estadistica u pacifico

ESTADISTICA

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.

EsteOesteNorte

¿Qué es Estadística?

Es la ciencia encargada de recoger, clasificar, describir y analizardatos numéricos que sirvan para deducir conclusiones y tomardecisiones a partir de estos análisis.La Estadística se divide en dos grandes grupos: Estadística descriptiva o deductiva: Se ocupa de la recolección, organización y representación de datos en forma coherente. Estadística inductiva o inferencial: Se ocupa de interpretar los datos recogidos y obtener conclusiones a partir de ellas.

¿ Qué es una población?

Población o Universo: Es el conjunto de todos los individuos u objetos que poseen alguna característica común observable.Una población puede ser finita o infinita.

Ejemplo: - La población consistente en la fabricación de refrigeradores, en una empresa determinada, en un día determinado, es finita.- La población formada por todos los posibles sucesos (caras o sellos en tiradas sucesivas de una moneda es infinita.- La población formada por los Números Naturales es infinito- La población formada por el número de alumnos de un colegio determinado, en un año determinado es finito.

¿Qué es una muestra?

Muestra es un subconjunto de la población. Es una parte de ella.

Se dice que una muestra es representativa de la población, cuandocorresponde más o menos al 20% de ella. Y se pueden deducir importantes conclusiones acerca de ésta, a partir del análisis dela misma.

Ejemplo: Población: Padres de los alumnos de un colegio Muestra: Padres de los alumnos de Octavo año

La muestra se puede elegir en forma aleatoria, estratificada omixta

¿Qué es una variable?

Una variable es la característica o atributo a observar.

El conjunto de valores asignados a la variable se llama dato o dominio de la variable.Las variables pueden ser continuas o discretas.

Variable continua es aquella que puede tomar cualquier valorentre dos valores dados, es decir, en un rango determinado.Ejemplo: La estatura de los alumnos de un cuarto básico es continua, porque pueden medir 1,40 m 1,42 m 1,408 m etc

Variables discreta son aquellas que toman un valor entero

Ejemplo: El número de hijos de una familia es discreta, porque puede haber 1, 2, 3, ....etc. hijos

Ejercicios

Decir de las variables siguientes cuáles representan datos discretos o datos continuos. Número de acciones vendidas cada día en un mercado de valores.

Respt: Discreta

Temperaturas registradas cada media hora en un observatorio.

Respt: Continua

Período de duración de ampolletas producidos por una empresa determinada

Respt: Continua

Censos anuales del colegio de profesores.Respt: Discreta

Número de billetes de $10000 circulando en Chile

Respt: Discreta Pulgadas de precipitación en una ciudad durante varios meses del año.

Respt: Continua

Alumnos matriculados en la Universidad Andrés Bello, en los últimos cinco años.

Respt: Discreta

Dar el dominio de cada una de las siguientes variables y decir si son continuas o discretas.

Número de litros de agua en una máquina de lavar.Dominio : cualquier valor de cero litros a la capacidad de la máquina ( 12,3 12,005 12,0047 etc)Variable : Continua

Número de libros en un estante de librería.

Dominio : 0, 1, 2, 3, ........ Hasta el mayor número de libros que puedan entrar en el estante.Variable : Discreta

Suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de dados

Dominio : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12Variable : Discreta

Tiempo de vuelo de un proyectil

Dominio : De cero en adelante ( 5 5,3 5.045 etc)Variable : Continua

Estado civil de un individuo

Dominio : Casado, soltero, viudoVariable : Discreta

Velocidad de un automóvil en kilómetros por hora. Dominio : De 0 en adelante ( 120 120,8 120,04 etc)Variable : Continua

Distribuciones de frecuencias

Toma de datos: Es la obtención de una colección de los mismos que no han sido ordenados numéricamente.

Ejemplo: Conjunto de alturas de 100 estudiantes, sacados de unalista alfabética de una Universidad.

Ordenación: Es una colocación de los datos numéricos tomados,en orden creciente o decreciente de magnitud.

Ejemplo:32 , 45, 100, 120 , 145, 186, 198, 200 ( ordenación creciente ) 200, 198, 186, 145, 120, 100, 45, 32 ( ordenación decreciente)

Al recoger información se obtiene un gran número de datos,que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada distribución de frecuencias.

Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite un valorde la variable.

Ejemplo: Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la asignatura de Matemática, por un grupo de 30 alumnos: 7 – 3 – 5 – 4 – 3 – 4 – 5 – 6 – 5 – 7 – 3 – 2 – 6 – 5 – 4 – 6 – 3 - 4 – 5 – 2 - 7 – 4 – 5 – 7 – 6 – 5 – 4 – 2 –3 - 1

Variable Estadística Frecuencia absoluta

Calificación Nº de alumnos

1 1

2 3

3 5

4 6

5 7

6 4

7 4

Frecuencia acumulada hasta un valor determinado: es el número de observaciones menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas.

Ejemplo:

3047

2646

2275

1564

953

432

111

-------------Nº de alumnosCalificación

Frecuencia acumuladaFrecuencia absolutaVariable estadística

Frecuencia relativa: es el cuociente entre la frecuencia absolutay el número total de individuos de la muestra

Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Calificación Nº de alumnos -----------

1 1 1 / 30

2 3 3 / 30

3 5 5 / 30

4 6 6 / 30

5 7 7 / 30

6 4 4 / 30

7 4 4 / 30

NOTA: La suma de las frecuencias relativas es igual a 1Ej. 1 / 30 + 3 / 30 + 5 / 30 + 6 / 30 + 7 / 30 + 4 / 30 + 4 / 30 = 30 / 30 = 1

Frecuencia relativa porcentual: Es la frecuencia relativa expresada en porcentajes.

Variable estadística

Frecuencia absoluta Frecuencia relativa porcentual

Calificación Nº de alumnos -----------

1 1 ( 1 / 30 ) • 100

2 3 ( 3 / 30 ) • 100

3 5 ( 5 / 30 ) • 100

4 6 ( 6 / 30 ) • 100

5 7 ( 7 / 30 ) • 100

6 4 ( 4 / 30 ) • 100

7 4 ( 4 / 30 ) • 100

NOTA: La suma de las frecuencias relativas porcentuales es el 100%

Ejercicios

Los siguientes datos son las calificaciones de un grupo de 27 alumnos en la asignatura de matemática: 5 6 5 7 4 2 3 5 4 6 7 5 4 6 5 4 5 6 4 3 4 6 7 5 4 5 6

a) Construya una tabla de distribución de frecuenciasb) ¿Cuántos alumnos tienen nota inferior a 5? c) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota 4? d) ¿Cuántos alumnos tiene nota 6? e) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota superior o igual a 4?

