Estadística inferencial 1

Roberto Castro Z

1

Estadística Inferencial

• Distribución de Probabilidad Normal• Distribución Normal• Distribución Normal Estándar• Cálculo de Probabilidades con la Distribución Normal Estándar

• Estimación Puntual• Teorema del Límite Central• Distribuciones t• Estimación por Intervalos (Intervalos de Confianza)• Prueba de Hipótesis

• Hipótesis para un promedio• Hipótesis para una proporción• Hipótesis para dos promedios• Hipótesis para dos proporciones• Hipótesis para dos promedios muestras pareadas

• Prueba Chi-Cuadrado• Análisis de Variancia

Roberto Castro Z

2

2

3

6

9

10

9

6

3

2

17-20 21-24 25-28 29-32 33-36 37-40 41-44 45-48 49-52

Estadístico EdadPromedio: 34,52Desv.Est.: 8,20

3 4 5 2.

Ejemplo: Distribución de Frecuencias de las Edades de 50 personas

Distribución de Probabilidad Normal

Roberto Castro Z

3

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie: tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... Caracteres fisiológicos: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicológicos: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales: la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales,

f x e

x

( )

1

2

2

22

media

desv est

p i

e base na t

. .

. . . .

lo g .

3 1 4 1 5

2 7 1 8 2

Función de Densidad de la Distribución

Normal


Roberto Castro Z

4

,1

2

Punto

Máximo

Puntos de Inflexión

Eje de Simetría

Características de la Distribución Normal


Roberto Castro Z

5

Distribución Normal Estándar

Cualquier variable, si se transforma a otra variable restando a todas sus observaciones la media aritmética y dividiendo por la desviación estándar, produce una nueva variable cuyo promedio es 0 y su desviación estándar es 1 ( )2 4

21

x z2 -1,04 0,06 1,0

Promedio: 4,00 0,00Desv. Est.: 2,00 1,00

( )6 4

21

zx

( )

Roberto Castro Z

6

2

3

6

9

10

9

6

3

2

-2,25--1,75 -1,75--1,25 -1,25--0,75 -0,75--0,25 -0,25-0,25 0,25-0,75 0,75-1,25 1,25-1,75 1,75-2,25

2

3

6

9

10

9

6

3

2

17-20 21-24 25-28 29-32 33-36 37-40 41-44 45-48 49-52


0

Ejemplo: Distribución de Frecuencias de las Edades de 50 personas

Roberto Castro Z

7

f z ez

( ) 1

2

2

2

zx

Función de Densidad de la Distribución Normal Estándar

01

20 0 3 9 9, , . . . .

Punto Máximo

Puntos de Inflexión

1 1 0

Eje de Simetría = Eje Y

z

z

0

1


Roberto Castro Z

8

3 4 3

7 7

2 2 7 7 1 5 5

2 3 4 3 1 5 5 1 8 8

2 3 4 3 1 5 5 4 9 8

.

.

( )( . ) .

. .

. .

Probabilidades con la Distribución Normal Estándar

Cerca de 2 personas: aproximadamente el 5% de las personas es menor a 18.8 años o mayor a 49.8 años, y cerca del 95% de las personas tiene edades entre 18.8 y 49.8 años.

2

3

6

9

10

9

6

3

2

17-20 21-24 25-28 29-32 33-36 37-40 41-44 45-48 49-52

1 8 8. 4 9 8.

Apróx. 1 Persona Apróx. 1 Persona

9 5 %

2 5 %.2 5 %.

Ejemplo: En la Distribución de Frecuencias de las Edades de 50 personas, al promedio le restamos 2 desviaciones estándar y también le sumamos dos desviaciones estándar:

Roberto Castro Z

9

2 2 1 9 6 .

Cálculo de Probabilidades con la Distribución Normal Estándar

2 2 1 9 6 .

9 5 %2 5 %.2 5 %.

2 3 3. 2 3 3.

9 9 %0 5 %.0 5 %.

Roberto Castro Z

10


1 9 6.

9 7 5 %. 2 5 %.

2 3 3.

1 % 9 9 %

=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,975)

Cálculo en Excel

Roberto Castro Z

11


Cálculo en Minitab

Inverse Cumulative Distribution Function

Normal with mean = 0 and standard deviation = 1,0

P( X <= x ) x 0,9750 1,9600

9 7 5 %, 2 5 %.

Roberto Castro Z

12

Lecturas:

Mason & Lind: pág 304 a 321

Ejercicios:

Mason & Lind:

Página Ejercicios

321 12


Roberto Castro Z

13

Estimación Puntual

1 2 3 4

2,50

1,12

Elementos de la Población

Promedio de la Población:

Desviación Estándar de la

Número de la Muestra

Promedio de cada Muestra

1 1 2 1,52 2 1 1,53 1 3 2,04 3 1 2,05 1 4 2,56 4 1 2,57 2 3 2,58 3 2 2,59 2 4 3,0

10 4 2 3,011 4 3 3,512 3 4 3,5

Elementos en cada Muestra

X 1 X 2

X 1 2

2,50

0,645

Promedio de las 12 Muestras:

Desviación Estándar de las 12 Muestras:

