EVALUACION DEL SISTEMA DE PROYECCIÓN LOCAL DE LA...

EVALUACION DEL SISTEMA DE COORDENADAS DE PROYECCIÓN LOCAL DE LA CIUDAD DE MEDELLÍN

ROSA ADRIANA RINCON GONZALEZ RODRIGO MOSQUERA IBAÑEZ

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES

PROYECTO CURRICULAR INGENIERIA TOPOGRAFICA

BOGOTÁ D.C.

2017

EVALUACION DEL SISTEMA DE COORDENADAS DE PROYECCIÓN LOCAL DE LA CIUDAD DE MEDELLÍN

ROSA ADRIANA RINCON GONZALEZ CODIGO: 20142032265

RODRIGO MOSQUERA IBAÑEZ CODIGO: 20132032275

DIRECTOR: CARLOS ALFREDO RODRIGUEZ ROJAS

INGENIERO TOPOGRAFICO ESPECIALISTA EN SISTEMAS DE INFORMACION GEOGRAFICA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES

PROYECTO CURRICULAR INGENIERIA TOPOGRAFICA

BOGOTÁ D.C.

2017

NOTA DE ACEPTACIÓN

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Firma director

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Firma revisor

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Ciudad y fecha

CONTENIDO

1. RESUMEN ...................................................................................................... 10

ABSTRACT ........................................................................................................... 11

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................. 12

3. JUSTIFICACION ............................................................................................. 13

4. OBJETIVOS .................................................................................................... 15

4.1 OBJETIVO GENERAL ............................................................................. 15

4.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS .................................................................... 15

5. MARCO TEORICO ......................................................................................... 16

5.1 INFORMACIÓN GEODÉSICA ..................................................................... 16

5.2 GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE EN REVOLUCIÓN ..................................... 16

5.3 FACTOR DE DEFORMACIÓN ..................................................................... 20

5.4 QUÉ ES UN SISTEMA DE REFERENCIA ................................................... 21

5.5 DATUM GEODÉSICO ................................................................................ 21

5.6 TIPOS DE COORDENADAS MANEJADOS EN COLOMBIA ...................... 22

5.7 SISTEMAS DE COORDENADAS PROYECTADOS LOCALES .................. 27

5.8 EXACTITUD POSICIONAL Y SUS PARÁMETROS .................................... 29

5.9 TRANSGEOLOCAL. .................................................................................... 30

5 METODOLOGIA ............................................................................................. 33

6.1 Revisión de la información secundaria ..................................................... 33

6.2 Determinación del área de estudio ............................................................... 33

6.3 Evaluación en distancia y altura del actual plano de proyección local de Medellín y SPL antiguo, es decir en datum Bogotá ........................................... 33

6.4 Evaluación de los orígenes más cercanos a Medellín ................................. 34

6.5 Generación de una grilla en WGS84 con puntos muestrales en la zona de estudio. .............................................................................................................. 34

6.6 Comparación entre el SPL Medellín oficial y el SPL origen IGAC................ 35

6.7 Determinación de las tolerancias ................................................................. 35

6.8 Determinación del rango de altura en el que los SPL son funcionales según la escala de representación. .............................................................................. 35

6.9 Determinación de la viabilidad en longitud de los PTL definidos según altimetría. ........................................................................................................... 35

6.10 Definición de un SPL alternativo usando el software transgeolocal que aplica coordenadas tridimensionales ................................................................. 36

6.10 Diagrama de flujo proceso metodológico ................................................... 37

7 RESULTADOS ............................................................................................... 38

7.1 Evidencia de la Información recopilada. ....................................................... 38

7.2 Delimitación del área de estudio .................................................................. 40

7.3 Análisis preliminar en distancia y altura del SPL actual y anterior ............... 41

7.4 Realización de la grilla con los puntos muestrales en los vértices ............... 45

7.5 Proyección de la grilla en cada uno de los sistemas de proyección local .... 46

7.6 Comportamiento de los meridianos en el SPL Medellín oficial y el SPL origen IGAC. ................................................................................................................. 46

7.7 Comportamiento de los paralelos en el SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC. ................................................................................................................. 50

7.8 Comparación entre las Coordenadas Proyectadas de los Puntos muestrales del SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC. ................................................ 54

7.9 Deformaciones presentadas teniendo en cuenta los factores de escala. .... 55

7.10 Determinación de las tolerancias ............................................................... 56

7.11 Determinación del rango de altura en el que los SPL son funcionales según la escala ............................................................................................................. 57

7.12 Determinación de los factores de deformación de escala para cada SPL determinado según la altura. .............................................................................. 58

7.13 Determinación de los SPL teniendo en cuenta las diferencias de longitud 58

7.8 Definición de un SPL usando el Software Transgeolocal ............................. 59

8 ANALISIS DE LOS RESULTADOS ................................................................ 61

8.1 Análisis preliminar de áreas ......................................................................... 61

8.2 Evaluación de los orígenes cercanos ........................................................... 61

8.3 Proyección de los meridianos en el SPL Medellín oficial ............................. 62

8.4 Proyección de los meridianos en el SPL en el origen IGAC ........................ 62

8.5 Proyección de los paralelos en el SPL Medellín oficial ................................ 62

8.6 Proyección de los paralelos en el SPL origen IGAC .................................... 63

8.7 Comparación entre los meridianos y paralelos de los SPL Medellín oficial y origen IGAC ....................................................................................................... 63

8.8 Comparación entre las Coordenadas Proyectadas de los Puntos muestrales del SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC. ................................................ 63

8.9 Evaluación del SPL de la ciudad de Medellín según área de influencia y rango de altura ................................................................................................... 64

8.10 Determinación de los rangos de altura según la tolerancia de la escala .... 64

8.11 Determinación de los PTL teniendo en cuenta las diferencias de longitud 65

8.12 SPL definido usando el software transgeolocal ......................................... 65

9 CONCLUSIONES ........................................................................................... 67

10 RECOMENDACIONES ............................................................................... 68

11 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................ 69

ANEXO 1 ............................................................................................................... 71

ANEXO 2 ............................................................................................................... 73

ANEXO 3 ............................................................................................................... 77

ANEXO 4 ............................................................................................................... 80

ANEXO 5 ............................................................................................................... 84

ANEXO 6 ............................................................................................................... 85

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES

Ilustración 1: Coordenadas cartesianas tridimensionales y elipsoidales. .............. 23

Ilustración 2: Sistema de proyección cartográfica Gauss-Kruger. ......................... 25

Ilustración 3: Proyección cartesiana. ..................................................................... 27

Ilustración 4: Zonas Orígenes en Colombia sistema Gauss-Kruger. ..................... 29

Ilustración 5: Elipse en revolución. ........................................................................ 17

Ilustración 6: Paralelos y meridianos. .................................................................... 18

Ilustración 7: Longitud de arco de meridiano entre dos puntos. ............................ 20

Ilustración 8: Software Transgeolocal V.2.00. ....................................................... 31

Ilustración 9: Información geográfica en SHP. ...................................................... 39

Ilustración 10: Línea de tiempo SPL de Medellín oficiales. ................................... 40

Ilustración 11: Determinación del área de estudio. ................................................ 41

Ilustración 12: Selección curvas de nivel rango funcional del plano de proyección. .............................................................................................................................. 42

Ilustración 13: Polígono de influencia del SPL oficial de Medellín. ........................ 42

Ilustración 14: Polígono de influencia, antiguo SPL de Medellín. .......................... 43

Ilustración 15: Alcance en distancia de los orígenes Rionegro, Angelópolis y Guarne. ................................................................................................................. 44

Ilustración 16: Denominación segmentos de la grilla de puntos muestrales. ........ 45

Ilustración 17: Cobertura de la grilla de puntos muestrales. .................................. 46

Ilustración 18: Comportamiento de la proyección de los meridianos. .................... 48

Ilustración 19: Comportamiento de la proyección de los paralelos. ....................... 52

Ilustración 20: Puntos según la diferencia entre Medellín oficial y origen IGAC. ... 55

Ilustración 21: Clasificación según deformaciones por altura. ............................... 56

Ilustración 22: Origen transgeolocal. ..................................................................... 59

Ilustración 23: Ejemplo de los Parámetros para la elección del Punto de origen del SPL. ...................................................................................................................... 60

Ilustración 24: Puntos transgeolocal. ..................................................................... 65

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1: Porcentaje área SPL Datum Bogotá........................................................ 43

Tabla 2: Porcentaje área SPL Datum MAGNA. ..................................................... 43

Tabla 3: Orígenes cercanos a Medellín. ................................................................ 44

Tabla 4: Deformaciones en los meridianos al proyectar la grilla a Medellín oficial.46

Tabla 5: Deformaciones en los meridianos al proyectar la grilla a origen IGAC. ... 47

Tabla 6: Diferencias en distancia en los meridianos entre Medellín oficial y origen IGAC. .................................................................................................................... 48

Tabla 7: Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a Medellín oficial. .. 50

Tabla 8:Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a Origen IGAC. ...... 51

Tabla 9: Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a origen IGAC. ...... 53

Tabla 10: Prueba de varianzas a los meridianos. .................................................. 53

Tabla 11:Prueba de varianzas a los paralelos....................................................... 54

Tabla 12: Tolerancias. ........................................................................................... 56

Tabla 13: Rango de alturas de los SPL según tolerancias. ................................... 57

Tabla 14: Factores de escala según rangos de alturas. ........................................ 58

Tabla 15: Ejemplo de las coordenadas Cartesianas Locales obtenidas del software Transgeolocal. ....................................................................................................... 59

ÍNDICE DE GRÁFICAS Gráfica 1:Proyección meridianos Medellín oficial. ................................................. 47

Gráfica 2: Deformaciones meridianos Medellín oficial. .......................................... 47

Gráfica 3: Proyección meridianos origen IGAC. .................................................... 48

Gráfica 4: Comparación de meridianos entre Medellín oficial y origen IGAC. ....... 49

Gráfica 5: Diferencias de distancia entre Medellín oficial y origen IGAC. .............. 49

Gráfica 6: Proyección paralelos Medellín oficial. ................................................... 50

Gráfica 7: Deformaciones paralelos Medellín oficial. ............................................. 51

Gráfica 8: Deformaciones paralelos origen IGAC. ................................................. 52

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1. RESUMEN

Medellín es una de las ciudades más importantes de Colombia y es modelo en desarrollo urbano a nivel de Latinoamérica, y actualmente contempla un plan de desarrollo muy ambicioso denominado, Medellín Cuenta Con Vos 2016-2019 (Dinero, 2016), donde invertirá grandes recursos en obras de infraestructura para los cuales deberá contar, con información fiable para el diseño y ejecución de los proyectos, sobre todo en lo que respecta a la concordancia entre las coordenadas de proyecto de diseño y las del terreno.

Cuando se trata de coordenadas, distancias y áreas llevadas de un plano proyectado al terreno se debe tener cuidado, ya que, según el plano de proyección local que se use se pueden presentar diferentes distorsiones como son: lineal, de distancias y angulares; por lo que surge la necesidad de evaluar el sistema de proyección local actual de Medellín, que garantice, que los parámetros que se están utilizando actualmente contemplen las dimensiones actuales de la ciudad y las deformaciones. Para llevar a cabo la evaluación del plano local de Medellín se propone una metodología de recolección de información, secundaria que permita la determinación de los parámetros base, que sirvieron para la realización del sistema de proyección local de la ciudad de Medellín y como resultados se podrá apreciar la comparación entre distintos trabajos cartográficos realizados y de esta forma arrojar un concepto evaluativo.

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ABSTRACT

Medellín is one of the most important cities in Colombia and is under development at a Latin American level, and is currently contemplating a very ambitious development plan called Medellín Cuenta Con Vos 2016-2019 (Dinero, 2016), where it will invest large resources in the infrastructure works for the results must have reliable information for the design and execution of the projects, especially as regards the concordance between the project design coordinates and the terrain.

When dealing with coordinates, distances and areas taken from a plane projected to the ground, care must be taken because, depending on the local projection plane used, different distortions can be present such as: linear, distances and angular; so the need arises to evaluate the current local projection system of Medellín, which guarantees, that the parameters that are currently contemplated in the current dimensions of the city and the deformations. In order to carry out the evaluation of the local plan of Medellín, a methodology of data collection is proposed, secondary that allows the determination of the base of the parameters, that served for the realization of the local projection system of the city of Medellín and like the results can appreciate the comparison between different cartographic works carried out and in this way an evaluative concept.

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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El acelerado crecimiento de la ciudad de Medellín en los últimos años ha llevado a una expansión de su territorio y por consiguiente a la necesidad de crear nuevos y eficientes proyectos de ingeniería como autopistas, puentes, ciclorrutas entre otros y en este orden de ideas, es donde la topografía cumple un papel primordial para que esos nuevos proyectos se realicen y culminen exitosamente sin ningún tipo de contratiempos o problemas, estando presente desde el inicio hasta el final.

Todos los proyectos de ingeniería deben estar sujetos a las especificaciones técnicas según las entidades competentes, el Instituto Geográfico Agustín Codazzi (IGAC) es el encargado de los sistemas de referencia a nivel nacional. Para el caso a nivel local de la ciudad de Medellín, la subsecretaria de tecnología y gestión de la información de la alcaldía de Medellín plantea un sistema de proyección local en conformidad con coordenadas planas MAGNA desde el 1 de diciembre de 2012, denominado PCS_MAG_Ant_Medellin, origen Medellín 2010, con plano de proyección 1510m con parámetros específicos, utilizado para la elaboración de planos y para la ejecución de proyectos de ingeniería.

Teniendo en cuenta lo anterior y que la ciudad está construida en un valle donde la población urbana ha tenido una expansión en los últimos años hacia los bordes más altos, surge la necesidad de validar dicho sistema de proyección local, para garantizar que los parámetros que están utilizando actualmente contemplen las dimensiones actuales de la ciudad y las deformaciones, principalmente entre las distancias del terreno y sus proyectadas, a fin que garantice que la construcción de obras de ingeniería puedan ser plasmadas de forma expedita, puesto que muchas entidades y empresas tienen desconocimiento, de que valores se deben utilizar para definir los parámetros de las proyecciones locales, y esto les conduce a errores para el desarrollo y culminación exitosa de proyectos.

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3. JUSTIFICACION

Medellín ha sido una ciudad ejemplo a nivel Latinoamericano en cuanto a desarrollo urbanístico, infraestructura, equipamiento, entre otros, tiene un plan de desarrollo muy ambicioso “Medellín Cuenta Con Vos 2016-2019 en el cual se incluyen varios proyectos estratégicos como el Cable Picacho, la adecuación de 80 kilómetros nuevos de ciclorrutas, las intervenciones asociadas al Plan Integral del Centro y la construcción de un sistema de transporte público para el corredor de la carrera 80” (Dinero, 2016), teniendo en cuenta lo anterior es indispensable que Medellín pueda contar con un sistema de coordenadas proyectado ajustado no solo a su ubicación particular, sino también a los retos actuales de reestructuración por cuenta de la expansión que ya ha llegado a los bordes más altos y que por lo cual debe modernizarse para hacerse una ciudad sostenible.

En Colombia la referenciación geodésica y la densificación de coordenadas empleadas en las etapas de construcción en obras de ingeniería, está regulado por el IGAC (Instituto Geográfico Agustín Codazzi), entidad encargada además de la producción de la información geográfica, en el año 2004 fue adoptado el sistema MAGNA_SIRGAS (Marco Geocéntrico Nacional de Referencia) que garantiza la compatibilidad de las coordenadas en Colombia con las técnicas de posicionamiento global, igualmente surge el planteamiento de definir sistemas de proyecciones locales para el manejo de la información cartográfica nacional, por un lado, está el sistema de Coordenadas Gauss-Kruger conocido anteriormente como Sistema de Coordenadas Planas de Gauss y para zonas urbanas de los municipios se disponen de sistemas proyectados locales (SPL) o conocidos también como planos topográficos locales (PTL), definidos en el centro de cada poblado y a la altura media del mismo, estos sistemas utilizan una proyección Plana local o cartesiana que se define desde un origen local, utilizando los parámetros de Falso Norte y Falso Este para cada proyección y definiéndolos convencionalmente (IGAC, 2004).

Por otra parte existe el desconocimiento del valor del parámetro de escala a utilizar para las proyecciones locales, y en muchos casos se presenta desinformación por parte de algunas entidades en la utilización del factor de escala como parámetro fundamental del sistema de Coordenadas, pues este valor relaciona las medidas en campo utilizadas en geomensura, con las medidas en los planos (JAIRO, 2012), y si sumamos a ello la expansión de la ciudad y sus diferencias de altura, se puede decir que actualmente se trabaja sin tener el conocimiento de las tolerancias requeridas para los proyectos de ingeniería.

