ESTADISTICA II

L e e e ,o n

l-r

ri~!

4.1 Prueba de hipótesisA La Prueba de Hipótesis, se le llama también ensayo de hipótesis o docimasia de

hipótesis, que son procedimientos que se usan para determinar si es razonable o co-rrecto, aceptar el estadístico obtenido de la muestra. Como resultado de una prueba dehipótesis, se acepta o se rechaza lo planteado como Hipótesis Nula (Ha); si se acepta,convenimos en que el error de muestreo (azar) por si solo puede dar lugar al valor alestadístico que origina la diferencia entre este y el parámetro; si se rechaza, conveni-mos que la diferencia es tan grande, que no es fruto del error de muestreo (el azar) yse concluye que el estadístico de la muestra no proviene de una población que tenga elparámetro estudiado.

Es importante recordar que las hipótesis son siempre enunciados relativos a lapoblación o distribución bajo estudio, que a menudo involucran una o más característicasde la distribución, no son enunciados en torno a la muestra.

El valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis suele determinarsede una de tres maneras:

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ESTADíSTICA 11

1° Puede resultar de la experiencia o conocimientos pasados del proceso, o inclusode experimentación previa. El objetivo entonces de la prueba de hipótesis suele serentonces determinar si la situación experimental ha cambiado.

2° Este valor puede determinarse a partir de alguna teoría o modelo con respecto al objetoque se estudia. Aquí el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo.

3° Surge cuando el valor del parámetro de la población es resultado de consideracionesexperimentales, tales como especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligacionescontractuales. En esta situación, el objetivo de la prueba de hipótesis es la prueba deconform idad.

4.1.1 Formulación de las hipótesis

En la práctica es necesaria la formulación de dos hipótesis estadísticas, una afirmativasobre una característica determinada, llamada Hipótesis Nula y la otra complementariallamada Hipótesis Alternativa.

4.1.1.1 Hipótesis nula (Ho)

Es un planteamiento que se formula respecto a una característica poblacional y quese desea probar si es verdadera o es falsa, respecto a una población determinada; porlo tanto en adelante esta hipótesis será aceptada o rechazada y siempre se formula por"igual a", aunque algunos investigadores prefieren: "igual a", "mayor igual a" y "menorigual a", dependiendo de la hipótesis Alternativa que es el complemento. En la prácticaexiste la intención de rechazar esta hipótesis

4.1.1.2 Hipótesis alternativa (H1)

Expresa lo que realmente se cree que es lo factible porque se constituye como lahipótesis de investigación a contrastar (probar). Es un planteamiento complementario ala Hipótesis Nula, porque toda prueba estadística solo acepta dos hipótesis y se formulacon el objeto de determinar el tipo de ensayo o prueba.

4.1.2 Tipos de ensayos o pruebas

En la investigación estadística, la prueba a realizar, puede estar orientada a cualquierade los extremos de la distribución muestral de datos o a ambos; por esta razón existentres tipos de ensayos estadísticos, que son:

4.1.2.1 Ensayo bilateral

Una prueba estadística es bilateral si se realiza a dos colas, es decir, que el resultado de lamuestra puede ir al extremo de la derecha o al extremo de la izquierda, que son las regionesde rechazo y se encuentran medidas por el nivel de significación (a), en este tipo de ensayola Hipótesis Nula se formula por igual y la Hipótesis Alternativa se formula por no igual.

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W AL TER e É sP E D E S RA M íR EZ

Por ejemplo: Ho 640

4.1.2.2 Ensayo unilateral derecha

Una prueba estadística es unilateral derecha cuando el ensayo está orientado hacia laderecha; es decir, que el resultado de la muestra va hacia la cola de la derecha. En estetipo de ensayo la Hipótesis Alternativa se formula por mayor y como es complementariaa la Hipótesis Nula, esta última debe formularse en términos literales por menor igual;sin embargo es suficiente con plantear la Hipótesis nula por igual ya que si se acepta,se dice que el estadístico si es igual pero no se dirá que el estadístico es menor igual.

En caso de que la hipótesis nula sea rechazada, en lugar de decir que el estadísticono es igual, se dirá que el estadístico es mayor.

Por ejemplo: Ho IJ = 640

H1 IJ > 640

4.1.2.3 Ensayo unilateral izquierda

Una prueba estadística es unilateral izquierda cuando el resultado de la mues-tra va hacia la cola de la izquierda. En este tipo de ensayo la Hipótesis Alternativa seformula por menor y como es complementaria a la Hipótesis Nula, esta última debe for-mularse en términos literales por mayor igual; sin embargo, es suficiente con plantearla Hipótesis nula por igual.

En caso de que la hipótesis nula sea rechazada, en lugar de decir que el estadísticono es igual, se dice que el estadístico es menor.

Por ejemplo: Ho IJ = 640

H1 IJ < 640

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ESTADíSTICA 11

4.1.3 Tipos de errores

Al tomar una decisión ya sea de aceptación o de rechazo, es posible cometer algúntipo de error, en estadística los tipos de errores de decisión son los siguientes:

4.1.3.1 Error de Tipo I

Es un error que se comete cuando el investigador rechaza la Hipótesis Nula, siendoesta verdadera en la población; en este caso, se llega a la conclusión de que hay unadiferencia que no existe, entre el estadístico a probar y el parámetro respectivo. Esteerror conocido como "Error Tipo Alfa" por que es alfa la probabilidad de que se cometaeste tipo de error. Por ejemplo, si a es igual a 0,05; entonces existe una probabilidad del5% de cometer error de tipo 1.

4.1.3.2 Error de Tipo 11

Es un error que se comete cuando el investigador acepta la Hipótesis Nula, siendoesta falsa en la población; en este caso, se llega a la conclusión de que no hay unadiferencia que si existe, entre el estadístico a probar y el parámetro respectivo.

Este error conocido como "Error Tipo Beta" por que es beta la probabilidad de quese cometa este tipo de error. Por ejemplo, si 13 es igual a 0,05; entonces existe unaprobabilidad del 5% de cometer error de tipo n.

Decisión Verdadera FalsaACEPTAR decisión correcta error de tipo 11

RECHAZAR error de tipo 1 decisión correcta

Distribución muestral

Distribución poblacional

Al realizar el contraste de la prueba de hipótesis, se nota que si la línea perpendicularse mueve hacia un lado alfa aumenta y beta disminuye o viceversa.

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L e e e ,o n 2

4.2 Procedimiento para una prueba de hipótesisEste procedimiento incluye los siguientes pasos:

1° Formulación de las hipótesis.2° Determinar el tipo de ensayo.3° Asumir la significación de la prueba.4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente.5° Diseñar el esquema de la prueba.6° Calcular el estadístico.7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba.

En la unidad anterior, se ha visto que existen diferentes tipos de distribucionesmuestrales dependiendo del estadístico que se ha extraído de cada una de las muestras.A continuación se tomarán decisiones sobre cada uno de estos tipos de distribuciones,tales como: Media, Proporciones, Diferencias, Varianzas, etc.

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ESTADfsTICA 11

4.2.1 Prueba de hipótesis para la media

Consiste en realizar la prueba bajo el procedimiento arriba indicado para analizar elestadístico Media Aritmética.

Para determinar los puntos críticos según el nivel de significación "a"; primero setiene que conocer si la desviación estándar es poblacional para darle dará tratamientoconforme al modelo de Probabilidad Normal (Z), en caso de que la desviación estándares muestral y si el tamaño es 30 o más, también se le dará tratamiento conforme almodelo de Probabilidad Normal (Z), en caso contrario, se le dará tratamiento conformea al modelo de probabilidad T-Studen (t).

Valores críticos de Z

Nivel de Sig.(a) 0,10 0,05 0,02 0,01Z para una cola 1,28 1,645 2,05 2,33Z para dos colas 1,645 1,96 2,33 2,58

Los valores críticos de t-student, el alumno los puede encontrar en tabla anexa alManual Auto Instructivo.

Las fórmulas estadísticas que se dan a continuación, pueden ser utilizadas en la pruebade hipótesis para la media, corresponden al modelo "Z" o al modelo "t", dependiendo deltamaño de la muestra:

Uso de "z" Error de la Media con reemplazo Error de la Media sin reemplazo

Z = X-Ji a a[~:G'-x a: = ..¡;; G'-x=..¡;; N -1

Uso de "t" Error de la Media con reemplazo Error de la Media sin reemplazo

X-Ji S s[~]t G'-=- as =..¡;; N -1G'-xx ..¡;;

En los casos con muestras grandes (n ~ 30), si no se conoce la Desviación EstándarPoblacional (a), se puede estimar la varianza de la muestra y después sacarle la raízcuadrada a la siguiente fórmula:

¿ (Xi-X)2

(n -1)

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WAL TER CÉS PE D ES RAM fREZ

Ejercicios resueltos

1) Una marca de azúcar es embolsada en bolsas de papel con una capacidad de Skgc/u y desviación típica de 3 kg; se toma una muestra de 100 bolsas para verificar elpeso correcto y se determina que el promedio muestral difiere significativamente d.e5 kg: además se considera que el proceso de empaque está funcionando en formainadecuada. Si la muestra dio un promedio de 4.5 kg; se desea determinar si elproceso de empaque está funcionando adecuadamente a una significación del 5%.

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha O = 5 kg

0** 5 kg

2° Determinar el tipo de ensayo:Observando la hipótesis alternativa, la prueba será bilateral

3° Asumir la significación de la prueba:

a = 0,05 : por lo tanto su punto crítico es Z = ±1,96 (sabiendo que n = 100)

4° Definir el estadístico de la clistribución muestral correspondiente:

Z = X-fl

(J'x

5° Diseñar el esquema de la prueba:

-1,96 1,96

6° Calcular el estadístico:

_ 3 = O 3os= Mo ' Z = (4,5 - 5) / 0,3 - 1,67

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:Z = - 1,67, es mayor que el punto crítico de la izquierda (Z = - 1,96), por lo tantoal no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); esdecir, no es verdad que el funcionamiento de empaque sea inadecuado.

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ESTADíSTICA 11

2) De una muestra de tamaño 25 extraída de una población de 5000 productos vendidopor un supermercado, se encontró un promedio de 478 gr. Si se afirma que el productopesa en promedio 500 gr, con una desviación estándar muestral de 30,84 gr, probarla hipótesis al 99% de confianza de que el promedio es menor.

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha O = 500 gr

o =F< 500 gr

2° Determinar el tipo de ensayo:Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda


a = 0,01 : por lo tanto su punto crítico es t = - 2,492 (sabiendo que n < 30)V = 25 - 1 = 24 grados de libertad

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente:

t X-f-L

(J"x

s [ ~](J"x = Fn ~N-1


- 2,492


_ = 30,84[ 5000-25] = 6,153e x Es 5000-1

t = (478 - 500) / 6,153 = - 3,58

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:"t" = - 3,58, es menor que el punto crítico de la izquierda (t = - 2,492), por lotanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha);es decir, es verdad que el promedio es menor de 500 gr.

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WAL TER CÉSPED ES RAM íREZ

3) El ingreso promedio familiar de un pueblo joven es de 865 soles al mes con unavarianza 1482,25 soles. Al seleccionar una muestra de 45 familias, el promediomuestral fue de 875 soles; probar al 5% de significación, que el ingreso promediofamiliar es mayor.

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha O = 865

o > *865

2° Determinar el tipo de ensayo:Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral derecha


a = 0,05 : por lo tanto su punto crítico es Z = 1,645 (sabiendo que n > 30)


ZX-j.l

(J"-X

S° Diseñar el esquema de la prueba:

,Lk1,645 Z


(J - = ~1482,25 /.J45 = 5,739x

Z = (875 - 865) / 5,739 = 1,74

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:Z = 1,74, es mayor que el punto crítico de la izquierda (Z = 1,645), por lo tantoal estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha); esdecir, que el promedio familiar del pueblo joven es mayor a 865 soles.

4) Generalmente en una prueba evaluativa a los escolares de una región, el promedio es de65 puntos de un total de 100 puntos. Al seleccionar una muestra de 22 estudiantes de

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ESTADíSTICA"

dicha región, se detectó un promedio de 58 puntos y una desviación estándar muestralde 36 puntos; probar al 90% de confianza, que el promedio de la región es menor.

Solución:

10 Formulación de las Hipótesis:Ho O = 65

o < *65

20 Determinar el tipo de ensayo:Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda

30 Asumir la significación de la prueba:

(J. = 0,10 : por lo tanto su punto crítico es t = - 1,323 (sabiendo que n < 30)V = 22 - 1 = 21 grados de libertad

40 Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente:

t = X-f.1

(J"x

S(J"x = ¡;;

50 Diseñar el esquema de la prueba:

- 1,323

60 Calcular el estadístico:

cr;¡=36/m = 7,675 Z = (58 - 65) / 7,675 = - 0,91

70 Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:"t" = - 0,91, es mayor que el punto crítico de la izquierda (t = - 1,323), por lotanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula(Ho); es decir, que el promedio de evaluación de la región es 65 puntos.

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Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis parala Media.

1) El promedio de ventas de una gran tienda es de 65000 soles diarios. Al seleccionaruna muestra de 22 días, se detectó un promedio de 64000 y una desviación estándarmuestral de 3600 soles; probar al 95% de confianza, que el promedio es menor.

Resp: t - 1,30; se acepta Ho.

2) Se afirma que la talla promedio estudiantil en el Perú es 155 centímetros condesviación estándar de 32 centímetros por talla. Al seleccionar una muestrade 45 estudiantes, la media muestral fue de 168 centímetros; probar al 2% designificación, que la talla es mayor.

Resp: Z = 2,73; se rechaza Ho.

3) De la empresa Alimentos S.A., se extrae una muestra de 49 de 5000 y se encontróun consumo promedio de 498 soles. Si se afirma que el consumo promedio es de505 soles con una desviación estándar de 30,80 soles, probar la hipótesis al 99% deconfianza de que el consumo promedio difiere de 505 soles.

Resp: Z =- 1.60; se acepta Ho.

4) El promedio de ventas de una distribuidora es 12500 diarios, con desviación estándarde 1250 soles, si se toma una muestra de 115 ventas extraídas de una población de80000 y se encontró un promedio de ventas de 12343. Probar la hipótesis al 90% deconfianza que el promedio de ventas es menor.

Resp: Z = - 1,35; se rechaza Ho.

5) Si una muestra de 19 productos elegidos al azar de una fábrica dio un promediode 67,45kg y una desviación estándar de 5,68 kg. Probar la hipótesis al 95% deconfianza de que la media poblacional difiere de la media muestral ya que la fábricaasegura que sus productos pesan en promedio 70 kg.

Resp: t = - 1,96; se acepta Ho

6) Suponga que los 5500 estudiantes de una universidad están normalmente distribuidoscon una media de 1,70 metros. Si se toma una muestra de 24 estudiantes y elpromedio de talla fue 1,62 metros y la desviación estándar fue 0,32 metros, ésepuede afirmar al 99% de confianza que la talla es inferior?

