplan el estudio de casos.

En los diferentes talleres para profesores o futuros profesores de matemáticas

implementados (EDCCP) con el objetivo acabado de comentar −dos de las cuales están

descritos en Rubio (2012) y Seckel (2016) −, se han observado algunas regularidades que se

formulan de la siguiente manera:

Los profesores o futuros profesores, cuando tienen que opinar (sin una pauta

previamente dada) sobre un episodio de aula implementado por otro profesor, expresan

comentarios en los que se pueden hallar aspectos de descripción y/o explicación y/o

valoración. Las opiniones de estos profesores se pueden considerar evidencias de algunas de


las seis facetas (epistémica, cognitiva, ecológica, interaccional, mediacional y emocional)

del modelo del conocimiento didáctico-matemático (CCDM) del profesor de matemáticas

(una parte del CCDM). Cuando las opiniones son claramente valorativas, se organizan de

manera implícita o explícita mediante algunos indicadores de los componentes de los

criterios de idoneidad didáctica (otro componente del modelo CCDM) propuestos por el EOS

(idoneidad epistémica, mediacional, ecológica, emocional, interaccional y cognitiva).

La valoración positiva de estos indicadores se basa en la suposición implícita o

explícita de que hay determinadas tendencias sobre la enseñanza de las matemáticas que

indican cómo debe ser una enseñanza de las matemáticas de calidad. Estas tendencias

(Guzmán, 2007) se relacionan con el modelo CCDM, ya que ellas son la base para proponer

algunos de los criterios de idoneidad didáctica. Por esta razón, para esta investigación, se ha

planteado organizar un grupo de trabajo colaborativo para desarrollar la reflexión de los

participantes asumiendo que, en una primera fase, no era necesario dar herramientas teóricas

a priori para guiar su reflexión, pues se esperaba que se iban a cumplir las cuatro

regularidades señaladas. Dado que en la primera fase se generaron muchos de los

componentes y descriptores de los criterios, en la segunda fase se pasó a dar herramientas

para pautar la reflexión, básicamente en forma de lectura de artículos previos o bien por una

lectura hecha directamente en la sesión del grupo. En una tercera fase se aplicó la pauta a la

clase de uno de los asistentes y se observó que muchos criterios no se cumplían. En una

cuarta fase se valoraron clases con esta pauta. En una quinta fase se diseñó una clase

siguiendo la pauta. Finalmente se implementó la clase diseñada y se realizó su valoración

aplicando la pauta.

La comunicación

Una vez asumido el modelo de análisis didáctico propuesto por el EOS para el análisis

del proceso de instrucción tal como se ha explicado anteriormente, se vio la necesidad, dadas

las características de esta investigación, de complementarlo con análisis de aspectos

comunicativos usando el modelo de Brendefur y Frykholm (2000), el cual destaca la

comunicación unidireccional, contributiva, reflexiva e instructiva.


Inicialmente se abordó el concepto de comunicación desde diversos autores, para

asumir para este proyecto: la comunicación es una interacción social mediada por el lenguaje

y donde el objetivo de cada sujeto es entender y hacerse entender. Luego se mencionaron

algunos modelos de comunicación de acuerdo con la evolución histórica del concepto,

modelos sistémico, lineal y orquestal. Posteriormente se planteó una de muchas

clasificaciones de la comunicación, tomada de Niño (1998, p41, 42). A continuación se trató

la relación entre semiótica y comunicación, estudiando la semiótica desde diversos autores.

También dentro del aula se abordaron aspectos como el control de la clase, el contrato

didáctico, las normas sociomatemáticas y el discurso matemático como comunicación.

Finalmente se estudiaron los modos de comunicación desde el punto de vista de Brendefur

y Frykholm (2000).

La comunicación es una temática relativamente nueva en educación matemática, que

pocos pueden definir con claridad. La palabra comunicación entendida como la acción de

comunicar, viene del latín comunis, común, hacer común (Niño, 1998), y se puede definir

de múltiples formas: Menezes (1999) plantea que ¨comunicar es una forma de interacción

social entre individuos y significa compartir¨; por su parte para Ponte (1997) ¨la

comunicación se entiende como la interacción entre los sujetos que hay en una clase,

empleando una lengua propia¨; igualmente Jiménez (2011) define la comunicación como ¨la

acción de tornar algo común para obtener un significado, o sea, un proceso que posibilita la

comprensión mutua y el establecimiento de relaciones entre individuos o grupos¨, para

Vigotsky (1995) ¨la comunicación constituye un proceso complejo y bidireccional, que se

da en el marco de relaciones, se expresa a través del lenguaje y regula el comportamiento

humano tanto en el plano individual como social¨, también se puede definir como ¨conjunto

de elementos en interacción en donde toda modificación de uno de ellos afecta las relaciones

entre los otros elementos¨ (Marc y Picard, 1992, p 39).

En un marco en donde la actividad del docente busca el desarrollo cognitivo del

estudiante, ¨la comunicación es una negociación de significados a través de la cual se

construye el conocimiento compartido en el aula¨ (Porlán, 1995, p 100). El criterio de

comunicación asumido por PISA de una propuesta de Niss (1999) es que la comunicación


se entiende como un proceso en que la persona debe entender y hacerse entender en forma

oral o escrita. Para este proyecto y muy de acuerdo con Vygotsky (1995), Menezes (1999),

Jiménez (2011) y PISA, se entiende la comunicación como una interacción social mediada

por el lenguaje y donde el objetivo de cada sujeto es entender y hacerse entender.

Algunos modelos explicativos de la comunicación.

De acuerdo con del devenir histórico como se fue dando la comunicación, se fueron

planteando unos modelos que pretendieron explicar sus principales características. Por ello

a continuación se describen: el modelo sistémico, el modelo lineal y el modelo orquestal.

Modelo Sistémico (Modelo circular o retroactivo). Fue propuesto por Norbert Winer

en donde utiliza el principio de feed-back aplicado a un proyecto de cibernética y retomado

por Bertalanffy (1950) en la teoría general de sistemas, en la cual se reconocen los procesos

autorreguladores, para ello cuenta con un mecanismo de feed-back o bucle de retroacción,

el cual permite estabilizar el sistema15 ya sea en su forma positiva o negativa.

En otras palabras, estos sistemas permiten la homeóstasis, entendida como la tendencia

del sistema a adaptarse a nuevas condiciones y mantener el equilibrio a pesar de éstas. La

comunicación vista desde este modelo implica que se asume como un conjunto de sistemas

que se interrelacionan dinámicamente de forma intersubjetiva e intrasubjetiva (Poyatos,

1994).

El modelo Lineal o Telegráfico (modelo matemático). La Teoría matemática de la

comunicación fue propuesta por Shanon (1949; cit. Dins Winkin, 1994) que se basa en la

transmisión de contenidos, es decir es un modelo lineal de comunicación donde se destacan

dos protagonistas: el emisor y el receptor, es un modelo unidireccional, es un proceso

informativo en un solo sentido que como lo menciona Galeano (sin fecha), el modelo se

aplica para cualquier mensaje independiente de su significación, es decir permite identificar

15 Dada la diversidad de acepciones acerca del concepto de sistema, para el estudio se asume sistema

como ¨un complejo de elementos en interacción" (Bertalanffy, 1950, p 31; cit. Dins Winkin, 1981/1994: 15).


la cantidad de información de un mensaje dependiendo de la capacidad del medio, se mide

la velocidad de transmisión de un mensaje pudiendo ser disminuida por el ruido, su esquema

está compuesto por cinco elementos: una fuente, un transmisor, un canal, un receptor, un

destino, tiene en cuenta el ruido que causa una perturbación.

Modelo Orquestal de comunicación. Fue propuesto por un grupo de investigadores

de diferentes campos (antropología, sociología, sicología, entre otros) a partir de la

observación del comportamiento del ser humano, en oposición al modelo de Shanon y de

acuerdo con los criterios de Bateson y Ruesch (1968), basados en los principios de la teoría

sistémica, asumiendo el proceso comunicativo con alto índice de complejidad y de múltiples

contextos.

Su nombre se deriva de su mejor representación que sería la imagen de una orquesta

en funcionamiento, pues allí se ve una buena correspondencia entre los objetos y los

conceptos, asumiendo la comunicación como un intercambio o puesta en común (Winkin,

1994).

La comunicación es un sistema abierto y como tal cumple tres principios básicos: el

primero es el principio de totalidad, el cual se resume en la afirmación el todo es algo más

que la suma de las partes, es decir que el todo posee características que no poseen las partes

tomadas por separado. Luego viene el principio de la causalidad circular, donde cada parte

del sistema forma parte de acciones y retroacciones, implicándose unas a otras. El tercero es

el principio de regulación, en donde se aclara que la comunicación no puede existir sino está

basada en unas normas o reglas, las cuales permiten el equilibrio del sistema. (Marc y Picard,

1992).

Clases de comunicación.

A lo largo del siglo XX, la clasificación de la comunicación en verbal y no verbal,

aunque ambigua es la más usual. La información verbal es considerada como fundamental

en los procesos comunicativos, permite identificar elementos e intenciones que de otra forma


no podrían ser detectados. Sin embargo la comunicación no verbal o lenguaje corporal, se

irradia automática e instintivamente en el sistema nervioso simpático y parasimpático, en un

dicho popular, un gesto vale más que mil palabras, se cree que allí se plasma la importancia

que genera en la comunicación, este tipo de información. Esta forma de comunicación se

muestra según Keidar (2005) por su postura, expresiones faciales, movimiento del cuerpo,

uso del espacio, contacto físico, ambiente, paralenguaje, apariencia externa y vestido. Estos

aspectos deben ser tomados en cuenta por un buen comunicador.

Hay una diversidad de formas de clasificar la comunicación, de acuerdo a distintos

criterios y autores. A continuación, se presenta una clasificación tomada de Niño (1998), que

ayuda a comprender algunas tipologías de la comunicación.

Tabla 7. Clases de comunicación según criterios varios.

Criterio Tipo Caracterización

Participación del

emisor y

destinatario

Recíproca Cambio continuo de roles entre emisor y destinatario.

Unilateral Se desarrolla en una dirección, no hay cambio de rol

Emisor y el

destinatario

Interpersonal Interrelación de persona a persona, casi siempre mediante

el lenguaje oral.

Colectiva Cuando el destinatario es una colectividad, el emisor puede

ser una persona o institución.

Código

Lingüística El medio es el lenguaje natural apoyado por los códigos

paralinguísticos.

Extralinguística Empleo de códigos distintos al lenguaje

Mensaje Privada Es cerrada, no trasciende el ámbito personal

Pública Es abierta, se dirige a un público.

Estilo Informal Espontánea y libre, sin sujeción a patrones.

Formal Se sujeta a patrones o exigencias, fuera de las del código.

Radio de acción Interna No trasciende a la comunidad o institución.

Externa Es abierta, llega a la comunidad o institución.

Naturaleza del

canal

Oral Vocal-auditiva

Audio-visual Impresiona el oído y la vista

Visual Sólo impresiona la vista

Extensión del canal

Directa Implica presencialidad, se da por canales simples

Indirecta Hay que utilizar canales complejos, implican cadenas de

medios.

Dirección Horizontal Entre miembros de un mismo rango

Vertical Personas de distinto rango, mayor a menor o lo contrario. Fuente: Niño (1998).


Semiótica y comunicación.

Semiótica. Sobre el concepto de semiótica no existe una unificación de criterios de si

es ciencia o no, ni de la utilidad que brinda a otras disciplinas ni tampoco sobre si debe

llamarse semiótica o semiología, ya que la denominación semiótica inicialmente se utilizó

en Estados Unidos y el de semiología especialmente en Francia, pero hoy día parece primar

el de semiótica.

La semiótica viene enfocada hacia la medicina desde la escuela griega de Hipócrates,

donde se interpretaban los signos como indicios, señas; sin embargo, fue Peirce en Estados

Unidos hacia 1860 quien realmente le dio una codificación. Su pretensión fue construir una

ciencia formal de los signos que afectara todo el ámbito humano, ya que su concepción era

que todo es signo, pero independiente de la lingüística. En Francia surge la semiología con

Saussure, quien la plantea en su Curso de Lingüística General, optando por una posición

contraria a la de Peirce. Hay que aclarar que la semiótica es más general que la lingüística,

pues mientras la primera hace alusión a cualquier acción comunicativa, la segunda se centra

en los principios que rigen las lenguas naturales.

Los signos. Tampoco hay unicidad de criterios respecto al concepto de signo, por lo

anterior presento los puntos de vista de Peirce y de Saussure que son los autores que

trabajaron el concepto inicialmente, al igual que Piaget y Vygotsky que son ampliamente

reconocidos en el ámbito pedagógico.

Peirce planteó una definición muy utilizada de signo como “que es algo que está, para

alguien, en el lugar de otra cosa en algún aspecto o disposición” (Peirce, 1974, p 22). Para

Peirce el ser humano percibe los signos de las cosas no las cosas, pues piensa y habla a través

de signos; la forma de interpretar los signos es a través de otros signos manteniendo de esta

manera una iteración recursiva infinita. Para él los hombres se comunican por medio de

signos lo cual lo considera muy práctico, ¨la comunicación humana no se basa en una

presencia inmediata de las cosas, sino una referencia mediata o remota a una realidad por

medio de signos¨ (Peirce, 1974, p 23), es decir las referencias de las que habla tratan sobre


otros signos de esa realidad, pero no a ella misma. Determina tres componentes para los

signos: el representamen que corresponde al símbolo como tal, el interpretante que es la

entidad o correlación mental que se da respecto al signo utilizado y el fundamento que es la

realidad a la que apunta el signo. Estas componentes se vuelven recursivas ya que cada una

a su vez es un signo y por tanto tiene las tres componentes y así se desarrolla un proceso

infinito (Peirce, 1974), se ilustra en la gráfica.

Figura 8. Mapa Conceptual sobre los signos según Peirce (1974).

Por la complejidad para el análisis de estos signos, se hace usualmente referencia

únicamente a íconos, símbolos e índices. Para Peirce el símbolo es un signo cuya relación

con su fundamento o con la realidad es totalmente arbitraria, aspecto contrario para el ícono,

pues su relación con el ente que se representa es casi natural, es decir tiene una semejanza

con lo que representa. Finalmente, el índice (indicio, señal) depende su existencia de aquello

que lo origina (Peirce, 1974).


La semiótica de Peirce es una teoría de los signos independiente de la lingüística como

ciencia y del lenguaje como fenómeno comunicacional relevante, todos los sistemas de

signos son importantes y el lenguaje hablado es tomado como un caso particular. En general

la teoría semiótica de Peirce plantea algunas dificultades, pues ofrece sistemas fragmentados

que en algunas ocasiones se contradicen. Retoma los temas con terminología diferente y

relacionándolos de maneras distintas.

Saussure que era de origen suizo, diferenciaba esencialmente entre lengua y palabra.

Mientras que la palabra la consideraba de orden subjetivo, la lengua la concebía como “un

sistema de signos que expresan ideas, comparable a la escritura, al alfabeto de los

sordomudos, a los ritos simbólicos, a las formas de cortesía, a las señales militares, etc.”

(Saussure, 1995, p. 33).

Para Saussure la lengua era el principal sistema de signos y fue por ello que planteó

la formación de una nueva ciencia que fuera la teoría de los signos y por ende sería más

general que lingüística; podemos concebir, pues, una ciencia que estudie la vida de los

signos en el seno de la vida social; ésta sería parte de la Psicología social y por consiguiente

de la psicología general; la llamó semiología (del griego semeion, ¨signo¨). Ella enseña en

qué consisten los signos y cuáles son las leyes que los rigen. (Saussure, 1995, p. 33.).

Los signos para Saussure son la unión de dos elementos: el concepto (significado) y

la imagen acústica asociada (significante); propone que cuando alguien habla en una

lengua desconocida, parece que se estuviéra oyendo una serie de sonidos sin significado,

que no es posible comprender y por ende analizar, pero si por el contrario se sabe lo que

se habla y se pueden atribuir significados, se tendrán signos con significado (Saussure,

1995, p 145). Lo anterior implica que el signo posee significado cuando está en un contexto

y en relación con otros signos, o sea es un elemento de un sistema. Las ideas de Saussure

fueron continuadas por Hjelmslev (1969) y luego por Eco (1976), entre otros.

La semiótica de Vygotsky surge desde el enfoque de la teoría marxista y en el

tratamiento del pensamiento y su desarrollo. Para Vygotsky (1988), el signo sirve de


mediación entre el individuo y su entorno, es decir permite pasar de lo intersicológico lo cual

se desarrolla entre personas a lo intrasicológico que permite su internalización. Afirma que

el gesto va dirigido inicialmente hacia alguien y luego hacia sí mismo.

Vygotsky al igual que Peirce adoptó una ontología realista, rompió el esquema

tradicional del idealismo y el racionalismo, el signo es asumido como un medio de

transformación de las funciones psíquicas del individuo.

Respecto de los signos Vygotsky afirmó: ¨En los primeros trabajos ignorábamos que el

significado es propio del signo (...) Partíamos del principio de la constancia del significado

(…)” (Vygotsky, 1991, p. 121).

En cuanto a Piaget se cuestionó sobre el pensamiento como producto del lenguaje,

como consecuencia definió el concepto de función semiótica; y utilizando una terminología

matemática, consideró que el lenguaje era una condición necesaria pero no suficiente para

el pensamiento (Piaget, 1978, p 30), Piaget evidenció la existencia de una inteligencia

práctica antes de la aparición del lenguaje, y define la función semiótica ¨como la habilidad

de representar algo a través de un signo o un símbolo o cualquier objeto¨ (Piaget 1970, p.

45), la cual inicia cuando se logra establecer una diferencia entre significado y significante,

dando la posibilidad de que un solo significante pueda tener varios significados. Piaget siguió

la orientación de Saussure, afirmando que ¨la inteligencia sensoriomotriz se prolonga, a

través del signo, en representación conceptual¨ (Piaget, 1968, p 68-69).

Los códigos. Son grupos de signos organizados para la recepción y emisión de

mensajes regidos por reglas, que se configuran en sistemas de comunicación; los cuales

pueden ser simples cuando manejan una misma clase de signos y complejos cuando se

manejan diferentes tipos de signos. Se presenta la clasificación propuesta por Giraud (1971)

en la tabla 8.


Tabla 8. Clasificación de los códigos propuesta por Giraud

Tipos Clasificación Descripción

Linguísticos Lenguaje natural

o verbal

Código lingüístico formado por signos y reglas propias de

la gramática que se asuma.

Paralinguísticos: Están

en relación con el

lenguaje verbal

Relevos del

lenguaje

Señales que puedan representar los sonidos de la lengua:

escritura alfabética corriente, braile, morse, lenguaje de

mudos.

Los sustitutos del

lenguaje

Signos con los que se pretende sustituir el lenguaje, los

cuales tienen sus propias reglas: escritura ideográfica china,

jeroglíficos, pinturas y las señales que se usen.

Auxiliares del

lenguaje

Pretenden complementar la significación de los signos del

lenguaje como la voz, entonación y expresión corporal,

entre los últimos están:

Kinésico: Utilización de la mímica, como gestos ,

movimientos con las manos, una mirada, etc.

Proxémico: Silencio entre los interlocutores, movimiento

del cuerpo, en general son aportes culturales.

Extralinguísticos:

Autonomía funcional

con respecto al

lenguaje.

Lógicos

Instrumentos significativos de las experiencias humanas

cognitivas, que permiten la interrelación del hombre con el

mundo. Dentro de ellos se encuentran los códigos

científicos o epistemológicos los cuales apoyan la función

del lenguaje natural en pro del conocimiento (origen y

formación). Ej: ∫ f(x)dx

Sociales

Se utilizan para significar toda clase de interacción social y

para el autor se clasifican en: signos de identidad; signos de

cortesía; costumbres, hábitos y utensilios; ritos y reuniones;

modas; juegos y diversiones; patrimonio político y cultural.

Algunos en sí no son códigos, pero asumen este estatus en

la medida en que la cultura les atribuya significación.

Estéticos

Se enfocan a significar la parte estética de la realidad, los

cuales se orientan por la expresividad y la creatividad. Entre

sus géneros se encuentran la literatura, pintura y música. Fuente: Giraud (1971).

La comunicación en el aula de matemáticas.

Distintos autores han estudiado el aula como centro de los procesos de enseñanza y

aprendizaje, en donde resaltan la comunicación como un elemento importante para el logro

exitoso de estos procesos (por ejemplo, Sfard, 2002, 2008; Wood, 1998; Alrø y Skovsmose,

2006; Lampert e Cobb, 2003, Bishop y Goffree, 1986; Ponte y Santos, 1998; Ponte y

Serrazina, 2000; Voigt, 1995; Yackel y Cobb, 1998; Jiménez, 2011; entre otros).


Estos autores consideran la Matemática como un discurso que puede contribuir al

aprendizaje de los estudiantes y el estudio de las regularidades que emergen de ese discurso

del profesor y los alumnos en el aula – Los patrones de comunicación – facilitan la

comprensión de las interacciones que allí ocurren.

Comunicación y tendencias didácticas.

La comunicación en la clase de matemáticas puede ser abordada de diferentes

maneras, dependiendo de la tendencia didáctica asumida para su interpretación, pues cada

una se basa en supuestos epistemológicos diferentes. A continuación, se presenta la

comunicación desde el abordaje constructivista, constructivismo sociocultural e

interaccionismo simbólico.

La comunicación desde la tendencia constructivista. Según Sierpinska (1998), para

Piaget, el aprendizaje necesariamente debe ser activo para que sea efectivo y dependiente de

la maduración biológica. En la teoría Piagetiana el concepto de esquema desempeña un rol

importante, entendido como las estructuras mentales con las que las personas se adaptan

intelectualmente y organizan el ambiente, mediados por los procesos de acomodación y

equilibración.

Los constructivistas consideran el lenguaje como una expresión del pensamiento y

que el aprendizaje de la matemática no se desarrolla a través del lenguaje, a su vez, la

maduración es un pre-requisito para la comunicación (Sierpinska, 1998). El habla del que

aprende es egocéntrica y por ello no es viable el diálogo. Para los constructivistas el discurso

docente es de enseñanza directa y los alumnos no pueden aprender a partir de éste ya que no

están actuando sobre los objetos de conocimiento. Según Sierpinska (1998) desde la

tendencia constructivista no es posible compartir el conocimiento matemático a través de la

comunicación oral, ya sea entre docente –alumno o alumno- alumno. Se concluye que hay

mucha limitación para la comunicación desde esta tendencia.


La comunicación en la tendencia sociocultural. El principal referente de la tendencia

sociocultural es el psicólogo Lev Vygotsky, que basado en las propuestas de Marx, resalta

la importancia de las prácticas sociales en el aprendizaje. Esta tendencia permite un abordaje

diferente sobre la comunicación en el aula de matemáticas, ya que, en contraste con Piaget,

el desarrollo de la persona se asimila como un proceso de enculturación, entendida como el

proceso a través del cual los individuos a lo largo de su vida aprenden los elementos de su

cultura de manera consciente o inconsciente, bajo estructuras formales e informales. Se

enfatiza la construcción del conocimiento como una interacción mediada por diversas

relaciones, pero resaltando que el conocimiento resulta de una acción del sujeto sobre el

objeto de conocimiento.

Para Vygotsky la interacción entre pares o con una persona más experimentada (caso

del tutor o del docente) es un factor importante para obtener aprendizajes significativos. Este

autor define la Zona de desarrollo próximo (ZDP) como la distancia entre el desarrollo real

del individuo y su desarrollo potencial, la cual toma importancia, toda vez que las

interacciones entre pares o con un individuo más experimentado, es el ambiente propicio

para la comunicación. El desarrollo en Vygotsky no comprende sólo el desarrollo de las

estructuras cognitivas abstractas, sino también el desarrollo de conceptos, entendidos como

el significado de las palabras a través de las cuales el pensamiento adquiere existencia. Por

lo anterior este autor atribuye mucha importancia a la comunicación oral; resalta la

importancia de los conocimientos previos o conceptos espontáneos entendidos como los

conceptos desarrollados en la cultura a la que el individuo pertenece, los cuales pueden

relacionarse con los conocimientos científicos, transmitidos por la escuela (Vygotsky, 1995).

Otro contraste de Vygotsky con Piaget, es que considera el lenguaje escrito como un

factor importante para el desarrollo del pensamiento, donde el desarrollo del individuo

precede a la comunicación en el lenguaje escrito. Para este autor, aunque el lenguaje escrito

se basa en un sistema de signos escogidos arbitrariamente, es planeado conscientemente y

de carácter voluntario. Mientras que para Piaget no es adecuado enseñar a los niños el

simbolismo matemático, privilegiando sus propias representaciones, Vygotsky considera

que una herramienta importante en el aprendizaje es el uso de símbolos ligados a las prácticas


culturales (Sierpinska, 1998; Vygotsky, 1993).

En la tendencia sociocultural, el lenguaje no es un obstáculo para la comunicación, es

un instrumento de la misma, pues es un sistema simbólico. Pese a que se valoriza el trabajo

en la zona de desarrollo próximo, Vygotsky considera que los significados de los conceptos

científicos no pueden ser negociados (Bussi, 1998); en el aula se busca el diálogo entre los

saberes previos o espontáneos y los científicos, pero el único considerado negociable es el

espontáneo.

A pesar de que la tendencia sociocultural brinda más posibilidades para la

comunicación que el constructivismo clásico, se presenta dificultad para articular los

conceptos científicos y espontáneos. Para que lo anterior sea posible hay necesidad de

considerar otros elementos que no hacen parte de estos modelos teóricos.

La comunicación en la tendencia interaccionista. En esta tendencia la comunicación se

da de una forma más interactiva que en el caso constructivista radical donde las teorías se

refieren al sujeto que aprende. En Piaget el sujeto actúa sobre los objetos de conocimiento

para construirlos. En Vygotsky, el sujeto que aprende es ubicado social e históricamente en

una cultura, donde también construye su conocimiento, siendo ese contexto sociocultural

importante para su aprendizaje. Ahora bien, si se quiere pensar en focalizar la comunicación

de modo más efectivo, hay que enfocarse en una teoría que le dé más protagonismo a las

interacciones sociales en el aprendizaje.

Las interacciones fueron estudiadas a profundidad por Jerome Bruner, quién desafió

el behaviorismo, paradigma de aprendizaje a comienzos del siglo XX y que aún tiene fuerte

influencia en nuestras aulas. En la teoría de Bruner el aprendizaje es un proceso activo, donde

la persona basada en la estructura cognitiva, es decir en los conocimientos actuales y

anteriores, construye nuevos conceptos. Esta estructura cognitiva permite al sujeto ir más

allá de la información dada. Para este autor el aprendizaje es un proceso que ocurre

internamente y mediado cognitivamente, y no es un producto directo del ambiente, de las

personas o de factores externos al que aprende (Bruner, 1973).


La teoría de Bruner en contraposición con las de Piaget, fue desarrollada con objetivos

educacionales, pues investigó y desarrolló una teoría de la instrucción que sugiere opciones

para la acción del educador (Bruner, 1972). Sin embargo, gran parte del trabajo de Bruner

está ligado con el desarrollo infantil al igual que le teoría piagetiana. Un aspecto que

diferencia las mencionadas teorías es que en el interaccionismo se le concede un rol

preponderante a la cultura, el lenguaje y las técnicas que permiten emerger los medios de

representación, pues entre más rápido una persona tenga acceso a un medio cultural

estimulante más rápido será su desarrollo cognitivo (Marques, 2007).

Bruner propuso tipificar el desarrollo cognitivo en tres etapas: la de respuestas

motoras hasta los 2 años, le de representación icónica de 3 a 9 años, y a partir de los 10

años la etapa de representación simbólica. En la primera etapa el niño representa los

acontecimientos pasados por medio de respuestas motoras adecuadas y aprende a través

de la manipulación de objetos, busca el desarrollo de automatismos. En la segunda etapa

la representación icónica se basa en la organización visual de percepciones e imágenes,

el niño es capaz de reproducir los objetos, pero es totalmente dependiente de la memoria

visual, concreta y específica. La tercera etapa, la representación simbólica, es la forma

más elaborada de la representación de la realidad, el niño lo hace a través de un lenguaje

simbólico de carácter abstracto. En esta etapa la persona es capaz de hacer una lectura

de la realidad y de transformarla (Marques, 2007). Lo que llama la atención es que el

paso por estas etapas puede ser acelerado mediante la inmersión del sujeto en un medio

cultural y lingüístico rico e interesante; también se destaca la importancia que se le asigna

a la estructura previa como factor esencial en el aprendizaje.

Según Sierpinska (1998), el interaccionismo da prioridad al lenguaje y a la interacción

individuo-cultura; el origen y la validación del conocimiento no está en la observación

objetiva del mundo, como piensan los empiristas, o en la racionalidad innata, como dicen

los racionalistas, o en las estructuras lógico-matemáticas construidas a través de una

secuencia de estadios de desarrollo, como piensan los constructivistas, pero si en el

lenguaje, pues el conocimiento tiene un carácter discursivo. El lenguaje es un instrumento

de comunicación, más no es la comunicación de pensamientos. El profesor de matemáticas,


al abordar un concepto no está comunicándolo a los alumnos, éstos igualmente no están

comunicando conceptos sociales, histórico y culturalmente construidos.

La comunicación vista desde el ángulo interaccionista está asociada a la escuela de

filosofía del lenguaje cuyos representantes son Wittgenstein, Austin, Searle, Grice y sus

seguidores. No existe transmisión de conocimiento porque éste no está en la mente del

profesor. En el diálogo entre el profesor y el alumno en el aula surge una interacción y el

conocimiento matemático surge de ella. El conocimiento es construido a través de las

palabras, pues son las que indican la acción de los participantes y el tipo de conocimiento

depende de la clase de interacción que se dé, pues el significado está en el discurso. El

interaccionismo ve la comunicación como precedente y preparando el terreno para la

adquisición del lenguaje (Sierpinska, 1998).

Comunicación y control del aula.

Para Ponte et al. (2007) la comunicación matemática puede ser abordada desde tres

enfoques: como medio de control, como objetivo curricular y para promover aprendizajes.

La comunicación matemática como medio de control puede enfocarse de diferentes

maneras, pues es a través de la comunicación, de forma explícita o implícita, como el

profesor mantiene o no el control de la situación de clase, para poder percibir el avance o

las dificultades de los estudiantes. El discurso del profesor se entiende como una práctica

social, en donde utiliza un sistema lingüístico como medio de comunicación.

En la segunda perspectiva la comunicación constituye un objetivo curricular de la

matemática, no todos los profesores valoran este aspecto de la misma forma, algunos dan

más importancia a la comunicación oral y otros a la comunicación escrita.

En cuanto a la última perspectiva, la comunicación constituye un medio para

promover aprendizajes de la matemática, ya que la construcción de significados

matemáticos evoluciona por etapas sucesivas, reguladas por el profesor. Sin embargo, para


que esto suceda, el alumno debe sentirse en libertad de intervenir y también saberse

autorregular para intervenir adecuadamente.

Por medio de preguntas el profesor controla el proceso de comunicación en el aula de

matemáticas. En casos estudiados por Ponte et al (2007), pudo identificar diferentes

aspectos donde se resalta el control de la comunicación realizada por el profesor. Hay casos

en los cuales el docente privilegia el diálogo con sus estudiantes permitiendo la explicación

de sus raciocinios, lo cual genera un ambiente positivo y agradable de clase, sin que el

profesor pierda el control de la clase; en otros casos se hace explicación temática, donde

el lenguaje es escogido cuidadosamente para no generar indisciplina; otra estrategia

utilizada por los docentes para controlar situaciones de indisciplina es mirar a los

estudiantes fijamente sin decir nada para que reduzcan el ruido a un nivel aceptable;

finalmente presenta casos donde el profesor identifica reglas explícitas del contrato

didáctico, por ejemplo, por norma el estudiante tiene que hablar, y va colocando preguntas

para que los alumnos lleguen a donde se quiere.

El control de la comunicación en el aula por parte del profesor no implica que éste

esté interviniendo todo el tiempo. Implica que el profesor constituye un ambiente, en donde

los estudiantes saben que pueden y no pueden hacer (Ponte et al, 2007), lo cual implica

que la clase se desarrolla de forma natural.

En general para Ponte et al (2007), los profesores plantean la necesidad de controlar

lo que pasa en el aula, sin perder de vista que el ambiente de clase debe ser agradable, lo

cual permite que los estudiantes se sientan cómodos de tal manera que puedan participar y

plantear sus dudas.

Contrato didáctico, normas sociomatemáticas y comunicación.

El aula y en especial el aula de matemáticas es un lugar en donde ocurren complejas

interacciones entre profesor y alumnos, la comunicación es uno de los elementos

fundamentales de ese medio (Alrø y Skovsmose, 2006).


El contrato didáctico establecido es uno de esos elementos decisivos para validar o no

las diferentes prácticas de comunicación en el aula, el cual es comprendido como el conjunto

de comportamientos del profesor que es esperado por los alumnos y el conjunto de

comportamientos de los alumnos que es esperado por el profesor (Brousseau, 1988). Este

contrato es un conjunto de reglas especialmente implícitas, las cuales deben ser validadas

por cada una de las partes.

La noción de contrato pedagógico establecido entre alumno y profesor con duración

de un año, no se refiere a un conocimiento específico, se basa en la premisa de que el

profesor está allí para enseñar algo y el estudiante para aprender ese algo, es decir, el uno

representa el conocimiento para el otro, pues el conocimiento es el que legitima la relación

(Filloux, 1974).

Es a partir de las ideas de Rousseau y Filloux, que Brousseau (1991) desarrolla la

noción de contrato didáctico, dándole relevancia al conocimiento, pues afirma que con

cada nuevo conocimiento el contrato didáctico es renovado, pero este aspecto en la

mayoría de los casos pasa inadvertido. Adicionalmente las reglas del contrato didáctico se

hacen evidentes cuando éste es trasgredido por alguno de los componentes de la relación

didáctica. La comunicación oral entre profesor y estudiante es un aspecto que puede validar

o no el contrato didáctico (Medeiros, 1999).

Para interpretar las interacciones en el aula de matemáticas, una noción importante

además del contrato didáctico son las normas sociomatemáticas, las cuales difieren de las

normas sociales en que son específicas de los aspectos matemáticos de las actividades de

los alumnos, por ejemplo, lo que es considerado matemáticamente diferente,

matemáticamente sofisticado, matemáticamente eficaz y matemáticamente elegante

(Yackel e Cobb, 1996). La diferencia matemática se refiere a un modo diferente de

solucionar una situación problémica, es decir se puede ver que las matemáticas son

interactivamente construidas.

En las dos nociones, de contrato didáctico y normas sociomatemáticas, el profesor

asume un papel central. Cuando el profesor cambia las reglas del contrato didáctico,


implica una pérdida de significado en el concepto que se está trabajando (Brousseau,

1986). El autor da nombre a esas rupturas: efecto Topaze, efecto Pigmalion, efecto

Jourdain y el uso abusivo de analogías; éstas se dan cuando el profesor devuelve al alumno

la responsabilidad por la construcción del conocimiento.

Comunicación y discurso matemático.

La matemática puede ser interpretada como una forma de comunicación, una forma

de discurso, el cual es un indicador del aprendizaje de la matemática; por lo anterior, se

asume que el aprendizaje de la persona se origina en la comunicación con otros, donde

surge la necesidad de adaptar el modo discursivo al de otras personas (Sfard, 2008). Para

esta autora existe más de un tipo de comunicación que puede ser considerada como

matemática. Por ello existe la necesidad de considerar diferentes tipos de discurso

matemático especialmente considerando el discurso del diario vivir, el de la escuela y el

de los matemáticos profesionales (Rittenhouse, 1998).

Otra propiedad importante a considerar en el discurso matemático es la mediación

visual, la cual lo distingue de otros tipos de comunicación. La mediación visual ocurre a

través de herramientas mediadoras especiales, es decir, son aquellas con las cuales las

personas se ayudan para comunicarse, por ejemplo, en el discurso coloquial los mediadores

son imágenes de cosas materiales que existen independientes del discurso, mientras que

los otros discursos matemáticos envuelven artefactos simbólicos creados justamente para

esta forma especial de comunicación, como la notación geométrica o algebraica.

Según Barufi (1999) la herramienta fundamental que tiene el docente para lograr su

objetivo no es una tecnología avanzada, ni un programa interactivo, sino la presencia del

profesor con las características propias de un actor, director de orquesta, pero

especialmente su discurso. Para Lampert y Cobb (2003) el discurso que se da en el aula de

matemáticas puede ser clasificado como: discurso reflexivo, discurso calculatorio,

discurso conceptual, discurso multivocal y revoicing.


Dado que la enseñanza de las matemáticas se da a través de la comunicación de ideas

matemáticas, hay que tener en cuenta que la forma expedita para realizar esa comunicación

es el lenguaje y en el aula de matemáticas se involucran elementos tanto del lenguaje natural

como del lenguaje matemático (Bonilla, 1987). Así, el lenguaje matemático es definido por

Beyer (1994, p. 59), como “el código empleado por una persona para transmitirle a otras

personas ideas matemáticas”; define igualmente cuatro dimensiones a las cuales pertenecen

los mencionados códigos: dimensión verbal, que está conformada por expresiones del

vocabulario matemático y expresiones propias de la matemática; dimensión simbólica, a la

que pertenecen los símbolos matemáticos, dimensión gráfica y dimensión de materiales.

Estas dimensiones se intersectan con los niveles matemático, metamatemático y

perimatemático. En el nivel matemático se encuentran los mensajes que incluyen objetos

matemáticos. El nivel metamatemático comprende todos los mensajes que se pueden

clasificar en un nivel que hace referencia a la matemática de la matemática. Y el

perimatemático comprende mensajes cuyo objetivo es reforzar los significados de los

mensajes de los niveles previos. Lo anterior expone una forma particular de analizar la

comunicación en la clase de matemáticas.

Modos de comunicación.

Brendefur y Frykholm (2000) hacen énfasis en que para poder acceder al conocimiento

matemático es necesario tener en cuenta las diversas formas de comunicación tanto verbales

como escritas que permiten la interacción en el aula; plantean cuatro categorías generales

para organizar las diferentes perspectivas que se presentan dada la diversidad de

interpretaciones que surgen de documentos como las normas NCTM (1989,1991).

El primer tipo es la comunicación unidireccional, la más usual en nuestras

instituciones educativas, los maestros tienden a ser los protagonistas del proceso

interaccional en el aula, permitiendo mínimas oportunidades de participación a los

estudiantes, formulando preguntas cerradas, haciendo ver las matemáticas como un ente

terminado que debe ser transmitido por el docente y recibido pasivamente por el estudiante


(Thompson, 1992), es decir el profesor habla y el alumno escucha. Este modo comunicativo

se asociaría con las tendencias de tipo racionalista (Jiménez, 2011) donde se toma el

conocimiento como un conjunto de verdades objetivas que pueden ser transmitidas a otros a

través del lenguaje verbal mediante una adecuada codificación.

La segunda categoría es la Comunicación Contributiva, la cual se caracteriza porque

se privilegia la interacción en el aula de forma participativa, aunque con puntos de discusión

muy someros y de poca o ninguna profundidad, según Cobb et alter (1997) se presenta en

las charlas informales que hacen los estudiantes cuando trabajan temas matemáticos.

Brendefur y Frykholm (2000) plantean que estas conversaciones son generalmente

correctivas ¨Así es como lo haces…¨, en donde el docente se reserva la autonomía para la

validación del conocimiento. También este tipo de comunicación se asociaría con una

tendencia racionalista, donde el docente es el trasmisor del conocimiento con algunas

pequeñas participaciones por parte de los estudiantes.

La tercera es la comunicación reflexiva, que proviene del discurso reflexivo

desarrollado por Cobb et al. (1997) donde relaciona el discurso del aula caracterizado por

aproximar la acción a la reflexión, con el desarrollo de competencias matemáticas de los

estudiantes. Se basa en compartir ideas, soluciones, estrategias con los compañeros y con el

docente, pero acá si hay conversaciones matemáticas, las cuales son asumidas como base

para posteriores discusiones, es decir, las acciones de los estudiantes y del docente fruto de

las discusiones son objeto a su vez de discusión. Según Lampert (1990) este tipo de discurso

se presenta cuando los estudiantes comprueban o refutan alguna conjetura planteada por los

compañeros o por el docente. Según Menezes (2004) esta clase de comunicación al igual

que la anterior son dialógicas, resaltando la interacción entre docente y alumnos. La

comunicación reflexiva se asociaría con una tendencia interpretativista (Jiménez, 2011).

La última categoría es la comunicación instructiva, la cual se apoya según Brendefur

y Frykholm (2000) en el trabajo de Steffe e D´Ambrosio (1995). Esta comunicación

contiene las interacciones entre los estudiantes y profesores, pero es algo más, integra las

ideas de los propios estudiantes; busca con las acciones del docente modificar la matemática


de los estudiantes, tanto en modificar el entendimiento matemático de los estudiantes como

en comprender los procesos de pensamiento, fortalezas y debilidades de los mismos. Según

Menezes (2004) las decisiones tomadas por el profesor sobre el desarrollo de las actividades

de enseñanza y aprendizaje son enlazadas con el desarrollo de la comprensión de ideas de

los alumnos a través de la comunicación. Este último tipo de comunicación se enfoca de una

manera diferente que las tres anteriores, mientras que éstas describen lo que el docente y los

alumnos hacen, la comunicación instructiva describe lo que el profesor y los alumnos hacen

para que los primeros tres tipos de comunicación se puedan ver de manera concreta en el

aula de matemáticas. Según Jiménez (2011) este tipo de comunicación se tiene cuando en el

aula se hace mucho más que compartir información, los estudiantes son introducidos en el

discurso matemático.

Figura 9. Tipos de Comunicación según Brendefur y Frykholm (2000).

En el gráfico se quiere expresar lo que Brendefur y Frykholm (2000) plantean acerca

de las cuatro perspectivas, que cada nivel externo incluye las características de los anteriores.

Para analizar el tipo de comunicación que se presenta en una clase de matemáticas hay

que determinar la forma predominante y observando varias clases de un mismo docente se

puede identificar su estilo comunicativo, es decir el que mejor describe la forma de

enseñanza del profesor.

Capítulo 3. Metodología

El propósito de este capítulo es explicitar los aspectos metodológicos de esta

investigación, fases, características metodológicas generales, metodología para cada

objetivo, sujetos investigados, aspectos éticos e instrumentos para la recolección de la

información, y la validez de los instrumentos y del análisis de la información.

Fases de la Investigación

La investigación se diseñó en dos fases. El objetivo de la primera fase fue

problematizar una práctica cotidiana de la UPTC (el modelo de clases) que hasta el

momento no se había considerado especialmente problemática. El objetivo de la segunda

fase fue reflexionar sobre esta manera de dar las clases y estudiar la posibilidad de

(re)significarlas (Jiménez, 2002); las dos fases se retroalimentan, la una a la otra.

Se inició realizando un estudio para caracterizar el modelo didáctico mayoritario

de las clases en la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC. Las evidencias para validar

este trabajo se obtuvieron de cuestionarios aplicados a los profesores y entrevistas.

Posteriormente, se seleccionó un grupo de dos profesores de la Licenciatura en

Matemáticas de la UPTC, el cual se convirtió en el foco de la investigación que se

propuso y con los que se hizo un estudio de casos.

El siguiente aspecto fue conseguir problematizar (y/o modificar) las prácticas y los

patrones de interacción comunicativa en los profesores que participaron en el estudio de

caso. Para ello, se realizó un análisis de clases de los docentes seleccionados y se organizó

un grupo de trabajo colaborativo, que permitió reflexionar sobre sus clases y a partir de

allí mejorar.

Por último, se buscaron evidencias para caracterizar la evolución de las prácticas

docentes de los profesores estudiados, una vez culminó la etapa del trabajo colaborativo.

Dichas evidencias se obtuvieron de fuentes diferentes como son: sus intervenciones y

producciones en el grupo de trabajo colaborativo que permitió la reflexión sobre su

propia práctica; y el análisis de algunas clases posteriores al trabajo colaborativo.

Capítulo 3. Metodología 109

Opciones Metodológicas

A continuación, se hace referencia al paradigma que fue asumido para la

investigación, el enfoque mixto, con predominio cualitativo, el cual fue descriptivo

interpretativo.

Dado que los fenómenos y problemas que enfrentan las ciencias sociales y humanas

son cada vez más complejos y diversos, se ha visto la necesidad de utilizar un enfoque

mixto de investigación (Morse, en Tashakkori y Teddlie, 2003). El método mixto logra

una perspectiva más amplia y profunda de la situación a estudiar, facilitando una mejor

exploración y explotación de los datos (Hernández, Fernández y Baptista, 2014).

Adicionalmente Creswell (2003, en Campos, 2009, p. 34) menciona que “un

estudio de método mixto incluye la recolección y el análisis de datos tanto cualitativos

como cuantitativos en un solo estudio, en el cual los datos se recogen concurrente o

secuencialmente, se dan según cierta prioridad o dominancia”. Para esta investigación se

utilizó un diseño anidado o incrustado concurrente de modelo dominante (Hernández,

Fernández y Baptista, 2014), el modelo dominante es el interpretativo por lo cual se

dedica a su estudio la siguiente sección.

El asumir un determinado paradigma de investigación no es gratuito, ni a la ligera,

ya que el problema de investigación y el paradigma son interdependientes (Strauss y

Corbin, 1990) y lo primero que debe buscar el investigador es una armonización entre

ellos de acuerdo con su visión investigadora.

El escoger el paradigma interpretativo tiene que ver con la temática de estudio, con

el tipo de preguntas que se pretendan responder y con la plena conciencia de la

importancia de este paradigma para la investigación que se pretende hacer; éste permite

un estudio sistemático de una actividad específica, un programa, acontecimiento, una

persona un proceso, una institución o grupo social (Merriam, 1988), pues la pretensión

es conocer la realidad como es vista por los individuos que en ella intervienen. Según

Erickson (1986) procura develar las formas específicas según las cuales las acciones de

las personas se desarrollan y confluyen consensuadamente a la acción social, en el caso


del aula de matemáticas, hay que descubrir de qué manera las decisiones y acciones de

cada participante como miembro del grupo configuran un ambiente de aprendizaje, pues

lo que hay que estudiar es el sentido que da la relación de unos con otros y sus

conformaciones sociales.

El enfoque interpretativo da realce a la explicación y comprensión global de las

situaciones, al igual que la importancia que toma la intersubjetividad fruto de la

interacción de múltiples actores sociales entre los cuales se encuentra el investigador, o

sea que se está de acuerdo con un enfoque relativista, en donde a partir de la interacción

entre el investigador y el fenómeno observado, son construidos los resultados de

investigación (Guba y Lincoln, 1998). El paradigma interpretativo está inserto dentro de

la investigación cualitativa, acerca de la cual Bogdan y Biklen (1999) plantean su carácter

descriptivo, donde se parte de los datos no de los supuestos, se da importancia al proceso

de investigación y a los significados, los cuales no son intrínsecos a las situaciones sino

a una construcción social (Blumer, 1969).

Para Woods (1999) el abordaje del enfoque interpretativo por parte de los

investigadores es considerado una verdadera revolución, ya que es innegable en el

entorno investigativo el aporte de este enfoque y en general del paradigma cualitativo en

la educación; existen ya muchos estudios en donde se analiza el día a día del docente,

cómo realizan sus prácticas, las interpretan y reorganizan, entre las que están: Jiménez

(2002), Menezes (2004), Guimarães (2005), Boavida (2005), Silva (2007), entre otros.

Los tipos de abordaje más comunes dentro del enfoque interpretativo son el análisis

de narrativas y el estudio de casos, el segundo es el escogido para este proyecto. Con el

estudio de caso se pretende el registro y análisis intensivo y global de una determinada

situación empírica (Merriam, 1988; Yin, 1989; Stake, 1994); es característico un buen

nivel de profundidad y de detalle, el contacto directo con las personas y situaciones, pero

sobre todo el carácter dinámico e imprevisible de las situaciones (Silva, 2007).

El estudio de caso se refiere a la indagación de lo que emerge como único de esa

situación particular, contribuyendo a facilitar la comprensión de las situaciones de

análisis (Ponte, 2006). Cuando el objetivo es una situación particular que se pretende


estudiar, se puede denominar estudio de caso intrínseco; cuando el caso es utilizado para

comprender una problemática más amplia, se trata de un estudio de caso instrumental;

cuando el caso está compuesto por varios casos instrumentales, se llama estudio de caso

agregado (Stake, 1994). Para Merriam (1988) los estudios de caso cualitativos se

caracterizan por ser particularistas, descriptivos, heurísticos e inductivos.

Los estudios de caso son particularistas porque centran su atención en una situación

particular, evento, programa o actividad, y son especialmente útiles para analizar cómo

determinados grupos enfrentan problemas particulares; pero el hecho de que el estudio

de caso sea particularista no implica que al esclarecer un problema específico no se pueda

solucionar un problema general. Descriptivo ¨significa que el producto final del estudio

de caso es una descripción rica y completa del fenómeno en estudio¨ (p. 11). Esto tiene

base en la utilización de muchas fuentes de datos que contribuyen para la creación de un

sentido global de la situación. El investigador debe ser abierto a considerar múltiples

posibilidades para dar sentido a lo observado y no analizar unos factores prefijados.

Heurísticos, porque permiten que surjan nuevas relaciones al ayudar al investigador

a comprender algo que se está estudiando, al igual que pueden confirmar lo que se

suponía o conocía, además de la comprensión del problema y el entorno en que surge el

mismo.

Inductivos, porque los conceptos resultan del análisis de los datos ubicados en un

contexto y no de la verificación de hipótesis, es decir, se tiene un enfoque inductivo, lo

cual facilita la interpretación del investigador, que busca integrar todo lo anterior con sus

propias vivencias y experiencias (Ponte, 1994).

Metodología para cada Objetivo

En el capítulo 1 se expusieron los objetivos de esta investigación, para la

consecución de los mismos se utilizaron diferentes metodologías que se detallan a

continuación. Para el O1 se utilizó una triangulación de fuentes, ya que se pudo conseguir

información adecuada para determinar el modelo dominante de clases, de los profesores

estudiados, en la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC (dos cuestionarios a docentes


y una entrevista no estructurada a los mismos). En consonancia con la teoría (capítulo 2,

secciones 2 y 4), se consideró para esta investigación, la clasificación de: modelo

tradicional-tecnológico, cuando la acción de la clase se centra en el docente; y modelo

no tradicional-tecnológico, cuando la acción de la clase se centra en el estudiante. Lo

anterior dada la dificultad de clasificar los patrones de interacción comunicativa y la

comunicación en sí, en alguno de los modelos referidos anteriormente.

Para los objetivos O2, O3 y O4, la metodología en general consistió en el estudio

de caso (Stake, 1994) de los profesores seleccionados. Se trata de estudios de caso

elaborados en un contexto de reflexión sobre las prácticas (en especial sobre los patrones

de interacción comunicativa) en el aula de matemáticas a nivel universitario,

involucrando profesores del programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad

Pedagógica y Tecnológica de Colombia, que orientan diferentes asignaturas de

matemáticas en el mismo Programa.

Los estudios de caso de esta investigación son, por una parte, de tipo intrínseco (en

el sentido que es el estudio de una situación particular) y, por otra parte, de tipo

instrumental (el caso es utilizado para comprender una problemática más amplia). De

otro lado, se trata de un estudio de caso agregado, pues corresponde al estudio de varios

casos instrumentales, en donde cada caso particular genera sus propias evidencias, sin

embargo, todos están conformando un mismo proyecto. Se consultaron diferentes

propuestas teóricas y metodológicas para el análisis didáctico, en especial la propuesta

de análisis didáctico de Rico y su grupo, y la propuesta del Enfoque Ontosemiótico de

la Cognición Matemática. Se asumió una posición personal al respecto (Capítulo 2,

Sección 3) y se siguió la propuesta del Enfoque Ontosemiótico.

Así mismo, para alcanzar los objetivos O2, O3 y O4 se realizó el análisis didáctico

de ocho clases videograbadas (cuatro por cada docente del grupo seleccionado y que

conforman este estudio de caso agregado), utilizando el modelo de análisis de clases

elegido. La transcripción de la clase se dividió en diferentes segmentos, los cuales se

analizaron con las herramientas del Enfoque Ontosemiótico y se denominaron

configuraciones didácticas; al respecto, la forma de determinar una configuración es la

realización de una tarea, aunque queda a discreción del investigador la forma de


agrupar las líneas de la transcripción en configuraciones didácticas (Godino, Font,

Wilhelmi y Castro, 2009). Para realizar el análisis didáctico de acuerdo con el EOS

(Font, Planas, Godino, 2010; Pochulu y Font, 2011; Badillo, Figueiras, Font y Martínez,

2013) se plantean cinco niveles de análisis sobre los procesos de instrucción: 1.

Identificación de prácticas matemáticas, 2. Determinación de las configuraciones de

objetos y procesos matemáticos, 3. Análisis de las trayectorias e interacciones didácticas,

4. Identificación del sistema de normas y metanormas, y 5. Valoración de la idoneidad

didáctica de los procesos de instrucción.

En cuanto a las tablas de indicadores de idoneidad, se aclara que los componentes

e indicadores se tomaron textuales (Godino, 2011); sin embargo, para poder mostrar una

relación entre ellos, se asumió la evaluación de cada indicador, desde el ángulo bivalente

de sí o no. De acuerdo con lo anterior, cada indicador recibió el puntaje de 0% o 100%;

cada componente está compuesta por uno o varios indicadores, por lo cual, la valoración

de la componente es el promedió de sus indicadores. Para la idoneidad, igualmente se

promediaron sus componentes. De la misma manera, desde el Enfoque Ontosemiótico

(Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009),

se plantea el hexágono regular como una forma de observar las diferentes facetas de la

práctica docente. Sin embargo, se aclara que se cambió la manera de mostrar la

información; se trazan tres hexágonos como referencia, el interno representa el 33%, el

medio el 66% y el externo el 100%, pero se pueden tomar valores de 0% a 100%. Lo más

apropiado es aproximarse al 100% en cada una de las idoneidades. Al realizar el análisis

final por idoneidad y de acuerdo con su nivel de logro, se tuvo en cuenta la siguiente

clasificación emergente: aspectos por mejorar, (re)significados y fortalezas. Se

consideran fortalezas del profesor aquellos criterios que estaban inicialmente presentes

dentro de su práctica pedagógica y los siguió manteniendo; un aspecto fue (re)significado

si inicialmente no lo tenía el docente, pero a través del trabajo colaborativo consiguió

desarrollarlo; se tiene un aspecto por mejorar, si inicialmente no estaba presente en sus

prácticas y al finalizar el trabajo colaborativo, sigue sin estarlo.

Por otro lado, como para el análisis didáctico ya se había dividido la clase en

configuraciones didácticas, según el Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas y Godino,

2010), se realizó el análisis de las interacciones, configuración por configuración. Para lo


anterior, se tomó la transcripción de cada clase y cada línea se fue interpretando y

asumiendo como una acción que representa una intencionalidad comunicativa y de esta

forma fueron emergiendo los diferentes patrones de interacción de cada docente, por

configuración, las cuáles inicialmente se presentan en el análisis de la clase y

posteriormente se tratan y clasifican dentro de los criterios del EOS, por frecuencias,

configuración y tiempo, con el objetivo de identificar los patrones más usuales en el

docente. En la discusión final de cada caso, se hace también una identificación de

patrones de interacción comunicativa, desde clasificaciones planteadas en la teoría (Voigt

(1985), Wood (1995), Peressini y Knuth (1998), Brendefur y Frykholm (2000), Alrø y

Skovsmose (2002), Loska (1998), Schwarz, Dreyfus, Hadas y Hershkowitz (2004), y

Sierpinska (1996)) y como comprobación de características de confrontación con los

patrones emergentes del trabajo.

De la misma manera se trabajó la comunicación, en donde se tomaron

clasificaciones a priori (modelos explicativos de la comunicación, clasificación desde

Niño (1998), clasificación de signos, contrato didáctico, modos de comunicación) con

otras emergentes (que surgen del trabajo). Para estas últimas, igual se dividió la clase en

configuraciones, y de acuerdo con sus características se clasificaron en relación a lo

propuesto por Brendefur y Frykholm (2000), para poder concluir con la clase en general.

Con el análisis didáctico se procuró facilitar la reflexión de los participantes en el

estudio de caso agregado sobre sus prácticas profesionales para su posible mejora. En

este caso la metodología utilizada consistió en la organización del grupo de trabajo

colaborativo con los profesores que participaron en el estudio de caso agregado. Entre

otros aspectos se pretendió:

▪ Hacer conscientes a los docentes sobre “lo qué está sucediendo en sus clases” con

el propósito de que lo familiar se convirtiera en problemático. Esta información se

pudo documentar sistemáticamente a partir del análisis de las videograbaciones de

sus clases.

▪ Comparar “lo que está sucediendo aquí” con “lo que está sucediendo en otros

lugares”, en lo referente a prácticas pedagógicas. El trabajo colaborativo permitió


presentar alternativas a sus clases mostrando otras maneras de explicar lo mismo

que explicaron ellos.

▪ A través del Grupo Colaborativo, dar respaldo a los intentos de planear cambios.

La información ofrecida permite a los docentes discutir sobre la posibilidad de

(re)significar sus prácticas y sus clases

▪ Facilitar la discusión colectiva. Este tipo de diálogo colectivo permite que el

profesor en algunas ocasiones se adhiera al punto de vista de los participantes, y

otras, entrara en confrontación dando argumentos para apoyar o invalidar la

pretensión de validez de sus compañeros. La organización del grupo procuró

conseguir una situación de acción comunicativa, es decir se pretendió una

conversación entre iguales basada en presunciones de validez a fin de alcanzar un

consenso racionalmente motivado. La estrategia metodológica de reflexión dirigida

a profesores se ha utilizado en otras tesis doctorales, aunque con objetivos

diferentes. Por ejemplo, en dos investigaciones sobre concepciones y creencias de

los profesores (Martínez 2003; Ramos, 2006).

Para el desarrollo del trabajo del grupo se procuró generar una relación de equidad,

en donde todos los miembros tuvieran la misma autoridad, la base fue el diálogo y el

respeto por las ideas de los demás. Cada participante podía realizar su lectura de cada

situación, es decir podía hacer su propia contribución basada en el conocimiento, las

dificultades o las dudas. Los participantes deben aprender sobre sí mismos, sobre los

otros y sobre los aspectos del trabajo, sin embargo, no es necesario que todos aprendan

lo mismo, “es la persona la que debe ser valorizada, y no su conocimiento o estado”

(Olson, 1997, p. 21). Se debía generar un clima de seguridad y confianza entre los

miembros del grupo, basados en principios como la honestidad, confianza, compromiso

y respeto (Drake y Basaraba, 1997); brindando oportunidad de compartir experiencias y

un ambiente estimulante, teniendo como objetivo profundizar en el conocimiento o sea

en el desarrollo de las prácticas profesionales de cada uno y haciendo énfasis en sus

patrones de interacción comunicativa.

En general se pretendió que el grupo hiciera una reflexión sobre las clases, teniendo

como eje aquellos aspectos que interferían con la comunicación en la clase. Se procuró

identificar tanto los aspectos facilitadores como los obstáculos de esa comunicación, con


base en el análisis a los docentes, para lo cual el punto de partida fue la identificación de

dificultades por ellos mismos. Entre las actividades que el grupo realizó se tienen:

discusión de temáticas que se consideraron importantes para los miembros del grupo,

análisis de artículos, planificación de clases y tareas, reflexión sobre las prácticas de aula,

especialmente sobre las prácticas comunicativas, y formas de divulgación del trabajo.

Igualmente se quiso que la responsabilidad de las reuniones fuera compartida por todos

los miembros del grupo, en particular se fuera rotando la relatoría. También se hizo un

archivo del grupo con todo el material que se consideró relevante.

Este trabajo colaborativo, pese a que fue idea inicialmente del investigador, tuvo

todas las componentes para ser un trabajo totalmente colaborativo, por lo que cualquier

actividad o decisión fue avalada por todos los miembros del grupo, en el cual se recalca

nuevamente que todos tenían la misma autonomía para colocar propuestas a

consideración para ser consensuadas. En este momento el doctorando aumentó

considerablemente su nivel de implicación ya que era un miembro más del grupo y, en

consecuencia, su observación de la investigación fue claramente de tipo participante. Su

función fue la participación en la primera parte (presentación de los resultados de la

primera fase de la investigación, ejemplos de posibles clases alternativas, etc.) y menor

en la segunda parte del seminario (facilitar la participación y el diálogo en el grupo).

Para el O4 se utilizó una triangulación de fuentes. Por una parte se analizaron sus

intervenciones en el seminario desde una perspectiva hermenéutica − en el sentido que

se hicieron interpretaciones de las interpretaciones que hacen los sujetos investigados (lo

que dicen sobre su práctica profesional). Por otra parte, se analizaron clases de estos

profesores, realizadas después de culminar el trabajo colaborativo.

Sujetos Investigados. Un Estudio de Casos.

Tal como se ha dicho anteriormente, los participantes en la fase inicial de la

investigación fueron los profesores de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC,

mientras que para el resto de la investigación fueron algunos estudios de caso escogidos

entre el grupo de profesores.


La elección. Un trabajo que destaca la colaboración tiene condiciones más

favorables para ser desarrollado por un grupo con un número pequeño de miembros

(Silva, 2007), por lo que se propuso trabajar con dos profesores de la Licenciatura en

Matemáticas. Dado que el proyecto colaborativo es un trabajo exigente, un criterio de

selección fue que los profesores tuvieran vivencias comunes y facilidad para programar

los encuentros, así que el trabajar en la misma escuela (Licenciatura en Matemáticas)

pareció ser un elemento favorable para el desarrollo del proyecto. El otro aspecto

fundamental para considerar en la elección de los profesores, fue que tuvieran la voluntad

de participar en el proyecto, ya que implicaba el desarrollo de tareas adicionales, el

asignar tiempo para el desarrollo de actividades y para las reuniones de trabajo. Por lo

anterior, los participantes escogidos para este estudio fueron los profesores de la

Licenciatura en Matemáticas: Fernando y Juan, que se encuentran vinculados con

carácter ocasional en la UPTC (Tiempos de servicio diversos).

Se obtuvo el consentimiento informado de los participantes de manera que ellos

tuvieran claridad sobre los distintos aspectos del proceso (Anexo 1) y se procuró que el

consenso estuviera presente en todo momento. Los términos iniciales que se tomaron con

los participantes fueron respetados durante el desarrollo de la investigación, al igual que

se resaltó el beneficio compartido del grupo y también para la institución. Se otorgó el

consentimiento para la presencia de cámaras o grabadoras. Se utilizaron pseudónimos

para proteger la identidad de los participantes (Bogdan y Biklen, 2007; Merriam, 1988).

Otro aspecto ético importante es el que tiene que ver con la fidelidad de los datos

obtenidos, se mantuvo la autenticidad de los datos así mostraran resultados contrarios a

lo esperado (Bogdan y Biklen, 2007).

Métodos, instrumentos y procedimientos para la recolección de información

En la investigación cualitativa, el investigador toma una importancia relevante

como mediador, pues en esta clase de investigaciones éste es una persona antes que una

máquina o instrumento (Guba y Lincoln, 1994). Las técnicas que se plantearon

inicialmente para la recolección de información fueron la observación y la entrevista, y

los procedimientos son cuestionarios, entrevistas semi-estructuradas y no estructuradas.


La observación. Esta es una técnica de recolección de datos muy generalizada en

estudios de tipo interpretativo y especialmente es considerada como la mejor para la

recolección de datos en estudios de caso (Bogdan y Biklen, 2007, Merriam, 1988). Según

Ludke y André (1986) la observación permite una buena aproximación entre el

investigador y el fenómeno base de estudio, siendo la forma recomendable para estudiar

los acontecimientos y procesos; facilita que el observador se acerque al punto de vista de

los participantes, ya que va revestido de sus experiencias del contexto en que se desarrolla

la acción. Se resaltan dos extremos de la observación participante: cuando el observador

es totalmente participante; es decir es miembro integrante del grupo observado y cuando

es un espectador. Merriam (1988), de acuerdo con la relación entre el observador con su

observado clasifica la observación participante como: observador como participante y

participante como observador.

En este proyecto se utilizó una observación participante, la que se realizó en

diferentes contextos entre los que están aulas y reuniones. Según la clasificación de

Merriam (1988) el papel del investigador fue de observador como participante, ya que su

participación fue activa dentro del grupo de trabajo colaborativo, y de participante como

observador en lo referente a las aulas, dado que su participación se limitó a la observación

y análisis de las actividades de aula sin participar directamente en las mismas. La forma

de recolección de la información en este paradigma es descriptiva, generalmente basados

en notas de campo y grabaciones de audio y video.

Observaciones de clases de matemáticas. La observación y análisis de las clases

son una forma importante de recolección de datos, en donde el contexto toma relevancia.

En este caso se grabaron 2 clases de cada docente al iniciar el estudio (4 en total), 1 clase

durante el trabajo colaborativo y nuevamente se grabaron 2 clases de cada docente una

vez se culminó el trabajo del grupo colaborativo (4 clases).

La entrevista. Al igual que la observación es muy utilizada en los estudios

cualitativos, en especial cuando se pretende entender el pensamiento humano. Propicia

que el investigador acceda a las perspectivas de otro sujeto, a conocer sus valores y

preferencias, sus actitudes y creencias, le ayudan a entender la visión del mundo de otra


persona especialmente en aspectos que no son directamente observables (Bogdan y

Biklen, 2007; Merriam, 1998). Es útil particularmente cuando se desea hacer un estudio

individualizado de los miembros de un grupo, complementa la información pertinente

para la construcción del historial de cada profesor, permitiendo conocer sus expectativas

frente a la naturaleza de la matemática, a los alumnos, profesión docente, entre otros

aspectos (Goetz y LeComte, 1984). Se pretendió tener acceso a aquellos aspectos de los

docentes que iban a ser objeto de estudio en el caso y que no fueron identificables a través

de la observación o el cuestionario. En la entrevista se precisaron las posiciones

individuales frente a una actividad o hecho, al igual que se pudo hacer un sondeo a

vivencias de la persona, ya sean experiencias positivas o negativas, o momentos

específicos de su vida docente.

Cuestionaros. Se aplicaron dos (2) cuestionarios orientados a docentes al inicio

del proyecto.

Entrevista no estructurada. Se aplicó una al comenzar el proyecto como

complemento a la información recogida en los cuestionarios.

Entrevistas semi-estructuradas. Se realizaron cinco (5), se propusieron dos al

inicio del proyecto, otra dentro del desarrollo del trabajo colaborativo y dos al finalizar

este proceso; se desarrollaron de acuerdo a un guion previamente establecido y fueron

grabadas, para facilitar su posterior transcripción.

Reuniones de trabajo conjunto. Estas reuniones son tal vez la base de todo el

proyecto, se iniciaron en marzo de 2015 y realizaron en general cada 8 o 15 días. Se

fueron analizando y desarrollando las actividades pertinentes como: discusión de

artículos y textos relacionados con la temática de interés, análisis de clases, análisis de

experiencias anteriores, planificación de tareas y actividades, entre otros tópicos. En estas

reuniones se tomaron notas de campo, pero especialmente fueron grabadas, para

posteriormente ser transcritas.


Instrumentos por Objetivos de Investigación.

A continuación, se describen los instrumentos de acuerdo a los objetivos de

investigación.

• Para llevar a cabo la triangulación de fuentes prevista en O1 se tuvieron en cuenta los

siguientes instrumentos.

Cuestionario 1 (anexo 2). Consta de 30 preguntas, es de tipo cerrado. El objetivo

fue identificar la tendencia del modelo pedagógico de los docentes de la Licenciatura en

Matemáticas. Este instrumento fue validado y aplicado por Díaz (2010) y analizado por

el investigador.

Cuestionario 2 (anexo 3). Tiene 38 preguntas, de tipo cerrado. Se trataba de

identificar las concepciones de los docentes de la Licenciatura en Matemáticas acerca de

los objetivos de enseñanza, significado de la temática, importancia que le da el docente

al contexto, como aborda las dificultades en el aprendizaje, las interacciones en el aula,

formas de representación, medios educativos, relación entre la comprensión y la

mecanización, entre otros. Este instrumento fue adaptado de Martínez (2003) el cual lo

validó. Sin embargo, se realizó prueba piloto con dos tesis de maestría en curso, Suárez

(2016) y Vargas (2016).

Entrevista no estructurada con los docentes. Como los cuestionarios se

plantearon de tipo cerrado, el objetivo de la entrevista no estructurada fue ampliar

información, corroborar las respuestas que dieron los docentes y determinar el porqué de

algunas afirmaciones que se plantearon en los dos cuestionarios, especialmente en

aquellas preguntas que apuntaban a la misma información con resultados no tan

congruentes.

• Para la obtención del O2, se tuvieron en cuenta:

Grabación de 2 clases de cada docente para un total de 4 clases, a las cuales se

les realizó su respectiva trascripción (anexos 4-5). A ellas se les efectuó un análisis

didáctico teniendo en cuenta los parámetros del Enfoque Ontosemiótico.


• Para el logro de O3. Se tuvieron en cuenta los instrumentos aplicados para el logro

de O2, y adicionalmente se aplicaron los siguientes instrumentos:

Entrevista semiestructurada 1 (anexo 6). Se aplicó al inicio del trabajo

colaborativo, el objetivo fue identificar aspectos personales de cada docente, disposición

de tiempo, interés en participar en el proyecto, análisis del proyecto (anexo 7),

consentimiento informado y elección de horario de trabajo para el primer semestre.

Entrevista semiestructurada 2 (anexo 8). Se realizó a los 8 días de la anterior

entrevista, se trató de indagar acerca del desempeño profesional de cada docente, de su

concepción sobre la matemática y de la enseñanza de la matemática, haciendo énfasis en

los procesos comunicativos.

• Para O4, se consideraron:

Entrevista semiestructurada 3 (anexo 9). Se llevó a cabo sobre el 60% del

desarrollo del trabajo colaborativo. Se trató sobre lo realizado en el proyecto, el análisis

didáctico de las clases, sobre las prácticas comunicativas y el conocimiento didáctico.

Grabación de clase del docente Fernando. Se hizo al terminar el proyecto. Su

análisis se adicionará en el capítulo (5) de Proyecto Colaborativo.

Entrevista semiestructurada 4 (anexo 10). Se aplicó también al finalizar el

trabajo con el Grupo. Se aplicaron los mismos criterios de la entrevista anterior

adicionando algunos aspectos comunicativos puntuales.

Entrevista semiestructurada 5 (anexo 11). Esta entrevista se realizó al finalizar

el proyecto y una vez se les dio a conocer a cada docente el análisis del caso. Indaga

sobre la opinión general sobre el caso y sobre las categorías.

Grabación de 2 clases de cada docente para un total de 4 clases, una vez finalizó

el trabajo en grupo colaborativo, a las cuales se les realizó su respectiva trascripción


(anexos 12-13). Igualmente, se analizaron teniendo en cuenta los parámetros del Enfoque

Ontosemiótico.

Validez de los instrumentos y del análisis de la Información.

En un proceso investigativo de carácter mixto, es necesario referirse por separado

a cada paradigma en cuanto a validez. En primer lugar, en lo cuantitativo, se aplicaron

algunos instrumentos adaptados de trabajos anteriores, siendo previamente validados

(Díaz, 2010; Martínez, 2003). En general el análisis cuantitativo se limita a extraer

algunas frecuencias que sirven como apoyo a las inferencias que se hacen de tipo

cualitativo. En lo referente al paradigma cualitativo, se tomaron como referencia los

cuatro criterios propuestos por Hernández, Fernández y Baptista (2014), los cuales

pretenden mostrar la veracidad en el proceso de investigación, aclarando que estuvieron

presentes en todo el desarrollo de la investigación:

Credibilidad. Para lograr credibilidad en la investigación, se mantuvo un diálogo

permanente con los participantes en el estudio, lo que permitió determinar que la

información que estaban brindando tenía que ver con la realidad de los docentes, es

decir, ellos la identificaban como válida, al igual que el sentido que se le estaba dando

al análisis. Se contrastó permanentemente lo obtenido en la investigación con el punto

de vista de los docentes.

Transferibilidad. Se refiere a la posibilidad de extender los resultados del

estudio a otras poblaciones. Una vez culminado el estudio, el cual arrojó algunas

conclusiones interesantes, como los patrones de interacción típicos de un docente de

matemáticas, al igual que aspectos de (re)significación de las prácticas profesionales,

las cuales se aclara que son válidas para los participantes del estudio, se deja a libertad

del lector, determinar si es posible transferir los hallazgos a un contexto diferente.

Dependencia. Este criterio se utilizó para identificar la consistencia de los

resultados. Para el proceso de control, el investigador tuvo tres criterios, en primer lugar,

todos los desarrollos y análisis fueron consultados con un experto que es el director de

la tesis, adicionalmente cuando se tuvo la oportunidad, se discutía con otro experto, el

doctor Vicenç Font, quién es el tutor internacional de este trabajo, los cuales sirvieron


de validadores externos. De la misma manera, los resultados y avances se iban

discutiendo con el grupo de trabajo colaborativo, que desempeñó la función de

validador interno. Igualmente se realizaron artículos sobre resultados parciales, los

cuales fueron publicados en revistas indexadas.

Confirmabilidad. Con el propósito de determinar si la información,

interpretación y conclusiones eran pertinentes, se pidió a los expertos y al grupo de

trabajo colaborativo, que examinara y controlara la concordancia entre los datos,

inferencias e interpretaciones realizados por el investigador.

Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas

de la UPTC

En este capítulo se presentan los resultados relacionados con el objetivo específico

1. En concreto, para determinar los modelos didácticos dominantes de los profesores de

la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, se estudió un grupo de 13 profesores cuya

dedicación es de tiempo completo en la Licenciatura de Matemáticas (nueve profesores

adscritos directamente a la Licenciatura de Matemáticas, y cinco a la Escuela de Matemáticas

y Estadística de la Facultad de Ciencias). El objetivo fue situar a estos profesores en alguno

de los cuatro modelos de clase contemplados en el marco teórico del capítulo 2. Para ello,

se realizó una triangulación de fuentes (dos cuestionarios y una entrevista no

estructurada). Un primer resultado es que los profesores presentan características de

varios de los modelos estudiados previamente, aunque se puede considerar a uno de ellos

como predominante. Los resultados obtenidos muestran que la mayoría de los profesores

(54%) presentan como modelo predominante el tradicional, seguido del tecnológico”.

Aspectos metodológicos

Tal como se ha explicado en el capítulo 2, en la literatura se encuentran varias de

las clasificaciones de modelos pedagógicos y didácticos de los profesores de

matemáticas. En esta investigación, se consideraron inicialmente las propuestas de Ernest

(1989) (entrenador, tecnólogo, humanista, progresista y crítico) y la de Porlán (1995)

(tradicional, tecnológica, espontaneista e investigativa), la última se complementó

quedando como constructivista, cobijando los enfoques siguientes: constructivista radical

(Piaget), sociocultural (Vygotsky) e interaccionista (Bruner). Se tomó una posición

propia sobre los diferentes modelos que se hallan en la literatura y se seleccionaron como

modelos a priori de referencia los siguientes: tradicional, tecnológico, espontaneista,

constructivista (Constructivismo radical, sociocultural e interaccionista).

Los sujetos investigados fueron un grupo de 13 profesores, cuya dedicación es de

tiempo completo en la Licenciatura de Matemáticas (nueve profesores adscritos

directamente a la Licenciatura de Matemáticas, y cuatro a la Escuela de Matemáticas y

Estadística de la Facultad de Ciencias).

Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas 125

Se realizó una triangulación de fuentes (dos cuestionarios y una entrevista no

estructurada). Para la recolección de información se aplicaron a estos 13 profesores los

siguientes instrumentos:

Cuestionario 1. Se consideró que una fuente de información relevante para esta

investigación era el cuestionario aplicado por Díaz (2010) a 23 profesores que trabajan

en la Licenciatura en Matemáticas. Las razones para ello, era que los 13 profesores que

son los sujetos-objeto de esta investigación participaron en ella y que, de los cinco

modelos didácticos del profesor considerados en dicho cuestionario, cuatro coinciden

con los que se han seleccionado a priori como modelos de referencia.

Cuestionario 2. Se trata de un cuestionario orientado a determinar si los profesores

tienen en cuenta, en sus procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,

determinados aspectos como son los objetivos, contexto, dificultades, entre otros. Las 38

preguntas fueron distribuidas en las siguientes categorías: objetivos (4 preguntas),

significado de la temática (7), importancia del contexto (7), dificultades en el aprendizaje

(2), importancia de los conocimientos previos (3), interrelación entre estudiantes (2),

representación (2), medios educativos (2), operación y su inversa (2), ejercicio y

problema (2), comprensión – mecanización (2) y personal institucional (3). Los

resultados se hallan tabulados en el anexo 3.

Entrevista no estructurada. Se aplicó como complemento a las dos encuestas

anteriores, su objetivo fue ampliar la información suministrada por los profesores en

dichos instrumentos.

Resultados

A continuación, se presentan los resultados obtenidos de la triangulación de los dos

cuestionarios y de las respuestas a la entrevista.

En el Cuestionario Uno, aplicado a 23 profesores por Días (2010), se plantearon 36

preguntas de respuesta múltiple (A, B, C, D y E) relacionadas con los siguientes modelos

didácticos de los profesores: tradicional, tecnológico, espontaneista, pedagogía conceptual y

constructivista. En el anexo 2 se halla la encuesta y su tabulación.


En esta investigación se ha tomado primero en cuenta el número de respuestas de la

opción A de todas las preguntas del cuestionario (Si está de acuerdo y habitualmente lo

aplica) (ver anexo 2), que se presentan en la tabla 9:

Tabla 9. Los docentes y su clasificación de acuerdo con Díaz (2010).


De la tabla se puede concluir la siguiente información numérica sobre el tipo de modelo

didáctico dominante en los profesores (lectura por filas):

Ninguno de los 23 profesores tiene tendencia didáctica tradicional. Los profesores 1,

9, 12, 17, 21 y 22 presentan tendencia didáctica tecnológica. Se acercan a la tendencia

espontaneista los docentes 8, 13, 16 y 19. Tendencia hacia la pedagogía conceptual los

docentes 2, 3 y 5. Finalmente los docentes que presentan tendencia constructivista son el 4,

11 y 20. No se puede definir la tendencia didáctica de los profesores 6, 7, 10, 14, 15, 18 y 23.

Es decir, el 26% de los docentes presentan tendencia tecnológica, el 17% tendencia

espontaneista, el 13% tendencia hacia la pedagogía conceptual, el 13% tendencia

constructivista y para el 31% no se puede definir su tendencia, ya que presenta igualdad de

condiciones para varias tendencias o no destaca ninguna tendencia. Se prioriza la tendencia

tecnológica en el 26% de los docentes, aclarando que ninguno mostró una tendencia

exclusiva.

En segundo lugar, se realizó un análisis (pregunta a pregunta) para saber cuántos

profesores habían seleccionado la opción A, a una determinada pregunta, para poder

triangular esta información con la anterior. El primer lugar lo ocupa la pregunta número 5


con 18 profesores, se trata de una pregunta que permite inferir que el profesor que selecciona

la opción A tiene un modelo tecnológico. El segundo lugar lo ocupa la pregunta 25 con 17

profesores correspondiente al modelo de pedagogía conceptual. En el tercer lugar está la

pregunta 2 con 15 puntos, que vuelve a corresponder al modelo tecnológico (ver anexo 21).

De la triangulación de estos dos datos se infiere que prima la tendencia tecnológica,

cuyas características según la encuesta y la entrevista son: a) la necesidad de planificar

rigurosamente la clase teniendo especial cuidado al proponer los objetivos, considerado

elementos importantes en el currículo, los cuales deben ser planteados jerárquicamente,

planteando primero los conocimientos más concretos y progresivamente hacia lo más

complejo; b) una forma de ejercer control sobre el aprendizaje es analizar las conductas

observables determinadas por los objetivos; c) un estudiante que no realiza correctamente las

tareas propuestas en la clase es porque no tiene interés o voluntad para trabajar, o su

inteligencia está por debajo de lo normal, es decir hay la concepción del aprendizaje

homogenizado, el profesor explica y todos aprenden de la misma manera.

A continuación, en la tabla 10 se presenta una reducción de la información del anexo

3. En particular, se tabulan las preguntas de respuestas positivas más frecuentes. Por ejemplo,

hay cuatro preguntas que pretenden saber qué tipo de objetivos deben conseguirse en el

proceso de enseñanza y aprendizaje de un determinado contenido matemático (16, 23, 29 y

33). De estas cuatro, las frecuencias fueros respectivamente 7, 4, 6 y 8, por lo cual se tomaron

en la tabla 10 las preguntas 16 y 33. La alta frecuencia de acuerdo con la afirmación 16 (El

propósito de la enseñanza de la derivada es que el estudiante aprenda una técnica que le

permita derivar y aplicar la técnica en la resolución de problemas) indica que el profesor

considera objetivos de tipo instrumental que se pueden asociar tanto al modelo tradicional

como al tecnológico. Lo mismo se infiere de la alta frecuencia de acuerdo con la afirmación

33 (el desarrollar habilidad para solucionar ejercicios sobre derivadas es lo más importante

en la enseñanza de la derivada).


Tabla 10. Preguntas con mayor frecuencia de respuestas positivas.


Observación: La numeración de los profesores en la primera columna se hizo de

acuerdo con la misma que tenían en el primer cuestionario, es decir, que el cuarto profesor

de la tabla es el número cuatro de la tabla 9. Las siglas TT indican que la afirmación se

relaciona con el modelo tradicional o tecnológico. La sigla NT indica que la afirmación no

se relaciona con el modelo tradicional ni el tecnológico.

De la información del anexo 3 y la entrevista se concluye:

Objetivos. Hay la tendencia a considerar que la enseñanza de un contenido tiene como

objetivo principal desarrollar habilidad para solucionar ejercicios donde se aplique éste. Con

ello están de acuerdo los docentes 14, 17, 18, 19, 21, 22 y 23, (54%). Dicha consideración

sobre los objetivos del proceso de enseñanza y aprendizaje de un contenido de tipo

instrumental permitió inferir que dichos profesores se ubican en un modelo tradicional o

tecnológico.


Significado del objeto matemático. Se infiere de la alta frecuencia de las

afirmaciones 5, 24 y 35 que los profesores consideran de manera implícita que “entender o

comprender” el significado de un objeto matemático (la derivada en este caso) es saberlo

aplicar a la resolución de ejercicios y problemas, y que para aprenderlo deben de proponérsele

ejercicios en forma graduada al estudiante. Apoyan esta interpretación los docentes: 10, 14,

17, 18, 21, 22 y 23, (54%). Dicha consideración sobre el significado de los objetos

matemáticos de tipo instrumental (comprender es saber aplicar) permite deducir que dichos

profesores se ubican en un modelo tradicional o tecnológico.

Importancia del contexto. Se asume el trabajar con problemas del contexto solo

como un factor motivador, de acuerdo con ello están los docentes 14, 17, 18, 21, 22 y 23,

(46%). Se cree que el aprendizaje real se da en la escuela, aunque se reconozca que fuera de

ella se dan pequeños aprendizajes, con ello están de acuerdo todos los docentes. Estos

aspectos se corresponden con una tendencia tradicional-tecnológica. Es importante relacionar

la enseñanza de un concepto con los contenidos de otras asignaturas, de acuerdo los docentes

4, 5, 13, 14, 16, 19 y 20, (54%). Este criterio corresponde a una tendencia No tradicional-

tecnológica.

Dificultades en el aprendizaje. Las dificultades en el aprendizaje de una temática se

deben en gran parte a problemas cognitivos, de atención o que no se les facilita aprender

matemáticas a los estudiantes, apoyan este criterio los docentes 10, 14, 17, 18, 21, 22 y 23

(54%). Adicionalmente también se cree que las dificultades de los estudiantes también se

deben a que el profesor presenta fallas en la enseñanza. De acuerdo con este criterio están

todos los docentes. Prima la tendencia tradicional-tecnológica.

Importancia de los conocimientos previos. Se piensa que los conocimientos previos

de un estudiante sobre una temática son un obstáculo para el aprendizaje, según los docentes

10, 14, 17, 18, 22 y 23, (46%), posición tradicional-tecnológica. Mientras que está la posición

contraria, donde se considera importante que el estudiante lance conjeturas e hipótesis sobre

el resultado de un ejercicio o problema. Esta tendencia está respaldada por los docentes 5, 13,

16, 18, 19 y 20, (46%).


Interrelación entre estudiantes. Se afirma que los estudiantes solucionan mejor un

problema sobre una temática si se les permite intercambiar ideas sobre su resolución, esto lo

creen los docentes 5, 10, 13, 18, 19 y 20, (46%). Está la opción contraria, es preferible que el

estudiante trabaje sólo ya que trabajar en grupo es sólo una pérdida de tiempo y no se obtiene

rendimiento, sugerida por los docentes 14, 16, 17, 18, 21, 22 y 23, (54%), aspecto que es

tradicional-tecnológico.

Representación usada por el estudiante. Está la concepción que es importante que

el estudiante use diferentes tipos de representación de los problemas o situaciones de tal

manera que le ayude a comprender la problemática, tal opción es concebida por los docentes

4, 5, 13, 16, 19 y 20, (46%). Igualmente hay docentes que priorizan el uso de la representación

simbólica o matemática y evita otro tipo de representaciones concretas o gráficas. Esta

posición es relevada por los docentes 10, 14, 17, 18, 21, 22 y 23. Este último enfoque implica

una tendencia tradicional-tecnológica.

Medios educativos. Hay un acuerdo de todos los docentes en reconocer que los

medios educativos facilitan el aprendizaje de los estudiantes, posición no tradicional-

tecnológica.

Estudio de una operación y su inversa simultáneamente. Existe la concepción de

que es importante que se enseñe una operación simultáneamente con su inversa ya que

permite diferenciar claramente las dos operaciones, con ello están de acuerdo los docentes 5

y 20, (15%). Todos los demás opinan que es importante que el estudiante domine primero

una operación y luego si estudie su inversa.

Ejercicio o problema. Los docentes 5, 10, 13, 16, 18, 19 y 20 piensan que para la

enseñanza de una temática es preferible partir de una situación problemática, mientras que el

resto opinan que hay necesidad de ejercitar la operación y si posteriormente colocar los

ejercicios de aplicación. Este último aspecto corresponde a una tendencia tradicional-

tecnológica.


Comprensión o mecanización. Los docentes 10, 17, 18, 21 y 22 afirman que es

importante que el estudiante aprenda un método para solucionar una operación, aunque por

el momento no lo comprendan, los demás docentes están en una posición contraria, el

estudiante debe comprender lo que está haciendo.

Personal-Institucional. Los docentes 10, 14, 17, 18, 21, 22 y 23 piensan que al

estudiante hay que enseñarle un solo método para solucionar un ejercicio o problema y ese

método se debe exigir al estudiante en las evaluaciones. Tendencia tradicional-tecnológica.

Los demás docentes creen que el estudiante debe tener libertad para utilizar el método

que considere conveniente a la hora de solucionar problemas o ejercicios, es más, los

docentes deben estimularlos para que apliquen sus propios procedimientos.

Se aclara que, de las 38 preguntas planteadas, 23 estaban con un enfoque tradicional-

tecnológico y 15 en la posición contraria. En el siguiente gráfico se presenta la posición de

cada docente frente al número de preguntas con tendencia tradicional-tecnológica.

Figura 10. Relación de los docentes con la tendencia tradicional – tecnológica. Fuente: Datos Cuestionario 1.

Del anterior gráfico se puede concluir que los docentes 4, 14, 16, 17, 18, 22 y 23

tienen una tendencia tradicional-tecnológica, es decir el 54% de los docentes del estudio se

aproximan a una tendencia tradicional-tecnológica. Aunque se vuelve a resaltar que ningún

docente presenta una única tendencia.

0

5

10

15

20

25

4 5 10 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23

Frecuen

cia

Docentes

Tendencia Tradicional-Tecnológica


Otro aspecto que se puede relevar es la relación entre las categorías y la tendencia

tradicional-tecnológica, la cual se muestra en la gráfica:

Figura 11. Relación de las categorías frente a la tendencia tradicional – tecnológica.

Fuentes: Datos Cuestionario 2

En las categorías: objetivos, significado de la temática, importancia del contexto,

dificultades en el aprendizaje, medios educativos, formas de enseñanza de una operación

y su inversa, criterio personal o institucional para solucionar problemas, hacia las cuales

se ve un apoyo mayoritario con un enfoque hacia una tendencia tradicional-tecnológica,

o sea, en el 58% de las categorías la tendencia predominante es la tradicional-tecnológica.

En el resto de las categorías: importancia de los conocimientos previos, la interrelación

entre estudiantes dentro de la clase, la forma de representar situaciones, el plantear

situaciones problémicas para introducir una temática y la relevancia de la comprensión

de los estudiantes en todos los procesos; se ha avanzado hacia metodologías más

modernas.