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En chile los ingenieros Geomensores René Zepeda G, Diego Ortiz J. Adoptaron como sistema cartográfico, la proyección Local Transversal de Mercator (LTM) (CARTOGRAFÍA), con parámetros específicos, bien definidos y de amplio dominio con el objeto de minimizar las deformaciones, principalmente entre las distancias de terreno y sus proyectadas, garantizando desde el inicio hasta la culminación el correcto desarrollo de las obras de ingeniería.

Basandose en lo que los ingenieros realizaron en chile, surge la inquietud de proponer para la ciudad de Medellín un sistema de proyección local ajustado con los parámetros específicos y adaptados a las actuales condiciones de expansión y diferentes alturas que presenta la ciudad, sobre todo que tenga presente el parámetro del factor de escala, para que las entidades y profesionales puedan implementar estos parámetros en el inicio de sus proyectos, garantizando la concordancia entre las coordenadas de proyecto y las del terreno, con esto se logrará que las tolerancias de cierre lineal al momento de realizar mediciones poligonales, estén dentro de la precisión y esto a su vez garantiza que los proyectos constructivos tengan éxito ahorrando tiempo en correcciones que posiblemente se presenten y dinero a las empresas y a la ciudad.

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4. OBJETIVOS

4.1 OBJETIVO GENERAL

Validar el sistema de coordenadas de proyección local que usa actualmente Medellín, teniendo en cuenta que la ciudad está construida en un valle donde la población urbana ha ido expandiéndose hacia sus bordes más altos.

4.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS

1 Recopilar información secundaria que permita caracterizar y conocer a cabalidad el actual sistema de coordenadas de la ciudad de Medellín.

2 Realizar un análisis comparativo entre las dos proyecciones usadas en los SPL oficiales para la ciudad de Medellín.

3 Identificar a partir de los resultados obtenidos las deficiencias que presenta el actual sistema de proyección local de la ciudad de Medellín, en cuanto a las diferencias en las magnitudes y deformaciones no permitidas.

4 Evaluar el actual sistema de coordenadas de proyección local estandarizado para la generación de información geodésica, cartográfica y por consiguiente utilizada para los proyectos de Ingeniería.

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5. MARCO TEORICO

5.1 INFORMACIÓN GEODÉSICA

En Colombia, el sistema de referencia geocéntrico adoptado desde el año 2004 se denomina MAGNA-SIRGAS - Marco Geocéntrico Nacional de Referencia, como densificación nacional del Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas, el cual, a su vez es la densificación continental del marco de referencia global (ITRF- International Terrestrial Reference Frame). El Datum MAGNA-SIRGAS, está asociado al elipsoide GRS80 (Global Reference System 1980), equivalente al WGS84 (World Geodetic System 1984). La principal ventaja es que las coordenadas están en el mismo sistema de referencia que los satélites GNSS, lo cual garantiza alta precisión de las posiciones que se determinen en campo.

5.2 GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE EN REVOLUCIÓN

el elipsoide en revolución es el resultado de hacer rotar en el plano cartesiano OXYZ una elipse con el centro y el eje menor coincidentes con el origen OY con el eje OZ, esta elipse tiene la siguiente ecuación:

�^2 + �^2

�^2+�^2

�^2= 1

a= eje mayor o ecuatorial

b= semieje menor o polar

la forma de una elipse queda definida al establecer el semieje mayor a y el semieje menor b, ya que, a partir de ellos se obtiene el resto de parámetros.

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Ilustración 1: Elipse en revolución. Fuente: (Garcia & Garrigues Talens, 2007)

Mediante los valores de los semiejes se define el cuadrado de la excentricidad (e) y el aplanamiento del elipsoide con las siguientes expresiones:

El aplanamiento:

La excentricidad lineal que es la distancia que separa el centro de la elipse de los respectivos focos:

Primera excentricidad es el cociente entre la excentricidad lineal y el semieje mayor a:

Segunda excentricidad es el cociente entre la excentricidad lineal y el semieje menor b:

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Forma paramétrica

Sobre la superficie de la elipse se define la ubicación de un punto con dos parámetros, en geodesia se usa la latitud y la longitud, las cuales se visualizan y se referencias con los paralelos y los meridianos.

Paralelo: cualquier plano perpendicular al eje fundamental.

Meridiano: cualquier plano que contenga al eje fundamental.

Ilustración 2: Paralelos y meridianos. Fuente (Garcia & Garrigues Talens, 2007)

Radios principales de curvatura de la elipse

Dado un punto del elipsoide, el horizonte local del mismo viene dado por un plano tangente al elipsoide en dicho punto. Todos los planos perpendiculares a él son planos verticales o normales al elipsoide en dicho punto (Garcia & Garrigues Talens, 2007).

lo primero e importante es definir el plano meridiano, es el plano que contiene al eje menor del elipsoide y el plano perpendicular al plano meridiano se denomina primer vertical.

Radio de curvatura de la sección normal del primer vertical

El radio de curvatura de la sección normal del primer vertical puede definirse también como el radio de curvatura que presenta el elipsoide en un punto de latitud ϕ en la dirección de acimut 90° ó 270° y está dado por la fórmula:

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Radio de la curvatura de la sección normal meridiana

Puede definirse también como el radio de curvatura que presenta el elipsoide en un punto de latitud ϕ en la dirección de acimut 0° ó 180° y está dado por la fórmula:

Radio medio

Se denomina curvatura media de una superficie en un determinado punto a la semisuma de las curvaturas de las secciones normales principales.

Radio medio de Gauss

Se define el radio medio de Gauss como la media aritmética de los radios de curvatura de las infinitas secciones normales de un punto.

Línea geodésica

De todas las posibles curvas que unen dos puntos en una superficie, se define como línea geodésica aquella que produce la mínima distancia entre dos puntos. Una línea geodésica ha de cumplir que, sea cual sea la superficie considerada, la proyección de un entorno diferencial de la misma sobre el plano tangente a la superficie ha de ser una recta.

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Determinación de longitud de un arco paralelo entre dos puntos φ1 y φ2

Ilustración 3: Longitud de arco de meridiano entre dos puntos.

Fuente: (Garcia & Garrigues Talens, 2007)

Longitud de un arco de paralelo (Sp)

Si se sitúa φ1 y φ2 sobre el mismo paralelo, su distancia sobre el elipsoide estará definida en función de la separación angular entre ellos (Δλ) y el radio paralelo. Si se define el radio paralelo “r” como r = N·cosφ, entonces:

Sp = N·cosφ ·Δλ

5.3 FACTOR DE DEFORMACIÓN

Para calcular el rango de altura se debe usar la siguiente ecuación:

� =� + �

�

Al realizar el despeje se obtiene:

� = �� ∗ �� − �

Hay que tener en cuenta que R no es Rm, sino, la media aritmética de los radios de curvatura, más conocido como radio medio de Gauss, el cual se obtiene, sacando la raíz, de la multiplicación de la gran normal (N) y de la primera vertical, para formular estos dos radios, se usó la latitud del punto de origen del plano de proyección local. La altura usada, es la altura ortométrica, como ya se había mencionado antes, puesto que es la altura oficial en Colombia. A modo de ejemplo, se calcula el K, que es la deformación que se presenta por la escala en un punto sobre la superficie topográfica. Como el SPL tiene un alcance de 20Km, esta longitud será la que servirá para calcular el K, entonces, por ejemplo,

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para la escala 1:2000, K = 0.4 /20000, lo que da como resultado un delta de K de, 0.00002, Kmax = 1.00002 y un Kmin = 0.99998. Al aplicar estos valores en la formula, se obtienen dos valores uno con signo positivo y otro con signo negativo, lo cual indica, que el valor obtenido en metros se suma a la altura promedio del poblado y también se le resta, y este será el rango de altura donde el PTL es funcional según la altura.

5.4 QUÉ ES UN SISTEMA DE REFERENCIA Un sistema de referencia se define como el conjunto de convenciones y conceptos teóricos adecuadamente modelados que permiten definir, en cualquier momento, la orientación, ubicación y escala de tres coordenadas [X, Y, Z]. Si el origen de coordenadas [X=0, Y=0, Z=0] coincide con el centro de la tierra se denomina sistema de referencia geocéntrico global, en caso contrario se habla de sistema de referencia local. El sistema de referencia global utilizado en Geodesia es el definido por el Servicio Internacional de Rotación Terrestre y sistemas de Referencia (IERS: International Earth Rotation and Reference Systems Service) de la Asociación Internacional de Geodesia (IAG) y la Unión Internacional de Astronomía (IAU). Su acrónimo ITRS (International Terrestrial Reference System). Este es un sistema geocéntrico (su origen de coordenadas [X, Y, Z] coincide con el centro de masas terrestre, incluyendo atmosfera y océanos), su tiempo corresponde con el tiempo geocéntrico coordinado (TCG: Geocentric Coordinate Time) y no presenta residuales en la rotación con respecto a los movimientos horizontales de la corteza terrestre. Su eje Z coincide con el eje medio de rotación terrestre, el eje X esta sobre el plano medio ecuatorial y su dirección apunta al meridiano de Greenwich, el eje Y también está sobre el plano ecuatorial y forma un sistema de mano derecha. En Colombia, el sistema global ITRS es materializado por MAGNA-SIRGAS, mientras que el sistema local de referencia está dado por el Datum Bogotá, cuyo desplazamiento con respecto al geocentro alcanza, aproximadamente, 500 m.

5.5 DATUM GEODÉSICO Un datum geodésico define la orientación y ubicación del elipsoide asociado a un sistema coordenado [X, Y, Z]; SI ESTE ES GEOCENTRICO SE TENDRA UN Datum Geodésico Geocéntrico o Global; si es local se tendrá un Datum Geodésico Local.

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Estos últimos también se conocen como Datum Horizontales, dado que la determinación de la altura (H) de los puntos es independiente de sus coordenadas horizontales (ϕ, λ). Un datum geodésico geocéntrico permite establecer las coordenadas para un punto con respeto a la misma superficie de referencia: el elipsoide. En estos, la tercera coordenada se conoce como altura geodésica o elipsoidal (h). En Colombia, el datum geodésico geocéntrico o global está dado por Elipsoide GRS80 (Geodetic Reference System 1980) definido y adoptado por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) en 1980 (a=6 378 137 m, f= 1/298,257 222 101). Este es el elipsoide asociado al ITRS y, por tanto, a SIRGAS y a MAGNA-SIRGAS. En el caso del datum local, corresponde con el Datum BOGOTÁ, cuyo elipsoide asociado es el Internacional o de Hayford (a=6 378 388m, f= 1 /297).

5.6 TIPOS DE COORDENADAS MANEJADOS EN COLOMBIA En Colombia se utilizan básicamente tres tipos de coordenadas: las cartesianas tridimensionales, las curvilíneas o elipsoidales y las planas de proyección, las cuales pueden ser Gauss-Krüger o cartesianas bidimensionales. Si bien, cada uno de estos tipos tiene sus ventajas y desventajas, en esencia, son tres formas diferentes, pero equivalentes, de establecer la ubicación geográfica de un punto. Coordenadas cartesianas tridimensionales

Corresponden con la extensión, en metros, de las líneas paralelas a los tres ejes coordenados [X, Y, Z] que se extienden entre el punto y su intersección con cada eje ilustración 1. La ubicación geográf ica del punto se expresa unívocamente con la t r ip leta [Xp, Yp, Zp]. Si el origen del sistema cartesiano [X=0, Y=0, Z=0] coincide con el centro de masas terrestre, éstas se definen como coordenadas cartesianas geocéntricas. La principal ventaja de este tipo de coordenadas es que son independientes del elipsoide y permiten la referenciación de puntos u objetos alejados de la superficie terrestre, como por ejemplo los satélites. De allí, estas coordenadas se obtienen primariamente en el posicionamiento basado en técnicas espaciales (sistemas GNSS).

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Ilustración 4: Coordenadas cartesianas tridimensionales y elipsoidales.

Fuente: (IGAC, 2004)

Coordenadas elipsoidales

También conocidas como geográficas o curvilíneas, corresponden con las cantidades latitud y longitud, las cuales se expresan en el sistema sexagesimal de grados, minutos y segundos. La latitud (φ) se define como el ángulo entre el plano ecuatorial y la normal (N) al elipsoide que pasa por el punto de interés (ilustración 1); es positiva hacia el norte de la línea ecuatorial y negativa hacia el sur. Su rango está dado por -90° ≤ φ ≤ +90° o 90° S ≤ φ≤ 90° N.

La longitud (λ) es el ángulo, medido sobre el plano ecuatorial, entre el meridiano de referencia (normalmente Greenwich) y el meridiano del punto de interés (ilustración 1); es positiva al este de Greenwich y negativa hacia el oeste. Su rango se define mediante -180°≤ λ ≤ +180° o 180° W ≤ λ ≤ 180° E, lo que también equivale a 0° ≤ λ ≤ 360°. Los valores de la latitud y la longitud están en función del tamaño, forma y ubicación del elipsoide de referencia seleccionado, es decir, que dependen completamente del datum geodésico; pero una vez éste se ha definido, sus valores son unívocos. La tercera dimensión en este tipo de coordenadas está dada por la altura elipsoidal, la cual equivale a la distancia, medida a lo largo de la normal elipsoidal que pasa por el punto de interés, entre la superficie del elipsoide y dicho punto (ilustración 1); ésta se expresa en metros.

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Coordenadas planas

Así sea que las coordenadas de las redes nacionales (o marcos) de referencia son representadas en términos de sistemas cartesianos tridimensionales [X, Y, Z] o sistemas elipsoidales [φ, λ, h], dichos valores resultan inconvenientes para el desarrollo de aplicaciones prácticas, ya que, por ejemplo, la extensión de un segundo de arco en longitud (λ), y en menor medida la de un segundo en latitud (φ), sobre la superficie terrestre varía de una latitud a otra o, en el caso de las coordenadas tridimensionales, sus diferencias en áreas pequeñas de trabajo se reflejan en las últimas cifras significativas de las cantidades. En este sentido, se acostumbra la representación de la superficie terrestre sobre un plano, mediante un sistema bidimensional de coordenadas rectangulares, llamado Sistema de Proyección Cartográfica, el cual muestra la correspondencia biunívoca entre los puntos de la superficie terrestre (φ, λ) y sus equivalentes sobre un plano de proyección (N, E). El tipo de proyección utilizada obedece al objetivo de la cartografía. Normalmente, para escalas pequeñas (menores que 1:10. 000) se utilizan proyecciones conformes (Gauss-Krüger, Lambert, UTM, etc.), cuyo plano de proyección se hace tangente al elipsoide de referencia, mientras que para escalas grandes (1:500 ... 1:5000) este plano se define a la altura media de la zona a proyectar. Las primeras se utilizan para obtener cartografía de conjunto de áreas amplias, como por ejemplo países, departamentos o áreas metropolitanas, las últimas para la representación de zonas urbanas, siendo de especial importancia para el desarrollo de trabajos catastrales, topográficos y de todas aquellas disciplinas que pueden asumir la superficie terrestre plana sin mayor pérdida de la precisión requerida en el desarrollo de sus labores. En Colombia se utiliza, para el primer caso, la proyección cartográfica de Gauss-Krüger y, para el segundo, la proyección cartesiana (IGAC, 2004). Proyección cartográfica Gauss-Krüger

La proyección cartográfica oficial de Colombia es el sistema Gauss-Krüger. Éste es una representación conforme del elipsoide sobre un plano, es decir, que el ángulo formado entre dos líneas sobre la superficie terrestre se mantiene al ser éstas proyectadas sobre el plano. Los meridianos y paralelos se interceptan perpendicularmente, pero no son líneas rectas, sino curvas

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complejas, excepto el meridiano central (de tangencia) y el paralelo de referencia (ilustración 2). La escala de la representación permanece constante sobre el meridiano central, pero ésta varía al alejarse de aquel, introduciendo deformaciones en función de la longitud (λ). Por tal razón, el desarrollo de la proyección se controla mediante husos, que en el caso de Colombia se extienden 1,5° al lado y lado del meridiano central.

Ilustración 5: Sistema de proyección cartográfica Gauss-Kruger. Fuente: (IGAC, 2004)

El sistema de proyección UTM (Universal Transverse Mercator) corresponde a nivel global, t iene un meridiano central y husos de 6°. En Colombia, el origen principal de las coordenadas Gauss-Krüger se definió en la pilastra sur del Observatorio Astronómico de Bogotá, asignándose los valores N = 1 000 000 m y E = 1 000 000 m. Los orígenes complementarios se han establecido a 3° y 6° de longitud al este y oeste de dicho punto. Este sistema se utiliza para la elaboración de cartografía a escalas menores que 1:1 500.000, donde se proyecta la totalidad del territorio nacional. También se utiliza para cartografía a escalas entre 1:10 000 y 1:500 000 de las comarcas comprendidas en la zona de 3° correspondiente. Formulas usadas para la obtención de las coordenadas planas de Gauss-Kruger (N, E) Coordenada Norte

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Donde: N = La gran normal l = λp – λ0 t = tan(φp) n2 = e´2 cos2 φp Arco meridiano del punto de calculo

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Donde: a, b, e2, e´2 son las constantes del elipsoide.

