Programación Dinámica Probabilística (PDP).

Programación Dinámica Probabilística (PDP).• La PDP Se caracteriza porque el valor

asociado a los arcos es un valor probable, y por lo tanto el valor de las rutas posibles desde el estado inicial hasta el estado final tiene un valor asociado a la probabilidad de ocurrencia de ella. Estando en un estado s cualquiera en cualquiera de las etapas del problema, los arcos que de ese estado s salen tienen una probabilidad de ocurrencia, que puede ser igual para todos o tener valores diferentes.

• En este tipo de problemas de la PDP se distinguen: -estados, -etapas, -estado inicial, -estado final -valor al horizonte, -función objetivo, -política óptima, -arcos, -valor asociado a los arcos (estos son probables y no determinísticos), -óptimo, -solución óptima, -ruta óptima.

• Presentemos otros conceptos asociados a estos problemas de PDP mediante un ejemplo y su solución asociada.

Ejemplo 1. (PDP)• Una empresa ha recibido el encargo de construir

un artículo, que, por las características exigidas por el cliente deberá pasar controles de calidad altos. Esto hace que la empresa estime que la probabilidad de que un artículo producido salga bueno es 2/3 (66,6667%) y de 1/3 (33,3333%) que salga malo sin posibilidad de recuperarlo o arreglarlo. El plazo que tiene la empresa para obtener al menos un artículo bueno es de 3 días, y la producción del artículo implica ocupar el día en hacer andar la línea de producción, fabricarlos y finalmente ver si salieron buenos; por lo que la empresa tiene 3 intentos de fabricación para obtener el artículo bueno.

• Por contrato con el cliente se acuerda que si la empresa no obtiene el artículo bueno en los 3 días, en los 3 intentos, la empresa deberá pagar una multa de $200 al cliente por indemnización o perdida de tiempo.

• También la empresa sabe que cada día que decide elaborar ese producto incurre en un costo fijo de $20 por iniciar toda la línea de producción ese día , y tiene un costo de $5 por cada unidad que decida fabricar.

• Se pide encontrar la política óptima a seguir por la empresa en cuanto a la producción de este artículo, para hacer mínimo el costo total de producción y obtener al menos un artículo de buena calidad, según lo exigido.

El Modelo y sus partes• Las etapas. En este problema estarán asociadas

a los dias de producción. Por lo que el problema tiene 3 etapas. La Etapa 1 es el proceso de decidir si produce o no produce el día 1; y si decide producir, cuántas unidades producir. De manera similar se entienden las etapas 2 y 3.

• Los estados: En este problema se pueden distinguir 2 estados posibles dentro de cada etapa, y son: "la cantidad de artículos buenos que se tiene la obligación de obtener en esa etapa". Se indicarán por 0 y 1. Por lo que el estado inicial es 1 y los estados finales posibles son 0 y 1.

• Es decir, el estado:• 0 : indica que en esa etapa no

se tiene la necesidad obligada de obtener un artículo bueno.

• 1 : indica que en esta etapa sí se tiene la necesidad obligada de obtener un artículo bueno.

• Las variables de decisión : Son las decisiones que cada día deberá tomarse, y son: la cantidad de artículos que se deberá fabricar ese día. Por lo que son 3 variables de decisión: x1, x2, x3, donde: x1 es la cantidad de artículos a fabricar el día 1, x2 es la cantidad de artículos a fabricar el día 2, y x3 es la cantidad de artículos a fabricar el día 3.

• Es claro que si un día tiene el estado 0, fabricará 0 artículos, y ese día tendrá un costo de $0. Si un día tiene el estado 1, deberá fabricar algunos artículos (si es lo más conveniente), e incurrirá en un costo de $5 por unidad más $200 fijos.

• El costo de producción de cada día esta dado por:

200 ; si xi > 0

Costo por dia: = 5xi + K(xi)

; Donde K(xi) = <

0 ; si xi = 0

• Para cada artículo que se produzca la probabilidad de que salga bueno es 2/3, y que salga malo es 1/3 (datos del problema).

• Por lo que, si produce 2 artículos la probabilidad de que los 2 salgan malos es: (1/3)*(1/3) = (1/3)2. Si decide producir 3 artículos, la probabilidad de que los 3 salgan malos es de (1/3)3 , asi también se tendrá que si fabrica 4 es (1/3)4 = 0,0123 la probabilidad de que los 4 salgan malos. Generalizando, si se decide fabricar xi artículos, entonces la probabilidad de que todos salgan malos es: (1/3) xi.

Probabilidades de cada uno de los casos finales, si se decide producir 3 artículos.Los 3 malos tiene probabilidad de ocurrencia de: (1/3)3.y para xi artículos a fabricar la Probab. será de: (1/3)xi de que todos salgan malos.

• La función objetivo, para cualquiera de las etapas contendrá lo que representa el costo de esa etapa más el costo probable de la etapa siguiente si todos hubiesen salido malos, y más el costo probable de la etapa siguiente si no todos hubiesen salidos malos (al menos uno salió bueno). Y en la etapa n-ésima tendremos el estado 0 y el estado 1. Tomenos el estado 1 para f.

donde: • K(xn ) es el costo de producción fijo de $0 o

de $200, según ese día produzca artículos o no.

• 5*xn : representa el costo de $5 por unidad que se decida producir.

• (1/3)xn : representa la probabilidad de que los xn artículos salgan malos.

• fn+1(1) : es el costo que se tendrá en la etapa siguiente, si se llega a ella con la obligación de obtener un artículo bueno. Este valor es: f *n+1(1).

• (1/3)xnfn+1(1) : es el costo probable desde la etapa siguiente en adelante, si todos los de esta etapa salen malos.

