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ESIME ZACATENCOACADEMIA DE MATEMÁTICAS DE ICE

GUÍA DE VARIABLE COMPLEJA

I Regiones del Plano Complejo

1.- Describir el siguiente lugar geométrico, diciendo si es acotado o no, abierto u cerrado, conexo, región y/o dominio. Y graficarlo

a) Im (z) ≥ Re ( z2 )b) Re z ≥ 3 Im zc) z 2 + Im (z) ≤ 16

d) 211Im ≤

−+

zz

e) 211 ≥

−+

zz

f) 3 1 4z i< + + <g) 1 Re 1z− < ≤

II Funciones Complejas

2.- Expresar a las funciones f(z) = w en la forma f(z) = u(x,y) + i v(x,y)

a) 1( )f zz

=

b) 2( ) z if z

z i−=−

c) ( )f z z=

d) 2

1( )1

f zz

=+

3.- Obtener la parte real e imaginaria de la siguiente función f(z) = 2z i+

4.- Obtener el dominio de definición de la siguiente función:

a) 2

2( )

( )

zf z

z i=

+

b) f(z)= 1z

5.- Calcular f ( 1 + 2i )

a) f(z) = z

z z−

b) f(z) = 1

s cosen x i y+

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6.- Sea f (z) = z2 + 1

Determinar 1

1f f

i

+

7.- Sea f (z) = z2 + 1

Determinar f ( f (i) )

8.-Expresar la siguiente función en términos de z

a) x2 + 3y2 – i xy

b) x2 + y2 – i ( 3x + 2y )

c) –i + x + iy

d) x2 + y2

9.- Hallar la imagen de la región y > -1 bajo la transformación:w = ( 1- i ) z + 2i

10.- Hallar la imagen de la región x > 2 bajo la transformación: w = z1

11.- Encontrar la imagen de la región y > 1 bajo la transformación

w = ( 1 - i ) z

12.- Determine la imagen en el plano w de la región 3 74 4

z i+ + =

bajo la transformación 1wz

=

13.- Hallar la imagen de la región y > -1 bajo la transformación: w = z1

14.- Encuentre la imagen del circulo 1 1z i− − = bajo la transformación w = z1

15.- Encontrar la imagen de la franja infinita Re 1z <

bajo la transformación 3w z= +

16.- Encontrar la imagen de la franja infinita

Im / 2z π<bajo la transformación

w = - i z

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III Límites y Continuidad17.- Encontrar el siguiente límite:

a) 2

4

164z i

zz ilím

→ −

++

b) 2

1

2 21z i

z zz ilím

→ − +

+ ++ −

c) 2 1lim

z i

zz i→ −

++

d)2lim (1 )

xz −

→ ∞+

e) ( )2 20limz

xyx y→

+

18.- Analizar la continuidad de la siguiente función:

a)( )2

2

Re( )

zf z

z=

b) ( ) zf zz z

=−

c) 2

Re( ) z zf zz

=

d) ( )Im( )

1zf zz

=+

e) 2 2

Re( )( )

zf zx y z

=− +

19.- ¿En que puntos de la función es continua?

3

2

1 , 11( )

3 , 12

z zzf z

z

− ≠ ± −= = ±

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20.- Demuestre que las siguientes funciones son continuas para z≠0. ¿Puede definirse la función como para hacerla continua en z0 = 0?

a)

b)

c)

IV Derivada de Funciones Complejas

21.- Determinar si la siguiente función es analítica, entera, donde es derivable, si lo es, calcular la derivada.

a) f(z) = z+1

1

b) f(z) = Re (z2)c) f(z) = |z| 2

d) 2 2xf(z) = (cos 2xy + i sen 2xy) e y−

e) 3 2 21f(z) = ( 16 )3

x xy i x y+ + +

f) ( ) yiezzf −−= 2)( 2

h) ( )2

1( )f zsenh z

=

i) ( ) cscf z h z= 22.- Derivar la siguiente función usando la definición f(z) = z3

23.- Demostrar que la sig función es armónica y hallar la función analítica correspondiente f(z)= u(x,y) + i v(x,y)

a) u = ex cos yb) v = ey cos xc) u = x2 - y2 d) v = -sen x senh ye) v= 6x2y2 - x4- y4 + y – x + 1

f) u = x4 – 6 x2 y2 + y4

g) 2 2

yux y

=+

24.- Sea f(z) = x2 – y2 – 2xy – i (-x2 + y2 – 2xy)

a) ¿Es armónica Im f (z)?b) Existe f ‘ (z) en algún dominio

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V. Funciones Elementales

25.- Encontrar todas las raíces de la ecuación

a) cos z = 2b) cosh z = ½c) senh (z) = -5d) ez = 1 – ie) 2 z cos =f) sen z = cosh 4

26.- Encuentre el valor numérico de la expresión

a) b) sin(i sin i)

c)

Proponga su(s) resultado(s) en la forma estándar de los complejos.