X

X

Una Población está compuesta de 4 valores: 1,2,3,4. El Promedio

de esta Población es 2,5 y la Desviación Estándar es 1,12

Si extraemos las 12 posibles muestras (todas las posibles muestras),

podemos calcular el promedio de cada muestra:

Como se obtienen 12 muestras, podemos calcular 12 promedios y también podemos calcular el promedio de esos 12 promedios, y la desviación estándar de esas 12 muestras:

Roberto Castro Z

14

X n

N n

N

2

2

1

X

2

3

1,414

0,791

0,667

0,816

0,645

N n

N

1

N n

N 1

N n

N

1

2

n2

n2

n

N n

N22

1

1,12Desviación Estándar de la

0,645Desviación Estándar de las 12

Muestras:

X

Estimación Puntual

Observemos que el Promedio de los Promedios de las 12 muestras es igual al Promedio de la Población: 2,5.

Sin embargo la Desviación Estándar de las 12 muestras no es igual a la Desviación Estándar de la Población ( 0,645 y 1,12).

Observemos que si utilizamos la Desviación Dstándar de la Población, mediante una fórmula que involucra el tamaño de Población y el tamaño de las muestras (2 de 4), si obtenemos la Desviación Estándar de las 12 muestras:

Roberto Castro Z

15

Insesgado: si el promedio del estimador es igual al parámetro que se va a estimar.

Eficiente: si hay dos o más estimadores para el mismo parámetro, el más eficiente es el que tiene menor variancia.

Consistente: si se calcula el estimador para dos o más muestras, conforme el tamaño de la muestra se incrementa, la aproximación es mejor.

Suficiente: si hay más de un estimador, suficiente es el que utiliza la mayor cantidad de datos de la muestra.

Características de un buen estimador

Estimación Puntual

Roberto Castro Z

16

Un estimador puntual es un número que se utiliza para aproximar el valor de la población. Los Estimadores Puntuales para variables cuantitativas son:

Estos son estimadores insesgados, eficientes, consistentes y suficientes

xx

n

sx x

n

ii

n

ii

n

1

2

1

1

( )

Estimación Puntual

Roberto Castro Z

17

P px

n

Los Estimadores Puntuales para Proporciones (en variables cualitativas) son:

En dónde x son los elementos de la muestra de tamaño n que cumplen con la característica de estudio. Por ejemplo, x=20 mujeres de n=50 personas en una muestra p=0.4 ( o 40% )

s pq

q pn x

n

1Aquí:

En la Población la Proporción y su Desviación Estándar se calculan:

PX

n

PQ

Q PN X

N

1

Estimación Puntual

Roberto Castro Z

18

Estimación por Intervalo: Nivel de Confianza

Nivel de Confianza (1-)

12

2

95.01 025.02

025.02

05.0

Nivel de Confianza (95%)

Roberto Castro Z

19

Nivel de Confianza (1-)

96.1975.0 z

975.021

96.1025.0 z

025.02

Estimación por Intervalo: Nivel de Confianza

Roberto Castro Z

20

Distribución t (t-student)

La distribución t-student tiene promedio 0 y su desviación estándar depende del tamaño de la muestra pero conforme aumenta n la desviación estándar se acerca a 1. De igual forma al aumentar n, la distribución t-student tiende a ser similar a la distribución normal estándar.

Para cada valor de n (tamaño de muestra), existe una distribución t-student conocida como distribución t con n-1 grados de libertad.

La Distribución t-student (o simplemente t) es muy utilizada en estadística inferencial.

Intervalos de Confianza

Roberto Castro Z

21

Distribución t

1 9 8.

9 5 % 2 5 %.2 5 %.

1 9 8.

=DISTR.T.INV( 0,05 ; 100 )

Probabilidad (2 colas) Grados de Libertad

Cálculo en Excel

Roberto Castro Z

22

Distribución t

Cálculo en Minitab

9 7 5 %, 2 5 %.

Inverse Cumulative Distribution Function

Student's t distribution with 100 DF

P( X <= x ) x 0,9750 1,9840

Roberto Castro Z

23

Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población que tiene media y variancia 2 , entonces:

Teorema del Límite Central

1

_

N

nN

n

xz

es el valor de una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad se aproxima a la distribución normal estándar cuando n tiende a infinito:

Este teorema nos permite utilizar la distribución normal estándar en cualquier caso siempre y cuando el tamaño de muestra sea “suficientemente grande”. En muchos

textos se considera que si el tamaño de muestra es superior a 30, se puede aplicar la distribución normal estándar.

Roberto Castro Z

24

Si x es la media de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población normal que tiene media y variancia 2 , entonces:

1

_

)1(

NnN

n

s

xt n

es el valor de una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es la distribución t-student con parámetro n-1 (grados de libertad)

Teorema Distribución t

Este resultado nos permite utilizar la distribución t cuando no se conoce el valor (variancia de la población), y se utiliza s como su estimación puntual. Es válido siempre

y cuando la distribución de la variable original sea aproximadamente normal.

Para muestras grandes (n≥30) debido a que la distribución t y la distribución normal son muy cercanas, el requisito de normalidad no es necesario para utilizar la

distribución t.