Resp: t = - 1,23; se acepta Ho.

7) De una muestra de tamaño 49 extraída de una población de 250 estudiantes seobservó que el peso promedio de la muestra fue de 54,5 kg. Se sabe que la mediapoblacional es de 56 kg con una desviación estándar es de 5 kg. é Se puede afirmaral 90% de confianza que el peso promedio muestral difiere del peso poblacional?

Resp: Z = - 2,34; se rechaza Ho.

8) Una muestra de 16 maestros extraída de una población de 2500, se detectó un sueldopromedio de 985 soles y una desviación estándar de 45 soles. Si se afirma que los

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ESTADíSTICA 11

maestros ganan en promedio 1000 soles, ¿al 95% de confianza se arriesga usted adecir que la paga promedio es inferior?

Resp: t = -1,34; (No es inferior)

9) La edad promedio de 50 profesores es 50 años. Se conoce que la edad mediapoblacional es de 45 años con una desviación estándar de 19,5 años. Determine al98% de confianza si la edad promedio muestral es mayor que la poblacional.

Resp: Z = 1,81; se rechaza Ho.

10) Una muestra de 30 libros contables hecha por un analista en Lima, encontró unpromedio muestral de activos de 38000 soles. Si se sabe que el promedio es de36500 con una desviación estándar de 7500 soles. Determine al 90% de confianzasi el valor promedio de los activos de la muestra es mayor al valor poblacional.

Resp: Z = 1,10; se acepta Ho.

4.2.2.- Prueba de Hipótesis para las Proporciones:

Cuando se utiliza el estadístico relacionado con las proporciones, se dice que el en-sayo es una prueba de hipótesis para proporciones; además, dicha prueba puede serempleada por el modelo "t" o por el modelo "Z", dependiendo del tamaño de la muestra.Los puntos críticos que se utilizan en este tipo de ensayo, son los mismos que los de laMedia dependiendo del nivel de significación "a"

Las fórmulas estadísticas que se dan a continuación, pueden ser utilizadas en laprueba de hipótesis para las proporciones, corresponden al modelo "Z" o al modelo "t",dependiendo del tamaño de la muestra:

p-pZ = t

Donde: el error de las proporciones ( () p ), es:

con reemplazo

(J ~ ~P qp n

sin reemplazo

=~[~lap ~7~(N=I)

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WAL TER CÉSP ED ES RAM fREZ


1) Un laboratorio afirma que sus productos tienen 90% de efectividad para curaruna enfermedad, se tomó una muestra de 200 pacientes y solo se aliviaron 160.Determinar que la afirmación no sea cierta: es decir que la medicina cura menos del90% a una significación de 5%.

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha p = 0.90

p < 0.90

2° Determinar el tipo de ensayo:Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda


a = 0,05 : por lo tanto su punto crítico es Z = - 1,645 (sabiendo que n = 200)


Z = p-p (J" =~pq~ p nLJp


- 1,645 z6° Calcular el estadístico:

p = 160 / 200 = 0.80

(J p = .jO,9xO,l/ 200 = 0,0212 Z = (0,8 - 0,9) / 0,012 - 4,72

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:

Z = - 4,72, es menor que el punto crítico de la izquierda (Z = - 1,645), por lotanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha);es decir, no es verdad que la medicina es efectiva para curar el 90% de casos.

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ESTADíSTICA 11

2) En una encuesta a una comunidad de 80 familias, el 42% señaló que la necesidadmás urgente para dicha comunidad son los servicios de agua. Si se afirma que 70%de las familias ya cuentan con el servicio de agua. Al 90% de confianza determinarhay diferencia en la carencia del servicio de agua en la proporción muestral y laproporción verdadera que necesita el servicio de agua.

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha p = 0.30

P =1= 0.30



a = 0,10 : por lo tanto su punto crítico es Z = ± 1,645 (sabiendo que n = 80)


Z = p-p (J" =~pqrr P nl..J'p


- 1,645 1,645 z


cr p = -JO,3xO,7 / 80 = 0,051234753

Z = (0,42 - 0,3) / 0,051234753 2,34

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:.Z = 2,34, es mayor que el punto crítico de la derecha (Z = 1,645), por lo tantoal estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ho); esdecir, si hay diferencia por lo que se puede afirmar que una proporción mayor al30% necesita de los servicios de agua.

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--~ --- ---- - --- -------- - - ---- -~-~ -- ------ ------------

WAL TER CÉSPEDES RAMíREZ

3) El 4% de las partes de fabricadas por una compañía son defectuosas. En una muestraaleatoria de 25 partes, 2 estaban defectuosas, probar la hipótesis a un nivel designificación del 2,5% de que la producción de partes defectuosas es mayor al 4%.

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha p = 0,04

p> 0,04



a = 0,025 : por lo tanto su punto crítico es t = 2,064 (sabiendo que n = 25)

v = 25 - 1 = 24 grados de libertad


t = P-P (J" =~pq~ p nVp


~~2,064


p = 2 / 25 = 0,08

() p = -jO,04xO,96 /25 = 0,039191835 t = (0,08 - 0,04) / 0,039191835 1,02

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:t = 1,02, es menor que el punto crítico de la derecha (t = 2,064), por lo tanto al noestar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, queno se puede afirmar de que la producción de partes defectuosa sea mayor del 4%.

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---- - ---

.'

ESTADíSTICA 1I

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis paralas Proporciones.

1) Al examinar una muestra de 220 estudiantes universitarios, se encontró que el 18%tenía dificultad en el aprendizaje. Si se afirma que el 15% de la población tienen esadificultad. Al 10% de significación determinar si hay diferencia sobre lo afirmado conel aprendizaje.

Resp: Z = 1,25 se acepta la Ha' no hay diferencia.

2) Si en una muestra de 300 repuestos de un embarque de 4000 repuestos, se encontróque el 7% es defectuoso. Si se sabe que la producción defectuosa alcanza 4,5%, éhavrazón suficiente para afirmar que la proporción poblacional defectuosa ha aumentadoal 5% se significación?

Resp: Z = 2,17 se rechaza la Ha' si ha aumentado.

3) En una muestra de 120 mujeres, se encontró que el 22% habían tenido su primer bebéantes de los 17 años de edad. Si se sabe que la proporción de mujeres con bebe antesde cumplir 17 años de edad es del 26%, zhav razón suficiente para afirmar que laproporción poblacional de mujeres con bebé ha disminuido al 1% de significación?

Resp: Z = - 1,00 se acepta la Ha' no ha disminuido.

4) Si en una muestra de 28 personas próximo a jubilarse de un total de 3000, seencontró que el 27% deseaba realizar su propio trámite de jubilación. Si el Estadopone el personal suficiente para cubrir el trámite del 70% de personas que van ajubilarse, é.aun nivel del 95% es correcta la decisión del Estado al considerar que el30% realiza su propio trámite?

Resp: t = - 0,35 se acepta la Ha' si es correcta.

5) Al seleccionar una muestra de 125 estudiantes universitarios, se encontró que el88% estaba conforme con la metodología de enseñanza. Si la escuela dice que el95% de los estudiantes están conformes con la metodología de enseñanza, al 98%probar la hipótesis de que ha disminuido la proporción de alumnos conformes con lametodología de enseñanza.

Resp: Z = - 3,59 se rechaza la Ha' si ha disminuido.

6) Si en una muestra de 22 trabajadores de una empresa de 450 trabajadores, seencontró que el 40% no estaban conforme con su sueldo. Si la empresa dice queel 35% de los trabajadores no están conformes con su sueldo, al 90% probar lahipótesis de que ha aumentado la proporción de disconformidad respecto al sueldo.

Resp: t = 0,50 se acepta la Ha' no ha aumentado.

7) Al investigar una muestra de 235 escolares, se encontró que el 15% tenía deseosde estudiar Administración. Si se afirma que el 20% de los escolares quieren seradministradores, probar la hipótesis de que la proporción ha disminuido con unasignificación de 0,01.

Resp: Z = - 1,92 se acepta la Ha' no ha disminuido.

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WALTER CÉSPEDES RAMfREZ

8) Si en una muestra de 358 personas pertenecientes a la población económicamenteactiva de un total de 40000, se encontró que el 21% estaba desempleado. Si segúninformes oficiales se sabe que solo el 18% está desempleado, probar la hipótesis deque la proporción ha aumentado con una significación de 0,1.

Resp: Z = 1,48 se rechaza la Ha' si ha aumentado.

9) Al examinar una muestra de 270 pequeñas empresas de Lima, se encontró que el36%, no tributa a la Sunat por carecer de utilidades: Si según informes oficiales dela Sunat se sabe que solo el 32% no tributa, probar la hipótesis de que la proporciónha aumentado con una significación de 0,02.

Resp: Z = 1,41 se acepta la Ha' no ha aumentado.

10) Si en una muestra a 26 jóvenes de una localidad, se encontró que el 41% estáde acuerdo con la actual política económica. Si el Gobierno afirma que el 45%esta conforme, probar la hipótesis de que la proporción ha disminuido con unasignificación de 0,01.

Resp: t = - 0,41 se acepta la Ha' no ha disminuido.

4.2.3 Prueba de hipótesis para las diferencias

Son pruebas o ensayos donde intervienen: la Diferencia de Medias y la Diferencia deProporciones y las fórmulas estadísticas que se dan a continuación, pueden ser utilizadastambién para "Z" ó para "t", dependiendo del tamaño de la muestra; igualmente, lospuntos críticos serán los mismos según el nivel de significación "a".

Las fórmulas estadísticas que se dan a continuación, pueden ser utilizadas en laprueba de hipótesis para la Diferencia, corresponden al modelo "Z" ó al modelo "t",dependiendo del tamaño de la muestra:

",Diferencia de Media Diferencia de Proporciones

Z= XA-XB

O"XA -O"XB

t=XA-XB

O"XA -O"XB

PA - PBZ = _---"--___=__(J PA-(J PB

Error de Diferencia de Medias y de Proporciones

Diferencia de Media Diferencia de Proporciones

PAqA PBqB.1---+---

nA nB

ESTADíSTICA 11


1) En un estudio de mercado sobre el gasto diario que realizan las amas de casa serealizo encuestas y se obtuvo los siguientes datos. Realizar la prueba de hipótesis auna significación del 5% para verificar si el gasto de Breña es mayor al de San Juan.

DISTRITOS MUESTRA PROMEDIO DESVIACIÓNBreña 129 SI. 17,93 SI. 7,65

San Juan 111 SI. 14,19 SI. 8,00

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha XBreña = Xsan Juan; no hay diferencia en el gasto

XBreña> Xsan Juan; Breña gasta más que San Juan



ex = 0,05 : por lo tanto su punto crítico es Z = 1,645 (sabiendo que n > 30)


Z=,.,..2 (J2v A B--+--nA »»


1,645 Z


0,36 (0,64) + 0,42 (0,58) = 1,015225 230

Z = 0,42 - 0.36 = 3,680,045641323

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WALTER CÉSPEDES RAMíREZ

I 7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:Z = 3,68, es mayor que el punto crítico de la derecha (Z = 1,645), por lo tantoal estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (He); esdecir, es verdad los gastos de Breña son mayores a los de San Juan.

2) Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 2% para verificar si la academiaBeta es mejor que la Academia Alfa con el test evaluativo que se realizó paradeterminar el nivel de preparación en ambas academias:

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:He XBETA = XALFA; no hay diferencia en el aprendizaje

XBETA> XALFA; Beta es mejor que Alfa.



a = 0,02 : por lo tanto su punto crítico es Z = 2,05 (sabiendo que n > 30)

¡~'I

f


Z=


~2,05 Z


0,36 (0,64) + 0,42 (0,58) = 0,045641323225 230

Z - 0,42-0.36 = 1,310,045641323

11631

ESTADíSTICA 11

70 Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:Z = 1,31, es menor que el punto crítico de la derecha (Z = 2,05), por lo tanto alno estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); esdecir, Beta no es mejor que Alfa al 98% de confianza.

3) En un estudio sobre las remuneraciones que se pagan en las regiones, se realizo unaencuesta y se obtuvo los siguientes datos:

SI. 1198 SI. 270MEDIO DESVIACIÓN

SI. 1306 SI. 480

Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 5% para verificar si el sueldopromedio de Arequipa es menor que el de Trujillo.

Solución:

10 Formulación de las Hipótesis:Ha XAreqUiPa = XTrUjiIlO; no hay diferencia en el sueldo

XAreqUiPa < XTrujillO; El sueldo de Arequipa es menor

20 Determinar el tipo de ensayo:Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda


a = 0,05 : por lo tanto su punto crítico es Z = - 1,645 (sabiendo que n > 30)


Z= 2 0'2O' A B--+--

nA nB


- 1,645 z60 Calcular el estadístico:

Z = 1198-1306_ - 3,1034,831

11641

WAL TER CtSPED ES RAM íREZ

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:Z = - 3,10, es menor que el punto crítico de la derecha (Z = - 1,645), por lo tantoal estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha); esdecir, el sueldo de Arequipa es menor.

4) Para conocer el nivel de consumo de un determinado combustible por el parqueautomotor de 2 ciudades, se realizó un muestreo y se encontró el siguiente resultado:

CILJI),ADSanta MaríaBellavista

Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 2% para verificar existediferencia entre las dos ciudades.

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha Xsanta María = XBellavista; no hay diferencia en el consumo

Xsanta María *' XBellavista; si hay diferencia en el consumo.



a = 0,02 : por lo tanto su punto crítico es t = ± 2,423 (sabiendo que n < 30)V = [ (22 - 1) + (20 - 1) ] = 40 grados de libertad


t=P A - PB


~.- 2,423 2,423 t

11651

ESTADíSTICA"


_ = 0,44 (0,56) + 0,48 (0,52) = 0,153883cr P A cr P B 22 20

t = 0,44-0.48 = - 0,260,153883

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:t = - 0,26, es mayor que el punto crítico de la izquierda (t = - 2,423), por lo tantoal no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); esdecir, no hay diferencia en los consumos.

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis parala Diferencia:

1) Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 5% para verificar la diferenciade sueldos que existe en los dos poblados.

Empresa Promedio Varianza TamañoSalina Alta 1008 821 35Salina Baja 996 935 42

Resp: Z = 1,77 se acepta Ha' no hay diferencia.

2) Al 90% de confianza verificar si el costo promedio de producción unitaria del primerturno es menor que el del segundo.

Turno de producción Promedio Varianza TamañoPrimer turno 230 125 15Segundo turno 242 215 17

Resp: t = - 2,62 se rechaza Ha' el costo si es menor.

3) Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 2% para verificar entre dosmuestras, la diferencia de promedios de ingresos de personas con deseo de estudiarfuera del país.

Muestra Promedio Varianza TamañoPrimera 1820 621 34Segunda 1809 735 40

Resp: Z = 1,82 se acepta Ha' no hay diferencia.

