Estudio del tiempo de ascenso y descenso en la trayectoria de ...

Jorge Roldán López

Oscar Ciaurri Ramírez

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Grado en Matemáticas

2014-2015

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

Estudio del tiempo de ascenso y descenso en latrayectoria de proyectiles

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2015

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Estudio del tiempo de ascenso y descenso en la trayectoria de proyectiles,trabajo fin de grado

de Jorge Roldán López, dirigido por Oscar Ciaurri Ramírez (publicado por la Universidadde La Rioja), se difunde bajo una Licencia

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Facultad

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática Titulación

Grado en Matemáticas Título

Estudio del tiempo de ascenso y descenso en la trayectoria de proyectiles Autor/es

Jorge Roldán López Tutor/es

Óscar Ciaurri Ramírez Departamento

Departamento de Matemáticas y Computación Curso académico

2014/2015

Estudio del tiempo de ascenso y

descenso en la trayectoria de proyectiles

Trabajo fin de grado

Grado en Matematicas

Jorge Roldan Lopez

Trabajo dirigido por Oscar Ciaurri Ramırez

Junio de 2015Universidad de La Rioja

Mi mas sincero agradecimiento a mi director de proyectoDr. D. Oscar Ciaurri Ramırez por guiarme y ayudarme

en la elaboracion de este trabajo y al resto deprofesores y companeros del Grado en Matematicas

que me han acompanado en estos cuatro anos.

Resumen

El objetivo de este trabajo es el estudio del tiempo de ascenso y descenso enel lanzamiento de proyectiles. Es conocido que el medio en el que se desplaza unproyectil ejerce una fuerza de rozamiento sobre este, que se opone al movimientoy es proporcional a ciertas potencias del modulo de la velocidad. Aparte delmodelo sin rozamiento, en el que los tiempos de ascenso y descenso coinciden,analizaremos los casos en los que la fuerza de rozamiento dependa de maneralineal y cuadratica del modulo de la velocidad. En estos casos probaremos doshechos relevantes: que el tiempo de ascenso es siempre menor que el de descenso,y que esta diferencia aumenta con la velocidad inicial.

Ademas, para el modelo sin rozamiento y con rozamiento lineal demostraremosque tanto el tiempo de ascenso como el de descenso, fijada una altura maxima,es constante para cualquier lanzamiento.

I

Abstract

The aim of this project is the study of ascent and descent times in projectilemotions. It is well known that the medium in which the movement occurs exertsa drag force over the thrown object against its movement, and proportional tocertain powers of the velocity modulus. Apart from the model with no dragconsidered, in which ascent and descent times match, we are going to analyze thecases in which friction forces depend linearly or quadratically on speed modulus.In these cases we will prove two relevant facts: the ascent time is always smallerthan the descent one, and that this difference increases with initial speed.

Moreover, for linear drag and models with no drag at all, we are going toprove that ascent and descent times for a fixed maximum height are constantfor every thrown.

III

Indice general

Resumen I

Abstract III

Introduccion 1

1. Modelos basicos 31.1. Modelo sin rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Estudio del tiempo de ascenso y descenso . . . . . . . . . 6

1.2. Modelo de rozamiento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1. Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Estudio del tiempo de ascenso y descenso . . . . . . . . . 9

2. Modelo de rozamiento cuadratico 172.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Solucion exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2. Lanzamiento vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3. Lanzamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Analisis numerico de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Estudio del tiempo de ascenso y descenso . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1. Prueba de la Propiedad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.2. Prueba de la Propiedad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Bibliografıa 51

V

Introduccion

El movimiento que describe un proyectil lanzado con cierto angulo y velocidaddesde la superficie terrestre es una cuestion que lleva siglos estudiandose. Perono fue hasta entrado el Renacimiento cuando los avances en la tecnologıa militarpromovieron el estudio en profundidad de esta cuestion. Sin embargo, si nosremontamos a la epoca griega, Aristoteles ya se habıa planteado este asunto,concluyendo que el lanzamiento de un proyectil sigue una trayectoria recta hastasu punto maximo y luego cae a plomo hacia el suelo. Se puede ver un diagrama dela trayectoria propuesta por Aristoteles en la primera imagen de la figura 1. Estaafirmacion perduro hasta el siglo XVI, cuando Tartaglia afirmo en 1537 que latrayectoria se dividıa en tres tramos, dos rectilıneos unidos con un tramo centralcurvo; comportamiento recogido en la imagen derecha de la figura 1. En 1546,Tartaglia dio un paso mas afirmando que toda la trayectoria debıa ser curva. Elsiguiente gran avance llego ya con Galileo y Newton que sentaron las bases dela dinamica moderna planteando modelos de lanzamientos con bases cientıficas;incluso Newton llego a tratar el rozamiento en alguna de sus obras (ver porejemplo [7]). Fue ya Leonhard Euler el que estudio la resistencia aerodinamicaanalıticamente, obteniendo evidencias de que esta debıa ser proporcional alcuadrado de la velocidad. Ya desde el siglo XIX se ha incrementando la precisionen los estudios, usandose varios modelos para la fuerza de rozamiento en funcionde las propiedades del medio y los proyectiles.

Figura 1: A la izquierda modelo de lanzamiento planteado por Aristoteles. A laderecha trayectorias segun el modelo propuesto por Niccolo Fontana Tartaglia.

1

2 Introduccion

En este trabajo nos centraremos en el estudio de los tiempos de ascenso ydescenso de estos lanzamientos. Para analizar la cuestion que nos ocupa iremos delos modelos mas simples a los mas complejos, que incorporan diversas formas parala fuerza de rozamiento. Es, precisamente, la introduccion de estas fuerzas la queha permitido explicar muchos de los fenomenos observados experimentalmente yla que nos planteara mayores dificultades en su estudio. Usando estos modelostrataremos de demostrar dos propiedades relacionadas con los tiempo de ascensoy descenso en la trayectoria de un proyectil, viendo que, en caso de que hayarozamiento, el tiempo de ascenso es menor que el de descenso y que ademas ladiferencia entre ellos se incrementa con la velocidad inicial.

Toda esta memoria esta centrada en el estudio de las dos propiedades ante-riormente comentadas. En el primer capıtulo, a modo de preambulo elemental,trataremos el tiro parabolico, que describe la trayectoria de un proyectil enausencia de fuerzas de rozamiento. En este caso ideal, el tiempo de ascensoy descenso coinciden y no surgen cuestiones de interes. La segunda parte delCapıtulo 1 esta dedicada al estudio de trayectorias modificadas por fuerzasde rozamiento lineales. La presencia de estas fuerzas causa que los tiemposde ascenso y descenso se diferencien, siendo menor el de ascenso. Ademas dedemostrar este ultimo hecho, tambien podremos probar que un incremento enla velocidad inicial aumentarıa esa diferencia entre los tiempos. Por otra parte,para estos primeros casos, tambien conseguiremos probar que tanto el tiempo deascenso, como el de descenso, son constantes para todo movimiento que alcancela misma altura maxima; hecho que mas adelante veremos no es extrapolable alcaso cuadratico.

El segundo capıtulo de la memoria esta ıntegramente dedicado al analisis delcaso en el que las trayectorias estan sujetas a fuerzas de rozamiento no lineales.Comenzaremos por obtener las expresiones exactas de las trayectorias en el casocuadratico y, ante la complejidad que presentan, haremos uso de metodos deanalisis numerico para analizar su comportamiento. Finalmente haremos unareparametrizacion que nos permitira concluir la prueba de las dos propiedadesmencionadas, incluso para formas mas generales de modelizar el rozamiento.

Capıtulo 1

Modelos basicos

1.1. Modelo sin rozamiento

Inicialmente el estudio de la trayectoria de una partıcula lanzada con ciertavelocidad inicial se desarrollo sin considerar el rozamiento. En este planteamiento,el mas simple que se puede contemplar, la trayectoria describe perfectamenteuna parabola dando lugar a un movimiento completamente simetrico. Este casosuele denominarse tiro parabolico.

El primero en describir este tipo de movimiento fue Galileo Galilei entrefinales del siglo XVI y principios del siglo XVII, aunque hasta 1638, en ellibro Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, no sepublicaron sus resultados. En este libro, Galileo describe la forma parabolicaque sigue la trayectoria de un proyectil disparado horizontalmente desde ciertaaltura.

Figura 1.1: Retrato de Galileopor Justus Sustermans.

Fue ya su ayudante durante sus ultimos anos, Evangelista Torricelli, el quedetermino la trayectoria parabolica para proyectiles disparados formando unangulo cualquiera con la horizontal. Torricelli tambien descubrio la denominadaparabola de seguridad que delimita el area que pueden atravesar las trayectoriasdada una velocidad inicial, siendo el exterior de esta inalcanzable para cualquierangulo inicial.

Los resultados de Torricelli aparecieron publicados en su libro Opera geo-metrica publicado en 1644. En este libro tambien se incluyeron unas tablas debalıstica (ver figura 1.2) con tiros precalculados que, debido a que no tenıan encuenta el rozamiento, no eran en la practica muy utiles.

1.1.1. Ecuaciones del movimiento

El problema que trataremos de analizar es el lanzamiento de un proyectildesde un punto O, origen de nuestro sistema de coordenadas, formando un angulo

3

4 Capıtulo 1. Modelos basicos

Figura 1.2: Torricelli junto con extractos de su obra Opera geometrica.

x

y

O

�v0

v0 cos θ0

v 0senθ 0

θ0

mg

Figura 1.3: Esquema de la trayectoria del proyectil

θ0 respecto del eje horizontal1y con una velocidad inicial v0 sujeto, unicamente, ala accion de la gravedad. Se puede ver un esquema de la situacion en la figura 1.3.

Una forma de llegar a las ecuaciones que describen el tiro parabolico es usarla segunda ley de Newton.

Cabe notar que esta tecnica no fue la empleada por Galileo y Torricelli quese basaron en argumentos geometricos de composicion de movimientos paraobtener sus resultados. De hecho, las celebres ecuaciones de Newton en las quenos basaremos usaron los trabajos de Galileo para su formulacion.

La segunda ley de Newton nos dice (ver [7]) que:

��El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresay ocurre segun la lınea recta a lo largo de la cual aquella fuerza seimprime.��

1A lo largo de este trabajo solo consideraremos θ0 ∈ (0, π/2], pues el caso θ0 ∈ (π/2, π) essimetrico y no presenta interes.

1.1. Modelo sin rozamiento 5

Lo que nos viene a decir que toda fuerza neta aplicada sobre un cuerpo produceen el una aceleracion que es directamente proporcional a la fuerza, es decir

�F = m�a.

Usando que la aceleracion es la segunda derivada de la posicion respecto altiempo y suponiendo que la unica fuerza que actua sobre la partıcula es lagravedad en direccion vertical, podemos reescribir la ecuacion separandola encomponentes, siendo x(t) la posicion horizontal e y(t) la vertical, quedandonosel problema de valores iniciales

(P )

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x′′(t) = 0,

y′′(t) = −g,

x(0) = y(0) = 0,

x′(0) = v0 cos θ0, y′(0) = v0 sen θ0.

Resolvemos ahora el sistema (P ) dandonos cuenta que podemos verlo comodos ecuaciones independientes con sus correspondientes valores iniciales

(P1)

⎧⎪⎨⎪⎩x′′(t) = 0,

x(0) = 0,

x′(0) = v0 cos θ0,

(P2)

⎧⎪⎨⎪⎩y′′(t) = −g,

y(0) = 0,

y′(0) = v0 sen θ0.

Comencemos por (P1). Como x′′(t) = 0, entonces se tiene que x′(t) = k1 yx(t) = k1t+ k2 para ciertas constantes k1 y k2. Imponiendo la condicion inicialx′(0) = v0 cos θ0, tenemos que k1 = v0 cos θ0 y aplicando que x(0) = 0 obtenemosfinalmente k2 = 0.