27.- Hallar todas las raíces de la ecuacióna) tan -1 ( 1+ i )b) )1(cosh 1 −−

c) tan-1 (2i) d) cosh -1 (-1)e) tanh -1 0

28.- Demostrar que:ziz ee −=+ π

29.- Encontrar el valor principal del siguiente logaritmo:

a) ( )i−1lnb) ln (-3+4i)

30.- Demostrar que:

ln (-1) = (2n + 1) π i

31.- Hallar el valor principal de:a) i i

b) ( 1 - i ) 4i

32.- Expresar el siguiente en la forma a + ib

a)(1 - i)2 - 3i

b) 2 i

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VI Integral de Línea

33.- Evaluar la siguiente integral donde la trayectoria de integración es un contorno arbitrario entre los límites que se indican

dzei

i

z∫2/

π

34.- Evaluar la siguiente integral:

a) 2

1 , 24C

dz z iz

− =+∫

b) 4:,1

=−∫ zCdz

ez

Cz

c) 2 , 2 21C

sen z dz z iz

− =+∫

d)cos , 2 2

1C

z dz zz

− =−∫

e) 2

cos , 3( 1)C

z dz zz

=−∫

35.- Se denota por medio de C a la frontera del cuadrado cuyos lados se encuentran a lo largo de las rectas x =± 2 y y =± 2, donde C está descrita en sentido positivo. Hallar el valor de la integral

dziz

e

C

z

∫ −

−

2/π

VI I Series de Potencias

36.- Encontrar la serie de Maclaurin de la siguiente función:

a)f (z) = eZ

b)f (z) = cosh zc) ( ) ( )f z sen zπ=

37.- Encontrar la serie de Taylor de la siguiente función:

a) f (z) = cos z alrededor del punto z0 = π.

b) f (z) = ez alrededor del punto z0 = 2π

c) 20( ) , 2zf z e z i= =

38.- Obtener el desarrollo de la serie de Laurent para la siguiente función:

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1( )( 1)( 2)

f zz z

=− −

en torno al anillo: 2 z<39.- Obtener el desarrollo de la serie de Laurent para la siguiente función:

2

1( )(1 )

f zz

=−

en torno al anillo: 0 1 2z< − <

40.- Obtener el desarrollo de la serie de Laurent para la siguiente función:

1( )( 1)( 2)

f zz z

=− −

en torno al anillo: 2 z<41.- Sea

( ) 2 2

1( )3

f zz z

=−

Hallar la serie de Laurent de la función alrededor de |z| = 3

42.- Hállense todas las series de Taylor y de Laurent con centro en a, y determínese las regiones precisas de convergencia.

a) 1 , 1

3a

z=

+

b) 1 , 1

3a

z= −

−

43.- Sea 2

3

7 9 18( )9

z zf zz z

+ −=−

Obtener la serie de Laurent de la función en el anillo 0 < | z | <3

44.- Desarrollar 2( )

( 1)zf z

z z+=

+

en una expansión en serie de Laurent válida para la región 0 < | z + 1 | < 1

45.- Sea la función

( ) ( )2( )

1 1zf z

z z=

− +

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Calcular su serie de Laurent en el dominio anular 1 < | z - 2 | < 3. Graficar la región y las singularidades.

46.- Evalúese la siguiente integral:

a) 2

1

C

dzz sen z∫ , si C es el círculo 2z =

b)34 7

cos( )C

z z dzz

+∫ , si C es el círculo 1 1z + =

c) 3 2

4C

z dzz π

++∫ , si C es el círculo unitario

d) 2

z

C

e dzz

−

∫ , si C es el círculo 2z =

VIII Polos y Residuos

47.- Por el Teorema de Residuos calcular la siguiente integral en el contorno indicado (tomado en sentido positivo). Y graficar el contorno y las singularidades.

a) ( )2

12C

z dzz z

+−∫ en | z | = 4

b) ( )2 4C

dzz z+∫ en |z| = 3

c) ( )2 4C

dzz z+∫ en | z - i | = 2

d) 2

82 1C

i z dzz z

−+ +∫ en | z | = 2

48.- Evaluar la siguiente integral impropia y graficar el contorno C

a) 2 3(1 )dxx

∞

− ∞ +∫

b) 2 2

cos(2 )( 4)

x dxx

∞

− ∞ +∫

c) 2 2( 1)( 9)dx

x x

∞

− ∞ + +∫

d) 20 1x senx dx

x∞

+∫

e) ( ) 22 2 2

xdx

x x

∞

− ∞ + +∫

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f) 2 2dx

x x∞

− ∞ + +∫

49.- Evaluar la siguiente integral real definida

a) 2

0 (5 3 )dsen

π θθ−∫

b)2

0 (13 5 )d

sin

π θθ−∫

c)2

0 (5 4 )d

sin

π θθ+∫

d)2

0

cos(3 2cos )

dπ θ θ

θ+∫

50.- Clasificar el tipo de singularidad de la siguiente serie y justificar la respuesta:

a)2 2 3 32 ( 2)

2 2z z z

z z− + = + − +

− −

b) 34 3

1 1 1 1 1 ...3! 5! 7!

senh z z zzz z

= + + + +

c)1

2 3 4

1 1 1 1 1 1 11 ...2! 3! 4!

zez z z z

= + + + + +

d)21( ) 1 ...

2! 3!

ze z zf zz−= = + + +

Elaboraron los profesores: Mónica Sedeño Juárez

Gloria Juárez Villarreal Juan J. Ponce Cortés

Miguel Pimentel León Patricia Camarena Gallardo

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BIBLIOGRAFÍA

VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONESChurchill, RuelMc Graw Hill7a edición, 2004

VARIABLE COMPLEJA CON APLICACIONESWunsch, DavidPearson Educación2a edición, 1999

VARIABLE COMPLEJAPolya y LattaLimusa

MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍAJames, GlynPrentice Hall2a edición, pags. 2-84

MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍAO’ Neil, PeterThomson5a edición, pags. 381-569

MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍAKreyszig, ErwinLimusa Wiley3a edición, vol. II, pags. 171-334

MATEMÁTICAS SUPERIORES PARA INGENIERÍAWylie, RayMc Graw Hill4a edición, pags. 812-905

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