4) Dos compañías comercializan sus productos en un mismo mercado, si de cadacompañía se toma una muestra de 20 artículos y se observa que cubren el 48% y el65% del mercado; probar al 99% de confianza para determinar si hay diferencia deventas en el mismo mercado.

Resp: t = 1,10 se acepta Ha' no hay diferencia.

11661

WAL TER CÉS PE DES RAM íREZ

5) Al obtener una muestra de 45 personas la población económicamente activa de la ciudadLuz y 35 personas de la ciudad Buenaventura, el 16% y el 25% respectivamente estándesempleados; probar al 5% de significación de que la proporción de desempleadosde la ciudad Luz es menor a la proporción de la ciudad Buenaventura.

Resp: Z = 0,99 se acepta Ho, no es menor.

4.2.4 Prueba de hipótesis para las varianzas

Son pruebas o ensayos donde intervienen las varianzas. Este estadístico esampliamente utilizado en la Inferencia Estadística y como tiene múltiples aplicaciones,se verá más adelante con el nombre Análisis de la Varianza.

4.2.5 Prueba de hipótesis para variables cualitativas

Es un tipo de ensayo considerado como una prueba no paramétrica que mide ladiscrepancia entre una distribución observada y otra teórica (bondad de ajuste),indicando en qué medida existe diferencia entre ambas. El contraste de hipótesis oprueba de hipótesis determinará si existe o no existe diferencia entre ambos tipos devalores, uno real y otro totalmente al azar.

También se utiliza para probar la independencia de dos variables entre sí, mediantela presentación de los datos en tablas de contingencia.

Este ensayo utiliza el modelo de probabilidad Ji-Cuadrado y cuanto mayor sea el valorde X2, menos verosímil es que la hipótesis sea correcta; de la misma forma, cuanto másse aproxima a cero el valor de ji-cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones.

Los grados de libertad (V) vienen dados por:

10 Si los datos están en una sola fila: = n -1

20 Si los datos están contenidos en tablas de contingencias o tablas de doble en-tradas:

V = (n -1) (k -1). Donde "n" es el número de filas y "k" el de columnas.

La fórmula que se utiliza en este tipo de ensayos es la siguiente:

x' = ¿ (o - e)2e

Donde: O = Valor observado o valor reale = Valor esperado (al azar) o valor probable.

Los valores críticos de li-Cuadrado, el alumno los puede encontrar en tabla anexaal Manual Auto Instructivo.

11671

ESTADíSTICA 11

Criterio de decisión para variables cualitativas: Si el valor calculado X2 es menoral punto crítico, se acepta la Hipótesis Nula Ha' en caso contrario se rechaza ya que estetipo de prueba solo utiliza un ensayo unilateral derecho.


1) Para conocer el equilibrio de confección de dos monedas, se realizo el experimentode lanzarlas 200 veces. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 97.5% deconfianza de que ambas monedas son sesgadas (no equilibradas):

Monedas cc cs sc ss TotalResultados 62 71 30 37 200

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha Las dos monedas están equilibradas

Las dos monedas no están equilibradas.

2° Determinar el tipo de ensayo:Este tipo de ensayo siempre es unilateral derecha (pese que la hipótesis alternativase exprese por no igualo no equilibrada)


Para <X= 0,025; el lado derecho de X2 es 1 - <x(1- 0,025 = 0,975)

X2a,975 = 9,35 (V = 4 - 1 = 3 grados de libertad)


X2 = L (o _e)2e


2X 0,975 = 9,35

11681

WAL TER CÉSP ED ES RAMfREZ


Valores Observados (o) Valores Esperados (e)

Monedas ee es se ss TotalResultados 62 71 30 37 200

Monedas ee es se ss TotalResultados 50 50 50 50 200

El cálculo del valor esperado es 0,5 x 05 x 200 = 50 (como se sabe la p(c) = 0,5)

Valores X2 = ¿ (o - e)2 / e

Monedas ee es se ss IResultados 2,88 8,82 8,00 3,38 23,08

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:X2 = 23,08, es mayor que el punto crítico (X2

0,975 = .9,35), por lo tanto al estareste valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ho); es decir, lasmonedas no están equilibradas.

2) Para conocer si el género (sexo) de una persona es un factor preponderante paraque ésta fume, se realizó una encuesta a 150 personas. Con el siguiente resultado,probar la hipótesis al 95% de confianza de que si es determinante:

Hombre Mujer Total

Si Fuma 46 44 90

No fuma 34 26 60total 80 70 150

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ho El sexo no determina que una persona fume

El sexo si determina que una persona fume.

2° Determinar el tipo de ensayo:Este tipo de ensayo siempre es unilateral derecha


Para IX = 0,05; el lado derecho de X2 es 1 - IX (1 - 0,05 = 0,95)X20,95 = 3,84 V = (n -1) (k -1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 (grado de libertad)

11691

- -------- - ---

".'..... '

ESTADíSTICA 11


X2 = ¿(o-e)2e



Valores observados (o) Valores esperados (e)

Hombre Mujer Total

Si fuma 46 44 90

No fuma 34 26 60

Total 80 70 150

Hombre Mujer Total

Si fuma 48 42 90

No fuma 32 28 60

Total 80 70 150

El valor esperado de cada celda se obtiene multiplicando el total de la fila por el totalde la columna de la misma celda, luego se divide entre el total de datos.Ejemplo: para la primera celda 80 x 90 / 150 = 48, igualmente para las demásceldas.

Valores X2 = L (o - e)? / e

Hombre Mujer I:

Si Fuma 0,083 0,095 0,178No fuma 0,125 0,143 0,268

I: 0,208 0,238 0,446

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:X2 = 0,446, es menor que el punto crítico (X2

0,95 = 3,84), por lo tanto al no estareste valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ho); es decir, elsexo no determina que una persona fume.

11701


3) Para conocer si el turno de trabajo es un factor preponderante para que una personallegue tarde a sus labores, se observó la asistencia a sus labores de 100 personas.Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 99% de confianza de que si esdeterminante:

1° T. 2° T. 3° T. Total

Con tardanza 7 8 10 25Sin tardanza 33 22 20 75

total 40 30 30 100

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha El turno no determina que una persona llegue tarde

El turno si determina que una persona llegue tarde.



Para a = 0,01; el lado derecho de X2 es 1 - a (1 - 0,01 = 0,99)

X2a.99 = 9,21 V = (n -1) (k -1) = (2 - 1) (3 - 1) = 2 (grado de libertad)


X2 = L (o _e)2e


11711

ESTADíSTICA 11


Valores observados (o) Valores esperados (e)

1° T. 2° T. 3° T. Total

Con tardo 7 8 10 25Sin tardo 33 22 20 75

total 40 30 30 100

1° T. 2° T. 3° T. Total

Con Tard. 10 7,5 7,5 25Sin tardo 30 22,S 22,S 75

Total 40 30 30 100

Valores X2 = L (o - e)2 / e

1° T. 2° T. 3° T. I

Con tardanza 0,90 0,03 0,83 1,76Sin tardanza 0,30 0,01 0,28 0,59

I 1,20 0,04 1,11 2,35

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:X2 = 2,35, es menor que el punto crítico (X2a,99= 9,21), por lo tanto al no estareste valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, elturno de trabajo no determina que una persona llegue tarde.

4) Para conocer si las respuestas de opinión tipo LIKERT fueron respondidas de unamanera diferenciada, se realizó una encuesta a 300 alumnos. Con el siguienteresultado, probar la hipótesis al 97.5% de confianza de que las respuestas sondiferentes (Hay una opinión clara):

OPINIÓN CF C NO D DF TotalzCree Ud. que el método de 70 100 38 32 60 300

enseñanza es eficiente?

Donde: CF = Concuerda fuertementeDF = Discrepa fuertemente

C = ConcuerdaD = Discrepa.

NO = No opina

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha No hay diferencia entre las respuestas

Si hay diferencias por que existe una opinión clara.


~ 1721

- ~--- -

WAL TE R CÉSPEDES RAMfREZ


Para a = 0,025; el lado derecho de X2 es 1 - a (1 - 0,025 = 0,975)

X20,975 = 11,1 (V = 5 - 1 = 4 grados de libertad),



X~975 = 11,1


OPINIÓN CF C NO D DF Totalé.Cree Ud. que el método de 70 100 38 32 60 300


Valores Observados (o)

OPINIÓN CF C NO D DF Totalz.Cree Ud. que el método de 60 60 60 60 60 300


Valores Esperados (e)

El cálculo del valor esperado es 1/ 5 x 300 = 60 (como se sabe la p(e) = 0,2)

Valores X2 = ¿ (o - e)? / e

OPINIÓN CF C NO D DF ~é.Cree Ud. que el método de e. es 1,67 26,67 8,07 13,07 O 49,48

eficiente?

11731

ESTADíSTICA 11

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:X2 = 49,48, es mayor que el punto crítico (X\975 = 11,1), por lo tanto al estar estevalor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha); es decir, existeuna opinión clara respecto al método de enseñanza.

5) Para conocer si las respuestas de opinión tipo LIKERT de dos preguntas diferentes, son dela misma opinión, realizó una encuesta a 100 alumnos. Con el siguiente resultado, probarla hipótesis al 90% de confianza de que la opinión de ambas preguntas, es diferente:



OPINIÓN CF C NO D DF Totalé Cree Ud. que el joven obtiene 16 20 10 25 29 100

mejores calificaciones?

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha No hay diferencia entre las preguntas

Si hay diferencia entre las preguntas.



Para CL = 0,10; el lado derecho de X2 es 1 - CL (1 - 0,10 = 0,90)X\9a = 7,78 (V = 5 - 1 = 4 grados de libertad)


X2 = ¿(o - e)2e


X;,975 = 11,1

11741

-------------------_ ~._.. _ - --



En estos casos como el ensayo Ji-Cuadrado compara valores observados contravalores esperado, hay que decidir cuál de las preguntas es "o" (observada) y cual es"e" (esperada); entiéndase que la respuesta al contraste de hipótesis es en base a lapregunta considerada como esperada.

La solución que se dará a continuación será en base al método de enseñanza.

OPINIÓN CF C NO D DF Totalé.Cree Ud. que el joven obtiene 16 20 10 25 29 100

mejores calificaciones?

Valores observados (o)



Valores esperados (e)

Valores X2 = L (o - e)2 / e

OPINIÓN CF C NO D DF IContraste mejores calif./ Método 2,13 5,76 0,69 14,08 6,72 29,38

de enseñanza

70 Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:X2 = 29,38, es mayor que el punto crítico (X2

090 = 7,78), por lo tanto al estar estevalor en la región de rechazo, se rechaza lá Hipótesis Nula (Ha); es decir, quelos resultados de las calificaciones si son diferentes por ello no dependen de lascalificaciones del joven.

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis para laVariable cualitativa:

1) Para conocer si el método de enseñanza es un factor preponderante para aprobar unaasignatura, se observó las calificaciones de 100 alumnos. Con el siguiente resultado,probar la hipótesis al 99% de confianza de que si es determinante:

Método A Método B Método C TotalAprobados 14 11 10 35

Desaprobados 26 19 20 65total 40 30 30 100

Resp: X2 = 0,073; se acepta Ho, es decir que el método no determina la aprobación.

11751

ESTADíSTICA 11

2) Para conocer si las respuestas de opinión tipo LIKERT de dos preguntas diferentes,son de la misma opinión, realizó una encuesta a 100 trabajadores. Con el siguienteresultado, probar la hipótesis al 90% de confianza de que la opinión de ambas pre-guntas, es diferente (relación: trabajo/eficiencia):

OPINIÓN CF C NO D DF Totalé Cree Ud. que su sueldo concuerda 25 30 10 20 15 100

con su trabajo?

OPINIÓN CF C NO D DF Totalé.Cree Ud. que su sueldo depende de 29 28 10 21 12 100

su eficiencia?

Resp: X2 = 1,493; se acepta Ha' es decir que si hay relación entre el trabajo y laeficiencia.

3) Para conocer si un dado ha sido confeccionado en forma equilibrada, se realizó elexperimento de lanzarlo 60 veces. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al97.5% de que el dado es sesgado (no equilibrado):

Dado 1 2 3 4 5 6 TotalResultados 11 12 6 9 10 12 60

Resp: X2 = 2,6; se acepta Ha; es decir, no hay diferencia el dado está equilibrado.

4) Para conocer si el género (sexo) de una persona es un factor preponderante para queacepte a determinado candidato político, se realizo una encuesta a 80 personas. Con elsiguiente resultado, probar la hipótesis al 95% de confianza de que si es determinante:

Candidato Hombre Mujer TotalSi acepta 28 13 41No acepta 25 14 39

total 53 27 80Resp: X2 = 0,223; se acepta Ha' es decir que el sexo no es determinante.

5) Para conocer si el método de enseñanza es un factor preponderante para su aceptación,se realizó una encuesta a 200 alumnos con diferentes métodos de enseñanza. Con elsiguiente resultado, probar la hipótesis al 99% de confianza de que si es determinante:

Método A Método B Método C Total

Si acepta 16 82 30 128No acepta 24 40 8 72

total 40 122 38 200Resp: X2 = 15,629; se rechaza Ha' es decir que el método si determina su aceptación.

11761

L e e e,o n 3

4.3 Análisis de la varianza

Es una colección de modelos estadísticos y sus procedimientos asociados, en el cual lavarianza esta particionada en ciertos componentes debidos a diferentes variables expli-cativas. Las técnicas iniciales del análisis de varianza fueron desarrolladas por el estadís-tico y genetista R. A. Fisher en los años 1920 y 1930s y es algunas veces conocido comoAnova de Fisher o análisis de varianza de Fisher, debido al uso de la distribución Fde Fisher como parte del contraste de hipótesis'ü.

El análisis de varianza sirve para comparar si los valores de un conjunto de datos nu-méricos son significativa mente distintos a los valores de otro o más conjuntos de datos.El procedimiento para comparar estos valores está basado en la varianza global obser-vada en los grupos de datos numéricos a comparar. Típicamente, el análisis de varianzase utiliza para asociar una probabilidad a la conclusión de que la media de un grupo depuntuaciones es distinta de la media de otro grupo de puntuaciones.

Es un procedimiento estadístico por el cual a través de las varianzas se puede deter-minar si existen diferencias entre las muestras, diferencia entre dos poblaciones o si unavarianza muestral pertenece o no a determinada población. En el análisis de la varianzase contrastará el análisis a una sola vía y a doble vía.

11771

ESTADíSTICA 11

4.3.1 Análisis de la varianza a una sola vía

Es cuando se comparan las varianzas entre muestras o entre poblaciones, para estoscasos se utiliza el estadístico F de Fisher y el ensayo es solamente unilateral derecha.El análisis a una vía también permite comparar las varianzas de una muestra y de unapoblación, en este último caso el estadístico a utilizar es el estadístico Ji-Cuadrado y elensayo puede ser unilateral o bilateral.