Por otro lado, en (P2) de la ecuacion y′′(t) = −g se tiene que y′(t) = −gt+k3e y(t) = −gt2/2 + k3t+ k4, para ciertas constantes k3 y k4. De nuevo, si ahoraimponemos las condiciones iniciales, y′(0) = v0 sen θ0 nos da que k3 = v0 sen θ0e y(0) = 0 nos dice que k4 = 0.

Juntandolo todo, la solucion de nuestro sistema (P ) es pues⎧⎨⎩x(t) = tv0 cos θ0,

y(t) = tv0 sen θ0 − gt2

2,

(1.1)

que son las ecuaciones parametricas que describen la trayectoria del proyectil enfuncion del tiempo.

Si en su lugar deseamos conocer la expresion explıcita, podemos despejar elparametro t de la primera ecuacion parametrica en (1.1) que, sustituido en lasegunda, nos da

y =x

v0 cos θ0v0 sen θ0 − gx2

2v20 cos2 θ0

= x

(tan θ0 − gx

2v20 cos2 θ0

). (1.2)

Llegados a este punto, donde tenemos perfectamente descrito el movimientodel proyectil, podemos plantearnos la cuestion de cuanto tiempo supone el ascensoy cuanto el descenso, que es al fin y al cabo nuestro objetivo principal.


1.1.2. Estudio del tiempo de ascenso y descenso

A lo largo de esta memoria vamos a denotar por ta el tiempo de ascenso, elnecesario para alcanzar la altura maxima, y por td el tiempo de descenso, lo quesupone ir desde la altura maxima al suelo nuevamente. Para obtener los citadosvalores en este caso usaremos la expresion parametrica de la trayectoria (1.1) alestar esta en funcion del tiempo.

La ecuacion y(t) = 0 tiene dos soluciones: t = 0, que es el punto de partidaal nivel del suelo, y t = ta + td, que es cuando vuelve a alcanzarlo. Comoy(t) = t (v0 sen θ0 − gt/2) se tiene que

y(t) = 0 ⇐⇒⎧⎨⎩t = 0,

v0 sen θ0 − gt

2= 0.

De esta segunda condicion obtenemos que ta + td =2v0 sen θ0

g.

Para poder calcular ahora los valores por separado debemos buscar cuantovale ta. Como en dicho momento se alcanza el valor de y maximo, debe cumplirseque la derivada sea nula, es decir

y′(t) = −gt+ v0 sen θ0 = 0.

Esta ecuacion tiene como unica solucion ta = v0 sen θ0g . Notar que en caso de querer

asegurar que, efectivamente, se trata del maximo deseado podemos comprobarque y′′(t) = −g < 0.

Ası pues, llegados a este punto, con una simple resta podemos obtener elvalor del tiempo de descenso

td =2v0 sen θ0

g− ta =

v0 sen θ0g

.

Con todos los valores calculados, podemos concluir que, en el caso de un lan-zamiento en el que no se considera ningun tipo de fuerza de rozamiento, elmovimiento descrito es una parabola como nos indica la ecuacion (1.2) y lostiempos de ascenso y descenso valen exactamente lo mismo

ta = td =v0 sen θ0

g. (1.3)

Como cuestion adicional nos preguntamos si, fijada una altura maxima h,podrıamos saber cuanto tiempo supondrıa el ascenso/descenso del lanzamientoque le corresponde. Para dar respuesta a esta ultima cuestion nos apoyaremos enque sabemos cuando se alcanza esta altura maxima para cualquier lanzamientogracias a (1.3), ademas conocemos cuanto valdrıa dicha altura para ese instantede tiempo por (1.1). Entonces

h = y

(v0 sen θ0

g

)=

(v0 sen θ0

g

)v0 sen θ0 − g

2

(v0 sen θ0

g

)2

=v20 sen

2 θ02g

.

1.2. Modelo de rozamiento lineal 7

Luego

ta = td =

√v20 sen

2 θ0g2

=

√2h

g. (1.4)

Este resultado, que sera usado posteriormente cuando se introduzcan modeloscon rozamiento para comparar la diferencia entre los tiempos de ascenso ydescenso, pone de manifiesto un curioso comportamiento: el tiempo de ascenso auna altura h, siendo h la maxima elevacion de la trayectoria, es siempre el mismo,independientemente de la distancia horizontal a la que se encuentre dicho punto.Este hecho, no muy intuitivo en un principio, se debe a que la velocidad inicial yel angulo necesario para llevar a cabo ese movimiento compensan la longituddel recorrido hasta alcanzar el maximo, manteniendo los tiempos de ascensoy descenso constantes. Notar que, de forma obvia, tambien serıa constante eltiempo total del movimiento.

A continuacion se presenta una grafica en la que se observan tres lanzamientosque alcanzan la misma altura maxima y comparten tiempos de ascenso y descenso.

10 20 30 40x

246810y

Figura 1.4: Distintas trayectorias con tiempos de ascenso y descenso iguales.

Figura 1.5: Retrato de MarinMersenne (1588 –1648).

1.2. Modelo de rozamiento lineal

El modelo sin rozamiento que hemos presentado anteriormente es un modelomuy simple y, en el, el tiempo de ascenso y descenso son coincidentes y latrayectoria descrita por el cuerpo lanzado es una parabola. Sin embargo, ya enel siglo XVII se conocıa que este resultado no era cierto en la practica. Una delas primeras discrepancias observadas respecto al modelo parabolico simetricopropuesto por Galileo fue que los tiempos de ascenso y descenso no coincidıan.

Pero no fue hasta 1644, cuando Marin Mersenne llevo a cabo numerososexperimentos con una ballesta, que se vio que en la practica el tiempo de ascensoera siempre menor.

Para probar este hecho observado experimentalmente seguiremos las ideaspresentadas en [3] y desarrolladas en [2]. Para comenzar es necesario anadir anuestro modelo una fuerza de rozamiento. Siempre que se tiene en cuenta una


fuerza de rozamiento, se considera que tiene la direccion de la velocidad, perosentido opuesto y su modulo es proporcional a una potencia de esta. Inicialmente,por simplicidad, se considera para estudio el modelo lineal, segun el cual elmodulo de la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la velocidad;es decir,

�Fd = −k�v y Fd = kv,

con una cierta constante k. Mas adelante comprobaremos si esta aproximaciones o no adecuada en la practica.

1.2.1. Ecuaciones del movimiento

En el modelo de rozamiento lineal, la forma de obtener las ecuaciones quedescriben la trayectoria es similar a la vista en el caso sin rozamiento. A conti-nuacion se muestra un diagrama que ilustra el lanzamiento junto con las fuerzasque afectan al proyectil durante este.

x

y

O

�v0

v0 cos θ0

v 0senθ 0

θ0

mg

Fd

Figura 1.6: Diagrama de fuerzas en el modelo con rozamiento.

Suponiendo que nuestro proyectil tiene masa unitaria (m = 1) y usando lasegunda ley de Newton y el hecho conocido de que la velocidad y la aceleracion sonla primera y segunda derivada de la posicion respecto al tiempo respectivamente,obtenemos el problema de valores iniciales

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x′′ = −kx′,y′′ = −ky′ − g,

x(0) = y(0) = 0,

x′(0) = v0 cos θ0, y′(0) = v0 sen θ0.

(1.5)

De nuevo podemos notar que nos encontramos ante un sistema que podemosseparar en dos ecuaciones independientes con sus correspondientes condiciones


iniciales ⎧⎪⎨⎪⎩x′′ = −kx′,x(0) = 0,

x′(0) = v0 cos θ0,

⎧⎪⎨⎪⎩y′′ = −ky′ − g,

y(0) = 0,

y′(0) = v0 sen θ0.

Debemos comenzar observando que ambas ecuaciones son lineales de coefi-cientes constantes y que su ecuacion homogenea asociada es comun y tiene laforma

φ′′ = −kφ′.

La ecuacion caracterıstica asociada es λ2 + kλ = 0, cuyas raıces son λ = 0 yλ = −k. Por tanto su solucion general sera de la forma

φ(t) = A+Be−kt.

Con esto ya podemos encontrar la ecuacion de x sin mas que aplicar lascondiciones iniciales. La condicion x(0) = 0 nos lleva a la ecuacion A+B = 0 ycomo x′(0) = v0 cos θ0 tenemos que −kB = v0 cos θ0, luego

x(t) =v0 cos θ0

k(1− e−kt).

Para obtener la componente y debemos determinar una solucion particularyp de la ecuacion

y′′ = −ky′ − g.

Tanteando con yp = ct (notar que λ = 0 es raız de la ecuacion caracterıstica)obtenemos que c = −g/k, y la solucion general de la ecuacion sera

y = A+Be−kt − g

kt.

Las condiciones iniciales y(0) = 0 e y′(0) = v0 sen θ0 dan lugar a las ecuacioneslineales A+B = 0 y −kB − g/k = v0 sen θ0 respectivamente, que implican

y(t) =(g + kv0 sen θ0)(1− e−kt)

k2− g

kt. (1.6)

Luego la trayectoria del proyectil viene dada por⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x(t) =

v0 cos θ0k

(1− e−kt),

y(t) =(g + kv0 sen θ0)(1− e−kt)− gkt

k2.

1.2.2. Estudio del tiempo de ascenso y descenso

Una vez tenemos las ecuaciones parametricas de la trayectoria del proyectilnos gustarıa poder calcular cuanto valen los tiempos de ascenso ta y descenso tdpara compararlos. Sin embargo, la expresion de las ecuaciones parametricas de


la trayectoria no nos va a permitir hacer un calculo explıcito de td. Unicamentevamos a ser capaces de obtener ta de manera exacta. A pesar de este detalle,seremos capaces de comparar ambos tiempos.

Comenzamos con ta. Sabemos que este momento se da cuando y toma suvalor maximo, es decir cuando, como ya ocurrıa antes, la derivada de y se anula

y′(ta) =(g + kv0 sen θ0)e

−kta − g

k= 0.

Despejando e−kta la anterior expresion nos queda

e−kta =g

g + kv0 sen θ0, (1.7)

de donde obtenemos

ta = −1

klog

(g

g + kv0 sen θ0

)=

1

klog

(g + kv0 sen θ0

g

). (1.8)

Notemos que deberıamos comprobar que nos encontramos, efectivamente, anteun maximo y no un mınimo ni un punto estacionario. Lo que es cierto pues,como g, k, v0 son valores positivos y θ0 ∈ (0, π/2), entonces

y′′(ta) = −(g + kv0 sen θ0)e−kta < 0.

Veamos ahora que el tiempo en el que el proyectil impacta en el suelo,llamemoslo ti, viene dado implıcitamente por cierta ecuacion.

Es claro que ti = ta + td. Tambien sabemos que en ti, al igual que en t = 0,se tiene que la partıcula esta en el suelo, es decir

y(t) =(g + kv0 sen θ0)(1− e−kt)− gkt

k2= 0,

que es equivalente a

t =g + kv0 sen θ0

gk(1− e−kt). (1.9)

Ya tenemos la ecuacion implıcita cuya soluciones son ti y 0. Puesto que queremoscomprobar si td > ta, basta probar que td + ta = ti > 2ta.

Antes de continuar con la prueba, daremos un lema sobre el que nos apoya-remos.

Lema 1. Para cada c > 1, la ecuacion p = 1−e−cp posee una unica raız positivap0. Ademas, s > p0 ⇐⇒ s > 1− e−cs siempre que consideremos s > 0.