5.7 SISTEMAS DE COORDENADAS PROYECTADOS LOCALES

Un sistema de Coordenadas proyectado está definido por dos componentes: [1] la parte geográfica que guarda relación con el elipsoide y Datum y [2] la parte proyectada o sistema de proyección, utilizada con los valores adoptados en el origen (ilustración 3):

Ilustración 6: Proyección cartesiana. Fuente: (IGAC, 2004)

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Técnicamente todo sistema proyectado local debe tener los siguientes elementos:

• Nombre o código: codificación respecto a un estándar o identificación dentro

de un esquema (ISO 19111) o la OGP/EPSG. • Datum: (elipsoide asociado) permite seleccionar los parámetros y el tipo de

transformación en caso de ser requerida. • Coordenadas Geodésicas en el Origen: son las coordenadas del punto de

origen en el datum adoptado, expresadas en Latitud y Longitud. • Proyección: tipo de proyección utilizada (cilíndrica TM, UTM) o Plana

acimutal; cada proyección tiene una o varias zonas, en las proyecciones locales se define una zona simple.

• Falso Norte y Falso Este: son los valores definidos de forma convencional y que se establecen como las coordenadas de inicio en el origen.

• Factor de escala: representa la altura a la cual se define el plano de proyección, este factor depende de la elevación media del área de trabajo.

• Unidades: (m) Para los países que adoptan el sistema Internacional de Unidades.

En la ilustración 4 se pueden ver los puntos que corresponden a las cabeceras municipales o centros poblados de los municipios, y sobre ellos las 5 zonas de la proyección gauss-Kruger en Colombia.

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Ilustración 7: Zonas Orígenes en Colombia sistema Gauss-Kruger.


5.8 EXACTITUD POSICIONAL Y SUS PARÁMETROS

La exactitud de la posición tiene que ver con la veracidad de la ubicación y orientación de los objetos representados en una cartografía o plano topográfico, ya que, todos los elementos sobre la superficie terrestre tienen una posición única, tanto a nivel vertical, horizontal y también con los avances tecnológicos y los nuevos sistemas de navegación se está evaluando la exactitud en altura, y está en función de la escala para la cual fueron capturado los puntos.

Pero como es que son evaluados estos objetos georreferenciados en una cartografía, para ello se usa el sistema de referencia, por esta razón todos los productos cartográficos deben tener nombre y apellido, es decir, deben especificar muy bien, cuál es su Datum o elipsoide asociado, el ITRF en el cual están calculadas las coordenadas para el caso de coordenadas planas, cuál es su época, etc. Con ello se podrá sin equivocación evaluar la veracidad en exactitud de los elementos.

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Exactitud absoluta o externa: se define como la exactitud en posición del conjunto de objetos del mapa respecto a su posición real en el terreno; es decir, es la diferencia existente entre las coordenadas que tienen los objetos en los archivos digitales o en el papel comparando con las coordenadas que estos mismos objetos tienen en el terreno (Niño Niño, 2009).

Exactitud relativa o interna: se busca determinar la consistencia interna del mapa, o sea que, si en el terreno se mide una distancia X, dicho valor o uno muy cercano sea el que tiene la medida en el mapa.

Exactitud de posición de datos de celdas: la precisión de los datos en formato raster está sujeta a la resolución espacial de la imagen fuente o tamaño de píxel en unidades métricas. En los programas utilizados para el manejo de imágenes, el píxel es referenciado por el valor de intersección entre una fila y una columna, pero la posición relativa del píxel está referida al centro de éste (Niño Niño, 2009)

5.9 TRANSGEOLOCAL.

El software Transgeolocal utiliza matrices de rotación y translación para la transformación de los datos geodésicos en un Plano Topográfico Local. Es necesario ingresar los datos de referencia utilizados, e identificando los marcos, sus coordenadas Geodésicas o Cartesianas Geocéntricas respectivamente y la altura elipsoidal.

Los resultados obtenidos son las coordenadas Planas determinadas por el software, a partir de las coordenadas ajustadas por el método de mínimos cuadrados.

Una de las maneras de entrar los datos, en el software Transgeolocal, se muestran en el siguiente gráfico.

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Ilustración 8: Software Transgeolocal V.2.00.

Matriz de translación y rotación

El método de matriz de translación y rotación considera: Una traslación del origen del sistema geodésico, para un origen de un Plano Topográfico Local, una rotación en torno para el eje t del Sistema Topográfico Local, para que el eje u sea paralelo al eje Z y una rotación en torno al eje u para que los ejes t y v del sistema topográfico local sean paralelos a los ejes X y Y del sistema Geocéntrico (Rapp, 1989).

Segundo Dal´forno (2010), a partir del surgimiento de los sistemas de posicionamiento por satélite, como coordenadas tridimensionales geocéntricas pasaran a recibir una procedimiento especial. Con estas coordenadas tridimensionales es posible determinar sus coordenadas elipsoidales angulares, también realizar una conversión para cada sistema de coordenadas, tal como los Planos Topográficos Locales (PTL), o cartografía en la proyección (UTM).

Los sistemas de coordenadas locales proporcionan un apoyo a los levantamientos topográficos en el cual se realizan medida de ángulos y distancias utilizando técnicas y equipos de topografía clásica (Mónico, 2008).

Según Mónico, los sistemas de coordenadas locales son cartesianos, y poseen los tres ejes mutuamente ortogonales y es definido con relación al normal elipsoide o al vector de la gravedad local y sus tres ejes poseen, respectivamente, dirección Norte, Este y una normal.

Una transformación de coordenadas geodésicas en coordenadas topográficas locales, a la misma escala, utilizando matrices de translación y rotación, puede ser realizada utilizando formulación matemática presentada por Andrade (1998, Pag 76) descritas a continuación:

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Donde:

X0 Y0 y Z0, son las coordenadas geodésicas cartesianas tridimensionales del punto escogido para el origen del sistema.

t, u, v, son coordenadas topográficas transformadas en el Plano Topográfico Local;

λ0 y φ0 representan la latitud y la Longitud geodésica del punto escogido como origen del sistema;

X, Y, Z, son las coordenadas Geocéntricas cartesianas tridimensionales del punto a transformar.

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5 METODOLOGIA

6.1 Revisión de la información secundaria

El primer paso fue obtener la información que define el sistema de coordenadas proyectado que actualmente usa la ciudad de Medellín, identificando sus parámetros, su datum, su proyección, falso norte, falso este, altura media, para tal fin se encontraron diferentes documentos oficiales de la migración del plano de proyección local, datum Bogotá al plano de proyección datum MAGNA. En segunda estancia, es importante tener en cuenta la información del IGAC como entidad que produce, reglamenta, regula y divulga la información geográfica en el país, ya que esta institución cuenta con los parámetros oficiales del origen Medellín históricos, los cuales se obtuvieron directamente de la página del IGAC.

También fue importante descargar todos los orígenes de los planos de proyección local de los municipios que rodean a Medellín.

Se obtuvieron las curvas de nivel con altura ortométrica, ya que, en Colombia se trabaja con alturas referidas al nivel medio del mar, lo cual es consistente con el campo de gravedad de la tierra. Se obtuvieron del portal Geomedellin, curvas de nivel urbanas 2000 y curvas de nivel a nivel rural del municipio.

Se realizó una clasificación y depuración de dicha información para contar solo con la información pertinente que pueda llegar a dar datos más precisos y exactos para el proyecto.

6.2 Determinación del área de estudio

Para este caso fue importante abarcar hasta las Áreas de Intervención Estratégica (AIE) delimitadas en el acuerdo 048 de 2014.

6.3 Evaluación en distancia y altura del actual plano de proyección local de Medellín y SPL antiguo, es decir en datum Bogotá.

La valoración preliminar del actual SPL de Medellín se realizó usando el software ArcGIS 10.3, se tuvieron en cuenta para dicha valoración el origen MAGNA Medellín Antioquia 2010, de aquí en adelante será llamado: origen IGAC, que es consistente en altura y en coordenadas geográficas con el SPL PCS_MAG_Ant_Medellin actual sistema de coordenadas de Medellín, que de aquí en adelante será llamado:

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Medellín oficial, también se realizó esta valoración al SPL PCS_BOG_Ant_Medellin antiguo sistema de coordenadas de Medellín en datum Bogotá.

6.4 Evaluación de los orígenes más cercanos a Medellín

Evaluación de los orígenes verificando el área, en la cual el SPL es funcional, es decir, que cumpla con las dos condiciones tanto en distancia como en altura, para el caso de distancia o área de influencia serán 20 Km máximo, después de esta distancia la proyección sufrirá deformaciones significativas, y para el caso del rango de altura será 250m, según lo que certifica el IGAC.

La evaluación de los orígenes, será un estudio preliminar que dará como resultado un aproximado del área en la cual es funcional el SPL, para realizar esta selección se usa como herramienta el software ArcGIS, en primer lugar determinando en distancia hasta los 20Km, en segundo lugar para cumplir con la alturas se tuvo en cuenta el rango de los 250m, es decir entre la cota 1385 m.s.n.m. y 1635 m.s.n.m. se generó un polígono de influencia en el cual se calculó el área y se calculó el porcentaje con respecto al área total urbana del municipio de Medellín y el área total de las Áreas de Intervención Estratégicas del POT, acuerdo 048 del 2014.

La valoración realizada a los orígenes de los municipios cercanos a Medellín se hizo teniendo en cuenta, que el área que no cubre en altura el origen 2010, tiene cotas entre los 1686m y los 2070m, entonces, se tendrán en cuenta los orígenes que superen la altura 1510 m.s.n.m. en la altura del plano de proyección, la cual es la altura del plano de origen de Medellín.

6.5 Generación de una grilla en WGS84 con puntos muestrales en la zona de estudio.

Para realizar un análisis más a fondo de las deformaciones que se presentan en cada uno de los SPL usados por Medellín y sus proyecciones usadas, se realizó una grilla de puntos en Datum WGS84, de esta forma se garantiza que, al proyectarse en los diferentes sistemas de coordenadas locales, se tengan unos datos de origen patrón, en un sistema de coordenadas geográficas estandarizado, al tener la grilla y sus segmentos en dirección de los paralelos y los meridianos, se procedió a proyectarse en el SPL Medellín oficial y en el SPL origen IGAC.

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6.6 Comparación entre el SPL Medellín oficial y el SPL origen IGAC

Una vez se obtuvieron las coordenadas proyectadas en los dos SPL, se realizó una comparación entre estas, hallando las diferencias entre coordenadas Nortes y las diferencias entre las coordenadas Estés y distancia entre puntos.

6.7 Determinación de las tolerancias

Para determinar las tolerancias según cada escala se debe tener en cuenta el límite de percepción visual, es decir, lo que el ojo o el ser humano alcanza mínimo a ver en una cartografía o plano, a una escala determinada, el valor límite de percepción visual es de 0.2mm (Lpv). Y para que un elemento u objeto pueda ser representado en una cartografía se debe tener en cuenta el tamaño mínimo del elemento.

6.8 Determinación del rango de altura en el que los SPL son funcionales según la escala de representación.

Teniendo en cuenta que, “la tolerancia para una escala de representación es función de la magnitud que representa la mínima diferencia discriminable en el producto cartográfico. Entonces para vincular esta tolerancia con un PTL es necesario definir que diferencia de altura genera una deformación a lo sumo igual a la deformación definida según la escala.” (Fuentes Santibañez, 2006; Mena Berrios, 2008).

6.9 Determinación de la viabilidad en longitud de los PTL definidos según altimetría.

Se determino para la escala que exige mayor exactitud, que para este caso es la escala 1:500, se realizó la diferencia entre el K0 y el K para el punto límite de los puntos muestrales, es decir el punto más alejado en el área de estudio, posteriormente se determinó la deformación métrica entre los dos para una longitud de 20Km.

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6.10 Definición de un SPL alternativo usando el software transgeolocal que aplica coordenadas tridimensionales

A partir de las coordenadas Geográficas de la grilla elaborada, se obtuvieron las coordenadas Cartesianas Geocéntricas Tridimensionales (X, Y, Z) utilizando el Software Magna Pro3.

Utilizando el Software Transgeolocal se realizó una transformación de las coordenadas Cartesianas Geocéntricas Tridimensionales (X, Y, Z) a unas coordenadas Planas Cartesianas Locales (t, u, v) arrojadas por el software.

Luego de tener las nuevas coordenadas Cartesianas Locales (t, u, v), se eligió el punto que mejor se adapte a las condiciones del terreno para nuestro caso en particular el punto central de nuestra grilla con una altura media de 1526.5, una vez señalado este punto el software reconoce que ese será el nuevo punto de origen para el nuevo SPL y recalculas las coordenadas (t, u, v) de todos los puntos.

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6.10 Diagrama de flujo proceso metodológico

Determinación grilla con los puntos muestrales

Comparación de las coordenadas obtenidas

Determinación de tolerancias según escala

de representación

Determinación de rangos de altura según escala

Proyección de los puntos muestrales en los SPL

Evaluación preliminar de los SPL en

distancia y altura

Identificación de deficiencias del SPL

Recopilación y revisión de información secundaria

Determinación de las deformaciones

Determinación de los factores de escala

Evaluación del SPL

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7 RESULTADOS

7.1 Evidencia de la Información recopilada.

NORMATIVIDAD GENERAL

•OGC - ISO 1911 Información geográfica Sistemas de referenciaespaciales por coordenadas.

•IGAC - AASPECTOS TECNICOS ADOPCION MAGNA SIRGAS

•NORMAS - NTC 5043 (CALIDAD DE DATOS GEOGRAFICOS)

INFORMACIÓN TECNICA

ESPECIFICA

•GEO MEDELLIN - Estándares Básicos para Manejo de Información Geográfica.

•GEO MEDELLIN - Instructivo de Migración de datum Bogotá a Datum Magna

CONCEPTOS GENERALES

CARTOGRAFICOS

•Calidad de Datos Geoespaciales

•Sistemas de Coordenadas de referencia

INFORMACIÓN TEÓRICO PRACTICA GENERAL

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Ilustración 9: Información geográfica en SHP. Fuente: propia

INFORMACIÓN DIGITAL EN

FORMATO SHP

•MGM. Municipios

•MGM. Manzanas

•Planificacion Complementaria

•Areas de Intervencion estrategica

•Curvas de Nivel 2000 y 5000

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA

• Consulta de Puntos Geodesicos en Medellin.

• Consulta de los origenes de los municipios cercanos a Medellin.

INFORMACIÓN GEOGRÁFICA DIGITAL

40

Ilustración 10: Línea de tiempo SPL de Medellín oficiales. Fuente: propia.

7.2 Delimitación del área de estudio

La ciudad de Medellín está ubicada en el Valle de Aburrá en el departamento de Antioquia, a los -75.521 y -75.646 de longitud y de latitud entre los 6.171 y 6.314. Para el área de estudio se tuvo en cuenta el Plan de Ordenamiento Territorial, en el acuerdo 048 de 2014 hay delimitadas una zonas denominadas Áreas de Intervención Estratégica (AIE), en estas zonas se harán proyectos y megaproyectos que necesitaran trabajos topográficos y cartográficos a nivel de ingeniería, los polígonos que conforman estas AIE están representados en la ilustración 11 en color rosado, como se puede observar, va mucho más allá del límite urbano actual, delimitado en la misma ilustración en color azul.

41

Ilustración 11: Determinación del área de estudio. Fuente: propia.

7.3 Análisis preliminar en distancia y altura del SPL actual y anterior

Para empezar el análisis y evaluación de los orígenes o SPL más cercanos a Medellín, fue necesario realizar un análisis preliminar, que dio una primera idea de la pertinencia, funcionalidad y de cobertura del plano de proyección local, esta evaluación inicial se realizó visualizando la cobertura en distancia la cual es 20Km a partir del origen, como resultado se generó un Buffer con dicha distancia, y para la parte altimétrica se seleccionaron las curvas que están dentro de rango de cobertura del plano de proyección, que es entre los 1385m y los 1635m como se observa en la ilustración 12.

42

Ilustración 12: Selección curvas de nivel rango funcional del plano de proyección. Fuente: propia.

Como resultado del proceso anterior, se generó un polígono de influencia en altura del SPL, con este polígono de influencia se calculó el porcentaje de área donde el origen es funcional, este porcentaje se determinó para el área urbana total y para el polígono de las Áreas de Intervención Estratégica. Este resultado se puede observar en la ilustración 12, donde el polígono de influencia está representado en color azul cian.

