ESTADÍSTICA INFERENCIAL II (LIBRO)

Estadística Inferencial II Raúl Jiménez González

Instituto Tecnológico de Ensenada

2000

1995

1990

1985

1980

1975

9,5

9,0

8,5

8,0

7,5

7,0

6,5

6,0

Añ

os

Ventas

Estadística Inferencial II

Instituto Tecnológico de Ensenada

Raúl Jiménez González

Agosto de 2012

A mi esposa

Leticia Flores Flores

2 CAPÍTULO 1 Regresión lineal simple y múltiple

Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González

Contenido CAPÍTULO 1. Regresión lineal simple y múltiple………………………………. 4

1.1. Regresión Lineal simple………………………………………………………. 4

1.1.1. Prueba de hipótesis en la regresión lineal simple…………...……………. 12

1.1.2. Calidad del ajuste en regresión lineal simple……………...……………. .. 19

1.1.3. Estimación y predicción por intervalo en regresión lineal simple……….... 23

1.1.4. Uso de software estadístico………………………………………....……... 25

1.2. Regresión lineal múltiple……………………………………………………… 30

1.2.1. Pruebas de hipótesis en regresión lineal múltiple…………………………. 34

1.2.2. Intervalos de confianza y predicción en regresión múltiple……………...... 37

1.2.3. Uso de un software estadístico………………………………………....….. 40

1.3. Regresión no lineal……………………………………………………………. 43

CAPÍTULO 2. Diseño de experimentos de un factor……………………….…. 45

2.1. Familia de diseños para comparar tratamientos………………………………. 49

2.2. El modelo de efectos fijos……………………………….……………………. 50

2.3. Diseño completamente aleatorio y ANOVA…………………………………. 50

2.4. Comparaciones o pruebas de rangos múltiples……………………………….. 62

2.5. Verificación de los supuestos del Modelo……………………………………. 71

2.6. Uso de un software estadístico………………………………………….…….. 80

CAPÍTULO 3. Diseño de bloques………………………………………………. 84

3.1. Diseños en bloques completos al azar………………………………………… 85

3.2. Diseño en cuadrado latino…………………………………………………….. 95

3.3. Diseño en cuadrado grecolatino…………………………………..………..... 104

3.4. Uso de un software estadístico………………………………………………. 108

CAPÍTULO 4. Conceptos básicos en diseños factoriales………………….…. 112

4.1. Diseños factoriales con dos factores…………………………………………. 114

4.2. Diseños factoriales con tres factores…………………………………………. 123

4.3. Diseño factorial general……………………………………………………… 128

4.4. Modelos de efectos aleatorios………………………………………….…….. 130

4.5. Uso de un software estadístico ………………………………………….…… 134

CAPÍTULO 5. Series de tiempo………………………………………….…….. 138

5.1. Modelo clásico de series de tiempo……………………………………....…... 141

5.2. Análisis de fluctuaciones……………………………………………………... 143

5.3. Análisis de tendencia…………………………………………………………. 146

5.4. Análisis de variaciones cíclicas…………………………………… ……......147

5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares………………………….. 148

5.6. Aplicación de ajustes estacionales………………………………………......... 148

5.7. Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales……………........150

Apéndice. Tablas Estadísticas……………………………………………………..166

Bibliografía……………………………………………………………………....…174

CAPÍTULO 1

Regresión lineal simple y múltiple

1.1. Regresión Lineal simple

1.1.1. Prueba de hipótesis en la regresión lineal simple

1.1.2. Calidad del ajuste en regresión lineal simple

1.1.3. Estimación y predicción por intervalo en regresión lineal simple

1.1.4. Uso de software estadístico



1.1. Regresión Lineal simple

El análisis de regresión se usa con el propósito de predicción. La meta del análisis de

regresión es desarrollar un modelo estadístico que se pueda usar para predecir los

valores de una variable dependiente o de respuesta basados en los valores de al menos

una variable independiente o explicativa. Este capítulo se centra en un modelo de

regresión lineal simple, que usa una variable numérica independiente para predecir

la variable numérica dependiente .

Para establecer una relación cuantitativa entre y es necesario disponer de

cierta información muestral. Esta información consiste de un conjunto de pares de

observaciones de y , donde cada uno de estos pares pertenece a una unidad

elemental particular de la muestra. Por ejemplo, suponga que el rendimiento de un

proceso químico está relacionado con la temperatura de operación, o la experiencia

profesional de los trabajadores y sus respectivos sueldos, las estaturas y pesos de

personas, la producción agraria y la cantidad de fertilizantes utilizados, etc. Si mediante

un modelo matemático es posible describir tal relación, entonces este modelo puede ser

usado para propósitos de predicción, optimización o control

Para ilustrar el concepto, considérense los datos de la tabla 1.1. En esta tabla, se

relaciona la cantidad de fibra (madera) en la pulpa con la resistencia del producto

(papel).

Tabla 1.1 Datos de resistencia de pulpa

Porcentaje de fibra

Resistencia

4 6 8

10 12 14 16 18 20 22 24 26

28 30

134 145 142

149 144 160 156 157 168 166 167 171

174 183

Es claro que la variable de respuesta o variable dependiente es la resistencia, por

eso se denota con . Para tener una idea de la relación que existe entre y , los 14

pares de datos son graficados en un diagrama de dispersión de la figura 1.1. De la

inspección de este diagrama de dispersión se ve que los puntos cercanos siguen una

línea recta, lo que indica que la suposición de linealidad entre las dos variables parece

ser razonable

El diagrama de dispersión es una grafica en la que cada punto trazado representa

un par de valores observados por las variables independiente y dependiente. El valor de

la variable independiente X, se traza en relación con el eje horizontal y el valor de la

variable dependiente Y, en relación con el eje vertical. La naturaleza de la relación entre

dos variables puede tomar muchas formas, que van desde algunas funciones

Regresión lineal simple 5


matemáticas sencillas a otras en extremo complicadas. La relación más elemental

consiste en una línea recta o relación lineal.

30252015105

190

180

170

160

150

140

130

Porcentaje de fibra

Re

sist

en

cia

Gráfica de dispersión de Resistencia vs. Porcentaje de fibra

Figura 1.1 Diagrama de dispersión para los datos de resistencia de la pulpa

La relación del modelo matemático adecuado tiene influencia de la distribución

de los valores y en el diagrama de dispersión. Es sencillo ver esto si se examinan

las siguientes graficas (figura 1.2)

Plan A Plan B Plan C

Relación lineal positiva Relación lineal negativa No hay relación entre X y Y

Plan D Plan E Plan F

Relación curvilínea positiva Relación curvilínea en forma de U Relación curvilínea negativa

Figura 1.2 Relación entre dos variables

En la grafica A se observa que los valores de Y, en general, aumentan en forma

lineal cuando se incrementa .

En la grafica B es un ejemplo de una relación lineal negativa. Cuando crece,

se observa que los valores de Y decrecen. Un ejemplo de este tipo de relación puede ser

el precio de un producto específico y la cantidad de ventas.



En la grafica C se muestra un conjunto de datos en el que existe muy poca o

ninguna relación entre y Y. Para cada valor de aparecen valores altos y bajos de Y.

En la grafica D muestran una relación curvilínea entre y Y. Los valores de Y

aumentan cuando crece, pero el incremento disminuye para valores altos de . un

ejemplo de esta relación curvilínea puede ser la edad y el costo de mantenimiento de

una maquina. Cuando la máquina tiene muchos años, el costo de mantenimiento se

eleva con rapidez al principio, pero después de cierto número de años se nivela.

En la grafica E muestra una relación parabólica o en forma de U entre y Y.

Conforme aumenta, al principio Y disminuye; pero si aumenta más, Y no sólo deja

de disminuir sino que aumenta después de su valor mínimo. Un ejemplo tipo de relación

puede ser el número de errores por hora en una tarea y número de horas trabajadas.

Por ultimo en la grafica F indica una relación exponencial o curvilínea negativa

entre y Y. en este caso, Y disminuye con rapidez al principio del incremento de

pero después, cuando aumenta más, la velocidad de disminución es mucho menor. Un

ejemplo de esta relación exponencial puede ser el valor de reventa de un tipo dado de

automóvil y los años que tiene. El primer año el valor baja en forma drástica respeto a

su precio original; sin embargo, la disminución es mucho más lenta en los años

subsecuentes.

El análisis de regresión lineal simple se refiere a encontrar la línea recta que mejor se

ajuste a los datos. El mejor ajuste puede definirse de varias maneras. Quizá la más

sencilla sea encontrar la línea recta para la cual las diferencias entre los valores reales y

los valores pronosticados a partir de la recta ajustada de regresión sean tan pequeñas

como sea posible. Sin embargo, como estas diferencias son positivas para algunas

observaciones y negativas para otras, en términos matemáticos se minimiza la suma de

los cuadrados de las diferencias.

30252015105

190

180

170

160

150

140

130

Porcentaje de fibra

Re

sis

ten

cia

S 3,87648

R-cuad. 93,0%

R-cuad.(ajustado) 92,4%

Gráfica de línea ajustadaResistencia = 130,7 + 1,624 Porcentaje de fibra

Figura 1.3 Línea recta que mejor se ajusta a los datos, donde la

distancia a los puntos es la más pequeña posible

Suponga que las variables y Y están relacionadas linealmente y que para cada

valor de , la variable dependiente, Y, es una variable aleatoria. Es decir, que cada

observación de Y puede ser descrita por el modelo:

(1.1)



donde es un error aleatorio con media cero y varianza . También suponga que los

errores aleatorios no están correlacionados. La ecuación (1.1) es conocida como el

modelo de regresión lineal simple. Bajo el supuesto de que este modelo es adecuado y

como el valor esperado del error es cero, , se puede ver que el valor esperado

de la variable Y, para cada valor de , está dado por línea recta

(1.2)

En donde son los parámetros del modelo y son constantes desconocidas.

Por lo tanto, para tener bien especificada la ecuación que relaciona las dos variables será

necesario estimar los dos parámetros, que tienen los siguientes significados:

- Es el punto en el cual la línea recta intercepta o cruza el eje y.

- Es la pendiente de la línea, es decir, es la cantidad en que se incrementa o

disminuye la variable por cada unidad que se incrementa

Un procedimiento para ajustar la mejor recta y, por lo tanto, para estimar

es mediante el método de mínimos cuadrados, el cual consiste en lo siguiente:

si de la ecuación (1.1) despejamos los errores, los elevamos al cuadrado y los sumamos,

obtendremos lo siguiente:

(1.3)

De esta forma, se quieren encontrar los valores de que minimizan la

suma de los errores cuadrados. Es decir, se busca ajustar la recta de manera que la suma

de las distancias en forma vertical de los puntos a la recta se minimice, como se ilustra

en la figura 1.3.

El procedimiento matemático para minimizar los errores de la ecuación (1.3) y

así encontrar los estimadores de mínimos cuadrados de , consiste en derivar a

con respecto a ,

y derivar también a con respecto a ,

se obtiene:

Al igualar a cero las dos ecuaciones y resolverlas en forma simultánea con

respecto a las dos incógnitas ( ), se obtiene la solución única:

(1.4)

(1.5)

donde



(1.6)

(1.7)

son las medias muéstrales de las dos variables, es decir,

De esta forma, para obtener la recta ajustada es necesario aplicar las fórmulas

anteriores, lo cual es muy sencillo, como se muestra en la tabla 1.2 para los datos de la

resistencia de la pulpa.

Tabla 1.2 Procedimiento para realizar los cálculos para la regresión simple para los datos de la resistencia

de la pulpa.

4

6

8

10

12

14

16

18 20

22

24

26

28

30

134

145

142

149

144

160

156

157 168

166

167

171

174

183

16

36

64

100

144

196

256

324 400

484

576

676

784

900

17 956

21 025

20 164

22 201

20 736

25 600

24 336

24 649 28 224

27 556

27 889

27 241

30 276

33 489

536

870

1 136

1 490

1 728

2 240

2 496

2 826 3 360

3 652

4 008

4 446

4 872

5 490

137,2 140,4 143,7 146,9 150,2 153,4 156,7 159,9 163,2 166,4 169,7 172,9 176,2 179,4

-3,2 4,6 -1,7 2,1 -6,2 6,6 -0,7 -2,9 4,8 -0,4 -2,7 -1,9 -2,2 3,6

10,24 21,16 2,89 4,41

38,44 43,56 0,49 8,41

23,04 0,16 7,29 3.61 4,84

12,96 Ʃ

Ʃ Ʃ = 4

956

Ʃ = 353

342

Ʃ = 39

150

Ʃ 2216.6



Por lo tanto, la línea recta que mejor explica la relación entre porcentaje de fibra

y resistencia del papel, está dada por

En la figura 1.3 se muestra el ajuste de esta línea. De esta manera, por cada

punto porcentual de incremento en el porcentaje de fibra, se espera un incremento de

resistencia de 1,6242 en promedio. La ecuación (1.8) sirve para estimar la resistencia

promedio esperada para cualquier porcentaje de fibra utilizada.

Nota: La calculadora científica, trae la función de Regresión Lineal, una vez

activada esta función, se procede a capturar por parejas (X, Y) correspondientes sin

olvidar separarlas por una coma entre ambos datos, se manda cada par a memoria, al

finalizar la captura se obtienen los coeficientes correspondientes presionando la inversa

correspondiente de acuerdo al modelo de esta.

Utilizando un paquete computacional el resultado arrojado sería el siguiente:

Resumen de Minitab

Análisis de regresión: Resistencia vs. Porcentaje de fibra

La ecuación de regresión es

Resistencia = 131 + 1,62 Porcentaje de fibra

Coef.

Predictor Coef de EE T P

Constante 130,675 2,418 54,05 0,000

Porcentaje de fibra 1,6242 0,1285 12,64 0,000

Resumen de Excel

Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación múltiple 0,964432318

Coeficiente de determinación R^2 0,930129695

R^2 ajustado 0,92430717

Error típico 3,876481166

Observaciones 14

ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados F Valor crítico de F

Regresión 1 2400,531868 2400,531868 159,7467824 2,70702E-08

Residuos 12 180,3252747 15,02710623

Total 13 2580,857143

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95%

Intercepción 130,6747253 2,417790201 54,047173 1,05975E-15 125,406813

Porcentaje de fibra 1,624175824 0,128504099 12,63909737 2,70702E-08 1,344189444

Análisis de los residuales

Observación Pronóstico Resistencia Residuos

1 137,1714286 -3,171428571

2 140,4197802 4,58021978

3 143,6681319 -1,668131868

4 146,9164835 2,083516484

5 150,1648352 -6,164835165

6 153,4131868 6,586813187

7 156,6615385 -0,661538462

8 159,9098901 -2,90989011

9 163,1582418 4,841758242

10 166,4065934 -0,406593407

11 169,6549451 -2,654945055

12 172,9032967 -1,903296703

13 176,1516484 -2,151648352

14 179,4 3,6



Análisis de varianza

Fuente GL SC MC F P

Regresión 1 2400,5 2400,5 159,75 0,000

Error residual 12 180,3 15,0

Total 13 2580,9

Porcentaje Ajuste Residuo

Obs de fibra Resistencia Ajuste SE Residuo estándar

1 4,0 134,00 137,17 1,97 -3,17 -0,95

2 6,0 145,00 140,42 1,75 4,58 1,32

3 8,0 142,00 143,67 1,55 -1,67 -0,47

4 10,0 149,00 146,92 1,37 2,08 0,57

5 12,0 144,00 150,16 1,22 -6,16 -1,68

6 14,0 160,00 153,41 1,11 6,59 1,77

7 16,0 156,00 156,66 1,04 -0,66 -0,18

8 18,0 157,00 159,91 1,04 -2,91 -0,78

9 20,0 168,00 163,16 1,11 4,84 1,30

10 22,0 166,00 166,41 1,22 -0,41 -0,11

11 24,0 167,00 169,65 1,37 -2,65 -0,73

12 26,0 171,00 172,90 1,55 -1,90 -0,54

13 28,0 174,00 176,15 1,75 -2,15 -0,62

14 30,0 183,00 179,40 1,97 3,60 1,08

Tabla 1.4. Formulas básicas para el Análisis de regresión para el modelo

Es el punto en el cual la línea recta intercepta o cruza el eje Y

Es la pendiente de la línea, es decir, es la cantidad en que se incrementa o

disminuye la variable por cada unidad que se incrementa

Ecuación de la regresión lineal estimada

Sumatoria de XY

Sumatoria de XX

Variabilidad total

Media de X

Media de Y

Sumatoria de los cuadrados del error

Suma de cuadrados de la regresión

Estimador insesgado de la varianza

Cuadrado medio del error

Cuadrado medio total



=

Error estándar de estimación

Coeficiente de determinación en regresión lineal simple

Estadístico para prueba de hipótesis en regresión lineal simple

Estimación por intervalos para , en regresión lineal simple

Estimación por intervalos para la pendiente en

regresión lineal simple

Estimación para la ordenada al

origen en regresión lineal simple

Ejemplo

Suponga que el gerente de una cadena de servicios de entrega de paquetería desea

desarrollar un modelo para predecir las ventas semanales (en miles de dólares) para las

tiendas individuales basado en el número de clientes que realizan compras. Se

seleccionó una muestra aleatoria entre todas las tiendas de la cadena con los siguientes

resultados.

Tienda Clientes Ventas ($000) Tienda Clientes Ventas ($000) 1

2

3

4 5

6

7

8

9

10

907

926

506

741 789

889

874

510

529

420

11,20

11,05

6,48

9,21 9,42

10,08

9,45

6,73

7,24

6,12

11

12

13

14 15

16

17

18

19

20

679

872

924

607 452

729

794

844

1010

621

7,63

9,43

9,46

7,64 6,92

8,95

9,33

10,23

11,77

7,41

(a) Grafique el diagrama de dispersión.

(b) Suponga una relación lineal y utilice el método de mínimos cuadrados para encontrar

los coeficientes de regresión y

(c) Interprete el significado de la pendiente.

(d) Pronostique las ventas semanales (en miles de dólares) para las tiendas que tienen 600 clientes.

(e) ¿Qué otros factores además del número de clientes pueden afectar las ventas?



Respuestas

a)

1000900800700600500400

12

11

10

9

8

7

6

Clientes

Ve

nta

s

Gráfica de dispersión de Ventas vs. Clientes

b) Los coeficientes son = 2,3086 y = 0,0088

c) Por cada cliente más, se espera un incremento en las ventas de 0,0088612 de miles

de dólares en promedio.

d)

e) Factores tan variados como, atención al cliente, lejanía, falta de estacionamiento etc.,

etc.

Resumen de Excel

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad

Intercepción 2,308620077 0,486903934 4,741428269 0,000162977

Clientes 0,008861219 0,000647589 13,68338889 5,93374E-11

1.1.1. Prueba de hipótesis en la regresión lineal simple.

En cualquier análisis de regresión no basta hacer los cálculos que se explicaron antes,

sino que es necesario evaluar qué tan bien el modelo (la línea recta) explica la relación

entre y . Una primera forma de hacer esto es probar una serie hipótesis sobre el

modelo. Para ello es necesario suponer una distribución de probabilidad para el

término de error, Es usual suponer normalidad: se distribuye en forma normal,

independiente, con media cero y varianza .

Por lo general, la hipótesis de mayor interés plantea que la pendiente es

significativamente diferente de cero. Esto se logra al aprobar la siguiente hipótesis

(1.9)

Prueba de hipótesis en regresión lineal simple 13


El estadístico de prueba es:

(1.10)

Si la hipótesis nula es verdadera él estadístico (1.10) tiene una distribución -

Student con grados de libertad. Se rechaza si el valor absoluto de este

estadístico es mayor que el correspondiente valor crítico obtenido de tablas, es decir,

se rechaza si:

(1.11)

En caso contrario no se rechaza . No rechazar que , en el caso del

modelo de regresión lineal simple, implica que no existe una relación lineal

significativa entre y ; por tanto, no existe relación entre estas variables o ésta es de

otro tipo.

La suma de cuadrados de los residuos o suma de cuadrados del error ( y se

utiliza para estimar la varianza del error de ajuste de un modelo, y está dada por:

A partir de la ecuación (1.12) se obtiene que el valor esperado de la suma de

cuadrados , del error está dado por:

(1.13)

Por lo tanto, un estimador insesgado de está dado por:

En el caso de los datos de la tabla 1.1, datos de resistencia de la pulpa, el

planteamiento de hipótesis sería el siguiente:

Aplicando el estadístico de prueba

El valor de -Student encontrado en tablas con grados de libertad y un

0,05 de nivel de significancia es



Se rechaza la Hipótesis nula

Dado que el valor absoluto de es significativamente mayor que el valor

encontrado en tablas con un nivel de significancia de 0,05 concluimos que rechazamos

la hipótesis nula por lo tanto si existe una relación entre ambas variables. 0 bien, dado

que el valor-p es menor que el nivel de significancia, se rechaza la hipótesis nula

valor-p .

En ocasiones, en lugar de probar que , puede ser de interés probar que es

igual a cierta constante ( , en este caso en el numerador del estadístico

de la expresión (1,10) se resta , es decir, el estadístico queda de la siguiente

manera , y el criterio de rechazo es el mismo.

Si se utiliza como criterio de rechazo la comparación de la significancia

observada (p-value o valor p) contra la significancia predefinida ( ), entonces se

rechaza si el valor p .

Por otro lado, con respecto del parámetro suele ser de interés probar la

siguiente hipótesis:

(1.15)

El estadístico de prueba es el siguiente:

El cual tiene una distribución -Student con grados de libertad, por lo que

se rechaza si:

o si se utiliza el criterio de la significancia observada se rechaza si el valor-p .

No rechazar que simplemente significa que el punto de corte de la línea recta

pasa por el origen, es decir pasa por (0, 0). En ocasiones, en lugar de probar que

, puede ser de interés probar que es igual a cierta constante ; en

ese caso, en el numerador del estadístico de la expresión (1.16) se resta , es decir, el

estadístico queda de la siguiente manera:

(1.17)

y el criterio de rechazo es el mismo.

En el caso de los datos de la tabla 1.1, datos de resistencia de la pulpa, el

planteamiento de hipótesis sería el siguiente:

Prueba de hipótesis en regresión lineal simple 15


Aplicando el estadístico de prueba

El valor de -Student encontrado en tablas con grados de libertad y un 0,05

de nivel de significancia es




la hipótesis nula por lo tanto el punto de corte de la línea recta no pasa por el origen,

es decir, no pasa por (0, 0). O bien, dado que el valor-p es menor que el nivel de

significancia, se rechaza la hipótesis nula valor-p .

La estimación de los parámetros del modelo y las pruebas de hipótesis sobre los

mismos se sintetizan en la siguiente tabla:

Parámetro Estimación Error estándar Estadístico Valor-p

Intercepción

Pendiente

Las pruebas de hipótesis para el ejemplo de las ventas contra clientes, el

resumen que nos arroja Excel y Minitab incluye el cálculo del valor de t y el valor-p,

optando por cualesquiera de ambos estadísticos las hipótesis quedarían de la siguiente

manera:

El valor de -Student encontrado en tablas con grados de libertad y un 0,05

de nivel de significancia es






la hipótesis nula por lo tanto si existe una relación entre ambas variables. 0 bien, dado

que el valor-p es menor que el nivel de significancia, se rechaza la hipótesis nula

valor-p .

en el caso de las hipótesis para la intercepción tenemos:




la hipótesis nula por lo tanto el punto de corte de la línea recta no pasa por el origen,

es decir, no pasa por (0, 0). O bien, dado que el valor-p es menor que el nivel de

significancia, se rechaza la hipótesis nula valor-p .

Resumen de Excel

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad

Intercepción 2,308620077 0,486903934 4,741428269 0,000162977

Clientes 0,008861219 0,000647589 13,68338889 5,93374E-11

Ejercicios

1.- ¿Cuál es el propósito general del análisis de regresión?

2.- En el análisis de regresión intervienen dos tipos de variables: las independientes y

las dependientes. Explique con sus palabras y a través de ejemplos, las características de

estos dos tipos de variables.

3.- En el artículo de Concrete Research (Características del concreto cerca de la

superficie: Permeabilidad intrínseca), se presentaron los datos sobre la resistencia a la

compresión y la permeabilidad intrínseca de varias mezclas y curados de concreto.

Las cantidades resumidas son , Ʃ , Ʃ = 23 530, Ʃ , Ʃ

= 157,42, y

Ʃ = 1 697,80. Suponga que las dos variables se relacionan de acuerdo con el modelo

de regresión lineal simple.

a) Calcule las estimaciones de mínimos cuadrados de la pendiente y la ordenada al

origen

b) Use la ecuación de la recta ajustada para predecir la permeabilidad que se observaría

cuando la resistencia a la compresión es = 4,3.

c) Dé una estimación puntual de la permeabilidad media cuando la resistencia a la

compresión es = 3,7.

d) Suponga que el valor observado de la permeabilidad para = 3,7 es = 46,1

Ejercicios 17


4.- Se utilizaron métodos de regresión para analizar los datos de un estudio para

investigar la relación entre la temperatura superficial de una carretera (x) y la deflexión

del pavimento (y). Las cantidades resumidas fueron , Ʃ , Ʃ = 8,86,

Ʃ , Ʃ = 143 215,8, Ʃ = 1 083,67.

a) Calcule las estimaciones de mínimos cuadrados de la pendiente y la ordenada al

origen. Grafique la recta de regresión

b) Use la ecuación de la recta ajustada para predecir la deflexión del pavimento que se

observaría cuando la temperatura superficial es de 85 .

c) ¿Cuál es la deflexión media del pavimento cuando la temperatura superficial es

90 ?

d) ¿Qué cambio en la deflexión media del pavimento se esperaría para un cambio de 1

en la temperatura superficial?

5.- Se piensa que el número de libras de vapor consumidas mensualmente por una

planta química se relaciona con la temperatura ambiente promedio (en ) de ese mes.

En la tabla siguiente se muestra la temperatura y el consumo anual:

Mes Temperatura Consumo/1 000

Ene.

Feb.

Mar.

Abr.

May

Jun. Jul.

Ago.

Sep.

Oct.

Nov.

Dic.

21

24

32

47

50

59 68

74

62

50

41

30

185,79

214,47

288,03

424,84

454,58

539,03 621,55

675,06

562,03

452,93

369,95

273,98

a) Suponiendo que un modelo de regresión lineal simple es apropiado, ajuste el

modelo de regresión que relacione el consumo de vapor ( ) con la temperatura

promedio ( ).

b) ¿Cuál es la estimación del consumo esperado de vapor cuando la temperatura

promedio es 55 ?

c) ¿Qué cambio se espera en el consumo de vapor promedio cuando la temperatura

mensual promedio cambia 1 ?

d) Suponga que la temperatura mensual promedio es de 47 . Calcule el vapor

ajustado y el residual correspondiente.



6.- En un artículo de Journal of Environmental Energineering se reportan los resultados de

un estudio sobre la presencia de sodio y cloruros en corrientes superficiales de la parte

central de Rhode Island. Los datos que se presentan a continuación corresponden a la

concentración de cloruros (en mg/l) y al área de carretera de la vertiente (en %).

4,4 6,6 9,7 10,6 10,8 10,9 11,8 12,1 14,3 14,7 15,0 17,3 19,2 23,1 27,4 27,7 31,8 39,5

0,19 0,15 0,57 0,70 0,67 0,63 0,47 0,70 0,60 0,78 0,81 0,78 0,69 1,30 1,05 1,06 1,74 1,62

a) Trace un diagrama de dispersión de los datos. ¿Parecería apropiado un modelo

de regresión lineal simple en este caso?

b) Ajuste el modelo de regresión lineal simple usando el método de mínimos

cuadrados.

c) Estime la concentración de cloruros media de una vertiente que tiene 1% del

área de carretera.

d) Encuentre el valor ajustado que corresponde a = 0,47

7.- Demuestre que en un modelo de regresión lineal simple el punto ( ) se localiza

exactamente sobre la recta de regresión de mínimos cuadrados.

8.- En un artículo de Wear se presentan los datos del desgaste por rozamiento del acero

dulce y la viscosidad del aceite. Los datos representativos, con = viscosidad del aceite

y = volumen del desgaste ( ), son:

240 181 193 155 172 110 113 75 94

1,6 9,4 15,5 20,0 22,0 35,5 43,0 40,5 33,0

a) Construya un diagrama de dispersión de los datos. ¿Parecería plausible un

modelo de regresión lineal simple?

b) Ajuste el modelo de regresión lineal simple usando mínimos cuadrados.

c) Estime el desgaste por rozamiento cuando la viscosidad es = 30.

d) Obtenga el valor ajustado de cuando = 22,0 y calcule el residual

correspondiente.

9.- Considérense los datos del ejercicio 4 para = temperatura superficial de una

carretera y = deflexión del pavimento.

a) Pruebe la significación de la regresión utilizando . Encuentre el valor P para

esta prueba. ¿Qué conclusiones pueden sacarse?

b) Estime

c) Estime los errores estándar de la pendiente y la ordenada al origen.

10.- En un proceso de extracción se estudia la relación entre tiempo de extracción y

rendimiento. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

Tiempo

(minutos)

10 15 20 8 12 13 15 12 14 20 19 18

Rendimiento

(%)

64 81,7 76,2 68,5 77,9 82,2 74,2 70 76 83,2 85,3

Ejercicios 19


a) ¿En este problema cuál variable se considera independiente y cuál dependiente?

b) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables.

c) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique

pruebas de hipótesis y verifique residuos).

d) ¿La calidad del ajuste es satisfactoria? Argumente

e) Destaque el valor de la pendiente de la recta e interprételo en términos prácticos.

f) Estime el rendimiento promedio que se espera a un tiempo de extracción de 25

minutos y obtenga un intervalo de confianza para esta estimación.

11.- Considere los datos del ejercicio 5 para = consumo de vapor y = temperatura

promedio.

a) Pruebe la significación de la regresión usando . ¿Cuál es el valor P para esta

prueba? Enuncie las conclusiones que resultan de esta prueba.

b) Estime c) Estime los errores estándar de la pendiente y la ordenada al origen.

d) Pruebe la hipótesis contra usando .

Encuentre el valor P para esta prueba.

e) Pruebe la hipótesis contra usando . Encuentre

el valor P para esta prueba y saque conclusiones.

12.- En el ejercicio 6 se presentan los datos para = concentración de cloruros en

corrientes superficiales y = área de carretera.

a) Pruebe la hipótesis contra usando el procedimiento

indicado con un nivel de significancia del 0,01 ( .

1.1.2. Calidad del ajuste en regresión lineal simple

En la sección anterior estudiamos pruebas de hipótesis para verificar que hay una

relación significativa entre y ; sin embargo, no hemos visto si tal relación permite

hacer estimaciones con una precisión aceptable. Por ejemplo, es de interés saber qué

tanta de la variabilidad presente en fue explicada por el modelo, además si se cumplen

los supuestos de los residuos.

Coeficiente de determinación . Un primer criterio para evaluar la calidad del

ajuste es observar la forma en que el modelo se ajustó a los datos. En el caso de la

regresión lineal simple esto se distingue al observar si los puntos tienden a ajustarse

razonablemente bien a la línea recta (véase la figura 1.3). Pero otro criterio más

cuantitativo es el que proporciona el coeficiente de determinación, el cual está definido por:

(1.17)

Es claro que . En general se interpreta como la proporción de la

variabilidad en los datos ( ) que es explicada por el modelo. En el caso de los datos de

la resistencia de la pulpa (tabla 1.1) tenemos



=

= 2580,86

=

Por lo tanto, podemos decir que 93% de la variación observada en la resistencia

es explicada por el modelo (línea recta), lo cual nos dice que la calidad del ajuste es

satisfactorio, y que por ello, la relación entre es descrita adecuadamente por una

línea recta.

Nota. El resultado arrojado por Excel o Minitab, incluye el análisis de varianza

para el modelo de regresión simple cuyo cuadro sintético es el siguiente:

Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Valor-p

Regresión

Error o residual

Total

1

Análisis de varianza en Minitab

Fuente GL SC MC F P

Regresión 1 2400,5 2400,5 159,75 0,000


Total 13 2580,9

S = 3,87648 R-cuad. = 93,0% R-cuad.(ajustado) = 92,4%

Coeficiente de determinación ajustado . Este coeficiente se calcula de la

siguiente manera:

(1.18)

Resumen de Excel




R^2 ajustado 0,92430717


Observaciones 14



Regresión 1 2400,531868 2400,531868 159,7467824 2,70702E-08

Residuos 12 180,3252747 15,02710623

Total 13 2580,857143


Intercepción 130,6747253 2,417790201 54,047173 1,05975E-15 125,406813




1 137,1714286 -3,171428571

2 140,4197802 4,58021978

3 143,6681319 -1,668131868

4 146,9164835 2,083516484

5 150,1648352 -6,164835165

6 153,4131868 6,586813187

7 156,6615385 -0,661538462

8 159,9098901 -2,90989011

9 163,1582418 4,841758242

10 166,4065934 -0,406593407

11 169,6549451 -2,654945055

12 172,9032967 -1,903296703

13 176,1516484 -2,151648352

14 179,4 3,6

Resumen de Excel




R^2 ajustado 0,92430717


Observaciones 14



Regresión 1 2400,531868 2400,531868 159,7467824 2,70702E-08

Residuos 12 180,3252747 15,02710623

Total 13 2580,857143


Intercepción 130,6747253 2,417790201 54,047173 1,05975E-15 125,406813




1 137,1714286 -3,171428571

2 140,4197802 4,58021978

3 143,6681319 -1,668131868

4 146,9164835 2,083516484

5 150,1648352 -6,164835165

6 153,4131868 6,586813187

7 156,6615385 -0,661538462

8 159,9098901 -2,90989011

9 163,1582418 4,841758242

10 166,4065934 -0,406593407

11 169,6549451 -2,654945055

12 172,9032967 -1,903296703

13 176,1516484 -2,151648352

14 179,4 3,6

Calidad de ajuste en regresión lineal simple 21


donde el cuadrado medio total, , se obtiene al dividir la suma de cuadrados total,

, entre sus grados d libertad. Cuando hay muchos términos en un modelo, el

estadístico se prefiere en lugar de , puesto que este último es engañoso al

incrementarse en forma artificial con cada término que se agrega al modelo, aunque sea

un término que no contribuya en nada a la explicación de la respuesta. En cambio, el

incluso baja de valor cuando el término que se agrega no aporta nada.