Roberto Castro Z

25

Intervalo de confianza para al (1-)100%

11 212

N

nN

n

pqzpP

N

nN

n

pqzp

121

N

nN

n

pqzp

Intervalo de confianza para P al (1-)100%


11 21;1

_

21;1

_

N

nN

n

stx

N

nN

n

stx nn

121;1

_

N

nN

n

stx n

Roberto Castro Z

26


ss

nt

s

n

N n

N

1

21

] [

111

21

2

t ts

n

N n

N

] [

ns

nt

s

n

N n

N

1

21 ]

[

m

Si la Desviación Estándar “aumenta” el intervalo se hace

más “ancho”

Si la confianza “aumenta” el intervalo se hace más “ancho”

Si el tamaño de muestra “aumenta” el intervalo se hace

más “angosto”

Como se afecta el Intervalo al variar la Desviación Estándar, la Confianza y el Tamaños de Muestra


Roberto Castro Z

27

8,000 950

12,000 ± 1,677 * ———— * ————

50 999

8,000

12,000 ± 1,677 * ———— * 0,951

7,071068

12,000 ± 1,677 * 1,131 * 0,975

12,000 ± 1,850

Tamaño n = 50

Promedio = 12

Desviación Estándar s = 8

Confianza 1- = 0,900

Tamaño N = 1000

Población

Muestra

_

x

4,000 950

12,000 ± 1,677 * ———— * ————

50 999

4,000

12,000 ± 1,677 * ———— * 0,951

7,071068

12,000 ± 1,677 * 0,566 * 0,975

12,000 ± 0,925


Si la Desviación Estándar “aumenta” el intervalo se hace más “ancho”

Como se afecta el Intervalo al variar la Desviación Estándar

9,9 10,0 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5 13,6 13,7 13,8 13,9 14,0


Tamaño n = 50

Promedio = 12



Tamaño N = 1000

Población

Muestra

_

x

11,08 12,9210,15 13,85

121;1

_

N

nN

n

stx n

Roberto Castro Z

28

Tamaño n = 50

Promedio = 12



Tamaño N = 1000

Población

Muestra

_

x


Si la Confianza “aumenta” el intervalo se hace más “ancho”

Como se afecta el Intervalo al variar la Confianza

10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5


11,08 12,92

4,000 950

12,000 ± 1,677 * ———— * ————

50 999

4,000

12,000 ± 1,677 * ———— * 0,951

7,071068

12,000 ± 1,677 * 0,566 * 0,975

12,000 ± 0,925

Tamaño n = 50

Promedio = 12



Tamaño N = 1000

Población

Muestra

_

x

4,000 950

12,000 ± 2,680 * ———— * ————

50 999

4,000

12,000 ± 2,680 * ———— * 0,951

7,071068

12,000 ± 2,680 * 0,566 * 0,975

12,000 ± 1,478

10,52 13,48

121;1

_

N

nN

n

stx n

Roberto Castro Z

29

Tamaño n = 50

Promedio = 12



Tamaño N = 1000

Población

Muestra

_

x


Si el Tamaño de Muestra “aumenta” el intervalo se hace más “angosto”

Como se afecta el Intervalo al variar el Tamaño de Muestra

11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 13,0


Tamaño n = 200

Promedio = 12



Tamaño N = 1000

Población

Muestra

_

x

11,08 12,92

4,000 950

12,000 ± 1,677 * ———— * ————

50 999

4,000

12,000 ± 1,677 * ———— * 0,951

7,071068

12,000 ± 1,677 * 0,566 * 0,975

12,000 ± 0,925

4,000 800

12,000 ± 2,576 * ———— * ————

200 999

4,000

12,000 ± 2,576 * ———— * 0,801

14,14214

12,000 ± 2,576 * 0,283 * 0,895

12,000 ± 0,652

11,35 12,65

121;1

_

N

nN

n

stx n

Roberto Castro Z

30

Distribución tPromedio 316

Desviación Estándar 243,91Muestra 40

Nivel de Confianza 95%Alfa 5%

Grados Libertad 39t 2,023

E 78,0Límite Inferior 237,99

Límite Superior 394,01


Cálculo en Excel

404 87 703 96874 234 125 712

234 68 350 503149 489 440 498279 57 37 327215 185 252 608123 141 27 35855 758 521 42543 72 302 303

321 863 127 203

Distribución NormalPromedio 316

Desviación Estándar 243,91Muestra 40

Nivel de Confianza 95%Alfa 5%

E 75,59Límite Inferior 240,41

Límite Superior 391,59

=+PROMEDIO(B$4:B$43)=+DESVEST(B$4:B$43)=+CONTAR(B$4:B$43)0,95=(1-H7)=+H6-1=DISTR.T.INV(H8;H9)=+(H5/RAIZ(H6))*H10=+H4-H11=+H4+H12

=+PROMEDIO(B$4:B$43)=+DESVEST(B$4:B$43)=+CONTAR(B$4:B$43)0,95=(1-E7)=INTERVALO.CONFIANZA(E8;E5;E6)=+E4-E9=+E4+E9

Ejemplo

Roberto Castro Z

31


One-Sample T: Saldos

Variable N Mean StDev SE Mean 95,0% CI Saldos 40 316,0 243,9 38,6 ( 238,0. 394,0)

Cálculo en Minitab

Stat / Basic Statistics / 1-Sample t

Ejemplo

Roberto Castro Z

32

El error de estimación es la diferencia entre el promedio de la muestra y el verdadero promedio de la población:

1)1,21(

N

nN

n

stE

n

proporciónunaparaPp

promediounparax

Error de Estimación

El error de estimación no se puede conocer porque precisamente se está tratando de estimar μ o P. Sin embargo es posible limitar su valor por medio de las probabilidades.