Ilustración 13: Polígono de influencia del SPL oficial de Medellín. Fuente: propia.

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También se realizó el mismo proceso para el SPL anterior de Medellín es decir con datum Bogotá, altura 1600m y una proyección Azimuthal_Equidistant, de esta forma conocer, cuál era el área que el plano de proyección antiguo cubría, teniendo en cuenta el rango de altura y la distancia.

Ilustración 14: Polígono de influencia, antiguo SPL de Medellín. Fuente: propia.

De la evaluación preliminar del área de influencia de los SPL, también se generaron las respectivas tablas del área de influencia.

PCS_BOG_Ant_Medellin

ZONA (AREA) Km % FUNCIONAL % NO FUNCIONAL

AREA METROPOLITANA TOTAL 112.58 69 31

AREA INTERVENCION ESTRATEGICA 188.38 41 59

AREA INFLUENCIA 77.96 Tabla 1: Porcentaje área SPL Datum Bogotá.

Fuente: propia.

Medellín oficial

ZONA (AREA) Km % FUNCIONAL % NO FUNCIONAL

AREA METROPOLITANA 112.57 73 27

AREA INTERVENCION ESTRATEGICA 188.39 44 56

AREA INFLUENCIA 82.71 Tabla 2: Porcentaje área SPL Datum MAGNA.

Fuente: propia.

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También se proyectó en ArcGIS los círculos que representan el área de influencia de algunos orígenes más cercanos a Medellín, se tuvieron en cuenta los orígenes que tienen funcionalidad en las zonas con cota mayor a 1685 m y que tenían un alcance en distancia sobres las áreas que el SPL oficial no cubre, los cuales son Rionegro a 2136 m, Angelópolis a 1892 m y Guarne a 2090 m.

NOMBRE ORIGEN

PLANO PROYECCIÓN

(m) RANGO ALTURA

ANTIOQUIA-ANGEL POLIS-2010 1892 1767 2017

ANTIOQUIA-BELLO-2010 1510 1385 1635

ANTIOQUIA-COPACABANA-2010 1510 1385 1635

ANTIOQUIA-EBAJICO-2010 1199 1074 1324

ANTIOQUIA-ENVIGADO-2010 1510 1385 1635

ANTIOQUIA-GUARNE-2010 2090 1965 2215

ANTIOQUIA-HELICONIA-2010 1430 1305 1555

ANTIOQUIA-ITAGUI-2010 1510 1385 1635

ANTIOQUIA-LA ESTRELLA-2010 1510 1385 1635

ANTIOQUIA-RIONEGRO-2010 2136 2011 2261

ANTIOQU-SAN JERONIMO-2010 740 615 865 Tabla 3: Orígenes cercanos a Medellín.

Fuente: propia.

En la ilustración 15, se muestra el alcance y cobertura en distancia de cada uno de los orígenes anteriormente nombrados, Angelópolis en color amarillo, Guarne en color morado y Rionegro en color verde.

Ilustración 15: Alcance en distancia de los orígenes Rionegro, Angelópolis y Guarne.

45

Fuente: propia.

7.4 Realización de la grilla con los puntos muestrales en los vértices

La grilla de puntos muestrales se realizó teniendo en cuenta toda el área de estudio, a una misma distancia, como se hizo en coordenadas geográficas, se escogió como medida, tanto para los paralelos como para los meridianos un minuto 1’, lo cual es aproximadamente en arco meridiano 1842.967 m y para el arco paralelo 1845.017 m en la latitud de 6° a 7° (INE, 2017).

Para realizar la comparación de los segmentos es necesario enumerar o denominar cada uno, como se muestra en la ilustración 16, ya que esto, facilitará posteriormente identificar cada segmento dentro de la grilla y la ubicación en el área de estudio.

Ilustración 16: Denominación segmentos de la grilla de puntos muestrales. Fuente: propia.

Al finalizar la grilla se obtuvieron en toral 121 puntos, que dieron como resultado 11 líneas en los paralelos segmentados por los puntos, y 11 líneas en los meridianos igualmente segmentados por los puntos, como se observa en la ilustración 17.

46

Ilustración 17: Cobertura de la grilla de puntos muestrales. Fuente: propia.

7.5 Proyección de la grilla en cada uno de los sistemas de proyección local

Al proyectar la grilla en los dos Sistemas de proyección local que se están comparando, Medellín oficial y origen IGAC, se realizaron diferentes tablas comparativas, no solo de las deformaciones generadas al pasar de arco meridiano y arco paralelo a cada proyección en estudio, sino también, las deformaciones al compararlas entre si, con los datos obtenidos se generaron gráficas, para visualizar como se comportaban cada uno de los segmentos de recta de la grilla y su total.

7.6 Comportamiento de los meridianos en el SPL Medellín oficial y el SPL origen IGAC.

N° ARCO MERIDIANO (m) MED_OFICIAL (m) Δ ARCMER - MED_OFICIAL (m)

1 18429.67 18435.660 5.990

2 18429.67 18435.650 5.980

3 18429.67 18435.643 5.973

4 18429.67 18435.636 5.966

5 18429.67 18435.631 5.961

6 18429.67 18435.628 5.958

7 18429.67 18435.626 5.956

8 18429.67 18435.626 5.956

9 18429.67 18435.628 5.958

10 18429.67 18435.630 5.960

11 18429.67 18435.635 5.965 Tabla 4: Deformaciones en los meridianos al proyectar la grilla a Medellín oficial.

Fuente: propia.

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Gráfica 1:Proyección meridianos Medellín oficial. Fuente: propia.

Gráfica 2: Deformaciones meridianos Medellín oficial. Fuente: propia.

N° ARCO MERIDIANO

(m) IGAC 2010 (m) Δ ARCMER - IGAC 2010 (m)

1 18429.67 18435.617 5.95

2 18429.67 18435.617 5.95

3 18429.67 18435.617 5.95

4 18429.67 18435.617 5.95

5 18429.67 18435.617 5.95

6 18429.67 18435.617 5.95

7 18429.67 18435.617 5.95

8 18429.67 18435.617 5.95

9 18429.67 18435.617 5.95

10 18429.67 18435.617 5.95

11 18429.67 18435.617 5.95 Tabla 5: Deformaciones en los meridianos al proyectar la grilla a origen IGAC.

Fuente: propia.

18435.600

18435.610

18435.620

18435.630

18435.640

18435.650

18435.660

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

PCS_MAG_Ant_Medellin

5.990

5.9805.973

5.9665.961

5.958 5.956 5.956 5.958 5.9605.965

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

PCS_MAG_Ant_Medellin

48

Gráfica 3: Proyección meridianos origen IGAC. Fuente: propia.

En la siguiente ilustración se puede apreciar grosso modo como se deformaron los meridianos en la proyección cartesiana que usa el IGAC.

Ilustración 18: Comportamiento de la proyección de los meridianos.

Fuente: propia.

N° MED_OFICIAL (m) ORIG_IGAC (m) Δ MED_OFICIAL - IGAC 2010 (m)

1 18435.660 18435.617 0.043

2 18435.650 18435.617 0.033

3 18435.643 18435.617 0.026

4 18435.636 18435.617 0.019

5 18435.631 18435.617 0.014

6 18435.628 18435.617 0.011

7 18435.626 18435.617 0.009

8 18435.626 18435.617 0.009

9 18435.628 18435.617 0.011

10 18435.630 18435.617 0.013

11 18435.635 18435.617 0.018 Tabla 6: Diferencias en distancia en los meridianos entre Medellín oficial y origen IGAC.

Fuente: propia.

18435.600

18435.604

18435.608

18435.612

18435.616

18435.620

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

MAGNA_Antioquia_Medell in_2010

49

Gráfica 4: Comparación de meridianos entre Medellín oficial y origen IGAC. Fuente: propia.

Gráfica 5: Diferencias de distancia entre Medellín oficial y origen IGAC. Fuente: propia.

18435.590

18435.600

18435.610

18435.620

18435.630

18435.640

18435.650

18435.660

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

MED_OFICIAL IGAC

0.043

0.033

0.026

0.019

0.0140.011

0.009 0.0090.011

0.013

0.018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

OFICIAL - IGAC

50

7.7 Comportamiento de los paralelos en el SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC.

N° ARCO PARALELO (m) MED_OFICIAL (m) Δ ARCPAR - MED_OFICIAL (m)

1 18450.17 18445.438 4.732

2 18450.17 18446.028 4.142

3 18450.17 18446.616 3.554

4 18450.17 18447.203 2.967

5 18450.17 18447.788 2.382

6 18450.17 18448.372 1.798

7 18450.17 18448.955 1.215

8 18450.17 18450.114 0.056

9 18450.17 18450.114 0.056

10 18450.17 18450.692 -0.522

11 18450.17 18451.268 -1.098 Tabla 7: Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a Medellín oficial.

Fuente: propia.

Gráfica 6: Proyección paralelos Medellín oficial. Fuente: propia.

18442 18444 18446 18448 18450 18452

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

PCS_MAG_Ant_Medell in

51

Gráfica 7: Deformaciones paralelos Medellín oficial. Fuente: propia.

N° ARCO PARALELO (m) IGAC (m) Δ ARCPAR - MED_OFICIAL (m)

1 18450.17 18445.429 4.741

2 18450.17 18446.019 4.151

3 18450.17 18446.608 3.562

4 18450.17 18447.195 2.975

5 18450.17 18447.780 2.390

6 18450.17 18448.364 1.806

7 18450.17 18448.946 1.224

8 18450.17 18449.527 0.643

9 18450.17 18450.106 0.064

10 18450.17 18450.684 -0.514

11 18450.17 18451.260 -1.090 Tabla 8:Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a Origen IGAC.

Fuente: propia.

4.732

4.142

3.554

2.967

2.382

1.798

1.215

0.635

0.056

-0.522

-1.098

-2.000 -1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

52

Gráfica 8: Deformaciones paralelos origen IGAC. Fuente: propia.

Como se puede observar en la ilustración 19, se da una idea de cómo la grilla sufrió la deformación al ser proyectada.

Ilustración 19: Comportamiento de la proyección de los paralelos. Fuente: propia.

4.741

4.151

3.562

2.975

2.390

1.806

1.224

0.643

0.064

-0.514

-1.090

-2.000 -1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

53

N° MED_OFICIAL (m) ORIG_IGAC (m) Δ MED_OFICIAL - ORIG_IGAC (m)

1 18435.660 18435.617 0.043

2 18435.650 18435.617 0.033

3 18435.643 18435.617 0.026

4 18435.636 18435.617 0.019

5 18435.631 18435.617 0.014

6 18435.628 18435.617 0.011

7 18435.626 18435.617 0.009

8 18435.626 18435.617 0.009

9 18435.628 18435.617 0.011

10 18435.630 18435.617 0.013

11 18435.635 18435.617 0.018 Tabla 9: Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a origen IGAC.

Fuente: propia.

Se realizó una prueba de varianzas en excel a los resultados obtenidos de las diferencias en longitud de las dos proyecciones en estudio para comprobar que los datos no son iguales, se realizó la prueba para los datos resultantes de los paralelos y de los meridianos, las evidencias de las pruebas se observan en las tablas 10 y 11.

5.99 5.947

Media 5.9633 5.947

Varianza 6.24556E-05 0

Observaciones 10 10

Diferencia hipotética de las medias 0

Grados de libertad 9

Estadístico t 6.52231946

P(T<=t) una cola 5.42992E-05

Valor crítico de t (una cola) 1.833112933

P(T<=t) dos colas 0.000108598

Valor crítico de t (dos colas) 2.262157163 Tabla 10: Prueba de varianzas a los meridianos.

Fuente: propia

54

.

4.732 4.741

Media 1.5129 1.5211

Varianza 3.107656322 3.108174544

Observaciones 10 10

Diferencia hipotética de las medias 0

Grados de libertad 18

Estadístico t -0.01040074

P(T<=t) una cola 0.495907984

Valor crítico de t (una cola) 1.734063607

P(T<=t) dos colas 0.991815969

Valor crítico de t (dos colas) 2.10092204 Tabla 11:Prueba de varianzas a los paralelos.

Fuente: propia.

7.8 Comparación entre las Coordenadas Proyectadas de los Puntos muestrales del SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC.

los resultados obtenidos de las diferencias entre las coordenadas del SPL Medellín oficial y origen IGAC se encuentran en el anexo 3, de los resultados de la comparación se generaron unas isolineas que representan las diferencias entre las coordenadas.

55

Ilustración 20: Puntos según la diferencia entre Medellín oficial y origen IGAC. Fuente: propia.

7.9 Deformaciones presentadas teniendo en cuenta los factores de escala.

Se tuvieron en cuenta tres criterios para determinar las deformaciones presentadas, en primer lugar, el factor de escala del punto de origen, en segundo lugar, el factor de escala puntual, y en tercer lugar la precisión relativa, se calcularon los factores de deformación (K) según la topografía y se determinaron las deformaciones de los puntos muestrales del área de estudio, las cuales se observan a detalle en el anexo 5, en la ilustración 21 se observa una clasificación según las deformaciones generadas.

56

Ilustración 21: Clasificación según deformaciones por altura. Fuente: propia.

7.10 Determinación de las tolerancias

Según como se expuso en la metodología, para hacer la determinación de las tolerancias se tuvo en cuenta el límite de percepción visual y la escala, como resultado, se obtuvo cada uno de los valores de tolerancia según la escala, como se muestra en la tabla 12.

ESCALA TOLERANCIA

1:500 0.1

1:1000 0.2

1:2000 0.4

1:5000 1 Tabla 12: Tolerancias.

Fuente: propia.

57

7.11 Determinación del rango de altura en el que los SPL son funcionales según la escala Aplicando los pasos expuestos en el punto 6.8 de la metodología se obtiene una tabla, que muestra para cada cota máxima y mínima de Medellín, cuantos SPL o planos de proyección local, se necesitaran según cada escala de representación para que cumpla las tolerancias, dicha tabla se observa a continuación.

ESCALA 1:500 1:1000 1:2000 1:5000

ΔH (Kh) 60 130 250 600

SPL1 1450 1510 1510 1510

SPL2 1510 1640 1760 2110

SPL3 1570 1770 2010 2710

SPL4 1630 1900 2260 SPL5 1690 2030 2510 SPL6 1750 2160

SPL7 1810 2290

SPL8 1870 2420 SPL9 1930 2550

SPL10 1990

SPL11 2050

SPL12 2110

SPL13 2170

SPL14 2230

SPL15 2290

SPL16 2350

SPL17 2410

SPL18 2470 Tabla 13: Rango de alturas de los SPL según tolerancias.

Fuente: propia.

58

7.12 Determinación de los factores de deformación de escala para cada SPL determinado según la altura. Usando la formula, K = (R+H)/R, se obtienen cada uno de los factores de deformación (K) según la altura de los sistemas de proyección locales, que se obtuvieron en la tabla 11 y que se presentan en la tabla 13.

1:500 1:1000 1:2000 1:5000

SPL1 1.0002280859 1.0002375239 1.0002375239 1.0002375239

SPL2 1.0002375239 1.0002579730 1.0002768490 1.0003319042

SPL3 1.0002469619 1.0002784220 1.0003161742 1.0004262846

SPL4 1.0002564000 1.0002988711 1.0003554993 SPL5 1.0002658380 1.0003193202 1.0003948245 SPL6 1.0002752760 1.0003397693

SPL7 1.0002847141 1.0003602183

SPL8 1.0002941521 1.0003806674

SPL9 1.0003035901 1.0004011165

SPL10 1.0003130282

SPL11 1.0003224662

SPL12 1.0003319042

SPL13 1.0003413423

SPL14 1.0003507803

SPL15 1.0003602183

SPL16 1.0003696564

SPL17 1.0003790944

SPL18 1.0003885325 Tabla 14: Factores de escala según rangos de alturas.

Fuente: propia.

7.13 Determinación de los SPL teniendo en cuenta las diferencias de longitud Para el caso del plano de proyección oficial de Medellín, que es un caso particular de una proyección TM, que se conoce en algunos países como una local transversa de Mercator (LTM), se debe determinar la longitud adecuada para que se cumpla con la precisión y procurar que estas diferencias sean menores a la tolerancia requerida para la escala de representación.

59

Para tal fin como se definió en la metodología haciendo la diferencia entre el K0 obtenidos de los PTL según altimetría y el K del punto más alejado de los puntos muestrales de la zona en estudio.

7.8 Definición de un SPL usando el Software Transgeolocal

Ilustración 22: Origen transgeolocal. Fuente propia.

Una vez realizada la transformación de coordenadas se obtienen las coordenadas Cartesianas Locales (t, u, v).