4.3.1.1 Análisis de dos varianzas poblacionales

Es cuando se comparan las varianzas de dos poblaciones, y el contraste o prueba dehipótesis determina si ambas poblaciones tienen la misma variabilidad o son iguales.

2

O"A2

O"B(1) http://es.wikipedia.org/wikijAn%C3%A1Iisis_de_la_varianza, pp 1.

F2 2

Donde: CíA > CíB


1) Al 90% de confianza probar la población "A" de 121 datos con varianza de 98,36, noes igual a la población "B" de 61 datos con varianza de 45,18Solución:

1° Formulación de las hipótesis:Ha No hay diferencia entre las Varianzas

Si hay diferencia entre las Varianzas.

2° Determinar el tipo de ensayo:Este tipo de ensayos siempre es unilateral derecha


F (a, N, D) 0.= 0,10; N = 121 - 1 = 120 D = 61 - 1 = 60

F (0,10, 120, 60) = 1,35 (punto crítico)

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente:2

F = O"A2

O"B

11781


5° Diseñar el esquema de la prueba

I~1,35 F


F = 98,36/45,18 = 2,18

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:F = 2,18, es mayor que el punto crítico [ F(0,10, 120, 60) = 1,35 ], por lo tantoal estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha); esdecir, que las varianzas son diferentes.

2) Al 95% de confianza probar la población "A" de 25 datos con una desviación estándarde 125,56, no es igual a la población "B" de 41 datos con una desviación estándarde 116,78.

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha No hay diferencia entre las Desviaciones estándares

Si hay diferencia entre las Desviaciones estándares.

2° Determinar el tipo de ensayo:Este tipo de ensayos siempre es unilateral derecha


F (a, N, D) a = 0,05; N = 25 - 1 24 D = 41 - 1 = 40

F (0,05, 24,40) = 1,79 (punto crítico)

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente:2

F= (JA2

(JB

11791

ESTADíSTICA 11


1,79 F


F = 125,562/116,782 = 1,16

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:F = 1,16, es menor que el punto crítico [F(0,05, 24, 40) = 1,79], por lo tanto alno estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); esdecir, que las desviaciones estándares son iguales.

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de hipótesis para elanálisis de dos varianzas poblacionales:

1) Al 95% de confianza probar la población "A" de 25 datos con varianza de 198, no esigual a la población "6" de 28 datos con varianza de 85.

Resp: 2,33, se rechaza Ha.

2) Al 90% de confianza probar la población "A" de 31 datos con desviación estándar de45, no es igual a la población "6" de 16 datos con desviación estándar de 112.


3) Al 99% de confianza probar la población "A" de 16 datos con varianza de 182, no esigual a la población "6" de 21 datos con varianza de 225

Resp: 1,24, se acepta Ha.

4) Al 90% de confianza probar la población "A" de 121 datos con desviación estándar de9836, no es igual a la población "6" de 61 datos con desviación estándar de 4518 .


5) Al 95% de confianza probar la población "A" de 11 datos con varianza de 749, no esigual a la población "6" de 11 datos con varianza de 418.


11801

------- -- ----- -------

WAL TER CÉS PED ES RAM fREZ

4.3.1.2 Análisis de dos varianzas muestra les

Es cuando se comparan las varianzas de dos muestras, y el contraste o prueba dehipótesis determina si ambas muestras tienen la misma variabilidad o si pertenecen ala misma población.

F = S~S: Donde: S2A

S2> B


1) Al 99% de confianza probar la muestra "A" de 13 datos con varianza de 123,68, noes igual a la muestra "B" de 16 datos con varianza de 36,12:

Solución:

10 Formulación de las Hipótesis:Ha No hay diferencia entre las varianzas

Si hay diferencia entre las varianzas.

20 Determinar el tipo de ensayo:Este tipo de ensayos siempre es unilateral derecha.


F (a, N, D) 0.= 0,01; N = 13 - 1 = 12 D = 16 - 1 = 15

F (0,01, 12, 15) = 3,67 (punto crítico)


F = S~S~


3,67 F


F = 123,68/ 36,12 = 3,42

11811

ESTADíSTICA 11

70 Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:

F = 3,42, es menor que el punto crítico [F(O,Ol, 12, 15) = 3,67], por lo tanto al noestar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir,que las varianzas pueden pertenecer a la misma población o no son diferentes.

2) Al 95% de confianza probar las varianzas de las siguientes muestras:

Muestra A 4 8 8 11 16 16 19 22 22

Muestra B 14 15 18 22 22 25 28. 30 33

Solución:

10 Formulación de las Hipótesis:Ha No hay diferencia entre las Varianzas

Si hay diferencia entre las Varianzas.

20 Determinar el tipo de ensayo:Este tipo de ensayos siempre es unilateral derecha


F (a, N, D) a = 0,05; N=9-1 =8 D=9-1=8

F (0,05, 8, 8) = 3,44 (punto crítico)


F = S:S~


3,44 F


x = (4 + 8 + 8 + 11 + 16 + 16 + 19 + 22 + 22) / 9 = 126/9 = 14$2 = [(4-14)2+(8-14)2+(8-14)2+(11-14)2+(16-14)2+(16-14)2+(19-14)2+(22-14)2+(22-14)2]/9$2 = 342 / 9 = 38

11821

WAL TER CÉSP ED ES RAM íREZ

x = (14 + 15 + 18 + 22 + 22 + 25 + 28 + 30 + 33) / 9 = 207/9 =2352= [(14-23)2+(15-23)2+(18-23)2+(22-23)2+(22-23)2+(25-23)2+(28-23)2+(30-23)2+(33-23)2]/952 = 350/9 = 38,89 2

F = 38,89/ 38 = 1,02 (la Ss por ser mayor que la S:, va como numerador)


F = 1,02, es menor que el punto crítico [F(0,05, ~, 8) = 3,44], por lo tanto al noestar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir,que las varianzas pueden pertenecer a la misma población o no son diferentes.

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de hipótesis para elanálisis de dos varianzas muestra les.

1) Al 95% de confianza probar la muestra "A" de 21 datos con varianza de 128, no esigual a la muestra "B" de 16 datos con varianza de 382.

Resp: 2,98, se rechaza Ha'

2) Al 99% de confianza probar las desviaciones estándares de las siguientes muestras:

Muestra A 4 8 8 11 16 16 19 22 22Muestra B 14 15 18 22 22 25 28 30 33

Resp: 1,01, se acepta Ha'

3) Al 95% de confianza probar la muestra "A" de 11 datos con varianza de 426, no esigual a la muestra "B" de 16 datos con varianza de 145.


•• 4) Al 90% de confianza probar la muestra "A" de 31 datos con varianza de 1028, no esigual a la muestra "B" de 13 datos con varianza de 1382.


5) Al 95% de confianza probar la muestra "A" de 10 datos con desviación estándar de924, no es igual a la muestra "B" de 10 datos con desviación estándar de 1256


4.3.1.3 Análisis de una varianza muestral y otra poblacional

Es cuando se comparan una varianza muestral contra otra varianza poblacional, y elcontraste o prueba de hipótesis que determina si la muestra pertenece a la población dereferencia, puede ser de tipo bilateral o unilateral.

(n -1)S2X2 =

11831

ESTADíSTICA 11


1) Una compañía que envasa alimentos dice que sus productos tienen una varianza dellenado de 14,5 gr. Al extraer una muestra de de 10 artículos, se encontró una varian-za de 16,44. Probar al 97.5% de confianza que la varianza ha aumentado.

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ho 02 = 14,5

02 > 14,5

2° Determinar el tipo de ensayo:Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral derecha.


Para a = 0,025; el lado derecho de X2 es 1 - a(l - 0;025 = 0,975)

X\975 = 19,0 (V = 10 - 1 = 9 grados de libertad)

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente:(n -1)S2

x2 =a2


2X 0,975 = 19,0

6° Calcular el estadístico:2X =(10-1) 16,44= 10 2,

14,5

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:%2 = 10,2, es menor que el punto crítico (X2

0,975 = 19,0), por lo tanto al no estareste valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ho); es decir, quela varianza no ha aumentado,

2) Una compañía que produce alambres galvanizados asegura que la desviación están-dar a la resistencia a la rotura es de 5240 lb, al tomar una muestra de 12 alambres

11841


se encontró una desviación estándar de 4105 lb. Probar al 90% de confianza que laresistencia a la rotura es menor.

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ho a = 5240lb

a < 52401b.

2° Determinar el tipo de ensayo:Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda.


Para a = 0,10 (V = 12 - 1 = 11 grados de libertad)



X2 0,95 = 5,58


X2 =(12 -1) 41052 = 6,7552402

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:X2 = 6,75, es mayor que el punto crítico (X2

0,lO = 5,58), por lo tanto al no estareste valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ho); es decir, quela resistencia a la rotura no es menor.

11851

ESTADíSTICA 11

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis para elAnálisis de una Varianza Muestral y otra Poblacional.

1) Las bombillas eléctricas de una compañía tienen una desviación estándar de 1640horas de duración, al tomar una muestra de 14 bombillas se encontró una desviaciónestándar de 1574horas. Probar al 97,5% de confianza que la desviación estándar hadisminuido.


2) Una compañía que produce bebidas gaseosas afirma que la varianza de sus ventasmensuales alcanza los 148 254 soles, al tomar una muestra de un año se detectó unavarianza mensual de 168 221 soles. Probar al 90% de confianza que no es verdad loque afirma la compañía.


3) Una compañía que produce bolsas plásticas asegura que la desviación estándar a laresistencia a la rotura es de 651b, al tomar una muestra de 22 bolsas se encontró unadesviación estándar de 401b. Probar al 95% de confianza que la desviación estándares menor.


4) Una refinería afirma que la varianza de kilometrajes de recorrido de un nuevo com-bustible alcanza los 1857 kilómetros, al tomar una muestra para de 18 vehículos seencontró una varianza de 2570 kilómetros. Probar al 99% de confianza que es verdadlo que afirma la refinería.


5) Una empresa postal realiza sus entregas con una varianza de 582 horas. Al tomar unamuestra de 15 entregas, la varianza fue de 756 horas. Probar al 95% de confianzaque es verdad lo que afirma la empresa postal.


4.3.2 Análisis de la varianza a doble vía

Este análisis se conoce como cuadrado latino y permite comparar dentro de unamuestra, la variabilidad existente, entre cada procedimiento o métodos incluidos en lamuestra que se encuentran dentro de cada columna.

En la prueba de hipótesis o contraste de hipótesis para el análisis de la varianza a do-ble vía, se utiliza el estadístico de F de Fisher y el ensayo siempre es unilateral derechacomo son todos los ensayos del modelo Fisher.

11861

WAL TE R e És PED ES RAM fREZ

El estadístico a utilizar es el siguiente:

F = Varianza entre las MediasVarianza dentro de las columnas

Varianza entre las Medias

Varianza dentro de las columnas = ¿(Xi-XI)' +¿(Xi-X,)' + .nt-k

El número de sumatorias de esta varianza, depende de k)

Donde: nt = número total de datos.n = tamaño de la muestra.Xi= variable (representa cada uno de los datos).k = número de columnas.X = media aritmética de la muestra.X = media aritmética del total de datos (gran media).


1) Una cadena de tienda seleccionó 4 de sus tiendas para comparar el número de quejasanuales de sus clientes, probar la hipótesis al 95% de confianza que hay diferenciaentre las tiendas. A continuación se dan los datos:

Tienda 1:Tienda 2:Tienda 3:Tienda 4:

74, 78, 73, 73, 7284, 77, 79, 81, 7983, 85, 86, 87, 8970, 68, 71, 74, 72

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:Ha : No hay diferencia entre las tiendas con relación a las quejas

H¡ : Si hay diferencia entre las tiendas con relación a las quejas.

2° Determinar el tipo de ensayo:Los ensayos de Fisher siempre son unilateral derecha.


a = 0,05; N = (k - 1) = (4 - 1) = 3; D = (nt - k) (20 - 4) = 16

F (a, N, D) F (0,05, 3, 16) = 3,24

1i187!

ESTADíSTICA 11

F Varianza entre las Medias


Varianza dentro de las columnas


3,24 F


Medias muestralesVarianza dentrode las columnas

TIENDAS

T.l T.2 T.3 T.4

74 84 83 70

78 77 85 68

73 79 86 71

73 81 87 74

72 79 89 72

I 370 400 430 355

-X 74 80 86 71

-(x, -X)2

T.l T.2 T.3 T.4

O 16 9 1

16 9 1 9

1 1 O O

1 1 1 9

4 1 9 1

22 28 20 20

Varianza entre las medias

TIENDASn(X-X)2

T.l 70,3125

T.2 25,3125

T.3 340,3125

T.4 227,8125

663,7500

= 90

X = (370 + 400 + 430 + 355) / (5 x 4) = 1555/ 20 77,75

Varianza entre las Medias = 663,75/ (4 - 1) = 221,25

Varianza dentro de las columnas = 90/ (20 - 4) = 5,625

F = 221,25 / 5,625 = 39,33

11881

WAL TER CÉSP ED ES RAM fREZ


F = 39,33, es mayor que el punto crítico F(0,05 3 16) = 3,24; por lo tanto alestar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ho); esdecir, si hay diferencia entre las tiendas con relación a las quejas.

2) Probar la hipótesis a195% de confianza que hay diferencia entre 4 métodos de enseñanzaen la capacitación de 32 maestros distribuidos en grupos del mismo tamaño, los quefueron evaluados sobre 100 puntos y obtuvieron los siguientes calificativos:

Método 1:Método 2:Método 3:Método 4:

75,63,65,72,82,73,72,6664, 57, 79, 71, 69, 64, 72, 6873, 75, 73, 77, 69, 68, 70, 7170, 68, 71, 74, 72, 72, 71, 70

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis:

No hay diferencia entre los métodos de enseñanza

Si hay diferencia entre los métodos de enseñanza.

2° Determinar el tipo de ensayo:

Los ensayos de Fisher siempre son unilateral derecha


a = 0,05; N = (k - 1) = (4 - 1) = 3; D = (nt - k) (32 - 4) = 28

F (a, N, D) F (0,05, 3, 28) = 2,95


F = Varianza entre las MediasVarianza dentro de las columnas


3,24 F

11891

ESTADíSTICA 11


Medias MuestralesVarianza dentro

de las columnas Varianza entre las MediasTIENDAS

T.l T.2 T.3 T.475 64 73 7063 57 75 6865 79 73 7172 71 77 7482 69 69 72

73 64 68 72

72 72 70 71

66 68 71 70

I 568 544 576 568

-X 71 68 72 71

-tx, -X)2

T.l T.2 T.3 T.416 16 1 164 121 9 936 121 1 O1 9 25 9

121 1 9 14 16 16 1

1 16 4 O

25 O 1 1

268 300 66 22

TIENDAS n (X -X)2

T.l 2T.2 50T.3 18T.4 2I 72

= 656

x = (568 + 544 + 576 + 568) / (8 x 4) = 2256 = 32 70,S

Varianza entre las Medias = 72 / (4 - 1) = 24

Varianza dentro de las columnas = 656/ (32 - 4)

F = 24 / 23,43 = 1,02

23,43

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba:F = 1,02, es menor que el punto crítico F(O,05 3 28) = 2,95; por lo tanto alno estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); esdecir, no hay diferencia entre los métodos de enseñanza.