RespuestaCalificación frecuencia Frecuencia

acumuladaFrecuencia relativa

Frec. relat. porcentual

2 1 1 1 / 27 = 0,037 3,7

3 2 3 2 / 27 = 0,074 7,4

4 7 10 7 / 27 = 0,259 25,9

5 8 18 8 / 27 = 0,296 29,6

6 6 24 6 / 27 = 0,222 22,2

7 3 27 3 / 27 = 0,111 11,1

b) 10 alumnos tienen nota inferior a 5,0c) El 25,9% de los alumnos tiene nota 4,0d) 6 alumnos tienen nota 6,0 e) El 88,8% de los alumnos tiene nota igual o superior a 4,0

Una encuesta realizada a alumnos de Cuarto Medio acerca de su futura profesión, indica lo siguiente:

Variable

profesión

F. absoluta

Nº de alumnos

Ingeniería 10

Medicina 6

Economía 12

Periodismo 8

Derecho 5

Arquitectura 9

Otras 10

a) Completar la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual.b) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados?c) ¿Cuál es la profesión que tiene mayor preferencia?d) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere arquitectura?e) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere medicina?

Respuesta

Profesión Frecuencia F. acumulada F. relativa F. relat. %

Ingeniería 10 10 10 / 60 = 0,166 16,6

Medicina 6 16 6 / 60 = 0,100 10,0

Economía 12 28 12 / 60 = 0,200 20,0

Periodismo 8 36 8 / 60 = 0,133 13,3

Derecho 5 41 5 / 60 = 0,083 8.3

Arquitectura 9 50 9 / 60 = 0,150 15,0

Otros 10 60 10 / 60 = 0,166 16,6

b) 60 alumnos fueron encuestados c) Economía es la profesión con mayor frecuenciad) El 15% de los alumnos prefiere Arquitecturae) El 10% de los alumnos prefiere Medicina

En una muestra de 40 familias, el número de hijos se distribuye según la tabla:

Variable F. absoluta

Nº de hijos Nº de familias

1 2

2 8

3 12

4 14

5 3

6 1

a) Completa la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual.b) ¿Cuántas familias tienen menos de 4 hijos?c) ¿Cuántas familias tienen 5 hijos?d) ¿Cuál es la frecuencia relativa de las familias que tienen 2 hijos? e) ¿Qué porcentaje de familias tiene 6 hijos?f) ¿Qué fracción representan las familias con 2 hijos?g) ¿Qué fracción representan las familias con 4 hijos?

RespuestaNº hijos Frecuencia F. acumulada F, relativa Frec. Relat. %

1 2 2 2 / 40 = 0,05 5

2 8 10 8 / 40 = 0,20 20

3 12 22 12 / 40 = 0,30 30

4 14 36 14 / 40 = 0,35 35

5 3 39 3 / 40 = 0,075 7,5

6 1 40 1 / 40 = 0,025 2,5

b) 22 familias tienen menos de 4 hijos c) 3 familias tienen 5 hijos d) La frecuencia relativa de familias con 2 hijos es de 0,20 e) El 2,5% de las familias tiene 6 hijosf) 1 / 5 de las familias tienen 2 hijosg) 7 / 20 de las familias tienen 4 hijos

Medidas de tendencia central en valores no agrupados.

Son valores representativos de la totalidad de los datos. Su cálculo permite analizar los datos en torno a un valor central.

Los valores centrales más usados son: Media aritmética. Mediana Moda.

Media aritmética ( X )

Media aritmética: corresponde al promedio de los valores. Se simboliza por X

La media aritmética se obtiene sumando los valores de la variabledividido por el número total de valores.

En forma General : X = x1 + x2 + x3 +....xn n

Ejemplo: Determinar el promedio de notas de un alumno, en la asignaturade Lenguaje y comunicación.

Las notas son: 3- 5 - 7 - 6 - 4 - 5 - 3 - 5 - 4 - 5 - 3 - 4

X = 3 + 5 + 7 + 6 + 4 +5 + 3 +5 + 4 + 5 + 3 + 4 = 54 = 4,5 12 12

Luego, el promedio de notas del alumno es 4,5

La media aritmética ponderada es otra forma de calcular el promedio, utilizando la tabla de distribución de frecuencias.

Ejemplo:

Notas Frecuencias

3 3

4 3

5 4

6 1

7 1

Se debe multiplicar cada valor con sufrecuencia. 3 • 3 = 9 4 • 3 = 12 5 • 4 = 20 6 • 1 = 6 7 • 1 = 7

Se suman los productos: 9 + 12 + 20 + 6 + 7 = 54

La suma del producto se divide por eltotal de datos: 54 : 12 = 4,5Luego, X = 4,5

Mediana ( Me )

Es el valor de la variable que deja igual número de valores antes ydespués de él en una distribución de frecuencias

Según el número de valores de la variable se distinguen dos casos:

Si el número de valores es impar, la mediana coincide con el valor central. Ejemplo: 5 – 8 – 9 – 11 – 12 – 13 – 15 Luego, la mediana es el 11

NOTA: los valores deben estar ordenados. Puede ser en forma creciente o decreciente

Si el número de valores es par, la mediana es el promedio aritmético de los dos valores centrales.

Ejemplo: 2 – 3 – 5 – 6 – 8 – 9 – 11 – 12

El calculo sería: ( 6 + 8 ) : 2 = 14 : 2 = 7

Luego, la mediana es 7

Moda ( Mo )

Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia

Ejemplo:

Variable F. absoluta

Nº de hijos Nº de familias

1 2

2 8

3 12

4 14

5 3

6 1

La moda es 4 hijos, porque tienemayor frecuencia, que es del 14familias.

Ejercicios

Las calificaciones de un estudiante de la USACH, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar el promedio de sus notas.

Respuesta: X = 84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78 = 480 = 80 6 6

Luego, el estudiante tiene promedio 80

Diez medidas de diámetro de un cilindro fueron registradas como: 3,88 4,09 3,92 3,97 4,02 3,95 4,03 3,92 3,98 y 4,06

Respuesta:

X = 3,88 + 4,09 + 3,92 + 3,97 + 4,02 + 3,95 + 4,03 + 3,92 +3,98 +4 ,06 10

= 39,82 = 3,98 10

Luego, la media aritmética es 3,98

Calcular el salario medio semanal de 65 empleadosSalario Frecuencia

$ 55.000 8

$ 65.000 10

$ 75.000 16

$ 85.000 14

$ 95.000 10

$ 105.000 7

Respuesta

Salario ( x) Frecuencia F • X

$ 55.000 8 $ 440.000

$ 65.000 10 $ 650.000

$ 75.000 16 $ 1.200.000

$ 85.000 14 $ 1.190.000

$ 95.000 10 $ 950.000

$ 105.000 7 $ 735.000

X = 440.000 + 650.000+ 1.200.000 + 1.190.000 + 950.000 + 735.000 65

= 5.165.000 = 79.461,538 65

Luego, el sueldo promedio es $ 79.461,5

Las calificaciones de un estudiante de la USACH, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar la mediana de sus calificaciones

Respuesta:Se deben ordenar las calificaciones: 68 72 78 84 87 91 Luego, la mediana es 78 + 84 = 162 = 81 2 2

Hallar la moda de los siguientes números: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.