Para calcular el límite máximo del error de estimación para un promedio μ o una proporción P, con un nivel de confianza 1- α establecido, utilizamos:

En dónde s es la desviación estándar de la muestra, p la proporción de la muestra (q=1-p), n el tamaño de la muestra, N el tamaño de la población, 1- α el nivel de confianza.

E se conoce como el Error Máximo de Estimación con una confianza de 1- α

121

N

nN

n

pqzE

Para un Promedio μ :

Para una Proporción P :

Roberto Castro Z

33

Tamaño de Muestra

2

21

E

zPQn

Donde:

E es el límite máximo para el error permitido. 1-α es la probabilidad de que el error no supere E. P es una aproximación la proporción de la población.

Si se desea estimar el tamaño de muestra para estimar una proporción P, se utiliza:

2

21)5.0)(5.0(

E

zn

Si no se tiene idea del valor de P, se puede utilizar P=0.5, este valor genera el tamaño de muestra más grande:

Para una proporción

Roberto Castro Z

34

Para un promedio

2

2

21

E

zn

Donde:

E es el límite máximo para el error permitido.

1-a es la probabilidad de que el error no supere E.

s es una aproximación la variancia de la población.

Tamaño de Muestra

Roberto Castro Z

35

Lecturas:

Mason & Lind: pág 374 a 394

Ejercicios:

Mason & Lind:

Página Ejercicios

396 32, 34

403 65, 66

Medidas de Variabilidad

Roberto Castro Z

36

Prueba de Hipótesis

• Hipótesis estadística y tipos de hipótesis• Nivel de significancia• Tipos de errores• Estadísticos para las pruebas • Reglas de decisión• Planteo de la hipótesis• Pasos para realizar la prueba de hipótesis

Roberto Castro Z

37


Un Parámetro es un valor que se calcula utilizando todos los valores de la Población

Por lo general se denotan con letras griegas o mayúsculas

Los Parámetros en muchas ocasiones son valores desconocidos ya que no tenemos todos los componentes de la población

Roberto Castro Z

38

Como los parámetros son valores desconocidos, podemos plantear hipótesis sobre su valor real, y mediante un mecanismo científico, realizar una comprobación de esta hipótesis (demostrar si es verdadera o falsa)

Ejemplos de hipótesis:

- La proporción de personas contagiadas de alguna enfermedad es 8%.

El ingreso mensual promedio de las familias de un barrio marginal es 55000 colones.

El tiempo promedio de capacitación de un software es de 18 horas.


Roberto Castro Z

39

Dado que los valores completos de la población son desconocidos (y el valor del parámetro también es desconocido), la forma de realizar una prueba y verificar la validez o no de una hipótesis, es tomando una muestra y calculando el estadístico correspondiente (estadístico: medición que se calcula con los valores de la muestra).

Si el valor de la muestra es suficientemente cercano al valor hipotético en la población decimos que la hipótesis es cierta.

De lo contrario, si el valor de la muestra es suficientemente lejano al valor supuesto en la población decimos que la hipótesis es falsa.


Roberto Castro Z

40


Hipótesis simple

Es una hipótesis en la que el parámetro queda especificado por completo, o sea solo puede tomar un único valor.

• El promedio de edad de un grupo de estudiantes universitarios es 25 años: μ= 25.

• La proporción de trabajadores de una empresa que sufren de estrés es 35%: P = 0.35

Hipótesis compuesta

Es una hipótesis en la que el parámetro puede tomar más de un valor.

• El promedio de gastos mensuales en medicamentos por familia en San José es

superior a 5000 colones: μ > 5000.

• La proporción de adultos que votaran en las próximas elecciones es superior al 70%:

P > 0.7

• La proporción de personas que llaman a la sección de servicio al cliente de una empresa vendedora de computadoras es inferior al 6%: P < 0.06

Roberto Castro Z

41

Hipótesis Nula

Es una hipótesis que se plantea para ser rechazada o no. A la hipótesis nula se le considera cierta hasta tanto no encontremos evidencia para rechazarla.

La hipótesis nula siempre es una hipótesis simple.

7.0:

30:

0

0

PH

H

Ejemplo

El fabricante de un software asegura que con un nuevo manual no más del 10% de los compradores llamará haciendo solicitudes de servicio (El valor límite para la proporción es 10%).

P es la proporción de todos los compradores que llaman a solicitar servicio (La afirmación se aplica a todos los compradores: la población completa)

1.0:0 PH


Roberto Castro Z

42

Hipótesis alternativa

Siempre se formula un hipótesis nula y una hipótesis alternativa apropiada; ésta última es la que aceptamos como cierta cuando la hipótesis nula es rechazada.

La hipótesis alternativa siempre es una hipótesis compuesta (unilateral o bilateral).