Dando a c varios valores podemos ver en la figura 1.7 que este hecho es apa-rentemente cierto. Sin embargo, esto no es una prueba y es necesario demostrarlorigurosamente.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2s

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

y

c 1.5c 1.75c 2.5c 4.5y s

Figura 1.7: Curvas y = 1 − e−cs para distintos valores de c en contraposicioncon la diagonal y = s.

Demostracion. Tomemos la funcion auxiliar

f(s) = 1− e−cs − s.

Es claro que f es continua, f(0) = 0 y lıms→+∞ f(s) = −∞. Ademas el punto

s = log cc pertenece al intervalo (0,+∞) y

f

(log c

c

)= 1− 1

c− log c

c=

c− 1− log c

c> 0,

pues c > 1 y log(1 + d) < d, para d > 0.

Como f es una funcion continua y cambia de signo en el intervalo(

log cc , +∞

),

por el teorema de Bolzano se tiene que en dicho intervalo la funcion posee almenos una raız, llamemosla p0.

Si presentase mas de una raız en (0,+∞), puesto que f(0) = 0, entonces porel Teorema de Rolle se deberıa cumplir que f ′(s) tendrıa al menos dos raıces,pero

f ′(s) = ce−cs − 1 = 0 ⇐⇒ s =log c

c,

luego, como solo se anula en un punto, la raız es unica.

Puesto que log cc < p0, f

(log cc

)> 0 y f solo presenta una raız en el semieje

positivo se tiene que f(s) > 0 si s ∈ (0, p0) y f(s) < 0 si s ∈ (p0,∞).


Volvamos ahora a la desigualdad que queremos probar: ti > 2ta. Parasimplificar la escritura de las expresiones a las que referencian ti y ta tomamos

D =g + kv0 sen θ0

g. (1.10)

Ası es claro que ta = logDk y de (1.9) obtenemos la relacion ti =

Dk (1− e−kti).

Empleando la expresion de ta obtenida, la desigualdad que queremos probarpuede escribirse ahora como

k

Dti >

2

DlogD.

Si usamos que ti es solucion de la ecuacion (1.9) y el lema anterior (Lema 1),

tomando c = D, p0 =ktiD

y s =2 logD

D, vemos que la desigualdad es cierta si y

solo si

1− e−2 logD >2

DlogD.

Despejando D de la expresion de ta tenemos que D = ekta , por lo que ladesigualdad se reduce a probar

1− e−2kta >2ktaekta

,

que es equivalente a

ekta − e−kta

2= senh(kta) > kta,

la cual es cierta pues senhx > x cuando x > 0 ya que

senhx = x+x3

3!+

x5

5!+ · · · =

∞∑n=0

x2n+1

(2n+ 1)!.

Queda ası pues probado que el tiempo de ascenso es menor que el tiempo dedescenso en caso de plantear un modelo de rozamiento lineal.

Analisis de la diferencia entre el tiempo de descenso y ascenso

El propio Mersenne realizo otra afirmacion: la diferencia entre los tiempos deascenso y descenso se incrementa con la velocidad inicial.

Probar la afirmacion de Mersenne equivale a verificar que

d(td − ta)

dv0=

d(ti − 2ta)

dv0> 0. (1.11)

Por definicion de ti y ta podemos ver su dependencia de v0 a traves de laexpresion de D en (1.10) teniendose

v0 ←− (ti − 2ta) −→ D −→ v0.


Ası

d(ti − 2ta)

dv0=

d(ti − 2ta)

dD

dD

dv0

=

(dtidD

− 2dtadD

)k sen θ0

g=

(dtidD

− 2

Dk

)k sen θ0

g.

Usando la formula implıcita (1.9) podemos calculardtidD

y se obtiene

dtidD

=1− e−kti

k− D

k(−ke−kti)

dtidD

=⇒ dtidD

=1− e−kti

k(1−De−kti).

De este modo

d(ti − 2ta)

dv0=

(1− e−kti

k(1−De−kti)− 2

Dk

)k sen θ0

g=

(1− e−kti

1−De−kti− 2

D

)sen θ0g

.

Para concluir (1.11), como g > 0 y sen θ0 > 0 para θ0 ∈ (0, π/2), debemosestudiar si

1− e−kti

1−De−kti>

2

D. (1.12)

De la relacion (1.9) escrita en terminos de D se deduce que

1− e−kti =ktiD

,

luego (1.12) se convierte en

ktiD

1−D(1− kti

D

) >2

D,

que equivale aktiD

<2(D − 1)

D.

Usando (1.9) y el Lema 1, tomando p0 =ktiD

, c = D y s =2 (D − 1)

D, probar

(1.12) es equivalente a ver

1− e−2(D−1) <2 (D − 1)

D.

Si denotamos α = D − 1, la desigualdad anterior se transforma en

2

1 + e−2α− 1 < α,

lo cual es equivalente atanhα < α,


que es cierto para α > 0. Puesto que

α = D − 1 =g + kv0 sen θ0

g− 1 =

kv0 sen θ0g

> 0,

deducimos que se cumple (1.12), lo que implica que la diferencia td − ta crececon la velocidad inicial como querıamos probar.

Finalmente, concluiremos este modelo demostrando que si hay rozamientolineal tambien se cumple que el tiempo de ascenso a una misma altura, siendoesta el maximo de la trayectoria, es constante e independiente de la distanciahorizontal al origen desde donde se alcanza.

Evaluando la expresion de y dada en (1.6) en el instante ta, usando (1.8),obtenemos

y(ta) = y

(1

klog

(g + kv0 sen θ0

g

))

=(g + kv0 sen θ0)(1− g

g+kv0 sen θ0)

k2− g

k2log

(g + kv0 sen θ0

g

)

=g

k

(v0 sen θ0

g− 1

klog

(g + kv0 sen θ0

g

))=

g

k

(v0 sen θ0

g− ta

).

Empleando (1.7) llegamos a

v0 sen θ0g

= ekta − 1,

luego el tiempo de ascenso con rozamiento lineal a un maximo h viene dado por

h = y(ta) =g

k

(ekta

k− ta

)=⇒ h

g=

ekta − 1− ktak2

. (1.13)

Resulta sencillo observar que esta ultima ecuacion tiene una unica solucionpositiva ta que depende unicamente de k y h.

Por tanto, de nuevo, como en la figura 1.4, nos encontramos con que diferenteslanzamientos que alcanzan su maximo a la misma altura comparten su tiempode ascenso tanto en el modelo lineal, como en el que no considera rozamiento.

Centremonos ahora en probar que para el tiempo de descenso ocurre exacta-mente lo mismo, que fijada una altura h tenemos un td constante. Para resolverloconsideraremos el movimiento justamente inverso aplicando una simetrıa sobrela recta x = x(ti), como se ve en la figura 1.8, y lo trasladaremos a la izquierdapara que el origen de coordenadas coincida con el punto de salida nuevamente.En concreto consideramos el cambio{

x(t) = x(ti)− x(ti − t),

y(t) = y(ti − t).


x

y

O

�v0 �vi

θ0 θimg

mg

Fr

Fr

Figura 1.8: Simetrıa aplicada sobre el sistema original (a izquierda) para probarel resultado para un masa m generica.

Una vez realizado este cambio ya podemos aplicar lo que conocemos sobre lafase ascendente. El esquema de fuerzas es muy similar y, aplicando la segundaley de Newton, el movimiento queda determinado por el sistema

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x′′ = kx′,y′′ = ky′ − g,

x(0) = y(0) = 0,

x′(0) = vi cos θi, y′(0) = vi sen θi.

Que es equivalente al visto en (1.5) tomando −k en vez de k, v0 = vi y θ0 = θi. Asıpues, conocemos su solucion y tambien que su tiempo de ascenso es una funcionde h. Este tiempo2 es, precisamente, el tiempo de descenso de nuestro sistemaoriginal. Luego, como equivale a un tiempo de ascenso de otro lanzamiento,queda probado que podemos verlo como una funcion que depende exclusivamentede h.

Ademas, gracias a esta simetrıa podemos deducir una expresion implıcitapara el tiempo de descenso en funcion del rozamiento y la altura, como yahicimos en (1.13). Simplemente debemos ver que td es el tiempo de ascenso deun modelo equivalente al original, cambiando k de signo y algunos valores masque no afectan a nuestra expresion. Como la altura h para el descenso siguesiendo la misma, entonces se tiene que

h

g=

e−ktd − 1 + ktdk2

. (1.14)

2Notar que usando (1.8) tendrıamos que

td =1

klog

(g

g − kvi sen θi

).

Notar que aun teniedo una expresion explicita, dado que depende del angulo de impacto y lavelocidad de impacto, ambos desconocidos para nosotros, la expresion implıcita previa sigueteniendo valor.


Como apunte final, anadir que, dado que sabemos que td − ta aumenta conv0 y, fijado θ0, un aumento de v0 incrementa h, tenemos que esta diferencia nosolo es constante fijada una h, sino que aumenta con esta.

Por ultimo darse cuenta que tanto (1.13) y (1.14) cuando k → 0 equivalen alcaso sin rozamiento, es decir (1.4). Usando los primeros terminos del desarrollode la exponencial

ex = 1 + x+x2

2+ o(x2),

tenemos entonces que

h

g= lım

k→0

(ekta − 1− kta

k2

)= lım

k→0

(k2t2a2

k2

)=⇒ ta =

√2h

g

y

h

g= lım

k→0

(e−ktd − 1 + ktd

k2

)= lım

k→0

(k2t2d2

k2

)=⇒ td =

√2h

g.

Capıtulo 2

Modelo de rozamientocuadratico

2.1. Introduccion

El modelo sin rozamiento para lanzamientos de proyectiles muestra unatrayectoria absolutamente simetrica, pero cuando en un campo gravitatoriouniforme aparece una fuerza de rozamiento esta simetrıa desaparece como yahemos visto en el caso lineal. Es bien conocido que este hecho se debe a laresistencia que el medio opone al movimiento.

En general, la fuerza de rozamiento depende de muchos factores como ladensidad y viscosidad del medio, la forma, rugosidad, material y velocidad delobjeto lanzado. . . Para concretar, si suponemos ahora que la fuerza de rozamientoFd depende solo de la velocidad v, la densidad del medio ρ y la seccion del cuerpoA, entonces podemos determinar la forma de esta gracias al analisis dimensional.

Primero analizamos las unidades del Sistema Internacional involucradas enel planteamiento, que son las siguientes:

1. Fd expresada en Newtons

(Kg ×m

s2

),

2. ρ expresada enKg

m3,

3. A expresada en m2, y

4. v expresada enm

s.

Ası, tendrıamos una ecuacion generica de la forma

(Fd)a = ρbAc vd =⇒

(Kg ×m

s2

)a

=

(Kg

m3

)b(m2

)c (ms

)d

,

17

18 Capıtulo 2. Modelo de rozamiento cuadratico

que nos impone unas restricciones determinadas por el siguiente sistema⎧⎪⎨⎪⎩a = b,

a = −3b+ 2c+ d,

−2a = −d.

Su solucion, 2a = 2b = 2c = d, nos sugiere que la forma que debe tomar la fuerzade rozamiento es

Fd =1

2CdρAv

2,

donde Cd es una constante adimensional llamada coeficiente de rozamiento y elfactor 1

2 es tomado por conveniencia. Este es el que se conoce como el modelocuadratico.

Sin embargo, si a nuestro planteamiento le anadimos una dependencia de laviscosidad cinematica1 del medio, denotada2 usualmente por ν y cuyas unidadesson m2/s, se tiene

(Fd)a = ρbAc vd νe =⇒

(Kg ×m

s2

)a

=

(Kg

m3

)b(m2

)c (ms

)d(m2

s

)e

.