También es de resaltar que todos los docentes están de acuerdo con las siguientes

aseveraciones: para que el estudiante comprenda el significado de un concepto, se deben

proponer variados problemas que se solucionen con éste; los medios educativos facilitan

el aprendizaje, gran parte de las dificultades que tienen los estudiantes en el aprendizaje

de cualquier temática se debe a fallas en la enseñanza; el aprendizaje real se da en la

escuela, los alumnos aprenden sólo algunos aspectos fuera de la escuela; el solucionar

problemas de la vida diaria es el propósito fundamental de la enseñanza de cualquier

0

20

40

6080

100

120

Frecuen

cia

Categorías

Tendencia Tradicional-Tecnológica


concepto. La gran mayoría de las afirmaciones corresponden a una tendencia tradicional-

tecnológica.

Triangulación de información

Para este proceso se tuvieron en cuenta los docentes que presentaron las dos

encuestas. Se muestra en la tabla siguiente la información correspondiente:

Figura 12. Resultados de las dos encuestas

Código del Docente Encuesta Uno Encuesta Dos

4 C NTT

5 PC NTT

10 N TT

13 E NTT

14 N TT

16 E NTT

17 T TT

18 N TT

19 E NTT

20 C NTT

21 T TT

22 T TT

23 N TT Fuente: elaboración propia. C: Constructivismo; PC: Pedagogía Conceptual; N: no define; E: Espontaneista;

T: Tecnológica, NTT: No Tradicional-Tecnológica; TT: Tradicional-Tecnológica.

Se observa que los docentes 17, 21 y 22 que se identificaron inicialmente con

tendencia tecnológica se ratifican en la segunda encuesta con esta tendencia didáctica,

adicionalmente los docentes 10, 14, 18 y 23 que en la primera encuesta no fue posible

identificar su tendencia didáctica, en la segunda se ubicaron con tendencia tradicional-

tecnológica. Es decir, que en definitiva el 54% de los docentes del estudio presentan una

tendencia tradicional-tecnológica. Se aclara que se redujo a 13 el número de docentes,

dado que en el momento del estudio eran los que trabajaban directamente con la

Licenciatura en Matemáticas.

Capítulo 5: Grupo de Trabajo Colaborativo

Uno de los aspectos fundamentales en esta investigación fue el trabajo desarrollado

en el Grupo Colaborativo iniciado el 27 de marzo de 2015, y culminado el 23 de agosto

de 2016; con 25 sesiones de trabajo, motivo por el cual se dedica este capítulo a su

estudio. Inicialmente se abordarán algunos aspectos teóricos sobre el trabajo

colaborativo, luego sobre el Grupo en sí, también acerca de las reflexiones del trabajo

desarrollado, la problemática propuesta para abordar en las reuniones y sobre la

continuidad del trabajo colaborativo.

Trabajo en Contexto Colaborativo

Se inicia por destacar que la colaboración entre investigadores y profesores va

tomando cada vez más importancia como una forma de transformar la educación

(NCTM, 1994); al respecto Ponte (1995) menciona la necesidad existente de cooperación

entre docentes e investigadores; los docentes deben asumir un papel protagónico en el

grupo y dejar de ser sólo ejecutores ya que cuentan con su propia experiencia profesional:

los éxitos, problemas, alegrías y tristezas, y esa es la realidad que se pretende conocer,

comprender y mejorar. El investigar sobre la propia práctica es la mejor forma de

desarrollo profesional, lo cual se considera un privilegio para los docentes participantes

(Ponte, 2002). El objetivo en la conformación de grupos de trabajo colaborativo es

obtener aprendizajes, lo cual se aborda a continuación.

El concepto de aprendizaje colaborativo surge a finales del siglo XX; tiene como

marco teórico el constructivismo sociocultural; considera que para el ser humano es de

su esencia trabajar y aprender juntos, pues todo aprendizaje es social y mediado; ya que

aprender es un proceso dialéctico y dialógico en el que las personas contrastan su punto

de vista con los de otras hasta llegar a un consenso (Zañartu, 2013).

El aprendizaje colaborativo se ha desarrollado desde variados enfoques que buscan

aproximarse a su significado y simultáneamente con los grupos de aprendizaje,

comunidades de aprendizaje, enseñanza entre pares y aprendizaje cooperativo.

Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 135

Son variados los autores que hablan sobre el aprendizaje colaborativo. Según

Driscoll y Vergara (1977) para que haya aprendizaje colaborativo se debe trabajar en

grupo y cooperar con el logro de un objetivo que individualmente no se podría lograr.

Proponen cinco características del aprendizaje colaborativo: responsabilidad individual,

cada uno es responsable de su desempeño dentro del grupo, visto como individuo;

interdependencia positiva, para lograr una meta en común los miembros del grupo deben

depender unos de otros; habilidades de colaboración, como trabajo en equipo, liderazgo,

solución de conflictos, tienen como meta el logro del objetivo común; interacción

promotora, los miembros del grupo deben interactuar para lograr un clima agradable de

trabajo y buenas relaciones interpersonales, y así poder establecer excelentes estrategias

de aprendizaje; y proceso de grupo donde hay una autorregulación por parte del grupo

que los lleva a reflexionar y evaluar periódicamente para adecuar su efectivo

funcionamiento.

Para Salinas (2000) aprendizaje colaborativo es la adquisición de destrezas y

actitudes producto de la interacción del grupo. Según Panitz (1997) es la construcción de

consensos basados en la cooperación del grupo. En este aprendizaje, los participantes se

comprometen a lograr una meta en común; es el grupo el que decide cómo realizar la

tarea, cómo dividir el trabajo, qué tareas realizar (Gros, 2000).

Algunos autores tienden a asumir estos dos conceptos como sinónimos, pero

existen marcadas diferencias entre los mismos, iniciando porque el aprendizaje

cooperativo responde al enfoque constructivista clásico (piagetiano) y el colaborativo, al

enfoque socio cultural.

Como lo manifiesta Gros (2000) el aprendizaje cooperativo necesita de una

división de tareas entre los miembros del grupo, donde cada uno responde por su parte y

posteriormente hay socialización del trabajo realizado individualmente. Contrasta con el

aprendizaje competitivo donde cada estudiante para lograr sus objetivos particulares

trabaja en contra del resto del grupo. En cuanto a la responsabilidad del aprendizaje; el

cooperativo es estructurado por el profesor, el colaborativo recae básicamente en el

estudiante.


Otro aspecto por el que se diferencian estos dos aprendizajes es por el tipo de

conocimiento que manejan (Gómez y Álvarez, 2011). Hay un conocimiento fundamental

representado por creencias que socialmente son aceptadas: gramática, ortografía,

matemáticas, historia, entre otros. El conocimiento no fundamental es obtenido por

medio del razonamiento y el cuestionamiento, en vez de la memorización. En el

aprendizaje colaborativo nadie tiene la última palabra, el profesor se considera también

un aprendiz; este inicia justo cuando el cooperativo culmina.

Las personas no aprenden solo porque estén en el grupo, sino que al estarlo realizan

interacciones que generan aprendizajes; es decir, que adicionalmente a los aprendizajes

individuales, al estar en grupo se generan interacciones como consensos, desacuerdos

que desarrollan procesos cognitivos como la internalización, extracción, conocimiento,

entre otros, y son a través de los cuales se aprende (Webb, Ender y Lewis, 1986).

Después de realizar un estudio sobre la composición de los grupos y el logro de

objetivos, Webb, Ender y Lewis (1991) llegaron a la conclusión que el grupo que facilita

más interacciones y explicaciones en la clase es el moderadamente heterogéneo

(estudiantes con habilidades altas y medias, o, medias y bajas), según el autor cuando se

tienen estudiantes de los tres tipos de habilidades generalmente se excluyen de la

interacción los de habilidad media. Si se escogen grupos homogéneos de habilidades

bajas, no tienen los dominios básicos para ayudarse colaborativamente, si por el contrario

se escogen los de habilidades altas no interactúan porque se supone que cada uno puede

solucionar la problemática por sí solo.

Según Zañartu (2013) un grupo de trabajo se considera colaborativo si cumple con

los siguientes requerimientos:

Simetría de conocimientos del grupo. Se pueden considerar varios tipos de

simetría: cuando se brindan las mismas posibilidades a cada estudiante (simetría de

acción), si los estudiantes poseen más o menos el mismo nivel de habilidades o

conocimientos (simetría de conocimiento), cuando los estudiantes tienen un mismo

estatus frente al grupo (simetría de estatus). Una pequeña asimetría en cualquier caso se

considera aceptable, pero podría generar conflictos en la interacción. En general, cuando


un estudiante considera que otro es más capaz que él en algún aspecto, el sentido de la

interacción se daña porque se va a priorizar lo que dice el más capaz.

Meta común. Las metas compartidas pueden fijarse parcialmente al comenzar el

trabajo, pero a medida que este avanza, se deben ir reelaborando, consensuando, de tal

manera que todos se sientan identificados con el desarrollo del trabajo.

Grado de división del trabajo. En la colaboración, el grupo trabaja unido, lo que

no indica que en un momento muy esporádico se pueda dar una división del trabajo. Sin

embargo, los roles dentro del grupo pueden cambiar en un espacio muy breve de tiempo.

Algunas de las características del aprendizaje colaborativo (Zañartu, 2013), son:

La interactividad. El aprendizaje se produce mediante un intercambio de puntos

de vista y de opiniones, por lo cual deben participar en la acción como mínimo dos

personas. La clave está en el impacto de la interacción en el aprendizaje con el

compañero, más no la cantidad de interacciones. En definitiva, se aprende del

intercambio de ideas, de la reflexión grupal.

Sincronía. Hace referencia a que no es posible generar conocimiento sin una

respuesta simultánea que de fundamento a la interacción, y con ella se pueda construir y

sostener una concepción consensuada de un problema. Sin embargo, al generarse un

nuevo conocimiento se debe tener en cuenta la reflexión personal, ya que el construir

conocimiento no solo es un proceso social sino también de reflexión individual e

interiorización.

La negociación. Proceso por el cual dos personas consciente o inconscientemente

llegan a acuerdos con relación a una tarea o problema. En el caso de interacciones

colaborativas la negociación es uno de los aspectos básicos para la misma. La

negociación es parte de la interacción que permite una comprensión mutua, sin

negociación no hay acuerdo y todo se convierte en un monólogo donde el papel del

interlocutor es ser el receptor del mensaje. En la interacción colaborativa el profesor no

se impone por medio de su autoridad sino con la fuerza de los argumentos.


El Grupo

La idea inicial fue convocar a dos profesores de la Licenciatura para conformar el

grupo de trabajo colaborativo, para lo cual, se realizó una invitación oral a diferentes

profesores, pero dado que este trabajo requería de tiempo adicional, muchos declinaron

la invitación. Finalmente se constituyó el grupo con dos compañeros docentes que

voluntariamente quisieron participar: Fernando y Juan16, los dos se identifican con una

tendencia tradicional tecnológica (según estudio presentado en el capítulo anterior), y

mostraron interés en mejorar sus prácticas de aula. El docente Fernando ya venía

colaborando como coordinador de un semillero de investigación y al igual que el docente

Juan estaba culminando su trabajo de grado de Maestría en Educación. A cada uno por

separado se le explicó en qué consistía el trabajo colaborativo y en forma general los

objetivos que se perseguían. Los dos fueron citados para una primera reunión, donde se

inició el trabajo del grupo colaborativo.

A continuación, se hace una presentación de los dos profesores mencionados.

El profesor Fernando: Tiene 35 años de edad, soltero y con cerca de 13 años de

tiempo de servicio. Licenciado en Matemáticas y Física, con especialización en finanzas.

Se preocupa por mejorar sus prácticas de enseñanza, le gusta trabajar en grupo y

colaborar en la medida de lo posible con los demás docentes y estudiantes.

El profesor Juan: Tiene 32 años de edad, soltero y con 10 años de experiencia

docente. Licenciado en Matemáticas. Le preocupa la búsqueda de estrategias para ayudar

a los estudiantes que tienen dificultades para comprender los temas y necesitan más

actividades para alcanzar el conocimiento que otros estudiantes.

En la primera reunión se aprobó el proyecto que iba a guiar el trabajo del grupo en

las sesiones del grupo colaborativo. A continuación, se aborda este proyecto.

La propuesta se presentó en el ámbito del área disciplinar de las matemáticas a

nivel universitario y tiene como meta (re)significar la práctica pedagógica haciendo

énfasis en la comunicación, a través de un grupo de trabajo colaborativo.

16 Los nombres de los profesores fueron cambiados para preservar su identidad.


Los objetivos para crear un grupo de trabajo colaborativo con profesores de la

Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, fueron: reflexionar sobre el trabajo docente

que desarrollan, trabajar en colaboración con otros compañeros, y desarrollar tareas

emergentes de la dinámica del trabajo.

Entre las actividades desarrolladas en las sesiones conjuntas se pueden citar:

Observación de clases (OC). Las clases video grabadas fueron observadas por los

miembros del Grupo, en tiempo fuera de las reuniones o algunas dentro de las reuniones.

Evaluación de clases (EC). Las clases observadas se evaluaban algunas de manera

intuitiva; es decir, sin ninguna pauta; otras mediante unos criterios teóricos determinados,

es decir pautadas.

Discusión de clases (DC). Con los conceptos recogidos en la observación de las

clases, se daba al interior del grupo la discusión sobre los diferentes aspectos trabajados en

ellas.

Reflexión sobre temáticas que tenían que ver con educación matemática y la

mejora de las prácticas pedagógicas, especialmente de aula (RT). Éstas fueron

propuestas por los miembros del grupo, a medida que iba evolucionando su trabajo.

Reflexión sobre aspectos particulares de las clases de los profesores (RCP). Se

daban conexas con las reflexiones que se iban dando en el grupo, especialmente sobre

aspectos teóricos; entonces surgían conceptos de forma espontánea que ilustraban o

aclaraban las discusiones teóricas mencionadas.

Reflexión sobre experiencias de los docentes (RE). Igualmente, dentro de la

discusión del grupo se colocaban en consideración aspectos de la práctica pedagógica de

cada miembro del grupo.

Discusión sobre el trabajo colaborativo (DT). Cuando dentro de las reuniones se

abordaban aspectos que tenían que ver con el trabajo que venía desarrollando el grupo.


Análisis de lecturas (AL). Dentro del grupo se proponían lecturas, algunas de las

cuales debían realizarse en tiempo extra y algunas en las sesiones, para posteriormente ser

discutidas por el grupo.

Discusión de trabajos de grado y Tesis (DT). Los integrantes del grupo estaban

desarrollando su trabajo de grado; por lo cual, en algunas oportunidades se proponían para

discusión, temáticas que hacían referencia a éstos.

Aplicación o análisis de instrumentos (AI). En algunos casos se realizaron

entrevistas o análisis de instrumentos aplicados para la tesis.

Preparación de clases (PC). Otra de las actividades realizadas por el grupo fue la

preparación de una clase que cumpliera con las expectativas de una clase de calidad y sobre

todo, no tradicional-tecnológica.

Actividades no temáticas (ANT). En todo grupo hay ocasiones en donde la

conversación no gira alrededor de la temática que los reúne, sino que hay tópicos alternos

que aunque son importantes para la discusión, no lo son para el desarrollo de los objetivos

del grupo.

Para el esquema del trabajo del grupo se siguieron las siguientes fases, aunque no en

forma lineal, pues respetando los criterios de trabajo colaborativo del grupo se trataban los

temas con el aval y a propuesta de los diferentes miembros del mismo.

Primera fase: Comprensión de lo que es un grupo de trabajo colaborativo.

Segunda fase: Análisis de clases, desde la experiencia de cada miembro del grupo.

Tercera fase: Análisis y aplicación de los criterios de idoneidad del Enfoque

Ontosemiótico en algunas clases.

Cuarta fase: Diseño de una clase por parte del grupo siguiendo los criterios del EOS,

con apoyo en lecturas que favorecen una mejor interacción comunicativa en el aula

de matemáticas.

Quinta fase: Aplicación y valoración de la clase realizada.

Como el objetivo específico del trabajo colaborativo fue mejorar las prácticas de aula,

especialmente lo concerniente a la comunicación, se trabajó con las fases mencionadas. En


primer lugar y de manera natural surgió la necesidad de documentarse sobre el trabajo

colaborativo, ya que esa era la acción inicial del grupo. Posteriormente y con el fin de

identificar qué estába haciendo cada uno en la práctica profesional, se analizaron clases sin

ningún parámetro definido, sino con la mirada que cada uno tenía de una buena clase. Luego

se realizó la etapa de documentación sobre el análisis didáctico de clases, especialmente el

trabajo que se hace desde el Enfoque Ontosemiótico, y se evaluaron algunas clases con estos

parámetros. Finalmente, y tras bastantes discusiones, se decidió elaborar un bosquejo de

clase que entre todos se consideró era adecuada y para que alguno de los profesores la

ejecutara; para ello fue elegido Fernando, quien realizó la clase que fue video grabada y

observada por el Grupo en su totalidad para posteriormente ser evaluada con los criterios

de idoneidad del Enfoque Ontosemiótico (Pochulu y Font, 2011; Font, Planas y Godino,

2010; Godino, 2011). Finalmente, los profesores contestaron una entrevista (EntJ4, 12

agosto 2016; EntF4, 18 julio 2016), en donde plasman su idea de lo que es una buena clase

de matemáticas y como se debe plantear la comunicación en ella.

Las reuniones de trabajo se pactaron cada ocho (8) días, y a pesar de las dificultades

en cuanto a cruces de horario y reuniones de trabajo no programadas de algunos de los

miembros, las reuniones se llevaron a cabo. La agenda se daba a conocer vía correo

electrónico al igual que cualquier variación al día o la hora.

Es de aclarar que la agenda en ocasiones no se cumplía, ya que había fechas en

donde algún docente deseaba trabajar algún tema en particular y era acogido por el grupo,

así no estuviera agendado, por ejemplo, un incidente en una clase, avances de trabajos de

grado, lecturas propuestas por los docentes, prolongación de la actividad de la reunión

anterior, entre otros.

Como Grupo siempre se procuró reflexionar sobre las clases y sobre el rol del

docente en ellas, haciendo énfasis sobre los aspectos comunicativos. A medida que se iba

avanzando en las reuniones del Grupo, se fue optimizando el tiempo y siempre valorando

las opiniones de los compañeros docentes; es de tener en cuenta que las reuniones

resultaban en discusiones académicas muy interesantes, dado el nivel de los componentes

del grupo de trabajo colaborativo, más adelante se mostrarán evidencias de los resultados

de estas discusiones.


En las 25 reuniones del grupo que se realizaron de marzo de 2015 a agosto de 2016,

se destacaron las discusiones sobre un documento, un tema, clases video grabadas,

análisis de clases con pauta y sin pauta, reflexiones sobre el trabajo colaborativo y

planificación de clases, entre otros aspectos.

Con la autorización verbal de Fernando para la participación del grupo, grabación

y análisis de algunas clases, se comenzó a examinar la primera, sin pauta, es decir, sin

parámetros previamente acordados para su análisis (TG9). De lo anterior surgió la

necesidad de tener unos criterios para poder analizar una clase en detalle, para lo cual se

propuso aplicarlos desde el Enfoque Ontosemiótico (TG10) y posteriormente, luego de

observar una síntesis de la clase, se analizaron las dos clases basados en el análisis previo

del investigador. A continuación, un registro del análisis de la clase:

La faceta más baja es la interacción, ¿por qué razón la interacción? Porque la

comunicación que se está teniendo con el estudiante es del tipo de una clase

tradicional, ¿qué se le deja hacer al estudiante? Pues únicamente contestar si o no

y a veces una frase, cuando no sucede que se lanza la pregunta y el mismo docente

la responde, entonces este fue como el resumen de la primera clase (TG11).

Al respecto el profesor Juan manifiesta: “…es que efectivamente no damos

oportunidad para que los estudiantes propongan sus problemas” (TG11). El profesor

Fernando quien orientó las clases,

[…] no sé… de acuerdo a lo que hablan y lo que he trabajado quiero verificar si

estoy en lo cierto o no; lo que he trabajado es, en primer lugar doy la explicación

del tema, luego doy los ejercicios y es cuando les doy la oportunidad de intervenir

(Fernando, TG11).

Como se puede apreciar, se comienzan a presentar algunos cuestionamientos sobre

la práctica de aula. Posteriormente el grupo en las sesiones 20, 21 y 22 preparó una clase

para que la orientara el docente Fernando. El docente realizó la clase, la cual fue grabada

en video, y el Grupo durante una sesión y media (24 y 25) la observó e individuamente

cada uno realizó la evaluación basados en los criterios del Enfoque Ontosemiótico


(Pochulu y Font, 2011; Font, Planas y Godino, 2010; Godino, 2011). A continuación,

se presentan los resultados por idoneidad:

Tabla 11. Resultados de la evaluación de cada miembro del grupo a la clase del docente Fernando.

Idoneidad Didáctica Gustavo

%

Juan

%

Fernando

%

Francisco

%

Tendencia

%

Idoneidad Epistémica 83 100 83 90 89

Idoneidad Cognitiva 75 75 75 67 73

Idoneidad Afectiva 100 100 100 100 100

Idoneidad Interaccional 100 100 100 75 94

Idoneidad Mediacional 78 89 100 77 86

Idoneidad Ecológica 100 100 90 100 98 Fuente: elaboración propia.

El hexágono que muestra la tendencia es:

Figura 13. Hexágono que representa la tendencia de la evaluación del grupo a la clase del docente

Fernando. Fuente: elaboración propia.

Lo anterior implica que las facetas epistémica, interaccional, afectiva y ecológica

están en un nivel excelente, la mediacional muy buena y la cognitiva buena. En general

es una muy buena clase, el grupo de trabajo colaborativo al igual que el docente Fernando

quien aplicó el plan lo hicieron muy bien para mejorar la calidad de la clase, en especial

la faceta interaccional, que tiene que ver directamente con los patrones de interacción y

que en análisis anteriores era crítica.


Reflexiones y Discusiones en el Grupo

En esta parte se muestra lo que constituían las reuniones del grupo de trabajo

colaborativo; así mismo, se presentan los temas centrales de las discusiones y reflexiones

del grupo sobre el trabajo desarrollado. Los temas tratados fueron variados y se presentan

a continuación.

En cuanto a la observación de clase ya se habló anteriormente, se realizó en las

sesiones 6, 11, 23 y 24; sin embargo, se vuelve a plantear, ya que se considera importante

en el análisis didáctico de clases.

La evaluación de clase se trató reiterativamente dentro de las sesiones, 8, 11, 18,

23 y 25; es importante dentro del análisis didáctico, ya que va a permitir al profesor

buscar (re)significar sus prácticas (Jiménez, 2002). Este concepto surge inicialmente de

manera intuitiva, hay muchos ángulos desde donde asumirlo; posteriormente ya desde el

enfoque Ontosemiótico se hace de una manera más detallada y profunda, por ejemplo, se

transcribe la conclusión del grupo acerca de la primera clase de Fernando:

En forma general hay dos facetas que están más bajitas, la interaccional y la

mediacional, o sea nos toca intentar mejorar ese par de aspectos; en lo que se refiere

a la interaccional, aquí están los resultados, el porcentaje de la participación de los

estudiantes fue del 13.5%, contando los espacios donde los estudiantes están

trabajando solos el ejercicio, entonces uniendo esos tiempos ¿qué significa esto?,

que la participación de los estudiantes es casi nula (Juan, TG18).

Observese que a la vez que se analiza se proponen acciones que mejoren las

prácticas.

En la discusión de clases, se hace reflexión sobre diferentes aspectos que son

inherentes a la práctica pedagógica, al respecto:

Es que tendemos a no dejar participar al estudiante, por ejemplo, si vamos a hacer

demostración, no dejamos que el estudiante lance hipótesis acerca de la parte


básica, sino que le presentamos de una vez los procedimientos, de esta manera no

lo dejamos verdaderamente intervenir. Debiéramos dejar que él haga una

aproximación intuitiva (Juan, TG11).

También la discusión de clases se presentó con respecto a lo sucedido en la clase

preparada por el grupo (TG23),

Fernando: Una estudiante sintió que le faltó mucho apoyo del profesor. Lo

único que dijo fue que había sido mucho aprendizaje, que el

aprendizaje había sido solamente autónomo, pero el resto salió

contento, les gustó por el material que habían manipulado, que

habían trabajado, entonces... para mí fue una labor gratificante; al

comienzo, pues digo que habrá sus detalles al ver la grabación, sí

hay sus... porque uno tiende a veces sin querer a…

Francisco Sí, ya tenemos una tipología ahí y de hoy para mañana no la vamos

a cambiar, ¿sí?... eso es muy complicado.

Juan Si la estudiante reconoció que el aprendizaje era autónomo, ya hay

una tendencia porque hay un cambio de paradigma en lo

interaccional, ¿cierto?

Y posteriormente dentro del análisis de la actividad realizada, un aparte que plantea

también la discusión de clase (TG23, 2016):

Gustavo Es importante lo que decía Fernando, que a veces a ellos les queda

muy difícil escribir lo que hablan; pues uno no puede estar todo el

tiempo en todos los grupos, pero lo que dice Fernando, en los

grupos que escuchó se dio cuenta que tenían buenas ideas, aunque

no las lograron escribir; entonces eso es interesante, uno a veces

se queda solo con lo que está escrito y deja de lado...

Francisco No y ese es otro detalle que hay que tener cuidado: ¿por qué razón,

nuestro estudiante no está plasmando lo que piensa? Pues cuando

se le pidió una síntesis, ¿qué está ocurriendo allí? ¿Por qué no está

escribiendo?

Juan […] La comunicación se queda solamente de pronto en lo verbal.

Francisco Correcto, en lo verbal, sin escrito, significa que están flojos en la

parte escrita, ese podría ser otro trabajo.

Juan Ahí podríamos analizar los niveles de comunicación.

Francisco Los niveles de comunicación, si exacto.

Juan El escrito y el verbal.

Francisco El escrito y el verbal o sea comparar; vea ahí tenemos otro trabajo

por delante, que es el comparativo entre la comunicación verbal y

la comunicación escrita; comparativo porque aparentemente

pudiera ser igual, pero resulta que no, cuando va uno a escribir, ya

se limita.


El reflexionar sobre un tema fue el aspecto más común dentro de las reuniones,

se describen algunas temáticas que se abordaron en el trabajo colaborativo: la

interdependencia positiva; el método lancasteriano y la Universidad; medios

audiovisuales de acuerdo a la tendencia didáctica en que se estaba trabajando; aspectos

positivos del método tradicional; en la tecnología educativa la relación con la empresa;

la evaluación, el tiempo, la preparación, la clase desde el constructivismo; aspectos

comunicacionales, el celular en el aula; análisis de idoneidad epistémica en una clase;

análisis sobre la evaluación en el aula de clase; normas sociomatemáticas y contrato

didáctico; normas éticas; la comunicación; análisis de idoneidad cognitiva y mediacional;

semiótica; comentarios sobre artículo publicado en una revista indexada por Juan;

desconcentración de los estudiantes y pausas activas. Como ejemplo se plantea lo

siguiente (TG8), hablando respecto del tiempo,

Fernando Yo lo que le hubiera modificado un poquito a la clase tres, era de

que el chico explorara, que intentara hacer y uno estar detallando;

al ver que ya está como fallando, ahí sí conducir el proceso,

porque les entregó el material como para que trabajaran y

empezó de una vez a explicarles y ellos todavía no habían

iniciado a... eso es lo único que yo le haría.

Francisco Sí, pero hay un problema: el tiempo.

Fernando Bueno el tiempo es una variable muy importante.

Francisco Es que es una variable muy fuerte que a nivel universitario no se

maneja, pero algo que no se puede dejar, es lo que estamos a

veces nosotros haciendo aquí en nuestras sesiones, que llegamos

a cierta conclusión y listo cortamos porque tocó irnos.

Gustavo Sí para que al final se vea el producto todo.

Francisco Claro, que se vea que llegaron a alguna conclusión y si no pues

todos se fueron para diferentes lados y ya.

Fernando Sí, porque de las tres clases que mostraron, pues la tercera es lo

que sería la clase ideal.

La reflexión de aspectos particulares de clases de profesores se presentó en las

sesiones 5, 7, 8, 12, 13, 15, 18,19, 20 y 23. También fue de los aspectos más comunes y

se reflexionó especialmente sobre la forma de actuar del estudiante ante los retos;

evaluación y pruebas externas; importancia de la distribución del tiempo en una clase; la

evaluación que hace el estudiante al docente lo afecta cuando el estudiante tiene una

concepción tradicional y el docente intenta algo diferente; aspectos comunicacionales, el

uso del celular en clase; empate sobre el ciclo complementario de las normales y la


Universidad; casos especiales de la práctica pedagógica; situación problémica para que

el estudiante aprenda el concepto “el plano”; aspectos de salud de los docentes; uso de

medios educativos como Geogebra y material real; confrontación del docente con una

nueva metodología. Como ejemplo se presenta un fragmento de casos particulares de la

práctica pedagógica (TR12):

Fernando Tenía una pregunta: qué tan bueno es, pasó en situación de clase en

una evaluación y un chico la forma que utilizó para soplarse fue

coger el WhatsApp y en mensaje de voz decirle paso a paso qué iba

hacer, pues claro para mí yo les llamé la atención, pero me causó

curiosidad como una técnica para poder utilizar.

Francisco Si… esa es una oportunidad

Gustavo Un profe nos decía una vez que les dio el examen y les dejo cinco

minutos para que hablaran entre todos y a los cinco minutos les cortó

y ya, y cada uno solo.

Francisco Un compañero hizo ese ejercicio, básicamente cualquier cosa que

haga un estudiante es una oportunidad de aprender; si lo enfocamos

bien. Lo que tú dices es cierto lo hizo porque quería ver, más bien

hacer una especie de sociograma orientado a aspectos matemáticos

en el grupo.

La reflexión sobre experiencias de los docentes se trabajó en las sesiones 2, 3,

12, 13, 15 y 19. Conformación del grupo semillitas educativas17; credibilidad del

profesor; el día del profesor; exclusión del estudiante; lineamientos curriculares; uso

adecuado de los medios educativos, especialmente los tecnológicos y uso de textos. Se

Anexa un episodio de uso de las tecnologías (TG19).

Gustavo […] O algún trabajo en el mismo, por ejemplo, en el Geogebra que

muestre que ahí mismo pueden digamos…

Fernando Pues lo pensé, lo llevé la primera vez, pero el problema… porque

todos no llevaron computadores.

Gustavo De pronto para que el mismo programa le ayude.

Francisco Sí, por lo menos el programa ayuda a motivar.

Juan Ayuda a motivar, pero si no lo tienen todos, eso es una

problemática.

Fernando Porque se pueden atender allá cómo hacen y no lo pueden

manipular y entonces…

Francisco En cambio, el videíto se les puede presentar a todos

17 El grupo semillitas educativas es un semillero de investigación del grupo de investigación

PIRAMIDE de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC.


Juan O que el Geogebra tú lo manipules. Qué pasa si lo giramos aquí, si

lo ponemos allá, cómo quedaría, por ejemplo, que pasa si queda

paralelo…

Fernando ¿Porque saben qué podríamos hacer? Mostrar el video para darles

dirección; después con el video lo pueden ir pensando e ir haciendo

y después ya se ve en el Geogebra más o menos qué es lo que pasa.

Francisco Entonces sería ya como para el cierre.

Fernando Para el cierre, o sea para ya primero ir trabajando y viéndolo.

La discusión sobre el trabajo colaborativo se presentó en la sesiones 12, 15 y 23.

Se habló inicialmente de un futuro proyecto, con una investigación longitudinal; buscar

el patrón de interacción individual o trasversal: recuento de lo trabajado en el grupo en

las últimas sesiones; se discute sobre el futuro del Grupo, de lo cual se adicionan estas

líneas (TG23):

Francisco: Te felicito, de verdad que esa aplicación me pareció interesante,

pues en lo que respecta al proyecto como tal, yo consideraría que

lo cerraríamos en una próxima oportunidad con el análisis de la

clase y lo que nos quedaría pendiente, si es que ustedes me

permitan hacer otras dos sesiones de trabajo posteriores, ahora

cuando arranque el semestre; entonces ahí concluimos lo que es el

proyecto, sin embargo hay que analizar la continuidad del Grupo

y seguir trabajando y sobre todo seguir sacando cosas para

publicación, empezar a hacer publicaciones…

La discusión de trabajos de grado y tesis se trató en las sesiones 1, 15 y 16. Se

plantea la presentación general del proyecto, firmas de consentimiento informado,

elección de pseudónimos y del horario para el trabajo colaborativo; discusiones de

adelanto sobre el trabajo de grado del profesor Juan y de la tesis del investigador. Se

presentan unos apartes (TG16) sobre la lectura del trabajo de grado del profesor Juan,

donde se plantean algunas sugerencias; al referir un planteamiento que no tiene

justificación Juan comenta que está en un apartado anterior,

Francisco ¿Ah eso está más atrás? Sí, ah no, no hay problema, porque esa

puede ser una situación que te van a preguntar. Por lo demás me

parece muy bien, está muy bien enfocado, aquí hay arreglitos pero

de semántica, está la descripción, el trabajo que se hace,

abstracción, muy bien; nos falta es aquí en la parte final, hacer las

recomendaciones; entonces entre otros aspectos utilizar justamente

lo que se encuentra en el patio o sea sugerirle al docente que mire


más los recreos, que observe detalles, que no se necesita hacer una

investigación a fondo para saber que están utilizando ciertas cosas,

le pueden ser útiles a su gente dentro de su clase, uno; dos, hacer

con cierta frecuencia los sociogramas para que ellos vean primero

la habilidad; sociogramas de interacción que ya no tienen que ver

con la matemática, sino con el gusto por trabajar con X o con Y,

sí?

Juan Por ejemplo, se puede hacer un sociograma de clase…

Francisco Porque tú puedes comparar, este es un argumento que puede salir

después, por ejemplo, se hace un sociograma orientado hacia la

matemática, luego se hace un sociograma general y ver la relación

que se crea entre los dos, o sea a ver si hay variación o no; pues yo

juraría que sí. En el sociograma con tema matemático, volvemos

a hacer lo que hizo otro docente, o sea que en un momento

dado…(Interrupción)

Francisco Entonces les estaba comentando que la idea sería en la sesión de

hoy que trabajemos un poquito, bueno hablar un poco de la parte

de comunicación.

El análisis de lecturas se realizó en las sesiones 2, 3, 5, 7, 8, 12, 14, 16, 18, 19 y

20. Lectura sobre trabajo colaborativo (Fiorentini, 2008); síntesis sobre trabajo

colaborativo (Leguizamón, s.f.); tendencias didácticas (Porlán, 1995); Normas

sociomatemáticas (Yackel y Cobb, 1996) y Contrato Didáctico (Brousseau, 1991,

D’Amore, Font, y Godino, 2007; Planas, 2004); las interacciones comunicativas en el

aula de matemáticas (Leguizamón, s.f.); la comunicación (Leguizamón, s.f.); criterios de

idoneidad (Pochulu y Font, 2011; Font, Planas y Godino, 2010; Godino, 2011); entre

otros. Las siguientes líneas corresponden a la discusión que dio el grupo sobre una lectura

acerca de la comunicación propuesta por el investigador (TG16).

Francisco Esa es la forma, esa la comprensión de comunicación para este

curso. Dice se entiende la comunicación como una interacción

social mediada por el lenguaje y donde el objetivo de cada sujeto

es entender y hacerse entender.

Fernando Y sí eso pasa porque a veces uno habla de una forma que uno no

quiere…

Francisco Es que como ya lo mencionamos aquí…claro realmente…

Fernando Bueno lo que yo quería decir ahí era que es lo que comúnmente

pasa, uno a veces dice algo y la persona lo toma de otra forma, sin

que uno esté pensando nunca en eso, es donde uno realmente… uno

nunca comprende lo quería decir.


Francisco Pues es que hay una interacción social, pues sí porque realmente de

todas maneras cuando yo intento decirle algo a Juan, así Juan no

me responda, porque yo noto que hay ya una interacción o me pone

cuidado o simplemente me ignora, pero de todas maneras hay algo

que nos relaciona ahí, así no me conteste; ahora una interacción

social, mediada por el lenguaje, porque generalmente cómo nos

entendemos los dos? Por el lenguaje ya sea oral o escrito; el

lenguaje tiene más características, oral, escrito, gestual o lo que

quiera, pero eso es el lenguaje en el cual nosotros nos vamos a

poder comunicar; por ejemplo, cuál es la diferencia entre una

interacción corriente si él habla ruso y yo alemán, pues él me habla

y yo le pongo cuidado, sin embargo, no le entiendo nada o sea el

lenguaje no está ahí.

Juan Hay otra cosa también y son los códigos del lenguaje, porque por

ejemplo puede ser que desde lo que yo estoy comunicando, por

ejemplo, está uno en clase y dice, no sé, y uno lo está diciendo en

el sentido de lo que quiere explicar y los chicos por allá están riendo

porque están pensando otras cosas o le encuentran el doble sentido

porque eso concuerda con códigos del lenguaje.

La Aplicación o análisis de instrumentos se presentó en la primera sesión, los

demás instrumentos se aplicaron en tiempo fuera de las sesiones. Se realizó una entrevista

semiestructurada (Entrevista 2, 27 marzo 2015).

La preparación de clases se presentó en las sesiones 16, 18, 19, 20, 21 y 22. Tarea

para Fernando sobre preparación de una clase, discusión sobre formas de grabar y temas;

inicios sobre preparación de una clase por parte del grupo; escogencia del tema “plano”,

búsqueda de la situación problémica, discusión metodológica, distribución del tiempo,

forma de grabación, utilización de medios tecnológicos, concreción de la guía para

estudiantes, (TG 22).

Francisco ¿Técnicamente es deducir el ángulo entre los dos planos? ¿Lo que

se quiere?

Fernando Y llegar más o menos a la noción para que quede lo de los paralelos

y perpendiculares.

Francisco Ah, entonces toca quitarle lo de la general por ahí que escribiste,

porque esos son los casos particulares.

Fernando Entonces una de las ideas que había surgido, no sé si el profe te

contó, por ejemplo, era coger imágenes de arquitectura, por

ejemplo, estaban estas [las muestra impresas], otras que veíamos

por aquí. Pero bueno.

Gustavo Como planos, tan chévere.

Francisco Pero bueno cualquiera sirve, porque tú le puedes hacer el 3D.


Fernando Eran más o menos por ese estilo, y otra que había por ahí; entonces

entregarle a cada uno de los grupos una imagen y que le hicieran el

análisis o sea que se ubicaran en el plano, el tridimensional,

entonces de ahí ubicaran una cara como del plano, sacaran la

perpendicular y de ahí todo el estudio, que es donde digamos se

armaría...

Francisco Sería, por ejemplo que si cogemos en la arquitectura, pues los dos

planos casi siempre van a ser perpendiculares, los que cojan ellos.

Gustavo Por ejemplo, la otra que mostraba es como el techo.

Fernando Ese nos serviría por lo menos para el caso de...y ahí tocaría que

ellos generaran, esta sería...

Francisco Porque miren cualquiera que escojan, salvo por ejemplo este plano,

pero ellos no van a tomar ese plano, ellos van a seleccionar uno

tradicional, entonces van a decir para mí el 3D o claro que aquí

también está, mire; o la otra es insinuarles que tomen uno que no

sea perpendicular, entonces...

Gustavo Eso, como mostrarle una foto y…

Las actividades no temáticas se relacionaron en las sesiones 5, 8 y 20. El modelo

universitario de ascenso en el escalafón; revisión de las diapositivas para la sustentación

de la tesis de Fernando; discusión sobre el nuevo calendario semestral de la Universidad.

Se presenta en el anexo 14, la tabla resumen de las sesiones del grupo de trabajo

colaborativo, al igual que las trascripciones de las sesiones 3, 8, 20 y 21.

Reflexiones sobre el Grupo

En las primeras reuniones se buscó acostumbrarse a las grabaciones y actuar con

naturalidad, sabiendo de antemano que se tendría en cuenta el respeto hacia las opiniones

de los demás; se podría no estar de acuerdo y opinar, pero con cortesía y respeto a la

diferencia.

Los dos profesores tenían formas de pensar diferentes, lo cual enriqueció el trabajo,

es de aclarar que en general, salvo algunos desacuerdos de horarios, no se presentaron

problemas dentro de las reuniones. Al ser compañeros de trabajo, la participación del

investigador dentro del grupo se asumió de manera natural, por lo cual el acoplamiento

inicial para el trabajo fue rápido, sin desconocer que de alguna manera se le reconocía un

liderazgo. El enfoque que se dio a las reuniones desde un comienzo fue el de partir de las


prácticas y experiencias de todos, analizarlas con un enfoque crítico pero constructivo e

ir relacionándolos con la teoría.

El tiempo fue aprovechado al máximo, la agenda para la siguiente sesión se

consensuaba por correo, lo cual no implicaba el no realizar cambios cuando se

presentaban otras situaciones que los miembros del grupo querían plantear. Algunas

tareas como análisis de artículos y lecturas en general se propusieron para lectura previa

a los encuentros con el fin de ganar tiempo, sin embargo, algunas otras se hacían dentro

del desarrollo de la sesión. Lo mismo sucedió con algunos videos.

Un aspecto usual dentro de las sesiones era la dispersión temática, en ocasiones se

cambiaba de tema al tenor de un suceso de aula o alguna otra situación y se terminaba

discutiendo sobre criterios diferentes a los iniciales, pero este desarrollo se daba de forma

normal e igualmente se estaba reflexionando sobre las propias prácticas profesionales,

por lo cual se dejaba que la discusión siguiera su curso. Por lo anterior, al iniciar una

sesión que no venía de la semana anterior, se realizaba una síntesis de lo tratado en ella,

como ubicación para el grupo.

En general hay que resaltar que el principal problema del trabajo colaborativo fue

el tiempo, aspecto que en ocasiones impedía que los miembros del grupo cumplieran con

sus tareas; por ejemplo, en muchas ocasiones se dejaban lecturas o videos para realizar

fuera de la sesión de trabajo, sin embargo, algunos no lo podían hacer y entonces se

dejaba la sesión para desarrollar esa actividad, con el fin de que todos pudiésemos

participar. Otros factores en que no se cumplió, fue en la elaboración de la transcripción

de cada sesión, la cual hipotéticamente se iba rotando entre los miembros del grupo, pero

finalmente le tocó al investigador hacer la gran mayoría de éstas.

Este proyecto constituyó un aprendizaje para los miembros del grupo, fue una

oportunidad de reflexionar sobre las acciones diarias, que por premura de tiempo o por

falta de elementos para realizarse no se hacía, y lo cual considero, se logró (re)significar.

Se rompieron barreras al permitir que otros opinaran sobre las situaciones y actividades

de clase, y a la vez, fue una oportunidad para realizar una autoevaluación, que tal vez es

lo más valioso al momento de (re)significar una práctica (Jiménez, 2002). Este trabajo


permitió identificar las fortalezas y los aspectos por mejorar que se tenían en las prácticas

profesionales, y especialmente los patrones de interacción comunicativa que eran

proactivos y permitían una construcción de saberes, pudiendo desarrollar una clase no

centrada en el profesor.

Otro factor importante tiene que ver con la continuidad del proyecto, aspecto

acordado por unanimidad, ya que, por tiempo, quedaron pendientes algunas

publicaciones, al igual que el desarrollo de tareas que emergieron del trabajo

desarrollado.

Capítulo 6. Caso Fernando

Aspectos Personales

El profesor Fernando es docente de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC,

muy colaborador, buen compañero, su evaluación tanto la asignada por el Comité

Curricular de la Licenciatura como por los estudiantes es muy buena, tiene un grado de

aceptación alto por la comunidad educativa. Estudió Licenciatura en Matemáticas y

Física en la UPTC, se graduó en el año 2001. De postgrado, cursó tres semestres de

Maestría en Matemáticas en el convenio Universidad Pedagógica y Tecnológica de

Colombia (UPTC) – Universidad Nacional de Colombia (UNAL), se retiró por motivos

económicos. En el momento de la realización del trabajo de campo de esta investigación,

ya finalizó académicamente sus estudios de Maestría en Educación, y se encuentra

desarrollando el proyecto de grado relacionado con los medios educativos en los procesos

de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Entre las asignaturas que ha orientado

están: Cálculo Integral, Fundamentos de Matemáticas, Algebra Lineal y las Didácticas

Específicas.

Este docente para su preparación de clases manifiesta “reviso el libro guía para ver

cuál es el desarrollo de la temática, registro los aspectos fundamentales en un cuaderno

preparador, haciendo un pequeño bosquejo de lo que voy a desarrollar” (Ent1F, 7

septiembre 2014). Entre los materiales que utiliza están: el tablero, marcador, y Video

beam. En general el profesor evalúa sus clases con quiz individual o grupal y

participación en el tablero. En cuanto a su metodología de clase afirma:

Una forma usual que tengo es revisar los aspectos o compromisos que se dejaron

en la sesión anterior y luego comentar cómo estará divido el trabajo de la presente

sesión: revisión de las tareas, exposición de la temática y el desarrollo de ejercicios

en grupo o de forma individual. En la clase planteo tanto problemas como ejercicios

(Ent1F, 7 septiembre 2014).

Capítulo 6. Caso Fernando 155

Antes del Trabajo Colaborativo

A continuación, se describen las concepciones del profesor y se realizan análisis de

clases desde varios puntos de vista: análisis didáctico, patrones de interacción

comunicativa y comunicación, antes de realizarse el trabajo colaborativo.

Fernando eligió ser profesor, ya que es una labor que permite encaminar a la

juventud, a las personas en el proceso de formación integral y estar en constante proceso

de aprendizaje de las diferentes situaciones que se presentan a lo largo de la vida. Escogió

ser docente del área de matemáticas porque “fue una de las asignaturas que, en los inicios

de mi vida escolar, me presentaban ciertas dificultades” (Ent2F, 27 marzo 2015), pero a

medida que avanzaba en el proceso le gustaban y de ahí nació la inquietud de ayudar a

los que se les dificultan las matemáticas, logrando así la motivación, para el estudio de

esta área.

Se considera una persona idónea y responsable al impartir sus conocimientos y

responsabilidades en el proceso de enseñanza de las matemáticas. Plantea que “los puntos

fuertes en mi práctica profesional están relacionados con el dominio conceptual, la

explicación de la temática a los estudiantes, con el desarrollo de los ejercicios y

problemas correspondientes” (Ent2F, 27 marzo 2015). La organización del tiempo en la

clase para la distribución de la temática, es uno de los aspectos que debe mejorar, para

no solo estar dando información a los estudiantes, sino que ellos tengan el espacio para

asimilar el proceso que se explicó. En el desarrollo de la actividad como docente uno de

los aspectos que le ha dado satisfacción es “ver a mis estudiantes realizar una serie de

ejercicios y problemas de la temática, asociándolos a los temas explicados” (Ent2F, 27

marzo 2015). Piensa que uno de los mayores problemas de la enseñanza de la matemática

está relacionada con brindar demasiada información al estudiante, esperando que

comprenda las diferentes temáticas y desarrolle un proceso algorítmico, sin analizar a

fondo su utilidad en un contexto determinado. Uno de sus principales retos es que los

estudiantes entiendan la temática que se trabaja en clase.

Acerca de las matemáticas, considera que son una herramienta que se emplea

diariamente en los diferentes contextos de la vida, por lo tanto, “deben estar presentes en

la formación de los individuos y contar con los conocimientos básicos para poder


defenderse en cada uno de esos momentos en que las utiliza” (Ent2F, 27 marzo 2015).

El principal objetivo que considera debe tener la matemática a nivel universitario, está

relacionado con “aplicabilidad y utilidad que tiene la matemática en los diferentes

contextos y una explicación de cómo surgen” (Ent2F, 27 marzo 2015). Plantea que la

resolución de problemas es muy importante ya que busca brindar una aplicabilidad de la

temática explicada en el desarrollo de las clases. Para la preparación de las actividades

de clase manifiesta “reviso la temática a explicar, los ejercicios que se encuentran en el

texto guía, de los cuales indico a los estudiantes los que van a trabajar en clase y extra

clase” (Ent2F, 27 marzo 2015); entre los ejercicios que se involucran para trabajar busca

que se incluyan con enfoque de algoritmos y en ocasiones la resolución de problemas.

En cuanto a la resolución de problemas en la enseñanza afirma “busco que se vea una

parte de la utilidad de la temática que se explica en clase” (Ent2F, 27 marzo 2015). Espera

que los estudiantes estén atentos al proceso que se realiza cuando se desarrolla en el

tablero y pregunten cuando tengan inquietudes.

El rol que considera debe asumir como docente es el de “comunicador de la

información matemática, con un enfoque orientativo para que los estudiantes tengan clara

la temática” (Ent2F, 27 marzo 2015). En las interacciones que se deben presentar entre

docente-estudiante es un proceso de escucha, donde se debe estar pendiente de las

orientaciones que se brindan para no perder la idea de la explicación; entre los estudiantes

debe presentarse una discusión interna que permita aclarar las dudas entre ellos. La

comunicación en la clase de matemáticas “la veo como la relación explicativa que hace

el docente al estudiante, teniendo como parámetro que éste puede preguntar en cualquier

momento para aclarar sus dudas” (Ent2F, 27 marzo 2015).

Análisis Didáctico de las clases iniciales.

A continuación, se analizan dos clases del docente Fernando, teniendo en cuenta lo

propuesto por el Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font,

Wilhelmi y Castro, 2009).

Primera clase.

La clase tuvo una duración de hora y diez minutos (1:10), orientada al segundo

semestre de la Licenciatura en Matemáticas, con 23 estudiantes.


En general se realizó el siguiente proceso: el profesor inicialmente revisó la

tarea que consistía en determinar la derivada de una función polinómica (𝑦 = 𝑥3 +

2𝑥2 − 5), desarrollada en el tablero por un estudiante y validada por el docente. Luego

propuso un ejercicio sobre derivada de una función compuesta (𝑦 = (𝑥3 − 2𝑥)2), el

cual fue solucionado por él con pequeñas intervenciones de los estudiantes; pretendió

enseñarles el algoritmo para derivar una función compuesta, identificando

explícitamente la función interna y la función externa, pero posteriormente aceptó el

trabajo propuesto por los estudiantes, estableciendo estos elementos de forma

implícita. Determinó igualmente las segundas derivadas e interrogó a los estudiantes

sobre su aplicación. A continuación, el profesor propuso otro ejercicio y=√(4x3-8x+2)

y pidió a los estudiantes que determinaran su derivada; después de dar unos breves

minutos, solucionó el ejercicio en el tablero con ayuda de los alumnos, los cuales

intervinieron con respuestas cortas. Posteriormente solicitó a un estudiante que dictara

un ejercicio 𝑦 = (8𝑥4 − 2𝑥3)7, como era muy similar a uno propuesto inicialmente, lo

complementó así: Y = (8x4-2x3)7/(2x3+3)4; preguntó sobre la forma como se debía

desarrollar, obteniendo como conclusión que se podía trabajar como producto o como

cociente, invitó a que unos estudiantes trabajaran de una forma y los otros de la otra.

Después de un lapso de tiempo, lo desarrolló en el tablero como producto por

considerarlo más rápido, siempre con preguntas cortas dirigidas a los estudiantes.

Luego lo trabajó como cociente, al final dijo que había que factorizar, pero no lo hizo.

A continuación, dictó a los alumnos un problema de aplicación, posteriormente hizo

preguntas cuyas respuestas fue validando y a su vez escribía en el tablero, fue

solucionando el ejercicio, al final aclaró algunas dudas sobre pasos seguidos en el

proceso. Finalmente propuso dos ejercicios como tarea para la siguiente clase.

(Observación de clase, 14 noviembre 2013).

Para facilitar el análisis de la clase se ha dividido en 8 configuraciones didácticas

(Font, Planas, Godino, 2010) de acuerdo con el marco teórico y metodológico del

Enfoque Ontosemiótico; la forma de determinar una configuración es la realización

de una tarea, aunque queda a discreción del investigador la forma de agrupar las líneas

de la transcripción en configuraciones didácticas (Godino, Font, Wilhelmi y Castro,

2009).


Para realizar el análisis didáctico de acuerdo con el Enfoque Ontosemiótico de la

Instrucción Matemática (Font, Planas, Godino, 2010) se plantean cinco niveles de

análisis sobre los procesos de instrucción: 1. Identificación de prácticas matemáticas, 2.

Determinación de las configuraciones de objetos y procesos matemáticos, 3. Análisis de

las trayectorias e interacciones didácticas, 4. Identificación del sistema de normas y

metanormas, y 5. Valoración de la idoneidad didáctica de los procesos de instrucción.

A continuación, se presenta el análisis didáctico realizado a esta clase.


Tabla 12. Análisis de la primera clase.

Líneas

transcripció

n

Prácticas Objetos primarios Procesos Funciones del

profesor

Funciones

de los

alumnos

Tipo de

configuració

n didáctica

Patrones

de

interacció

n

Conflictos Normas

1-23 Cálculo de

la ecuación

de la recta

tangente a

la función

y=x3+2x2-5

En el punto

P(1,2)

Lenguaje verbal: Se

usa un lenguaje verbal

ya conocido (función,

función derivada,

derivada, punto,

pendiente, ecuación,

coordenadas ecuación

punto-pendiente,

cúbica, cuadrática,)

Lenguaje Simbólico:

expresiones algébricas

de la función, de la

derivada, de la

ecuación punto

pendiente…

(y=x3+2x2-5…)

Definiciones

implícitas (las mismas

que aparecen en el

lenguaje verbal)

Procedimiento: 1)

Dada la función hallar

la derivada. 2) hallar la

pendiente evaluando la

derivada en el valor de

la abscisa del punto de

tangencia). 3) hallar la

ecuación de la tangente

evaluando la ecuación

punto-pendiente en el

punto indicado y con la

pendiente hallada.

Propiedades: Se usan

propiedades conocidas

como son las de la

transposición de

términos de una

Proceso de

institucionalización

: El profesor ratifica

la solución dada por

el estudiante A1 al

ejercicio y lo

explica paso por

paso.

Proceso de

mecanización: Se

trata de que los

alumnos practiquen

el cálculo de la

ecuación de la recta

tangente.

Proceso de

comunicación: los

alumnos producen

textos matemáticos

y/o los entienden.

Proceso de

representación y

materialización.

Escribe en el tablero

signos matemáticos

interpretables como

los correspondientes

a la derivada de una

función en un punto.

-Asigna al

estudiante A1

para que

solucione la

tarea en el

tablero.

- Recuerda

normas al

estudiante (no

puede salir a la

pizarra con

capucha, tiene

que explicar lo

que hace en la

pizarra)

- explica y valida

la solución

presentada por el

estudiante.

Pasa al tablero

cuando lo

requiere el

profesor para

resolver la

tarea

Responde a

las preguntas

cortas del

profesor.

Copia en el

cuaderno la

solución

escrita en el

tablero

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

Pcd, O, Pc,

O, A, Pc, ric,

R, Pc, Ar, A,

Pcd, ric, A,

Pc, ric, Pc,

ric, R, Pcd,

ric, Pc, ric,

R, Pc, ric

El profesor valida la

derivada que Hugo

ha calculado

incorrectamente, lo

que conlleva a un

conflicto semiótico

epistémico e

interaccional.

El profesor

identifica la

pendiente con la

función derivada

(Función versus

evaluación para un

valor) lo cual puede

causar un conflicto

epistémico.

El profesor plantea

la semejanza de una

función cúbica con

la letra ese (s) lo

cual es

desafortunado, ya

que en este caso la

gráfica no lo sería

de una función, lo

cual puede producir

conflictos

semióticos de

carácter epistémico

e interaccional.

- Hay

libertad para

pasar al

tablero en el

desarrollo

de la tarea,

se deja a

decisión del

estudiante si

desea pasar.

- No se

puede pasar

al tablero

con

capucha.

-La persona

que está en

el tablero

tiene que

explicar lo

que hace,

debe

escribir y

hablar.

-El profesor

debe validar

las

respuestas

de los

estudiantes.

-Siempre

que se

termine un

ejercicio, el

profesor

debe hacer

un recuento.


ecuación, las reglas de

derivación, etc.

Argumento:

(implícito) se ha

aplicado el

procedimiento

respectivo.

24-64 Cálculo de

la derivada

de la

función

compuesta

, y=(x3-2x)2

Lenguaje verbal: Se

usa ya conocido

(función, función

compuesta, función

interior, función

exterior, derivada,

multiplicación de

términos, derivada de

una función

compuesta, derivada

función interior,

derivada función

exterior, factores,

producto, suma,

potencia…)

Lenguaje simbólico:

Expresiones

algebraicas de: la

función y=(x3-2x)2,

función interna, función

externa, función

compuesta, derivada de

la función interna,

derivada de la función

externa, derivada de la

función compuesta.

Definiciones:

Implícitas (las mismas

que aparecen en el

lenguaje verbal)

Explícitas: La derivada

de una función

compuesta, como

producto de la


externa y la derivada

de la función interna.

Procedimientos: 1)

Dada la función

Proceso de


: El profesor explica

cómo identificar la

función interna y

externa en una

función compuesta

y como se prueba si

lo hecho está

correcto. Explica

como determinar la

derivada de una

función compuesta.

Proceso de

representación y

materialización: Se

utilizan en el tablero

signos matemáticos

reconocibles para el

grupo.

Proceso de

descomposición:

Para derivar una

función compuesta se

descompone en el

producto de la

derivada de la

función interna y la

derivada de la

función externa.

Proceso de

mecanización: Se

trata de que los

alumnos realicen el

cálculo de la

derivada de una

función (potencia)

-Propone la

función a

trabajar

-Cuestiona a los

estudiantes sobre

la forma de

solucionar el

ejercicio.

-Propone la

función interna y

externa de la

función

compuesta dada

y prueba que

efectivamente es

una función

compuesta.

-Soluciona el

ejercicio

propuesto.

-Interroga a los

estudiantes sobre

la factorización.

-Asume

responsabilidad

ante

equivocación

- Las

iniciales.

-Trabaja

sobre el

ejercicio

propuesto por

el profesor

- Corrobora

que se trata de

una función

compuesta.

- Plantea la

forma de

determinar la

derivada de la

función

compuesta.

-Propone

formas

alternas para

desarrollar la

derivada de

una función

compuesta

(desarrolland

o el binomio

al cuadrado).

-Participa en

la clase con

aportes

cortos.

- Valida el

desarrollo que

se hace en el

tablero,

Corrigiendo

errores si los

hay.

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

Pm, ric, Pc,

ric, pa, ric,

ric, R, Pc,

ric, A, Pc,

ric, Pc, ric,

A, Pc, Ar,

Pc, ric, Pm,

ric, Pc, ric,

A, Pc, Ar, ic,

Pc, ria, Ap,

Ant, Pc, Ar,

A, Pc, ric,

Pc, rgc, A,

ic, A, Pm,

ria, A, Pc,

ric, Ap, A,

Pc, pc, Rc,

pc, rgc, Pc,

ric, Pc, ric,

A.

El profesor quería

decir la función

interna y externa,

más no la interior y

exterior que tienen

otro significado en

Topología. Se pude

decir que se tiene un


de tipo epistémico

ya que es el profesor

el que se expresa, al

igual que de tipo

interaccional en su

relación con los

estudiantes.

El profesor expresa

la función y=(x3-2x)2

como una función

compuesta donde

define como función

exterior f(x)=x2 e

interior g(x)= x3 -2x.

Obsérvese que no

cambia de variable al

definir la función

compuesta lo cual

produce un conflicto

semiótico cognitivo

potencial.

El alumno A4 le

plantea al profesor

que, si no se puede

desarrollar el

binomio y luego

derivar, sin

embargo, el profesor

-Hay que

probar lo

que se

desarrolla

-Se debe

priorizar el

desarrollo

más corto.

-Hay que

concentrarse

para poder

trabajar bien

los

ejercicios.

- La

respuesta

debe

simplificars

e al

máximo.


compuesta determinar

cuál es la función

interna y cuál la

externa. 2) Derivar

estas funciones. 3)

Determinar la derivada

de la función

compuesta como el

producto de las

derivadas del paso

anterior.

Proposiciones:

El alumno A3 propone

la forma para

determinar la derivada

de una potencia

compuesta.

El alumno A5 propone

desarrollar el binomio

y luego derivar.

Propiedades:

Aplicación de

propiedades ya

conocidas, como

reglas de derivación,

producto de

polinomios…

Argumentos:

Implícitos: Aplicación

de los procedimientos

adecuados para la

solución del ejercicio.

Explícitos:

Explicación del

procedimiento para


de la función

compuesta.

compuesta

aplicando la regla

de la cadena.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y el

docente.

le manifiesta que ese

método es más largo

y no da mayor

explicación. Por lo

tanto, hay allí un


de tipo cognitivo, ya

que no fue resuelta

su duda.

El alumno A4, dicta

el desarrollo de la

derivada de la

función compuesta

propuesta sin

resaltar

explícitamente la

función interna y

externa, pero de

forma correcta, sin

embargo el profesor

sigue insistiendo en

diferenciar la

función externa e

interna

escribiéndolas, lo

que puede causar un


cognitivo potencial

en el estudiante el

cual ya tiene el

concepto claro pero

por la insistencia del

profesor puede

interpretar que aún

no tiene bien el

proceso.

Adicionalmente se

puede decir que se

presenta también un


de tipo interaccional.

El profesor al

desarrollar el

ejercicio propuesto

omite un exponente

el cual es corregido


por el alumno A4,

pero en un

desarrollo posterior,

lo que implica que

el grupo ya había

asumido como

correcto ese

desarrollo, así que

se presenta un


cognitivo.

El profesor en la

respuesta que le

asesora A4,

multiplica la

constante por uno de

los factores no dando

la respuesta lo más

factorizada posible y

dando la idea de que

hay que multiplicar,

posible problema

porque no siempre se

puede hacer, lo cual

lleva implícito dos

tipos de conflictos

semióticos, uno

epistémico ya que se

trata de la

concepción del

profesor y otro

potencial cognitivo.

65-93 Cálculo de

la segunda

derivada

de la

función

compuesta

anterior.

Lenguaje verbal: ya

conocido (Segunda

derivada, regla del

producto para

derivadas, propiedad

distributiva, primer

factor, derivada,

segundo factor, suma,

producto, derivada

interna, ordenar

términos, primera

derivada, máximos,

Proceso de



cómo se determina

la segunda derivada

de una función a

partir de la primera

derivada. En este

caso aplicando la

regla del producto.

Adicionalmente

explica para que se

Pregunta sobre

como hallar la

segunda

derivada de las

funciones

obtenidas.

-Soluciona el

ejercicio

propuesto.

-Interroga sobre

la incidencia de

la primera y

-Las iniciales.

-Opina sobre

el

procedimient

o a seguir para

solucionar el

ejercicio,

recordando

fórmulas

básicas.

-Opina que

hay que

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

A, Pc, ric,

Pc, ria, Pc,

Sp, Pm, rgc,

Pm, rgc, A,

Pc, rgc, A,

ic, Ap, Pc,

Ar, ic, Ap,

Pc, Ar, Pc,

ric, Pc, ric,

R, ic, Pm,

pc, Ra, ic, A,

Pc, Ar, ic, A

-Los

alumnos

pueden

sugerir

correcciones

a lo

ejecutado en

el tablero.


mínimos, puntos de

inflexión, curvatura,

Geometría, simetrías,

derivadas de orden

superior …)


Expresiones

algebraicas de: la

derivada de una

función compuesta, la

derivada del primer

factor, la derivada del

segundo factor,

producto de funciones,

suma de términos

semejantes.

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Explícitas: Derivada

de un producto de

funciones.

Procedimientos: 1)

Plantear la derivada

general de un producto

de funciones. 2)

calcular la derivada de

cada factor. 3)


de la función

compuesta,

reemplazando los

términos de acuerdo al

planteamiento en 1).

Propiedades:

Aplicación de

propiedades ya

conocidas, como

reglas de derivación,

producto y suma de

polinomios, reducción

de términos

semejantes…

Argumentos:



usa el concepto de

segunda derivada,

especialmente en la

gráfica de

funciones.

Proceso de

particularización:

Se enuncia la regla

general de la forma

de determinar la

derivada de un

producto de

funciones y se

desarrolla como

caso típico el

ejercicio propuesto.

Proceso de

descomposición:

El producto es

descompuesto en

factores los cuales

se derivan para

aplicar la regla de la

derivada de un

producto de

funciones.

Proceso de

mecanización: La

meta es que los

alumnos realicen el

cálculo de la

derivada de un

producto de

funciones aplicando

la regla de la

cadena.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y el

docente.

segunda

derivadas en las

gráficas de

funciones.

-Ordena la

respuesta en el

tablero.

-Interroga sobre

la aplicación de

la primera y

segunda

derivada en las

gráficas de

funciones.

-Aclara en

Geometría para

que se utilizan

las derivadas.

-Determina el

nombre de las

derivadas.

ordenar los

términos de la

respuesta.

-Explica para

que se utilizan

los máximos

y mínimos.

-Lanzar

hipótesis

sobre el

nombre de las

derivadas de

este tipo.

(efecto

Jourdan).


adecuados para la


Explícitos:

Explicación de la

aplicación de la regla

del producto como

base para determinar la


compuesta.

94-111 Cálculo de

la derivada

de la

función

compuesta

, √( 4𝑥3 −5𝑥 + 2)

Lenguaje verbal:

función interna,

función externa,

ejercicio, derivada,

raíz, elevada a la un

medio, regla de la

cadena, producto,

simplificación…


Expresión algebraica

de: la función radical

f(x)=√4𝑥3 − 5𝑥 + 2 ,

la función como

potencia, derivada de

la función externa,


interna, derivada de la

función compuesta,

respuesta expresada en

forma radical…

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Procedimientos: 1)

Expresar el radical

como una potencia. 2)

Derivar la función

externa (la potencia).

3) derivar la función

interna. 4) multiplicar

las dos derivadas. 5)

Expresar la respuesta

determinada en forma

de potencia como un

radical y simplificar.

Propiedades: Se

aplican unas ya

Proceso de



cómo convertir un

radical en una

potencia y luego

desarrolla el

ejercicio propuesto

en el tablero, con

pequeñas

intervenciones de

los estudiantes.

Proceso de

comunicación:

Interviene

básicamente el

docente, pero hay

intervenciones de

los estudiantes.

Proceso de

mecanización: La

idea es que se

desarrolle el

ejercicio aplicando

la regla de la

cadena para una

potencia.

Proceso de

particularización:

Se enuncia en

forma general la

regla para

desarrollar una

función compuesta

cuando se trata de

una potencia y se

desarrolla como

-Propone el

ejercicio de

desarrollo.

- Plantea el

expresar una raíz

como una

potencia.

-Desarrolla el

ejercicio con

participación de

los estudiantes.

-Declara la

imposibilidad de

factorización de

la expresión

resultante.

-Los iniciales.

-Contesta al

profesor las

preguntas que

plantea (como

expresar una

raíz en

términos de

potencia).

-Resalta

posibles

reglas de la

clase (Como

el profesor no

simplifica, en

el parcial

también se

puede dejar

así).

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

Pm, ria, Pm,

ria, Pc, ric,

A, ic, ic, Pc,

ric, A, Pc,

ric, A, pc,

Rc.


conocidas como:

derivadas de términos

sencillos, producto de

polinomios, reglas de

factorización.

Argumentos:



adecuados para la


Explícitos:

Justificación de la

expresión de un radical

como una ´potencia y

explicación de la


de la potencia como

base para determinar la


compuesta.

caso particular el

ejercicio propuesto. Proceso de

representación y


utiliza en el tablero

una simbología que

es comprensible para

el grupo.

112-130 Cálculo de

la derivada

de la

función

compuesta

, f(x)=

(4𝑥3 −

5𝑥2

3)−2

(3x-4)3

Lenguaje verbal:

función, función

producto, función

interna, función

externa, regla del

producto, producto,

suma, potencia,

factorización…



de: la función f(x)=

(4𝑥3 − 5𝑥2

3)−2 (3𝑥 −4)3, la derivada del

producto, derivada de

cada factor, derivada de

la función compuesta,

factorización.

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Explícitas: La regla del

producto para

derivadas, la regla de

la potencia para

derivadas.

Procedimientos: 1)

Proceso de



cómo se desarrolla

la regla de la

cadena cuando se

tiene un producto

de funciones,

desarrollando el

ejercicio.

Proceso de

comunicación: Hay

diálogo entre

docente y

estudiantes para

determinar el

producto y para el

desarrollo del

ejercico.

Proceso de

mecanización: Se

desarrolla el

ejercicio aplicando

la regla de la

cadena para un

producto.

-Plantea una

función

compuesta como

un producto,

aunque

perfectamente se

pudiera haber

propuesto como

un cociente ya

que uno de los

factores tiene

exponente

negativo.

-Precisa que son

dos funciones y

cada una tiene su

función interna y

externa.

-Interroga sobre

su desarrollo.

-Deja pausa para

trabajo de los

estudiantes.

-Soluciona el

ejercicio con

pequeñas

intervenciones

-Las mismas

iniciales.

-Contesta al

profesor

algunas

preguntas

sobre la

operación

básica de esa

función

compuesta, el

producto.

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

Pc, Sp, Pc,

ric, Pm, ric,

A, ric, Pc,

ric, E, Pc,

ric, A, Pc,

ric, Pc, ria,

A, ic, ria, Pc,

Ar, E.

La profesora realiza

la derivada de forma

directa olvidándose

ahora de separar la

función externa e

interna, lo cual

puede producir un

potencial conflicto

semiótico cognitivo.


Aplicación de la

derivada de un

producto de funciones.

2) derivar cada factor.

3) Determinar la


compuesta mediante el

reemplazo de las

derivadas de 2) en 1)

Propiedades: Se

aplican unas ya

conocidas como:


sencillos, producto de


factorización.

Argumentos:



adecuados para la


Explícitos: explicación

de la aplicación de la

regla del producto y la

potencia como base

para determinar la


compuesta.

Proceso de

particularización:

Se enuncia en

forma general la

regla para

desarrollar una

función compuesta

cuando se trata de

un producto y se

desarrolla el

producto propuesto. Proceso de

representación y



una simbología que

es clara en su

significado para

todos.

de los alumnos.

-Propone

factorizar el

resultado, pero

no lo hace.

131-186 Cálculo de

la derivada

de la

función

compuesta

f(x) =

(8𝑥4 −2𝑥2 +3)7/(3𝑥 −2)2

Lenguaje verbal:

función compuesta,

cociente, producto,

potencia,

factorización,

exponente negativo,

términos semejantes.

Función potencia,

primer término,

derivada del segundo,

segundo término,

derivada del primer

término, suma, regla

del producto, función

cociente.



de: la función f(x)=

(8𝑥4 − 2𝑥2 +

Proceso de



cómo se coloca un

cociente como

producto y luego

también explica el

desarrollo del

ejercicio aplicando

la regla de la

cadena para un

producto.

Proceso de

comunicación: Hay

participación de los

estudiantes y el

docente en el

desarrollo del

ejercicio.

-Complementa el

ejercicio

propuesto por el

estudiante A5.

-Hace pausa para

dar opción a que

los estudiantes

trabajen.

-Realiza la

corrección que

propone el

estudiante A3.

-Cuestiona a los

estudiantes sobre

el método más

corto para

solucionar el

ejercicio, según

ella el del

-Los mismas

iniciales.

A5. -Propone

ejercicios

cuando el

docente da la

oportunidad.

-Identifica la

operación

básica del

ejercicio

propuesto en

el tablero

(producto).

-Plantea lo

que dice la

regla del

producto para

derivadas.

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

O, pc, O, ric,

Ap, ic, Pc,

ric, A, Pc,

ric, A, Pc,

ric, Pc, ric,

R, ric, Ap,

Pc, ric, ric,

A, Pc, Sp, E,

Pc, ric, Pc,

ria, Pc, ric,

Pm, ric, A,

Pc, ric, E, ic,

Pc, ia, Pc,

ric, Ag, A,

Pm, pc, A,

De, ic, E, ic,

A, pc, Pc,

Ar, E, ic, A,

ia, E, Pc, ric,

El docente propone

un ejercicio

expresado como

producto pero que

también puede ser un

cociente ya que uno

de los exponentes es

negativo y todo el

tiempo insinúa que

la regla a aplicar es

el producto. En este

caso se presenta un

potencial conflicto

semiótico cognitivo.

Propone que lo

siguiente es

factorizar la

expresión, pero no lo


3)7/ (3𝑥 − 2)2,

La función como

producto, regla del

producto, derivada de la

función compuesta,

factorización, términos

semejantes…

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Explícitas: La regla del

producto para

derivadas, la regla de

la potencia para

derivadas.

Procedimientos: 1)

expresar el cociente

como un producto. 2)

Aplicar la regla del

producto para

derivadas. 3)

simplificar y factorizar

la expresión resultante.

Propiedades: Se

aplican unas ya

conocidas como:

propiedades de las

potencias, derivadas de

términos sencillos,

producto de


factorización.

Proposiciones:

El ejercicio se puede

abordar como

producto o como

cociente. Se escoge la

opción como producto,

aunque se había

sugerido el desarrollo

por los dos lados y

comparación de

respuestas.

Argumentos:



Proceso de

mecanización: Se

desarrolla el

ejercicio aplicando

la regla de la

cadena para un

producto.

Proceso de

particularización:

Se enuncia en

forma general la

regla para

desarrollar una

función compuesta

cuando se trata de

un producto y se

desarrolla el

producto propuesto. Proceso de

representación y



una simbología que

es clara en su

significado para

todos.

Proceso de

comparación: Se

planteó la posibilidad

de desarrollar el

ejercicio por el

cociente o por el

producto, esperando

el mismo resultado.

producto

-Propone que se

trabaje por los

dos lados, por el

producto y por el

cociente, pide

que se haga este

trabajo.

-Desarrolla el

ejercicio por el

método del

producto, con

ayuda de los

estudiantes.

-plantea la

factorización la

cual desarrolla.

-Corrige la

expresión que

falta de acuerdo

a lo que sugiere

A5.

-Hace pausa para

que los

estudiantes

copien lo que

está en el

tablero-

-Desarrolla el

ejercicio por el

método del

cociente, casi sin

participación de

los estudiantes.

-Plantea que se

debe factorizar,

sin embargo, no

lo hacen.

-Aclara dudas

sobre lo

desarrollado en

el tablero.

-Corregir las

fallas, si las

hay, de lo

propuesto

como

solución en el

tablero.

-Opina sobre

la forma de

solucionar el

ejercicio

como un

cociente.

E, Pc, ric, E,

pc,

hace, es decir el

estudiante queda con

la duda de cómo se

hace, no hay una


de la factorización,

por lo cual se

presenta un conflicto

semiótico potencial

cognitivo.

Nuevamente al

docente se le olvida

un exponente que es

corregido

posteriormente

cunado ya están

haciendo otro

trabajo por el

estudiante A3.

Nuevamente el

grupo ya había

asumido como

correcto ese

desarrollo, así que

se presenta un


cognitivo.

El profesor

desarrolla el

ejercicio por los dos

métodos, por el

método del producto

y por el método del

cociente, sin

embargo, no

comparó resultados

para mostrar a los

estudiantes que son

equivalentes. Se

puede presentar un


de tipo cognitivo.


adecuados para la



de la aplicación de la

regla del producto y la

potencia como base

para determinar la


compuesta. Aclaración

de la forma de

factorización y

simplificación de

términos.

187-270 Solución

de un

problema

de

aplicación

a la Física

que

requiere la

derivad de

funciones

compuesta

s

Lenguaje verbal:

problema, gas, globo

esférico, razón

constante, segundo,

forma esférica,

rapidez, radio del

globo, longitud del

globo, ejercicio,

esfera, volumen,

fórmula, regla de la

cadena, derivada, pi,

derivada, regla de la

cadena…



de: fórmula del

volumen de la esfera,

derivada del volumen

con respecto al tiempo,

datos conocidos del

problema, regla de la

cadena, ecuación

diferencial del

volumen, derivada del

radio con respecto al

tiempo…

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Proceso de



cómo se desarrolla

el problema

aplicando la regla

de la cadena con

cambio de variable.

Proceso de

comunicación: Hay

interacción de los

estudiantes con el

docente y entre los

estudiantes.

Proceso de

generalización: Se

enuncia la regla de

la cadena con

cambio de variable

para la solución del

problema, es decir

para un caso

específico y de ahí

deducen los

estudiantes que se

está aplicando la

regla de la cadena. Proceso de

representación y


Propone un

problema de

aplicación de un

contexto

extramatemático

.

-Hace aclaración

sobre los datos

que da el

problema,

volumen de la

esfera y

velocidad

constante.

-Plantea las

ecuaciones

iniciales y

continúa

desarrollando el

ejercicio con

poca

participación de

los estudiantes.

Ahora si plantea

la solución como

función

compuesta con

cambio de

variable.

-Aclara dudas de

lo planteado.

-Los iniciales.

-Contesta al

profesor

preguntas

sobre el

volumen de

una esfera.

-Aclara

aspectos

sobre los

datos que

aporta el

problema.

-Opina sobre

la derivada

del volumen.

Identificar

que pide el

problema.

-Solicita a la

profesora la

simplificación

de los

términos.

- Pide al

profesor

aclaración

sobre cómo se

saca la

derivada del

volumen.

Configuración

magistral

en gran grupo.

D, pc, D, pc,

D, Pm, ria,

A, Pc, ric, A,

Pc, ric, Pc,

ric, Pc, ric,

Ap, A, Pc,

ric, R, Pc,

ric, ric, A,

Pc, rgc, ric,

Pc, rgc, A,

ic, E, ia, E,

Pm, ric, ric,

Pm, ric, ric,

Pm, pc, A,

Pc, ric. A, ic,

R, Pc, ric, A,

Pc, ric, A, ic,

R, A, Pc, ric,

E, Pc, ric, A,

Pc, ric, Pm,

Ar, ic, E, Pc,

pc, Rc, Pc,

ric, Pm, ric,

ric, E, Pc,

ric, R, De,

A, Pc, ric, R,

Ant, ia, Ant,

ic, Pc, ric, A,

De, ic, A,

De.

El profesor presenta

para solucionar el

problema la regla de

la cadena con

cambio de variable

dV/dt=(dv/dr)(dr/dt)

, aspecto que no fue

enfocado en ningún

momento de la clase

aunque fue lo que

intentó el profesor al

comenzar la clase.

Lo anterior implica

un conflicto

semiótico

interaccional.

El estudiante A6

pregunta cómo se

derivó el volumen y

no entiende por qué

no se aplicó la regla

del producto. El

profesor aclaró que

se trataba de una

constante por una

función. En este caso

se presentó un


cognitivo de tipo

interaccional.

-Para

solucionar

un problema

siempre hay

que analizar

que dan y

que piden.


Explícitas: expresión

de la fórmula del

volumen de una

esfera. Explicación de

la regla de la cadena 𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑𝑉

𝑑𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑡

Procedimientos: Como

se trata de solucionar un

problema, el proceso

seguido fue: 1)

Identificación de los

datos que da el

problema. 2)

Determinación de la

fórmula para calcular el

volumen de una esfera.

3) derivar el volumen

con respecto al tiempo,

aplicando la regla de la

cadena. 4) reemplazar

datos conocidos y

despejar la derivada del

radio con respecto al

tiempo, que es la

solución a la pregunta.

Propiedades: Se

aplican unas ya

conocidas como:

transposición de

términos, propiedades

de las potencias,


sencillos y regla de la

cadena, producto de

polinomios.

Argumentos:



adecuados para la

solución del problema.


de la determinación de

la fórmula del volumen

de una esfera.

Aclaración sobre la


escriben en el tablero

signos que son claros

para todos los

presentes en la clase.

Proceso de

descomposición: Se

descompone el

volumen que está

con respecto al

tiempo, en términos

del radio y el radio

con respecto al

tiempo 𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑𝑉

𝑑𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑡

-Realiza síntesis

del proceso una

vez terminado el

ejercicio.

-Pregunta

cómo se

comprueba

que la

respuesta es

correcta. La

cual no se

responde.

El estudiante A3

pregunta cómo se

comprueba si la

respuesta es

correcta, aspecto que

no recibió respuesta,

continuando el

profesor con la

propuesta de la tarea.

Se tiene un conflicto

semiótico de tipo

cognitivo.


de la cadena.

Aclaración de la forma

de despejar la

incógnita.

271-272 Solución

de dos

ejercicios

como

trabajo

extraclase

Lenguaje verbal: tarea,

ejercicios.



de las funciones f(x) =

Sen(Cos2x)+Cos(Sen2x

)

f(x)= √𝑥 + √𝑥 + √𝑥.

Definiciones:

Implícitas, lenguaje

conocido.

Proposiciones:

El Profesor propone

dos ejercicios para


de funciones

compuestas, donde

incluye funciones

trigonométricas, para

la siguiente clase.

Proceso de

representación y




para todos.

-Propone dos

ejercicios para

determinar la

derivada de

funciones

compuestas,

donde incluye

funciones

trigonométricas,

para la siguiente

clase.

-Termina la

clase.

Copia los

ejercicios

propuestos

como trabajo

extraclase.

Configuración

magistral

mecanicista.

D, Ant. -Se debe

dejar tarea

al terminar

la clase.

-En esta

clase el que

utiliza el

tablero es el

profesor,

excepto para

el desarrollo

de la tarea

de la clase

anterior.

Casi toda la

sesión de

clase.

- los

estudiantes

deben

intervenir

cuando el

profesor lo

solicite.

-Hay que

aclarar

dudas de los

estudiantes.

Fuente: Adaptada de Godino (2011); Font, Planas y Godino (2010); Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009).


En la siguiente tabla se plantea el análisis de la idoneidad didáctica sugerido por

Godino (2011), desde el Enfoque Ontosemiótico. Se aclara que los componentes e

indicadores se tomaron textuales, sin embargo, para poder mostrar una relación entre ellos,

se asumió la evaluación desde el ángulo bivalente de si o no. De acuerdo con lo anterior cada

indicador recibió el puntaje de 0% o 100%; para las componentes, se promediaron sus

indicadores; siguiéndose el mismo proceso para la idoneidad.

Tabla 13. Indicadores de idoneidad primera clase.

Componentes: Indicadores S N

Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 46.4%

Situaciones-

Problemas

0%

Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones de

contextualización, ejercitación y aplicación.

X

Se proponen situaciones de generación de problemas

(problematización).

X

Lenguajes

66% Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,

simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.

X

Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige. X Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación. X

Reglas

(Definiciones,

proposiciones,

procedimientos)

66%

Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están

adaptados al nivel educativo al que se dirigen.

X

Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales del

tema para el nivel educativo dado-

X

Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o

negociar definiciones proposiciones o procedimientos.

X

Argumentos

50% Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas

al nivel educativo a que se dirigen.

X

Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar. X

Relaciones

50% Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones,

etc.) se relacionan y conectan entre sí.

X

Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que

intervienen en las prácticas matemáticas.

X

Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 66.6 %

Conocimientos previos

(Se tienen en cuenta los

mismos elementos que para la

idoneidad epistémica)

100%

Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el

estudio del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor

planifica su estudio).

X

Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad

manejable) en sus diversas componentes.

X

Adaptaciones curriculares a

las diferencias individuales

100%

Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo. X

Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes X

Aprendizaje:

Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la

apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias

pretendidas:

X


Se tienen en cuenta los mismos

elementos que para la


0%

Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa

y argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional;

competencia metacognitiva.

X

La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y

competencia.

X

Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar

decisiones.

X

Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 66.6%

Intereses y necesidades

50% Las tareas tienen interés para los alumnos X

Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las

matemáticas en la vida cotidiana y profesional.

X

Actitudes

50%

Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia,

responsabilidad, etc.

X

Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el

argumento se valora en sí mismo y no por quién lo dice.

X

Emociones

100% Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las

matemáticas.

X

Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas X

Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 18.2%

Interacción docente-discente

40%

El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación

clara y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los

conceptos clave del tema, etc.).

X

Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen

preguntas y respuestas adecuadas, etc.)

X

Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento. X

Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y

captar la atención de los alumnos.

X

Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. X

Interacción entre alumnos

33% Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X

Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus

afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos

matemáticos

X

Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión. X

Autonomía

0%

Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la

responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan

soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y

conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer

conexiones, resolver problemas y comunicarlos).

X

Evaluación formativa 0% Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos X

Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 66.6%

Recursos materiales

(Manipulativos, calculadoras,

ordenadores).

0%

Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten

introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos,

argumentaciones adaptadas al contenido pretendido

X

Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas

usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones

X

Número de alumnos, horario

y condiciones del aula

100%

El número y la distribución de los alumnos permite llevar a cabo la

enseñanza pretendida

X

El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten

todas las sesiones a última hora)

X

El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el desarrollo

del proceso instruccional pretendido

X


Tiempo

(De enseñanza colectiva

/tutorización; tiempo de

aprendizaje).

100%

El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la enseñanza

pretendida

X

Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del tema

X

Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más

dificultad de comprensión

X

Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 60%

Adaptación al currículo

100%

Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden

con las directrices curriculares

X

Apertura hacia la innovación

Didáctica.

0%

Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva X

Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC,

etc.) en el proyecto educativo.

X

Adaptación socio-

profesional y cultural

100%

Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los

estudiantes

X

Educación en valores

0%

Se contempla la formación en valores democráticos y el pensamiento

crítico

X

Conexiones intra e

Interdisciplinares

100%

Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e

interdisciplinares

X

Fuente: Godino (2011).

Igualmente, desde el Enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino,

2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea el hexágono regular como una

forma de observar las diferentes facetas de la práctica docente. Sin embargo, se aclara que

se cambió la manera de mostrar la información; se trazan tres hexágonos como referencia,

el interno representa el 33%, el medio el 66% y el externo el 100%, pero se pueden tomar

valores de 0% a 100%. El ideal es aproximarse al 100% en cada una de las idoneidades.

Para la clase en cuestión, en el siguiente gráfico se muestra la resultante.

Figura 14. Resumen de las Idoneidades de la primera clase. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas,Godino, 2010; Godino, Font,



En esta clase de Fernando se pueden señalar algunos aspectos por mejorar, desde el

punto de vista de la idoneidad didáctica:

Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 46.4%). No se propusieron en la clase

situaciones problema que permitieran la contextualización, aplicación y ejercitación de

saberes; tampoco escenarios donde el estudiante planteara expresiones matemáticas y su

interpretación, al igual que pudieran negociar los significados de procedimientos,

definiciones o proposiciones y argumentar sobre ello. Así mismo no se privilegió el uso de

diferentes significados de los objetos identificados en las prácticas matemáticas.

Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 66.6%). No se mostró o identificó alguna forma

que propusiera el docente como evaluación de los procesos y prácticas, que señalara entre

otros aspectos la comprensión conceptual y proposicional, el avance en las competencias

comunicativa, argumentativa y metacognitiva, y la comprensión situacional. Como no hubo

evaluación no se puede concluir si en ella se tienen en cuenta los distintos niveles de

comprensión y competencia por parte del estudiante, al igual que si los resultados de esta

evaluación se usan para tomar decisiones.

Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 66.6%). No se proponen situaciones de contexto

que permitan valorar la utilidad de la matemática en la vida cotidiana y profesional, tampoco

se promueve la participación en actividades donde se resalten los valores.

Faceta interaccional. (Porcentaje de logro 18.2%). No se plantean situaciones para

identificar y solucionar los conflictos de los estudiantes, al igual que no se valoran los

argumentos de los estudiantes para llegar a consensos. No hay variedad de recursos retóricos

y argumentativos para motivar a los estudiantes, hay poca participación de los estudiantes

en la clase, no se facilita la comunicación y el diálogo con ellos, y entre ellos. El control de

la clase siempre es del docente, no hay momentos donde se deje la responsabilidad de la

clase al estudiante, y no hay un medio para identificar el progreso sistemático de los

estudiantes.


Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 66.6%). No se usaron materiales

manipulativos ni informáticos para facilitar la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos

pretendidos. No se utilizaron modelos concretos y visualizaciones para contextualizar las

definiciones y propiedades de la clase.

Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 60%). No se presentan aspectos que tengan que

ver con la innovación, producto de la investigación y la práctica reflexiva. No hay

integración de nuevas tecnologías en el proyecto educativo.

Segunda clase.

La clase tuvo una duración de una hora y veintinueve minutos (1:29), orientada

igualmente al segundo semestre de la Licenciatura en Matemáticas.