7.0:30: 11 PHH

Ejemplo

El fabricante de un software asegura que con un nuevo manual no más del 10% de los compradores llamará haciendo solicitudes de servicio (El valor límite para la proporción es 10%).

1.0:1 PH


Roberto Castro Z

43

Cuando la hipótesis alternativa es una hipótesis unilateral se dice que es de una cola.

Si es bilateral se dice que es de dos colas.


Prueba de Hipótesis de DOS COLAS

Prueba de Hipótesis de UNA COLA

Roberto Castro Z

44


Decisión Correcta

Error Tipo I

Error Tipo II

Decisión Correcta

Se Acepta

Se Rechaza

H0

Verdadera

Falsa

H0

Posibles errores al tomar la decisión

Si el procedimiento de prueba lleva al Rechazo de H0 pero en la Realidad la hipótesis es verdadera, se comete un error, este error se llama Error Tipo I

Procedimiento de Prueba

Realidad

Si mediante el procedimiento de prueba se Acepta H0 pero en la Realidad la hipótesis es falsa, se comete un error, este error se llama Error Tipo II

Roberto Castro Z

45

Ejemplo

Un fabricante de software afirma que la proporción de personas que llamará solicitando servicio se su producto no supera el 10%. Pero un distribuidor mayorista del software sospecha que esta proporción es mayor a lo que el fabricante afirma.

El distribuidor quiere determinar si la afirmación del fabricante es incorrecta (se quiere demostrar que la afirmación del distribuidor es la correcta)

1.0:

1.0:

1

0

PH

PH


Roberto Castro Z

46

Ejemplo

Para verificar si la afirmación del fabricante es cierta, se toman los primeros 100 compradores del software y se controla si llaman solicitando servicio durante el siguiente mes luego de la compra.

La proporción de personas llamaron en esa muestra es de 13%, o sea p=0.13.

¿Podríamos considerar que 0.13 es muy cercano a 0.10 y que la diferencia se debe al azar? Entonces: ¿Podemos concluir que la afirmación del fabricante es cierta?O sea, no rechazamos H0

¿O podemos considerar que 0.13 y 0.10 son muy lejanos y que hay “suficiente evidencia” para concluir que la proporción de llamadas es superior al 10%? Entonces: ¿Podemos rechazar H0


Roberto Castro Z

47

Nivel de Significancia

Cuando consideramos que la diferencia entre el parámetro y el valor en la muestra es mayor que lo que puede atribuirse al azar, decimos que la diferencia es significativa.

Cuando la diferencia es significativa rechazamos la hipótesis nula y aceptamos como válida la hipótesis alternativa. De lo contrario se mantiene como cierta la hipótesis nula.

El nivel de significancia es la probabilidad de cometer el error tipo I () . Como es una probabilidad se le dan valores porcentuales entre 0 y 100.

Los valores más comunes son 0.01 (1%) , 0.05 (5%) y 0.1 (10%).

Un nivel de significancia del 1%, (= 0.01) indica que existe un 1% de probabilidad de cometer el error de rechazar H0 cuando es realmente cierta (Error Tipo I).

En otras palabras, si se realizara 100 veces el proceso, cometeríamos 1 vez el error de rechazar la hipótesis nula cuando realmente es cierta.


Roberto Castro Z

48

¿Como se determina ?

Si se esta probando un nuevo medicamento contra una enfermedad. Y suponemos que las normas dicen que el medicamento se comercializa si por lo menos el 60% de las personas que lo prueban sanan. La hipótesis es:

H0 : P = 0.6 H1 : P < 0.6

¿ Utilizamos: =0.1 o =0.01 ?


Con =0.1, la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta es 10% O sea, que si se extrajeran 100 muestra, en 10 de éstas podríamos concluir que el porcentaje de personas que sanan es menor al 60% cuando en realidad es el 60% (o más)

Al usar =0.1, podríamos rechazar la comercialización del producto cuando este realmente funciona un 10% de las veces.

Roberto Castro Z

49

Si usamos =0.01, la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta es de un 1% O sea, que en 1 de cada 100 muestras posibles podríamos concluir que el porcentaje de personas que sanan es menor al 60% cuando en realidad es el 60% (o más)

Al usar =0.01, rechazaríamos la comercialización del producto cuando realmente funciona solamente en 1% de las veces.

En este caso es mejor utilizar =0.01 en lugar de =0.1, ya que el rechazo de comercialización de un medicamento que cumple las normas es un error serio, por ello la probabilidad de cometer el error tipo I debe ser pequeña.

En algunos casos el a puede ser superior (10%, 15%, e incluso más del 15%).


Roberto Castro Z

50

Estadístico para realizar la prueba de hipótesis

Para determinar si la diferencia entre el estimador y el parámetro es significativa se utiliza un estadístico zc o tc. Este se compara con un valor en la distribución normal o la distribución t-student de acuerdo con el nivel de significancia establecido.