Esta ecuacion da lugar al sistema de ecuaciones⎧⎪⎨⎪⎩a = b,

a = −3b+ 2c+ d+ 2e,

−2a = −d− e,

cuya solucion es b = a, d = 2c y e = 2a− 2c. Si tomamos a = 1 y c = 1/2, esterazonamiento sugiere una dependencia de la forma

Fd =1

2Cd vρν

√A,

que es, precisamente, el modelo lineal introducido ya en el Capıtulo 1, dondetomabamos k = 1

2 Cdρν√A.

Ası nos encontramos con que si tratamos el medio como un fluido podemosmodelar la fuerza de rozamiento segun el modelo lineal o el modelo cuadratico.El modelo lineal es util al dar lugar a ecuaciones diferenciales lineales, de lascuales es sencillo obtener una ecuacion que determine la posicion en funciondel tiempo. Ademas, probar en este modelo las propiedades ya mencionadas esbastante directo como hemos visto. ¿Pero cuan exacto es este modelo?, ¿cuandoes conveniente usar un modelo u otro?

1Es el nombre que recibe el cociente entre la viscosidad dinamica y la densidad del fluıdo.La viscosidad es la oposicion de un fluido a las deformaciones tangenciales debido a las fuerzasmoleculares, siendo la viscosidad dinamica la relacion entre el esfuerzo cortante y el gradientede la velocidad.

2En el resto del trabajo ν nos servira para denotar otros terminos.

2.1. Introduccion 19

Para ayudarnos a tomar una decision, una buena forma es apoyarnos en lacantidad adimensional llamada numero de Reynolds, definida de la siguienteforma

Re =v√A

ν.

Donde ν vuelve a ser la viscosidad cinematica del fluido en el cual tiene lugarel movimiento (alrededor de 1,5 · 10−5m2/s en aire seco). Esta cantidad quedepende tambien del objeto involucrado en el lanzamiento (velocidad y seccion)sera la que nos ayude a entender como se comporta el medio y que modelo seajusta mas a dicho comportamiento, al tratar de medir como es la resistenciaque opone el fluido al movimiento.

Esta cantidad es asimismo el cociente

Re =Fuerza de rozamiento cuadratica

Fuerza de rozamiento lineal.

Gracias a esta comparacion podemos saber cual es el modelo de rozamientodominante3 en cada caso facilitandonos hacer una eleccion. Ası, si Re 1 comoen el aire o el agua a velocidades normales, el modelo cuadratico es usualmenteel mas apropiado para modelar las fuerzas; mientras que si Re 1 como enel sirope o a bajas velocidades, entonces el modelo lineal es el dominante y seacerca mas a la realidad. A continuacion se puede ver una tabla con valorestıpicos de varios objetos en el aire.

Objeto Numero de Reynolds medio

Submarino 300 000 000

Pequeno avion 5 000 000

Paracaidista 2 500 000

Acrobata aereo 1 000 000

Pelota de beisbol 250 000

Maqueta de aeromodelismo 50 000

Mariposa 7 000

Partıcula de polvo 1

Figura 2.1: Numeros de Reynolds tıpicos para varios objetos en el aire (ver [6]).

Estrictamente hablando, el modelo lineal es adecuado para Re 1, perousarlo cuando Re ≈ 1 puede ser razonable dada la simplicidad que anade. Estosvalores bajos del numero de Reynolds aparecen en situaciones no mostradas enla tabla, como por ejemplo en el estudio de la dispersion del polen, polvo, gotasde agua. . .

3El numero de Reynolds tambien es empleado en mecanica de fluidos para predecir comosera el caracter de un flujo, si laminar o turbulento.


Teniendo en cuenta la tabla de la figura 2.1, aparentemente el modelo cuadrati-co es, normalmente, el mas preciso en la practica, ¿por que no siempre se utiliza?

Y la respuesta es que este modelo da lugar a ecuaciones diferenciales que nonos permiten obtener de forma explıcita y exacta las ecuaciones del movimiento,al menos en terminos de funciones estandar. A pesar de ello, de ellas sı que sepuede inferir cierta informacion sobre la trayectoria, por lo que en la siguienteseccion trataremos de alcanzar sus expresiones.

Es debido a esta complejidad que es frecuente que muchos autores busquenuna solucion aproximada a este problema, por ejemplo mediante tecnicas deanalisis numerico. Nosotros tambien en este trabajo incorporaremos algunasgraficas calculadas por metodos numericos como apoyo a los resultados.

2.2. Solucion exacta

A pesar de que ya hemos adelantado que nos sera imposible determinarde manera explıcita, y en terminos de funciones estandar, las ecuaciones quedescriben la trayectoria, ası como los tiempos de ascenso y descenso, obtendremosdichas ecuaciones y deduciremos de ellas algunas propiedades. El razonamientoque se plantea a continuacion se basa en el mostrado en [4].

2.2.1. Planteamiento del problema

En este modelo nos encontramos ante un cuerpo sometido a dos fuerzas: unafuerza gravitatoria �Fg, que actua en direccion vertical con sentido descendente, y

una fuerza de rozamiento �Fd, proporcional al cuadrado de la velocidad. Es decir,tomamos

�Fg = −mg�j y �Fd = −kv�v, (2.1)

donde �v y v denotan la velocidad del cuerpo y el modulo de esta respectivamente,ası v = |�v |, y �j indica el vector unitario en la direccion vertical. El esquema dela accion de las fuerzas es como el de la figura 1.6.

Aplicando la segunda ley de Newton y usando que la aceleracion es laderivada de la velocidad con respecto al tiempo, a partir de (2.1) y tomando,por simplicidad, que la masa es unitaria tenemos el problema de valores iniciales⎧⎨

⎩d�v

dt= −g�j − kv�v,

�v(0) = �v0,(2.2)

donde �v0 es la velocidad inicial del proyectil.

Antes de entrar a fondo en la resolucion vamos a ver que el movimiento tienelugar en un plano fijo, en concreto en el generado por �v0 y �j. Para comprobar esta

2.2. Solucion exacta 21

afirmacion simplemente realizamos el producto escalar de la ecuacion diferencialen (2.2) por �v0 ×�j, dandonos

d�v

dt· (�v0 ×�j ) = (−g�j − kv�v ) · (�v0 ×�j )

= −g�j · (�v0 ×�j )− kv�v · (�v0 ×�j )

= −kv�v · (�v0 ×�j ).

El mismo producto aplicado sobre la condicion inicial de (2.2) da(�v · (�v0 ×�j )

)(0) = �v0 · (�v0 ×�j ) = 0.

Ası, tomando las funciones h(t) = kv y H(t) = �v ·(�v0×�j ), obtenemos el problemade valores iniciales ⎧⎨

⎩dH

dt= −h(t)H(t),

H(0) = 0.(2.3)

Por el metodo de separacion de variables, deducimos que

dH

H= −h(t) dt =⇒ logH = c−

∫ t

0

h(s) ds =⇒ H(t) = λ e−∫ t0h(s) ds.

Aplicando la condicion inicial llegamos a que λ = 0 y por tanto H(t) = 0. Asıqueda probado que �v · (�v0 ×�j ) = 0 y, por tanto, podemos asegurar que �v estaconfinada en el plano generado por �v0 y �j.

Antes de volver a la resolucion, veamos como se comporta la velocidad enel eje y. Si consideramos la componente vertical del sistema (2.2) y tomamos�v = (v1, v2), entonces tenemos

v′2 = − (g + kv v2) . (2.4)

Puesto que la componente vertical de la velocidad inicial empieza siendo positiva,inicialmente tendremos que v′2 < 0. Esto nos indica que la velocidad verticalcomienza decreciendo hasta el momento en el que el valor de v2 sea cero; esteperiodo es la fase de ascenso. Entonces el proyectil habra alcanzada el puntomaximo de su movimiento; llamemos a este instante, como ya venimos haciendo,ta. En ese punto la derivada seguira tomando un valor negativo, en concreto−g, luego la partıcula empezara a caer cada vez mas rapido al ir decreciendo v2hasta llegar al nivel del suelo en ti = ta + td.

Notemos que durante ese descenso puede darse el caso de que la derivadallegue a anularse haciendo que la partıcula deje de acelerar, aunque la caıdanunca se detendra.

Volviendo a la cuestion que nos ocupa, procedamos ahora a reescribir elsistema (2.2) de una manera mas adecuada para nuestros propositos. Si �i denotael vector unitario en la direccion horizontal,

�v0 = v0(cos θ0�i+ sen θ0�j ),


donde θ0 es el angulo formado por �v0 y el eje horizontal, y de manera analoga

�v = v �T , con �T = cos θ�i+ sen θ�j,

siendo θ el angulo formado en un cierto tiempo t entre �v e �i.

Es conocido que los vectores{�T , �N

}, con

�N = − sen θ�i+ cos θ�j,

forman una base ortonormal en cada punto de la trayectoria. Procederemos a

escribir (2.2) en terminos de este sistema. Usando que �v = v �T y qued�T

dθ= �N ,

se tiene que

d�v

dt=

(dv

dt�T + v

d�T

dθ

dθ

dt

)=

(dv

dt�T + v

dθ

dt�N

).

Ademas, proyectando j sobre{�T , �N

}, tambien tenemos

�j =(�j · �T

)�T +

(�j · �N

)�N = sen θ �T + cos θ �N,

puesto que �j · �T = sen θ y �j · �N = cos θ. De este modo

�Fd + �Fg = −kv2 �T − g�j = −kv2 �T − g(sen θ �T + cos θ �N

)= −(kv2 + g sen θ) �T − g cos θ �N,

y (2.2) se transforma en

dv

dt= −g sen θ − kv2, v(0) = v0, (2.5a)

vdθ

dt= −g cos θ, θ(0) = θ0. (2.5b)

El sistema anterior, junto con las relaciones

dx

dt= v cos θ, x(0) = 0, (2.6a)

dy

dt= v sen θ, y(0) = 0, (2.6b)

nos permitiran determinar la trayectoria del proyectil en cada instante de tiempo.


2.2.2. Lanzamiento vertical

Supongamos que el proyectil se lanza de tal forma que θ0 = π/2, es decir,de manera totalmente vertical. En este caso debemos comprobar que el movi-miento no presenta componentes horizontales, es decir θ(t) = θ0. Este hecho esconsecuencia de (2.5b), pues el sistema⎧⎪⎨

⎪⎩dθ

dt= f(t, θ),

θ(0) =π

2,

con f(t, θ) = −g cos θ

v, tiene θ(t) = π/2 por solucion, y esta es unica ya que

existe una constante positiva M tal que∣∣∣∣∂f∂θ∣∣∣∣ = ∣∣∣g

vsen θ

∣∣∣ ≤ g

v< M (2.7)

para t ∈ (0, p) con p < ta cuando v = 0. Ası pues, el movimiento sera unidimen-sional y sera posible determinar la trayectoria de manera exacta. Sin embargo,en el instante en el que v = 0 surgira un problema en la ecuacion (2.5b) que nosobligara a estudiar por separado la fase ascendente de la descendente.

En efecto, sea ta el tiempo de ascenso, y el valor que separa ambas fases deestudio, definido como el momento donde se da que v(ta) = 0. La ecuacion (2.5b)en ese instante no nos permite evaluar dθ

dt . Por como es el lanzamiento, segun lovisto en (2.4) y que es completamente vertical, se debe dar que θ(ta

−) = π/2 yθ(ta

+) = −π/2, por lo que θ presenta una discontinuidad en ta.

Fase de ascenso: 0 < t < ta

Las condiciones especıficas para esta fase son

v(0) = v0, x(0) = 0, v(ta)= 0, (2.8a)

θ(0) =π

2, y(0) = 0, y(ta)= h, (2.8b)

donde denotamos h como la altura maxima alcanzada.