Se cumple que . En general, para fines de predicción se

recomienda un coeficiente de determinación ajustado de al menos 0,7.

En el caso de los datos de la resistencia de la pulpa (tabla 1.1), el coeficiente de

determinación ajustado está dado por:

Observe que estos coeficientes son arrojados automáticamente en Excel y

Minitab.

Coeficiente de correlación . Es bien conocido que el coeficiente de correlación,

, mide la intensidad de la relación lineal entre dos variables Si se tiene pares

de datos de la forma ( , entonces este coeficiente se obtiene de la siguiente manera:

(1.19)

Se puede ver que ; si es próximo a , entonces tendremos

una relación lineal negativa fuerte, y si es próximo a cero, entonces diremos que no

hay correlación lineal, y finalmente se es próximo a , entonces tendremos una

relación lineal positiva fuerte. Por ejemplo, para los datos de la resistencia de la

pulpa (tabla 1.1), el coeficiente de correlación es;

lo cual habla de una correlación lineal positiva fuerte.



Error estándar de estimación . Una medición sobre la calidad del ajuste de un

modelo lo da el error estándar de estimación, que es una estimación de la desviación

estándar del error . En el caso de la regresión lineal simple, está dado por:

=

(1.20)

Es claro que a medida que el modelo ajuste mejor, la será menor y en

consecuencia el error estándar de estimación también será menor.

Análisis gráfico de residuos. Como complemento a lo que se ha discutido hasta aquí, un análisis adecuado de los

residuos proporciona información adicional sobre la calidad del ajuste del modelo de

regresión y de esa manera es posible verificar si el modelo es adecuado. Las gráficas

que suelen hacerse para completar el diagnóstico del modelo consisten en:

a) graficar los residuos en papel de probabilidad normal,

b) graficar los residuos contra los predichos.

Por ejemplo, para los datos de la resistencia de la pulpa (tabla 1.2), se construye

la gráfica de probabilidad normal que se muestra en la figura 1.4. En ésta se aprecia

que el supuesto de normalidad sobre los errores se cumple razonablemente bien, ya

que los puntos en esta gráfica tienden a ajustarse a la línea recta.

1050-5-10

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Residuo

Porc

enta

je

Gráfica de probabilidad normal(la respuesta es Resistencia)

Figura 1.4 Gráfica de probabilidad normal para los residuos de la resistencia de la pulpa

A partir de la tabla 1.2 es fácil obtener la gráfica de residuos contra predichos

que se muestra en la figura 1.5. Si el modelo es adecuado se espera que en esta gráfica

los puntos no sigan ningún patrón y que, por lo tanto, estén distribuidos más o menos

aleatoriamente a lo largo y ancho de la gráfica. Cuando esto ocurre significa que el

modelo se ajusta de igual manera a lo largo de los valores de . Por el contrario, si se

aprecia algún patrón habrá que ver cuál es el tipo de patrón que se observa en la gráfica

y diagnosticar cuál es la falla que registra el modelo

Estimación y predicción por intervalos en regresión lineal simple 23


180170160150140

7,5

5,0

2,5

0,0

-2,5

-5,0

Valor ajustado

Re

sid

uo

vs. ajustes(la respuesta es Resistencia)

Figura 1.5 Gráfica de residuos contra estimados o predichos para la resistencia de la pulpa

En particular la figura 1.5 no muestra ninguna anomalía, lo cual es una evidencia

más a favor del modelo de regresión simple para este ejemplo.

1.1.3. Estimación y predicción por intervalo en regresión lineal simple

Una de las aplicaciones más importantes en un análisis de regresión es hacer

estimaciones de la respuesta media para un valor dado de X. En el caso particular de la

regresión lineal simple, sabemos que un estimador puntual de la respuesta media lo da

la recta de regresión:

Además de esto, en ocasiones es de interés obtener una estimación por intervalos

para a partir de cualquier valor de X, para lo cual aplicamos la siguiente ecuación:

(1.21)

A este intervalo se le conoce como intervalo para la recta de regresión. Note que su

amplitud depende del y de la distancia entre y . La amplitud es mínima cuando

= y se incrementa conforme se hace más grande.

Para ilustrar lo anterior consideremos el modelo ajustado a los datos del ejemplo de

la resistencia de la pulpa (tabla 1.1), y obtenemos el intervalo de confianza para la

respuesta media en = 12 (porcentaje de fibra)

Primeramente calculemos el estimador puntual para cuando = 12, está dado

por

y un intervalo de confianza al 95% para



De aquí que el intervalo de confianza para la respuesta media en = 12 está dada

por:

Además de la estimación puntual para la pendiente y la ordenada al origen,

, es posible obtener estimaciones de los intervalos de confianza para estos

parámetros. La anchura de estos intervalos de confianza es una medida de la calidad

global de la recta de regresión. Si los términos del error, del modelo de regresión

tienen una distribución normal e independiente, entonces tienen ambos una distribución

igual a la de una variable aleatoria grados de libertad. Esto lleva a la

siguiente definición de los intervalos de confianza del % para la pendiente y

la ordenada al origen.

(1.22)

(1.23)

En el caso del intervalo de confianza para la pendiente de los datos del

porcentaje de fibra (tabla 1.1) tenemos

Por lo que pendiente de forma puntual es 1,6242, y por intervalos con un 95% de

nivel de confianza tenemos que esta se encuentra entre 1,3442 y 1,9042

Ejercicios

1.- En un artículo se presentaron los datos de la concentración del licor verde ( , y la producción de una máquina papelera ( . Los datos se muestran en la tabla

siguiente

Estimación y predicción por intervalos en regresión lineal simple 25


Número de

observación

Concentración

Del licor verde

Producción

(tons

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

11

12

13

40

42

49

46

44

48

46

43

53 52

54

57

58

825

830

890

895

890

910

915

960

990 1010

1012

1030

1050

a) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para b) La concentración media de cuando la producción es toneladas

c) Encuentre un intervalo de predicción de 99% para la concentración de

cuando toneladas

2.- Remítase a los datos del ejercicio 3 (de la sección anterior) para

intrínseca del concreto y a la compresión.

Encuentre un intervalo de confianza de 95% para:

a) la pendiente

b) la ordenada al origen

c) la permeabilidad media cuando

d) Encuentre un intervalo de predicción 95% para la permeabilidad cuando

3.- En el ejercicio 4 (de la sección anterior) se presentaron los datos de la temperatura

superficial de una carretera y la deflexión del pavimento . Encuentre un intervalo de

confianza de 99% para:

a) la pendiente

b) la ordenada al origen

c) la deflexión media cuando la temperatura es

d) Encuentre un intervalo de predicción de 99% para la deflexión del pavimento cuando

la temperatura es de .

1.1.4. Uso de un software estadístico

Excel En la hoja de cálculo de Excel se incluye la regresión lineal simple y múltiple; para

ello, es necesario realizar la siguiente secuencia de opciones:

Datos Análisis de datos Regresión



Generalmente Excel no trae instalado la herramienta de análisis de datos esta

debe instalarse con la siguiente secuencia:

1.- En la hoja de cálculo de Excel (pantalla principal) hacer clic con el puntero en el

símbolo del sistema localizado en el extremo superior izquierdo

2.- De la ventana desplegada hacer clic en opciones de Excel (parte inferior)

3.- De la ventana desplegada hacer clic en complementos

Uso de un software estadístico 27


4.- De la ventana desplegada hacer clic en ir

5.- De esta ventana activar la casilla de herramientas para análisis (palomearla) y dar

clic en aceptar. De esta manera hemos activado la opción de análisis de datos.

Para capturar la tabla de datos para el análisis de regresión lineal simple o

múltiple, primeramente capturamos los datos en la hoja de cálculo, posteriormente

activamos Datos seguido de Análisis de datos y seleccionamos Regresión




En la ventana de captura se solicitará el rango de celdas donde se encuentran los

datos para la variable dependiente Rango de entrada y para la(s) variable(s)

regresora(s) Rango de entrada

Activamos la casilla de rótulos, por default está indicado en una hoja nueva,

seleccionamos además cualquiera de las opciones de residuos, grafica de residuales, y

curva de regresión ajustada y aceptar.

En Minitab

En Minitab la secuencia de captura para la regresión lineal simple o múltiple en la hoja

de cálculo una vez capturada las columnas de datos seleccionamos Estadísticas luego

Regresión seguida de Regresión nuevamente

Uso de un software estadístico 29


de la ventana desplegada en respuesta indicamos la variable de respuesta, en este caso

es resistencia y en predictor indicamos porcentaje de fibra activando también cualquiera

de las opciones posibles, terminando en aceptar.

Nota: De la ventana de captura aparecen automáticamente en el cuadro de la izquierda

la información de la tabla, en respuesta, se indica con un clic del ratón en resistencia y

este automáticamente se manifiesta en el recuadro, en predictores de igual manera se da

un clic en porcentaje de fibra y igualmente se manifiestan en el recuadro.



1.2. Regresión lineal múltiple

En muchas situaciones prácticas existen varias variables independientes que se cree que

influyen o están relacionadas con una variable de respuesta , y por lo tanto será

necesario tomar en cuenta si se quiere predecir o entender mejor el comportamiento de

. Por ejemplo, para explicar o predecir el consumo de electricidad en una casa

habitación tal vez sea necesario considerar el tipo de residencia, el número de personas

que la habitan, la temperatura promedio de la zona, etcétera.

Sea variables independientes o regresoras, y sea una variable

de respuesta, entonces el modelo de regresión lineal múltiple con variables

independientes es el polinomio de primer orden:}

(1.22)

Donde los son los parámetros del modelo que se conocen como coeficientes

de regresión y es el error aleatorio, con media cero, . Si en la

ecuación (1.22) , estamos en el caso de regresión lineal simple y el modelo es una

línea recta; si , tal ecuación representa un plano. En general, la ecuación (1.22)

representa un hiperplano en el espacio de dimensiones generado por las variables

{ }.

El término lineal del modelo de regresión se emplea debido a que la ecuación

(1.22) es función lineal de los parámetros desconocidos La interpretación

de éstos es muy similar a lo ya explicado para el caso de regresión lineal simple: es

la ordenada al origen, y mide el cambio esperado en por cambio unitario en

cuando el resto de las variables regresoras se mantienen fijas o constantes.

Para encontrar los coeficientes de regresión múltiple por el método de mínimos

cuadrados aplicamos el siguiente sistema de ecuaciones normales:

(1.23)

Estas ecuaciones se pueden resolver para , y mediante cualquier

método apropiado para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Por ejemplo La siguiente tabla muestra los pesos Y a la libra más cercana, las

estaturas X1 a la pulgada más cercana y las edades X2 al año más cercano de 12

muchachos.

Regresión lineal múltiple 31


Tabla 1.5 Peso, estatura y edad

Peso

Estatura

Edad

64

71

53

67

55

58

77

57

56

51

76

68

57

59

49

62

51

50

55

48

52

42

61

57

8

10

6

11

8

7

10

9

10

6

12

9

Para encontrar los coeficientes de regresión ( , y ) múltiple mediante el

método de mínimos cuadrados seria de la siguiente manera

Tabla 1.6 Procedimiento para realizar los cálculos para la regresión múltiple

Y 1X 2X 2Y

2

1X 2

2X YX1 YX 2 21XX

64

71

53

67

55

58

77

57

56

51 76

68

57

59

49

62

51

50

55

48

52

42 61

57

8

10

6

11

8

7

10

9

10

6 12

9

4096

5041

2809

4489

3025

3364

5929

3249

3136

2601 5776

4624

3249

3481

2401

3844

2601

2500

3025

2304

2704

1764 3721

3249

64

100

36

121

64

49

100

81

100

36 144

81

3648

4189

2597

4154

2805

2900

4235

2736

2912

2142 4636

3876

512

710

318

737

440

406

770

513

560

306 912

612

456

590

294

682

408

350

550

432

520

252 732

513

y

753

643

2x

106

2y

48,139

2

1x

34,843

2

2x

976

yx1

40,830

yx2

6,796

21xx

5,779

Al sustituir las sumatorias calculadas en las ecuaciones normales, se obtiene

1x



Resolver este sistema de tres ecuaciones lineales para , y , es por lo

menos tedioso. Es común emplear matrices para simplificar el proceso. Hoy en día, esta

clase de cálculos son realizados por la computadora.

El resultado seria el siguiente , y por lo

tanto la ecuación de regresión es

La solución manual aplicando el sistema de tres ecuaciones lineales con tres

incógnitas (3x3) pudiera ser aplicando el métodos de eliminación de Gauss o bien el

método de Cramer. Para este tipo de planteamiento se recomienda el método de Cramer

el cual consiste en la siguiente secuencia:

Siguiendo la misma secuencia de la multiplicación para el denominador, así

como para y

Sustituyendo los valores tendremos

Regresión lineal múltiple 33


753 643 106 753 643

40,830 34,843 5,779 40,830 34,843

6,796 5,779 976 6,796 5,779

12 643 106 12 643

643 34,843 5,779 643 34,843

106 5,779 976 106 5,779

(2.56070963x1010

+ 2.525323601x1010

+ 2.501139642x1010

) – (2.510006097x1010

+ 2.514782127x1010

+ 2.562360144x1010

)

( 408081216 + 393885082 + 393885082 ) – ( 391495948 + 400762092 + 403526224 )

Siguiendo el mismo procedimiento correspondiente para y tenemos los

coeficientes de regresión múltiple

Análisis de regresión: Peso vs. Estatura; Edad en Minitab

La ecuación de regresión es

Peso = 3,7 + 0,855 Estatura + 1,51 Edad

Coef.


Constante 3,65 16,17 0,23 0,826

Estatura 0,8546 0,4517 1,89 0,091

Edad 1,506 1,414 1,07 0,315



Fuente GL SC MC F P

Regresión 2 629,37 314,69 10,94 0,004


Total 11 888,25



Resultados en Excel

1.2.1. Pruebas de hipótesis en regresión lineal múltiple

Las hipótesis sobre los parámetros del modelo son equivalentes a las realizadas para

regresión lineal simple, pero ahora son más necesarias porque en regresión múltiple

tenemos más parámetros en el modelo; sin embargo, por lo general es necesario evaluar

su verdadera contribución a la explicación de la respuesta. También requerimos de la

suposición de que los errores se distribuyen en forma normal, independientes, con

media cero y varianza . Una consecuencia de esta suposición es que

las observaciones son: .

La hipótesis global más importante sobre un modelo de regresión múltiple

consiste en ver si la regresión es significativa. Esto se logra probando la siguiente

hipótesis:

Aceptar significa que ningún término o variable en el modelo tiene una

contribución significativa al explicar la variable de respuesta . Mientras que rechazar

implica que por lo menos un término en el modelo contribuye de manera

significativa a explicar . El procedimiento para probar esta hipótesis es una

generalización del procedimiento utilizado para probar la hipótesis equivalente en

regresión lineal simple.

Resumen




R^2 ajustado 0,643788584


Observaciones 12



Regresión 2 629,3733536 314,6866768 10,9402688 0,003895018

Residuos 9 258,8766464 28,76407182

Total 11 888,25


Intercepción 3,651215805 16,16780562 0,22583249 0,82637676 -32,9229014

Estatura 0,854609929 0,451664156 1,892135824 0,0910251 -0,167125373

Edad 1,50633232 1,414265835 1,06509843 0,31457045 -1,692959262


Observación Pronóstico Peso Residuos

1 64,41464032 -0,414640324

2 69,13652482 1,863475177

3 54,56509625 -1,565096251

4 73,20668693 -6,20668693

5 59,28698075 -4,28698075

6 56,9260385 1,073961499

7 65,71808511 11,28191489

8 58,22948328 -1,229483283

9 63,15425532 -7,154255319

10 48,58282675 2,417173252

11 73,85840932 2,141590679

12 65,92097264 2,079027356

Pruebas de hipótesis en regresión lineal múltiple 35


El estadístico de prueba para la significancia del modelo de regresión lineal

múltiple esta dado por:

(1.24)

que bajo tiene una distribución . Así, se rechaza si

o también si

Ejemplo

Se probará la significación de la regresión (con utilizando los datos de los

pesos , estaturas y edades de la tabla 1.5

El valor de calculado por formula nos da un valor de = 10,9402 ,por

comodidad observamos el resumen arrojado por Excel y/o Minitab

10,94

En tanto que el valor de encontrado en tablas cuando tenemos un nivel de

significancia de 0,05 y 2 grados de libertad en el numerador y 9 en el denominador el

cual es igual a 4,26

= =


Dado que el valor encontrado en formula es mayor al punto crítico en base al

nivel de significancia por lo que rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alterna lo

cual implica que por lo menos un término en el modelo contribuye de manera

significativa a explicar

Tabla 1.7 ANOVA para la significancia del modelo de regresión lineal múltiple

Fuente de

variación

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Cuadrado

medio

Regresión

Error o residuo

Total

K

n-1



Análisis de varianza en Minitab

Fuente GL SC MC F P

Regresión 2 629,37 314,69 10,94 0,004


Total 11 888,25

Coeficiente de determinación

El que un modelo sea significativo no necesariamente implica que sea bueno en

términos de que explique la variación de los datos. Por ello es importante tener

mediciones adicionales de la calidad del ajuste del modelo, como las gráficas de

residuales y el coeficiente de determinación. Con la información del análisis de varianza

de la tabla 1.7 es muy sencillo calcular el coeficiente de determinación , y el

coeficiente de determinación ajustado :

(1.25)

(1.26)

Ambos coeficientes se interpretan de forma similar al caso de regresión lineal

simple, es decir, como el porcentaje de variabilidad de los datos que son explicados por

el modelo. Se cumple que ; en general, para hablar de un modelo que

tiene un ajuste satisfactorio es necesario que ambos coeficientes tengan valores

superiores a 0,7. Cuando en el modelo hay términos que no contribuyen de manera

significativa a éste, el tiende a ser menor que el . Por lo tanto, es deseable

depurar el modelo y para ello las siguientes pruebas de hipótesis son de mucha utilidad.

Para los datos de la tabla 1.5 tenemos que

Resumen




R^2 ajustado 0,643788584


Observaciones 12



Regresión 2 629,3733536 314,6866768 10,9402688 0,003895018

Residuos 9 258,8766464 28,76407182

Total 11 888,25


Intercepción 3,651215805 16,16780562 0,22583249 0,82637676 -32,9229014

Estatura 0,854609929 0,451664156 1,892135824 0,0910251 -0,167125373

Edad 1,50633232 1,414265835 1,06509843 0,31457045 -1,692959262



1 64,41464032 -0,414640324

2 69,13652482 1,863475177

3 54,56509625 -1,565096251

4 73,20668693 -6,20668693

5 59,28698075 -4,28698075

6 56,9260385 1,073961499

7 65,71808511 11,28191489

8 58,22948328 -1,229483283

9 63,15425532 -7,154255319

10 48,58282675 2,417173252

11 73,85840932 2,141590679

12 65,92097264 2,079027356

Pruebas de hipótesis en regresión lineal múltiple 37


Coeficiente de correlación múltiple

Es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación

(1.27)

y es una medida de la intensidad de la relación entre la variable dependiente, , y el

conjunto de variables o términos en el modelo

Error estándar de estimación

Al igual que en regresión lineal simple, el error estándar de estimación proporciona la

medida del error de ajuste de un modelo, éstas tienen una interpretación similar a la que

se dio para el caso de regresión lineal simple. En cuanto al cálculo en el caso múltiple,

el error estándar de estimación,

(1.28)

En el caso del ejemplo de los pesos, estatura y edades tenemos

1.2.2. Intervalos de confianza y predicción en regresión múltiple

En los modelos de regresión múltiple con frecuencia es conveniente construir

estimaciones de intervalos de confianza para los coeficientes de regresión . Por

ejemplo, a partir de la tabla 1.6 es claro que un estimador por intervalos de cada

coeficiente en lo individual está dado por:

(1.29)

Tabla 1.8 Análisis de regresión múltiple

Parámetro Estimación Error estándar Estadístico Valor-p

Intercepción

.

.

.

.

.

.

.

.



También es posible obtener un intervalo de confianza con respecto a la respuesta

media en un punto particular, digamos está dado por:

Ejercicios de regresión lineal múltiple

13.- ¿Por qué se requiere la regresión lineal múltiple?

14.- Se realizo un estudio para investigar la relación de la resistencia al corte del terreno

( ) con la profundidad en pies ( ) y el contenido de humedad . Se hicieron 10

observaciones, obteniéndose las siguientes cantidades resumidas , , , ,

, , ,

, y

a) Establezca las ecuaciones normales de mínimos cuadrados para el modelo

b) Estime los parámetros del modelo del inciso a)

c) ¿Cuál es la resistencia predicha cuando pies y ?

15.- En una empresa dedicada a anodizar artículos de aluminio (baterías de cocina), el

anodizado se logra con una solución hecha a base de ácidos (sulfúrico, cítrico, bórico) y

dicromato de aluminio. En este proceso se controla el pH de la solución, la temperatura,

la corriente y el tiempo de permanencia. Debido al poco grosor del anodizado, han

aumentado las quejas por la escasa resistencia y durabilidad del producto. Para resolver

este problema se decide estudiar, mediante un experimento, la relación del pH y la

temperatura con el grosor del anodizado. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

pH Temperatura Espesor

1,2

1,8

1,2

1,8

1,2 1,8

1,2

1,8

1,5

1,5

-8

-8

8

8

-8 -8

8

8

0

0

9

14

10

19

8 12

11

20

14

13

a) ¿Cuáles son las variables independientes y cuál la dependiente? Argumente

Resumen




R^2 ajustado 0,643788584


Observaciones 12



Regresión 2 629,3733536 314,6866768 10,9402688 0,003895018

Residuos 9 258,8766464 28,76407182

Total 11 888,25


Intercepción 3,651215805 16,16780562 0,22583249 0,82637676 -32,9229014

Estatura 0,854609929 0,451664156 1,892135824 0,0910251 -0,167125373

Edad 1,50633232 1,414265835 1,06509843 0,31457045 -1,692959262



1 64,41464032 -0,414640324

2 69,13652482 1,863475177

3 54,56509625 -1,565096251

4 73,20668693 -6,20668693

5 59,28698075 -4,28698075

6 56,9260385 1,073961499

7 65,71808511 11,28191489

8 58,22948328 -1,229483283

9 63,15425532 -7,154255319

10 48,58282675 2,417173252

11 73,85840932 2,141590679

12 65,92097264 2,079027356

Intervalos de confianza y predicción en regresión múltiple 39


b) Ajuste un modelo del tipo y anote la

ecuación del modelo ajustado

c) A partir del modelo ajustado, ¿cuál es el espesor estimado cuando se utiliza un

pH = 2 y una temperatura de 10 grados?

d) ¿El modelo es adecuado? Argumente con base en graficas de residuos, pruebas

de hipótesis y coeficientes de determinación.

16.- Se realizó un experimento para estudiar el sabor del queso panela en función de la

cantidad del cuajo y la sal. La variable de respuesta observada es el sabor promedio

reportado por un grupo de cinco panelistas que probaron todos los quesos y los

calificaron en una escala hedónica. Los datos obtenidos se muestran a continuación:

Sal Cuajo Sabor

6

5,5

4,5

4

4,5

5,5

5

5

0,3

0,387

0,387

0,3

0,213

0,213

0,3

0,3

5,67

7,44

7,33

6,33

7,11

7,22

6,33

6,66

a) Ajuste el modelo

b) ¿El modelo explica la variación observada en el sabor? Argumente con base en la significancia del modelo, los residuales y el coeficiente de determinación.

c) Ajuste un modelo que incluya términos cuadráticos y analice con detalle la calidad del

ajuste aplique las pruebas de hipótesis

d) Compare el error estándar de estimación ( y los coeficientes de determinación

( ) para ambos modelos

e) ¿Cuál modelo prefiere para explicar el sabor?

17.- Se piensa que la energía eléctrica consumida mensualmente por una planta química

se relaciona con la temperatura ambiente promedio ( , el número de días laborales del

mes ( , la pureza promedio del producto y las toneladas del producto producidas

. Se cuenta con los datos del último año, los cuales se presentan en la tabla

siguiente:

240

236

290

274

301

316 300

296

267

276

288

261

25

31

45

60

65

72 80

84

75

60

50

38

24

21

24

25

25

26 25

25

24

25

25

23

91

90

88

87

91

94 87

86

88

91

90

89

100

95

110

88

94

99 97

96

110

105

100

98

a) Ajuste un modelo de regresión lineal múltiple a estos datos



b) Prediga el consumo de electricidad para un mes en el que ,

días y toneladas

c) Calcule para este modelo. Interprete esta cantidad

d) Grafique los residuales contra . Interprete la grafica

1.2.3. Uso de un software estadístico

Para capturar la tabla de datos para el análisis de regresión lineal múltiple,

primeramente capturamos los datos en la hoja de cálculo, posteriormente activamos

Datos seguido de Análisis de datos y seleccionamos Regresión, y aceptar


En la ventana de captura se solicitará el rango de celdas donde se encuentran los

datos para la variable dependiente Rango de entrada y para la(s) variable(s)

regresora(s) Rango de entrada (para los datos de X1 y X2, se sombrean ambos

simultáneamente con el ratón, en este caso a partir de la columna 2)

Uso de software estadístico 41


Activamos la casilla de rótulos, por default está indicado en una hoja nueva,

seleccionamos además cualquiera de las opciones de residuos, grafica de residuales, y

curva de regresión ajustada y aceptar y tendremos el resultado.

Utilizando Minitab

En Minitab la secuencia de captura para la regresión lineal simple o múltiple en la hoja

de cálculo una vez capturada las columnas de datos seleccionamos Estadísticas luego

Regresión seguida de Regresión nuevamente

Estadísticas Regresión Regresión

De la ventana desplegada en respuesta indicamos la variable de respuesta, en

este caso es resistencia y en predictor indicamos porcentaje de fibra activando también

cualquiera de las opciones posibles, terminando en aceptar.

Resumen




R^2 ajustado 0,643788584


Observaciones 12



Regresión 2 629,3733536 314,6866768 10,9402688 0,003895018

Residuos 9 258,8766464 28,76407182

Total 11 888,25

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95% Inferior 95,0% Superior 95,0%

Intercepción 3,651215805 16,16780562 0,22583249 0,82637676 -32,92290147 40,22533308 -32,92290147 40,22533308

Estatura 0,854609929 0,451664156 1,892135824 0,0910251 -0,167125376 1,876345234 -0,167125376 1,876345234

Edad 1,50633232 1,414265835 1,06509843 0,31457045 -1,692959268 4,705623908 -1,692959268 4,705623908



Nota: De la ventana de captura aparecen automáticamente en el cuadro de la izquierda

la información de la tabla, en respuesta , se indica con un clic del ratón en peso y este

automáticamente se manifiesta, en predictores de igual manera se da un clic a cada uno

y estos se manifiestan en el recuadro.

Análisis de regresión: Peso vs. Estatura; Edad La ecuación de regresión es

Peso = 3,7 + 0,855 Estatura + 1,51 Edad

Coef.


Constante 3,65 16,17 0,23 0,826

Estatura 0,8546 0,4517 1,89 0,091

Edad 1,506 1,414 1,07 0,315



Fuente GL SC MC F P

Regresión 2 629,37 314,69 10,94 0,004


Total 11 888,25

Fuente GL SC sec.

Estatura 1 596,74

Edad 1 32,63

Observaciones poco comunes

Ajuste Residuo

Obs Estatura Peso Ajuste SE Residuo estándar

7 55,0 77,00 65,72 1,96 11,28 2,26R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

Regresión no lineal 43


1.3. Regresión no lineal

Si las dos variables X y Y se relacionan según un modelo de línea recta, se habla de

regresión lineal simple

Cuando las variables X y Y se relacionan según una línea curva, se habla de

regresión no lineal o curvilínea. Aquí se puede distinguir entre regresión parabólica,

exponencial, potencial etc.

Supongamos que al hacer la representación gráfica correspondiente la

distribución bidimensional, hemos obtenido la figura 6.1c. Se observa una clara relación

entre las dos variables, pero desde luego, esa relación no es lineal.

Por tanto, debemos buscar la función que ha de describir la dependencia entre

las dos variables.

Nos limitaremos al estudio de las más utilizadas: la función parabólica, la

logarítmica, la exponencial y la potencial.

Parábola de Regresión En muchos casos, es una función de segundo grado la que se ajusta lo suficiente a la

situación real dada.

La expresión general de un polinomio de 2º grado es:

donde a, b y c son los parámetros.

El problema consiste, por tanto, en determinar dichos parámetros para una

distribución dada. Seguiremos para ello, un razonamiento similar al que hicimos en el

caso del modelo de regresión lineal simple, utilizando el procedimiento de ajuste de los

mínimos cuadrados, es decir, haciendo que la suma de los cuadrados de las desviaciones

con respecto a la curva de regresión sea mínima:

donde, siguiendo la notación habitual, yi son los valores observados de la variable

dependiente, e los valores estimados según el modelo; por tanto, podemos escribir D

de la forma:



Para encontrar los valores de a, b y c que hacen mínima la expresión anterior,

deberemos igualar las derivadas parciales de D con respecto a dichos parámetros a cero

y resolver el sistema resultante. Las ecuaciones que forman dicho sistema se conocen

como ecuaciones normales de Gauss (igual que en el caso de la regresión lineal

simple).

Función Exponencial, Potencial y Logarítmica El problema de ajustar un modelo potencial, de la forma y uno exponencial

se reduce al de la función lineal, con solo tomar logaritmos.

Modelo potencial:

Si tomamos logaritmos en la expresión de la función potencial, obtendremos:

Como vemos es la ecuación de una recta: , donde ahora .

De modo que el problema es sencillo, basta con transformar Y en y X en y

ajustar una recta a los valores transformados. El parámetro b del modelo potencial

coincide con el coeficiente de regresión de la recta ajustada a los datos transformados, y

A lo obtenemos mediante el antilog(a).

Modelo exponencial: Tomando logaritmos en la expresión de la función exponencial, obtendremos:

También se trata de la ecuación de una recta , pero ahora

ajustándola a y a X; de modo que, para obtener el parámetro A del modelo

exponencial, basta con hacer antilog(a), y el parámetro B se obtiene tomando antilog(b).

Modelo logarítmico:

La curva logarítmica Y = a + b es también una recta, pero en lugar de estar

referida a las variables originales X e Y, está referida a y a Y.

Hemos visto, cómo, a pesar de ser inicialmente modelos mucho más complejos

que el de una recta, estos tres últimos se reducen al modelo lineal sin más que

transformar adecuadamente los datos de partida.

45


Capítulo 2

Diseño de experimentos de un factor

2.1. Familia de diseños para comparar tratamientos

2.2. El modelo de efectos fijos

2.3. Diseño completamente aleatorio y ANOVA

2.4. Comparaciones o pruebas de rangos múltiples

2.5. Verificación de los supuestos del Modelo

2.6. Uso de un software estadístico

46 CAPÍTULO 2 Diseño de experimentos de un factor


Competencias

1. Identificar dentro de la familia de los diseños experimentales, aquellos

utilizados en la comparación de tratamientos.

2. Diferenciar los distintos modelos estadísticos y los análisis de varianzas en

experimentos con un sólo factor.

3. Realizar las diversas pruebas de rangos múltiples y la comparación por

contrastes.

4. Verificar los supuestos del modelo estadístico en diseños con un solo factor.

Experimentos con un solo factor

En este tipo de diseño de experimento se considera un sólo factor de interés y

el objetivo es comparar más de dos tratamientos, con el fin de elegir la mejor

alternativa entre las varias que existen, o por lo menos para tener una mejor

comprensión del comportamiento de la variable de interés en cada uno de los distintos

tratamientos.

En esta unidad se presentan los diseños experimentales que se utilizan cuando el

objetivo es comparar más de dos tratamientos. Puede ser de interés comparar tres o más

máquinas, varios proveedores, cuatro procesos, tres materiales, cinco dosis de un

fármaco, etc.

Es obvio que, al hacer tales comparaciones, existe un interés y un objetivo claro.

Por ejemplo, una comparación de cuatro dietas de alimentación en la que se utilizan

ratas de laboratorio, se hace con el fin de estudiar si alguna dieta que se propone es

mejor o igual que las que ya existentes; en este caso, la variable de interés es el peso

promedio alcanzado por cada grupo de animales después de ser alimentado con la dieta

que le toco.

Por lo general, el interés del experimentador está centrado en comparar los

tratamientos en cuanto a sus medias poblacionales, sin olvidar que también es

importante compararlos con respecto a sus varianzas. Así, desde el punto de vista

estadístico, la hipótesis fundamental a probar cuando se comparan varios tratamientos

es:

(2.1)

Con la cual se quiere decidir si los tratamientos son iguales estadísticamente en

cuanto a sus medias, frente a la alternativa de que al menos dos de ellos son diferentes.

La estrategia natural para resolver este problema es obtener una muestra

representativa de mediciones en cada uno de los tratamientos, y construir un estadístico

de prueba para decidir el resultado de dicha comparación

Se podría pensar que una forma de probar la hipótesis nula de la expresión (2.1)

es mediante la prueba T de Student aplicadas a todos los posibles pares de medias; sin

embargo, esta manera de proceder incrementaría de manera considerable el error tipo I

(rechazar siendo verdadera).

Experimentos con un solo factor 47


Ejemplo

En el caso de comparar varias máquinas, si cada máquina es manejada por un

operador diferente y se sabe que éste tiene una influencia en el resultado,

entonces, es claro que el factor operador debe tomarse en cuenta si se quiere

comparar a las máquinas de manera justa.

Un operador más hábil puede ver a su máquina (aunque ésta sea la peor) como la

que tiene el mejor desempeño, lo que impide una comparación adecuada de

los equipos. Para evitar este sesgo habría dos maneras de anular el posible

efecto del factor operador:

Utilizando el mismo operador en las cuatro máquinas. Esta estrategia no es

aconsejable, ya que al utilizar el mismo operador, se elimina el efecto

del factor operador, pero restringe la validez de la comparación a dicho

operador, y es posible que el resultado no se mantenga al utilizar otros

operadores.

Cada operador trabaje durante el experimento con cada una de las máquinas,

esta estrategia es más recomendable, ya que al utilizar todos los operadores con

todas las máquinas permite tener resultados de la comparación que son

válidos para todos los operadores. Esta última de manera nulificar el efecto de

operadores, recibe el nombre de Bloqueo.