Respuesta: La moda es el número 5, ya que su frecuencia es mayor

Representación gráfica de la información

Gráfico lineal o de segmentos: Se utiliza especialmente para representar datos numéricos de situaciones que ocurren en períodos sucesivos.

0

5

10

15

20

25

30

35

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Tem

pera

tura

gráfico de Barra : Permite hacer comparaciones mediante barras paralelas colocadas en forma vertical u horizontal entre dos ejes perpendiculares.

010

203040

50607080

90

1ertrim.

2dotrim.

3ertrim.

4totrim.

MatematicaLenguaje

Gráfico circular: Consiste en un círculo dividido en sectores que representan las frecuencias relativas porcentuales de una distribución

Los 360 grados del círculo se dividen proporcionalmente alporcentaje correspondiente de cada frecuencia.

1er trim.13%

2do trim.17%

3er trim.57%

4to trim.13%

Distribución de frecuencias con datos agrupados

Rango: Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de ellos.

Ejemplo: Si la estatura del alumno más alto de un curso es 1,92 m y la del menor es 1,68 m, entonces el rango de estos datos es: 1,92 m – 1,68 m = 0,24 m = 24 cm.

Clases o intervalos : En la ordenación de datos muy numerosos, es usual presentarlos agrupados y ordenados en clases o categorías.

Ejemplo: En un grupo de 50 alumnos se registraron los siguientes puntajes en una prueba:

61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 7379 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 8077 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87

Para ordenarlos y agruparlos, se establecen los intervalos que se usarán, determinando el rango de los datos.

Dato mayor: 88 Dato menor: 61 Rango: 88 – 61 = 27

De acuerdo con el rango y teniendo en cuenta la cantidad de datos, se forman los intervalos.

Si quisiéramos formar 6 intervalos, se tiene que dividir el rangocon la cantidad deseada.27 : 6 = 4, 5 se aproxima a 5 ( amplitud aparente del intervalo)

Intervalo de puntajes Frecuencias

60 – 64 5

65 – 69 5

70 – 74 8

57 – 79 12

80 – 84 16

85 – 89 4

El intervalo 60 – 64 es unsímbolo para representara la clase respectiva

Los valores 60 y 64 sonlos límites aparentes dela clase.

Los límites reales de una clase se obtienen calculando el promedio entre el límite aparente superior de una clase y el límite aparente inferior de la clase siguiente.

Ejemplo: Calcular los límites reales de la clase 70 – 74

Lri = 2

7069 =

2

139 = 69,5 Límite real inferior

Lrs = 2

7574 =

2

149 = 75,5 Límite real superior

Tamaño o amplitud de una clase: Corresponde a la diferencia entre su límite real superior y el límite real inferior. Ejemplo: 75,5 – 69,5 = 5 Su amplitud es igual a 5

NOTA: Todas las clases tienen igual tamaño.

Marca de clase: Es el punto medio de un intervalo de clase.

Ejemplo.

7270 – 74

6765 – 69

6260 – 64

Marca de claseIntervalo

Frecuencia total: Es la suma de las frecuencias absolutas de todas las clases.

Ejemplo:

1011 -15

116 – 10

121 – 5

FrecuenciaIntervalo

Frecuencia total 12 + 11 + 10 = 33

Ejercicios

61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 7379 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 8077 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87

Dado los siguientes puntajes, determinar:

a) Determinar seis intervalos b) Determinar el límite real superior e inferior de cada clasec) Determinar la marca de clase de cada intervalod) Determinar la frecuencia absoluta

RespuestaSe debe determinar el rango: Pje mayor – Pje menor: 88 – 61 = 27

Luego, 27 : 6 = 4,5 se aproxima a 5 la amplitud del intervalo

Intervalo Lri - Lrs Marca de clase Frecuencia

60 – 64 59,5 – 64,5 62 5

65 – 69 64,5 – 69,5 67 5

70 – 74 69,5 – 74,5 72 8

75 – 79 74,5 – 79,5 77 12

80 – 84 79,5 – 84,5 82 16

85 – 89 84,5 – 89,5 87 4

Ordena los siguientes datos de menor a mayor y calcula su rango: 3,22 2,92 3,01 4,48 5,06 4,31 2,98 3,07

Respuesta: Ordenado: 2,92 2,98 3,01 3,07 3,22 4,31 4,48 5,06Rango: 5,06 – 2,92 = 2,14

La siguiente distribución de frecuencias corresponde a los salarios de los empleados de una fábrica:

Salarios ( $ ) Frecuencia

50.000 – 54.999 7

55.000 – 59.999 18

60.000 – 64.999 32

65.000 – 69.999 45

70.000 – 74.999 52

75.000 – 79.999 28

80.000 – 84.999 16

85.000 – 89.999 8

a) Calcula los límites reales del tercer intervalo

Respuesta: Lri = 59.999 + 60.000 = 59.999,5 2

Lrs = 64.999 + 65.000 = 64.999,5 2

b) Calcula el tamaño de los intervalos

Respuesta: Lrs – Lri = amplitud 64.999,5 - 59.999,5 = 5000

c) Determina el límite aparente inferior del séptimo intervalo

Respuesta: [80.000 – 84.999] Límite aparente inferior: 80.000

d) Determina el límite real superior del segundo intervalo

Respuesta: [55.000 – 59.999] Lrs = 59.999 + 60.000 = 59.999,5 2

e) Escribe en orden la marca de claseRespuesta:

87.499,585.000 – 89.999

82.499,580.000 – 84.999

77.499,575.000 – 79.999

72.499,570.000 – 74.999

67.499,565.000 – 69.999

62.499,560.000 – 64.999

57.499,555.000 – 59.999

52.499,550.000 – 54.999

Marca de claseSalarios ( $ )

f) Determina la frecuencia acumulada.