Gracias a que durante el ascenso se tiene que v = 0, la ecuacion (2.5b) implica

que θ = π/2, lo que hace quedx

dt= 0 y

dy

dt= v por las ecuaciones (2.6a) y (2.6b),

respectivamente, para 0 < t < ta. Ahora la ecuacion (2.5a) se transformara en

dv

dt= −(g + kv2). (2.9a)

Puesto que es un movimiento solo en el eje vertical podemos suponer que v = v(y).La dependecia

t ←− v −→ y −→ t


nos permite obtener

dv

dy=

dvdtdydt

=−(g + kv2)

v=⇒ v

dv

dy= −(g + kv2). (2.9b)

Usando (2.9a) y (2.9b) podremos obtener una expresion para la posicionen funcion del tiempo. Resolvemos primero la ecuacion (2.9a). Es evidente quepodemos expresarla como

1

g + kv2dv

dt= −1.

Ahora, integrando ambos lados respecto a t entre ta y t, tenemos∫ t

ta

1

g + kv2dv

dtdt = −

∫ t

ta

dt.

Con el cambio w = v(t), como dw =dv

dtdt y v(ta) = 0, llegamos a

∫ v(t)

0

dw

g + kw2= −

∫ t

ta

dt =⇒arctan

(√kg v(t)

)√kg

= ta − t.

Tomando α =√

kg , obtenemos la expresion

v(t) =1

αtan(αg(ta − t)). (2.10)

Ahora resolvemos la ecuacion (2.9b). Esta ecuacion puede reescribirse como

− v

g + kv2dv

dy= 1,

que, integrando contra y entre 0 e y, se convierte en

y = −∫ y

0

v

g + kv2dv

dydy.

El cambio de variable w = v(y), para el que se tiene dw =dv

dydy y v(0) = v0,

nos da

y = −∫ v(y)

v0

w

g + kw2dw =

−1

2k

∫ v(y)

v0

2kw

g + kw2dw

=−1

2klog

(g + kw2

) ∣∣∣∣v

v0

=1

klog

⎛⎝√

g + kv20g + kv2

⎞⎠

=1

α2glog

⎛⎝√

1 + α2v201 + α2v2

⎞⎠ . (2.11)


Si ahora aplicamos las condiciones en t = 0 dadas en (2.8a) sobre (2.10)tenemos

v(0) = v0 =1

αtan(αgta) =⇒ ta =

arctan(αv0)

αg,

y, de forma similar, evaluando en t = ta la expresion (2.11) con las condiciones(2.8b) llegamos a

h =1

α2glog

(√1 + α2v20

). (2.12)

Finalmente, usando la expresion (2.10) en (2.11) tambien tenemos

y =1

α2glog

(√1 + α2v20

1 + tan2(αg(ta − t))

)

=1

α2glog

(√1 + α2v20 cos (αg(ta − t))

).

Fase de descenso: ta < t < ti

En esta fase, las condiciones iniciales que tenemos son

v(ta) = 0, x(ta) = 0, v(ti) = vi, (2.13a)

θ(ta) = −π

2, y(ta) = h, y(ti) = 0, (2.13b)

donde el subındice i denota impacto. De la ecuacion (2.5b) se puede determinarque θ = −π/2 por unicidad de solucion tal y como hicimos en la fase de ascenso.

De esta forma tenemos quedx

dt= 0 por (2.6a) y que

dy

dt= −v(t) por (2.6b) para

ta < t < ti. Ası, (2.5a) se convierte en

dv

dt= g − kv2. (2.14a)

Tomando nuevamente v = v(y) llegamos a que

dv

dy=

dvdtdydt

=g − kv2

−v=⇒ −v

dv

dy= g − kv2. (2.14b)

Procederemos de un modo analogo a como lo hemos hecho en el caso anterior.Comenzamos resolviendo (2.14a) que podemos escribir como

1

g − kv2dv

dt= 1


y, que integrando contra t en el intervalo [ta, t], se transforma en∫ t

ta

1

g − kv2dv

dtdt =

∫ t

ta

dt.

Si hacemos el cambio w = v(t), notando que dw =dv

dtdt y v(ta) = 0, nos queda

∫ v(t)

0

dw

g − kw2=

∫ t

ta

dt = t− ta

y, finalmente,

t− ta =1

αg

∫ v(t)

0

α dw

1− (αw)2=

1

αgarctanh(α v(t)).

Ası, despejando v(t), tenemos la expresion buscada

v(t) =1

αtanh(αg(t− ta)). (2.15)

Vayamos ahora con la ecuacion (2.14b), que podemos ver como

−v

g − kv2dv

dy= 1.

Integrando contra y pero ahora en el intervalo [h, y], obtenemos que

y − h =1

α2glog

(√1− α2v2

).

De este modo, usando (2.12), tenemos la expresion final deseada, que es

y =1

α2glog

(√(1 + α2v20)(1− α2v2)

). (2.16)

Ahora, como ya hemos hecho en la fase ascendente, aplicamos las condicionesen t = ti enunciadas en (2.13a) y (2.13b). Evaluando (2.16) en t = ti tenemos

0 =1

α2glog

(√(1 + α2v20)(1− α2v2i )

),

lo que implica que (1 + α2v20)(1− α2v2i ) = 1, que equivale a

vi =

√v20

1 + α2v20.


Tomando ahora t = ti en (2.15) y usando el valor de vi obtenido llegamos a

td =1

αgarctanh

(√α2v20

1 + α2v20

), (2.17)

puesto que td = ti − ta.

Debemos observar que la expresion para td dada en (2.17) puede simplificarse.En efecto, partiendo de la identidad hiperbolica

cosh2 t− senh2 t = 1,

obtenemos que

tanh t =

√senh2 t

1 + senh2 t.

Tomando t = arcsenh q, deducimos la igualdad tanh(arcsenh q) =√

q2

1+q2 que,

aplicada a (2.17), nos da

td =1

αgarcsenh(αv0).

Por ultimo, sustituyendo (2.15) en (2.16), deducimos la siguiente expresionpara la posicion como funcion del tiempo

y =1

α2glog

(√(1 + α2v20)(1− tanh2(αg(t− ta)))

)

=1

α2glog

(√1 + α2v20 sech(αg(t− ta))

).

A continuacion mostramos de forma resumida la informacion obtenida sobrela trayectoria en el caso del lanzamiento vertical. Recordar que α =

√k/g.

Vemos que se presenta una destacable similitud en los resultados.

Fase ascendente Fase descendente

ta =arctan(αv0)

αg

v(t) =tan(αg(ta − t))

α

y =1

α2glog

⎛⎝√

1 + α2v201 + α2v2

⎞⎠

td =arcsenh(αv0)

αg

v(t) =tanh(αg(t− ta))

α

y =1

α2glog

(√(1 + α2v20)(1− α2v2)

)


Como punto final del tiro vertical nos preguntamos si es menor el tiempo deascenso que el de descenso; es decir, si

arctan(αv0) < arcsenh(αv0).

Notemos que esta desigualdad es cierta pues αv0 > 0, arctan(0) = arcsenh(0) y

(arctanx)′ =1

1 + x2<

√1

1 + x2= (arcsenhx)′,

puesto que1

1 + x2< 1 para x > 0.

Por otro lado, resulta sencillo comprobar que los valores ta y td tienden alos correspondientes en el caso sin rozamiento cuando k se aproxima a cero. Enefecto, basta observar que

lımα→0

ta = lımα→0

arctan(αv0)

αg=

v0g,

y

lımα→0

td = lımα→0

arcsenh(αv0)

αg=

v0g,

ya que si k → 0, entonces α → 0.

2.2.3. Lanzamiento general

En este caso se supone 0 < θ0 < π/2. Por (2.5b), esta condicion nos asegura

quedθ

dtpuede ser evaluada para 0 < t < ti, luego θ(t) sera una funcion continua

y, por tanto, en este lanzamiento no sera necesario separar el caso ascendentedel descendente para su estudio. Ademas podemos utilizar θ para parametrizarel movimiento en lugar de usar t como hemos venido haciendo hasta ahora.

De la relaciont ←− v −→ θ −→ t

deducimos que

dv

dt=

dv

dθ

dθ

dt=⇒ dv

dθ=

dvdtdθdt

=−g sen θ − kv2

−g cos θv

,

lo que implicadv

dθcos θ = v sen θ +

k

gv3 = v sen θ + α2v3

o, equivalentemente,dv

dθ− v tan θ = α2v3 sec θ. (2.18)


Ası podemos ver que se trata de una ecuacion diferencial ordinaria de tipoBernoulli al tener la forma

v′ + f(θ) v = vβg(θ),

con β = 3. Multiplicando ambos lados de la ecuacion general de Bernouilli por(1− β) v−β exp

((1− β)

∫f(θ) dθ

)podemos reescribirla como(

e(1−β)∫f(θ) dθ v1−β

)′= h(t),

con h(t) = (1 − β) g(θ) exp((1− β)

∫f(θ) dθ

). Procediendo de este modo con

(2.18), llegamos a (e2

∫tan θ dθ v−2

)′= −2α2e2

∫tan θ dθ sec θ,

que con la identidad∫tan θ dθ =

∫sen θ

cos θdθ = − log(cos θ) + c

resulta end

dθ

((v cos θ)−2

)= −2α2 sec3 θ. (2.19)

Para simplificar los calculos, de ahora en adelante vamos a tomar la nuevavariable u = − tan θ (que geometricamente representa el opuesto de la pendiente

de la recta tangente a la trayectoria), en cuyo caso se tiene quedy

dx= −u. Con

este cambio es evidente que

du

dθ= −d tan θ

dθ= − sec2 θ,

y

sec θ =√

1 + tan2 θ =√

1 + u2,

donde hemos asumido que −π/2 < θ < π/2 (basandonos en la evolucion fısicaesperada de θ y que 0 < θ0 < π/2) para la igualdad de la secante con la raızpositiva.

De esta manera (2.19) se transforma en

d

du

(1

v2x

)= 2α2

√1 + u2, (2.20)

donde denotamos vx = v cos θ.

Sea ζ0 = tan θ0 > 0, en t = 0 se tiene que u = −ζ0 y v2x(−ζ0) = v20 cos2 θ0 =

v201 + ζ20

. Integrando la ecuacion (2.20) respecto a u entre −ζ0 y u tenemos que

∫ u

−ζ0

d

du

(1

v2x

)du = 2α2

∫ u

−ζ0

√1 + u2 du. (2.21)


Si en la integral de la parte izquierda tomamos el cambio w =1

v2x(u), entonces

se tiene que dw =d

du

(1

v2x

)du y, como

1

v2x(−ζ0)=

1 + ζ20v20

, nos queda

∫ u

−ζ0

d

du

(1

v2x

)du =

∫ A

B

dw =1

v2x− 1 + ζ20

v20,

donde A =1

v2xy B =

1 + ζ20v20

. Denotando r(x) = x√1 + x2 + arcsenhx, y

observando que ∫ √1 + u2 du =

r(u)

2+ c,

de (2.21) obtenemos la relacion

1

v2x− 1 + ζ20

v20= α2(r(u)− r(−ζ0)).

Finalmente, teniendo en cuenta que r es una funcion impar y tomando

f(u, ζ0) = α2(r(u) + r(ζ0)) +1 + ζ20v20

,

llegamos a

v2x =1

f(u, ζ0). (2.22)

Como r(x) es estrictamente creciente, pues r′(x) =√1 + x2 > 0, podemos

comprobar que f(u, ζ0) > 0 para todo u ≥ −ζ0 y, por tanto,

v =√

v2x sec2 θ =

√1 + u2

f(u, ζ0)

queda determinado para −ζ0 ≤ u ≤ −ζi, con ζi = tan θi que representa lainclinacion en el momento del impacto.