01

00

:

:

H

H

1

0

_

N

nN

n

xzc

s conocido

Estadístico de prueba


Roberto Castro Z

51

zzc

01

00

:

:

H

H

Prueba de cola izquierda

Rechazar Ho si

Tradicional Software

Método


Regla de Decisión

Valor P <

Roberto Castro Z

52

Prueba de cola derecha

Rechazar Ho si


Método


1zzc

01

00

:

:

H

H

Regla de Decisión

Valor P <

Roberto Castro Z

53

Prueba de dos colas

Rechazar Ho si

Valor P <


Método


2

21

:

zz

sio

zz

c

c

01

00

:

:

H

H

Regla de Decisión

Roberto Castro Z

54

404 87 703 96874 234 125 712

234 68 350 503149 489 440 498279 57 37 327215 185 252 608123 141 27 35855 758 521 42543 72 302 303

321 863 127 203

One-Sample Z: Var1

Test of mu = 310 vs mu not = 310The assumed sigma = 243,9

Variable N Mean StDev SE MeanVar1 40 316,0 243,9 38,6

Variable 95,0% CI Z PVar1 ( 240,4. 391,6) 0,16 0,876

310:

310:

1

0

H

H

1- = 0.95 → = 0.05 → 1-/2 = 0.025

Hipótesis:

Nivel de Significancia:

Regla de Decisión: i) Rechazar H0 si zc>1,96 o si zc<1,96ii) Rechazar H0 si Valor P < 0,05

Datos

Cálculo en MinitabCálculo en Excel

No se rechaza H0 ya que:Valor P > 0,05

En Excel cuando la prueba de hipótesis es de dos colas, el valor de la fórmula se debe multiplicar por 2 (Excel calcula siempre la prueba de una cola


Roberto Castro Z

55

Cálculo tradicional

Dado que zc = 0,156 < 1,96 , yzc = 0,156 > -1,96

Entonces no se rechaza H0


Roberto Castro Z

56


¿Cómo plantear una hipótesis?

Cuando se desea probar una afirmación, la negación de la afirmación se debe tomar como hipótesis nula (siempre una hipótesis simple =). Entonces, la afirmación es la hipótesis alternativa (siempre una hipótesis compuesta > < ≠)

Ejemplos:

Un tratamiento tradicional contra una enfermedad tiene una efectividad del 35%. Se desarrolló un nuevo tratamiento que se asegura es más efectivo que el anterior (efectivo en el 45% de los casos). Se afirma que el nuevo tratamiento es mejor que el tradicional.

Sea P: Proporción de personas que sanan de la enfermedad con el nuevo tratamiento.

35.0:

35.0:

1

0

PH

PH

Roberto Castro Z

57

Ejemplos:

En un gimnasio se sigue una rutina de ejercicios que junto a una dieta produce un descenso de 20 libras en 5 semanas. La rutina de ejercicios será sustituida por otra que se afirma disminuye 25 libras (o más). Se quiere demostrar que la nueva rutina de ejercicios es mejor que la anterior. Sea μ : promedio de disminución de peso en libras luego de 5 semanas de ejercicios junto con la dieta

20:

20:

1

0

H

H

En cierto país se sabe que la proporción de mujeres jóvenes que ingresan a los hospitales embarazadas sin saberlo es de 7%. Un nuevo hospital se construye para dar servicio a una zona con índices de pobreza altos. Se sospecha que en esta zona la proporción de mujeres jóvenes que ingresen embarazadas sin saberlo será mayor que en el resto de los hospitales.Sea P : proporción de mujeres jóvenes que ingresan embarazadas al nuevo hospital sin saberlo.

7.0:

7.0:

1

0

PH

PH


Roberto Castro Z

58

Pasos para hacer una prueba de hipótesis

Método tradicional

1. Plantear la hipótesis nula y la hipótesis alterna H0 y H1

2. Fijar el nivel de significancia () 3. Se determina el estadístico apropiado y se construye una regla de decisión.4. Cálculo del estadístico5. Decisión

Por Software

1. Plantear la hipótesis nula y la hipótesis alterna H0 y H1

2. Fijar el nivel de significancia () 3. Determinar en el software la Prueba Apropiada (o fórmulas apropiadas).4. Cálculo en el Software5. Decisión


Roberto Castro Z

59

Prueba de Hipótesis para Un Promedio

Estadístico de Prueba conocida

01

00

:

:

H

H

1

0

_

N

nN

n

xzc

Roberto Castro Z

60


Estadístico de Prueba desconocida

01

00

:

:

H

H

1

0

_

NnN

n

s

xtc

Roberto Castro Z

61

Hipótesis:

La Carolina Tobacco Company afirma que sus cigarrillos sin filtro más vendidos tienen como máximo 40 mg de nicotina. Se examinaron, de forma aleatoria, 10 cigarrillos de esta compañía. Usando un nivel de significancia del 1%, probar si la afirmación de la compañía es incorrecta.

