República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Superior

Instituto Universitario de Tecnología“Mario Briceño Iragorry”Carora edo lara

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José corderoIván pírelaLuis sulbaranI4DA

Estadistica Probabilistica

Profesora: Dulbys Silva

Evento estadísticoEn la teoría de la probabilidad, un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Son aquellos hechos en los que no se sabe con certeza lo que va a suceder, dependen del azar y no se puede determinar sus resultados aun repitiéndolo en varias ocasiones

Tipos de eventos

Evento simple suceso elementa

Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento.

Espacio muestral y evento

el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimentoaleatorio.

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de σ-álgebra,1 llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cuál se define la medida de probabilidad P.

Fuentes de probabilidadEs posible estimar probabilidades mediante cualquiera de las tres siguientes maneras alternativas:Frecuencia relativa de eventos pasados. Las probabilidades pueden estimarse a partir de las frecuencias relativas que se observen en un experimento controlado, o mediante muestreo de un universo grande y finito. La probabilidad a priori (previa) se deduce de la experiencia obtenida de la observación prolongada.Las probabilidades de eventos complicados pueden determinarse a partir de las probabilidades de eventos más sencillos, por medio de un método de simulación, utilizando un modelo experimental diseñado para representar las condiciones reales del mismo.Distribuciones teóricas. Las probabilidades pueden determinarse sin recurrir a las frecuencias relativas. Estas probabilidades pueden determinarse a partir de la distribución binomial, sin recurrir a experimentos o muestras basadas en la experiencia pasada. La validez de dichas distribuciones teóricas depende de cuán fielmente las hipótesis representen la realidad.Apreciación subjetiva. Si ninguno de los métodos anteriormente mencionados pueden utilizarse, el responsable de la toma de decisiones debe estimar las probabilidades en base a su juicio o criterio y experiencia

Una probabilidad subjetiva es una evaluación que una persona que toma decisiones hace acerca de la vero - similitud relativa de que ocurra un evento incierto, o sea, representa las "apuestas" que se hacen sobre la concurrencia de ese evento. Tales apreciaciones son sumamente personales y, por lo tanto, dos individuos pueden asignar diferentes probabilidades subjetivas al mismo evento.

Enfoques clasicosa) Enfoque clásico de la probabilidad

b) Enfoque de frecuencias relativas

c) Enfoque subjetivo de la probabilidad

A.ENFOQUE CLÁSICO DE LA PROBABILIDAD (a priori)

Este enfoque permite determinar valores de probabilidad antes de ser observado el experimento por lo que se le denomina enfoque a priori.

El enfoque clásico es aplicado cuando todos los resultados son igualmente probables y no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Si queremos conocer la probabilidad del evento A según este enfoque debemos calcular el siguiente cociente:

N(A) P(A) = -------------

N(S) Donde: N(A): resultados elementales posibles son favorables en el evento A

N(S): posibles resultados en el espacio muestral

EJEMPLOS 1) En un mazo de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otro tipo, la probabilidad de obtener un as (A) en una sola extracción es

N(A) 4 1

P(A) = ------ = ----- = ----

N(S) 52 13 2) El experimento es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos hacia arriba?

P( caiga 2 ) = 1 = .166

B.ENFOQUE DE FRECUENCIAS RELATIVAS (a posteriori o empírico)

Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto número experimentos.

No implica ningún supuesto previo de igualdad de probabilidades.

A este enfoque se le denomina también enfoque empírico debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número de veces.