Factores de bloqueo.

Son factores adicionales al factor de interés que se incorporan de manera explícita

en un experimento comparativo, para estudiar de manera más adecuada y eficaz al

factor de interés.

Observación. Cuando se comparan varias máquinas, manejadas por operadores

diferentes, es pertinente incluir explícitamente al factor operadores (bloques) para lograr

el propósito del estudio. También se podrían controlar el tipo de material, lotes, tipo

de producto, día, turno, etc. Se controlan factores que por conocimiento del

proceso o experiencia previa, se sabe que pueden afectar en forma sensible el resultado

de la comparación

En el campo de la industria es frecuente hacer experimentos o pruebas con la

intención de resolver un problema o comprobar una idea (conjetura, hipótesis); por

ejemplo, hacer algunos cambios en los materiales, métodos o condiciones de operación

de un proceso, probar varias temperaturas en una máquina hasta encontrar la que de el

mejor resultado o crear un nuevo material con la intención de lograr mejoras o eliminar

algún problema.

Sin embargo, es común que estas pruebas o experimentos se hagan sobre la

marcha, con base en el ensayo y error, apelando a la experiencia y a la intuición, en

lugar de seguir un plan experimental adecuado que garantice una buena respuesta a las

interrogantes planteadas. Algo similar ocurre con el análisis de los datos

experimentales, donde más que hacer un análisis riguroso de toda la información

obtenida y tomar en cuenta la variación, se realiza un análisis informal, ¨intuitivo¨ Es tal

el poder de la experimentación que, en ocasiones, se logra mejoras a pesar de que el

experimento se hizo con base en el ensayo y error. Sin embargo, en situaciones de cierta



complejidad no es suficiente aplicar este tipo de experimentación, por lo que es mejor

proceder siempre en una forma eficaz que garantice la obtención de las respuestas a las

interrogantes planteadas en un lapso corto de tiempo y utilizando pocos recursos.

El diseño estadístico de experimentos es precisamente la forma más eficaz de

hacer pruebas. El diseño de experimentos consiste en determinar cuáles pruebas se

deben realizar y de qué manera, para obtener datos que, al ser analizados

estadísticamente, proporcionen evidencias objetivas que permitan responder las

interrogantes planteadas, y de esa manera clarificar los aspectos inciertos de un proceso,

resolver un problema o lograr mejoras. Algunos problemas típicos que pueden

resolverse con el diseño y el análisis de experimentos son los siguientes:

1. Comparar a dos o más materiales con el fin de elegir al que mejor cumple los

requerimientos.

2. Comparar varios instrumentos de medición para verificar si trabajan con la

misma precisión y exactitud.

3. Determinar los factores (las x vitales) de un proceso que tienen impacto sobre

una o más características del producto final.

4. Encontrar las condiciones de operación (temperatura, velocidad, humedad, por

ejemplo) donde se reduzcan los defectos o se logre un mejor desempeño del

proceso.

5. Reducir el tiempo de ciclo del proceso.

6. Hacer el proceso insensible o robusto a oscilaciones de variables ambientales.

7. Apoyar el diseño o rediseño de nuevos productos o procesos

8. Ayudar a conocer y caracterizar nuevos materiales.

En general, cuando se requiere mejorar un proceso existen dos maneras básicas

de obtener la información necesaria para ello:

Observar o monitorear vía herramientas estadísticas, hasta obtener señales

útiles que permitan mejorarlo; se dice que ésta es una estrategia pasiva.

La otra manera consiste en experimentar, es decir, hacer cambios

estratégicos y deliberados al proceso para provocar dichas señales útiles.

Al analizar los resultados del experimento se obtienen las pautas a seguir, que

muchas veces se concretan en mejoras sustanciales del proceso. En este sentido,

experimentar es mejor que sentarse a esperar a que el proceso nos indique por sí solo

cómo mejorarlo. El diseño de experimentos es un conjunto de técnicas activas, en el

sentido de que no esperan que el proceso mande las señales útiles, sino que éste se

¨manipulan¨ para que proporcione la información que se requiere para su mejoría.

El saber diseño de experimentos y otras técnicas estadísticas, en combinación

con conocimientos del proceso, sitúan al responsable del mismo como un observador

perceptivo y proactivo que es capaz de proponer mejoras y de observar algo interesante

(oportunidades de mejora) en el proceso y en los datos donde otra persona no ve nada.

Nota. Comentarles la anécdota de las naranjas

Experimentos con un solo factor 49


2.1. Familia de diseños para comparar tratamientos.

Los diseños experimentales más utilizados para comparar tratamientos son:

1. Diseño completamente al azar (DCA)

2. Diseño en bloque completamente al azar (DBCA)

3. Diseño en cuadro latino (DCL)

4. Diseño en cuadro grecolatino (DCGL)

La diferencia fundamental entre estos diseños es el número de factores de bloque que

incorporan o controlan de forma explícita durante el experimento. La comparación de

los tratamientos en cuanto a la respuesta media que logran, en cualquiera de estos

diseños, se hace mediante la hipótesis

que se prueba con la técnica estadística llamada Análisis de Varianza (ANOVA)

con uno, dos, tres o cuatro criterios de clasificación, dependiendo del número

de factores de bloques incorporados al diseño.

Diseño Factores de

bloqueo

ANOVA con Modelo estadístico

DCA 0 Un criterio DBCA 1 Dos criterios

DCL 2 Tres criterios

DCGL 3 Cuatro criterios

Y es la variable de salida, la media global, el efecto del i-ésimo tratamiento, error aleatorio, y

, son los efectos de tres factores de bloqueo.

El modelo estadístico que describe el comportamiento de la variable observada

Y en cada diseño, incorpora un término adicional por cada factor de bloqueo

controlado.

De acuerdo con los modelos dados en la tabla, para cada diseño

comparativo se tienen al menos dos fuentes de variabilidad: los tratamientos o niveles

del factor de interés y el error aleatorio. Se agrega una nueva fuente de variabilidad por

cada factor de bloque que se controla directamente. Se observa que los diseños suponen

que no hay efectos de interacción entre los factores, lo cual sería lo deseable

que ocurra; de no ocurrir así, tal efecto se recarga al error y el problema de

comparación no se resuelve con éxito.

Un efecto de interacción entre dos factores hace referencia a que el efecto

de cada factor depende del nivel en que se encuentra el otro.



2.2. El modelo de efectos fijos

El modelo de efectos fijos (es cuando se estudian todos los posibles tratamientos) de

análisis de la varianza se aplica a situaciones en las que el experimentador ha sometido

al grupo o material analizado a varios factores, cada uno de los cuales le afecta sólo a la

media, permaneciendo la "variable respuesta" con una distribución normal.

Este modelo se supone cuando el investigador se interesa únicamente por los niveles del

factor presentes en el experimento, por lo que cualquier variación observada en las

puntuaciones se deberá al error experimental.

En caso que los tratamientos tengan efecto, las observaciones se podrán

describir con el modelo estadístico lineal dado por:

(2.2)

donde es el parámetro de escala común a todos los tratamientos, llamado media

global, ; es un parámetro que mide el efecto del tratamiento y es el error

atribuible a la medición . Este modelo implica que en el diseño completamente al

azar actuarían a lo más dos fuentes de variabilidad: Los tratamientos y el error aleatorio.

La media global de la variable de respuesta no se considera una fuente de variabilidad

por ser una constante común a todos los tratamientos, que hace las veces de punto de

referencia con respecto al cual se comparan las respuestas medias de los tratamientos.

Si la respuesta media de un tratamiento particular es ¨muy diferente¨ de la

respuesta media global , es un síntoma de que existe un efecto de dicho tratamiento, ya

que como se verá más adelante, . La diferencia que debe tener las medias

entre sí para concluir que hay un efecto (que los tratamientos son diferentes), nos lo

dice el análisis de varianza (ANOVA).

En la práctica puede suceder que los tratamientos que se desea comparar sean

demasiados como para experimentar con todos. Cuando esto sucede es conveniente

comparar sólo una muestra de la población de tratamientos, de modo que pasa a ser

una variable aleatoria con su propia varianza que deberá estimarse a partir de los

datos. En este capítulo sólo se presenta el caso en que todos los tratamientos que se

tienen se prueban, es decir, se supone una población pequeña de tratamientos, lo cual

hace posible compararlos a todos. En este caso, el modelo dado por la ecuación (2.2) se

llama modelo de efectos fijos.

2.3. Diseño completamente al azar y ANOVA Muchas comparaciones, como las antes mencionadas, se hacen con base en el diseño

completamente al azar (DCA), que es el más simple de todos los diseños que se utilizan

para comparar dos o más tratamientos, dado que sólo consideran dos fuentes de

Diseños completamente al azar y ANOVA 51


variabilidad: los tratamientos y el error aleatorio. En la siguiente unidad veremos

diseños que consideran la influencia de otras fuentes de variabilidad (bloques).

Este diseño se llama completamente al azar porque todas las corridas

experimentales se realizan en orden aleatorio completo. De esta manera, si durante el

estudio se hacen en total N pruebas, éstas se corren al azar, de manera que los posibles

efectos ambientales y temporales se vayan repartiendo equitativamente entre los

tratamientos.

Ejemplo 1

Comparación de cuatro métodos de ensamble. Un equipo de mejora investiga el

efecto de cuatro métodos de ensamble A, B, C y D, sobre el tiempo de ensamble en

minutos con un nivel de significancia de 0.05. En primera instancia, la estrategia

experimental es aplicar cuatro veces los cuatro métodos de ensamble en orden

completamente aleatorio (las 16 pruebas en orden aleatorio). Los tiempos de ensamble

obtenidos se muestran en la tabla 2.1. Si se usa el diseño completamente al azar (DCA),

se supone que, además del método de ensamble, no existe ningún otro factor que influya

de manera significativa sobre la variable de respuesta (tiempo de ensamble)

Tabla 2,1 Diseño completamente al azar

para el ejemplo 1

Método de ensamble

A B C D

6

8

7

8

7

9

10

8

11

16

11

13

10

12

11

9

Ejemplo 2

Comparación de cuatro tipos de cuero. Un fabricante de calzado desea mejorar la

calidad de las suelas, las cuales se pueden hacer con uno de los cuatro tipos de cuero A,

B, C y D disponibles en el mercado. Para ello, prueba los cueros con una máquina que

hace pasar los zapatos por una superficie abrasiva; la suela de éstos se desgasta al

pasarla por dicha superficie. Como criterio de desgaste se usa la pérdida de peso

después de un número fijo de ciclos. Se prueban en orden aleatorio 24 zapatos, seis de

cada tipo de cuero. Al hacer las pruebas en orden completamente al azar se evitan

sesgos y las mediciones en un tipo de cuero resultan independientes de las demás. Los

datos (en miligramos) sobre el desgaste de cada tipo de cuero se muestran en la tabla 2.2

Tabla 2,2 Comparación de cuatro tipos de cuero (cuatro tratamientos)

Tipo de cuero Observaciones Promedio

A

B

C

D

264 260 258 241 262 255

208 220 216 200 213 206

220 263 219 225 230 228

217 226 215 227 220 222

256,7

209,8

230,8

220,7



El análisis de la varianza de un criterio (ANOVA de un criterio) es una

metodología para analizar la variación entre muestras y la variación al interior de las

mismas con varianzas, en lugar de rangos. Como tal, es un método estadístico útil para

comparar dos o más medias poblacionales.

El objetivo del análisis de varianza en el DCA es probar las hipótesis de

igualdad de los tratamientos con respecto a la media de la correspondiente variable de

respuesta:

Nota: Primeramente explicare el cálculo manual tradicional para ANOVA,

posteriormente el simplificado y más práctico, así como su solución utilizando un

paquete computacional.

El método de ANOVA con un criterio requiere del cálculo de dos estimaciones

independientes para , la varianza poblacional común. Estas dos estimaciones se

denotan por y

.

. Se denomina estimación de la varianza entre muestras (Método entre)

. Se denomina estimación de la varianza al interior de las muestras (Método dentro)

El estadístico entonces resulta

y tiene una distribución muestral que sigue

una distribución F.

Estadístico F para el ANOVA con un criterio

(2,3)

El cual se contrastara con el valor de encontrado en tablas en relación a los

grados de libertad del numerador entre grados de libertad del denominador y con un

nivel de significancia ( ) prefijado.

Se rechaza la si

Se deduce que si es grande, se contradice la hipótesis de que no hay efectos

de tratamientos; en cambio, si es pequeño se confirma la validez de

Método dentro

El método dentro de estimación de la varianza produce una estimación válida sin

importar si la hipótesis nula de las medias poblacionales iguales es cierta. Esto se debe a

que la variabilidad de los valores de la muestra se determina comparando cada elemento



en los datos con la media muestral. Cada valor de la muestra obtenido de la población A

se compara con la media muestral A; cada elemento obtenido de la población B se

compara con la media muestral B, y así sucesivamente. La ecuación para calcular la

estimación de la varianza con el método dentro es:

=

donde: (2,4)

= Estimación de la varianza muestral con el método entre.

= i-ésimo elemento de los datos de grupo j.

= media del grupo j

C = número de grupos

n = número de elementos de la muestra en cada grupo.

El número adecuado de grados de libertad para el método dentro se calcula como

c(n-1) si el número de observaciones en cada grupo es igual. Como a cada elemento del

grupo se le resta la media de ese grupo, sólo (n-1) elementos de cada grupo pueden

variar. Además como se tienen c grupos, c se multiplica por (n-1) para obtener los

grados de libertad para el método dentro.

Grados de libertad para

glw = C(n – 1)

Método entre

El segundo método para estimar la varianza común de la población produce una

estimación válida sólo si la hipótesis nula es cierta. Para entender el método entre

recuerde el teorema del límite central. Este importante teorema en estadística establece

que la distribución de las medias muestrales tiende a una distribución normal conforme

crece el tamaño de la muestra, con una media y una desviación estándar n. Si el

error estándar de la media es n, entonces la varianza de la distribución es igual al

error estándar al cuadrado, 2n.

Esta varianza es una medida de las diferencias entre todas las medias muestrales

que puedan obtenerse de la distribución y la media de la población. La raíz cuadrada de

esta varianza es el error estándar de la media, es decir, la diferencia estándar entre una

media muestral y la media poblacional.

En ANOVA, para estimar la varianza de la distribución muestral de

medias, se debe estimar primero la media poblacional. La media de todos los valores

muestrales proporciona esa estimación. Después, se determina la diferencia entre la

media de cada grupo y esta media poblacional estimada, y estas diferencias se elevan al

cuadrado y se suman. Este valor, con frecuencia se llama la suma de cuadrados entre

(SCb). Esta suma se divide entonces entre el número adecuado de grados de libertad

para obtener la estimación de la varianza de la distribución muestral. La ecuación

siguiente da el cálculo de la estimación de la varianza de la distribución muestral de las

medias:



=

donde: (2,5)

= Estimación del método entre de la varianza poblacional común.

= media del grupo j.

= media global (media de todos los valores), usada como estimación de .

C = número de grupos

n = número de elementos de la muestra en cada grupo si el número de

observaciones en cada uno es el mismo.

Grados de libertad para

glb = (C – 1)

Tabla ANOVA

Los resultados del análisis de varianza se presentan en una tabla ANOVA que

resume los valores importantes de la prueba. Esta tabla tiene un formato estándar que

usan los libros y los problemas de computadora que ejecutan ANOVA. La siguiente

tabla muestra la forma general de la tabla ANOVA.

En dicha tabla se resumen los cálculos necesarios para la prueba de igualdad de las

medias poblacionales usando análisis de varianza. Primero se usa el método dentro para

estimar 2. Cada valor de los datos se compara con su propia media, y la suma de las

diferencias al cuadrado se divide entre los grados de libertad c(n-1).

Fuf fFuente de

variación SC GL Estimación de

2

Coeficiente F

Grupos Entre

2 c - 1 / glb S S

/

Grupos Dentro 2 c(n-1)

/ glb

Total ( xij – x ) 2

donde:

= Número de la columna

i = Número de la fila

c = Número de columnas (grupos)

n = Número de elementos en cada grupo (tamaño de la muestra)

La tabla ANOVA contiene columnas con las fuentes de variación, las sumas de

cuadrados, los grados de libertad, las estimaciones de la varianza y el valor F para el

procedimiento de análisis de varianza.

Retomando el problema del efecto de cuatro métodos de ensamble A, B, C y D,

sobre el tiempo de ensamble en minutos tenemos:



Método de ensamble

A B C D

6

8

7

8

7

9

10

8

11

16

11

13

10

12

11

9

Media ( i) 7,25 8,5 12,75 10,5

Media global : = 9,73

C = 4, n = 4

= 4

= +

+

+

Completando la tabla ANOVA, quedando de la siguiente manera

Fuente de

Variación SC gl Estimación de 2 Coeficiente F

---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Grupos entre 69,49 3 69,75/3 = 23,25 23,25/2,45 = 9,42 Grupos dentro 29,48 12 29,48/12 = 2,45 ----------------------------------------------------------- ----------------------------------------------- TOTA 98,97 15

Como la hipótesis a probar es

H0: 1 = 2 = 3 = 4

H1: No todas las poblaciones tienen la misma media

El valor de F calculado por tabla cuando tenemos un nivel de significancia de

0,05 y 3 grados de libertad en el numerador y 12 grados de libertad en el denominador

es F0,05 (3,12) = 3,49

Como nuestro estadístico de prueba F (9,42) excede el valor crítico tabulado

(3,49), rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alterna, concluyendo que sí hay

diferencia o efecto de los métodos de ensamble en cuanto a su tiempo promedio.



Ahora veremos el procedimiento y notación más comúnmente utilizado para la

solución de ANOVA Tabla 2.3 Diseño completamente al azar (DCA)

Tratamientos

…

.

.

.

…

.

.

.

.

…

Notación de puntos

Sirve para presentar de manera abreviada cantidades numéricas que se pueden calcular a

partir de los datos experimentales donde representa la observación en el

tratamiento , con y . Las cantidades de interés son las

siguientes:

Note que el punto indica la suma sobre el correspondiente subíndice. Así, algunas

relaciones válidas son:

(2.6)

donde es el total de observaciones.

ANOVA

Como ya lo mencionamos el objetivo del análisis de varianza en el DCA es probar la

hipótesis de igualdad de los tratamientos con respecto a la media de correspondiente

variable de respuesta.

Para probar la hipótesis dada por la relación:

mediante la técnica de ANOVA, lo primero es descomponer la variabilidad total de los

datos en sus dos componentes: la variabilidad debida a tratamientos y la que

corresponde al error aleatorio (equivalente al método entre y método dentro), como se

hace a continuación.

Una medida de la variabilidad total presente en las observaciones de la tabla 2.3

es la suma total de cuadrados ( ) dada por:



(2.7)

donde es la suma de los datos en el experimento.

La suma de cuadrados de tratamientos ( ) ésta dado por:

(2.8)

donde apreciamos que la mide la variación o diferencias entre tratamientos, ya

que si éstos son muy diferentes entre sí, entonces la diferencia tenderá a ser

grande en valor absoluto, y con ello también será grande la

La suma de cuadrados del error ( ) ésta dado por:

(2.9)

donde la mide la variación dentro de tratamientos, ya que si hay mucha variación

entre las observaciones de cada tratamiento entonces tenderá a ser grande en

valor absoluto. En forma abreviada, esta descomposición de la suma total de cuadrados

se puede describir como:

(2.10)

La suma de cuadrados divididos entre sus respectivos grados de libertad se

llaman cuadrados medios. Los dos que más interesan son el cuadrado medio de

tratamientos ( ) y el cuadrado medio del error ( , que se denotan por:

(2.11)

(2.12)

Con base en este hecho se construye el estadístico de prueba como sigue: se sabe

que y son independientes, por lo que y son dos

variables son dos variables aleatorias independientes con distribución ji-cuadrada con

y grados de libertad, respectivamente. Entonces, bajo el supuesto de que la

hipótesis es verdadera, el estadístico

(2.13)

sigue una distribución con ( grados de libertad en el numerador y ( )

grados de libertad en el denominador. De la ecuación (2.13) se deduce que si es

grande, se contradice la hipótesis de que no hay efecto de tratamientos; en cambio, si



es pequeño se confirma la validez de . Así para un nivel de significancia prefijado,

se rechaza si donde es el percentil ( ) x 100 de

la distribución . También se rechaza si el valor-p , donde el valor-p es el área

bajo la distribución a la derecha del estadístico , es decir, el

)

Toda la información necesaria para calcular el estadístico hasta llegar al

valor-p se escribe en la llamada tabla de análisis de varianza (ANOVA) que se muestra en

la tabla 2.4. En esta tabla, las abreviaturas significan lo siguiente: fuente de

variabilidad (efecto), suma de cuadrados, grados de libertad,

cuadrado medio, estadístico de prueba, valor-p = significancia observada

Tabla 2.4 Tabla de ANOVA para DCA

SC GL CM Valor-p

Tratamientos

Error Total

)

Análisis del ejemplo 1 (comparación de cuatro tipos de métodos de ensamble).

La interrogante que se planteó en el problema de la comparación entre los cuatro tipos

de métodos de ensamble fue: ¿existen diferencias entre el tiempo promedio de los

diferentes métodos de ensamble? La respuesta a esta pregunta es el resultado de

contrastar las hipótesis:

Cálculos manuales

Detalles de los cálculos para el ANOVA en DCA para el tiempo de ensamble Métodos de ensamble Operaciones básicas

Observaciones A B C D 6 7 11 10 8 9 16 12 7 10 11 11 8 8 13 9

=

Suma de los cuadrados de todas las observaciones o datos

=

suma de los datos

total de mediciones

media global

Total por

Tratamiento ( 29 34 51 42

Numero de datos En cada tratamiento ( 4 4 4 4

Media muestral por

Tratamiento ( 7.25 8.50 12.75 10.50

Desviaciones respecto -2.50 -1.25 3.0 0.75

A la media global (



1.- Suma total de cuadrados o variabilidad total de los datos:

= 1620 -

2.- Suma de cuadrados de tratamientos o variabilidad debida a la diferencia entre

métodos de ensamble:

3.- Suma de cuadrados del error o variabilidad dentro de métodos de ensamble:

4.- Cuadrados medios de tratamientos y del error (efecto ponderado de cada fuente de

variación):

5.- Estadístico de prueba:

Con toda esta información se procede a llenar la tabla ANOVA. El valor de la

significancia observada o valor-p es el área bajo la curva de la distribución a la

derecha de , lo cual es difícil de calcular de forma manual. Sin embargo,

cuando esto no sea posible, recordemos que otra forma de rechazar o no una hipótesis es

comparar el estadístico de prueba contra un número crítico de tablas. En el caso de las

tablas de la distribución , en donde se lee que el valor crítico para es

. Como:

entonces se rechaza , con lo cual se concluye que sí hay diferencias o efecto de los

métodos de ensamble en cuanto a su tiempo promedio

Tabla ANOVA

Fuente de

variaciones

SC GL CM Valor

crítico

para F

Tratamientos 69,5 3 23,17 9,42 3,49

Error 29,5 12 2,46

Total 99,0 15

Resultados arrojados en un paquete computacional (Excel y Minitab), para el

ejemplo 1 de los tiempos de ensamble para los cuatro métodos.



ANOVA unidireccional: A; B; C; D Minitab Fuente GL SC MC F P

Factor 3 69,50 23,17 9,42 0,002

Error 12 29,50 2,46

Total 15 99,00


ICs de 95% individuales para la media

basados en Desv.Est. agrupada

Nivel N Media Desv.Est. --------+---------+---------+---------+-

A 4 7,250 0,957 (------*------)

B 4 8,500 1,291 (------*------)

C 4 12,750 2,363 (------*------)

D 4 10,500 1,291 (------*------)

--------+---------+---------+---------+-

7,5 10,0 12,5 15,0

Desv.Est. agrupada = 1,568

Diagrama de cajas simultáneos

Los diagramas de cajas es una herramienta para describir el comportamiento e unos

datos, y es de suma utilidad para comparar procesos, tratamientos y, en general, para

hacer análisis por estratos (lotes, proveedores, turnos). En el resultado arrojado por

Minitab se observa en la figura (figura 2.1) que el método C parece diferente al los

métodos A y B en cuanto a sus medias; la media del método D también se ve diferente

a la media del método A. Por otra parte, se observa un poco más de variabilidad en el

método C que en todos los demás. Lo que sigue es verificar que lo que se observa en el

diagrama de cajas implica diferencias significativas entre los distintos tratamientos; por

lo tanto, es necesario hacer pruebas estadísticas porque los datos que se analizan en los

diagramas de cajas son muestras.



En general, cuando los diagramas no se traslapan es probable que los

tratamientos correspondientes sean diferentes entre sí, y la probabilidad es mayor en la

medida que los diagramas están basados en más datos. Cuando se traslapan un poco

puede ser que haya o no diferencias significativas, y en cualquier caso es conveniente

utilizar una prueba estadística para determinar cuáles diferencias son significativas.

Estas pruebas se verán en la siguiente sección.

DCBA

17,5

15,0

12,5

10,0

7,5

5,0

Da

tos

Gráfica de caja de A; B; C; D

Figura 2.1 Diagrama de cajas para los métodos de ensamble

Análisis del ejemplo 2 (comparación de cuatro tipos de cuero). La interrogante que se

planteó en el problema de la comparación entre los cuatro tipos de cuero fue: ¿existen

diferencias entre el desgaste promedio de los diferentes tipos de cuero? La respuesta a

esta pregunta es el resultado de contrastar las hipótesis:

En el resultado arrojado por Excel, se muestra el análisis de varianza para este

ejemplo. Como el valor-p = 0,0000 es menor que la significancia prefijada , se

rechaza y se acepta que al menos un par de tipos de cuero tiene un desgaste

promedio diferente

Análisis de varianza de un factor en Excel

RESUMEN

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza

A 6 1540 256,6666667 68,6666667

B 6 1263 210,5 52,7

C 6 1385 230,8333333 266,966667

D 6 1327 221,1666667 22,9666667


Origen de las variaciones Suma de cuadrados Grados de libertad Promedio de los cuadrados F Probabilidad Valor crítico para F

Entre grupos 7019,458333 3 2339,819444 22,7553556 1,17615E-06 3,098391224

Dentro de los grupos 2056,5 20 102,825

Total 9075,958333 23



ANOVA unidireccional: A; B; C; D Minitab Fuente GL SC MC F P

Factor 3 7019 2340 22,76 0,000

Error 20 2057 103

Total 23 9076


ICs de 95% individuales para la media

basados en Desv.Est. agrupada

Nivel N Media Desv.Est. ----+---------+---------+---------+-----

A 6 256,67 8,29 (----*-----)

B 6 210,50 7,26 (-----*----)

C 6 230,83 16,34 (----*-----)

D 6 221,17 4,79 (----*-----)

----+---------+---------+---------+-----

208 224 240 256

Desv.Est. agrupada = 10,14

2.4. Comparaciones o pruebas de rangos múltiples El análisis de varianza es un procedimiento poderoso para probar la homogeneidad de

un conjunto de medias. Sin embargo, si rechazamos la hipótesis nula ( ) y aceptamos

la alterna (que no todas las medias son iguales) aún no sabemos cuáles de las medias

poblacionales son iguales y cuáles son diferentes.

Comparación de parejas de medias de tratamientos.

Cuando no se rechaza la H0: 1 = 2 = 3, el objetivo del experimento está cubierto y

la conclusión es que los tratamientos no son diferentes. Si por el contrario se rechaza

H0, y por consiguiente se acepta la H1: No todas las poblaciones tienen la misma media,

es necesario investigar cuáles tratamientos resultaron diferentes, o cuáles provocan la

diferencia.

Estas interrogantes se responden probando la igualdad de todos los posibles

pares de medias, para lo cual se han propuesto varios métodos, conocidos como

métodos de comparaciones múltiples o pruebas de rango múltiple. La diferencia

primordial entre los métodos radica en la potencia que tienen para detectar las

diferencias entre las medias. Se dice que una prueba es más potente si es capaz de

detectar diferencias más pequeñas.

Hay varios métodos estándar para realizar comparaciones pareadas que apoyen

la credibilidad de la tasa de error tipo I.

Método de la diferencia mínima significativa de Fisher (método LSD).

Una vez que se rechazo en el ANOVA, el problema es probar la igualdad de todos

los posibles pares de medias con la hipótesis:

Comparación o pruebas de rangos múltiples 63


para toda . Para tratamientos se tienen en total pares de medias. Por

ejemplo, si existen posibles pares de medias. El estadístico de prueba

para cada una de las hipótesis dadas es la correspondiente diferencia en valor absoluto

entre sus medias muestrales . Se rechaza la hipótesis si ocurre que

(2.14)

donde el valor de se lee en las tablas de la distribución T de student con

grados de libertad que corresponde al error, el es el cuadrado medio del

error y se obtiene de la tabla ANOVA, y son el número de observaciones para los

tratamientos , respectivamente. La LSD se llama diferencia mínima significativa de

Fisher, ya que es la diferencia mínima que debe existir entre dos medias muestrales para

considerar que los tratamientos correspondientes son significativamente diferentes. Así,

cada diferencia de medias muestrales que si el diseño es balanceado, es decir, si

, la diferencia mínima significativa se reduce a:

(2.15)

En caso de rechazar se acepta la hipótesis alternativa la cual nos dice que las

medias de los tratamientos son diferentes. El método LSD tiene una potencia

importante, por lo que en ocasiones declara significativas aun pequeñas diferencias.

Ilustremos esta prueba continuando con el ejemplo 1, en el cual, con el ANOVA

se rechazó la hipótesis nula y se aceptó que al menos un par de medias de tratamientos

(métodos de ensamble) son diferentes entre sí. Para investigar cuáles pares de medias

son estadísticamente diferentes se prueban los seis posibles pares de hipótesis:

(2.16)

Utilizando el método de LSD. EN el ANOVA se observa que los grados de

libertad del error son , y que el cuadrado medio del error es . Si

usamos una significación predefinida de , de la tabla de la distribución T de



Student con 12 grados de libertad, se obtiene que , . Como

en cada tratamiento se hicieron pruebas, entonces

La decisión sobre cada una de las seis hipótesis listadas arriba se obtiene al

comparar las correspondientes diferencias de medias muestrales en valor absoluto con el

número LSD = 2,42. Se declaran significativas aquellas diferencias que son mayores a

este número. Los resultados se muestran en la tabla 2,5, de donde se concluye que

mientras que .

Tabla 2,5 Aplicación de la prueba LSD a métodos de ensamble

Diferencia

poblacional

Diferencia muestral

en valor absoluto

Decisión

7,25 - 8,50 = 1.25 2,42

7,25 – 12,75 = 5,50 2,42

7,25 – 10,50 = 3,25 2,42

8,50 – 12,75 = 4,25 2,42

8,50 – 10,50 = 2 2,42

12,75 – 10,50 = 2,25 2,42

No significativo

Significativo

Significativo

Significativo

No significativo

No significativo

En el resultado de comparación de parejas arrojado por minitab, por el método

de LSD, observamos que este nos indica los intervalos de confianza para las

comparaciones de cada par de muestras, por lo que debemos tomar el punto medio de

cada comparación (centro) y contrastarlo con el valor del estadístico t de student

obtenido en tablas (2,42) y tomar la decisión que corresponda

Intervalos de confianza individuales de Fisher(LSD) del 95%

Todas las comparaciones en parejas en Minitab

Se restó A a:

Inferior Centro Superior -------+---------+---------+---------+--

B -1,166 1,250 3,666 (-----*-----)

C 3,084 5,500 7,916 (-----*-----)

D 0,834 3,250 5,666 (-----*-----)

-------+---------+---------+---------+--

-4,0 0,0 4,0 8,0

Se restó B a:


C 1,834 4,250 6,666 (-----*-----)

D -0,416 2,000 4,416 (-----*-----)

-------+---------+---------+---------+--

-4,0 0,0 4,0 8,0

Se restó C a:


D -4,666 -2,250 0,166 (-----*-----)

-------+---------+---------+---------+--

-4,0 0,0 4,0 8,0



Método de Tukey.

Es el método más conservador para comparar pares de medias de tratamientos, el cual

consiste en comparar las diferencias entre medias muestrales con el valor crítico dado

por:

(2,17)

donde

Es el cuadrado medio del error ( / glb )

Es el número de observaciones por tratamiento

Es el número de tratamientos

Es igual a los grados de libertad para el error

Es el nivel de significancia prefijado

Son puntos porcentuales de la distribución del rango estudentizado,

que se obtienen de la correspondiente tabla

Se declaran significativamente diferentes los pares de medias cuya diferencia

muestral en valor absoluto sea mayor que . A diferencia de los métodos LSD y

Duncan, el método Tukey trabaja con un error muy cercano al declarado por el

experimentador.

Ejemplo. Al aplicar el método de Tukey al ejemplo 1 de los métodos de ensamble, a

partir de la tabla ANOVA correspondiente, se toma la información pertinente y de las

tablas del rango estudentizado (tabla 1) dada en el apéndice.

( / glb ) = 2,45

4

4

12

0,05

en tablas de rango estudentizado corresponde a 4,20



sustituyendo en la ecuación tenemos

Que al compararlo con las diferencias de medias muestrales, los resultados sobre

las hipótesis son:

Diferencia poblacional

Diferencia muestral 1,25 3,27 5,50 3,27 3,25 3,27 4,25 3,27 2,00 3,27 2,25 3,27

Decisión No significativo Significativo No significativo Significativo No significativo No significativo

De esta tabla se concluye que , , y .