Nivel de significancia: = 0,01

Regla de Decisión: Rechazar H0 si:

Valor P < 0,01


40:

40:

1

0

H

H

Ejemplo

Nicotina47,339,340,338,346,343,342,349,340,346,3

Roberto Castro Z

62


Calculo en Minitab

One-Sample T: Nicotina

Test of mu = 40 vs mu > 40

Variable N Mean StDev SE MeanNicotina 10 43,30 3,80 1,20

Variable 95,0% Lower Bound T PNicotina 41,10 2,75 0,011

Dado que Valor P = 0,011 y es mayor que =0,01, entonces NO se rechaza H0

→ μ=40

Ejemplo


Roberto Castro Z

63

Prueba de Hipótesis para Dos Promedios

Estadístico de Prueba 1 y 2 desconocidas

21

2121

222

211

212

_

1

_

1

)2(

)1()1(

)()(21 nn

nnnn

snsn

xxt nnc

0:

0:

21211

21210

H

H

kH

kH

211

210

:

:

Roberto Castro Z

64

Hipótesis:

Contenido de alquitrán en miligramos en cigarrillos con filtro y sin filtro. Se quiere probar con un 5% de nivel de significancia si los cigarrillos con filtro tienen menor contenido medio de alquitrán que los sin filtro.



Valor P < 0,01

Prueba de Hipótesis para Dos Promedios

Con Filtro Sin Filtro16 2315 2316 2414 2616 251 26

16 2118 24101412111413131316168

1611

CS

CS

H

H

:

:

1

0

Ejemplo

Roberto Castro Z

65

Prueba de Hipótesis para Dos Proporciones


Calculo en Minitab

Two-Sample T-Test and CI: Sin Filtro. Con Filtro

Two-sample T for Sin Filtro vs Con Filtro

N Mean StDev SE MeanSin Filt 8 24,00 1,69 0,60Con Filt 21 13,29 3,74 0,82

Difference = mu Sin Filtro - mu Con FiltroEstimate for difference: 10,7195% lower bound for difference: 8,99T-Test of difference = 0 (vs >): T-Value = 10,59 P-Value = 0,000 DF = 25

Dado que Valor P = 0,00 y es menor que =0,01, entonces SI se rechaza H0

→ μS>μC

Ejemplo

Roberto Castro Z

66


Calculo en Excel

Valor P 2,57E-08

Ejemplo

Roberto Castro Z

67

Estadístico de Prueba

01

00

:

:

PPH

PPH

n

QP

Ppzc

00

0

Prueba de Hipótesis para una Proporción

Roberto Castro Z

68

Prueba de Hipótesis para una Proporción

Hipótesis:

Los datos corresponden a 25 fumadores que siguieron una terapia para dejar de fumar con parches de nicotina, después de un año se verifica cuales dejaron de fumar (1) y cuales continúan fumando (0). Se desea demostrar que no hay diferencia en la proporción de fumadores que dejaron de fumar y los que no, luego de la terapia de parches de nicotina.

5,0:

5,0:

1

0

PH

PH



Valor P < 0,05

Individuo Resultado1 02 03 14 05 16 17 08 09 0

10 111 012 113 114 115 116 017 018 119 020 121 022 123 024 025 0

Ejemplo

Roberto Castro Z

69


Stat / Basic Statistics / 1 Proportion

Calculo en Minitab

Test and CI for One Proportion: Resutlado

Test of p = 0,5 vs p not = 0,5

Success = 1

ExactVariable X N Sample p 95,0% CI P-ValueResutlado 11 25 0,440000 (0,244024. 0,650718) 0,690

Dado que Valor P = 0,69 y es mucho mayor que =0,05, entonces NO se rechaza H0

→ P=50%

Ejemplo

Roberto Castro Z

70

Prueba de Hipótesis para dos Proporciones


0:

0:

21211

21210

PPPPH

PPPPH

21

2121

11)ˆ1(ˆ

)()(

nnpp

PPppzc

kPPH

kPPH

211

210

:

:

21

21ˆnn

xxp

Roberto Castro Z

71


Hipótesis:

Los datos corresponden a 20 mujeres y 30 hombres a los que en una encuesta se les pidió que dijeran si estaban de acuerdo (1) o en desacuerdo (0) con la afirmación: Definitivamente quiero estar casado (a). Se desea poner a prueba la hipótesis de que la proporción de hombres que contestó afirmativamente es igual a la proporción de mujeres que también contestó afirmativamente

MH

MH

PPH

PPH

:

:

1

0



Valor P < 0,05

Individuo Sexo Respuesta Individuo Sexo RespuestaA1 Mujer 0 B1 Hombres 0A2 Mujer 0 B2 Hombres 0A3 Mujer 1 B3 Hombres 0A4 Mujer 0 B4 Hombres 1A5 Mujer 0 B5 Hombres 1A6 Mujer 0 B6 Hombres 0A7 Mujer 0 B7 Hombres 0A8 Mujer 1 B8 Hombres 0A9 Mujer 0 B9 Hombres 1A10 Mujer 0 B10 Hombres 0A11 Mujer 0 B11 Hombres 0A12 Mujer 1 B12 Hombres 1A13 Mujer 1 B13 Hombres 0A14 Mujer 0 B14 Hombres 1A15 Mujer 0 B15 Hombres 0A16 Mujer 0 B16 Hombres 0A17 Mujer 0 B17 Hombres 1A18 Mujer 1 B18 Hombres 0A19 Mujer 0 B19 Hombres 0A20 Mujer 0 B20 Hombres 0

B21 Hombres 0B22 Hombres 1B23 Hombres 0B24 Hombres 0B25 Hombres 0B26 Hombres 1B27 Hombres 0B28 Hombres 0B29 Hombres 1B30 Hombres 0