Para obtener una expresion parametrica del movimiento del proyectil vemos

que la expresiondx

dtdada en la ecuacion (2.6a) puede convertirse en

dx

du

du

dθ

dθ

dt=

dx

du

( −1

cos2 θ

)(−g cos θ

v

)= v cos θ

=⇒ dx

du=

v2 cos2 θ

g=

v2xg. (2.23a)

2.3. Analisis numerico de la trayectoria 31

De forma analoga de (2.6b) se obtiene

dy

du

du

dθ

dθ

dt= v sen θ =⇒ dy

du=

v2 tan θ cos2 θ

g=

−u v2xg

. (2.23b)

Y, finalmente, para el tiempo tenemos la formula

dt

du

du

dθ

dθ

dt= 1 =⇒ dt

du=

v cos2 θ

g cos θ=

vxg. (2.23c)

La relacion (2.22) nos permite, usando (2.23a), (2.23b) y (2.23c), expresar x,y y t como

x =1

g

∫ u

−ζ0

dp

f(p, ζ0),

y =1

g

∫ u

−ζ0

−p dp

f(p, ζ0),

t =1

g

∫ u

−ζ0

dp√f(p, ζ0)

.

(2.24)

Como ya habıamos anunciado, estas expresiones son intratables de maneraexacta en la practica, luego debemos buscar una alternativa que nos permitaanalizar la relacion entre el tiempo de ascenso y descenso.

2.3. Analisis numerico de la trayectoria

Dada la complejidad que existe al tratar el problema de forma exacta siguiendolas ecuaciones obtenidas, resulta interesante realizar un estudio numerico quenos permita visualizar algunas graficas para ver como se comporta la trayectoriadel cuerpo.

Si tomamos g = 9,80665, la aceleracion estandar de la gravedad en laTierra, podemos ver como se comportan los tiempos de ascenso y descenso y lastrayectorias en un lanzamiento general en relacion a algunos de los parametrosdel movimiento, analizando de manera numerica las ecuaciones en (2.24).

Para comenzar vamos a ver como afecta el coeficiente de rozamiento a lostiempos de ascenso y descenso de la partıcula. Si fijamos un angulo inicialθ0 = π/4 y una velocidad inicial v0 = 10m/s, entonces una variacion delparametro k nos deja la comparativa de la figura 2.2. Esta grafica pone demanifiesto que ta < td. Ademas, tambien se puede apreciar que el tiempo deascenso/descenso hasta la misma altura h si no hubiese rozamiento aparece comoun valor intermedio. Esto es una generalizacion de la propiedad que estamosestudiando en este memoria y lo trataremos en la parte final de este trabajo.


0 2 4 6 8 10k

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0t

Tiempo de ascenso

Tiempo de ascenso descensosin rozamiento a la misma hTiempo de descenso

Figura 2.2: Evolucion del tiempo de ascenso y descenso en funcion del coeficientede rozamiento si se aplica.

Por otro lado, tambien es interesante ver como afecta el coeficiente derozamiento no solo a los tiempos totales, sino tambien a la diferencia entre estos,dandonos la figura 2.3.

2 4 6 8 10k

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14td ta

Figura 2.3: Diferencia entre el tiempo de descenso/ascenso en funcion del coefi-ciente de rozamiento en el modelo cuadratico.

En ella podemos observar, como era de esperar, que si k = 0 la diferenciaentre ellos es nula, mientras que por la derecha presenta una asıntota horizontalen t = 0, pues un gran rozamiento impedirıa el movimiento. En la siguientefigura se aprecia mejor dicho comportamiento asintotico ya que tomamos unintervalo para el coeficiente de rozamiento mucho mayor.


2000 4000 6000 8000 10 000k

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14td ta

Figura 2.4: Figura 2.3 a menor escala.

Vista la implicacion del parametro k, veamos ahora como afecta la velocidadinicial a los tiempos de ascenso y descenso. En este caso mantenemos el anguloinicial como antes en θ0 = π/4 y fijamos un coeficiente de rozamiento con k = 2(si se aplica), obteniendo:

2 4 6 8 10v 0

0.050.100.150.200.250.300.35

t

Tiempo de ascenso

Tiempo de ascenso descensosin rozamiento a la misma hTiempo de descenso

Figura 2.5: Evolucion del tiempo de ascenso y descenso en funcion de la velocidadinicial.

La grafica anterior, como ya hacıa la figura 2.2, sigue poniendo de manifiestoque el tiempo de ascenso es menor, mientras que en la siguiente grafica serefleja que esta diferencia aumenta con la velocidad inicial, como dice la segundapropiedad que estamos estudiando.


2 4 6 8 10v 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14td ta

Figura 2.6: Diferencia entre el tiempo de descenso/ascenso en funcion de lavelocidad inicial en un lanzamiento aplicando el modelo cuadratico.

Tambien nos podemos preguntar como es el comportamiento del tiempo deascenso si dejamos que ambos parametros, velocidad y coeficiente de rozamiento,sean libres. Planteemos pues un modelo con rozamiento cuadratico fijando unangulo inicial θ0 = π/4 obteniendo la siguiente grafica:

Figura 2.7: Evolucion del tiempo de ascenso en funcion de la velocidad inicial ydel coeficiente de rozamiento en un lanzamiento con angulo inicial π/4.

Y el efecto de ambos parametros sobre la diferencia queda puesto de manifiestoen la figura 2.8 que viene a continuacion.


Figura 2.8: Evolucion de la diferencia entre el tiempo de ascenso y descenso enfuncion de la velocidad inicial y el coeficiente de rozamiento en un lanzamientocon angulo inicial π/4.

Como nota, se puede mencionar que la graficas previas a esta ultima parejaen formato tridimensional eran simples cortes de estas.

Hasta ahora el angulo inicial siempre ha sido π/4, pero, ¿como afectan loscambios de este al movimiento del proyectil? En la siguiente pareja de graficas nospodemos hacer una idea. En la primera fijamos una velocidad inicial v0 = 10m/sdejando libres el angulo inicial y el coeficiente de rozamiento, dando lugar a lasiguiente figura.

Figura 2.9: Evolucion del tiempo de ascenso en funcion del coeficiente de roza-miento y el angulo inicial en un lanzamiento con velocidad inicial 10m/s.


Mientras que en la segunda intercambiamos la situacion para los parametrosv0 y k, fijando el ultimo de estos en el valor 2 y dejando libre el primero;obteniendo la figura 2.10.

Figura 2.10: Evolucion del tiempo de ascenso en funcion de la velocidad inicial yel angulo inicial en un lanzamiento con un coeficiente de rozamiento k = 2.

Tras observar como afectan las variaciones de los distintos parametros a lostiempos de nuestro lanzamiento, vamos a ver ademas que, en caso de considerarrozamiento cuadratico, el tiempo de ascenso a una altura maxima no es constantepara cualquier lanzamiento, hecho que en cambio sı se cumplıa tanto para elmodelo lineal como el de sin rozamiento. En la siguiente grafica podemos vercomo, tomando k = 0,1 para el coeficiente de rozamiento, el tiempo necesariopara alcanzar una altura maxima de 10 metros es variable. Notar que paraobtener el tiempo de ascenso hasta la altura prefijada, para cada angulo θ0debemos determinar la velocidad inicial que nos permita alcanzarla.

0 8 4 3 8 2 00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2ta

Figura 2.11: Tiempo de ascenso necesario para alcanzar una altura de 10 metrosen funcion del angulo inicial, con k = 0,1.


Como se puede apreciar, en caso de lanzar con un angulo inicial cercano acero, dado que la velocidad necesaria para alcanzar dicha altura es muy elevada,el tiempo de ascenso es ınfimo; mientras que a medida que el lanzamiento sevuelve mas vertical, la velocidad necesaria es menor y el tiempo de ascensoaumenta.

Finalmente, a lo largo del trabajo hemos mencionado en repetidas ocasionesque el rozamiento hace perder la simetrıa al movimiento. Aquı se muestran lastrayectorias descritas si aplicamos los tres modelos estudiados sobre un anguloinicial θ0 = π/4 y una velocidad inicial v0 = 10m/s.

2 4 6 8 10x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5y

Sin rozamientoRozamiento linealRozamiento cuadrático

Figura 2.12: Comparacion de las trayectorias entre los distintos tipos de roza-miento tomando k = 0,15 allı donde se aplique.

Y por ultimo mostramos el grafico que aparece en la portada de esta memoria,en el que se puede ver como varıan las trayectorias en el modelo cuadratico enfuncion del parametro k (coeficiente de rozamiento).

Figura 2.13: Trayectorias en le modelo cuadratico fijando θ0 = π/4 y v0 = 10m/s.


2.4. Estudio del tiempo de ascenso y descenso

Trabajar en el caso cuadratico con las ecuaciones exactas para responder sies menor el tiempo de ascenso que el de descenso se vuelve impracticable. Espor ello que debemos realizar algun replanteamiento que nos permita sortear laforma integral de la solucion. De hecho vamos a ver que con un simple cambioen el punto de vista seremos capaces de responder a la cuestion que nos ocupa,no solo para el rozamiento cuadratico, sino para un rozamiento generico.

Para esta parte consideraremos que la fuerza de rozamiento presenta la forma

�Fd = −f(v)�v

v,

es decir, una fuerza cuyo modulo es una funcion f(v) generica y siguiendo ladireccion de la velocidad, aunque sentido opuesto. Ası podemos reescribir paraeste caso el sistema (2.2) como⎧⎨

⎩d�v

dt= �F = −g�j − f(v)

�v

v,

�v(0) = �v0.. (2.25)

Las unicas condiciones que le impondremos a nuestra funcion f(v) seran, porahora, que f(v) > 0 para toda v y que sea lo suficientemente suave para que elsistema anterior tenga soluciones unicas tambien suaves.

Esta consideracion de una funcion f(v) tan general nos permitira aplicar losresultados que obtengamos sobre infinidad de modelos. Notar que el caso linealse corresponde con f(v) = kv y el cuadratico con f(v) = kv2.

¿Pero como seremos capaces de, con una funcion aun mas general, darrespuesta a nuestras cuestiones si antes ya tenıamos problemas? La forma pararesolverlo sera sustituir la usual parametrizacion del problema dada por lavelocidad inicial v0 y el angulo inicial θ0, por otra en terminos de la maximaaltura alcanzada h y la velocidad en dicho momento, que llamaremos ν.

Esta reparametrizacion nos permitira no solo ver que el tiempo de ascenso esmenor que el de descenso y que su diferencia aumenta con v0, sino propiedadesaun algo mas generales:

Propiedad 1: Si llamamos ta y td al tiempo de ascenso y descenso respec-tivamente, entonces

ta <√

2h/g < td,

siendo√

2h/g el tiempo de ascenso o descenso del proyectil en el vacıohasta una altura h, como ya calculamos al comienzo del trabajo en (1.4).

Propiedad 2: Ambas diferencias√

2h/g− ta y td−√2h/g aumentan con

la velocidad inicial.

2.4. Estudio del tiempo de ascenso y descenso 39

Aunque analıticamente es mas compleja esta ultima propiedad que la primera,desde el planteamiento h-ν la comprobacion sera intuitiva. Ademas, para estapropiedad anadiremos como condicion adicional que el rozamiento crezca deforma mayor que la lineal con respecto a la velocidad,4 al necesitar que se cumpla

que∂

∂v

(f(v)

v

)> 0.

En [1] podemos ver una prueba de que ta < td para lanzamientos verticalescon rozamiento cuadratico. En este mismo trabajo Brauer, el autor, afirma quehacerlo para el caso general (cualquier angulo inicial) complicarıa de sobremanerael problema. La solucion al caso general fue dada en [8] y es, esencialmente, laque presentaremos a continuacion.