Observe que esta prueba no encuentra diferencias entre los métodos d ensamble A y D,

la cual si se detecta por otros métodos. Esto es congruente con el hecho de que la prueba

de Tukey es menos potente que la prueba LSD (diferencia mínima significativa)

En el resultado de comparación de parejas arrojado por minitab, por el método

de Tukey, observamos que este nos indica los intervalos de confianza para las

comparaciones de cada par de muestras, por lo que debemos tomar el punto medio de

cada comparación (centro) y contrastarlo con el valor del estadístico de rango

estudentizado obtenido en tablas (4,20) y sustituyendo en la formula obteniendo el valor

de , el cual se contrasta con la diferencia de medias y se tomar la decisión

que corresponda

Intervalos de confianza simultáneos de Tukey del 95%

Todas las comparaciones en parejas en Minitab

Se restó A a:

Inferior Centro Superior -----+---------+---------+---------+----

B -2,043 1,250 4,543 (------*-----)

C 2,207 5,500 8,793 (------*------)

D -0,043 3,250 6,543 (------*-----)

-----+---------+---------+---------+----

-5,0 0,0 5,0 10,0

Se restó B a:


C 0,957 4,250 7,543 (------*-----)

D -1,293 2,000 5,293 (------*------)

-----+---------+---------+---------+----

-5,0 0,0 5,0 10,0

Se restó C a:


D -5,543 -2,250 1,043 (------*-----)

-----+---------+---------+---------+----

-5,0 0,0 5,0 10,0



Método de Duncan.

En este método para la comparación de medias, si las muestras son de igual tamaño,

los promedios se acomodan en orden ascendente y el error estándar de los promedios

se estima con

(2,18)

Este procedimiento de Duncan también se llama prueba de rango múltiple de

Duncan. Este procedimiento también se basa en la notación general del rango

studentizado. El rango de cualquier subconjunto de medias muestrales debe exceder

cierto valor antes de que se encuentre que cualquiera de las medias es diferente. Este

valor se llama rango de menor significancia para las medias y se denota como

(2,19)

( = muestras)

= Grados de libertad para el error que corresponden a ( )

= Cuadrado medio del error ( / glb )

= Numero de observaciones por tratamiento

= Valores críticos para la prueba de Duncan (obtenidos en tabla)

Los valores de la cantidad , que se denominan rango studentizado de menor

significancia, dependen del nivel de significancia que se desea y el número de grados

de libertad del cuadrado medio del error. Estos valores se pueden obtener de la tabla

valores críticos para la prueba de Duncan (tabla 2)

Las diferencias observadas entre las medias muestrales se comparan con los rangos

(rango de menor significancia) de la siguiente manera:

Primero se comparan la diferencia entre la media más grande y la más pequeña

con el rango

Luego, la diferencia entre la media más grande y la segunda más pequeña se

compara con el rango

Estas comparaciones continúan hasta que la media mayor se haya comparado

con todas las demás.

Enseguida, se compara la diferencia entre la segunda media más grande y la

media menor con el rango

Después la diferencia entre la segunda media más grande y la segunda más

pequeña se compara con el valor de

Y así sucesivamente hasta que se comparan los pares de medias

posibles con el rango que les corresponda

En las comparaciones donde la diferencia observada es mayor que el rango

respectivo, se concluye que esas medias son significativamente diferentes. Si dos



medias caen entre otras dos que no son muy diferentes, entonces esas dos medias

poblacionales también se consideran estadísticamente iguales.

Ejemplo. Supongamos que nos interesa probar las seis hipótesis para los cuatro

métodos de ensamble del problema anterior.

= 0,05

= 12

= 2,46

=

= 0,78

= Estos valores se obtienen de la tabla correspondiente

Substituyendo en la ecuación tenemos:

= (3,08)(0,78)

= (3,23)(0,78)

= (3,33)(0,78)

Estos rangos se comparan con las diferencias de medias de acuerdo al método

descrito anteriormente.

Las cuatro medias muestrales acomodadas en orden ascendente son:

de aquí se obtienen las diferencias en el orden dado por el método de Duncan y se van

comparando con el rango correspondiente.

En la siguiente tabla se resumen los resultados


Diferencia muestral Comparada con su rango

12,75 – 7,25 = 5,5 2,60 = 12,75 – 8,50 = 3,27 2,52 = 12,75 – 10,50 = 2,25 2,40 = 10,50 – 7,25 = 3,25 2,60 = 10,50 – 8,50 = 2,0 2,40 = 8,50 – 7,25 = 1,25 2,40 =

Decisión Significativo Significativo No significativo Significativo No significativo No significativo



De esta tabla se concluye que , y , mientras que

, y . Que son las mismas conclusiones que se obtuvieron con

el método LSD. En general, las pruebas de Duncan y LSD tienen un desempeño similar.

Método de Dunnet (Comparación de tratamientos con un control).

En muchos problemas científicos y de ingeniería no interesa extraer inferencias con

respecto a todas las posibles comparaciones entre las medias de los tratamientos. En su

lugar, el experimento a menudo dicta la necesidad de comparar de manera simultánea

cada tratamiento con un control. Por ejemplo, al comparar varios medicamentos para el

resfriado es conveniente que uno de los tratamientos sea que los pacientes no utilicen

ningún medicamento, esto sirve como referencia para decidir la posible utilidad de los

medicamentos.

Un procedimiento de prueba desarrollado por C.W. Dunnett determina

diferencias significativas entre cada media del tratamiento y el control, en un solo nivel

de significancia.

Por facilidad, denotemos como tratamiento control al tratamiento.

Hacer comparaciones con respecto al control implica probar las hipótesis dadas

por:

con , donde es el tratamiento control. La hipótesis nula se rechaza

si,

donde

= Media del tratamiento

= Media del tratamiento control

Valor encontrado en tablas de Dunnett

= Grados de libertad del cuadrado medio del error

= Cuadrado medio del error

Donde se encuentra en las tablas (tabla 3) valores críticos para la

prueba de Dunnett; son los grados de libertad del cuadrado medio del error. Se

recomienda que el tamaño de muestra del tratamiento control sea grande, a fin de

estimar su media con mayor precisión.

Ejemplo. Para ilustrar el procedimiento de Dunnett , consideremos los datos

experimentales de la siguiente tabla para la clasificación unilateral donde se estudia el

efecto de tres catalizadores sobre el rendimiento de una reacción. Un cuarto tratamiento,

sin ningún catalizador, se utiliza como control.



Rendimiento de la reacción

Control Catalizador 1 Catalizador 2 Catalizador 3

50,7 54,1 52,7 51,2

51,5 53,8 53,9 50,8

49,2 53,1 57,0 49,7

53,1 52,5 54,1 48,0

52,7 54,0 52,5 47,2

= 53,5 54,04 49,38

= 51,44

= = = 2,59

= grados de libertad del erros medio

, como es prueba bilateral =

= 53,5 – 51,44 = 2,06

= 54,04 – 51,44 = 2,6

= 49,38 – 51,44 = 2,06

= 2,59

= 2,59(0,9593) = 2,48

2,06 2,48 Se acepta la hipótesis nula, no hay diferencia significativa de la muestra 1

con la patrón

2,60 2,48 Se rechaza la nula y se acepta la alterna

2,06 2,48 Se acepta la hipótesis nula

RESUMEN

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza

Control 5 257,2 51,44 2,478

Catalizador 1 5 267,5 53,5 0,465

Catalizador 2 5 270,2 54,04 3,238

Catalizador 3 5 246,9 49,38 3,022



Entre grupos 67,786 3 22,59533333 9,82085552 0,000651134 3,238871522

Dentro de los grupos 36,812 16 2,30075

Total 104,598 19

Análisis de varianza de un factor (Resultado de Excel)



ANOVA unidireccional: Control; Catalizador 1; Catalizador 2; Catalizador 3 Fuente GL SC MC F P

Factor 3 67,79 22,60 9,82 0,001

Error 16 36,81 2,30

Total 19 104,60

Nivel N Media Desv.Est.

Control 5 51,440 1,574

Catalizador 1 5 53,500 0,682

Catalizador 2 5 54,040 1,799

Catalizador 3 5 49,380 1,738

Comparación de Dunnett con un control

nivel de significancia de la familia = 0,05

nivel de significancia individual = 0,0196

Valor crítico = 2,59

Control = Control

Intervalos para media de tratamientos menos media de control

Nivel Inferior Centro Superior

Catalizador 1 -0,427 2,060 4,547

Catalizador 2 0,113 2,600 5,087

Catalizador 3 -4,547 -2,060 0,427

Nivel --------+---------+---------+---------+-

Catalizador 1 (---------*---------)

Catalizador 2 (---------*---------)

Catalizador 3 (---------*---------)

--------+---------+---------+---------+-

-2,5 0,0 2,5 5,0

2.5. Verificación de los supuestos del modelo

La validez de los resultados obtenidos en cualquier análisis de varianza queda

supeditada a que los supuestos del modelo se cumplan. Estos supuestos son:

A) Normalidad

B) Varianza constante (igual varianza de los tratamientos)

C) Independencia

Esto es, la respuesta (Y) se debe distribuir de manera normal, con la misma varianza

en cada tratamiento y las mediciones deben ser independientes. Estos supuestos sobre Y

se traducen en supuestos sobre el termino error ( ) en el modelo

Es una práctica común utilizar la muestra de residuos para comprobar los

supuestos del modelo, ya que si los supuestos se cumplen, los residuos o residuales se

pueden ver como una muestra aleatoria de una distribución normal con media cero y

varianza constante.



Los residuos, se definen como la diferencia entre la respuesta observada ( )

y la respuesta predicha por el modelo ( ), lo cual permite hacer un diagnóstico más

directo de la calidad del modelo, ya que su magnitud señala qué tan bien describe a los

datos del modelo. Veamos

Recordemos que el modelo que se espera describa los datos en el DCA está dada por:

donde

( = 1,2, …, = 1,2,…, ) Es el ésimo dato en el tratamiento

Es la media global Es el efecto del tratamiento Representa al error asociado con la observación

Cuando se realiza el ANOVA, y sólo cuando éste resulta significativo, entonces

se procede a estimar el modelo ajustado o modelo de trabajo dado por:

donde

Es la respuesta predicha

Es la media global estimada

Es el efecto estimado del tratamiento

Los gorros indican que son estimadores, es decir, valores calculados a partir de

los datos del experimento. El término del error desaparece del modelo estimado, por el

hecho de que su valor esperado es igual a cero (

Como la media global se estima con .. y el efecto del tratamiento con .., el

modelo ajustado del DCA se puede escribir como:

Para comprobar cada supuesto existen pruebas analíticas y gráficas que veremos

a continuación. Por sencillez, muchas veces se prefieren las pruebas gráficas. Éstas

tienen el inconveniente de que no son exactas, pero aun así , en la mayoría de las

situaciones prácticas proporcionan la evidencia suficiente en contra o a favor de los

supuestos.

Normalidad Un procedimiento gráfico para verificar el cumplimiento del supuesto de normalidad de

los residuos consiste en graficar los residuos en papel o en la gráfica de probabilidad normal

que se incluye casi en todos los paquetes estadísticos. Esta gráfica del tipo tiene

Verificación de los supuestos del modelo 73


las escalas de tal manera que si los residuos siguen una distribución normal, al

graficarlos tienden a quedar alineados en una línea recta; por lo tanto, si claramente no

se alinean se concluye que el supuesto de normalidad no es correcto.

Cabe enfatizar el hecho de que el ajuste de los puntos a una recta no tiene que

ser perfecto, dado que el análisis de varianza resiste pequeñas y moderadas desviaciones

al supuesto de normalidad.

Figura 2.2 Grafica de normalidad para los cuatro tipos de cuero

Varianza constante Una forma de verificar el supuesto de varianza constante (o que los tratamientos tienen la

misma varianza) es graficado los predichos contra residuos ( ), por lo general

va en el eje horizontal y los residuos en el eje vertical. Si los puntos en esta gráfica

se distribuyen de manera aleatoria en una banda horizontal (sin ningún patrón claro y

contundente), entonces es señal d que se cumple el supuesto de que los tratamientos

tienen igual varianza. Por el contrario, si se distribuyen con algún patrón claro y

contundente, como por ejemplo una forma de corneta o embudo, entonces es señal de

que no se está cumpliendo el supuesto de varianza constante.

Figura 2.3 Grafica de la varianza constante para los cuatro tipos de cuero

Independencia La suposición de independencia en los residuos puede verificarse si se grafica el orden

en que se colectó un dato contra el residuo correspondiente. De esta manera, si al

graficar en el eje horizontal el tiempo (orden de corrida) y en el eje vertical los residuos,

40200-20

99

90

50

10

1

Residuo

Po

rce

nta

je

250240230220210

30

20

10

0

-10

Valor ajustado

Re

sid

uo

3020100-10

8

6

4

2

0

Residuo

Fre

cu

en

cia

Gráfica de probabilidad normal vs. ajustes

Histograma

Gráficas de residuos para A; B; C; D

40200-20

99

90

50

10

1

Residuo

Po

rce

nta

je

250240230220210

30

20

10

0

-10

Valor ajustado

Re

sid

uo

3020100-10

8

6

4

2

0

Residuo

Fre

cu

en

cia


Histograma

Gráficas de residuos para A; B; C; D



se detecta una tendencia o patrón no aleatorio claramente definido, esto es evidencia de

que existe una correlación entre los errores y, por lo tanto, el supuesto de independencia

no se cumple. Si el comportamiento de los puntos es aleatorio dentro de una banda

horizontal, el supuesto se está cumpliendo.

La violación de este supuesto generalmente indica deficiencias en la planeación

y ejecución del experimento; asimismo, puede ser un indicador de que no se aplico en

forma correcta el principio de aleatorización, o de que conforme se fueron realizando las

pruebas experimentales aparecieron factores que afectaron la respuesta observada. Por

ello, en caso de tener problemas con este supuesto, las conclusiones que se obtienen del

análisis son endebles y por ello es mejor revisar lo hecho y tratar de investigar por qué

no se cumplió con ese supuesto de independencia, a fin de reconsiderar la situación.

En el ejemplo para comparar los cuatro tipos de cuero, las gráficas resultantes

figuras 2.2 y 2.3. Se observa el cumplimiento de los supuestos de normalidad y varianza

constante, sin embargo, en las dos gráficas es notorio un punto que se aleja bastante del

resto, el cual es un punto aberrante cuyo origen debe investigarse

Elección del tamaño de la muestra

Una decisión importante en cualquier diseño de experimentos es decidir el número de

replicas que se hará por cada tratamiento (tamaño de muestra). Por lo general, si se

esperan diferencias pequeñas entre tratamientos será necesario un mayor tamaño de

muestra.

Aunque existen varios métodos para estimar el tamaño muestral, muchas veces

tienen poca aplicabilidad porque requieren cierto conocimiento previo sobre la varianza

del error experimental.

Si recurrimos a la experiencia vemos que el número de réplicas en la mayoría de

las situaciones experimentales en las que se involucra un factor varía entre cinco y diez;

incluso, en algún caso puede llegar hasta 30. La tendencia podría inclinarse por un

extremo de este rango e incluso salirse de éste, de acuerdo con las siguientes

consideraciones:

A menor diferencia que se espera en los tratamientos, mayor será la cantidad de

réplicas si se quieren detectar diferencias significativas, y viceversa, es decir, si

se esperan grandes diferencias quizá con pocas replicas sea suficiente

Si se espera mucha variación dentro de cada tratamiento, debido a la variación

de fuentes no controladas como métodos de medición, medio ambiente, materia

prima, etc., entonces se necesitarán más réplicas

Si son varios tratamientos (cuatro o más), entonces éste es un punto favorable

para reducir el número de réplicas.

Además de lo anterior, es preciso considerar los costos y el tiempo global del

experimento. De aquí que si toman en cuenta las consideraciones antes expuestas se

podrá establecer el tamaño de muestra que permita responder en una primera fase las

preguntas más importantes que se plantearon con el experimento

Elección del tamaño de la muestra 75


Supongamos que el experimentador ya tiene el número de tratamientos que desea

probar, y que tomando en cuenta las consideraciones antes citadas tiene una propuesta

inicial del número de réplicas por tratamiento que va a utilizar, . También tiene una

idea aproximada del valor de (la desviación estándar del error aleatorio), así como una

idea de la magnitud de las diferencias, , entre tratamientos que le interesa detectar.

Por ejemplo, supongamos que en el caso de los tiempos promedio de los = 4 métodos

de ensamble (del ejemplo 1), tiene idea realizar = 5 pruebas; en cuanto a las

diferencias, le interesa detectar 2 minutos, entre un método y otro, y espera que cada

método tenga una variabilidad intrínseca de = 1,5; esto debido a factores no

controlados (habilidad del operador, cansancio, variabilidad de las partes a ensamblar,

error de medición del tiempo de ensamble, etcétera).

La formula que tentativamente debemos usar para la elección del tamaño de muestra

es:

El valor de arrojado por esta fórmula dará una idea del número de réplicas por

tratamiento, de acuerdo con las consideraciones iniciales que se reflejan a través de , y sobre todo por el número total de corridas experimentales, x

, que es lo que muchas veces interesa más al experimentador debido a los costos y

tiempos. Si está fuera del presupuesto se podrán revisar algunas consideraciones y

quizá pensar en un número menor de tratamientos.

Al aplicar esta expresión al caso de los cuatro métodos del ensamble obtenemos

con un nivel se significancia del 0,05:

= 4

= 5

= 1,5

= 2

= 0,05

=

= 5,1

Por lo tanto se debería utilizar como tamaño de muestra (número de

pruebas por tratamiento).

Ejercicios. 1 Explique en qué consiste y cuándo se debe aplicar el diseño completamente al azar

con un solo criterio de clasificación.

2 Una analista de una cadena de supermercados, quiere saber si las tres tiendas tienen el

mismo promedio en dólares por compra. Se elige una muestra aleatoria de seis compras

en cada tienda. En la siguiente tabla se presenta los datos recolectados de esta muestra

junto con las medias maestrales para cada tienda. Haga las pruebas necesarias con un

nivel de significancia de 0,01. Y concluya con un reporte de todo lo analizado a lo largo



de la unidad, en este reporte usted como analista deberá de incluir y describir todo lo

que considere importante para el cliente, es decir la gerencia del supermercado.

Tabla número 1 Datos maestrales para ANOVA (en dólares) para el ejercicio

Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3

---------------------------------------------------------------------------

12,05 15,17 9,48

23,94 18,52 6,92

14,63 19,57 10,47

25,78 21,40 7,63

17,52 13,59 11,90

18,45 20,57 5,92

3. Se hace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de spray para matar moscas.

Para ello, cada producto se aplica a un grupo de 100 moscas, y se cuentan el número de

moscas muertas expresando en porcentajes. Se hacen seis réplicas y los resultados

obtenidos se muestran a continuación

Número de replicas

Marca de spray 1 2 3 4 5 6

1

2

3

72

55

64

65

59

74

67

68

61

75

70

58

62

53

51

73

50

69

a) Formule la hipótesis adecuada y aplique el método estadístico.

b) Existe diferencia entre la efectividad promedio de los productos en spray.

c) Hay algún spray mejor, Argumente su respuesta.

d) Dé un intervalo al 95% de confianza para la efectividad promedio (porcentaje)

de cada una de las marcas

e) De ser necesario, aplique los métodos de comparación o pruebas de rangos

múltiples.

4. Para estudiar la confiabilidad de ciertos tableros electrónicos para carros, se someten

a un envejecimiento acelerado durante 100 horas a determinada temperatura, y como

variables de interés se mide la intensidad de corriente que circula entre dos puntos,

cuyos valores aumentan con el deterioro. Se probaron 20 módulos repartidos de manera

equitativamente en cinco temperaturas y los resultados obtenidos fueron los siguientes:

15

18

13

12

17

21

11

16

23

19

25

22

28

32

34

31

45

51

57

48

a) Formule la hipótesis y el modelo estadístico para el problema.

b) Realice el análisis de varianza para estos datos, a fin de estudiar si la

temperatura afecta la intensidad de corriente promedio.

Ejercicios 77


c) ¿La temperatura afecta la variabilidad de las intensidades? Es decir, verifique si

hay igual varianza entre los diferentes tratamientos.

5. Una compañía farmacéutica desea evaluar el efecto que tiene la cantidad de almidón

en la dureza de las tabletas. Se decidió producir lotes con una cantidad determinada de

almidón, y que las cantidades de almidón a probar fueron 2%, 5% y 10%. La variable de

respuesta sería el promedio de la dureza de 20 tabletas de cada lote. Se hicieron 4

réplicas por tratamiento y se obtuvieron los siguientes resultados:

% de almidón Dureza

2

5

10

4,3 5,2 4,8 4,5

6,5 7,3 6,9 6,1

9,0 7,8 8,5 8,1

a) ¿Hay evidencia suficiente de que el almidón influye en la dureza de las tabletas?

Halle el ANOVA.

b) Realice los análisis complementarios necesarios.

c) Si se desea maximizar la dureza de las tabletas, ¿qué recomendaría al fabricante?

d) Verifique los supuestos del modelo

6.- Un químico del departamento de desarrollo de un laboratorio farmacéutico desea

conocer cómo influye el tipo de aglutinante utilizado en tabletas de ampicilina de

500 mg en el porcentaje de friabilidad; para ello, se eligen los siguientes

aglutinantes: polivinilpirrolidona (PVP), carboximetilcelulosa sódica (CMC) y

grenetina (Gre). Los resultados del diseño experimental son los siguientes.

Aglutinante % de friabilidad

PVP

CMC

Gre

0,485 0,250 0,073 0,205 0,0161

9,64 9,37 9,53 9,86 9,79

0,289 0,275 0,612 0,152 0,137

a) Especifique el nombre del diseño experimental

b) ¿Sospecha que hay algún efecto significativo del tipo de aglutinante sobre la

variable de respuesta?

c) Escriba las hipótesis para probar la igualdad de medias y el modelo estadístico.

d) Realice el análisis adecuado para probar las hipótesis e intérprete los resultados.

e) Revise los supuestos, ¿hay algún problema?

7. En el siguiente experimento biológico se usan cuatro concentraciones de cierto

químico para reforzar el crecimiento en centímetros de cierto tipo de planta con el

tiempo. Se utilizan cinco plantas en cada concentración y se mide el crecimiento de

cada planta. Se toman los siguientes datos de crecimiento. También se aplica un control

(ningún químico)



concentración

Control 1 2 3 4

6,8

7,3

6,3

6,9

7,1

8,2

8,7

9,4

9,2

8,6

7,7

8,4

8,6

8,1

8,0

6,9

5,8

7,2

6,8

7,4

5,9

6,1

6,9

5,7

6,1

Utilice la prueba bilateral de Duncan en el nivel de significancia de 0,05 para comparar

de manera simultánea las concentraciones con el control.

8. En un experimento en el que se investigó la cantidad de radón liberado en las

duchas. Se usó agua enriquecida con radón, y se probaron seis diámetros diferentes de

los orificios de las regaderas. Los datos del experimento se presentan en la siguiente

tabla.

Diámetro de

Los orificios

Radón liberado (%)

0,37

0,51

0,71

1,02

1,40

1,99

80 83 83 85

75 75 79 79

74 73 76 77

67 72 74 74

62 62 67 69

60 61 64 66

a) ¿El tamaño de los orificios afecta el porcentaje promedio de radón liberado? Use

b) Encuentre el valor P para el estadístico F del inciso a)

c) Analice los residuales de este experimento.

d) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para el porcentaje promedio de

radón liberado cuando el diámetro de los orificios es 1,40

f) Use los diversos métodos de comparación o pruebas de rangos múltiples.

9.- Se describe un experimento para determinar el efecto de los vacíos de aire sobre la

resistencia porcentual conservada del asfalto. Para los fines del experimento, los vacíos

de aire se controlan en tres niveles: bajo (2-4%), medio (4-6%) y alto (6-8%). Los datos

se presentan en la tabla siguiente:

Nivel del

vacío de aire

Resistencia conservada (%)

Bajo

Medio

Alto

106 90 103 90 79 88 92 95

80 69 94 91 70 83 87 83

78 80 62 69 76 85 69 85

a) ¿Los diferentes niveles de los vacíos de aire afectan de manera significativa a la

resistencia conservada promedio? Use .

b) Encuentre el valor P para el estadístico F del inciso a)


d) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la resistencia conservada

promedio cuando hay un nivel alto de vacíos de aire.

Ejercicios 79


e) Aplique el método de la LSD. Usando , ¿cuáles medias de los

tratamientos son diferentes?

10.- Se investigaron cuatro métodos diferentes para preparar el compuesto

superconductor . Los autores sostienen que la presencia de oxígeno durante el

proceso de preparación afecta la temperatura de transición de superconducción del

material. Los métodos de preparación 1 y 2 usan técnicas que están diseñadas para

eliminar la presencia de oxígeno, mientras que los métodos 3 y 4 permiten la presencia

de oxígeno. Se hicieron cinco observaciones de (en ) para cada método, y los

resultados son los siguientes:

Método de

preparación

Temperatura de transición ( )

1

2

3

4

14,8 14,8 14,7 14,8 14,9

14,6 15,0 14,9 14,8 14,7

12,7 11,6 12,4 12,7 12,1

14,2 14,4 14,4 12,2 11,7

a) ¿Hay evidencia que apoye la afirmación de que la presencia de oxígeno durante

la preparación afecta la temperatura de transición media? Use .

b) ¿Cuál es el valor P para la prueba F del inciso anterior


d) Aplique el método de la LSD en el experimento. ¿Qué métodos de preparación

difieren se ?

11. Ejercicio. Se utilizan cuatro laboratorios para realizar análisis químicos. Muestras

del mismo material se mandan a los laboratorios para su análisis como parte del estudio

para determinar si, en promedio, dan los mismos resultados. Los resultados analíticos

para los cuatro laboratorios son los siguientes:

Laboratorios

A B C D

58,7 62,7 55,9 60,7

61,4 64,5 56.1 60,3

60,9 63,1 57,3 60,9

59,1 59,2 55,2 61,4

58,2 60,3 58,1 62,3

Realice una prueba de rango múltiple de LSD, Tukey y Duncan con un nivel de

significancia de 0,05 y 0,01, para determinar cuáles laboratorios difieren, en promedio,

en sus análisis




Excel a) En una hoja de Excel capturar primeramente la tabla de datos

b) En la misma hoja de cálculo seleccionar del cintillo superior Datos, luego

Análisis de datos

c) Seleccionar análisis de varianza de un factor en la ventana desplegada

d) En rango de entrada (en ventana de captura) seleccionar todos los grupos,

incluyendo su rótulo (sombrearlos con el mouse), automáticamente se incluyen.

e) En el siguiente recuadro seleccionar si nuestros datos están ordenados en filia o

columnas, además indicar si tenemos rótulos en los encabezados, e indicar que

los resultados los arroje en una hoja nueva



Nota: Si no aparece Análisis de datos en la parte superior derecha de la hoja de cálculo,

se deberá de activar de la siguiente manera:

En el símbolo del sistema en la parte superior izquierda de los encabezados dar

clic.

En la ventana desplegada seleccionar opciones de Excel en la parte inferior

dando un clic.

De la ventana desplegada señalar en el menú del lado izquierdo complementos

De la ventana desplegada en el lado derecho, señalar en la parte inferior de la

misma ir con un clic.

De la ventana desplegada palomear el recuadro de herramientas para análisis,

y aceptar

Nota como no está instalada esta herramienta el sistema nos preguntara si

queremos instalarla a lo que indicaremos que si, y la instalara en un par de

minutos.

Minitab En la hoja de cálculo que despliega Minitab capturar nuestra tabla de datos

indicando sus correspondientes rótulos en la primer fila que no está numerada

En el cintillo superior indicar con el mouse Estadísticas

Del menú desplegado seleccionar ANOVA, en el menú desplegado seleccionar

Un solo factor (Desapilado) y dar clic con el mouse

En ventana de captura desplegada (Análisis de varianza- Un solo factor), en la

parte izquierda aparecerán automáticamente los grupos de tabla de datos

En el cuadro superior derecho (Respuestas (en columnas separadas)) indicar

separando por un espacio (sin comas) los nombres de las columnas que

generalmente son letras, esto también se logra dando doble clic en cada letra del

cuadro de la izquierda, automáticamente son capturadas

En nivel de confianza por default es 95%



Señalar Aceptar y nos arrojara el resultado ANOVA en la parte superior de la

hoja de calculo

Si queremos hacer comparaciones de rango múltiples, entonces señalamos de la

ventana anterior comparaciones dando un clic.

En la ventana desplegada señalaremos las comparaciones que queramos, y en

control nivel del grupo indicamos la A, y damos clic en aceptar



Si queremos las graficas del supuesto del modelo entonces, damos clic a

gráficas (antepenúltima ventana) y señalamos tres en uno y damos clic en

aceptar

84

Capítulo 3

Diseño de bloques

3.1. Diseños en bloques completos al azar.

3.2. Diseño en cuadrado latino.

3.3. Diseño en cuadrado grecolatino.

3.4. Uso de un software estadístico.

Diseño en bloques completos al azar 85


Competencias a desarrollar

Identificar las características generales y los usos que se le dan a los diseños en

bloques.

Explicar la definición del diseño en bloques completos al azar, así como su

hipótesis, modelo estadístico y análisis de varianza.

Describir la selección y la aleatorización del diseño en cuadro latino y su

diferencia con el diseño en cuadro grecolatino

3. 1. Diseños en bloques completos al azar.

Cuando se quieren comparar ciertos tratamientos o estudiar el efecto de un factor, es

deseable que las posibles diferencias se deban principalmente al factor de interés y no a

otros factores que no se consideran en el estudio. Cuando esto no ocurre y existen otros

factores que no se controlan o nulifican para hacer la comparación, las conclusiones

podrían ser afectadas sensiblemente.

Por ejemplo, supongamos que se quieren comparar varias máquinas, si cada máquina es

manejada por un operador diferente y se sabe que éste tiene una influencia en el

resultado, entonces es claro que el factor operador debe tomarse en cuenta si se quiere

comparar a las máquinas de manera justa.

Un operador más hábil puede hacer ver a su máquina (aunque ésta sea la peor)

como la que tiene el mejor desempeño, lo cual impide hacer una comparación adecuada

de los equipos.

Para evitar este sesgo hay dos maneras de anular el posible efecto del factor

operador: la manera lógica es utilizar el mismo operador en las cuatro maquinas; sin

embargo, tal estrategia no siempre es aconsejable, ya que utilizar el mismo sujeto

elimina el efecto del factor operador pero restringe la validez de la comparación con

dicho operador, y es posible que el resultado no se mantenga al utilizar a otros

operadores. La otra forma de anular el efecto operador en la comparación consiste en

que cada operador trabaje durante el experimento con cada una de las máquinas. Esta

estrategia es la más recomendable, ya que utilizar a todos los operadores con todas las

máquinas permite tener resultados de la comparación que son válidos para todos los

operadores. Esta forma de nulificar el efecto de operadores, recibe el nombre de

bloqueo.

Factores de bloque A los factores adicionales al factor de interés que se incorporan de manera explícita en

un experimento comparativo se les llama factores de bloque. Éstos tienen la

particularidad de que no se incluyen en el experimento porque interese analizar su

efecto, sino como un medio para estudiar de manera adecuada y eficaz al factor de

interés.

Los factores de bloque entran al estudio en un nivel de importancia secundaria

con respecto al factor de interés y, en este sentido, se puede afirmar que se estudia un

solo factor, porque es uno el factor de interés.

86 CAPÍTULO 3 Diseño de bloques


En un diseño en bloques completos al azar (DBCA) se consideran tres fuentes de

variabilidad:

El factor de tratamientos

El factor de bloque

El error aleatorio

es decir, se tienen tres posibles ¨culpables¨ de la variabilidad presente en los datos. La

palabra completo en el nombre del diseño se debe a que en cada bloque se prueban

todos los tratamientos, o sea, los bloques están completos. La aleatorización se hace

dentro de cada bloque; por lo tanto, no se realiza de manera total como en el diseño

completamente al azar.

Los factores de bloqueo que aparecen en la práctica son: Turno, lote, día, tipo de

material, línea de producción, operador, maquina, método, etc.

Supongamos una situación experimental con k tratamientos y b bloques. El

aspecto de los datos para este caso se muestra en la tabla 3,1. Considerando una

repetición en cada combinación de tratamiento y bloque.

Tabla 3.1 Arreglo de los datos en un diseño en bloques completos al azar

Tratamiento Bloque

…

1

2

3

.

k

.

.

.

…

.

.

.

.

…

Modelo estadístico

Cuando se decide utilizar un DBCA, el experimentador piensa que cada medición será

el resultado del efecto del tratamiento donde se encuentre, del efecto al que pertenece y

de cierto error que se espera sea aleatorio. El modelo estadístico para este diseño está

dado por:

donde

Es la medición que corresponde al tratamiento y al bloque

Es la media global poblacional

Es el efecto debido al tratamiento Es el efecto debido al bloque

Es el error aleatorio atribuible a la medición



Hipótesis a probar

La hipótesis de interés es la misma para todos los diseños comparativos, y está pada

por:

que también se puede expresar como

En cualquiera de estas hipótesis la afirmación a probar es que la respuesta media

poblacional lograda con cada tratamiento es la misma para los tratamientos y que, por

lo tanto, cada respuesta media es igual a la media global poblacional . De manera

alternativa, es posible afirmar que todos los efectos de tratamiento sobre la variable de

respuesta son nulos, porque cuando el efecto , entonces necesariamente

la respuesta media del tratamiento es igual a la media global ( ).


La hipótesis dada se prueba con un análisis de varianza con dos criterios de

clasificación, porque se controlan dos fuentes de variación: el factor de tratamientos y el

factor de bloque. En la tabla 3.2 se muestra el aspecto del ANOVA para diseño DBCA.

Tabla 3.2 ANOVA para un diseño en bloques completos al azar Fuentes de

variabilidad

Suma de

cuadrados

Grado de

libertad

Cuadrado

medio Valor-p

Tratamientos

Bloques

Error

Total

SCTRAT

SCB

SCE

SCT

K – 1

b – 1

(k – 1)(b – 1)

N - 1

CMTRAT

CMB

CME

Los cálculos necesarios pueden ser manuales, pero siempre es más práctico

hacerlos con un software estadístico, porque además proporciona muchas otras opciones

gráficas y tabulares útiles (no sólo el ANOVA). Utilizando la notación de puntos, las

fórmulas más prácticas para calcular las sumas de cuadrados son:



y la del error se obtiene por sustracción como:

Ejemplo

En el ejemplo donde se planteo la comparación de los cuatro métodos de ensamble,

ahora se va a controlar activamente en el experimento a los operadores que realizaran el

ensamble, lo que da lugar al siguiente diseño en bloques completamente al azar.