Punto t u v dn 0 -12192.25 -7839.758 2507.23 954.174 1 -10346.04 -7839.507 2017.14 467.344 2 -8500.424 -7839.483 1757.04 209.969 3 -6655.112 -7839.586 1646.93 102.051 4 -4809.909 -7839.705 1596.88 53.659 5 -2964.773 -7839.865 1626.88 84.782 6 -1119.632 -7840.065 1736.94 195.433 7 725.594 -7840.455 2047.05 505.6 8 2571.077 -7841.022 2547.14 1005.213 9 4416.503 -7840.912 2547.21 1004.272 10 6261.977 -7840.805 2597.21 1052.728

Tabla 15: Ejemplo de las coordenadas Cartesianas Locales obtenidas del software Transgeolocal.

60

Además, el software muestra algunos parámetros para tener en cuenta cuando se esté eligiendo el punto que mejor represente el origen del Sistema de Proyección Local, como lo son:

Los valores máximos y mínimos de las coordenadas t y u para permitir el control de los límites del plano topográfico;

Se calculan además valores de control de calidad:

1 - El error absoluto al tomar la tangente por el arco, usando:

ΔD = Dh ^ 3 / (3 * R ^ 2)

donde:

ΔD = error absoluto;

Dh = mayor coordenada, en valor absoluto, de las que aparecen en la pantalla; R = (M * N) ^ 0,5. 2 - El módulo del error relativo, usando:

ΔD (relativo) = Dh / ΔD

3 - El M = módulo de la escala, usando la siguiente fórmula:

M = Dh ^ 3 / (3 * R ^ 2 * 10 ^ -4)

Este módulo de escala indica la escala más grande (menor módulo) que se puede utilizar para que la representación del error corresponda a 0,1 mm. Así no habrá error en la representación gráfica al tomar la tangente por el arco.

4 - El módulo de la precisión planimétrica, Establece el módulo del error relativo debido a la reducción de la distancia al ser proyectada en el plano topográfico medio:

Módulo = R / CM

Donde R = Rayo medio = (M * N) ^ 0,5 y CM = al mayor desnivel entre el punto de origen y cualquier punto.

Ilustración 23: Ejemplo de los Parámetros para la elección del Punto de origen del SPL.

Fuente: propia.

61

8 ANALISIS DE LOS RESULTADOS

8.1 Análisis preliminar de áreas

Al realizar el análisis del porcentaje de área total donde el SPL cubre tanto en distancia como en altura, se presentaron las tablas del SPL Medellín oficial, y el de Bogotá PCS_BOG_Ant_Medellin, es importante resaltar, que no se presentó la tabla del SPL origen IGAC, ya que, los parámetros de cobertura en distancia (20 Km) y el altura (250m) aplicaban de la misma forma, teniendo en cuenta que el punto origen es el mismo y la altura medio es la misma de 1510 m.s.n.m., en este caso son consistentes.

Al observar tanto los mapas como las tablas, se puede entender la pertinencia del cambio de altura del SPL, Medellín hasta el 2008 había tenido como altura en sus planos de proyección 1600 m.s.n.m., pero, para el ultimo y actual SPL cambio la altura a 1510 m.s.n.m.

Teniendo un plano de proyección a los 1600m solo cubre el 69% del área declarada urbana y tan solo un 41% del área de intervención estratégica del POT y deja por fuera una parte importante y central de la ciudad, que tiene cotas por debajo de los 1475m, por toda la autopista norte desde la calle 58 hacia el norte, mientras que el plano de proyección a la altura de los 1510m tiene una cobertura del 71% en el área urbana y un 44% sobre las áreas de intervención estratégica.

8.2 Evaluación de los orígenes cercanos

La evaluación de los orígenes cercanos se hizo con la intención de determinar los posibles orígenes, que puedan proyectar las zonas en las cuales el SPL oficial no cumple en altura y de esta forma generar información cartográfica lo menos deformada posible.

San Antonio tiene alturas entre los 1630m hasta los 2020m, lo cual da como resultado que el 90% de esta área queda sin cobertura por altimetría del SPL oficial. Para el caso de Angelópolis se tuvo en cuenta porque su rango de altura va desde los 1767m a los 2017 y su alcance llega hasta la parte más suroriental de la ciudad incluido San Antonio, que puede ser suplida por este origen para cartografía, ya que cumple, tanto en altura como en distancia.

Para el caso de Guarne que también se tuvo en cuenta, cubre en distancia gran parte de la zona urbana y de las AIE, y este origen cubre un rango de altura desde los 1965m hasta los 2215m, toda la zona del área urbana nororiental que tiene cotas

62

entre los 1660m y los 1870m, queda por fuera de la cobertura del SPL oficial, y guarne puede ser usado para la elaboración de trabajos topográficos con deformaciones aceptables, ya que el origen de Guarne cubre en distancia y altura esta zona, también se puede decir lo mismo para toda la franja occidental del área urbana y de las AIE que no quedan cubiertas por el origen Medellín 2010.

En cuanto al origen de Rionegro se tuvo en cuenta, porque cubre una parte importante de las AIE del POT que es susceptible a megaproyectos y por lo cual es importante poder contar en esa zona con un origen que tenga cobertura para representaciones cartográficas, que sirvan para proyectos a nivel de ingeniería.

8.3 Proyección de los meridianos en el SPL Medellín oficial

Es importante recordar que el SPL Medellín oficial usa una proyección Transverse_Mercator. Como se pudo apreciar en la tabla 4 de comparación entre la distancia de arco meridiano de la grilla y la distancia de cada segmento de meridiano en el anexo 4, al ser proyectada en el sistema oficial de Medellín, las distancias de cada meridiano crecen aproximadamente 5.966 m, pero no es constante en todos, ya que, en los meridianos 7 y 8, que es precisamente donde se encuentra ubicado el punto de origen, se mantienen constantes en un aumento de 5.956m con respecto al arco meridiano y a medida que se aleja de estos dos últimos van aumentando.

8.4 Proyección de los meridianos en el SPL en el origen IGAC

Este SPL a diferencia del oficial de Medellín usa una proyección cartesiana, es decir, un plano, los meridianos en esta proyección aumentan constantemente en comparación de los arco meridianos de la grilla, en 5.95 m.

8.5 Proyección de los paralelos en el SPL Medellín oficial

Como se pudo observar tanto en la tabla 7 como en la gráfica 6 y observarse a mayor detalle en el anexo 4, los paralelos se comportan en aumento a medida que se acercan al ecuador, es decir hacia el sur, y van aumentando en promedio en 0.58m uno del otro. En comparación con las distancias de los arco paralelos de la grilla inicial y observando la gráfica 7 hay una deformación máxima de 4.732 m

63

menor que el de la grilla inicial en el primer paralelo, es decir, en el paralelo que se encuentra más hacia el norte y van aumentando hacia llegar a una diferencia de 0.056m en el paralelo 9 y entre el paralelo 10 y 11 la diferencia es negativa, es decir, que la distancia de los paralelos 10 y 11 es mayor que la distancia de los arco paralelos 10 y 11 de la grilla inicial.

8.6 Proyección de los paralelos en el SPL origen IGAC

Los paralelos en este SPL se comportan de la misma manera que en la proyección oficial de Medellín, es decir, aumentan su distancia a medida que se acercan al ecuador en 0.58m en promedio y alcanzan su máxima deformación en el paralelo que está más hacia el norte en 4.741m menor que el arco paralelo 1 de la grilla inicial y en el paralelo 11 que es, el que se encuentra ubicado en el sur, su deformación es de 1.09m mayor que este mismo arco paralelo de la grilla inicial.

8.7 Comparación entre los meridianos y paralelos de los SPL Medellín oficial y origen IGAC

Teniendo en cuenta que los meridianos en las dos proyecciones se comportan de manera diferente, las diferencias entre estos también varían, en los meridianos 7 y 8, que es donde está ubicado el origen, es donde se encuentra la diferencia mínima de 0.009m entre las dos proyecciones y va en aumento hasta alcanzar 0.043 m en el meridiano más alejado de estos dos.

La diferencia que se presenta a nivel de paralelos, entre estos dos SPL es de 0.009m ya que se comportan de la misma manera, siendo mayor el sistema Medellín oficial.

8.8 Comparación entre las Coordenadas Proyectadas de los Puntos muestrales del SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC.

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos de la comparación entre las coordenadas de los SPL origen IGAC y el SPL Medellín oficial, se encontraron diferencias en las Estes, entre el orden de los 0.001m y los 0.008m, y en las Nortes se encontraron diferencias de 0.001m y 0.023m, el listado de las diferencias se puede observar a detalle en el anexo 3.

64

De los resultados se puede determinar que existe una correlación perfecta positiva entre las coordenadas, no se generó una diferencia significativa, es decir, las diferencias no superan la mínima tolerancia permitida de 0.1 m en la escala de representación 1:500.

Es importante resaltar que el SPL Medellín oficial es consistente con el SPL origen IGAC, por lo tanto, de aquí en adelante se habla del SPL de Medellín sin hacer énfasis, de cuál de los dos SPL oficiales de Medellín se está hablando.

8.9 Evaluación del SPL de la ciudad de Medellín según área de influencia y rango de altura

Basados primordialmente en las especificaciones del IGAC en cuanto al alcance de los parámetros de distancia (20Km) y de altura (250m) que hay que tener presentes para que un sistema de proyección sea válido, y teniendo en cuenta que la ciudad está en un constante crecimiento, el sistema de proyección de Medellín Datum MAGNA no alcanza a cubrir en su totalidad las áreas de macroproyectos que se tienen a futuro, donde es funcional en solo el 44% del área de la ciudad incluidas las áreas de intervención estratégica del POT, no sería válido trabajar con el actual sistema a escalas de gran detalle, por consiguiente los proyectos que se tengan a futuro como vías, ampliaciones del metro o proyectos de urbanizaciones quedaran expuestos a sufrir inconvenientes al momento de la construcción.

8.10 Determinación de los rangos de altura según la tolerancia de la escala

Es importante tener en cuenta, que, según las tolerancias de las escalas, las cuales se presentaron en la tabla 12, que están en función de la mínima distancia que se puede representar en una cartografía para cada escala, también se determinaron los rangos de altura que sean consistentes con esta misma tolerancia, ya que a medida que los objetos se alejan de la altura del plano de proyección, pueden sufrir deformaciones significativas para el diseño y ejecución de proyectos de ingeniería.

Como resultado se obtuvieron los PTL, para poder cumplir con la tolerancia y poder representar toda el área urbana desde su cota mínima de 1420 m y máxima de 2470 m, fue necesario determinar varios PTL por cada escala, para la escala 1:500 se obtuvieron 18 PTL, para la escala 1:1000 se obtuvieron 9 PTL, para la escala 1:2000 se obtuvieron 5 PTL y para la escala 1:5000 se cubría toda el área con 2 PTL.

65

Para cada plano se determinó el factor de escala (K) teniendo en cuenta que cada uno es independiente del otro.

8.11 Determinación de los PTL teniendo en cuenta las diferencias de longitud

Se obtuvo una deformación inherente a la proyección de 0.037m, tal valor está por debajo de la tolerancia para la escala 1:500, es decir 0.1m, lo cual indica que cumplirá para el resto de los PTL determinados.

8.12 SPL definido usando el software transgeolocal

De los resultados obtenidos se pudo establecer un mejor punto de origen para el Sistema de Proyección Local para Medellín. Este punto de origen del listado de coordenadas el seleccionado fue el N° 60 por ser el que menor Error Absoluto presentaba 0.00648, además porque el Módulo de Precisión Planimétrico es de 4410.22245. Además, por su posición central frente a los demás puntos y frente al área de cubrimiento de la ciudad de Medellín.

Ilustración 24: Puntos transgeolocal. Fuente: propia.

Parámetros para el punto de Origen

Al aplicar el método de rotaciones y traslaciones no hay necesidad de establecer límites para el intervalo de diferencia de nivel entre el PTL y los puntos de mayor o menor altitud. Respetadas las dimensiones máximas del plano, un solo PTL

66

implantado a cualquier altura elipsoidal, o altitud, siempre mantendrá la exactitud obtenida en el levantamiento.

Como las alturas elipsoidales están vinculadas en las coordenadas Geodésicas, la posición de cada punto en el SPL establece la verdadera distancia horizontal entre los puntos de la grilla y no con la distancia elipsoidal elevada al plano medio por la aplicación del factor de elevación. En este caso, todas las coordenadas de los puntos (X, Y, H) sólo presentarán los errores inherentes a las operaciones geodésicas y topográficas empleadas, es decir, están exentas de la influencia del factor de reducción o ampliación y del factor de elevación.

Como se puede observar en el anexo 6 las diferencias obtenidas entre las magnitudes de los vectores de cada uno de los puntos muestrales al punto de origen y al punto 60 que es aproximadamente el punto centroide del área de estudio, se pudo determinar por los resultados que, presenta menores diferencias el punto 60 con respecto al punto origen.

67

9 CONCLUSIONES

• Al revisar la información secundaria recopilada, se identificó primordialmente que hay dos sistemas de proyección locales oficiales para Medellín, uno definido por el IGAC y otro definido por la subsecretaria de tecnología y gestión de la información de Medellín, los dos cuentan con los soportes normativos y técnicos que los sustentan y respaldan, estos dos SPL tienen en común, los parámetros del punto de origen, tanto en la ubicación geográfica como en la altura, pero difieren en la proyección usada.

• Entre el SPL origen IGAC y el SPL Medellín oficial, existe una correlación positiva entre las coordenadas y las diferencias encontradas están entre los 0.0005m y los 0.023m, por lo cual se pudo determinar que los dos SPL son consistentes.

• El actual SPL de Medellín se encuentra proyectado sobre los 1510 m.s.n.m y el punto máximo de altura sobre el área de estudio se encuentra sobre los 2470m.s.n.m, lo cual indica una diferencia de 960m, teniendo en cuenta las especificaciones del IGAC, que recomienda un rango de cobertura en altura de 250m, el plano de proyección solo alcanza a cubrir hasta los 125m, en este orden de ideas, serian 835m los que se quedarían por fuera de lo permitido, esto explica porque un 56% del área no tiene cobertura por el actual SPL.

• Considerando las especificaciones del IGAC y las tolerancias permitidas observadas en la tabla 12 para la representación en cartografías, se encontró que el SPL para Medellín no es idóneo para cartografías a escalas grandes de representación, ya que las tolerancias permitidas teniendo en cuenta las alturas son superadas y los proyectos de ingeniería que a futuro se pretendan desarrollar como vías, ampliaciones del metro o proyectos de urbanizaciones quedaran expuestos a sufrir inconvenientes al momento de la ejecución.

• El software Transgeolocal nos muestra parámetros que son de fácil identificación y comprensión, lo cual permite tener un control de calidad y conocimiento de los parámetros que se deben tener en cuenta en la elección del Punto de Origen para el nuevo Sistema de Proyección Local. El método de rotación y traslación que este software utiliza presenta un resultado más exacto, pues es independiente al establecimiento de los limites en cuanto a las altitudes involucradas.

68

10 RECOMENDACIONES

• Es conveniente hacer un buen uso de los factores de escala y de elevación

para corregir distancias tomadas directamente de campo y proyectadas, ya que al momento de llevar a cabo un replanteo de un proyecto de ingeniería los errores que se presentan serán despreciables.

• Los trabajos topográficos y de ingeniería en San Antonio se verían beneficiados, usando el origen de Angelópolis, ya que tiene cobertura altimétrica hasta la cota 2017m a diferencia del SPL oficial que por tener cobertura solo hasta la cota 1685m, cubre solo aproximadamente un 10%.

• Se aconseja seguir investigando que implicaciones tiene inflar el elipsoide teniendo en cuenta no solo el cambio en las Nortes y Estes, haciendo énfasis en el cambio de la altura elipsoidal.

• Se recomienda, además, estudiar la posibilidad de estandarizar la obtención de coordenadas en un Sistema proyección local, también por el método de rotaciones y traslaciones, teniendo en cuenta coordenadas tridimensionales.

69

11 BIBLIOGRAFIA

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70

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71

ANEXO 1 Coordenadas geográficas puntos muestrales.