11901


Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis para elAnálisis de la Varianza a doble vía:

1) Probar la hipótesis al 90% de confianza que hay diferencia entre 3 métodos de con-trol para evitar robos en un supermercado. Durante 4 días se probaron los métodosy se evitaron los siguientes robos:

Método 1:Método 2:Método 3:

7, S, 3, 16, 7, 9, 67, 5, 3, 5 Resp: F = 2,47; se acepta la Ho'

2) Durante los meses de Enero, Febrero y Marzo, se investiga el número de contratos querealizaron 5 vendedores. Probar la hipótesis al 95% de confianza que hay diferenciasegún los meses de ventas, si el número de contratos que realizaron fueron:

Enero: 5, 6, 3, 8, 8Febrero: 6, 8, 9, 9, 8Marzo: 1, 3, 3, 2, 1 Resp: F = 22,0; se rechaza la Ho'

3) Probar la hipótesis al 90% de confianza que hay diferencia respecto a la duración enhoras de uso de 4 marcas de baterías. Si se muestrearon 4 baterías de cada marca ylas duraciones fueron como sigue:

Marca A: 17, 15, 14, 10Marca B: 16, 17, 18, 17Marca C: 15, 15, 12, 10Marca D: 15, 17, 19, 17 Resp: F = 3,78; se rechaza la Ho'

4) Durante los meses de: Abril, Mayo y Junio, se investiga el número de trabajadoresque llegaron tarde a laborar en una compañía; si se muestrearon 5 días, probar lahipótesis al 95% de confianza que hay diferencia entre los meses, respecto al númerotardanzas que se dan a continuación:

Abril:Mayo:Junio:

1, 4, 3, O, 26, 7, 7, 8, 71, 2, 3, 2, 7 Resp: F = 12,35; se rechaza la Ho'

5) Probar la hipótesis al 95% de confianza que hay diferencia entre los tipos de promociónde una distribuidora. Si durante 3 meses se aplicaron 4 Promociones distintas,respecto al número de clientes nuevos conseguidos que se dan a continuación:

Promoción R:Promoción S:Promoción T:Promoción U:

12, 15, 1810, 11, 1216, 25, 3125, 15, 20 Resp: F = 4,22; se rechaza la Ho'

11911

ESTADíSTICA 11

AUTOEVALUACIÓN N° 4

1) De una población de 5000 se extrajo una muestra de 49 fumadores, se encontró unconsumo promedio de 498 soles en cigarros. Si se afirma que el consumo promedioes de 505 soles con una desviación estándar de 30,80 soles. Hallar el estadístico.

A) -1,48 B) -1,60 C) -2,16 D) -2,08 E) -1,22

2) El promedio de ventas de una distribuidora es 12500 diarios, con desviación estándarde 1250 soles, si se toma una muestra de 115 ventas extraídas de una población de80000 y se encontró un promedio de ventas de 12343. Hallar el estadístico.

A) -1,96 B) -1,44 C) -2,05 D) -2,44 E) -1,35

3) Si en una muestra de 22 secretarias, se encontró que el 40% no estaban conformecon su trabajo. Si la empresa dice que el 35% de las secretarias no están conformescon su trabajo, hallar el estadístico.

A) 0,49 B) 1,06 C) 0,95 D) 0,72 E) 1,22

4) Al investigar una muestra de 235 escolares, se encontró que el 15% no tenía deseosde continuar sus estudios escolares. Si se afirma que el 20% de los escolares noquieren estudiar, hallar el estadístico.

A) -1,27 B) -2,01 C) -1,92 D) -0,08 E) -1,37

5) Hallar el estadístico de la diferencia de las dos muestras.

Muestra Promedio Varianza Tamaño1 1820 621 34II 1809 735 40

A) 2,42 B) 1,82 C) 2,67 D) 3,16 E) 1,40

6) Dos compañías comercializan sus productos en un mismo mercado, si de cadacompañía se toma una muestra de 20 artículos y se observa que cubren el 48% yel 65% del mercado; hallar el estadístico de la diferencia.

A) 1,48 B) 1,61 C) 1,10 D) 2,08 E) 1,22

11921


7) Hallar el estadístico X2 de la siguiente muestra:

Nuevo Producto Hombre Mujer TotalSi compra 28 13 41No compra 25 14 39

total 53 27 80

A) 0,348 B) 0,161 C) 0,451 D) 0,224 E) 0,122

8) Hallar el estadístico X2 de la siguiente muestra:

Método A Método B Método e Total

Mejora su rendimiento 16 82 30 128No mejora su rendimiento 24 40 8 72

total 40 122 38 200

A) 15,6 B) 12,9 C) 35,6 D) 19,4 E) 10,5

9) Hallar el estadístico Fisher de: la población "A" compuesta de 121 datos con desviaciónestándar de 9836, y la población "B" de 61 datos con desviación estándar de 4518.

A) 3,41 B) 4,74 C) 2,55 D) 4,08 E) 2,27

10) Hallar el estadístico Fisher de dos poblaciones; la población "A" de 11 datos convarianza de 749, y la población "B" de 11 datos con varianza de 418.

A) 2,77 B) 2,12 C) 1,16 D) 1,79 E) 2,15

11) Hallar el estadístico Fisher de dos muestras; la muestra "A" de 11 datos con varianzade 426, no es igual a la muestra "B" de 16 datos con varianza de 145.

A) 2,94 B) 2,67 C) 2,35 D) 2,21 E) 3,28

12) Hallar el estadístico Fisher de dos muestras; la muestra "A" de 31 datos con varianzade 1028, no es igual a la muestra "B" de 13 datos con varianza de 1382.

A) 1,85 B) 1,67 C) 1,46 D) 2,04 E) 1,34

13) Una compañía que produce cervezas afirma que la varianza de sus ventas mensualesalcanza los 148 254 soles, al tomar una muestra de un año se detectó una varianzamensual de 168 221 soles. Hallar el estadístico X2.

A) 12,48 B) 14,5 C) 10,7 D) 8,19 E) 5,18

11931

ESTADíSTICA 11

14) Una compañía que produce fibras sintéticas asegura que la desviación estándar ala resistencia a la rotura es de 651b, al tomar una muestra de 22 fibras se encontróuna desviación estándar de 401b. Hallar el estadístico X2.

A) 4,40 B) 10,1 C) 7,95 D) 5,02 E) 4,18

15) Hallar el estadístico Fisher de 4 marcas diferentes de pila, si se muestrean 5 pilas decada marca y la duración en horas fueron:

Marca R1: 3, 5, 6, 8, 8Marca R3: 6, 7, 7, 7, 8

Marca R2:Marca R4:

6,53, 8, 9, 96, 8, 7, 7, 7

A) 5,24 B) 2,59 C) 3,56 D) 1,90 E) 1,08

Respuestas de control

I.B.2.E,3.A.4.C,5.B,6.C,7.0,8.A.9.B, 10.0, II.A, 12.E, 13.A, 14.C, 15.0

11941

L e e e ro n

5.1 Diagrama de dispersiónLa representación gráfica más útil para describir el comportamiento conjunto de dos

variables es el diagrama de dispersión o nube de puntos, donde cada caso aparece re-presentado como un punto en el plano definido por la variable "X", que es generalmente

.• independiente y por la variable "Y" que es dependiente de X.

Cuando el diagrama recoge un gran número de observaciones, algunos puntosrepresentan a más de un caso ya que estos se superponen. La representación gráficamediante el Diagrama de Dispersión, permite comprobar la existencia de relación linealentre las dos variables; y la medida analítica adecuada, la da el coeficiente de correlaciónlineal.

Ejemplo 1: Si en la ordenada o eje "Y", se grafica la variable peso y en la abscisa oeje "X", se grafica la variable Est (Estatura), se obtiene:

11991

ESTADíSTICA 11

110

100

90

SO

10

60

50

O 40

m 30el..140

EST

BlID o

UQ tl

a!I

180 190160

11

200

Como se observa en el gráfico ambas variables presentan una relación lineal positiva;es decir, a medida que aumenta el valor de la variable Est aumenta también el valor dela variable Peso.

Ejemplo 2: Si en la ordenada o eje "Y", se grafica la variable Tiempo de Servicios yen la abscisa o eje "X", se grafica la variable Edad, se obtiene:

DIAGRAMA DE ESPARCIMIENTO DE LA EDAD YTIEMPODE SERVICIOS DE 15 TRABAJADORES

30 .;

º 25U •s • •c:: 20 •w • •ti) •w 15 •e • •O 10 • •Q. •:E 5 •w •~

oo 10 20 30 40 50 60

EDAD

12001


Se aprecia que la nube de puntos resultante tiene una forma alargada, con unarelación positiva en donde es posible ajustar o representar por una línea recta.

Los Diagramas de Dispersión además de describir el comportamiento de la información;con la nube de datos, usted puede tener una idea sobre cual será la función matemáticaque describa mejor dicho comportamiento.

Figura: Diferentes nubes de puntos y modelos de regresión para ellas,

Modelo lineal •Buen ajuste • /0-y./ • Cuando x crece,

y crece

,'tI~.

Modelo no linealBuen ajuste

• Modele no lineal\"~'j-~ ..Cuando x crece, _

y decrece ••

Variables JJCl relacionadasNinguna curva de regresiOlLesadecuada •• •. . -•• ••• • •

Cuando interviene una determinada función matemática sobre una dispersión dedatos, el diagrama se transforma en algún modelo de Regresión.

~201.

L e e e ro n 2

5.2 RegresiónLas técnicas de regresión es un proceso que permite hacer predicciones sobre los

valores de cierta variable Y (dependiente), a partir de los de otra X (independiente),entre las que se intuye que existe una relación.

Para ilustrar mejor al lector por ejemplo si se compara la estatura media en centímetrosen el eje X y la estatura media en metros en el eje Y al observar a un grupo de personas, noes necesario hacer grandes esfuerzos para saber que la relación que hay entre ambas es:

y = X / 100

En cambio esta relación sencilla puede ser más compleja, si por ejemplo se comparanestas mismas personas colocando en el eje X a la estatura media en centímetros y enel eje Y el peso en kilogramos. Esta relación requiere de un análisis y solo después delmismo se puede concluir:

y = X - 110 ± error

La razón es que no es cierto que conocida la altura de un individuo, no puede deter-minar su peso exacto, si dos personas que miden 170 cm pueden tener pesos de 60 y65 kilos. Sin embargo, alguna relación entre ellas debe existir, pues parece mucho más

1203111

ESTADíSTICA 11

probable que un individuo de 200 cm pese más que otro que mida 120 cm. Es más, deacuerdo a lo mencionado, la conclusión Y = X - 110 ± error, parece acertada.

A la relación entre dos o más variable a partir de una serie de datos, se le denominaRegresión.

Cuando la relación esta dada por: Y = f(x)

Se le denomina Relación Funcional y el criterio para construir Y, es que la diferenciaentre Y e Y sea pequeña; es decir, que el error de estimación sea pequeño.

y = f(x), y - y = error

La Relación Funcional puede también ser a la inversa, es decir que X están en funciónde Y; pero este tipo de relación no se verá en este Manual Auto Instructivo.

Cuando se utilizan solamente dos variables, la Regresión es denominada SIMPLE; encambio, cuando se utilizan más de dos variables, la Regresión es MULTIPLE.

5.2.1 Ajuste en una función de regresión simple

Significa buscar o definir la función que exprese con mayor precisión la relación entrevariables. Gráficamente será aquella función que mejor se adecué a la nube de puntos. Eneste sentido, es recomendable como primer paso construir el "diagrama o nube de puntos",luego analizar su forma y decidir el tipo de función matemática para la línea de regresión.

Analíticamente, la relación Y = f(x). permite obtener valores estimados Y a partir delos valores reales de X, entonces el problema del ajuste de una función es que la dife-rencia o sesgo (e.) entre los valores reales de Y y los estimados Y sea mínimo, para cadavalor se tendría: ~ = Y-Y. Entonces se trata de un problema de minimización, el mismoque se resuelve con el Método de los Mínimos Cuadrados.

El ajuste de funciones de regresión simple, se pueden utilizar diversas funcionesmatemáticas conocidas, tales como:

• La Línea Recta Y= a + bX• La Parábola Y= a + bX + CX2• La Curva Potencial Y = ex-• La Curva Exponencial Y= abX

• La Hipérbola Equilátera : Y = a/X• La Curva Logística l/y = a + bcx

• La Curva Gompertz Y = ab=

Cada una de estas funciones tiene una forma particular para un conjunto determinadode valores (X, Y), Y definido por el valor de los parámetros o coeficientes de la respecti-va ecuación. Por una nube de puntos pueden pesar una infinidad de líneas o funciones,de esta familia habrá una que es la función que mejor se ajusta a la nube de puntos.

12041

W A L TE R e É s P E D E S RA M í R EZ

La operación para determinar la función de regresión óptima, se conoce como "Ajus-te de una función de regresión", En este Manual se tratará solamente de Regresiónsimple para la recta y para la parábola, que son las más usadas por tener mayor aplica-ción estadística en los negocios,

El problema de ajuste de una función de regresión a un conjunto de n valores (X, Y),comprende tres pasos:

1° Graficar el diagrama de esparcimiento o una nube de puntos (X, Y).

2° Definir la forma de la función de regresión (recta, parábola, exporiencial, etc.).

3° Determinar el valor numérico de los parámetros de la función elegida. Losparámetros de la función de regresión se obtienen a partir de las Ecuaciones Normalesobtenidas por el Método de los Mínimos Cuadrados.

5.2.2 El método de Los mínimos cuadrados

Establece que la mejor recta o curva posible es aquella que minimiza la suma de loscuadra~os de las desviaciones entre los puntos dados V¡ y los correspondientes a dichacurva Y.

I e¡2 = I (V¡ -\IV = Error Mínimo

Donde Y = f(X), es la ecuación elegida para la función de regresión; sin embargo, noes suficiente con elegir la función de regresión, por que en la nube de datos se puedentrazar en diferentes formas la misma función con el mismo error de cálculo. Por estarazón se busca a aquel trazo de la función que al ser elevado el error al cuadrado, dé elmínimo error.

Con el método de Mínimos cuadrados se logra calcular los parámetros de la ecuaciónelegida (Recta, Parábola, etc.). También con los mismos parámetros, se pueden hallarlos coeficientes de correlación respectivos.

5.2.3 Regresión lineal simple

A la regresión lineal se le conoce como Regresión de la Recta, la que se define de lasiguiente manera:

v = a + b (X) ± e

A partir de esta definición; se puede estimar el valor de "Y", no considerando elerror:

y = a + b (X)

a20S.