Se desarrolló básicamente el siguiente proceso: el profesor planteó para iniciar la

clase un ejercicio sobre tasas relacionales que luego él mismo solucionó con

intervenciones cortas de los estudiantes; luego propuso un problema de aplicación que

solucionó igualmente en el tablero, explicó y permitió intervenciones cortas de los

estudiantes. De la misma manera formuló uno a uno tres problemas también sobre tasas

relacionales, los cuales solucionó luego de dar un tiempo prolongado para que los

estudiantes de forma individual o grupal los analizaran. Posteriormente, el profesor

planteó que hay muchas aplicaciones de las derivadas y entre ellas señaló las gráficas de

funciones. A continuación, explicó el procedimiento para determinar máximos y

mínimos, sobre la gráfica de una función definida en forma general. Luego propuso

determinar los puntos críticos, máximos y mínimos de la función f(x) = 3x4- 4x3 en el

intervalo cerrado [-1,2]; fue explicando progresivamente el procedimiento, permitiendo

intervenciones cortas de los estudiantes. Seguidamente expuso la forma para identificar los

intervalos donde las funciones son crecientes o decrecientes, y la aplicación de estos

conceptos a las gráficas de funciones; además la manera de determinar los números críticos,

máximos, mínimos y gráfica de la función f(x)=3x4-16x3+18x, en el intervalo [-1,4], aspecto

que desarrolló en el tablero luego de dejar a los estudiantes un tiempo para analizar la


situación. Finalmente solicitó calcular los valores críticos y los intervalos en los que la

función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3

2𝑥2 es creciente o decreciente y la gráfica; el profesor solucionó el

ejercicio siguiendo la misma metodología que en los casos anteriores. (Observación de clase,

19 noviembre 2013).

La clase se dividió en 8 configuraciones didácticas (Font, Planas, Godino, 2010) de

acuerdo con el marco teórico y metodológico del Enfoque Ontosemiótico. A

continuación, se presenta el análisis didáctico realizado.


Tabla 14. Análisis Segunda clase.

Líneas

transcripción


profesor

Funciones de los

alumnos

Tipo de

configuración

didáctica

Patrones

de

interacción

Conflictos Normas

1-8 Solucionar el

ejercicio: que

si x y y son

funciones

derivables de

t, las cuales

están

relacionadas

por la

función

y=x2+3

hallar 𝑑𝑦

𝑑𝑡

cuando xes

igual a 1.

Dado que 𝑑𝑥

𝑑𝑡

=2 cuando x

es igual a 1

Lenguaje verbal: Se usa un

lenguaje verbal ya conocido

(problema, función, función

derivable, derivada, primera

derivada, segunda derivada,

variable, regla de la cadena,

derivación implícita,

ecuación,…)


expresiones algébricas de la

función y=x2+3, de la

derivada de y con respecto a t

y la derivada de x con

respecto a t,...)

Definiciones implícitas (las

mismas que aparecen en el

lenguaje verbal)

Procedimiento: 1) Dada la

función hallar la derivada con

respecto a t aplicando la regla

de la cadena. 2) Reemplazar

los valores conocidos en la

anterior expresión. 3)

Despejar 𝑑𝑦

𝑑𝑡 y calcular su

valor.


propiedades conocidas como

son las de la transposición de

términos de una ecuación, las

reglas de derivación, regla de

la cadena, derivación

implícita, etc.

Argumento: (implícito) se ha

aplicado el procedimiento

respectivo.

Proceso de


El profesor

soluciona el

ejercicio y lo explica

paso a paso.

Proceso de

mecanización: Se

trata de que los

alumnos practiquen

el cálculo de la

regla de la cadena

con cambio de

variable.

Proceso de

representación y

materialización. El

profesor escribe en

el tablero signos

matemáticos

interpretables como


a la derivada de una

función compuesta

con cambio de

variable.

- Plantea la

distribución de la

clase a nivel de

motivación.

- Hace mención

de la tarea que se

tenía para la

clase.

- Asigna el

ejercicio a

desarrollar y lo

propone en el

tablero.

- Soluciona el

ejercicio

propuesto.

- Resalta como se

debe desarrollar

en forma general

un ejercicio de

este tipo.

Responde a las

preguntas cortas

del profesor.

Copia en el

cuaderno la

solución escrita

en el tablero.

Pregunta cuando

tiene dudas.

Configuración

magistral

mecanicista

en gran grupo.

O, pc, Rc,

Ant, D, E,

Pc, ric, E,

Pc, ric, Sc

El profesor

plantea un

problema que

realmente es

ejercicio,

dejando la

idea que

problema y

ejercicio es lo

mismo. Tal

vez porque en

el texto viene

como

problema, lo

anterior

puede

producir un

conflicto

cognitivo de

tipo

epistémico,

cognitivo e

interaccional.

-El profesor

es el que

define

cómo se

debe

desarrollar

la clase.

-El profesor

propone los

ejercicios a

desarrollar.

-El profesor

es el que

desarrolla el

ejercicio

con

pequeños

apoyos de

los

estudiantes.

-Siempre

que se

termine un

ejercicio, el

profesor

debe hacer

un

recuento.

- Al

terminar el

profesor el

ejercicio el

profesor

deja un

espacio de

tiempo para

que los

estudiantes


terminen de

copiar para

estar todos

atentos a la

siguiente

actividad

9-15 Solución del

problema: Una piedra se

deja caer

sobre un

estanque en

reposo y

produce

ondas

circulares

concéntricas.

El radio r de

la onda

exterior crece

a ritmo

constante de

30

centímetros

por segundo.

Cuando su

radio es de

120

centímetros.

¿A qué ritmo

está

creciendo el

área total de

la zona

perturbada?

Lenguaje verbal: Se usa ya

conocido (problema, radio,

ritmo constante, área,

circunferencia, función

compuesta, derivada,

derivada de una función

compuesta, …)


Expresiones algebraicas,

entre otras de la función A =πr2, derivada de A con

respecto a t y de r con

respecto a t 𝑑𝐴

𝑑𝑡= 2πr

𝑑𝑟

𝑑𝑡,

dibujo de ondas concéntricas

para explicar el problema.

Definiciones:

Implícitas (las mismas que

aparecen en el lenguaje

verbal)

Procedimientos: 1) Dado el

problema leerlo y

comprenderlo si es posible

hacer una gráfica. 2)

Identificar los datos que da el

problema. 3) Determinar qué

pide el problema. 4) plantear

la fórmula básica. 5) derivar

la fórmula con respecto a la

variable solicitada en este

caso t. 6) Reemplazar los

valores dados en la ecuación

anterior

Propiedades: Aplicación de

propiedades ya conocidas,

como reglas de derivación,

especialmente la regla de la

cadena…

Argumentos:

Implícitos: Aplicación de los

Proceso de

institucionalización:

El profesor

soluciona el


paso a paso.

Proceso de

representación y



signos matemáticos y

gráficos reconocibles

para el grupo.

Proceso de

mecanización: Se

trata de que los

alumnos realicen el

cálculo de la

derivada de una

función compuesta

aplicando la regla

de la cadena con

cambio de variable

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y el

docente.

-Propone el

problema a

trabajar.

-Soluciona el

problema

propuesto.

- Retroalimenta

explicando

nuevamente

como se debe

desarrollar en

forma general un

ejercicio de este

tipo.

- Responde a las

preguntas cortas

del profesor.

- Copia en el

cuaderno la

solución escrita

en el tablero.

-Está atento a lo

que desarrolla la

profesora.

Configuración

magistral

mecanicista

en gran grupo.

Ant, D, A,

Pc, Ar, E,

Pc, ric, A,

int, E, pc,

A.

El profesor

habla del área

del círculo,

dejando

entrever que

círculo y

circunferencia

son

sinónimos, lo

que sería un

conflicto de

tipo

epistémico y

a la vez

interaccional.

-El profesor

propone los

problemas a

desarrollar.

-El profesor

es el que

desarrolla

los

problemas

con

pequeños

apoyos de

los

estudiantes.

-Siempre

que se

termine el

desarrollo

de un

problema,

el profesor

debe hacer

un

recuento.

-El profesor

debe

contestar

las

preguntas

cortas de

los

estudiantes.


procedimientos adecuados

para la solución del ejercicio.

Explícitos: Explicación del

procedimiento para

determinar la derivada de la

función compuesta con

cambio de variable.

16-17 Solución del

problema: Se

bombea aire

en un globo

esférico a

razón de

4.5cm3 por

minuto.

Hallar la

razón de

cambio del

radio cuando

este es de

2cm

Lenguaje verbal: problema,

gas, globo esférico, razón

constante, segundo, forma

esférica, rapidez, radio del

globo, longitud del globo,

ejercicio, esfera, volumen,

fórmula, regla de la cadena,

derivada, pi, derivada, regla

de la cadena…


Expresión algebraica de:

fórmula del volumen de la

esfera, derivada del volumen

con respecto al tiempo, datos

conocidos del problema,

regla de la cadena, ecuación

diferencial del volumen,

derivada del radio con

respecto al tiempo…

Definiciones:



verbal)

Explícitas: expresión de la

fórmula del volumen de una

esfera. Explicación de la

regla de la cadena 𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑𝑉

𝑑𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑡

Procedimientos: Como se trata

de solucionar un problema, el

proceso seguido fue: 1)

Identificación de los datos que

da el problema. 2)

Determinación de la fórmula

para calcular el volumen de

una esfera. 3) derivar el

volumen con respecto al

tiempo, aplicando la regla de

Proceso de


El profesor explica

cómo se desarrolla

el problema

aplicando la regla

de la cadena con

cambio de variable.

Proceso de

comunicación: Hay

interacción de los

estudiantes con el

docente y entre los

estudiantes.

Proceso de

generalización: Se

enuncia la regla de

la cadena con

cambio de variable


problema Proceso de

representación y




para todos los


Proceso de

descomposición: Se

descompone el

volumen que está

con respecto al

tiempo, en términos

del radio y el radio

con respecto al

tiempo 𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑𝑉

𝑑𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑡

Propone un

problema de

aplicación de un

contexto

extramatemático.

-Hace aclaración

sobre los datos

que da el

problema,

volumen de la

esfera y

velocidad

constante.

-Plantea las

ecuaciones

iniciales y

continúa

desarrollando el

ejercicio con

poca

participación de

los estudiantes.

-Aclara dudas de

lo planteado.

-Realiza síntesis

del proceso una

vez terminado el

ejercicio.

-Los iniciales.

-Contesta al

profesor

preguntas sobre

el volumen de

una esfera.

-Opina sobre la

derivada del

volumen.

Configuración

magistral

en gran grupo.

O, D, A,

Pc, Ar, Pc,

ric, E, Sp,

pc, Rc,

-Para

solucionar

un

problema

siempre hay

que analizar

que dan y

que piden.


la cadena. 4) reemplazar datos

conocidos y despejar la

derivada del radio con

respecto al tiempo, que es la

solución a la pregunta.

Propiedades: Se aplican unas

ya conocidas como:

transposición de términos,

propiedades de las potencias,


sencillos y regla de la cadena,

producto de polinomios.

Argumentos:




problema.

Explícitos: explicación de la

determinación de la fórmula

del volumen de una esfera.

Aclaración sobre la

aplicación de la regla de la

cadena. Aclaración de la

forma de despejar la

incógnita.

18-20 Solución del

problema:

Un avión

vuela a 6

millas de

altitud en

línea recta

hacia la

posición de

un radar. Sea

s la distancia

en millas

entre el avión

y el radar. Si

s está

decreciendo

a razón de

400 millas

por hora

cuando s es

10 millas.

¿Cuál es la


conocido (teorema de

Pitágoras, velocidad, rapidez,

problema, función

compuesta, derivada,

derivada de una función

compuesta, …)



entre otras de la función

s2=x2+(6)2, derivada de s con

respecto a t y de x con

respecto a t 2𝑠

2𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑑𝑥

𝑑𝑡,

dibujo triangular para explicar

el problema. Definiciones:



verbal)


problema leerlo y


Proceso de


El profesor

soluciona el


paso a paso.

Proceso de

representación y





para el grupo.

Proceso de

mecanización: Se

trata de que los

alumnos realicen el

cálculo de la

derivada de una

función compuesta

-Propone un

problema de

aplicación de un

contexto

extramatemático.

-Hace aclaración

sobre los datos

que da el

problema, la

razón de

decrecimiento

-Plantea las

ecuaciones

iniciales y

continúa

desarrollando el

problema con

poca

participación de

los estudiantes.

- Responde a las

preguntas cortas

del profesor.

- Copia en el

cuaderno la

solución escrita

en el tablero.

-Pregunta

cuando algún

aspecto

matemático o

no, no se

entiende.

Configuración

magistral

mecanicista

en gran grupo.

D, A, E,

Pc, Ar, Pc,

Ar, A, Sp.

El profesor

habla de la

diferencia

entre

velocidad y

rapidez, pero

no la plantea

claramente, lo

que podría

provocar un

conflicto

cognitivo.

El profesor

propone los

problemas a

desarrollar.

-El profesor

es el que

desarrolla

los

problemas

con

pequeños

apoyos de

los

estudiantes.

-Siempre

que se

termine el

desarrollo

de un

problema,


velocidad del

avión?










anterior





cadena…

Argumentos:




problema.

aplicando la regla

de la cadena con

cambio de variable

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y el

docente.

Proceso de

generalización: Se

enuncia la regla de

la cadena con

cambio de variable


problema, es decir

para un caso

específico y de ahí

deducen los

estudiantes que se

está aplicando la

regla de la cadena

Proceso de

descomposición: Se

descompone el

espacio que está con

respecto al tiempo,

en términos de la

velocidad

-Aclara dudas de

lo planteado.

-Realiza

Síntesis del

proceso una vez

terminado el

problema.

el profesor

debe hacer

un

recuento.

21-22 Solución del

problema:

Una cámara

de televisión

está filmando

desde el

suelo el

despegue de

una nave

espacial que

sube

verticalmente

de acuerdo

con la

ecuación de

posición

s=50t2 donde


conocido (teorema de

Pitágoras, ecuación posición,

razón de cambio, problema,

función compuesta, derivada,

derivada implícita, derivada

de una función compuesta,

…)



entre otras de la función r2=(2000)2+s2, derivada de r

y de s con respecto al tiempo

2r𝑑𝑟

𝑑𝑡+ 2𝑠

𝑑𝑠

𝑑𝑡, dibujo triangular

para explicar el problema.

Proceso de


El profesor

soluciona el

problema y lo

explica paso a paso.

Proceso de

representación y





para el grupo.

Proceso de

mecanización: Se

-propone el

problema a

desarrollar.

-Realiza el dibujo

pertinente para la

problemática

planteada.

-Hace aclaración

sobre los datos

que da el

problema, y lo

que pide la razón

de cambio.

-Plantea las

--Responde a las

preguntas cortas

del profesor.

- Copia en el

cuaderno la

solución escrita

en el tablero.

-Trata de

solucionar

inicialmente el

problema.

-Consulta con el

profesor cuando

Configuración

magistral

mecanicista

en gran grupo.

O, D, Sc,

A, Pc, Ar,

E, Pc, ric,

A, Pc, ric,

A, Sp.

El profesor

habla de

determinar la

razón de

cambio entre

la cámara y el

cohete, omite

la magnitud

es decir la

distancia, lo

cual puede

generar un

conflicto

cognitivo.

El profesor

propone los

problemas a

desarrollar.

-El profesor

es el que

desarrolla

los

problemas

con

pequeños

apoyos de

los

estudiantes.


s… esta

medida en

pies y t está

medida en

segundos. La

cámara está

situada a dos

mil pies de la

rampa de

lanzamiento.

Hallar la

razón de

cambio de

distancia

entre la

cámara y la

base de la

nave a los

diez

segundos de

despegue.

Definiciones:

Implícitas: (las mismas que


verbal)


problema leerlo y











anterior





cadena…

Argumentos:




problema.

trata de que los

alumnos realicen el

cálculo de la

derivada de una

función compuesta

aplicando la regla

de la cadena con

cambio de variable

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y el

docente.

Proceso de

generalización: Se

enuncia la regla de

la cadena con

cambio de variable


problema.

ecuaciones

iniciales y

continúa

desarrollando el

problema con

poca

participación de

los estudiantes.

-Aclara dudas de

lo planteado.

algo no está

claro.

-Siempre

que el

profesor

termine de

desarrollar

el ejercicio

dejará un

lapso de

tiempo para

que los

estudiantes

copien.

23-32 Hallar los

extremos

tanto

máximos

como

mínimos de

la función

3x4-4x3 en el

intervalo

cerrado [-

1,2].

Lenguaje verbal: gráficas,

máximo, mínimo, primera y

segunda derivada, función

creciente, función

decreciente, extremos,

función, función discontinua,

función continua, teorema

del factor, puntos

terminales…


Expresión algebraica de las

definiciones de máximo,

mínimo, teorema del valor

extremo, punto crítico.

Tablas de valores, gráficas de

varias funciones.

Definiciones:



-Proceso de


El profesor

desarrolla el

ejercicio con escasa


estudiantes

-Proceso de

comunicación: Hay

diálogo entre

docente y

estudiantes para

determinar el

producto y para el

desarrollo del

ejercicio.

-Proceso de

mecanización: Se

busca que los

-Aclara el

objetivo de la

segunda parte de

la clase, que es

determinar los

máximos y

mínimos de una

función en un

intervalo

cerrado.

- Propone una

serie de

definiciones de

objetos

matemáticos:

valor mínimo,

máximo, valores

extremos,

-Contesta a las

preguntas cortas

del profesor.

-Pregunta cuando

no entiende algún

proceso de la

clase.

-Copia el

ejercicio

desarrollado en el

tablero.

Configuración

magistral

mecanicista

en gran grupo.

Ant, D, Pc,

Ar,. Pc, ric,

Pc, ric, O,

E, Pc, ric,

Pa, ria, R,

pc, Pcd, ric,

A, D, E,

Pc, ric, E,

Pc, ric, Pc,

ric, Pc, ric,

Pc, ric, pc,

A,Sc

-El profesor

propone lo

que se va

trabajar en

la clase.

- El

profesor da

las

definiciones

necesarias.

-El

estudiante

debe

contestar

las

preguntas


verbal)

Explícitas: definición de

valor mínimo, máximo,

valores extremos, teorema

del valor extremo y número

crítico. Procedimientos: 1)

Determinar los números

críticos, derivando la función

igualando a cero y

despejando los valores de x.

2) Determina los puntos

críticos reemplazando en la

función los valores

terminales y los críticos, lo

cual identifica los máximos y

los mínimos 3) Se grafica y

determina que la respuesta

analítica es correcta.


ya conocidas como:


sencillos, reglas de

factorización.

Argumentos:




estudiantes

aprendan los pasos

para hallar los

puntos máximos y

mínimos de

cualquier función.

-Proceso de

particularización:

Se enuncia en forma

general el

procedimiento para

determinar puntos

máximos y mínimos

de una función y

luego se desarrolla

un ejemplo. -Proceso de

representación y



una simbología que

es clara en su

significado para

todos.

teorema del valor

extremo y

número crítico.

- plantea el

ejercicio de

determinar los máximos y

mínimos de la

función 3x4-4x3

en el intervalo

cerrado [-1,2].

-Soluciona el

ejercicio.

-Plantea

preguntas cortas

que los

estudiantes

contestan.

-Aclara dudas de

lo planteado.

cortas del

profesor.

-El profesor

utiliza el

tablero y el

estudiante

el cuaderno.

-El profesor

puede

aclarar

dudas de

forma

individual

33-62 Determinar

los números

críticos,

máximos,

mínimos y

gráfica de la

función

f(x)=3x4-

16x3+18x

[-1,4]

Lenguaje verbal: función,

números críticos, punto

máximo, punto mínimo,

gráficas de funciones,

derivadas, ecuaciones.


Expresión algebraica de: la

función f(x)=3x4-16x3+18x

[-1,4]. Su derivada iguala a

cero y despeje de la ecuación,

imágenes de números críticos.

La gráfica de la función en el

intervalo…

Definiciones:



verbal)

Procedimientos: 1) Derivar la

función. 2) Igualar la

derivada a cero y determinar

Proceso de


El profesor

desarrolla el

ejercicio aplicando

el procedimiento

mencionado.

Proceso de

comunicación: Hay


estudiantes y el

docente en el

desarrollo del

ejercicio.

Proceso de

mecanización: Se

desarrolla el

ejercicio aplicando

un procedimiento

-Hace que una

estudiante

recuerde el

procedimiento

para desarrollar

el ejercicio.

- Repite el

procedimiento a

seguir para

desarrollar el

ejercicio.

-Contesta

preguntas de los

estudiantes.

- Desarrolla el

ejercicio.

-Da espacio al

-Las mismas

iniciales.

A8. Recuerda el

procedimiento

para desarrollar

el ejercicio

-A9 Considera

el procedimiento

fácil.

-A10 opina sobre

el desarrollo del

ejercicio.

-preguntan

acerca de las

dudas

específicas sobre

Configuración

magistral

mecanicista

en gran grupo.

D, Pa, ric,

Pa, Pc, ric,

A, ic, A,

Sp, ic, Ap,

pc, Rc, E,

Pc, ric, R,

A, Pc, Rc,

E, Pc, ric,

R, Pc, ric, ,

Pc, ric, ,

Pc, ric, ,

Pc, ric, E,

pc, Ra

El profesor

habla de que

los puntos

máximos y

mínimos

provienen de

los puntos

críticos, pero

en algunos

casos los

máximos y

los mínimos

pueden ser

los puntos

terminales, se

presenta

entonces un

conflicto

cognitivo y

-El profesor

propone el

ejercicio

para

desarrollar

en la clase.

- El

estudiante

puede

opinar pero

la verdad

definitiva la

tienen el

docente.

- El

profesor es

el que

desarrolla


valores críticos. 3)

reemplazar los valores

críticos y los extremos en la

función. 4) determinar

máximos y mínimos. 5)

Graficar y comprobar lo

realizado analíticamente.


ya conocidas como:

propiedades de las derivadas

de términos sencillos, reglas

de factorización.

Argumentos:




generalizado de

pasoso.

. Proceso de

representación y



una simbología que

es clara en su

significado para

todos.

final para que los

estudiantes

copien.

el desarrollo.

-Responden las

preguntas cortas

del profesor.

también

interaccional.

El profesor

hace énfasis

en la gráfica

completa lo

que impide

ver lo que

sucede en el

intervalo

cerrado de

análisis, lo

cual puede

provocar un

conflicto

cognitivo.

en el

tablero los

ejercicios.

-El

estudiante

debe copiar

en el

cuaderno lo

que el

profesor

escribe en

el tablero.

-El profesor

al terminar

hace un

recuento de

lo

realizado.

-El profesor

deja espacio

al final para

que los

estudiantes

copien.

-El profesor

debe

responder

las

preguntas

de los

estudiantes.

63-67 Calcular los

números

críticos y los

intervalos en

los que la

función

f(x)=x3- 3

2x2

es creciente

o decreciente

y la gráfica.

Lenguaje verbal: funciones

crecientes y decrecientes,

función, función derivable,

primera derivada, números

críticos, puntos críticos,

extremos, gráfica de

funciones, valores de

prueba….



teorema de criterio para

funciones crecientes o

Proceso de


El profesor explica

cómo se desarrolla

el ejercicio

mediante el

procedimiento

descrito.

Proceso de

comunicación: Hay

interacción de los

-Enuncia un

teorema que se

llama criterio

para funciones

crecientes o

decrecientes.

-Propone un

ejercicio para

solucionar.

-Soluciona el

ejercicio.

-A14 realiza

preguntas de

complementación

sobre el ejercicio.

- Responden las

preguntas cortas

del profesor.

-Copian en sus

cuadernos lo

desarrollado por

el profesor en el

Configuración

magistral

en gran grupo.

Ant, D, O,

D, pc, Rc,

pc, Rc, E,

Pc, ric, Pc,

ric, Pc, ric,

Pc, ric, Pc,

ric, Pc, ric,

A

-El profesor

siempre

expone la

base teórica

de la clase.

-El profesor

siempre

propone los

ejercicios

que se den


decrecientes, la función f(x)=x3-

3

2x2

su derivada f’(x)=3x2-3x,

tabla de intervalos, valores de

prueba, y signos, y la gráfica

de la función.

Definiciones:



verbal)

Explícitas: El teorema con

criterios para funciones

crecientes o decrecientes.

Procedimientos: 1) Determino

los números críticos,

derivando la función,

igualando a cero y despejando

las variables. 2) Elaboro una

tabla con los intervalos de la

función marcados por los

valores críticos. 3) Lleno la

tabla utilizando valores de

prueba. 4) De acuerdo al

resultado anterior y basado en

el problema, defino si la

función es creciente o

decreciente.


ya conocidas como:

transposición de términos,

propiedades de las potencias,


sencillos.

Argumentos:




-Aclaración de la forma de

despejar la incógnita.

estudiantes con el

docente y entre los

estudiantes, aunque

de manera informal.

Proceso de

generalización: Se

enuncia el teorema

de criterios para

determinar si una

función es creciente

o decreciente, para

luego aplicarlo en el

desarrollo de un

ejercicio en

particular.

Proceso de

representación y




para todos los


-Realiza

preguntas cortas

a los estudiantes.

tablero.

trabajar en

la clase.

-El profesor

es el que

maneja el

tablero.

-Los

estudiantes

deben

copiar lo

que el

profesor

desarrolla

en el

tablero.

-El profesor

es el que

soluciona

los

ejercicios.



A continuación, se plantea el análisis de la idoneidad didáctica de la clase.

Tabla 15. Idoneidad didáctica de la segunda clase.


Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 73%

Situaciones-

Problemas

50%


contextualización, ejercitación y aplicación

X

Se proponen situaciones de generación de problemas (problematización), X

Lenguajes 100%

Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica, simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.

X

Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige X Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación X

Reglas

(Definiciones,

proposiciones,

procedimientos)

66%

Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están adaptados al nivel educativo al que se dirigen.

X

Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales del tema

para el nivel educativo dado.

X

Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o negociar definiciones proposiciones o procedimientos.

X

Argumentos 50%

Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas al nivel educativo a que se dirigen.

X

Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar X

Relaciones 100%

Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones, etc.) se relacionan y conectan entre sí.

X

Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que intervienen en las prácticas matemáticas.

X

Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 66.6

Conocimientos previos (Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 100%

Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor planifica su estudio).

X

Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable) en sus diversas componentes.

X


las diferencias

individuales

100%



Aprendizaje:

Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 0%

Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias pretendidas:

X

Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional; competencia metacognitiva

X


competencia

X

Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar decisiones.

X




Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional.

X


Actitudes 50%

Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia, responsabilidad, etc.

X

Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el argumento se

valora en sí mismo y no por quién lo dice.

X

Emociones

50% Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas.

X



Interacción docente-discente 20%

El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación clara y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los conceptos clave del tema, etc.).

X

Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen preguntas

y respuestas adecuadas, etc.).

X


Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y captar la atención de los alumnos.

X


Interacción entre

alumnos

33%

Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X

Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos matemáticos

X


Autonomía 0%

Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos).

X



Recursos materiales (Manipulativos, calculadoras, ordenadores). 0%

Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas al contenido pretendido

X

Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones

X

Número de alumnos, horario y condiciones del aula 100%

El número y la distribución de los alumnos permite llevar a cabo la enseñanza pretendida

X

El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten todas

las sesiones a última hora)

X

El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el desarrollo del

proceso instruccional pretendido

X

Tiempo

(De enseñanza colectiva /Tutorización; tiempo de aprendizaje). 0%

El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la enseñanza pretendida

X


X

Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más dificultad de comprensión

X


Adaptación al currículo 100%

Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con las

directrices curriculares

X


Apertura hacia la innovación Didáctica. 0%


Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.) en el proyecto educativo.

X

Adaptación socio- profesional y cultural 100%

Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes

X

Educación en valores 0%

Se contempla la formación en valores democráticos y el pensamiento crítico

X

Conexiones intra e Interdisciplinares 100%

Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares X


Para la clase el hexágono propuesto por el enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011;

Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009) es el siguiente:

Figura 15. Resumen de las Idoneidades de la segunda clase. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino,

Font, Wilhelmi y Castro, 2009).

Los aspectos por mejorar de Fernando en esta clase se señalan a continuación:

Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 73%). No se plantearon situaciones que

permitieran generar problemas, en este caso el docente formuló todos los problemas a

trabajar por parte del estudiante. Igualmente, no se mostraron escenarios donde los alumnos

tuvieran que generar o negociar procedimientos, definiciones o proposiciones. Tampoco en

esta clase se propusieron situaciones donde el alumno argumentara, las explicaciones estaban

a cargo del docente.


Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 66.6%). Nuevamente el docente no mostró

forma de evaluación en la clase, por lo cual no fue posible identificar el avance en las

competencias comunicativa, argumentativa, metacognitiva y la comprensión situacional.

Tampoco se pudo identificar si en la evaluación se tienen en cuenta los distintos niveles de

comprensión y competencia por parte del estudiante, ni para qué se usan los resultados de la

evaluación.

Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 60%). No se promovió la participación en

actividades, la perseverancia, responsabilidad, los valores en general, ni se propusieron

situaciones de contexto que permitieran valorar la utilidad de la matemática en la vida

cotidiana y profesional.

Faceta interaccional. (Porcentaje de logro 13.2%). No hubo observación sistemática

del progreso del estudiante. Toda la responsabilidad de la clase la asumió el docente, por lo

tanto, no se detectaron momentos de autonomía del estudiante, el cual tuvo poca

participación, lo que no facilitó la comunicación en el aula. No se presentó variedad de

recursos argumentativos y retóricos, ni se le dio mucha importancia a los argumentos de los

estudiantes por lo cual no se llegó a consensos sino que primó la posición del profesor. No

se plantearon situaciones para solucionar conflictos de los estudiantes.

Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 33.3%). No se utilizaron materiales

manipulativos ni informáticos para facilitar el aprendizaje de los conceptos de la clase. No

se usaron formas para contextualizar las definiciones y propiedades. El tiempo no fue

adecuado para la temática, pues ésta era muy larga; no se le dedicó tiempo especial a alguno

de los contenidos, por considerarlos más importantes o de más difícil comprensión.

Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 60%). No se vió de forma explícita que el

profesor hiciera énfasis en la formación en valores democráticos y el desarrollo del espíritu

crítico de los estudiantes. No se tuvieron en cuenta en el proyecto educativo, las tecnologías

de la información y la comunicación. No se presentaron aspectos sobre la innovación, la

investigación y la práctica pedagógica.


Idoneidad didáctica de las clases iniciales.

Tabla 16. Idoniedad didáctica de las clases iniciales.

Idoneidad Didáctica Clases Tendencia

% Primera

%

Segúnda

%

Idoneidad Epistémica 46.4 73 59.7

Idoneidad Cognitiva 66.6 66.6 66.6

Idoneidad Afectiva 66.6 66.6 66.6

Idoneidad Interaccional 18.2 13.2 15.7

Idoneidad Mediacional 66.6 33.3 49.95

Idoneidad Ecológica 60 60 60 Fuente: elaboración propia.

El hexágono que indica la tendencia de Fernando sería:

Figura 16. Tendencia de las idoneidades de las clases de Fernando. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font,

Wilhelmi y Castro, 2009.

En la primera clase se observa que las idoneidades más bajas del docente Fernando en

su orden son la interaccional y la epistémica, en la segunda clase la interaccional y la

mediacional; en general, son la idoneidad interaccional y la mediacional las menos

desarrolladas del docente en mención, pero la crítica es la la idoneidad interaccional.

Análisis de interacción de las clases iniciales.

Se presenta en los siguientes apartados el análisis de interacción de dos clases del

docente, teniendo en cuenta las configuraciones didácticas del Enfoque Ontosemiótico y las

interacciones emergentes del análisis de este proceso.


Primera clase.

Como para el análisis didáctico ya se había dividido la clase en configuraciones

didácticas según el Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas y Godino, 2010), se realizó el

análisis de las interacciones, configuración por configuración. Para lo anterior, se tomó la

transcripción y se fue haciendo la interpretación de lo que allí se plasmó, generando de esta

manera la tabla que aparece a continuación. En la parte izquierda aparecen las abreviaturas,

las cuales se tomaron con primera letra mayúscula para todas aquellas en que interviene el

profesor y en minúscula cuando es una acción que tiene que ver con el estudiante.

Tabla 17. Interacciones primera clase.

AB

Descripción de las

Interacciones

Comunicativas

Configuración Didáctica

Total C1

1-

26

C2

27-

64

C3

65-

93

C4

94-

111

C5

112-

130

C6

131-

186

C7

187-

270

C8

271-

272

A Aclaración del docente,

explicación corta.

3 9 5 3 3 8 14 45

Ag Agradecimiento del

docente a un estudiante

1 1

Ant Aclaración no temática

por parte del profesor

1 2 1 4

Ap Aprobación de la

respuesta dada por el

estudiante

2 2 2 1 7

Ar Autorespuesta del

profesor, es decir pregunta

y responde su pregunta.

1 3 3 1 1 1 10

D Dictado que hace el

profesor a los estudiantes

de problemas o ejercicios.

3 1 4

de Discusión entre los

estudiantes.

1 3 4

E Explicación amplia del

profesor

2 7 5 14

ia Intervención argumentada

que hace el estudiante

2 2 4

ic

Intervención corta del

estudiante, sin que se la

haya solicitado el docente.

2 5 2 1 5 6 21

O El profesor ordena la

ejecución de una acción

2 2 4

Pa Pregunta argumentada por

parte del profesor

1 1

Pc Pregunta corta del

profesor dirigida a todo el

grupo

7 16 9 3 7 15 19 77


pc

Pregunta corta por parte

del estudiante por

iniciativa propia.

2 1 1 4 4 12

Pcd Pregunta corta del

profesor y directa

3 3

Pm Preguntas múltiples por

parte del profesor,

3 3 2 1 2 6 17

R Repetición del profesor de

lo que expresa el

estudiante

3 1 1 1 5 11

Ra Respuesta argumentada

del profesor a una

pregunta de un estudiante

1 1

Rc Respuesta corta del

profesor ante una pregunta

del estudiante

1 1 1 3

rgc Respuesta en coro de

varios estudiantes,

respuesta general corta.

2 3 2 7

ria Respuesta individual

argumentada del

estudiante

2 1 2 2 1 1 9

ric Respuesta del estudiante,

individual y corta

7 14 3 3 6 15 24 73

Sp Silencio prolongado (más

de un minuto)

1 1 1 3

Total 26 59 38 17 24 68 93 8 335 Fuente: elaboración propia.

Se analizó cada configuración, teniendo como base la trascripción de la primera clase

de Fernando (TR1F). Se resalta que todas las configuraciones fueron de tipo magistral

(Godino, Contreras y Font, 2006).

Configuración 1. (Duración 4:16 minutos). Las interacciones que más se destacan son

las preguntas cortas del profesor, dirigidas a todo el grupo y acorde con lo anterior las

respuestas cortas de los estudiantes en forma individual. Aunque menos relevantes se

encuentran las aclaraciones cortas del docente ante las tareas y también las preguntas cortas

del profesor, pero indicando de manera directa qué estudiante debía responder la pregunta.

El orden en que sucedieron las interacciones se presenta en la siguiente tabla.


Tabla 18. Orden de interacción comunicativa de la primera configuración.


Por espacio, se utilizará la siguiente notación para mostrar el orden de las interacciones

comunicativas: Pcd, O, Pc, O, A, Pc, ric, R, Pc, Ar, A, Pcd, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, R, Pcd,

ric, Pc, ric, R, Pc, ric. Al ver el flujo de las interacciones se percibe que la clase se mueve

entre criterios centrados en el profesor, propio de una interacción de tipo magistral (Godino,

Contreras y Font, 2006).

Configuración 2. (Duración 6:1 minutos). Al igual que en la anterior configuración, las

interacciones que más se destacan son las preguntas cortas del profesor dirigidas a todo el

grupo y las respuestas cortas de los estudiantes en forma individual; también se resaltan las

aclaraciones cortas del docente ante las tareas:

Líneas de

Transcrip

ción

Pregunta

corta

dirigida del

profesor

Orden

del

profesor

Preguna

corta

del

profesor

Aclaración

del

profesor

Respuesta

individual

corta del

estudiante

Repetición

de lo dicho

por el

estudiante

Autorespuesta

del profesor

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

T 3 2 7 3 7 3 1


Pm, ric, Pc, ric, pa, ric, ric, R, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, Pc, ric, Pm, ric, Pc, ric,

A, Pc, Ar, ic, Pc, ria, Ap, Ant, Pc, Ar, A, Pc, ric, Pc, rgc, A, ic, A, Pm, ria, A, Pc, ric, Ap, A,

Pc, pc, Rc, pc, rgc, Pc, ric, Pc, ric, A.

Configuración 3. (Duración 8:29 minutos). Continúan enfatizándose las preguntas

cortas del profesor dirigidas a todo el grupo y las aclaraciones cortas del profesor, sin

embargo, surge la categoría: las intervenciones cortas de los estudiantes sin que hayan sido

solicitadas por el profesor; también, y aunque en menor escala aparecen: la autorespuesta del

profesor, preguntas múltiples del profesor, respuesta corta en coro de varios estudiantes,

respuesta corta individual de los estudiantes. Orden de interacciones:

A, Pc, ric, Pc, ria, Pc, Sp, Pm, rgc, Pm, rgc, A, Pc, rgc, A, ic, Ap, Pc, Ar, ic, Ap, Pc, Ar, Pc,

ric, Pc, ric, R, ic, Pm, pc, Ra, ic, A, Pc, Ar, ic, A.

En el siguiente fragmento se presentan las líneas de trascripción [91] a [93] (TR1F),

para mostrar un caso de efecto Topaze (Brousseau, 1986). El profesor Fernando para facilitar

la comprensión del término ¨superior¨ se aleja del significado del contexto en que se está

trabajando.

[91] Profesor Máximos y mínimos, aquí ya tanto la primera como la segunda derivada me van a servir

para…poder hacer la gráfica, la gráfica de una función. Si retomamos anteriormente en

geometría ¿qué hacíamos? Hallábamos intersectos, simetría y extensión y graficábamos,

entonces aquí esto nos va a permitir hallar asíntotas, (…) y entonces ¿qué es lo que

decimos? Me adelanté con la segunda…derivada de esa función, o sea que puedo estar

hablando de derivadas de orden… ¿si ya estoy hallando dos? Y puedo seguir derivando

esa función

[92] Alumno 2 No se entiende.

[93]Profesor Derivadas de orden…! noo¡ o sea que cada vez que ustedes van elevando…cuando

ustedes están en primero de primaria, después segundo, después tercero, y después hasta

once, entonces derivadas de orden su…perior[sic].

A medida que voy aumentando.

Configuración 4. (Duración 4:07 minutos). Con una frecuencia mínima aparecen las

preguntas cortas del docente, las aclaraciones cortas del docente y las respuestas cortas del

estudiante. Algo relevante es que aparecen las respuestas individuales argumentadas de los

estudiantes, también las preguntas múltiples del profesor e intervenciones individuales de

los estudiantes que no han sido requeridas por el docente:

Pm, ria, Pm, ria, Pc, ric, A, ic, ic, Pc, ric, A, Pc, ric, A, pc, Rc.


Configuración 5. (Duración 6:81 minutos). Nuevamente sobresalen las preguntas

cortas del profesor y las respuestas cortas individuales de los estudiantes. También se

destacan las aclaraciones cortas del profesor, pero especialmente se destaca la explicación

amplia del profesor y las respuestas argumentadas individuales de los estudiantes:

Pc, Sp, Pc, ric, Pm, ric, A, ric, Pc, ric, E, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ria, A, ic, ria, Pc, Ar, E.

Configuración 6. (Duración 20:13 minutos). Priman las preguntas cortas del profesor

y las respuestas cortas individuales de los estudiantes. Adicionalmente las aclaraciones

cortas del profesor al igual que las explicaciones amplias del profesor. Orden de las

interacciones:

O, pc, O, ric, Ap, ic, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, R, ric, Ap, Pc, ric, ric, A, Pc, Sp,

E, Pc, ric, Pc, ria, Pc, ric, Pm, ric, A, Pc, ric, E, ic, Pc, ia, Pc, ric, Ag, A, Pm, pc, A, De, ic,

E, ic, A, pc, Pc, Ar, E, ic, A, ia, E, Pc, ric, E, Pc, ric, E, pc.

Configuración 7. (Duración 14:24 minutos). En su orden aparecen respuestas cortas

individuales de los estudiantes, preguntas cortas del profesor, aclaraciones cortas del

profesor, intervenciones cortas del estudiante sin que lo haya pedido el profesor y

explicación amplia del docente.

D, pc, D, pc, D, Pm, ria, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Ap, A, Pc, ric, R, Pc, ric, ric,

A, Pc, rgc, ric, Pc, rgc, A, ic, E, ia, E, Pm, ric, ric, Pm, ric, ric, Pm, pc, A, Pc, ric. A, ic, R,

Pc, ric, A, Pc, ric, A, ic, R, A, Pc, ric, E, Pc, ric, A, Pc, ric, Pm, Ar, ic, E, Pc, pc, Rc, Pc, ric,

Pm, ric, ric, E, Pc, ric, R, De, A, Pc, ric, R, Ant, ia, Ant, ic, Pc, ric, A, De, ic, A, De.

Configuración 8. (Duración 1 minuto). Se priorizan, preguntas múltiples por parte del

profesor, en menor nivel, aclaraciones no temáticas del docente y dictado de ejercicios o

problemas que hace igualmente el docente:

Pm, D, Ant.

La clase en general tuvo una duración de 1:04:40, con 8 configuraciones didácticas,

que caracterizan la clase magistral (Font, Planas y Godino, 2010). Las interacciones de

mayor frecuencia en su orden fueron: preguntas cortas del docente, respuestas cortas

individuales de los estudiantes, aclaración corta del docente, intervención corta del estudiante


sin que la haya solicitado el docente, explicación amplia del profesor y autorespuestas del

docente.

En la siguiente tabla se muestra el tiempo utilizado tanto por el docente como por el

estudiante en las diferentes configuraciones.

Tabla 19. Participación del estudiante respecto al tiempo en la primera clase.

Configuración Tiempo (minutos)

Alumno Docente Total

Configuración 1 2:11 2:05 4:16








Total 10:49 53:51 1:04:40 Fuente: elaboración propia.

La configuración uno es la que presenta mayor participación de los estudiantes con un

51.17% del tiempo, debido a que en esta configuración fue la única en que un estudiante pasó al

tablero a escribir y fue justamente el desarrollo de la tarea que tenía planteada de la sesión de clase

anterior. Le sigue la configuración dos con un 21.87%, y la configuración siete con 21.76%. La

quinta configuración fue la de menor participación del estudiantado con 5.74% del tiempo total

de la configuración. En general en la clase la participación de los estudiantes fue de un 13,71%,

lo cual indica que la mayor participación la tiene el docente. Este criterio se corresponde con una

clase tipo tradicional-tecnológica.

Segunda clase.

La segunda clase del profesor Fernando también tuvo 8 configuraciones didácticas. A

continuación, en la tabla 20, se plantean las interacciones que se presentaron en cada

configuración.


Tabla 20. Interacciones segunda clase.

Abreviatrura DESCRIPCIÓN

CONFIGURACIÓN DIDÁCTICA

Total C1

1-8

C2

9-

15

C3

16-

17

C4

18-

20

C5

21-

22

C6

23-

32

C7

33-

62

C8

63-

67

A Aclaración del

docente, explicación

corta.

3 1 2 3 2 3 1 15

Ant Aclaración no

temática por parte del

profesor

1 1 1 1 4

Ap Aprobación de la


estudiante

1 1

Ar Autorespuesta del

profesor, es decir

pregunta y responde

su pregunta.

1 1 2 1 1 6

D Dictado que hace el

profesor a los

estudiantes de

problemas o

ejercicios.

1 1 1 1 1 2 1 2 10

E Explicación amplia

del profesor

2 2 1 1 1 3 3 1 14

ic

Intervención corta del

estudiante, sin que se

la haya solicitado el

docente.

2 2

int Intervención no

temática del

estudiante

1 1


ejecución de una

acción

1 1 1 1 1 5

Pa Pregunta argumentada

por parte del profesor

1 2 3

Pc Pregunta corta del

profesor dirigida a

todo el grupo

2 2 2 2 3 9 8 6 34

pc

Pregunta corta por

parte del estudiante

por iniciativa propia.

1 1 1 2 2 2 9

Pcd Pregunta corta del

profesor y directa

1 1

R Repetición del

profesor de lo que

expresa el estudiante

1 2 3

Ra Respuesta

argumentada del

profesor a una

pregunta de un

estudiante

1 1


Rc Respuesta corta del

profesor ante una

pregunta del

estudiante

1 1 2 2 6


argumentada del

estudiante

1 1

ric Respuesta del

estudiante, individual

y corta

2 1 1 2 9 8 6 29

Sc Silencio corto de

menos de un minuto

1 1 1 3

Sp Silencio prolongado

(más de un minuto)

1 1 1 1 4

Total 12 13 11 9 14 35 36 22 152 Fuente: elaboración propia.

Se va a realizar también un análisis por configuración para luego concluir sobre la

clase, la base es la trascripción de ésta (TR2F). Al igual que la anterior clase, todas las

configuraciones son de tipo magistral, (Godino, Contreras y Font, 2006).

Tabla 21. Interacciones por tiempo y configuración de la segunda clase.

Configuración Tiempo

(Minutos) Orden De Interacción Total

Configuración 1 3:58 O, pc, Rc, Ant, D, E, Pc, ric, E, Pc, ric, Sc 12

Configuración 2 8:41 Ant, D, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, int, E, pc, A 13

Configuración 3 12:16 O, D, A, Pc, Ar, Pc, ric, E, Sp, pc, Rc 11

Configuración 4 6:39 D, A, E, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Sp 9

Configuración 5 13:52 O, D, Sc, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Sp 14

Configuración 6 21:57 Ant, D, Pc, Ar, Pc, ric, Pc, ric, O, E, Pc, ric, Pa, ria, R, pc, Pcd,

ric, A, D, E, Pc, ric, E, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, pc, A,Sc.

35

Configuración 7 13:08 D, Pa, ric, Pa, Pc, ric, A, ic, A, Sp, ic, Ap, pc, Rc, E, Pc, ric, R,

A, Pc, Rc, E, Pc, ric, R, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, E, pc, Ra

36

Configuración 8 9:18 Ant, D, O, D, pc, Rc, pc, Rc, E, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric,

Pc, ric, Pc, ric, A.

22


La clase en general tuvo una duración de 1:29:49, de 67 líneas de interacción y 8

configuraciones didácticas, todas de tipo magistral (Font, Planas y Godino, 2010). Las

interacciones de mayor frecuencia en su orden fueron: preguntas cortas del docente, respuestas

cortas individuales de los estudiantes, aclaración y explicación corta del docente, explicación

amplia del docente, y dictado de ejercicios o problemas por parte del docente.




Tabla 22. Participación del estudiante respecto al tiempo en la segunda clase.

CONFIGURACIÓN ALUMNO DOCENTE TOTAL

Configuración 1 0,07 3,51 3,58








Total 11,55 1.17,54 1.29,49


Esta vez no había tarea propuesta por lo cual el profesor inició de una vez con la temática.

La séptima configuración fue en la que mayor participación tuvieron los estudiantes con un

39.21% del tiempo total de la configuración, el profesor dio un tiempo para que los estudiantes

trabajaran en sus cuadernos. Le sigue la cuarta configuración con un 26.07%, y la quinta

configuración con 11.42%. La tercera configuración fue la de menor participación del

estudiantado con 2.04% del tiempo total. En general en la clase la participación de los estudiantes

fue de un 13,27%, lo cual indica el dominio de participación que tiene el docente. Este criterio se

corresponde con una clase tipo tradicional-tecnológica.

Patrones de interacción de las clases iniciales.

Se presenta a continuación los patrones de interacción comunicativa que se

identificaron en el desarrollo de las clases del profesor, con la respectiva frecuencia:

Tabla 23. Análisis de interacción de las clases iniciales.

AB Descripción

Clase

Total

1 2

A Aclaración del docente, explicación corta. 45 15 60

Ag Agradecimiento del docente a un estudiante 1 0 1

Ant Aclaración no temática por parte del profesor 4 4 8

Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 7 1 8

Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y responde su

pregunta.

10 6 16

D Dictado que hace el profesor a los estudiantes de problemas o

ejercicios.

4 10 14

De Discusión entre los estudiantes. 4 0 4

E Explicación amplia del profesor 14 14 28


ia Intervención argumentada que hace el estudiante 4 0 4

ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado el

docente.

21 2 23

int Intervención no temática del estudiante 0 1 1

O El profesor ordena la ejecución de una acción 4 5 9

Pa Pregunta argumentada por parte del profesor 1 3 4

Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 77 34 111

Pc Pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia. 12 9 21

Pcd Pregunta corta del profesor y directa 3 1 4

Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 17 0 17

R Repetición del profesor de lo que expresa el estudiante 11 3 14

Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un estudiante 1 1 2

Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del estudiante 3 6 9

rgc Respuesta en coro de varios estudiantes, respuesta general corta. 7 0 7

ria Respuesta individual argumentada del estudiante 9 1 10

ric Respuesta del estudiante, individual y corta 73 29 102

Sc Silencio corto de menos de un minuto 0 3 3

Sp Silencio prolongado (más de un minuto) 3 4 7

Total 335 152 487 Fuente: elaboración propia.

Se destacan como las interacciones comunicativas fundamentales de las clases del

profesor Fernando, la pregunta corta por parte del docente, al igual que la respuesta

individual corta por parte del estudiante, las aclaraciones y explicaciones cortas del docente,

la explicación amplia del docente y la autorespuesta por parte del mismo. Lo anterior y dado

que las interacciones básicamente fueron generadas por el docente, permitió concluir que la

clase del profesor es de tipo tradicional-tecnológico.

A continuación, se presenta la información más relevante con relación al tiempo de

ambas clases:

Tabla 24. Participación del estudiante respecto del tiempo en las dos clases.

Tiempo

(minutos)

Clase 1

Porcentaje

Participa de

estudia

Tiempo

(minutos)

Clase 2

Porcentaje

Participa de

estudia

Configuración 1 4:16 51.17% 3:58 2.94%

Configuración 2 6:10 21.89% 8:41 2.3%

Configuración 3 7:49 13.65% 12:16 2.04%

Configuración 4 4;07 16.60% 6:39 26.07%

Configuración 5 6:41 5.74% 13:52 11.42%

Configuración 6 20:13 8,74% 21:57 11.31%

Configuración 7 14:24 21.76% 13:08 39.21%

Configuración 8 1:00 1.64% 9:18 4.30%

Total 1:04:40 13.71% 1:29:49 13.27%



Como se puede observar el nivel de participación de los estudiantes en las dos clases

es demasiado bajo, esto se explica a partir de las configuraciones, en la primera clase la

configuración uno fue la de mayor participación por parte de los estudiantes, muestra que

los estudiantes intervinieron en el desarrollo de la tarea, y en la segunda clase, configuración

siete, el profesor dio oportunidad de que los estudiantes trabajaran individualmente o en

grupos no formales, un ejercicio que había propuesto en el tablero.

De lo anterior se puede inferir lo siguiente:

Las dos clases del docente se distribuyeron en 8 configuraciones didácticas, lo cual

muestra su tendencia a realizar un desarrollo temático demasiado ambicioso, son muchas

tareas para una sesión de clase. La totalidad de las configuraciones fueron catalogadas de

tipo magistral (Godino, Contreras y Font, 2006), lo cual implica una clase de tipo tradicional-

tecnológica.

En la primera clase las interacciones más frecuentes del docente fueron: preguntas

cortas del docente, respuestas cortas individuales de los estudiantes, aclaración corta del

docente, intervención corta del estudiante sin que la haya solicitado el docente, explicación

amplia del profesor, autorespuestas del docente. En la segunda clase las interacciones más

destacadas del docente fueron: preguntas cortas del docente, respuestas cortas individuales de

los estudiantes, aclaración y explicación corta del docente, explicación amplia del docente, y

dictado de ejercicios o problemas por parte del docente. Se determinó una identificación

amplia de los patrones de interacción comunicativa del docente Fernando, los cuales se

plasman en la tabla 23.

Se identificaron como las acciones de interacción comunicativa clásicas del docente,

las siguientes: la pregunta corta por parte del docente, al igual que la respuesta individual

corta por parte del estudiante, las aclaraciones y explicaciones cortas del docente, la

explicación amplia del docente y la autorespuesta por parte del mismo. Lo anterior

nuevamente lleva a pensar que la clase es de tipo tradicional-tecnológica.


El promedio de participación de los estudiantes en las dos clases fue de 13.49%,

resalta el protagonismo del docente en el desarrollo de las mismas, es decir se trata de un

aula absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), lo cual es propio de una metodología tradicional

- tecnológica.

Análisis de la comunicación en las clases iniciales.

Primera clase.

En cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, esta clase tuvo una parte del

modelo sistémico, en el sentido de la retroalimentación (Bertalanffy, 1950), el profesor

buscó desarrollar varios ejercicios del mismo tipo con el fin de retroalimentar el proceso de

aplicación de la regla de la cadena para derivadas (ver análisis de la clase); pero el modelo

predominante fue el modelo lineal o matemático (Shanon, 1949; cit. Dins Winkin, 1994), la

clase se basó en la transmisión de contenidos, totalmente unidireccional, donde el profesor

fue el protagonista del proceso, el que propuso las tareas y las desarrolló con intervenciones

cortas de los estudiantes. Lo anterior se pudo evidenciar en toda la clase, se presenta como

ejemplo, las líneas de transcripción [77] a [81].

[77] P Seis x más derivada del primer factor y´=(2x3-

4x)(6x)+

[78] A Seis x al cuadrado menos cuatro.

[79] P Seis x al cuadrado menos cuatro por... y ahora

¿qué es lo que debo hacer ahí?

Entonces esto sería seis por dos …bueno que

pasa con las tablas de multiplicar, dos por seis

… más

y´=(2x3-

4x)(6x)+(6x2-4)

(3x2-2)

y´=12x3-24x2 +

La última parte la

escribe, pero no la

dice, aunque es

pronunciada en coro

por los estudiantes.

Los alumnos

murmuran, pero no

se entiende

La profesora

multiplica mal los

exponentes.

Los estudiantes

contestan en coro

[80] A4 Ahí es dos x a la cuatro

[81] P Gracias A4, y ahora tres por seis… seis y

dos…haber aquí sería…seis por dos ¿cuánto me

daría? ..x cuadrado menos doce x cuadrado

menos ocho.

y´=12x4-24x2

+18x4-12x2-

12x2+8

Corrige la expresión

y continúa.


Haber seis por tres …x cuarta, seis por dos

…doce y cuatro por tres otra vez…doce

cuadrados. ¿Ahora qué es lo que hago?

Señala la expresión

con el dedo índice.

También, aunque en mínima parte se tuvo en cuenta el modelo orquestal en lo referente

a la regulación, pues la comunicación no puede existir sino está basada en unas normas, las

cuales permiten el equilibrio del sistema (Marc y Picard, 1992); por ejemplo, algunas normas

que se pueden inferir de [77] a [81]: los alumnos pueden sugerir correcciones a lo ejecutado

en el tablero; el profesor habla y los estudiantes lo escuchan.

Existen diversas clasificaciones de la comunicación. De acuerdo a la participación,

la comunicación fue unilateral, se desarrolló en una dirección, el protagonista fue el docente,

no se dan cambios de roles. Colectiva y abierta, el docente se dirigió a un público que en

este caso fueron los estudiantes. Lingüística, el medio natural fue el lenguaje, apoyado por

códigos paralingüísticos; también fue extralingüística, se emplearon códigos distintos a la

lengua natural, como la simbología matemática de la derivada y otros símbolos. Fue formal

ya que se sujetó a un patrón de clase definido. Teniendo en cuenta el canal, la comunicación

fue audio visual, el docente hablaba, pero iba escribiendo el proceso en el tablero; igualmente

fue directa, pues implicaba presencialidad, se daba por canales simples. Vertical, se dio de

docente a estudiante, en una forma poco participativa del estudiante (Niño, 1998). Lo

anterior es generalidad en la clase de Fernando, se presenta una secuencia en donde se

verifica lo planteado.

[96] P Y entonces… si quiero derivarla, ¿cuál sería la forma

de derivarla? La expresamos primero ¿Cómo?

[97] A3 A la un medio, como a la un medio. Cuatro x al cubo

menos cinco x más dos todo elevado a la un medio. f(x)=(4𝑥3 − 5𝑥 +

2)1

2

El profesor

va

escribiendo

en el

tablero.

[98] P Repite a la un medio y ya teniéndola elevada a la un

medio, ahora ¿qué proceso sigo? Aplico la regla de

la…entonces cómo me queda…¿me dicen por favor?

f(x)=

[99] A2 Un medio factor de cuatro x al cubo menos cinco x

más dos elevado a la menos un medio f´(x)=

1

2(4𝑥3 − 5𝑥 +

2)−1

2

[100] P Por

[101] A2 Doce x al cuadrado menos cinco f´(x)= 1

2(4𝑥3 − 5𝑥 +

2)−1

2 (12𝑥2 − 5)

[102] P Y…me quedaría así porque no se puede reducir,

vamos a dejarla así.


Entre otros aspectos claves en el proyecto y que se da importancia a la semiótica, es

en el manejo de los signos. Si se consideran los signos desde la propuesta de Peirce, aunque

presenta una gama bastante amplia, los más usuales son el símbolo, el ícono y el índice. Para

esta clase se utilizaron símbolos, el interpretante del fundamento, signos cuya relación con

su fundamento o con la realidad es totalmente arbitraria (Peirce, 1974); por ejemplo, en la

línea de transcripción [79], se encuentra la expresión de la derivada

𝑦´ = (2𝑥3 − 4𝑥)(6𝑥) + (6𝑥2 − 4) (3𝑥2 − 2).

Para Saussure (1995) la lengua es el principal sistema de signos, los consideraba como

la unión de dos elementos: el concepto (significado) y la imagen acústica asociada

(significante). En esta clase se utilizaron símbolos ubicados en un contexto y en relación

con otros símbolos. Es decir, el profesor siempre buscó utilizar símbolos con significado,

tal es el caso de la expresión de derivada en [79], ya que estos símbolos son comprensibles

para todos los estudiantes de la clase.

Los códigos entendidos como grupos de signos organizados para la recepción y

emisión de mensajes regidos por reglas, que se configuran en sistemas de comunicación, y

con respecto a la clasificación de Giraud (1971), se tiene que en la clase se utilizaron los

códigos lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos como sustitutos del

lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales, ver líneas [96] a [102].

Para Ponte et al. (2007) la comunicación matemática puede ser abordada desde tres

enfoques: como medio de control, como objetivo curricular y para promover aprendizajes.

Para la clase se consideró inicialmente la comunicación como medio de control y como

medio para percibir el avance o las dificultades de los estudiantes. El profesor utilizó la

comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes, se presenta un aparte de la

trascripción de la clase de Fernando.

[26] P Eee. Qué fue lo que dijiste primero,

una función-------

Hace la señal con la mano al

estudiante de que continúe

[27] A3 Compuesta

[28] P Y será que a una función compuesta

yo puedo aplicarle las mismas

reglas de derivación que he venido

trabajando

Con las manos señala el

tablero


[29] A (indefinido) No Contestan en coro

[30] A5 (Andrés) Pues... se aplican, tienen que

aplicarse

Lo dice en un tono fuerte

con seguridad

[31] P Pues se aplican aquí ya me dijo…

Andrés.

Habría que aplicar la regla de la…

Señala con el dedo índice

hacia el estudiante

[32] A Cadena.

El contrato didáctico es asumido como el conjunto de comportamientos del profesor

que es esperado por los alumnos y el conjunto de comportamientos de los alumnos que es

esperado por el profesor (Brousseau, 1988). Desde esa perspectiva en la clase se pueden

identificar diferentes apartes donde sobresalen normas de la clase, por ejemplo:

[5] P Pero háblame…

El profesor hace este

comentario a Hugo mientras

éste escribe en la pizarra.

Cuando Hugo termina le

entrega el marcador al profesor.

[6] P Recordamos que la función era Y’

= 3 x2+4x -5 (lo dice con

palabras) y que debemos hallar la

ecuación de la tangente que pasa

por el punto uno coma dos…De

ahí cuál fue el proceso que se

hizo… Se calculó su primera

derivada…Derivada qué significa

Edy?... Diego

Hace el recuento de lo que hizo

el estudiante, pidiendo

participación de otro.

Con los gestos va señalando los

diferentes pasos que ha escrito

Hugo en la pizarra

Edy no contesta

[7] A2 La pendiente

Se infieren dos normas del contrato didáctico de la sección de clase, la primera que la

persona que esté escribiendo en el tablero debe hablar y otra que el estudiante debe responder

a las preguntas del profesor. Como este caso hay varios dentro de la sesión de clase y se

encuentran en el análisis de la misma.

En cuanto a los modos de comunicación, Brendefur y Frykholm (2000) hacen énfasis

en que para poder acceder al conocimiento matemático es necesario tener en cuenta las

diversas formas de comunicación tanto verbales como escritas que permiten la interacción

en el aula; plantean cuatro categorías generales: Comunicación unidireccional, contributiva,

reflexiva e instructiva.


En la siguiente tabla se presentan las configuraciones didácticas (Godino, 2011) con

las interacciones y de acuerdo a ellas a qué modo de comunicación pertenecen.

Tabla 25. Modos de comunicación en la primera clase.

Configuración Interacciones Modos de

Comunicación

1 Pcd, O, Pc, O, A, Pc, ric, R, Pc, Ar, A, Pcd, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, R,

Pcd, ric, Pc, ric, R, Pc, ric.

Unidireccional

2 Pm, ric, Pc, ric, pa, ric, ric, R, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, Pc,

ric, Pm, ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, ic, Pc, ria, Ap, Ant, Pc, Ar, A, Pc, ric,

Pc, rgc, A, ic, A, Pm, ria, A, Pc, ric, Ap, A, Pc, pc, Rc, pc, rgc, Pc, ric,

Pc, ric, A.

Unidireccional

3 A, Pc, ric, Pc, ria, Pc, Sp, Pm, rgc, Pm, rgc, A, Pc, rgc, A, ic, Ap, Pc,

Ar, ic, Ap, Pc, Ar, Pc, ric, Pc, ric, R, ic, Pm, pc, Ra, ic, A, Pc, Ar, ic, A.

Unidireccional

4 Pm, ria, Pm, ria, Pc, ric, A, ic, ic, Pc, ric, A, Pc, ric, A, pc, Rc Unidireccional

5 Pc, Sp, Pc, ric, Pm, ric, A, ric, Pc, ric, E, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ria, A,

ic, ria, Pc, Ar, E.

Unidireccional

6 O, pc, O, ric, Ap, ic, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, R, ric, Ap, Pc,

ric, ric, A, Pc, Sp, E, Pc, ric, Pc, ria, Pc, ric, Pm, ric, A, Pc, ric, E, ic,

Pc, ia, Pc, ric, Ag, A, Pm, pc, A, De, ic, E, ic, A, pc, Pc, Ar, E, ic, A, ia,

E, Pc, ric, E, Pc, ric, E, pc

Unidireccional

7 D, pc, D, pc, D, Pm, ria, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Ap, A, Pc,

ric, R, Pc, ric, ric, A, Pc, rgc, ric, Pc, rgc, A, ic, E, ia, E, Pm, ric, ric,

Pm, ric, ric, Pm, pc, A, Pc, ric. A, ic, R, Pc, ric, A, Pc, ric, A, ic, R, A,

Pc, ric, E, Pc, ric, A, Pc, ric, Pm, Ar, ic, E, Pc, pc, Rc, Pc, ric, Pm, ric,

ric, E, Pc, ric, R, De, A, Pc, ric, R, Ant, ia, Ant, ic, Pc, ric, A, De, ic, A,

De

Unidireccional

8 D, Ant Unidireccional


Lo que se puede deducir es que la clase es expositiva, con muy poca participación de

los estudiantes (13.71%), cada configuración resultó del modo unidireccional, es decir, en

general, esta clase del docente es de una comunicación unidireccional.

Segunda clase.

Esta clase resultó muy similar a la anterior, en cuanto a los modelos explicativos de

la comunicación, el modelo predominante es el modelo lineal o matemático (Shanon, 1949;

cit. Dins Winkin, 1994), la clase se caracterizó por la transmisión de contenidos, fue

unidireccional, donde el profesor era el protagonista y el que proponía las tareas, las cuales

desarrolló con intervenciones cortas de los estudiantes. También tuvo una parte del modelo

sistémico, en el sentido de la retroalimentación (Bertalanffy, 1950), desarrolló varios


problemas de tasas relacionadas, con el mismo patrón, para retroalimentar el proceso de

aplicación de la regla de la cadena para derivadas en problemas de tasas relacionadas.

También, aunque en mínima parte se tuvo en cuenta el modelo orquestal en lo referente a la

regulación, pues la comunicación no puede existir sino está basada en unas normas, que

garantizan el equilibrio del sistema (Marc y Picard, 1992), por ejemplo, en el análisis de la

segunda clase del docente Fernando, en la primera configuración se encuentran las siguientes

normas: el profesor es el que define cómo se debe desarrollar la clase; el profesor propone

los ejercicios a desarrollar; el profesor es el que desarrolla el ejercicio con pequeños apoyos

de los estudiantes; siempre que se termine un ejercicio, el profesor debe hacer un recuento.

Al terminar el desarrollo del ejercicio o problema, el profesor deja un espacio de tiempo para

que los estudiantes terminen de copiar para estar todos atentos a la siguiente actividad. Otras

normas más se encuentran en el análisis de la clase y en las diferentes configuraciones.

En lo referente a la clasificación de la comunicación propuesta por Niño (1998, p 41,

42), de acuerdo a la participación, la comunicación fue unilateral, se desarrolló en una

dirección y el protagonismo lo tuvo el docente. Fue colectiva y abierta, el docente se dirigió

a un público, sus estudiantes. Lingüística, el medio natural fue el lenguaje, apoyado por

códigos paralingüísticos, también fue extralingüística, se emplearon códigos distintos a la

lengua natural, como la simbología matemática. Formal, se sujeta a una estructura de clase

definida. Teniendo en cuenta el canal, la comunicación fue audio visual, el docente hablaba,

pero iba escribiendo el proceso en el tablero ayudándose con diagramas o gráficas;

igualmente fue directa, pues implica presencialidad. Vertical, ya que se dió de docente a

estudiante, en una forma poco participativa del estudiante (Niño, 1998). En las siguientes

líneas de transcripción de la clase, se pueden identificar los aspectos mencionados.

[16]

P Hagamos el siguiente ejercicio.

Se bombea aire en un globo esférico a razón de

4.5cm3 por minuto. Hallar la razón de cambio del

radio cuando este es de 2cm. Entonces analizamos

el ejercicio.

Miremos que estén en las mismas unidades de

centímetros. Que conocemos, es un globo

esférico, entonces nos estamos refiriendo a una

esfera. Que sabemos para calcular el volumen de

la esfera…

Cuál es la incógnita de este caso…

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 4.5

𝑐𝑚3

𝑚𝑖𝑛

r=2cm

v=4

3πr3

𝑑𝑣

𝑑𝑟=?

r=2cm

Analiza el

ejercicio

teniendo en

cuenta el

enunciado.


Entonces aquí tenemos la ecuación que es, los

datos que nos dan, tenemos identificada la

ecuación, nuestra incógnita que nos están pidiendo

la razón de cambio, a quien recurrimos a regla de

la cadena y derivación. Entonces aquí la derivada

nos quedaría…

La razón a la que está cambiando ese radio es de 9

32π

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 4πr2

𝑑𝑟

𝑑𝑡

1/4πr2 * 𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑𝑟

𝑑𝑡

1/4π(2cm)2*4.5cm3=𝑑𝑟

𝑑𝑡

1/4π(4cm2)* 9

2

𝑐𝑚3

𝑚=

𝑑𝑟

𝑑𝑡

9

32π

𝑐𝑚

𝑚=

𝑑𝑟

𝑑𝑡

[17] E4 Un estudiante

llama al

profesor para

que le solucione

una duda que

tiene con

respecto al

ejercicio

[18]

P El siguiente ejercicio dice. Un avión vuela a 6

millas de altitud en línea recta hacia la posición de

un radar. Sea s la distancia en millas entre el avión

y el radar. Si s está decreciendo a razón de 400

millas por hora cuando s es 10 millas. ¿Cuál es la

velocidad del avión?

Para hallar la altura recordemos el teorema de

Pitágoras.

Ya tengo la expresión en distancia, que datos nos

dan, me están diciendo que la distancia…

los datos que nos están dando que entre el avión y

el radar está decreciendo a 400 millas. Y me

preguntan que cual es la velocidad. La velocidad

es despejar x…

derivamos implícitamente…

y la derivada de 36 es cero, no conozco s pero si

se puede reemplazar esta expresión, entonces…

La pregunta era cuál es la velocidad del avión es

de -500 millas por hora, ese signo negativo a

que se refiere, es que está decreciendo. Porque la

rapidez acordémonos que hablamos de dos

términos, velocidad y rapidez. La rapidez es

cuando es del recorrido que lleva y su velocidad

está decreciendo es de 500 millas por hora ese

seria del ejercicio.

s= distancia en millas

radar y el avión

s2=x2+(6)2

s2=x2+36 𝑑𝑥

𝑑𝑡= −400

𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠

ℎ

S=10millas

s2=x2+36

2s𝑑𝑠

𝑑𝑡=2x

𝑑𝑥

𝑑𝑡

(10millas)2=2x𝑑𝑥

𝑑𝑡

100-36=x2

64=x2

x=√64

x=+

−8

2𝑠

2𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

10𝑚

8𝑚(−400

𝑚

ℎ) =

𝑑𝑥

𝑑𝑡

-500𝑚

ℎ=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

Hace un

bosquejo del

ejercicio,

teniendo en

cuenta el radar y

la distancia del

avión, haciendo

un triángulo.

[19]

Pausa de

silencio donde

los alumnos

copian el

problema y

algunos

aprovechan para

hablar con los

compañeros

[20]

A1 Consulta al

profesor el cual


lo escucha y de

acuerdo a ello

plantea lo

siguiente

Para esta clase se utilizaron símbolos, el interpretante del fundamento [18]; pero

también se plantearon íconos, donde hay una semejanza entre el signo y la realidad (Peirce,

1974), por ejemplo, el dibujo del globo. El docente pretendió usar símbolos con

significado, se pudo ver este aspecto durante toda la clase, en especial en las líneas de

transcripción [16] a [20] (Saussure, 1995).

Se manejaron los códigos lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos

como sustitutos del lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971), se

puede evidenciar en la secuencia de clase mencionada anteriormente.

El profesor recurrió a la comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes

(Ponte et al, 2007). Se presenta un aparte de la trascripción de la segunda clase de

Fernando, donde se destaca que el profesor los mantiene ocupados para evitar la

indisciplina.

[1] P Para poder avanzar en nuestro tema tenemos el

siguiente problema.

Si x, y con funciones

derivables….

El profesor

empieza a

escribir el

enunciado

de un

problema

[2] E1 ¿Profe eso qué es?

[3] P Un problema que vamos a solucionar que teníamos

que trabajar.

Haber vamos a dividir la clase en dos partes, la

primera vamos trabajar problemas de estos, y

después problemas de primera y segunda derivada.

El profesor

inicia a

dictar el

ejercicio.

[4]

P Dice: “que si x y y son funciones derivables de t,

las cuales están relacionadas por la función y=x2+3

hallar 𝑑𝑦

𝑑𝑡 cuando xes igual a 1.

Dado que 𝑑𝑥

𝑑𝑡 =2 cuando x es igual a 1

… por la función

y=x2+3 hallar 𝑑𝑦

𝑑𝑡

cuando x=1.

Dado que 𝑑𝑥

𝑑𝑡 =2

cuando x=1

El profesor

continua

escribiendo

el ejercicio

en el tablero


[5]

P Entonces en este caso nos está hablando que

tenemos que ver que si x y y son funciones

derivables respecto en esta caso a la variable t,

debemos relacionarlas con la función y=x2+3 y

hallar su derivada respecto a t, cuando x vale 1.

Entonces tenemos nuestra ecuación que es…

Conocemos regla de la cadena y derivación

implícita, entonces tenemos que derivarla esa

función implícitamente esa función respecto a que

variable…

Entonces en este caso tenemos la derivada de y…

… y la derivada de t es…

y=x2+3

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡

El profesor

escribe la

función en

el tablero.

[6]

E2

Mas cuatro Donde un

estudiante

responde…

Respecto del contrato didáctico (Brousseau, 1988), se presenta una sección de la

trascripción de la segunda clase del docente, en la cual se pueden identificar normas de la

clase:

[9] P Entonces, ahora dice el siguiente problema

para que lo tengamos presente ahí.

[10]

P Una piedra se deja caer sobre un estanque

en reposo y produce ondas circulares…

concéntricas. El radio r de la onda exterior

crece a ritmo constante de 30 centímetros

por segundo. Cuando su radio es de 120

centímetros. ¿A qué ritmo está creciendo el

área total de la zona perturbada?

Nos dicen que tenemos un radio…

que otro dato nos están dando. Nos dice

que se produce a un ritmo constante, estos

son los datos que nos da el ejercicio.

¿Qué nos piden que hallemos? el área, que

ente caso es el área de ¿quién? de la

circunferencia, y el área de la

circunferencia es...

Tenemos ya la fórmula del área, ahora que

nos está diciendo el ejercicio.

Entonces tenemos que hallar…

r=120cm

𝑑𝑟

𝑑𝑡= 30

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

A = πr2

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? R=120cm

El profesor dicta el

problema y hace un

bosquejo del tanque,

explicando el efecto

que hace la piedra al

caer sobre él,

haciendo las ondas

señalando la gráfica

dice que las ondas

crecen a un ritmo

constante

donde el profesor

vuelve a leer el

problema.

[11] P Tenemos nuestros datos y la relación de los

datos, área y radio. Nos pide que hallemos

el área constante.

𝑑𝐴

𝑑𝑡= 2πr

𝑑𝑟

𝑑𝑡

Teniendo los datos

que se conocen,

comienzan a

solucionar el

problema.


Entonces qué quiere decir, de que la

pregunta decía. ” ¿A qué ritmo está

creciendo el área total de la zona

perturbada?”, entonces está creciendo a un

ritmo de 7200 centímetros cuadrados por

segundo.

𝑑𝐴

𝑑𝑡

= 2π(120)(30𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

𝑑𝐴

𝑑𝑡= 7200

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

[12]

p Bueno hagamos el siguiente problema. Donde un estudiante

dice que espere, que

estaba poniendo

cuidado y no había

escrito.

[13] P Entonces miren el proceso de lo que

llevamos para poder resolver el ejercicio.

Primero tenemos que asignar las variables

y después de asignar las variables que

cantidades están relacionadas con los datos

que tenemos. Es uno de los primeros pasos

para estar desarrollando mirar que

símbolos tenemos, que variables, que

cantidades están relacionadas con ellas. El

segundo paso es escribir la ecuación en

término de los valores que se estén

calculando.

Tenemos los datos que nos dan. Segundo

vimos que lo que nos preguntaban era el

área de la onda que se buscaba calcular. El

siguiente paso es usar la regla de la cadena

y la derivación implícita.

Después lo que hacemos es derivar

implícitamente por regla de la cadena

utilizando los datos que nos dan

Explica en el tablero

como lo hicieron con

el problema ya

resuelto.

[14]

E3 ¿Cuándo nos dan r y h? Teniendo en cuenta el

problema

desarrollado

[15] P Entonces debe ir una en términos de la

otra.

De la sección de clase se infieren las siguientes normas del contrato didáctico: el

profesor propone los problemas a desarrollar; el profesor es el que desarrolla los problemas

con pequeños apoyos de los estudiantes; siempre que se termine el desarrollo de un

problema, el profesor debe hacer un recuento; el profesor debe contestar las preguntas cortas

de los estudiantes.

En lo referente a los modos de comunicación, en la siguiente tabla se presentan las

configuraciones didácticas (Godino, 2011) con las interacciones y de acuerdo a ellas a qué

modo de comunicación pertenecen bajo el criterio de Brendefur y Frykholm (2000).


Tabla 26. Modo de comunicación segunda clase.


comunicación

1 O, pc, Rc, Ant, D, E, Pc, ric, E, Pc, ric, Sc. Unidireccional

2 Ant, D, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, int, E, pc, A. Unidireccional

3 O, D, A, Pc, Ar, Pc, ric, E, Sp, pc, Rc. Unidireccional

4 D, A, E, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Sp. Unidireccional

5 O, D, Sc, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Sp. Unidireccional

6 Ant, D, Pc, Ar,. Pc, ric, Pc, ric, O, E, Pc, ric, Pa, ria, R, pc, Pcd, ric,

A, D, E, Pc, ric, E, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, pc, A,Sc

Unidireccional

7 D, Pa, ric, Pa, Pc, ric, A, ic, A, Sp, ic, Ap, pc, Rc, E, Pc, ric, R, A, Pc,

Rc, E, Pc, ric, R, Pc, ric, , Pc, ric, , Pc, ric, , Pc, ric, E, pc, Ra

Unidireccional

8 Ant, D, O, D, pc, Rc, pc, Rc, E, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric,

Pc, ric, A.

Unidireccional


Se concluye que la clase es expositiva, con escasa participación de los estudiantes

(13.27%) y como cada configuración es unidireccional, la clase en general es de este modo

de comunicación.

Generalidades de la comunicación en las clases iniciales.

El modelo explicativo predominante en la clase del profesor Fernando es el modelo

lineal o matemático (Shanon, 1949; cit. Dins Winkin, 1994), la clase se basó en la

transmisión de contenidos, unidireccional, el protagonismo lo ejerció el profesor y fue quien

propuso las tareas y las desarrolló con intervenciones cortas de los estudiantes. También tuvo

parte del modelo sistémico en lo referente a la retroalimentación (Bertalanffy, 1950), ya que

siempre desarrolló varios ejercicios o problemas con el mismo patrón buscando que los

estudiantes mecanizaran la temática a trabajar. Igualmente se consideró el modelo orquestal

en lo referente a la regulación (Marc y Picard, 1992), se mostró que en estas clases se

manejaban algunas normas que permitieron el buen desarrollo de las mismas en cuanto a

ejecución, pero que tenían que ver con la forma de pensar del docente o sea con su tendencia

didáctica que lleva en su práctica pedagógica.

Asumiendo diversos criterios para la clasificación de la comunicación se tiene: de

acuerdo a la participación, la comunicación fue unilateral, se desarrolló en una dirección;


colectiva y abierta, pues el docente se dirigió a un público que son los estudiantes;

lingüística, el medio natural de comunicación fue el lenguaje, con apoyo de códigos

paralingüísticos; también extralingüística, se emplearon códigos distintos a la lengua

natural, como la simbología matemática; formal, se siguió un patrón de clase definido, el

tradicional. En cuanto al canal, la comunicación fue audio visual y directa; también fue

vertical, se dio de docente a estudiante, con poca participación del estudiante (Niño, 1998).

En cuanto a los signos, para esta clase se utilizaron básicamente los símbolos y en

menor escala los íconos (Peirce, 1974). Se manejaron símbolos ubicados en un contexto y

en relación con otros símbolos (Saussure, 1995); es decir, el profesor siempre buscó utilizar

sígnos con significado. En lo referente a los códigos, se utilizaron los códigos lingüísticos,

el discurso del docente; los paralingüísticos como sustitutos del lenguaje y los

extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).

Se consideró la comunicación como medio de control y como medio para percibir el

avance o las dificultades de los estudiantes (Ponte et al, 2007). El profesor utiliza la

comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes, y para facilitar el aprendizaje

de los conceptos matemáticos de los mismos.

En la clase se pudieron identificar diferentes apartes donde sobresalen algunas normas

de la clase, entre otras se tienen: la persona que esté escribiendo en el tablero debe hablar; el

estudiante debe responder a las preguntas del profesor; el profesor propone los problemas a

desarrollar; el profesor es el que desarrolla los problemas con pequeños apoyos de los

estudiantes; siempre que se termine el desarrollo de un problema, el profesor debe hacer un

recuento; el profesor debe contestar las preguntas cortas de los estudiantes. Como estos casos

hay varios dentro de la sesión de clase y se encuentran en el análisis de cada una.

Los modos de comunicación propuestos por Brendefur y Frykholm (2000), son

presentados de acuerdo a las configuraciones didácticas (Godino, Planas y Font, 2010) con

las interacciones de clase, en las tablas 25 y 26. De esta información se concluye que la

comunicación en clase típica del docente Fernando es unidireccional, ya que todas las


configuraciones de las dos clases son de este modo de comunicación. Las interacciones

planteadas son del actuar del docente, con muy pocas del estudiante y en tal caso de forma

corta, lo aclara el hecho de que el promedio de participación del estudiante en la clase es del

13,49%.

Durante el trabajo colaborativo

El profesor manifiesta, que este trabajo en grupo colaborativo le ha permitido

enriquecerse con las opiniones de los compañeros, en la práctica pedagógica, tanto en el

planeamiento como en la ejecución de las clases, dado que el análisis que se ha hecho en las

sesiones corresponde a sus clases (Ent3F, 1 julio 2016).

Cree que ha evolucionado como profesor de matemáticas, en la participación del

estudiante, escucharlo, identificar los procesos de pensamiento que ellos tienen en el momento

de desarrollar la actividad, y de ahí mejorar como docente. Considera que debe avanzar en el

control del tiempo de la clase, para dar campo a desarrollar diversas estrategias conducentes

al aprendizaje de los conceptos por parte de los estudiantes. “Otro criterio por mejorar es mi

demasiada tendencia ha intervenir en los procesos de los estudiantes” (Ent3F, 1 julio 2016).

Opina que no se ha podido hacer ya que estos aspectos necesitan ser interiorizados por parte

del docente y esto es un proceso que requiere de tiempo.

En el trabajo del grupo colaborativo el profesor se apropia de su trabajo de aula,

comentando y oyendo a los demás compañeros, lo cual resulta enriquecedor ya que contribuye

a mejorar la práctica pedagógica de cada uno, “mientras que en otras capacitaciones se hace

en forma general y la persona no se siente parte del proceso, sino que lo ve como alguien que

es un experto llega a transmitir su sapiencia a unos aprendices” (Ent3F, 1 julio 2016).

Menciona que a pesar de que el trabajo desarrollado es muy bueno, es necesario asumir mayor

responsabilidad con algunas tareas que surgen del trabajo colaborativo, al igual que de la

dedicación del tiempo para los horarios de trabajo, ya que en ocasiones se cruzan con otras

actividades, las cuales se priorizan.


La reflexión realizada en el proyecto le ha permitido revisar y cambiar aspectos de

trabajo en el aula, con el fin de que el estudiante tenga más participación y así poder detectar

más fácilmente las dificultades que se presentan en el aprendizaje de la temática trabajada, y

poder proponer estrategias a tiempo para mejorar estos procesos. En cuanto a su participación

“ha sido a través de comentarios en el grupo, experiencias y análisis de diversas situaciones,

tanto personales como de los compañeros” (Ent3F, 1 julio 2016). El reflexionar sobre

diferentes modelos pedagógicos ha incidido en la mejora de su práctica profesional, en

aspectos como: ¨me ayudó a aclarar las características de cada uno de ellos, para lograr así

generar mejor las actividades hacia un proceso de consenso en el grupo y reflejarlo así en las

actividades de la clase¨ (Ent3F, 01 julio 2016). El recapacitar sobre sus clases de semestres

anteriores incide en que su práctica docente actual cambie, especialmente en la concepción de

que el estudiante aprende sólo si se le explica, lo cual conlleva a modificar las actividades y

asumir que el estudiante puede aprender sin necesidad de que él esté dentro de ese proceso.

El reflexionar sobre las clases a partir de los criterios de idoneidad propuestos por el

Enfoque Ontosemiótico, “he mejorado especialmente en la parte interaccional, que considero

era la idoneidad en la que me encontraba con mayor debilidad” (Ent3F, 1 julio 2016), sin

descuidar las otras idoneidades, las cuales deben ser fortalecidas en conjunto, ya que la clase

debe ser armónica. Igualmente, manifiesta que entre los aspectos positivos del análisis

didáctico está en que le permite al profesor hacer una radiografía de la clase, para así encontrar

las debilidades que se presentan en su quehacer pedagógico y poder ver las idoneidades en las

que mayores falencias se tienen. Igualmente, valorar las fortalezas que hay dentro de las

prácticas pedagógicas del docente. También le facilita conocer aspectos de la clase que tal vez

dentro de su función docente no se habían tenido en cuenta (Ent3F, 1 julio 2016).

Al mirar retrospectivamente las prácticas matemáticas en el aula, se puede establecer

algunas diferencias con la situación anterior al proyecto, pues antiguamente se trabajaba la

explicación de la temática en el tablero y los estudiantes solucionaban los ejercicios siguiendo

un proceso similar al explicado, y actualmente con el trabajo colaborativo “he aprendido a

mirar que la clase se puede trabajar más participativa, donde el estudiante realmente sea el eje

de ella, y comprender que existen otras formas de enfocar la práctica pedagógica que dan


mejores resultados en el proceso de aprendizaje del estudiante” (Ent3F, 1 julio 2016).

También encuentra diferencias en la forma de actuar del estudiante, ya que su rol cambió,

antiguamente su papel era reproducir algorítmicamente los procesos explicados en el

desarrollo de los ejercicios, actualmente, es participe de la construcción de los conocimientos

que se trabajan en el aula, permitiéndole así reflexionar sobre el proceso de aprendizaje que

realiza en cada situación planteada, llevándolo a un verdadero reto (Ent3F, 1 julio 2016). En

cuanto al tipo de tareas, también se identificaron diferencias, ya que actualmente lo que se

busca es llevar al estudiante a reflexionar sobre un concepto, el cual es contrastado con lo que

piensan los compañeros y el profesor, orientados por una base teórica de cualquier texto o

ayuda de internet. Antes se buscaba que el estudiante reprodujera las actividades, teniendo

presente el proceso explicado por el profesor. “La organización del aula es distinta, antes era

en forma matricial en filas y columnas, hoy se distribuyen en pequeños grupos de acuerdo

con el número de estudiantes y el número de grupos que desee distribuir el profesor” (Ent3F,

1 julio 2016), adicionalmente en algunas actividades hay rotación de los integrantes de los

grupos, con la finalidad de lograr un mayor grado de participación.

La forma de comunicación “es uno de los aspectos que más he cambiado, pues

anteriormente era de tipo unidireccional y se creía que efectivamente había consensos, pero

al momento de evaluar sucedía todo lo contrario” (Ent3F, 1 julio 2016); actualmente, si hay

interacción entre ellos, al igual que con el docente, aunque en menor escala, permitiendo así

la reflexión sobre la temática y conllevando a un mejor proceso de aprendizaje. Se pueden

mostrar cambios en sus prácticas, por ejemplo en una clase, cuando se les dio a los estudiantes

modelos arquitectónicos, con el objetivo de que ellos ubicaran el sistema coordenado en tres

dimensiones en alguna parte de la edificación y describieran desde ahí lo que veían en los

diferentes octantes y posteriormente aplicar lo visto en la deducción de los planos, para llegar

finalmente a encontrar los diferentes planos allí descritos.

En cuanto a los conocimientos matemáticos el docente plantea que “ya no los veo como

entes totalmente abstractos, sino como que puede buscarse su representación en la realidad y

así aplicar la matemática en su contexto” (Ent3F, 1 julio 2016). Lo desarrollado en el grupo

de trabajo colaborativo, ha incidido en el cambio de las prácticas pedagógicas, conllevando a


que el estudiante sea el eje en la construcción de su conocimiento. En lo que respecta a las

concepciones de los estudiantes, para el docente son fundamentales, en especial son un reto

el cambiar su forma de aprender, “ya que en este momento esperan es que el profesor les

explique toda la temática, más no valoran cuando se realiza una actividad de otro tipo” (Ent3F,

1 julio 2016). En la forma de concebir las capacidades de los alumnos, el profesor considera

que “pasé de creer que el estudiante no aprendía si el profesor no le explicaba, a pensar que

el estudiante puede aprender por si sólo, con ayuda del profesor y de otros recursos” (Ent3F,

1 julio 2016). En lo referente al conocimiento previo, el docente señala que es un aspecto

fundamental en la construcción de nuevos saberes, ya que sin una base sólida es imposible

lograr que los estudiantes manejen un nuevo concepto. Para concluir, manifiesta que con el

trabajo colaborativo se pudo ver una nueva forma de enfrentar los diferentes aspectos que se

presentan en el aula.

Después del Trabajo Colaborativo

Propuestas del profesor sobre su práctica pedagógica.

Una vez finalizada esta etapa del trabajo colaborativo, el profesor manifiesta “el

modelo de clase que propongo, está enfocado a la participación activa del estudiante en la

solución de situaciones problema donde ponga en juego sus conocimientos previos y logre

así construir los nuevos conceptos” (Ent4F, 18 julio 2016), considera importante la

interacción mutua entre los estudiantes y a la vez entre docente y estudiante, en la asociación

de los nuevos conocimientos y su utilidad, sin olvidar cada una de las idoneidades,

incluyendo siempre la socialización del análisis obtenido por el grupo de estudiantes,

acompañado con la discusión y evaluación del proceso realizado, el cual puede ser visto

como una retroalimentación y el punto de partida de los contenidos que se siguen trabajando

en el aula. En cuanto a los patrones de interacción opina,

Entre los patrones de interacción que busco desarrollar en mis clases actualmente se

encuentra el modelo de Sierpinska (1996) relacionado con el patrón interrogativo, que

pretende se presente un trabajo en equipo entre los estudiantes, donde cada uno aporta


sus conocimientos al socializar y discutir con sus compañeros, y llegar a responder el

interrogante planteado a través de los referentes teóricos y las preguntas orientadoras

del docente (Ent4F, 18 julio 2016).