Antes de comenzar debemos notar que el movimiento, como ya ocurrıa en elcaso cuadratico, tiene lugar en el plano generado por �v0 y �j, de hecho si en (2.3)sustituimos kv�v por f(v)�vv la misma resolucion nos sirve para probarlo. Tambiennos vale el estudio sobre la velocidad vertical del caso cuadratico, que para estemodelo nos dice que

v′2 = −(g +

f(v)

vv2

),

lo que nos lleva a la misma conclusion sobre la evolucion de v2 que en (2.4).

Comencemos haciendo la reparametrizacion del problema que ya habıamosadelantado. Sea h la maxima altura alcanzada y sea ν = v(ta) = �v(ta) ·�i elmodulo de la velocidad en ese momento, definimos �v↑ y �v↓ como

�v↑(t) = −�v(ta − t) y �v↓(t) = �v(ta + t) (2.26)

y, por supuesto, usaremos la notacion v↑ = |�v↑| y v↓ = |�v↓|.Derivando (2.26) respecto a t obtenemos

d�v↑(t)dt

= −d�v(ta − t)

d(ta − t)

d(ta − t)

dt=

d�v(ta − t)

d(ta − t)

= −g�j − f(v(ta − t))�v(ta − t)

v(ta − t)

= −g�j − f(v↑)−�v↑v↑

= −g�j + f(v↑)�v↑v↑

y

d�v↓(t)dt

=d�v(ta + t)

d(ta + t)

d(ta + t)

dt=

d�v(ta + t)

d(ta + t)

= −g�j − f(v(ta + t))�v(ta + t)

v(ta + t)

= −g�j − f(v↓)�v↓v↓

.

4El caso lineal para esta propiedad queda probado ya en el Capıtulo 1.


Las definiciones dadas para �v↑ y �v↓ nos permiten determinar las condicionesiniciales que acompanan a las ecuaciones diferenciales anteriores. Ası tenemoslos problemas de valores iniciales

d�v↑(t)dt

= −g�j + f(v↑)�v↑|�v↑| , �v↑(0) = −ν�i, (2.28a)

d�v↓(t)dt

= −g�j − f(v↓)�v↓|�v↓| , �v↓(0) = ν�i. (2.28b)

Este par de sistemas diferenciales los podemos interpretar como las velocidadesde dos partıculas diferentes lanzadas horizontalmente desde una altura h a unavelocidad ν con las siguientes caracterısticas:

a) La primera va al reves en el tiempo respecto al viaje original en sentidoascendente, y la podemos considerar como un lanzamiento descendente quese ve afectado por un ��rozamiento especial�� en el sentido de su velocidad,favoreciendo el movimiento.

b) La segunda partıcula, la correspondiente al viaje descendente en el modeloinicial, cuenta con una fuerza de rozamiento estandar al ser, de hecho,exactamente igual que la del planteamiento original.

Ahora podemos preguntarnos cuanto tiempo les lleva alcanzar el suelo y quepartıcula lo alcanza antes. Pero antes de responder a estas cuestiones, veamoscomo afecta una variacion en el modulo de la velocidad inicial a h y ν, lo quenos simplificara la prueba de la Propiedad 2.

Puesto que �v = v(cos θ�i+ sen θ�j), tenemos

d�v

dt=

dv

dt(cos θ�i+ sen θ�j) + v

(− sen θ

dθ

dt�i+ cos θ

dθ

dt�j

).

Como por (2.25) se verifica que

d�v

dt= −g�j − f(v) (cos θ�i+ sen θ�j),

entonces tenemos la descomposicion

dv

dtcos θ − v sen θ

dθ

dt= −f(v) cos θ, (2.29a)

dv

dtsen θ + v cos θ

dθ

dt= −g − f(v) sen θ. (2.29b)

Si multiplicamos (2.29a) por cos θ y (2.29b) por sen θ y sumamos y restamosambas expresiones obtenemos que

dv

dt= −g sen θ − f(v) (2.30a)


dv

dtcos(2θ)− 2v

dθ

dtsen θ cos θ = g sen θ − f(v) cos(2θ). (2.30b)

Ahora insertando (2.30a) en (2.30b) se tiene que

2 sen θ cos θ vdθ

dt=

dv

dtcos(2θ)− g sen θ + f(v) cos(2θ)

= (−g sen θ − f(v)) cos(2θ)− g sen θ + f(v) cos(2θ)

= −g sen θ (cos(2θ) + 1) = −2g sen θ cos2 θ,

que resulta finalmente en la ecuacion

vdθ

dt= −g cos θ. (2.31)

Notemos que tanto (2.30a) como (2.31) se parecen mucho a las expresionesobtenidas para el caso cuadratico (2.5a) y (2.5b). De hecho, un analisis similaral realizado en esa parte tambien nos hubiese llevado al mismo resultado.

Comenzamos por el caso mas simple que es el tiro vertical. En este caso,anadiendo a (2.31) la condicion θ(0) = θ0 = π/2 tenemos de nuevo por launicidad de su solucion, como ya vimos en (2.7), que, al menos hasta que v = 0,θ(t) = π/2. Es decir, el angulo se mantiene constante hasta que el proyectil separe y comience el descenso.

Ahora veamos cuanto vale la altura h alcanzada usando (2.30a). Comoθ = π/2, deducimos que

−1

g + f(v)

dv

dt= 1 =⇒ − v

g + f(v)

dv

dt= v.

Integrando ambos lados respecto a t entre 0 y ta obtenemos

−∫ ta

0

v

g + f(v)

dv

dtdt =

∫ ta

0

v dt. (2.32)

Puesto que el movimiento es vertical, v(t) = h′(t) siendo h(t) la altura en elinstante t. Como h(0) = 0 y h(ta) = h el lado derecho de (2.32) es exactamente

h. Haciendo el cambio de variable w = v(t), tenemos dw =dv

dtdt, v(0) = v0 y

v(ta) = 0, lo que convierte (2.32) en

h =

∫ v0

0

w dw

g + f(w).

Como w ∈ (0, v0), g > 0 y f(w) ≥ 0 para w ∈ (0, v0) estamos integrando unafuncion positiva, luego h aumenta, como era de prever, con v0 en un tiro vertical.


Debemos observar que el valor de ν en este caso es identicamente nulo, pues altratarse de un lanzamiento vertical la velocidad no tiene componente horizontalni en el maximo, que es precisamente ν, ni en ningun otro punto.

En el caso general, θ es monotona decreciente al ser su derivada negativacomo se deduce de (2.31) ya que

dθ

dt=

−g cos θ

v< 0,

pues v, g > 0 y consideramos θ ∈ (−π2 ,

π2

)por el desarrollo del movimiento.

De (2.30a) y (2.31), teniendo en cuenta la relacion

t ←− v −→ θ −→ t,

deducimos la ecuacion

dv

dθ=

dvdtdθdt

=−g sen θ − f(v)

− g cos θv

= v

(tan θ +

f(v)

gsec θ

)(2.33)

y la condicion v(θ0) = v0.

Analizamos ahora la dependencia de h y ν respecto del parametro v0. Par-

tiendo de la relaciondy

dt= v sen θ dada en (2.6b) y usando (2.31), tenemos

que

dy

dθ=

dydtdθdt

=v sen θ

dθdt

= −v2

gtan θ,

que al integrarla respecto a θ entre θ0 y 0 da

∫ 0

θ0

dy

dθdθ =

1

g

∫ θ0

0

v2 tan θ dθ.

Resulta sencillo comprobar que la parte izquierda de la identidad anterior es h y,por tanto,

h =1

g

∫ θ0

0

v2 tan θ dθ.

Como ademas ν = v(0), ya tenemos expresiones de h y ν en funcion de v, vistacomo funcion de θ.

Para el estudio de la dependencia de h y ν respecto a v0 debemos usar unresultado sobre derivabilidad respecto a parametros de las soluciones de unproblema de valores iniciales. Lo presentamos sin prueba a continuacion.

Teorema 1. Sea ⎧⎨⎩

dy

dt= f(t, y),

y(0) = c,


un problema de valores iniciales que tiene por solucion y(t). Supongamos quetomamos un parametro η en un entorno de c y que consideramos el problema devalores iniciales ⎧⎨

⎩dy

dt= f(t, y),

y(0) = η,

que tiene ahora por solucion unica φ(t, η). Entonces se tiene que∂φ

∂ηexiste y es

continua en D = {(t, η) ∣∣ t ∈ [0, T ] y |η − φ(0)| < ρ}. Ademas, es solucion delproblema de valores iniciales

⎧⎨⎩

dz

dt=

∂f

∂y(t, φ(t, η)) z,

z(0) = 1.

La demostracion de este teorema pasa por el estudio de un problema integraly la aplicacion del Lema de Gronwall. Se puede ver una prueba detallada en [5,pags. 28–35].

Procediendo como en el Teorema 1 con (2.33), la derivada de v respecto av0, que denotaremos por vv0 , sera la solucion del problema de valores iniciales

dvv0

dθ=

(tan θ +

f(v) + vf ′(v)g

sec θ

)vv0 , vv0(0) = 1.

Del problema de valores iniciales anterior podemos deducir que vv0 > 0 para

todo θ ∈ (0, π/2) ya que vv0(0) = 1 y

dvv0

dθ> 0.

Ası, dado que tan θ > 0 para θ ∈ (0, π/2), tenemos

∂h

∂v0=

1

g

∫ θ0

0

2vvv0 tan θ dθ > 0 y∂ν

∂v0= vv0(0) > 0, (2.34)

es decir, h y ν son funciones crecientes de v0.

2.4.1. Prueba de la Propiedad 1

En este apartado probaremos la Propiedad 1 que establece las desigualdades

ta <

√2h

g< td,

es decir, el tiempo de ascenso esta acotado superiormente por la misma cantidadque hace de cota inferior para el tiempo de descenso que es, precisamente, eltiempo de ascenso/descenso hasta una altura h en un movimiento sin rozamientocomo vimos en el Capıtulo 1.


Para probar esta propiedad comenzamos reescribiendo (2.28a) y (2.28b),tomando �v↑ = (−v↑1

,−v↑2) y �v↓ = (v↓1

,−v↓2). Ası obtenemos

dv↑1

dt=

f(v↑)v↑

v↑1,

dv↑2

dt= g +

f(v↑)v↑

v↑2, (2.35a)

dv↓1

dt= −f(v↓)

v↓v↓1 ,

dv↓2

dt= g − f(v↓)

v↓v↓2 . (2.35b)

A estos sistemas debemos anadirles las condiciones iniciales v↑1(0) = v↓1(0) = νy v↑2

(0) = v↓2(0) = 0.

Notemos que en estos sistemas, debido al cambio que hemos hecho respectoal lanzamiento original, hemos invertido el eje y para ambos casos (ascendentey descendente) haciendo que y = 0 coincida con nuestro antiguo maximo h, ey = h se corresponda con la altura del suelo que antes de alcanzaba en t = ta yt = td. Ademas, en el caso del movimiento ascendente tambien hemos invertidoel eje x para que ambos sean lanzamientos hacia la derecha.

Para comenzar, empezamos primero por el estudio de la fase ascendente, don-de, para simplificar la notacion durante su resolucion, eliminaremos el subındice ↑.La fase ascendente se corresponde con el sistema

dv1dt

=f(v)

vv1, v1(0) = ν, (2.36a)

dv2dt

= g +f(v)

vv2, v2(0) = 0. (2.36b)

Teniendo en cuenta que v2 =dy

dty suponiendo que v2 = v2(y), la relacion

t ←− v2 −→ y −→ t

implica que

2v2dv2dt

=dv22dt

=dv22dy

dy

dt=

dv22dy

v2,

y, entonces, (2.36b) se transforma en

1

2

dv22dy

=dv2dt

= g +f(v)

vv2.

Dado que v2, v y f(v) son valores positivos, es trivial ver que

dv22dy

> 2g (2.37)

y, por tanto, ∫ y

0

dv22dy

dy >

∫ y

0

2g dy.