ESTADíSTICA 11

En la ecuación, los parámetros son:

a = Origen (Es el valor de Y, cuando X = O)

b = Pendiente (Es la variación constante positiva o negativa de Y , por cada valorque cambie X)

Tales parámetros, como ya se ha mencionado en el ítem anterior, se calcularán uti-lizando el método por Mínimos Cuadrados, que se define basado en la ecuación de larecta, de la siguiente manera:

I Y = a(n) + b IX

IXY = a IX + b IX2

Para hallar los parámetros respectivos (a y b), basados en el método de cálculo porMínimos Cuadrados, el alumno puede utilizar cualquiera de las siguientes soluciones:

a) Solución por eliminación de uno de los parámetros para encontrar el otro:

Para este caso utilizan las ecuaciones simultaneas, en donde con un valor artificialnegativo se iguala el coeficiente de una de las incógnitas de la ecuación para eliminarlo.Operación que se repite hasta quedarse con una incógnita, que es fácil de despejar enuna ecuación.

b) Solución a través de matrices y determinantes, que concluyen en:

L:y¿;x2 - L:XYL:Xa = _

nL:X2-L:XL:Xb = nL:XY - L:XL:Y

nL:X 2 - L:XL:X

e) Solución a través de las medias, que concluye en:

a = y - b X b = [ (í:XY - n X Y ) / (íX - n X 2) ]

12061

[1

I L

l·



1) Hallar la ecuación de la recta con las variables: X (número de vendedores) e Y(valor de ventas realizadas al mes en miles).

La información que se tiene es la siguiente:

Número de vendedores (X) 10 122 4 5 15 16Ventas en miles (Y) 8,5 9,3 16,4 18,6 20,2 25,26,4

Solución:

Con el método por Mínimos cuadrados, se primero se calculan las sumatoriascorrespondientes a la ecuación de la recta:

X V XV X2

2 6,4 12,8 44 8,5 34,0 165 9,3 46,S 25

10 16,4 164,0 100

12 18,6 223,2 14415 20,2 303,0 22516 25,2 403,2 256

11: 64 104,6 1186,7 770

Con estos datos para hallar los parámetros "a" y "b", el alumno puede escogercualquiera de las soluciones planteadas por el método por Mínimos Cuadrados:

a) Solución por eliminación:

1o Se reemplazan las sumatorias halladas en las ecuaciones simultáneas definidaspor el método Mínimos Cuadrados:

1: V = a(n) + b 1:X 104,6 = 7a + 64b (1)

1:XV = a 1:X + b 1:X2 1186 = 64a + 770b (2)

20 Se elimina "a" multiplicando la ecuación (1) por - 64 Y la ecuación (2) por 7

( 104,6 = 7a + 64b) - 64 - 6694,4 = ~-4096b (3)

(1186,7 = 64a + 770b) 7 8306,9 = .448 + 5390b (4)

1612,S = 1294b

Entonces: b = 1612,S / 1294 = 1,25

12071

ESTADíSTICA 11

3° Hallado "b" se reemplaza este valor en la ecuación (1):

104,6 = 7a + 64 (1,25)Entonces: a = 24,6 /7

104,6 = 7a + 803,5

104,6 - 80 = 7a

4° La ecuación de la recta será: Y = 3,5 + 1,25X

b) Solución por determinantes:

Aquí se reemplazan las sumatorias en las fórmulas siguientes halladas formando ma-trices con las ecuaciones por mínimos cuadrados y resueltas por determinantes:

a =:¿TI:X2_~

n2:X2-2:XLX =

104,6(770) -1186,7(64)7(770) - 64(64)

4593,2

1294,0 = 3,5

b = n2:Xl' - 2:X2:Yn2:X 2 - 2:XLX

b =7(1186,7)-64(104,6) __1612,5 = 1 25,7(770)-64(64) 1294,0

La ecuación de la recta será: Y = 3,5 + 1,25X

e) Solución por promedios:

x = LX / n = 64/7 = 9,14 y LY / n = 104,6/ 7 = 14,94

b = [ (LXY - n X Y ) / (LX2 - n X 2) ]

b = [(1186,7 - (7 x 9,14 x 14(94)) / (770 - (7 x 9(142))]

b = [(1186,7 - 955(86) / (770 - 584(78)] b = [230,84/ 185,22] 1,25

a = y - bX = 14,94 - 1,25(9,14) = 14,94 - 11,43 = 3,5

La ecuación de la recta será: Y = 3,5 + 1,25X

El alumno puede ver que por cualquiera de los métodos de solución expuestos, larespuesta es la misma; pues puede escoger el método que sea más fácil para usted oel que más le agrade.

2) Hallar la ecuación de la recta con las variables: X (número de gastos por inversión)e y (utilidades anuales en miles).


Número de gastos por inversión (X) 5 11 4 5 3 2Utilidades anuales en miles (Y) 31 40 30 34 25 20

111208&


Solución:


x V XV X25 31 155 25

11 40 440 121

4 30 120 16

5 34 170 25

3 25 75 9

2 20 40 4

I~ 30 180 1000 200Para hallar los parámetros "a" y "b", se ha escogido la solución por determinantes.

a = L:YL:X2-~

nL:X2-L:XLX"a =180(200)-1000(30)

6(200) - 30(30)6000 = 20300

b = nL:XY - L:XL Yn:L:X 2 - L:XLX

b = 6(1000)-30(180) = 600= 26(200) - 30(30) 300

La ecuación de la recta será: Y = 20 + 2X

12091

ESTADíSTICA 11

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Regresión Lineal Simple:

1) Hallar la ecuación de la recta con las variables: X (número de desaprobados) e Y(número de matriculados). La información que se tiene es la siguiente:

Número de desaprobados (X) 4 6 6 S 7 10 8 7Número de matriculados (Y) 16 20 25 26 30 32 33 33

Resp: Y = 8,94 + 2,71X

2) Hallar la ecuación de la recta con las variables: X (número de gastos por inversión)e Y (utilidades anuales en miles). La información que se tiene es la siguiente:

Número de gastos por inversión (X) 2 S S 8 10Utilidades anuales en miles (Y) 48,S 95,2 88,3 110,4 115,6

Resp: Y = 43,33 + 8,04X

5.2.4 Regresión de la parábola

Se conoce a la regresión de la parábola como Regresión Parabólica, la que se definede la siguiente manera:

y = a + b (X) + e (X2) ± e

A partir de esta definición; se puede estimar el valor de "Y", no considerando elerror:

y = a + b (X) + e (X2)

En la ecuación, los parámetros son:

a = Origen (Es el valor de Y, cuando X = O)

b = Pendiente (Es la variación constante positiva (hacia arriba) o negativa (haciaabajo) de Y, por cada valor que cambie X)

e = Curvatura (es el arco que determina la curva; si es negativo, la curva es convexa,y si es positivo, la curva es cóncava.

Tales parámetros, se calcularán utilizando el método por Mínimos Cuadrados, que sedefine basado en la ecuación de la parábola, de la siguiente manera:

:E Y = a (n) + b:EX + e :EX2:E XV = a:EX + b :EX2 + e :EX3:EX2Y = a :EX2 + b :EX3 + e :EX4

12101

WAL TER CÉSPED ES RAMfREZ

Para hallar los parámetros respectivos (a, b y c)), basados en el método de cálculopor Mínimos Cuadrados, el alumno puede encontrar la solución por eliminación de losparámetros en las ecuaciones simultaneas.


1) Hallar la ecuación de la parábola con las variables: X (número de vendedores) e Y(valor de ventas realizadas al mes en miles).


Número de vendedores (X) 2 4 5 10 12 15 16Valor de ventas realizadas al mes en 6,4 8,5 9,3 16,4 18,6 20,2 25,2

miles (Y)

Solución:

Con el método por Mínimos cuadrados, se primero se calculan las sumatoriascorrespondientes a la ecuación de la recta, de la siguiente manera:

x y XY X2 X3 X4 X2y

2 6,4 12,8 4 8 16 25,6

4 8,5 34,0 16 64 256 136,0

5 9,3 46,5 25 125 625 232,5

10 16,4 164,0 100 1000 10000 1640,0

12 18,6 223,2 144 1728 20736 2678,4

15 20,2 303,0 225 3375 50625 4545,0

16 25,2 403,2 256 4096 65536 6451,2

11: 64 104,6 1186,7 770 10396 147794 15708,7

Con estos datos para hallar los parámetros "a", "b" y "c", por el método por MínimosCuadrados, se reemplazan las sumatorias respectiva en las fórmulas:

1: Y = a (n) + b 1:X + e 1:X21:XY = a 1:X + b 1:X2 + e 1:X31: X2Y = a 1:X2 + b 1:X3 + e 1:X4

104,6 = 7a + 64b + 770c (1)1186,7 = 64a + 770b + 10396c (2)

1 5708,7 = 770a + 10396b + 147794c (3)

121 11

ESTADíSTICA 11

1° Se elimina "a" de las ecuaciones (1) y (2)

104,6 = 7a + 64b + 770c (- 64)1186,7 = 64a + 770b + 10396c (7)

- 6694,4 = -448a - 4096b - 49280c8306,9 = 448a + 5390b + 72772c1612,5 1294b + 23492c (4)

2° Se elimina "a" de las ecuaciones (1) y (3)

104,6 = 7a + 64b + 770c (- 64)1186,7 = 64a + 770b + 10396c (7)

- 6694,48306,9

=~8a - 4096b - 49280c= 44 + 5390b + 72772c,

612,5 1294b + 23492c (4)

3° Se elimina "b" de las ecuaciones (4) Y (5)

-~664b - 78839152c

4342~ + 81643636c

1612,5 = 1294b + 23492c (-3356)

4202,7 = 3356b + 63094c ( 1294)

-5411550,0 =

5438293,8 =

26743,8 = 2804484c

e = 26743,8 / 2804484 = 0,0095

4° Se reemplaza "c" en la ecuación (4)

1612,5 = 1294b + 23492 (0,0095)1294b = 1612,5 - 223,174

1612,5 = 1294b + 223,1741294b = 1389,326

b = 1389,326 / 1294 = 1,07

5° Se reemplaza "b" y "c" en la ecuación (1)

104,6 = 7a + 64(1,07) + 770(0,0095)7a = 104,6 - 68,48 - 7,315 = 28,805

104,6 = 7a + 38,48 + 7,315

a = 28,805/ 7 = 4,115

La ecuación de la parábola será: Y = 4,115 + 1,07X + 0,0095X2

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Regresión de la Parábo-la:

1) Hallar la ecuación de la parábola con las variables: X (número de desaprobados) ey (número de matriculados).


Número de desaprobados (X) I 4 ==12121

WAL TER CÉSPED ES RAMíREZ

Número de matriculados (Y)

2) Hallar la ecuación de la parábola con las variables: X (número de gastos porinversión) e Y (utilidades anuales en miles).


Número de gastos por inversión (X) 2 5 5 8 10Utilidades anuales en miles (Y) 48,S 95,2 88,3 110,4 115,6

Resp: Y = 9,28 + 22,15X - 1,16X2

12131

L e e e ro n 3

5.3 CorrelaciónEs la relación existente entre las variables que se investigan. Cuando se utilizan so-

" lamente dos variables, la Correlación de Pearson es denominada SIMPLE; en cambio,cuando se utilizan más de dos variables, la Correlación es MULTIPLE.

El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1, +1]:

1° Si r = O, no existe relación entre las variables. Pero esto no necesariamente implicauna independencia total entre las dos variables, es decir, que la variación de una de ellaspuede influir en el valor que pueda tomar la otra.

2° Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependenciatotal entre las dos variables denominada relación directa; cuando una de ellas aumenta,la otra también lo hace en idéntica proporción. Si ° < r < 1, existe una correlaciónpositiva.

3° Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependenciatotal entre las dos variables llamada relación inversa; cuando una de ellas aumenta, laotra disminuye en idéntica proporción. Si -1 < r < O, existe una correlación negativa.

12151

ESTADíSTICA 11

El signo de la correlación depende del signo de la pendiente "b": es decir, si la pendientees positiva, la correlación es positiva; y si la pendiente es negativa, la correlación esnegativa.

Suponiendo que se esta investigando dos variables mediante la ecuación de la recta,pero no se esta conforme con los resultados, entonces decide utilizar la función de laparábola. Para determinar cual de las dos funciones matemática se ajusta mejor a losdatos que se investiga, se calcula el índice de correlación para ambas ecuaciones y elvalor más cercano a 1, determina cual de las dos ecuaciones se ajusta mejor a los datos.

5.3.1 Esquema de una correlación de Pearson

yy

~y

r-------~--------------------y

L--------------+------------_x

L (Y - Y)2 = L (Y _y)2 + L (Y - y )2

Donde:

L (Y - Y)2L (Y -y )2L (y -Y)2

: Variación total: Variación no explicada: Variación explicada

Al correlacionar dos o más variable, se generan dos tipos de coeficientes que son:

5.3.1.1 Coeficiente de determinación (r2)

r2 = Variación Explicada _ ¿(Y - y)2Variación Total - ¿(Y - Y)2

O también:

r2 = 1- Variación No Explicada = 1- ¿(Y - y)2Variación Total ¿(Y - Y)2

12161


El coeficiente de determinación es un indicador que nos señala en que proporción lavariación de la variable dependiente (Y), puede explicarse por la variación de la variableindependiente eX).

Por ejemplo: Y = Ventas X = Publicidad r2 = 82,16%;

Significa que el 82,16% de las ventas se deben a la publicidad

5.3.1.2 Coeficiente de correlación (r)

r 1- Variación No Explicada = 1- L:(Y - ~)2Variación Total L:(Y _ y)2

r Variación ExplicadaVariación Total

Como habrá observado, el coeficiente de correlación es la raíz cuadrada del coeficientede determinación y es un indicador que nos señala:

10 En que proporción se asemejan los valores reales que se investigan con los valorescalculados por la función matemática empleando la misma variable independiente.

20 Cuando se utilizan las funciones de la recta y de la parábola a la vez, nos dice quefunción tiene mejor ajuste a los datos.

Por ejemplo: Y = Ventas X = Publicidad r = 94,64%;

Significa que existe una relación directa del 94,64% entre las ventas y la publicidad

.• 5.3.2 Correlación simple

Se refiere a la correlación existente solamente entre dos variables. En esta unidad,únicamente se verá la correlación lineal y la correlación de la parábola tal como se hi-ciera con la regresión.

5.3.2.1 Correlación lineal simple

Los coeficientes de la correlación lineal simple con el método por Mínimos Cuadrados,se definen en forma abreviada de la siguiente manera:

al Coeficientes de determinación de la recta

r2 = aL:Y + bL:XY - ny2L:y2 _ ny2

12171

ESTADíSTICA 11

b) Coeficientes de correlación de la recta

a¿Y + bLXY - ny2¿y2 _ny2r


1) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la recta, con lasvariables: X (número de vendedores) e Y (valor de ventas realizadas al mes en miles).


