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6. Estática Comparativa y el

Concepto de Derivada

Métodos de Optimización Dinámica

Semana 1

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6.1. La naturaleza de la E.C.

La Estática Comparativa se refiere a la

comparación de distintos estados de equilibrio

que están asociados con distintos conjuntos de

valores de parámetros y variables exógenas.

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6.1. La naturaleza de la E.C. Características de la E.C.

Siempre se asume un estado inicial de equilibrio.

Si permitimos un desequilibrio en el modelo, el equilibrio inicial se modificará.

No importa el proceso de ajuste, únicamente importa el equilibrio inicial (precambio) comparado con el equilibrio final (postcambio).

No se contempla la posibilidad de inestabilidad en el modelo.

El análisis de estática comparativa puede ser cualitativo o cuantitativo.

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6.1. La naturaleza de la E.C.

Resulta claro que el problema bajo

consideración es esencialmente el de encontrar

una tasa de cambio: la tasa de cambio de una

variable endógena con respecto al cambio en un

parámetro particular o de una variable exógena.

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6.2. La tasa de cambio y la derivada En forma general, consideramos la tasa de cambio de

cualquier variable “y” en respuesta al cambio de una

variable “x”, donde las dos variables están relacionadas

por la función:

En el contexto de la E.C. la variable “y” representa el

valor de equilibrio de una variable endógena y “x” será

algún parámetro.

)(xfy

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6.2. La tasa de cambio y la derivada

La noción de “cambio” se representa con el símbolo Δ.

Cuando la variable “x” cambia de un valor x0 a un nuevo

valor x1 el cambio es medido por la diferencia x1-x0

Para denotar el cambio escribimos: Δx= x1-x0

COCIENTE DE DIFERENCIAS

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6.2. La tasa de cambio y la derivada

Cuando “x” cambia de un valor inicial x0 a un nuevo valor

(x0+Δx), el valor de la función y=f(x) cambia de f(x0) a

f(x0+Δx)

Entonces el cociente de diferencias se representa como:

COCIENTE DE DIFERENCIAS

x

xfxxf

x

y

)()( 00

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6.2. La tasa de cambio y la derivada

Frecuentemente nos interesa la tasa de cambio de “y”

cuando Δx es muy pequeño.

Se le llama derivada de la función y=f(x)

LA DERIVADA

x

yxf

dx

dyx

0lim)(

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6.2. La tasa de cambio y la derivada1. La derivada es una función, de hecho la palabra derivada

significa función derivada. La función original y= f(x) es una

función primitiva, y la derivada es otra función, derivada de ella.

2. Dado que la derivada es el límite del cociente de diferencias, el

cual mide la tasa de cambio de “y”, la derivada mide una tasa

de cambio. La derivada es una tasa de cambio instantánea.

3. La derivada se representa:

LA DERIVADA

Dydx

dyfxf )(

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6.3. La derivada y la pendiente de una curva

C

C2

C1

C0

Q0 Q1 Q2 Q

Δ Q

C= f(Q)

A

B

D

F E

Δ C

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6.3. La derivada y la pendiente de una curva

C

C2

C1

C0

Q0 Q1 Q2 Q

Δ Q

C= f(Q)

A

B

DG

HK

F E

Δ C

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6.4. El concepto de Límite

Si se adopta la notación:

Se tiene que:

En forma general: ¿Y si v→N?

x

yq

xv

00.limlim

vxq

x

y

dx

dy

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6.4. El concepto de Límite

La pregunta es ¿Cuál es el valor de “q” conforme “v”

tiende a un valor “N”?

LÍMITE POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA

LqNv

.limLq

Nv

.lim

IZQUIERDA DERECHA

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6.4. El concepto de Límite

q

L

N v

q

L

N v

q

L1

L2

N v

q

M

N v

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6.4. El concepto de Límite

Dado q=2+v2,encontrar el límite de “q” conforme v→0

SOLUCIÓN:

Tomar el límite por el lado izquierdo (-1, -1/10, -1/100,…,).

Tomar el límite por el lado derecho (1, 1/10, 1/100,…,).

EVALUACIÓN DE UN LÍMITE

02.lim

vq

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6.4. El concepto de Límite

Se necesita conocer el concepto de “vecindario”

Para un número dado “L”, siempre puede encontrarse:

El vecindario de “L” es un intervalo abierto, el cuál cubre el número “L”.

VISIÓN FORMAL DE UN LÍMITE

LaL )( 1 LaL )( 2

2121 |],[ aLqaLqaLaL

2121 |),( aLqaLqaLaL

Interv. cerrado

Interv. abierto

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6.4. El concepto de Límite

Utilizando el concepto de vecindario, el límite de una función puede ser

definido como:

Conforme “v” se aproxima a una número “N”, el límite de q=g(v), es el número “L”, si,

para todo vecindario de “L” que puede ser elegido, puede encontrarse un

correspondiente vecindario de “N” tal que, para cada valor de “v” en el N-vecindario,

su imagen se encuentra en el L-vecindario elegido.

VISIÓN FORMAL DE UN LÍMITE

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q

L + a2

L

L + a1

N - b1 N N - b2 v

b1

q= g(v)

(N,L)

VISIÓN FORMAL DE UN LÍMITE

b2

a2

a1

6.4. El concepto de Límite

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6.7. Continuidad y diferenciabilidad de una función

CONTINUIDAD

DIFERENCIALIDAD

)()(.lim 00

xfxfxx

xy

xfx

0

0 lim)(

xxfxxf

x

)()(lim 00

0