Id LATITUD LONGITUD Id LATITUD LONGITUD

0 6.15833333333 -75.67500000000 61 6.24166666667 -75.57500000000

1 6.15833333333 -75.65833333330 62 6.24166666667 -75.55833333330

2 6.15833333333 -75.64166666670 63 6.24166666667 -75.54166666670

3 6.15833333333 -75.62500000000 64 6.24166666667 -75.52500000000

4 6.15833333333 -75.60833333330 65 6.24166666667 -75.50833333330

5 6.15833333333 -75.59166666670 66 6.25833333333 -75.67500000000

6 6.15833333333 -75.57500000000 67 6.25833333333 -75.65833333330

7 6.15833333333 -75.55833333330 68 6.25833333333 -75.64166666670

8 6.15833333333 -75.54166666670 69 6.25833333333 -75.62500000000

9 6.15833333333 -75.52500000000 70 6.25833333333 -75.60833333330

10 6.15833333333 -75.50833333330 71 6.25833333333 -75.59166666670

11 6.17500000000 -75.67500000000 72 6.25833333333 -75.57500000000

12 6.17500000000 -75.65833333330 73 6.25833333333 -75.55833333330

13 6.17500000000 -75.64166666670 74 6.25833333333 -75.54166666670

14 6.17500000000 -75.62500000000 75 6.25833333333 -75.52500000000

15 6.17500000000 -75.60833333330 76 6.25833333333 -75.50833333330

16 6.17500000000 -75.59166666670 77 6.27500000000 -75.67500000000

17 6.17500000000 -75.57500000000 78 6.27500000000 -75.65833333330

18 6.17500000000 -75.55833333330 79 6.27500000000 -75.64166666670

19 6.17500000000 -75.54166666670 80 6.27500000000 -75.62500000000

20 6.17500000000 -75.52500000000 81 6.27500000000 -75.60833333330

21 6.17500000000 -75.50833333330 82 6.27500000000 -75.59166666670

22 6.19166666667 -75.67500000000 83 6.27500000000 -75.57500000000

23 6.19166666667 -75.65833333330 84 6.27500000000 -75.55833333330

24 6.19166666667 -75.64166666670 85 6.27500000000 -75.54166666670

25 6.19166666667 -75.62500000000 86 6.27500000000 -75.52500000000

26 6.19166666667 -75.60833333330 87 6.27500000000 -75.50833333330

27 6.19166666667 -75.59166666670 88 6.29166666667 -75.67500000000

28 6.19166666667 -75.57500000000 89 6.29166666667 -75.65833333330

29 6.19166666667 -75.55833333330 90 6.29166666667 -75.64166666670

30 6.19166666667 -75.54166666670 91 6.29166666667 -75.62500000000

31 6.19166666667 -75.52500000000 92 6.29166666667 -75.60833333330

32 6.19166666667 -75.50833333330 93 6.29166666667 -75.59166666670

33 6.20833333333 -75.67500000000 94 6.29166666667 -75.57500000000

34 6.20833333333 -75.65833333330 95 6.29166666667 -75.55833333330

35 6.20833333333 -75.64166666670 96 6.29166666667 -75.54166666670

36 6.20833333333 -75.62500000000 97 6.29166666667 -75.52500000000

37 6.20833333333 -75.60833333330 98 6.29166666667 -75.50833333330

72

38 6.20833333333 -75.59166666670 99 6.30833333333 -75.67500000000

39 6.20833333333 -75.57500000000 100 6.30833333333 -75.65833333330

40 6.20833333333 -75.55833333330 101 6.30833333333 -75.64166666670

41 6.20833333333 -75.54166666670 102 6.30833333333 -75.62500000000

42 6.20833333333 -75.52500000000 103 6.30833333333 -75.60833333330

43 6.20833333333 -75.50833333330 104 6.30833333333 -75.59166666670

44 6.22500000000 -75.67500000000 105 6.30833333333 -75.57500000000

45 6.22500000000 -75.65833333330 106 6.30833333333 -75.55833333330

46 6.22500000000 -75.64166666670 107 6.30833333333 -75.54166666670

47 6.22500000000 -75.62500000000 108 6.30833333333 -75.52500000000

48 6.22500000000 -75.60833333330 109 6.30833333333 -75.50833333330

49 6.22500000000 -75.59166666670 110 6.32500000000 -75.67500000000

50 6.22500000000 -75.57500000000 111 6.32500000000 -75.65833333330

51 6.22500000000 -75.55833333330 112 6.32500000000 -75.64166666670

52 6.22500000000 -75.54166666670 113 6.32500000000 -75.62500000000

53 6.22500000000 -75.52500000000 114 6.32500000000 -75.60833333330

54 6.22500000000 -75.50833333330 115 6.32500000000 -75.59166666670

55 6.24166666667 -75.67500000000 116 6.32500000000 -75.57500000000

56 6.24166666667 -75.65833333330 117 6.32500000000 -75.55833333330

57 6.24166666667 -75.64166666670 118 6.32500000000 -75.54166666670

58 6.24166666667 -75.62500000000 119 6.32500000000 -75.52500000000

59 6.24166666667 -75.60833333330 120 6.32500000000 -75.50833333330

60 6.24166666667 -75.59166666670

73

ANEXO 2 Coordenadas proyectadas al SPL origen IGAC Medellín 2010

ID Norte_Cart Este_Cart ID Norte_Cart Este_Cart

0 1172978.34 823188.299 61 1182194.89 834259.231

1 1172977.98 825033.426 62 1182194.88 836104.068

2 1172977.69 826878.551 63 1182194.93 837948.903

3 1172977.45 828723.677 64 1182195.04 839793.74

4 1172977.27 830568.804 65 1182195.21 841638.577

5 1172977.14 832413.929 66 1184039.71 823190.598

6 1172977.08 834259.055 67 1184039.35 825035.377

7 1172977.07 836104.182 68 1184039.06 826880.154

8 1172977.12 837949.307 69 1184038.82 828724.932

9 1172977.23 839794.433 70 1184038.64 830569.711

10 1172977.4 841639.56 71 1184038.51 832414.488

11 1174821.9 823188.68 72 1184038.45 834259.266

12 1174821.54 825033.749 73 1184038.44 836104.045

13 1174821.25 826878.816 74 1184038.49 837948.822

14 1174821.01 828723.885 75 1184038.6 839793.6

15 1174820.83 830568.954 76 1184038.77 841638.379

16 1174820.7 832414.022 77 1185883.27 823190.985

17 1174820.64 834259.09 78 1185882.92 825035.705

18 1174820.63 836104.159 79 1185882.62 826880.424

19 1174820.69 837949.227 80 1185882.38 828725.144

20 1174820.8 839794.295 81 1185882.2 830569.863

21 1174820.96 841639.364 82 1185882.08 832414.582

22 1176665.46 823189.062 83 1185882.01 834259.302

23 1176665.11 825034.073 84 1185882 836104.022

24 1176664.81 826879.083 85 1185882.06 837948.741

25 1176664.57 828724.093 86 1185882.17 839793.46

26 1176664.39 830569.104 87 1185882.34 841638.18

27 1176664.27 832414.114 88 1187726.83 823191.373

28 1176664.2 834259.125 89 1187726.48 825036.034

29 1176664.2 836104.136 90 1187726.18 826880.694

30 1176664.25 837949.146 91 1187725.94 828725.355

31 1176664.36 839794.157 92 1187725.76 830570.016

32 1176664.53 841639.168 93 1187725.64 832414.676

33 1178509.02 823189.444 94 1187725.57 834259.338

34 1178508.67 825034.397 95 1187725.57 836103.999

35 1178508.37 826879.349 96 1187725.62 837948.659

36 1178508.13 828724.302 97 1187725.73 839793.32

37 1178507.95 830569.255 98 1187725.9 841637.981

74

38 1178507.83 832414.207 99 1189570.39 823191.762

39 1178507.76 834259.16 100 1189570.04 825036.364

40 1178507.76 836104.114 101 1189569.74 826880.965

41 1178507.81 837949.065 102 1189569.5 828725.567

42 1178507.92 839794.019 103 1189569.32 830570.17

43 1178508.09 841638.972 104 1189569.2 832414.771

44 1180352.59 823189.828 105 1189569.13 834259.373

45 1180352.23 825034.723 106 1189569.13 836103.976

46 1180351.93 826879.617 107 1189569.18 837948.577

47 1180351.69 828724.512 108 1189569.29 839793.179

48 1180351.51 830569.407 109 1189569.46 841637.781

49 1180351.39 832414.301 110 1191413.96 823192.151

50 1180351.33 834259.196 111 1191413.6 825036.695

51 1180351.32 836104.091 112 1191413.3 826881.237

52 1180351.37 837948.985 113 1191413.06 828725.78

53 1180351.48 839793.88 114 1191412.88 830570.324

54 1180351.65 841638.775 115 1191412.76 832414.866

55 1182196.15 823190.213 116 1191412.7 834259.409

56 1182195.79 825035.049 117 1191412.69 836103.952

57 1182195.49 826879.885 118 1191412.74 837948.495

58 1182195.26 828724.722 119 1191412.85 839793.038

59 1182195.07 830569.559 120 1191413.02 841637.581

60 1182194.95 832414.394

Coordenadas proyectadas al SPL Medellín oficial 2010

ID Norte Este ID Norte Este

0 1172978.347 823188.2919 61 1182194.885 834259.231

1 1172977.995 825033.4208 62 1182194.879 836104.0674

2 1172977.701 826878.5488 63 1182194.931 837948.9039

3 1172977.465 828723.6761 64 1182195.041 839793.7406

4 1172977.286 830568.8029 65 1182195.21 841638.5777

5 1172977.164 832413.9292 66 1184039.711 823190.5909

6 1172977.101 834259.0553 67 1184039.354 825035.3718

7 1172977.094 836104.1813 68 1184039.055 826880.1518

8 1172977.146 837949.3074 69 1184038.815 828724.9311

9 1172977.255 839794.4336 70 1184038.633 830569.7099

10 1172977.421 841639.5603 71 1184038.51 832414.4883

11 1174821.904 823188.6725 72 1184038.445 834259.2664

12 1174821.552 825033.7438 73 1184038.439 836104.0445

13 1174821.257 826878.8142 74 1184038.491 837948.8226

75

14 1174821.02 828723.8839 75 1184038.602 839793.6009

15 1174820.841 830568.953 76 1184038.771 841638.3796

16 1174820.719 832414.0218 77 1185883.276 823190.9776

17 1174820.655 834259.0902 78 1185882.918 825035.7

18 1174820.649 836104.1586 79 1185882.618 826880.4215

19 1174820.701 837949.2271 80 1185882.377 828725.1423

20 1174820.81 839794.2958 81 1185882.195 830569.8625

21 1174820.977 841639.3648 82 1185882.072 832414.5824

22 1176665.464 823189.0542 83 1185882.007 834259.302

23 1176665.11 825034.0677 84 1185882 836104.0215

24 1176664.814 826879.0803 85 1185882.053 837948.741

25 1176664.577 828724.0922 86 1185882.164 839793.4608

26 1176664.397 830569.1036 87 1185882.334 841638.1809

27 1176664.275 832414.1146 88 1187726.842 823191.3654

28 1176664.211 834259.1253 89 1187726.483 825036.0291

29 1176664.205 836104.1359 90 1187726.183 826880.6919

30 1176664.256 837949.1466 91 1187725.941 828725.354

31 1176664.366 839794.1575 92 1187725.758 830570.0155

32 1176664.533 841639.1688 93 1187725.634 832414.6767

33 1178509.024 823189.4368 94 1187725.569 834259.3376

34 1178508.669 825034.3924 95 1187725.563 836103.9984

35 1178508.373 826879.3471 96 1187725.616 837948.6592

36 1178508.135 828724.3011 97 1187725.727 839793.3203

37 1178507.954 830569.2546 98 1187725.897 841637.9818

38 1178507.832 832414.2076 99 1189570.409 823191.7542

39 1178507.768 834259.1604 100 1189570.049 825036.359

40 1178507.761 836104.1132 101 1189569.748 826880.963

41 1178507.813 837949.0659 102 1189569.506 828725.5662

42 1178507.923 839794.0189 103 1189569.323 830570.1689

43 1178508.091 841638.9723 104 1189569.198 832414.7712

44 1180352.585 823189.8205 105 1189569.133 834259.3733

45 1180352.23 825034.718 106 1189569.127 836103.9752

46 1180351.932 826879.6146 107 1189569.18 837948.5773

47 1180351.693 828724.5106 108 1189569.291 839793.1795

48 1180351.513 830569.406 109 1189569.462 841637.7821

49 1180351.39 832414.3009 110 1191413.977 823192.144

50 1180351.326 834259.1957 111 1191413.616 825036.6898

51 1180351.319 836104.0903 112 1191413.315 826881.2348

52 1180351.371 837948.985 113 1191413.072 828725.779

53 1180351.482 839793.8799 114 1191412.888 830570.3227

54 1180351.65 841638.7752 115 1191412.764 832414.866

76

55 1182196.147 823190.2052 116 1191412.698 834259.4091

56 1182195.791 825035.0444 117 1191412.692 836103.952

57 1182195.493 826879.8829 118 1191412.745 837948.4951

58 1182195.254 828724.7206 119 1191412.857 839793.0383

59 1182195.072 830569.5577 120 1191413.028 841637.5819

60 1182194.949 832414.3945

77

ANEXO 3 Comparación entre las coordenadas proyectadas del SPL IGAC Medellín 2010 cartesianas y Medellín oficial LTM.