20685.000 – 89.999

19880.000 – 84.999

18275.000 – 79.999

15470.000 – 74.999

10265.000 – 69.999

5760.000 – 64.999

2555.000 – 59.999

750.000 – 54.999

FrecuenciaSalarios ( $ )

Respuesta:

acum

g) Determinar la frecuencia relativa

8 / 206 = 0,03885.000 – 89.999

16 / 206 = 0,07780.000 – 84.999

28 / 206 = 0,13575.000 – 79.999

52 / 206 = 0,25270.000 – 74.999

45 / 206 = 0,21865.000 – 69.999

32 / 206 = 0,15560.000 – 64.999

18 / 206 = 0,08755.000 – 59.999

7 / 206 = 0,03350.000 – 54.999

Frecuencia relativaSalarios ( $ )

Respuesta:

h) Determinar la frecuencia relativa porcentual

3,885.000 – 89.999

7,780.000 – 84.999

13,575.000 – 79.999

25,270.000 – 74.999

21,865.000 – 69.999

15,560.000 – 64.999

8.755.000 – 59.999

3,350.000 – 54.999

Frecuencia relativaSalarios ( $ )

Respuesta:

%

Ejercicio

Después de medir las alturas de 40 alumnos de un curso, resultaron los siguientes valores de la variable:

154 178 150 166 182 175 163 175 150 162 155 155 161 165 160 159 160 168 165 162 163 155 157 161 162 155 167 164 162 158 158 163 166 167 156 164 170 176 172 160

a) Determina el rango

Respuesta: 182 - 150 = 32

b) Determina 8 intervalos:

Respuesta: El rango es 32. Luego, 32 : 7= 4,5 (5 amplitud )

Intervalo

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 – 174

175 – 179

180 – 184

c) Determinar la frecuencia

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169

160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

1

4

2

7

14

8

4

Frecuencia

d) Determinar la marca de clase de los intervalos

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169 160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

182

177

172

167162

157

152

M de Ce) Determinar el límite real inferior del tercer intervalo

Respuesta: Lri = 159 + 160 = 159,5 2

f) Determinar el límite real superior del quinto intervalo

Respuesta: Lrs = 174 + 175 = 174,5 2

g) Determinar la frecuencia acumulada

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169

160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

40

39

35

33

26

12

4

F. acumh) Determinar la frecuencia relativa porcentual

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169

160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

2,5

10

5

17,5

35

20

10

F. Relat %

i) ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 ?

Respuesta: 12 alumnos miden menos de 160

j) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 170 y 174 ?Respuesta: El 5% de los alumnos miden entre 170 y 174k) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 160 y 174 ?

Respuesta: El 57,5 % de los alumnos mide entre 160 y 174l) ¿Cuál es la frecuencia total ?Respuesta: n = 40m) ¿Cuál es la amplitud del intervalo ?Respuesta: c = Lrs – Lri = 159,5 - 154,5 = 5

Medidas de tendencia central en datos agrupados

Ejemplo:

85 – 89

80 – 84

75 – 79

70 – 74

65 – 69

60 – 64

Intervalo

4

16

12

8

5

5

Frecuencia Marca de clase

62

67

72

77

82

87

f • x

310

335

576

924

1312

348

X = 3805 50

X = 76,1

Media aritmética: Se suma el producto de la marca de clase con la frecuencia y se divide por la frecuencia total. En forma general : X = f • x f

Mediana: Es calcular un valor que separa al conjunto en dos grupos de igual cantidad.

Para calcular la mediana se ocupa la siguiente formula:

Me = L i m + (n/2 – f( acum. ant ) ) • c f m

L i m = límite real inferior del intervalo mediano ( primer intervalo cuya frecuencia acumulada es igual o mayor que n/2 )n / 2 = mitad de la frecuencia total f( acum. ant ) = frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo medianoc = amplitud del intervalo f m = frecuencia absoluta del intervalo mediano

Ejemplo

Hallar la mediana de los pesos de 40 estudiantes, dado en lasiguiente tabla de distribución

402172 – 180

384163 – 171

345154 – 162

2912145 – 153

179136 – 144

85127 – 135

33118 – 126

F acumFrecuenciaIntervalo

n = 40

n / 2 = 40 / 2 = 20

L i m = 144 + 145 = 144,5 2f ( acum. ant ) = 17

c = 144,5 + 153,5 = 9

f m = 12

M e = 144,5 + ( 20 – 17 ) • 9 = 144,5 + 3 • 9 = 144,5 + 27 = 146,75 12 12 12

Ejemplo 2

Las edades de los obreros que trabajan en una empresa constructora,se distribuyen como sigue:

Edad Frecuencia

18 – 22 15

23 – 27 26

28 – 32 30

33 – 37 38

38 – 42 32

43 – 47 20

48 – 52 12

53 – 57 7

n = 180

n / 2 = 180 / 2 = 90F acum

15

41

71

109

141

161

173

180

L i m = 32 + 33 = 32,5 2f( acum ant) = 71

c = 5

f m = 38

Me = L i m + (n/2 - f(acum ant)) • c fm

= 32,5 + ( 90 - 71) • 538

= 32,5 + 19 • 538

= 32,5 + 2,5

Me = 35

Moda

Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda corresponde a la marca de clase del intervalo de mayor frecuencia

Ejemplo: La tabla de distribución muestra el número de horas que un grupo de jóvenes dedica a ver televisión diariamente.

Horas frecuencia

0 – 2 25

3 – 5 35

6 – 8 25

9 – 11 10

12 - 14 5

El intervalo modal es [3 - 5]Luego, se dice que la moda es su marcade clase.M de C = 3 + 5 = 4 Mo = 4 horas 2

Representación gráfica en datos agrupados

Histograma: Es un gráfico de barras verticales que sirve para representar los datos de una distribución de frecuencias en la cual los valores de la variable están agrupados en intervalos.

Las bases de las barras o rectángulos están sobre el eje horizontal y su ancho ( longitud sobre el eje) es igual al tamaño de los intervalos de clase.

El histograma tiene la siguiente característica:

Ejemplo:

Esta tabla de distribución de frecuencias indica las edades de losalumnos que asisten a clases de Inglés.Edad frecuencia

5 – 7 8

8 – 10 10

11 – 13 7

14 – 16 5

17 – 19 4

2468

10

5- 7 8-10 11-13 14-16 17-19I

f

Eje x = intervalosEje y = frecuencia

Polígono de frecuencia

Es la modalidad de un gráfico de datos que se origina al unirlos puntos medios de los lados superiores de las barras de un histograma.