Método Operador

1 2 3 4

A

B

C

D

6

7

10

10

9

10

16

13

7

11

11

11

8

8

14

9

Recordemos que la variable de respuesta son los minutos en que se realiza el

ensamble. Para comparar los cuatro métodos se plantea la hipótesis:

=

la cual se prueba mediante el análisis de varianza dado en la siguiente tabla( Excel y

Minitab)

Nota: para capturar la tabla en Excel se sombrea totalmente, tal y como está indicada la

tabla anterior, en la herramienta de Análisis de varianza de dos factores con una sola

muestra por grupo)

RESUMEN Cuenta Suma Promedio Varianza

A 4 30 7,5 1,66666667

B 4 36 9 3,33333333

C 4 51 12,75 7,58333333

D 4 43 10,75 2,91666667

Operador 4 33 8,25 4,25

4 48 12 10

4 40 10 4

4 39 9,75 8,25



Filas 61,5 3 20,5 10,25 0,002919257 3,862548358

Columnas 28,5 3 9,5 4,75 0,029845948 3,862548358

Error 18 9 2

Total 108 15

Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo



De esta tabla se observa que para los métodos se obtuvo un valor-p = 0,003

, por lo que se rechaza la de que el tiempo medio poblacional de los

métodos de ensamble son iguales, y se acepta que al menos dos de los métodos son

diferentes en cuanto al tiempo medio que se requiere.

De la misma manera para operadores, como su valor-p = 0,030 , el

factor de bloque (operadores) también afecta, es decir, existen diferencias entre los

operadores en cuanto al tiempo promedio.

Resultados arrojados en Minitab 15

ANOVA de dos factores: Dato vs. Método; Operador

Fuente GL SC MC F P

Método 3 61,5 20,5 10,25 0,003

Operador 3 28,5 9,5 4,75 0,030

Error 9 18,0 2,0

Total 15 108,0


Calculo manual para Diseño de bloque

ANOVA para el diseño bloque

Fuente de

variaciones

SC GL CM F Valor

crítico

para F

Tratamientos

Bloque

Error

Total



1.- Suma de cuadrados de tratamientos o variabilidad debida a la diferencia entre las

marcas de llantas, bloque 1 y bloque 2

2.- Suma total de cuadrados o variabilidad total de los datos

3.- Suma de cuadrados del error o variabilidad dentro de métodos de ensamble

4.- Cuadrados medios de tratamientos, del bloque, y del error

5- Estadístico de prueba

Concentrado en tabla

ANOVA

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promedio de

los cuadrados F

Valor

crítico

para F

61,5 3 20,5 10,25

3,8625483

28,5 3 9,5 4,75

3,8625486

18 9 2

108 15



Comparación de parejas de medias de tratamiento en el DBCA.

Cuando se rechaza la hipótesis de igualdad de los cuatro tratamientos, es natural

preguntarse cuáles de ellos son diferentes entre sí. Para averiguarlo se utiliza alguna de

las pruebas que se estudiaron en la sección ¨Comparaciones o pruebas de rangos

múltiples¨ del capítulo anterior. Por ejemplo, recordemos que la Diferencia mínima

significativa (LSD) para dos tratamientos, en un DCA está dada por

Entonces, en bloque esta expresión se transforma en

donde b es el número de bloques, que hace las veces de número de réplicas, y (k-1)(b-1)

son los grados de libertad del

De aquí que en el ejemplo de los cuatro métodos de ensamble tenemos que

= = 2,26 (valor buscado en tablas de T

de estudent)

Al comparar esta diferencia mínima significativa con los datos se obtiene la siguiente

tabla:


Diferencia muestral

-1,5 2,26

-5,25 2,26

-3,25 2,26

-3,75 2,26

-1,75 2,26

2,00 2,26

Decisión

No significativo

Significativo

Significativo

Significativo

No significativo

No significativo

Ejercicios

1.- ¿En qué situaciones se aplica un diseño en bloques completos al azar? ¿En qué

diferentes los factores de tratamiento y de bloque?

2.- Se hace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de atomizador para matar

moscas. Para ello, cada producto se aplica a un grupo de 100 moscas, y se cuenta el

número de moscas muertas expresando en porcentajes. Se hicieron seis replicas, pero

en días diferentes; por ello, se sospecha que puede haber algún efecto importante debido

a esta fuente de variación. Los datos obtenidos se muestran a continuación.



Marca del atomizador Número de replicas (día)

A

B

C

72

55

64

65

59

74

67

68

61

75

70

58

62

53

51

73

50

69

a) Suponiendo un DBCA, formule las hipótesis adecuadas y el modelo estadístico.

b) ¿Existe diferencia entre la efectividad promedio de los atomizadores?

c) ¿Hay algún atomizador mejor? Argumente su respuesta

d) ¿Hay diferencias significativas en los resultados de diferentes días en que se

realizó el experimento? Argumente su respuesta

ANOVA de dos factores: datos vs. Spray, replicas Minitab

Fuente GL SC MC F P

Spray 2 296,33 148,167 2,88 0,103

replicas 5 281,33 56,267 1,09 0,421

Error 10 514,33 51,433

Total 17 1092,00

a)

=

a) No existe diferencias entre la efectividad de los spray

b) No existe evidencia estadísticas para suponer lo que existe algún spray mejor

que el otro

c) =

En el ANOVA para los diferentes días de los spray se acepta la hipótesis nula

de que no importa el día, es decir son iguales

3.- A continuación se muestran los datos para un diseño en bloque al azar

Tratamiento Bloque

1 2 3 4

A

B

C

3

7

4

4

9

6

2

3

3

6

10

7



Filas 296,3333333 2 148,1666667 2,88075178 0,102804418 4,102821015

Columnas 281,3333333 5 56,26666667 1,09397278 0,420717751 3,325834529

Error 514,3333333 10 51,43333333

Total 1092 17



a) Obtenga la tabla de análisis de varianza y anote los principales conclusiones

b) Obtenga la diferencia mínima significativa (LSD) para comparar tratamientos en

este diseño en bloque.

a) valor-p = 0,0057 , por lo que se rechaza la , es decir existe

diferencia entre los tratamientos

valor-p = 0,0032 , el factor de bloque (tratamientos) también afecta, es

decir, existen diferencias entre el bloque, por lo que se rechaza la

b) = =

c)

=


Diferencia muestral

-3,5 1,65

-1,25 1,65

2,25 1,65

Decisión

Significativo

No Significativo

Significativo

5.- En una empresa lechera se tienen varios silos para almacenar leche (cisternas de 60

000 L). Un aspecto crítico para que se conserve la leche es la temperatura de

almacenamiento. Se sospecha que en algunos silos hay problemas, por ello, durante

cinco días se decide registrar la temperatura a cierta hora crítica. Obviamente la

temperatura de un día a otro es una fuente de variabilidad que podría impactar la

variabilidad total.

RESUMEN Cuenta Suma Promedio Varianza

A 4 15 3,75 2,916666667

B 4 29 7,25 9,583333333

C 4 20 5 3,333333333

Tratamiento 3 14 4,666666667 4,333333333

3 19 6,333333333 6,333333333

3 8 2,666666667 0,333333333

3 23 7,666666667 4,333333333



Filas 25,16666667 2 12,58333333 13,72727273 0,005768838 5,14325285

Columnas 42 3 14 15,27272727 0,003244859 4,757062664

Error 5,5 6 0,916666667

Total 72,66666667 11

Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo



Día

Silo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

A

B

C

D

E

4,0

5,0

4,5

2,5

4,0

4,0

6,0

4,0

4,0

4,0

5,0

2,0

3,5

6,5

3,5

0,5

4,0

2,0

4,5

2,0

3,0

4,0

3,0

4,0

4,0

a) En este problema, ¿cuál es el factor de tratamiento u cuál el factor de bloque?

b) Suponga un DBCA, formule las hipótesis adecuadas y el modelo estadístico.

c) ¿Hay diferencia entre los silos?

d) ¿La temperatura de un día a otro es diferente?

e) Revise residuos, ¿hay algún problema evidente?

6.- Se diseño un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes. Las

siguientes lecturas de ¨blancura¨ se obtuvieron con un equipo especial diseñado para 12

cargas de lavado, distribuidas en tres modelos de lavadoras:

Detergente Lavadora 1 Lavadora 2 Lavadora 3

A

B

C

D

45

47

50

42

43

44

49

37

51

52

57

49

a) Señale el nombre del diseño experimental utilizado

b) Formule la hipótesis que se quiere probar en este problema

c) Realice el análisis estadístico más apropiado para estos datos y obtenga

conclusiones.

7.- Se realizo un experimento para determinar el efecto de cuatro sustancias químicas

diferentes sobre la resistencia de una tela. Estas sustancias químicas se usan como parte

del proceso de acabado del planchado permanente. Se seleccionaron cinco muestras de

tela, y se corrió un diseño de bloques completos aleatorizados para probar cada tipo de

sustancia química sobre cada muestra de tela en orden aleatorio. Se probarán las

diferencias de las medias utilizadas en el análisis de varianza con

Muestra de tela

Sustancia

Química

1 2 3 4 5

1

2

3

4

1,3

2,2

1,8

3,9

1,6

2,4

1,7

4,4

0,5

0,4

0,6

2,0

1,2

2,0

1,5

4,1

1,1

1,8

1,3

3,4

a) Señale el nombre del diseño experimental utilizado

b) Formule la hipótesis que se quiere probar en este problema

c) Realice el análisis estadístico más apropiado para estos datos y obtenga

conclusiones.



3.2. Diseño en cuadrado latino

En el diseño en cuadro latino (DCL) se controlan dos factores de bloque y se estudia un

factor de tratamientos, por lo que se tienen cuatro fuentes de variabilidad que pueden

afectar la respuesta observada, estas son:

Los tratamientos

El factor de bloque I (renglones)

El factor de bloque II (columnas)

El error aleatorio

Se llama cuadro latino por dos razones: es un cuadro debido a que tiene la

restricción adicional de que los tres factores involucrados se prueban en la misma

cantidad de niveles, y es latino porque se utilizan letras latinas para denotar a los

tratamientos o niveles del factor de interés. Sean A, B, C, …, K, los k tratamientos a

comparar, por lo tanto ambos factores de bloques tienen también k niveles cada uno. El

aspecto de los datos se muestra en la siguiente tabla.

Bloque II (columnas)

1 2 3 … k

Bloque I

(renglones)

1

2

3

.

.

k

A = Y111

B = Y221

C = Y331

.

.

K = Ykk1

B = Y212

C = Y322

D = Y432

.

.

A = Y1k2

C = Y313

D = Y423

E = Y533

.

.

B = Y2k3

…

…

…

…

K = YK1K

A = Y12K

B = Y23K

.

.

J = YJkK

Ahora se necesitan al menos tres subíndices, por ejemplo, la respuesta Y313 se

generó en el tratamiento tres (C), en el primer nivel del factor renglón y en el tercer

nivel del factor columna.

El modelo estadístico para describir el comportamiento de las observaciones está

dado por

donde es la observación del tratamiento , en el nivel , del factor renglón y en el

nivel del factor columna; es el error atribuible a dicha observación. De acuerdo

con este modelo, la variabilidad total presente en los datos se puede descomponer como

y los grados de libertad correspondientes son

El ANOVA para el diseño en cuadro latino se muestra en la tabla 3.4. En él se

prueba la hipótesis sobre los efectos de tratamiento del factor renglón y del factor



columna. Otra vez, la hipótesis fundamental es la de los tratamientos; las otras dos

proporcionan un adicional al objetivo inicial y permiten comprobar la relevancia de

controlar los factores de bloque.

Tabla 3.4 ANOVA para el cuadro latino

Fuentes de

variabilidad

Suma de

cuadrados

Grado de

libertad

Cuadrado

medio Valor-p

Tratamientos

Renglones

Columnas

Error

Total

SCTRAT

SCB1

SCB2

SCE

SCT

k – 1

k – 1

k – 1

(k – 2)(k – 1)

k2 - 1

CMTRAT

CMB1

CMB2

CME

Selección y aleatorización de un cuadro latino. No cualquier arreglo de letras latinas

en forma de cuadro es cuadro latino, la regla fundamental es que cada letra debe

aparecer sólo una vez en cada renglón y en cada columna. Un cuadro latino estándar es

aquel en el que en la primera columna y en el primer renglón aparecen las letras en

orden alfabético. Por ejemplo, un cuadro latino estándar de tamaño cuatro está dado por:

A B C D

B C D A

C D A B

D A B C

Existen además los siguientes tres cuadros latinos de dimensión cuatro:

y

Para cuatro tratamientos se pueden construir un total de 576 cuadros latinos de

los cuales cuatro son estándar. La selección del diseño debería ser elegir uno al azar de

los 576 posibles; no obstante, es prácticamente imposible construirlos a todos para

seleccionar uno al azar. Sin embargo, ocurre que dado un cuadro latino, cualquier

intercambio de columnas o de renglones es también cuadro latino, por eso la estrategia

de selección y aleatorización recomendada en la práctica es la siguiente:

A B C D

B A D C

C D B A

D C A B

A B C D

B D A C

C A D B

D C B A

A B C D

B A D C

C D A B

D C B A

Diseño en cuadro latino 97


Se construye el cuadro latino estándar más sencillo.

Se aleatoriza el orden de los renglones (o columnas) y posteriormente se

aleatoriza el orden de las columnas (o renglones).

Por último, los tratamientos a comparar se asignan en forma aleatoria a

las letras latinas.

El cuadro latino tiene dos restricciones a la aleatorización debido a los dos

factores de bloque, lo que implica que a la hora de correr el experimento no hay ningún

margen de aleatorización. Es decir, se puede correr por columna o por renglón según

convenga. Lo que no es correcto es hacer todas las pruebas de un tratamiento, y luego

todas las de otro, y así sucesivamente, puesto que se puede introducir ruido adicional

debido a factores no controlables que cambian con el tiempo.

Ejemplo.

Comparación de cuatro marcas de llantas. Una compañía de mensajería está

interesada en determinar cuál marca de llantas tiene mayor duración en términos del

desgaste. Para ello se planea un experimento en cuadro latino, en el que se comparan las

cuatro marcas de llantas sometiéndolas a una prueba de 32 000 kilómetros de recorrido,

utilizando cuatro diferentes tipos de auto y las cuatro posiciones posibles de las llantas

en el auto. Así, el factor de interés es el tipo de llantas o marca, y se controlan dos

factores de bloque: el tipo de carro y la posición de la llanta en el auto. Estos factores de

bloque se controlan ya que, por experiencia, se sabe que el tipo de carro y la posición

de la llanta tienen efecto en el desgaste de la misma.

La elección del cuadro latino a utilizar se hace antes de obtener los datos. Para

ello, a partir de un cuadro latino inicial se aleatorizan las columnas y los renglones;

después, las diferentes marcas de llantas se asignan de manera aleatoria a las letras

latinas que denotan los niveles del factor de interés

Posición Carro

1 2 3 4

1

2

3

4

C = 12

B = 14

A = 17

D = 13

D = 11

C = 12

B = 14

A = 14

A = 13

D = 11

C = 10

B = 13

B = 8

A = 3

D = 9

C = 9

Las pruebas se hacen al mismo tiempo con choferes, a quienes se les instruye

para que manejen de manera similar sobre el mismo terreno para los cuatro

automóviles. Al hacer las pruebas de los cuatro autos al mismo tiempo se evita el efecto

del ambiente en el desgaste; asimismo, el conductor y el tipo de terreno podrían influir,

pero se considera suficiente mantenerlos lo más homogéneo posible durante el

experimento. El diseño y los datos observados se muestran en la tabla anterior. Se

mide la diferencia máxima entre el grosor de la llanta nueva y el grosor de la llanta

después de recorrido los 32 000 kilómetros. Obviamente, a mayor diferencia en grosor

mayor desgaste. Las unidades de medición son milésimas de pulgada



ANOVA resultante

Fuente de

variabilidad

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promedio de los

cuadrados F Valor-p

Valor crítico

para F

Marca 5,6875 3 10 0,37 0,775 4,76

Posición 16,1875 3 2,0625 1,07 0,431 4,76

Carro 103,6875 3 12,8958 6,83 0,023 4,76

Error 30,375 6 0,895833

Total 155,9375 15

Se observa que nuestro punto critico tanto para la posición, el tipo de carro y las

marcas es de 4,76. Concluimos que en las marcas y posición no existe evidencia de que

esta influya por lo que se acepta la hipótesis nula de que son iguales a un nivel de

significancia de = 0,05. En cuanto al tipo de carro observamos que este si influye en

el desgaste de las llantas por lo que rechazamos la hipótesis nula

Resultado arrojado en Minitab

Modelo lineal general: Desgaste vs. Posición, Carro, Marcas

Factor Tipo Niveles Valores

Posición fijo 4 1, 2, 3, 4

Carro fijo 4 1, 2, 3, 4

Marcas fijo 4 A, B, C, D

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P

Posición 3 16,188 16,187 5,396 1,07 0,431

Carro 3 103,688 103,688 34,563 6,83 0,023

Marcas 3 5,687 5,687 1,896 0,37 0,775

Error 6 30,375 30,375 5,062

Total 15 155,938

Calculo manual para ANOVA de cuadro latino

Fuente de

variaciones

SC GL CM F Valor

crítico

para F

Tratamientos

Bloque 1

(filas)

Bloque 2

(columnas)

Error

Total



Sumas básicas para el cálculo manual

Posición, carro y marca Operaciones básicas

C = 12 D = 11 A = 13 B = 8

B = 14 C = 12 D = 11 A = 3

A = 17 B = 14 C = 10 D = 9

D = 13 A = 14 B = 13 C = 9

Suma de los cuadrados de los tratamientos

Suma de los cuadrados de filas (bloque 1)

Suma de los cuadrados de las columnas (bloque 2)

suma

de los datos

total de medición

media global

Suma total por Tratamiento ( Sumatoria de las letras A,B,C y D correspondientes

47 49 43 44

Suma total por fila Bloque 1 ( 44 40 50 49

Suma total por columna Bloque II

( 56 51 47 29

1.- Suma de cuadrados de tratamientos o variabilidad debida a la diferencia entre las

marcas de llantas, bloque 1 y bloque 2

2.- Suma total de cuadrados o variabilidad total de los datos

3.- Suma de cuadrados del error o variabilidad dentro de métodos de ensamble

4.- Cuadrados medios de tratamientos, del bloque 1, del bloque 2 y del error



5- Estadístico de prueba

ANOVA para el diseño del cuadro latino

Fuente de

variaciones

SC GL CM F Valor crítico

para F

Tratamientos 5,68 3 1,89 0,37 4,76

Renglones

(Bloque 1)

16,19 3 5,39 1,06 4,76

Columnas

(Bloque2)

103,69 3 34,56 6,83 4,76

Error 30,37 6 5,06

Comprobación de supuestos. Como se comentó antes, la validez del análisis de

varianza recae en tres supuestos que siempre deben verificarse:

Normalidad

Varianza constante

Independencia de los residuos

Además de la ausencia de observaciones atípicas o aberrantes. Como se observa en

la figura 3.6, el supuesto de normalidad se cumple al caer los residuos o puntos ¨más o

menos en línea recta¨ (Grafica de probabilidad normal). También se cumple el supuesto

de varianza constante de acuerdo a la grafica de residuos vs valor ajustado, y en la

grafica de residuos vs orden de observación, en la que los residuos se ubican

aleatoriamente dentro de una banda horizontal; su dispersión vertical es la misma a lo



largo de los gráficos. No se comprobó el supuesto de independencia porque no se

conoce el orden en que se realizaron las mediciones del desgaste.

Figura 3.6 Gráficas de residuos para la verificación de supuestos

420-2-4

99

90

50

10

1

Residuo

Por

cent

aje

15,012,510,07,55,0

1

0

-1

-2

-3

Valor ajustado

Res

iduo

10-1-2-3

4

3

2

1

0

Residuo

Frec

uenc

ia

16151413121110987654321

1

0

-1

-2

-3

Orden de observación

Res

iduo


Histograma vs. orden

Gráficas de residuos para Desgaste

Ejercicios

1.- Las letras A, B, C y D representan cuatro variedades de trigo; los renglones

representan cuatro diferentes fertilizantes; y las columnas 4 anos diferentes. Los datos

de la siguiente tabla son los rendimientos para las cuatro variedades de trigo, medidas

en kilogramos por parcela. Se supone que las diversas fuentes de variación no

interactúan. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la ; no hay

diferencia en los rendimientos promedio de las cuatro variedades de trigo

Rendimiento del trigo (kg por parcela)

Modelo lineal general: Rendimiento vs. Fertilizante, Ano, Trigo

Factor Tipo Niveles Valores

Fertilizante fijo 4 1, 2, 3, 4

Ano fijo 4 1, 2, 3, 4

Trigo fijo 4 A, B, C, D


Fertilizantes 1981 1982 1983 1984

Fertilizante 1 A

70

B

75

C

68

D

81

Fertilizante 2 D

66

A

59

B

55

C

63

Fertilizante 3 C

59

D

66

A

39

B

42

Fertilizante 4 B

41

C

57

D

39

A

55



Fertilizante 3 1557,19 1557,19 519,06 11,92 0,006

Ano 3 417,69 417,69 139,23 3,20 0,105

Trigo 3 263,69 263,69 87,90 2,02 0,213

Error 6 261,37 261,37 43,56

Total 15 2499,94

La variabilidad debida al fertilizante, años y tipos de tratamiento. La = 2,02 es

sobre 3 y 6 grados de libertad El valor p de aproximadamente 0,2 es en realidad

demasiado grande para concluir que las variedades de trigo afectan de manera

significativa el rendimiento.

2.- El departamento de matemáticas de una universidad desea evaluar las capacidades

de enseñanza de cuatro profesores. A fin de eliminar cualquier efecto debido a los

diferentes cursos de matemáticas y los diferentes horarios, se decide realizar un

experimento con el uso de un diseño de cuadros latinos en que las letras A, B, C y D

representan a los cuatro diferentes profesores. Cada profesor ensena una sección de cada

de cuatro diferentes cursos programados en cada uno de los cuatro diferentes horarios

durante el día. Los datos muestran las calificaciones asignadas por estos profesores a 16

estudiantes de aproximadamente igual capacidad. Utilice un nivel de significancia de

0,05 para probar la hipótesis de que los diferentes profesores no tienen efecto en las

calificaciones.

Horario Curso

Álgebra Geometría Estadística Cálculo

1

2

3

4

A 84

B 91

C 59

D 75

B 79

C 82

D 70

A 91

C 63

D 80

A 77

B 75

D 97

A 93

B 80

C 68

3.- Una empresa fabricante quiere investigar los efectos de cinco aditivos de color en el

tiempo de fraguado de una mezcla de concreto nueva. Las variaciones en el tiempo de

fraguado se pueden esperar de los cambios diarios en la temperatura y humedad y

también de los diferentes trabajadores que preparan los moldes de prueba. Para eliminar

estas fuentes externas de variación se utiliza un diseño de cuadro latino de 5 x 5 en el

que las letras A, B, C, D y E representan los cinco aditivos. Los tiempos de fraguado, en

horas, para los 25 moldes. El nivel de significancia de 0,05, ¿Podemos decir que los

aditivos de color tienen algún efecto en el tiempo de fraguado de la mezcla de concreto?

Día

Trabajador 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

D 10,7

E 11,3

A 11,8

B 14,1

C 14,5

E 10,3

C 10,5

B 10,9

A 11,6

D 11,5

B 11,2

D 12,0

C 10,5

E 11.0

A 11,5

A 10,9

B 11,5

D 11,3

C 11,7

E 12,7

C 10,5

A 10,3

E 7,5

D 11,5

B 10,9

4.- Se quiere estudiar el efecto de cinco diferentes catalizadores (A, B, C, D y E) sobre

el tiempo de reacción de un proceso químico. Cada lote de material sólo permite cinco



corridas y cada corrida requiere aproximadamente 1,5 horas por lo que sólo se pueden

realizar cinco corridas diarias. El experimentador decide correr los experimentos con un

diseño en cuadro latino para controlar activamente a los lotes y días. Los datos

obtenidos son:

Día

Lote 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

A 8

C 11

B 4

D 6

E 4

B 7

E 2

A 9

C 8

D 2

D 1

A 7

C 10

E 6

B 3

C 7

D 3

E 1

B 6

A 8

E 3

B 8

D 5

A 10

C 8

a) ¿Cómo se aleatoriza el experimento?

b) Anote la ecuación del modelo y las hipótesis estadísticas correspondientes

c) ¿Existen diferencias entre los tratamientos? ¿Cuáles tratamientos son diferentes

entre si?

d) Verifique los supuestos del modelo, considerando que los datos se obtuvieron

columna por columna, día a día

5.- Se comprueba el peso en gramos de un material de tres proveedores: A, B y C, por

tres diferentes inspectores: I, II y III, utilizando tres diferentes escalas: 1,2 y 3. El

experimento se lleva a cabo como el siguiente cuadro latino:

Escala

Inspector 1 2 3

I

II

III

A 16

B 15

C 13

B 10

C 9

A 11

C 11

A 14

B 13

a) ¿Hay diferencias entre los proveedores?

b) ¿Hay diferencias entre los inspectores y entre las escalas?

c) Si el peso debe ser 15 g, ¿cuál proveedor es mejor?

d) Si algún factor de bloque es no significativo, elimínelo y haga el análisis

adecuado

6.- Cuando se comparan varios fertilizantes o diferentes variedades de cierto cultivo, es

típico que se deba considerar el gradiente de fertilidad del suelo (factor columna) o los

efectos residuales de cultivos previos (factor renglón). Considerando estos factores de

bloque, Gómez y Gómez (1984) plantean un experimento en cuadro latino para

comparar, en cuanto a rendimiento en toneladas por hectárea, tres variedades de maíz

hibrido (A, B, C) y una variedad control (D). Para ello, se utiliza un campo agrícola

cuadrado de 16 hectáreas, dividido en parcelas de una hectárea. Los datos de

rendimiento obtenidos en cada parcela se muestran a continuación:



Ren Col 1 2 3 4

1

2

3

4

B 1,640

C 1,475

A 1,670

D 1,565

D 1,210

A 1,185

C 0,710

B 1,290

C 1,425

D 1,400

B 1,665

A 1,655

A 1,345

B 1,290

D 1,180

C 0,660

a) ¿Existen diferencias en los rendimientos de las diferentes variedades de maíz?

b) ¿Cuál de los factores de bloque tuvo efectos?

c) ¿Se habrían detectado las mismas diferencias en los tratamientos con un diseño

completamente al azar?

d) ¿Y con un diseño en bloques completos al azar?

3.3. Diseño en cuadrado grecolatino

Con el diseño en cuadro grecolatino (DCGL) se controlan tres factores de bloque,

además del factor de tratamiento. Se llama cuadro grecolatino porque los cuatro factores

involucrados se prueban en la misma cantidad de niveles, de aquí que se pueda escribir

como un cuadro (ver tabla 3.5); además, se utilizan letras latinas para denotar a los

tratamientos y letras griegas para nombrar a los niveles del tercer factor de bloque.

Tabla 3.5 Diseño en cuadro grecolatino

Columnas

1 2 3 4

Ren

glo

nes

1

2

3

4

A

B

C

D

B

A

D

C

C

D

A

B

D

C

B

A

Al igual que en el cuadro latino, cada letra (latinas y griegas) debe aparecer sólo

una vez en cada renglón y en cada columna. Además, cada par de letras debe aparecer

sólo una

vez en todo el arreglo. El modelo estadístico que describe a las mediciones en un

cuadro grecolatino está dado por

donde es la observación o respuesta que se encuentra en el tratamiento ( -ésima

letra latina), en el renglón , en la columna y en la -ésima letra griega; es el efecto

del tratamiento , es el efecto del renglón , representa el efecto de la columna y

representa el efecto de la -ésima letra griega, que son los niveles del tercer factor

de bloque; el término representa el error aleatorio atribuible a la medición .

Es importante no confundir las letras griegas del modelo que representan efectos, con

las letras griegas en el diseño que simbolizan a los niveles del tercer factor de bloque.

La variabilidad total presente en los datos se puede partir de la manera usual como

Diseño en cuadro grecolatino 105


donde las sumas , miden la variabilidad debida a los factores de

bloque renglón, columna y de letras griegas, respectivamente. Para tratamientos, los

grados de libertad correspondientes a cada suma son

Un bosquejo del análisis de varianza se muestra en la tabla 3.6, en la cual se

prueban las hipótesis de igualdad de letras latinas (tratamientos), de renglones, de

columnas y de letras griegas

Tabla 3.6 ANOVA para el diseño en cuadro grecolatino Fuente de

variabilidad

Suma de cuadrados Grados de libertad

Tratamientos

(letras latinas)

Factor de bloque I

(renglones)

Factor de bloque II

(columnas)

Factor d bloque III

(letras griegas)

Error

Total

k-1

k-1

k-1

k-1

(k-3)(k-1)

Ejemplo

En el caso del ejemplo donde se comparan los cuatro métodos de ensamble y se tiene el

factor de bloque operador, se podrían tener dos factores de bloque adicionales:

Orden en el que se hace el ensamble

Lugar donde se hace

De acuerdo con esto, el diseño en cuadro grecolatino se observa en la siguiente

tabla.



Tabla 3.7 Diseño en cuadro grecolatino para métodos de ensamble

Operador

1 2 3 4

Ord

en d

el

ensa

mble

1

2

3

4

C = 10

B

A

D

B

C

D

A

D

A

B

C

A

D

C

B

Tabla 3,8 ANOVA para el diseño en cuadro grecolatino

Fuente Suma de

cuadrados

Gl Cuadrado

medio

Razón F Valor-p F critica

Método

Operador

Orden

Lugar

Residual

Total

83,5

18,5

9,5

2,0

3,5

117,0

3

3

3

3

3

15

27,8333

6,16667

3,16667

0,666667

1,16667

23,86

5,29

2,71

0,57

0,0135

0,1024

0,2170

0,6714

9,28

Resultado arrojado en Minitab Modelo lineal general: promedio vs. Método; operador; orden; lugar Factor Tipo Niveles Valores

Método fijo 4 1; 2; 3; 4

operador fijo 4 1; 2; 3; 4

orden fijo 4 1; 2; 3; 4

lugar fijo 4 1; 2; 3; 4


Método 3 9,500 9,500 3,167 2,71 0,217

operador 3 18,500 18,500 6,167 5,29 0,102

orden 3 83,500 83,500 27,833 23,86 0,014

lugar 3 2,000 2,000 0,667 0,57 0,671

Error 3 3,500 3,500 1,167

Total 15 117,000


El análisis de varianza para el ejemplo se aprecia que el único efecto

significativo son los tratamientos (métodos), y ninguno de los factores de bloque tiene

un efecto significativo sobre el tiempo de ensamble. El factor operador tiene un valor-p

bajo, lo cual indica que podría tener un efecto significativo; sin embargo, en este

experimento fue imposible detectarlo. Si contrastamos con respecto a F critica para los

cuatro casos F en tablas es F = 9,28, por lo cual se rechaza la hipótesis nula para

método, en cuanto para operador, orden y lugar se acepta.

Diseño en cuadro grecolatino 107


Ejercicios.

1.- Una compañía distribuidora ubicada en los suburbios está interesada en estudiar la

diferencia en costos (tiempo y gasolina) entre las cuatro rutas (A, B, C, D) que llegan a

la zona comercial, más importante para ellos, en el otro extremo de la ciudad. Deciden

correr un experimento en cuadro grecolatino controlando los factores de bloque chofer,

marca de vehículo ( ) y día de la semana. El experimento se repite en dos

semanas diferentes, en las cuales no hay días festivos ni quincenas. Los costos

observados en pesos se muestran en la siguiente tabla:

Chofer/día Lunes Martes Miércoles Jueves

Carlos

Enrique

Genaro

Luis

825, 750

650, 725

700, 675

475, 480

585, 610

540, 560

650, 740

560, 615

550, 580

580, 635

635, 540

650, 725

580, 650

850, 770

450, 550

670, 730

a) Haga el análisis de varianza de este experimento

b) Realice las pruebas de comparaciones múltiples para los factores significativos

c) Represente los tratamientos y factores de bloque usando gráficas de medias y

diagrama de dispersión.

d) ¿Cuál es la mejor ruta? ¿Cuál es la peor?

e) ¿Hay diferencias significativas entre los choferes? ¿Y entre el tipo o marca de

unidad?

2.- El rendimiento de un proceso químico se midió utilizando cinco lotes de materia

prima, cinco concentraciones del ácido, cinco tiempos de procesamiento (A, B, C, D y

E) y cinco concentraciones del catalizador ( , ). Se usó el cuadrado grecolatino

siguiente. Analizar los datos de este experimento (utilizar = 0,05) y sacar

conclusiones.

Concentración de ácido

Lote 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

A 26

B 18

C, 20

D 15

E, 10

B, 16

C 21

D, 12

E 15

A, 24

C, 19

D, 18

E 16

A 22

B, 17

D 16

E, 11

A, 25

B 14

C, 17

E, 13

A, 21

B 13

C 17

D, 14




Para capturar los datos en Minitab para el diseño de bloques se sigue la siguiente

secuencia:

Primeramente en la hoja de cálculo de Minitab, se capturan los datos en las

columnas uno dos y tres de la siguiente manera:

a) En la columna uno se captura el método u tratamiento indicando de que

método se trata y cuantas repeticiones hay del mismo, repitiendo el mismo

número 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4

b) En la segunda columna se anota el operador, en la posición que le

corresponde. 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4

c) En la tercera columna se anota el dato numérico de la tabla de datos, es decir

el tiempo promedio para este caso.

6, 9, 7, 8, 7, 10, 11, 8, 10, 16, 11, 14, 10, 13, 11, 9

d) En el cuadro de captura será en ANOVA de dos factores, en la ventana de

captura se anotara en Respuestas el nombre de la tercer columna, en este

caso dato, en el cuadro del factor fila se anota el nombre de la primera

columna que corresponde al método o tratamiento, en el factor columna se

anota el nombre del factor bloque que en este caso es operador

Nota, recordar que esto se hace en el cuadro principal de la izquierda dando dos clics

con el ratón.

e) Indicar aceptar y obtendremos el resultado.