ID Norte Este Norte_Cart Este_Cart Dif_N Dif_E Distancia

0 1172978.35 823188.292 1172978.34 823188.299 -0.009 0.007 0.011

1 1172978 825033.421 1172977.98 825033.426 -0.012 0.005 0.013

2 1172977.7 826878.549 1172977.69 826878.551 -0.016 0.002 0.016

3 1172977.46 828723.676 1172977.45 828723.677 -0.019 0.001 0.019

4 1172977.29 830568.803 1172977.27 830568.804 -0.021 0.001 0.021

5 1172977.16 832413.929 1172977.14 832413.929 -0.022 0.000 0.022

6 1172977.1 834259.055 1172977.08 834259.055 -0.023 0.000 0.023

7 1172977.09 836104.181 1172977.07 836104.182 -0.022 0.001 0.022

8 1172977.15 837949.307 1172977.12 837949.307 -0.022 0.000 0.022

9 1172977.25 839794.434 1172977.23 839794.433 -0.021 -0.001 0.021

10 1172977.42 841639.56 1172977.4 841639.56 -0.018 0.000 0.018

11 1174821.9 823188.673 1174821.9 823188.68 -0.004 0.007 0.009

12 1174821.55 825033.744 1174821.54 825033.749 -0.008 0.005 0.009

13 1174821.26 826878.814 1174821.25 826878.816 -0.010 0.002 0.010

14 1174821.02 828723.884 1174821.01 828723.885 -0.012 0.001 0.012

15 1174820.84 830568.953 1174820.83 830568.954 -0.014 0.001 0.014

16 1174820.72 832414.022 1174820.7 832414.022 -0.015 0.000 0.015

17 1174820.66 834259.09 1174820.64 834259.09 -0.015 0.000 0.015

18 1174820.65 836104.159 1174820.63 836104.159 -0.016 0.000 0.016

19 1174820.7 837949.227 1174820.69 837949.227 -0.015 0.000 0.015

20 1174820.81 839794.296 1174820.8 839794.295 -0.014 -0.001 0.014

21 1174820.98 841639.365 1174820.96 841639.364 -0.013 -0.001 0.013

22 1176665.46 823189.054 1176665.46 823189.062 -0.002 0.008 0.008

23 1176665.11 825034.068 1176665.11 825034.073 -0.004 0.005 0.007

24 1176664.81 826879.08 1176664.81 826879.083 -0.005 0.003 0.006

25 1176664.58 828724.092 1176664.57 828724.093 -0.007 0.001 0.007

26 1176664.4 830569.104 1176664.39 830569.104 -0.008 0.000 0.008

27 1176664.27 832414.115 1176664.27 832414.114 -0.009 -0.001 0.009

28 1176664.21 834259.125 1176664.2 834259.125 -0.010 0.000 0.010

29 1176664.2 836104.136 1176664.2 836104.136 -0.010 0.000 0.010

30 1176664.26 837949.147 1176664.25 837949.146 -0.009 -0.001 0.009

31 1176664.37 839794.158 1176664.36 839794.157 -0.008 -0.001 0.008

32 1176664.53 841639.169 1176664.53 841639.168 -0.007 -0.001 0.007

33 1178509.02 823189.437 1178509.02 823189.444 -0.001 0.007 0.007

34 1178508.67 825034.392 1178508.67 825034.397 -0.001 0.005 0.005

35 1178508.37 826879.347 1178508.37 826879.349 -0.003 0.002 0.003

36 1178508.13 828724.301 1178508.13 828724.302 -0.004 0.001 0.004

78

37 1178507.95 830569.255 1178507.95 830569.255 -0.004 0.000 0.004

38 1178507.83 832414.208 1178507.83 832414.207 -0.004 -0.001 0.004

39 1178507.77 834259.16 1178507.76 834259.16 -0.005 0.000 0.005

40 1178507.76 836104.113 1178507.76 836104.114 -0.004 0.001 0.005

41 1178507.81 837949.066 1178507.81 837949.065 -0.004 -0.001 0.004

42 1178507.92 839794.019 1178507.92 839794.019 -0.004 0.000 0.004

43 1178508.09 841638.972 1178508.09 841638.972 -0.003 0.000 0.003

44 1180352.58 823189.82 1180352.59 823189.828 0.000 0.008 0.008

45 1180352.23 825034.718 1180352.23 825034.723 -0.001 0.005 0.005

46 1180351.93 826879.615 1180351.93 826879.617 0.000 0.002 0.002

47 1180351.69 828724.511 1180351.69 828724.512 0.000 0.001 0.002

48 1180351.51 830569.406 1180351.51 830569.407 -0.001 0.001 0.001

49 1180351.39 832414.301 1180351.39 832414.301 -0.001 0.000 0.001

50 1180351.33 834259.196 1180351.33 834259.196 -0.001 0.000 0.001

51 1180351.32 836104.09 1180351.32 836104.091 0.000 0.001 0.001

52 1180351.37 837948.985 1180351.37 837948.985 0.000 0.000 0.000

53 1180351.48 839793.88 1180351.48 839793.88 -0.001 0.000 0.001

54 1180351.65 841638.775 1180351.65 841638.775 -0.001 0.000 0.001

55 1182196.15 823190.205 1182196.15 823190.213 0.000 0.008 0.008

56 1182195.79 825035.044 1182195.79 825035.049 0.000 0.005 0.005

57 1182195.49 826879.883 1182195.49 826879.885 0.001 0.002 0.002

58 1182195.25 828724.721 1182195.26 828724.722 0.001 0.001 0.002

59 1182195.07 830569.558 1182195.07 830569.559 0.002 0.001 0.002

60 1182194.95 832414.394 1182194.95 832414.394 0.002 0.000 0.002

61 1182194.88 834259.231 1182194.89 834259.231 0.002 0.000 0.002

62 1182194.88 836104.067 1182194.88 836104.068 0.001 0.001 0.001

63 1182194.93 837948.904 1182194.93 837948.903 0.001 -0.001 0.002

64 1182195.04 839793.741 1182195.04 839793.74 0.002 -0.001 0.002

65 1182195.21 841638.578 1182195.21 841638.577 0.001 -0.001 0.001

66 1184039.71 823190.591 1184039.71 823190.598 -0.003 0.007 0.008

67 1184039.35 825035.372 1184039.35 825035.377 -0.001 0.005 0.005

68 1184039.06 826880.152 1184039.06 826880.154 0.000 0.002 0.002

69 1184038.81 828724.931 1184038.82 828724.932 0.001 0.001 0.001

70 1184038.63 830569.71 1184038.64 830569.711 0.002 0.001 0.002

71 1184038.51 832414.488 1184038.51 832414.488 0.003 0.000 0.003

72 1184038.45 834259.266 1184038.45 834259.266 0.003 0.000 0.003

73 1184038.44 836104.044 1184038.44 836104.045 0.003 0.001 0.003

74 1184038.49 837948.823 1184038.49 837948.822 0.003 -0.001 0.003

75 1184038.6 839793.601 1184038.6 839793.6 0.002 -0.001 0.002

76 1184038.77 841638.38 1184038.77 841638.379 0.002 -0.001 0.002

77 1185883.28 823190.978 1185883.27 823190.985 -0.006 0.007 0.009

78 1185882.92 825035.7 1185882.92 825035.705 -0.003 0.005 0.006

79

79 1185882.62 826880.421 1185882.62 826880.424 -0.001 0.003 0.003

80 1185882.38 828725.142 1185882.38 828725.144 0.001 0.002 0.002

81 1185882.2 830569.863 1185882.2 830569.863 0.002 0.000 0.002

82 1185882.07 832414.582 1185882.08 832414.582 0.003 0.000 0.003

83 1185882.01 834259.302 1185882.01 834259.302 0.003 0.000 0.003

84 1185882 836104.021 1185882 836104.022 0.004 0.001 0.004

85 1185882.05 837948.741 1185882.06 837948.741 0.003 0.000 0.003

86 1185882.16 839793.461 1185882.17 839793.46 0.002 -0.001 0.002

87 1185882.33 841638.181 1185882.34 841638.18 0.001 -0.001 0.002

88 1187726.84 823191.365 1187726.83 823191.373 -0.010 0.008 0.013

89 1187726.48 825036.029 1187726.48 825036.034 -0.007 0.005 0.008

90 1187726.18 826880.692 1187726.18 826880.694 -0.004 0.002 0.004

91 1187725.94 828725.354 1187725.94 828725.355 -0.001 0.001 0.001

92 1187725.76 830570.016 1187725.76 830570.016 0.001 0.000 0.001

93 1187725.63 832414.677 1187725.64 832414.676 0.002 -0.001 0.002

94 1187725.57 834259.338 1187725.57 834259.338 0.003 0.000 0.003

95 1187725.56 836103.998 1187725.57 836103.999 0.003 0.001 0.003

96 1187725.62 837948.659 1187725.62 837948.659 0.002 0.000 0.002

97 1187725.73 839793.32 1187725.73 839793.32 0.001 0.000 0.001

98 1187725.9 841637.982 1187725.9 841637.981 -0.001 -0.001 0.001

99 1189570.41 823191.754 1189570.39 823191.762 -0.016 0.008 0.018

100 1189570.05 825036.359 1189570.04 825036.364 -0.011 0.005 0.012

101 1189569.75 826880.963 1189569.74 826880.965 -0.007 0.002 0.007

102 1189569.51 828725.566 1189569.5 828725.567 -0.004 0.001 0.004

103 1189569.32 830570.169 1189569.32 830570.17 -0.002 0.001 0.002

104 1189569.2 832414.771 1189569.2 832414.771 0.000 0.000 0.000

105 1189569.13 834259.373 1189569.13 834259.373 0.001 0.000 0.001

106 1189569.13 836103.975 1189569.13 836103.976 0.000 0.001 0.001

107 1189569.18 837948.577 1189569.18 837948.577 -0.001 0.000 0.001

108 1189569.29 839793.179 1189569.29 839793.179 -0.001 0.000 0.001

109 1189569.46 841637.782 1189569.46 841637.781 -0.004 -0.001 0.004

110 1191413.98 823192.144 1191413.96 823192.151 -0.022 0.007 0.023

111 1191413.62 825036.69 1191413.6 825036.695 -0.016 0.005 0.017

112 1191413.31 826881.235 1191413.3 826881.237 -0.013 0.002 0.013

113 1191413.07 828725.779 1191413.06 828725.78 -0.009 0.001 0.009

114 1191412.89 830570.323 1191412.88 830570.324 -0.006 0.001 0.006

115 1191412.76 832414.866 1191412.76 832414.866 -0.004 0.000 0.004

116 1191412.7 834259.409 1191412.7 834259.409 -0.003 0.000 0.003

117 1191412.69 836103.952 1191412.69 836103.952 -0.003 0.000 0.003

118 1191412.74 837948.495 1191412.74 837948.495 -0.004 0.000 0.004

119 1191412.86 839793.038 1191412.85 839793.038 -0.006 0.000 0.006

120 1191413.03 841637.582 1191413.02 841637.581 -0.008 -0.001 0.008

80

ANEXO 4 Distancias proyectadas de los segmentos de meridianos.

ID MEDELLIN

OFICIAL IGAC

ORIGEN OFICIAL VS

IGAC ID MEDELLIN

OFICIAL IGAC

ORIGEN OFICIAL VS

IGAC

A1 1843.571 1843.562 0.010 F6 1843.562 1843.562 0.000

A2 1843.570 1843.562 0.008 F7 1843.561 1843.562 -0.001

A3 1843.569 1843.562 0.007 F8 1843.560 1843.562 -0.002

A4 1843.568 1843.562 0.006 F9 1843.559 1843.562 -0.003

A5 1843.566 1843.562 0.005 F10 1843.558 1843.562 -0.004

A6 1843.565 1843.562 0.004 G1 1843.568 1843.562 0.006

A7 1843.564 1843.562 0.003 G2 1843.567 1843.562 0.005

A8 1843.563 1843.562 0.001 G3 1843.566 1843.562 0.004

A9 1843.562 1843.562 0.000 G4 1843.564 1843.562 0.003

A10 1843.561 1843.562 -0.001 G5 1843.563 1843.562 0.001

B1 1843.570 1843.562 0.009 G6 1843.562 1843.562 0.000

B2 1843.569 1843.562 0.007 G7 1843.561 1843.562 -0.001

B3 1843.568 1843.562 0.006 G8 1843.560 1843.562 -0.002

B4 1843.567 1843.562 0.005 G9 1843.559 1843.562 -0.003

B5 1843.566 1843.562 0.004 G10 1843.557 1843.562 -0.004

B6 1843.564 1843.562 0.003 H1 1843.568 1843.562 0.006

B7 1843.563 1843.562 0.002 H2 1843.567 1843.562 0.005

B8 1843.562 1843.562 0.000 H3 1843.566 1843.562 0.004

B9 1843.561 1843.562 -0.001 H4 1843.564 1843.562 0.003

B10 1843.560 1843.562 -0.002 H5 1843.563 1843.562 0.001

C1 1843.570 1843.562 0.008 H6 1843.562 1843.562 0.000

C2 1843.568 1843.562 0.007 H7 1843.561 1843.562 -0.001

C3 1843.567 1843.562 0.005 H8 1843.560 1843.562 -0.002

C4 1843.566 1843.562 0.004 H9 1843.559 1843.562 -0.003

C5 1843.565 1843.562 0.003 H10 1843.557 1843.562 -0.004

C6 1843.564 1843.562 0.002 I1 1843.568 1843.562 0.006

C7 1843.563 1843.562 0.001 I2 1843.567 1843.562 0.005

C8 1843.561 1843.562 0.000 I3 1843.566 1843.562 0.004

C9 1843.560 1843.562 -0.002 I4 1843.565 1843.562 0.003

C10 1843.559 1843.562 -0.003 I5 1843.563 1843.562 0.002

D1 1843.569 1843.562 0.007 I6 1843.562 1843.562 0.000

D2 1843.568 1843.562 0.006 I7 1843.561 1843.562 -0.001

D3 1843.567 1843.562 0.005 I8 1843.560 1843.562 -0.002

D4 1843.565 1843.562 0.004 I9 1843.559 1843.562 -0.003

D5 1843.564 1843.562 0.002 I10 1843.558 1843.562 -0.004

D6 1843.563 1843.562 0.001 J1 1843.568 1843.562 0.007

D7 1843.562 1843.562 0.000 J2 1843.567 1843.562 0.005

81

D8 1843.561 1843.562 -0.001 J3 1843.566 1843.562 0.004

D9 1843.560 1843.562 -0.002 J4 1843.565 1843.562 0.003

D10 1843.558 1843.562 -0.003 J5 1843.564 1843.562 0.002

E1 1843.568 1843.562 0.007 J6 1843.562 1843.562 0.001

E2 1843.567 1843.562 0.005 J7 1843.561 1843.562 0.000

E3 1843.566 1843.562 0.004 J8 1843.560 1843.562 -0.002

E4 1843.565 1843.562 0.003 J9 1843.559 1843.562 -0.003

E5 1843.564 1843.562 0.002 J10 1843.558 1843.562 -0.004

E6 1843.563 1843.562 0.001 K1 1843.569 1843.562 0.007

E7 1843.561 1843.562 0.000 K2 1843.568 1843.562 0.006

E8 1843.560 1843.562 -0.002 K3 1843.566 1843.562 0.005

E9 1843.559 1843.562 -0.003 K4 1843.565 1843.562 0.004

E10 1843.558 1843.562 -0.004 K5 1843.564 1843.562 0.002

F1 1843.568 1843.562 0.006 K6 1843.563 1843.562 0.001

F2 1843.567 1843.562 0.005 K7 1843.562 1843.562 0.000

F3 1843.566 1843.562 0.004 K8 1843.561 1843.562 -0.001

F4 1843.565 1843.562 0.003 K9 1843.559 1843.562 -0.002

F5 1843.563 1843.562 0.002 K10 1843.558 1843.562 -0.003

Distancias proyectadas de los segmentos de paralelos.