Número de vendedores (X) 2 4 5 10 12 15 16Valor de venta en miles (Y) 6,4 8,5 9,3 16,4 18,6 20,2 25,2

Solución:


x V XV X2 V2

2 6,4 12,8 4 41,04 8,5 34,0 16 72,3

5 9,3 46,5 25 86,510 16,4 164,0 100 269,012 18,6 223,2 144 346,015 20,2 303,0 225 408,0

16 25,2 403,2 256 635,0I~ 64 104,6 1186,7 770 1857,8

Con las sumatorias se hallan los parámetros "a" y "b" (solución por determinantes).

a = ¿lLX2 -LXYLXnU2-LX'LX

a = 104,6(770)-1186,7(64)7(770) - 64(64)

4593,2= 3,51294,0

b = n:LXY - LXLYn¿X2 -LXLX

b = 7(1186,7)- 64(104,6) _ 1612,5 = 1 25,7(770)-64(64) 1294,0

12181

I WALTER CÉSPEDES RAMíREZ

a) Cálculo del coeficiente de determinación:

r2 = a2:Y + bLXY - ny2 = 3,5(104,6) + 1,25(1186,7) -7(104,6/7)2 = 291,682:y2 _ ny2 1857,8 -7(104,6/7)2 294,68

0,9898

b) Cálculo del coeficiente de correlación:

r = ~O,9898 = 0,9949

2) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la recta, con las varia-bles: X (número de gastos por inversión) e Y (utilidades anuales en miles).


Número de gastos por inversión (X) 5 11 4 5 3 2Utilidades anuales en miles (Y) 31 40 30 34 25 20

Solución:


x V XV X2 V2

5 31 155 25 96111 40 440 121 1600

4 30 120 16 9005 34 170 25 11563 25 75 9 6252 20 40 4 400

I~ 30 180 1000 200 5642

Con las sumatorias se hallan los parámetros "a" y "b" (se utilizará la solución pordeterminantes).

a = LITX2- LXYLX a = 180(200) -1000 (30) 6000= 20

nLX2-LXLX 6(200) - 30(30) 300

b = nLXY -LXLY b = 6(1000) - 30(180) = 600 = 2nLX2 -LXLX 6(200) - 30(30) 300

1219;

ESTADíSTICA 11

a) Cálculo del coeficiente de determinación

r2 _aLY +bLXY _ny2 _20(180)+2(1000)-6(180/6)2Ly2 - ny2 5642 - 6(180/6)2

200 =: 0,8264242

b) Cálculo del coeficiente de correlación

r =: .J0,8264 =: 0,9091·

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre correlación lineal simple:

1) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la recta, con lasvariables: X (número de desaprobados) e Y (número de matriculados).


Número de desaprobados (X) 4 6 6 5 7 10 8 7Número de matriculados (Y) 16 20 25 26 30 32 33 33

Resp: r2 =: 0,5849, r =: 0,7648

2) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la recta, con las varia-bles: X (número de gastos por inversión) e Y (utilidades anuales en miles).


Número de gastos por inversión (X) 2 5 5 8 10Utilidades anuales en miles (Y) 48,5 95,2 88,3 110,4 115,6

Resp: r2 =: 0,8695, r =: 0,9325

5.3.2.2 Correlación de la parábola

Los coeficientes de la correlación de la parábola con el método por Mínimos Cuadra-dos, se definen en forma abreviada de la siguiente manera:

a) Coeficientes de determinación de la parábola

r2 =: aLY + bLXY + cX2y - ny2Ly2 _ ny2

b) Coeficientes de correlación de la parábola

aLY +bLXY +cX2y _ny2Ly2 _ ny2

r

12201

WA.L TER e é sPED ES RAM íREZ

Ejercicio resuelto

Hallar la ecuación de la parábola con las variables: X (número de vendedores) e Y(valor de ventas realizadas al mes en miles).

Número de vendedores (X) 2 4 5 10 12 15 16Valor de ventas en miles (Y) 6,4 8,5 9,3 16,4 18,6 20,2 25,2

Solución:

Con el método por Mínimos cuadrados, se primero se calculan 'las sumatoriascorrespondientes a la ecuación de la recta:

x V XV X2 X3 X4 X2V V22 6,4 12,8 4 8 16 25,6 41,04 8,5 34,0 16 64 256 136,0 72,35 9,3 46,S 25 125 625 232,5 86,5

10 16,4 164,0 100 1000 10000 1640,0 269,012 18,6 223,2 144 1728 20736 2678,4 346,015 20,2 303,0 225 3375 50625 4545,0 408,0

16 25,2 403,2 256 4096 65536 6451,2 635,0Il: 64 104,6 1186,7 770 10396 147794 15708,7 1857,8

Los parámetros "a", "b" y ":c:", fueron hallados en el ejercicio 1 del ítem 5.2.4correspondiente a la regresión de la parábola y estos son: a = 4,l15;b = 1,07 Yc = 0,0095.

a) Coeficientes de determinación (r2):

r2 = aL:Y + bLXY + cX2y - ny2L:y2 _ ny2

r2 _4,115(104,6) + 1,07(1186,7) + 0,0095(15708) -7(104,6/7)2 _ 286,41= 0,97191857,8 - 7(104,6/7)2 294,68

b) Cálculo del coeficiente de,correlación:

r = ~O,9719 = 0,9858

~221.

ESTADíSTICA I1

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre correlación de la pará-bola:

1) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la parábola, con lasvariables: X (número de desaprobados) e Y (número de matriculados).

Número de desaprobados (X) 4 6 6 5 7 10 8 7Número de matriculados (Y) 16 20 25 26 30 32 33 33

Resp: r2 = 0,7462, r ~ 0,8638

2) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la parábola, con lasvariables: X (número de gastos por inversión) e Y (utilidades anuales en miles).

Número de gastos por inversión (X) 2 5 5 8 10Utilidades anuales en miles (Y) 48,5 95,2 88,3 110,4 115,6

Resp: r2 = 0,9904, r = 0,9952

5.3.3 Correlación de Spearman (p)

.Este modelo de correlación asocia dos variables, es un modelo No Paramétrico que notrabaja con la información directa, sino que la trasforma en orden creciente a partir del 1

En estadística, el coeficiente de correlación de Spearman, p (rho), es una medidade la correlación (la asociación o interdependencia) entre dos variables aleatorias con-tinuas. La interpretación de coeficiente de Spearman es igual que la del coeficiente decorrelación de Pearson. Oscila entre -1 y +1, indicándonos asociaciones negativas opositivas respectivamente. O (cero), significa que no hay correlación pero no necesaria-mente que no hay independencia.

Para calcular p, los datos son ordenados y reemplazados por su respectivo orden. Elestadístico p viene dado por la expresión:

61:,d2

1-----n (n2 -1)

Donde:

d: es la diferencia de comparar el ordenen que quedaron ambas variablesn: es el número de parejas entre las dos variables.

En caso de existencia de datos iguales, se les da el orden que les corresponde ig-norando que son iguales; es decir, como si fueran datos diferentes, luego se saca elpromedio del orden asignado a todos los datos iguales y se les reasigna este promedioa todos ellos.

E2221


Ejercicio resuelto

Se tiene el Coeficiente de Inteligencia (C.I.) de 10 niños y el número de horas queven televisión a la semana (Tv.), mediante la correlación de Spearman, determine si hayinfluencia de la televisión en la inteligencia de los niños:

Coeficiente de 106 86 100 100 99 103 97 113 113 110Inteligencia

Número de horas 7 O 28 50 28 28 20 12 7 17de Tv.

Solución:

1° Se ordenan los datos de la primera columna generalmente en forma creciente.

2° Se crean dos columnas más donde se cambia el valor respectivo por el númerode orden que les tocó.

i

~ 3° Finalmente se diferencia el orden de ambas columnas dando lugar a "d", la mismaque es elevada al cuadrado. Nótese que al c.I. = 100 le toca el orden 4 y también el 5;

~ como este dato está repetido, se le reasigna el promedio de ambos (4 + 5) / 2 = 4,5.

C.I. Tv. Orden C.I Orden Tv. d d2

86 O 1 1 O O97 20 2 6 4 1699 28 3 8 5 25

100 28 4,5 8 3,5 12,25100 50 4,5 10 5,5 30,25103 28 6 8 2 4106 7 7 2,5 4,5 20,25110 17 8 5 3 9113 7 9,5 2,5 7 49113 12 9,5 4 5,5 30,25

I: 196,00

p6'L.d2

1-----n (n2 -1)

= 1- 6 (196)10 (100 -1)

1 - 1,1879 = - 0,1879

12231

ESTADíSTICA 11

Interpretación de los resultados:

Existe una correlación no significativa inversa (-18,79%) entre el coeficiente deinteligencia de los niños y las horas que le dedican a la televisión; es decir que máshoras de televisión puede afectar la Inteligencia de los niños.

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Correlación de Spear-man:

1) Hallar el coeficiente de de Spearman comparando las edades con ~valuación:

Edades 25 16 30 33 45 18Evaluación 45 82 56 62 80 65

Resp: - 0,2

2) Hallar el coeficiente de de Spearman comparando el número de vendedores con elvolumen de ventas, que se da a continuación:

Número de vendedores 5 6 3 3 4 18 10Volumen de ventas (miles) 45 82 16 26 20 650 240

Resp: 0,9375.

3) Hallar el coeficiente de de Spearman comparando las tallas con pesos:

Tallas (cm) 125 145 198 180 174 152 166 182 180 173 162 171Peso (kg) 38 52 77 89 88 45 58 74 70 86 70 70

Resp: 0,7850

12241

L e e e ro n 4

5.4 Análisis de series cronológicasEl análisis de las series cronológicas o series de tiempo, se utiliza para descubrir los

patrones de cambio en la información estadística durante intervalos regulares de tiem-po. Estos patrones se proyectan para llegar a una estimación del futuro.

Así pues, el análisis de series de tiempo nos ayuda a sortear la incertidumbre ante elporvenir. Es característica en este tipo de análisis que la variable independiente (X) esnecesariamente el tiempo y la información a analizar necesariamente debe estar entérminos: mensuales, trimestrales, etc.; es decir antes del año, por que la informaciónanual contiene en promedio la influencia de los componentes de la variable dependiente (Y).

5.4.1 Componentes de una serie de tiempo

Existen cuatro componentes en la variable dependiente de una serie de tiempo o seriecronológica, que son:

5.4.1.1 Variaciones cíclicas (e)

Son aquellos movimientos repetitivos a largo plazo (más de un año). La variacióncíclica es el componente de una serie de tiempo que tiende a oscilar por encima y por

12251

ESTADíSTICA 11

debajo de la línea de tendencias secular durante periodos mayores que un año. Cuandose analiza series de tiempo con pocos años, esta variación casi no se percibe.

5.4.1.2 Variaciones estaciona les (S)

Son aquellos movimientos o cambios repetitivos a corto plazo (dentro de un año).A fin de detectar la variación estacional, hay que medir los intervalos de tiempo enunidades pequeñas, digamos en días, semanas, meses, o trimestres.

En una serie de tiempo la influencia estacional es muy fuerte en el corto plazo, de allíla preocupación del investigador hallar el índice estacional de cada: día; mes, trimestre,etc., para proyectar los datos con mayor exactitud, al incluir en la estimación el valorestacional.

5.4.1.3 Variaciones irregulares (1)

Son aquellos cambios intempestivos y están relacionados generalmente con: paros,catástrofes naturales, guerras, etc. este tipo de variaciones no obedecen patrones yse pueden presentar en cualquier momento afectando 'directamente a la influenciaestacional en el corto plazo.

5.4.1.4 Tendencia (T)

Representa una orientación de los datos que en una función matemática, se encuentramedida por la pendiente. Si Y = f(X), donde "X" es el tiempo "Y" es:

y = (T, e, s, 1)

5.4.2 Promedios móviles en una serie de tiempo (PM)

El promedio móvil consiste en tomar un grupo definido de datos y obtener el promediode los mismos; luego se deja el primer dato del grupo y se completa con el dato siguiente,de tal manera que el tamaño del grupo siempre sea el mismo, luego se deja el primerdato de este último grupo y se completa con el dato siguiente; así sucesivamente,hasta tomar el último dato de toda la serie de tiempo. El nombre de promedios móvilesobedece a que el grupo se mueve dato por dato que se van agregando al grupo.

En una serie de tiempo el promedio móvil tiene la particularidad de conservar en cadapromedio la tendencia y las variaciones cíclicas.

Si usted divide el valor de la variable dependiente (Y) con sus cuatro componente,entre el promedio móvil correspondiente en el tiempo, el cociente resultante contiene lasvariacionesestacionales y las variaciones irregulares.

~=TCSI=SIPM TC

12261


Como en una serie de tiempo estos datos se repiten para un mismo periodo que puedeser: día, mes, trimestre, etc., se puede separar la Variación Estacional de la VariaciónIrregular escogiendo el valor MEDIANA entre todos los valores del mismo periodo.


1) Hallar los promedios móviles de cinco en cinco de la siguiente serie:

Tallas (cm)

Solución:

Primer grupo:Segundo grupo:Tercer grupo:Cuarto grupo:Quinto grupo:Sexto grupo:Séptimo grupo:Octavo grupo:

(125 + 145 + 198 + 180 + 174) / 5 - 822/5(145 + 198 + 180 + 174 + 152)/5 849/5(198 + 180 + 174 + 152 + 166) /5 870/5(180 + 174 + 152 + 166 + 182) / 5 854/5(174 + 152 + 166 + 182 + 180)/5 854/5(152 + 166 + 182 + 180 + 173) / 5 853/5(166 + 182 + 180 + 173 + 162) / 5 863/5 =(182 + 180 + 173 + 162 + 171)/5 868/5

164,4169,8154,0170,8170,8170,6172,6173,6

Tallas 125 145 198 180 174 152 166 182 180 173 162 171(cm)Prom. 164,4 169,8 154,0 170,8 170,8 170,6 172,6 173,6Móvil

El alumno debe observar que el Promedio Móvil cae siempre en el centro del grupo

2) Hallar los promedios móviles de tres en tres de la siguiente serie:

Solución:

Peso 38 52 77 89 88 45 58 74 70 86 70 70(kg)

Prom. 55,67 72,67 84,67 74 63,67 59 67,33 76,67 75,33 75,33Móvil

12271

ESTADíSTICA 11

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre promedios móviles.