Para capturar los datos en Minitab para el cuadro latino (ANOVA de dos

factores) se sigue la siguiente secuencia:

Primeramente en la hoja de cálculo de Minitab, se capturan los datos en las columnas

uno dos tres y cuatro de la siguiente manera:



f) En la columna uno, se captura la posición (para el problema de comparación

de llantas) indicando cuantas repeticiones hay de ese número repitiendo el

mismo número 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4

g) En la segunda columna se anota el carro, tal y como se indica en el diseño

del cuadro. 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4

h) En la tercera columna se anota la letra que corresponde a la marca de las

llantas en la secuencia que le corresponda según los números de la columna

anterior,

C, D, A, B, B, C, D, A, A, B, C, D, D, A, B, C

i) En la cuarta columna se anota los valores correspondientes a la respuesta, es

decir, el desgaste. 12, 11, 13, 8, 14, 12, 11, 3, 17, 14, 10, 9, 13, 14, 13, 9

j) Ahora en Estadísticas de Minitab, seleccionar ANOVA, luego Modelo

linear general.

k) En respuesta seleccionar la columna cuatro (desgaste) dando dos clic con el

ratón, luego en Modelo, indicar con dos clic del ratón, carro, marca y

desgaste (recordar que esto se hace en el cuadro principal de la izquierda

quedando de manera continua sin comas, pero con su espacio de separación)

l) En factores aleatorios se deja en blanco, y se indica aceptar, y obtendremos

el resultado

Para capturar los datos en Minitab para el cuadro grecolatino (ANOVA de tres

factores de bloque) se sigue la siguiente secuencia:

Primeramente en la hoja de cálculo de Minitab, se capturan los datos en las columnas

uno dos tres, cuatro y cinco de la siguiente manera:

a) En la columna uno se captura la tratamiento o método, indicando con un

número cuantas repeticiones hay de ese tratamiento, repitiendo el mismo

número 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4

b) En la segunda columna se anota el operador (para el ejemplo de referencia), es

decir si es repetición 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4



c) En la tercera columna se anota el número que representa a la letra latina como

se colocaron el diseño del cuadro (para este caso el orden de las cuatro letras

iníciales fue C, B, D, y A (C = 1, B = 2, D = 3 y A = 4)). Anotando el número

que represente a cada letra indicada en el cuadro. 1, 2, 3 ,4, 2, 1, 4, 3, 4, 3, 2, 1,

3, 4, 1, 2

d) En la cuarta columna se anota el número que representa a la letra griega como

se colocaron el diseño del cuadro (para este caso el orden de las cuatro letras

iníciales fue , , , y ( = 1, = 2, , = 3 y = 4)). Anotando el

número que represente a cada letra indicada en el cuadro.

1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 2, 2, 1, 4, 3

e) En la quinta columna se anota los valores correspondientes a la respuesta, es

decir, el tiempo o promedio (para este ejemplo), siendo:

10, 10, 12, 7, 8, 15, 7, 14, 6, 14, 11, 13, 11, 8, 10, 8

f) Ahora en Estadísticas de Minitab, seleccionar ANOVA, luego Modelo linear

general.

g) En respuesta seleccionar la columna quinta (tiempo o promedio) dando dos clic

con el ratón, luego en Modelo, indicar con dos clic del ratón, método, operador,

orden y lugar (recordar que esto se hace en el cuadro principal de la izquierda)

h) En factores aleatorios se deja en blanco, y se indica aceptar, y obtendremos el

resultado



———— 15/11/2011 11:26:49 ————————————————————

Modelo lineal general: promedio vs. Método; operador; orden; lugar Factor Tipo Niveles Valores

Metodo fijo 4 1; 2; 3; 4

operador fijo 4 1; 2; 3; 4

orden fijo 4 1; 2; 3; 4

lugar fijo 4 1; 2; 3; 4

Análisis de varianza para promedio, utilizando SC ajustada para pruebas


Metodo 3 9,500 9,500 3,167 2,71 0,217

operador 3 18,500 18,500 6,167 5,29 0,102

orden 3 83,500 83,500 27,833 23,86 0,014

lugar 3 2,000 2,000 0,667 0,57 0,671

Error 3 3,500 3,500 1,167

Total 15 117,000


112 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales


CAPÍTULO 4

Conceptos básicos en diseños factoriales

4.1. Diseños factoriales con dos factores

4.2. Diseños factoriales con tres factores

4.3. Diseño factorial general

4.4. Modelos de efectos aleatorios


Diseños factoriales 113


Competencias

Explicar cuando un diseño de experimentos es un diseño factorial, describiendo los

conceptos básicos que estos involucran y mostrado cómo se hace tal experimentación.

Desarrollar los diseños factoriales de dos y tres factores. Conocer el diseño factorial

general y diferenciar los modelos de efectos fijos con los modelos de efectos aleatorios.

Interpretar correctamente los análisis gráficos y el análisis de varianza en los diseños

factoriales.

Conceptos básicos en diseños factoriales

Es frecuente que en muchos procesos existan varios factores de los que es necesario

investigar de manera simultánea su influencia sobre una o varias variables de respuesta,

donde cada factor tiene la misma importancia a priori desde el momento que se decide

estudiarlo, y es poco justificable suponer de antemano que los factores no interactúan

entre sí. Los diseños experimentales que permiten estudiar de manera simultánea el

efecto de varios factores son los llamados diseños factoriales.

El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre

una o varias respuestas o características de calidad y determinar una combinación de

niveles de los factores en la cual el desempeño del proceso sea mejor que en las

condiciones de operación actuales; es decir, encontrar nuevas condiciones de operación

del proceso que eliminen o disminuyan ciertos problema de calidad en la variable de

salida.

Los factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipos de material,

operador, la presencia o ausencia de una operación previa, etc.), o de tipo cuantitativo

(temperatura, humedad, velocidad, presión, etc.). Para poder estudiar la manera en que

incluye cada factor sobre la variable respuesta, es necesario elegir al menos dos niveles

de prueba para cada uno de ellos (tres máquinas, dos operadores, tres velocidades, dos

temperaturas, etc.). Con el diseño factorial completa se corren aleatoriamente en el

proceso todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles

seleccionados.

Un diseño de experimentos factorial o arreglo factorial es el conjunto de puntos

experimentales o tratamientos que pueden formarse considerando todas las posibles

combinaciones de los niveles de los factores. Por ejemplo, con k = 2 factores, ambos

con dos niveles de prueba, se forma el diseño factorial , que consiste de

cuatro combinaciones o puntos experimentales.

Considerando otra vez k = 2 factores, pero ahora uno con tres niveles y el otro

con dos niveles, se pueden construir 3 x 2 combinaciones que dan lugar al diseño

factorial 3 x 2. Observe que en el nombre del diseño factorial va implícita el número de

tratamientos que lo componen. Para obtener el número de corridas experimentales se

multiplica el número de tratamientos por el número de réplicas, donde una réplica se

lleva a cabo cada vez que se repite el arreglo completo.

Más en general, la familia de diseños factoriales consiste de k factores, todos

con dos niveles de prueba; y la familia de diseños factoriales consiste de k factores



cada uno con tres niveles de prueba. Es claro que si los k factores no tienen la misma

cantidad de niveles, entonces no se puede factorizar de esta forma, y debe escribirse el

producto de manera más explícita: por ejemplo con k = 3 factores, el primero con cuatro

niveles y los dos restantes con dos niveles, se tiene el diseño factorial

, que consiste de 16 combinaciones de niveles diferentes.

4.1. Diseños factoriales con dos factores

El experimento factorial más sencillo es en el que intervienen solamente dos factores,

por ejemplo, A y B. Hay niveles del factor A y niveles del factor B. El experimento

tiene réplicas y cada réplica contiene todas las combinaciones de tratamientos .

Considere los factores A y B con y ( ) niveles de prueba,

respectivamente. Con ellos se puede construir el arreglo o diseño factorial , que

consiste de tratamientos. Se llama réplica cada repetición completa del arreglo

factorial. Los diseños factoriales que involucran menos de cuatro factores se corren

replicados para poder tener la potencia necesaria en las pruebas estadísticas sobre los

efecto de interés, de tal forma que si se hacen réplicas, el número total de corridas

experimentales es ( ).

Efecto principal y efecto de interacción

El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable de respuesta

debido a un cambio de nivel de tal factor. En particular, los efectos principales son los

cambios en la media de la variable de respuesta que se deben a la acción individual de

cada factor. En términos matemáticos, el efecto principal de un factor con dos niveles es

la diferencia entre la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su primer

nivel, y la respuesta media observada cuando el factor estuvo en su segundo nivel.

Ejemplo

Diseño factorial . Suponga que en un proceso de fermentación tequilera, se tienen

dos factores A: tipo de levadura y B: temperatura, cada uno con dos niveles denotados por

respectivamente. La respuesta de interés es el

rendimiento del proceso de fermentación. En la tabla 4.1 se muestran los cuatro

tratamientos o puntos del diseño factorial , y entre paréntesis se ha indicado cada

nivel con los códigos (1, -1). En el experimento original cada tratamiento se corrió tres

veces (tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero, por simplicidad,

en la última columna de la tabla 4.1 sólo se anotaron los resultados de la primera

réplica.

Tabla 4.1 Diseño factorial

A: Levadura B: Temperatura Y: Rendimiento

28

41

63

45

Para los datos de la tabla 4.1, los efectos principales están dados por

Diseños factoriales con dos factores 115


Efecto A =

Efecto B =

por lo que en términos absolutos el efecto principal de B es mayor. Por otra parte, se

dice que dos factores interactúan entre sí o tienen un efecto de interacción sobre la

variable de respuesta, cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se

encuentra el otro. Por ejemplo, los factores A y B interactúan si el efecto de A es muy

diferente en cada nivel de B, o viceversa. Ahora veamos esto con los datos de la tabla

4.1: el efecto de A cuando B es baja está determinado por

Efecto A (con B bajo) = 41 - 28 = 13

y cuando la temperatura es alta, el efecto de A es

Efecto A (con B alta) = 45 - 63 = 13

Como estos dos efectos de A en función del nivel de B son muy diferentes,

entonces es evidencia de que la elección más conveniente del nivel de A depende del

nivel en que esté B, y viceversa. Es decir, eso es evidencia de que los factores de A y B

interactúan sobre Y. En la práctica, el cálculo del efecto A en cada nivel de B no se

hace, y más bien se calcula el efecto global de la interacción de los dos factores, que se

denotan por AB y se calculan como la diferencia entre la respuesta media cuando ambos

factores se encuentran en el m ismo nivel: (-1, -1); (1, 1), y la respuesta media cuando

los factores se encuentran en niveles opuestos: (-1, 1) (1, -1). Para el ejemplo, el efecto

de interacción levadura x temperatura está dado por

Los valores absolutos (sin importar el signo) de los efectos principales y del

efecto de interacción son una medida de importancia de su efecto sobre la variable de

respuesta. Sin embargo, como se tienen estimaciones muestrales, para saber si los

efectos son estadísticamente significativos (diferentes de coro) se requiere el análisis de

varianza (ANOVA).

Modelo estadístico

Con un diseño factorial se pueden estudiar los dos efectos individuales y el efecto

de interacción de ambos factores. En términos estadísticos, lo que se afirma es que el

comportamiento de la respuesta Y en el experimento con k réplicas se podría describir

mediante el modelo de efectos:

donde es la media general, es el efecto debido al i-ésimo nivel del factor es el

efecto del j-ésimo nivel del factor B, representa al efecto de interacción en la



combinación es el error aleatorio que supone sigue una distribución con media

cero y varianza constante y son independientes entre sí. Para que la

estimación de los parámetros en este modelo sea única, se introducen las restricciones:

Es decir, los efectos dados en el modelo son desviaciones respecto de la media

global. Puede usarse el análisis de varianza para probar hipótesis relativas a los efectos

principales de los factores A y B y la interacción AB.

En este modelo, las hipótesis de interés para los tres efectos son:

Estas hipótesis se prueban mediante la técnica de análisis de varianza que para

un diseño factorial con réplicas resulta de descomponer la variación total como,

donde los respectivos grados de libertad de cada una de ellas son:

El factor en los grados de libertad de la suma de cuadrados del error

( ) señala que se necesitan al menos dos réplicas del experimento para calcular ese

componente y, por ende, para construir una tabla de ANOVA. Recordemos que las

sumas de cuadrados divididas entre sus correspondientes grados de libertad se llama

cuadrados medios . Al dividir éstos entre el cuadrado medio del error se

obtienen estadísticos de prueba con distribución F. Toda esta información se sintetiza

en la siguiente tabla:

ANOVA para el diseño factorial FV SC GL CM Valor-p

Efecto A

Efecto B

Efecto AB

Error

Total

Si el valor-p es menor al nivel de significancia prefijado, se rechaza la

hipótesis nula y se concluye que el correspondiente efecto está activo o influye en la

variable de respuesta.



Recordemos la notación de puntos para representar sumas y medias:

Con esta notación la suma de cuadrados totales es:

donde N = es el total de observaciones en el experimento. Las sumas de cuadrados

de efectos son:

y al final, al restar éstas del total, se obtiene la suma de cuadrados del error como:

Ejemplo

Consideremos un experimento en el que se quiere estudiar el efecto de los factores A:

profundidad de corte sobre el acabado de un metal y B: velocidad de alimentación.

Aunque los factores son de naturaleza continua, en este proceso sólo se puede trabajar

en 4 y 3 niveles, respectivamente. Por ello, se decide correr un factorial completo 4 x 3

con tres réplicas, que permitirá obtener toda la información relevante en relación al

efecto de esos factores sobre el acabado. Al aleatorizar las 36 pruebas se obtienen los

datos de la siguiente tabla:



Datos del experimento factorial 4 x 3 B: velocidad

A:

P

rofu

ndid

ad

0,20 0,25 0,30 Total 0,15 74

64 198

60

92

86 266

88

99

98 299

102

763

0,18 79

68 220

73

98

104 290

88

104

99 298

95

808

0,21 82 88 262

92

99 108 302

95

108 110 317

99

881

0,24 99

104 299

96

104

110 313

99

114

111 332

107

944

Total 979 1 171 1 246

El acabado ( ) está en unidades de gramos e interesa minimizar su valor

De acuerdo a esto para obtener el ANOVA para el ejemplo, calculemos los

totales necesarios. De donde:

La suma de cuadrados totales y la suma de cuadrados del error están dadas por

Con esta información se construye el análisis de varianza de la tabla 4.2. Del

ANOVA se concluye que los tres efectos A: velocidad, B: profundidad y AB están

activos o influyen en el acabado. Dado que el efecto de integración AB resulta

significativo, prácticamente toda la información relevante del experimento se aprecia en

su representación gráfica (figura 4.1). Nótese que aparecen tantas líneas como niveles

tenga el factor que se dibuja en la parte de arriba, que en este caso es la profundidad

con sus cuatro niveles que se denotan con la escala de -1 a 1. La significancia de la

interacción detectada por el ANOVA se observa en el hecho de que las líneas en la

figura 5.1 tienen pendientes relativamente diferentes. Como lo que interesa es

minimizar la variable de respuesta, se observa que a mayor velocidad y profundidad hay

una tendencia a obtener peores acabados. Además se ve que cuando se tiene velocidad



alta ( ) el efecto de profundidad es menor (véase la dispersión de las líneas en la

figura cuando la velocidad es alta). Por lo tanto, las condiciones de operación o

tratamiento que convienen es profundidad y velocidad bajas ( ).

El ANOVA de la tabla 5.2 se dice que no está desglosado, ya que cuando en un

experimento hay factores cuantitativos con más de dos niveles, el ANOVA se puede

desglosar para estudiar con mayor detalle en el efecto de tal factor.

Tabla 5.2 ANOVA para el ejemplo

FV SC GL CM Valor-p

B: velocidad

A: profundidad

AB

Error

Total

3 160.5

2 125,10

557,07

689,33

6 532,0

2

3

6

24

35

1 580,25

708,37

92,84

28,72

55,02

24,66

3,23

0,0000

0,0000

0,0180

El planteamiento de hipótesis quedaría de la siguiente manera:

Con su nivel de significancia como con sus grados de libertad respectivamente

tenemos que el valor de F crítica es: y

Se concluye que

Se rechaza

Se rechaza

Se acepta

Resultado arrojado en Minitab para el ejemplo anterior Factores: 2 Réplicas: 3

Corridas base: 12 Total de corridas: 36

Bloques base: 1 Total de bloques: 1

Número de niveles: 4; 3

Modelo lineal general: RESPUESTA vs. PRFUNDIDAD; VELOCIDAD Factor Tipo Niveles Valores

PRFUNDIDAD A fijo 4 0.15; 0.18; 0.21; 0.24

VELOCIDAD B fijo 3 0.20; 0.25; 0.30

Análisis de varianza para RESPUESTA, utilizando SC ajustada para pruebas


PRFUNDIDAD A 3 2125,11 2125,11 708,37 24,66 0,000

VELOCIDAD B 2 3160,50 3160,50 1580,25 55,02 0,000

PRF.*VEL. AB 6 557,06 557,06 92,84 3,23 0,018

Error 24 689,33 689,33 28,72

Total 35 6532,00



Comparación de medias

Las comparaciones de medias se introdujeron en la sección ´´Diseño completamente al

azar y ANOVA´´ del capítulo 2, para después de un ANOVA en el que se rechaza ,

investigar cuáles medias causa las diferencias detectadas. El ANOVA sólo indica que al

menos un par de niveles del factor significativo son diferentes entre sí, pero no dice

cuáles son. Por facilidad, denotemos los cuatro niveles de la profundidad (A) del

ejemplo anterior como así como los tres niveles de la velocidad (B)

como Entonces es, los seis pares de hipótesis para comparar las medias del

factor A son:

mientras que para el factor B se tienen los tres pares de hipótesis,

Para probar estas hipótesis con el método LSD habría que calcular las

diferencias muestrales en el valor absoluto y compararlas con la diferencia mínima

significativa. Cabe aclarar que este análisis es engañoso cuando el efecto de interacción

es significativo. Por ello, y sólo por ilustrar el método, se prueban las hipótesis del

factor A ignorando por el momento la interacción. La diferencia mínima significativa

para comparar los niveles del factor A, está dada por:

Donde es el punto porcentual 100( de la distribución T de

Student, los grados de libertad del cuadrado medio del error, y son el

total de observaciones en los niveles del factor A, que están comparando. De esta

manera, en el ejemplo, como es un diseño balanceado = = 9; entonces,

Comparación de medias 121


De los totales marginales dados en el renglón inferior de la tabla donde se

representan los datos del experimento factorial 4 x 3, se obtienen las medias del factor

A, al dividir entre 9, que son el número de mediciones involucradas en cada total. Así,

las seis posibles diferencias muestrales en valor absoluto resultan ser:

donde sólo la primer diferencia resulta no significativa, es decir, se acepta

; en cambio, en las cinco comparaciones restantes se rechaza .

Ejercicios

1.- La pintura tapaporo de aviones se aplica en superficies de aluminio utilizando dos

métodos: por inmersión y por aspersión. El objeto de la pintura tapaporo es mejorar la

adherencia de la pintura, y en algunas partes puede aplicarse utilizando cualquiera de los

dos métodos. Al grupo de ingenieros responsable del proceso de esta operación le

interesa saber si tres pinturas tapaporo diferentes difieren en sus propiedades de

adherencia. Se realizó un experimento factorial para investigar el efecto que tiene el tipo

de pintura tapaporo y el método de aplicación sobre la adherencia de la pintura. Se

pintaron tres ejemplares de prueba con cada pintura utilizando cada uno de los métodos

de aplicación, se aplico la pintura final, y se midió la fuerza de adherencia. Probemos la

hipótesis apropiada y saquemos conclusiones

Tipo de

tapaporo

Inmersión Aspersión

1

2

3

4.0, 4,5 4.3 12.8

5.6, 4.9, 5.4 15.9

3.8, 3.7, 4.0 11.5

5.4, 4.9, 5.6 15.9

5.8, 6.1, 6.3 18.2

5.5, 5.0, 5.0 15.5

28.7

34.1

27.0

40.2 49.6 89.8 =

Resultado en Minitab Diseño factorial de múltiples niveles Factores: 2 Réplicas: 3



Número de niveles: 3; 2

Modelo lineal general: Respuesta vs. Tapaporo; Adherencia Factor Tipo Niveles Valores

Tapaporo fijo 3 1; 2; 3



Adherencia fijo 2 Inmersión; Aspersión

Análisis de varianza para Respuesta, utilizando SC ajustada para pruebas


Tapaporo 2 4,5811 4,5811 2,2906 27,86 0,000

Adherencia 1 4,9089 4,9089 4,9089 59,70 0,000

Tapaporo*Adherencia 2 0,2411 0,2411 0,1206 1,47 0,269

Error 12 0,9867 0,9867 0,0822

Total 17 10,7178


Dado que utilizamos un = 0.05 y puesto que el valor de tanto para el factor

A (tipo de pintura) como para el factor B(tipo de aplicación), con su nivel de

significancia como con sus grados de libertad respectivamente tenemos y . Se concluye que los efectos principales del tipo de pintura

tapaporo y del método de aplicación afectan la fuerza de adherencia. Además, puesto

que 1,5 , no hay indicios de interacción entre estos factores. En la

última columna del ANOVA se muestra el valor P para cada cociente F. Obsérvese que

los valores P de los dos estadísticos de prueba para los efectos principales son

considerablemente menores que 0,05 mientras que el valor P para el estadístico de

prueba de la interacción es mayor que 0,05.

Se rechaza

Se rechaza

Se acepta

2.- Se presentan los resultados de un experimento en el que interviene una batería de

almacenamiento usada en el mecanismo de lanzamiento de un misil tierra-aire para

cargar al hombro. Pueden usarse tres tipos de materiales para hacer las placas de la

batería. El objetivo es diseñar una batería que se mantenga relativamente sin

alteraciones por la temperatura ambiente. La respuesta de salida de la batería es la vida

efectiva en horas. Se seleccionan tres niveles de temperatura y se corre un experimento

factorial con cuatro replicas. Los datos son los siguientes:

Material Temperatura ( Baja Media Alta

1 130

74

155

180

34

80

40

75

20

82

70

58

2 150

159

188

126

136

106

122

115

25

58

70

45

3 138

168

110

160

174

150

120

139

96

82

104

60

a) Pruebe las hipótesis apropiadas y saque conclusiones utilizando el análisis de

Ejercicios 123


b) varianza con = 0.05

c) Analice gráficamente la interacción

d) Analice los residuales de este experimento

3.- En un artículo se describe un experimento para investigar el efecto de dos factores

(tipo de cristal y tipo de fósforo) sobre la brillantez de un cinescopio. La variable de

respuesta media es la corriente (en microamperes) necesaria para obtener un nivel

especifico de brillantez. Los datos se presentan en la siguiente tabla:

Tipo de

cristal

Tipo de fósforo

1 2 3

1 280

290

285

300

310

295

290

285

290

2 230

235

240

260

240

235

220

225

230

a) Enuncie las hipótesis de interés en este experimento

b) Pruebe las hipótesis anteriores y saque conclusiones utilizando análisis de

varianza con = 0.05

c) Analice los residuales de este experimento

4.- Se condujo un experimento para determinar si la temperatura del fuego o la posición

en el horno afectan la densidad de endurecimiento de un ánodo de carbono. Los datos

son los siguientes:

Posición Temperatura ( )

800 825 850

1 570

565

583

1 063

1 080

1 043

565

510

590

2 528

547

521

988

1 026

1 004

526

538

532

a) Enuncie las hipótesis de interés

b) Pruebe las hipótesis anteriores utilizando el análisis de varianza con = 0.05.

¿A qué conclusiones se llega?

c) Utilizando el método de la LSD de Fisher, investigar las diferencias entre la

media de la densidad del endurecimiento de los ánodos en los tres diferentes

niveles de temperatura

4.2. Diseños factoriales con tres factores

Cuando se quiere investigar la influencia de tres factores (A, B y C) sobre una o más

variables de respuesta, y el número de niveles de prueba en cada uno de los factores es

a, b y c, respectivamente, se puede construir el arreglo factorial , que consiste

de tratamientos o puntos experimentales. Entre los arreglos de este tipo que se

utilizan con frecuencia en aplicaciones diversas se encuentran: el factorial , el



factorial y los factoriales mixtos con no más de cuatro niveles en dos de los factores,

por ejemplo, el factorial 4 x 3 x 2 y el factorial 4 x 4 x 2, por mencionar dos de ellos.

Hipótesis de interés

El estudio factorial de tres factores (A, B y C) permite investigar los efectos: A, B, C,

AB, AC, BC y ABC, donde el nivel de desglose o detalle con el que pueden estudiarse

depende del número de niveles utilizando en cada factor. Por ejemplo, si un factor se

prueba en dos niveles, todo su efecto marginal (individual) es lineal, o sea que su efecto

individual no se puede descomponer; pero, si tuviera tres niveles su efecto marginal se

puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrática pura.

En resumen, se tienen siete efectos de interés sin considerar desglose, y con ellos

se pueden plantar las siete hipótesis nulas

cada una aparejada con su correspondiente hipótesis alternativa. El ANOVA para probar

estas hipótesis se muestran en la siguiente tabla.

ANOVA para el diseño a x b x c

FV SC GL CM Valor-p

Efecto A

Efecto B

Efecto C

Efecto AB

Efecto AC

Efecto BC

Efecto ABC

Error

Total

Al efecto cuyo valor-p sea menor al valor especificado para alfa, se declara

estadísticamente significativo o se dice que está activo. Las sumas de cuadrados son

muy similares a las obtenidas para dos factores; habrá que considerar un subíndice

adicional para el tercer factor, y comenzando otra vea, por la suma total de cuadrados,

éstas resultan ser:

donde N = es el total de observaciones en el experimento. Las sumas de cuadrados

Diseños factoriales con tres factores 125


de efectos son:

Al restar éstas del total, la suma de cuadrados del error resulta ser

cuyos respectivos grados de libertad se dan en la tabla anterior. Una vez hecho el

ANOVA, se procede a interpretar los efectos activos, y luego (aunque no

necesariamente después) a diagnosticar la calidad del modelo.

Ejemplo

El experimento. Se desea investigar el efecto del tipo de suspensión (A), abertura de

malla (B) y temperatura de ciclaje (C) en el volumen de sedimentación Y(%) de una

suspensión. Para ello se decide correr un experimento factorial 3 x 2 x 2 con seis

réplicas, y las observaciones obtenidas en las 72 corridas experimentales se muestran en

la siguiente tabla:

60, 75, 75

86, 70, 70

67, 73, 73

67, 68, 68

62, 68, 65

76, 65, 65

71, 80, 80

72, 80, 80

76, 71, 75

70, 68, 73

75, 75, 75

75, 75, 77

55, 53, 53

55, 55, 55

52, 52, 57

52, 54, 54

44, 44, 45

48, 48, 45

60, 60, 60

67, 67, 65

52, 51, 50

52, 48, 54

56, 55, 57

59, 50, 55

Los niveles de prueba para cada factor, tanto en unidades originales como en

unidades codificadas, se muestran en la siguiente tabla



Factor U. originales U. codificadas

Bajo Medio Alto Bajo Medio Alto

A: Tipo de suspensión

B: Abertura de malla

C: Temperatura

40

0

-

-

60

30

-1

-1

-1

0

-

-

1

1

1

El análisis de varianza para este ejemplo se muestra en la siguiente tabla. De

aquí se concluye que no influyen los efectos ABC, AC ni A, dado que su valor-p es

mayor que . Por otra parte, se encuentran activos los efectos B, C, AB y en

menor medida BC. Éstos son los cuatro efectos que se deben interpretar. Los efectos

que no influyeron se pueden eliminar mandándolos al término error. El ANOVA

simplificado, pero con el efecto A note que el en ambos ANOVAS es

prácticamente igual. En general se recomienda interpretar sólo los efectos significativos.

Diseño factorial de múltiples niveles Factores: 3 Réplicas: 6



Número de niveles: 3; 2; 2

Modelo lineal general: Respuesta vs. Suspensión; Abertura de malla; ... Factor Tipo Niveles Valores

Suspensión fijo 3 A1; A2; A3

Abertura de malla fijo 2 B1; B2

temperatura fijo 2 C1; C2

Análisis de varianza para Respuesta, utilizando SC ajustada para pruebas


Suspensión 2 13,86 13,86 6,93 0,49 0,613

Abertura de malla 1 480,50 480,50 480,50 34,25 0,000

temperatura 1 6086,72 6086,72 6086,72 433,90 0,000

Suspensión*Abertura de malla 2 788,25 788,25 394,13 28,10 0,000

Suspensión*temperatura 2 40,86 40,86 20,43 1,46 0,241

Abertura de malla*temperatura 1 56,89 56,89 56,89 4,06 0,049

Suspensión*Abertura de malla* 2 31,03 31,03 15,51 1,11 0,338

temperatura

Error 60 841,67 841,67 14,03

Total 71 8339,78


Observaciones inusuales de Respuesta

Residuo

Obs Respuesta Ajuste Ajuste SE Residuo estándar

23 60,0000 72,6667 1,5290 -12,6667 -3,70 R

36 76,0000 66,8333 1,5290 9,1667 2,68 R

52 86,0000 72,6667 1,5290 13,3333 3,90 R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

Diseños factoriales con tres factores 127


Dado que utilizamos un = 0.05 y puesto que el valor de , con su nivel de

significancia como con sus grados de libertad en tablas respectivamente tenemos

y .

; Se acepta

; Se rechaza

; Se rechaza

, Se rechaza

; Se acepta

, Se rechaza

Ejercicios

1.- Se investigan el porcentaje de la concentración de madera dura en la pulpa cruda, la

libertad de orientación de la fibra o lof, y el tiempo de cocción de la pulpa en cuanto a

sus efectos sobre la resistencia del papel. En la siguiente tabla se muestran los datos de

un experimento factorial con tres factores.

Porcentaje de la 1.5 horas de tiempo de cocción 2.0 horas de tiempo de cocción

Concentración de lof lof

Madera dura 350 500 650 350 500 650 10 96.6 97.9 99.4 98.4 99.6 1000.6

96.0 96.0 99.8 98.6 100.4 100.9

15 98.5 96.0 98.4 97.5 98.7 99.0

97.2 96.9 97.6 98.1 96.0 99.0

20 97.5 95.6 97.4 97.6 97.0 98.5 96.6 96.2 98.1 98.4 97.8 99.8

a) Analice los datos usando el análisis de varianza bajo el supuesto de que todos

los factores son fijos. Use

b) Encuentre los valores de P de los cocientes F del inciso a

2.- El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles estudia los

efectos de varios factores sobre el teñido de una tela combinada de algodón y fibra

sintética que se usa para hacer camisas. Se seleccionan tres operadores, tres duraciones

del ciclo y dos temperaturas, y tres ejemplares de prueba pequeños de tela se tiñeron

bajo cada conjunto de condiciones. La tela terminada se comparó con un patrón y se

asigno una puntuación numérica. Los resultados se presentan en la tabla siguiente

Temperatura

300 350 Operador Operador

Duración del ciclo 1 2 3 1 2 3

40 23 27 31 24 38 34

24 28 32 23 36 36

25 26 28 28 35 39

50 36 34 33 37 34 34

35 38 34 39 38 36

36 39 35 35 36 31

60 28 35 26 26 36 28

24 35 27 29 37 26

27 34 25 25 34 34



a) Enuncie y pruebe las hipótesis apropiadas usando el análisis de varianza con

3.- Un ingeniero mecánico estudia la rugosidad superficial de una pieza producida en

una operación de corte de metal. Son de interés tres factores: la rapidez de alimentación

(A), la profundidad del corte (B) y el ángulo de la herramienta (C). A los tres factores se

les ha asignado dos niveles, y se corren dos réplicas de un diseño factorial

Rapidez de

alimentación

Profundidad del corte

0.025 pulgada 0.04 pulgada

Ángulo de la herramienta

15 25 15 25 30 pulg/min 9

7 11 10

9 11

10 8

30 pulg/min 10

12

10

13

12

15

16

14

a) Analice los datos usando el análisis de varianza bajo el supuesto de que todos

los factores son fijos. Use

b) Encuentre los valores de P de los cocientes F del inciso a

4.3. Diseño factorial general

Lo que se ha dicho para los dos diseños factoriales con 2 y 3 factores puede extenderse

fácilmente para cuando se tienen más factores. Considerarse factores A, B, C,…, K

con niveles respectivamente, donde la letra K denota al -ésimo o último

factor del conjunto a estudiar, no necesariamente el undécimo, que es el lugar de esta

letra en el alfabeto. Con estos niveles y factores se puede construir el diseño factorial

general que consiste de tratamientos o puntos de prueba.

Con este diseño se pueden estudiar efectos principales, interacciones

dobles, interacciones triples, y así sucesivamente hasta la

única interacción de los factores (ABC…K). El cálculo del número de interacciones

de cierta cantidad de factores se hace mediante la operación ¨combinaciones de en

¨

que cuenta el número de diferentes maneras de seleccionar

factores de los , donde =

Por ejemplo, el diseño factorial tiene cinco efectos principales, 10

interacciones dobles, 10 interacciones triples, cinco interacciones cuádruples y una

interacción quíntuple, lo cual da un total de 31 efectos. Por su parte, el factorial

también tiene este mismo número de efectos, pero al contar con tres niveles en cada

factor, cada efecto principal se puede descomponer en su parte lineal y cuadrática. Cabe

destacar que mientras el diseño factorial tiene 32 tratamientos, el factorial tiene

243, una cantidad de tratamientos difícil de manejar. Aun si pudiera correrse, representa

una opción muy ineficaz; además, existen arreglos experimentales más pequeños y

eficientes.

Diseño factorial general 129


De acuerdo con lo antes dicho, en el factorial general se pueden

plantear hipótesis que se prueban mediante el análisis de varianza. Si se tienen

réplicas. Las primeras tres columnas de este ANOVA se muestran en la siguiente tabla

ANOVA para el diseño factorial general

FV SC GL

Error

Total

La suma de cuadrados totales está dada por:

donde N = es el total de observaciones en el experimento. Las sumas de

cuadrados de efectos son:



Al final, la suma de cuadrados del error se calcula por sustracción,

En el ANOVA para el factorial general se observa la necesidad de

contar con al menos dos réplicas del experimento para calcular la suma de cuadrados del

error ( ), y completar toda la tabla ANOVA. Sin embargo, esta necesidad de réplicas

( , que se ha mencionado,. Es para el caso irreal de que interesan los

efectos. Pero resulta que, con excepción del factorial , en un factorial completo

prácticamente nunca interesan todos sus posibles efectos, puesto que en términos

generales sólo algunos de ellos están activos. El principio de Pareto, que en este contexto

también se llama principio de esparcidad de efectos, dice que la mayoría de la

variabilidad observada se debe a unos pocos de los efectos posibles; por lo común se

debe a algunos efectos principales e interacciones dobles.