El tipo de comunicación que trabajaría en el desarrollo de clase “estaría enfocada

hacia la participación y la interacción del estudiante en la construcción y asociación del

conocimiento con el entorno, y lograr así comprender el lenguaje matemático que se trabaja

en cada una de las situaciones planteadas” (Ent4F, 18 julio 2016).

Análisis Didáctico.

Se analizaron dos clases del docente Fernando, las cuales fueron grabadas después de

culminar el trabajo colaborativo.

Tercera clase.

La clase tuvo una duración de una hora y cincuenta y cuatro minutos (1:54),

orientada al cuarto semestre de la Licenciatura en Matemáticas, con 20 estudiantes.

Asignatura Algebra Lineal.

En general se desarrolló el siguiente proceso: el profesor inicialmente realizó una

presentación de un taller sobre introducción a espacios vectoriales, el cual constaba de 5

puntos. El primero se trataba de precisar las definiciones de conjunto, función, operación

binaria, axioma, cuerpo y campo. En el segundo punto se presentó un conjunto en R3

dotado de dos operaciones, una interna y una externa; se pidió realizar algunos

desarrollos con valores numéricos específicos y aclarar cómo se aplicaban las

definiciones del primer punto, allí. El tercero era recordar las propiedades que satisfacen

la suma de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector. En el cuarto se dieron

dos operaciones definidas en R2, se solicitó comprobar si se cumplían las propiedades

mencionadas en el ítem anterior. Y finalmente como quinto punto se pidió definir qué es

un espacio vectorial. El profesor Planteó un trabajo en grupos de 4 estudiantes.


Luego se realizó una rotación de grupos, dejando fijos los relatores de cada grupo.

Se propuso que cada relator hiciera el resumen de lo hecho en el grupo y los demás

estudiantes refutaran o complementaran lo desarrollado. Posteriormente se hicieron dos

rotaciones más con el mismo propósito planteado anteriormente.

A continuación, se reunió el grupo original, con el fin de que los estudiantes

llegaran a consensos, complementando con las experiencias de los distintos grupos.

Posteriormente, se socializaron los avances en el desarrollo del taller. Se inició leyendo

cada grupo su conclusión, pero posteriormente por tiempo, el profesor expuso los

resultados hasta el punto tres.

Finalmente, el profesor dejó como tarea, complementar los puntos 4 y 5, los cuales

serían aclarados y discutidos la siguiente clase. También se preguntó por la opinión de

los estudiantes sobre la actividad realizada y fecha para un parcial general. (Observación

de clase, 19 septiembre 2016)

Para facilitar el análisis de la clase, se ha dividido en 7 configuraciones didácticas


Enfoque Ontosemiótico. A continuación, se presenta el análisis didáctico realizado a esta

clase.


Tabla 27. Análisis de la tercera clase.

Líneas

transcripció

n


profesor

Funciones

de los

alumnos

Tipo

configur

ación

didáctica

Patrones de

interacción

Conflictos Normas

1-7

Introducción

general de la

clase,

entrega de

taller sobre

introducción

a espacios

vectoriales.


lenguaje verbal ya conocido y

no matemático

Procedimiento: 1) Se va a

trabajar grupos de 4

estudiantes ya que en total son

20 2) Deben leer muy bien el

taller y contestar de acuerdo a

ello. 3) Se debe nombrar un

relator y al final hay que

entregar un informe en hoja de

examen. 4) Al final cada

relator socializará a todo el

grupo las respuestas a los 5

puntos del taller.

Proceso de

institucionalizaci

ón: el profesor

pone en claro las

reglas para el

trabajo de la

clase.

Proceso de

comunicación:

los alumnos

comprenden lo

que deben hacer

en la clase.

-Distribuye los

estudiantes por

grupos.

- Explica el

trabajo que se va a

desarrollar

durante toda la

clase.

- Entrega el taller

sobre

introducción a

espacios

vectoriales.

-Da la orden de

inicio del trabajo.

- Se

distribuyen

en grupos de

4

estudiantes.

-Reciben el

taller

entregado

por el

profesor.

Configur

ación

magistral

mecanici

sta en

gran

grupo.

O, Ant, Sd, Ant,

O, pc, Rc.

- El trabajo se

desarrolla en

grupos de 4

estudiantes,

distribuidos en

forma libre

inicialmente y

posteriormente en

orden de llegada.

-Hay que entregar

informe al final.

-Hay que socializar

los resultados al

terminar.

7-223 Análisis del

taller por

cada grupo,

contestando

las 5

actividades

propuestas.


conocido (definiciones,

conjunto, función, operación,

operación binaria, axioma,

cuerpo, campo, algebre lineal,

elementos, vacío, subconjunto,

conjunto referencial, colección,

relación, parejas ordenadas,

primera componente, segunda

componente, conjunto de

llegada, conjunto de salida,

conmutativa, suma, resta,

multiplicación, vectores,

propiedades, asociativa,

modulativa, invertiva, ley,

dominio, rango).


Expresiones algebraicas de:

conjunto como V={(x,y,z)€r3;

x,y,z>0}, suma de vectores,

Proceso de

representación y

materialización:

se utilizan en el

cuaderno y en el

taller signos

matemáticos

reconocibles para

el grupo.

Proceso de

descomposición:

Para desarrollar

las operaciones

con vectores se

descomponen en

operaciones con

números reales.

Proceso de

mecanización: Se

-Asesora a los

estudiantes

cuando lo

solicitan o cuando

el desee intervenir

en algún grupo.

--Cuestiona a los

estudiantes sobre

la forma de

solucionar el

ejercicio.

- Participa

con aportes

al grupo.

- Discute con

los

compañeros

la forma de

desarrollar

los ejercicios

propuestos

en el taller.

-Cuestiona

las

propuestas

de los

compañeros

en pro de

lograr una

mejor

Configur

ación

dialógica

en

pequeños

grupos.

co, l, pcc, ric, o,

cop, cop, cop, r,

o, cop, des, o,

des, ric, a, pcc,

ria, o,o, des, o,

cop, r, pcc, ex,

o, o,o, des,

pccm, o, cop,

pcc, r, ar, ex, l,

o, cop, de, e, a,

a, o, R, o, pcc,

o, int, int, o, pc,

pnt, pc, Pc, o,

pc, Ap, Pc, Ar,

Pc, o, des, a,

pccm, o, des, l,

Pc, ria, Pcm, rc,

A, ric, Pc, ric,

Pc, ric, Pc, ric,

Pc, ric, Ap, Pm,

ric, A, ric, a,

El profesor

pide definir

algunos

conceptos

muy

abstractos

como

conjunto,

que casi

siempre lo

definido

queda en la

definición,

lo cual

puede

producir un

conflicto

semiótico

interaccion

al.

-Hay que utilizar

los conceptos

previos para el

desarrollo del

taller.

-Hay que

concentrarse para

poder trabajar bien

los ejercicios.

-Cada miembro del

grupo debe aportar

al desarrollo de los

ejercicios.

-Se pueden utilizar

apuntes. Libros y

cualquier medio

que les permita

comprender la


producto de escalar por vector,

diversas operaciones en r2 y

r3.

Definiciones:


aparecen en el lenguaje verbal)

Explícitas: de conjunto,

función, operación binaria,

axioma, cuerpo.

Procedimientos: Para

solucionar el taller 1) Leer

punto por punto. 2) Buscar

teoría asociada. 3) Buscar

ejercicios similares. 4)

solucionar el ejercicio

propuesto.



como suma, resta,

multiplicación y división,

potenciación, al igual que las

propiedades conmutativas,

asociativa, elemento neutro,

invertiva, distributiva…

Argumentos:





procedimiento para determinar

operaciones entre vectores y

de escalares por vectores.

trata de que los

alumnos realicen

el cálculo de la

suma y el

producto con

operaciones no

usuales.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los

miembros del

grupo y en pocas

ocasiones con el

docente.

Proceso de

generalización:

se parte de casos

particulares para

llegar a la

generalización

del espacio

vectorial

comprensión

de los

ejercicios.

-Trabaja

sobre el

ejercicio

propuesto

por el

profesor en

el taller

pcc, de, int, l,

Pc, ria, Ap, Pc,

A, Pc, ria, Pc,

ric, A, sc,, rp,

Ap, ric, Ap, Pc,

ric, Pc, ric, Pc,

ric, Ap, Pc, ric,

Pm. ric, Ap,

Pm, ric, Pc, Ar,

ric, Ant, de, o,

pcc, ria, des, o,

pcc, o, pcc, sc,

o. cop. Sc, o, sc,

o, Ant, o, o,

pcc, ria, o, ap,

ant, ric, ex, ex,

ex, o, o, ex, pcc,

ric, pcc, ria, o,

pc, pcc, ar, o,

ant, pcc, ar, o,

o, ap, o, o,o,

cop, o, ant, des,

sp, pcc, pcc, l,

Pm, ria, Pc, ric,

Ap, ric, Pc, ric,

Pc, ria, o, Ap,

A, pc, Rc, l, l, o,

ap, cop, pcc, ric,

pcc, rm, pcc,

rm, pc, ar, o, sc,

a, pcc, o, cop, o,

cop, o,o,o,o,

des, l, co, o, o,

r, o, ant, ex, o,

ant, o,o,o,ex, o,

ap, a, des.

Los

estudiantes

presentaron

problema

para

plantear las

definicione

s, lo cual

puede

causar un

conflicto

semiótico

cognitivo

potencial.

.

problemática

propuesta.


224-316 Desarrollo

del taller

propuesto

por el

docente con

rotación de

grupos

quedando

fijo el

relator de

cada grupo.

Lenguaje verbal: ya conocido

(conjunto, colección de

elementos, ecuación, función,

pareja ordenada, parábola,

dominio, operación binaria,

operación interna, operación

externa, axioma, campo, rango

de la relación, conjunto de los

reales, propiedades asociativa,

conmutativa, distributiva,

estructura algebraica, números

complejos, escalares, propiedad

modulastiva, vectores).







r3.

Definiciones:


aparecen en el lenguaje verbal)



axioma, cuerpo.

Procedimientos: 1) Relator lee

lo consensuado con los

compañeros. 2) Nuevos

compañeros discuten y

confrontan lo propuesto. 3)

Llegar a nuevos consensos.



como suma, resta,






Argumentos:


Proceso de

representación y

materialización:

se utilizan en el

cuaderno y en el

taller signos

matemáticos

reconocibles para

el grupo.

Proceso de

descomposición:

para desarrollar las

operaciones con

vectores se

descomponen en

operaciones con

números reales.

Proceso de

mecanización: se

trata de que los

alumnos realicen

el cálculo de la

suma y el

producto con

operaciones no

usuales.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los

miembros del

grupo y en pocas

ocasiones con el

docente.

Proceso de

generalización:

se parte de casos

particulares para

llegar a la

generalización

del espacio

vectorial

- Brinda

Asesoraría a los

estudiantes

cuando lo

solicitan o cuando

el profesor

considere

pertinente su

intervención en

un grupo

específico.

-Debate con los

estudiantes sobre

la forma de

solucionar y

abordar los

ejercicios.

-Las

anteriores.

-escucha al

relator y

corroborar,

complement

ar o

contradecir

lo planteado.

-Llega a

consensos

con base en

lo ya

discutido.

-Aborda las

temáticas

que no se

habían

profundizado

hasta el

momento

Configur

ación

dialógica

en

pequeños

grupos.

Ant, l, ap, o,

cop, l, o, co,

ant, l, o, ant,

pcc, ric, r, l,o,

pcc, ar, l, o, pcc,

ric, Pc, ric, Pc,

ria, Pc, ric, Pc,

ex, Pc, l, Ap, A,

Pc, ric, Pc, ric,

Ant, ic, Pc, ap,

ric, A, Pc, ric,

Pc, ric, Pm, ric,

Pc, ric, Pc, ric,

Pc, ric, An, ic,

Ant, o, o, des, l,

ant, e, e, o, cop,

o, pc, ric, des,

ant. Ap, A, o, o,

pcc, ar, pcc, ric,

o, des, sc, l, r, o,

o, pcc, ric, o, o,

pcc, ria, o, cop,

ant, des, rdes,

ant,co.

-Los

estudiantes

afirman que

un conjunto

es una

ecuación de

elementos

con una

característic

a común, lo

que implica

que

confunden

términos

como

ecuación

con reunión

y definir

términos

como

conjunto,

siempre

conlleva a

un potencial

conflicto

interaccion

al y a la vez

cognitivo.

-Igualmente

dicen que la

operación

modulativa,

es decir

confunden

propiedad

con

operación,

lo cual

puede

causar un

conflicto

cognitivo.

-Como no

hay

comprensió

-los mismos que en

la configuración

anterior

-se debe escuchar

al relator del grupo

a donde se llega.

-Hay que llegar a

consensos

mediante la

reafirmación de

ideas o

controversia con

ellas.








Proceso de

particularización

:

Se enuncia las

operaciones

generales y se

desarrollan casos

particulares.

n de un

concepto, le

otorgan la

culpa a la

profesora,

lo cual

puede

causar un

conflicto

interaccion

al.

317-410 Desarrollo

del taller

propuesto

por el

docente con

segunda

rotación de

grupos

quedando

fijo el

relator de

cada grupo.

Lenguaje verbal: función,

relación, parejas ordenadas,

operación binaria, operación

binaria interna, operación

binaria externa, conjunto,

conjunto referencial, axioma,

proposiciones, cuerpo,

expresión algebraica,

estructura algebraica, vectores,

multiplicación de escalar por

vector, suma, multiplicación,

propiedad conmutativa,

propiedad distributiva,

asociativa, producto punto,

producto escalar…







r3.

Definiciones:



verbal).



axioma, cuerpo, campo,

espacio vectorial.


Proceso de

representación y

materialización:

Se utilizan en el

cuaderno y en el

taller signos

matemáticos

reconocibles para

el grupo.

Proceso de

descomposición:


operaciones con

vectores se

descomponen en

operaciones con

números reales.

Proceso de

mecanización: se

trata de que los

alumnos realicen

el cálculo de la

suma y el

producto con

operaciones no

usuales.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los

miembros del

grupo y en pocas

ocasiones con el

-Asesora a los

estudiantes

cuando estos lo

piden o cuando el

profesor lo

considere

necesario.

-Confronta las

ideas de los

estudiantes sobre

la forma de

solucionar y

abordar los

ejercicios.

-Las

anteriores.

-escucha al

relator y

corroborar o

contradecir

lo planteado.

- Llega a

consensos

con base en

lo ya

desarrollado.

Configur

ación

dialógica

en

pequeños

grupos.

O, ant, pcc, ric,

so,ap, l, Ant,

int, Ant, ex,

cop, l, pcc, o,

co, l, ap, so, l,

ap, so, l, int, l,

des, so, l, cop,

pcc, ric, so, l,

ap, so, pccm,

pcc, ar, ant, l,

des, a, ap, o, so,

l, pcc, ric, cop,

ex, a, pcc, ria, o,

l, a, o,o, ant, l,

Pc, o, o, ap, o,

Pc, ria, Pc, ric,

pc, Des, Ra, ap,

l, o,cop,cop, so,

l, pcc, so, o, o,

des, a, pcc, ar,

des, o, a, sc, o,

pc, A, o, A, o,

Ap, a, A, pc,

Ra, ric, o, o,

pcc, ric, o, o, o,

so, ex, pc, Ric,

o, Pc, Ar, cop,

Ap

El

estudiante

afirma que

el Algebra

Lineal

facilita la

representaci

ón de

ecuaciones

no de

situaciones

de forma

matemática

, aspecto

que lleva a

un posible

conflicto

cognoitivo.

Los

estudiantes

definen la

propiedad

homogénea

como una

de las

propiedades

típicas de

un grupo,

aspecto que

lleva a un

posible

conflicto

cognitivo.

los mismos que en

la configuración

anterior

-se debe escuchar

al relator del grupo

a donde se llega y

confrontar sus

ideas con las

nuestras.

-Se buscan

consensos

mediante la

reafirmación de

ideas del relator o

controversia con

ellas.









como suma, resta,






Argumentos:








docente. El

objetivo es llegar

a consensos.

Proceso de

generalización:

se parte de casos

particulares para

llegar a la

generalización

del espacio

vectorial

Proceso de

particularización

:

Se enuncia las

operaciones

generales y se

desarrollan casos

particulares, para

lograr su

comprensión

Los

estudiantes

confunden

propiedades

con

operaciones

, aspecto

que puede

llevar a

conflictos

cognitivos

e

interaccion

ales.

411-474 Desarrollo

del taller

propuesto

por el

docente con

tercera

rotación de

grupos

quedando

fijo el

relator de

cada grupo.

Lenguaje verbal: distributiva,

asociativa, propiedades,

operaciones, reales, R2, pareja

ordenada, vectores,

operaciones entre vectores,

transformaciones, distributiva,

escalar…



vectores fundamentalmente.

Definiciones:



verbal).

Explícitas: de operaciones con

vectores y de espacio

vectorial.



Proceso de

representación y

materialización:

se utilizan en el

cuaderno y en el

taller signos

matemáticos

reconocibles para

el grupo.

Proceso de

descomposición:


operaciones con

vectores se

descomponen en

operaciones con

números reales.

Proceso de

mecanización: se

trata de que los

alumnos realicen

-Asesora a los

estudiantes

cuando estos lo

piden o cuando el

profesor lo

considere

necesario.

-Confronta las

ideas de los

estudiantes sobre

la forma de

solucionar y

abordar los

ejercicios.

-Contesta a las

preguntas de los

estudiantes

-Las

anteriores.

-escucha al

relator y

corroborar o

contradecir

lo planteado.

-Llega a

consensos

con base en

lo ya

desarrollado.

-Llama al

profesor para

aclaración de

dudas.

Configur

ación

dialógica

en

pequeños

grupos.

O, ant, ant, ex,

l, cop, l, pcc,

pcc, a, pcc, a,

so, o, pcc, o,

des, o, des, o,

pcc, pcc, o, cop,

r, A, o, a, A, o,

Des, a, o, Ap, o,

o, ap, a, o, o,

pcc, ric, a, ant,

a, pcc, ric, ant,

ex, o, cop, a, ex,

o,o, pcc, ria, a,

des, o, cop, o,

ant.

-Para

comprobar

la

propiedad

asociativa

el

estudiante

manifiesta

que necesita

dos

vectores, lo

que implica

un conflicto

semiótico

cognitivo.

-Un

compañero

habla de la

propiedad

distributiva

y otro

responde








como suma, resta,






Argumentos:








el cálculo de la

suma y el

producto con

operaciones no

usuales.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los

miembros del

grupo y en pocas

ocasiones con el

docente. El

objetivo es llegar

a consensos.

Proceso de

generalización:

se parte de casos

particulares para

llegar a la

generalización

del espacio

vectorial

Proceso de

particularización

:

Se enuncia las

operaciones

generales y se

desarrollan casos

particulares, para

lograr su

comprensión

que los

términos no

conmutan

lo que

puede llevar

a un

conflicto

semiótico

de carácter

tanto

interaccion

al como

cognitivo.

475-500 Desarrollo

del taller

propuesto

por el

docente con

rotación a

los grupos

originales.

Lenguaje verbal: conmutativa,

distributiva, vectores y

operaciones con vectores,

propiedades,

transformaciones, espacio

vectorial…



vectores en R2 y R3.

Proceso de

representación y

materialización:

Se utilizan en el

cuaderno y en el

taller signos

matemáticos

reconocibles para

el grupo.

Proceso de

-Asesora a los

estudiantes

cuando estos lo

piden o cuando el

profesor lo

considere

necesario.

-Confronta las

ideas de los

estudiantes sobre

-Las

anteriores.

-Escucha al

relator y

corroborar o

contradecir

lo planteado.

- Llega a

consensos

con base en

Configur

ación

dialógica

en

pequeños

grupos.

O, a, ant, Ant,

ant, o, a, pcc,

ric, a, pcc, ria,

cop, cop, a, ant,

sc, o, pcc, ric, o,

pcc, ric, ant,

o,o.

-El

estudiante

opina que

no se

cumple la

propiedad

conmutativ

a porque

sólo les

dieron dos

vectores,

-Se debe llegar a

consensos fruto de

la discusión del

grupo.

-cada grupo debe

sacar su síntesis

para exponer a los

otros grupos


Definiciones:



verbal).

Explícitas: Las operaciones

con vectores y producto

escalar.


lo consensuado hasta el

momento. 2) Los compañeros

discuten y confrontan lo

propuesto de acuerdo a lo

vivenciado en los otros grupos.

3) Llegar a nuevos consensos.



como suma, resta,






Argumentos:








descomposición:

Para desarrollar

las operaciones

con vectores se

descomponen en

operaciones con

números reales.

Proceso de

mecanización: Se

trata de que los

alumnos realicen

el cálculo de la

suma y el

producto con

operaciones no

usuales.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los

miembros del

grupo y en pocas

ocasiones con el

docente. El

objetivo es llegar

a consensos.

Proceso de

generalización:

se parte de casos

particulares para

llegar a la

generalización

del espacio

vectorial

Proceso de

particularización

:

Se enuncia las

operaciones

generales y se

desarrollan casos

particulares, para

la forma de

solucionar y

abordar los

ejercicios.

-Contesta a las

preguntas de los

estudiantes

lo ya

desarrollado.

-Llama al

profesor para

aclaración de

dudas.

esto puede

conllevar a

un conflicto

semiótico

cognitivo.


lograr su

comprensión

501-523 Socializació

n de los

resultados

obtenidos

por los

grupos

respecto del

taller.

Se usa ya conocido

(definiciones, conjunto,

función, operación, operación

binaria, axioma, cuerpo, campo,

algebre lineal, elementos, vacío,

subconjunto, conjunto

referencial, colección, relación,

parejas ordenadas, primera

componente, segunda

componente, conjunto de

llegada, conjunto de salida,

conmutativa, suma, resta,

multiplicación, vectores,

propiedades, asociativa,

modulativa, invertiva, ley,

dominio, rango…)


Expresiones algebraicas de

vectores en R2 y R3.

Definiciones:



verbal).



axioma, cuerpo.


socializarr 1) Se lee cada punto

por cada uno de los grupos y

complementa el profesor. 2)

Buscar consensos.



como suma, resta,






Proceso de

institucionalizaci

ón: el profesor

confronta las

posiciones

particulares de

cada uno de los

grupos y explica

las situaciones

que sean

convenientes.

Proceso de

representación y

materialización:

se utilizan en el

cuaderno y en el

taller signos

matemáticos

reconocibles para

el grupo.

Proceso de

descomposición:


operaciones con

vectores se

descomponen en

operaciones con

números reales.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los

miembros del

grupo y el

docente.

Proceso de

generalización:

se parte de casos

particulares para

llegar a la

-Escucha la

socialización de

los estudiantes.

-Complementa la

información de los

estudiantes.

-Realiza un buen

proceso de

institucionalizació

n.

-Aclara las dudas

de los estudiantes.

-Expone las

conclusiones

de cada

grupo.

-Llega a

consensos

con el

profesor y

compañeros

sobre la

temática del

taller.

-Pregunta al

docente las

dudas.

-Escucha y

confronta al

docente sobre

la temática

del taller.

Configur

ación

magistral

en gran

grupo.

O, Ant, ant, ap,

Ant, Ant, l, Ap,

l, Ant, l, O, Sc,

A, Pc, ric, A,

Pc, ric, A, Pc,

ric, A, Pc, ric,

Pc, ria, E.

-Los estudiantes

proponen ideas y el

profesor

complementa.

-El profesor

expone la temática.

-Cada grupo debe

participar con su

desarrollo del

taller.


Argumentos:








generalización

del espacio

vectorial

524-540 Evaluación

de la

actividad y

tarea

Lenguaje verbal: tarea,

ejercicios cuarto y quinto del

taller.


Expresión algebraica de

vectores y operaciones con

vectores.

Definiciones:

Implícitas, lenguaje conocido.

Proposiciones:

El Profesor plantea

complementar el taller en lo

referente al cuarto y quinto

puntos.

Proceso de

representación y

materialización:

en el taller

aparecen signos

que son claros

para todos.

-Propone

desarrollar los dos

últimos ejercicios

del taller para

complementarlos

en la próxima

clase.

-Termina la clase.

-Asume los

puntos

mencionados

como trabajo

extraclase.

Configur

ación

magistral

mecanici

sta.

Pc, ap, ic, Ant,

pc, Ra, des, ant,

Des, Ant, pc,

Ra, ex, Ant, ex,

Ant, pc, Rc, de.

-Se debe dejar

tarea al terminar la

clase.

- Los estudiantes

deben opinar sobre

la actividad

realizada en la

clase.

- los estudiantes

deben intervenir

cuando el profesor

lo solicite.

-Hay que aclarar

dudas de los

estudiantes.




Godino, J. (2011) entre otros, desde el Enfoque Ontosemiótico.

Tabla 28. Indicadores de idoneidad en la tercera clase.



Situaciones-

Problemas

0%



X

Se proponen situaciones de generación de problemas (problematización) X

Lenguajes

100%

Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,


X

Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige X

Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación X

Reglas

(Definiciones,

proposiciones,

procedimientos)

100%



X


tema para el nivel educativo dado

X


negociar definiciones proposiciones o procedimientos

X

Argumentos

100%

Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas al

nivel educativo a que se dirigen

X


Relaciones

50%

Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones, etc.) se

relacionan y conectan entre sí.

X



X

Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 75 %



mismos elementos que

para la idoneidad

epistémica)

100%

Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio

del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor planifica su

estudio).

X



X

Adaptaciones curriculares

a


100%



Aprendizaje:

Se tienen en cuenta los


para la idoneidad

epistémica)

25%



pretendidas:

X

Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y

argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional;

competencia metacognitiva

X


competencia

X


decisiones.

X




50%

Las tareas tienen interés para los alumnos X



X

Actitudes

100%



X



X

Emociones

100%

Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las

matemáticas.

X


Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 75%

Interacción docente-

discente

100%

El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación clara

y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los conceptos

clave del tema, etc.).

X



X




X



100%




matemáticos

X


Autonomía

100%


responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones;

exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan

una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver

problemas y comunicarlos).

X



Recursos materiales

(Manipulativos,

calculadoras, ordenadores).

50%

Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir

buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones

adaptadas al contenido pretendido

X

Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas usando

situaciones y modelos concretos y visualizaciones

X

Número de alumnos,

horario


100%



X



X



X

Tiempo




pretendida

X


X


aprendizaje).

66.6%

Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más dificultad

de comprensión

X



100%



X

Apertura hacia la

innovación

Didáctica.

50%


Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.)

en el proyecto educativo.

X

Adaptación socio-


100%


estudiantes

X


100%


crítico

X

Conexiones intra e

Interdisciplinares

100%


interdisciplinares

X



2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea el siguiente gráfico:

Tabla 29. Idoneidades de la tercera clase de Fernando. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro,

2009.

En esta buena clase del profesor Fernando se pueden señalar algunos aspectos por

mejorar, desde el punto de vista de la idoneidad didáctica:


Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 70%). Aunque se propusieron unos ejercicios

graduados y de carácter constructivo, no se plantearon en la clase situaciones problema, que

permitieran la contextualización, aplicación y ejercitación de saberes. Igualmente, por el

tiempo no fue posible proponer diferentes significados de los objetos identificados en las

prácticas matemáticas.

Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 75%). No se mostró o identificó alguna forma

que propusiera el docente como evaluación de los procesos y prácticas, que señalara entre

otros aspectos la comprensión conceptual y proposicional. Como no hay evaluación no

pudimos fijarnos si en ella se tienen en cuenta los distintos niveles de comprensión y

competencia por parte del estudiante, al igual que si los resultados de esta evaluación se usan

para tomar decisiones.

Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 83.3%). No se pudo valorar la utilidad de la

matemática en la vida cotidiana ya que no se plantearon situaciones de contexto.

Faceta interaccional. (Porcentaje de logro 75%). No se propuso un medio para

identificar el progreso sistemático de los estudiantes.

Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 72.2%). Para contextualizar las definiciones

y propiedades de la clase, no se utilizaron modelos y visualizaciones.

Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 90%). No se pudo identificar la integración de

nuevas tecnologías en el proyecto educativo.

Cuarta clase.

La duración de la clase fue de una hora y treinta y ocho minutos (1:38), dirigida al

cuarto semestre de la Licenciatura en Matemáticas. Asignatura Algebra Lineal.

Básicamente se planteó el siguiente proceso: el profesor inicialmente realizó la

adecuación del salón para trabajar en grupos de tres estudiantes, posteriormente entregó


un taller a cada grupo e hizo las recomendaciones generales para su desarrollo. Hubo dos

tipos de temario para el taller, cada uno constaba de 4 puntos. En el primer temario se

propuso lo siguiente: en el punto inicial se dio un polinomio de segundo grado y un

conjunto de dos polinomios también de segundo grado, se quería identificar si estos

últimos generan el primer polinomio; en el segundo punto solicitó explicar el proceso

realizado y determinar el significado de los escalares obtenidos en el mismo; en el tercer

punto se dio un conjunto de tres polinomios de segundo grado y se preguntó si son

linealmente dependientes o independientes, y posteriormente se pidió verificar si se

generaba un espacio de la forma ax2 + bx + c, un polinomio arbitrario de segundo grado;

el cuarto punto era explicar el proceso realizado en el punto anterior. En el segundo

temario, en el primer punto se dio un vector y un conjunto de 3 vectores en R3, se quería

verificar si estos vectores generaban el vector inicial. Los demás puntos coincidían con

el otro temario. Se desarrolló luego el trabajo por grupos con asesoría permanente del

docente. Se realizó la rotación de un estudiante de cada grupo, por una sola vez. En la

parte final se realizó socialización, inició con el temario de los vectores, pasó un

estudiante al tablero para que explicara el proceso, solicitando el punto de vista de los

grupos que tenían el mismo temario, luego hizo lo mismo para socializar el segundo

temario, y culminó el proceso con una aclaración general sobre lo desarrollado.

Finalmente, el profesor dejó como tarea terminar los puntos tres y cuatro, los cuales se

socializarían en la siguiente clase. (Observación de clase, 3 octubre 2016)

Para el análisis de la clase, se ha dividido en 7 configuraciones didácticas (Font,

Planas, Godino, 2010) de acuerdo con el marco teórico y metodológico del Enfoque

Ontosemiótico. A continuación, se presenta el análisis didáctico realizado a esta clase.


Tabla 30. Análisis de la cuarta Clase.

Líneas

transcripción


profesor

Funciones de

los alumnos

Tipo de

configuración

didáctica

Patrones

de

interacción

Conflictos Normas

1-5

Ubicación de

estudiantes y

entrega de taller

sobre espacios

vectoriales.

Lenguaje verbal: Se usa

un lenguaje verbal ya

conocido y no

matemático

Procedimiento: 1) Se va

a trabajar grupos de 3

estudiantes 2) Deben leer

muy bien el taller y

contestar de acuerdo a

ello. 4) Al finan se

socializarán los

resultados de cada grupo.

Proceso de


el profesor propone

el trabajo de la clase.

Proceso de

comunicación: los

alumnos

comprenden lo que

deben hacer en la

clase.

-Distribuye los

estudiantes por

grupos de tres.

- Explica el

trabajo que se va

a desarrollar

durante toda la

clase.

- Entrega el taller

sobre espacios

vectoriales.

-Da la orden de

inicio del

trabajo.

- Se

distribuyen en

grupos de 3

estudiantes.

-Reciben el

taller

entregado por

el profesor.

-realizan

aclaraciones

respecto al

procedimiento

de desarrollo

del taller.

Configuración

magistral

mecanicista

en gran grupo.

O, Pc, Ant,

Ant, Sc,

Ant,

-El trabajo se

desarrolla en

grupos de 3

estudiantes,

en forma

libre.

-Hay que

nombrar un

relator

(implícita).

--Hay que

socializar los

resultados al

terminar.

6-171 Análisis del

taller por cada

grupo,

contestando las

dos primeras

actividades.


ya conocido (R3, vector,

ejercicio, ejemplo,

conjunto, escalares,

dependencia e

independencia lineal,

generadores, generados,

ecuaciones,

programación, matriz,

sistema, producto de

escalar por vector…).


Expresiones algebraicas

de vectores como v =

(2,1,5), v1 = (1,2,1), v2 =

(1,0,2), v3 = (1,1,0), suma de vectores,

producto de escalar por

vector, diversas

operaciones en r3, y en

polinomios de segundo

grado Þ2, sistemas de

ecuaciones.

Proceso de

representación y

materialización: se

utilizan en el

cuaderno y en el taller

signos matemáticos


grupo, como el de

vector y polinomio de

grado dos.

Proceso de

descomposición: para

desarrollar las

operaciones con

vectores se

descomponen en

operaciones con

números reales, al

igual que los sistemas

de ecuaciones.

Proceso de

mecanización: se

trata de que los

alumnos realicen el

-Asesorar a los

estudiantes

cuando lo

solicitan o

cuando el desee

intervenir en

algún grupo

- Pregunta y

contesta aspectos

relacionados con

la forma de

solucionar el

ejercicio.

- Aporta al

grupo

mediante

buena

participación.

- Plantea

discusión a los

compañeros

sobre la forma

de desarrollar

los ejercicios

propuestos en

el taller.

-Trata de lograr

comprensión

sobre los

ejercicios,

mediante

propuestas y

confrontación

con los

compañeros.

-Trabaja sobre

el ejercicio

Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

Pm, ria, l,

o, ap,l, ant,

ex, pcc,

ant, ex, ant,

o, o, cop,

so, l, pcc,

ant, o, pcc,

ria, ap, pcc,

ap, l, o,

pcc, ant, o,

pcc, pcc,

ex, pcc, o,

pcc, ant,

ric, ant, o,

o, o, o, pcc,

o, o, ant, o,

pcc, so, ric,

o, o, o, pcc,

ex, ant, l, o,

o, r, pcc,

rm, des, o,

r, o, o, r,

ex, r, o, o,

ap, o, pcc,

c, o, pcc,

rm, ed, o,

Los estudiantes

afirman que un

espacio

vectorial es

llamado

espacio

generado o

conjunto

generador, es

decir no hay

claridad sobre

los conceptos,

lo cual puede

producir un

conflicto

semiótico

cognitivo.

-Hay que

nombrar un

relator para

cada grupo

(implícito).

-Se puede

utilizar

cualquier tipo

de

información

para el

desarrollo del

taller: libros e

internet.

-Cada

miembro del

grupo debe

aportar al

desarrollo de

los ejercicios.

-Cuando haya

dudas se


Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal).

Explícitas: de conjunto

generado, conjunto

generador,

independencia lineal.


solucionar el taller 1)

Leerlo todo y analizar

punto por punto. 2)

Buscar teoría asociada.

3) solucionar las

actividades propuestas.

Propiedades: Aplicación

de propiedades ya

conocidas, como suma,

resta, multiplicación y

división, multiplicación

de escalar por vector,

suma y resta de vectores,

solución de

ecuaciones…

Argumentos:



adecuados para la


Explícitos: Explicación

del procedimiento

seguido para solucionar

el primer ejercicio.

cálculo de la suma y

el producto con

vectores,

planteamiento y

resolución de

ecuaciones lineales.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y en

pocas ocasiones con

el docente.

Proceso de

generalización: se

parte de casos

particulares para

llegar a la

generalización del

concepto de espacio

generado.

propuesto por

el profesor en

el taller

o, des, o,

cop, o, o,

ap, pcc,

pcc, ric, ed,

ant, ant, q,

ant, pc, o,

pnt, o, ant,

pnt, ap, ex.

Ant, so, ap,

Pc, l, Ap, o,

Ap, Ant,

ex, O, rm,

pcc, o, o, o,

a, r, r, l, ex,

l, o, o, o,

pcc, ric, o,

o, ap, r, o,

o, r, o, o, o,

des, rdes, a,

o, pcc,

desc, pc, o,

o, o, pcc,

ric, o, des,

des, o, o, o,

o, o, des, o,

o, o, o, pcc,

o, pcc, ric,

cop, r, o, o,

r, o, o, ap,

o, Pc, Ap.

.

puede llamar

a la profesora.

172-387 Desarrollo de la

siguiente

pregunta del

taller; cómo se

expresaría el

vector v en

Lenguaje verbal: ya

conocido (conjunto, R3,

vector, combinación

lineal, determinantes,

matrices, función,

multiplicación, métodos,

Proceso de

representación y


utilizan en el


signos matemáticos

- Asesora a los

estudiantes

cuando lo

solicitan o

cuando lo

considere

-Las anteriores.

-Consulta

aspectos

teóricos

necesarios para

Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

O, so, O,

ant, Ant,

ant, r, Ant,

pcc, ric,

pcc, ric,

ant, ant, ap,

-Los

estudiantes

confunden

matriz con

determinante,

aspecto que

-los mismos

que en la

configuración

anterior


relación de los

vectores v1, v2

y v3. Qué

escalares

permite

expresar el

vector v en

función de los

vectores dados.

sistema, matriz de

eliminación, solución

por Gauss Jordan,

escalares, R2, reales, y

operaciones, ecuaciones

generales…).



de vectores como v =

(2,1,5), v1 = (1,2,1), v2 =

(1,0,2), v3 = (1,1,0), suma de vectores,

producto de escalar por

vector, diversas

operaciones en r3, y en


grado Þ2, sistemas de

ecuaciones.

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Explícitas: de solución

de sistemas de

ecuaciones..

Procedimientos: 1) Leer

bien las actividades del

taller que se proponen. 2)

Consultar el referente

teórico en textos o

internet 3) Desarrollar lo

solicitado en el taller.


de propiedades ya



división, propiedades

para solución de

ecuaciones…

Argumentos:




grupo, como la

notación de vectores

en R3 y sus

operaciones.

Proceso de

descomposición:

hay que descomponer

en operaciones con

números reales el

desarrollo de

operaciones con

vectores.

Proceso de

mecanización: los

estudiantes deben

realizar operaciones

básicas con reales

para solucionar las

ecuaciones.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y aún con

el docente aunque

en raras ocasiones.

Proceso de

generalización: se

busca entender la

generalidad, a partir

de casos

particulares.

pertinente.

-Contesta en

forma general las

preguntas de los

estudiantes.

-Debate con los

estudiantes sobre

las diversas

actividades del

taller.

entender la

problemática.

-escucha a los

compañeros,

para tratar de

llegar a

consensos.

-Discute con

los

compañeros

los

procedimientos

más adecuados

para solucionar

la

problemática.

-Aborda las

temáticas que

no se habían

profundizado

hasta el

momento

pcc, ant,

ex, Ant,

ant, ant,

ant, ex, ex,

ex, q, pcc,

pcc, ap, o,

o, o, ant, o,

o, pcc, l, o,

ap, o, o, r,

ex, ant, o,

o, o, cop, c,

ant, pcc, a,

o,

puede causar

un conflicto

semiótico

cognitivo, e

interaccional.

Igualmente

hablan de

matriz de

eliminación,

confunden un

tipo de matriz,

con un método

de solución de

ecuaciones,

aspecto que

puede causar

un conflicto

semiótico

cognitivo e

interaccional.

-Mediante la

confrontación

de ideas se

debe llegar a

consensos.


adecuados para la

solución de los

ejercicios.


del procedimiento para

solucionar sistemas de

ecuaciones.

388-523 Desarrollo de

Los dos

primeros

puntos del

taller propuesto

por el docente

con rotación de

un compañero

del grupo.

Lenguaje verbal:

vectores, ecuaciones,

escalares, conceptos,

términos, conjunto

generador, sistema

generador, matriz,

combinación lineal,

determinantes, Gauss

Jordan, incógnita,

multiplicación de matriz

por escalar…



de: vectores,

multiplicación de escalar

por matriz.

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Explícitas: de


por matriz, y solución de

sistema de ecuaciones

lineales por Gauss

Jordan.

Procedimientos: 1) Leer

lo desarrollado hasta el

momento para que el

compañero se entere y

aporte. 2) Confrontar los

saberes de cada uno con

los de los demás. 3)

Llegar a nuevos

consensos.

Proceso de

representación y


utilizan en el


signos matemáticos


grupo, como el de

vector y sistemas de


Proceso de


desarrollar las

operaciones con

vectores se

descomponen en

operaciones con

números reales, al

igual que en la

solución de sistemas

de ecuaciones.

Proceso de

mecanización: se

quiere solucionar

ecuaciones por

métodos ya

trabajados, al igual

que realizar cálculos

de vectores por

escalares y suma o

resta de vectores.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo

-Asesorar a los

estudiantes

cuando lo

soliciten o

cuando el

profesor lo

considere

adecuado.

-Confrontar con

los estudiantes la

forma de

plantear y

solucionar los

ejercicios.

-Aclarar dudas

que surgen del

trabajo y la

interacción de

los estudiantes.

- Replantear los

grupos de

trabajo.

-Las anteriores.

-escucha al

relator y

corrobora o

contradice lo

planteado.

- Llega a

consensos con

los

compañeros

con base en lo

ya

desarrollado.

-Pide asesoría

del docente

cuando lo

considere

adecuado.

Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

O, ant, pcc,

ric, so,ap, l,

Ant, int,

Ant, ex,

cop, l, pcc,

o, co, l, ap,

so, l, ap, so,

l, int, l, des,

so, l, cop,

pcc, ric, so,

l, ap, so,

pccm, pcc,

ar, ant, l,

des, a, ap,

o, so, l,

pcc, ric,

cop, ex, a,

pcc, ria, o,

l, a, o,o,

ant, l, Pc, o,

o, ap, o, Pc,

ria, Pc, ric,

pc, Des,

Ra, ap, l,

o,cop,cop,

so, l, pcc,

so, o, o,

des, a, pcc,

ar, des, o,

a, sc, o, pc,

A, o, A, o,

Ap, a, A,

pc, Ra, ric,

o, o, pcc,

ric, o, o, o,

so, ex, pc,

Ric, o, Pc,

Ar, cop,

Ap, o, cop,

Algunos

estudiantes

afirman que X

es el sistema

generador, se

observa que

confunden el

conjunto con

un sistema,

además

también

confunden el

generado con

el generador,

to que lleva a

un posible

conflicto

semiótico

cognitivo.

En otro

apartado algún

estudiante

habla de la

multiplicación

lineal,

confundiéndola

con la

combinación

lineal, lo que

puede incidir

en un conflicto

semiótico

cognitivo.

También se

observa que

algunos

estudiantes

los mismos

que en la

configuración

anterior

-se debe

escuchar al

relator del

grupo a donde

se llega y

confrontar las

ideas con el

compañero

que llega.

-Se debe

llegar a

consensos, a

través de la

discusión con

los

compañeros

sobre la

temática.

-Se deben

sacar

conclusiones

sobre los dos

primeros

puntos.



de propiedades ya



división, propiedades de

operaciones con vectores

y producto de escalar por

vector.…

Argumentos:



adecuados para la

solución de los

ejercicios.



determinar operaciones

entre vectores y de

escalares por vectores, al

igual que la forma de


ecuaciones

especialmente por el

método de Gauss Jordan.

especialmente, en

contadas ocasiones

con el profesor. Esta

actividad se

caracteriza por la

búsqueda de

consensos.

Proceso de

generalización: se

desea llegar a

criterios generales a

partir de casos

particulares.

o, cop, ex,

ex, o, o, ex,

o o, des,

rdes, o,

pcc, pcc,

pcc, ric,

des, o, ex,

pcc, ric,

des, o, cop,

pcc, ric, o,

ex,ex,ant,

o, r, pcc,

ric, pcc, ric,

o, cop, ant,

ap, pnt, ric,

o, pcc, pnt,

ric, pccm,

0, ex, pnt,

a, o, ap,

pcc, o, o,

des, c, o.o.

ant, o, pcc,

o, ant, ant,

ex, so, ant,

a, ant, ant,

des,

confunden

matrices con

determinantes,

lo que puede

conllevar a un

conflicto

semiótico

cognitivo.

524-638 Desarrollo del

taller propuesto

por el docente,

acuerdos sobre

las actividades

uno y dos, y

desarrollar el

tercero.

Lenguaje verbal:

polinomio de grado 2,

conjunto, cuadrado,

linealmente dependiente,

linealmente

independiente, espacio,

parejas ordenadas,

vectores, corchete…



vectores

fundamentalmente y de

ecuaciones.

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Explícitas: vectores

Proceso de

representación y


utilizan en el

desarrollo de la clase,

signos matemáticos

que tienen un

significado común

para el grupo.

Proceso de

descomposición:

Para desarrollar las

operaciones con

vectores se

descomponen en

operaciones con

números reales, algo

similar ocurre cuando

se solucionan los

-Presta asesoría a

los estudiantes

cuando estos lo

solicitan.

-Confronta las

ideas de los

estudiantes sobre

la forma de

solucionar los

ejercicios.

-Contestar a las

preguntas de los

estudiantes

-Las anteriores.

-Llegar a

consensos con

base en lo ya

desarrollado.

-Llamar al

profesor para

aclaración de

dudas.

-Preguntar y

opinar acerca

de la

problemática

planteada por

el profesor.

-Consultar la

base teórica en

Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

L, ant, ap,

ap, l, ex, l,

r, o, pcc, a,

o, o, o, q, o,

des, q, ex,

ed, o, pcc,

ric, o, o,

des, a, Pc,

Pnt, pc, ed,

Des, Ant,

pcc, ar, A,

o, Ap, pc,

Rc, o, A,

ant, o o,

ant, o, ex,

pcc, a, o, o,

des, o, o, r,

o, a, o, o, o,

o, pcc, ric,

pcc, des,

-Los

estudiantes no

alcanzan a

terminar la

actividad tres,

hacen

propuestas y

comentarios

pero a pesar de

que es similar a

la actividad

uno, no hacen

una propuesta

clara, lo cual

puede provocar

un conflicto

semiótico

cognitivo.

-Los

estudiantes

deben

concretar

actividades

uno y dos y

abordar la

actividad tres.

-Se deben

llegar a

consensos.

-Los

estudiantes

deben

participar en

la actividad

de grupo.


linealmente

dependientes e

independientes.

Procedimientos: 1)

Relator lee lo

consensuado con los

compañeros en los

numerales 1 y 2. 2)

Desarrollan el tercer

punto. 3) Llegar a nuevos

consensos.


de propiedades ya



división, al igual que las

propiedades para


ecuaciones …

Argumentos:



adecuados para la

solución de los ejercicios

planteados.



determinar operaciones

entre vectores y de

escalares por vectores, al

igual que la forma de



sistemas de


Proceso de

mecanización: se

quiere solucionar

ecuaciones por

métodos ya

conocidos como el

de Gauss Jordan,

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo.

Proceso de

generalización: se

parte de casos

particulares para

llegar a la

generalización del

espacio vectorial.

textos o

internet.

cop, cop, o,

pcc, a, pcc,

pc, ant, pc,

ex, a, o,

pcc, ex, ex,

ex, ant, o, r,

o, o, ap, o,

ed, pnt, pnt,

ex, O, des,

ant, ant,

Ant, ant,

pc, o, o, o,

A, ant, o, o,

pnt, Rc,

pcc, ric.

-Se deben

sacar

conclusiones

sin contar

mucho con el

docente.

-Se debe

elaborar

informe para

socializar con

los demás

compañeros

del grupo.

639-692 Socialización

de las

actividades uno

y dos del taller,

correspondiente

al tema 1.

.

Lenguaje verbal: R3,

vector, conjunto

generador y generado,

multiplicación de vector

por escalar, ecuaciones,

solución de sistemas de

ecuaciones por Gauss

Jordan…


Proceso de


el profesor

confronta las

posiciones de cada

grupo, frente a su

concepción sobre la

temática. Se

realizan

-Asigna los

estudiantes que

deben solucionar

la problemática

en el tablero.

-Confronta las

posiciones

asumidas por los

estudiantes.

-Las anteriores.

-Los relatores

exponen las

conclusiones

del grupo.

-Los demás

estudiantes

están atentos a

Configuración

dialógica en

gran grupo.

Ant, rgc,

Ant, pc,

Rc, e, Ant,

pc, Rc, e,

E, pc, Ap,

Rc, ic, Pc,

Pm, ria, ap,

a, e, O, a,

R, a, Ap, e,

Ant, Pc,

-El estudiante

habla de una

ecuación

generadora,

aspecto que

puede estar

creando un

conflicto

semiótico

cognitivo.

-El relator

que pasa a

exponer

inicialmente

lo hace en

forma

voluntaria.

-Los

estudiantes


expresión algebraica de:

vectores en R3,

planteamiento de

sistemas de ecuaciones,

en forma vectorial y en

forma algebraica.

(215

)

= 𝑥 (121

) + 𝑦 (102

)

+ 𝑧 (110

)

{𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2

2𝑥 + 𝑧 = 1𝑥 + 2𝑦 = 5

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Explícitas: Suma de

vectores, multiplicación

de un escalar por un

vector, solución de

sistemas de ecuaciones

por Gauss Jordan.

Procedimientos:

Metodología de trabajo:

1) El profesor asigna el

relator que debe pasar al

tablero. 2) El relator debe

exponer lo desarrollado

por el grupo. 3) Los

compañeros que tienen

la misma temática

opinan sobre lo

desarrollado. 4) el

profesor realiza la

institucionalización de

los conceptos.

ampliaciones y

aclaraciones.

Proceso de

representación y


utilizan en el

cuaderno y en el

tablero signos

matemáticos


grupo como los de

sistemas de

ecuaciones y

representación de

vector.

Proceso de


desarrollar las

operaciones con

vectores se

descomponen en

operaciones con

números reales

(suma, resta,

multiplicación)..

Proceso de

mecanización: los

estudiantes

solucionan sistemas

de ecuaciones, suma

de vectores,

multiplicación de

escalar por vector,

que son procesos ya

conocidos.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y entre el

grupo y el docente.

El objetivo es llegar

a consensos.

-Complementa

lo planteado por

los estudiantes y

en algunos casos

corrige.

-Expone la

conclusión

general.

las

exposiciones de

los

compañeros.

-Confrontar lo

dicho por los

compañeros y

el profesor.

-Complementar

lo expuesto por

los

compañeros.

-Llegar

finalmente a

consensos.

ric, Ant,

Pc, pnt, Rc,

l, Ant, des,

O, ant, O,

pc, ar, Pc,

ria, A, ap,

Ant, O,

des, O, e,

Pc, ric, R,

a, a, Pc, ria,

Pc, O, Pc, a

- el estudiante

confunde

espacio

generado con

los escalares

para lograr la

combinación

lineal, aspecto

que fue

corregido por

el docente, por

lo cual puede

generar un

conflicto

semiótico

cognitivo e

interaccional.

deben girar

sus pupitres

hacia el

tablero.

-El primer

relator debe

explicar lo

desarrollado

por su grupo

a todos los

demás

compañeros.

-Los demás

relatores

deben

complementar

la exposición

del primer

relator.

-Puede

intervenir

cualquier

estudiante.

-Se debe

llegar a

consensos

fruto de la

discusión del

grupo.


Para solucionar la

actividad 1: Se plantea el

sistema de ecuaciones. 2)

se soluciona el sistema

de ecuaciones (por

Gauss Jordan). 3) se

determinan los escalares

correspondientes, si los

hay.


de propiedades ya


resta, multiplicación de

reales, al igual que las

propiedades para


ecuaciones,


por vector, suma de

vectores.…

Argumentos:



adecuados para la

solución de las

actividades propuestas

en el taller.




ecuaciones, sumar

vectores y multiplicar un

escalar por un vector.

Proceso de

generalización: se

parte de casos

particulares para

llegar a la

generalización de

espacio generado

693- Socialización

de las

actividades uno

y dos del taller,

correspondiente

al tema 2.

.

Lenguaje verbal:

Polinomios grado dos,

vector, conjunto

generador y generado,

multiplicación de vector

por escalar, ecuaciones,

solución de sistemas de

ecuaciones por Gauss

Jordan…


Proceso de


el profesor

complementa y

aclara las

exposiciones de los

relatores de los

grupos.

Proceso de

representación y

-Asigna los

estudiantes

relatores que

deben explicar la

problemática en

el tablero.

-Confronta las

posiciones

planteadas por

los estudiantes.

-Las anteriores.

-Los relatores

exponen las

conclusiones

del grupo.

-Los demás

estudiantes

están atentos a

las

Configuración

dialógica en

gran grupo.

Ag, A, Pc,

ric, Pc, ria,

Ant, Rp, ic,

A, Pc, ric,

A, PC, Ar,

A, O, e,

pnt, e, Pc,

rgc, e, pcc,

ar, e, A, Pc,

ric, Pc, rgc,

A, Pc, Ar.

-El profesor al

escribir la

característica

del polinomio

de segundo

grado, no

aclara que el

coeficiente del

término

cuadrático

-El estudiante

que pasa a

exponer lo

hace en forma

voluntaria.

-Los demás

relatores

deben

complementar



polinomios en Þ2,

vectores en R2,

planteamiento de

sistemas de ecuaciones,

en forma vectorial y en

forma algebraica. 𝑟 =∝ 𝑝 + 𝛽𝑞

1 -4x +6x2 = ∝(1-x+x2)

+ 𝛽(2+x-3x2)

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Explícitas: combinación

lineal, solución de

sistemas de ecuaciones

(Gauss Jordan)

Procedimientos:

Metodología de trabajo:

1) Se asigna el relator

que debe socializar la

temática. 2) El relator

debe exponer lo

desarrollado por el

grupo. 3) Los

compañeros que tienen

la misma temática

opinan sobre lo

desarrollado. 4) el

profesor realiza la

institucionalización de

los conceptos.

Para solucionar la

actividad 1: Se plantea el

sistema de ecuaciones. 2)

se soluciona el sistema

de ecuaciones. 3) se

determinan los escalares

correspondientes.



utilizan en el

cuaderno y en el

tablero signos

matemáticos


grupo como los de

sistemas de

ecuaciones.

Proceso de


desarrollar las

operaciones con

polinomios,

descomponen en

operaciones con

números reales

(suma, resta,

multiplicación)..

Proceso de

mecanización: los

estudiantes

solucionan sistemas

de ecuaciones, suma

de términos

semejantes,

propiedad

distributiva, que son

procesos ya

conocidos.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y entre el

grupo y el docente.

Proceso de

generalización: se

parte de casos

particulares para

llegar a la

generalización de

espacio generado

-Complementa

lo realizado por

los estudiantes y

en algunos casos

corrige.

-Expone la

conclusión

general.

exposiciones de

los

compañeros.

-Confrontar lo

dicho por los

compañeros y

el profesor.

-Complementar

lo expuesto por

los

compañeros.

-Llegar

finalmente a

consensos.

debe ser

distinto de

cero, lo cual

puede generar

un potencial

conflicto

semiótico

epistémico e

interaccional.

la exposición

del primer

relator.

-Puede

intervenir

cualquier

estudiante.

-Se debe

llegar a

consensos

fruto de la

discusión del

grupo.


de propiedades ya


resta, multiplicación de

reales, al igual que las

propiedades para


ecuaciones, propiedad

distributiva del producto

respecto a la suma.…

Argumentos:



adecuados para la

solución de las

actividades propuestas

en el taller.




ecuaciones.

Propuesta de

tarea Lenguaje verbal: tarea,

ejercicios, tercero y

cuarto puntos del taller.




grado.

Definiciones:

Implícitas, lenguaje

conocido.

Proposiciones:

El Profesor plantea

complementar el taller

en lo referente al tercero

y cuarto puntos.

Proceso de

representación y


En el taller aparecen


para todos.

-Propone

desarrollar los

dos últimos

ejercicios del

taller para

complementarlos

en la próxima

clase.

-Termina la

clase.

-Asumir los

puntos

mencionados

como trabajo

extraclase.

Configuración

magistral

Mecanicista.

Ant, Pc,

Ar, Ant.

-Se debe dejar

tarea al

terminar la

clase.

-La tarea

deberá ser

socializada en

la siguiente

clase.




Godino, J. (2011), desde el Enfoque Ontosemiótico.

Tabla 31. Indicadores de idoneidad cuarta clase.



Situaciones-

Problemas

0%



X

Se proponen situaciones de generación de problemas (problematización) X

Lenguajes

100%



X

Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige X

Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación X

Reglas

(Definiciones,

proposiciones,

procedimientos)

100%



X



X



X

Argumentos

100%

Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas al

nivel educativo a que se dirigen

X


Relaciones

50%

Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones, etc.) se

relacionan y conectan entre sí.

X



X





para la idoneidad

epistémica)

100%

Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio

del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor planifica su

estudio).

X



X

Adaptaciones curriculares

a


100%



Aprendizaje:

Se tienen en cuenta los


para la idoneidad

epistémica)

25%



pretendidas:

X


argumentativa; influencia procedimental; comprensión situacional;


X


competencia

X


decisiones.

X




50%




X

Actitudes

100%



X



X

Emociones

100%


matemáticas.

X




discente

80%

El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación clara

y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los conceptos

clave del tema, etc.).

X



X




X



100%




matemáticos

X


Autonomía

100%


responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones;

exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una

variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver

problemas y comunicarlos).

X



Recursos materiales

(Manipulativos,

calculadoras,

ordenadores).

50%

Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir

buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones

adaptadas al contenido pretendido

X

Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas usando

situaciones y modelos concretos y visualizaciones

X

Número de alumnos,

horario


100%



X



X



X

Tiempo


/Tutorización; tiempo de


pretendida

X


X


aprendizaje).

66.6%

Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más dificultad

de comprensión

X



100%



X

Apertura hacia la

innovación

Didáctica.

50%


Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.)

en el proyecto educativo.

X

Adaptación socio-


100%


estudiantes

X


100%


crítico

X

Conexiones intra e

Interdisciplinares

100%


interdisciplinares

X



2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea el hexágono correspondiente:

Figura 17. Idoneidades de la cuarta clase de Fernando. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010;

Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009.

Esta clase del profesor Fernando analizada desde los criterios de idoneidad fue muy

similar a la anterior salvo que mejoró la idoneidad ecológica:


Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 70%). En la clase se propusieron unos

ejercicios graduados y de carácter constructivo, más no contextualizados; no se plantearon

situaciones problema, que permitieran la contextualización, aplicación y ejercitación de

saberes. No se trabajaron diferentes significados de los objetos identificados en las prácticas

matemáticas, debido al control del tiempo.

Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 75%). Como no hubo evaluación explícita, no

se pudieron observar los criterios que tienen que ver con ella. Un aspecto importante a

mejorar tiene que ver con esta problemática.

Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 83.3%). No se plantearon situaciones del

contexto por lo cual no se pudo valorar la utilidad de la matemática en la vida cotidiana.


identificar el progreso sistemático de los estudiantes.

Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 72.2%). No se utilizaron modelos y

visualizaciones para contextualizar las definiciones y propiedades de la clase.

Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 100%). Esta faceta está bien, es una de las

fortalezas de este docente, debe mantener estos criterios.

Idoneidad didáctica de las clases tercera y cuarta.

En la siguiente tabla se presenta la idoneidad didáctica de las dos clases de Fernando,

posteriores a la culminación de las actividades con el Grupo de Trabajo Colaborativo.


Figura 18. Idoneidad didáctica de la tercera y cuarta clase.

Idoneidad Didáctica

Clase Tendencia

% Tercera

%

Cuarta

%

Idoneidad Epistémica 70 70 70

Idoneidad Cognitiva 75 75 75


Idoneidad Interaccional 75 75 75


Idoneidad Ecológica 90 100 95


El hexágono que representa la tendencia de las dos clases del docente Fernando

sería:

Figura 19. Tendencia de las idoneidades de la tercera y cuarta clase de Fernando. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009.

En las dos clases se observa una similitud en todas las idoneidades excepto en la

ecológica, donde el docente mejoró en su última clase. Aún así, las idoneidades más bajas

de Fernando son en su orden la epistémica y la mediacional. La Fortaleza del profesor está

en la idoneidad ecológica y en la afectiva.


Análisis de Interacción.

Tercera Clase.

La tercera clase del profesor Fernando tiene 8 configuraciones didácticas. A continuación,

en la tabla 32, se plantean las interacciones que se presentaron en cada configuración.

Tabla 32. Análisis de interacción de la tercera clase.

AB Descripción


Total C1

1-7

C2

7-

223

C3

224

316

C4

317-

410

C5

411-

474

C6

475-

500

C7

501-

523

C8

524-

540

A Aclaración del docente a todo el

grupo, explicación corta.

5 3 3 2 4 17

Ant Aclaración no temática por parte

del profesor

2 2 3 2 1 4 4 18

Ap Aprobación de la respuesta dada

por el estudiante

9 2 2 1 1 15

An Negación de la respuesta dada

por el estudiante.

1 1

Ar

Autorespuesta del profesor, es

decir pregunta y responde su

pregunta.

2 1 3

de Discusión entre los estudiantes. 3 1 4

Des Desacuerdo del profesor ante

respuesta dada por el estudiante.

1 1 1 3

E Explicación amplia del profesor 1 1

e

Explicación amplia del

estudiante.

1 2 3

ic Intervención corta del

estudiante, sin que se la haya

solicitado el docente

2 1 3

int Intervención no temática del

estudiante

3 2 5

O El profesor ordena la ejecución

de una acción

2 1 1 1 2 7

Pc Pregunta corta del profesor

dirigida a todo el grupo

5 1 6

pc Pregunta corta por parte del

estudiante por iniciativa propia

al profesor

1 6 1 4 3 15

Pm Preguntas múltiples por parte del

profesor,

4 1 5

R Repetición del profesor de lo

que expresa el estudiante

1 1

Rc Respuesta corta del profesor

ante una pregunta del estudiante

1 3 1 5

Ra Respuesta argumentada del

profesor a una pregunta de un

estudiante

2 2 4


argumentada del estudiante

9 2 2 1 1 1 16



individual y corta

25 16 7 2 3 4 57

rm Respuesta de varios estudiantes

uno después del otro.

2 2

Sc Silencio corto de menos de un

minuto

5 1 1 1 1 9

Sp Silencio prolongado (más de un

minuto)

1 1

ap Aprobación de lo dicho por el

docente por parte del estudiante.

4 1 7 1 1 1 15

S T 6 105 35 35 9 7 24 15 236

Emergentes Después Del Trabajo Colaborativo

a Aclaración temática corta del

estudiante.

7 6 9 4 26

ant Aclaración no temática del

estudiante

5 6 3 5 4 1 1 25

ar Autorespuesta del estudiante,

pregunta y responde su pregunta.

4 2 2 8

co Consenso de grupo de

estudiantes acerca de una tarea

matemática o no

2 2 1 5

cop Complemento a la opinión de un

compañero.

12 3 6 4 2 27

des Desacuerdo del estudiante frente

a la opinión de los compañeros.

10 4 4 3 1 22

ex Expresión sin sentido completo. 8 1 3 3 2 17

l Lectura de un texto, taller o guía

por el estudiante

8 8 14 2 3 35

o Opinión del estudiante respecto

de un tema matemático.

53 17 21 17 5 113

Pcc Pregunta corta del profesor

dirigida al pequeño grupo

20 13 4 37

pcc Pregunta corta del estudiante a

sus compañeros.

20 7 9 9 4 49

pcc

m

Pregunta corta múltiple, varias

seguidas del mismo estudiante.

2 1 3

pnt Pregunta no temática del

estudiante.

1 1

r Repetición de lo que dice el

compañero.

4 2 1 7

rdes Reafirmación a un desacuerdo. 1 1

rp Repetición del estudiante de lo

que dice el profesor.

1 1

Sd Saludo del docente 1 1

so Solicitud de un estudiante a un

compañero

10 1 11

S

TO

1 137 66 84 54 19 4 4 369

TOT 7 242 101 119 63 26 28 19 605



Se realizó un análisis por configuración, basado en la trascripción de la tercera clase

de Fernando (TR3F). Las configuraciones 1,7 y 8 son de tipo magistral en gran grupo, las

demás son de corte dialógico en pequeños grupos, (Godino, Contreras y Font, 2006).

Tabla 33. Análisis de interacción por configuración., tercera clase.

Configuración Tiempo (Minutos)

Orden De Interacción Total

Configuración

1

5:40 O, Ant, Sd, Ant, O, pc, Rc. 7

Configuración

2

39:55 co, l, pcc, ric, o, cop, cop, cop, r, o, cop, des, o, des, ric, a, pcc, ria,

o,o, des, o, cop, r, pcc, ex, o, o,o, des, pccm, o, cop, pcc, r, ar, ex, l,

o, cop, de, e, a, a, o, R, o, pcc, o, int, int, o, pc, pnt, pc, Pcc, o, pc, Ap,

Pcc, Ar, Pcc, o, des, a, pccm, o, des, l, Pcc, ria, Pcm, rc, A, ric, Pcc,

ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Ap, Pm, ric, A, ric, a, pcc, de, int, l,

Pcc, ria, Ap, Pcc, A, Pcc, ria, Pcc, ric, A, sc, rp, Ap, ric, Ap, Pcc, ric,

Pcc, ric, Pcc, ric, Ap, Pcc, ric, Pm. ric, Ap, Pm, ric, Pcc, Ar, ric, Ant,

de, o, pcc, ria, des, o, pcc, o, pcc, sc, o. cop. Sc, o, sc, o, Ant, o, o,

pcc, ria, o, ap, ant, ric, ex, ex, ex, o, o, ex, pcc, ric, pcc, ria, o, pc, pcc,

ar, o, ant, pcc, ar, o, o, ap, o, o,o, cop, o, ant, des, sp, pcc, pcc, l, Pm,

ria, Pcc, ric, Ap, ric, Pcc, ric, Pcc, ria, o, Ap, A, pc, Rc, l, l, o, ap, cop,

pcc, ric, pcc, rm, pcc, rm, pc, ar, o, sc, a, pcc, o, cop, o, cop, o,o,o,o,

des, l, co, o, o, r, o, ant, ex, o, ant, o,o,o,ex, o, ap, a, des.

242

Configuración

3

17:40 Ant, l, ap, o, cop, l, o, co, ant, l, o, ant, pcc, ric, r, l,o, pcc, ar, l, o, pcc,

ric, Pcc, ric, Pcc, ria, Pcc, ric, Pcc, ex, Pcc, l, Ap, A, Pcc, ric, Pcc, ric,

Ant, ic, Pcc, ap, ric, A, Pcc, ric, Pcc, ric, Pm, ric, Pcc, ric, Pcc, ric,

Pcc, ric, An, ic, Ant, o, o, des, l, ant, e, e, o, cop, o, pc, ric, des, ant.

Ap, A, o, o, pcc, ar, pcc, ric, o, des, sc, l, r, o, o, pcc, ric, o, o, pcc,

ria, o, cop, ant, des, rdes, ant, co.

101

Configuración

4

22:17 O, ant, pcc, ric, so,ap, l, Ant, int, Ant, ex, cop, l, pcc, o, co, l, ap, so,

l, ap, so, l, int, l, des, so, l, cop, pcc, ric, so, l, ap, so, pccm, pcc, ar,

ant, l, des, a, ap, o, so, l, pcc, ric, cop, ex, a, pcc, ria, o, l, a, o,o, ant,

l, Pcc, o, o, ap, o, Pcc, ria, Pcc, ric, pc, Des, Ra, ap, l, o,cop,cop, so,

l, pcc, so, o, o, des, a, pcc, ar, des, o, a, sc, o, pc, A, o, A, o, Ap, a, A,

pc, Ra, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, so, ex, pc, ric, o, Pcc, Ar, cop, Ap

119

Configuración

5

16:11 O, ant, ant, ex, l, cop, l, pcc, pcc, a, pcc, a, so, o, pcc, o, des, o, des,

o, pcc, pcc, o, cop, r, A, o, a, A, o, Des, a, o, Ap, o, o, ap, a, o, o, pcc,

ric, a, ant, a, pcc, ric, ant, ex, o, cop, a, ex, o,o, pcc, ria, a, des, o, cop,

o, ant.

63

Configuración

6

7:43 O, a, ant, Ant, ant, o, a, pcc, ric, a, pcc, ria, cop, cop, a, ant, sc, o, pcc,

ric, o, pcc, ric, ant, o,o.

26

Configuración

7

2:27 O, Ant, ant, ap, Ant, Ant, l, Ap, l, Ant, l, O, Sc, A, Pc, ric, A, Pc, ric,

A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ria, E.

28

Configuración

8

2:07 Pc, ap, ic, Ant, pc, Ra, des, ant, Des, Ant, pc, Ra, ex, Ant, ex, Ant,

pc, Rc, de

19


Se resaltan en cada configuración y en orden de frecuencia:

Configuración 1: aclaración no temática del profesor (Ant) y orden del profesor (O).


Configuración 2: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); respuesta

del estudiante individual y corta (ric); pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo

(Pcc) y pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc).

Configuración 3: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); respuesta

del estudiante individual y corta (ric); pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo

(Pcc) y lectura de un texto, taller o guía, por el estudiante (l).

Configuración 4: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); lectura

de un texto, taller o guía, por el estudiante (l); solicitud de un estudiante a un compañero (so)

y pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc).

Configuración 5: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); pregunta

corta del estudiante a sus compañeros (pcc); aclaración temática corta del estudiante (a) y

aclaración no temática del estudiante (ant).

Configuración 6: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o);

pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc); aclaración temática corta del

estudiante (a) y aclaración no temática del estudiante (ant).

Configuración 7: pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc); aclaración

del docente a todo el grupo, explicación corta (A); aclaración no temática por parte del

profesor (Ant) y respuesta del estudiante individual y corta (ric).

Configuración 8: aclaración no temática por parte del profesor (Ant), pregunta corta

por parte del estudiante por iniciativa propia al profesor (pc) y respuesta argumentada del

profesor a una pregunta de un estudiante (Ra).

La clase en general tuvo una duración de 1:54, de 540 líneas de interacción y 8

configuraciones didácticas; las interacciones 1,7 y 8 son de tipo magistral, las demás de

carácter dialógico (Font, Planas y Godino, 2010), se confirma con el tipo de interacción que

se desarrolla en cada configuración, de donde se concluye que la clase básicamente es

dialógica. Las interacciones de mayor frecuencia en su orden son: opinión del estudiante

respecto de un tema matemático; pregunta corta del estudiante a sus compañeros; pregunta

corta del profesor, dirigida al pequeño grupo; y lectura de un texto, taller o guía por el

estudiante.




Tabla 34. Análisis de tiempo de participación. Tercera clase.

Configuración Alumno Docente Total Particiipación

Estudiante

Configuración 1 0:10 5:30 5:40 2.9%

Configuración 2 36:53 3:02 39:55 92.4%

Configuración 3 15:00 2:40 17:40 84.9%

Configuración 4 20:05 2:12 22:17 90.1%

Configuración 5 13:07 3:04 16:11 81.1%

Configuración 6 5:15 2:28 7:43 68%

Configuración 7 0:42 1:45 2:27 28.6%

Configuración 8 0:41 1:26 2:07 32.3%

Total 1:31:53 22:07 1.54:00 80.6%


Se observa que las configuraciones en donde el mayor tiempo de participación la tuvo el

docente fueron: la primera, dado que el profesor ocupó el tiempo dando las instrucciones para el

desarrollo del taller; la séptima, nuevamente se trabajó en gran grupo y se realizó la socialización

de los grupos con el proceso de institucionalización por parte del docente, y la última que

correspondió a la asignación de tarea y discusión de temáticas alternas. El resto de

configuraciones que corresponden a desarrollos en pequeños grupos, fueron los estudiantes los

que tuvieron la mayor participación. En general, en la clase, el grado de participación de los

estudiantes fue alto, del 80.6 %. Este criterio se corresponde con una clase de tipo no tradicional-

tecnológica.

Cuarta Clase.

La cuarta clase de Fernando tiene 8 configuraciones didácticas. A continuación, en la tabla

35, se plantean las interacciones que se presentaron en cada configuración.


Tabla 35. Análisis de interacción cuarta clase.

AB Descripción


Total C1

1-5

C2

6-

171

C3

172

-387

C4

388-

523

C5

524-

638

C6

639-

692

C7

693-

726

C8

726-

730

A Aclaración del docente a todo

el grupo, explicación corta.

3 3 1 6 13

Ag Agradecimiento del docente a

un estudiante.

1 1

Ant Aclaración no temática por

parte del profesor

3 2 3 2 2 7 1 2 22

Ap Aprobación de la respuesta

dada por el estudiante

3 2 1 2 8

Ar



pregunta.

1 2 1 4

c Conclusión del estudiante. 1 1 1 3

Des Desacuerdo del profesor ante


estudiante.

1 1 2

E Explicación amplia del

profesor

1 1

e

explicación amplia del

estudiante

5 4 9

ic Intervención corta del

estudiante, sin que se la haya

solicitado el docente

1 1 2

int Intervención no temática del

estudiante

2 2


ejecución de una acción

1 1 2 2 1 6 1 14



1 2 4 1 8 8 1 25


estudiante por iniciativa

propia al profesor

2

4

5 4 15

Pm Preguntas múltiples por parte

del profesor,

1 1 2

Pnt Pregunta no temática del

profesor

1 1 1 3

R Repetición del profesor de lo

que expresa el estudiante

2 2


ante una pregunta del

estudiante

2 4 6



estudiante

2 2

rgc Respuesta en coro de varios

estudiantes, respuesta general

corta.

1 2 3


argumentada del estudiante

2 2 3 1 8



individual y corta

6 2 14 3 2 3 30

Rm Respuesta de varios

estudiantes uno después del

otro.

3 3

Sc Silencio corto de menos de un

minuto

1 1 2


docente por parte del

estudiante.

9 3 9 3 2 26

S T 6 32 11 50 23 51 31 4 208

Emergentes Después del Trabajo Colaborativo

a Aclaración temática corta

del estudiante.

2 1 8 6 6 23


estudiante

13 11 11 9 1 45

ar Autorespuesta del

estudiante, pregunta y

responde su pregunta.

2 1 1 1 5

co Consenso de grupo de

estudiantes acerca de una

tarea matemática o no

1 1

cop Complemento a la opinión

de un compañero.

3 1 11 2 17

des Desacuerdo del estudiante

frente a la opinión de los

compañeros.

7 9 5 2 23

ed Expresión de duda ante lo

que afirma el compañero.

2 3 5

ex Expresión sin sentido

completo.

8 5 11 8 32

l Lectura de un texto, taller o

guía por el estudiante

8 1 14 3 1 27

o Opinión del estudiante

respecto de un tema

matemático.

67 12 41 33 153

pcc Pregunta corta del

estudiante a sus

compañeros.

23 7 19 10 1 60

pccm Pregunta corta múltiple,

varias seguidas del mismo

estudiante.

2 2


estudiante.

2 3 3 8

q Queja del estudiante

respecto del docente

1 1 2 4


compañero.

10 2 1 3 16

rdes Reafirmación a un

desacuerdo.

1 1 2

Rp Repetición del profesor de

lo que él mismo dice.

1 1

Sd Saludo del docente 0

so Solicitud de un estudiante a

un compañero

3 1 10 14


S TO 0 150 42 144 88 11 3 0 438

TOT 6 182 53 194 111 62 34 4 646 Fuente: elaboración propia.

Se presenta el análisis por configuración, tomando como referente la trascripción de

la cuarta clase de Fernando (TR4F).

Tabla 36. Análisis de interacción por tiempo y configuración. Cuarta clase.


(Minutos)

Orden de Interacción Total

Configuración 1 1:30 O, Pc, Ant, Ant, Sc, Ant, 6

Configuración 2 15:32 Pm, ria, l, o, ap,l, ant, ex, pcc, ant, ex, ant, o, o, cop, so, l, pcc,

ant, o, pcc, ria, ap, pcc, ap, l, o, pcc, ant, o, pcc, pcc, ex, pcc, o,

pcc, ant, ric, ant, o, o, o, o, pcc, o, o, ant, o, pcc, so, ric, o, o, o,

pcc, ex, ant, l, o, o, r, pcc, rm, des, o, r, o, o, r, ex, r, o, o, ap, o,

pcc, c, o, pcc, rm, ed, o, o, des, o, cop, o, o, ap, pcc, pcc, ric, ed,

ant, ant, q, ant, pc, o, pnt, o, ant, pnt, ap, ex. Ant, so, ap, Pc, l,

Ap, o, Ap, Ant, ex, O, rm, pcc, o, o, o, a, r, r, l, ex, l, o, o, o,

pcc, ric, o, o, ap, r, o, o, r, o, o, o, des, rdes, a, o, pcc, des, pc, o,

o, o, pcc, ric, o, des, des, o, o, o, o, o, des, o, o, o, o, pcc, o, pcc,

ric, cop, r, o, o, r, o, o, ap, o, Pc, Ap.

182

Configuración 3 13:30 O, so, O, ant, Ant, ant, r, Ant, pcc, ric, pcc, ric, ant, ant, ap, pcc,

ant, ex, Ant, ant, ant, ant, ex, ex, ex, q, pcc, pcc, ap, o, o, o, ant,

o, o, pcc, l, o, ap, o, o, r, ex, ant, o, o, o, cop, c, ant, pcc, a, o,

53

Configuración 4 10:28 O, ant, pcc, ric, so,ap, l, Ant, int, Ant, ex, cop, l, pcc, o, co, l, ap,

so, l, ap, so, l, int, l, des, so, l, cop, pcc, ric, so, l, ap, so, pccm,

pcc, ar, ant, l, des, a, ap, o, so, l, pcc, ric, cop, ex, a, pcc, ria, o, l,

a, o,o, ant, l, Pc, o, o, ap, o, Pc, ria, Pc, ric, pc, Des, Ra, ap, l,

o,cop,cop, so, l, pcc, so, o, o, des, a, pcc, ar, des, o, a, sc, o, pc,

A, o, A, o, Ap, a, A, pc, Ra, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, so, ex, pc,

Ric, o, Pc, Ar, cop, Ap, o, cop, o, cop, ex, ex, o, o, ex, o o, des,

rdes, o, pcc, pcc, pcc, ric, des, o, ex, pcc, ric, des, o, cop, pcc, ric,

o, ex,ex,ant, o, r, pcc, ric, pcc, ric, o, cop, ant, ap, pnt, ric, o, pcc,

pnt, ric, pccm, 0, ex, pnt, a, o, ap, pcc, o, o, des, c, o.o. ant, o,

pcc, o, ant, ant, ex, so, ant, a, ant, ant, des,

194

Configuración 5 34:30 L, ant, ap, ap, l, ex, l, r, o, pcc, a, o, o, o, q, o, des, q, ex, ed, o,

pcc, ric, o, o, des, a, Pc, Pnt, pc, ed, Des, Ant, pcc, ar, A, o, Ap,

pc, Rc, o, A, ant, o o, ant, o, ex, pcc, a, o, o, des, o, o, r, o, a, o,

o, o, o, pcc, ric, pcc, des, cop, cop, o, pcc, a, pcc, pc, ant, pc, ex,

a, o, pcc, ex, ex, ex, ant, o, r, o, o, ap, o, ed, pnt, pnt, ex, O, des,

ant, ant, Ant, ant, pc, o, o, o, A, ant, o, o, pnt, Rc, pcc, ric.

111

Configuración 6 19:28 Ant, rgc, Ant, pc, Rc, e, Ant, pc, Rc, e, E, pc, Ap, Rc, ic, Pc, Pm,

ria, ap, a, e, O, a, R, a, Ap, e, Ant, Pc, ric, Ant, Pc, pnt, Rc, l, Ant,

des, O, ant, O, pc, ar, Pc, ria, A, ap, Ant, O, des, O, e, Pc, ric, R,

a, a, Pc, ria, Pc, O, Pc, a

62

Configuración 7 5:09 Ag, A, Pc, ric, Pc, ria, Ant, Rp, ic, A, Pc, ric, A, PC, Ar, A, O, e,

pnt, e, Pc, rgc, e, pcc, ar, e, A, Pc, ric, Pc, rgc, A, Pc, Ar.

34

Configuración 8 1:32 Ant, Pc, Ar, Ant. 4 Fuente: elaboración propia.


Se resaltan en cada configuración y en orden de frecuencia:

Configuración 1: Aclaración no temática del profesor (Ant), dado que el profesor

estaba dando inicio a la actividad de clase y haciendo entrega del taller y las condiciones de

trabajo.

Configuración 2: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); pregunta

corta del estudiante a sus compañeros (pcc) y Aclaración no temática del estudiante (ant).

Configuración 3: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o);

aclaración no temática del estudiante (ant); pregunta corta del estudiante a sus compañeros

(pcc); expresión sin sentido del estudiante (ex).


corta del estudiante a sus compañeros (pcc) y lectura de un texto, taller o guía, por el

estudiante (l).


corta del estudiante a sus compañeros (pcc); y aclaración no temática del estudiante (ant).

Configuración 6: OPregunta corta del profesor dirigida a todos los estudiantes (Pc);

aclaración no temática del profesor (Ant); aclaración temática corta del estudiante (a); y

explicación amplia del estudiante (e).

Configuración 7: Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc); Aclaración

del docente a todo el grupo, explicación corta (A); explicación amplia del estudiante.

Configuración 8: Aclaración no temática por parte del profesor (Ant); pregunta corta

por parte del profesor a los estudiantes (Pc); y autorespuesta del profesor (Ar).

La clase en general tuvo una duración de 1:41, de 730 líneas de interacción y 8

configuraciones didácticas; las interacciones 1 y 8 son de tipo magistral, las demás de

carácter dialógico, del 2 al 5 en pequeño grupo, la 6 y 7 en gran grupo (Font, Planas y

Godino, 2010), de donde se concluye que la clase es dialógica. Las interacciones de mayor

frecuencia en su orden son: opinión del estudiante respecto de un tema matemático; pregunta

corta del estudiante a sus compañeros; aclaración no temática del estudiante y lectura de un

texto, taller o guía por el estudiante. Se observa que aparecen nuevas interacciones que son

propias de una clase diálogica y participativa.


En la siguiente tabla se muestra el tiempo utilizado tanto por el docente como por los

estudiantes en las diferentes configuraciones.

Tabla 37. Análisis de tiempo de participación en la cuarta clase de Fernando.

Configuración Alumno Docente Total Partipación del

Estudiante

Configuración 1 0:05 1:25 1:30 5.5%

Configuración 2 14:58 0:34 15:32 96.4%

Configuración 3 12:55 0:35 13:30 95.6%

Configuración 4 10:03 0:25 10:28 96%

Configuración 5 32:15 2:15 34:30 93.5%

Configuración 6 11:10 8:18 19:28 57.4%

Configuración 7 2:55 2:14 5:09 56.6

Configuración 8 0:12 1:20 1:32 13%

Total 1:23:33 17:06 1:41:39 82.2%


Las configuraciones en donde el mayor tiempo de participación la tuvo el docente, fueron:

la primera, dado que el profesor ocupó el tiempo dando las instrucciones para el desarrollo del

taller; la octava que correspondió a la asignación de tareas para la siguiente clase. El resto de

configuraciones que corresponden a 4 desarrollos en pequeños grupos y 2 en gran grupo, fueron

los estudiantes los que tuvieron la mayor participación. En general, en la clase la participación

de los estudiantes fue del 82.19%. Este criterio se corresponde con una clase de tipo no

tradicional-tecnológica.

Patrones de interacción en la tercera y cuarta clase.

A continuación, se muestran los patrones de interacción comunicativa que se

identificaron en el desarrollo de las clases del profesor Fernando, después de haber

participado en un grupo de trabajo colaborativo, con la respectiva frecuencia:

Tabla 38. Análisis de interacción en la tercera y cuarta clases.

AB Descripción Clase

3

Clase

4 Total

A Aclaración del docente a todo el grupo, explicación corta. 17 13 30

Ag Agradecimiento del docente a un estudiante. 0 1 1



An Negación de la respuesta dada por el estudiante. 1 0 1



pregunta.

3 4 7

c Conclusión del estudiante. 0 3 3

de Discusión entre los estudiantes. 4 0 4

Des Desacuerdo del profesor ante respuesta dada por el estudiante. 3 2 5


e Explicación amplia del estudiante 3 9 12

ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado el

docente

3 2 5




pc pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia al

profesor

15 15 30


Pnt Pregunta no temática del profesor 0 3 3



Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un

estudiante

4 2 6

rgc Respuesta en coro de varios estudiantes, respuesta general corta. 0 3 3



Rm Respuesta de varios estudiantes uno después del otro. 2 3 5

Sc Silencio corto de menos de un minuto 9 2 11

Sp Silencio prolongado (más de un minuto) 1 0 1

ap Aprobación de lo dicho por el docente por parte del estudiante. 15 26 41

S T 216 208 424

Emergentes Después del Trabajo Colaborativo

a Aclaración temática corta del estudiante. 26 23 49

ant Aclaración no temática del estudiante 25 45 70

ar Autorespuesta del estudiante, pregunta y responde su pregunta. 8 5 13

co Consenso de grupo de estudiantes acerca de una tarea matemática o

no

5 1 6

cop Complemento a la opinión de un compañero. 27 17 44

des Desacuerdo del estudiante frente a la opinión de los compañeros. 22 23 45

ed Expresión de duda ante lo que afirma el compañero. 0 5 5

ex Expresión sin sentido completo. 17 32 49

l Lectura de un texto, taller o guía por el estudiante 35 27 62

o Opinión del estudiante respecto de un tema matemático. 113 153 266

Pcc Pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo 37 0 37

pcc Pregunta corta del estudiante a sus compañeros. 49 60 109

pccm Pregunta corta múltiple, varias seguidas del mismo estudiante. 3 2 5

pnt Pregunta no temática del estudiante. 1 8 9

q Queja del estudiante respecto del docente 0 4 4

r Repetición de lo que dice el compañero. 7 16 23

rdes Reafirmación a un desacuerdo. 1 2 3

Rp Repetición del profesor de lo que él mismo dice. 0 1 1

rp Repetición del estudiante de lo que dice el profesor. 1 0 1

Sd Saludo del docente 1 0 1

so Solicitud de un estudiante a un compañero 11 14 25

S TO Subtotal 389 438 827

TOT Total 605 646 1251 Fuente: elaboración propia.


De acuerdo con la tabla anterior, las interacciones comunicativas típicas de las clases

del profesor, en su orden, son: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o),

pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y

corta (ric), aclaración no temática del estudiante (ant), Lectura de un texto, taller o guía por

el estudiante (l). Se observa que todas las interacciones corresponden a acciones del

estudiante, lo cual implica que el eje de la clase es el estudiante y ésta es no tradicional-

tecnológica.


ambas clases:

Tabla 39. Análisis de participación respecto al tiempo, de la tercera y cuarta clase.

Tiempo

(minutos)

Clase 3

Porcentaje

Participa de

estudia

Tiempo

(minutos)

Clase 4

Porcentaje

Participa de

estudia

Configuración 1 5:40 2.9% 1:30 5.5%

Configuración 2 39:55 92.4% 15:32 96.4%

Configuración 3 17:40 84.9% 13:30 95.6%

Configuración 4 22:17 90.1% 10:28 96%

Configuración 5 16:11 81.1% 34:30 93.5%

Configuración 6 7:43 68% 19:28 57.4%

Configuración 7 2:27 28.6% 5:09 56.6

Configuración 8 2:07 32.3% 1:32 13%

Total 1.54:00 80.6% 1:41:39 82.2%


Como se puede deducir de la tabla, el nivel de participación de los estudiantes en las

dos clases es alto (80.6%, 82.2%), esto se explica a partir de sus configuraciones; en la

primera clase las únicas configuraciones donde hay más participación del docente fueron

uno, siete y ocho, es decir los espacios de presentación de la actividad, y las dos de cierre

donde se hace socialización e institucionalización del conocimiento (Godino, Contreras y

Font, 2006) y se asigna el trabajo extraclase; en la segunda clase sucede algo muy similar,

en la primera y en la última son las que muestran mayor participación del docente, por las

mismas razones que la clase anterior, se resalta que estas configuraciones son las de menor

tiempo.


De lo anterior se puede concluir:

Las dos últimas clases del docente se distribuyeron en 8 configuraciones didácticas, lo

cual sigue mostrando su tendencia a realizar un desarrollo temático demasiado ambicioso,

son muchas tareas para una sesión de clase.

De las dos clases, el 31% de las configuraciones fueron consideradas de tipo magistral,

las restantes dialógicas (Godino, Contreras y Font, 2006), de donde se infiere que se está

hablando de un tipo de aula participativo, donde se privilegia el diálogo y el consenso, lo cual

implica una clase de tipo no tradicional-tecnológica.

En la tercera clase las interacciones más frecuentes del docente fueron: opinión del

estudiante respecto de un tema matemático; pregunta corta del estudiante a sus compañeros;

pregunta corta del profesor, dirigida al pequeño grupo; y lectura de un texto, taller o guía por

el estudiante. En la cuarta clase las interacciones más destacadas del docente fueron: opinión

del estudiante respecto de un tema matemático; pregunta corta del estudiante a sus

compañeros; aclaración no temática del estudiante; y lectura de un texto, taller o guía por el

estudiante. Se observa que aparecen nuevas interacciones que son propias de una clase

diálogica y participativa. Se determinó una identificación amplia de los patrones de

interacción comunicativa del docente Fernando en su segunda etapa, los cuales se plasman

en la tabla 38. Se resalta que hay patrones de interacción que emergieron en esta fase.