6 9 12 15 18

2468

10

x

f

•

•

••

•

El punto medio de cada intervaloes la marca de clase

Ejercicio

Dada la tabla de distribución de edades de un grupo de padrescuyos hijos están en primer año de universidad. Hallar: a) media aritmética b) Mediana c) Moda

Edad frecuencia

45 – 48 2

49 – 52 5

53 – 56 12

57 – 60 8

61 – 64 5

a) Media aritmética

Edad f x f • x

45 – 48 2 46,5 93

49 – 52 5 50,5 252,5

53 – 56 12 54,5 654

57 – 60 8 58,5 468

61 – 64 5 62,5 312,5

X = f • x = 1780 = 55,625 n 32

¡ Puff……!

b) Mediana

32561 – 64

27857 – 60

191253 – 56

7549 – 52

2245 – 48

F acumfEdad

n = 32

n / 2 = 32 / 2 = 16

L i m = 52 + 53 = 52,5 2

f (acum ant) = 7

c = 56,5 - 52,5 = 4

f m = 12

Me = 52,5 + ( 16 – 7 ) • 4 = 52,5 + 9 • 4 = 55,5 12 12

: El intervalo modal es [53 - 56] . Luego. La moda es su marca de clase: 53 + 56 = 54,5 2

c) Moda:

* Construye una tabla de distribución de frecuencias de datos agrupados en intervalos de clase. Considera como limite inferior del primer intervalo = 10 y c = 10 El puntaje obtenido por 130 alumnos en una prueba de biología

es el siguiente:

12 45 53 85 23 91 34 56 65 70 72 74 86 95 32 45 56 58 33 49 55 70 66 62 64 55 83 26 34 72 60 64 72 80 58 98 50 20 35 76 68 90 99 56 48 56 68 82 40 92 38 56 84 66 78 74 25 15 48 50 66 49 53 83 91 42 64 72 54 89 92 28 34 40 56 64 68 63 35 56 66 38 82 78 74 90 85 66 70 72 58 66 80 80 95 96 99 94 40 42 58 65 67 81 90 50 48 52 62 70 80 93 45 36 49 81 73 56 38 51 23 90 84 96 75 38 28 36 83 29

Respuesta:

Intervalo

10 – 19

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 - 99

M. de Clase

14,5

24,5

34,5

44,5

54,5

64,5

74,5

84,5

94,5

frecuencia

2

8

13

14

22

20

17

17

17

F. acum.

2

10

23

37

59

79

96

113

130

F. Relat

0,015

0,061

0,100

0,107

0,169

0,153

0,130

0,130

0,130

F. Relat.%

1,5

6,1

10,0

10,7

16,9

15,3

13,0

13,0

13,0

De acuerdo con la tabla anterior, responder las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos?

Respuesta: Hay 27 alumnos

b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 60 y 89 puntos?


c) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 40 y 99 puntos?


d) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos?

Respuesta: El 20,7 % de los alumnos

e) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo entre 50 y 59 puntos?

Respuesta: el 16,9 % de alumnos

f) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 60 puntos?

Respuesta: 59 alumnos

g) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 30 puntos? Respuesta: 10 alumnos

h) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 50 o más puntos?Respuesta: 93 alumnos

i) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 70 o más puntos?

Respuesta: 51 alumnos

j) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo menos de 20 puntos?

Respuesta: 1,5 % de los alumnos

k) ¿Cuál es la marca de clase que representa al intervalo de mayor frecuencia?

Respuesta: la marca de clase de mayor frecuencia es 54,5

l) ¿Cuál es el límite aparente superior del tercer intervalo?

Respuesta: 39

m) ¿Cuál es el límite real inferior del quinto intervalo?

Respuesta: 49,5

n) ¿Cuál es la amplitud del intervalo?

Respuesta: c = 10

n) Calcula la media aritmética:

Respuesta:Intervalo

10 – 19

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 - 99

M. de Clase

14,5

24,5

34,5

44,5

54,5

64,5

74,5

84,5

94,5

f • x

29

196

448,5

623

1199

1290

1266,5

1436,5

1606,5

X = f • x n

17

17

17

20

22

14

13

8

2

frecuencia

n = 130

X = 8095 130

X = 62,26

ñ) Calcula la mediana:

Respuesta:

Intervalo

10 – 19

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 - 99 17

17

17

20

22

14

13

8

2

frecuencia

n = 130

F. acum.

2

10

23

37

59

79

96

113

130

n / 2 = 130 / 2 = 65

L i m = 59,5 c = 10

f(acum. ant) = 59

f m = 20

Me = 59,5 + ( 65 – 59 ) • 10 20

Me = 59,5 + 6 • 10 20Me = 59,5 + 3 = 62,5

o) Calcular el intervalo modal y la moda :

Respuesta:

El intervalo modal es [50 - 59] porque tiene la mayor frecuencia , que es 22.

La moda corresponde a la marca de clase de ese intervalo.

Luego, Mo = 50 + 59 = 54,5 2

a + b = c

Ejercicios

Calcular el rango entre. 3,22 2,93 3.01 4,48 5,06 4.31 2,98 3,07

Repuesta: 5,06 - 2,98 = 2,08

El siguiente cuadro muestra el consumo anual en Chile de kilogramos de carne de bovino per cápita.

Año 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1996

Consumo 17,0 15,0 14,7 14,0 15,6 17,3 18,5 18,1 17,6 20,0

a) Calcular el consumo promedio desde 1986 hasta 1992

Respuesta: X = 115,8 = 16,54 7

b) Calcular el consumo promedio de los 10 años?

Respuesta: X = 1678 = 16,78 10

La siguiente tabla representa las medidas de una pieza de motores

Intervalo Frecuencia

100 – 109 4

110 – 119 17

120 – 129 29

130 – 139 18

140 – 149 10

150 – 159 5

160 – 169 2

Dibuja en un mismo gráfico el histograma y el polígono de frecuencias.

Respuesta:

f

104,5 114,5 124,5 134,5 144,5 154,5 164,5

4

18

29

10

•

•

•

•

••

•

Marca de clase

Dado las siguientes frecuencias, calcular la mediana, la moda y la media aritmética 6 - 7 - 7 - 3 - 4 - 1 - 7 - 5Respuesta:

Me : Para calcular la mediana se deben ordenar las frecuencias: 1 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 7 - 7 Luego, 5 + 6 = 11 = 5,5 Me = 5,5 2

Mo = La moda es 7 , porque es la frecuencia que más se repite

X = 6 + 7 + 7 + 3 + 4 + 1 + 7 + 5 = 40 = 5 8 8

Las notas obtenidas por 45 alumnos en una prueba de Estadística son: Notas Frecuencia

1 1

2 4

3 5

4 6

5 9

6 12

7 8

Determinar : Mo, Me y X

Respuesta:

X = 1•1 + 2 • 4 + 3 • 5 + 4 • 6 + 5 • 9 + 6 • 12 + 7 • 8 = 221 = 4,9 45 45

Me = Como n / 2 = 45 / 2 = 22,5 Luego. la mediana es 5 , pues es el primer valor de la variable cuya f(acum.) es igual o mayor que 22,5

Mo = La moda es 6 pues es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta

Percentiles, Deciles y Cuartiles

La mediana de un conjunto de datos ordenados, es el valor quelos separa en dos partes iguales.Existen otros valores típicos que dividen a un conjunto de datosnuméricos en una cierta cantidad de partes iguales; éstos son:Percentiles, Deciles y Cuartiles.