• (1- (1/3)xn) : es la probabilidad de que no todos los xn artículos salgan malos; alguno sale bueno.

• fn+1(0) : es el costo en que se incurrirá desde la etapa siguiente, si se llega a ella al estado 0, es decir sin la necesidad de producir un artículo bueno, porque ya se obtuvo. Es f *n+1(0)

• (1-(1/3)xn)fn+1(0) : es el costo probable desde la etapa siguiente, si en esta etapa sale alguno de los artículos bueno.

• En el problema aquí dado, se tiene que f *n+1( 0 ) es cero, porque es cero el costo más bajo si no se tiene la obligación de producir un artículo bueno, en cualquiera de las etapas. La etapa 1 tiene como estado inicial: 1; es decir, en la etapa 1 se tiene la obligatoriedad de obtener un artículo bueno.

• Los cálculos: 

n=3, • f3(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)0*200 = 200 • f3(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)1*200 =

91.666 • f3(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)2*200 =

52.222 • f3(1,3) = 20 + 5*1 + (1/3)3*200 =

42.407• f3(1,4) = 20 + 5*1 + (1/3)4*200 =

42.469• f3(1,5) = 20 + 5*1 + (1/3)5*200 = 45.82

• (Se calcula hasta que, para valores de x3, la f.o. empiece a aumentar de valor, luego de haber ido descendiendo. En este caso nos interesa el menor valor de la f.o.).

s \ x3 0 1 2 3 4 5 f *3 x*3

0 0 -- -- -- -- -- 0 0

1 =200 =

91.666

=52.222 =42.40

7

=42.46

9

=45.82 42.407 3

n=2, • f2(1,0) = 0 + 5*0 +

(1/3)0*42.407 = 42.407• f2(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)1*42.407

= 39.1356• f2(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)2*42.407

= 34.7119• f2(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)3*42.407

= 36.5706• f2(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)4*42.407

= 40.5235

s \

x2

0 1 2 3 4 f *2 x*2

0 0 -- -- -- -- 0 0

1 42.40

7

39.14 34.71 36.57 40.52 34.711

9

2

n=1, f1(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)0*34.7119 = 34.7119f1(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)1*34.7119 = 36.5706f1(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)2*34.7119 = 33.8568f1(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)3*34.7119 = 36.2856f1(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)4*34.7119 = 40.4285

s \

x2

0 1 2 3 4 f *1 x*1

1 34.71 36.57 33.857 36.29 40.43 33.

857

2

Respuesta: Costo Mínimo Probable: 33. 857 Solución óptima: x1 = 2 , x2 = 2 , x3 = 3

El costo mínimo probable para obtener al menos un producto bueno es de $ 33. 857; y el día 1 se debe producir 2, y si los 2 salen malos el día 2 se deben producir 2, y si salen malos el día 3 se deben producir 3.

• Con más detalles, la política óptima, y costos, en cuanto al lote de producción es:

• - Que el día 1 fabrique 2 artículos, y si al menos uno de ellos sale bueno, el día 2 y día 3 no fabrica, y tiene un costo total de $20 + $5*2 = $30.

• - Si todos los artículos del día 1 salen malos, entonces el día 2 se deben fabricar 2 nuevos arículos. Si al menos uno de ellos sale bueno, el día 3 no fabricar, y tiene un costo total de $60. ($30 el dia 1 más $30 el día 2).

• - Si todos los artículos del día 2 salen malos, entonces el día 3 se deben fabricar 3 artículos más. Si todos los del día 3 salen malos, tendrá un costo total de $295. ($30 el dia 1 + $30 el día 2 + $35 el dia 3 + $200 de multa). Si al menos uno del día 3 sale bueno, tendrá un costo total de $95, dado por $30 el día 1 + $30 el día 2 + $35 el día 3.

Otras preguntas: *) ¿Cuál es el costo total en los 3 días?. • No se sabe de ese costo a priori, y no se sabe

cual será en cada ocasión que se deba fabricar uno de estos artículos, porque no se sabe si se obtendrá el día 1 con un costo de $30, o el día 2 con un costo de $60, o el día 3 con un costo de $95, o bien deberá pagar la multa de $200 con un costo de $295. El costo del día 1 es seguro, los demás son costos probables.

• *) ¿De que modo se puede obtener un costo total mínimo de $33. 857 ?.

• En este caso, de ninguna manera se tendrá en alguna ocasión un costo de $33. 857. Según lo ya indicado, el dia 1 hay un costo de $30, si debe fabricar el día 2 el costo es de $60, y si fabrica el día 3, el costo es de $95, y si todos salen malos, tiene un costo total con multa de $295.

• *)Tomando en cuenta los resultados y valores de los costos ya indicados, ¿cuál debiese ser el mínimo valor al que convendría vender ese artículo de calidad exigente?.

• El costo mínimo probable de $33. 857 es aquel costo al que se tenderá, si se tiene muchos pedidos de este artículos, y cada vez se toma la política de producción que ya se indicó (x1=2, x2=2, x3=3). Como el día 1 tiene un costo de $30, (cerca de $33.857), se puede concluir que casi siempre, (en el 88,89% porque: 1 - (1/3)*(1/3) = 0,888 ) el artículo bueno se obtiene el primer día, lográndolo con un costo de $30. En muy pocas ocasiones pasa al día 2 con un costo de $60. (11,11%), y casi nunca pasará al día 3. ( (1/3)^4 = 0,0123; el 1,2 % ). Muy rara vez pagará la multa y tendrá un costo de $295, ( (1/3)^7 = 0,00045724737082 ; un 0,045% ).

• Por lo que el piso para el precio de venta que se debe considerar es de $ 33.857, que es el costo al que tenderá si se tiene muchos pedidos de este tipo.