Se identificaron como las acciones de interacción comunicativa clásicas del docente

después de participar en el grupo de trabajo colaborativo, las siguientes: opinión del

estudiante respecto de un tema matemático (o), pregunta corta del estudiante a sus

compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y corta (ric), aclaración no temática

del estudiante (ant), Lectura de un texto, taller o guía por el estudiante (l). Se observa que

todas las interacciones corresponden a acciones del estudiante, lo cual implica que el eje de

la clase es el estudiante y se está ante una tipología de clase no tradicional-tecnológica.


El promedio de participación de los estudiantes en las dos clases fue de 81.4%, se

destaca el protagonismo del estudiante en el desarrollo de las mismas, es decir se trata de un

aula donde en algunos momentos asume el control de la clase (Wood, 1999), lo cual es propio

de una metodología no tradicional - tecnológica.

Análisis de la Comunicación.

Tercera Clase.

En cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, esta clase asume el modelo

orquestal de comunicación, se están aplicando los tres principios que plantea este modelo:

el principio de la totalidad, se tuvo en cuenta inicialmente el trabajo en pequeños grupos con

rotación para permitir intercambio de saberes, al final fue importante el trabajo de

socialización realizado en gran grupo, retomándose todo el trabajo que se había desarrollado

en forma grupal (ver análisis de la clase); en segundo lugar el principio de la causalidad

circular, en donde se observaron acciones y retroacciones, los grupos se implicaron unos a

otros al realizarse las distintas rotaciones; finalmente, la regulación, pues la comunicación

no puede existir sino está basada en unas normas, las cuales permiten el equilibrio del

sistema, algunas de las cuales fueron planteadas por el profesor al inicio de la clase y otras

que se manejaron de manera implícita por los estudiantes y el docente (Marc y Picard, 1992).

Aunque lo descrito es la generalidad de la clase, se presentan unas líneas de transcripción

[224] a [229], donde se observan acciones y retroacciones entre los miembros del grupo.

Adicionalmente, de este fragmento se pueden destacar normas de clase, como por ejemplo:

una vez roten, el relator comenta a los demás estudiantes que llegan, lo consensuado con el

grupo anterior; y los estudiantes debían refutar o asumir lo planteado de acuerdo a lo

trabajado en otros grupos.

[224] Profesor Vamos a rotar dejan al Relator y el Relator va a complementar las ideas el que

va llegando entonces rotamos hacia la derecha de cada grupo solo queda el

Relator, comentarios varios mientras cambian los estudiantes.

Aclaró que la indicación puede ser que el Relator les comenté a los que acaban

de llegar que conceptos o que definiciones han llegado y ustedes lo

complementan los que llegaron si están de acuerdo o no están de acuerdo con

ese proceso, pueden hacer una notica que es lo que ha variado y dos ir iniciando

el segundo punto.


[225] Relator Bueno nosotros escribimos que un conjunto que es una colección de elementos

de los cuales cumplen una condición para que se forme conjunto,

[226] Estudiante está bien o en otras palabras es una ecuación de elementos con una característica

en común

[227] Relator Que la característica seria la relación.

[228] Relator Bueno, Una función decimos que es una relación de parejas ordenadas donde

no existan dos parejas ordenadas con dos mismas primeras componentes ósea

que si existen si tienen primera componente igual deben tener por consiguiente

una segunda componente igual eso lo definimos como función,

[229] Estudiante nosotros dijimos que ahí relación entre dos conjuntos que a cada elemento

primero corresponde uno del segundo, una parábola es una función,

En cuanto a la clasificación de la comunicación, de acuerdo a la participación, la

comunicación fue recíproca, hay cambio permanente de roles, también interpersonal y

colectiva. Interpersonal, hubo permanente interrelación entre los estudiantes; colectiva y

pública, pues los destinatarios eran grupos pequeños y el gran grupo. Lingüística, dado que

el medio natural fue el lenguaje, apoyado por códigos paralingüísticos, también

extralingüística ya que se emplearon códigos distintos a la lengua natural, como la

simbología matemática, de los vectores y otros símbolos. Informal en el trabajo de grupos y

formal en la socialización. Teniendo en cuenta el canal, la comunicación fue audio visual,

el proceso se hizo leyendo el taller y libros, y escribiendo en los cuadernos y hojas. También

directa, pues implicó presencialidad, se dio por canales simples. Vertical, se realizó de

docente a estudiante, al inicio y culminación de la clase, pero horizontal en el transcurso de

la clase y en el trabajo en pequeños grupos (Niño, 1998).

[8] Estudiante Quien es el Relator

[9] Relator Bueno empecemos. Dice Verificar las definiciones que se tienen acerca de

conjunto, función, operación, operación binaria, axioma, cuerpo y campo qué

relación existe entre ellas, que finalidad tienen en el álgebra lineal. Entonces eee

bueno Como empezamos

[10] Estudiante Seria mirar las definiciones.

[11] Relator Dicen, que tienen acerca sobre conjunto: Conjunto es una relación un conjunto

es como un grupo

[12] Estudiante Que tiene varios elementos

[13] Estudiante cuyos elementos cumplen un fi de Z

[14] Relator Una condición

[15] Estudiante Una condición

[16] Relator Un conjunto cumple cierta condición.

Un conjunto es construido a partir de una cierta condición Fi de Z, pero esta es

la unión. Esta es la

[17] Estudiante Esta es la unión de varios elementos.

[18] Estudiante No porque puede ser vacío, un subconjunto

[19] Relator Entonces el conjunto vacío.


[20] Estudiante No porque dice ¿Cuál es la definición de conjunto? No la del conjunto vacío

[21] Relator Por eso cual es la definición de conjunto, vacío es un conjunto.

[22] Estudiante ¿Cuál es la definición de conjunto?

[23] Relator Por eso, Decimos que, un conjunto es la colección de conjuntos de un conjunto

referencial que satisface una condición, ósea un conjunto es una colección de

elementos de un conjunto que satisface una condición de un conjunto

referencial.

Se destacó el cambio permanente de roles y de interacción entre los estudiantes,

igualmente el trabajo en grupo, el medio fue el lenguaje apoyado con códigos

paralingüísticos [13], [17]; informal en su forma de participación; directa y horizontal, ya

que se presentó especialmente entre estudiantes.

Para esta clase se utilizaron símbolos (Peirce, 1974), por ejemplo, la expresión del

conjunto V= {(x,y,z)€r3; x,y,z>0}, los cuales siempre se utilizaron con significado

(Saussure, 1995). En cuanto a los códigos (Giraud, 1971), se tiene que en la clase se

utilizaron los códigos lingüísticos, los discursos del docente y de los estudiantes; los

paralingüísticos como sustitutos del lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales, ver

[8] a [23].

Se tomó la comunicación como medio para promover aprendizajes (Ponte, 2007), no

se observó que se asumiera explícitamente para el control de los estudiantes, como ejemplo

se puede observar de [501] a [512].

[501] Profesor Explicación de las definiciones por los grupos. Un voluntario que quiera

[502] Estudiante tu puedes todo el apoyo

[503] Estudiante si tu puedes

[504] Profesor todos van a participar, veamos la experiencia de todos

Se realiza la socialización de resultados.

[505] Profesor No se si haya un voluntario o voluntaria que quiera socializar, la intención es que

participemos todos y llegar a consensos.

[506] Estudiante nosotros definimos conjunto como una colección de elementos de un conjunto

referencial

[507] Profesor Bueno y la siguiente

[508] Estudiante (lee la definición no se escucha), operación interna y externa.

[509] Profesor David puede leer la siguiente

[510] Estudiante axioma…

[511] Profesor este grupo cuerpo y campo, qué pasó (no contestan)


[512] Profesor Bueno por tiempo, verifiquemos todos para cerrar, Hemos visto y recordemos que era

una serie de conjuntos y establecemos que un conjunto siempre lo numeramos con

una…

En cuanto al contrato didáctico (Brousseau, 1988), en la clase se pueden identificar

diferentes apartes donde sobresalen normas de la clase, por ejemplo:

[53] Estudiante ¿Una operación binaria?

[54] Relator Una operación binaria es una operación que se satisface un conjunto referencial, si me

entiende, digamos que x operado y, x más y en el conjunto referencial porque puede dar

una operación binaria.

[55] Relator Hola tienes el cuaderno de lógica ahí.

[56] Estudiante es para mirarlo ahí ja ja ja.

[57] Relator Una operación binaria ósea que “x” más “y”, “y” el conjunto de “A” más “B”. y que no

es conmutativa, ¿Profe? ¿entonces como quedaría la definición?

[58] Estudiante ¿Que hay que hacer ahí?

[59] Relator Profe una pregunta Una operación binaria digamos el conjunto operado “Y” pero en un

conjunto referencial pero como podría definir.

[60] Profesor Cómo es, ¿cómo es?

[61] Relator ¿Una operación binaria es digamos tenemos dos conjuntos, conjunto D y el conjunto T,

dentro de la suma A conjunto operado “¿Y” que sería la suma en la operación, pero en

el referencial que sería con los números naturales?

[62] Profesor ¿Ajá cómo quedaría? ¿Tiene el conjunto de, termínelo de construir, a ver como lo

armaron ustedes?

[63] Estudiante Entonces una operación binaria es la operación de dos conjuntos.

tiene un conjunto de llegada y un conjunto de salida

[64] Relator no pero ahí no habría conjunto

Se infieren varias normas del contrato didáctico de la sección de clase: la primera, que

la persona que tiene la última palabra es el docente, es decir la autoridad, aunque no la esté

ejerciendo directamente la tiene el docente; que el profesor no debe responder directamente

las preguntas del estudiante sino sobre conclusiones que hayan sacado los estudiantes; es

factible sacar textos y cuadernos para poder contestar el taller. Como este caso hay varios

dentro de la clase y se encuentran en el análisis de ésta.


las interacciones y de acuerdo a ellas a qué modo de comunicación pertenecen (Brendefur y

Frykholm, 2000).


Tabla 40. Modos de comunicación en la tercera clase.

Configu

ración

Interacciones Modos de

comunicación

1 O, Ant, Sd, Ant, O, pc, Rc. Unidireccional

2 co, l, pcc, ric, o, cop, cop, cop, r, o, cop, des, o, des, ric, a, pcc, ria, o,o, des,

o, cop, r, pcc, ex, o, o,o, des, pccm, o, cop, pcc, r, ar, ex, l, o, cop, de, e, a, a,

o, R, o, pcc, o, int, int, o, pc, pnt, pc, Pcc, o, pc, Ap, Pcc, Ar, Pcc, o, des, a,

pccm, o, des, l, Pcc, ria, Pcm, rc, A, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Pcc, ric,

Ap, Pm, ric, A, ric, a, pcc, de, int, l, Pcc, ria, Ap, Pcc, A, Pcc, ria, Pcc, ric, A,

sc,, rp, Ap, ric, Ap, Pcc, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Ap, Pcc, ric, Pm. ric, Ap, Pm,

ric, Pcc, Ar, ric, Ant, de, o, pcc, ria, des, o, pcc, o, pcc, sc, o. cop. Sc, o, sc,

o, Ant, o, o, pcc, ria, o, ap, ant, ric, ex, ex, ex, o, o, ex, pcc, ric, pcc, ria, o, pc,

pcc, ar, o, ant, pcc, ar, o, o, ap, o, o,o, cop, o, ant, des, sp, pcc, pcc, l, Pm, ria,

Pcc, ric, Ap, ric, Pcc, ric, Pcc, ria, o, Ap, A, pc, Rc, l, l, o, ap, cop, pcc, ric,

pcc, rm, pcc, rm, pc, ar, o, sc, a, pcc, o, cop, o, cop, o,o,o,o, des, l, co, o, o, r,

o, ant, ex, o, ant, o,o,o,ex, o, ap, a, des.

Reflexiva

3 Ant, l, ap, o, cop, l, o, co, ant, l, o, ant, pcc, ric, r, l,o, pcc, ar, l, o, pcc, ric,

Pcc, ric, Pcc, ria, Pcc, ric, Pcc, ex, Pcc, l, Ap, A, Pcc, ric, Pcc, ric, Ant, ic,

Pcc, ap, ric, A, Pcc, ric, Pcc, ric, Pm, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, An, ic,

Ant, o, o, des, l, ant, e, e, o, cop, o, pc, ric, des, ant. Ap, A, o, o, pcc, ar, pcc,

ric, o, des, sc, l, r, o, o, pcc, ric, o, o, pcc, ria, o, cop, ant, des, rdes, ant,co.

Reflexiva

4 O, ant, pcc, ric, so,ap, l, Ant, int, Ant, ex, cop, l, pcc, o, co, l, ap, so, l, ap, so,

l, int, l, des, so, l, cop, pcc, ric, so, l, ap, so, pccm, pcc, ar, ant, l, des, a, ap, o,

so, l, pcc, ric, cop, ex, a, pcc, ria, o, l, a, o,o, ant, l, Pcc, o, o, ap, o, Pcc, ria,

Pcc, ric, pc, Des, Ra, ap, l, o,cop,cop, so, l, pcc, so, o, o, des, a, pcc, ar, des,

o, a, sc, o, pc, A, o, A, o, Ap, a, A, pc, Ra, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, so, ex,

pc, ric, o, Pcc, Ar, cop, Ap

Reflexiva

5 O, ant, ant, ex, l, cop, l, pcc, pcc, a, pcc, a, so, o, pcc, o, des, o, des, o, pcc,

pcc, o, cop, r, A, o, a, A, o, Des, a, o, Ap, o, o, ap, a, o, o, pcc, ric, a, ant, a,

pcc, ric, ant, ex, o, cop, a, ex, o,o, pcc, ria, a, des, o, cop, o, ant.

Reflexiva

6 O, a, ant, Ant, ant, o, a, pcc, ric, a, pcc, ria, cop, cop, a, ant, sc, o, pcc, ric, o,

pcc, ric, ant, o,o.

Reflexiva

7 O, Ant, ant, ap, Ant, Ant, l, Ap, l, Ant, l, O, Sc, A, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc,

ric, A, Pc, ric, Pc, ria, E.

Unidireccional

8 Pc, ap, ic, Ant, pc, Ra, des, ant, Des, Ant, pc, Ra, ex, Ant, ex, Ant, pc, Rc, de Unidireccional Fuente: elaboración propia.

Lo que se puede deducir es que la clase es participativa, las interacciones que se

identificaron en cada configuración lo reafirman; 5 configuraciones resultaron con un

modelo comunicativo reflexivo, las cuales abarcan la mayor parte de la clase y 3 con el

modelo unidireccional, es decir que el modelo comunicativo del docente según estas

configuraciones es reflexivo, lo que se corresponde con un modelo de clase no tradicional-

tecnológico.


Cuarta Clase.

En lo referente a los modelos explicativos de la comunicación, esta clase se asocia

con el modelo orquestal de comunicación, se aplicaron los tres principios del modelo: el

principio de la totalidad, pues se tuvo en cuenta inicialmente el trabajo en pequeños grupos

(3 estudiantes) con rotación de un estudiante una vez, para permitir intercambio de saberes,

pero al final se realizó el trabajo de socialización en gran grupo, exponiéndose el trabajo

desarrollado por los grupos (AC4F); en segundo lugar el principio de la causalidad circular,

pues se presentaron acciones y retroacciones, los grupos se implicaron unos a otros al

realizarse la rotación y la socialización, (ver [6] a [16]); el principio de la regulación también

estuvo presente. Se muestran unas líneas de transcripción que dan cuenta de lo anterior.

[6] profesor ¿Que hacer? el primer enunciado qué les está pidiendo.

[7] Relatora

El R3 determinar si el vector X(2, 1,5) están en G, v1, v2 y v3 donde v1 es (1, 2, 1),

v2 ( 1, 0,2), donde, v3 (1,1,0) .

[8] Est1 yo supongo que es v3

[9] Relatora

Si también, para solucionar el ejercicio anterior identifique los elementos básicos

por ejemplo en qué conjunto se están trabajando como se expresaría el vector en

relación de los vectores v1, v2 y v3 que escalares permiten expresar el vector v en

función de los vectores dados…

Supongo lo que hicimos la vez pasada en el cuaderno

[10] Est1 Determinar…

[11] Est2 ¿Acá es v3 cierto?

[12] Est3 Dan ejercicios diferentes

[13] Est1 Determinar…

[14] Est3 Est7 me lo regalo hace mucho, Est7.

[15] Relatora toca hacer lo que hicimos en el cuaderno, eso de buscar el valor, como lo que hicimos

en el parcial

[16] Est1 Determinar si v(X) en (2,1,5); están en G donde v1, v2, v3 donde v1 es (1, 2,1), v2…

En lo referente a las normas de clase, se pueden inferir las siguntes: la distribución en

los grupos de trabajo es de 3 estudiantes, en forma libre; se debe nombrar un relator,

(implícita). Hay que socializar los resultados al terminar.

En cuanto a la clasificación de la comunicación, coincidió con la clase anterior, fue

recíproca, interpersonal, colectiva y pública, se desarrolló entre grupos pequeños y al final

en gran grupo. Lingüística, extralingüística, informal en el trabajo de grupos y formal en la

socialización. Fue audio visual, directa, vertical en una mínima parte de la clase, a su inicio


y culminación, pero horizontal en el transcurso de la misma (Niño, 1998). Se presenta la

trascripción de un fragmento de la clase, como evidencia.

[51] Est2 De estos dos

[52] Est1 Según esto uno es el generador

[53] Relatora Uno es el generador

[54] Est1 ¿Cuál sería el generador acá?

[55] Est3 X

[56] Relatora El conjunto S

[57] Est1 No, el generador sería los vectores

[58] Relatora Los vectores

[59] Est1 Esto seria

[60] Relatora Estos son los generados, este el generador

[61] Est1 De X sería el generador

[62] Est2 De X serian seria generador

[63] Relatora Si, v1, v2 y v3 serían

[64] Est1 Serian

[65] Relatora Un conjunto S, S es el conjunto el cual se genera

[66] Est1 Un conjunto generado

En esta clase al igual que en la anterior se utilizaron símbolos (Peirce, 1974), por

ejemplo, la expresión vectorial de un sistema de ecuaciones (AC4F)

(215

) = 𝑥 (121

) + 𝑦 (102

) + 𝑧 (110

)

También se manejaron símbolos ubicados en un contexto y en relación con otros

símbolos (Saussure, 1995), por ejemplo,

𝑟 =∝ �⃗� + 𝛽�⃗�

1 -4x +6x2 = ∝(1-x+x2) + 𝛽(2+x-3x2)

Así mismo, se utilizaron los códigos lingüísticos, los paralingüísticos y los

extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).

Para la clase se tomó la comunicación como medio para promover aprendizajes

(Ponte, 2007), se evidencia en las siguientes lineas:

[41] Relatora Pero toca explicar todo [42] Est1 Identifique los elementos básicos. ¿Cuáles son los elementos básicos? [43] Est2 Borrador mujeres. [44] Est1 Borrador no tengo [45] Relatora Primero ahí los elementos básicos


[46] Est1 y los elementos básicos son los dados [47] Est2 Es identificar los nombres de cada uno: (1, 2 ,1); menos (1,0,2) menos (1,10). [48] Relatora ¿En qué conjunto se está trabajando? [49] Est1 Elementos [50] Relatora Miré lo que dice yo no leí la otra parte

El conjunto A es un sistema generador si existe un conjunto S al cual genera

es decir si todo vector S se puede expresarse como combinación lineal de los

elementos de A, en ese caso se dice A es generador de S, o bien se engendra a

S es la combinación lineal, también pues ahí esta y 2 matrices pero se tienen

que sumar para que de una

En cuanto al contrato didáctico (Brousseau, 1988), en la clase se pueden identificar

diferentes apartes donde sobresalen normas de la clase, por ejemplo, teniendo en cuenta el

párrafo anterior ([41] a [50]): se puede utilizar cualquier tipo de información para el

desarrollo del taller: cuaderno, libros e internet; cada miembro del grupo debe aportar al

desarrollo de los ejercicios, hay que tomar como derrotero el taller y debemos solucionar las

actividades allí propuestas.



Frykholm, 2000).

Tabla 41. Modos de comunicación en la cuarta clase.

Configu

Ración


comunicación

1 O, Pc, Ant, Ant, Sc, Ant, Unidireccional

2 Pm, ria, l, o, ap,l, ant, ex, pcc, ant, ex, ant, o, o, cop, so, l, pcc, ant, o, pcc, ria,

ap, pcc, ap, l, o, pcc, ant, o, pcc, pcc, ex, pcc, o, pcc, ant, ric, ant, o, o, o, o,

pcc, o, o, ant, o, pcc, so, ric, o, o, o, pcc, ex, ant, l, o, o, r, pcc, rm, des, o, r, o,

o, r, ex, r, o, o, ap, o, pcc, c, o, pcc, rm, ed, o, o, des, o, cop, o, o, ap, pcc, pcc,

ric, ed, ant, ant, q, ant, pc, o, pnt, o, ant, pnt, ap, ex. Ant, so, ap, Pc, l, Ap, o,

Ap, Ant, ex, O, rm, pcc, o, o, o, a, r, r, l, ex, l, o, o, o, pcc, ric, o, o, ap, r, o, o,

r, o, o, o, des, rdes, a, o, pcc, des, pc, o, o, o, pcc, ric, o, des, des, o, o, o, o, o,

des, o, o, o, o, pcc, o, pcc, ric, cop, r, o, o, r, o, o, ap, o, Pc, Ap.

Reflexiva

3 O, so, O, ant, Ant, ant, r, Ant, pcc, ric, pcc, ric, ant, ant, ap, pcc, ant, ex, Ant,

ant, ant, ant, ex, ex, ex, q, pcc, pcc, ap, o, o, o, ant, o, o, pcc, l, o, ap, o, o, r, ex,

ant, o, o, o, cop, c, ant, pcc, a, o,

Reflexiva

4 O, ant, pcc, ric, so,ap, l, Ant, int, Ant, ex, cop, l, pcc, o, co, l, ap, so, l, ap, so, l,

int, l, des, so, l, cop, pcc, ric, so, l, ap, so, pccm, pcc, ar, ant, l, des, a, ap, o, so,

l, pcc, ric, cop, ex, a, pcc, ria, o, l, a, o,o, ant, l, Pc, o, o, ap, o, Pc, ria, Pc, ric,

pc, Des, Ra, ap, l, o,cop,cop, so, l, pcc, so, o, o, des, a, pcc, ar, des, o, a, sc, o,

Reflexiva


pc, A, o, A, o, Ap, a, A, pc, Ra, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, so, ex, pc, Ric, o, Pc,

Ar, cop, Ap, o, cop, o, cop, ex, ex, o, o, ex, o o, des, rdes, o, pcc, pcc, pcc, ric,

des, o, ex, pcc, ric, des, o, cop, pcc, ric, o, ex,ex,ant, o, r, pcc, ric, pcc, ric, o,

cop, ant, ap, pnt, ric, o, pcc, pnt, ric, pccm, 0, ex, pnt, a, o, ap, pcc, o, o, des, c,

o.o. ant, o, pcc, o, ant, ant, ex, so, ant, a, ant, ant, des,

5 L, ant, ap, ap, l, ex, l, r, o, pcc, a, o, o, o, q, o, des, q, ex, ed, o, pcc, ric, o, o,

des, a, Pc, Pnt, pc, ed, Des, Ant, pcc, ar, A, o, Ap, pc, Rc, o, A, ant, o o, ant, o,

ex, pcc, a, o, o, des, o, o, r, o, a, o, o, o, o, pcc, ric, pcc, des, cop, cop, o, pcc, a,

pcc, pc, ant, pc, ex, a, o, pcc, ex, ex, ex, ant, o, r, o, o, ap, o, ed, pnt, pnt, ex, O,

des, ant, ant, Ant, ant, pc, o, o, o, A, ant, o, o, pnt, Rc, pcc, ric.

Reflexiva

6 Ant, rgc, Ant, pc, Rc, e, Ant, pc, Rc, e, E, pc, Ap, Rc, ic, Pc, Pm, ria, ap, a, e,

O, a, R, a, Ap, e, Ant, Pc, ric, Ant, Pc, pnt, Rc, l, Ant, des, O, ant, O, pc, ar, Pc,

ria, A, ap, Ant, O, des, O, e, Pc, ric, R, a, a, Pc, ria, Pc, O, Pc, a

Reflexiva

7 Ag, A, Pc, ric, Pc, ria, Ant, Rp, ic, A, Pc, ric, A, PC, Ar, A, O, e, pnt, e, Pc, rgc,

e, pcc, ar, e, A, Pc, ric, Pc, rgc, A, Pc, Ar.

Reflexiva

8 Ant, Pc, Ar, Ant. Unidireccional Fuente: Elaboración propia.

Del cuadro anterior se infiere que la clase es participativa, 6 configuraciones poseen

un modelo comunicativo reflexivo, y abarcan la mayor parte de la clase; 2 configuraciones

tienen el modelo unidireccional, es decir que el modelo comunicativo del docente según

estas configuraciones es reflexivo, lo que se corresponde con un modelo de clase no

tradicional- tecnológico.

Generalidades de la Comunicación clases tercera y cuarta.

La clase del profesor se asocia con el modelo orquestal de comunicación, ya que se

aplicaron los tres principios que enfoca este modelo: el principio de la totalidad, pues se tuvo

en cuenta inicialmente el trabajo en pequeños grupos, una clase con varias rotaciones de

estudiantes, otra con una sola rotación, buscando facilitar la confrontación de saberes, los

cuales fueron socializados en gran grupo en la etapa terminal de la clase. En segundo lugar

el principio de la causalidad circular, se presentaron acciones y retroacciones ya que los

grupos se implicaron unos a otros al realizarse la rotación y la socialización; Por último, el

principio de la regulación también estuvo presente, pues la comunicación no puede existir si

no hay normas, algunas de las cuales fueron planteadas por el profesor al inicio de la clase y

durante la clase, otras que se asumieron implícitamente por los estudiantes y el profesor

(Marc y Picard, 1992).


En cuanto a las clases de comunicación, de acuerdo a la participación, la comunicación

fue recíproca, se presentaron cambios de roles. Interpersonal, huvo permanente interrelación

entre los estudiantes; colectiva y pública, se desarrolló en su mayor parte entre grupos

pequeños y al final el gran grupo. Lingüística, el medio básico fue el lenguaje, con códigos

paralingüísticos; extralingüística, se usó una simbología matemática. Informal en el trabajo

de grupos y formal en la socialización. Audio visual, ya que el proceso se hizo leyendo el

taller y libros, y escribiendo en los cuadernos, hojas y tablero. También fue directa. Vertical

al inicio y culminación de la clase, pero horizontal en el transcurso de la misma (Niño, 1998).

De acuerdo con Ponte (2007), para la clase se tomó la comunicación como medio para

promover aprendizajes. Ejemplos se mostraron en cada una de las clases. En cuanto al

contrato didáctico (Brousseau, 1988), se pudieron identificar diferentes normas las cuales

se evidenciaron en su respectivo análisis. Se destaca en estas clases que las normas tuvieron

que ver con las reglas generales de la misma, pero especialmente en la interacción entre los

estudiantes.



las interacciones de clase, en las tablas 40 y 41. Como se puede deducir de la información

anterior, el tipo de comunicación de la clase del profesor Fernando es reflexiva, ya que el 31.25%

de las interacciones son unidireccionales y el resto son reflexivas (Brendefur y Frykholm,

2000). Es decir, esta clase es de tipo básicamente dialógico, con momentos magistrales.

Discusión Final

A continuación, se realizará un análisis por cada una de las categorías, teniendo en

cuenta los ya elaborados a las clases anteriores al trabajo colaborativo (primera fase) y los

de las clases después de que el docente participó en el grupo de trabajo colaborativo

(segunda fase), con el fin de identificar factores de su práctica profesional, que fueron

(re)significados por el profesor, en la clase de matemáticas.


Análisis Didáctico.

La elaboración del análisis didáctico con los criterios del Enfoque Ontosemiótico

refleja la situación de la clase a profundidad, permitiéndo realizar una descripción detallada

de la clase, por lo cual el trabajo se concentrará en los criterios de idoneidad didáctica, dado

que permiten determinar la calidad y las mejoras en los procesos de enseñanza y aprendizaje

de las matemáticas (Breda, Font y Lima, 2015).

Se presenta en una tabla los resultados del análisis didáctico de Fernando, antes y

después del trabajo colaborativo.

Tabla 42. Resultados del análisis de los criterios de idoneidad didáctica en las dos fases.

Fuente: Elaboración propia.

La representación hexagonal sería:

Figura 20. Tendencia de las idoneidades de las dos fases. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010;

Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009.

Idoneidad didáctica Antes

del Trabajo Colaborativo

%

Posterior

al Trabajo Colaborativo

%

Idoneidad epistémica 59.7 70

Idoneidad cognitiva 66.6 75

Idoneidad afectiva 66.6 83.3

Idoneidad interaccional 15.7 75

Idoneidad mediacional 49.95 72.2

Idoneidad ecológica 60 95


En la primera fase se observa que las idoneidades más bajas del docente Fernando en

su orden son la interaccional y la mediacional, pero la crítica a desarrollar para este docente

es la idoneidad interaccional.

En la segunda fase (Posterior al trabajo colaborativo) la idoneidad más baja es la

epistémica seguida por la mediacional. Se resalta que hay re(significación) en todas las

idoneidades, especialmente hay que destacar que la idoneidad interaccional dejó de ser el

punto crítico.

A continuación, se mira puntualmente por idoneidad:

Figura 21. Análisis de idoneidad.

Componentes: Descripción Idoneidad epistémica

Situaciones-

Problemas

ATC: no se propusieron en la clase situaciones que permitieran generar problemas,

en este caso el docente planteó todos los problemas a trabajar por parte del

estudiante. Igualmente, no se propusieron situaciones donde los alumnos tuvieran

que generar o negociar procedimientos, definiciones o proposiciones. Tampoco se

presentaron diferentes significados de los objetos matemáticos.

DTC: Sucedió la misma situación en cuanto a generación de problemas por parte de

los estudiantes, y abordaje de diferentes significados de los objetos matemáticos.

M: En este criterio no se mejoró en cuanto al planteamiento de problemas por parte

de los estudiantes, al igual que sobre determinar diferentes significados de los

objetos. Sin embargo, si se propusieron situaciones donde los estudiantes tuvieron

que generar o negociar procedimientos, definiciones o proposiciones.

Lenguajes

ATC: fue adecuado el uso de diferentes modos de expresión matemática, tanto

verbal, como gráfica y simbólica. El lenguaje es adecuado al nivel universitario que

se está trabajando, así mismo, en la clase se propusieron actividades de

interpretación y de expresión matemática.

DTC: igualmente este aspecto fue similar. M: son aspectos positivos del docente que debe mantener.

Reglas

(Definiciones,

proposiciones,

procedimientos)

ATC: no se observaron fallas en el planteamiento de las definiciones y

procedimientos, y están adaptados para el nivel universitario. Sin embargo, no se

proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o negociar definiciones


DTC: Se hace un buen planteamiento de las definiciones y procedimientos,

adaptados al nivel universitario. Acá si se propusieron situaciones de generación

y negociación de conceptos.

M: Se mejoró el criterio de generación y negociación de conceptos.

Argumentos

ATC: las explicaciones fueron adecuadas al nivel universitario, pero no se

promovieron situaciones donde el alumno pudiera argumentar.

DTC: el docente tiene como fortaleza el adaptar las explicaciones para el nivel

universitario, además propuso situaciones donde el alumno tuvo que argumentar.

M: Se mejoró en que el profesor propuso situaciones donde el alumno tenía que

argumentar, mediante el trabajo en grupo y la socialización.


Relaciones

ATC: se relacionaron y conectaron los objetos matemáticos (problemas, definiciones,

proposiciones, etc.), pero no se abordaron los distintos significados de éstos.

DTC: igual.

M: no se mejóro el abordar los distintos significados de los objetos matemáticos.

Idoneidad Cognitiva


ATC: los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del

tema y el profesor considera que los contenidos pretendidos se pueden alcanzar.

DTC: igual

M: es una fortaleza del docente.

Adaptaciones

curriculares a

las diferencias

individuales

ATC: Se incluyeron actividades de ampliación, y se promovió el logro de todos los

estudiantes.

DTC: igual.


Aprendizaje:

ATC: No se mostró o identificó alguna forma que propusiera el docente como

evaluación de los procesos y prácticas, que señalara entre otros aspectos la

comprensión conceptual y proposicional. Como no hay evaluación no pudimos

fijarnos si en ella se tienen en cuenta los distintos niveles de comprensión y

competencia por parte del estudiante, al igual que si los resultados de esta evaluación

se usan para tomar decisiones.


argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional; competencia

metacognitiva

DTC: igual

M: No se mejoró en este aspecto, queda como criterio por mejorar.

Idoneidad afectiva


ATC: se propusieron tareas que tenían interés para los alumnos y algunos problemas

que mostraban lan utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana.

DTC: aunque las tareas fueron interesantes para los estudiantes, no se propusieron

problemas contextualizados.

M: se desmejoró ya que en la segunda fase no se propusieron problemas de

contexto, queda como aspecto por mejorar, ya que no es una práctica usual del

profesor.

Actitudes

ATC: se favoreció la argumentación en situaciones de igualdad, más no la

participación real del estudiante, con los valores de responsabilidad y perseverancia.

DTC: se respetó el proceso de argumentación independiente de la persona,

adicionalmente se dio buena participación al estudiante para generar valores de

responsabilidad y perseverancia.

M: se mejoró en el sentido de dar mayor participación al estudiante, y dar

oportunidad de desarrollo de valores como la responsabilidad y la perseverancia.

Emociones

ATC: se motivó al estudiante promoviendo el agrado por las matemáticas y

fomentando su autoestima, pero no se resaltaron las cualidades estéticas y precisión

de las matemáticas.

DTC: igual

M: no se mejoró el hecho de resaltar las cualidades y precisión de la matemática,

queda como aspecto por superar.

Idoneidad Interaccional


discente

ATC: el profesor realizó una buena presentación del tema, sin embargo, no se

hicieron preguntas adecuadas sino esperando una respuesta corta del estudiante,

tampoco se buscó el llegar a consensos, tampoco se usaron otros recursos retóricos

para motivar a los estudiantes.


DTC: se hizo una buena presentación del tema, la participación del estudiante fue

adecuada, pero no se motivó a los estudiantes con otros recursos retóricos.

M: Se mejoró en cuanto a la participación del estudiante, pero siguen faltando

recursos retóricos y argumentativos que mejoren la motivación del estudiante, queda

como aspecto por mejorar.

Interacción entre

alumnos

ATC: aunque se evitó la exclusión, no se buscó una participación significativa de

los estudiantes, que favoreciera el diálogo y la comunicación entre ellos.

DTC: se evitó la exclusión y se dio participación a los estudiantes, favoreciendo

el diálogo y la comunicación entre ellos. M: se mejoró el criterio de dar participación a los estudiantes favoreciendo el

diálogo y participación entre ellos.

Autonomía

ATC: dado que el profesor siempre explica todo en la clase, no da oportunidad de

que el estudiante asuma la responsabilidad del estudio.

DTC: el profesor hizo la clase participativa, dio oportunidad a que los estudiantes

asumieran la responsabilidad de la clase, realizando actividades como: plantear

cuestiones y presentar soluciones; explorar ejemplos y contraejemplos para

investigar y conjeturar; usaran una variedad de herramientas para razonar, hacer

conexiones, resolver problemas y comunicarlos, etc.

M: mejoró el aspecto comunicativo en general y en particular los procesos

matemáticos que de ello se derivan.

Evaluación formativa

ATC: no se realizó una observación sistemática del progreso cognitivo de los

alumnos.

DTC: igual

M: No mejoró el aspecto de la observación sistemática del progreso del alumno.

Queda como aspecto por mejorar para el docente.

Idoneidad Mediacional

Recursos materiales

(Manipulativos,

calculadoras,

ordenadores).

ATC: No se utilizaron materiales manipulativos e informáticos, al igual que las

definiciones y propiedades no fueron contextualizadas.

DTC: se utilizaron materiales manipulativos (talleres, calculadoras), lo que permitió

la contextualización de los objetos matemáticos.

M: Se mejoró en el criterio de utilizar materiales manipulativos que permitieran

contextualizar los objetos matemáticos.

Número de alumnos,

horario


ATC: el horario, la distribución de los estudiantes (forma matricial), al igual que su

número, permitió llevar a cabo la enseñanza pretendida.

DTC: igual, excepto la distribución de los alumnos, pequeños grupos.


Tiempo

(De enseñanza

colectiva

/Tutorización; tiempo

de aprendizaje).

ATC: uno de los problemas del docente es el tiempo, escoge una temática

demasiado ambiciosa, por lo cual el tiempo no es suficiente para la enseñanza

pretendida, no dedicando tiempo especial alos contenidos más importantes o que

son de más dificultad para el estudiante.

DTC: igual

M: el aspecto de control de tiempo queda por mejorar.

Idoneidad Ecológica


ATC: los contenidos, su implementación y evaluación son coherentes con las

directrices curriculares.

DTC: igual

M: es fortaleza del profesor.

Apertura hacia la

innovación

Didáctica.

ATC: la clase no tiene que ver con la Innovación basada en la investigación y la

práctica reflexiva, al igual que no integra las Tecnologías de la Información y

Comunicación.

DTC: se planteó una metodología que es innovadora, donde se utiliza material


manipulativo.

M: mejoró el criterio de nuevas metodologías y tecnologías en la clase de

matemáticas.

Adaptación socio-


ATC: los contenidos abordados contribuyen con la formación socio-profesional de

los estudiantes.

DTC: igual

M: fortaleza del docente.


ATC: Se promovió la formación en valores democráticos y el pensamiento crítico.

DTC: igual


Conexiones intra e

Interdisciplinares

ATC: los contenidos abordados se relacionan con otros contenidos intra e

interdisciplinares.

DTC: igual


Fuente: elaboración propia. ATC: Antes del trabajo colaborativo. DTC. Después del trabajo colaborativo. M: análisis de mejora.

Se consideran fortalezas de Fernando aquellos criterios que estaban inicialmente dentro

de su práctica pedagógica y los siguió manteniendo; un aspecto fue (re)significado si

inicilamente no lo tenía el docente, pero a través del trabajo colaborativo consiguió

desarrollarlo; se tiene un aspecto por mejorar, si inicialmente no estaba presente en las

prácticas del profesor y al finalizar el trabajo colaborativo, sigue sin estarlo. Lo anterior, se

detalla a continuación,

Tabla 43. La práctica pedagógica del docente al finalizar el trabajo. Análisis por idoneidad.

Idoneidad Fortaleza Re(Significación) Aspectos por Mejorar

Idoneidad Epistémica. Los lenguajes Reglas y argumentos Situaciones problema y

relaciones.

Idoneidad Cognitiva. Conocimientos previos y

adaptaciones

curriculares

Aprendizaje, lo que

tiene que ver con la

evaluación explícita de

la clase.

Idoneidad Afectiva. Actitudes Intereses y necesidades,

y emociones

Idoneidad Interaccional. Interacción docente-

discente, interacción

entre alumnos y

autonomía


Idoneidad Mediacional Número de alumnos,

horario y condiciones de

aula

Recursos materiales Tiempo, especialmente

en la distribución de

tareas.

Idoneidad Ecológica. Adaptación al currículo,

adaptación socio-

profesional y cultural, y

conexiones intra e

interdisciplinares

Apertura hacia la

innovación didáctica



Se presentan a continuación algunos aspectos referentes a la idoneidad epistémica o la

calidad de las matemáticas enseñadas. El profesor en las clases iniciales prácticamente no

propone problemas (uno en las dos clases), lo anterior coincide con lo que piensa, pues plantea

“en los ejercicios que involucro para trabajar, busco que se incluyan con enfoque de

algoritmos y en ocasiones la resolución de problemas” (Ent2F, 27 marzo 2015), explicando

de ésta manera la poca importancia que le da al planteamiento de problemas en el aula, lo

cual está acorde con su metodología “se trabaja la explicación de la temática en el tablero y

los estudiantes solucionan los ejercicios siguiendo un proceso similar al explicado” (Ent3F, 1

julio 2016); sin embargo, en la segunda fase, en las dos clases planteó situaciones

problémicas aunque sin utilizar el contexto (Alsina y Domingo, 2010), lo cual coincide con

su metodología después de reflexionar acerca de sus prácticas dentro del grupo de trabajo

colaborativo “el modelo de clase que propongo, está enfocado a la participación activa del

estudiante en la solución de situaciones problema donde ponga en juego sus conocimientos

previos y logre así construir los nuevos conceptos” (Ent4F, 18 noviembre 2016), pero aún

no se preocupa por generar actividades en donde promueva que el estudiante plantee sus

problemas.

El criterio sobre generación y negociación de conceptos fue (re)significado por el

profesor. En la primera fase esta generación y negociación no existía, pues el docente

pensaba que en la clase debía darse una “relación explicativa que hace el docente al

estudiante, teniendo como parámetro que éste puede preguntar en cualquier momento para

aclarar sus dudas” (Ent2F, 27 marzo 2015), lo cual no dejaba lugar a una búsqueda de

consenso. En la segunda fase, Fernando asumió un cambio, “especialmente en la concepción

de que el estudiante aprende sólo si le explico, lo cual conlleva a modificar las actividades y

asumir que el estudiante puede aprender sin necesidad de que yo esté dentro de ese proceso”

(Ent3F, 1 Julio 2016) lo cuál permitió que en sus clases se fomentara el trabajo en grupo, la

discusión y generación de conceptos.

En la idoneidad cognitiva, un aspecto por mejorar es la realización explícita de la

evaluación y el dejar inferir cuál es su objetivo; este factor no ha sido aún interiorizado por

el docente, al respecto manifiesta “hay aspectos que necesito interiorizar y esto es un proceso


que requiere de tiempo” (Ent3F, 1 julio 2016). El graduar los contenidos de acuerdo con los

conocimientos previos de los estudiantes, teniendo como objetivo una mejor comprensión

de los nuevos conceptos (Vygotsky, 1988), es una fortaleza del docente.

En la idoneidad afectiva, un aspecto por mejorar es el proponer tareas matemáticas que

tengan que ver con el contexto; aunque es un criterio interiorizado por el docente;

inicialmente decía que uno de los problemas de la enseñanza de la matemática “ es brindar

demasiada información al estudiante, esperando que comprenda las diferentes temáticas y

desarrolle un proceso algorítmico, sin analizar a fondo su utilidad en un contexto

determinado” (Ent2F, 27 marzo 2015), lo cual permite afirmar que existe una conciencia

por parte del docente hacia la importancia del contexto en la problemática de la clase. En la

segunda fase, en cuanto a los conocimientos matemáticos, el docente plantea que “ya no los

veo como entes totalmente abstractos, sino como que puede buscarse su representación en la

realidad y así aplicar la matemática en su contexto” (Ent3F, 1 julio 2016), lo cual lleva

nuevamente a pensar que Fernando cree en la importancia del contexto en la clase de

matemáticas, sin embargo, no lo ha puesto en práctica. Un aspecto que logró (re)significar

el docente fue referente a las actitudes, inicialmente por la estructura tradicional- tecnológica

de la clase (Porlán, 1995), la participación del estudiante se limitó básicamente a respuestas

cortas a preguntas del profesor lo cual no daba margen a mayores desarrollos participativos;

al cambiar el docente su estilo de clase, proponiendo actividades de trabajo de grupo, permitió

que los estudiantes realizaran interacciones entre ellos, con situaciones de igualdad y en

fomento de valores; respecto al rol del estudiante, el profesor manifestó

Mi rol cambió, antiguamente mi papel era reproducir algorítmicamente los procesos

explicados en el desarrollo de los ejercicios, actualmente, soy participe de la

construcción de los conocimientos que se trabajan en el aula, permitiéndole al estudiante

reflexionar sobre el proceso de aprendizaje que realiza en cada situación planteada,

llevándolo a un verdadero reto (Ent3F, 1 julio 2016).

En lo que respecta a la idoneidad interaccional, el aspecto que quedó por mejorar fue el

de la evaluación formativa, lo cual ya se fundamentó en la idoneidad cognitiva. Un criterio


que se (re)significó fue la relación docente-estudiante, en la primera fase el docente menciona

que “es un proceso de escucha, donde se debe estar pendiente de las orientaciones que se

brindan para no perder la idea de la explicación” (Ent2F, 27 marzo 2015) lo cual es

coherente con el actuar del docente; en la segunda fase hace comentarios como el siguiente

“he aprendido a mirar que la clase se puede trabajar más participativa, donde el estudiante

realmente sea el eje de ella, y comprender que existen otras formas de enfocar la práctica

pedagógica que dan mejores resultados en el proceso de aprendizaje del estudiante” (Ent3F,

01 Julio 2016), lo anterior indica un cambio de paradigma en cuanto a la relación docente-

estudiante, lo cual se evidenció en la práctica.

Otro factor que se (re)significó fue la relación estudiante-estudiante, inicialmente el

docente prácticamente no daba mucha posibilidad de una interacción entre los estudiantes,

consideraba que “entre los estudiantes debe presentarse una discusión interna que permita

aclarar las dudas entre ellos” (Ent2F, 15 Julio 2014), no llegar a consensos sino sólo aclarar

dudas, pero no brindaba el espacio para ello; posteriormente, Fernando manifiesta que “hoy

día lo que se busca es llevar al estudiante a reflexionar sobre un concepto, el cual es

contrastado con lo que piensan los compañeros y el profesor, orientados por una base teórica

de cualquier texto o ayuda de internet” (Ent3F, 1 Julio 2016), lo que lleva a una manera

diferente de actuar del docente como se logró evidenciar en las últimas clases. Finalmente y

como corolario de lo anterior, el criterio de autonomía del estudiante también se (re)significó,

que como se evidenció en las clases iniciales fue casi nulo, pero en las posteriores ya se

presentó este factor, “actualmente, si hay interacción entre ellos, al igual que con el docente

aunque en menor escala, corroboración en los textos de trabajo e internet, permitiendo así la

reflexión sobre la temática y conllevando a un mejor proceso de aprendizaje” (Ent3F, 01 Julio

2016), de lo cual se infiere que a menor participación del profesor se presenta una mayor

participación del estudiante y por ende mayor autonomía del mismo (Alrø y Skovsmose,

2002).

En lo que respecta a la idoneidad mediacional, el manejo del tiempo, principalmente

en lo que se refiere a la distribución de tareas, es un aspecto por mejorar de Fernando, el

cual lo reconoce, inicialmente el docente afirmó “la organización del tiempo en la clase


para la distribución de la temática, es uno de los aspectos que debo mejorar” (Ent2F, 27

marzo 2015), lo que implica que existe conciencia sobre la necesidad de (re)significar este

aspecto, sin embargo una vez culminado el trabajo colaborativo, manifiesta que “debo

evolucionar más en el control del tiempo de la clase, para dar campo a desarrollar diversas

estrategias conducentes al aprendizaje de los conceptos por parte de los estudiantes” (Ent3F,

1 Julio 2016), reconoce que este concepto no evolucionó lo esperado, por lo cual se

considera como no (re)significado. Así mismo dice, que “el estudiante puede aprender por

si sólo, con ayuda del profesor y de otros recursos” (Ent3F, 1Julio 2016), da importancia al

uso de recursos, en las primeras clases no utilizó material fuera del texto y el tablero,

posteriormente si utilizó fichas con talleres, los cuales entregó a cada grupo, teniendo en

cuenta la importancia del uso de medios educativos (Barrody, 1993).

En la idoneidad ecológica, un aspecto que logró el docente (re)significar, fue la

apertura hacia la innovación didáctica, ya que incluyó material manipulativo dentro de la

clase, y una metodología no tradicional-tecnológica (Porlán, 1995), “el modelo de clase que

propongo, está enfocado a la participación activa del estudiante en la solución de situaciones

problema donde ponga en juego sus conocimientos previos y logre así construir los nuevos

conceptos” (Ent4F, 18 Julio 2016), lo que propende por una innovación metodológica,

basada en la práctica reflexiva.


Se resalta que las interacciones que aparecen son propias del docente Fernando y

fueron emergiendo del análisis de sus clases, realizado en páginas anteriores.

La clase que inicialmente mostró Fernando fue de estructura jerárquica (Menezes,

1995), acorde con una tradicional-tecnológica (Porlán, 1995) y producto de ello emergieron

unas interacciones propias de este tipo de aulas (ver tabla 23). El análisis a clases realizadas

después de la participación del docente en el grupo de trabajo colaborativo mostró una

tipología no tradicional-tecnológica e interacciones emergentes nuevas, y sobre todo que

cambia en frecuencia el tipo de interacción (ver tabla 38). A continuación, se presentan las

interacciones de Fernando en sus dos fases.


Tabla 44. Interacciones típicas de la clase.

AB Descripción Fase 1 Fase 2

A Aclaración del docente a todo el grupo, explicación corta. 60 30

Ag Agradecimiento del docente a un estudiante. 1 1

Ant Aclaración no temática por parte del profesor 8 40

Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 8 23

An Negación de la respuesta dada por el estudiante. 0 1

Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y responde su pregunta. 16 7

c Conclusión del estudiante. 0 3

D Dictado que hace el profesor a los estudiantes de problemas o ejercicios. 14 0

de Discusión entre los estudiantes. 4 4

Des Desacuerdo del profesor ante respuesta dada por el estudiante. 0 5


e Explicación amplia del estudiante 0 12

ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado el docente 23 5

ia Intervención argumentada que hace el estudiante 4 0

int Intervención no temática del estudiante 1 7

O El profesor ordena la ejecución de una acción 9 21

Pa Pregunta argumentada por parte del profesor 4 0

Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 111 31

pc pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia al profesor 21 30

Pcd Pregunta corta del profesor y directa 4 0

Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 17 7

Pnt Pregunta no temática del profesor 0 3

R Repetición del profesor de lo que expresa el estudiante 14 3

Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del estudiante 9 11

Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un estudiante 2 6

rgc Respuesta en coro de varios estudiantes, respuesta general corta. 7 3

ria Respuesta individual argumentada del estudiante 10 24

ric Respuesta del estudiante, individual y corta 102 87

Rm Respuesta de varios estudiantes uno después del otro. 0 5

Sc Silencio corto de menos de un minuto 3 11

Sp Silencio prolongado (más de un minuto) 7 1

ap Aprobación de lo dicho por el docente por parte del estudiante. 0 41

S T 487 424

Después del Trabajo Colaborativo

a Aclaración temática corta del estudiante. 0 49

ant Aclaración no temática del estudiante 0 70

ar Autorespuesta del estudiante, pregunta y responde su pregunta. 0 13

co Consenso de grupo de estudiantes acerca de una tarea matemática o no 0 6

cop Complemento a la opinión de un compañero. 0 44

des Desacuerdo del estudiante frente a la opinión de los compañeros. 0 45

ed Expresión de duda ante lo que afirma el compañero. 0 5

ex Expresión sin sentido completo. 0 49

l Lectura de un texto, taller o guía por el estudiante 0 62

o Opinión del estudiante respecto de un tema matemático. 0 266

Pcc Pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo 0 37

pcc Pregunta corta del estudiante a sus compañeros. 0 109

pccm Pregunta corta múltiple, varias seguidas del mismo estudiante. 0 5

pnt Pregunta no temática del estudiante. 0 9

q Queja del estudiante respecto del docente 0 4

r Repetición de lo que dice el compañero. 0 23



Rp Repetición del profesor de lo que él mismo dice. 0 1

rp Repetición del estudiante de lo que dice el profesor. 0 1

Sd Saludo del docente 0 1

so Solicitud de un estudiante a un compañero 0 25

S TO Subtotal 0 827

TOT Total 487 1251 Fuente: elaboración propia.

De los análisis realizados a las clases se puede inferir lo siguiente.

Las clases del docente se distribuyeron en 8 configuraciones didácticas inicialmente,

las posteriores de 7, lo cual muestra su tendencia a realizar un desarrollo temático demasiado

amplio, se considera que son demasiadas tareas para una sesión de clase, lo cual se evidenció

en el análisis didáctico de las clases.

En la primera fase la totalidad de las configuraciones fueron catalogadas de tipo

magistral (Godino, Contreras y Font, 2006), lo cual implica una clase tradicional-tecnológica.

En la segunda fase, el 31% de las configuraciones fueron consideradas de tipo magistral, las

restantes dialógicas (Godino, Contreras y Font, 2006), de donde se infiere un tipo de clase

participativo, se privilegia el diálogo y el consenso, lo cual implica una clase de tipo no

tradicional-tecnológica (Porlán, 1995).

Igualmente se pueden mirar los patrones de interacción desde diversos autores. Se tuvo

el patrón de interacción cíclico (Lampert y Cobb, 1996), evidencia se presenta en el fragmento

de transcripción de la primera clase (Tr1F).

[26] P Eee. ¿Qué fue lo que

dijiste primero, una

función…?

Hace la señal con la

mano al estudiante de

que continúe

[27] A3 compuesta

[28] P Y será que a una función

compuesta yo puedo

aplicarle las mismas reglas

de derivación que he

venido trabajando

Con las manos señala el

tablero

[29] A

(indefin

ido)

No Contestan en coro


[30] A5 Pues... se aplican, tienen

que aplicarse

Lo dice en un tono fuerte

con seguridad

[31] P Pues se aplican aquí ya me

dijo… A5.

Habría que aplicar la regla

de la…

Señala con el dedo

índice hacia el estudiante

En las líneas [26] a [28] se observa un ejemplo del diálogo triádico (Lemke, 1985), es

decir que el profesor posee el control del discurso (Pimm, 1987) y orienta a los estudiantes

hacia las respuestas correctas, es un aula absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), igualmente

en [26] a [31] se puede mirar un enfoque de introducción, trabajo y conclusión-revisión

(Mehan, 1982). Así mismo, en el siguiente trozo de transcripción de Fernando (Tr1F), se

puede identificar el patrón de extracción (Voigt, 1985).

[94] P Bueno ahora si yo escribo

la siguiente función.

Quiero que a esta función

le hallen ¿cuál es la

función interna? ¿Cuál es

la función externa? Y que

la derivemos.

¿Cuál es la función

interna? A7 y ¿cuál es la

función externa?

f(x)=√4𝑥3 − 5𝑥 + 2

El profesor deja un lapso

de tiempo para que los

alumnos trabajen el

ejercicio.

[95] A Los alumnos aportan

diferentes ideas.

[96] P Y entonces… si quiero

derivarla, ¿cuál sería la

forma de derivarla? La

expresamos primero

¿Cómo?

[97] A3 A la un medio, como a la

un medio. Cuatro x al

cubo menos cinco x más

dos todo elevado a la un

medio.

f(x)=(4𝑥3 − 5𝑥 + 2)1

2

El profesor va

escribiendo en el tablero.

[98] P Repite a la un medio y ya

teniéndola elevada a la un

medio, ahora ¿qué proceso

sigo? Aplico la regla de

la…entonces cómo me

queda…¿me dicen por

favor?

f(x)=

[99] A2 Un medio factor de cuatro

x al cubo menos cinco x

más dos elevado a la

menos un medio

f(x)= 1

2(4𝑥3 − 5𝑥 + 2)

−1

2

[100] P Por

[101] A2 Doce x al cuadrado menos

cinco f(x)=

1

2(4𝑥3 − 5𝑥 +

2)−1

2 (12𝑥2 − 5)


[102] P Y…me quedaría así

porque no se puede

reducir, vamos a dejarla

así.

[103] A4 En el parcial también Todos ríen.

[104] A5 Me parece que se puede

trabajar con el exponente.

El profesor borra el

sector derecho del

tablero

[105] P Pues bueno ¿qué función

tendría ahí?

En esta transcripción también se puede determinar el patrón tradicional (Wood, 1994,

1998), en esta clase lo que interesa es la transmisión de la información es decir se sigue un

patrón univocal (Peressini y Knuth, 1998); también es considerada con un patrón

unidireccional (Brendefur y Frykholm, 2000), esta característica, aunque es genérica, se

puede observar en todo el fragmento [94] a [105]. En las siguientes líneas de trascripción,

correspondientes a la segunda clase de Fernando (Tr2F), se puede identificar el patrón del

embudo (Wood, 1994, 1998).

[4] P Dice: “que si x y y son funciones

derivables de t, las cuales están

relacionadas por la función y=x2+3 hallar 𝑑𝑦

𝑑𝑡 cuando xes igual a 1.

Dado que 𝑑𝑥

𝑑𝑡 =2 cuando x es igual a 1

… por la función y=x2+3

hallar 𝑑𝑦

𝑑𝑡 cuando x=1.

Dado que 𝑑𝑥

𝑑𝑡 =2 cuando

x=1

El profesor continúa

escribiendo el ejercicio en el

tablero

[5] P Entonces en este caso nos está hablando

que tenemos que ver que si x y y son

funciones derivables respecto en este caso

a la variable t, debemos relacionarlas con

la función y=x2+3 y hallar su derivada

respecto a t, cuando x vale 1.

Entonces tenemos nuestra ecuación que

es…

Conocemos regla de la cadena y

derivación implícita, entonces tenemos que

derivarla esa función implícitamente esa

función respecto a que variable…

Entonces en este caso tenemos la derivada

de y…

… y la derivada de t es…

y=x2+3

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡

El profesor escribe la

función en el tablero.

[6] E2

Mas cuatro Donde un estudiante

responde…


[7] p Cero porque es una constante.

Que conocemos acá, nos piden que

hallemos 𝑑𝑦

𝑑𝑡 cuando x=1. Conocemos

𝑑𝑥

𝑑𝑡 y

conocemos x=1, entonces cual es la otra

etapa

Quiere decir que la función 𝑑𝑦

𝑑𝑡 es igual a 4.

Reemplazar los valores 𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2(1)(2)

=4

El profesor corrige diciendo.

[8] P Ahora, eso es cuando solamente nos dan

una función y que tenemos que derivarla

respecta a otra y hallar sus párrafos, que

era lo que tenía que ver con el ejercicio 8 y

9 de los que tenían que desarrollar, que rea

derivar respecto a otra variable.

En lo anterior se observa que prima en el aula una discusión común (Loska, 1998), es

decir que el docente es el que posee el uso de la palabra con pocas intervenciones de los

estudiantes. Así mismo, el profesor prioriza la transmisión de la información y hace una

exposición tipo conferencia (Schwarz, et al, 2004), lo que concuerda con los patrones

afirmativo (Sierpinska, 1996) y transmisionista (Villalta y Martinic, 2009); esto se evidencia

en [4] a [8], (Tr2F).

Se identificaron como los patrones de interacción comunicativa típicos del docente en

su primera fase, los siguientes: la pregunta corta por parte del docente, al igual que la

respuesta individual corta por parte del estudiante, las aclaraciones y explicaciones cortas

del docente, la explicación amplia del docente y la autorespuesta por parte del mismo. Lo

anterior nuevamente lleva a pensar que la clase es de tipo tradicional-tecnológica.

Una forma de mostrar el flujo de participación en el aula es presentada a

continuación, cambiando el patrón de interacción por el autor del mismo, ya sea el docente

o el estudiante. Para ello, plantearemos las interacciones de la primera clase del docente

Fernando.


Tabla 45. Flujo de participación de la primera clase..

Configu

Ración

Interacciones Flujo De Participación Total

1 Pcd, O, Pc, O, A, Pc, ric, R, Pc, Ar, A, Pcd, ric, A,

Pc, ric, Pc, ric, R, Pcd, ric, Pc, ric, R, Pc, ric

P, P, P, P, P, P, e, P, P, P, P, P, e, P, P, e,

P, e, P, P,e, P, e, P, P, e.

P = 19

e = 7

2 Pm, ric, Pc, ric, pa, ric, ric, R, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc,

ric, A, Pc, Ar, Pc, ric, Pm, ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, ic,

Pc, ria, Ap, Ant, Pc, Ar, A, Pc, ric, Pc, rgc, A, ic, A,

Pm, ria, A, Pc, ric, Ap, A, Pc, pc, Rc, pc, rgc, Pc, ric,

Pc, ric, A.

P, e, P, e, e, e, e, P, P, e, P, P, e, P, e, P, P,

P, P, e, P, e, P, e, P, P, P, e, P, e, P, P, P, P,

P, P, e, P,e,P, e, P, P, e, P, P, e, P, P, P, e,

P, e, e, P, e, P, e, P.

P = 36

e = 23

3 A, Pc, ric, Pc, ria, Pc, Sp, Pm, rgc, Pm, rgc, A, Pc,

rgc, A, ic, Ap, Pc, Ar, ic, Ap, Pc, Ar, Pc, ric, Pc, ric,

R, ic, Pm, pc, Ra, ic, A, Pc, Ar, ic, A.

P, P, e, P, e, P, P, P, e, P, e, P, P, e, P, e, P,

P, P, e, P, P, P, P, e, P, e, P, e, P,e, P, e, P,

P, P, e, P.

P = 25

e = 13

4 Pm, ria, Pm, ria, Pc, ric, A, ic, ic, Pc, ric, A, Pc, ric,

A, pc, Rc.

P, e, P, e, P,e, P, e, e, P, e, P, P, e, P, e, P. P = 9

e =8

5 Pc, Sp, Pc, ric, Pm, ric, A, ric, Pc, ric, E, Pc, ric, A,

Pc, ric, Pc, ria, A, ic, ria, Pc, Ar, E.

P, P, P, e, P, e, P, e, P, e, P, P, e, P, P, e, P,

e, P, e, e, P, P, P.

P = 15

e = 9

6 O, pc, O, ric, Ap, ic, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc,

ric, R, ric, Ap, Pc, ric, ric, A, Pc, Sp, E, Pc, ric, Pc,

ria, Pc, ric, Pm, ric, A, Pc, ric, E, ic, Pc, ia, Pc, ric,

Ag, A, Pm, pc, A, De, ic, E, ic, A, pc, Pc, Ar, E, ic,

A, ia, E, Pc, ric, E, Pc, ric, E, pc,

P, e, P, e, P, e, P, e, P, P; e, P, P, e, P, e, P,

e, P, P, e, e, P, P, P, P, P, e, P, e, P, e, P, e,

P, P, e, P, e, P, e, P, e, P, P, P, e, P, P, e, P,

e, P, e, P, P, P, e, P, e, P, P, e, P, P, e, P, e.

P = 41

e = 27

7 D, pc, D, pc, D, Pm, ria, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric,

Pc, ric, Ap, A, Pc, ric, R, Pc, ric, ric, A, Pc, rgc, ric,

Pc, rgc, A, ic, E, ia, E, Pm, ric, ric, Pm, ric, ric, Pm,

pc, A, Pc, ric. A, ic, R, Pc, ric, A, Pc, ric, A, ic, R, A,

Pc, ric, E, Pc, ric, A, Pc, ric, Pm, Ar, ic, E, Pc, pc, Rc,

Pc, ric, Pm, ric, ric, E, Pc, ric, R, De, A, Pc, ric, R,

Ant, ia, Ant, ic, Pc, ric, A, De, ic, A, De.

P, e, P, e, P, P, e, P, P, e, P, P, e, P, e, P, e,

P, P, P, e, P, P, e, e, P, P, e, e, P, e, P, e, P,

e, P, P, e, e, P, e, e, P, e, P, P, e, P, e, P, P,

e, P, P, e, P, P, P, e, P, P, e, P, P, e, P, P, e,

P, P, e, P, P, e, P, e, e, P, P, e, P, P, e, P, P,

e, P, e, P, e, P, P, e, P, P..

P = 57

e = 38

8 D, Ant. P, P. P = 2 Fuente: elaboración propia.

Se evidencia el protagonismo del docente en todas las configuraciones y en todo caso

las intervenciones de los estudiantes en una gran mayoría corresponden a respuestas cortas

del docente. Lo anterior implica por sus características de participación, que es una clase

magistral (Godino, Contreras y Font, 2006), y por ende tradicional-tecnológica (Porlán, 1995).

En la segunda fase, las configuraciones fueron consideradas dialógicas (Godino,

Contreras y Font, 2006), es decir es una clase participativa, donde prima el diálogo y el

consenso, lo cual genera una clase no tradicional-tecnológica (Porlán 1995).

En esta aula se promueve la participación del estudiante y se considera que por

momentos los estudiantes asumen el control de la clase, básicamente cuando se desarrolla el

trabajo en grupo, es decir existe cierta autonomía por parte del estudiante (Wood, 1999); se

identifica también que la autoridad del docente por instantes se transfiere al relator del grupo

o por el alumno que dentro del grupo posea el mayor respeto por sus conocimientos en el área

(Alrø y Skovsmose, 2002). El rol del docente es el de orientador y generador de ambientes


de aprendizaje, totalmente opuesto al de la primera fase (Ponte, Oliveira, Cunha y Segurado,

1988). En el siguiente tramo de transcripción, correspondeinte a la tercera clase de Fernando

(Tr3F) donde se está discutiendo sobre el concepto de ley de composición interna, operación

binaria y axioma, se pueden observar evidencias de las apreciaciones anteriores.

[116] Profesor P entonces, exacto, ¿cómo lo llamarían?

Bueno otro ejemplo, me salgo de lugar para ver si…

[117] Relator Yo entiendo profe, pero no sé cómo llamarlo

[118] Profesor Voy a dejarlo que lo piensen

[119] Est1 Discusión de grupo

[120] Relator Es interno

[121] Est2 ¿Cómo?

[122] Relator Es un conjunto del subconjunto referencial entonces es un subconjunto.

[123] Est2 ¿No por qué?

[124] Est3 Es un conjunto subconjunto del referencial

[125] Profesor ¿Cuál es la otra?

[126] Relator ¿Una operación binaria es la operación… ¿Cómo? Una operación binaria es la

operación

[127] Relator Es la operación en un conjunto

[128] Est1 Entre dos conjuntos

[129] Relator Una operación entre dos conjuntos

[130] Relator La cual está definida en un conjunto referencial

[131] Profesor Ya casi están ubicados

[132] Relator La cual está definida en un conjunto referencial la cual tiene como resultado un

conjunto interno del subconjunto de este conjunto referencial del mismo conjunto.

[133] Est1 Operación interna

[134] Est3 ¿Del mismo conjunto?

[135] Relator Del mismo y obtiene como resultado un subconjunto del mismo, o sea del referencial

[136] Est2 Eso es una operación interna

[137] Relator Si es una operación interna

[138] Est3 Qué más hay por aquí

[139] Relator Cuerpo y campo

[140] Estudiant

es

Risas

[141] Est2 Bueno ahí vamos

[142] Estudiant

es

Risas

[143] Est1 Eso es una función

[144] Est2 Compleja eee un conjunto en una relación

[145] Relator Cuerpo y campo


[146] Est2 ¿Qué es un axioma?

[147] Est3 El axioma es algo como verdadero

[148] Relator ¿Qué es un axioma?

[149] Est2 Es una ley, una regla una regla ya demostrada siempre se va a cumplir ya está

demostrada.

[150] Est1 Entonces un axioma es una regla que podemos seguir

[151] Relator ¿Un axioma… Profe?

[152] Relator Qué es cuerpo y campo. No primero axioma.

[153] Relator Un axioma es algo que ya está comprobado

[154] Est2 Un teorema o algo así

[155] Relator Dejémoslo así y ahorita miramos el cuaderno

[156] Relator Qué es un axioma, un axioma es una ley, no no, es algo que ya está

[157] Est2 Es una norma que ya está

[158] Relator Es como más que todo una ley

[159] Est1 Puede ser, es como una regla

[160] Relator Una regla ya demostrada que siempre va a cumplir

[161] Est1 Puede sacar la demostración, pero no sabe que ya está demostrada

[162] Relator Es como verdadero, ya está demostrada. Es como una regla que ya está demostrada

Se resalta que el docente interviene especialmente con preguntas, buscando mayor

fluidez en el análisis que están realizando los estudiantes (Menezes, 1995), [116] y [125]; en

la estructura de las clases de la segunda fase de Fernando, los estudiantes trabajan inicilamente

en grupos, para luego socializar lo realizado con la respectiva complementación por parte del

docente, lo que concuerda con el patrón de discusión (Voigt, 1985) y el de focalización

(Wood, 1994, 1998). El objetivo de mejorar la interacción entre los estudiantes, fue priorizar

los conocimientos personales de los estudiantes, lo cual se asocia con un patrón dialógico

(Peressini y Knuth, 1998); de la misma manera también concuerdan con los patrones

contributivo y reflexivo (Brendefur y Frykholm, 2000), estas características se pueden

observar en el anterior fragmento de trasncripción.

El profesor aplicó la discusión natural (Loska, 1998) cuando planteó un taller y dejó

libertad a los estudiantes para discutir y llegar a multiples conclusiones de acuerdo a lo que

consideran pertinente; su intención fue que los estudiantes argumentaran y refutaran las ideas

de los demás, llegando a nuevas propuestas, lo cual está acorde con el diálogo crítico

(Schwarz, et al, 2004) y con el patrón interrogativo (Sierpinska, 1996), o sea que lo


pretendido en el aula fue promover aprendizajes mediante procesos de razonamiento entre

docente y estudiantes (Velasco, 2007). Evidencia de lo anterior lo encontramos en el

siguiente fragmento correspondiente a la cuarta clase de Fernando (Tr4F).

[639] Profesor Quiero que socialicemos el primer punto entonces le damos un giro hacia al lado del

tablero.

Entonces en esta socialización vamos a identificar sobre el primer punto, los que van en

el tercer y cuarto punto saben que es necesario del primer punto para poder

complementar el segundo y el tercero.

Entonces quiero hacerlo al azar, un voluntario o voluntaria

Entonces que vamos, me escuchan al primero que vamos a socializar 2 factores: primero

cuando ustedes leyeron van a pasar uno de los relatores en ese caso casi fueron todos

solo hubo una persona que tuvo movimiento, que dificultades encontró y como las sorteo

en el grupo y a qué solución llegaron con el grupo, entonces vamos a empezar con el

grupo de Est1 voluntario o voluntaria, bueno ahí son voluntarias

[640] estudiantes Est1

[641] Profesor Est1 la escogieron por democracia, ahí está el tablero, ahí están los marcadores.

Primero cuéntanos cuando leyeron la guía o la hojita con que se enfrentaron ustedes

cuales fueron las primeras dificultades que encontraron ahí y como la lograron sortear,

entonces escribe el enunciado que tienes ahí

[642] EST1 Se lo escribo o se lo leo

[643] Profesor Escríbelo lo que dice ahí

[644] EST1 En R3 determinar si el vector X es igual a (2, 1, 5) en G, v1, v2 y v3 donde v1 es (1, 2,

1), v2 es igual a (1, 0,2) y v3 es igual a (1, 1 ,0), para solucionar el ejercicio anterior

identifique los elementos básicos por ejemplo en qué conjunto se están trabajando en el

conjunto R3 anteriormente como se expresaría el vector en relación de los vectores v1,

v2 y v3

[645] Profesor Entonces escribamos en el tablero

[646] EST1 ¿Los vectores?

[647] Profesor Los vectores y los determinamos

[648] EST1 Los escribo

Generardor= V1=(1,2,1) V2=(1,0,2) V3=(1,1,0)

Generado = V(X)=(2,1,5)

(215

) = 𝑥 (121

) + 𝑦 (102

) + 𝑧 (110

) {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2

2𝑥 + 𝑧 = 1𝑥 + 2𝑦 = 5

x=1, y=2, z= -1

[649] Profesor Entonces nos dice que en el ejercicio de ellas que el vector v que ese vector v (2, 1, 5)

es generado por los vectores v1, v2 y v3, eso es lo que nos están diciendo es lo que

genero varias preguntas que, qué conjunto era cierto para los grupos que tenían ese

ejercicio estuvimos de acuerdo con la primera parte que ellas están haciendo. Listo,

ahora después de que nos decían en qué conjunto estábamos trabajando como

expresarían el vector v en relación con los otros 2 vectores, con los 3 vectores en este

caso

[650] EST1 ¿Como expresaría este, con este?

[651] Profesor Con este si señora

[652] EST1 Con los otros 3 vectores

[653] Profesor ¿Entonces que hicieron ahí?


¿Listo, Est7 esa estructura que ella hizo ahí en el tablero es coherente o no coherente

que nos quiere decir?

[654] EST7 Pues ahí está buscando ósea la, multiplicó los vectores de la del se me olvido, organizo

los valores de los escalares

[655] estudiantes Si

[656] EST7 Y pues para encontrar unas ecuaciones y para hacer un despeje de ecuaciones y al hacer

el despeje encuentra ya los valores de cada escalar

[657] estudiante La deducción como tal no viene así porque primero deberíamos saber, por ejemplo, al

sumarlos puede que los vectores de una vez generen el Vx como tal, o al multiplicar

Est7 puede que nos genere los vectores como tal entonces se puede deducir que mediante

unos escalares se multiplican a cada vector que nos dan para que pueda generar el vector

Vx.

[658] Profesor Est7 y sigue Est9

[659] EST7 Lo que entendí ahí es que están escogiendo las ecuaciones generadoras

[660] Profesor Las ecuaciones generadoras, los vectores generadores

[661] EST7 los vectores generadores y los igualo al que tenemos que hallar con la relación de esos

dos

[662] Profesor Bueno si

[663] EST9 Profe lo que nosotras hicimos fue colocar X, Y y Z como escalares para luego sacar las

ecuaciones y mirar en las ecuaciones los valores de X, Y y Z que nos cumplieran con

que esos 3 vectores fueran los generadores del vector generado

[664] Profesor ¿Bueno quien más otro grupo que tenía, aquí ustedes a que conclusión llegaron?

[665] estudiante Nosotros hicimos todo normal

A continuación, se presenta el flujo de participación en la tercera clase del profesor

(segunda fase), cambiando el patrón de interacción por el autor del mismo.

Tabla 46. Flujo de participación de la tercera clase.

Configu

Ración

Flujo De Participación Total

1 P, P, P, P, P, e, P. P = 6

e = 1

2

e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,

e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, P, P, P, P, e, e,

e, e, e, e, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, P, e, P, e, e, e, e, e, e, P, e, P, P, P,

P, e, P, e, P, e, e, P, e, P, P, e, P, e, P, e, P, P, e, P, e, P, P, e, P, P, e, P, e, e, e, e, e, e,

e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,

e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, e, P, P, e, P, e,

P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,

e, e, e, e, e, e, e, e, e, e.

P = 47

.e = 206

3

P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, P, P,

e, P, e, P, e, P, e, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,

e, e, e, P, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,

P = 22

e = 80

4

P, e, e, e, e, e, e,P, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,

e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, e, e, P,e, P, e, e, P,

P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, e, e, e,

e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, P, e, P.

P = 16

e = 104


5 P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, P, e, P, e, e, P, e,

e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e.

P=5

e =60

6 P, e, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e. P = 2

e = 24

7 P, P, e, e, P, P, e, P, e, P, e, P, P, P, P, e, P, P, e, P, P, e, P, P, e, P, e, P. P = 16

e = 10

8 P, e, e, P, e, P, e, e, P, P, e, P, , e, P, , e, P, e, P, e. P = 9

e = 10

Fuente: elaboración propia. P: profesor e: estudiante.

De acuerdo con el flujo de participación presentado, se resalta el protagonismo del

estudiante y las pocas intervenciones del docente, el cual participa especialmente en la

primera configuración explicando el taller y en las últimas que corresponden a la

socialización, lo anterior implica que es una clase dialógica (Godino, Contreras y Font, 2006).

En la segunda fase, los patrones de interacción comunicativa propios del docente

después de participar en el grupo de trabajo colaborativo, son los siguientes: opinión del



del estudiante (ant), lectura de un texto, taller o guía por el estudiante (l). Se resalta que todas

las interacciones corresponden a acciones del estudiante, lo cual implica que el eje de la clase

es el estudiante y ésta es no tradicional-tecnológica (Porlán, 1995). Se observa que hay un

cambio de patrones de interacción comunicativa, el profesor pasa de tener unos patrones

centrados en el profesor a unos centrados en el estudiante.

En la primera fase, el promedio de participación de los estudiantes fue de 13.49%,

resalta el protagonismo del docente en el desarrollo de las clases, es decir se trata de un aula

absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), lo cual es propio de una metodología tradicional –

tecnológica (Porlán, 1995). El promedio de participación de los estudiantes en la segunda

fase fue de 81.4%, es decir se trata de una clase donde el estudiante en algunos momentos

asume el control del aula (Wood, 1999), lo cual es propio de una metodología no tradicional

- tecnológica.

Lo anterior se evidencia claramente en las tablas de flujo de participación de las

clases analizadas. En general, el docente cambia de una clase donde el que más participa es

el docente, a proponer una donde se prioriza la participación del estudiante.



Se realiza un análisis comparativo de las dos fases en cada subcategoría.

En lo referente a modelos explicativos de comunicación, en la primera fase, el modelo

predominante en la clase del profesor Fernando es el modelo lineal o matemático (Shanon,

1949; cit. Dins Winkin, 1994), pues la clase se basa en la transmisión de contenidos, es

unidireccional, el profesor es quien propone las tareas y las desarrolla. Aunque en menor

escala, se asume el modelo sistémico en lo referente a la retroalimentación (Bertalanffy,

1950), ya que desarrolla ejercicios o problemas con el mismo patrón buscando que los

estudiantes mecanicen la temática a trabajar. Igualmente se tiene en cuenta el modelo

orquestal en lo referente a la regulación (Marc y Picard, 1992), se mostró que en estas clases

se manejan algunas normas que permiten el buen desarrollo de las mismas en cuanto a

ejecución.

La clase del profesor en la segunda fase se asocia con el modelo orquestal de

comunicación, se aplican los tres principios que enfoca este modelo: el principio de la

totalidad, pues se tuvo en cuenta inicialmente el trabajo en pequeños grupos, con rotación de

estudiantes, buscando facilitar la confrontación de saberes, los cuales fueron socializados en

gran grupo en la etapa terminal de la clase. En segundo lugar el principio de la causalidad

circular, se presentaron acciones y retroacciones ya que los grupos se implicaron unos a

otros al realizarse la rotación y la socialización; Por último, el principio de la regulación

también estuvo presente, pues la comunicación no puede existir si no hay normas, algunas

de las cuales fueron planteadas por el profesor al inicio de la clase y durante la clase, otras

que se asumieron implícitamente por los estudiantes y el profesor (Marc y Picard, 1992).

Como se puede observar, el profesor pasa de un modelo explicativo de la

comunicación básicamente lineal, con pocas componentes de los modelos sistémico y

orquestal, a un modelo explicativo orquestal, es decir hay una mejora sustancial en la

comunicación de su clase.


Teniendo en cuenta distintos criterios para la clasificación de la comunicación, en la

primera fase se tiene: de acuerdo a la participación, la comunicación es unilateral, se

desarrolla en una dirección; es colectiva y abierta, el docente se dirige a un público que son

los estudiantes; es lingüística, el medio natural de comunicación es el lenguaje, con apoyo

de códigos paralingüísticos; también es extralingüística, se emplean códigos distintos a la

lengua natural, como la simbología matemática; es formal ya que se sujeta a un patrón de

clase definido, el tradicional-tecnológico. En cuanto al canal, la comunicación es audio

visual y directa; vertical, ya que se presenta de docente a estudiante, con poca participación

del estudiante (Niño, 1998).

La segunda fase, coincide con la primera en que es colectiva y pública, es lingüística,

con códigos paralingüísticos; también es extralingüística. Es informal en el trabajo de grupos

y formal en la socialización. Es audiovisual y directa. Sin embargo, difiere en cuanto a: la

participación, la comunicación es recíproca, se presentan cambios de roles; interpersonal

pues hay permanente interrelación entre los estudiantes; básicamente horizontal ya que

priman las interacciones entre estudiantes (Niño, 1998). Se identifican cambios sustanciales

especialmente en lo referente a la participación, se pasó de unilateral a recíproca, y de vertical

a horizontal.

Para la clase se consideró la comunicación como medio de control y como medio para

percibir el avance o las dificultades de los estudiantes (Ponte et al, 2007). El profesor utiliza

la comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes, y para facilitar el aprendizaje

de los conceptos matemáticos de los mismos; éste último aspecto también se tuvo en cuenta

en la segunda fase. El tomar la comunicación como medio de control está implicando un

contexto de clase tradicional-tecnológico.

En cuanto al contrato didáctico (Brousseau, 1988), en la primera fase, en una sección

de clase se identificaron algunas normas de la clase, como las siguientes: la persona que esté

escribiendo en el tablero debe hablar; el estudiante debe responder a las preguntas del

profesor; el profesor propone los problemas a desarrollar; el profesor es el que desarrolla los

problemas con pequeños apoyos de los estudiantes; siempre que se termine el desarrollo de


un problema, el profesor debe hacer un recuento; el profesor debe contestar las preguntas

cortas de los estudiantes. Igualmente en una sección de clase de la segunda fase se tienen

normas como: la persona que tiene la última palabra es el docente, es decir la autoridad

aunque no la esté ejerciendo directamente la tiene el docente; el profesor no debe responder

directamente las preguntas del estudiante sino sobre conclusiones que hayan sacado los

estudiantes; el estudiante puede sacar textos y cuadernos para poder contestar el taller.

Se observa que se cambia de unas normas que se centran básicamente en el docente, a

unas que tienen que ver con la relación docente-estudiante y estudiante-estudiante.

En la siguiente tabla se presentan las configuraciones didácticas (Godino, Planas y

Font, 2010) y a qué modo de comunicación pertenecen (Brendefur y Frykholm, 2000).

Tabla 47. Modos de comunicación.

Config

Clase 1 Clase 2 Clase 3 Clase 4

1 Unidireccional Unidireccional Unidireccional Unidireccional

2 Unidireccional Unidireccional Reflexiva Reflexiva





7 Unidireccional Unidireccional Unidireccional Reflexiva

8 Unidireccional Unidireccional Unidireccional Unidireccional


En la primera fase, se concluye que la comunicación en la clase de Fernando es

unidireccional, las configuraciones de las dos clases son de este modo de comunicación. Las

interacciones planteadas son del actuar del docente, con muy pocas del estudiante y en tal

caso de forma corta, lo aclara el hecho de que el promedio de participación del estudiante en

la clase es del 13,49%. En la segunda fase (clases tercera y cuarta), como se puede deducir de la

tabla anterior, el tipo de comunicación del profesor es reflexiva, ya que el 68.75% de las

interacciones son reflexivas y el resto unidireccionales (Brendefur y Frykholm, 2000). Es decir,

esta clase es de tipo básicamente dialógico, con momentos magistrales.


El docente Fernando evoluciona de un modo de comunicación unidireccional a reflexivo,

de una clase magistral a dialógica (Godino, Contreras y Font, 2006); es decir, (re)significa su

modo de comunicación y su tipología de clase.

Capítulo 7. Caso Juan

Aspectos Personales

El profesor Juan es docente de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC,

considerado un excelente compañero, colabora con los demás docentes y en general es muy

estimado también por sus estudiantes. Su evaluación tanto por el Comité de Currículo como

por parte de los estudiantes es muy buena (Sistema SIRA UPTC). El profesor terminó

estudios de Licenciatura en Matemáticas en la UPTC, en el año 2009. En cuanto a estudios

de postgrado, en el momento de la realización del trabajo de campo de esta investigación se

encontraba terminando la Maestría en Educación; está en la etapa de culminación de trabajo

de grado, relacionado con el tema de las interacciones sociales en el patio del recreo,

realizando un análisis de las prácticas matemáticas que allí se generan. En lo referente a su

experiencia docente, en educación básica trabajó durante 4 años en diferentes instituciones

educativas, en los niveles de sexto a noveno. En Educación Superior, trabajó tres años como

catedrático universitario y desde el año anterior como profesor de tiempo completo en la

UPTC.

Ha orientado asignaturas como: cálculos, geometrías, algebra lineal y lógicas. Para la

preparación de una clase, toma aspectos básicos de lo que va a tratar la asignatura, no

necesariamente de un libro, toma a veces videos u otros medios como material de consulta.

Algo con lo que no ha podido es con una clase magistral, dice que escribe un contenido

general, que los estudiantes quieran trabajar. Pero considera que tiene un problema y es que

no deja participar a los estudiantes en ese trabajo (Ent1J, 15 septiembre 2015).

En cuanto a la metodología seguida para una clase, plantea lo siguiente:

Parto de una situación y a través de preguntas se espera que los estudiantes exploren

lo que está pasando ahí, por ejemplo, a través de una gráfica, qué entienden, qué más

encuentran, para que se vayan orientando. Lo que se busca es de tipo “mayéutico”, es


297

decir, se desarrolla un diálogo en el que interactúan docente y estudiantes buscando

una aproximción intuitiva al objeto de conocimiento, luego de eso se plantea un

ejercicio para trabajar entre todos, dependiendo de la forma de avance, en cada clase

se mira si se dejan trabajos o no. Uno de los aspectos en que soy reiterativo es en

preguntar lo que no entienden, pues tengo la política de que la pregunta de uno es la

pregunta de todos. Evalúo de forma tradicional con parciales, lo hago así para que ellos

evidencien lo que se hace en clase. Las evaluaciones son siempre individuales, la idea

es ver en que se avanzó en ese proceso (Ent1J, 15 septiembre 2015).

Antes del Trabajo Colaborativo

A continuación, se describen las concepciones del profesor Juan, al inicio de la

investigación y antes del trabajo colaborativo, también se realiza análisis de clases desde

varios puntos de vista: análisis didáctico, patrones de interacción comunicativa y

comunicación.

El profesor Juan no pretendía ser docente, se inclinaba por aspectos que tenían que ver

con Ingeniería Electrónica. “Escogí ser docente del área de matemáticas porque era afín al

área que me gustaba y adicionalmente era económica, lo cual me permitíó costearme los

estudios” (Ent2J, 27 Marzo 2015). Cree que la ciencia es importante, pero más aún lo son

las personas, piensa que las matemáticas las hacen personas y por esto es necesario

comprender las matemáticas desde un sentido humano, ver que al que aprende le cuesta

trabajo y por eso no tiene que tratársele con desdén. “Como profesor estoy dispuesto a

explicarle a un estudiante las veces que éste lo considere necesario” (Ent2J, 27 Marzo 2015).

Entre los aspectos que resalta de su práctica profesional está el tratar bien a los estudiantes,

eso le permite motivarlos con las matemáticas, que no estén temerosos, que vean que el

aprendizaje es un proceso que requiere de esfuerzo, pero que el profesor está para apoyarlos.

Considera que son muchos sus aspectos por mejorar como docente, pero resalta “debo

cambiar mi paradigma sobre la evaluación, hacer que los contenidos sean más prácticos, que

los estudiantes los vean útiles” (Ent2J, 27 Marzo 2015). Su mayor satisfacción como docente


298

es ver que los estudiantes aprenden, obtienen buenas notas, reconocen que el proceso fue

bueno. Por el contrario, sus mayores frustraciones se dan cuando “en ocasiones los

estudiantes mencionan que la clase les pareció aburridora y no entendieron, o cuando los

resultados que espero de los estudiantes no se dan, eso me decepciona mucho” (Ent2J, 27

Marzo 2015). Piensa que entre los mayores problemas de la enseñanza de la matemática en

Colombia está la relación entre las matemáticas y la realidad, es el problema de la

transferencia de las matemáticas a la vida práctica, muchos contenidos pierden significado

fuera del aula. Uno de los principales retos personales es hacer ver a los estudiantes que las

matemáticas son una herramienta práctica de pensamiento.

Juan cree que las Matemáticas son importantes en la formación de las personas, porque

les brindan una perspectiva más estructurada y ordenada de las cosas, permite pensar de

manera práctica sobre las situaciones y tomar decisiones bajo argumentos más consistentes.

El principal objetivo de la actividad matemática a nivel universitario es “hacer un

acercamiento más conceptual, y entender los fundamentos de la actividad matemática, pero

además poner en juego esos conceptos con la actividad práctica” (Ent2J, 27 Marzo 2015). En

cuanto a la importancia de la resolución de problemas en el aprendizaje de la matemática, el

profesor Juan manifiesta que es indiscutible su importancia, pero que muchos de los

contenidos que se les presentan a los estudiantes no dan tiempo para el trabajo de resolución

de problemas.

En cuanto a la enseñanza de las matemáticas, manifiesta que generalmente “me

preparo para las actividades de la clase de matemáticas, mencionándoles a los estudiantes de

qué va a tratar la clase, se empieza dando las definiciones, luego se dan unos ejemplos,

algunos ejercicios de práctica y les solicito que indiquen en dónde se presentan dificultades”

(Ent2J, 27 Marzo 2015). No es usual la resolución de problemas en su aula de clase, salvo

que haya una sección del contenido temático que incluya el análisis de problemas. Para el

docente, la resolución de problemas tiene el propósito de ver la aplicación de los contenidos,

lo cual requiere de un dominio de la parte operatoria. “El papel que los alumnos deben jugar

en mi clase es que sean actores dinámicos, que pregunten y sean críticos, eso me demuestra

que están aprendiendo” (Ent2J, 27 Marzo 2015). Como profesor de matemáticas, su rol

principal es estar en función de la buena enseñanza de los contenidos.