P50 = 52 % = Me

Percentiles

Los percentiles de una distribución de datos numéricos sonlos 99 valores que la dividen en 100 partes iguales.

Los percentiles se designan por: P1 , P2 , P3 , .............P99

Se lee: P1 = percentil 1 P2 = percentil 2 ............etc.

0 P1 P2 P3 ........................................................P99.

Ejemplo:•En la distribución de notas de un grupo de alumnos, el P45 es una nota de referencia que permite afirmar que el 45 % de esos alumnos obtuvo esa nota o una menor.

El cálculo de percentiles se hace de la misma forma como seobtiene la mediana, en una distribución.

Ejemplo: Considerar la distribución de frecuencias de los212 puntajes de P:A:A: para calcular P45 .Puntaje frecuencia Frec. Acum.

350 – 399 4 4

400 – 449 6 10

450 – 499 9 19

500 – 549 20 39

550 – 599 31 70

600 – 649 80 150

650 – 699 42 192

700 – 749 10 202

750 – 799 8 210

800 – 849 2 212

Respuesta: Se calcula el 45% de 212: 212 = 100% x = 212 • 45 x 45 % 100 x = 95,4

La frecuencia acumulada 95,4 seencuentra en la clase 600 - 649

L r i p = 599 + 600 = 599,5 2

f (acum. ant) = 70c = 50 f p = 80

P45 = L r i p + [ % - f (acum. ant)] • c f p

P45 = 599,5 + ( 95,4 – 70 ) • 50 80

= 599,5 + 15,875

= 615,375

Este valor significa que el 45 % de los alumnos obtuvo puntajes menores o iguales a 615,3.

Considerar la misma distribución anterior para calcular P8.

Respuesta:

Calcular el 8 % de 212: 212 = 100 % x = 212 • 8 = 16,96 x 8 % 100

Este valor de la frecuencia acumulada se encuentra en la clase 450 – 499

L r i p = 449 + 450 = 449,5 2

F(acum. ant) = 10 c = 50 f p = 9

P8 = 449,5 + ( 16,96 – 10) • 50 9

= 449,5 + 38,66

= 488,16

Ejercicio de percentil

Puntaje frecuencia Frec. Acum.

350 – 399 4 4

400 – 449 6 10

450 – 499 9 19

500 – 549 20 39

550 – 599 31 70

600 – 649 80 150

650 – 699 42 192

700 – 749 10 202

750 – 799 8 210

800 – 849 2 212

Dada la tabla de distribución, determinar qué porcentaje de losalumnos obtuvieron entre 400 y 600 puntos.

Respuesta:

400 puntos corresponde a un percentil que se desconoce, porlo que se simboliza por Px .

Además se sabe que corresponde al segundo intervalo, y que su L r i p = 399,5

El % buscado es: x •100

212 F(acum. ant) = 4

f p = 6 c = 50

Px = 399,5 +6

4100212

. x• 50

400 = 399,5 + 50.6

412,2 x

400 – 399,5 = 50.6

412,2 x

= 0,5 • 6 50

2,12 x – 4

0,06 + 4 = 2,12 x

4,06 2,12

= x 1,9 % = x

600 puntos corresponde a un percentil desconocido, por loque se simboliza por Py

Además se sabe que está ubicado en el sexto intervalo, y quesu L r i p = 599,5 f(acum. ant) = 70 f p = 80 c = 50

El % buscado es x • 100

212

Entonces: Py = 599,5 + 50.80

70100212

. y

600 – 599,5 = 50.80

70100212

. y

0,5 • 80 50

= 2,12 y - 70

0,8 + 70 2,12

= y y = 33,3 %

La diferencia entreambos porcentajescorresponde al porcentaje pedido.

33,3 – 1,9 = 31,4 %

Calcular qué porcentaje de los 212 alumnos tuvieron

resultados entre 620 y 680 puntos.

Respuesta:

620 puntos corresponde a un percentil que se desconoce y se designapor Px. Entonces, Px = 599,5 +

80

70100212

. x• 50

620 = 599,5 + 50 .80

70 12 , 2 x

x = 48,4 %

620 – 599,5 = 50.80

7012,2 x

20,5 • 80 50

= 2,12x – 70

680 puntos corresponde a un percentil que se desconoce y se designa por Py.

Py = 649,5 +

50 .42

150100212

. y

680 = 649,5 + 50 .

42

150 12 , 2 yx = 82,8 %( 680 – 649,5 ) • 42

50= 2,12y - 150

Así, la diferencia entre ambos porcentajes corresponde al porcentajede alumnos que tienen entre 620 y 680 puntos.

82,8 % - 48,4 % = 34,4 = 34,4 % de los alumnos

Deciles

Los deciles de una distribución de datos numéricos son los 9 valores que la dividen en 10 partes iguales.

Los deciles se designan por D1 , D2 , D3 , ...........D9

Se leen: Decil 1 , decil 2 .......decil 9

0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Para calcular deciles, se hace de la misma forma que los percentiles.

Ejemplo: Considerar la siguiente tabla de distribución paracalcular D3


350 – 399 4 4

400 – 449 6 10

450 – 499 9 19

500 – 549 20 39

550 – 599 31 70

600 – 649 80 150

650 – 699 42 192

700 – 749 10 202

750 – 799 8 210

800 – 849 2 212

Para calcular el tercer decil (D3)se tiene que tener en cuenta quecorresponde al 30 % inferiorde los datos de la distribución.

Se calcula el 30% de 212 212 = 100% x 30% x = 63,6

Esta cantidad de datos corresponde a la clase 550 – 599

L r i = 549 + 550 = 549,5 2

f(acum. ante) = 39 c = 50

f d = 31

D3 = 549,5 + ( 63,6 – 39 ) • 50 31

= 549.5 + 39,6

= 589,1

El 30 % de los 212 alumnos tiene un puntaje igual o menor que589,1 puntos.

Calcular el D7

Respuesta:

El 70% de 212 = 148,4El límite real inferior de la clase 600 – 649 es 599,5

f(acum. ant) = 70 f d = 80 c = 50

D7 = 599,5 + 50.80

704,148

D7 = 599,5 + 49

D7 = 648,5 puntos

NOTA: Se ha calculado D3 y D7 , entonces se puede concluir que el 40% de los 212 alumnos obtuvo entre 589,2 y 648,5 puntos.

Cuartiles

Los Cuartiles de una distribución de datos numéricos son lostres valores que la dividen en 4 partes iguales

Los cuartiles se designan por: Q1 , Q2 y Q3

Q1 Q2 Q3

Q1 es el primer cuartil y corresponde al 25% inferior

Q2 es el segundo cuartil y corresponde al 50% inferiorQ3 es el tercer cuartil y corresponde al 75% inferior

Los cuartiles se calculan de la misma forma que los percentilesy los deciles.