Ejemplo

Roberto Castro Z

72


Stat / Basic Statistics / 2 Proportions

Calculo en Minitab

En Minitab los datos se organizan en una sola columna y se diferencian por la Variable Sexo

Test and CI for Two Proportions: Respuesta. Sexo

Success = 1

Sexo X N Sample pHombres 9 30 0,300000Mujer 5 20 0,250000

Estimate for p(Hombres) - p(Mujer): 0,0595% CI for p(Hombres) - p(Mujer): (-0,200806. 0,300806)Test for p(Hombres) - p(Mujer) = 0 (vs not = 0): Z = 0,39 P-Value = 0,696

Dado que Valor P = 0,696 y es mucho mayor que =0,05, entonces NO se rechaza H0 → PH=PM

Ejemplo

Roberto Castro Z

73

Prueba de Hipótesis para Dos Muestras Pareadas

n

DD

n

ii

1_

Media

11

2

12

2

nn

D

DS

n

i

n

ii

i

D

Desviación Estándar

Roberto Castro Z

74



00:

00:

21211

21210

D

D

H

H

kkH

kkH

D

D

211

210

:

:

n

SD

tD

Dnc

_

)1(

Roberto Castro Z

75


Sujeto Antes DespuésA 6,6 6,8B 6,5 2,4C 9,0 7,4D 10,3 8,5E 11,3 8,1F 8,1 6,1G 6,3 3,4H 11,6 2,0

Hipótesis:

Los datos corresponden a 8 individuos seleccionados al azar: mediciones antes y después de la hipnosis en una escala de dolor en centímetros. Se quiere probar que el promedio en la escala de dolor es diferente luego de la hipnosis.

DA

DA

H

H

:

:

1

0


Regla de Decisión: Rechazar H0 si: Valor P < 0,05

Ejemplo

Roberto Castro Z

76


Valor de P 0,0190

Stat / Basic Statistics / Paired t

Paired T for Antes - Después

N Mean StDev SE MeanAntes 8 8,713 2,177 0,770Después 8 5,588 2,608 0,922Difference 8 3,13 2,91 1,03

95% CI for mean difference: (0,69. 5,56)T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 3,04 P-Value = 0,019

Calculo en Minitab

Calculo en Excel

Valor P = 0,019

1- = 0,05

Se rechaza H0

→ μA≠μD

Ejemplo

Roberto Castro Z

77

Lecturas:

Mason & Lind:

Prueba de Hipótesis muestras grandes: pág 410 a 441

Prueba de Hipótesis para Proporciones: pág 451 a 467

Prueba t student Muestras pequeñas: pág 479 a 505

Ejercicios:

Mason & Lind:

Página Ejercicios

446 36, 37

469 23

503 21

504 24

506 31

509 39

510 40


Roberto Castro Z

78

Análisis de Variancia de un Factor

Distribución F

La distribución de probabilidad que se utiliza para la prueba de hipótesis relacionada con el análisis de variancia es la Distribución F. Esta distribución es sesgada a la derecha.

La prueba de hipótesis del análisis de variancia es solo de cola derecha, por lo que si se utilizan los valores de la distribución como regla de decisión, solamente se Rechaza H0 si el valor calculado Fc es mayor que el

valor de la distribución F1-

Si se utiliza un software que calcule el Valor P, la regla de decisión, siempre es Rechazar H0 si Valor P < 1-

Roberto Castro Z

79


Análisis de Variancia

En experimentos, se conducen automóviles nuevos contra una pared fija a 35 millas por hora, luego se miden las lesiones en la cabeza que sufren los “maniquíes”. Los resultados dependen del tipo de automóvil, por lo que se separan en Subcompacto, Compacto, Medio, y Full-size.

La cantidad de lesiones sufridas tiene una variabilidad que se puede asociar a condiciones aleatorias, pero también hay variación debida al tamaño del automóvil. El análisis de variancia divide la variabilidad total en dos fuentes: una variabilidad debida al tamaño del automóvil, y el resto debido a otros factores (que consideramos aleatorios).

Cuando solo se considera una fuente de variación (tamaño del automóvil en este caso) se llama análisis de variancia de un factor.Se puede realizar análisis de variancia de muchos factores. En este curso solo tratamos el de un solo factor.

Roberto Castro Z

80


Hipótesis en el Análisis de Variancia

Sean: μsc el promedio de lesiones en autos subcompactos, μc el promedio de lesiones

en autos compactos, μm el promedio de lesiones en autos medianos y μfs el promedio

de lesiones en autos full-size. Entonces la prueba de hipótesis por plantear es:

diferente es promedioalgún :

:

1

0

H

H fsmcsc

La hipótesis nula es que los promedios de lesiones para autos subcompactos, compactos, medianos y full-size son todos iguales, contra la hipótesis alternativa de que al menos uno de esos promedios es diferente.

Con el análisis de variancia no es posible determinar cuál de los promedios es diferente, solo se prueba que alguno es diferente.

Roberto Castro Z

81

Lecturas:

Mason & Lind:

Ejercicios:

Mason & Lind:

Página Ejercicios

510 40


Estadística inferencial 1

Education

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