Si queremos conocer la probabilidad del evento A según este enfoque debemos calcular el siguiente cociente:

Número de observaciones de A n(A) P(A) = -------------------------------------- = -------

Tamaño de la muestra n EJEMPLOS

1) Antes de incluir la cobertura para ciertos tipos de problemas dentales en pólizas de seguros médicos para adultos con empleo, una compañía de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de esa clase de problemas, para que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo con esas cifras. Por ello, un especialista en estadística recopila datos para 10,000 adultos que se encuentran en las categorías de edad apropiadas y encuentra que 100 de ellos han experimentado el problema dental específico durante el año anterior. Por ello, la probabilidad de ocurrencia es: 100 P(A) = --------------- = 0.01, o 1%

2) Se sabe que una moneda está cargada. Para determinar la probabilidad de que caiga águila se lanza 60 veces la moneda al aire, de las cuales 25 veces cayó águila. Si aplicamos la fórmula:

P ( cae águila ) = 25 = 0.41

----------

60 C. ENFOQUE SUBJETIVO DE LA PROBABILIDAD (personalista)

Se diferencia de lo dos enfoques anteriores, debido a que tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos.

El enfoque señala que la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible, fundamentado en la intuición, opiniones, creencias personales y otra información indirecta.

Este enfoque no depende de la repetitividad de ningún evento y permite calcular la probabilidad de sucesos únicos y se da el caso de que ocurra o no esa única vez.

Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista.

EJEMPLOS

1) Hay una probabilidad del 80% de que el América le gane a las Chivas.

2) Hay una probabilidad del 90% de que las ventas mejoren el año próximo

3) Hay una alta probabilidad de sacarme un 100.

4) A causa de los impuestos y de otros posibles usos de sus fondos, un inversionista ha determinado que la compra de terrenos sólo se justifica si existe al menos una probabilidad de 0.90 de que los terrenos aprecien su valor en 50% o más en los cuatro años siguientes. Al evaluar cierto terreno, este inversionista estudia los cambios

Probabilidades y Frecuencia RelativaLas probabilidades son muy útiles, ya que pueden servir para desarrollar estrategias. Por ejemplo, algunos automovilistas parecen mostrar una mayor tendencia a aumentar la velocidad si creen que existe un riesgo pequeño de ser multados; los inversionistas estarán más interesados en invertirse dinero si las posibilidades de ganar son buenas. El punto central en todos estos casos es la capacidad de cuantificar cuan probable es determinado evento.

Como frecuencia relativa probabilística: se basa en las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. La probabilidad de que un evento suceda se calcula por medio de:P (E) número de veces que el evento ocurrió en el pasado

TECNICAS DE CONTEOEl proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primerpremio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, yposteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de manerasdistintas de repartir los tres premios.n10 x 9 x 8 = 720

Combinación:Son eventos similares a las permutaciones. Pero el orden ya no importa y es necesario eliminar de las permutaciones aquellas donde los elementos se repiten aunque con distinto ordenUna combinación es una selección de objetos sin importar el orden en que se escojan:

Permutación:Son eventos de tipo multiplicativo, donde el número de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutación es un arreglo de un conjunto de objetos en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de estos objetos es ; esto se vé fácilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de los elementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con los restantes como segunda opción, y así hasta llegar a la última elección, conformando el producto .El número de permutaciones posibles al tomar objetos del conjunto de elementos será, siguiendo el mismo razonamiento

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió

primero dado lo que ocurrió después. Para llegar a establecer tan útil regla vamos a estudiar una proposición previa.

Proposición 3.8: Sean Al, A2, ,Ak, una partición de S, esto esAiÇ Aj = Æ , y

. Entonces para cualquier evento B se tiene que: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + ¼ + P(Ak,)P(B/Ak)

Demostración: Considérese el siguiente diagrama

REGLA DE BAYES

se llama continua si su función de distribución es continua Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo numero real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad por lo que tenemos entonces que:

Distribución de probabilidad continua

Distribución de probabilidad discontinuaUna distribución de probabilidades para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria tal que una probabilidad específica de ocurrencia se asocia con cada resultado. El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.P (Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X

La varianza de una variable aleatoria discreta (s 2) se define como el promedio ponderado de los cuadros de las diferencias entre cada resultado posible y su media (los pesos son las probabilidades de los resultados posibles).