4.4. Modelos de efectos aleatorios

Hasta aquí los modelos de efectos que se han utilizado son modelos de efectos o

factores fijos, lo cual significa que todos los niveles de prueba en cada factor son todos

los disponibles para ese factor, o bien, se estudian todos los niveles de interés en ese

factor; es en este sentido que los niveles están fijos. Éste es el caso, por ejemplo, cuando

en el factor operador se toman los tres únicos operadores como los niveles de prueba, o

cuando los niveles del factor máquinas son las cuatro máquinas existentes. O bien,

cuando se comparan tres tipos de material porque son los que interesa comprar aunque

existan otros materiales de ese tipo. Con factores fijos, las conclusiones obtenidas sólo

son validas para los niveles de prueba que se estudian en el experimento.

En ocasiones, los niveles de prueba son una muestra aleatoria de la población de

niveles posibles. En este caso es más apropiado utilizar un modelo de efectos o factores

aleatorios. Un ejemplo de esta situación es cuando se prueban cinco instrumentos de

medición, pero la población de los mismos es de 100 instrumentos; obviamente, no es

posible experimentar con todos los equipos. Entonces se experimenta sólo con cinco de

ellos elegidos al azar, y las conclusiones obtenidas se infieren como válidas para la

población entera de instrumentos.

La aplicación de un modelo de efectos aleatorios conlleva la necesidad de

considerar la incertidumbre asociada con la elección aleatoria de los niveles de prueba.

Es decir, ya no tiene sentido, para un factor A, preocuparse por el efecto del nivel

Modelo de efectos aleatorios 131


como en efectos fijos. Lo que ahora (con efectos aleatorios) tiene sentido es hablar de la

varianza con la que el factor aleatorio contribuye a la variación total; es decir, es preciso

estimar dicha varianza y probar si su contribución a la variabilidad total es significativa.

El caso de dos factores aleatorios.

Si se consideran dos factores aleatorios A y B, de los cuales se prueban niveles

elegidos de una población grande de niveles, entonces si los tratamientos se

replican veces, el modelo de efectos aleatorios es

donde es la media general, es el efecto debido al nivel del factor A,

es el efecto del nivel del factor B, representa al efecto de interacción

en la combinación y es el error aleatorio que se supone sigue una distribución

normal con media cero y varianza constante, y son independientes entre sí. El

aspecto de este modelo es igual al de efectos fijos, pero el hecho de que los efectos sean

aleatorios implica que no tiene sentido probar hipótesis directamente sobre tales efectos

(medidas), sino que ahora el interés se enfoca en estudiar la varianza de dichos efectos.

Para ello, se supone que los términos son variables aleatorias

independientes normales, con media cero y varianzas ,

, , y ,

respectivamente.

De esta manera, si se calcula la varianza en ambos lados del modelo anterior, se

obtiene el modelo de componentes de varianza dado por:

+

+ +

donde ,

, son las contribuciones de cada efecto a la variación total y se llaman

componentes de varianza; es el componente de varianza debido al error aleatorio.

Las hipótesis de interés son

Los cálculos necesarios para probar estas hipótesis involucran las mismas sumas

de cuadrados del modelo de efectos fijos (diseños factoriales con dos factores), de las

cuales se obtienen los correspondientes cuadrados medios. Para obtener los estadísticos

de prueba apropiados debe tomarse en cuenta que los valores esperados de los

cuadrados medios son



de tal forma que para probar la hipótesis mencionadas, los estadísticos de prueba

apropiados en el ANOVA son

respectivamente. Observe que en el modelo de efectos aleatorios los cuadrados medios

de los efectos principales se comparan con el cuadrado medio de la interacción, y no

con el cuadrado medio del error, como se hace en el modelo de efectos fijos. En caso de

rechazar alguna de las hipótesis sobre las varianzas, se concluye que el efecto

correspondiente contribuye de manera significativa a la variación de la respuesta. La

conclusión práctica no consiste en determinar el mejor tratamiento, sino que

generalmente se traduce en tomar medidas para que la contribución del componente de

varianza se reduzca.

Al resolver las ecuaciones dadas por los valores esperados de cuadrados medios

para los componentes de varianza, se obtienen estimadores de éstos en función de los

cuadrados medios del error, esto es,

Ejemplo

En una compañía dedicada a la fabricación de bombas y válvulas, algunos componentes

críticos tienen tolerancias muy estrechas que son difíciles de cumplir. De aquí que sea

necesario estimar el error de medición con el fin de ver la posibilidad de reducirlo para

cumplir con las especificaciones. El ancho de una pieza particular es una característica

de calidad crítica, cuyas especificaciones son 69 0,4mm. Se eligen dos inspectores al

azar y siete piezas para correr un experimento, a fin de estimar la contribución de los

inspectores, de las piezas y del error aleatorio (repetibilidad) en la variabilidad total

observada. El experimento utilizado se muestra en la siguiente tabla:

Modelo de efectos aleatorios 133


Número de

piezas

Inspector Z Inspector W

1 2 1 2

1

2

3

4

5

6

7

69,38 69,60

39,72 69,80

69,58 69,70

69,50 69,50

69,48 69,40

69,56 69,40

69,90 70,02

69,62 69,52

69,78 69,90

69,70 69,92

69,46 69,50

69,50 69,42

69,68 69,64

69,94 69,88

Nótese que cada inspector mide dos veces cada pieza. Sean los inspectores el

factor A y las piezas el factor B, el primero con dos niveles y el segundo con siete

niveles, en ambos casos seleccionados al azar. El modelo de componentes de varianza

propuesto para describir estos datos es donde es el componente de varianza de los

inspectores, es el componente debido a las piezas,

es el componente de

interacción de ambos factores y es el componente aleatorio.

Interesa probar las hipótesis:

y estimar los componentes de varianza. El ANOVA para probar estas hipótesis se

muestran en la siguiente tabla.

FV SC GL CM Valor-p

A: Insp.

B: Pieza

AB

Error

Total

0,00036

0,7516

0,0313

0,097

0,8803

1

6

6

14

27

0,00036

0,1252

0,0052

0,0069

0,069

24,07

0,75

0,8043

0,0000

0,6169

Las tres primeras columnas se obtienen igual que el modelo de efectos fijos,

pero las dos últimas deben corregirse de acuerdo con el estadístico de prueba apropiado

para un modelo de efectos aleatorios ( y

). Los valor-p indican que la variabilidad de las piezas es

estadísticamente diferente a cero, mientras que la variabilidad de los inspectores y de la

interacción inspector x pieza no es significativa (es igual a cero). Desde el punto de

vista del objetivo del experimento, los resultados del ANOVA son los deseados: la

reproducibilidad ( +

) es estadísticamente igual a cero, es decir, los inspectores no

afectan el proceso de medición. La estimación de los componentes de varianza, a partir

de los cuadros medios, queda como:



De aquí se concluye que la reproducibilidad ( +

) no tiene

contribución y la repetibilidad expresada como 5.15 es igual a 0,428. Si este valor se

compara con la tolerancia de 0.8, se encuentra que ocupa 53% de ésta, cuando lo

deseable es que este porcentaje sea menor al 10%, por lo que el instrumento es

inadecuado para discriminar entre piezas buenas y malas.


Utilizando Minitab

1. El primer paso consisten en seleccionar la opción Estadísticas del Menú Principal de

Minitab y, dentro de esa opción, seleccionar la opción DOE luego Factorial y Crear

diseño factorial como se presenta en la siguiente Figura.

2. Como consecuencia de la acción anterior le debe aparecer la siguiente pantalla

<<Crear diseño factorial>>. El paso en esta pantalla será seleccionar en Tipo de

diseño la casilla de Diseño factorial completo general luego escoger el número de

factores considerados en el experimento (en nuestro ejemplo son dos factores: A y B),

por tanto en la casilla <<Número de factores>> usted deberá tener el número 2. Luego

Uso de software 135


debe oprimir el botón de la opción <<Diseños>> para poder escoger su diseño, número

de repeticiones y otras opciones.

3. En la siguiente ventana escribir el nombre de nuestros factores A y B, además de

indicar el numero de niveles para ambos (4 y 3 respectivamente), también indicará que

realizamos tres repeticiones por tratamiento, para esto en la casilla <<Número de

replicas>>, usted deberá tener el valor de 3. Finalice esta pantalla oprimiendo

<<Aceptar>>. Esto lo devolverá a la pantalla anterior <<Crear diseño factorial>>.

4. De vuelta en la pantalla <<Crear diseño factorial>>. Seleccionar factores y

aparecerá una siguiente ventana.

En la casilla <<Tipo>> seleccionar texto para ambos factores, <<Valores de nivel>> ,

indicar los valores correspondientes tanto para el factor A así como para el factor B,

luego indicar aceptar, lo que lo llevara nuevamente a la pantalla <<Crear diseño

factorial>>.

5. De vuelta a la pantalla <<Crear diseño factorial>> oprima <<Aceptar>>.

MINITAB le creará la siguiente pantalla. Minitab crea las columnas de los

tratamientos, lo único que usted tiene que ingresar a MINITAB es una columna

con la respuesta del experimento. Proceda entonces a ingresar los datos en la columna

C7



6. Una vez capturados los datos (estos datos deberán corresponder al factor A con

respecto a factor B de acuerdo a la tabla original) en su correspondiente renglón. El

siguiente paso es regresar al paso 1.

sólo que esta vez seleccionaría la secuencia: <<Estadísticas>> seguida de <<DOE>>,

<<Factorial>> y <<Analizar diseño factorial>>.

Uso de software 137


Esta acción resultará en la pantalla donde sólo es necesario indicar la columna de

la variable de respuesta <<Respuesta>> seguido de aceptar y MINITAB le ofrecerá el

resultado correspondiente.

Para capturar los datos en Minitab, de tres factores, es idéntico al de dos

factores, solo que en la ventana correspondiente indicar que se trata de tres factores, y

se aplica la misma secuencia.

138 CAPÍTULO 5 Series de tiempo


CAPÍTULO 5

Series de tiempo

5.1. Modelo clásico de series de tiempo

5.2. Análisis de fluctuaciones

5.3. Análisis de tendencia

5.4. Análisis de variaciones cíclicas

5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares

5.6. Aplicación de ajustes estacionales

5.7. Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales.

Series de tiempo 139


Series de tiempo

oda institución, ya sea la familia, la empresa o el gobierno, tienen que hacer planes

para el futuro si ha de sobrevivir y progresar. Hoy en día diversas instituciones

requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenómenos con el fin de

planificar, prever o prevenir.

Debido a que las condiciones económicas y comerciales varían en el tiempo, los

líderes de los negocios deben encontrar formas de mantenerse al día respecto a los

efectos que esos cambios tendrán en sus operaciones. Una técnica que pueden usar los

líderes de negocios como ayuda en la planeación de las necesidades operativas en lo

futuro es el pronóstico. Aunque se han desarrollado numerosos métodos para

pronosticar, todos tienen un objetivo común, predecir los eventos futuros de manera que

las proyecciones se puedan incorporar en el proceso de toma de decisiones.

Suponga que necesitamos hacer pronósticos trimestrales para el volumen de

ventas de determinado producto durante el próximo año. Los programas de producción,

las compras de materias primas, las políticas de inventarios y las cuotas de venta serán

afectados, todos, por esos pronósticos. Entonces, los malos pronósticos darán como

resultado una mala planeación y, en consecuencia, aumentarán los costos de la empresa.

¿Cómo se hace para elaborar los pronósticos trimestrales del volumen de ventas?

Desde luego que se deben considerar los datos reales de ventas del producto en

periodos pasados. Con tales datos históricos podemos identificar el nivel general de

ventas y cualquier tendencia, como aumento o disminución en el volumen a través del

tiempo. Por ejemplo, un examen más detallado de los datos puede revelar un

comportamiento estacional, como el de los picos que se presentan en el tercer trimestre

de cada año y los mínimos durante el primer trimestre. Al repasar los datos históricos se

puede, con frecuencia, adquirir una mejor comprensión de la tendencia de las ventas en

el pasado para poder pronosticar las ventas del producto en el futuro de una mejor

manera.

Las ventas históricas forman una serie de tiempo que es un conjunto de

observaciones de una variable medida en puntos o periodos sucesivos en el tiempo.

En esencia, existen dos enfoques de pronósticos: cualitativo y cuantitativo.

Los métodos de pronóstico cualitativos son importantes en especial cuando no

se dispone de datos históricos, como sería el caso de un departamento de finanzas que

desea pronosticar los ingresos de una compañía nueva. Los métodos de pronóstico

cualitativos se consideran altamente subjetivos o basados en la opinión. Incluyen el

método de elaboración de escenarios, la opinión de expertos y la técnica Delphi.

Método Delphi. El método délfico, desarrollado en principio por un grupo de

investigación de la Rand Corporation. Trata de determinar pronósticos mediante

¨consenso de grupo¨. En forma normal, a los miembros de un equipo de expertos, todos

ellos separados físicamente y desconocidos entre sí, se les pide contestar una serie de

cuestionarios. Se tabulan las respuestas del primer cuestionario y éstas se usan para

preparar un segundo cuestionario que contiene la información y las opiniones de todo el

grupo. A continuación se pide a cada encuestado reconsiderar y, posiblemente, corregir

sus respuestas anteriores a la vista de la información obtenida con el grupo.

T



Este proceso continua hasta que el coordinador siente que ha alcanzado

cierto nivel de consenso. El objetivo del método délfico no es llegar al resultado de una

sola respuesta, sino producir un conjunto compacto de opiniones dentro del cual esté la

mayoría de los expertos.

Opinión de expertos. Con frecuencia, los pronósticos se basan en el juicio de un

solo experto, o representan el consenso de un grupo de expertos. Por ejemplo, cada año

se reúne un grupo de expertos en Merrill Lynch con el fin de pronosticar el nivel del

promedio industrial Dow Jones y la tasa prima para el siguiente año. Al hacerlo, los

expertos se basan, de manera individual en información que cree que influye en el

mercado accionario y las tasas de interés, a continuación combinan sus conclusiones en

forma de un pronóstico. No se usa modelo formal alguno, y es improbable que dos

expertos cualesquiera visualicen de la misma forma la misma observación.

La opinión de expertos es un método de pronóstico que se recomienda

normalmente cuando es probable que las condiciones en el pasado no rijan en el futuro.

Aunque no se usa modelo cuantitativo formal, el juicio experto ha producido buenos

pronósticos en muchos casos.

Elaboración de escenarios. Este método consiste en desarrollar un escenario

conceptual del futuro, basado en un conjunto bien definido de supuestos. Los distintos

conjuntos de supuestos producen diferentes escenarios. La tarea de quien toma

decisiones es decidir lo probable que es cada escenario y, a continuación, tomar las

decisiones pertinentes.

Por otro lado, los métodos de pronóstico cuantitativo utilizan los datos

históricos. La meta es estudiar lo que ocurrió en el pasado para entender mejor la

estructura fundamental de los datos y proporcionar los medios necesarios para predecir

los sucesos futuros.

Los métodos de pronóstico cuantitativos se dividen en dos tipos: series de

tiempo y causales.

Los métodos de pronóstico de series de tiempo implican la proyección de los

valores futuros de una variable basada por completo en las observaciones pasadas y

presentes de esa variable.

Series de tiempo. Una serie de tiempo es un conjunto de valores numéricos

obtenidos en periodos iguales en el tiempo

Los métodos de pronóstico causales comprenden la determinación de factores

relacionados con la variable que se predice, e incluyen análisis con variables retrasadas,

modelado econométrico, análisis de indicador líder, índice de difusión y otros

medidores económicos más allá del alcance de este libro. La figura 5.1 representa una

perspectiva de los métodos de pronóstico.

Series de tiempo 141


Figura 5.1 Clasificación de los métodos de pronósticos

5.1. Modelo clásico de series de tiempo

La suposición fundamental del análisis de series de tiempo es que los factores que han

influido en los patrones de actividad en el pasado y el presente tendrán más o menos la

misma influencia en lo futuro. Entonces la meta principal del análisis de series de

tiempo es: identificar y aislar estos factores de influencia con el fin de realizar

predicciones (pronosticar), así como fines administrativos de planeación y control.

Para conseguir estas metas, se han desarrollado muchos modelos matemáticos

que exploran las fluctuaciones entre los factores que componen una serie de tiempo. Tal

vez el más esencial sea el modelo multiplicativo clásico para datos registrados cada

año, trimestre o mes. En principio, el modelo multiplicativo clásico se usará para

pronosticar. Otras aplicaciones incluyen un análisis detallado de los componentes

particulares mediante la descomposición de las series de tiempo. Por ejemplo, con

frecuencia los economistas estudian una serie de tiempo anual, trimestral o mensual

para filtrar el componente cíclico y evaluar su movimiento respecto a la actividad

económica general. No obstante, las aplicaciones de la descomposición de una serie de

tiempo están fuera de los objetivos de este libro.

Para exponer el modelo multiplicativo clásico de series de tiempo, en la figura

5.2 se presentan los ingresos brutos reales de Eastman Kodak Company de 1975 a 1998.

Si se intenta observar las características de esta serie de tiempo, es evidente que los

ingresos reales muestran una propensión a aumentar en este periodo de 24 años. Esta

inclinación global a largo plazo o impresión de un movimiento hacia arriba o hacia

abajo se conoce como tendencia

Método de pronostico

Cuantitativos

Causales Serie temporal

Suavizamiento

Proyección de tendencia

Proyección de tendencia ajustada por

influencia estacional

Cualitativos



Figura 5.2 Gráfica de ingresos netos reales (en miles de millones de dólares) de Eastman Kodak Company

(1975-1998)

Sin embargo, la tendencia no es el único factor componente que influye en estos

datos en particular o en otra serie de tiempo anual. Otros dos factores, el componente

cíclico y el componente irregular, están presentes en los datos.

El componente cíclico describe la oscilación o movimiento hacia arriba o hacia

abajo en una serie de tiempo. Los movimientos cíclicos varían en longitud, en general,

duran de 2 a 10 años; difieren en intensidad o amplitud, y a menudo se relacionan con

los ciclos de los negocios. En algunos años los valores serán más altos que los

pronosticados por una sencilla recta de tendencia lineal (es decir, se encuentran en o

cerca de un pico) de un ciclo); en otros años los valores serán menores que el pronóstico

de una recta de tendencia (esto es, están en o cerca del fondo o depresión de un ciclo).

Cualquier dato observado que no siga la tendencia curva modificada por el componente

cíclico es un indicio del componente aleatorio o irregular. Cuando los datos se

registran por mes o trimestre, se considera un componente adicional llamado factor

estacional junto con los componentes de tendencia, cíclico e irregular.

Los tres o cuatro componentes que influyen en una serie de tiempo económica o

de negocios se resumen en la tabla 5.1. El modelo multiplicativo clásico de series de

tiempo establece que todo valor observado en una serie de tiempo es el producto de

estos factores de influencia; es decir, cuando los datos se obtienen cada año, una

observación registrada en el año se puede expresar por la ecuación (5.1)

Modelo multiplicativo clásico de series de tiempo para datos anuales

(5.1)

donde, en el año i

= valor del componente de tendencia

= valor del componente cíclico

= valor del componente irregular

Modelo clásico 143


Cuando los datos se obtienen por trimestre o por mes, una observación registrada en el periodo puede estar dada por la ecuación (5.2)

Tabla 5.1 Factores que influyen en datos de series de tiempo.

Componentes Clasificación

del

componente

Definición Razón de la

influencia

Duración

Tendencias

Estacional

Cíclico

Irregular

Sistemático

Sistemático

Sistemático

No sistemático

Patrón de movimiento

global o persistente, a

largo plazo hacia

arriba o hacia abajo. Fluctuación más o menos

regular que ocurre en

cada periodo de 12 meses

cada año.

Oscilación o movimiento

repetitivo arriba o abajo

en cuatro 4 etapas;

pico(prosperidad),

contracción (recesión),

fondo (depresión) y

expansión (recuperación)

Fluctuación errática o residual en una serie que

está presente después de

tomar en cuenta los

efectos sistemáticos (de

tendencia, estacional y

cíclica)

Cambios en tecnología,

población, riqueza,

Valores.

Condiciones de clima,

costumbres sociales y

religiosas.

Interacción de

numerosas

combinaciones de

factores que influyen en

la economía

Variaciones aleatorias en los datos o debidas a

eventos no previstos

como huelgas,

huracanes,

inundaciones,

asesinatos políticos, tec.

Varios años

Dentro de 12

meses (o datos

menstruales o

trimestrales).

De 2 a 10 años

con diferente

intensidad en el

ciclo completo

Corta duración y sin repetición.

5.2. Análisis de fluctuaciones

El primer paso en un análisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y

observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un

movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la

serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es

decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), puede emplearse el método de

promedios móviles o el de suavización exponencial para “emparejar” la serie y

Modelo multiplicativo clásico de series de tiempo para datos con

Componente estacional

(5.2)

donde

= valores respectivos del componente de tendencia, cíclico e

irregular en el periodo = valor del componente estacional en el periodo



proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una

tendencia, se pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al

manejar datos anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o

trimestral.

El patrón o comportamiento de los datos en una serie de tiempo tiene diversos

componentes. El supuesto usual es que se combinan cuatro componentes separados: la

tendencia, el cíclico, el estacional y el irregular para definir valores específicos de la

serie de tiempo. Examinaremos cada uno de estos componentes.

El gráfico de la serie permitirá:

a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal. Un

outliers es una observación de la serie que corresponde a un comportamiento anormal

del fenómeno (sin incidencias futuras) o a un error de medición. Se debe determinar

desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o

reemplazar por otro valor antes de analizar la serie.

Por ejemplo, en un estudio de la producción diaria en una fábrica se presentó la

siguiente situación ver figura 5.3:

Figura 5.3 Producción diaria

Los dos puntos enmarcados en una flecha parecen corresponder a un

comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que

correspondían a dos días de paro, lo que naturalmente afectó la producción en esos días.

El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando.

b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento

predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio

de la media a lo largo de un periodo.

c) Variación estacional: la variación estacional representa un movimiento periódico de

la serie de tiempo. La duración de la unidad del periodo es generalmente menor que un

Análisis de fluctuaciones 145


año. Puede ser un trimestre, un mes o un día, etc.

Matemáticamente, podemos decir que la serie representa variación

estacional si existe un número s tal que x(t) = x(t + ks).

Las principales fuerzas que causan una variación estacional son las

condiciones del tiempo, como por ejemplo:

1) en invierno las ventas de helado

2) en verano la venta de lana

3) exportación de fruta en marzo.

Todos estos fenómenos presentan un comportamiento estacional (anual,

semanal, etc.)

d) Variaciones irregulares (componente aleatoria): los movimientos irregulares (al

azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea

tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cíclicas.

Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n)

puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia,

estacionalidad y un término de error aleatorio.

Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se

aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los

componentes de los datos observados. Estos son:

1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t)

2. Multiplicativo: X(t) = T(t) · E(t) · A(t)

3. Mixto: X(t) = T(t) · E(t) + A(t)

donde:

X(t) serie observada en instante t

T(t) componente de tendencia

E(t) componente estacional

A(t) componente aleatoria (accidental)

Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco

con media cero y varianza constante.

Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de

otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la

tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el

modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se

presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.



5.3. Análisis de tendencia

En el análisis de serie de tiempo, las mediciones pueden efectuarse cada hora, día,

semana, mes o año o en cualquier otro intervalo regular periódico. Aunque los datos de

serie de tiempo presentan, por lo general, fluctuaciones aleatorias, esta serie puede

mostrar también desplazamientos o movimientos graduales hacia valores relativamente

mayores o menores a lo largo de un lapso importante de tiempo. El desplazamiento

gradual de la serie de tiempo se llama tendencia de esa serie; este desplazamiento o

tendencia es, por lo común, el resultado de factores a largo plazo, como cambios en la

población, características demográficas de la misma, la tecnología y/o las preferencias

del consumidor.

Por ejemplo, un fabricante de bicicletas podría detectar cierta variabilidad, de

año a año, en la cantidad de bicicletas vendidas. Sin embargo, al revisar las ventas

durante los últimos 10 años, puede encontrar que hay un aumento gradual en el volumen

anual de ventas. Suponga que sus ventas fueron:

Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ventas (miles) 21,6 22,9 25,5 21,9 23,9 27,5 31,5 29,7 28,6 31,4

Este crecimiento anual de las ventas a través del tiempo muestra una tendencia

creciente de la serie de tiempo. La figura 5.4 presenta una recta que puede ser una buena

aproximación a la tendencia de las ventas de bicicletas. Aunque esa tendencia parece ser

lineal y aumentar con el tiempo a veces, en una serie de tiempo, la tendencia se puede

describir mejor mediante otros patrones.

Figura 5.4 Tendencia lineal de las ventas de bicicletas

Si al graficar nuestros datos observamos de manera clara la tendencia lineal a

largo plazo (no importando si es positiva o negativa), entonces estaremos en la posición

de pronosticar con un buen nivel de confianza, con alguno de los métodos que se

indicaran más adelante.

La figura 5.5 muestra otros patrones posibles de tendencia. La sección A

representa una tendencia no lineal; en este caso, la serie de tiempo crece poco al

principio; luego tiene un crecimiento rápido y, finalmente, se nivela.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

Ve

nta

(mile

s)

Año

Análisis de tendencia 147


Esa tendencia podría ser una buena aproximación de las ventas de un producto,

desde su introducción, pasando por un periodo de crecimiento y llegando a una etapa de

saturación del mercado. La tendencia lineal decreciente en la sección B se aplica a una

serie de tiempo que tenga una disminución continua a través del tiempo. La recta

horizontal de la sección C representa una serie de tiempo que no tiene aumento o

disminución consistentes a través del tiempo y que, en consecuencia, no tiene tendencia.

Figura 5.5 Ejemplos de algunos posibles patrones de tendencia en series de tiempo

A B C

5.4. Análisis de variaciones cíclicas

Aunque una serie de tiempo puede presentar una tendencia a través de periodos grandes,

sus valores no caerán con exactitud sobre la línea de tendencia. De hecho, con

frecuencia estas series temporales presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba

de la línea de tendencia. Toda secuencia recurrente de puntos arriba y debajo de la línea

de tendencia, que dura más de un año, se puede atribuir a un componente cíclico de la

serie. La figura 5.6 es la gráfica de una serie de tiempo con un componente cíclico

obvio. Las observaciones se hicieron con intervalos de un año.

Figura 5.6 Componente de tendencia y cíclico de una serie de tiempo con datos anuales

Los ciclos aparecen como series de Observaciones sobre y debajo

V de la línea de tendencia

o

l

u

m

e

n Línea de tendencia

Tiempo

Muchas series se tiempo presentan comportamiento cíclico con tramos regulares

de observaciones abajo y arriba de la línea de tendencia. En general, este

comportamiento de la serie se debe a movimientos cíclicos de la economía a través de

varios años. Por ejemplo, los periodos de inflación moderada seguidos de periodos de



inflación rápida pueden determinar series de tiempo que se alternan abajo y arriba de

una línea de tendencia ascendente en general (como la serie de tiempo de los costos de

vivienda). Diversas series de tiempo de principios de la década de los ochenta

presentaron este comportamiento

5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares

Mientras que la tendencia y los componentes cíclicos de una serie de tiempo se

identifican analizando los movimientos de datos históricos a través de varios años, hay

muchas series de tiempo que muestran un patrón regular dentro de un periodo de un

año. Por ejemplo, un fabricante de albercas inflables espera poca actividad de ventas

durante los meses de otoño e invierno, y ventas máximas en los de primavera y verano.

Los fabricantes de equipo para la nieve y de ropa de abrigo esperan un comportamiento

anual opuesto al del fabricante de albercas. No es de sorprender que el componente de la

serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos, debida a influencias de las

estaciones, se llama componente estacional. Aunque uno suele imaginarse que un

movimiento estacional de una serie de tiempo sucede dentro de un año, también se

puede usar para representar cualquier patrón regularmente repetitivo cuya duración sea

menor de un año. Por ejemplo, los datos diarios de intensidad de tráfico muestran un

comportamiento “estacional” dentro del mismo día, así se tiene que el flujo máximo se

presenta durante las horas de aglomeración, el moderado durante el resto del día y al

caer la noche, y el mínimo a partir de la medianoche hasta temprano por la mañana.

El componente irregular de la serie de tiempo es el factor residual, “mil usos”,

que explica las desviaciones de la serie de tiempo real respecto a los factores

determinados por los efectos de la tendencia y los componentes cíclicos y estacionales.

Se debe a factores a corto plazo, imprevisibles y no recurrentes que afecta a la serie de

tiempo. Como este componente explica la variabilidad aleatoria de la serie, es

impredecible; de esta manera, no se puede esperar predecir su impacto sobre la serie de

tiempo

5.6. Aplicación de ajustes estacionales

Una aplicación frecuente de índices estacionales es la de ajustar datos de serie de tiempo

observados para eliminar la influencia del componente estacional en ellos; se llaman datos con

ajuste estacional. Los ajustes estacionales son particularmente pertinentes cuando se desea

comparar datos de diferentes meses para determinar si ha tenido lugar un incremento

(o decremento) en relación con las expectativas estacionales. Los valores de serie de tiempo

mensuales (o trimestrales) observados se ajustan respecto de la influencia estacional dividiendo

cada valor entre el índice mensual (o trimestral) de ese mes. El resultado se multiplica luego

por 100 para mantener la posición decimal de los datos originales. La serie que resultante se

llama ventas desestacionalizadas o ventas ajustadas estacionalmente.

Suavización 149


La razón para desestacionalizar las series de ventas es similar las fluctuaciones

estaciónales a fin de estudiar la tendencia y el ciclo. Para ilustrar el procedimiento, los

totales trimestrales de ventas de la empresa

Tabla 5.2 Ajuste para datos trimestrales Año Trimestre Ventas Índice

estacional

Ventas

desestacionalizadas

1996 Invierno

Primavera Verano

Otoño

6,7

4,6 10,0

12,7

0,765

0,575 1,141

1,519

8,76

8,00 8,76

8,36

1997 Invierno

Primavera

Verano

Otoño

6,5

4,6

9,8

13,6

0,765

0,575

1,141

1,519

8,50

8,00

8,59

8,95

1998 Invierno

Primavera

Verano

Otoño

6,9

5,0

10,4

14.1

0,765

0,575

1,141

1,519

9,02

8,70

9,11

9,28

1999 Invierno

Primavera

Verano

Otoño

7,0

5,5

10,8

15,0

0,765

0,575

1,141

1,519

9,15

9,57

9,46

9,88

2000 Invierno Primavera

Verano

Otoño

7,1 5,7

11,1

14,5

0,765 0,575

1,141

1,519

9,28 9,92

9,72

9,55

2001 Invierno

Primavera

Verano

Otoño

8,0

6,2

11,4

14,9

0,765

0,575

1,141

1,519

10,46

10,79

9,99

9,81

A fin de eliminar el efecto de la variación estacional, la cantidad estacional, la

cantidad de ventas para cada trimestre (que contiene efectos de tendencia, cíclicos,

irregulares y estaciónales) se divide entre el índice estacional de ese trimestre; esto es,

TSCI/S.

Por ejemplo, las ventas reales para el primer trimestre de 1996 fueron 6.7

millones de dólares, el índice estacional par el trimestre de invierno es 76.5 el índice

76.5 indica que las ventas en el primer trimestre normalmente se encuentran 23.5%

abajo del promedio de un trimestre normal. Dividiendo las ventas reales $6.7 millones

entre 76.5 y multiplicando el resultado por 100 se encuentra el valor de las ventas

desestacionalizadas del primer trimestre de 1996. El valor es $8758170 que se obtuvo

de ($6700000/76.5)100.

Este proceso se repite con los demás trimestres en la columna 3 de la tabla 5.2 y

los resultados se dan en millones de dólares. Puesto que la componente estacionalizadas

contiene solo las componentes de tendencia (T), ciclo © e irregular (I). Al revisar las

ventas desestacionalizadas. Es claro que la eliminación del factor estacional permite

considerar la tendencia general a largo plazo de las ventas. También se podrá determinar

la ecuación de regresión de los datos de tendencia y usarla para pronosticar ventas

futuras.



5.7. Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales.

Como lo indicamos anteriormente el primer pasó en un análisis de series de tiempo,

consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe

determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en

la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el

tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), se

recomienda antes de aplicar alguno de los métodos de pronostico ¨suavizar¨ nuestros

datos a fin de que la tendencia se observe de manera clara.

Los métodos que pueden emplearse para suavizar nuestros datos usualmente son:

a) El método de promedios móviles

b) El método de suavización exponencial

El objetivo de ambos métodos es el de “emparejar” la serie y proporcionar un

panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se

pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al manejar datos

anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o trimestral, los

cuales se verán posteriormente.

Suavización de una serie de tiempo anual

La tabla 5.3 presenta las ventas mundiales de una fábrica (en millones de unidades) de

automóviles, camiones y autobuses hechos por General Motors Corporation (GM). Para

un periodo de 24 años, de 1975 a 1998, y la figura 5.7 es una gráfica de serie de tiempo

de estos datos. Al examinar este tipo de datos anuales, la impresión visual de las

tendencias globales a largo plazo o movimientos de tendencia en la serie quedan veladas

por la cantidad de variación de un año a otro. Entonces se vuelve difícil juzgar si en esta

serie en realidad existe un efecto de tendencia positivo o negativo a largo plazo.

Tabla 5.3 Ventas de fábrica (en millones de unidades) Para la General Motors Corporation (1975-1998)

Año Ventas de fábrica Año Ventas de fábrica Año Ventas de fábrica

1975 6.6 1983 7.8 1991 7.4 1976 8.6 1984 8.3 1992 7.7

1977 9.1 1985 9.3 1993 7.8

1978 9.5 1986 8.6 1994 8.4 1979 9.0 1987 7.8 1995 8.3

1980 7.1 1988 8.1 1996 8.4

1981 6.8 1989 7.9 1997 8.8

1982 6.2 1990 7.5 1998 8.1

En situaciones como éstas, se pueden usar el método de promedios móviles o la

suavización exponencial para suavizar o emparejar la serie de tiempo y proporcionar

un panorama global del patrón de movimiento de los datos en el tiempo.