Calcular el tercer cuartil, de la siguiente distribución


350 – 399 4 4

400 – 449 6 10

450 – 499 9 19

500 – 549 20 39

550 – 599 31 70

600 – 649 80 150

650 – 699 42 192

700 – 749 10 202

750 – 799 8 210

800 – 849 2 212

Respuesta:

El 75% de 212 = 159

L r i q = 649,5 c = 50

f(acum. ant) = 150 f q = 42

Q3 = 649,5 + 50.42

150159

Q3 = 649,5 + 10,7

Q3 = 660,2

El 75% de los alumnos tiene un puntaje igual o inferior a 660,2 puntos,lo que significa que el 25% de ellos tiene un puntaje igual o superiora 660,2

Un curso rindió una prueba de Matemática, ¿Qué se puede decir del resultado, si se sabe que en la distribución de las notas se obtuvo: Q2 = 5,8 y Q3 = 6,5 ?

Respuesta:

Es conveniente ver la situación en forma gráfica:

5,8 6,525%

50%

Se puede afirmar que:

* El 50% del curso obtuvo una calificación superior a 5,8

* El 25% mejor preparado logró notas superiores al 6,5

Medidas de dispersión

Al grado en que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio se le llama variación o dispersión

Las medidas de dispersión más utilizadas son:

* Rango

* Desviación media

* Desviación típica o estándar.

RangoEl rango de un conjunto de datos numéricos es la diferencia entre el mayor y el menor de ellos.

Ejemplo: Un alumno obtuvo las siguientes notas parciales en Matemática: 2 - 3,9 - 5 - 5,9 - 6,2 El rango es 4,2 ya que es la diferencia entre 6,2 y 2

¿Qué significado tiene el rango de notas 4,2 respecto de las notas de otro alumno cuyo rango es 2,1?

En el primer caso las notas están más dispersas que en el segundo. No se sabe en que caso son mejores; para determinarlo es necesario más información.

Desviación Media

La desviación de un puntaje x con respecto a la media aritmética x está dada por la diferencia d = x - x

Ejemplo:Un alumno obtuvo las siguientes notas en la asignatura deBiología: 3,9 - 2 - 5 - 6,2 - 5,9 Calcular la desviaciónde ellas.

Respuesta:

Primero se debe calcular el promedio.x = 3,9 + 2 + 5 + 6,2 +5,9 = 23 = 4,6 5 5

Ahora se calcula la diferencia de cada nota con el promedio

d = 3,9 – 4,6 = - 0,7 d = 2 – 4,6 = - 2,6 d = 5 – 4,6 = 0,4 d = 6,2 – 4,6 = 1,6 d = 5,9 – 4,6 = 1,3

NOTA: La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a la media aritmética es igual a cero.

Ejemplo: -0,7 + 0,4 + 1,3 + -2,6 + 1,6 = 0

La desviación media de n datos numéricos x1, x2, ......xn es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de todos los datos con respecto a su promedio.Se designa por DM n = frecuencia total

DM = |x1 – x | + |x2 – x | +.........|xn – x | n

Ejemplo:

DM = |-2,6 | + |-0,7 | + |0,4 | + |1,3 | + |1,6 | = 6,6 = 1,3 5 5

El valor 1,3 es la desviación media de todas las notas dadas.

Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones en la asignatura de Inglés: 3,2 - 6 - 6,8 - 4,3 - 2,9 - 5,7 Calcular la desviación media de las notas.Respuesta:

x = 3,2 + 6 + 6,8 + 4,3 + 2,9 + 5,7 = 28,5 = 4,8 6 6

| 3,2 – 4,8 | = 1,6 | 6 – 4,8 | = 1,2 | 6,8 – 4,8 | = 2

| 4,3 – 4,8 | = 0,5 | 2,9 – 4,8 | = 1,9 | 5,7 – 4,8 | = 0,9

Luego, DM = 1,6 + 1,2 + 2 + 0,5 + 1,9 + 0,9 = 8,1 = 1,3 6 6

El valor 1,3 es la desviación media de todas las notas dadas.

Desviación media en datos agrupados

La siguiente tabla muestra los puntajes obtenidos en P.A.A.con un promedio de 614 puntos. Calcular la desviación media.

Puntajes Frecuencia

350 – 399 4

400 – 449 6

450 – 499 9

500 – 549 20

550 – 599 31

600 – 649 80

650 – 699 42

700 – 749 10

750 – 799 8

800 – 849 2

•Primero se debe sacar la marca de clase.

x

374,5

424,5

474,5

524.5

574.5

624.5

674.5

724.5

774.5

824.5

•Se debe obtener la desviación |x – x |

210.5

160.5

110.5

60.5

10.5

39.5

89.5

139.5

189.5

239.5

| x – x |

•Se realiza el producto de la frecuencia con la desviación•Se obtiene la sumatoria del producto

12556 *Considerar la frecuencia total.

212

421

1284

1105

2541

840

1224.5

1790

1255.5

1137

958

f • |x – x |

Con todos los datos se aplica la fórmula de la desviación media

DM = f • | x – x | n

DM = 12556 = 59,2 puntos 212

Se puede decir que los puntajes se desvían, en promedio, 59,2 puntos con respecto a la media.

Hay que considerar que algunos puntajes son inferiores a ella y otros superiores.

Si los puntajes estuvieran más agrupados en torno al promedio,es decir, menos dispersos, el valor de DM sería menor.

Calcular la DM de la siguiente distribución que representa las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos

Horas Frecuencia

0 – 2 5

3 – 5 7

6 – 8 6

9 - 11 2

Respuesta:

a) Obtener la marca de clase

x

1

4

7

10

* Determinar el promedio

b) Multiplicar f • x

c) Obtener f • x

95

d) Frecuencia total

20

* Determinar | x – x |

f • x

5

28

42

20 5,3

2,3

0,7

3,7

| x – x |

* Determinar f • |x – x |10,6

13,8

4,9

18,5

f • |x – x |

* Obtener f • | x – x |

47,8

* Finalmente se determina la DM

Las horas diarias se desvían en 2,3 puntos con respecto a la media.

DM = 47,8 = 2,3 20

e) x = 95 = 4,7 20

Calcula la desviación media de las medidas de una pieza de motores, dada por la siguiente tabla:

x

104,5

114,5

124,5

134,5

144,5

154,5

164,5

*Se calcula | x – x |

2160 – 169

5150 – 159

10140 – 149

18130 – 139

29120 – 129

17110 – 119

4100 – 109

frecuenciaIntervalo

85

329

772,5

1445

2421

3610,5

1946,5

418

x • f

10942.5

Respuesta:* Marca de clase (x)

* Se calcula f • | x – x |

923

* Sumatoria del producto

71,6

129

158

104,4

121,8

241,4

96,8

f • | x – x |

DM = 923 = 10,8 85

Las medidas se desvíanen promedio de 10,8puntos con respecto ala media.