ID MEDELLIN

OFICIAL Diferencia ID ORIGEN

IGAC Diferencia OFICIAL VS

IGAC

1A 1844.546 1A 1844.543 0.003

2A 1844.605 0.059 2A 1844.602 0.059 0.003

3A 1844.664 0.059 3A 1844.661 0.059 0.003

4A 1844.722 0.059 4A 1844.720 0.059 0.003

5A 1844.781 0.059 5A 1844.778 0.059 0.003

6A 1844.839 0.058 6A 1844.836 0.058 0.003

7A 1844.898 0.058 7A 1844.895 0.058 0.003

8A 1844.956 0.058 8A 1844.953 0.058 0.003

9A 1845.014 0.058 9A 1845.011 0.058 0.003

10A 1845.071 0.058 10A 1845.068 0.058 0.003

11A 1845.129 0.058 11A 1845.126 0.058 0.003

1B 1844.545 1B 1844.543 0.002

2B 1844.604 0.059 2B 1844.602 0.059 0.002

3B 1844.663 0.059 3B 1844.661 0.059 0.002

4B 1844.721 0.059 4B 1844.719 0.059 0.002

5B 1844.780 0.059 5B 1844.778 0.059 0.002

6B 1844.838 0.058 6B 1844.836 0.058 0.002

7B 1844.897 0.058 7B 1844.895 0.058 0.002

82

8B 1844.955 0.058 8B 1844.953 0.058 0.002

9B 1845.013 0.058 9B 1845.011 0.058 0.002

10B 1845.070 0.058 10B 1845.068 0.058 0.002

11B 1845.128 0.058 11B 1845.126 0.058 0.002

1C 1844.544 1C 1844.543 0.001

2C 1844.603 0.059 2C 1844.602 0.059 0.001

3C 1844.662 0.059 3C 1844.661 0.059 0.001

4C 1844.721 0.059 4C 1844.720 0.059 0.001

5C 1844.779 0.059 5C 1844.778 0.059 0.001

6C 1844.838 0.058 6C 1844.836 0.058 0.001

7C 1844.896 0.058 7C 1844.895 0.058 0.001

8C 1844.954 0.058 8C 1844.953 0.058 0.001

9C 1845.012 0.058 9C 1845.011 0.058 0.001

10C 1845.070 0.058 10C 1845.068 0.058 0.001

11C 1845.127 0.058 11C 1845.126 0.058 0.001

1D 1844.544 1D 1844.543 0.001

2D 1844.603 0.059 2D 1844.602 0.059 0.001

3D 1844.662 0.059 3D 1844.661 0.059 0.001

4D 1844.720 0.059 4D 1844.720 0.059 0.001

5D 1844.779 0.059 5D 1844.778 0.059 0.001

6D 1844.837 0.058 6D 1844.836 0.058 0.001

7D 1844.895 0.058 7D 1844.895 0.058 0.001

8D 1844.953 0.058 8D 1844.953 0.058 0.001

9D 1845.011 0.058 9D 1845.011 0.058 0.001

10D 1845.069 0.058 10D 1845.068 0.058 0.001

11D 1845.127 0.058 11D 1845.126 0.058 0.001

1E 1844.543 1E 1844.543 0.000

2E 1844.602 0.059 2E 1844.602 0.059 0.000

3E 1844.661 0.059 3E 1844.661 0.059 0.000

4E 1844.720 0.059 4E 1844.719 0.059 0.000

5E 1844.778 0.059 5E 1844.778 0.059 0.000

6E 1844.837 0.058 6E 1844.836 0.058 0.000

7E 1844.895 0.058 7E 1844.895 0.058 0.000

8E 1844.953 0.058 8E 1844.953 0.058 0.000

9E 1845.011 0.058 9E 1845.011 0.058 0.000

10E 1845.069 0.058 10E 1845.068 0.058 0.000

11E 1845.126 0.058 11E 1845.126 0.058 0.000

1F 1844.543 1F 1844.543 0.000

2F 1844.602 0.059 2F 1844.602 0.059 0.000

3F 1844.661 0.059 3F 1844.661 0.059 0.000

4F 1844.720 0.059 4F 1844.720 0.059 0.000

83

5F 1844.778 0.059 5F 1844.778 0.059 0.000

6F 1844.837 0.058 6F 1844.836 0.058 0.000

7F 1844.895 0.058 7F 1844.895 0.058 0.000

8F 1844.953 0.058 8F 1844.953 0.058 0.000

9F 1845.011 0.058 9F 1845.011 0.058 0.000

10F 1845.068 0.058 10F 1845.068 0.058 0.000

11F 1845.126 0.058 11F 1845.126 0.058 0.000

1G 1844.543 1G 1844.543 0.000

2G 1844.602 0.059 2G 1844.602 0.059 0.000

3G 1844.661 0.059 3G 1844.661 0.059 0.000

4G 1844.720 0.059 4G 1844.720 0.059 0.000

5G 1844.778 0.059 5G 1844.778 0.059 0.000

6G 1844.836 0.058 6G 1844.836 0.058 0.000

7G 1844.895 0.058 7G 1844.895 0.058 0.000

8G 1844.953 0.058 8G 1844.953 0.058 0.000

9G 1845.011 0.058 9G 1845.011 0.058 0.000

10G 1845.068 0.058 10G 1845.068 0.058 0.000

11G 1845.126 0.058 11G 1845.126 0.058 0.000

1H 1844.543 1H 1844.543 0.000

2H 1844.602 0.059 2H 1844.602 0.059 0.000

3H 1844.661 0.059 3H 1844.661 0.059 0.000

4H 1844.719 0.059 4H 1844.719 0.059 0.000

5H 1844.778 0.059 5H 1844.778 0.059 0.000

6H 1844.836 0.058 6H 1844.836 0.058 0.000

7H 1844.895 0.058 7H 1844.895 0.058 0.000

8H 1844.953 0.058 8H 1844.953 0.058 0.000

9H 1845.011 0.058 9H 1845.011 0.058 0.000

10H 1845.068 0.058 10H 1845.068 0.058 0.000

11H 1845.126 0.058 11H 1845.126 0.058 0.000

1I 1844.543 1I 1844.543 0.000

2I 1844.602 0.059 2I 1844.602 0.059 0.000

3I 1844.661 0.059 3I 1844.661 0.059 0.000

4I 1844.720 0.059 4I 1844.720 0.059 0.000

5I 1844.778 0.059 5I 1844.778 0.059 0.000

6I 1844.837 0.058 6I 1844.836 0.058 0.000

7I 1844.895 0.058 7I 1844.895 0.058 0.000

8I 1844.953 0.058 8I 1844.953 0.058 0.000

9I 1845.011 0.058 9I 1845.011 0.058 0.000

10I 1845.069 0.058 10I 1845.068 0.058 0.000

11I 1845.126 0.058 11I 1845.126 0.058 0.000

1J 1844.544 1J 1844.543 0.001

84

2J 1844.603 0.059 2J 1844.602 0.059 0.001

3J 1844.661 0.059 3J 1844.661 0.059 0.001

4J 1844.720 0.059 4J 1844.720 0.059 0.001

5J 1844.779 0.059 5J 1844.778 0.059 0.001

6J 1844.837 0.058 6J 1844.836 0.058 0.001

7J 1844.895 0.058 7J 1844.895 0.058 0.001

8J 1844.953 0.058 8J 1844.953 0.058 0.001

9J 1845.011 0.058 9J 1845.011 0.058 0.001

10J 1845.069 0.058 10J 1845.068 0.058 0.001

11J 1845.127 0.058 11J 1845.126 0.058 0.001

ANEXO 5 Deformación presentada según la altura.

ALTURA (H) K DEFORMACIÓN ALTURA (H) K DEFORMACIÓN

2590 1.00040607469 3.387 2050 1.00032141047 1.693

2530 1.00039666755 3.198 2010 1.00031513904 1.568

1890 1.00029632477 1.192 2070 1.00032454618 1.756

2550 1.00039980327 3.261 1850 1.00029005335 1.066

2390 1.00037471757 2.759 2170 1.00034022474 2.070

1970 1.00030886762 1.442 1950 1.00030573191 1.380

1730 1.00027123908 0.690 2430 1.00038098899 2.885

2150 1.00033708903 2.007 2510 1.00039353184 3.136

2570 1.00040293898 3.324 2190 1.00034336045 2.132

2090 1.00032768189 1.819 2130 1.00033395332 1.944

1670 1.00026183194 0.502 1530 1.00023988196 0.063

1690 1.00026496765 0.564 2110 1.00033081760 1.881

1510 1.00023674625 0.000 1810 1.00028378193 0.941

1610 1.00025242481 0.314 1630 1.00025556052 0.376

1750 1.00027437479 0.753 1490 1.00023361054 0.063

2290 1.00035903901 2.446 2270 1.00035590330 2.383

1770 1.00027751050 0.815 1990 1.00031200333 1.505

1930 1.00030259620 1.317 2410 1.00037785328 2.822

1570 1.00024615338 0.188 2210 1.00034649616 2.195

1790 1.00028064621 0.878 2030 1.00031827476 1.631

1590 1.00024928909 0.251 1450 1.00022733911 0.188

1870 1.00029318906 1.129 1830 1.00028691764 1.003

2310 1.00036217472 2.509 1470 1.00023047482 0.125

2450 1.00038412471 2.948 2230 1.00034963188 2.258

2370 1.00037158186 2.697 1910 1.00029946049 1.254

1550 1.00024301767 0.125 2250 1.00035276759 2.320

2470 1.00038726042 3.010 2490 1.00039039613 3.073

1650 1.00025869623 0.439 1710 1.00026810337 0.627

2330 1.00036531043 2.571 2350 1.00036844615 2.634

85

ANEXO 6 Diferencias en las magnitudes de los vectores desde el punto de origen y desde un punto centroide.

Trans_Orig Trans_60 Cart_Orig Cart_60 D_121 D_60 ABS_121 ABS_60 14495.2636 13042.9996 14493.0068 13040.9663 -2.257 -2.033 2.257 2.033

12980.6939 11809.0305 12979.6705 11808.0996 -1.023 -0.931 1.023 0.931

11563.5073 10752.3166 11563.0676 10751.9097 -0.440 -0.407 0.440 0.407

10283.4636 9929.13946 10283.2521 9928.93739 -0.212 -0.202 0.212 0.202

9197.61921 9400.75156 9197.50424 9400.63535 -0.115 -0.116 0.115 0.116

8381.72787 9217.965 8381.58495 9217.80901 -0.143 -0.156 0.143 0.156

7919.60826 9400.95885 7919.3373 9400.63578 -0.271 -0.323 0.271 0.323

7873.95842 9929.76599 7873.30367 9928.93821 -0.655 -0.828 0.655 0.828

8251.7915 10753.6543 8250.45384 10751.9108 -1.338 -1.743 1.338 1.743

8999.18884 11810.0161 8997.72955 11808.1018 -1.459 -1.914 1.459 1.914

10034.4695 13043.1842 10032.7633 13040.9678 -1.706 -2.216 1.706 2.216

13586.1861 11811.5662 13584.3668 11809.983 -1.819 -1.583 1.819 1.583

11957.4769 10433.4351 11956.627 10432.6929 -0.850 -0.742 0.850 0.742

10402.0159 9220.61977 10401.6665 9220.31097 -0.349 -0.309 0.349 0.309

8957.7292 8246.13841 8957.47053 8245.90198 -0.259 -0.236 0.259 0.236

7686.82462 7601.63344 7686.72481 7601.53651 -0.100 -0.097 0.100 0.097

6689.05902 7374.282 6689.02594 7374.24701 -0.033 -0.035 0.033 0.035

6099.96199 7601.66982 6099.8559 7601.53684 -0.106 -0.133 0.106 0.133

6040.32551 8246.38527 6039.97399 8245.90349 -0.352 -0.482 0.352 0.482

6524.8537 9221.56317 6523.96843 9220.31179 -0.885 -1.251 0.885 1.251

7447.95808 10434.6831 7446.53682 10432.6931 -1.421 -1.990 1.421 1.990

8670.28363 11812.049 8668.76728 11809.9846 -1.516 -2.064 1.516 2.064

12878.2781 10756.5273 12877.1197 10755.5575 -1.158 -0.970 1.158 0.970

11147.1819 9222.6216 11146.6326 9222.16641 -0.549 -0.455 0.549 0.455

9459.89976 7824.78422 9459.50529 7824.45841 -0.394 -0.326 0.394 0.326

7844.40417 6649.10462 7843.76987 6648.56698 -0.634 -0.538 0.634 0.538

6354.28411 5830.43442 6354.12023 5830.28429 -0.164 -0.150 0.164 0.150

5102.24388 5530.714 5102.21633 5530.68501 -0.028 -0.029 0.028 0.029

4300.97572 5830.34303 4300.93372 5830.2851 -0.042 -0.058 0.042 0.058

4215.78368 6648.89661 4215.57653 6648.56756 -0.207 -0.329 0.207 0.329

4884.43912 7825.43687 4883.82939 7824.4595 -0.610 -0.977 0.610 0.977

6062.56735 9223.9982 6061.36338 9222.16602 -1.204 -1.832 1.204 1.832

7513.83118 10757.6098 7512.39811 10755.5585 -1.433 -2.051 1.433 2.051

12407.5353 9935.49664 12405.7588 9934.07198 -1.776 -1.425 1.776 1.425

10599.6858 8250.23672 10598.6474 8249.42742 -1.038 -0.809 1.038 0.809

8808.27143 6651.17396 8807.22685 6650.38364 -1.045 -0.790 1.045 0.790

7043.93921 5216.60643 7043.4797 5216.26572 -0.460 -0.341 0.460 0.341

5335.06093 4123.03361 5334.92137 4122.9259 -0.140 -0.108 0.140 0.108

86

3757.62175 3687.138 3757.60517 3687.123 -0.017 -0.015 0.017 0.015

2566.17988 4122.93567 2566.17407 4122.92533 -0.006 -0.010 0.006 0.010

2420.46101 5216.40137 2420.39808 5216.2648 -0.063 -0.137 0.063 0.137

3455.56913 6650.97426 3455.2626 6650.38339 -0.307 -0.591 0.307 0.591

4983.55938 8250.93616 4982.64866 8249.42758 -0.911 -1.509 0.911 1.509

6673.66018 9935.80898 6672.49234 9934.07072 -1.168 -1.738 1.168 1.738

12198.7364 9407.58296 12197.6585 9406.75017 -1.078 -0.833 1.078 0.833

10355.5959 7607.17131 10354.3546 7606.25947 -1.241 -0.912 1.241 0.912

8512.426 5834.03755 8511.73795 5833.56551 -0.688 -0.472 0.688 0.472

6670.60188 4124.80146 6670.37532 4124.662 -0.227 -0.139 0.227 0.139

4831.79227 2608.16 4831.70381 2608.11268 -0.088 -0.047 0.088 0.047

3000.67872 1843.567 3000.67066 1843.562 -0.008 -0.005 0.008 0.005

1212.40143 2608.1197 1212.39735 2608.11188 -0.004 -0.008 0.004 0.008

862.019896 4124.85423 861.980241 4124.66097 -0.040 -0.193 0.040 0.193

2612.27997 5833.85414 2612.15072 5833.56441 -0.129 -0.290 0.129 0.290

4440.037 7606.84971 4439.69301 7606.2593 -0.344 -0.590 0.344 0.590

6278.19218 9407.95107 6277.39001 9406.74918 -0.802 -1.202 0.802 1.202

12267.8108 9225.37403 12266.2266 9224.18208 -1.584 -1.192 1.584 1.192

10436.5203 7380.34601 10435.1056 7379.34605 -1.415 -1.000 1.415 1.000

8610.68255 5535.04401 8609.85168 5534.51003 -0.831 -0.534 0.831 0.534

6795.53024 3689.855 6795.1931 3689.67301 -0.337 -0.182 0.337 0.182

5002.72843 1844.855 5002.67623 1844.837 -0.052 -0.018 0.052 0.018

3268.93679 0 3268.92695 0 -0.010 0.000 0.010 0.000

1775.39488 1844.842 1775.38989 1844.836 -0.005 -0.006 0.005 0.006

1557.29558 3689.7 1557.28352 3689.672 -0.012 -0.028 0.012 0.028

2916.4812 5534.70501 2916.37826 5534.509 -0.103 -0.196 0.103 0.196

4625.58017 7379.96501 4625.19116 7379.345 -0.389 -0.620 0.389 0.620

6410.89826 9225.65003 6409.87783 9224.182 -1.020 -1.468 1.020 1.468

12608.8562 9407.88693 12606.9501 9406.46371 -1.906 -1.423 1.906 1.423

10835.1195 7607.0768 10833.6337 7606.03314 -1.486 -1.044 1.486 1.044

9089.49427 5833.8265 9088.83016 5833.39924 -0.664 -0.427 0.664 0.427

7392.89053 4124.63322 7392.75504 4124.5576 -0.135 -0.076 0.135 0.076

5788.44683 2608.09067 5788.40384 2608.07153 -0.043 -0.019 0.043 0.019

4377.8193 1843.568 4377.80653 1843.562 -0.013 -0.006 0.013 0.006

3410.51573 2608.07864 3410.5053 2608.07021 -0.010 -0.008 0.010 0.008

3302.2626 4124.60147 3302.22573 4124.5568 -0.037 -0.045 0.037 0.045

4121.45994 5833.70634 4121.24114 5833.39807 -0.219 -0.308 0.219 0.308

5466.17088 7607.00574 5465.46867 7606.032 -0.702 -0.974 0.702 0.974

7041.29908 9407.88693 7040.23234 9406.46376 -1.067 -1.423 1.067 1.423

13201.118 9935.29975 13198.7675 9933.52853 -2.351 -1.771 2.351 1.771

11518.1097 8249.80795 11516.9966 8249.0087 -1.113 -0.799 1.113 0.799

9894.17434 6650.54022 9893.5098 6650.09139 -0.665 -0.449 0.665 0.449

8362.67426 5216.3213 8362.32162 5216.0992 -0.353 -0.222 0.353 0.222

87

6984.5888 4122.98435 6984.40338 4122.87295 -0.185 -0.111 0.185 0.111

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5187.36009 4122.88775 5187.34285 4122.8735 -0.017 -0.014 0.017 0.014

5116.83894 5216.13321 5116.80557 5216.10006 -0.033 -0.033 0.033 0.033

5680.30023 6650.53856 5679.91564 6650.0924 -0.385 -0.446 0.385 0.446

6720.33684 8250.39111 6719.2073 8249.00932 -1.130 -1.382 1.130 1.382

8053.59203 9935.03458 8052.3685 9933.52961 -1.224 -1.505 1.224 1.505

14012.3502 10756.6952 14009.8948 10754.8055 -2.455 -1.890 2.455 1.890

12439.5633 9222.51668 12438.3371 9221.60398 -1.226 -0.913 1.226 0.913

10953.4016 7824.851 10952.3371 7824.08652 -1.065 -0.764 1.065 0.764

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8418.20206 5830.66519 8417.57746 5830.22907 -0.625 -0.436 0.625 0.436

7518.10108 5530.969 7517.71885 5530.68501 -0.382 -0.284 0.382 0.284

6998.87305 5830.30628 6998.78181 5830.23013 -0.091 -0.076 0.091 0.076

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7371.71824 7824.55473 7371.27476 7824.08816 -0.443 -0.467 0.443 0.467

8200.12957 9223.00928 8198.87721 9221.60661 -1.252 -1.403 1.252 1.403

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12200.9832 9221.15769 12199.3133 9219.88959 -1.670 -1.268 1.670 1.268

10996.2045 8247.21995 10994.1781 8245.69309 -2.026 -1.527 2.026 1.527

9987.96913 7602.73447 9986.32924 7601.48028 -1.640 -1.254 1.640 1.254

9241.4121 7374.941 9240.54754 7374.24701 -0.865 -0.694 0.865 0.694

8823.83469 7601.73838 8823.53738 7601.48135 -0.297 -0.257 0.297 0.257

8782.21953 8245.66052 8782.25573 8245.69416 0.036 0.034 0.036 0.034

9122.12785 9220.21309 9121.80714 9219.89203 -0.321 -0.321 0.321 0.321

9803.50248 10432.8864 9802.69662 10432.0338 -0.806 -0.853 0.806 0.853

10761.5403 11810.4066 10760.3191 11809.0729 -1.221 -1.334 1.221 1.334

16152.2114 13042.0701 16149.5755 13039.9317 -2.636 -2.138 2.636 2.138

14809.352 11809.272 14806.9772 11807.3689 -2.375 -1.903 2.375 1.903

13585.8643 10753.9576 13582.7185 10751.4572 -3.146 -2.500 3.146 2.500

12513.8016 9930.48435 12511.5882 9928.71943 -2.213 -1.765 2.213 1.765

11637.8288 9402.10194 11635.9505 9400.57729 -1.878 -1.525 1.878 1.525

11003.7854 9218.823 11002.5805 9217.80901 -1.205 -1.014 1.205 1.014

10655.0963 9400.87052 10654.7687 9400.57876 -0.328 -0.292 0.328 0.292

10620.6012 9928.71412 10620.6093 9928.72221 0.008 0.008 0.008 0.008

10903.1774 10751.5849 10903.0498 10751.4611 -0.128 -0.124 0.128 0.124

11479.1118 11807.7469 11478.7436 11807.3728 -0.368 -0.374 0.368 0.374

12307.1909 13040.5513 12306.6057 13039.937 -0.585 -0.614 0.585 0.614

EVALUACION DEL SISTEMA DE PROYECCIÓN LOCAL DE LA...

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