Luego es claro que

v2(y) >√

2gy =⇒ 1

v2(y)<

1√2gy

,

que integrando respecto a y entre 0 y h, da

∫ h

0

dy

v2(y)<

∫ h

0

dy√2gy

=√

2h/g. (2.38)

De la relacion1

v2(y)

dy

dt= 1, es evidente que

∫ h

0

dy

v2(y)=

∫ ta

0

dt = ta, (2.39)

luego (2.38) implica ta <√

2h/g, como querıamos ver.

Pasamos ahora a la fase descendente. Nuevamente, por comodidad, renom-bramos las variables para eliminar el subındice ↓. En este caso analizamos elsistema (2.35b) con sus condiciones iniciales, es decir,

dv1dt

= −f(v)

vv1, v1(0) = ν, (2.40a)

dv2dt

= g − f(v)

vv2, v2(0) = 0. (2.40b)

Como ya hicimos en la fase ascendente, reescribimos (2.40b) tomando y comovariable independiente resultando en

1

2

dv22dy

=dv2dt

= g − f(v)

vv2,

de donde, en este caso, concluimos la desigualdad

dv22dy

< 2g. (2.41)

Integrando a ambos lados respecto y entre 0 e y resulta en

∫ y

0

dv22dy

dy <

∫ y

0

2g dy,

lo que nos permite deducir que

v2(y) <√

2gy =⇒ 1

v2(y)>

1√2gy


y, procediendo como en el caso anterior,

∫ h

0

dy

v2(y)>

√2h/g. (2.42)

Para la integral de la derecha en (2.42), usando de nuevo que1

v2(y)

dy

dt= 1,

obtenemos ∫ h

0

dy

v2(y)=

∫ td

0

dt = td

y de esta forma concluimos que td >√

2h/g, con lo que finalizamos la pruebade la Propiedad 1.

2.4.2. Prueba de la Propiedad 2

Recordemos que esta propiedad afirma que la diferencia entre el tiempode ascenso/descenso sin rozamiento y el tiempo de ascenso y descenso conrozamiento aumenta con la velocidad inicial, es decir, las diferencias

√2h/g− ta

y td −√2h/g, ambas cantidades positivas, aumentan con v0.

De (2.34) hemos deducido que h y ν son funciones crecientes de v0, por tanto,para concluir que

√2h/g − ta y td − √

2h/g aumentan con v0, es suficienteprobar que son funciones crecientes de h y ν.

Hasta ahora unicamente habıamos exigido que f(v) fuese una funcion positiva,sin embargo, para probar esta propiedad debemos suponer que f es derivable y

que ddv

(f(v)v

)> 0, para v > 0. Notar que el caso correspondiente al rozamiento

lineal queda excluido de estas hipotesis y debe tratarse de manera separada;como ya hicimos en el Capıtulo 1.

Las diferencias aumentan con la altura

Tan solo tenemos que ver que la derivada respecto a h de ambas funciones,√2h/g − ta y td −

√2h/g, es positiva.

Como ya venimos haciendo, comenzamos por el ascenso. De (2.38) y (2.39)se tiene que

∂

∂h

(√2h/g − ta

)=

∂

∂h

(∫ h

0

(1√2gy

− 1

v↑2(y)

)dy

)

=1√2gh

− 1

v↑2(h)

> 0,

donde la desigualdad es consecuencia de (2.37) y de que v2↑2(0) = 0.


En el descenso se procede de manera analoga. Usando (2.41) y que v2↓2(0) = 0

deducimos que

∂

∂h

(td −

√2h/g

)=

∂

∂h

(∫ h

0

(1

v↓2(y)− 1√

2gy

)dy

)

=1

v↓2(h)

− 1√2gh

> 0.

Luego ambas diferencias son crecientes respecto a h, como querıamos probar.

Las diferencias aumentan con la velocidad en el maximo

Comenzamos nuevamente por la fase ascendente. Para estudiar el comporta-miento de

√2h/g−ta respecto a ν partiremos de la informacion que se desprende

de las ecuaciones (2.36a) y (2.36b), pero antes de comenzar debemos realizaralgunas observaciones previas.

Para simplificar la notacion denotemos v↑1 = U y v↑2 = V y F (v2) =f(v)

v.

De esta forma las ecuaciones (2.36a) y (2.36b) se transforman en

dU

dt= F (v2)U, U(0) = ν, (2.43a)

dV

dt= g + F (v2)V, V (0) = 0. (2.43b)

Ası, derivando5 con respecto a ν segun el Teorema 1, obtenemos el problema devalores iniciales

∂Uν

∂t= (2F ′ UvvU + F )Uν + 2F ′UV Vν , Uν(0) = 1, (2.44a)

∂Vν

∂t= (2F ′ V vvV + F )Vν + 2F ′UV Uν , Vν(0) = 0. (2.44b)

Puesto que v =√U2 + V 2, el esquema

ν vU

V

ν

ν

5Notar que el sistema formado por las ecuaciones (2.43a) y (2.43b) para derivarlo debemosverlo como un sistema 2-dimensional( ∂Uν

∂t

∂Vν∂t

)=

(F (v2)U

g + F (v2)V

)

y debemos derivarlo con respecto a U y V .


nos permite expresar las expresiones vU y vV en terminos de U , V y sus derivadaspara transformar de manera adecuada estos factores que aparecen en (2.44a) y(2.44b). En efecto, por la regla de la cadena tenemos que

vU =dv

dU=

U√U2 + V 2

y vV =dv

dV=

V√U2 + V 2

quedando las expresiones vvU = U y vvV = V . Ası las ecuaciones (2.44a) y(2.44b) quedan transformadas en

∂Uν

∂t= (2F ′U2 + F )Uν + 2F ′UV Vν (2.45a)

∂Vν

∂t= (2F ′V 2 + F )Vν + 2F ′UV Uν (2.45b)

Veamos que Uν y Vν son siempre positivas. Para ello consideramos las trayectoriasdescritas por las ecuaciones anteriores en el plano (Uν , Vν) y comprobamos quenunca abandonan la region limitada por las semirrectas r1 = {(Uν , 0) : Uν > 0}y r2 = {(0, Vν) : Vν > 0}, representadas en el siguiente esquema.

r1

r2

Uν

Vν

El estudio de este hecho requiere el analisis del comportamiento de (2.45a) y(2.45b) sobra las rectas r1 y r2 que realizamos a continuacion.

En la semirrecta r1, evaluando la derivadas, se tiene de (2.45a) que∂Uν

∂t> 0,

pues F ′, F > 0, y de (2.45b) que∂Vν

∂t= 2F ′UV Uν , lo que nos obliga a distinguir

dos casos para el comportamiento del signo de esta derivada: V = 0 y V = 0.

1. Si V = 0, entonces de (2.45b) se obtiene inmediatamente que∂Vν

∂t= 0.


Ademas

∂2Vν

∂t2=

∂

∂t

(∂Vν

∂t

)=

∂

∂t

((2F ′V 2 + F )Vν + 2F ′UV Uν

)=

∂

∂t((2F ′V 2 + F )Vν) +

∂

∂t(2F ′UV Uν)

=∂(2F ′V 2 + F )

∂tVν + (2F ′V 2 + F )

∂Vν

∂t

+∂(2F ′UUν)

∂tV + 2F ′UUν

∂V

∂t,

que al evaluarla en r1 cuando V = 0, usando que por (2.43b)∂V

∂t= g, se

convierte en∂2Vν

∂t2= 2F ′UUν

∂V

∂t= 2gF ′UUν > 0.

2. Si V = 0, entonces, al tratarse de la velocidad vertical del movimiento(2.35a), debe darse que U, V > 0 y, como ademas en este caso F ′ y Uν son

magnitudes positivas, entonces∂Vν

∂t> 0.

Analicemos ahora el comportamiento en la recta r2. La derivada (2.45b) nopresenta ningun problema, es siempre positiva; pero la derivada de (2.45a), denuevo, debe separarse segun el valor de V en dos casos:

1. Si V = 0, entonces∂Uν

∂t= 0. Calculando

∂2Uν

∂t2a partir de (2.45a), tenemos

que

∂2Uν

∂t2=

∂(2F ′U2 + F )

∂tUν + (2F ′U2 + F )

∂Uν

∂t

+∂(2F ′UVν)

∂tV + 2F ′UVν

∂V

∂t,

que, usando que los valores V ,∂Uν

∂ty Uν = 0 son nulos, nos queda

∂2Uν

∂t2=

∂V

∂t2F ′UVν = 2gF ′UVν > 0.

2. Si V > 0, entonces es claro que∂Uν

∂t> 0.

Gracias a este estudio de las derivadas podemos ver que toda trayectoriadescrita por (2.45a) y (2.45b) que empiece en el cuadrante que determinan r1 yr2 se queda confinada en el y no sale. Esto se debe a que si toca uno de los dosejes hay solo dos opciones:


1. Que la derivada de la componente que es cero sea positiva, luego creceravolviendo al interior del cuadrante.

2. O que la derivada sea cero, pero con segunda derivada positiva. En estecaso estaremos ante un mınimo y, por tanto, se dirigira de nuevo al interiorde nuestro cuadrante.

En nuestro caso, como se ve en (2.44a) y (2.44b) ocurre que Uν(0) = 1 yVν(0) = 0, luego la trayectoria parte de la recta r1 y tendremos que Uν , Vν > 0,para todo t.

Ahora, usando la regla de derivacion de Leibniz, que establece la identidad

d

dθ

(∫ b(θ)

a(θ)

f(x, θ) dx

)=

∫ b(θ)

a(θ)

∂θf(x, θ) dx+ f(b(θ), θ

)·b′(θ)− f(a(θ), θ

)·a′(θ),

y teniendo en cuenta que∂h

∂ν= 0 (por ser dos variables independientes) se tiene

que

0 =∂h

∂ν=

∂

∂ν

∫ ta

0

V dt =∂ta∂ν

V (ta) +

∫ ta

0

Vν dt,

luego∂ta∂ν

< 0, lo que implica

∂

∂ν

(√2h/g − ta

)> 0,

como querıamos probar.

Para ver el caso descendente debemos repetir los mismo pasos teniendo encuenta que ahora F y F ′ quedan reemplazadas por −F y −F ′, lo que restringiralas trayectorias de Uν y Vν al cuarto cuadrante. De este caso obtendremos

∂

∂ν

(td −

√2h/g

)> 0,

lo que concluye la demostracion de la Propiedad 2.

Bibliografıa

[1] Brauer, F.: What Goes Up Must Come Down, Eventually. Amer. Math.Monthtly, 108(5):437–440, 2001.

[2] Ciaurri, O.: Instantaneas Diferenciales. Universidad de La Rioja, 2013.http://dialnet.unirioja.es/servlet/libro?codigo=528070.

[3] Groetsch, C. W.: Timing Is Everything: The French Connection. Amer. Math.Monthtly, 110(10):950–955, 2003.

[4] Hayen, J. C.: Projectile motion in a resistant medium. Part I: exact solutionand properties. Internat. J. Non-Linear Mech., 38:357–369, 2003.

[5] Hsieh, P. F. y Sibuya, Y.: Basic Theory of Ordinary Differential Equations.Springer, 1999.

[6] Long, L. N. y Weiss, H.: The Velocity Dependece of Aerodynamic Drag: APrimer for Mathematicians. Amer. Math. Monthtly, 106(2):127–135, 1999.

[7] Newton, I.: Philosophiæ naturalis principia mathematica. 1687.

[8] Rooney, F. J. y Eberhard, S. K.: On the ascent and descent times of aprojectile in a resistant medium. Internat. J. Non-Linear Mech., 46:742–744,2011.

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