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7/21/2019 eSTOK

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Víctor Daniel Rojas Cerna Matemática III

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1.-Determine donde:

,

SOL:

Graficando:

Parametrizando las ecuaciones:

Donde

Reemplazando en la integral tenemos:

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2

Integrando obetenemos que:

2. determine: , donde:

, , ,

Sol.

Hallaremos la curva de interseccion

Sea:

Entonces la parametrizacion de la interseccion sera:

De donde:

Ademas de:

Luego:

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3.- Determine donde:

,

SOL:

Graficando:

De forma análoga al ejercicio anterior parametrizamos las ecuaciones:

Donde

Reemplazando en la integral tenemos:

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Reduciendo al expresión

Integrando obetenemos que:

4. encontrar el centro de gravedad del casquete semiesferico de radio R, con centro en (R,0,0)

Sol.

La ecuacion de la esfera de radio R y centro (R,0,0) es:

Entonces la ecuacion del casquete semiesferico sera:

En centroide de un solido esta dado por:

, ,

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Dado que una esfera es simetrica respecto a un eje diametral, entonces segun la ubicacion delcasquete, las coordenadas de su centroide es:

,

Haciendo una traslacion de ejes al punto (R,0,0) determinaremos la coordenada

Entonces la ecuacion del casquete en el nuevo sistema es:

...(*)

Usamos coordenadas cilindricas para calcular la integral:

Luego:

El volumen del casquete semiesferico (mitad de una esfera) es:

Reemplazamos en (*):

Por lo tanto, el centroide del casquete semiesferico es:

5.-Hallar el área de la superficie limitada por:

SOL: Graficando

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:

Sabemos que área está dada por al integral:

Entonces parametrizando la ecuación:

Se observa que por simetría del grafico:

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Integrando obtenemos que:

Del grafico

PARTE 2

2. Determine el area de la superficie del elipsoide , limitada por el

cono eliptico

SOL

El area de una superficie esta determinada por:

................(1)

Le ecuacion del elipsoide es:

Luego, la ecuacion de la mitad superior del elipsoide es:

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Entonces:

Hallando las derivadas parciales de :

Reemplazamos en (1):

Simplificando” R”

Sea:

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Donde:

.......(2)

Hallando la interseccion del cono eliptico y el elipsoide, obtenemos la elipse:

, reemplazando por (*):

Entonces la region , sobre la cual integraremos, es la encerrada por dicha elipse.

En (2):

3.-Determine el area de la superficie del cilindro limitada por el cono circular.

SOL: Graficando:

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Parametrizando las ecuaciones:

Entonces el area de la superficie está dada por:

Analizando el dominio de y pasándola a coordenadas polares.

Entonces:

Integrando obtenemos que:

4. determine el area de la superficie: |x|+ , limitada por el cilindro , R>0

Sol.

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Graficando vemos que la superficie es simetrica respecto al eje Z, luego:

..........(*)

Donde: es la porcion de la superficie que se encuentra en el primer octante.

Asi, siendo

Luego:

Hallando las derivadas parciales de :

El area de una superficie viene dada por:

Entonces:

.........(1)

Segun el grafico la region es la region encerrada por la circunferencia en el

primer cuadrante.

Usando coordenadas polares:

Reemplazamos en (1):

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