299

En lo referente a la participación dentro de la clase, “la relación docente-estudiante

debe ser cordial, en donde el profesor le responde de la manera más clara posible al

estudiante y así resolver sus dudas” (Ent2J, 27 Marzo 2015). La participación estudiante-

estudiante usualmente se realiza en los trabajos en grupo, donde los estudiantes tienen que

apoyarse mutuamente para resolver los talleres planteados. Entre otras interacciones que

considera importantes está la relación de los estudiantes y docentes con los medios

tecnológicos, “pueden ser buenos en algunos casos, pero en otros terminan siendo una

distracción e interrumpen las clases” (Ent2J, 27 Marzo 2015). La comunicación en la clase

de matemáticas es importante porque permite que los conceptos y las definiciones se

comprendan de manera clara. Además, de la manera como el profesor explique, depende que

se produzcan aprendizajes efectivos en la clase, la cual desarrolla por medio de explicaciones

y ejemplos, pero también de preguntas; algunas de éstas tienen como propósito la

participación de los estudiantes que son más tímidos. Respecto de su proceso didáctico de

clase manifiesta:

En cada clase se abordan conceptos de acuerdo con los contenidos programáticos

previstos, se inicia mencionando los temas que se abordarán en el tiempo estimado de

la clase y luego empieza el desarrollo de la clase. Durante la clase, cada vez que se da

un concepto se procede a realizar un ejemplo que de claridad sobre el uso del mismo,

luego de lo cual se deja un ejercicio para que lo trabajen los estudiantes y se procede

a socializarlo mediante la participación de algún estudiante (Ent2J, 27 Marzo 2015).

Análisis didáctico de las clases iniciales.

Se analizan dos clases del docente Juan, teniendo en cuenta lo propuesto por el

Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro,

2009).

Primera clase.

La clase tuvo duración de una hora, nueve minutos (1:09), orientada al cuarto

semestre de la Licenciatura en Matemáticas, con 18 estudiantes. Habían transcurrido


300

cuatro semanas del semestre académico. Asignatura Cálculo Diferencial.

Se realizó el siguiente proceso: el profesor planteó inicialmente un problema sobre

tasas relacionadas (¿Cuál es la variación del volumen, cuando la longitud es 15 cm, el alto

es 10 cm y ancho es 8 cm?), el cual fue desarrollado por el profesor, con participaciones

cortas de los estudiantes. Luego propuso otro problema (¿Cuál es la rapidez de cambio de la

función área de una caja dadas unas condiciones iniciales?); al igual que el anterior, fue

solucionado por el docente, con escasas participaciones de los estudiantes, salvo que en esta

oportunidad dio dos espacios de menos de un minuto para que los estudiantes analizaran

algunos aspectos de la solución del problema. Posteriormente, planteó otro problema (el

ángulo alfa de un triángulo tiene 60 grados y Δt crece a razón de 5 grados / segundo, el lado

c mide 10 cm. ¿Cómo es el lado izquierdo si crece a razón de 1 cm /seg, y el lado b mide 16

cm, y crece a razón de medio centímetro por segundo? ¿Hallar la velocidad de variación del

lado 𝑎?). Para solucionar el problema, el profesor hizo preguntas a los estudiantes para

aclarar la problemática, les ayudó haciendo la gráfica y luego les otorgó tiempo prolongado

para que analizaran y solucionaran el problema, hizo preguntas para contrastar lo realizado

por ellos y dio la oportunidad de que un estudiante solucionara el problema en el tablero,

con las aclaraciones respectivas por parte del profesor. Para finalizar, el profesor propuso el

desarrollo de un ejercicio (Sea 𝑤 = 𝑓(𝑢, 𝑣), una función de dos variables, demostrar que,

dw

dx+ 2

dw

dy+

dw

dz+

dw

dt= 0), hizo aclaraciones iniciales y dejó tiempo para que los

estudiantes analizaran el problema, realizó una rifa para ver cuál estudiante debía pasar al

tablero a desarrollar el ejercicio, pero se acabó el tiempo (Observación de clase, 25 febrero

2014).

Para facilitar el análisis de la clase se ha dividido en 4 configuraciones didácticas


Enfoque Ontosemiótico. A continuación, se presenta el análisis didáctico realizado a esta

clase.


301

Tabla 48. Análisis Didáctico Primera Clase.

Líneas

transcripción


profesor

Funciones

de los

alumnos

Tipo de

configuración

didáctica

Patrones

de

interacción

Conflictos Normas

1-44

Solución

del

problema: Cuál es la

variación

del

volumen,

cuando la

longitud es

15 el alto

es 10 y

ancho es 8

cms.


un lenguaje verbal ya

conocido (función,

función volumen,

longitud, ancho, largo,

alto, rapidez,

dimensiones,

derivadas…).


expresiones algébricas

de la función v = f

(l.a.h), da/dt, dl/dt, dh/dt,

al igual que dv / dl *dl /dt

+ dv/ da * da/dt.+dl/dh

*dh/dt. Gráfica de una

caja con sus dimensiones.

Definiciones implícitas

(las mismas que


verbal)

Procedimiento: 1)

Destaca la función que

nos da el problema, la

función volumen en este

caso. 2) Se realiza un

gráfico (mamarrachito)

si es posible. 3) Se

comprende que pide el

problema y que da. 4) Se

plantea la estrategia para

la solución. 5) Se aplica

la estrategia y se

soluciona el problema.


propiedades conocidas

Proceso de


el profesor

desarrolla paso a

paso el problema

propuesto.

Proceso de

mecanización: los

alumnos deben

practicar la

aplicación de la

regla de la cadena

Proceso de

comunicación: los

alumnos producen

textos matemáticos

y/o los entienden.

Contestan las

preguntas del

profesor.

Proceso de

representación y

materialización:

escribe en el tablero

signos matemáticos

interpretables como


a la regla de la

cadena al igual que

elabora gráficos

como el de la caja e

este caso, colocando

sus respectivas

dimensiones. Proceso de

descomposición: al

derivar la función

-Ubica a los

estudiantes en el

proceso de

estudio en el

que van.

-Propone el

problema sobre

variación de

volumen.

- Aclara los

elementos del

problema y

elaborar la

gráfica

correspondiente.

- Desarrolla el

problema en el

tablero.

-Responde a

las preguntas

cortas del

profesor.

-Copiar en el

cuaderno la

solución

escrita en el

tablero

Configuración

magistral

Mecanicista en

gran grupo.

Ant, Pc, Ar,

E, Pc, Ar,

Pm, ric, A,

Pc, ric, O,

ric, A, Pc,

ria, Pc, Ar,

Pc, Ar, A,

Pc, A, Pc, A,

Pc, ric, Ap,

A, Pc, ric, R,

Pc, Ar, Pc,

ric, Pc, ric,

A, Pc, Ar,

Pc, Ar, A,

Pc, ric, ric,

Pc, Ar, Pc,

pc, Rc, Pm,

ric, R, Pc,

Ar, E

- El profesor

habla de

ejercicios de

aplicación y

desarrolla un

problema

dejando entrever

que estos dos

conceptos son

equivalentes,

provocando un

conflicto

cognitivo e

interaccional.

- El profesor

es el que

debe utilizar

el tablero.

-El profesor

debe

desarrollar

los

problemas

que

propone.

-El profesor

debe

explicar

cómo se

soluciona un

determinado

tipo de

problema.

El

estudiante

debe

contestar las

preguntas

cortas del

profesor.

Los gráficos

sirven para

dar claridad

en la

comprensión

del

problema.


302

como son las de la

transposición de

términos de una

ecuación, las reglas de

derivación, etc.

Argumento: (implícito)

se ha aplicado el

procedimiento

respectivo.

compuesta V se

descompone en el

producto de la

derivada de la

función con respecto

a cada variable por la

derivada de la

variable con respecto

al tiempo.

45-98 Solucionar

el siguiente

problema:

cuál es la

rapidez de

cambio de

la función

área de una

caja, dadas

unas

condiciones

iniciales.

Lenguaje verbal: se usa

ya conocido (función,

función área, área,

rapidez de cambio de la

función área, rapidez de

cambio de cada

magnitud, derivadas

parciales, regla de la

cadena…).


expresiones algebraicas

de: la función

y=A(x,y,z), área total es

base *altura /4, El área de

la base por altura, la suma

de las 4 caras, 2 veces 16

cm + 20cm* 3cm / seg, 66cm2/seg. Gráfica de la

caja con sus dimensiones.

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal).

Procedimientos: 1)











Proceso de


el profesor

desarrolla paso a

paso el problema

propuesto.

Proceso de

mecanización: los

alumnos deben

practicar la

aplicación la regla

de la cadena

Proceso de

comunicación: los

alumnos producen

textos matemáticos

y/o los entienden.

Contestan las

preguntas del

profesor.

Proceso de

representación y

materialización:


signos matemáticos

interpretables como


a la regla de la

cadena al igual que

elabora gráficos

como el de la caja en

este caso, colocando

sus respectivas

dimensiones.

-Realiza

aclaración sobre

el tipo de

problema que se

va a proponer

para su

desarrollo, en

cuanto a nivel

de dificultad. Lo

considera más

sencillo que el

anterior.

-Propone el

problema a

trabajar.

-Realiza

preguntas cortas

aclaratorias

hacia los

estudiantes.

- Aclara los

elementos del

problema y

elaborar la

gráfica

correspondiente.

- Desarrolla el

problema en el

tablero.

-Trabaja

sobre el

problema

propuesto por

el profesor,

rapidez de

cambio de la

función área.

- Responde a

las preguntas

cortas del

profesor.

-Copia en el

cuaderno la

solución

escrita en el

tablero.

-Pregunta

cuando no

entiende

algún paso.

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

Ant, Pa, ric,

Pa, Ar, E, ap,

Pa, ria, Pc,

ric, E, Pc,

ric, E, Pc,

ric, R, Pc,

ric, R, A, Pc,

Ar, E, Pc,

ric, E, pc, E,

Pc, Ar, E,

Pc, A, Pm,

ic, E, Pc, Ar,

E, Pc, ric, A,

Pc, ria, E,

Pc, Ar, E,

Pc, Ar, E,

Pc, ric, A,

Pc, ric, A,

Pc, Ar, A,

Pc, ric, E,

Pc, Ar, A,

Pc, ric, E.

- El profesor

habla de

ejercicios de

aplicación y

desarrolla un

problema

dejando entrever

que estos dos

conceptos son

equivalentes,

provocando un

conflicto

cognitivo.

- El profesor

afirma que la

función área

depende de tres

variables, largo,

ancho y alto, lo

cual entraría en

contradicción

con el concepto

de área normal,

lo cual generaría

un conflicto

cognitivo e

interaccional.

-El profesor

plantea que ya

pueden omitir la

regla de la

cadena, más lo

que quería

expresar es que

ya no había

-- El

profesor es

el que debe

utilizar el

tablero.

-El profesor

debe

desarrollar

los

problemas

que

propone.

-El profesor

debe

explicar

cómo se

soluciona un

determinado

tipo de

problema.

El

estudiante

debe

contestar las

preguntas

cortas del

profesor.

Los gráficos

sirven para

dar claridad

en la

comprensión


303

la estrategia y se



de propiedades ya

conocidas, como reglas

de derivación, producto

de polinomios…

Argumentos:



adecuados para la


Proceso de

descomposición: al

derivar la función

compuesta A se

descompone en el

producto de la

derivada de la



derivada de la


al tiempo.

necesidad de

escribir la

definición de la

regla de la

cadena por que

los estudiantes ya

la manejan, sin

embargo así

escrito puede

crear conflictos

tanto

interaccionales

como cognitivos.

del

problema.

99-169 El Angulo

alfa de un

triángulo

tiene 60

grados y At

crece a

razón de 5

grados /

segundo, el

lado c mide

10 cm

como es el

lado

izquierdo,

Y crece a

razón de 1

cm /seg, y el lado b

mide 16

cm, y crece

a razón de

medio

centímetro

por

segundo.

Hallar la

velocidad

de

variación

del lado a.

Lenguaje verbal: ya

conocido (ángulo,

triángulo, tasa de

crecimiento, velocidad

de variación, triángulo

rectángulo, teorema del

seno y del coseno,

derivada, regla de la

cadena…).



de: < ∝ = 60°, t= 5

grados / segundo,

variaciones de los

lados…, gráfico del

triángulo con sus

respectivas dimensiones.

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal)

Procedimientos: 1)






Proceso de


el profesor

desarrolla paso a

paso el problema

propuesto.

Proceso de

mecanización: los

alumnos deben

practicar la

aplicación la regla

de la cadena

Proceso de

comunicación: los

alumnos producen

textos matemáticos

y/o los entienden.

Contestan las

preguntas del

profesor.

Proceso de

representación y

materialización:


signos matemáticos

interpretables como


.Realiza

aclaración sobre

el tipo de

problema que se

va a proponer

para su

desarrollo, en

cuanto a nivel

de dificultad,

más difícil. Lo

considera más

complicado que

los problemas

anteriores.

-Propone el

problema a

trabajar.

-Realiza

preguntas cortas

aclaratorias

hacia los

estudiantes.

- Aclara los

elementos del

problema y

elabora la

gráfica

correspondiente.

-Opinar sobre

el

procedimiento

a seguir para

solucionar el

problema,

recordando

fórmulas

básicas.

-Trabaja

sobre el

problema

propuesto por

el profesor,

rapidez de

cambio del

ángulo de un

triángulo.

- Responde a

las preguntas

cortas del

profesor.

-Copia en el

cuaderno la

solución

escrita en el

tablero.

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

Ant, D, Pm,

Ant, D, Pnt,

ric, D, A, Pa,

A, Pc, ric,

Ap, Pm, Ar,

Pm, Ar, Pm,

A, E, Pc, ric,

Pc, ric, Pm,

ria, A, Pc,

Ar, E, Pc,

Ar, E, Pc,

Ar, E, Pc,

Ar, Pc, ria,

O, ric, An,

Pc, Ant, Pc,

Ar, O, Pc,

ric, Ap, O,

Ant, Pc, ric,

Ant, Pm,

Ant, Pc, Ar,

pc, Ra, ia, A,

Ant.

-El profesor se

refiere a ejercicio

cunado está

trabajando un

problema,

aspecto que deja

entrever que para

él estas dos

palabras

significan lo

mismo, lo

anterior puede

provocar

conflictos de

carácter

interaccional,

cognitivo y si es

reiterativo podría

ser epistémico.

-Se refiere al

igual que el caso

anterior de la

misma manera a

velocidad y

rapidez, lo cual

plantea conflictos

cognitivo e

interaccional.

-El profesor

debe

proponer la

actividad

que se debe

desarrollar

en la clase.

-El

estudiante

puede

escribir en el

tablero sin

que tenga

que hablar,

eso lo hace

el profesor.

-El

estudiante

debe

contestar las

preguntas

cortas del

profesor.

-El

estudiante

puede hacer

preguntas.


304






la estrategia y se



de propiedades ya

conocidas, como reglas

de derivación, reducción

de términos semejantes.

Argumentos:



adecuados para la


a la regla de la

cadena al igual que

elabora gráficos

como el del triángulo

en este caso,

colocando sus

respectivas

dimensiones. Proceso de

descomposición: al

derivar la función

compuesta se

descompone en el

producto de la

derivada de la



derivada de la


al tiempo.

- Asigna

estudiante para

que solucione el

problema en el

tablero.

-Orienta el

desarrolla del

problema en el

tablero.

- Repasa el

procedimiento

seguido por el

estudiante.

-Pregunta

cuando no

entiende

algún paso.

-Soluciona el

ejercicio en el

tablero.

-Opina

cuando no

está de

acuerdo con

el profesor.

-Cuando se está

refiriendo al

teorema del seno

y el coseno para

la solución del

triángulo,

manifiesta que

algunas cosas

hay que sacarlas

de la memoria

que de eso se

trata el ejercicio,

lo cual puede

plantear

conflictos

interaccional y

afectivo.

-El profesor

plantea muchas

preguntas que

son respondidas

por él mismo, lo

cual puede

generar

conflictos

interaccionales.

-Hay inquietud

de los estudiantes

respecto de las

unidades, lo cual

el profesor

plantea que hay

que solucionarlo,

pero no lo hace,

lo cual puede

generar

conflictos

cognitivos.

-El

estudiante

puede

intervenir si

lo considera

conveniente.

170-173 Sea w, una

función de

dos

variables u

y v,

demostrar

Lenguaje verbal:

función, función de dos

variables, derivadas

parciales, regla de la

cadena, ecuación

diferencial, suma de las

Proceso de

comunicación:

interviene

básicamente el

docente, pero hay

-Propone el

ejercicio para el

desarrollo, en

este caso una

ecuación

diferencial.

- Copiar el

ejercicio

planteado en

el tablero.

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

E, Pm, Ar, E,

Ant.

-El profesor

propone la

actividad a

trabajar.


305

que, dw/dx,

más 2

dw/dy, mas

dw/dz más

dw/dt es

igual a

cero.

derivadas.



la función w=f (y-x-t, z-

y+t) , u=y-x-t, v=z-y+t,

también, dw/dx + 2

dw/dy+ dw/dz + dw/dt =

0,

Definiciones:


que aparecen en el

lenguaje verbal).

Propiedades: Se aplican

unas ya conocidas como:

derivadas parciales, regla

de la cadena, entre otras.

Argumentos:



adecuados para la


intervenciones de

los estudiantes.

Proceso de

mecanización: la

idea es que se

desarrolle el

problema aplicando

la regla de la cadena

. Proceso de

representación y



una simbología que

es comprensible para

el grupo.

-Aclarar la

terminología y

el proceso para

su desarrollo.

- Realiza una

rifa para ver

quien pasa a

desarrollar el

ejercicio en el

tablero.

-Desarrollar

en conjunto

con otros

estudiantes el

ejercicio.

-Participar en

la rifa

organizada por

el profesor.

-Los

estudiantes

deben tratar

de resolver

el ejercicio

propuesto.



306


Godino (2011), desde el Enfoque Ontosemiótico.

Tabla 49. Indicadores de idoneidad primera clase.

COMPONENTES: INDICADORES S N

Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 56.4%

Situaciones-

Problemas

50%

Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones

de contextualización, ejercitación y aplicación.

X


(problematización)

X

Lenguajes

66% Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,


X


Reglas

(Definiciones,

proposiciones,

procedimientos)

66%



X

Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales

del tema para el nivel educativo dado.

X



X

Argumentos

50% Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas


X


Relaciones

50% Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones,


X

Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos

que intervienen en las prácticas matemáticas.

X



(Se tienen en cuenta los mismos

elementos que para la idoneidad

epistémica)

100%




X



X



100%


Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes. X Aprendizaje:



epistémica)

0%



pretendidas.

X



competencia metacognitiva.

X


competencia.

X


decisiones.

X


307






X

Actitudes

50%



X



X

Emociones

100% Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las

matemáticas.

X

Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas. X



40%




X


preguntas y respuestas adecuadas, etc.).

X




X



33% Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X



matemáticos.

X


Autonomía

0%






X



Recursos materiales


ordenadores).

0%



argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.

X


usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones,

X



100%

El número y la distribución de los alumnos permiten llevar a cabo la

enseñanza pretendida.

X


todas las sesiones a última hora).

X

El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el

desarrollo del proceso instruccional pretendido.

X

Tiempo



aprendizaje).

El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la


X

Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del

tema.

X


308

100% Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más

dificultad de comprensión.

X



100%


con las directrices curriculares.

X


Didáctica.

0%

Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva. X



X

Adaptación socio-


100%


estudiantes.

X


0%

Se contempla la formación en valores democráticos y el

pensamiento crítico.

X

Conexiones intra e

Interdisciplinares

100%


interdisciplinares.

X



2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea el hexágono regular como una

forma de visualizar las diferentes facetas de la práctica docente. Para la clase en cuestión, en

la siguiente figura se muestran los resultados.

Figura 22. Resumen de las Idoneidades de la primera clase de Juan. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi

y Castro, 2009).


309

En esta clase del profesor Juan se pueden señalar algunos aspectos por mejorar, desde

el punto de vista de la idoneidad didáctica:

Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 56.4%). Aunque en la clase se solucionaron

problemas no se propusieron situaciones que favorecieran la generación de los mismos. De

igual forma, aunque se hizo uso de expresiones matemáticas, no se dio tiempo a la

interpretación de éstas. No se presentaron espacios donde los estudiantes tuvieran que

generar o negociar definiciones, proposiciones o procedimientos y argumentar al respecto.

No se plantearon diferentes significados de los objetos identificados en las prácticas

matemáticas.

Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 66.6%). No se determinó algún proceso

evaluativo que propusiera el docente, que mostrara entre otros aspectos la comprensión

conceptual y proposicional, el avance en las competencias comunicativa, argumentativa y

metacognitiva, y la comprensión situacional. De la misma manera, no se pudo indagar si los

resultados de la evaluación se utilizaron para tomar decisiones y si el docente tuvo en cuenta

los distintos niveles de comprensión y competencia por parte del estudiante

Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 66.6%). Aunque en la clase se propuso la

resolución de problemas, no se tuvieron en cuenta situaciones de contexto que permitieran

vislumbrar la utilidad de la matemática en la vida cotidiana y profesional. Tampoco se

promovió la participación en actividades, la perseverancia, responsabilidad, entre otros.

Faceta interaccional (Porcentaje de logro 18.2%). No se presentaron variados recursos

retóricos y argumentativos como factor motivante para los estudiantes, ni se facilitó la

comunicación y el diálogo en general en el aula, existió escasa participación de los

estudiantes. No se propusieron acciones que conllevaran a identificar y solucionar los

conflictos de los estudiantes, ni se buscó llegar a consensos, sino que el docente tuvo siempre

la última palabra y ejerció el control total de la clase. No se determinaron medios que

utilizara el docente para identificar el progreso sistemático de los estudiantes.


310

Faceta mediacional (Porcentaje de logro 66.6%). Faltaron materiales manipulativos e

informáticos que facilitaran la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos. Tampoco se

presentaron formas contextualizadas para trabajar los conceptos de la clase.

Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 60%). No se plantearon acciones innovativas

derivadas de la práctica reflexiva y la investigación, al igual que no se observaron aspectos

que desarrollaran la autonomía del estudiante, los valores democráticos y un pensamiento

crítico.

Segunda clase.

La clase tuvo duración de hora y cuarenta minutos (1:40), orientada al séptimo

semestre de la Licenciatura en Matemáticas, Sede Tunja. La clase se realizó en las

primeras semanas del semestre académico. Asignatura Geometría Euclidea. Se desarrolló

el siguiente proceso: el profesor inició la clase explicando la teoría de las situaciones

didácticas como base epistemológica para las demostraciones geométricas con software,

aspecto que desarrolló con una exposición magistral, por medio de un diagrama en el tablero

el cual iba complementando a medida que avanzaba en su charla. A continuación, planteó

solucionar el problema de construcción 1 con la utilización de software. Este proceso

lo realizó exponiendo y dejando tareas parciales para que los estudiantes fueran

desarrollando, algunas de las cuales eran trabajadas posteriormente en el tablero. Dejó que,

en grupos de tres estudiantes, plantearan procesos diferentes a los del docente, los cuales iba

resaltando, pero siempre orientando que debían hacer; para finalizar la configuración,

explicó cómo se aplicó la teoría de las situaciones didácticas en el problema 1, en esta parte

ocupó el 70% de la clase (Observación de clase, 24/02/2014).

Luego propuso el problema de construcción 2 , aclarando que era el último

problema de construcción para pasar a problemas de demostración. Dejó que los alumnos

trabajaran en grupos, asesoró los distintos grupos, les advirtió que había que grabar al

finalizar el proceso, esta vez no hizo la institucionalización del conocimiento, sino que


311

planteó el siguiente problema para aquellos grupos que iban terminando, , el cual fue

desarrollado en grupos de estudiantes con asesoría del profesor. Para finalizar propuso el

problema de demostración: todo cuadrilátero se puede inscribir en una circunferencia; resaltó

que un estudiante logró hacer la demostración, y dejó el problema para el resto como trabajo

extra clase.

La clase se dividió en 5 configuraciones didácticas (Font, Planas, Godino, 2010) de

acuerdo con el marco teórico y metodológico del Enfoque Ontosemiótico.

A continuación, se presenta el análisis didáctico realizado a esta clase.


312

Tabla 50. Análisis didáctico de la segunda clase.

Líneas

transcripción Prácticas Objetos primarios Procesos Funciones

del

profesor

Funciones

de los

alumnos

Tipo de

configuració

n didáctica

Patrones

de

interacció

n

Conflictos Normas

1-6

La teoría de

las

situaciones

didácticas

como base

epistemológic

a para las

demostracion

es

geométricas

con software.

Lenguaje verbal: Software,

teoría de las situaciones

didácticas (Guy Brosseau,

geometría empírica; Pier

Ravander, situación

adidáctica, saber, situación

didáctica, saber sabio,

conocimiento, computador,

intención, retroacción,

construcción, validación…)

Lenguaje Simbólico: Cuadro

explicativo de la teoría de las

situaciones didácticas.

Definiciones implícitas (las

mismas que aparecen en el

lenguaje verbal)

Definiciones explícitas: -

Situación adidáctica:

interacción que se da sin que

se pretenda aprender o enseñar

algo. –Saber: elementos que

quedan luego de una

interacción con el medio. El

saber es impersonal y

descontextualizado. –

Situación didáctica, es donde

intervienen el saber del

estudiante, interviene el saber

sabio, todos tenemos un saber

distinto y haciendo uso de él

obtenemos el conocimiento, el

cual es personal y

contextualizado. –

Institucionalización: proceso

que se realiza en la transición

de saber a conocimiento.

Proceso de


el profesor explica

toda la

conceptualización

referente a la teoría

de las situaciones

didácticas y su

relación con la

utilización de

software en la clase

de matemáticas.

Proceso de

mecanización: se

trata de que los

alumnos apliquen

los pasos para la

utilización de la

teoría de las

situaciones

didácticas.

Proceso de

comunicación: los

alumnos y el

profesor interactúan

para lograr

comprensiones.

Proceso de

representación y

materialización.

Plantea en el tablero

un cuadro que va

complementando

con flechas y nuevos

elementos, el cual es

interpretable por los

estudiantes.

-Explica todo

el

procedimient

o para

utilizar la

teoría de las

situaciones

didácticas en

el uso de

software

matemático

en el aula de

matemáticas.

-Hace

preguntas

cortas.

-Elabora

diagrama en

el tablero, a

medida que

realiza la

exposición.

-Recuerda

normas de la

clase. Todos

deben ir

desarrollando

el

procedimient

o.

-Responder a

las preguntas

cortas del

profesor

cuando no las

responde el

mismo.

-escribir en el

cuaderno el

resumen de

lo que el

profesor está

exponiendo.

-Estar atentos

a la

exposición

del profesor.

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

Ant, A, Pc,

Ar, E, Pc,

O, E, Pc,

Ar, Pm, Ar,

E, Pc, Ar,

E, Pc, Ar,

E, Pc, Ar,

E, Pc, Ar,

E, Pc, Ar,

E, Pc, Ar,

Ant.

-El profesor

hace una

exposición

tradicional de

la teoría de

las

situaciones

didácticas en

lugar de

haber

mostrado una

aplicación en

sí misma, lo

cual se

considera un

conflicto de

tipo

epistémico y

cognitivo.

-El profesor es

el que expone

el tema.

-Todos deben

ir

desarrollando

los pasos de la

construcción


313

Procedimiento: Etapas en la

implementación del software

de demostración. 1) intención

de lo que el maestro quiere

que haga el estudiante con el

medio. 2) el sujeto realiza una

acción sobre el medio, el

medio es el software 3) el

docente plantea la situación

problema, la cual puede ser las

demostraciones 4) el

programa les muestra una

retroacción. Muestra que

necesita ser demostrado y que

no. 5) Interpretación de lo

realizado. 6) validación.

Identificar si la construcción

corresponde al problema

planteado. Si la validación es

positiva se rehace la acción

sobre el medio. Si la

validación es negativa hay que

realizar un cambio de acción.

Argumento: (implícito) se ha

planteado el procedimiento

respectivo.

7-79 Solucionar el

problema de

construcción

1 con la

utilización de

software.

Lenguaje verbal: Problema de

construcción, preguntas

alrededor del problema,

polígono exterior, polígono

interior, medio, acción sobre

el medio, validación, click,

dobleclick, segmento,

proposiciones, proposiciones

demostrables, cuadrado,

medidas, trasladar medidas,

circulo, arrastre, figura, curva,

herramienta ocultar,

herramienta validar, …


Expresiones gráficas en el

software.

Definiciones:

Proceso de


: el profesor explica

y aclara los

procedimientos

seguidos por

algunos estudiantes

para realizar las

construcciones.

Proceso de

representación y


utilizan

construcciones en el

software, las cuales

son reconocibles

para el grupo.

-Propone el

problema a

trabajar.

-Ofrece las

indicaciones

iniciales para

la

construcción.

-Cuestiona a

los

estudiantes

sobre la

forma de ir

haciendo las

construccion

es, sobre el

arrastre.

-Trabaja

sobre el

ejercicio

propuesto

por el

profesor.

- Plantea la

forma de

realizar la

construcción.

-Propone

formas

alternas para

desarrollar la

construcción

propuesta.

Configuración

magistral

mecanicista en

gran grupo.

Pc, Ar, E,

Ant, Ant,

A, O, A,

Pc, Ar, A,

tg, A, A,

Ap, ic, E,

Pc, Ar, E,

tg, Pm, Ar,

E, Pc, Ar,

Pc, Ar, tg,

Pc, Ar, E,

tg, A, E, pc,

Pc, Rc, tg,

A, tg, O, E,

e, An, Ap.

A, e, Ap.

O, E, e, Pc,

Ar, A, E,

Pm, Ar, E,

-El docente

habla de

trasladar las

medidas de

manera que

los lados del

cuadrado

sean iguales,

por esta

expresión los

estudiantes

pueden

presentar un

potencial

conflicto

cognitivo e

interaccional.

-El profesor

- El profesor es

quien decide

qué se debe

trabajar en la

clase, en este

caso el que

propone el

problema a

solucionar.

-Siempre que

se haga una

parte de la

construcción

hay que hacer

click para

validarla.


314



verbal)

Explícitas: -geometría I de las

formas: donde los estudiantes

simplemente clasifican los

polígonos. –geometría de las

propiedades II, cuando el

estudiante hace figuras que

resisten el arrastre, el cual está

vinculado con el

reconocimiento de ciertas

propiedades. –geometría III,

geometría del razonamiento,

se reconocen todos los

elementos de la construcción y

se hacen preguntas: ¿por qué

de esa manera? ¿Para qué de

esa manera? – geometría IV,

geometría de las

demostraciones, hacemos la

formalización de los

elementos de la geometría, es

la ideal y permite realizar

razonamientos más complejos.

Procedimientos: Los que

realizan los estudiantes y el

profesor para solucionar el

problema.



como el paralelismo, la

perpendicularidad, cortes, …

Argumentos:



para la solución del problema.


procedimiento para realizar la

construcción.

Proceso de

descomposición:

para realizar las

construcciones se

descomponen en

construcciones

parciales que van

orientando la

construcción

solicitada.

Proceso de

mecanización: se

trata de que los

alumnos realicen

construcciones de

algunas figuras

muy frecuentes en

el ámbito

geométrico.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y el

docente.

-Interroga a

los

estudiantes

sobre el

proceso

seguido para

solucionar el

problema.

-Propone la

teoría que

acompaña el

desarrollo del

problema.

-Define las

cuatro

geometrías

que se basan

en el

software.

-Propone

reglas

generales

para el

trabajo con el

software.

-Escoge las

herramientas

más

apropiadas

para realizar

la

construcción.

- Valida el

desarrollo

que se hace

en el tablero.

-solicita

ayuda del

docente si es

del caso.

-

tg, pc, Rc,

tg, pc, Rc,

E, E, Pc,

Ar, A, Pc,

Ar, tg, ,A,

tg, Pc, ric,

tg, A, tg, A,

O, e, R, Ap,

e, Ap, e,

Pc, ric, E,

e, A, Pc, E,

Pc, E, Pm,

Ar, E, Pc,

Ar, A.

plantea tener

un acto de fe

cuando un

estudiante

hace una

elipse por un

círculo, en

lugar de

corregir la

gráfica, lo

cual puede

generar

conflictos

cognitivos e

interaccional

es.

. Todos deben

iniciar a

trabajar al

tiempo.

80-85 Solucionar un

problema de

construcción

Lenguaje verbal: ya conocido

(problema de construcción,

diferentes geometrías,

Proceso de

particularización:

-Propone el

problema de -Soluciona el

problema

planteado por

Configuración

magistral

Pm, O, A,

Pc, A, Pc,

-Toda

construcción


315

geometría del razonamiento,

geometría de las formas,

triángulo equilátero, isósceles

o escaleno. Lenguaje

simbólico: Expresiones

gráficas para el desarrollo de

la construcción

Definiciones:



verbal)


desarrollar la construcción,

pero no es explícito para

todos.



como las que se usan para

cuadrados y triángulos…

Argumentos:




se deben aplicar

algunas

propiedades

orientadas

específicamente al

problema de

construcción.

Proceso de

descomposición:

para la elaboración

de la construcción

hay que ir

trabajando paso a

paso en

construcciones

menores.

Proceso de

mecanización: la

meta es que los

alumnos realicen la

construcción

basados en la

construcción inicial

del cuadrado,

aspecto que ya

dominan.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y entre

ellos y el docente.

construcción

a trabajar.

-Realiza

aclaraciones

sobre las

diferentes

geometrías y

en cual como

mínimo

debemos

quedar.

-Cuestiona a

los

estudiantes

sobre el tipo

de triángulo

que se

propuso.

-Plantea que

siempre en

estas

construccione

s debe estar

presente el

arrastre.

-Pide a los

estudiantes

que graben

los

procedimient

os

desarrollados.

el profesor.

-Discute con

los

compañeros

de grupo y

con el

profesor para

llagar a la

solución.

- Acata las

órdenes del

profesor.

mecanicista en

pequeños

grupos.

Pm, A, Ant.

A.

debe permitir

el arrastre.

.Se debe

trabajar sobre

la base del

primer

problema.

-Se deben

grabar los

procedimientos

ya finales.

86-101 Solucionar la

construcción

mediante

software

Lenguaje verbal: problema de

construcción, punto medio,

expresiones del lenguaje usual

no matemático….


Expresión gráficas para el

desarrollo de la construcción

Proceso de


: el profesor

muestra para toda

su solución al

problema anterior.

Proceso de

comunicación: se

realiza bastante

interacción entre

-Propone

inicialmente

el problema

nuevo para

los

estudiantes

que han

culminado el

anterior.

-Realiza

-Indaga sobre

aspectos de

cómo guardar

el trabajo

realizado.

-Realizan

trabajo de

construcción

consultando

con los otros

Configuración

constructiva en

pequeños

grupos.

A, Pm, Ar,

Ant, pc, Ra,

tg, Pc, tg,

Pc, Ant, tg,

Ant, tg, As,

Ant, int,

Ant, pc, Ra,

tg, As.

-Para iniciar el

Nuevo

problema de

construcción

hay que haber

culminado el

anterior.

-A este tipo de

trabajos hay

que ponerles


316

Definiciones:



verbal).

Procedimientos: No

explícitos, los seguidos por

cada grupo de estudiantes para

realizar la construcción.


ya conocidas como: lo

referente al cuadrado y tipos

de triángulos…

Argumentos:




los grupos y

algunos con el

docente.

Proceso de

mecanización: la

idea es que se

desarrolle el

ejercicio aplicando

propiedades ya

conocidas por los

estudiantes acerca

de construcciones

anteriores.

Proceso de

particularización:

se deben aplicar

algunas

propiedades

orientadas

específicamente al

problema de

construcción.

. Proceso de

representación y


utiliza el computador

con un software que

en sus aspectos

básicos es

comprensible para el

grupo.

aclaraciones

sobre cómo y

por qué hay

que guardar

los trabajos

que han

realizado los

grupos de

estudiantes.

-Cuestiona el

razonamiento

seguido por

algunos

grupos, en

este caso

referente a la

utilización

del punto

medio.

-Presiona el

desarrollo del

problema

para poder

proponer el

teorema de

demostración

.

-Da

orientaciones

institucionale

s referentes a

la

culminación

de las clases.

-Presenta

aclaraciones

generales

sobre el

semestre

académico.

miembros del

grupo (2) o

con el

profesor.

-Manifiestan

su opinión

ante el

aplazamiento

de una

semana del

semestre

académico.

nombre y

guardarlos.

102-105 Solucionar el

problema de

demostración

Lenguaje verbal: problema de

construcción, problema de

demostración, problema

Proceso de

comunicación: hay

diálogo entre

-Plantea el

problema de

demostración

-Trabajan en

grupo el

problema

Configuración

constructiva en

Pc, Ar, D,

A, Pc, A,

Pc, Ar, A,

-El profesor

habla

inicialmente

-Se debe

realizar la

demostración


317

:todo

cuadrilátero

se puede

inscribir en

una

circunferencia

.

fundamental de la geometría

euclidea, cuadrilátero,

circunferencia, arrastre.


Representación gráfica del

problema, en el tablero y el

computador.

Definiciones:



verbal).

Procedimientos: No explícitos

seguidos para solucionar el

problema de demostración.


ya conocidas que tienen que

ver con los cuadriláteros y la

circunferencia.

Argumentos:



para la solución del problema

de demostración.

docente y

estudiantes y entre

estudiantes para

solucionar las dos

problemáticas, las

del problema y las

de aplazamiento de

semestre.

Proceso de

mecanización: se

desarrolla el

problema utilizando

aspectos de

desarrollos

anteriores.

Proceso de

representación y


utiliza una

terminología básica

comprensible para

todos.

.

-Explica en

forma

general que

se debe hacer

para

solucionar el

problema,

reglas

generales.

-Invita a

hacer la

demostración

formal.

-Felicita y

comprueba

que un

estudiante

logró

solucionar el

problema de

forma rápida.

-Deja

planteado el

problema

como trabajo

extraclase.

propuesto por

el docente.

-A5 soluciona

el problema.

pequeños

grupos.

Pc, Ar, A,

tg, Ap, A,

A.

de problemas

de

construcción

y de

demostración

, pero no

queda claro

en esta clase

cual es la

diferencia

entre los dos,

lo cual puede

generar un

conflicto

cognitivo e

interaccional.

formal del

problema

planteado.



318

A continuación se plantea el análisis de la idoneidad didáctica de la clase.

Tabla 51. Idoneidad didáctica de la segunda clase.



Situaciones-

Problemas

50%


contextualización, ejercitación y aplicación.

X


(problematización).

X

Lenguajes

100%



X


Reglas

(Definiciones, proposiciones,

procedimientos)

100%



X


tema para el nivel educativo dado.

X



X

Argumentos

100%

Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas


X


Relaciones

50%

Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones,


X



X



(Se tienen en cuenta los mismos


epistémica)

100%




X



X



100%



Aprendizaje:



epistémica)

0%



pretendidas.

X




X


competencia

X


decisiones.

X


319



50%




X

Actitudes

50%



X



X

Emociones

100%


matemáticas.

X




60%




X



X




X



100%




matemáticos.

X


Autonomía

0%






X



Recursos materiales


ordenadores).

100%



argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.

X


usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones.

X



100%



X



X


desarrollo del proceso instruccional pretendido.

X

Tiempo



aprendizaje).


pretendida.

X


tema,

X


320

33% Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más


X



100%



X


Didáctica.

50%




X

Adaptación socio-


100%


estudiantes

X


0%


crítico.

X

Conexiones intra e

Interdisciplinares

100%


interdisciplinares.

X

Fuente: Godino. (2011).

El hexágono propuesto por el enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011; Font, Planas,

Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009) para la clase, es el siguiente:

Figura 23. Resumen de las Idoneidades de la segunda clase.

Fuente: adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font,



321

Los aspectos por mejorar se señalan a continuación:

Faceta epistémica (Porcentaje de logro 80 %). Aunque se propusieron situaciones

problémicas en la clase, todas fueron planteadas por el profesor, no se permitió la generación

de problemas por parte del estudiante. Tampoco se analizaron los distintos significados que

pueden generar los entes matemáticos.

Faceta cognitiva (Porcentaje de logro 66.6%). El docente realiza una evaluación

permanente dentro de la clase, sin embargo no es suficiente para identificar si en verdad

hubo una apropiación de los conocimientos y competencias pretendidas. Igualmente, no es

posible determinar el avance en las competencias comunicativa, argumentativa,

metacognitiva y si evalúa o no diferentes niveles de competencia o si se usa la evaluación

para tomar decisiones.

Faceta afectiva (Porcentaje de logro 66.6 %). No se plantean situaciones de contexto

que permitan valorar la utilidad de la matemática en la vida cotidiana, ni se dan acciones que

faciliten el desarrollo de valores como la autonomía, la responsabilidad, etc.

Faceta interaccional (Porcentaje de logro 40 %). Toda la responsabilidad de la clase

la asume el docente, y aunque hay periodos donde el estudiante trabaja en grupo, no se ven

momentos de autonomía del estudiante. No hay variedad de recursos argumentativos y

retóricos, ni se le da mucha importancia a los argumentos de los estudiantes pues no se

buscan consensos sino llegar a la respuesta del docente; igualmente, no se proponen

situaciones para solucionar conflictos de los estudiantes.

Faceta mediacional (Porcentaje de logro 77.7 %). El tiempo no fue adecuado para la

temática, pues ésta era demasiado amplia. Se dedicó mucho tiempo a un solo problema que

tal vez no era la base de la clase.

Faceta ecológica (Porcentaje de logro 70%). El profesor no hizo énfasis en la

formación en valores democráticos y el desarrollo del espíritu crítico de los estudiantes, al

igual que no se presentan aspectos sobre investigación y práctica pedagógica.


322

Idoneidad Didáctica de las Clases iniciales.

Se presenta la tendencia didáctica de las dos primeras clases del profesor Juan.

Tabla 52. Tendencia de la idoneidad diáctica.


Clases Tendencia

% Primera

%

Segunda

%

Idoneidad Epistémica 56.4 80 68.2

Idoneidad Cognitiva 66.6 66.6 66.6


Idoneidad Interaccional 18.2 40 29,1




En el hexágono se observa la tendencia de las dos clases de Juan.

Figura 24. Tendencia de las idoneidades de las clases de Juan. Fuente: adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi

y Castro, 2009.

En la primera clase se observa que las idoneidades más bajas del docente Juan son la

interaccional y la epistémica; en la segunda, la interaccional, cognitiva y afectiva; en general


323

las idoneidades menos desarrolladas del docente en mención son la interaccional y la

ecológica, pero la idoneidad crítica a desarrollar es la interaccional.

Análisis de Interacción de las clases iniciales.

Se presenta el análisis de interacción de dos clases iniciales del docente Juan, teniendo

en cuenta las configuraciones didácticas del Enfoque Ontosemiótico y las interacciones

emergentes del análisis de este proceso.

Primera clase.

El enfoque Ontosemiótico (Font, Planas y Godino, 2010) propone dividir el registro

en configuraciones didácticas; siguiendo esa propuesta, esta clase está dividida en 4

configuraciones. En la tabla 54, se presentan las interacciones emergentes por

configuración, que al totalizarlas permite identificar cuáles son las más frecuentes en el

docente.

Tabla 53. Análisis de interacción primera clase.

AB Descripción C1

1-44

C2

45-

98

C3

99-169

C4

170-

173

Total

A Aclaración del docente, explicación corta. 8 7 5 20

An, Negación de la respuesta dada por el estudiante. 1 1

Ant Aclaración no temática por parte del profesor 1 1 7 1 10

Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 1 1 2 4

Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y

responde su pregunta.

9 8 8 1 26

D Dictado que hace el profesor a los estudiantes de

problemas o ejercicios.

3 3

E Explicación amplia del profesor 2 14 4 2 22

ia Intervención argumentada que hace el estudiante 1 1

ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya

solicitado el docente.

1 1



Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 19 19 13 51

pc Pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa

propia.

1 1 1 3

Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 2 1 6 1 10



324


Se analizó cada configuración (Font, Planas y Godino, 2010), para luego concluir

sobre la clase, tomando como referencia la trascripción (TR1J).

Configuración 1. (Duración 11:17 minutos). Líneas 1 a 44. Esta configuración es de

tipo magistral (Godino, Contreras y Font, 2006). Las interacciones que más se destacan son

las preguntas cortas del profesor dirigidas a todo el grupo y en menor escala están las

respuestas cortas de los estudiantes en forma individual, las autorespuestas del profesor y las

aclaraciones o explicaciones cortas del profesor:

Ant, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Pm, ric, A, Pc, ric, O, ric, A, Pc, ria, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Pc, A, Pc, A,

Pc, ric, Ap, A, Pc, ric, R, Pc, Ar, Pc, ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Pc, ric, ric, Pc, Ar, Pc,

pc, Rc, Pm, ric, R, Pc, Ar, E


tipo magistral. Las interacciones que más se destacan son las preguntas cortas del profesor,

seguida por las explicaciones amplias del profesor, las respuestas cortas e individuales de los

estudiantes, en menor escala las autorespuestas del profesor y las aclaraciones o explicaciones

cortas del profesor:

Ant, Pa, ric, Pa, Ar, E, ap, Pa, ria, Pc, ric, E, Pc, ric, E, Pc, ric, R, Pc, ric, R, A, Pc, Ar, E, Pc,

ric, E, pc, E, Pc, Ar, E, Pc, A, Pm, ic, E, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ria, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E,

Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc, Ar, A, Pc, ric, E, Pc, Ar, A, Pc, ric, E.

R Repetición del profesor de lo que expresa el

estudiante

2 2 4

Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta

de un estudiante

1 1

Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del

estudiante

1 1

ria Respuesta individual argumentada del estudiante 1 2 2 5

ric Respuesta del estudiante, individual y corta 10 11 7 28

ti Trabajo individual de los estudiantes 1 1

Total 58 71 67 5 201


325


tipo magistral. Siguen las preguntas cortas del profesor dirigidas a todo el grupo como la

interacción con más frecuencia para esta clase, le siguen las respuestas cortas e individuales

de los estudiantes al igual que las autorespuestas del profesor. También están las aclaraciones

no temáticas del profesor y las explicaciones cortas o aclaraciones del profesor:

Ant, D, Pm, Ant, D, Pnt, ric, D, A, Pa, A, Pc, ric, Ap, Pm, Ar, Pm, Ar, Pm, A, E, Pc, ric, Pc,

ric, Pm, ria, A, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Pc, ria, O, ric, An, Pc, Ant, Pc, Ar, O,

Pc, ric, Ap, O, Ant, Pc, ric, Ant, Pm, Ant, Pc, Ar, pc, Ra, ia, A, Ant.


tipo magistral. Al ser la última configuración es corta y compuesta de 5 interacciones nada

más, las cuales aparecen en orden de frecuencia: explicaciones amplias del profesor, las

autorespuestas, las preguntas múltiples del profesor y las aclaraciones no temáticas del

profesor:

E, Pm, Ar, E, Ant.

La clase en general tuvo una duración de 1:10:14, de 174 líneas de interacción y 4

configuraciones didácticas, todas de tipo magistral (Font, Planas y Godino, 2010), de

donde se concluye que en general la clase es magistral. Las interacciones de mayor frecuencia

en su orden son: preguntas cortas del docente, respuestas cortas individuales de los estudiantes,

autorespuesta del profesor, explicación amplia del profesor, aclaración o explicación corta del

profesor y aclaraciones no temáticas por parte del profesor.




326

Tabla 54. Análisis de participación. Primera clase Juan.

Configuración Tiempo (minutos)




Configuración 3 11:52 25:15 37:07


Total 15:27 54:47 1:10:14 Fuente: elaboración propia.

La configuración tres es la que presenta mayor participación de los estudiantes con un

31.01% del tiempo, ya que se planteó un ejercicio para el cual el profesor otorgó tiempo para que

los estudiantes de forma individual o grupal lo trabajaran, y posteriormente una alumna pasó al

tablero a solucionar la problemática. Le sigue la configuración cuatro con un 17.3%. La segunda

configuración fue la de menor participación del estudiantado con 7.7% del tiempo total de la

configuración. En general en la clase la participación de los estudiantes fue de 21.45%, lo cual

indica que el protagonismo lo tuvo el docente. Este criterio se corresponde con una clase

tradicional-tecnológica.

Segunda clase.

De acuerdo con el Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas y Godino, 2010), la segunda

clase del profesor Juan está dividida en 5 configuraciones didácticas. En la tabla 56, se

plantean las interacciones que se presentaron en cada configuración. El análisis se realizó

por cada configuración para luego concluir sobre la clase, tomando como referente la

trascripción (TR2J).

.

Configuración 1. (Duración 16:19 minutos). Corresponde a las 6 primeras líneas. Esta

configuración es de tipo magistral (Godino, Contreras y Font, 2006). Las interacciones que

más se destacan en su orden son: las preguntas cortas del profesor dirigidas a todo el grupo,

las autorespuestas del profesor y la explicación amplia del profesor:

Ant, A, Pc, Ar, E, Pc, O, E, Pc, Ar, Pm, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc,

Ar, E, Pc, Ar, Ant.


327

Tabla 55. Análisis de interacción de la segunda clase.

Fuente: elaboración Propia.

Configuración 2. (Duración 58:31 minutos). Líneas 7 a 79. Esta configuración

también es de tipo magistral. Las interacciones que más se destacan son las explicaciones

amplias del profesor, las preguntas cortas del profesor, las aclaraciones o explicaciones cortas

del profesor, las autorespuestas del profesor y el trabajo en forma grupal de los estudiantes:

Pc, Ar, E, Ant, Ant, A, O, A, Pc, Ar, A, tg, A, A, Ap, ic, E, Pc, Ar, E, tg, Pm, Ar, E, Pc, Ar,

Pc, Ar, tg, Pc, Ar, E, tg, A, E, pc, Pc, Rc, tg, A, tg, O, E, e, An, Ap. A, e, Ap. O, E, e, Pc, Ar,

AB Descripción C1

1-6

C2

7-79

C3

80-85

C4

86-101

C5

102-105 Total

A Aclaración del docente, explicación corta. 1 15 4 1 6 27

An Negación de la respuesta dada por el

estudiante.

1 1

Ant Aclaración no temática por parte del

profesor

2 2 1 5 10

Ap Aprobación de la respuesta dada por el

estudiante

5 1 6

Ar Autorespuesta del profesor, es decir

pregunta y responde su pregunta.

9 13 1 3 26

As Asesoría del profesor 2 2

D Dictado que hace el profesor a los

estudiantes de problemas o ejercicios.

1 1


e Explicación amplia del estudiante 7 7

ic Intervención corta del estudiante, sin que se

la haya solicitado el docente.

1 1

int Intervención no temática del estudiante 1 1

O El profesor ordena la ejecución de una

acción

1 4 1 6

Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo

el grupo

9 15 2 2 4 32

pc Pregunta corta por parte del estudiante por

iniciativa propia.

3 2 5

Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 1 3 2 1 7

R Repetición del profesor de lo que expresa el

estudiante

1 1

Ra Respuesta argumentada del profesor a una

pregunta de un estudiante

2 2

Rc Respuesta corta del profesor ante una

pregunta del estudiante

3 3

ric Respuesta del estudiante, individual y corta 2 2

tg Trabajo grupal de los estudiantes. 12 5 1 18

Total 31 103 10 22 16 182


328

A, E, Pm, Ar, E, tg, pc, Rc, tg, pc, Rc, E, E, Pc, Ar, A, Pc, Ar, tg, A, tg, Pc, ric, tg, A, tg, A,

O, e, R, Ap, e, Ap, e, Pc, ric, E, e, A, Pc, E, Pc, E, Pm, Ar, E, Pc, Ar, A.


tipo magistral. Se destaca aunque con muy poca frecuencia la aclaración o explicación corta

del profesor, con la mitad de la frecuencia de la anterior se encuentran las preguntas cortas

del profesor dirigidas a todo el grupo y las preguntas múltiples del profesor:

Pm, O, A, Pc, A, Pc, Pm, A, Ant. A.


tipo magistral. Entre las frecuencias más altas se encuentra las aclaraciones no temáticas por

parte del profesor y el trabajo grupal de los estudiantes. Las demás interacciones que

aparecen en esta configuración tienen frecuencias muy bajas de 1 o 2:

A, Pm, Ar, Ant, pc, Ra, tg, Pc, tg, Pc, Ant, tg, Ant, tg, As, Ant, int, Ant, pc, Ra, tg, As.

Configuración 5. (Duración 4:32 minutos). Líneas 102 a 105. Esta configuración es

magistral. Las más altas frecuencias son la aclaración o explicación corta del docente,

preguntas cortas del profesor y el trabajo grupal de los estudiantes:

Pc, Ar, D, A, Pc, A, Pc, Ar, A, Pc, Ar, A, tg, Ap, A, A.

Analizando la clase en general, su duración fue de 1:40:21, de 105 líneas de interacción

y 5 configuraciones didácticas, todas magistrales (Font, Planas y Godino, 2010), luego la

clase también lo es. Las interacciones de mayor frecuencia en su orden son: preguntas cortas

del profesor dirigidas a todo el grupo; aclaración del docente o explicación corta, autorespuesta

del profesor y explicación amplia del profesor, en menor escala el trabajo en grupo de los

estudiantes.




329

Tabla 56. Análisis de participación respecto del tiempo en la segunda clase.


Configuración 1 0 16:19 16:19

Configuración 2 32:15 26:16 58:31




Total 49:41 50:40 1:40:21


En la primera configuración el docente explicó la teoría de las situaciones didácticas de una

forma totalmente expositiva, por lo cual no hubo participación de los estudiantes. La cuarta

configuración fue la de mayor participación de los estudiantes, con 84.57% del tiempo total de la

configuración, por grupos desarrollaron el trabajo con intervenciones cortas del profesor; al

finalizar no se presentó la etapa de institucionalización del conocimiento. Le sigue la segunda

configuración con 55,12%, y la tercera configuración con 54,59%. En general en la clase la

participación de los estudiantes fue de un 49,51%, lo cual indica que la mayor intervención es del

docente; aunque dio posibilidades de trabajo grupal casi la mitad de la clase. A pesar de lo

mencionado, por la estructura de la clase, se corresponde con una clase tradicional-tecnológica.

Patrones de interacción de las dos clases iniciales.

Se presenta a continuación los patrones de interacción comunicativa que se

identificaron en el desarrollo de las clases del profesor Juan, con la respectiva frecuencia:

Tabla 57. Análisis de interacción en las dos clases.

AB Descripción C 1 C2 Total

A Aclaración del docente, explicación corta. 20 27 47

An, Negación de la respuesta dada por el estudiante. 1 1 2



Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y responde su pregunta. 26 26 52

As Asesoría del profesor 0 2 2

D Dictado que hace el profesor a los estudiantes de problemas o ejercicios. 3 1 4



330

e: Explicación amplia del estudiante 0 7 7

ia Intervención argumentada que hace el estudiante 1 0 1

ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado el docente. 1 1 2





pc Pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia. 3 5 8




Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un estudiante 1 2 3




tg Trabajo grupal de los estudiantes. 0 18 18

ti Trabajo individual de los estudiantes 1 0 1

Total 201 182 383 Fuente: Elaboración propia.

Se resalta la pregunta corta por parte del docente dirigida a todo el grupo como la más

frecuente, seguida de: las autorespuestas del profesor, las aclaraciones y explicaciones cortas

del docente, explicación amplia del profesor y respuesta corta por parte del docente. Aunque

con frecuencias menores también es de resaltar: aclaración no temática del profesor, trabajo

grupal de los estudiantes y preguntas múltiples del profesor. Se destaca igualmente que en

la primera clase se plantean las siguientes interacciones que no se dan en la segunda clase:

respuesta argumentada por parte del estudiante, pregunta argumentada por parte del profesor,

intervención argumentada que hace el estudiante, pregunta no temática del profesor y trabajo

individual de los estudiantes. Así mismo, las interacciones que aparecen en la segunda clase

más no en la primera son: trabajo grupal de los estudiantes, explicación amplia del

estudiante, asesoría del profesor e intervención no temática del estudiante. Lo anterior nos

llevaría a concluir por las interacciones de la clase, que es centrada en el profesor, por lo cual

se corresponde con una clase tradicional-tecnológica.


participación del estudiante, de ambas clases:


331

Tabla 58. Análisis de participación de los estudiantes respecto del tiempo en las clases

iniciales.

Tiempo (minutos)

Clase 1

Porcentaje

Participación

de los estudiantes

Tiempo (minutos)

Clase 2

Porcentaje

Participación

de los estudiantes

Configuración 1 1,1 9,75% 0 0

Configuración 2 1,15 8,05% 32,25 55,11%

Configuración 3 11,87 31,98% 3,45 54,59%

Configuración 4 1,33 17,62% 12,4 84,53%

Configuración 5 1,58 34,88%

Total 15,45 22% 49,68 49,51%


Como se puede observar el nivel de participación de los estudiantes en las dos clases

es menor que la del docente, esto se explica a partir de las configuraciones. En la primera

clase la configuración tres fue la de mayor participación por parte de los estudiantes, el

docente dejó trabajo grupal lo que subió el nivel de participación y en la segunda clase, la

configuración cuatro, pues allí el docente dejó que todo el tiempo los estudiantes trabajaran

grupalmente uno de los problemas, y no realizó la etapa de institucionalización, lo cual

incrementó el nivel de participación de los estudiantes.

De lo anterior se puede inferir lo siguiente:

Las dos clases del docente se distribuyeron en 4 y 5 configuraciones didácticas, lo cual

muestra su tendencia a realizar un desarrollo temático prudente para una sesión de clase.

La totalidad de las configuraciones fueron catalogadas de tipo magistral (Godino,

Contreras y Font, 2006), en la primera clase en gran grupo y en la segunda, en pequeños grupos

algunas configuraciones y otras en gran grupo. De lo anterior, se concluye que se trata de una

clase centrada en el docente, es decir, tradicional-tecnológica.

En la primera clase las interacciones más frecuentes del docente fueron: preguntas

cortas del profesor dirigidas a todo el grupo; aclaración del docente o explicación corta,

autorespuesta del profesor y explicación amplia del profesor, en menor escala el trabajo en


332

grupo de los estudiantes. En la segunda clase las interacciones más destacadas del docente

fueron: preguntas cortas del profesor dirigidas a todo el grupo; aclaración del docente o

explicación corta, autorespuesta del profesor y explicación amplia del profesor, en menor

escala el trabajo en grupo de los estudiantes.

Se determinó una identificación amplia de los patrones de interacción comunicativa

del docente Juan, los cuales se plasman en la tabla 58.

Se identificaron como las acciones de interacción comunicativa clásicas del docente

las siguientes: la pregunta corta por parte del docente, las autorespuestas del profesor, las

aclaraciones y explicaciones cortas del docente, explicación amplia del profesor y respuesta

corta por parte del docente. Lo anterior nuevamente lleva a pensar que la clase es de tipo

tradicional-tecnológico.

En general la participación de los estudiantes en las dos clases fue de 35,76%, resalta

el protagonismo del docente en el desarrollo de las mismas, es decir se trata de un aula

absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), lo cual es propio de una metodología tradicional-

tecnológica.

Análisis de la comunicación en las clases iniciales.

Primera clase.

En cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, el modelo predominante en

esta clase es el modelo lineal o matemático (Shanon, 1949; cit. Dins Winkin, 1994), entre

las características de la clase están: la transmisión de contenidos, la cual es totalmente

unidireccional, donde el profesor es el protagonista del proceso, es el que propone las tareas

y las desarrolla con intervenciones cortas de los estudiantes. También esta clase tiene

características del modelo sistémico, en el sentido de la retroalimentación (Bertalanffy,

1950) el docente buscó desarrollar varios problemas del mismo tipo con el fin de

retroalimentar el proceso de tasas relacionadas (tema tratado); Igualmente, aunque en


333

pequeña escala, se tiene en cuenta el modelo orquestal, en lo referente a la regulación, pues

la comunicación no puede existir sino está basada en unas normas, las cuales permiten el

equilibrio del sistema. (Marc y Picard, 1992), por ejemplo, el profesor habla y los estudiantes

lo escuchan.

En lo referente a las clases de comunicación, de acuerdo a la participación, la

comunicación es unilateral pues es unidireccional y el protagonismo lo tiene el docente, no

se dan cambios de roles. Es colectiva y abierta, el docente se dirige a un público que en este

caso son los estudiantes. Es lingüística, el medio natural es el lenguaje, apoyado por códigos

paralingüísticos; también es extralingüística, se emplean códigos distintos a la lengua

natural, como la simbología matemática, de la derivada y otros símbolos. Es formal, se sujeta

a un patrón de clase definido. En cuanto al canal, la comunicación es audio visual, el docente

habla pero va escribiendo el proceso en el tablero; igualmente es directa, pues implica

presencialidad, se da por canales simples. Vertical, de docente a estudiante, en una forma

poco participativa del estudiante (Niño, 1998). En el siguiente fragmento de transcripción se

puede evidenciar lo anterior (TC1J).

[18]

p Como resulta todo esto entonces toda

esa cuestión entonces ¿ya tenemos la

función volumen...? ¿Cuál es la función

volumen?

se dirige a sus

guías en la mesa

... y pregunta

[19] A2 Por largo por ancho por alto

[20]

P Si señor... la función volumen está dada

para este caso... por l.a.h... empecemos

entonces todas la derivaditas parciales

que están involucradas en la regla de la

cadena

Largo , alto y

ancho ( l. a . h )

[21]

P Entonces decimos que la rapidez de

variación de volumen en un instante de

tiempo está dada por dv/ dl que nos

queda?

señala el tablero

[22] A1 a*h

[23]

P A*h ... si estoy derivando … a* h se

convierten en constante cierto ¿ ... bien

por dl / dt … lo tengo ¿... si es 3c/seg

dl / dt

Repite lo dicho

[24] P Bien… quién es?.. dv / da

[25] A2 l h El docente afirmó

lo dicho por el

estudiante


334

[26]

P da /dt ... tengo da/dh si quien es ¿ 2cm /

seg + quien es da /dh

[27]

A2 l* a

[28]

p Quien es dh /dt 1cm /seg... listo...

haciendo el análisis dimensional en que

unidades nos debe dar la rapidez de

volumen en un instante de tiempo

determinado en...?

Afirma lo que

dijo el estudiante

Si se consideran los signos desde la propuesta de Peirce, que, aunque presenta una

gama bastante amplia de signos, los más usuales son el símbolo, el ícono y el índice. Para

esta clase se utilizaron símbolos, el interpretante del fundamento, signos cuya relación con

su fundamento o con la realidad es totalmente arbitraria (Peirce, 1974); por ejemplo la

expresión algebraica de funciones y derivadas, 𝑣 = 𝑓 (𝑙. 𝑎. ℎ), 𝑑𝑎/𝑑𝑡, 𝑑𝑙/𝑑𝑡, 𝑑ℎ/𝑑𝑡, al

igual que 𝑑𝑣 / 𝑑𝑙 ∗ 𝑑𝑙 /𝑑𝑡 + 𝑑𝑣/ 𝑑𝑎 ∗ 𝑑𝑎/𝑑𝑡. +𝑑𝑙/𝑑ℎ ∗ 𝑑ℎ/𝑑𝑡.

Así mismo, en esta clase se utilizaron símbolos ubicados en un contexto y en relación

con otros símbolos (Saussure, 1995); es decir, el profesor siempre buscó utilizar símbolos

con significado. En lo referente a los códigos, en la clase se utilizaron los códigos

lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos como sustitutos del lenguaje y los

extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971), como se evidencia en las líneas [18] a

[28].

Para la clase se consideró la comunicación como medio de control y como medio

para percibir el avance o las dificultades de los estudiantes (Ponte et al., 2007). Se presenta

un fragmento de la trascripción de la primera clase del profesor Juan (TC1J) que resalta este

aspecto.

[1] p bueno ... tenemos nuestra función ya

para continuar con los ejercicios de

aplicación entonces

tenemos definida nuestra función, …

tenemos los ejercicios de aplicación nos

acordemos cual es la función asociada a

este tipo de ejercicio entonces

se encuentra un

ejercicio una

gráfica de una caja

con sus

respectivas

dimensiones

el docente ya

tenía preparado

los ejercicios y los

estudiantes se

encuentran

copiándolos y

señala el tablero

para realizar la

respectiva

explicación


335

[2] p Entonces cual es la función ¿?,. ¿La

función volumen verdad? la función

volumen es una función que depende de

la longitud del ancho y del alto de la

figura o del solido o del recipiente con el

que estamos trabajando. Listo

(𝑣 = 𝑓 (𝑙. 𝑎. ℎ)), Docente mira a

una alumna y

continua

escribiendo en el

tablero como para

llamar la atención

y que lo escuchen.

[3] p y además debemos ver que cada una de

ellas , debemos ver que cada una de ellas

tanto la longitud, como el ancho como el

alto dependen del instante de tiempo

entonces efectivamente habla de una

función que depende de tres variables en

donde cada una de ellas

Depende a su vez del tiempo, en donde

cada una de ellas

Depende a su vez del tiempo ¿verdad?..

.listo

Y señala el tablero

para explicar lo

que va diciendo

[4] p Entonces hagamos cada uno los cálculos

que nos sugiere el ejercicio...

En la mesa del

docente hay unas

guías donde tiene

preparada la clase

y las mira

[5] P Volvamos a leer entonces. ¿Dice que la

longitud es de cuánto? ¿qué es de

cuánto?

le pregunta a los

estudiantes

[6] A1 15 centímetros El docente afirma

lo dicho

El contrato didáctico es entendido como el conjunto de comportamientos del profesor

que es esperado por los alumnos y el conjunto de comportamientos de los alumnos que es

esperado por el profesor (Brousseau, 1988). Desde esa perspectiva en la clase se pudieron

identificar diferentes apartes donde sobresalen normas de la clase, por ejemplo:

[45]

p Listo captado lo dicho entonces vamos a

continuar con lo que estábamos haciendo

… veamos entonces un ejemplo

más…un poco más complejo .. a bueno

ya este es .. el siguiente es un poco más

sencillo porque el siguiente vamos a

hablar de la función área

El docente borra

el tablero

[46]

p ¿ Quién es la función área para esa caja

que estamos trabajando?

[47]

A6 base *altura /4 ¿Perdón ?

responde mirando

el docente con

cara de asombro ..

[48]

p Quién es la función área con la que

debemos trabajar … las dimensiones se

mantiene y ojo por que no están tan

sencillo como por decir las cuestiones de

las que está hablando… no resulta tan


336

sencillo porque estamos hablando ahora

del área

[49] A6 Sonríe

[50] p Se supone que el área en esta figura es

mejor ¿Quienes conforman el área para

esa cajita rectangular?

[51] A7 El área de la base por altura

[52] P Es suficiente decir el área de la base * la

altura.

[53] A6 pues la suma de las 4 caras

[54] p Más bien es un poco más lógico decir

que el área suma total de las caras ¿de

cuantas caras?

[55] A6 Pues de 4

Algunas de las normas de clase que se pueden inferir de lo anterior, son: el profesor es

el que propone los ejercicios y utiliza el tablero; el profesor debe desarrollar los problemas

que propone; el profesor debe explicar cómo se soluciona un determinado tipo de problema;

el estudiante debe contestar las preguntas cortas del profesor. Un detalle completo de este

aspecto en la sesión de clase se encuentra en el análisis de la misma presentado

anteriormente.

Brendefur y Frykholm (2000) plantean cuatro categorías generales de comunicación:

Comunicación unidireccional, contributiva, reflexiva e instructiva. En la siguiente tabla se

presentan las configuraciones didácticas (Godino, 2011) con las interacciones y de acuerdo

a ellas a qué modo de comunicación pertenecen.

Tabla 59. Modos de comunicación en la primera clase.

Configuració

n


Comunicación 1 Ant, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Pm, ric, A, Pc, ric, O, ric, A, Pc, ria, Pc,

Ar, Pc, Ar, A, Pc, A, Pc, A, Pc, ric, Ap, A, Pc, ric, R, Pc, Ar, Pc,

ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Pc, ric, ric, Pc, Ar, Pc, pc, Rc,

Pm, ric, R, Pc, Ar, E.

Unidireccional

2 Ant, Pa, ric, Pa, Ar, E, ap, Pa, ria, Pc, ric, E, Pc, ric, E, Pc, ric,

R, Pc, ric, R, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, E, pc, E, Pc, Ar, E, Pc, A,

Pm, ic, E, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ria, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E,

Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc, Ar, A, Pc, ric, E, Pc, Ar, A, Pc, ric, E.

Unidireccional

3 Ant, D, Pm, Ant, D, Pnt, ric, D, A, Pa, A, Pc, ric, Ap, Pm, Ar,

Pm, Ar, Pm, A, E, Pc, ric, Pc, ric, Pm, ria, A, Pc, Ar, E, Pc, Ar,

E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Pc, ria, O, ric, An, Pc, Ant, Pc, Ar, O, Pc,

ric, Ap, O, Ant, Pc, ric, Ant, Pm, Ant, Pc, Ar, pc, Ra, ia, A, Ant.

Unidireccional

4 E, Pm, Ar, E, Ant. Unidireccional



337

Se puede deducir de la información anterior, que la clase es expositiva, con muy poca

participación de los estudiantes (21.45%), las interacciones magistrales que se identificaron

en cada configuración lo reafirman, cada configuración es del modo unidireccional; es decir,

esta clase del docente es de una comunicación unidireccional, centrada en el profesor.

Segunda clase.

Esta clase en cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, posee

características de los tres modelos considerados. El modelo lineal o matemático (Shanon,

1949; cit. Dins Winkin, 1994) estuvo presente en toda la clase, es el docente quien propone

las tareas; pero especialmente al iniciar, el docente hizo una exposición sobre la teoría de las

situaciones didácticas. También esta clase tiene una parte del modelo sistémico, el docente

propuso varios problemas para realizar con software, dejando que los estudiantes plantearan

sus soluciones, pero siempre orientando y redireccionando la actividad; en ocasiones

llevándolos a seguir el camino que el docente proponía. También se tuvo en cuenta el modelo

orquestal en lo referente a la regulación, por ejemplo, en la primera configuración de la

segunda clase del docente Juan (TC2J), entre otras, se describen las siguientes normas: el

profesor es el que debe utilizar el tablero, el profesor debe desarrollar los problemas que

propone, el profesor debe explicar cómo se soluciona un determinado tipo de problema, el

estudiante debe contestar las preguntas cortas del profesor, los gráficos sirven para dar

claridad en la comprensión del problema. Algunas normas adicionales se encuentran en el

análisis de la clase y en las diferentes configuraciones.

De acuerdo a la participación, la comunicación es unilateral, se desarrolla en una

dirección y el protagonismo lo tiene el docente; la variación está en algunos momentos que

deja para que trabajen los estudiantes en grupo, se desarrolla una comunicación recíproca.

Es colectiva y abierta, el profesor se dirige a un público, sus estudiantes, pero cuando están

trabajando entre ellos, se plantea una comunicación interpersonal. También es lingüística, el

medio natural es el lenguaje, apoyado por códigos paralingüísticos; también es

extralingüística, se emplean códigos fuera de la lengua natural, como la simbología

matemática. Es formal, se sujeta a unas reglas definidas. Es audiovisual, el docente habla


338

pero va escribiendo el proceso en el tablero ayudándose con diagramas o gráficas;

igualmente es directa, pues implica presencialidad. Al inicio de la clase es vertical, se da de

docente a estudiante, en una forma poco participativa del estudiante, pero posteriormente

hay una mayor participación del estudiantado, especialmente entre ellos, por lo cual se

vuelve horizontal (Niño, 1998).

Se utilizaron tanto símbolos como íconos. El símbolo entendido como el interpretante

del fundamento, signos cuya relación con su fundamento o con la realidad es totalmente

arbitraria; los íconos, donde hay una semejanza entre el signo y la realidad (Peirce, 1974).

Detalles se pueden observar en el análisis de la clase. Adicionalmente, el docente pretendió

utilizar símbolos con significado, pues se ubicaron en un contexto y en relación con otros

símbolos, los cuales fueron comprensibles para todo el grupo (Saussure, 1995).

En esta clase resaltó el discurso del docente, es decir se utilizaron los códigos

lingüísticos, también los paralingüísticos en vez del lenguaje y los extralingüísticos lógicos

y sociales (Giraud, 1971). Lo anterior lo podemos evidenciar en las siguientes líneas de

transcripción (TC2J).

[24] ag Los alumnos

trabajan por

grupos y hablan

entre ellos.

[25] p ¿A algún grupo le hace falta el programa?

¿Ya todos lo tienen? ¿Todos tenemos el

programa verdad? Bueno… hacemos el

cuadrado rápido, ¿se acuerdan cómo hacer el

cuadrado? Bueno entonces ya teníamos este

segmento, ¿verdad? Ya teníamos este

segmento, necesitamos, necesitamos un

cuadrado sobre ese segmento, para que sea

cuadrado necesitamos trasladar las medidas,

de modo que los lados sean iguales, nosotros

¿ya sabemos cómo trasladar medidas, no? Ya

lo habíamos hecho con el compás otras veces,

entonces escojan círculo y lo trazaremos con

centro en A y que pase por el punto B, luego

vamos a la herramienta perpendicular y le

indico que sea una perpendicular que pase por

el punto A y que sea una perpendicular al

segmento AB listo valido y cierro ahora

puedo trazar una perpendicular al segmento

A B


339

El profesor Juan utilizó la comunicación como control de la clase y para promover

aprendizajes. A continuación se presenta un fragmento de la trascripción de la segunda clase

del profesor Juan (TC2J), donde se resaltan estos aspectos (Ponte et al, 2007).

AB y que pase por el punto B la valido, la

manito para salir de ahí. Ahora vamos a

cerrar, ha perdón hagan el punto de

intersección, hacemos click en la intersección

del círculo con la recta, se resalta el círculo y

la recta cuando se marca la intersección y lo

marcamos como c, ahora si con ese punto de

intersección trazamos una perpendicular que

pase por el punto C y sea perpendicular al

segmento que pasa por B , hacemos click en

validación y tenemos el cuadrado, cuales son,

cuál es la propiedad de ese cuadrado? Y luego

podemos hacer el arrastre, si está bien hecho

resiste el arrastre. Pero las funciones van a

permanecer. Bien, hace falta, hace falta un

punto de intersección y es un punto de

intersección entre dos rectas entonces ¿cuáles

son las rectas? Las rectas D2 y la recta D3

hacemos click en validación me marca el

punto D y tengo totalmente construido el

cuadrado. ¿Cierto? Cuando tengo el cuadrado

aparecen todas esas proposiciones y muchas

de esas son lo que llamamos proposiciones

demostrables, ¿listo? Bien, teniendo entonces

esas proposiciones demostrables, ahora si van

a retomar el problema de construcción

C

A B

Agranda y achica

el gráfico con el

arrastre.

[26] Los estudiantes

trabajan

[27] p Qué le hace falta, ¿qué le hace falta al gráfico

para completar la construcción? A partir de

aquí entonces ustedes tienen que decidir en

qué lugar está este punto, este punto y este

punto. Y se van a guiar un poco por la

intuición y por lo que logran ver de la figura,

no se si alcanzan a reconocer las propiedades

de la curva,

Muestra los

puntos en la

pantalla.

Habla con algunos

estudiantes.

[7] P Bien listo, ¿tienen ya el cuadro y todo?

Si. Entonces les voy a mostrar los problemas de

construcción y me van contando qué sucede

alrededor de estos problemas de construcción.

Baja el telón para

utilizar el video

beam

[8] p Bien, baja el soporte del video beam si es tan

amable

Le pide al

estudiante Pedro

[9] ag Hablan varios

estudiantes no se

entiende


340

[10] p Bien, veamos esos problemas de construcción,

entonces problemas de construcción

[11] P Pausa mientras

enciende el video

beam y el

computador, al

igual que los

estudiantes

encienden el

computador

[12]

p Un minuto que tengo un problema en el video

beam.

[13]

Pausa de silencio

[14] p Aquí tienen el primer problema de construcción en

el geotix por favor, y unas preguntas alrededor de

ese problema de construcción, inicien por favor.

Presenta un

cuadrado

[15] p Entonces está claro, está claro que lo único que

tiene que quedar claro en la construcción es el

polígono exterior y el polígono interior, ¿de

acuerdo? Bien realicemos todas las acciones

necesarias sobre el software para lograr solucionar

ese problema de construcción. Bien a partir de este

momento entonces tienen el medio y van a realizar

la acción sobre el medio, y luego me van a decir

que les devuelve ese medio y como obtuvieron el

proceso de validación.

[16]

p Le muestra a un

estudiante cómo

manejar comandos

del paquete.

[17] eg Los estudiantes

trabajan,

[18] p Cuando lo vayas a ejecutar tienes que entrar como

administrador para que no tengas ningún problema

El profesor

asesora un

estudiante

[19] P Bueno… listo Le alcanza el cd

de instalación a

otro grupo

[20] A

1

Juan David colócalo

[21] p Bueno inicia la construcción y yo voy a ir

preguntando en donde tuvieron dificultad y ahí

estará el proceso de validación

[22] p Ya realizaron la construcción , iniciamos el proceso

de validación, vamos a ver como hacen esa

construcción, recuerden que para colocar los

objetos hacemos simplemente dobleclick y todo lo

demás se hace… recuerden que tienen que hacer en

la en la partecita de validación en el sector de

validación ya les muestro aquí para recordar cómo

funciona , entonces

les muestra en

pantalla con la

utilización del

video beam

[23] p Hacen dobleclick y aparecen dos puntos, en los

segmentos recuerden que debo seleccionar la

herramienta segmento y que siempre que quiero un


341

Teniendo en cuenta el fragmento presentado anteriormente, se pueden determinar

algunas normas del contrato didáctico (Brousseau, 1988), como las siguientes: el profesor es

quien decide qué se debe trabajar en la clase, en este caso el que propone el problema a

solucionar; siempre que se haga una parte de la construcción hay que hacer click para

validarla; todos deben iniciar a trabajar al tiempo.

A continuación, se presentan las configuraciones didácticas (Godino, 2011) con las

interacciones y clasificadas de acuerdo con lo propuesto por Brendefur y Frykholm (2000).

Tabla 60. Modos de interacción en la seguna clase.

Configuració

n

Interacciones Unidireccional

1 Pc, Ar, E, Pc, O, E, Pc, Ar, Pm, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E,

Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Ant.

Unidireccional

2 Pc, Ar, E, Ant, Ant, A, O, A, Pc, Ar, A, tg, A, A, Ap, ic, E, Pc, Ar, E,

tg, Pm, Ar, E, Pc, Ar, Pc, Ar, tg, Pc, Ar, E, tg, A, E, pc, Pc, Rc, tg, A,

tg, O, E, e, An, Ap. A, e, Ap. O, E, e, Pc, Ar, A, E, Pm, Ar, E, tg, pc,

Rc, tg, pc, Rc, E, E, Pc, Ar, A, Pc, Ar, tg, ,A, tg, Pc, ric, tg, A, tg, A,

O, e, R, Ap, e, Ap, e, Pc, ric, E, e, A, Pc, E, Pc, E, Pm, Ar, E, Pc, Ar,

A.

Unidireccional

3 Pm, O, A, Pc, A, Pc, Pm, A, Ant. A. Unidireccional

4 A, Pm, Ar, Ant, pc, Ra, tg, Pc, tg, Pc, Ant, tg, Ant, tg, As, Ant, int,

Ant, pc, Ra, tg, As.

Reflexiva

5 Pc, Ar, D, A, Pc, A, Pc, Ar, A, Pc, Ar, A, tg, Ap, A, A. Reflexiva


segmento que pase por el punto A y el punto B

señalo y hago click y al mismo tiempo en el chulito

de validación. Terminada esta acción, usen la

manito roja para seleccionar cualquier otra acción

del programa y entonces lo que les decía tenemos

los datos y de acuerdo como estamos haciendo la

construcción se encontrará luego cuales son las

proposiciones y cuáles de esas proposiciones

debemos demostrar, ¿de acuerdo? Ustedes hicieron

esa manipulación inicial del programa, hicieron

como funciona, tienen su problema de construcción,

veamos que hace el programa cuando hacemos esas

construcciones, recuerden entonces hacer todo el

tiempo el click en validación , obviamente seguir

con cuidado todos los pasos de construcción … y

ahí tenemos el problema de construcción

[24] ag Los alumnos

trabajan por

grupos y hablan

entre ellos.


342

Es una clase parcialmente expositiva, en especial al iniciar, pero posteriormente se

enfocan procesos constructivos, con una participación alta del estudiantado, la cual en

general fue de 49,51%. La comunicación en las tres primeras configuraciones fue de tipo

unidireccional, en las dos últimas la comunicación fue de tipo reflexivo.

Generalidades de la comunicación en las clases iniciales.

Dado que la clase se basó fundamentalmente en la transmisión de contenidos, el

protagonismo lo tuvo el docente; fue quien propuso las tareas y las desarrolló en su gran

mayoría. Se considera que el modelo explicativo predominante en la clase del profesor Juan

fue el modelo lineal o matemático (Shanon, 1949; cit. Dins Winkin, 1994). El docente

propuso y desarrolló varios ejercicios o problemas buscando la mecanización de conceptos,

es decir que se referenció el modelo sistémico (Bertalanffy, 1950). También se mostró que

en estas clases se emplearon algunas normas en cuanto a regulación se refiere, por lo cual se

consideró también el modelo orquestal (Marc y Picard, 1992, p 39).

En cuanto a las clases de comunicación, por la participación fue unilateral, se

desarrolló en una dirección. Colectiva y abierta, se dirigió los estudiantes; lingüística, el

medio natural de comunicación fue el lenguaje, con apoyo de códigos paralingüísticos;

también extralingüística, se emplearon códigos distintos a la lengua natural, como la

simbología matemática; formal, siguió un patrón de clase definido, el tradicional

tecnológico. En cuanto al canal, la comunicación fue audio visual y directa; vertical, de

docente a estudiante (Niño, 1998).

Según Peirce (1974) en esta clase se utilizaron especialmente los símbolos y en menor

escala los íconos. Se utilizaron símbolos ubicados en un contexto y en relación con otros

símbolos; el profesor siempre intentó utilizar símbolos con significado (Saussure, 1995).

Se utilizaron los códigos lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos como

sustitutos del lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).

Se consideró la comunicación como medio para percibir el avance o las dificultades

de los estudiantes y como medio de control (Ponte et al, 2007). El profesor utilizó la


343

comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes, y para facilitar el aprendizaje de

los conceptos matemáticos de los mismos.

De acuerdo con el contrato didáctico (Brousseau, 1988), en la clase se pudieron

identificar algunas normas: El profesor es el que propone los ejercicios y utiliza el tablero,

el profesor debe desarrollar los problemas que propone, el profesor debe explicar cómo se

soluciona un determinado tipo de problema, el estudiante debe contestar las preguntas cortas

del profesor, el profesor es quien decide qué se debe trabajar en la clase; en este caso el que

propone el problema a solucionar; siempre que se haga una parte de la construcción hay que

hacer click para validarla; todos deben iniciar a trabajar al tiempo. Como este caso hay varios

dentro de las sesiones de clase y se encuentran en el análisis de las mismas.



las interacciones de clase, en las tablas 60 y 61.

De lo anterior se deduce que la comunicación unidireccional es la típica de la clase del

docente Juan, ya que la mayoría de las configuraciones de las dos clases son de este modo

de comunicación. En la parte final de la segunda clase se dio la comunicación reflexiva, sin

embargo no es la regularidad. Las interacciones planteadas generalmente son del actuar del

docente con muy pocas del estudiante, se manifiesta adicionalmente en el promedio de

participación del estudiante en la clase, que es del 35.76%.

Durante el Trabajo Colaborativo

Se considerararon dos momentos importantes para mirar el avance del proceso, uno

dentro del desarrollo de las reuniones del grupo de trabajo colaborativo y otro al finalizar.

En cuanto a su participación en el grupo de trabajo colaborativo, el profesor plantea que

el balance es positivo, cree que ha sido “un espacio en el que se ha creado un ambiente de

confianza para contar las situaciones de clase e incluso socializar los problemas que se

presentan en las clases, pero además ha permitido que nos arriesguemos a diseñar ambientes

de aprendizaje” (EntJ3, 12 mayo 2016). Dice que ha evolucionado como profesor de


344

matemáticas al reconocer que los contenidos no son lo importante, sino que se deben presentar

situaciones que le permitan al estudiante explorar los conceptos y que de dichas situaciones

emerjan ideas más relevantes que los contenidos mismos, lo cual supone un esfuerzo de

constante reflexión sobre la práctica docente, sin lo cual no es posible cambiar la inercia del

paradigma tradicional.

Se debe evolucionar, compartir experiencias de clase con otros colegas, de modo que

permita conocer variadas metodologías. Un aspecto que le ha sido especialmente difícil es “el

de ceder espacios a los estudiantes, pues algunos estudiantes consideran que la labor del

profesor en el salón debe acaparar toda la atención en el tiempo de clase” (EntJ3, 12 mayo

2016). Este aspecto no se ha podido realizar por varias razones. El profesor Juan plantea que

uno de los factores que dificulta las socialización entre compañeros es el tiempo, pero además

también se dan casos en que los colegas no son abiertos a compartir sus experiencias de clases,

sin embargo, un aspecto positivo del grupo colaborativo es que todos los miembros van con

la intensión de compartir y aprender (EntJ3, 12 mayo 2016). De otra parte, sobre ceder espacio

a los estudiantes, la dificultad se ha mantenido, por dos causas: los estudiantes reclaman que

las clases se hagan de forma magistral, se debe a que la única experiencia de clase que han

tenido es con el paradigma tradicional. Otra causa corresponde a las incertidumbres que se

puedan presentar ante situaciones no previstas de las cuales no se tengan respuestas

inmediatas.

En el grupo realmente se vivencia un trabajo colaborativo, “pues en el grupo todos

asumimos con interés las actividades que nosotros mismos nos proponemos” (EntJ3, 12 mayo

2016). Piensa que ha sido una experiencia enriquecedora, porque todos están en un mismo

nivel y tienen la intención de mejorar las prácticas, y a pesar de que los puntos de vista no

sean iguales, se buscan puntos de convergencia de manera que todo al final sea un acuerdo.

La relación entre los compañeros ha sido un factor importante, “porque nos permite asumir

una identidad propia, sin presión por parte de algún miembro lo cual ha permitido que cada

uno se considere como una parte importante dentro del grupo” (EntJ3, 12 mayo 2016), pues

se valoran las ideas de cada integrante.


345

Manifiesta que el actual trabajo que se viene desarrollando al interior del grupo de

trabajo colaborativo se puede mejorar “explorando otros referentes teóricos que nos permitan

entender nuestras prácticas desde otros puntos de vista, así como vincular a estudiantes de

pregrado para que nos aporten una mirada distinta de las prácticas” (EntJ3, 12 mayo 2016).

El profesor plantea que “la reflexión generada al interior del grupo colaborativo me ha

permitido reconocer múltiples aspectos de la práctica docente” (EntJ3, 12 mayo 2016),

algunos de los cuales habían descuidado por su desconocimiento o por desestimar su

relevancia dentro de la configuración de un ambiente de aprendizaje.

Ha participado en la reflexión del grupo aportando diferentes experiencias vividas como

docente de matemáticas en distintos niveles de educación, pero también relacionando esa

experiencia con aspectos de las teorías pedagógicas y didácticas que ha tenido la oportunidad

de estudiar, y que al igual que los compañeros del grupo, proporcionan una visión más amplia

de las prácticas docentes. Afirma que en el grupo:

hemos estudiado las características específicas de los modelos pedagógicos más

dominantes, y esto me ha servido para identificar la tendencia general de mi práctica

docente. Conocer esas características específicas de mi práctica es un elemento clave

para transformarla, porque permite generar procesos de autorregulación y reflexión, es

decir la práctica docente ya no es una acción rutinaria y descuidada, sino que es una

acción consiente (EntJ3,12 mayo 2016)

El reflexionar sobre sus clases de semestres anteriores, le ha permitido identificar

aspectos positivos, al igual que buscar cómo mejorar su práctica docente, con lo cual ha

podido redireccionar estrategias o pensar en adoptar otras que serían más pertinentes en

algunas situaciones de clase. Cree que conocer los criterios de idoneidad propuestos por el

Enfoque Ontosemiótico para análisis de clases, “ha facilitado determinar cuáles pueden ser

las dificultades a la hora de mantener un equilibrio sistémico en cada una de las dimensiones:

epistémica, ecológica, cognitiva, afectiva, interaccional y mediacional” (EntJ3, 12 mayo

2016).


346

En conclusión, luego de hacer los análisis didácticos, considera que uno de los aspectos

positivos de su práctica docente tiene que ver “con la preocupación por el uso de mediaciones

apropiadas, que le permitan al estudiante acercarse a la comprensión de conceptos

matemáticos” (EntJ3, 12 mayo 2016). Otro aspecto que considera una fortaleza tiene que ver

con la dimensión ecológica, en cuanto a la búsqueda de conexiones entre los conceptos

trabajados en clase y el desarrollo profesional de los estudiantes, así como la relación con

otros contenidos intra e interdisciplinares. Cree también que quedan muchos aspectos por

mejorar, por ejemplo en la dimensión epistémica, “pues hace falta la incorporación

sistemática de situaciones problema que impliquen mayor esfuerzo por parte del estudiante

para poner en juego tanto los saberes previos como su espíritu investigativo” (EntJ3, 12 mayo

2016). Así mismo, en su práctica docente ve dificultades en la dimensión interaccional, pues

el estudiante sólo asume un rol pasivo y por tal razón no está plenamente comprometido con

su propio aprendizaje.