35,8

25,8

15,8

5,8

4,2

14,2

24,2

| x – x |

* x = 10942,5 = 128,7 85

Desviación típica o estándar

La desviación típica o estándar expresa el grado de dispersiónde los datos con respecto al promedio y corresponde a la raízcuadrada de la media del cuadrado de las desviaciones de dichosdatos con respecto a su media aritmética.

La desviación típica se simboliza por la letra S

En forma general:

S =

n

xn k

kkx

1

2) (

Ejercicios Calcular la desviación típica de las siguientes notas de Matemática: 2,0 - 3,9 - 5,0 - 5,9 - 6,2

Respuesta:

* Primero se debe obtener el promedio

x = 2,0 + 3,9 + 5,0 + 5,9 + 6,2 = 4,6 5* Se calcula la desviación típica

S =

5

)6,42,6()6,49,5()6,45()6,49,3()6,42( 22222

S = 5

5,26,11,04,07,6 5

3,11=

2,2= = 1,4

Luego, la desviación típica de las notas es 1,4 con respecto al promedio

Si de estas notas descartáramos el 2, la nota más alejada del promedio, entonces la desviación típica sería S = 1,04 ; estevalor es menor que 1,4.Las notas consideradas, sin la nota 2, tendrían una dispersiónmenor, es decir, estarían más centradas.

Calcular la desviación típica de las siguientes notas: 5,2 - 4,9 - 5 - 5,1 - 5,2 - 5,3 - 4,9 - 5,2

Respuesta:

* Se obtiene el promedio x = 5,1

* S =

8

1,02,02,01,001,02,01,0 22222222 8

01 , 0 04 , 0 04 , 0 01 , 0 0 01 , 0 04 , 0 01 , 0 S = = 8

16,0

02,0S = = 0,1Este valor es considerablemente menor que el ejercicio anterior. Se debe a que los datos son más homogéneos que en la otra distribución,presentan escasa dispersión con respecto al promedio.

Desviación típica en datos agrupados

Calcular la S de la siguiente distribución que representa las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos, con un promedio de 4,7

Horas Frecuencia

0 – 2 5

3 – 5 7

6 – 8 6

9 - 11 2


x

1

4

7

10

* Determinar las desviaciones

5,3

2,3

0,7

3,7

| x – x |

* Obtener la desviación al cuadrado

28,09

5,29

0,49

13,69

| x – x | 2

* Producto de la frecuencia con la desviación al cuadrado.

56,18

31,74

3,43

68,45

f •| x – x | 2* f •| x – x | 2

159,8

* Se calcula S

20

8,159S =

9,7S =

2,8S =

Puntajes Frecuencia

350 – 399 4

400 – 449 6

450 – 499 9

500 – 549 20

550 – 599 31

600 – 649 80

650 – 699 42

700 – 749 10

750 – 799 8

800 – 849 2

La siguiente tabla muestra los puntajes obtenidos en P.A.A.con un promedio de 614 puntos. Calcular la desviación típica

* Calcular marca de clase

x

374.5

424.5

474.5

524.5

574.5

624.5

674.5

724.5

774.5

824.5

* Calcular las desviaciones* Determinar las desviaciones al cuadrado

* determinar f • |x – x |2

44310.25

25760.25

12210.25

3660.25

110.25

1560.25

8010.25

19460.25

35910.25

57360.25

| x – x |2

88620.5

206082

122102.5

153730.5

8820

48367.75

160205

175142.25

215461.5

229441

f • | x – x |2

* Determinar la sumatoria del producto

1407973

S =

= 81,4

Entonces,S = 81,4

210.5

160.5

110.5

60.5

10.5

39.5

89.5

139.5

189.5

239.5

| x – x |

212

1407973

3.6641=

La siguiente tabla muestra el número de brazadas dadas por 100 nadadores en la prueba de 200 m crol. Calcular S

Brazadas frecuencia

200 – 204 8

205 – 209 12

210 – 214 15

215 – 219 18

220 – 224 16

225 – 229 14

230 – 234 10

235 – 239 7

Respuesta:* Promedioa) Marca de clase

x

202

207

212

217

222

227

232

237

b) f • x

f • x

1616

2484

3180

3906

3552

3178

2320

1659

c) f • x

21895

* Calcular las desviaciones

18.1

13.1

8.1

3.1

1.9

6.9

11.9

16.9

| x – x |

100

21895d) x = = 218.9

* Desviaciones al cuadrado

327.61

171.61

65.61

9.61

3.61

47.61

141.61

285.61

| x – x | 2

* f • | x – x |2* del producto

2293.27

1716.1

918.54

153.76

64.98

714.15

1699.32

2284.88

F •|x – x |2

9845

S =100

9845

S = 45,98

S = 9,9

Las brazadasestán a 9,9 puntos con respecto alpromedio

Varianza

La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadradode la desviación típica

Se simboliza por S2

S2 = n

xxnk

k

1

2)(

El cálculo de la varianza es similar a la desviación típica

Un alumno obtuvo las siguientes notas en la asignatura deBiología: 3,9 - 2 - 5 - 6,2 - 5,9 Calcular la varianzade ellas.

Respuesta:

Primero se debe calcular el promedio.x = 3,9 + 2 + 5 + 6,2 +5,9 = 23 = 4,6 5 5* Calcular las desviaciones

|3,9 – 4,6 | = 0,7 | 2 – 4.6 | = 2,6 | 5 – 4,6 | = 0,4 | 6,2 – 4,6 | = 1,6 | 5,9 – 4,6 | = 1,3

* Calcular las desviaciones al cuadrado

0,72 = 0,49 2,62 = 6,76 0,42 = 0,16 1,62 = 2,56 1,32 = 1,69

* Calcular S2

S2 = 0,49 + 6,76 + 0,16 + 2,56 + 1,69 = 11,665

= 2,3

Calcular la Varianza de la siguiente distribución que representa las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos, con un promedio de 4,7

Horas Frecuencia

0 – 2 5

3 – 5 7

6 – 8 6

9 - 11 2


x

1

4

7

10

* Determinar las desviaciones

5,3

2,3

0,7

3,7

| x – x |

* Obtener la desviación al cuadrado

28,09

5,29

0,49

13,69

| x – x | 2

* Producto de la frecuencia con la desviación al cuadrado.

56,18

31,74

3,43

68,45

f •| x – x | 2 * f •| x – x | 2

159,8

* Se calcula S2

S2 = 20

8,159

S2 = 7,9

Luego, la varianza es7,9

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