Suavización 151


Figura 5.7 Gráfica de las ventas de fábrica (en millones de unidades)

Para la General Motors Corporation (1975-1998)

Promedios móviles

El método de promedios móviles para suavizar una serie de tiempo es muy subjetivo y

dependiente de L, la longitud del periodo seleccionado para calcular los promedios. Para

eliminar las fluctuaciones cíclicas, el periodo elegido debe ser un valor entero que

corresponda a (o sea múltiplo de) la longitud promedio estimada de un ciclo en una

serie. Los promedios móviles para un promedio determinado de longitud L consiste en

una serie de promedios aritméticos en el tiempo tales que cada uno se calcula a partir de

una secuencia de L valores observados. Estos promedios móviles se representan por el

símbolo PM (L)

A manera de ejemplo, suponga que se desea calcular promedios móviles de 5 años de

una serie que contiene n = 11 años. Como L = 5, los promedios móviles de 5 años

consisten en una serie de medidas obtenidas en el tiempo al promediar secuencias

consecutivas de cinco valores observados. El primer promedio móvil de 5 años se

calcula con la suma de los valores para los primeros 5 años en la serie, dividida entre 5.

PM (5) = 5

54321 YYYYY

El segundo promedio móvil de 5 años se calcula con la suma de los valores de los años

2 a 6 en la serie, dividida entre 5

PM (5) = 5

65432 YYYYY

Este proceso continúa hasta calcular el último promedio móvil de 5 años con la suma de

los valores de los últimos 5 años en la serie (años del 7 al 11), dividida entre 5.

PM (5) = 5

1110987 YYYYY

Cuando se trata de una serie de tiempo anual, L, la longitud del periodo elegido

para construir los promedios móviles, debe ser un número de años impar. Al seguir esta

regla se observa que no se pueden obtener promedios móviles para los primeros (L –

Ventas de fabrica para General Motors

0

2

4

6

8

10

1970 1980 1990 2000

Año

Un

idad

es (m

illo

nes

)



1)/2 años o los últimos (L -1)/2 años en la serie. Entonces, para un promedio móvil de 5

años, no es posible hacer cálculos para los primeros 2 años o los últimos 2 años de la

serie.

Al graficar los promedios móviles, cada valor calculado se coloca en el año a la

mitad de la secuencia de años usada para calcularlos. Si n = 11 y L = 5, el primer

promedio móvil se centra en el tercer año, el segundo promedio móvil se centra en el

cuarto año y el último en el noveno año. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo:

Suponga que los siguientes datos representan los ingresos totales (en millones de

dólares constantes de 1995) de una agencia donde se rentan automóviles, en un intervalo

de 11 años de 1987 a 1997:

4.0 5.0 7.0 6.0 8.0 9.0 5.0 2.0 3.5 5.5 6.5

Calcule los promedios móviles de 5 años para esta serie de tiempo anual.

Solución

El primer promedio móvil de 5 años es

PM (5) = 0.65

0.30

5

0.80.60.70.50.4

Es decir, para calcular un promedio móvil de 5 años, primero se obtiene la suma de los

cinco años y se divide entre 5. Después el promedio se centra en el valor medio, el

tercer año de esta serie de tiempo. Los siguientes valores quedan de la siguiente manera:

PM (5) = 0.75

0.35

5

0.90.80.60.70.5

PM (5) = 0.75

0.35

5

0.50.90.80.60.7

PM (5) = 0.65

0.30

5

0.20.50.90.80.6

PM (5) = 5.55

5.27

5

5.30.20.50.90.8

PM (5) = 0.55

0.25

5

5.55.30.20.50.9

PM (5) = 5.45

5.22

5

5.65.55.30.20.5

Estos promedios móviles se centran en sus respectivos valores medios, el quinto, sexto

y séptimo años de la serie de tiempo. Se observa que al obtener promedios móviles de 5

años, no se pueden calcular los valores para los primeros dos y los últimos dos valores

de la serie de tiempo.

Suavización 153


En la práctica, al obtener promedios móviles se debe usar un programa de computadora

como Microsoft Excel o Minitab para evitar los cálculos tediosos. La tabla 5.4 y 5.5

presenta las ventas anuales de la fábrica (General Motors) que ampara el periodo de 24

años de 1975 a 1998 junto con los cálculos para los promedios móviles de 3 y 7 años.

La gráfica de las dos series construidas se presenta en la figura 5.8 y 5.9 con los datos

originales.

Se observa en la tabla 5.4 que al obtener los promedios móviles de 3 años, no se pueden

calcular valores para el primero o el último valor en la serie de tiempo.

Tabla 5.4 promedios móviles de 3 y 7 años obtenida con Microsoft Excel

Figura 5.8 Gráfica de promedios móviles de 3 y 7 año

Año Ventas PM 3 años PM 7 años

1975 6,6 #N/A #N/A

1976 8,6 8,1 #N/A

1977 9,1 9,06666667 #N/A

1978 9,5 9,2 8,1

1979 9 8,53333333 8,04285714

1980 7,1 7,63333333 7,92857143

1981 6,8 6,7 7,81428571

1982 6,2 6,93333333 7,78571429

1983 7,8 7,43333333 7,72857143

1984 8,3 8,46666667 7,82857143

1985 9,3 8,73333333 8,01428571

1986 8,6 8,56666667 8,25714286

1987 7,8 8,16666667 8,21428571

1988 8,1 7,93333333 8,08571429

1989 7,9 7,83333333 7,85714286

1990 7,5 7,6 7,74285714

1991 7,4 7,53333333 7,82857143

1992 7,7 7,63333333 7,85714286

1993 7,8 7,96666667 7,92857143

1994 8,4 8,16666667 8,11428571

1995 8,3 8,36666667 8,21428571

1996 8,4 8,5 #N/A

1997 8,8 8,43333333 #N/A

1998 8,1 #N/A #N/A

0

2

4

6

8

10

1975

1978

1981

1984

1987

1990

1993

1996

VENTASPM 3 añosPM 7 años



Tabla 5.5 promedios móviles de 3 y 7 años obtenida con Minitab

Tiempo Ventas MA 3 años MA 7 años

1975 6,6 * *

1976 8,6 8,10000 *

1977 9,1 9,06667 *

1978 9,5 9,20000 8,10000

1979 9,0 8,53333 8,04286

1980 7,1 7,63333 7,92857

1981 6,8 6,70000 7,81429

1982 6,2 6,93333 7,78571

1983 7,8 7,43333 7,72857

1984 8,3 8,46667 7,82857

1985 9,3 8,73333 8,01429

1986 8,6 8,56667 8,25714

1987 7,8 8,16667 8,21429

1988 8,1 7,93333 8,08571

1989 7,9 7,83333 7,85714

1990 7,5 7,60000 7,74286

1991 7,4 7,53333 7,82857

1992 7,7 7,63333 7,85714

1993 7,8 7,96667 7,92857

1994 8,4 8,16667 8,11429

1995 8,3 8,36667 8,21429

1996 8,4 8,50000 *

1997 8,8 8,43333 *

1998 8,1 * *

Figura 5.9 Gráfica de promedios móviles de 3 y 7 años en Minitab

200019951990198519801975

9,5

9,0

8,5

8,0

7,5

7,0

6,5

6,0

Año

Dat

os Y

Ventas

PM 3 Años

PM 7 Años

Variable

Gráfica de dispersión de Ventas; PM 3 Años; PM 7 Años vs. Año

Suavización exponencial

La suavización exponencial es otra técnica que se usa para alisar una serie de tiempo y

proporcionar una visualización global de los movimientos a largo plazo de los datos.

Además, se puede usar el método de suavización exponencial para obtener pronósticos a

corto plazo (un periodo futuro) para series de tiempo.

El método de suavización exponencial obtiene su nombre del hecho de que

proporciona un promedio móvil con ponderación exponencial a través de la serie de

tiempo. En toda la serie, cada cálculo de suavización o pronóstico depende de todos los

valores observados anteriores. Ésta es otra ventaja respecto al método de pronósticos

móviles, que no toma en cuenta todos los valores observados de esta manera. Con la

Suavización 155


suavización exponencial, los pesos asignados a los valores observados decrecen en el

tiempo, de manera que al hacer un cálculo, el valor observado más reciente recibe el

peso más alto, el valor observado anterior tiene el siguiente peso más alto, y así

sucesivamente, por lo que el valor observado inicial tiene la menor ponderación.

Aunque la magnitud de los cálculos involucrados puede parecer enorme, la suavización

exponencial al igual que los métodos de promedios móviles está disponible entre los

procedimientos de Microsoft Excel y Minitab.

Si se centra la atención en los aspectos de suavización de la técnica (más que en

el aspecto del pronóstico), las fórmulas desarrolladas para suavizar exponencialmente

una serie en un periodo dado i se basa en sólo tres términos: el valor observado actual

en la serie de tiempo , valor con suavización exponencial calculado anterior 1iE y un

peso subjetivo asignado o coeficiente de suavización W. Así, para alisar una serie en

cualquier periodo , se tiene la siguiente expresión.

Obtención de un valor que tiene suavización exponencial en el periodo

donde

EI = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo EI – 1 = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo – 1

Yi = valor observado de la serie de tiempo en el periodo W = peso subjetivo asignado o coeficiente de suavización (donde 0 < W < 1)

E1 = Y1

La elección del coeficiente de suavización o peso que se asigna a la serie de

tiempo es crítica porque afectará en forma directa los resultados. Es desafortunado que

esta selección sea subjetiva. Si se desea sólo suavizar una serie con la eliminación de la

variación cíclica y la irregular, debe elegirse un valor pequeño para W (cercano a 0).

Por otro lado, si la meta es pronosticar, debe elegirse un valor grande para W (más

cercano a 1). En el primer caso, se podrán observar las tendencias globales a largo plazo

de la serie; en el último caso, es posible predecir direcciones futuras a corto plazo de

manera más adecuada.

Los cálculos de la suavización exponencial se ilustra para un coeficiente de

suavización de W = 0.25. Como punto de partida, se utiliza el valor observado inicial

(tabla 5.3), Y1975 = 6.6 como el primer valor de suavización (E1975 = 6.6) Después, con

el valor observado de la serie de tiempo para el año 1976 (Y1976 = 8.6), se suaviza la

serie para el año de 1976 con el cálculo

1)1( iii EWYWE

E1976 = WY1976 + (1 – W)E1975 = (0.25)(8.6) + (0.75)(6.6) = 7.10 millones

E1977 = WY1977 + (1 – W)E1976 = (0.25)(9.1) + (0.75)(7.1) = 7.6

E1978 = WY1978 + (1 – W)E1977 = (0.25)(9.5) + (0.75)(7.6) = 8.08



Este proceso continúa hasta obtener los valores de la suavización exponencial

para los 24 años en la serie de las ventas anuales de la fábrica (General Motors), como

se muestra en la tabla 5.6 y 5.7, y las figuras 5.10 y 5.11

Tabla 5.6 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM

obtenida con Microsoft Excel

Año

Ventas

SE

(W=0.25)

SE

(W=0.50)

1975 6,6 6,6 6,6

1976 8,6 7,1 7,6

1977 9,1 7,6 8,35

1978 9,5 8,075 8,925

1979 9 8,30625 8,9625

1980 7,1 8,0046875 8,03125

1981 6,8 7,70351563 7,415625

1982 6,2 7,32763672 6,8078125

1983 7,8 7,44572754 7,30390625

1984 8,3 7,65929565 7,80195313

1985 9,3 8,06947174 8,55097656

1986 8,6 8,20210381 8,57548828

1987 7,8 8,10157785 8,18774414

1988 8,1 8,10118339 8,14387207

1989 7,9 8,05088754 8,02193604

1990 7,5 7,91316566 7,76096802

1991 7,4 7,78487424 7,58048401

1992 7,7 7,76365568 7,640242

1993 7,8 7,77274176 7,720121

1994 8,4 7,92955632 8,0600605

1995 8,3 8,02216724 8,18003025

1996 8,4 8,11662543 8,29001513

1997 8,8 8,28746907 8,54500756

1998 8,1

Figura 5.10 Gráfica de una serie suavizada exponencialmente

(W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de GM

Suavización 157


Tabla 5.7 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM

obtenida con Minitab

Año Ventas Suavizar 0,25 Suavizar 0,50

1975 6,6 6,60000 6,60000

1976 8,6 7,10000 7,60000

1977 9,1 7,60000 8,35000

1978 9,5 8,07500 8,92500

1979 9,0 8,30625 8,96250

1980 7,1 8,00469 8,03125

1981 6,8 7,70352 7,41563 1982 6,2 7,32764 6,80781

1983 7,8 7,44573 7,30391

1984 8,3 7,65930 7,80195

1985 9,3 8,06947 8,55098

1986 8,6 8,20210 8,57549

1987 7,8 8,10158 8,18774

1988 8,1 8,10118 8,14387

1989 7,9 8,05089 8,02194

1990 7,5 7,91317 7,76097

1991 7,4 7,78487 7,58048

1992 7,7 7,76366 7,64024 1993 7,8 7,77274 7,72012

1994 8,4 7,92956 8,06006

1995 8,3 8,02217 8,18003

1996 8,4 8,11663 8,29002

1997 8,8 8,28747 8,54501

1998 8,1 8,24060 8,32250

Figura 5.11 Gráfica de una serie suavizada exponencialmente (W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de

GM en Minitab

200019951990198519801975

9,5

9,0

8,5

8,0

7,5

7,0

6,5

6,0

Año

Dato

s Y

Ventas

Suavizar 0,25

Suavizar 0,50

Variable

Gráfica de dispersión de Ventas; Suavizar 0,25; Suavizar 0,50 vs. Año

Proyección de tendencias Para pronosticar una serie de tiempo que tiene una tendencia lineal a largo plazo. El tipo

de serie de tiempo para el cual se aplica el método de proyección de tendencias presenta

un aumento o disminución consistentes a través del tiempo; y no es estable como para

aplicar los métodos de suavizamiento analizados en la sección anterior.



Veamos la serie de tiempo de ventas de bicicletas de determinado fabricante

durante los últimos 10 años, que se muestran en la tabla 5.8 y en la figura 5.12. Observe

que en el primer año se vendieron 21 600 bicicletas, en el segundo, 22 900, y así

sucesivamente. En el décimo año, el más reciente, se vendieron 31 400 bicicletas.

Aunque la figura 5.12 muestra algo de movimiento hacia arriba y hacia abajo durante

los 10 años, parece que la serie de tiempo tiene una tendencia general de aumento o

crecimiento

Tabla 5.8 Serie de tiempo de venta de bicicletas

Año

(t)

Ventas

(miles)

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

21,6

22,9

25,5

21,9

23,9

27,5

31,5

29,7

28,6 31,4

Figura 5.12 Serie de tiempo de venta de bicicletas

En este caso no se trata de que el componente de tendencia de una serie de

tiempo siga cada aumento y disminución; más bien ese componente debe reflejar el

desplazamiento gradual, que para este caso es el crecimiento, de los valores de la serie

de tiempo.

10987654321

32

30

28

26

24

22

Año

ve

nta

s

Gráfica de series de tiempo de ventas

Proyección de tendencias 159


Después de examinar los datos de la serie de tiempo en la tabla 5.8 y en la

gráfica de la figura 5.12 concordamos que con una tendencia líneas, como la que

muestra la figura 5.13, se obtiene una descripción razonable del movimiento en la serie

a largo plazo.

Vamos a emplear los datos de ventas de bicicletas para ilustrar los cálculos del

análisis de regresión, a fin de identificar una tendencia lineal. Recuerde que en la

descripción de la regresión lineal simple, describimos cómo se aplica el método de

mínimos cuadrados para determinar la mejor relación lineal entre dos variables; tal

metodología es la que usaremos para definir la línea de tendencia para la serie de tiempo

de ventas de bicicletas. En forma específica, aplicaremos el análisis de regresión para

estimar la relación entre el tiempo y el volumen de ventas.

Figura 5.13 Tendencias de las ventas de bicicletas, representada por una función lineal

10987654321

32

30

28

26

24

22

20

Año

ve

nta

s

MAPE 5,06814

MAD 1,32000

MSD 3,07000

Medidas de exactitud

Actual

Ajustes

Variable

Gráfica de análisis de tendencia de ventasModelo de tendencia lineal

Yt = 20,40 + 1,10*t

La ecuación de regresión que describe una relación lineal entre una variable

independiente, , y una variable dependiente, , es

Para enfatizar que el tiempo es la variable independiente en los pronósticos,

usaremos en la ecuación en lugar de ; además, usaremos en lugar de . Así para

una tendencia lineal, el volumen estimado de ventas, expresado en función del tiempo,

se puede escribir como sigue:

donde

= valor de la tendencia de la serie de tiempo en el periodo = ordenada al origen e la línea de tendencia

= pendiente de la línea de tendencia

= tiempo

En esta ecuación igualaremos = 1 para el tiempo en que se obtiene el primer

dato de la serie de tiempo, = 2 para el tiempo del segundo dato y así sucesivamente.



Observe que, para la serie de tiempo de ventas de bicicletas, = 1 correspondiente

al valor más antiguo de esa serie y = 10 al más reciente.

Las fórmulas para calcular los coeficientes estimados de regresión, y , en

la ecuación que se muestra a continuación.

donde

= valor de la serie de tiempo en el periodo = número de periodos

= valor promedio de la serie de tiempo,

= valor promedio de

Con las ecuaciones anteriores y los datos de las ventas de bicicletas de la tabla

5.8 podemos calcular como sigue:

t 1

2

3 4

5

6

7

8

9

10

21,6

22,9

25,5 21,9

23,9

27,5

31,5

29,7

28,6

31,4

21,6

45,8

76,5 87,6

119,5

165,0

220,5

237,6

257,4

314,0

1

4

9 16

25

36

49

64

81

100

55 264,5 1545,5 385

=

=

Por consiguiente,

Proyección de tendencias 161


Es la ecuación del componente de tendencia lineal para la serie de tiempo de

ventas de bicicletas.

La pendiente 1,1 indica que, durante los últimos 10 años, la empresa ha tenido

un crecimiento promedio de ventas igual a 1100 unidades anuales, aproximadamente. Si

suponemos que la tendencia en los 10 años pasados es un buen indicador del futuro,

aplicamos la ecuación para proyectar el componente de tendencia de la serie de tiempo.

Por ejemplo, al sustituir = 11 en esa ecuación, se obtiene la proyección de tenencia

para el año próximo,

Así sólo con el componente de tendencia pronosticaríamos ventas de 32 500

bicicletas para el próximo año.

Utilice Microsoft Excel o Minitab para resolver los siguientes problemas

Ejercicios

1.- En la compañía Pérez, los porcentajes mensuales de los embarques recibidos durante

los últimos 12 meses fueron

80, 82, 84, 83, 83, 84, 85, 84, 82, 83, 84 y 83

a) Compare el pronóstico con promedios móviles de tres meses con uno de

suavizamiento exponencial con ¿Con cuál se obtienen mejores

pronósticos?

2.- La siguiente serie de tiempo representa las ventas de un producto durante los últimos

12 meses.

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ventas 10535 120 105 90 120 145 140 100 80 100 110

a) Use con para calcular los valores de suavizamiento exponencial de la

serie de tiempo

b) Use una constante de suavizamiento igual a 0,5 para calcular los valores de

suavizamiento exponencial. ¿Cuál de las constantes 0,3 o 0,5, parece producir

los mejores pronósticos

Resumen de Excel donde observamos los coeficientes




R^2 ajustado 0,735395518


Observaciones 10



Regresión 1 99,825 99,825 26,0130293 0,000929509

Residuos 8 30,7 3,8375

Total 9 130,525


Intercepción 20,4 1,338220211 15,24412786 3,3999E-07 17,31405866

Año 1,1 0,215673715 5,100296983 0,00092951 0,602655521



3.- Los datos que siguen representan el número anual de empleados (en miles) de una

compañía petrolera para los años 1978 a 1997.

Número de empleados (en miles)

Año Número Año Número Año Número

1978 1.45 1985 2.04 1992 1.65

1979 1.55 1986 2.06 1993 1.73

1980 1.61 1987 1.80 1994 1.88

1981 1.60 1988 1.73 1995 2.00

1982 1.74 1989 1.77 1996 2.08

1983 1.92 1990 1.90 1997 1.88

1984 1.95 1991 1.82

a) Grafique los datos en un diagrama

b) Ajuste un promedio móvil de 3 años a los datos y grafique los resultados en el

diagrama

c) Utilice un coeficiente de suavización W = 0.50, aplique la suavización exponencial a

la serie y grafique los resultados en el diagrama

4.- Los siguientes datos representan las ventas anuales (en millones de dólares) de una

compañía que procesa alimentos para los años 1972 a 1997

Ventas anuales (millones de dólares)

Año Ventas Año Ventas Año Ventas

1972 41.6 1981 53.2 1990 36.4

1973 48.0 1982 53.3 1991 38.4

1974 51.7 1983 51.6 1992 42.6

1975 55.9 1984 49.0 1993 34.8

1976 51.8 1985 38.6 1994 28.4

1977 57.0 1986 37.3 1995 23.9

1978 64.4 1987 43.8 1996 27.8

1979 60.8 1988 41.7 1997 42.1

1980 56.3 1989 38.3

a) Grafique los datos en un diagrama

b) Ajuste un promedio móvil de 7 años a los datos y grafique los resultados en el

diagrama

c) Utilice un coeficiente de suavización W = 0.25, aplique la suavización exponencial a

la serie y grafique los resultados en el diagrama

Ejercicios 163


5.- Los datos de inscripciones, en miles, en una universidad estatal durante los últimos

seis años son los siguientes:

Año 1 2 3 4 5 6

Inscripción 20,5 20,2 19,5 19,0 19,1 18,8

Deduzca una ecuación del componente de tendencia lineal en esta serie de

tiempo. Haga comentarios acerca de lo que sucede con la inscripción en esta institución.

6.- Al final de la década de los noventa, muchas empresas trataron de reducir su tamaño

para disminuir sus costos. Uno de los resultados de esas medidas de recorte de costos

fue una disminución en el porcentaje de empleos gerenciales en la industria privada. Los

siguientes datos corresponden al porcentaje de mujeres gerentes, de 1990 1 1995

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Porcentaje 7,45 7,53 7,52 7,65 7,62 7,73

a) Deduzca una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo.

b) Use la ecuación de la tendencia para estimar el porcentaje de mujeres gerentes

para 1996 y 1997

7.- ACT Networks. Inc., desarrolla, fabrica y vende productos para acceso a redes de

banda ancha. Los siguientes datos son las ventas anuales de 1992 a 1997

Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Ventas

(millones)

5,4 6,2 12,7 20,6 28,4 44,9

a) Deduzca una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo

b) ¿Cuál es el aumento promedio de ventas anuales en esta empresa

c) Use la ecuación de tendencia para pronosticar las ventas en 1998

Caso a resolver 1 Pronóstico de ventas de alimentos y bebidas

El restaurante Vintage está en la isla Captiva, lugar de descanso cerca de Fort Myers,

Florida. El restaurante, cuya dueña y operadora es Karen Payne, acaba de completar su

tercer año de funcionamiento. Karen, durante ese lapso, ha tratado de ganarse una

reputación como establecimiento de alta calidad que se especializa en mariscos. Sus

esfuerzos han tenido éxito y su restaurante ha llegado a ser uno de los mejores y de

mayor crecimiento en la isla.

Karen ve que, para planear el crecimiento futuro del restaurante, necesita

desarrollar un sistema que le permita pronosticar las ventas de alimentos y bebidas cada

mes, hasta con un año de anticipación. Cuenta con los siguientes datos sobre las ventas

totales de alimentos y bebidas (en miles de dólares) durante los tres años de

funcionamiento.



Mes Primer año Segundo año Tercer año

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

242

235

232

178

184

140

145

152

110

130

152

206

263

238

247

193

193

149

157

161

122

130

167

230

282

255

265

205

210

160

166

174

126

148

173

235

Analice los datos de ventas del restaurant. Prepare un informe a Karen que contenga

lo que encontró, sus pronósticos y recomendaciones. Dicho informe debe incluir:

a) Una gráfica de la serie de tiempo

b) Un análisis de influencias estacionales sobre los datos. Indique los índices

estacionales para cada mes y haga comentarios acerca de los meses con ventas

altas y bajas. ¿Tiene sentido intuitivo esos índices estacionales? Describa por

qué.

c) Un pronóstico de ventas desde enero hasta diciembre del cuarto año.

d) Recomendaciones sobre cuándo se debe actualizar el sistema que ha preparado,

para tomar en cuenta nuevos datos de ventas

e) Todos los cálculos detallados de su análisis aparecen en el apéndice de su

informe.

Suponga que las ventas en enero del cuarto año fueron de 295 000 dólares. ¿Cuál

fue su error de pronóstico? Si es grande, Karen se quedará confundida por la diferencia

entre su pronóstico y el valor real de las ventas. ¿Qué puede hacer para resolver la

incertidumbre en el procedimiento de pronóstico?

Caso a resolver 2 Pronóstico de ventas perdidas

La tienda de departamentos Carlson sufrió graves daños cuando pasó un huracán el 31

de agosto de 2000. Estuvo cerrada durante cuatro meses (de septiembre a diciembre de

2000), y ahora tiene una dificultad con su aseguradora acerca de la cantidad de ventas

perdidas, mientras estuvo cerrada. Se deben resolver dos asuntos clave: 1) la cantidad de

ventas de Carlson si no la hubiera dañado el huracán, y 2) si Carlson tiene derecho a una

compensación por ventas adicionales a causa de mayor actividad después de la

tormenta. A su condado llegaron más de 8000 millones de dólares en fondos federales

para desastres y seguros, lo cual ocasionó un aumento en las ventas de las tiendas de

departamento y de muchos otros negocios.

La siguiente tabla muestra los datos del departamento de comercio de Estados

Unidos sobre las ventas totales durante los 48 meses anteriores a la tormenta, en todas

las tiendas de departamentos en el condado, y también las ventas totales durante los

cuatro meses en que Carlson estuvo cerrada. Los administradores de Carlson le pidieron

Ejercicios 165


analizar estos datos y preparar estimados de las ventas perdidas en sus almacenes

durante los meses de septiembre a diciembre de 2000. También le pidieron determinar si

es posible alegar exceso de ventas relacionado con el huracán, durante el mismo

periodo. Si se puede presentar ese argumento. Carlson tiene derecho a compensaciones

por exceso sobre las ventas ordinarias.

Mes 1996 1997 1998 1999 2000

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

1,71

1,90

2,74

4,20

1,45

1,80

2,03

1,99

2,32

2,20

1,13

2,43

1,90

2,13

2,56

4,16

2,31

1,89

2,02

2,23

2,39

2,14

2,27

2,21

1,89

2,29

2,83

4,04

2,31

1,99

2,42

2,45

2,57

2,42

2,40

2,50

2,09

2,54

2,97

4,35

2,56

2,28

2,69

2,48

2,73

2,37

2,31

2,23

Prepare un informe a los gerentes de Carlson que resuma lo que encontró, sus

pronósticos y recomendaciones. Éste debe incluir:

a) Un estimado de ventas si no hubiera habido huracán.

b) Un estimado de ventas en tiendas de departamentos de todo el condado, si no

hubiera habido huracán

c) Un estimado de ventas perdidas de Carlson, de septiembre a diciembre de 200

166


Apéndice

Tablas

167


Distribución T de Student

Grados de

libertad

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

1

2

3

4 5

6

7 8

9

10 11

12

13

14 15

16

17 18

19

20

21 22

23

24 25

26

27 28

29

30

1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656

0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925

0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841

0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032

0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707

0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355

0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250

0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106

0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055

0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012

0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947

0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921

0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878

0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861

0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845

0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819

0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807

0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787

0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779

0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763

0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756

0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750

168


Distribución normal estándar

0 Z

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0 2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0 3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.1915 0.1850 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2518 0.2549

0.2580 0.2612 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 3.3980 0.3997 0.4015

0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

0.4956 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

0.4986 0.4986 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992

0.4993 0.4993 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995

0.4995 0.4995 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996

0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997

0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

169


Distribución normal para una cola

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0

0.1

0.2 0.3

0.4

0.5 0.6

0.7

0.8 0.9

1.0

1.1

1.2 1.3

1.4

1.5 1.6

1.7

1.8 1.9

2.0

2.1

2.2 2.3

2.4

2.5 2.6

2.7

2.8

2.9 3.0

0.5000 0.5039 0.5079 0.5119 0.5159 0.5199 0.5239 0.5279 0.5318 0.5358

0.5398 0.5437 0.5477 0.5517 0.5556 0.5596 0.5635 0.5674 0.5714 0.5753

0.5792 0.5831 0.5870 0.5909 0.5948 0.5987 0.6025 0.6064 0.6102 0.6140 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6330 0.6368 0.6405 0.6443 0.6480 0.6517

0.6554 0.6590 0.6627 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6843 0.6879

0.6914 0.6949 0.6984 0.7019 0.7054 0.7088 0.7122 0.7156 0.7190 0.7224 0.7257 0.7290 0.7323 0.7356 0.7389 0.7421 0.7453 0.7485 0.7517 0.7549

0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7733 0.7763 0.7793 0.7823 0.7852

0.7881 0.7910 0.7938 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8105 0.8132 0.8159 0.8185 0.8212 0.8238 0.8263 0.8289 0.8314 0.8339 0.8364 0.8389

0.8413 0.8437 0.8461 0.8484 0.8508 0.8531 0.8554 0.8576 0.8599 0.8621

0.8643 0.8665 0.8686 0.8707 0.8728 0.8749 0.8769 0.8790 0.8810 0.8829

0.8849 0.8868 0.8887 0.8906 0.8925 0.8943 0.8961 0.8979 0.8997 0.9014 0.9032 0.9049 0.9065 0.9082 0.9098 0.9114 0.9130 0.9146 0.9162 0.9177

0.9192 0.9207 0.9221 0.9236 0.9250 0.9264 0.9278 0.9292 0.9305 0.9318

0.9331 0.9344 0.9357 0.9369 0.9382 0.9394 0.9406 0.9417 0.9429 0.9440 0.9452 0.9463 0.9473 0.9484 0.9494 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9544

0.9554 0.9563 0.9572 0.9581 0.9590 0.9599 0.9607 0.9616 0.9624 0.9632

0.9640 0.9648 0.9656 0.9663 0.9671 0.9678 0.9685 0.9692 0.9699 0.9706 0.9712 0.9719 0.9725 0.9731 0.9738 0.9744 0.9750 0.9755 0.9761 0.9767

0.9772 0.9777 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9807 0.9812 0.9816

0.9821 0.9825 0.9829 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9849 0.9853 0.9857

0.9860 0.9864 0.9867 0.9871 0.9874 0.9877 0.9880 0.9883 0.9886 0.9889 0.9892 0.9895 0.9898 0.9900 0.9903 0.9906 0.9908 0.9911 0.9913 0.9915

0.9918 0.9920 0.9922 0.9924 0.9926 0.9928 0.9930 0.9932 0.9934 0.9936

0.9937 0.9939 0.9941 0.9942 0.9944 0.9946 0.9947 0.9949 0.9950 0.9952 0.9953 0.9954 0.9956 0.9957 0.9958 0.9959 0.9960 0.9962 0.9963 0.9964

0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9971 0.9972 0.9973

0.9974 0.9975 0.9975 0.9976 0.9977 0.9978 0.9978 0.9979 0.9980 0.9980

0.9981 0.9981 0.9982 0.9983 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 0.9986 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9990

170


Valores Críticos de la Distribución Chi-Cuadrado.

FUNCION DE DISTRIBUCION 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995

G R

A D

O S

D

E L

I B

E R

T A

D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0.000039 0.000157 0.000982 0.003932 0.0158 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88

0.0100 0.0201 0.0506 0.10 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60

0.0717 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18 9.89 10.86 12.40 13.85 15.66 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 36.74 40.11 43.19 46.96 49.64 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67

171


Valores Críticos de la Distribución F - Función de Distribución = 0.90.

GRADOS DE LIBERTAD DEL NUMERADOR

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

G 2

R 3

A 4

D 5

O

S 6

7

D 8

E 9

10

L

I 11

B 12

E 13

R 14

T 15

A

D 16

17

D 18

E 19

L 20

D 21

E 22

N 23

O 24

M 25

I

A 26

D 27

O 28

R 29

30

40

60

90

120

39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 60.19

8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39

5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23

4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92

4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30

3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94

3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70

3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54

3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42

3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32

3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25

3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19

3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14

3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10

3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06

3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03

3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00

3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98

2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96

2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94

2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92

2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90

2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89

2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88

2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87

2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86

2.90 2.51 2.30 2.17 2.07 2.00 1.95 1.91 1.87 1.85

2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84

2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83

2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82

2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76

2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71

2.76 2.36 2.15 2.01 1.91 1.84 1.78 1.74 1.70 1.67

2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65

172




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

G 2

R 3

A 4

D 5

O

S 6

7

D 8

E 9

10

L

I 11

B 12

E 13

R 14

T 15

A

D 16

17

D 18

E 19

L 20

D 21

E 22

N 23

O 24

M 25

I

A 26

D 27

O 28

R 29

30

40

60

90

120

161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88

18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40

10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79

7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96

6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74

5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06

5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64

5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35

5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14

4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98

4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85

4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75

4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67

4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60

4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54

4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49

4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45

4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41

4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38

4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35

4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32

4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30

4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27

4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25

4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24

4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22

4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20

4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19

4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18

4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16

4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08

4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99

3.95 3.10 2.71 2.47 2.32 2.20 2.11 2.04 1.99 1.94

3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91

173




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

G

R

A

D

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2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

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20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

40

60

90

120

4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056

98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40

34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23

21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55

16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05

13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87

12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62

11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81

10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26

10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85

9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54

9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30

9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10

8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94

8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80

8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69

8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59

8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51

8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43

8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37

8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31

7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26

7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21

7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17

7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13

7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09

7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06

7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03

7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00

7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98

7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80

7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63

6.93 4.85 4.01 3.53 3.23 3.01 2.84 2.72 2.61 2.52

6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47

174


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Ensenada Baja California agosto de 2012

ESTADÍSTICA INFERENCIAL II (LIBRO)

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