En cuanto al desarrollo de las prácticas comunicativas, la opinión del docente es que al

mirar retrospectivamente las prácticas matemáticas en el aula, se puede establecer algunas

diferencias con la situación anterior al proyecto, “particularmente en el tratamiento de los

contenidos y en los procesos de comunicación en aula” (EntJ3, 12 mayo 2016); antes los

estudiantes se limitaban a transcribir los conceptos y definiciones del tablero a sus cuadernos,

era una actividad muy simple y para ellos no demandaba muchos recursos cognitivos;

adicional a esto “los niveles de atención resultaban ser escasos debido a que los estudiantes

no reflexionaban ni se cuestionaban sobre los conceptos tratados en clase, finalmente ésta

terminaba siendo monótona” (EntJ3, 12 mayo 2016). Luego de los procesos de reflexión y

autoevaluación, dentro del grupo colaborativo se propusieron actividades de clase:

que le permitieron al estudiante tener más protagonismo y promover procesos

metacognitivos, mi rol en la clase fue más de acompañamiento y orientación, sin

embargo esta orientación no se limitaba a responder todo lo que pregunta el estudiante,

es decir no busqué suplantarlo, sino que es más un ejercicio de tipo mayéutica donde el

estudiante tiene que contrastar lo que sabe y lo que desconoce con sus compañeros para

generar su aprendizaje (EntJ3, 12 mayo 2016).


347

Antes del trabajo del grupo colaborativo, los estudiantes al no intervenir de manera

activa en la clase, encontraban distracciones o hablaban de temas distintos o que no tenían

nada que ver con el tema tratado, supone que es a causa de la inercia en la dinámica de la

clase. Al realizar cambios paulatinos mediante la implementación de situaciones problema,

que implicaran que el estudiante hiciera uso de diferentes herramientas cognitivas como

plantear un modelo, realizar representaciones gráficas apropiadas, establecer estrategias, entre

otras, llevó a los estudiantes a comparar sus procesos de elaboración conceptual, lo que

implicó que entre ellos cuestionaran las ideas tanto de sus compañeros como las propias, y en

ese sentido se creó un ambiente de interdependencia y de colaboración, en el que se

evidenciaron procesos metacognitivos (Idem).

En cuanto a las tareas propuestas, la diferencia radicó en que las actividades anteriores

eran más rutinarias, y en la clase se limitaba a dar la explicación magistral del tema; en

cambio, “el proceso de reflexión al interior del grupo permitió pensar en las múltiples

dimensiones del enfoque Ontosemiótico para el diseño de situaciones problema” (EntJ3, 12

mayo 2016). Cabe resaltar que el proceso de diseño y planeación de la clase fue más exigente

para el profesor, pues no se limitaba a presentar los contenidos, sino que tenía que prever las

diferentes condiciones que le permitieran al estudiante reelaborar conceptos y relacionarlos

con otros contenidos.

En lo concerniente al trabajo solicitado a los alumnos, según él, pasó de ser rutinario a

ser interpretativo, esto demandó más interés por parte de los estudiantes, y facilitaba la

comunicación entre ellos, así como formulación de preguntas más elaboradas a partir de los

elementos conceptuales que se trabajaban en clase. La organización de los alumnos paso de

ser o lineal o caótica, a estar organizados por grupos de trabajo identificables. En cuanto a su

papel como docente planteo que ¨pasé de ser trasmisor de información, a orientador de

procesos de aprendizaje¨ (EntJ3, 12 mayo 2016), es decir, se cambió la metodología de clase

magistral a involucrar al estudiante en la resolución de situaciones problema. En la nueva

forma de trabajo en clase se cuestionaba al estudiante sobre sus afirmaciones, de modo que

mediante la interacción con sus compañeros demostrara seguridad al momento de reconstruir

conceptos y dar sus conclusiones.


348

Según el profesor, la clase dejó de ser monótona y pasó a tener una dinámica de

interacción constante, en donde cada grupo determinaba su ritmo de trabajo, sin embargo

había espacio para la construcción colectiva. En el entorno de aprendizaje contempló el uso

de varias herramientas, tales como el tablero de clase, computadores, calculadoras, proyector

e incluso los celulares para el análisis gráfico.

En lo referente a la comunicación, cree que se dio prioridad a la comunicación entre los

estudiantes, pues eran ellos los que realizaban los análisis y tenían que reconocer la

importancia de las ideas de los demás compañeros.

También al desarrollar un proceso de reflexión sobre las prácticas de aula, como las

realizadas al interior del grupo colaborativo, pudimos notar que se hace necesario profundizar

en muchos de los conceptos que se abordan en la clase, pues “se requiere una visión más

amplia para realizar las transformaciones adaptativas de los conceptos matemáticos

implicados en las situaciones problema, que se le plantean a los estudiantes” (EntJ3, 12 mayo

2016). Cree que la relación con la matemática cobra un sentido distinto, por cuanto se busca

establecer conexiones entre las matemáticas y otros campos del conocimiento, que permitan

al estudiante acercarse a conceptos matemáticos, o reelaborarlos. En ese aspecto, las

matemáticas no se considerarían como un cuerpo organizado y definitivo de conocimientos,

sino que es un campo de conocimiento dinámico y en donde es posible la exploración de los

conceptos desde diferentes perspectivas (EntJ3, 12 mayo 2016).

Acerca de su rol dentro del grupo de trabajo colaborativo, manifestó:

dentro del grupo mi rol ha tenido dos aspectos, uno como agente de la práctica docente,

en el que se me permitió compartir mis experiencias de aula y dar mi punto de vista

desde lo que considero mi enfoque teórico sobre la educación, particularmente la

educación matemática; el otro aspecto ha sido el de ser aprendiz de mis colegas, para

entender otras formas de desarrollar las prácticas docentes, así mismo poder estar

abierto a las sugerencias expresadas sobre aspectos por mejorar de mi práctica


349

docente. Fue un papel interactivo, en el que el interés principal cada semana era tratar

de mejorar nuestras prácticas (EntJ3, 12 mayo 2016).

Considera que la comunicación y la resolución de problemas son procesos que están

estrechamente relacionados, es decir, las situaciones problema terminan siendo un potencial

detonante de los procesos de comunicación en el aula, y necesariamente favorecen los

procesos metacognitivos en los estudiantes, lo que a la larga redunda en un aprendizaje más

significativo, pues la reelaboración conceptual termina siendo una herramienta versátil que le

permite al estudiante aplicar los conceptos en otros contextos distintos al de la clase.

En cuanto a la importancia que le atribuye a las concepciones de los alumnos en el

aprendizaje de las matemáticas, plantea que “las concepciones de los estudiantes son un punto

de partida, sin embargo es mediante el trabajo progresivo sobre las situaciones problema que

se van transformando esas concepciones en conceptos institucionales” (EntJ3, 12 mayo 2016).

Puede ocurrir que esas concepciones sean próximas a los conceptos matemáticos o por el

contrario necesiten ser transformados completamente, pues pueden ser ideas resistentes al

cambio que se convierten en obstáculos de aprendizaje (Leguizamón, 1996). “Esa

transformación de las concepciones implica el proceso de comunicación entre el profesor y

los estudiantes para establecer una negociación de significados, y determinar las ideas más

cercanas al concepto matemático definido” (EntJ3, 12 mayo 2016). Piensa que al permitirle a

los estudiantes ser los agentes principales de la clase, se promueve la autonomía y les permite

ganar confianza sobre sus capacidades para abordar conceptos de matemáticas, sin que el

profesor suplante su aprendizaje; además esta configuración de la clase demanda el uso de los

conocimientos previos y la interdependencia entre los estudiantes como factor fundamental

en el proceso de comunicación.

Fueron varios los momentos en los que el profesor Juan sintió incertidumbre sobre los

fines de la enseñanza de las matemáticas, pues la constante reflexión realizada al interior del

grupo generó gran debate y polémica sobre los paradigmas sobre los cuales se han centrado

tanto las matemáticas como la educación matemática. En ese sentido ha considerado que

enseñar matemáticas va más allá de un simple ejercicio rutinario que le permite al estudiante


350

desarrollar algunas estrategias mecánicas y algorítmicas, piensa que las matemáticas poseen

un componente práctico que le permite al estudiante relacionarlo con situaciones de la vida

cotidiana, es decir, las matemáticas desde su punto de vista son herramientas de pensamiento

práctico con las cuales hacer frente a diversas situaciones problema.

En cuanto al currículo de matemáticas, propone que podría plantearse un posible

camino, en el que la enseñanza de las matemáticas no tenga como fin la memorización de

conceptos y la mecanización de procedimientos, sino que el currículo favorezca la exploración

conceptual, en el que las clases se correspondan con un modelo que integre sistemáticamente

las dimensiones propuestas por el Enfoque Ontosemiótico.

Despúes del Trabajo Colaborativo

Propuestas del profesor sobre su práctica pedagógica.

En lo que respecta a la propuesta por su parte de un modelo de clase, considera que el

trabajo en el grupo colaborativo es un proceso de evolución constante de las prácticas

docentes, por tal razón es difícil proponer un modelo final o acabado, sin embargo manifiesta

que “es posible determinar elementos más específicos de la práctica docente que se pueden

mejorar a partir de los aspectos evidenciados en el proceso de análisis de las clases que se

realizó dentro del grupo colaborativo” (EntJ4, 12 agosto 2016). En este sentido piensa que:

el modelo que buscaría tendría que priorizar el trabajo centrado en el estudiante, a

pesar de que el paradigma de clase centrada en el docente sea todavía muy resistente

al cambio, no sólo por parte de los profesores sino también por los mismos estudiantes;

a veces termina siendo incluso más fuerte la resistencia de los estudiantes, pues ha sido

un paradigma al cual se han acostumbrado durante muchos años (EntJ4, 12 agosto

2016).


351

También opina que a partir del trabajo en el grupo colaborativo fue posible hacer una

autoevaluación con criterios más claros, y aunque posiblemente fuera muy complejo cuidar

cada uno de los aspectos de las configuraciones didácticas:

mi aspiración es poder brindar a los estudiantes mejores herramientas de construcción

y apropiación de significados, pues fue uno de los aspectos que detecté en el análisis

de mi práctica, que al ser mejorados favorece los niveles de comprensión y los

procesos metacognitivos. La incorporación de problemas relevantes en la clase de

matemáticas es un detonante para la comunicación entre estudiantes, que les permite

plantearse nuevas preguntas sobre el significado de los conceptos matemáticos

implicados. Pienso que el modelo de clase debe valerse de significados cotidianos,

pues ayuda a la construcción y apropiación de conceptos ya que apela a las nociones

intuitivas, a pesar de que el conocimiento intuitivo es muy flexible y depende tanto

de las experiencias como de los conocimientos previos de cada estudiante, por tal

razón las institucionalización del conocimiento, termina siendo también importante

en el desarrollo de la clase, sin embargo en el ideal de modelo de clase que pretendo,

la institucionalización termina siendo una construcción colectiva fruto del trabajo de

los participantes de la clase (EntJ4, 12 agosto 2016).

Otro aspecto que resalta es que en su propuesta de modelo de clase, la evaluación

como proceso objetivo con pretensiones de estandarización no resultaría ser útil, pues se

pretende reconocer la individualidad en los procesos cognitivos y niveles de comprensión

de cada participante, dentro de los procesos de construcción conceptual colectiva.

A partir de los avances logrados en el desarrollo del trabajo en el grupo colaborativo,

ha encontrado muy provechoso para motivar el aprendizaje de los estudiantes, la aplicación

de mecanismos de interdependencia cognitiva, tales como:

la implementación de situaciones problema en pequeños grupos y luego la

socialización en plenaria de las conclusiones, lo cual permite que la interacción en

clase esté centrada el estudiante y se propicie un patrón discusión, en las que cada


352

participante de la clase tiene que manifestar lo que piensa y argumentarlo para que el

grupo llegue a consensos. Consideró que este patrón de discusión tiene múltiples

beneficios en los procesos metacognitivos y de aprendizaje, pues al implicar a cada

participante de la clase en un ejercicio dialógico se valoran las ideas, se promueve la

autonomía, se desarrolla el pensamiento crítico, se fortalece la autoestima y se propicia

la construcción de significados compartidos (EntJ4, 12 agosto 2016).

Igualmente plantea que como resultado de la experiencia trabajando en el grupo

colaborativo ha encontrado que para lograr cambios en su práctica docente, la estructura en

términos de mediaciones tiene que cambiar, por tal razón la distribución espacial de los

participantes de la clase puede ser dinámica y puede requerir la incorporación de elementos

audiovisuales; en este sentido:

la comunicación tiende a ser multidireccional y polifónica, sin perder de vista la

construcción colectiva de significados orientados a la conceptualización matemática.

Este tipo de comunicación requiere de una participación activa y reflexiva, que

implica la interdependencia de cada uno de los miembros de la clase (EntJ4, 12

agosto 2016).

Análisis de didáctico.

Se analizaron dos clases de Juan, las cuales fueron grabadas después de culminar el

trabajo colaborativo.

Tercera clase.

La tercera clase, de la Asignatura Cálculo Diferencial, tuvo una duración de una

hora y veinticinco minutos (1:25), orientada al segundo semestre de la Licenciatura en

Matemáticas de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Sede Tunja, con

24 estudiantes.

En términos generales se presentó el proceso descrito a continuación: el profesor

inicialmente hizo la distribución del salón para trabajar en grupos de 4 estudiantes.


353

Entregó un taller con cinco actividades: la primera consistía en deducir la fórmula del

área de una caja sin tapa que tenían que construir los estudiantes a partir de una lámina

cuadrada (de diferentes tamaños). Posteriormente solicitaba graficar e identificar el rango

y el dominio, justificando la respuesta. Una segunda actividad fue graficar en computador

o celular, funciones de segundo grado, variando los coeficientes, se pedía unas

conclusiones al respecto. La tercera era realizar un análisis muy similar al anterior, pero

adicionando valor absoluto a la función cuadrática. La cuarta correspondía a una

descripción de la relación de lo que estaba sucediendo al variar los coeficientes, tanto en

la función cuadrática, como en la función con valor absoluto. Finalmente la actividad era

muy similar a la primera, pero ahora con la función volumen. Al culminar la sesión de

trabajo, el profesor dejó planteada la socialización de lo realizado para la siguiente clase.

(Observación de clase, 17 octubre 2016).

La clase se dividió en 6 configuraciones didácticas, de acuerdo con el marco

teórico y metodológico del Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas, Godino, 2010). A

continuación se presenta el análisis didáctico realizado a esta clase.


354

Tabla 61. Análisis didáctico de la tercera clase. Líneas

transcri

p

ción


profesor

Funciones de los

alumnos

Tipo de

configuración

didáctica

Patrones de

interacción Conflictos Normas

1-49

Entrega de

taller.

Elaborar

una caja sin

tapa a partir

de una

lámina

cuadrada.


lenguaje verbal no

matemático como:

computador, libro, celular,

pila, hoja, caja, regla,

canasticas; y lenguaje

matemático ya conocido

(ejercicios, fórmulas,

gráficas, base cuadrada,

términos, tabla de valores,

función, distancia, medida,

centímetros, lado,

cuadrado, simplificación,

cuadrado perfecto…)



como

𝑥2 − 24𝑥 + 36 Definiciones:



verbal)

Explícitas: de función, de

área superficial.


solucionar el taller 1) Leer

todos los puntos. 2) Iniciar

solucionando la situación

problémica, 3) Plantear

una ecuación que la

represente.



propias de la solución de

ecuaciones, como suma,

resta, multiplicación,

división, transposición de

términos…

Proceso de

representación y


utilizan signos

matemáticos


grupo, tanto en el

taller como en el

cuaderno.

Proceso de

descomposición:

para desarrollar la

situación

problémica hay

necesidad de

plantearla en varias

situaciones más

sencillas, cómo la

determinación de

las áreas de cada

cara.

Proceso de

mecanización: los

alumnos deben

realizar cálculos

básicos como

cálculos

numéricos.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo

Proceso de

generalización: se

parte de casos

particulares para

llegar a la solución

-Distribuye los

estudiantes por

grupos.

- Explica el

trabajo que se

va a desarrollar

durante toda la

clase.

- Entrega el

taller sobre

gráficas de

funciones.

-Permite que

un candidato

de los

estudiantes al

Consejo

Académico se

dirija a los

estudiantes.

-Invita

posteriormente

a los

estudiantes a

concentrarse

nuevamente en

el taller.

- Se distribuyen

en grupos de 4

estudiantes.

-Reciben el taller

entregado por el

profesor.

-Discuten acerca

de la

problemática

planteada.

-Escuchan los

planteamientos

de un compañero

candidato a su

representación

en el Consejo

Académico.

-Plantean desde

su concepción la

función

generada de la

situación

problémica.

Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

O, pnt, Rc,

Ant, ap, tg,

ent, tg, Ant,

pnt, Pnt,

rpnt, Rc, pm.

pccm, ed, ed,

ant, pcc, l, o,

pcc, pcc, o,

des, o, pcc,

o, pcc, Pc, rc,

A, ap, Pc, o,

ant, pcc, ar,

o,o,o,o,o,

cop, o, o, o,

a, ap, o, o,

pccm, ric,

pcc, ap, o,

ap.

- El trabajo se

desarrolla en

grupos de 4

estudiantes.

-Es importante

socializar los

resultados al

terminar.

-Es relevante

atender cuando

algún

compañero

externo da una

información.

-El estudiante

debe confrontar

las ideas de los

compañeros.

-Es importante

buscar

consensos.


355

Argumentos:

Implícitos: Explicación de

los procedimientos

adecuados para la solución

de la situación problémica.


procedimiento para

determinar el área

superficial de una caja.

de la situación

problémica.

50-99 Elaborar la

gráfica de

la función

determinad

a por la

situación

problémica

.

Identificar

el dominio

y el rango.


conocido (función, recta,

tabla de valores, gráfico,

área, positivo, escala,

dominio, rango…).


Expresiones algebraicas y

gráfica de la función:

𝑆(𝑥)

= (𝑎 − 2𝑥)2 + 4𝑥(𝑎− 2𝑥)

𝑆(𝑥) = 𝑎2 − 4𝑥2

Definiciones:



verbal).

Explícitas: de función,

dominio de una función y

rango.

Procedimientos: 1)

Elaborar una tabla de

valores. 2) Graficar

3) Identificar el dominio de

la función. 4)

Determinar el rango.



como suma, resta,

multiplicación desy

división…

Proceso de

representación y


utilizan en el

cuaderno y en el

taller signos

matemáticos


grupo como la

representación de la

función.

Proceso de

mecanización: Se

trata de que los

alumnos realicen el

reemplazo repetido

de números en la

variable, para

determinar la tabla

de valores y poder

graficar.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo,

buscando llegar a

consensos sobre la

gráfica de la

función.

Proceso de

generalización: se

parte de

reemplazar valores

-Asesora a los

estudiantes

cuando lo

solicitan o

cuando el

desee

intervenir en

algún grupo

-Cuestiona a

los estudiantes

sobre la forma

de solucionar

el ejercicio.

-Aclara lo que se

solicita en el

taller.

-Participan con

aportes al grupo.

- Discute con los

compañeros la

forma de

graficar la

función.

-Cuestionar las

propuestas de los

compañeros

sobre cómo

realizar la

gráfica, en pro

de comprender

como se hace

ese proceso.

-Trabaja sobre el

ejercicio

propuesto por el

profesor en el

taller.

Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

Ant, pnt, o,

ap, pcc, a,

ant, ant, pnt,

so, ric, l, ant,

pcc, pnt, ric,

o, ap, ant,

des, ant,

pccm, ar,

pnt, ric, o,

pcc, a, pcc,

pcc, ar, des,

pcc, ric, a,

so, pccm, ar,

o, des, o,

pcc, ric, a, o,

ant, so, ap, a,

o, o, a, des,

pcc, ric, pcc,

ric, pcc, ric,

o, o, ap.

Los estudiantes

plantean dudas

acerca de la

escala que deben

tomar para la

gráfica, creen

que si varían la

escala obtienen

una figura

diferente, lo cual

puede producir

un conflicto

semiótico tanto

interaccional

como cognitivo.

-Es bueno

respetar los

turnos de la

palabra.

-Se deben

desarrollar todos

los ejercicios

propuestos en el

taller.

-Es relevante

analizar bien el

procedimiento

para solucionar

el ejercicio.

-Es bueno

verificar que lo

analizado en el

grupo es lo que

copia el relator.

-Hay necesidad

de confrontar las

ideas de los

demás para

poder llegar a

consensos.


356

Argumentos:

Implícitos: Aplicación de

los procedimientos

adecuados para la gráfica

de la función, al igual que

para identificar su dominio

y rango.


procedimiento para

graficar funciones y

determinar su dominio y

rango.

particulares para

poder representar

la generalidad que

es la función.

Proceso de

particularización:

se tiene la función

y se reemplazan

valores para hallar

un valor particular.

100-148 Identifican

las

propiedade

s de una

función

cuadrática,

mediante

gráficas en

computado

r o celular.

Lenguaje verbal: ya

conocido (gráfica, valores,

computador, celular, tabla

de valores, funciones,

factor, números aleatorios,

cuadrado, mesa, geogebra,

línea recta, cuadrado,

curva, recta, parábola,

valor fijo…).



funciones cuadráticas:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,𝑎≠ 0

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 2

Definiciones:



verbal)

Explícitas: función

cuadrática y propiedades.

Procedimientos: 1) Escribir

la función cuadrática en

forma general. 2) cambiar

los valores de a, b y c, y

graficar en computador o

celular. 3) Plantear las

conclusiones.

Propiedades: identificación

Proceso de

representación y


utilizan en el

cuaderno, en el

celular y en el

computador, signos

matemáticos


grupo.

Proceso de

mecanización: los

alumnos realizan,

muchas

sustituciones de los

valores de a, b y c,

en la función

cuadrática

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo, con el

fin de llegar a

consensos.

Proceso de

generalización: se

parte de casos

particulares, dando

valores a, b y c en

la función

- Asesora a los

estudiantes,

cuando lo

considere

pertinente o

porque ellos

solicitan su

ayuda.

-Confronta las

ideas de los

estudiantes

acerca de las

propiedades de

la función

cuadrática.

-Las anteriores.

-lee y

comprende la

parte pertinente

a la gráfica de

funciones

cuadráticas y sus

propiedades.

- Discute acerca

de la forma de

desarrollar la

problemática

propuesta.

-Elabora gráficas

de funciones

cuadráticas.

-Llega a

consensos sobre

las propiedades

de las funciones

cuadráticas con

base en las

gráficas

elaboradas.

.Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

A, pcc, ar,

des, ant, o,

pcc, pcc, ar,

o, pcc, ap,

pccm, ant, a,

o, des, pcc,

pcc, ric, pcc,

ric, a, ex, ant,

pnt, o, pcc,

pcc, ric, des,

o, ex, pcc, ar,

ant, a, o, des,

o, o, ant, so,

pcc, ric, r,

ant, pcc, pcc,

a, pcc, ex, o,

des, pcc, ar,

o, so, des,

ant.

-A pesar de las

indicaciones del

profesor de

graficar en el

computador o

celular, los

estudiantes

insisten en que

hay que hacer

tabla de valores

para poder

graficar, lo cual

puede causar un

conflicto

semiótico de

carácter

cognitivo.

-Los estudiantes

consideran que

deben dibujar la

parábola para

explicar sus

propiedades,

pero lo que pide

el docente en el

taller es la

descripción de

las propiedades,

lo cual puede

causar un

conflicto

cognitivo de

carácter

-los mismos que

en la

configuración

anterior

-En esta parte

del taller hay

que hacer las

gráficas de la

función

cuadrática

utilizando el

computador o el

celular.

-Es bueno hacer

gráficas pero lo

que interesa son

las conclusiones.

-Dado que la

gráfica es una

curva, para su

gráfica el único

elemento que se

puede utilizar es

el curvígrafo.


357

de propiedades ya

conocidas de las funciones

cuadráticas

Argumentos:


los procedimientos

adecuados para graficar

funciones cuadráticas e

identificar sus propiedades.


procedimiento para

graficar funciones en

computador o en celular,

utilizando el software

Geogebra.

cuadrática, para

poder inferir sus

propiedades.

Proceso de

particularización:

Se plantea la

función cuadrática

en general, para

reemplazando

valores obtener

funciones

cuadráticas

específicas.

interaccional.

-Un estudiante

cree que para

graficar una

parábola, puede

mejor el

bosquejo si

utiliza la

escuadra para

disimular el mal

pulso, lo cual

puede causar un

conflicto

cognitivo

interaccional.

149-213 Característi

cas del

valor

absoluto de

una

función

cuadrática.

Lenguaje verbal: ya

conocido (valor absoluto,

función, cuadrado, gráfica,

punto, rango, positivo,

fuente de diodos, corriente,

corriente alterna…).



función cuadrática con

valor absoluto

𝑔(𝑥) = |𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐|,𝑎≠ 0

ℎ(𝑥) = |−3𝑥2 + 4𝑥 − 2|

Definiciones:



verbal).

Explícitas: función

cuadrática, función valor

absoluto, rango.

Procedimientos: 1)

Reemplazar con valores

numéricos los coeficientes

a, b y c, en la función valor

Proceso de

representación y


utilizan signos

matemáticos


grupo tanto en el

cuaderno, como en

el celular y en el

computador.

Proceso de

mecanización: los

alumnos realizan



en la función valor

absoluto de una

cuadrática.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo.

Proceso de

generalización: se

dan casos

-Asesora a los

estudiantes de

diferentes

maneras.

-Mediante

preguntas hace

reflexionar a

los estudiantes

sobre los

procesos

seguidos en el

abordaje de los

ejercicios.

-Las anteriores.

-Grafican

funciones de la

tipología

solicitada.

-Argumentan

sobre casos

particulares.

-Concluir sobre

la generalidad

del

comportamiento

de una función

valor absoluto de

una cuadrática.

.Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

Ant, pnt, pcc,

ric, pcc, ric,

o, o, pcc, ric,

o, o, o, pcc,

ex, o, o, pcc,

ar, des, ex,

A, o, o, pcc,

o, o, o, pcc,

o, des, rdes,

a, pcc, ric,

pcc, ric, pcc,

e, o, pcc, ap,

o, des, o,

pcc, ric, o,

ant, ant, ex,

ant, ant, ant,

ex, pcc, o, o,

ex, o, ex, o,

pcc, ric, pcc,

ric, ap, pcc,

ar, des, o, so,

pcc, ric, r.

-El estudiante

afirma que el

valor absoluto le

convierte el

rango en

positivo,

hablando del

valor absoluto de

una función

cuadrática, sin

tomar en

consideración

todas las

posibilidades que

este tipo de

ejercicio puede

tener, lo cual

puede causar un

conflicto

semiótico

cognitivo.

-los mismos que

en la

configuración

anterior

-El estudiante

debe realizar

gráficas

tomando

diferentes

valores y

observar su

comportamiento

para concluir.

.El estudiante

debe sacar

conclusiones

generales de los

casos

particulares

analizados.

-Los estudiantes

pueden sacar

aplicaciones al

contexto sobre

la temática.


358

absoluto de una función

cuadrática. 2) Extraer

conclusiones de cada caso.

3) Plantear las

conclusiones generales.

Propiedades: identificación

de propiedades ya

conocidas de las funciones

cuadráticas, pero

especialmente de la

función valor absoluto.

Argumentos:


los procedimientos


funciones de valor

absoluto de funciones

cuadráticas e identificar

sus propiedades.


procedimiento para

graficar funciones de valor



sus propiedades, mediante

el uso del computador o en

celular.

particulares, dando

valores a los

coeficientes a, b y

c en la función

valor absoluto de

una cuadrática,

para poder inferir

sus propiedades.

Proceso de

particularización:

Se plantea la

función valor

absoluto de una

función cuadrática

en general, para

reemplazar y

obtener valores

específicos.

-Los estudiantes

deben hacer las

gráficas

utilizando el

celular o el

computador.

.

214-283 Relación

de la

función

cuadrática

con la del

valor

absoluto de

la misma

función.

Lenguaje verbal: ya

conocido (funciones,

gráficas, cuadrado, valores,

factores, negativos,

positivos, parábolas,

energía, volumen, caja…).



funciones como:

𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 + 2

ℎ(𝑥) = |−𝑥2 + 2𝑥 − 3|

Definiciones:



verbal).

Proceso de

representación y


utilizan signos

matemáticos


grupo tanto en el

cuaderno, como en

el celular y en el

computador.

Proceso de

mecanización: los

alumnos realizan



tanto en la función

valor absoluto de

-Asesorar a los

estudiantes

cuando estos lo

piden o cuando

el profesor lo

considere

necesario.

-Confrontar las

ideas de los

estudiantes

sobre la forma

de solucionar y

abordar los

ejercicios.

-Las anteriores.

-Llama al

profesor para

aclaración de

dudas.

-Hace gráficas

en computador o

celular, para

sacar relaciones.

-Interviene

dentro de la

discusión del

grupo para llegar

a comprender la

problemática.

.Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

Pccm, ric,

pccm, pcc, o,

pcc, o, o,

des, so, o,

des, o, o,

pcc, ric, ap,

o, o, pccm,

pccm, ar, so,

pcc, ant, o,

des, pccm,

ric, o, o, ex,

ex, o, o, o,

pccm, ric,

des, ant, pcc,

ric, o, pcc,

ric, pcc, a,

pcc, ric, des,

pcc, ric, pc,

-El estudiante

afirma que si a

toma un valor, b

y c no pueden

tomar ese mismo

valor lo cual

puede causar un

conflicto

semiótico

cognitivo.

-Un estudiante

afirma que si c es

positivo la

gráfica da haca

abajo y si c en

negativo, la

gráfica da hacia

-La s anteriores.

-Las gráficas las

deberá hacer el

estudiante

utilizando el

computador o el

celular.

-Los estudiantes

del grupo deben

intervenir en las

discusiones para

llegar a

conclusiones.


359

Explícitas: relaciones entre

los dos tipos de funciones

mencionadas.

Procedimientos: 1)

Reemplazar con valores

numéricos los coeficientes

a, b y c, en la función valor

absoluto de una función

cuadrática y en la función

cuadrática. 2) Extraer

conclusiones de cada caso.

3) Plantear conclusiones

generales.

Propiedades: propiedades

ya conocidas de las

funciones cuadráticas y de

la función valor absoluto.

Argumentos:


los procedimientos


funciones de valor


cuadráticas, funciones


sus propiedades.

Explícitos: Explicación de

la forma de relacionar las

gráficas de los dos tipos de

funciones, mediante el uso

del computador o el

celular.

una cuadrática,

como en la

cuadrática.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo,

orientados a sacar

conclusiones del

grupo.

Proceso de

generalización: se

dan casos

particulares, dando

valores a los

coeficientes a, b y

c en la funciones

dadas, para poder

inferir sus

propiedades.

Proceso de

particularización:

Se plantean las

funciones en

general, para

reemplazar y

obtener valores

específicos.

-Contestar a las

preguntas de los

estudiantes

-Saca

conclusiones de

los casos

particulares.

ric, o, pcc,

pcc, ric,

pccm, ar, o,

o, pcc, ant,

ap, pnt, pcc,

ria, o, pcc,

ric, pcc, ric,

pcc, ria, o, o,

o, ap, o,o.

arriba, lo cual

también puede

causar un

conflicto

semiótico

cognitivo.

284-309 Desarrollo

de las

actividades

faltantes

del taller.

Determinar

la ecuación

del

volumen

de la caja.

Lenguaje verbal: lenguaje

ya conocido (caja, caja

abierta, material, ejercicio,

volumen, aristas, cuadrado,

área…).


Expresión algebraicas

correspondientes a lo

realizado en las

configuraciones anteriores.

Proceso de

representación y

materialización: los

signos que se

utilizan en el

cuaderno,

computador y

celular, son signos

matemáticos


grupo.

-Asesora a los

estudiantes

cuando estos lo

piden o cuando

el profesor lo

considere

necesario.

-Confronta las

ideas de los

estudiantes

-Las anteriores.

-Informa al

profesor sobre

los nombres de

los componentes

de cada grupo.

-Analiza la caja

de la primera

actividad, pero en

.Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

Ant, Pc, pc,

Rc, pcc, pcc,

ric, ant, pnt,

ria, a, ppc,

ar, pcc, ar,

ant, ant, pcc,

pcc, pcc, pcc,

ric, o, pcc,

pcc, o, o, o,

ex, pcc, ric,

O.

-El estudiante

plantea como

volumen de un

paralelepípedo,

la arista elevada

al cuadrado, lo

cual puede

conllevar a un

conflicto

semiótico

cognitivo.

-Se debe

terminar el

análisis de lo

faltante en el

taller.

-Hay que

elaborar informe

para socializar

en la próxima

clase.


360

Definiciones:



verbal).

Explícitas: volumen de un

paralelepípedo.

Procedimientos: 1)

Desarrollar lo faltante de

los ejercicios anteriores 2)

Deducir la ecuación del

volumen de la caja inicial.

3) Llegar a nuevos

consensos.



como suma, resta,

multiplicación y división

de reales.

Argumentos:


los procedimientos

adecuados para la

determinación de la

ecuación del volumen.


procedimiento para hallar

la ecuación del volumen.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo.

Proceso de

generalización: se

dan casos

particulares, dando

valores específicos

a la lámina que se

toma como base

para poder inferir

una ecuación

general a cualquier

caja.

sobre la forma

de solucionar y

abordar los

ejercicios.

-Contesta a las

preguntas de los

estudiantes.

lo referente a su

volumen.

-Trabaja en

grupo haciendo

aportes para

lograr la

comprensión de

la temática.



361


Godino, J. (2011) entre otros, asumido desde el Enfoque Ontosemiótico.

Tabla 62. Análisis de Idoneidad de la tercera clase.



Situaciones-

Problemas

100%



X


(problematización)

X

Lenguajes

100%



X


Reglas

(Definiciones,

proposiciones,

procedimientos)

100%



X



X



X

Argumentos

100%


al nivel educativo a que se dirigen

X


Relaciones

50%



X



X






100%




X



X



100%



Aprendizaje:




25%



pretendidas:

X




X


competencia

X


decisiones.

X


362

Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 100%


100%




X

Actitudes

100%



X



X

Emociones

100%


matemáticas.

X




100%




X



X




X



100%




matemáticos

X


Autonomía

100%






X



Recursos materiales


ordenadores).

100%




X


usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones.

X



100%

El número y la distribución de los alumnos permiten llevar a cabo la


X



X


desarrollo del proceso instruccional pretendido,

X

Tiempo




pretendida.

X


tema.

X


363

aprendizaje).

33.3%



X



100%



X


Didáctica.

100%




X

Adaptación socio-


100%


estudiantes

X


100%


crítico

X

Conexiones intra e

Interdisciplinares

100%


interdisciplinares

X



2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea el hexágono como una forma de

visualizar las diferentes facetas de la práctica docente:

Figura 25. Idoneidades de la Tercera clase. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi

y Castro, 2009.


364

Según los indicadores del análisis, esta es una muy buena clase de Juan; sin embargo,

se señalan algunos aspectos por mejorar, desde el punto de vista de la idoneidad didáctica:

Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 90%). No se propusieron diferentes

significados de los objetos identificados en las prácticas matemáticas, debido entre otros

aspectos a que faltó mejorar la distribución del tiempo y no se realizó la etapa de

institucionalización del conocimiento.

Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 75%). No pudimos identificar los distintos

niveles de comprensión y competencia por parte del estudiante, al igual que decidir si los

resultados de esta evaluación se usan para tomar decisiones, ya que el profesor no realizó

una evaluación explícita. Por la misma razón, tampoco pudimos determinar si se presentó o

no la comprensión conceptual y proposicional.

Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 100%). Esta es una fortaleza del docente.


identificar el progreso sistemático de los estudiantes. Igualmente, el profesor no realizó una

presentación formal del taller, sino que lo entregó para que los estudiantes lo desarrollaran.

Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 77.7%). En esta clase al profesor le faltó

control de tiempo, ya que no alcanzó a realizar la socialización de las conclusiones obtenidas

en cada grupo y el proceso de institucionalización.

Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 100%). Es una fortaleza del docente.

Cuarta clase.

La duración de la clase de Cálculo Diferencial, fue de una hora y treinta y dos

minutos (1:32), orientada igualmente al segundo semestre de la Licenciatura en

Matemáticas de la UPTC, Sede Tunja.


365

Se realizó el siguiente proceso: el profesor, a solicitud de algunos estudiantes

decidió continuar trabajando el taller planteado en la clase anterior, distribuyendo los

mismos grupos, a esta actividad dedicó la mayor parte del tiempo. Luego pasó al tablero

a un estudiante como representante de un grupo para que expusiera el trabajo realizado

sobre el primer punto del taller (trazar una gráfica a partir de una tabla de valores e

interpretar), él fue complementando lo que consideró pertinente. Posteriormente asignó

otro estudiante como representante de otro grupo para que desarrollara el segundo punto

del taller (graficar unas funciones, elaborando tablas de valores), donde la dinámica fue

similar. A continuación, indicó a otro estudiante para que pasara al tablero, y desarrollara

el tercer punto (dada la gráfica de una función definida a trozos, hallar su respectiva

ecuación), se iba complementando con la participación de los compañeros y

especialmente del profesor. Finalmente, se dejó el desarrollo de los puntos restantes para

socializar en la siguiente sesión de clase. (Observación de clase, 20/10/2016).

Para facilitar el análisis de la clase, se dividió en 5 configuraciones didácticas (Font,

Planas, Godino, 2010) de acuerdo con el marco teórico y metodológico del Enfoque

Ontosemiótico.

A continuación se presenta el análisis didáctico realizado a esta clase.


366

Tabla 63. Análisis didáctico de la Cuarta clase.

Líneas

transcripción Prácticas Objetos primarios Procesos

Funciones del

profesor

Funciones

de los

alumnos

Tipo de

configuración

didáctica

Patrones

de

interacción

Conflictos Normas

1-177

Culminación

de taller

entregado en

la sesión

anterior,

preparación de

informe.

Lenguaje verbal: Se usa un lenguaje

matemático ya conocido (variable,

propiedad, valores, sumar, raíz cuadrada,

tablas de valores, objetivo, problema,

gráficas, cuadrado, función, portátil,

curvígrafo, línea recta, punto, dimensión,

constante, abierto, cerrado, positivo,

negativo, menor o igual, mayor o igual,

reales…).

Lenguaje simbólico: expresiones

algebraicas como 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑔(𝑥) = |𝑥2 + 𝑥 − 6|

Definiciones:

Implícitas (las mismas que aparecen en el

lenguaje verbal)

Explícitas: de función, de área superficial,

de volumen.

Procedimientos: Para la clase 1) Mirar

cada grupo que le hace falta y terminar. 2)

Elaborar el informe para entregar 3)

Socializar con toda la clase.

Propiedades: Aplicación de propiedades ya

conocidas, propias de las gráficas de

funciones, despeje de ecuaciones, suma,

resta, multiplicación, división,

transposición de términos…

Argumentos:

Implícitos: Explicación de los

procedimientos adecuados para la solución

del taller.

Explícitos: Explicación del procedimiento

para determinar el volumen y la superficie

de una caja; y graficar diversos tipos de

funciones.

Proceso de

representación y

materialización:

Los signos

matemáticos

utilizados por los

estudiantes, tanto

en el taller como los

escritos en el

cuaderno, son de

uso típico dentro del

grupo.

Proceso de

descomposición:

para desarrollar los

diferentes puntos del

taller, hay que

recurrir a

situaciones más

sencillas, cómo la

determinación de las

áreas de cada cara

para la superficie, la

elaboración de

tablas para graficar

funciones, entre

otros aspectos.

Proceso de

mecanización: para

poder inferir acerca

de la función

cuadrática tienen

que realizar

muchas gráficas.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo,

- Explica cómo

se va a

desarrollar la

clase.

-Plantea a los

estudiantes que

hay que realizar

un informe para

entregar.

-Interactúa con

los estudiantes

cuando lo

considera

necesario o

cuando éstos lo

llaman.

-Hace

aclaraciones a

los estudiantes.

- Siguen

trabajando

en grupos de

4

estudiantes.

-Discuten

acerca de la

problemática

planteada

por el

profesor en

la sesión

anterior.

-Elaboran

informe para

entregar al

profesor.

-Hacen

preguntas al

docente

cuando lo

consideran

pertinente.

Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

Ant, O, pc,

Rc, ap, ant,

Pc, Ar, Pm,

Ar, ant,

pcc, pcc,

ar, pcc, ric,

pcc, ed, o,

pcc, ar,

pccm, ric,

pnt, ex, ant,

ant, ex,

pcc, ric, o,

o, pcc, ar,

pcc, pcc,

ric, pccm,

ar, ant, ant,

o, ex, o,

cop, o, pnt,

ant, ant,

ant, o, pcc,

pcc, ric,

pcc, ric,

pcc, ric,

pcc, Ant,a,

pc, Ra, pcc,

pcc, ar,

pcc, ric,

ant, pcc, o,

o, pcc, o,o,

pcc, ric,

pcc, ric, o,

ex, pnt, ric,

Pnt, Ar, Pc,

ant, ant, ex,

ant, ant,

ant, o, pcc,

ant, pccm.

ar, o, A,

pnt, ric,

pcc, ant,

pcc, ant,

pnt, ar, des,

- El trabajo se

desarrolla en

grupos de 4

estudiantes.

-Es importante

socializar los

resultados al

terminar.

-El estudiante

debe

confrontar las

ideas de los

compañeros.

-Es

indispensable

llegar a

consensos.


367

buscando

consensos.

Proceso de

generalización: se

parte de casos

particulares para

llegar a

conclusiones

generales.

Proceso de

particularización:

se parte de

reemplazar valores

en la ecuación

general, para poder

sacar conclusiones.

o, ex, o,

pcc, o, pcc,

o, pcc, ria,

des, o, cop,

pnt, ric, o,

des, a, pcc,

ric, pnt, o,

pcc, ar,

pccm, pcc,

o, pcc, apc,

pcc, pnt,

pcc, ric,

pcc, ar, ric,

pcc, ric, o,

o, ant, o,

pcc, a, pcc,

ex, o, apc,

o, pccm, o,

apc, o, apc,

o, pcc, ar,

pccm, ric,

A, o, pc,

Rc, ic, A,

pcc, pccm,

ar, o, apc,

o, pcc, o,

pcc, ric, e,

pcc, ar, a,

pcc, ria, o,

o, pcc, o, o,

o, o, pcc,

pcc, ant,

ric, pcc, ric,

pcc, ric, ex,

A, ant, ant,

apc, ant,

ant, pcc,

ric, pcc, ar .

178-226 Trazado de

una gráfica a

partir de una

tabla de

valores.

Lenguaje verbal: Se usa ya conocido

(Temperatura, grados Farangeith, gráfica,

función, función, eje vertical, ejercicio,

escala, unidades, sumar, números,

promedio…).

Lenguaje simbólico: Expresiones

Proceso de

institucionalización.

El profesor aclara

las posiciones de los

estudiantes frente

al trabajo

desarrollado en los

-Asigna los

estudiantes que

deben

socializar el

trabajo

realizado en

grupo

-Presta

atención al

compañero

que pase al

tablero.

-Participa

Configuración

dialógica en

gran grupo.

Ant, O,

Ant, O, ant,

A, ap, A, a,

Pc, ric,

Ant, A, Pc,

ric, Pm, ric,

Ap, pc, Pc,

-Los

estudiantes

muestran

dudas sobre

la escala que

se debe

asumir para

-Cada grupo

debe entregar

informe escrito

al docente.

-Deberá

exponer las


368

algebraicas gráfica de puntos, entre otros:

Definiciones:


lenguaje verbal).

Explícitas: de función, dominio de una

función y rango.

Procedimientos: 1) Graficar lo

correspondiente a la tabla de valores. 2)

explicar la gráfica de acuerdo a lo

trabajado.

Propiedades: Aplicación de propiedades ya

conocidas, como suma, resta,

multiplicación y división…

Argumentos:


procedimientos adecuados para elaborar la

gráfica de la función.


para graficar funciones a partir de las

tablas y hallar su significado.

grupos.

Proceso de

representación y

materialización: los

signos matemáticos

utilizados en el taller

y en el cuaderno,

son reconocibles

para todo los

estudiantes, en

especial la tabla de

valores y el trazo de

la función

correspondiente.

Proceso de

mecanización: los

estudiantes ubican

puntos en el plano

cartesiano, y los

unen para formar

una gráfica.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y el

profesor, teniendo

como objetivo

llegar al consenso

del significado de

la gráfica obtenida.

Proceso de

generalización: se

inició ubicando

puntos en el plano,

para

posteriormente

llegar al

significado de la

gráfica.

-Invita a todos

los estudiantes

a estar atentos a

lo planteado

por sus

compañeros.

-Cuestiona a

los estudiantes

sobre la forma

de solucionar

los ejercicios y

problemas

propuestos.

-Complementa

lo planteado

por los

estudiantes en

el tablero.

-solicita el

informe escrito

de lo

desarrollado

por los

diferentes

grupos de

estudiantes.

con sus

opiniones ya

sea

exponiendo

en el tablero

o desde su

silla.

- Contesta

las

preguntas

del docente

o de los

compañeros.

-Debe

exponer en

el tablero la

síntesis del

grupo, si

llega a ser

asignado por

el profesor.

-

ria, A, ic,

Pnt, ria,

Pnt, Pc, Ar,

Pc, Ar, ex,

E, ap, ic,

Pc, ric, Pc,

pc, Pc, ric,

Pc, Ar, ic,

A, ap, Pc,

ric, Pc, ex,

Ant, ic, a,

Ap, A, pc,

ric, ic, Ap,

ant.

realizar la

gráfica, lo

cual puede

causar un

conflicto

semiótico

especialmente

de tipo

cognitivo.

-No hay

claridad el

estudiante

sobre la

forma de

interpretar la

tabla para

realizar la

gráfica, en

este caso la

relación

temperatura

tiempo, lo

cual puede

producir un

conflicto

cognitivo.

conclusiones

del grupo, el

estudiante que

asigne el

profesor.

-El profesor

entrega los

elementos

necesarios para

que el

estudiante

trabaje.

-El profesor

debe aclarar

aquello que los

estudiantes no

planteen

correctamente.

227-266 Trazo de la

gráfica de

funciones

Lenguaje verbal: ya conocido (gráfica,

tabla de valores, función, paralela, punto,

parábola, cerrada, abierta…).

Proceso de


el profesor llega a

-Pide a los

estudiantes estar

atentos a lo

-Las

anteriores.

Configuración

dialógica en

gran grupo.

A, Ant, O,

a, O, a, A,

Pc, ric, A,

No hay

claridad sobre

algunas

-Se debe poner

atención a los

estudiantes que


369

especiales:

constante,

radical,

racional y a

trozos,

elaborando

tabla de

valores

inicialmente.


algebraicas de funciones como:

𝑓(𝑥) = {2 si 𝑥 ≤ −1 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > −1

, 𝑓(𝑥) = 2

Definiciones:


lenguaje verbal)

Explícitas: Diversos tipos de funciones

(constante, a trozos, racional, radical) y

propiedades.

Procedimientos: 1) Elaborar la tabla de

valores. 2) Graficar la función

correspondiente. 3) Plantear conclusiones

de lo realizado.

Propiedades: identificación de propiedades

ya conocidas de tipos especiales de funciones.

Argumentos:


procedimientos adecuados para graficar las

funciones solicitadas en el taller.


para graficar funciones, basados en tablas

de valores previamente determinadas.

consensos con los

estudiantes respecto

a la forma de

graficar funciones

constantes,

radicales, racionales

y a trozos.

Proceso de

representación y



y en el cuaderno,

signos matemáticos


grupo.

Proceso de

mecanización: los

alumnos

reemplazan valores

de forma

sistemática para

elaborar las tablas

de valores.

Proceso de

comunicación: Los

estudiantes

interactúan con el

profesor y los

compañeros en

búsqueda de

claridad acerca del

trabajo

desarrollado.

Proceso de

generalización: se

parte de casos

particulares, dando

valores en la

función, para poder

inferir su gráfica y

propiedades.

planteado por

sus compañeros

en el tablero

-Cuestiona lo

planteado por

los estudiantes.

-Hace preguntas

a los estudiantes

expositores y al

grupo.

-Solicita

explicación

sobre un

planteamiento

no claro.

-Atiende a

los

compañeros

que están

exponiendo

en el tablero.

-Contesta las

preguntas

del docente

y de los

compañeros.

-Expone las

conclusiones

del grupo si

es asignado

por el

profesor.

ic, Ap, Pc,

ric, Pc, Ar,

Ant, Pm,

ric, Ant,

Pc, ric,

Ant, a, Ant,

A, Pc, ic,

Pc, ric, A,

des, a, ic,

Ant, Pm,

ant, Pc, ric,

O, Ap, a,

Ap, des, A.

propiedades

de las

funciones,

por ejemplo

dominio de

las funciones

racionales y

de las

funciones

radicales, lo

cual es un

posible

conflicto

semiótico

cognitivo.

pasan al

tablero a

exponer.

-El profesor

debe

cuestionar lo

planteado por

los estudiantes

para lograr

mejor

comprensión

de la

problemática.

-El profesor

debe preguntar

a los

estudiantes

para aclarar

dudas.

-Los

estudiantes

pueden

controvertir lo

propuesto por

un compañero

representante

de algún

grupo.


370

267-304 Determinar la

ecuación de

una función a

trozos, dada

su gráfica.

Lenguaje verbal: ya conocido (fórmulas,

gráficas, función, punto, valor, tabla de

valores, valor negativo, enunciado,

elíptica, enunciado, sumar, multiplicar,

signo, cantidad, ejercicio, grupo, valores

negativos…).


algebraicas de funciones como la función

definida a trozos

Definiciones:


lenguaje verbal).

Explícitas: función definida a trozos.

Procedimientos: 1) Analice detenidamente

la gráfica. 2) Determine la ecuación

respectiva, trozo por trozo. 3) Plantee las

conclusiones generales de lo realizado.

Propiedades: identificación de propiedades

ya conocidas de las funciones constante y

lineal, inmersas dentro de una función a

trozos.

Argumentos:


procedimientos adecuados para graficar

funciones a trozos, donde están inmersas

las funciones lineales y constantes.


para graficar funciones a trozos y como

extrae la ecuación dada la gráfica de la

función.

Proceso de


el profesor

confronta con los

estudiantes la forma

de extraer la

ecuación de una

función a trozos, de

su gráfica.

Proceso de

representación y



y en el cuaderno,

signos matemáticos


grupo.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo y el

profesor.

Proceso de

generalización: se

va extrayendo la

función trozo por

trozo para poder

dar la ecuación

general de la

función.

- Solicita

aclaración a los

estudiantes

sobre las

fórmulas que

deben utilizar

para graficar

las funciones

dadas.

-Aclara los

aspectos que

observa muy

confusos en sus

estudiantes.

-Aprueba las

propuestas

correctas de sus

estudiantes.

-Solicita

revisión de

procedimientos

no claros o no

correctos.

-Propone ideas

acerca de

algunos

procedimientos,

para que los

estudiantes los

discutan.

-Las

anteriores.

-responde

las

preguntas

del profesor.

-Confronta

las ideas

propuestas

por el

compañero.

-Discute las

propuestas

de los

compañeros

y el

profesor.

.Configuración

dialógica en

pequeños

grupos.

Ant, ic,

Ant, a, Ap,

a, Ap, Pc,

ric, des, ic,

Pc, ric, Pc,

ex, Ant, a,

Ap, ex,

Ant, Pc,

ric, Pc, ric,

Pc, ric, pc,

Pm, Ar, Pc,

ric, Pa, ria,

Pc, ric, A,

ap, E, a, A,

pc, Pc, ric,

apc, Ant.

Los

estudiantes

presentaron

problemas

para

identificar la

ecuación de

una función

lineal a partir

de la gráfica,

lo cual puede

generar un

conflicto

semiótico

cognitivo.

los mismos

que en la

configuración

anterior

-El profesor

debe preguntar

a los

estudiantes

para aclarar

dudas.

-Los

estudiantes

pueden

controvertir lo

propuesto por

un compañero

representante

de algún

grupo.

-El profesor

debe aprobar

las propuestas

correctas de

sus

estudiantes.

-El profesor

puede pedir

revisión de los

procedimientos

aprobados por

el grupo.

304-307 Planteamiento

de lo faltante

del taller, lo

cual queda

Lenguaje verbal: ya conocido (gráfica,

máximo, caja, ancho, lado, cuadrado,

altura, grosor, volumen…).

Proceso de


el profesor plantea

la tarea para la

-Plantea el

trabajo

pendiente para

la siguiente

-realiza un

recuento de

los puntos

del taller que

.Configuración

dialógica en

gran grupo.

e, e, Ant. Lo que no se

alcance a

exponer de un

trabajo de


371

propuesto

para el inicio

de la

siguiente

clase.

Lenguaje simbólico: Expresión algebraica

de la situación problemática dada:

Definiciones:


lenguaje verbal).

Explícitas: Volumen de un paralelepípedo.

Propiedades: propiedades ya conocidas del

volumen de un paralelepípedo.

siguiente sesión.

Proceso de

representación y


utilizan signos

matemáticos


grupo tanto en el

cuaderno, como en

el tablero.

Proceso de

comunicación:

existe interacción

entre los miembros

del grupo, y el

profesor.

sesión.

no se

expusieron.

clase, se deja

para la

siguiente

sesión.



372


Godino (2011), asumido desde el Enfoque Ontosemiótico.

Tabla 64. Análisis de Idoneidad de la cuarta clase.



Situaciones-

Problemas

50%



X


(problematización)

X

Lenguajes

100%



X


Reglas

(Definiciones,

proposiciones,

procedimientos)

100%



X



X



X

Argumentos

100%


al nivel educativo a que se dirigen

X


Relaciones

50%



X



X






100%




X



X



100%



Aprendizaje:




25%



pretendidas.

X


y argumentativa; influencia procedimental; comprensión situacional;


X


competencia

X


decisiones.

X


373



50%




X

Actitudes

100%



X



X

Emociones

100%


matemáticas.

X




80%




X



X




X



100%




matemáticos

X


Autonomía

100%






X



Recursos materiales


ordenadores).

50%




X


usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones

X



100%



X


todas las sesiones a última hora)

X


desarrollo del proceso instruccional pretendido

X

Tiempo


/Tutorización; tiempo de


pretendida

X


tema

X


374

aprendizaje).

66.6%



X



100%



X


Didáctica.

50%




X

Adaptación socio-


100%


estudiantes

X


100%


crítico

X

Conexiones intra e

Interdisciplinares

100%


interdisciplinares

X



2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea la siguiente figura:

Figura 26. Idoneidades de la Cuarta clase.

Fuente: adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi

y Castro, 2009.

Esta clase del profesor Juan desde los criterios de idoneidad fue muy interesante y

positiva, sin embargo, se pueden proponer algunos aspectos por mejorar:


375

Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 80%). Se plantearon ejercicios interesantes

más no contextualizados, culminando con problemas, pero no se propusieron situaciones que

permitiera a los estudiantes proponer problemas. Aunque se trabajaron tres significados

distintos del objeto función, éste es muy complejo y tiene muchos significados.

Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 75%). Aunque el profesor recogió informe del

trabajo realizado por cada uno de los grupos, explícitamente no comentó cómo realizaría la

evaluación o para qué utilizaría esos informes, éste sigue siendo un aspecto por mejorar del

docente.

Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 83.3%). No se pudo valorar la utilidad de la

matemática en la vida cotidiana, dado que no se plantearon situaciones del contexto.

Faceta interaccional. (Porcentaje de logro 70%). Por tiempo, el profesor no realizó

una presentación formal de la temática, sino que se apoyó en las conclusiones logradas por

los estudiantes. No se evidencia una forma de identificar el progreso de los estudiantes.

Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 72.2%). Algunos de los puntos propuestos

en el taller eran ejercicios, por lo cual no se utilizaron modelos y visualizaciones para

contextualizar las definiciones y propiedades de la clase.

Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 100%). Esta faceta es fortaleza de este docente,

debe mantener estos criterios.

Idoneidad didáctica de las clases tercera y cuarta.

En la siguiente tabla se presenta la idoneidad didáctica de las dos clases de Juan,

posteriores a la culminación de las actividades con el Grupo de Trabajo Colaborativo.


376

Tabla 65. Idoneidad didáctica de la tercera y cuarta clase.


Clase Tendencia

% Tercera

%

Cuarta

%

Idoneidad Epistémica 90 80 85

Idoneidad Cognitiva 75 75 75

Idoneidad Afectiva 100 83.3 91.7

Idoneidad Interaccional 80 70 75

Idoneidad Mediacional 77.7 72.2 75



El hexágono que representa la tendencia de las dos clases de Juan sería:

Figura 27. Tendencia de las idoneidades de la tercera y cuarta clase. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi

y Castro, 2009.

Aunque en la última clase el docente desmejoró ligeramente en algunas de las

idoneidades, cada idoneidad del docente sigue siendo significativamente alta. Aún así, las

idoneidades más bajas de Juan son la cognitiva, interaccional y mediacional. Las Fortalezas

del profesor están en la idoneidadad ecológica y afectiva.


377


Tercera Clase.

La tercera clase del profesor Juan tiene 6 configuraciones didácticas. A continuación, en la

tabla 68, se plantean las interacciones que se presentaron en cada configuración.

Tabla 66. Análisis de interacción de la tercera clase.

AB Descripción Configuración Didáctica

T C1

1-49

C2

50-99

C3

100 -148

C4

149-213

C5

214-283

C6

284-309

A Aclaración del docente a todo

el grupo, explicación corta. 1 1 1 3

Ant Aclaración no temática por

parte del profesor 2 1 1 1 5

e

Explicación amplia del

estudiante 1 1

O El profesor ordena la ejecución

de una acción 1 1 2


dirigida a todo el grupo 2 1 3


estudiante por iniciativa propia

al profesor

1 1 2

Pm Preguntas múltiples por parte

del profesor, 1 1

Pnt Pregunta no temática del

profesor 1 1


ante una pregunta del

estudiante

2 1 3


argumentada del estudiante 2 1 3


individual y corta 2 8 4 9 12 3 38

tg Trabajo grupal de los

estudiantes. 2 2

S T 14 9 5 12 15 9 64

Patrones de interacción que surgieron de las últimas clases del docente


estudiante. 1 6 4 1 1 1 14


estudiante 2 6 7 5 3 3 26

apc Aprobación del estudiante a lo

dicho por un compañero. 5 4 1 2 3 15


378


pregunta y responde su

pregunta.

1 3 4 2 2 2 14

cop Complemento a la opinión de

un compañero. 1 1



compañeros.

1 4 6 4 5 20

ed Expresión de duda ante lo que

afirma el compañero. 2 2

ent Explicación no temática amplia

del estudiante 1 1

ex Expresión sin sentido completo

del estudiante 3 6 2 1 12

l Lectura de un texto, taller o guía

por el estudiante 1 1 2


de un tema matemático. 16 10 10 22 24 4 86

Pcc Pregunta corta del profesor

dirigida al pequeño grupo 2 2


sus compañeros. 7 10 15 17 15 11 75

pccm Pregunta corta múltiple, varias

seguidas del mismo estudiante. 2 2 1 6 11


estudiante. 2 4 1 1 1 1 10


compañero. 1 1 2


rpnt Repetición de la pregunta no

temática por parte del

estudiante

1 1

so Solicitud de un estudiante a un

compañero 3 2 1 2 8

S TO 43 53 55 63 66 23 303

TOT 57 62 60 75 81 32 367


Se va a realizar un análisis por configuración para luego concluir sobre la clase, la cual

corresponde a la trascripción de la tercera clase de Juan (TR3J). Todas las configuraciones

son de tipo dialógico, desarrolladas en pequeños grupos, (Godino, Contreras y Font, 2006).


379

Tabla 67. Análisis de interacción por tiempo y configuración de la tercera clase.


(minutos) Orden de interacción Total

Configuración 1 12:30

O, pnt, Rc, Ant, apc, tg, ent, tg, Ant, pnt, Pnt, rpnt, Rc, pm. pccm,

ed, ed, ant, pcc, l, o, pcc, pcc, o, des, o, pcc, o, pcc, Pc, rc, A, apc,

Pc, o, ant, pcc, ar, o,o,o,o,o, cop, o, o, o, a, apc, o, o, pccm, ric,

pcc, apc, o, apc.

57


Ant, pnt, o, apc, pcc, a, ant, ant, pnt, so, ric, l, ant, pcc, pnt, ric, o,

apc, ant, des, ant, pccm, ar, pnt, ric, o, pcc, a, pcc, pcc, ar, des,

pcc, ric, a, so, pccm, ar, o, des, o, pcc, ric, a, o, ant, so, apc, a, o, o,

a, des, pcc, ric, pcc, ric, pcc, ric, o, o, apc.

62


A, pcc, ar, des, ant, o, pcc, pcc, ar, o, pcc, apc, pccm, ant, a, o,

des, pcc, pcc, ric, pcc, ric, a, ex, ant, pnt, o, pcc, pcc, ric, des, o,

ex, pcc, ar, ant, a, o, des, o, o, ant, so, pcc, ric, r, ant, pcc, pcc, a,

pcc, ex, o, des, pcc, ar, o, so, des, ant.

60


Ant, pnt, pcc, ric, pcc, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, pcc, ex, o, o, pcc,

ar, des, ex, A, o, o, pcc, o, o, o, pcc, o, des, rdes, a, pcc, ric, pcc,

ric, pcc, e, o, pcc, apc, o, des, o, pcc, ric, o, ant, ant, ex, ant, ant,

ant, ex, pcc, o, o, ex, o, ex, o, pcc, ric, pcc, ric, apc, pcc, ar, des, o,

so, pcc, ric, r.

75


pccm, ric, pccm, pcc, o, pcc, o, o, des, so, o, des, o, o, pcc, ric,

apc, o, o, pccm, pccm, ar, so, pcc, ant, o, des, pccm, ric, o, o, ex,

ex, o, o, o, pccm, ric, des, ant, pcc, ric, o, pcc, ric, pcc, a, pcc, ric,

des, pcc, ric, pc, ric, o, pcc, pcc, ric, pccm, ar, o, o, pcc, ant, apc,

pnt, pcc, ria, o, pcc, ric, pcc, ric, pcc, ria, o, o, o, apc, o,o.

81

Configuración 6 6:15 Ant, Pc, pc, Rc, pcc, pcc, ric, ant, pnt, ria, a, ppc, ar, pcc, ar, ant,

ant, pcc, pcc, pcc, pcc, ric, o, pcc, pcc, o, o, o, ex, pcc, ric, O. 32

Fuente: Autor.

De esta clase surgen las categorías: explicación no temática amplia del estudiante (ent)

y repetición de una pregunta no temática realizada por un compañero (rpnt). Se resaltan en

cada configuración y en orden de frecuencia:

Configuración 1: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o), pregunta

corta del estudiante a sus compañeros (pcc) y aprobación del estudiante a lo dicho por un

compañero (apc).

Configuración 2: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o),

pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc), respuesta del estudiante individual y

corta (ric), aclaración temática del estudiante (a) y aclaración no temática del estudiante

(ant).


380

Configuración 3: Pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc), opinión del

estudiante respecto de un tema matemático (o), aclaración no temática corta del estudiante

(ant) y desacuerdo del estudiante a lo que plantea el compañero (des).


corta del estudiante a sus compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y corta (ric)

y expresión sin sentido completo por parte del estudiante (ex).


corta del estudiante a sus compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y corta (ric)

y pregunta corta múltiple, varias seguidas del mismo estudiante (pccm).

Configuración 6: Pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc), opinión del

estudiante respecto de un tema matemático (o), aclaración no temática del estudiante (ant) y

respuesta del estudiante, individual y corta (ric).

La clase en general tuvo una duración de 1:25 horas, de 309 líneas de interacción y 6

configuraciones didácticas; todas las configuraciones fueron de tipo dialógico (Font, Planas

y Godino, 2010); las de mayor frecuencia en su orden son: opinión del estudiante respecto

de un tema matemático; pregunta corta del estudiante a sus compañeros; respuesta del

estudiante individual y corta; aclaración no temática del estudiante; y desacuerdo del

estudiante a lo que plantea el compañero. Lo anterior nos permite concluir que la clase es de

corte no tradicional-tecnológico. Es decir es una clase centrada en el estudiante, desarrollada

en pequeño grupo, donde es fácil pensar que el estudiante se siente más libre para opinar e

interactuar con sus compañeros, por ello la interacción más usual es la opinión del estudiante

frente al desarrollo de la temática, de manera natural se da un incremento muy significativo

de la pregunta al compañero para aclarar situaciones. También se destaca la serie de

aclaraciones no temáticas que se hacen en el grupo, lo que implica que también existe la

tendencia a hablar sobre temas adicionales a la clase. Otro aspecto, es que surge una categoría

que es difícil encontrar en una clase tradicional, y es que el estudiante exprese su desacuerdo


381

con la opinión que da el compañero, pues se da cuando hay cierta autonomía del estudiante,

para su libre expresión.



Tabla 68. Participación de los estudiantes en la tercera clase.

Tiempo Participación

Estudiante Alumno Docente Total

Configuración 1 9:20 3:10 12:30 74.7%

Configuración 2 11:46 2:14 14:00 84%

Configuración 3 14:40 2:35 17:15 85%

Configuración 4 16:23 1:52 18:15 89.8%

Configuración 5 17:30 0:00 17:30 100%

Configuración 6 3:58 2:17 6:15 63.5%

Total 1:13:37 12:08 1:25:45 85.9%


Se observa que en todas las configuraciones el protagonismo correspondió al estudiante, e

incluso hay una donde el docente no participó. En general la participación de los estudiantes fue

de 85.9%, lo cual indica el alto grado de interveción que tuvieron éstos. Este criterio, donde el eje

de la clase es el estudiante, corresponde con una clase de tipo no tradicional-tecnológica (Porlán,

1995).

Cuarta clase.

La cuarta clase del profesor Juan tiene 5 configuraciones didácticas. En la tabla 71, se

plantean las interacciones que se presentaron en cada configuración.


382

Tabla 69. Análisis de interacción de la cuarta clase.

AB Descripción

Configuración didáctica

T C1

1-49

C2

50-

99

C3

100 -148

C4

149-213

C5

214-283

A Aclaración del docente a todo el

grupo, explicación corta.

4 6 6 2 18

Ant Aclaración no temática por parte

del profesor

2 4 6 5 1 18

Ap Aprobación de la respuesta dada

por el estudiante

3 3 3 9

Ar



pregunta.

3 3 1 1 8


e

Explicación amplia del estudiante 1 2 3

ic Intervención corta del estudiante,

sin que se la haya solicitado el

docente

1 5 3 2 11

O El profesor ordena la ejecución de

una acción

1 2 3 6

Pa Pregunta argumentada por parte

del profesor

1 1



2 11 7 9 29


estudiante por iniciativa propia al

profesor

3 3 2 8

Pm Preguntas múltiples por parte del

profesor,

1 1 2 1 5


Pntd Pregunta del docente, no temática

y directa (menciona quien debe

contestar)

3

Rc Respuesta corta del profesor ante

una pregunta del estudiante

2 2



estudiante

1 1

ria Respuesta individual argumentada

del estudiante

2 2 1 5


individual y corta

23 7 6 8 44


docente por parte del estudiante.

1 3 1 5

S T 48 53 37 37 3 178

EMERGENTES DESPUÉS DEL TRABAJO COLABORATIVO


estudiante.

4 2 5 4 15


estudiante

24 2 1 27


383

apc Aprobación del estudiante a lo

dicho por un compañero.

6 1 7


pregunta y responde su

pregunta.

13 13

cop Complemento a la opinión de un

compañero.

2 2



compañeros.

3 2 1 6

ed Expresión de duda ante lo que

afirma el compañero.

1 1

ex Expresión sin sentido completo

del estudiante

8 2 2 12


de un tema matemático.

40 40


sus compañeros.

50 50

pccm Pregunta corta múltiple, varias

seguidas del mismo estudiante.

7 7


estudiante.

8 8

S TO 166 6 8 8 0 188

TOT 214 59 45 45 3 366 Fuente: elaboración propia.

Se presenta un análisis por configuración, la cual corresponde a la trascripción cuarta

de Juan (TR4J). Todas las configuraciones son de tipo dialógico, una desarrollada en

pequeños grupos, y las restantes en gran grupo (Godino, Contreras y Font, 2006).


384

Tabla 70. Análisis de interacción por tiempo y configuración de la cuarta clase.


(minutos) Orden de interacción Total


Ant, O, pc, Rc, ap, ant, Pc, Ar, Pm, Ar, ant, pcc, pcc, ar, pcc, ric,

pcc, ed, o, pcc, ar, pccm, ric, pnt, ex, ant, ant, ex, pcc, ric, o, o,

pcc, ar, pcc, pcc, ric, pccm, ar, ant, ant, o, ex, o, cop, o, pnt, ant,

ant, ant, o, pcc, pcc, ric, pcc, ric, pcc, ric, pcc, Ant,a, pc, Ra, pcc,

pcc, ar, pcc, ric, ant, pcc, o, o, pcc, o,o, pcc, ric, pcc, ric, o, ex,

pnt, ric, Pnt, Ar, Pc, ant, ant, ex, ant, ant, ant, o, pcc, ant, pccm.

ar, o, A, pnt, ric, pcc, ant, pcc, ant, pnt, ar, des, o, ex, o, pcc, o,

pcc, o, pcc, ria, des, o, cop, pnt, ric, o, des, a, pcc, ric, pnt, o, pcc,

ar, pccm, pcc, o, pcc, apc, pcc, pnt, pcc, ric, pcc, ar, ric, pcc, ric,

o, o, ant, o, pcc, a, pcc, ex, o, apc, o, pccm, o, apc, o, apc, o, pcc,

ar, pccm, ric, A, o, pc, Rc, ic, A, pcc, pccm, ar, o, apc, o, pcc, o,

pcc, ric, e, pcc, ar, a, pcc, ria, o, o, pcc, o, o, o, o, pcc, pcc, ant,

ric, pcc, ric, pcc, ric, ex, A, ant, ant, apc, ant, ant, pcc, ric, pcc, ar

.

214


Ant, O, Ant, O, ant, A, ap, A, a, Pc, ric, Ant, A, Pc, ric, Pm, ric,

Ap, pc, Pc, ria, A, ic, Pnt, ria, Pnt, Pc, Ar, Pc, Ar, ex, E, ap, ic,

Pc, ric, Pc, pc, Pc, ric, Pc, Ar, ic, A, ap, Pc, ric, Pc, ex, Ant, ic, a,

Ap, A, pc, ric, ic, Ap, ant.

59


A, Ant, O, a, O, a, A, Pc, ric, A, ic, Ap, Pc, ric, Pc, Ar, Ant, Pm,

ric, Ant, Pc, ric, Ant, a, Ant, A, Pc, ic, Pc, ric, A, des, a, ic, Ant,

Pm, ant, Pc, ric, O, Ap, a, Ap, des, A. 45


Ant, ic, Ant, a, Ap, a, Ap, Pc, ric, des, ic, Pc, ric, Pc, ex, Ant, a,

Ap, ex, Ant, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, pc, Pm, Ar, Pc, ric, Pa, ria,

Pc, ric, A, ap, E, a, A, pc, Pc, ric, apc, Ant. 45

Configuración 5 3:10 e, e, Ant. 3 Fuente: elaboración propia.

A continuación, se resaltan en cada configuración y en orden de frecuencia:

Configuración 1: Pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc); opinión del

estudiante respecto de un tema matemático (o); aclaración no temática del estudiante (ant);

y respuesta del estudiante, individual y corta (ric).

Configuración 2: Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc); respuesta

del estudiante individual y corta (ric); aclaración del docente a todo el grupo, explicación

corta (A); e intervención corta del estudiante sin que la haya solicitado el docente (ic).


del estudiante individual y corta (ric); aclaración del docente a todo el grupo, explicación


385

corta (A); aclaración no temática por parte del profesor (Ant); y aclaración temática corta

del estudiante (a).


del estudiante individual y corta (ric); aclaración no temática por parte del profesor (Ant); y

aclaración temática corta del estudiante (a).

Configuración 5: Explicación amplia del estudiante (e); y aclaración no temática por

parte del profesor (Ant).

La clase tuvo una duración de 1:32:32 horas, de 307 líneas de interacción y 5

configuraciones didácticas; todas las configuraciones fueron de tipo dialógico (Font, Planas

y Godino, 2010). Las interacciones de mayor frecuencia en su orden son: pregunta corta del

estudiante a sus compañeros; respuesta del estudiante individual y corta; opinión del

estudiante respecto de un tema matemático; pregunta corta del profesor dirigida a todo el

grupo; y aclaración no temática del estudiante. Lo anterior nos permite concluir que la clase

es de corte no tradicional-tecnológico. Es decir, es una clase centrada en el estudiante,

desarrollada inicialmente en pequeño grupo, donde el estudiante se siente más libre para

opinar e interactuar con sus compañeros, por ello la interacción más usual es la pregunta

corta del estudiante a sus compañeros, de manera natural surge la respuesta del estudiante

individual y corta, seguida de la opinión del estudiante frente a un tema matemático.

También se destaca la serie de aclaraciones no temáticas que se hacen en el grupo, lo que

implica que también existe la tendencia a hablar sobre temas adicionales a la clase. Otro

aspecto que se resalta y que es muy típico de una clase tradicional, aunque este no es el caso,

es la pregunta corta del docente dirigida a todo el grupo, pero esta vez se dio en la etapa de

socialización de lo trabajado en grupo por parte de los estudiantes, y la institucionalización

del conocimiento que debe hacer el docente en toda clase.




386

Tabla 71. Participación de los estudiantes en la tercera clase.

Tiempo Participación

Estudiante Alumno Docente Total

Configuración 1 48:35 3:33 52:08 93.2%

Configuración 2 7:52 6:12 14:04 55.9%

Configuración 3 5:52 5:15 11:07 52.8%%

Configuración 4 6:53 5:10 12:03 57.1%

Configuración 5 2:30 0:40 3:10 78.9%%

Total 1:11:42 20:50 1:32:32 77.5%


Se evidencia que en todas las configuraciones el mayor tiempo de participación

correspondió al estudiante, que fue en general del 77.5%. Este criterio, donde el eje de la clase es

el estudiante, se corresponde con una clase de no tradicional-tecnológica.

Patrones de interacción en la tercera y cuarta clase.

A continuación, se muestran los patrones de interacción comunicativa que se

identificaron en el desarrollo de las clases del profesor, después de haber participado en un

grupo de trabajo colaborativo; con la respectiva frecuencia:

Tabla 72. Análisis de interacción en la tercera y cuarta clase.

Ab Descripción Clase

Total Tercera Cuarta

A Aclaración del docente a todo el grupo, explicación corta. 3 18 21




pregunta.

0 8 8


e Explicación amplia del estudiante 1 3 4

ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado

el docente

0 11 11




pc pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia al

profesor

2 8 10


387



Pntd Pregunta del docente, no temática y directa (menciona quien

debe contestar)

0 3 3


Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un

estudiante

0 1 1



ap Aprobación de lo dicho por el docente por parte del

estudiante.

0 5 5

Tg Trabajo grupal de los estudiantes. 2 0 2

S T 64 178 242

Emergentes después del trabajo colaborativo

a Aclaración temática corta del estudiante. 14 15 29

ant Aclaración no temática del estudiante 26 27 53

apc Aprobación del estudiante a lo dicho por un compañero. 15 7 22

ar Autorespuesta del estudiante, pregunta y responde su pregunta. 14 13 27

cop Complemento a la opinión de un compañero. 1 2 3

des Desacuerdo del estudiante frente a la opinión de los

compañeros.

20 6 26

ed Expresión de duda ante lo que afirma el compañero. 2 1 3

ent Explicación no temática amplia del estudiante 1 0 1

ex Expresión sin sentido completo del estudiante 12 12 24

l Lectura de un texto, taller o guía por el estudiante 2 0 2

o Opinión del estudiante respecto de un tema matemático. 86 40 126

Pcc Pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo 2 0 2

pcc Pregunta corta del estudiante a sus compañeros. 75 50 125

pccm Pregunta corta múltiple, varias seguidas del mismo estudiante. 11 7 18

pnt Pregunta no temática del estudiante. 10 8 18

r Repetición de lo que dice el compañero. 2 0 2

rdes Reafirmación a un desacuerdo. 1 0 1

rpnt Repetición de la pregunta no temática por parte del estudiante 1 0 1

so Solicitud de un estudiante a un compañero 8 0 8

S TO 303 188 491

TOT 367 366 733 Fuente: elaboración propia.

De acuerdo con la tabla anterior, las interacciones comunicativas típicas de las clases

del profesor, en su orden, son: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o),

pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y

corta (ric), aclaración no temática del estudiante (ant), pregunta corta del profesor dirigida a

todo el grupo (Pc) y Aclaración temática corta del estudiante (ant). Se observa que todas las

interacciones corresponden a acciones del estudiante, excepto la pregunta corta del profesor

dirigida a todo el grupo, que se dio justamente en la socialización, lo cual implica que el eje

de la clase es el estudiante y la tipología de clase es no tradicional-tecnológica.


388


ambas clases:

Tabla 73. Análisis de participación respecto al tiempo, de la tercera y cuarta clase.

Configuración

Clase 3 Clase 4

Tiempo

(minutos)

Participación de estudiantes

%

Tiempo

(minutos)

Participación de

estudiantes

%

Configuración 1 12:30 74.7% 52:08 93.2%

Configuración 2 14:00 84% 14:04 55.9%

Configuración 3 17:15 85% 11:07 52.8%%

Configuración 4 18:15 89.8% 12:03 57.1%

Configuración 5 17:30 100% 3:10 78.9%%

Configuración 6 6:15 63.5%

Total 1:25:45 85.9% 1:32:32 77.5%


La participación de los estudiantes en las dos clases es alta (85.9%, 77.5%), pues ésta

es mayor en todas las configuraciones, a pesar de que se hace socialización e

institucionalización del conocimiento (Godino, Contreras y Font, 2006), y se asigna el trabajo

extraclase; se resalta que estas últimas configuraciones son las de menor tiempo.

De lo anterior se puede afirmar que:

Las dos clases del docente se distribuyeron en 5 y 6 configuraciones didácticas, lo

cual es ya práctico para una clase de calidad, sin embargo, el tiempo programado no fue

adecuado por lo cual quedaron algunas actividades pendientes para sesiones futuras. En las

dos clases, las configuraciones fueron consideradas dialógicas (Godino, Contreras y Font,

2006), de donde se infiere un tipo de clase participativo, donde se privilegia el diálogo y el

consenso, lo cual implica una clase de tipo no tradicional-tecnológica.

En la tercera clase las interacciones más frecuentes del docente fueron: opinión del

estudiante respecto de un tema matemático; pregunta corta del estudiante a sus compañeros;


389

respuesta del estudiante individual y corta; aclaración no temática del estudiante; y

desacuerdo del estudiante a lo que plantea el compañero.

En la cuarta clase, dentro de las interacciones más destacadas están: pregunta corta del

estudiante a sus compañeros; respuesta del estudiante individual y corta; opinión del

estudiante respecto de un tema matemático; pregunta corta del profesor dirigida a todo el

grupo; y aclaración no temática del estudiante. Se determinó una identificación amplia de

los patrones de interacción comunicativa del docente Juan en su segunda etapa, los cuales se

plasman en la tabla 74.

Entre las acciones de interacción comunicativa clásicas del docente, después de

participar en el grupo de trabajo colaborativo, se identificaron las siguientes: opinión del



del estudiante (ant), Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc) y Aclaración

temática corta del estudiante (ant).

Se observa que todas las interacciones corresponden a acciones del estudiante, excepto

la pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo, que se dio justamente en la

socialización, lo cual implica que el eje de la clase es el estudiante y ésta es no tradicional-

tecnológica. La tendencia de participación de los estudiantes en las dos clases fue de 81.7%,

se destaca el protagonismo del estudiante en el desarrollo de las mismas, es decir se trata de

un aula donde en algunos momentos asume el control de la clase (Wood, 1999), lo cual es

propio de una metodología no tradicional - tecnológica.


390

Análisis de la comunicación.

Tercera Clase.

En cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, se asume el modelo

orquestal de comunicación, se aplicaron los tres principios que plantea este modelo: el

principio de la totalidad, se trabajó en pequeños grupos (4 estudiantes); el principio de la

causalidad circular, en donde se observaron acciones y retroacciones entre los miembros de

cada grupo; finalmente, la regulación, la comunicación no puede existir sino está basada en

normas que permitan el equilibrio del sistema, algunas de las cuales fueron planteadas por

el profesor al inicio de la clase y otras que se manejaron de manera implícita por los

estudiantes (Marc y Picard, 1992).

Se plantean enseguida unas líneas de transcripción de la clase, que corresponden a la

tercera configuración (Tr3J).

[125] Est 3 No, estos tienen que cambiar, el profesor dijo: puede tomar un valor fijo, digamos

para A, que todos valgan dos, pero estos diferentes.

[126] Est 1 Sabe qué?...

[127] Est 3 Ah, culpa mía? yo ni siquiera sabía, yo no le dije que hiciera acá, acá...

[128] Est 1 Yo tampoco sabía, bueno a él lo que le interesa son las conclusiones, grafique esto y

esto, no puede dar una línea recta porque lleva cuadrado.

[129] Est 3 Es que igual lleva la curva acá, la curva viene acá en el curvígrafo.

[130] Est 1 Pero es que tiene que dar cuadrada, eso no puede dar recto.

[131] Est 3 Pero es que no da recta.

[132] Est 1 Una curva no lleva rectas por ningún lado sino va es así o sea lleva la curva, no

puede ir recto...

En la trascripción se pueden evidenciar las acciones y retroacciones que sustentan el

principo de la causalidad circular, al igual que se pueden inferir algunas normas como: el

estudiante debe confrontar las ideas de los compañeros; y hay que llegar a consensos.

Referente a las clases de comunicación, de acuerdo con la participación, la

comunicación es recíproca, hay cambio permanente de roles. Es interpersonal, hay

permanente interrelación entre los estudiantes; es colectiva y pública, los destinatarios eran


391

grupos pequeños. Es lingüística, el medio natural es el lenguaje; también es extralingüística,

se emplea la simbología matemática de función cuadrática y otros símbolos. Es informal en

el trabajo de grupo. Teniendo en cuenta el canal, la comunicación es audio visual, el proceso

se hace leyendo el taller, graficando en el computador o en el celular, escribiendo en los

cuadernos y hojas. También es directa, implica presencialidad, se da por canales simples.

Horizontal en el trabajo en pequeños grupos (Niño, 1998). Esta es la generalidad de la clase,

pero se presentan unas líneas de transcripción para evidenciar lo anterior.

[69] Est 1 Porque ahí sí lo hallaría por lo de adentro.

[70] Est 2 Vamos a hallar lo de afuera?

[71] Est 3 Necesitamos hallar el área, porque ahí hallaríamos solamente este pedazo...este

pedacito vale C menos dos X...

[72] Est 1 Y por qué de acá pasa acá otra vez?

[73] Est 2 A qué? a C y es que la gráfica... aquí pasa lo mismo, con el valor de cuatro sube

hasta menos seis.

[74] Est 1 No, no, es que pasa pero a seis positivo, no a negativo o es que copié mal?

[75] Est 2 Yo creo que copiaste mal porque es de dos positivo.

[76] Est 1 Por eso y mira los otros, por eso, baja acá y sube acá.

Se puede apreciar que hay una comunicación participativa, reciproca, interpersonal,

colectiva y pública; intervienen todos los estudiantes y hacen continuo intercambio de roles.

Igualmente es lingüística, pero también extralingüística (ver [71], [73]); informal y directa,

no se observa ningún orden específico en la participación, más que la dinámica del trabajo y

el estar presentes. Para evidenciar que es audiovisual, obsérvese el siguiente segmento de la

clase:

[121] Est 3 Vea, mira A, B, C, así mire y después meterlos en geogebra, meterlos acá, no hay

necesidad de tablas...

[122] Est 1 Será que pueden tener un valor fijo y cambiar los otros?

En cuanto a los signos desde la propuesta de Peirce (1974), en esta clase se utilizaron

símbolos, por ejemplo

𝑆(𝑥) = (𝑎 + 2𝑥)2 + 4𝑥


392

Según Saussure (1995), en esta clase se manejaron símbolos ubicados en un

contexto y en relación con otros símbolos; es decir, el profesor siempre buscó utilizar

símbolos con significado, lo cual se evidencia en las expresiones cuadráticas anteriores, ya

que para el estudiante un concepto previo es el concepto de función y los tipos de

funciones, especialmente las funciones polinómicas.

En los códigos (Giraud, 1971), se tiene que en la clase se utilizaron los códigos

lingüísticos, los discursos, especialmente de los estudiantes, lo cual se evidencia en su

porcentaje de participación (85.9%); y los extralingüísticos lógicos como la simbología

matemática, se pueden apreciar en las expresiones anteriores; y extralingüísticos sociales, en

términos de costumbres, como las normas mencionadas anteriormente: el estudiante debe

confrontar las ideas de los compañeros; y hay que llegar a consensos, se infirieron de las

líneas de transcripción [125] a [132]. En las siguientes líneas de transcripción, se ve la

interacción de los estudiantes en pro de la construcción de las propiedades de la parábola.

[224] Est 2 Solo se le dan valores a A, B, y C.

[225] Est 1 X más uno...no entonces tres factor de X más uno al cuadrado más dos.

[226] Est 3 La otra?

[227] Est 1 Y la otra sería...

[228] Est 2 Pues si C valía tres...

[229] Est 1 Aquí la otra sería: dos factores de X más uno elevado al cuadrado más tres.

[230] Est 3 Más tres? otra vez igual?

[231] Est 1 No le da cinco? no?...la otra da: uno factor de X, más tres elevado al cuadrado más

dos.

Igualmente se evidencia la negociación de saberes previos, en pro del saber científico.

Se observa un diálogo entre los alumnos, conducente a la construcción individual del

concepto, en el aula surge una interacción y el conocimiento matemático surge de ella

(Sierpinska, 1998; Vygotsky, 1993).

Se tomó la comunicación como medio para promover aprendizajes (Ponte, 2007), más

no se observó que se asumiera explícitamente para el control de los estudiantes, lo cual se

puede determinar en las líneas de transcripción [224] a [231].


393

En cuanto al contrato didáctico (Brousseau, 1988), se pueden identificar diferentes

fragmentos donde sobresalen normas de la clase, por ejemplo, de las líneas de transcripción

[50] a [99] (ver análisis de la clase). Se pueden inferir las siguientes reglas: hay que respetar

los turnos de la palabra dentro del grupo; se deben desarrollar todos los ejercicios propuestos

en el taller; hay que analizar bien el procedimiento para solucionar el ejercicio; es bueno

verificar que lo analizado en el grupo es lo que copia el relator; existe la necesidad de

confrontar las ideas de los demás para poder llegar a consensos.


las interacciones y de acuerdo a ellas se determina a qué modo de comunicación pertenecen

(Brendefur y Frykholm, 2000).

Tabla 74. Modos de comunicación en la tercera clase.


comunicación

1

O, pnt, Rc, Ant, apc, tg, ent, tg, Ant, pnt, Pnt, rpnt, Rc, pm. pccm,

ed, ed, ant, pcc, l, o, pcc, pcc, o, des, o, pcc, o, pcc, Pc, rc, A, apc,

Pc, o, ant, pcc, ar, o,o,o,o,o, cop, o, o, o, a, apc, o, o, pccm, ric, pcc,

apc, o, apc.

Reflexiva

2

Ant, pnt, o, apc, pcc, a, ant, ant, pnt, so, ric, l, ant, pcc, pnt, ric, o,

apc, ant, des, ant, pccm, ar, pnt, ric, o, pcc, a, pcc, pcc, ar, des, pcc,

ric, a, so, pccm, ar, o, des, o, pcc, ric, a, o, ant, so, apc, a, o, o, a, des,

pcc, ric, pcc, ric, pcc, ric, o, o, apc.

Reflexiva

3

A, pcc, ar, des, ant, o, pcc, pcc, ar, o, pcc, apc, pccm, ant, a, o, des,

pcc, pcc, ric, pcc, ric, a, ex, ant, pnt, o, pcc, pcc, ric, des, o, ex, pcc,

ar, ant, a, o, des, o, o, ant, so, pcc, ric, r, ant, pcc, pcc, a, pcc, ex, o,

des, pcc, ar, o, so, des, ant.

Reflexiva

4

Ant, pnt, pcc, ric, pcc, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, pcc, ex, o, o, pcc, ar,

des, ex, A, o, o, pcc, o, o, o, pcc, o, des, rdes, a, pcc, ric, pcc, ric,

pcc, e, o, pcc, apc, o, des, o, pcc, ric, o, ant, ant, ex, ant, ant, ant, ex,

pcc, o, o, ex, o, ex, o, pcc, ric, pcc, ric, apc, pcc, ar, des, o, so, pcc,

ric, r.

Reflexiva

5

pccm, ric, pccm, pcc, o, pcc, o, o, des, so, o, des, o, o, pcc, ric, apc,

o, o, pccm, pccm, ar, so, pcc, ant, o, des, pccm, ric, o, o, ex, ex, o, o,

o, pccm, ric, des, ant, pcc, ric, o, pcc, ric, pcc, a, pcc, ric, des, pcc,

ric, pc, ric, o, pcc, pcc, ric, pccm, ar, o, o, pcc, ant, apc, pnt, pcc, ria,

o, pcc, ric, pcc, ric, pcc, ria, o, o, o, apc, o,o.

Reflexiva

6 Ant, Pc, pc, Rc, pcc, pcc, ric, ant, pnt, ria, a, ppc, ar, pcc, ar, ant, ant,

pcc, pcc, pcc, pcc, ric, o, pcc, pcc, o, o, o, ex, pcc, ric, O. Reflexiva



394

Se puede deducir que la clase es participativa, en la tabla anterior se observa que las

interacciones de mayor frecuencia corresponden a la relación estudiante-estudiante; el

modelo comunicativo del docente según estas configuraciones es reflexivo, lo que se

corresponde con un modelo de clase no tradicional- tecnológico (centrado en el estudiante).

Cuarta clase.

En cuanto los modelos explicativos de la comunicación, esta clase se relaciona con el

modelo orquestal, se aplican los tres principios de que trata este modelo: el principio de la

totalidad, pues inicialmente se realizó el trabajo en pequeños grupos, lo que permitió el

intercambio de saberes, pero al final se realizó el trabajo de socialización, donde un

estudiante de cada grupo socializó uno de los puntos del taller, con los complementos

respectivos por parte del profesor, realizando así su proceso de institucionalización.

En segundo lugar, se aplicó el principio de la causalidad circular, se presentaron

acciones y retroacciones, que evidencian la interacción entre los miembros de cada grupo.

El tercer principio, de regulación, también estuvo presente, la base de la comunicación está

en las normas, algunas de las cuales fueron planteadas por el profesor al inicio de la clase y

durante la clase, y otras que se asumieron implícitamente por los estudiantes y el profesor

(Marc y Picard, 1992). Se proponen unas líneas de transcripción que permiten evidenciar lo

planteado.

[1] Profesor A solicitud de algunos estudiantes se van a dejar unos minutos para terminar con todas

las actividades del taller, deberán entregar un informe escrito por grupo.

[2] Estu1 Cuánto tiempo profe?

[3] Profesor No sé, yo voy mirando

4] Estu1 Sí, iniciemos por la parte que se dobla

[5] Profesor Esto es X, cierto? claro...sumarlo que el X sea más grande, si el X es más grande,

entonces la porción que le quitas es más grande o más pequeña quiere decir la porción

más pequeña, si lo entendiste? es solo reemplazar? o es aclarar para hacerle el... pero

nos toca hacer la propiedad, no este no, con este...es simplemente darle valores...a

estos dos...

[6] Estu1 Uy, mírala cómo quedó, mira como quedó...y esto...si lo entiende?...

[7] Estu2 Cómo te dio, no te dio?...hice dos tres...qué valores tiene...cuando vale uno, vale dos,

menos dos, aquí dos, sí falta uno, es que aquí le hicieron falta...cuando vale dos, dos

menos tres...?

[8] Estu3 No, es que puedes sumar las que quieras...


395

[9] Estu2 Cuando vale dos, dos menos tres menos uno...?

[10] Estu3 Puede ser, pero qué cuáles tres, no sea así, ahí está bien; pero esa sale...dos más raíz

cuadrada de dos, cuánto te da? dos punto cuatro...

[11] Estu2 Qué pasó? quedó mal?

[12] Estu1 Sí, ahí está bien...el borrador qué lo hicieron?

[13] Estu3 Me hizo pasar toda esta ficha para nada...

En la transcripción se observa la interacción entre los estudiantes y el trabajo en

pequeños grupos, igualmente se pueden destacar las siguientes normas: se debe entregar un

informe por cada grupo al finalizar la sesión; hay que ir llenando una ficha para poder

entregar el informe al final; el informe debe ser presentado por los estudiantes al finalizar la

clase, por lo cual deben ir llevando adicionalmente un borrador. Más normas las podemos

observar en el análisis de la clase.

En lo referente a las clases de comunicación, en cuanto a la participación, la

comunicación es recíproca, hay cambio de roles. Interpersonal, existe permanente

interrelación entre los estudiantes; colectiva y pública, se desarrolla entre grupos pequeños,

al inicio y al final en gran grupo. Es lingüística, el medio básico es el lenguaje, con códigos

paralingüísticos; también es extralingüística, se usa una simbología matemática, expresiones

como tablas de valores, funciones de varias clases y otros símbolos. Es informal en el trabajo

de grupos y formal en la socialización. Es audio visual, el proceso se hace leyendo el taller

y libros, escribiendo en los cuadernos, hojas, tablero y computador. También es directa.

Horizontal, se respeta la opinión del estudiante durante toda la clase (Niño, 1998). En las

siguientes líneas se evidencia todo lo anterior.

[89] Estu3 Es que P en función de R...

[90] Estu2 Me dijiste que la tres, cuál es la tres?

[91] Estu1 No es que la tres no va acá, va en...oiga y quién ensució esto?

[92] Estu3 Pero cuando R vale dos, pero Y a cero es...

[93] Estu1 Y esto es ahí?

[94] Estu4 Ahí está bien; todas nacen en punto cinco, nacen por una dimensión...es que AB, no, da

como cero, cero, punto cinco, hágalo y verá...da once por once...da ciento setenta...

dividido no sé en cincuenta, porque son números o sea...

[95] Estu3 No pero dese cuenta que este X va al cuadrado.

[96] Estu4 Por eso, cincuenta al cuadrado, dos por diez a la menos cuatro o sea que queda cuatro

ceros a la izquierda de...

[97] Estu2 Tercero...pero espera qué hora es?

[98] Estu2 Vamos bien Est5...


396

En esta clase se utilizaron símbolos (Peirce, 1974), por ejemplo, las funciones

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑔(𝑥) = |𝑥2 + 𝑥 − 6|

Los símbolos siempre se ubicaron en un contexto y en relación con otros símbolos

(Saussure, 1995), por ejemplo, la tabla de valores que aparece a continuación.

Figura 28. Tabla de Valores Fuente: elaboración propia.

Se utilizaron entre los códigos lingüísticos: los discursos del docente y de los

estudiantes; los paralingüísticos como sustitutos del lenguaje, los extralingüísticos lógicos

dentro de lo que aparece toda la simbología matemática, los sociales asumidos como

costumbres y que se reflejan en las normas de la clase (Giraud, 1971); por ejemplo, de [89]

a [98], se pueden inferir normas como: todos los estudiantes pueden participar en la discusión

temática; el trabajo que se va desarrollando no se debe ensuciar; hay que tener un control de

tiempo para poder terminar el taller.

Se tomó la comunicación como medio para promover aprendizajes (Ponte, 2007), se

puede evidenciar que los estudiantes están concentrados tratando de terminar su taller ([133]

a [143]).

[133]

Estu2

Quién Est7? pero por qué? esto está cerrado o acá está abierto?

[134] Estu1 Abierto.

[135] Profesor Es que viene cerrado y viene abierto; aquí viene cerrado, aquí viene abierto...tendrían

que practicarlo también con la escala; primero van a graficarlo con la escala de uno,

dos, , tres...

[136] Estu1 Mayores a dos...

[137] Estu3 Pero no dan más rectas?

[138] Profesor Lo que les de la gráfica.

[139] Estu3 Es que pareciera que fuera más...

[140] Profesor Pareciera pero no..

[141] Estu1 Profe es que hay una función que también llama, ya se la digo...

[142] Estu2 Cuáles más nos falta? y los del resto no sabes? estos ya, estos ya...

[143] Estu1 Estos ya están desarrollados, voy acá en el C o sea: para qué valores de X tiene

sentido la función...voy ahí.


397

En cuanto al contrato didáctico (Brousseau, 1988), en el análisis de la clase se pueden

identificar apartes donde es posible determinar normas de clase, por ejemplo, de [133] a

[143]: el estudiante debe confrontar las ideas de los compañeros; hay que llegar a consensos

entre los miembros del grupo.



Frykholm, 2000).

Tabla 75. Modo de comunicación cuarta clase.

Configuración Interacciones Modo de

comunicación

1

Ant, O, pc, Rc, ap, ant, Pc, Ar, Pm, Ar, ant, pcc, pcc, ar, pcc, ric, pcc,

ed, o, pcc, ar, pccm, ric, pnt, ex, ant, ant, ex, pcc, ric, o, o, pcc, ar,

pcc, pcc, ric, pccm, ar, ant, ant, o, ex, o, cop, o, pnt, ant, ant, ant, o,

pcc, pcc, ric, pcc, ric, pcc, ric, pcc, Ant,a, pc, Ra, pcc, pcc, ar, pcc,

ric, ant, pcc, o, o, pcc, o,o, pcc, ric, pcc, ric, o, ex, pnt, ric, Pnt, Ar,

Pc, ant, ant, ex, ant, ant, ant, o, pcc, ant, pccm. ar, o, A, pnt, ric, pcc,

ant, pcc, ant, pnt, ar, des, o, ex, o, pcc, o, pcc, o, pcc, ria, des, o, cop,

pnt, ric, o, des, a, pcc, ric, pnt, o, pcc, ar, pccm, pcc, o, pcc, apc, pcc,

pnt, pcc, ric, pcc, ar, ric, pcc, ric, o, o, ant, o, pcc, a, pcc, ex, o, apc, o,

pccm, o, apc, o, apc, o, pcc, ar, pccm, ric, A, o, pc, Rc, ic, A, pcc,

pccm, ar, o, apc, o, pcc, o, pcc, ric, e, pcc, ar, a, pcc, ria, o, o, pcc, o,

o, o, o, pcc, pcc, ant, ric, pcc, ric, pcc, ric, ex, A, ant, ant, apc, ant,

ant, pcc, ric, pcc, ar .

Reflexiva

2

Ant, O, Ant, O, ant, A, ap, A, a, Pc, ric, Ant, A, Pc, ric, Pm, ric, Ap,

pc, Pc, ria, A, ic, Pnt, ria, Pnt, Pc, Ar, Pc, Ar, ex, E, ap, ic, Pc, ric, Pc,

pc, Pc, ric, Pc, Ar, ic, A, ap, Pc, ric, Pc, ex, Ant, ic, a, Ap, A, pc, ric,

ic, Ap, ant.

Reflexiva

3

A, Ant, O, a, O, a, A, Pc, ric, A, ic, Ap, Pc, ric, Pc, Ar, Ant, Pm, ric,

Ant, Pc, ric, Ant, a, Ant, A, Pc, ic, Pc, ric, A, des, a, ic, Ant, Pm, ant,

Pc, ric, O, Ap, a, Ap, des, A.

Reflexiva

4

Ant, ic, Ant, a, Ap, a, Ap, Pc, ric, des, ic, Pc, ric, Pc, ex, Ant, a, Ap,

ex, Ant, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, pc, Pm, Ar, Pc, ric, Pa, ria, Pc, ric, A,

ap, E, a, A, pc, Pc, ric, apc, Ant.

Reflexiva

5 e, e, Ant. Reflexiva Fuente: elaboración propia.

Teniendo en cuenta lo anterior, se puede afirmar que fue una clase participativa, es

decir, el modelo comunicativo del docente según estas configuraciones es reflexivo, lo que

se corresponde con un modelo de clase no tradicional- tecnológico.


398

Generalidades de la comunicación en la tercera y cuarta clases.

En cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, la clase del profesor se

asocia con el modelo orquestal de comunicación, se aplican los tres principios que enfoca

este modelo: el principio de la totalidad, se tuvo en cuenta inicialmente el trabajo en

pequeños grupos, buscando facilitar la confrontación de saberes, los cuales fueron

socializados en gran grupo en la etapa intermedia de la clase. En segundo lugar el principio

de la causalidad circular, se presentaron acciones y retroacciones, los estudiantes se

implicaron unos a otros durante todo el trabajo realizado y luego confrontaron saberes con

el profesor, ya en el espacio de socialización; Por último, el principio de la regulación

también estuvo presente, la comunicación no puede existir si no hay normas, algunas de las

cuales fueron planteadas por el profesor al inicio de la clase y durante la clase, otras que se

asumieron implícitamente por los estudiantes y el profesor (Marc y Picard, 1992), ejemplos

de lo anterior se pueden verificar en el análisis de cada clase.

En lo que tiene que ver con las clases de comunicación, de acuerdo con la

participación, la comunicación es recíproca, se presentan cambios de roles. Interpersonal,

hay permanente interrelación entre los estudiantes; colectiva y pública, se desarrolla en su

mayor parte entre grupos pequeños y al final el gran grupo. Es lingüística, el medio básico

es el lenguaje, con códigos paralingüísticos; también es extralingüística, se usa una

simbología matemática. Es informal en el trabajo de grupos y formal en la socialización. Es

audio visual, el proceso se hace leyendo el taller y libros, escribiendo en los cuadernos,

hojas y tablero. También es directa. En una mínima parte de la clase es Vertical, al inicio y

culminación de la clase, pero horizontal en el transcurso de la misma (Niño, 1998).

Se utilizaron símbolos (Peirce, 1974), los cuales se manejaron ubicados en un

contexto y en relación con otros símbolos. Es decir, el profesor siempre buscó utilizar

símbolos con significado (Saussure, 1995). Se utilizaron entre los códigos lingüísticos: los

discursos del docente y de los estudiantes; los paralingüísticos como sustitutos del lenguaje

y los extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).


399

Se tomó la comunicación como medio para promover aprendizajes (Ponte, 2007).

Ejemplos se mostraron en cada una de las clases.



las interacciones de clase, en las tablas 76 y 77. Como se puede deducir de esa información, el

tipo de comunicación de la clase del profesor Juan es reflexiva, ya que el 100% de las

interacciones son reflexivas (Brendefur y Frykholm, 2000). Es decir esta clase es de tipo

dialógico.

Discusión Final

A continuación, se realizará un análisis por cada una de las categorías, teniendo en

cuenta los realizados a las clases anteriores al trabajo colaborativo (primera fase) y a las

clases después de que el docente participó en el grupo de trabajo colaborativo (segunda

fase), con el fin de identificar factores que fueron (re)significados por el profesor (Jiménez,

2002), con respecto a sus prácticas en la clase de matemáticas.

Análisis didáctico.

La elaboración del análisis didáctico con los criterios del Enfoque Ontosemiótico

refleja la situación de la clase a profundidad, permitiéndonos realizar una descripción

detallada de la clase, por lo cual el trabajo se concentrará en los criterios de idoneidad

didáctica, dado que nos permiten analizar la calidad y las mejoras en los procesos de

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (Breda, Font y Lima, 2015).

Se presenta en la tabla siguiente, la tipología del docente Juan antes y después del

trabajo colaborativo.


400

Tabla 76. Tipología del docente antes y después del trabajo colaborativo.


Trabajo Colaborativo

Antes

%

Posterior

%

Idoneidad Epistémica 68.2 85

Idoneidad Cognitiva 66.6 75

Idoneidad Afectiva 66.6 91.7

Idoneidad Interaccional 29,1 75

Idoneidad Mediacional 72.15 75

Idoneidad Ecológica 65 100 Fuente: elaboración propia.

En la primera fase se observa que las idoneidades más bajas del docente Juan, en su

orden, son la interaccional y la ecológica, pero la idoneidad crítica a desarrollar para este

docente es la interaccional.

En la segunda fase (Posterior al trabajo colaborativo) este docente mejoró en todas las

idoneidades; las más bajas son la cognitiva, interaccional y mediacional, pero no a nivel

crítico, ya que las tres están valoradas con 75%, dejando de ser la idoneidad interaccional

punto crítico.

La representación hexagonal sería:

Figura 29. Idoneidades de Juan, en la primera (negro) y segunda (rojo) fases. Fuente: adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi

y Castro, 2009).


401

A continuación, se va a mirar puntualmente por idoneidad:

Tabla 77. Análisis de idoneidad de la clase del profesor.

Componentes: Descripción

Idoneidad epistémica

Situaciones-

Problemas

ATC: El profesor planteó situaciones de contextualización, ejercitación y

aplicación de conceptos, sin embargo aunque sí se plantearon problemas, no se

permitió la generaración de éstos por parte de los estudiantes.

DTC: Sucedió la misma situación.

M: Al no mejorar en este criterio, el docente deberá tenerlo en cuenta.

Lenguajes

ATC: fue adecuado el uso de diferentes modos de expresión matemática, tanto

verbal, como gráfica y simbólica. El lenguaje es adecuado al nivel universitario

que se está trabajando, pero en la clase no se propusieron actividades que

facilitarán el desarrollo de la interpretación y de la expresión matemática.

DTC: En estas clases si se propusieron actividades de interpretación y los otros

dos aspectos permanecieron igual. M: el uso de diferentes modos de expresión y la adecuación del lenguaje a nivel

universitario, son aspectos positivos del docente, se mejoró en que ya se preocupó

por plantear actividades de interpretación y expresión matemática.

Reglas

(Definiciones,

proposiciones,

procedimientos)

ATC: no se observaron fallas en el planteamiento de las definiciones y

procedimientos, y están adaptados para el nivel universitario. Sin embargo no se

proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o negociar definiciones


DTC: Se sigue haciencoun buen planteamiento de las definiciones y

procedimientos, adaptados al nivel universitario. Acá si se propusieron

situaciones de generación y negociación de conceptos.

M: Se mejoró el criterio de generación y negociación de conceptos. Lo demás son

aspectos positivos del docente.

Argumentos

ATC: las explicaciones fueron adecuadas al nivel universitario, pero no se

promovieron situaciones donde el alumno pudiera argumentar.

DTC: el docente tiene como fortaleza el adaptar las explicaciones para el nivel

universitario, además propuso situaciones donde el alumno tuvo que argumentar.

M: Se mejoró en que el profesor propuso situaciones donde el alumno tenía que

argumentar, mediante el trabajo en grupo y la socialización. Una fortaleza del

docente es adecuar los contenidos a nivel universitario.

Relaciones

ATC: se relacionaron y conectaron los objetos matemáticos (problemas,

definiciones, proposiciones, etc.), pero no se abordaron los distintos significados de

éstos.

DTC: igual.

M: Aunque se relacionan los objetos matemáticos, no se mejóro el abordar los

distintos significados de los objetos matemáticos. El docente debe asumir como

aspcto por mejorar este criterio.

Idoneidad Cognitiva


ATC: los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del

tema y el profesor considera que los contenidos pretendidos se pueden alcanzar.

DTC: igual



402

Adaptaciones

curriculares a

las diferencias

individuales

ATC: se promovió el logro de todos los estudiantes y se incluyeron actividades de

ampliación.

DTC: igual.

M: es un aspecto positivo del docente. Aprendizaje:

ATC: No se mostró o identificó alguna forma que propusiera el docente como

evaluación de los procesos y prácticas, que señalara entre otros aspectos la

comprensión conceptual y proposicional. Como no hay evaluación no pudimos

fijarnos si en ella se tienen en cuenta los distintos niveles de comprensión y

competencia por parte del estudiante, al igual que si los resultados de esta evaluación

se usan para tomar decisiones. Tampoco se evidenció un desarrollo de las

competencias comunicativa y argumentativa.

DTC: Siguió igual en los primeros aspectos, pero planteó situaciones que

permitieron un desarrollo de las competencias comunicativas y argumentativas.

M: Sólo se mejoró este último aspecto. Lo demás queda como criterio por mejorar.

Idoneidad afectiva


ATC: se propusieron tareas que tenían interés para los alumnos, pero no situaciones

que pudieran mostrar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana.

DTC: aunque las tareas fueron interesantes para los estudiantes, no se propusieron

problemas contextualizados.

M: permaneció igual, es decir que sigue siendo un aspecto por mejorar el proponer

situaciones problémicas contextualizadas.

Actitudes

ATC: se favoreció la argumentación en situaciones de igualdad, más no la

participación real del estudiante.

DTC: se respetó el proceso de argumentación independiente de la persona,

adicionalmente se dio buena participación al estudiante para generar valores de

responsabilidad y perseverancia.

M: se mejoró en el sentido de dar mayor participación al estudiante, y dar

oportunidad de desarrollo de valores como la responsabilidad y la perseverancia.

Emociones

ATC: se motivó al estudiante promoviendo el agrado por las matemáticas y

fomentando su autoestima, y resaltando las cualidades estéticas y precisión de las

matemáticas.

DTC: igual

M: es una fortaleza del docente

Idoneidad Interaccional


discente

ATC: el profesor realizó una buena presentación del tema, sin embargo, no se

hicieron preguntas adecuadas sino esperando una respuesta corta del estudiante,

tampoco se buscó llegar a consensos, ni se usaron otros recursos retóricos para

motivar a los estudiantes.

DTC: Se invirtieron los papeles, se permitió la participación de los estudiantes en

búsqueda de consenso, se utilizaron diversos recursos retóricos, sin embargo por la

falta de organización del tiempo, no palcanzó a realizar una buena exposición del

tema, como proceso de institucionalización. M: En general se mejoró este criterio.

Interacción entre

alumnos

ATC: aunque se evitó la exclusión, no se buscó una participación significativa de

los estudiantes, que favoreciera el diálogo y la comunicación entre ellos.


403

DTC: se evitó la exclusión y se dio participación a los estudiantes, favoreciendo

el diálogo y la comunicación entre ellos. M: se mejoró el criterio de dar participación a los estudiantes favoreciendo el

diálogo entre ellos.

Autonomía

ATC: dado que el profesor siempre explica todo en la clase, no da oportunidad de

que el estudiante asuma la responsabilidad del estudio.

DTC: el profesor hizo la clase participativa, dio oportunidad a que los estudiantes

asumieran la responsabilidad de la clase, realizando actividades como: plantear

cuestiones y presentar soluciones; explorar ejemplos y contraejemplos para

investigar y conjeturar; usaran una variedad de herramientas para razonar, hacer

conexiones, resolver problemas y comunicarlos, etc.

M: mejoró el aspecto comunicativo en general y en particular los procesos

matemáticos que de ello se derivan.

Evaluación formativa ATC: no se realizó una observación sistemática del progreso cognitivo de los

alumnos.

DTC: igual

M: No mejoró el aspecto de la observación sistemática del progreso del alumno.

Queda como aspecto por mejorar para el docente.


Recursos materiales

(Manipulativos,

calculadoras,

ordenadores).

ATC: No se utilizaron materiales manipulativos e informáticos, al igual que las

definiciones y propiedades no fueron contextualizadas.

DTC: se utilizaron materiales manipulativos (talleres, calculadoras), lo que

permitió la contextualización de los objetos matemáticos.

M: Se mejoró en el criterio de utilizar materiales manipulativos que permitieran

contextualizar los objetos matemáticos. Número de alumnos,

horario


ATC: el horario, la distribución de los estudiantes (forma matricial), al igual que

su número, permitió llevar a cabo la enseñanza pretendida.

DTC: igual, excepto la distribución de los alumnos, pequeños grupos.


Tiempo



aprendizaje).

ATC: uno de los problemas del docente es el tiempo, escoge una temática

demasiado ambiciosa, por lo cual el tiempo no es suficiente para la enseñanza

pretendida, no dedicando tiempo especial alos contenidos más importantes o que

son de más dificultad para el estudiante.

DTC: igual

M: Este aspecto es tal vez el de mayor importancia para el docente, el de control

de tiempo, queda por mejorar.

Idoneidad Ecológica


ATC: los contenidos, su implementación y evaluación son coherentes con las

directrices curriculares.

DTC: igual

M: es fortaleza del profesor.

Apertura hacia la

innovación

Didáctica.

ATC: la clase no tiene que ver con la Innovación basada en la investigación y la

práctica reflexiva, al igual que no integra las Tecnologías de la Información y

Comunicación.

DTC: se planteó una metodología que es innovadora, donde se utiliza material

manipulativo.

M: mejoró el criterio de nuevas metodologías y tecnologías en la clase de

matemáticas.


404

Adaptación socio-


ATC: los contenidos abordados contribuyen con la formación socio-profesional de

los estudiantes.

DTC: igual



ATC: No se promovió la formación en valores democráticos y el pensamiento

crítico.

DTC: Se realizaron actividades que favorecieran la formación en valores.

M: Se mejoró el hacer explícito la formación en valores.

Conexiones intra e

Interdisciplinares

ATC: los contenidos abordados se relacionan con otros contenidos intra e

interdisciplinares.

DTC: igual


Fuente: elaboración propia. ATC: Antes del trabajo colaborativo. DTC. Después del trabajo colaborativo.

M: análisis de mejora.

Teniendo en cuenta que se considera una fortaleza del docente aquellos criterios que

tenía inicialmente dentro de su práctica pedagógica y los siguió manteniendo; un aspecto fue

(re)significado si inicilamente no lo tenía el docente, pero a través del trabajo colaborativo

consiguió desarrollarlo; se considera un aspecto por mejorar si inicialmente no estaba presente

en las prácticas del docente y al finalizar el trabajo colaborativo, sigue sin estarlo. En general

lo que muestra este análisis es lo siguiente,

Tabla 78. La práctica pedagógica del docente al finalizar el trabajo. Análisis por idoneidad.

Idoneidad Fortaleza (re)significación Aspectos por mejorar

Idoneidad Epistémica. Los lenguajes; Reglas y

argumentos.

Situaciones problema y

relaciones.

Idoneidad Cognitiva.

Conocimientos previos;

adaptaciones

curriculares,

Aprendiazaje

Idoneidad Afectiva. Emociones Actitudes Intereses y necesidades

Idoneidad Interaccional.


discente; interacción

entre alumnos; y

autonomía.



Número de alumnos,

horario y condiciones de

aula

Recursos materiales

Tiempo, especialmente

en la distribución de

tareas.

Idoneidad Ecológica.

Adaptación al currículo;

adaptación socio-

profesional y cultural; y

conexiones intra e

interdisciplinares

Apertura hacia la

innovación didáctica;

educación en valores.



405

Uno de los aspectos más complicados de valorar fue la idoneidad epistémica o la calidad

de las matemáticas enseñadas, sin embargo, en cuanto a la resolución de problemas es de

aclarar que el docente sí planteó problemas en sus clases, a pesar de que inicialmente pensaba

que “muchos de los contenidos que se les presentan a los estudiantes no dan tiempo para el

trabajo de resolución de problemas (Ent2J, 27 Marzo 2015), pero no logró finalmente que el

estudiante planteará sus propias situaciones problémicas, al igual que contextualizar los

problemas planteados (Alsina y Domingo, 2010); lo anterior lo menciona el docente al

finalizar el proceso:

quedan muchos aspectos por mejorar, por ejemplo en cuanto a la dimensión epistémica,

pues hace falta la incorporación sistemática de situaciones problema que impliquen

mayor esfuerzo por parte del estudiante para poner en juego tanto los saberes previos

como su espíritu investigativo (EntJ3, 12 mayo 2016).

En la idoneidad cognitiva un aspecto que quedó por mejorar fue la realización explícita

de la evaluación y el dejar entrever cuál es el objetivo de la misma. Al respecto el docente

afirmaba inicialmente, “debo cambiar mi paradigma sobre la evaluación, y hacer que los

contenidos sean más prácticos, que los estudiantes los vean útiles” (Ent2J, 27 Marzo 2015).

Una de las fortalezas fue graduar los contenidos de acuerdo a los conocimientos previos de

los estudiantes, de tal manera que pudieran estar dentro de la zona de desarrollo próximo del

estudiante (Vygotsky, 1988).

En la idoneidad afectiva, quedó igual un aspecto por mejorar, que está relacionado con

el epistémico, el proponer tareas matemáticas que tengan que ver con el contexto y por lo

tanto mejoren la motivación del estudiante hacia su estudio, aunque al terminar el proyecto

opina que “enseñar matemáticas va más allá de un simple ejercicio rutinario que le permite al

estudiante desarrollar algunas estrategias mecánicas y algorítmicas, considera que las

matemáticas poseen un componente práctico que le permite al estudiante relacionarlo con

situaciones de la vida cotidiana” (EntJ3, 12 mayo 2016), lo cual lleva a pensar que hay una

(re)significación del concepto, pero no se alcanzó a plasmar en la práctica.


406

En lo referente a la idoneidad interaccional también quedó un aspecto por mejorar

referente a la evaluación formativa, la cual está también relacionada con la idoneidad

cognitiva y allí se explicó la situación. Se (re)significaron las interacciones entre los

diferentes entes de la clase, al inicio del trabajo el profesor planteaba “la relación docente-

estudiante debe ser cordial, en las que el profesor le responde de la manera más clara posible

al estudiante y así resolver sus dudas” (Ent2J, 27 Marzo 2015) y ésta era la forma más clara

de interacción presente dentro de la clase; pero después del trabajo colaborativo, el profesor

plantea al respecto “en mi práctica docente veo dificultades en la dimensión interaccional,

pues el estudiante sólo asume un rol pasivo y por tal razón no está plenamente comprometido

con su propio aprendizaje” (EntJ3, 12 mayo 2016). En sus últimas clases tuvo muy en cuenta

la interrelación estudiante- estudiante como fundamental, “La organización de los alumnos

pasó de ser lineal o caótica, a estar organizados por grupos de trabajo identificables” (EntJ3,

12 mayo 2016); tiene en cuenta las concepciones de los estudiantes “son un punto de partida,

sin embargo es mediante el trabajo progresivo sobre las situaciones problema las que van

transformando esas concepciones en conceptos institucionales” (EntJ3, 12 mayo 2016).

También se identificaron conflictos cognitivos y se reflexionó sobre ellos, pues lo más

importante es tratar de evitarlos (Font, Planas y Godino, 2010). Otro aspecto sobre el cual se

trabajó en el grupo, fue sobre las normas, las cuales permitieron el buen desarrollo de la clase

(Planas e Iranzo, 2009). Sobre estos aspectos también se presentó una (re)significación, por

ejemplo al respecto Juan menciona que

las reglas van surgiendo del grupo, porque si nos fijamos uno no pone las mismas

reglas para todas las clases, ni para todos los grupos. Hay grupos muy activos, muy

pilosos, que están sobre la temática. Hay otros que son todos perezosos, que no se

concentran, entonces las actividades de la clase no pueden ser las mismas (TG14).

En lo que tiene que ver con la idoneidad mediacional, se tiene un aspecto por mejorar,

el manejo del tiempo, especialmente en lo referente a la distribución de tareas, aunque

inicialmente el profesor afirmaba “ en cada clase se abordan conceptos de acuerdo con los

contenidos programáticos previstos, se inicia mencionando los temas que se abordarán en el


407

tiempo estimado de la clase y luego empieza el desarrollo de la clase” (Ent2J, 27 Marzo

2015), lo que aclara que coloca un tiempo estimado para la clase, pero aún así no lo pudo

manejar. Al respecto dice que “un aspecto que me ha sido especialmente difícil es el de ceder

espacios a los estudiantes, pues algunos estudiantes consideran que la labor del profesor en el

salón debe acaparar toda la atención en el tiempo de clase” (EntJ3, 12 mayo 2016), es decir

reconoce la problemática. También manifiesta que “uno de los aspectos de mi práctica docente

que me preocupa es el uso de mediaciones apropiadas, que le permitan al estudiante acercarse

a la comprensión de conceptos matemáticos” (EntJ3, 12 mayo 2016), aunque según Barrody

(1993) la utilización de materiales manipulativos no es una condición necesaria y suficiente

para el éxito en el aprendizaje, pero si aporta mucho; este fue uno de los aspectos que el

profesor Juan logró (re)significar.

En la idoneidad ecológica, un aspecto que logró el docente (re)significar, fue la

apertura hacia la innovación didáctica, ya que incluyó material manipulativo dentro de la

clase y algunos de los elementos de las tecnologías de la información y la comunicación.


Se resalta que las interacciones que aparecen son propias del docente Juan y fueron

emergiendo del análisis de sus clases, el cual se realizó previamente y aparece en páginas

anteriores de este proyecto. Es de destacar que el docente mostró inicialmente una clase de

estructura jerárquica (Menezes, 1995), propia de una tipología de clase tradicional-

tecnológica y producto de ello emergieron unas interacciones propias de este tipo de clases

(ver tabla 58). El análisis a clases realizadas después de la participación del docente mostró

una tipología no tradicional-tecnológica e interacciones emergentes nuevas, y sobre todo

que cambia en frecuencia el tipo de interacción (ver tabla 74); por lo anterior, se

determinaron interacciones propias de la tipología de clase del docente. Sin embargo, a

continuación se presentan las interacciones de Juan en sus dos fases.


408

Tabla 79. Interacciones del docente.

AB Descripción Fase 1 Fase 2

A Aclaración del docente a todo el grupo, explicación corta. 47 21

Ant Aclaración no temática por parte del profesor 20 23

Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 10 9

An Negación de la respuesta dada por el estudiante. 2 0

Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y responde su pregunta. 52 8

As Asesoría del profesor 2 0

D Dictado que hace el profesor a los estudiantes de problemas o ejercicios. 4 0


E Explicación amplia del estudiante 7 4

Ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado el docente 2 11

Ia Intervención argumentada que hace el estudiante 1 0

Int Intervención no temática del estudiante 1 0

O El profesor ordena la ejecución de una acción 10 8

Pa Pregunta argumentada por parte del profesor 4 1

Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 83 32

Pc pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia al profesor 8 10

Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 17 6


Pntd Pregunta del docente, no temática y directa (menciona quien debe

contestar)

0 3

R Repetición del profesor de lo que expresa el estudiante 5 0

Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del estudiante 4 5

Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un estudiante 3 1

Ria Respuesta individual argumentada del estudiante 5 8

Ric Respuesta del estudiante, individual y corta 30 82

Ap Aprobación de lo dicho por el docente por parte del estudiante. 0 5

Ti Trabajo individual de los estudiantes 1 0

Tg Trabajo grupal de los estudiantes. 18 2

A Aclaración temática corta del estudiante. 0 29

Ant Aclaración no temática del estudiante 0 53

Apc Aprobación del estudiante a lo dicho por un compañero. 0 22

Ar Autorespuesta del estudiante, pregunta y responde su pregunta. 0 27

cop Complemento a la opinión de un compañero. 0 3

des Desacuerdo del estudiante frente a la opinión de los compañeros. 0 26

Ed Expresión de duda ante lo que afirma el compañero. 0 3

ent Explicación no temática amplia del estudiante 0 1

Ex Expresión sin sentido completo del estudiante 0 24

L Lectura de un texto, taller o guía por el estudiante 0 2

O Opinión del estudiante respecto de un tema matemático. 0 126

Pcc Pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo 0 2

pcc Pregunta corta del estudiante a sus compañeros. 0 125

pccm Pregunta corta múltiple, varias seguidas del mismo estudiante. 0 18

pnt Pregunta no temática del estudiante. 0 18

R Repetición de lo que dice el compañero. 0 2


rpnt Repetición de la pregunta no temática por parte del estudiante 0 1

So Solicitud de un estudiante a un compañero 0 8

TOT 383 733 Fuente: elaboración propia.


409

Las clases iniciales se distribuyeron en 4 y 5 configuraciones respectivamente, las de

la segunda fase en 5 y 6 confuguraciones, lo que muestra un desarrollo sensato por parte del

profesor, para el tiempo que se ha proyectado para estas clases. En la primera fase, todas las

configuraciones fueron consideradas de tipo magistral (Godino, Contreras y Font, 2006), de

lo anterior se concluye que se trata de una clase tradicional-tecnológica (Porlán, 1995).

Igualmente se pueden mirar los patrones de interacción desde diversos autores. Se

presentó el patrón de interacción cíclico (Lampert y Cobb, 1996), evidencia se presenta en el

fragmento de transcripción de la primera clase (Tr1J).

[18] p Como resulta todo esto entonces toda esa

cuestión entonces¿ ya tenemos la función

volumen... ¿ cuál es la función volumen ?

se dirige a sus

guías en la mesa

... y pregunta

[19] A2 por largo por ancho por alto

[20] P Si señor... la función volumen está dada

para este caso... por l.a.h... empecemos

entonces todas la derivaditas parciales que

están involucradas en la regla de la cadena

Largo , alto y

ancho ( l. a . h )

[21] P Entonces decimos que la rapidez de

variación de volumen en un instante de

tiempo está dada por dv/ dl que nos queda?

señala el tablero

[22] A1 a*h

[23] P A*h ... si estoy derivando … a* h se

convierten en constante cierto ¿ ... bien por

dl / dt … lo tengo ¿... si es 3c/seg

dl / dt

Repite lo dicho

[24] P Bien… quién es?.. dv / da

[25] A2 l h El docente afirmo

lo dicho por el

estudiante

[26] P da /dt ... tengo da/dh si quien es ¿ 2cm / seg

+ quien es da /dh?

[27] A2 l* a

[28] p Quien es dh /dt 1cm /seg... listo ... haciendo

el análisis dimensional en que unidades nos

debe dar la rapidez de volumen en un

instante de tiempo determinado en ...?

Afirma lo que

dijo el estudiante

[29] P cm 3 * debe ser de aquí halamos la función

la formulita para fines de cambio cierto ¿’

… ahora apliquémosle a esa fórmula las

condiciones principales del ejercicio …

Señala el tablero

También se pudo identificar el diálogo triádico (Lemke, 1985), [24] a [27], el profesor

mantiene el control del discurso (Pimm, 1987), corrije y orienta a los estudiantes hacia las

respuestas correctas, es un aula absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), así mismo el trabajo


410

del profesor se puede mirar desde un enfoque de introducción, trabajo y conclusión-revisión

(Mehan, 1982). Igualmente se observó que se presentó el patrón de extracción (Voigt, 1985),

el trozo de transcripción corresponde a la primera clase de Juan (Tr1J).

[31] P A*h es a*h es? Repite la pregunta

y luego responde

[32] P A esas 10 cm y h es 8 cm ... es decir que son

80cm cuadrados y eso * 3 cm por segundo

10 cm y h es 8

cm

3cm ^3

Los estudiantes

escriben en el

cuaderno

[33] P Cuanto es l*h … ahora si? Y repite la

pregunta

[34] A4 120

[35] A5 120

[36] P Quien es l*a..? 120cm ^2 *-2cm

/seg +

El docente

escribe la

respuesta en el

tablero

[37] p 150 verdad ¿150 cm^2? Responde la

pregunta

[38] P Señor? Un estudiante

hace una pregunta

[39] A6 Pues ya como la multiplica ¿hay para qué?

[40] P ammm .. bueno pues quiero que se note

completamente lo que sucede con las

dimensiones cm/seg.. listo … entonces hay

ya simplemente tenemos que operar esas

magnitudes y estará resuelto el ejercicio

verdad ¿ si bien ..

En esta transcripción también se puede determinar el patrón del embudo, al igual que

el patrón tradicional (Wood, 1994, 1998); el aula es univocal, lo que interesa es la transmisión

de la información (Peressini y Knuth, 1998). La clase también es considerada con un patrón

unidireccional (Brendefur y Frykholm, 2000), esta característica, aunque es genérica, se

puede observar en el siguiente fragmento de transcripción, correspondiente a la segunda

clase de Juan (Tr2J).

[1]

p Bueno entonces, entonces vamos a hablar un minuto

sobre la fundamentación del software que en la clase

de geometría estamos trabajando y que estamos

llevando a cabo. Todo ha sido planeado todo ha sido

fundamentado desde el punto de vista de la teoría de

las situaciones didácticas, ¿de acuerdo? Todo ha sido

planeado desde ese punto de vista.

El representante principal el representante principal

de esta teoría

El profesor se

desplaza

hacia el

tablero y

toma un

marcador


411

[2] p El representante principal de esta teoría es Brousseau.

Quien plantea toda una secuencia para hacer

montajes de situaciones a partir de ciertos elementos

y nosotros vamos a utilizar esa teoría para hacer la

introducción de la utilización del software en la

demostración de las propiedades de la geometría

empírica. Bien entonces vamos a ver cómo funciona

esa teoría de las situaciones didácticas según

Brousseau y que últimamente ha sido retomada por

un autor que se llama Pier Lavander quien habla muy

bien de esto y lo enfoca también mucho al uso de las

nuevas tecnologías, lo enfoca primordialmente al

software no solo para la geometría sino para el

cálculo y para muchas otras ramas de la ciencia,

entonces ellos plantean la situación de la siguiente

manera

Guy Brousseau Escribe en el

tablero y

mientras

tanto llega un

nuevo

estudiante a

la clase y se

sienta.

posteriorment

e el profesor

habla

[3] p Ellos en primer lugar hablan de una interacción entre

el sujeto y el medio,

Entre el sujeto y el medio , la interacción se da sin

ninguna intención de aprender algo ni de enseñar

algo, cuando esa interacción se da de esa manera sin

esa intención de aprender o enseñar algo ellos lo

llaman una situación… una situación adidáctica ,

ellos lo llaman una situación adidáctica, es

simplemente una interacción, una interacción que se

da cotidianamente en por ejemplo en ustedes y los

elementos del entorno

Sujeto medio Escribe en el

tablero, pausa

de silencio

mientras

escribe en el

tablero

[4] p No hay una situación, no hay una situación una idea

de aprender algo pero están interactuando con el

medio y luego de esa interacción con el medio

quedarán algunos elementos y esos elementos son

conocidos como el saber y el saber es algo que

ustedes tienen y que es algo impersonal y

descontextualizado entonces Guy Brousseau habla

sobre la manipulación de esos elementos que hay

ahí. Entonces, para que esa situación se transforme y

tenga realmente un sentido…necesitamos que

intervenga el docente, que intervenga el maestro,

interviene el maestro y el maestro interviene

modificando y manipulando el medio. En lo que

nosotros estamos haciendo entonces cual es el medio

en donde interviene el maestro y cuál es la

interacción, pues el maestro obviamente… el medio

en este caso es el software que estamos utilizando , el

maestro interviene el medio lo modifica, lo manipula,

reconoce dentro de ese medio todas las restricciones

y potencialidades, , reconoce dentro de ese medio

todas las restricciones y potencialidades y va con ese

reconocimiento a la manipulación del medio,

entonces le plantea un problema al sujeto, le plantea

una situación problema y de esa manipulación que se

da con todo el medio a partir de todos estos

elementos y de las manipulaciones se produce lo que

se conoce ahora como una situación… didáctica.

Una situación didáctica en donde interviene el saber

Llega un

nuevo

estudiante a

la clase y se

sienta

Escribe en el

tablero

Muestra el

gráfico que

está


412

Se puede observar que el profesor es el que tiene el uso de la palabra con pequeñas

intervenciones de los estudiantes, es decir que prima una discusión común en el aula (Loska,

1998); así mismo, se le da mucha importancia a la transmisión de la información, el profesor

hace una exposición tipo conferencia (Schwarz, et al, 2004), lo que está acorde con los

patrones, afirmativo (Sierpinska, 1996) y con el transmisionista (Villalta y Martinic, 2009).

Lo anterior se evidencia en [1] a [4], (TrJ2).

Se identificaron como los patrones de interacción comunicativa clásicos del docente

en su primera fase, los siguientes: la pregunta corta por parte del docente, las autorespuestas

del profesor, las aclaraciones y explicaciones cortas del docente, explicación amplia del

profesor y respuesta corta por parte del docente. Una forma de mostrar el flujo de

participación en el aula, se presenta a continuación, cambiando el patrón de interacción por

el autor del mismo, ya sea el docente o el estudiante. Para ello, se plantean las interacciones

de la primera clase del docente Juan.

del estudiante , interviene el saber, el saber se

reconoce como el saber sabio, todos tenemos un

saber distinto, y vamos a hacer uso de ese saber, uso

de ese saber para lograr un conocimiento. Para

lograr un conocimiento, cuando el estudiante a través

de toda esta situación didáctica puede pasar del saber

sabio al conocimiento, el conocimiento ya es personal

y contextualizado. Ya lo interioriza, lo relaciona con

situaciones concretas, bien ya es personal y

contextualizado, este proceso que se realiza en la

transición del saber a conocimiento se le llama una

institucionalización. Y ¿cómo se va a dar todo esto?

¿cómo se va a dar la transición entre el conocimiento

y el saber? Bien. El maestro ha modificado el

medio, ha puesto una situación problema, el sujeto

interactúa con ese medio donde logra modificarlo

para lograr el conocimiento que se quiere.

elaborando,

va manejando

el gráfico a

medida que

habla

.


413

Tabla 80. Flujo de participación de la primera clase.

Configuración Interacciones Flujo de participación Total

1

Ant, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Pm, ric, A,

Pc, ric, O, ric, A, Pc, ria, Pc, Ar,

Pc, Ar, A, Pc, A, Pc, A, Pc, ric, Ap,

A, Pc, ric, R, Pc, Ar, Pc, ric, Pc,

ric, A, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Pc, ric,

ric, Pc, Ar, Pc, pc, Rc, Pm, ric, R,

Pc, Ar, E.

P, P, P, P, P, P,P, e, P, P, e, P, e,

P, P, e, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P,

e, P, P, P, e, P, P, P, P, e, P, e, P,

P, P, P, P, P, P, e, e, P, P, P, e, P,

P, e, P, P, P, P.

P = 46

e = 12

2

Ant, Pa, ric, Pa, Ar, E, ap, Pa, ria,

Pc, ric, E, Pc, ric, E, Pc, ric, R, Pc,

ric, R, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, E, pc,

E, Pc, Ar, E, Pc, A, Pm, ic, E, Pc,

Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ria, E, Pc, Ar,

E, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ric, A,

Pc, Ar, A, Pc, ric, E, Pc, Ar, A, Pc,

ric, E.

P, P, e, P, P, P, e, P, e, P, e, P, P,

e, P, P, e, P, P, e, P, P, P, P, P, P,

e, P, e, P, P, P, P, P, P, P, e, P, P,

P, P, P, e, P, P, e, P, P, P, P, P, P,

P, P, e, P, P, e, P, P, P, P, P, e, P,

P, P, P, P, e, P.

P = 55

e = 16

3

Ant, D, Pm, Ant, D, Pnt, ric, D, A,

Pa, A, Pc, ric, Ap, Pm, Ar, Pm, Ar,

Pm, A, E, Pc, ric, Pc, ric, Pm, ria,

A, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E,

Pc, Ar, Pc, ria, O, ric, An, Pc, Ant,

Pc, Ar, O, Pc, ric, Ap, O, Ant, Pc,

ric, Ant, Pm, Ant, Pc, Ar, pc, Ra,

ia, A, Ant.

P, P, P, P, P, P, e, P, P, P, P, P, e,

P, P, P, P, P, P, P, P, P, e, P, e, P,

e, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P,

P, e, P, e, P, P, P, P, P, P, P, e, P,

P, P, P, e, P, P, P, P, P, e, P, e, P,

P.

P = 55

e = 11

4 E, Pm, Ar, E, Ant. P, P, P, P, P. P = 5 Fuente: elaboración propia. P: profesor e: estudiante.

Se evidencia el protagonismo del docente y las pocas intervenciones de los estudiantes

(39), de las cuales 33 corresponden a respuestas de preguntas realizadas por el profesor, lo

anterior implica por sus características de participación, que es una clase magistral (Godino,

Contreras y Font, 2006), y por estar centrada en el docente es tradicional-tecnológica (Porlán,

1995).

En la segunda fase, las configuraciones fueron consideradas dialógicas (Godino,

Contreras y Font, 2006), se infiere una clase participativa, donde se privilegia el diálogo y el

consenso, lo cual implica que es no tradicional-tecnológica (Porlán 1995). Adicionalmente, se

pueden analizar los patrones de interacción desde diversos autores. En esta aula se incentiva

al estudiante para que pregunte, y de alguna manera en un lapso de tiempo asumen el control

de la clase, especialmente cuando se realiza trabajo en grupo (Wood, 1999); se ve también que

por momentos la autoridad del docente es reemplazada por el relator del grupo o por el alumno


414

más aventajado en matemáticas que esté en el grupo (Alrø y Skovsmose, 2002). El rol del

profesor cambió con respecto al asumido en la primera fase, convirtiéndose en un orientador

y generador de ambientes de aula (Ponte, Oliveira, Cunha y Segurado, 1988). Lo anterior se

evidencia en el siguiente fragmento de transcripción de la tercera clase de Juan (Tr3J)

[15] Est 3 No hay que pasar las operaciones, ¿cierto que no? solo las tablas.

[16] Est 2 No sé, pregúntale al profesor.

[17] Est 1 ¿Qué dice la hoja?

[18] Est 3 Redacte las conclusiones.

[19] Est 2 En este...como ves debo hacer una caja, con una base cuadrada...

[20] Est 1 Este qué dice...

[21] Profesor ¿Cuál? (hace lectura rápida y entrecortada)...entonces decimos que: este es X

entonces digamos que este pedazo de aquí hasta aquí, vendría siendo A menos dos X,

sería este pedazo, este y este.

[22] Est 2 No, es que dice en términos de X

[23] Profesor Por eso...realizo una tabla de valores para la función, realiza un cálculo aproximado

de la función; es la gráfica ¿cierto?

[24] Est 1 Ah, yo dije que no volvía a hacer gráfica, ¿así que miren a ver cómo las hacen?

[25] Profesor ¿Van a hacer gráfica?

[26] Est 1 Sí, pero...

[27] Profesor Si es que la distancia...la idea es que no alcancé a sacarlos, que era darles la

tarjetica...yo por ejemplo a ustedes les voy a dar...que esto acá la tarjetica tiene una

medida de seis centímetros.

[28] Est 4 Ah, ok; ¿pero no nos da la medida X? o sea...

[29] Est 3 Tenemos que hallar la medida X...acerque la regla por favor...

[30] Est 1 Yo no la tengo.

[31] Est 3 Él dice seis centímetros, ¿sí? un centímetro, dos centímetros, dos cuatro, cinco, seis...

[32] Est 4 Acá abajo cabe eso, si son seis centímetros, entonces toca darle...entonces ya valdrían

cuatro...

[33] Est 3 Entonces aquí sería seis centímetro, menos el valor de X.

[34] Est 4 Dos X.

Igualmente, las preguntas del profesor buscaban el desarrollo de una buena

comunicación y aclarar dudas, para que hubiera más fluidez en el análisis que estaban

haciendo los estudiantes (Menezes, 1995), [21], [23], [25] y [27]. La estructura de las clases

tercera y cuarta de Juan, presentan un trabajo inicial en grupos, para luego realizarse una

socialización, la cual es apoyada por el docente, lo que se ajusta al patrón de discusión (Voigt,

1985) y al de focalización (Wood, 1994, 1998). Lo que se buscó con facilitar la interacción

entre los estudiantes, fue darle sentido a los conocimientos personales de los estudiantes, es

decir, el aula se puede asociar a un patrón dialógico (Peressini y Knuth, 1998); igualmente

se puede asociar con un patrón contributivo y reflexivo (Brendefur y Frykholm, 2000), estas


415

características se puede observar en el siguiente fragmento de transcripción, correspondiente

a la cuarta clase de Juan (Tr4J).

[6] Estu1 Uy, mírala cómo quedó, mira como quedó...y esto...si lo entiende?...

[7] Estu2 Cómo te dio, no te dio?...hice dos tres...qué valores tiene...cuando vale uno, vale dos,

menos dos, aquí dos, sí falta uno, es que aquí le hicieron falta...cuando vale dos, dos

menos tres...?

[8] Estu3 No, es que puedes sumar las que quieras...

[9] Estu2 Cuando vale dos, dos menos tres menos uno...?

[10] Estu3 Puede ser, pero qué cuáles tres, no sea así, ahí está bien; pero esa sale...dos más raíz

cuadrada de dos, cuánto te da? dos punto cuatro...

[11] Estu2 Qué pasó? quedó mal?

[12] Estu1 Sí, ahí está bien...el borrador qué lo hicieron?

[13] Estu3 Me hizo pasar toda esta ficha para nada...

[14] Estu2 Ya me iba hacer cambiar todo (grosería).

[15] Estu1 Cuando vale el uno, vale dos?

[16] Estu2 Sí. Cuando vale dos, vales dos coma cuatro.

[17] Estu1 Ya, no lo tenía todo mal; la de dos punto cuatro si tiene tabla de valores? son dos tablas de

valores. Venga a ver yo cuál estoy haciendo?

[18] Estu2 Cuál es el dos coma cuatro?

[19] Estu1 Espérame que lo estoy haciendo...

[20] Estu2 X, menor que menos uno? será que así se entiende? o estará por líneas acá...

[21] Estu1 Yo a esa clase no vine.

El profesor planteó un taller donde su desarrollo era libre para los estudiantes, dejando

abierta la discusión y permitiendo llegar a múltiples conclusiones, es decir aplicó la discusión

natural (Loska, 1998). El objetivo de los estudiantes fue comprender las ideas de los demás,

refutar y argumentar las mismas, plantear nuevas propuestas, es decir se utilizó el diálogo

crítico (Schwarz, et al, 2004), lo que corresponde a un patrón interrogativo (Sierpinska,

1996). Lo que se vivió en el aula fue un proceso de razonamiento entre profesor y estudiantes

buscando promover aprendizajes (Velasco, 2007). Lo anterior se evidencia en las líneas

siguientes (TrJ4).

[181] Profesor Ojo primero que necesitan ustedes para poder aplicar… por ejemplo ella en el eje

vertical.

[183] Est5 Aquí t como dice que va en función de t, entonces t pequeña entonces iría aquí en

función de X

[184] Profesor Esa t pequeña que significa

[185] Est5 Tiempo y esta sería la temperatura, para graficar seria tendríamos que... pues

digamos si el tiempo …

[186] Profesor Ojo lo que dice el compañero es importante sobre todo en el ejercicio séptimo que

necesitaban hacer cambios de escala ¿cierto?


416

[187] Est7 Digamos que es.... de temperatura 58

[188] Profesor En la representación gráfica como tendría que tomar las unidades, la escala que toma

en el eje Y de cuanto tendría que sumar por ejemplo

[189] Est6 De 10

[190] Profesor De 10 en 10 listo

[191] Est5 ¿No más?

[192] Profesor ¿De a cuánto?

[193] Est4 Yo diría de 10 en 10 entonces seria X, X a Y, entonces aquí seria T y si T vale 0

entonces la temperatura seria 88

[[194] Profesor Aproximados

[195] Est7 Si el tiempo vale 2 la temperatura seria 57 si vale 4 entonces seria 63

[196] Profesor ¿Escuchamos?

[197] Est6 si vale 6 seria 71 si vale 8 seria... aquí volvería a quedar en el mismo nivel y

quedaría 2 y si vale 12 valdría 61

[198] Profesor ojo acá lo siguiente, solo ya están solamente los puntos ubicados cierto, listo, por

ejemplo compañero Est 8 esta listo?, ojo con lo siguiente ya la compañera nos ubicó

por lo menos los puntos cierto traza como quedaría la gráfica aproximada de esa, de

acuerdo con esos datos.

[199] Est9 (gráfica en el tablero)

[200] Profesor Bien ojo un momento, un momento por ejemplo en el tiempo en el espacio entre las

2 primeras horas es posible que por ejemplo que la temperatura se haya bajado por

ahí a unos 40 grados, es posible que la temperatura se haya bajado por ejemplo en la

primera hora haya bajado en los 40 grados

[201] Est 7 Si profesor

[202] Est9 Da 58

A continuación, se muestra el flujo de participación en la tercera clase del profesor,

cambiando el patrón de interacción por el autor del mismo, ya sea el docente o el estudiante.

Tabla 81. Flujo de participación de la tercera clase.

Configuración Flujo de participación Total

1 P, e, P, P, e, e, e, e, P, e, P,e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e,

P, P, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e.

P = 9

e = 47

2 e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,

e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,

e, e, e, e

P = 0

.e = 62

3 P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,


e, e.

P = 1

e = 59

4 P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, e, e, e, e, e,


e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,

P = 2

e = 73

5 e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,


e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e.

P=0

e =81

6 P, P, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,

e, e,

P = 3

e = 28 Fuente: elaboración propia. P: profesor e: estudiante.


417

Se evidencia ahora el protagonismo del estudiante y las pocas intervenciones del

docente, lo anterior implica por sus características de participación, que es una clase

dialógica (Godino, Contreras y Font, 2006).

En la segunda fase, los patrones de interacción comunicativa propios del docente

después de participar en el grupo de trabajo colaborativo, son los siguientes: opinión del

estudiante respecto de un tema matemático, pregunta corta del estudiante a sus compañeros,

respuesta del estudiante, individual y corta, aclaración no temática del estudiante, Pregunta

corta del profesor dirigida a todo el grupo y Aclaración temática corta del estudiante. Se

observa que todas las interacciones corresponden a acciones del estudiante, excepto la

pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo, que se dio justamente en la socialización,

lo cual implica que el eje de la clase es el estudiante.

Se destaca que hay un cambio de patrones de interacción comunicativa, el profesor

pasa de tener unos patrones centrados en el profesor a unos centrados en el estudiante. En la

primera fase el promedio de participación de los estudiantes en las dos clases fue de 35,76%,

resalta el protagonismo del docente en el desarrollo de las mismas, es decir se trata de un

aula absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), lo cual es propio de una metodología tradicional

– tecnológica (Porlán, 1995).

En la segunda fase, el promedio de participación de los estudiantes en las dos clases

fue de 81.7%, se destaca el protagonismo del estudiante en el desarrollo de las mismas, es

decir se trata de un aula donde el estudiante en algunos momentos asume el control de la

clase (Wood, 1999), lo cual es propio de una metodología no tradicional - tecnológica. Lo

anterior refleja la participación en tiempo de las clases de Juan; cambia de una clase donde

el que más participa es el docente, a una donde se prioriza la participación del estudiante.


418


Se realiza un análisis comparativo de las dos fases en cada subcategoría.

En lo que se refiere a los modelos explicativos de comunicación, en la primera fase, la

clase de Juan se basa en la transmisión de contenidos, es unidireccional, el profesor es quien

propone las tareas y las desarrolla, por ello, el modelo explicativo predominante es el modelo

lineal (Shanon, 1949; cit. Dins Winkin, 1994). Se desarrollaron ejercicios o problemas con

el mismo patrón buscando que los estudiantes mecanizaran la temática a trabajar, allí estuvo

presente el modelo sistémico (Bertalanffy, 1950). Adicionalmente, se mostró que en estas

clases se manejan algunas normas que permiten el buen desarrollo de las mismas, en cuanto

a ejecución, es decir, hay regulación, por lo cual y en este aspecto está presente el modelo

orquestal (Marc y Picard, 1992).

La clase del profesor en la segunda fase se caracterizó por lo siguiente; inicialmente el

trabajo en pequeños grupos, buscando facilitar la confrontación de saberes, los cuales fueron

socializados en gran grupo en la parte final de la clase. También es de destacar que hubo

acciones y retroacciones al presentarse las interacciones entre los estudiantes e igualmente

se destacaron normas de clase, que permitieron el desarrollo de las mismas. Por lo anterior,

se considera que se trabajó con el modelo orquestal de comunicación, y que se aplicaron los

tres principios que enfoca este modelo: el principio de la totalidad, el principio de la

causalidad circular y el principio de regulación (Marc y Picard, 1992). Como se puede

observar, el profesor pasa de un modelo explicativo de la comunicación básicamente lineal,

con pocas componentes de los modelos sistémico y orquestal, a un modelo explicativo

orquestal, es decir hay una mejora sustancial en la comunicación de su clase.

En cuanto a la clasificación de la comunicación, en la primera fase, la comunicación

se desarrolló en una dirección (unilateral), orientada hacia los estudiantes (colectiva y

abierta), el medio de comunicación fue el lenguaje (lingüística), se utilizó simbología

matemática (extralingüística); se sujeta a un patrón de clase definido, el tradicional


419

tecnológico (formal), se da de docente a estudiante (vertical) y en cuanto al canal, la

comunicación es audio visual y directa (Niño, 1998).

La segunda fase, se diferencia de la primera, en cuanto a la participación, la

comunicación es recíproca, se presentaron cambios de roles; interpersonal, pues hay

permanente interrelación entre los estudiantes; básicamente horizontal ya que priman las

interacciones entre estudiantes (Niño, 1998). Se identifican cambios significativos

especialmente en lo referente a la participación, se pasó de unilateral a recíproca, y de vertical

a horizontal.

En los signos no se presentaron cambios en las dos fases. Se utilizaron símbolos, con

muy pocos casos de íconos (Peirce, 1974); estos símbolos se trabajaron ubicados en un

contexto y en relación con otros símbolos (Saussure, 1995). Igualmente en las clases se

utilizaron los códigos lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos como

sustitutos del lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).

En su primera fase, en la clase el profesor utilizó la comunicación para evitar la

indisciplina de sus estudiantes, y para facilitar el aprendizaje de los conceptos matemáticos

de los mismos, es decir, como medio para percibir el avance o las dificultades de los

estudiantes y como medio de control (Ponte et al. 2007). Sin embargo, en la segunda fase,

el docente sólo utilizó la comunicación para promover aprendizajes (Ponte et al. 2007), es

decir, al ser una clase participativa, el control de la clase se dio de manera natural, ya que

los estudiantes se concentraron en discutir y avanzar sobre el desarrollo de la temática.

En la fase inicial, de acuerdo con el contrato didáctico (Brousseau, 1988), se pudieron

identificar algunas normas de la clase: el profesor es el que propone los ejercicios y utiliza

el tablero; el profesor debe desarrollar los problemas que propone; el profesor debe explicar

cómo se soluciona un determinado tipo de problema; el estudiante debe contestar las

preguntas cortas del profesor; el profesor es quien decide qué se debe trabajar en la clase, en

este caso el que propone el problema a solucionar; siempre que se haga una parte de la

construcción hay que hacer click para validarla; todos deben iniciar a trabajar al tiempo.


420

En la segunda fase también se detectaron normas de clase, entre otras las siguientes:

el estudiante debe confrontar las ideas de los compañeros; hay que llegar a consensos entre

los miembros del grupo; hay que entregar un informe por cada grupo al finalizar la sesión;

hay que ir llevando una ficha para poder entregar el informe al final. Se observa que se

cambia de unas normas que se centran básicamente en el docente, a unas que tienen que ver

con la relación docente-estudiante y estudiante-estudiante.

En la siguiente tabla se presentan las configuraciones didácticas (Godino, Planas y

Font, 2010) y a qué modo de comunicación pertenecen (Brendefur y Frykholm, 2000).

Tabla 82. Modos de comunicación.

Configuración

Clase

Primera Segunda Tercera Cuarta




4 Unidireccional Reflexiva Reflexiva Reflexiva

5 Reflexiva Reflexiva Reflexiva

6 Reflexiva Fuente: elaboración propia.

Se observa que la mayoría de las configuraciones de las dos primeras clases son de

tipo comunicativo unidireccional, las interacciones planteadas todas son del actuar del

docente, con muy pocas del estudiante y en tal caso de forma corta, como ya lo habíamos

mencionado anteriormente. En la segunda fase (clases tercera y cuarta), como se puede deducir

de la tabla anterior, el tipo de comunicación de la clase del profesor es reflexiva (Brendefur y

Frykholm, 2000). Es decir esta clase es de tipo básicamente dialógico, lo cual implica una clase

teniendo como eje al estudiante, es decir, no tradicional-tecnológica.

El docente Juan pasa de un modo de comunicación unidireccional a uno reflexivo, pasa de

un tipo de clase magistral a dialógica (Godino, Contreras y Font, 2006); es decir, mejora su modo

de comunicación y su tipología de clase.

Capítulo 8. Conclusiones

Se presentan las principales conclusiones a las que se ha llegado, una vez culminada

esta investigación, al igual que sus limitaciones, posibilidades de ampliación y divulgación

que hasta el momento se ha realizado de los resultados. Las conclusiones provienen de un

estudio de caso, específicamente del análisis didáctico realizado a clases de matemáticas de

dos profesores que participaron en un grupo de trabajo colaborativo, buscando mejorar sus

prácticas pedagógicas. Aunque los resultados del estudio de caso no pueden ser

generalizados, se considera que pueden brindar elementos para que profesores de

matemáticas (re)signifiquen sus prácticas profesionales, especialmente en lo relacionado con

los patrones de interacción comunicativa y la comunicación en sí.

Una de las conclusiones fundamentales de la investigación es que, al finalizar la labor

con el grupo de trabajo colaborativo, los docentes lograron (re)significar sus prácticas

profesionales, pues pasaron de una tipología de clase tradicional- tecnológica (centrada en

el docente) a una no tradicional-tecnológica (centrada en el estudiante), es decir, el docente

pasó de presentar características unidireccionales a reflexivas. Así mismo, también lograron

(re)significar los patrones de interacción comunicativa, donde en la primera fase se

presentaron patrones de interacción comunicativa centrados en el profesor, para pasar a unos

centrados en el estudiante.

Conclusiones en base a los objetivos propuestos

A continuación se presentan las principales conclusiones derivadas de cada objetivo

propuesto en esta investigación.

En el primer objetivo se pretendió caracterizar los modelos de clase de profesores de

la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC. Con la información analizada se pudo concluir

lo siguiente:

422

La gran mayoría de los docentes (54%) del estudio inicial (profesores de la

Licenciatura en Matemáticas) programa sus clases basándose en objetivos operacionales,

pues buscan una planeación bien completa, evalúan mediante la aplicación de pruebas

objetivas planteadas especialmente a manera de guías, consideran que el aprendizaje ocurre

mediante un proceso progresivo de asimilación de conceptos. De acuerdo con lo anterior, las

características de estos profesores se asocian con una tendencia didáctica tradicional-

tecnológica.

En los dos cuestionarios complementados con la entrevista no estructurada, se pudo

establecer que la tendencia hacia la cual se aproximan la gran mayoría de los docentes, el

28% en el cuestionario 1, y el 54% en el cuestionario 2, es hacia la tendencia tradicional-

tecnológica. En todos los casos se observó que definitivamente ningún docente se aproxima

a una sola tendencia didáctica, sino que los docentes poseen rasgos de varias tendencias, sólo

que sí hay una que prima, en la gran mayoría la tradicional-tecnológica.

Igualmente, sobresale la orientación de los docentes hacia la tendencia tradicional-

tecnológica, en algunas categorías de los mencionados instrumentos, como: objetivos,

significado de la temática, importancia del contexto, dificultades en el aprendizaje, medios

educativos, formas de enseñanza de una operación y su inversa, criterio personal o

institucional para solucionar problemas.

El uso de los medios educativos está acorde con la tendencia didáctica del docente. Por

ejemplo, los profesores que se ubican en tendencias tradicionales utilizan básicamente el

tablero o proyectores como el video beam, en reemplazo de aquel. Otros docentes menos

tradicionales, utilizan la plataforma moodle que tiene la Universidad para diferentes

actividades con sus estudiantes, al igual que paquetes informáticos dentro de sus clases,

como Derive, Cabri, Geogebra y otros, teniendo claro que son mediadores.

En cuanto al segundo objetivo, identificar los patrones de interacción comunicativa

de algunos profesores de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, a partir del análisis

didáctico de sus clases; es importante resaltar la forma como se lograron analizar los

423

patrones de interacción comunicativa. En primer lugar se dividió la clase en configuraciones

didácticas de acuerdo a como lo asume el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición

Matemática, y posteriormente se realizó el análisis de los patrones emergentes de cada

configuración, para luego cruzar la información de las diferentes configuraciones.

Con la información analizada se pudo concluir que las dos clases de Juan se

distribuyeron en 4 y 5 configuraciones didácticas, lo cual muestra su tendencia a realizar un

desarrollo temático prudente para una sesión de clase; mientras que las dos clases de

Fernando se distribuyeron en 8 configuraciones didácticas, lo cual señala un desarrollo

temático demasiado ambicioso, son muchas tareas para la sesión de clase. La totalidad de las

configuraciones de las clases de los dos docentes fueron catalogadas de tipo magistral

(Godino, Contreras y Font, 2006). De lo anterior se concluye que se trata de una clase

centrada en el docente, es decir, de tipo tradicional-tecnológica.

Se determinó una identificación amplia de los patrones de interacción comunicativa de

cada docente, los cuales se plasman en las tablas 23 y 58, que muestran interacciones basadas

en el actuar del docente; lo que permite plantear una primera aproximación para identificar

una clase tradicional tecnológica con base en sus patrones de interacción.

Se identificaron como acciones de interacción comunicativa propias de Fernando y

Juan, las siguientes: la pregunta corta por parte del docente; las autorespuestas del profesor;

las aclaraciones y explicaciones cortas del docente; explicación amplia del profesor; y

respuesta corta por parte del docente. Las anteriores interacciones nuevamente muestran

unas clases centradas en el docente, lo que está acorde con los patrones de interacción de

diversos autores evidenciados en esta primera fase, patrón de interacción cíclico (Lampert y

Cobb, 1996), diálogo triádico (Lemke, 1985), enfoque de introducción, trabajo y conclusión-

revisión (Mehan, 1982), patrón de extracción (Voigt, 1985), del embudo y tradicional (Wood,

1994, 1998), aula univocal, (Peressini y Knuth, 1998), patrón unidireccional (Brendefur y

Frykholm, 2000), discusión común (Loska, 1998), exposición tipo conferencia (Schwarz, et

al, 2004), patrones afirmativo (Sierpinska, 1996) y transmisionista (Villalta y Martinic,

2009); todos los patrones anteriores se caracterizan porque el eje del proceso es el docente.

424

El promedio de participación de los estudiantes en las clases de Juan fue de 35,76%, y

en las de Fernando de 13.49%; donde se puede destacar el protagonismo de los docentes en

el desarrollo de las mismas, es decir se trata de un aula absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002),

lo cual es propio de una metodología tradicional - tecnológica.

En cuanto al tercer objetivo, identificar elementos de la práctica pedagógica de

algunos profesores de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, en especial de la

comunicación, susceptibles de ser replanteados, es de aclarar que el análisis didáctico se

hizo desde los criterios del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática, por lo cual

se presentan a continuación los resultados de la primera fase, desde las idoneidades

didácticas.

Con la información analizada se pudo concluir que en la primera clase, coincidieron

los dos docentes en que las idoneidades más bajas son la interaccional y la epistémica,

mientras que en la segunda, la interaccional; en promedio las más bajas de Juan son la

interaccional y la ecológica, mientras que para Fernando la interaccional y la mediacional,

pero la idoneidad crítica a desarrollar por parte de los docentes fue la idoneidad interaccional.

A continuación, se presenta más en detalle los aspectos por desarrollar de acuerdo con cada

idoneidad.

Faceta epistémica. (Porcentaje de logro, Fernando 59,7% y Juan 68,2 %). No se

propusieron en la clase situaciones que permitieran generar problemas, en este caso el

docente planteó todos los problemas a trabajar por parte del estudiante. Igualmente, no se

formularon situaciones donde los alumnos tuvieran que generar o negociar procedimientos,

definiciones o proposiciones. Tampoco actividades donde el alumno argumentara, las

explicaciones estaban a cargo del docente. Así mismo, no se privilegió el uso de diferentes

significados de los objetos identificados en las prácticas matemáticas.

Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro para los dos docentes 66,6%). No se mostró o

identificó alguna forma que propusieran los docentes como evaluación de los procesos y

425

prácticas, que señalara entre otros aspectos la comprensión conceptual y proposicional, el

avance en las competencias comunicativa, argumentativa y metacognitiva, y la comprensión

situacional. Como no hubo evaluación, no se pudo determinar si en ella se tienen en cuenta

los distintos niveles de comprensión y competencia por parte del estudiante, al igual que si

los resultados de esta evaluación se usan para tomar decisiones.

Faceta afectiva. (Porcentaje de logro para los dos docentes 66.6 %). Aunque en la

clase se propone la resolución de problemas, no se tuvieron en cuenta situaciones de contexto

que permitieran vislumbrar la utilidad de la matemática en la vida cotidiana y profesional.

No se promovió la participación en actividades, la perseverancia, responsabilidad, entre

otros.

Faceta interaccional. (Porcentaje de logro Fernando 15,7% y Juan 29,1 %). No hubo

observación sistemática del progreso del estudiante. Toda la responsabilidad de la clase la

asumió el docente, por lo tanto, no se detectaron momentos de autonomía del estudiante, el

cual tuvo poca participación, lo que no facilitó la comunicación en el aula. No hubo variedad

de recursos argumentativos y retóricos, no se le dio mucha importancia a los argumentos de

los estudiantes, por lo cual no se llegó a consensos sino que primó la posición del profesor.

No se plantearon situaciones para solucionar conflictos de los estudiantes.

Faceta mediacional. (Porcentaje de logro Fernando 49,95% y Juan 72,15 %). No se

utilizaron materiales manipulativos para facilitar el aprendizaje de los conceptos de la clase.

No se usaron formas para contextualizar las definiciones y propiedades de la clase. El tiempo

no fue adecuado para la temática, pues ésta era muy extensa; no se le dedicó tiempo especial

a alguno de los contenidos por considerarlos más importantes o de más difícil comprensión.

Faceta ecológica. (Porcentaje de logro Fernando 60% y Juan 65%). No se presentan

aspectos que tengan que ver con la innovación, producto de la investigación y la práctica

reflexiva. No se vio de forma explícita que los profesores hicieran énfasis en la formación

en valores democráticos y el desarrollo del espíritu crítico de los estudiantes. No hay

integración de nuevas tecnologías en el proyecto educativo.

426

Respecto a la comunicación. Dado que las clases se basaban fundamentalmente en la

pretendida transmisión de contenidos, el protagonismo lo tuvo el docente y es quien proponía

las tareas, de las cuales la gran mayoría desarrollaba, se considera que el modelo explicativo

predominó en las clases de los profesores, es un modelo lineal o matemático (Shanon, 1949;

cit. Dins Winkin, 1994). También tienen parte del modelo sistémico en lo referente a la

retroalimentación (Bertalanffy, 1950), siempre desarrollaban varios ejercicios o problemas

con el mismo patrón, buscando que los estudiantes mecanizaran la temática a trabajar.

También se mostró que en estas clases se manejaban algunas normas que permitían el

desarrollo usual de las mismas en cuanto a regulación se refiere, por lo cual se debía tener

en cuenta también el modelo orquestal (Marc y Picard, 1992).

Por la participación, la comunicación fue unilateral, ya que se desarrolló en una

dirección; colectiva y abierta, el docente se dirige a un público que son los estudiantes; es

lingüística, el medio natural de comunicación es el lenguaje, con apoyo de códigos

paralingüísticos; también es extralingüística, se emplean códigos distintos a la lengua

natural, como la simbología matemática; es formal, se sujeta a un patrón de clase definido,

el tradicional. En cuanto al canal, la comunicación es audio visual y directa; vertical, ya que

se da de docente a estudiante, con poca participación del estudiante (Niño, 1998).

En estas clases se utilizaron especialmente los símbolos y en menor escala los íconos

(Peirce, 1974). Los símbolos se manejaron en relación con otros símbolos y ubicados en un

contexto, el profesor siempre intentó utilizarlos con significado (Saussure, 1995).

Igualmente, Se usaron los códigos lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos

como sustitutos del lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).

Se consideró la comunicación en esta primera fase, como medio para percibir el

avance o las dificultades de los estudiantes y como medio de control (Ponte et al, 2007). El

profesor utilizó la comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes, y para facilitar

el aprendizaje de los conceptos matemáticos de los mismos. De acuerdo con el contrato

didáctico (Brousseau, 1988), en las clases se pudieron identificar algunas normas, como las

427

siguientes: El profesor es quien propone los ejercicios y utiliza el tablero; el profesor debe

desarrollar los problemas que propone; el profesor es quien explica cómo se soluciona un

determinado tipo de problema; el estudiante debe contestar las preguntas cortas del profesor;

el profesor es quien decide qué se trabaja en la clase, en este caso el que propone el problema

a solucionar; todos deben iniciar a trabajar al tiempo. Como estos casos hay varios dentro

de las sesiones de clase y se encuentran en su respectivo análisis.

En las clases, se analizaron las configuraciones didácticas (Godino, Planas y Font,

2010) con las interacciones y de acuerdo a ellas a qué modo de comunicación se aproximaban

los docentes (Brendefur y Frykholm, 2000). Se pudo deducir que la comunicación típica de

ellos fue la unidireccional, ya que todas las configuraciones de Fernando y casi todas las de

Juan (excepto dos) son de este modo de comunicación. Las interacciones planteadas fueron

del actuar del docente, con muy pocas participaciones del estudiante y en tal caso de forma

corta, lo aclara el hecho de que el promedio de participación del estudiante en la clase es

muy bajo (13,49% en la clase de Fernando y 35,76% en la de Juan).

El cuarto objetivo se refiere a caracterizar la (re)significación de las prácticas

docentes de los profesores participantes en el grupo colaborativo, mediante el estudio de su

participación en el grupo y el análisis didáctico de clases posteriores. A continuación, se

realizará un análisis por cada una de las categorías, teniendo en cuenta las clases después de

que el docente participó en el grupo de trabajo colaborativo (segunda fase), con el fin de

identificar factores que fueron (re)significados por el profesor, con respecto a sus prácticas

en la clase de matemáticas. En primer lugar, se hace referencia al análisis didáctico de clases.

El docente Juan mejoró en todas las idoneidades, las más bajas son la cognitiva,

interaccional y mediacional, pero no a nivel crítico, ya que las tres están valoradas con 75%.

En cuanto al docente Fernando la idoneidad más baja es la epistémica seguida por la

mediacional, con 70% y 72% respectivamente. Se resalta que para los dos docentes se

presenta (re)significación en todas las idoneidades, especialmente hay que destacar que la

idoneidad interaccional dejó de ser punto crítico.

428

A continuación, se presenta el análisis por idoneidad.

Idoneidad epistémica. En cuanto a las situaciones-problema, los profesores

propusieron situaciones de ejercitación y aplicación de conceptos, sin embargo aunque se

plantearon problemas, no permitieron la generación de éstos por parte de los estudiantes;

así mismo, el uso del contexto en la problematización no es usual, al igual que abordar los

diferentes significados de los conceptos. Estos aspectos se presentaron en las dos fases, razón

por lo cual quedan como criterios por desarrollar. En los lenguajes, los docentes poseen

fortalezas en la adecuación del lenguaje a nivel universitario y en el uso de diferentes modos

de expresión, lograron (re)significar lo pertinente a plantear actividades de interpretación y

expresión matemática. En las reglas, se hizo un buen planteamiento de definiciones y

procedimientos, adaptándolos al nivel universitario; se propusieron situaciones de

generación y negociación de conceptos, aspecto que se logró (re)significar. En los

argumentos, se perfeccionó en que el profesor propuso situaciones donde el alumno tenía

que argumentar, mediante el trabajo en grupo y la socialización. En las relaciones, quedó

como aspecto por mejorar, el abordar los distintos significados de los objetos matemáticos,

a pesar de que se establecieron relaciones entre ellos.

Idoneidad cognitiva. En cuanto a los conocimientos previos, este factor se considera

una fortaleza de los docentes, se preocuparon por que los contenidos pretendidos se pudieran

alcanzar y que los estudiantes contaran con las bases adecuadas para afrontarlos. En las

adaptaciones curriculares a las diferencias individuales, los docentes procuraron el logro de

todos los estudiantes e incluyeron actividades de ampliación, es una fortaleza. En lo referente

al aprendizaje, los docentes no realizaron evaluaciones explícitas, por lo cual no se pudieron

identificar los procesos pertinentes a ello, sin embargo, se (re)significó el planteamiento de

situaciones que permitieron un desarrollo de las competencias comunicativas y

argumentativas.

Idoneidad afectiva. Intereses y necesidades, es un factor que tienen que mejorar los

docentes, pues aunque se propusieron tareas que tenían interés para los alumnos, éstas no

mostraron la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana. En las actitudes, se respetó el

429

proceso de argumentación independiente de la persona, adicionalmente se dio buena

participación al estudiante para facilitar la generación de valores, aspecto que fue

(re)significado. El factor emociones es una fortaleza para Juan, sin embargo, no así para

Fernando, aunque motivó a los estudiantes promoviendo el agrado por las matemáticas y

fomentando su autoestima, no resaltó las cualidades estéticas y precisión de las matemáticas,

lo cual quedó como aspecto por mejorar.

Idoneidad Interaccional. En lo referente a la interacción docente-discente, en las

clases de los dos docentes se permitió la participación de los estudiantes en búsqueda de

consenso, criterio que se (re)significó, en las aulas de Juan se utilizaron diversos recursos

retóricos, lo cual no se vio en las de Fernando, por ello para el primero, este aspecto es una

fortaleza mientras que para Fernando está por mejorar. En lo referente a la interacción entre

alumnos, en las clases de los dos docentes, se evitó la exclusión y se dio participación a los

estudiantes, favoreciendo el diálogo y la comunicación entre ellos, esto fue

(re)significado. En la autonomía, los profesores hicieron la clase participativa, dieron

oportunidad a que los estudiantes asumieran la responsabilidad de la clase, realizando

actividades como: plantear cuestiones y presentar soluciones; explorar ejemplos y

contraejemplos para investigar y conjeturar; usaran una variedad de herramientas para

razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos. Se (re)significó el proceso

comunicativo en general y en particular los procesos matemáticos que de ello se derivan.

Idoneidad mediacional. Se (re)significó el criterio de utilizar materiales manipulativos

que permitieran analizar los objetos matemáticos. El tiempo es uno de los problemas de los

docentes, escogen una temática demasiado ambiciosa, por lo cual el tiempo no es suficiente

para la enseñanza pretendida.

Idoneidad ecológica. Los contenidos, su implementación y evaluación son coherentes

con las directrices curriculares, contribuyen con la formación socio-profesional de los

estudiantes y se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares; los criterios

anteriores son fortalezas de los docentes. Se planteó una metodología innovadora, donde

se utilizó material manipulativo, lo cual fue (re)significado. En la clase de Fernando se

430

promovió la formación en valores democráticos y el pensamiento crítico, aspecto que se

(re)significó en la clase de Juan.

Se presentan ahora las conclusiones de los patrones de interacción comunicativa.

Para Juan, sus clases en la segunda fase fueron de 5 y 6 configuraciones didácticas

respectivamente, lo cual es ya buen indicativo para una clase de calidad, sin embargo el

tiempo programado no fue adecuado, por lo tanto quedaron algunas actividades pendientes

para sesiones futuras. En cuanto a Fernando, las dos últimas clases del docente se

distribuyeron en 8 configuraciones didácticas, sigue mostrando su tendencia a realizar un

desarrollo temático demasiado ambicioso, son muchas tareas para una sesión de clase.

De las clases de Fernando el 31% de las configuraciones fueron consideradas de tipo

magistral, las restantes dialógicas; las de Juan, todas las configuraciones fueron consideradas

dialógicas (Godino, Contreras y Font, 2006); se infiere que se trata de una clase participativa,

donde se privilegia el diálogo y el consenso, lo cual implica un aula de tipo no tradicional-

tecnológica, es decir, se (re)significó el tipo de clase de los docentes, al igual que los patrones

de interacción comunicativa.

Se determinó una identificación amplia de los patrones de interacción comunicativa de

los docentes Fernando y Juan en su segunda etapa, los cuales se plasman en la tabla 38 y 74

respectivamente. Lo anterior también plantea una primera aproximación para identificar una

clase no tradicional - tecnológica con base en sus patrones de interacción.

Se establecieron como las acciones de interacción comunicativa clásicas de los

docentes después de participar en el grupo de trabajo colaborativo, las siguientes: opinión

del estudiante respecto de un tema matemático (o), pregunta corta del estudiante a sus


del estudiante (ant), pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc) y lectura de un

texto, taller o guía por el estudiante (l). Se observa que todas las interacciones corresponden

a acciones del estudiante, excepto la pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo, que

431

se presentó en la etapa de socialización, lo cual implica que el eje de la clase es el estudiante

y la clase es no tradicional-tecnológica. Se destaca que existe una (re)significación de los

patrones de interacción utilizados en las dos fases; mientras que en la primera estaban

centrados en el docente, en la segunda están centrados en el estudiante, que fue el resultado

de la reflexión de los docentes sobre sus prácticas. Lo anterior se confirma con el contraste

de patrones de interacción de otros autores, los cuales se evidenciaron en la segunda fase:

patrón de discusión (Voigt, 1985), de focalización (Wood, 1994, 1998), dialógico (Peressini

y Knuth, 1998), contributivo y reflexivo (Brendefur y Frykholm, 2000), discusión natural

(Loska, 1998), diálogo crítico (Schwarz, et al, 2004) y patrón interrogativo (Sierpinska,

1996); todos los patrones anteriores están centrados en el actuar del estudiante.

El promedio de participación de los estudiantes en las clases fue alto (81.7% en las de

Juan, 81.4% en las de Fernando), se destaca el protagonismo del estudiante en el desarrollo

de las mismas; es decir se trata de un aula donde en algunos momentos asume el control de

la clase (Wood, 1999), lo cual es propio de una metodología no tradicional - tecnológica. Lo

anterior implica que también se presentó una (re)significación en cuanto a la participación

del estudiante dentro de la clase. Ahora se presenta específicamente las conclusiones sobre

la comunicación.

Las clases de los profesores en la segunda fase se caracterizaron inicialmente por el

trabajo en pequeños grupos, buscando facilitar la confrontación de saberes, los cuales fueron

socializados en gran grupo en la parte final. También es de destacar que existieron acciones

y retroacciones al presentarse las interacciones entre los estudiantes e igualmente se

destacaron normas de clase, que permitieron el desarrollo de las mismas. Por lo anterior, se

considera que se trabajó con el modelo orquestal de comunicación, y que se aplicaron los

tres principios que enfoca este modelo: el principio de la totalidad, el principio de la

causalidad circular y el principio de regulación (Marc y Picard, 1992).

Como se puede observar, los profesores pasaron de un modelo explicativo de la

comunicación básicamente lineal, con pocas componentes de los modelos sistémico y

432

orquestal, a un modelo explicativo orquestal, es decir hay una mejora sustancial en la

comunicación de sus clases.

La segunda fase, coincide con la primera en que la comunicación es colectiva y

pública, es lingüística, con códigos paralingüísticos; también es extralingüística. Es informal

en el trabajo de grupos y formal en la socialización. Es audiovisual y directa. Sin embargo

difiere en cuanto a la participación; la comunicación es recíproca, se presentan cambios de

roles; interpersonal pues hay permanente interrelación entre los estudiantes; básicamente

horizontal ya que priman las interacciones entre ellos (Niño, 1998). En estas clases se dio

una buena interacción entre el profesor y el alumno, y especialmente entre los alumnos; el

conocimiento matemático surge de la confrontación de criterios. En este sentido también se

mejora la comunicación.

Para las clases se consideró la comunicación como medio para percibir el avance o las

dificultades de los estudiantes (Ponte et al, 2007). Igualmente se tuvieron en cuenta normas

que facilitaron el desarrollo de las aulas, pero se observó un cambio, inicialmente se tenían

normas que se centraban básicamente en el docente, y se pasó a unas que tenían que ver con

la relación docente-estudiante y estudiante-estudiante. En cuanto a los modos de

comunicación, el tipo de comunicación de la clase del profesor Fernando es reflexiva, ya que el

68.75% de las interacciones son reflexivas y el resto unidireccionales; para Juan todas las

interacciones son reflexivas (Brendefur y Frykholm, 2000), es decir estas clases son dialógicas

(Godino, Contreras y Font, 2006), lo cual implica un aula teniendo como eje al estudiante, o sea,

no tradicional-tecnológica (Porlán, 1995). Los docentes pasaron de un modo de comunicación

unidireccional a uno reflexivo, es decir pasaron de un tipo de clase magistral a dialógico (Godino,

Contreras y Font, 2006); mejoraron su modo de comunicación y su tipología de clase.

Limitaciones de la Investigación

Una de las limitaciones de esta investigación tuvo que ver con la disponibilidad de

tiempo por parte de los profesores para realizar las reuniones del grupo de trabajo

colaborativo, pues encontrar un horario que coincidiera para todos los profesores no fue fácil

433

y por tal motivo muchas de las reuniones debieron ser aplazadas para la siguiente semana.

Otro aspecto que hay que aclarar es que, aunque el estudio se realizó con tres docentes

Fernando, Juan y Gustavo, por extensión de la memoria el trabajo se restringió a los dos

primeros.

Posibles ampliaciones.

Una de las competencias a desarrollar en cualquier docente de matemáticas es la

competencia de análisis didáctico, por lo anterior, se propone ampliar la investigación a

futuro, incorporando docentes de educación básica y media, con el objetivo de tratar la

competencia mencionada.

Otro aspecto que se realizó en la investigación, fue el desarrollo del grupo de trabajo

colaborativo, como curso de cualificación permanente de los docentes participantes, con el

objetivo de (re)significar sus prácticas profesionales, por lo cual se sugiere llevar este tipo

de cualificación a los docentes de básica y media.

Adicionalmente, fueron determinados unos patrones de interacción propios de los tipos

de clases de los docentes Juan y Fernando, los cuales sin el ánimo de ser generalizables

pueden servir de soporte para un estudio más amplio de los patrones de interacción del

docente de la UPTC, no sólo de matemáticas; al igual que del profesor de cualquier

institución de educación básica y media.

Difusión de los resultados

Del trabajo de investigación se han derivado los siguientes productos.

Artículos

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