Respuesta: Edades 25 16 30 33 45 18Prom. Móvil 23,67 26,33 36 32


Respuesta: Evaluación 45 82 56 62 80 65Prom. Móvil 61 66,67 66 69

3) Hallar los promedios móviles de cinco en cinco de la' siguiente serie:

I Número de vendedores ~

Respuesta: Número de vendedores 5 6 3 3 4 18 10Promedio Móvil 4,2 6,8 7,6

4) Hallar los promedios móviles de cinco en cinco de la siguiente serie:

IVolumen de ventas (miles) I~ 240

Respuesta: Volumen de ventas 45 82 16 26 20 650 240(miles)

Promedio Móvil 37,8 158,8 190,4

5.4.3 Índice estacional en una serie de tiempo

Para hallar el índice estacional por medio de los promedios móviles, se debe analizartoda la información de la serie de tiempo y cuando más datos se tienen es mejor. En laelección de los grupos para el promedio móvil, depende a que nivel se va a obtener elÍndice Estacional; por ejemplo: si el índice es mensual, el grupo será por doce meses, siel índice es trimestral, el grupo se tomará por cuatro trimestres, etc. El grupo de datosque conforme el promedio móvil utilizado en una serie de tiempo debe ser anual, paraobtener el índice estacional que esta dentro del año.

12281


Ejercicio resuelto

Hallar el índice estacional de la siguiente serie de tiempo con la producción mensualen miles que a continuación se da:

Producción en miles de soles

L

Mes! Años 2005 2006 2007 2008 2009Enero 4,4 5,0 5,9 8,3 5,4

Febrero 8,3 6,8 7,1 4,9 3,9Marzo 7,5 7,8 5,3 5,2 6,2Abril 2,7 7,0 3,6 3,5 3,6Mayo 1,4 5,5 3,2 2,3 2,3Junio 0,8 4,1 2,2 1,4 1,8Julio 1,8 4,3 1,4 1,1 1,8

Agosto 15,0 12,0 9,5 7,0 9,0Septiembre 33,1 32,8 23,3 25,6 28,8

Octubre 17,0 15,1 13,4 19,3 15,5Noviembre 8,5 7,1 7,3 9,6 6,7Diciembre 7,7 7,2 9,3 6,5 7,4

Solución:

Para hallar el índice estacional, se deben realizar varios pasos que para ordenarlosmejor, se definen las siguientes columnas que se dan a continuación:

Columna (1): Contiene los años dados en el ejercicio.

Columna (2): Contiene los meses dados en el ejercicio.

Columna (3): Contiene la producción mensual del ejercicio.

Columna (4): Contiene las sumas móvil de 12 en 12, (nótese que la suma esta alcentro de los doce datos y por ser grupo par, esta descentrado).

Columna (5): Contiene la suma móvil de dos en dos datos descentrados (Columna 4)con el objeto de centrarlos a un determinado periodo (mes).

Columna (6): Contiene el valor de la columna (5) entre 24 por que dicha columnacontiene doble grupo de 12.

Columna (7): Contiene S. l.; es decir, las variaciones estaciona les junto a las variacionesirregulares.

12291

ESTADíSTICA II

Anos Meses Produccion Suma de Dos grupos Prom. IS.l -(en miles) 12 meses de 12 Móvil/

(1) (2) (3) (4) De la col, 24 Pr aducción (3)anterior (6) Promedio Móvil (6)

(5)(7)

2005 Enero 4,4Febrero t¡,3Marzo 7,5¡A0nl 2,7Mayo 1,4uuruo U,t¡

108,2pullo 1,S 217,U 9,0 0,2000

108,8¡Agosto 15,0 216,1 9,0 1,6667

107,3Septiembre 33,1 214,9 9,0 3,6778

1U7,0Octubre 17,0 219,5 9,1 1,8681

111,9INovlembre 8,5 227,9 9,5 0,8947

110,UDIciembre 7,7 235,3 9,8 0,7857

119,32006 Enero 5,0 241,1 1u,U 0,5UUU

1L1,8Febrero 6,8 L40,0 1U,U U,Ot¡UU

l1S,SMarzo 7,8 L37,3 9,9 0,7t¡79

i is.s¡Aoril 7,0 L35,1 9,t¡ 0,7143

116,6Mayo 5,5 L31,t¡ 9,/ U,507U

115,2uuruo 4,1 2L9,9 9,0 U,4L71

114,7uuuo 4,3 230,3 9,0 U,4479

115,6Agosto 1L,U L31,5 9,0 1,L5UU

115,9septiembre 3L,8 L29,3 9,6 3,4167

113,4Octubre 15,1 223,4 9,3 1,6237

110,0NOViembre 7,1 L17,7 9,1 O,7S02

107,7

12301

WAL TE R CÉS PEDES RAM íREZ

tf

Diciembre 7,2 213,5 8,9 0,8090105,8

12007 Enero 5,9 208,7 8,7 0,6782102,9

Febrero 7,1 203,3 8,5 0,8353100,4

Marzo 5,3 191,3 8,0 0,667590,9

f,bnl 3,6 180,1 7,5 -U,4--SUU89,2

Mayo 3,2 178,6 7,4 -U,432489,4

[lunio 2,2 180,9 7;5 0,293391,5

~ulio 1,4 185,3 7,7 0,181893,9

f,gosto 9,5 185,6 7,7 1,233891,7

Septiembre 23,3 183,3 7,6 3,065891,6

Octubre 13,4 183,1 7,6 1,763291,5

Noviembre 7,3 182,1 7,6 0,960590,0

Diciembre 9,3 180,4 7,5 1,240089,8

2008 Enero 8,3 179,3 7,5 1,106789,5

Febrero 4,9 176,5 7,4 lJ~652L87,0

Marzo 5,2 176,3 7,4 W1J2789,3

¡Abril 3,5 184,5 7,7 0,454595,2

Mayo 2,3 192,7 8~-O 0,2B7597,5

IJUnlO 1,4 192,2 -a-;u l),I75lJ94,7

lJulio 1,1 186,5 7,8 -U,14m91,8

¡Agosto 7,0 182,6 7,6 0,921190,8

Iseptlembre 25,6 182,6 7,6 3,368491,8

Octubre 19,3 183,7 7,6 2,539591,9

Noviembre 9,6 183,8 7,7 1,2468

12311

ESTADíSTICA 11

Sl1,SIDiciembre 6,5 184,2 7,7 0,8442.

Y2.,32009 Enero 5,4 185,3 7,7 O,7U13

93,0Febrero J,Y ies.o 7,8 0,5000

95,0Marzo 6,2 193,2 8,0 O,775U

98,2~bril 3,0 1Y2.,O ~,O U,45UU

94,4Mayo 2,3 185,Y 7,8 0,2949

91,Spuruo 1,8 183,9 7,7 0,2338

92.,4pulio 1,8

~gosto 9,0

Septiembre 28,8

¡octUbre 15,5

Noviembre 0,7

Diciembre 7,4

En la serie de datos, cada vez que se agrupen una cantidad par de datos, éstossiempre quedan descentrados.

Para hallar los Índices Estacionales tal como se observa en la siguiente tabla, setoman los valores 5.1. (columna 7 de la serie anterior) y después de ordenarlos en formacorrelativa, se procede a sacar la mediana por mes; finalmente se determina el índiceestacional a partir de las medianas, con la condición de la suma de todos lo índices seaigual a 12 (12 meses). Si exactamente no es doce, entonces hay que hacer los ajustesrespectivos igualando los totales, con la regla de tres simples.

12321

i-r WAL TER CÉSPE D ES RAMíREZ

1-

1-I~f,

Mes/ Años 2005 2006 2007 2008 2009 Mediana ÍndiceEstacional

Enero 0,5000 0,6782 1,1067 0,7013 0,6898 0,7142

Febrero 0,6800 0,8353 0,6622 0,5000 0,6711 0,6949

Marzo 0,7879 0,6625 0,7027 0,7750 0,7389 0,7650

Abril 0,7143 0,4800 0,4545 0,4500 0,4673 0,4838

Mayo 0,5670 0,4324 0,2875 0,2949 0,3637 0,3768

Junio 0,4271 0,2933 0,1750 0,2338 0,2636 0,2728

Julio 0,2000 0,4479 0,1818 0,1410 0,1909 0,1977

Agosto 1,6667 1,2500 1,2338 0,9211 1,2419 1,2859

Septiembre 3,6778 3,4167 3,0658 3,3684 3,3926 3,5127

Octubre 1,8681 1,6237 1,7632 2,5395 1,8157 1,8800

Noviembre 0,8947 0,7802 0,9605 1,2468 0,9276 0,9604

Diciembre 0,7857 0,8090 1,2400 0,8442 0,8266 0,8558

TOTAL 11,5897 12,0000

Si se supone ausencia de estacionalidad entre los datos, valor real sería igual al" promedio móvil, por lo tanto al dividirse ambos valores, el índice estacional para cada

mes seria 1, por lo tanto la suma de los 12 meses, tiene que ser igual a 12; como lasmedianas suman 11,5897, se hace necesario hacer el ajuste correspondiente mediantela regla de tres simples a las medianas, para convertirlos en Índices Estacionales, consuma igual a 12.

Ejemplo, para ajustar Enero = 0,6898 x 12/ 11,5897 = 0,7142.

El procedimiento de ajuste es necesario hacerla hasta el último mes y necesariamentela suma debe dar exactamente 12 cuando se trabaja con meses.

5.4.4 Ecuación de la recta por mínimos cuadrados cuando IX = O

En la serie de tiempo, como la variable independiente es el tiempo (X) y éste siemprees correlativo, entonces se puede simular valores correlativos positivos y negativos, detal manera que la suma de X sea cero (~X = O).

12331

ESTADíSTICA 11

Si se toma como referencia las ecuaciones por mínimos cuadrados:

L Y = a(n) + b LX ( 1)LXY = a LX + b LX2 (2)

Al reemplazar la suma de X por cero en la ecuación (1) desaparece "b":

L Y ,;" a(n) + b (O) Entonces: a = I Y/n

En la ecuación (2) desaparece "a":

LXY = a(O) + bLX2 Entonces: b = IXY / IX2

Como habrá observado usted, es muy fácil despejar "a" y "b", cuando la suma de Xes cero; pero esto no siempre es posible, sobre todo si X no tiene un valor correlativocomo lo tiene una serie de tiempo.


1) Hallar la ecuación de la recta por Mínimos cuadrados con la L X = O

Meses del Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic2009Ventas 5,4 3,9 6,2 3,6 2,3 1,8 1,8 3,0 28,8 15,5 6,7 7,4(millones)

Solución:

Meses del 2009 Y X XY X2ENERO 5.4 -5.5 -29.70 30.25FEBRERO 3.9 -4.5 -17.55 20.25MARZO 6.2 -3.5 -21. 70 12.25ABRIL 3.6 -2.5 -9.00 6.25MAYO 2.3 -1.5 -3.45 2.25JUNIO 1.8 -0.5 -0.90 0.25JULIO 1.8 0.5 0.90 0.25AGOSTO 3.0 1.5 13.50 2.25SETIEMBRE 28.8 2.5 72.00 6.25OCTUBRE 15.5 3.5 54.25 12.25NOVIEMBRE 6.7 4.5 30.15 20.25DICIEMBRE 7.4 5.5 40.70 30.25

I 92.4 O 129.20 143.0

12341


Cuando: ~X = O a L Y/n = 92,4/ 12 = 7,7

b = LXY / LX2 = 129,2/ 143 = 0,9

Y = 7.7 + 0.9 (X).

2) Hallar la ecuación de la recta por Mínimos cuadrados con la L X = O

Días domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábadoVentas (miles) 15,7 8,3 5,7 5,1 8,6 10,3 16,3

Solución:

Días V X XV X2

domingo 15,7 -3 - 47,1 9lunes 8,3 -2 -16,6 4martes 5,7 -1 -5,7 1miércoles 5,1 O O Ojueves 8,6 1 8,6 1viernes 10,3 2 20,6 4sábado 16,3 3 48,9 9

70,0 O 8,7 28

Cuando: ~X = O a = L Y/n = 70 / 7 = 10

b = LXY / LX2 = 8,7/28 = 0,31

y = 10 + 0.31 (X).

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre la ecuación de la rectacon ~ X = O:

1) Hallar la ecuación de la recta por Mínimos cuadrados con la LX = O

Días lunes martes miércoles jueves viernes sábadoProducción 15 17 12 15 16 10

(Unid.)

Resp: Y 14,17 - 0,71 (X)

12351

ESTADíSTICA 11

2) Hallar la ecuación de la recta por mínimos cuadrados con la ¿ X = O

Años 2005 2006 2007 2008 2009Producción (Unid.) 1500 1700 2000 5000 6000

Resp: Y = 3240 + 1230 (X)

3) Hallar la ecuación de la recta por mínimos cuadrados con la ¿ X = O

Trimestres I II III IVProducción 150 170 170 200

(Unid.)

Resp: Y = 172,5 + 15 (X)

5.4.5 Proyección de los datos con aplicación del índice estacional

En esta parte del análisis, se utiliza la ecuación de la recta definida anteriormente yse hace la proyección para los periodos siguientes tomando como base la continuacióndel último valor de X.

Ejemplo: Proyectar esta serie de datos para el año siguiente aplicando el índiceestacional obtenido anteriormente:

Meses del Ene Feb. Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic2009

Ventas 5,4 3,9 6,2 3,6 2,3 1,8 1,8 3,0 28,8 15,5 6,7 7,4(millones)

X -5,5 -4,5 -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5

Solución:

Este ejercicio fue resuelto en párrafo anterior y se dieron valores a X que representana los meses, desde Enero (-5,5) hasta Diciembre (5,5), para hacer que la ¿ X = O, conello se obtuvo la siguiente ecuación:

y = 7,7 + 0,9X

Para proyectar Enero, el valor de X es 6,5; por que el último fue 5,5 (Diciembre).Valor que se reemplazará a X en la ecuación Y = 7,7 + 0,9X, luego el resultado de Y,será multiplicado por el Índice Estacional, de la siguiente manera:

Proyección de Enero: 7,7 + (0,9 x 6,5)Febrero: 7,7 + (0,9 x 7,5)

13,55 x 0,714214,45 x 0,6949

9,6810,04

Todos los cálculos están contenidos en la siguiente tabla.

1236~


MESES Y =a + bX ÍNDICEpara el 2010 X Y = 7,7 + 0,9 X ESTACIONAL PROYECCIÓN

ENERO 6,5 13,55 0,7142 9,68FEBRERO 7,5 14,45 0,6949 10,04MARZO 8,5 15,35 0,7650 11,74ABRIL 9,5 16,25 0,4838 7,86MAYO 10,5 17,15 0,3768 6,46

JUNIO 11,5 18,05 0,2728 4,92JULIO 12,5 18,95 0,1977 . 3,75

AGOSTO 13,5 19,85 1,2859 25,53SETIEMBRE 14,5 20,75 3,5127 72,89OCTUBRE 15,5 21,65 1,8800 40,70

NOVIEMBRE 16,5 22,55 0,9604 21,66DICIEMBRE 17,5 23,45 0,8558 20,07

El alumno habrá observado que a pesar de utilizar la ecuación de la recta, la proyecciónno es una recta, por la fuerte influencia estacional. En los datos del año anterior, se veque los valores más altos corresponden a Septiembre y a Octubre, y usted puede verque eso mismo ocurre con la proyección.

12371

ESTADíSTICA 11

r

AU EVALUACION N° 5

Tabla 1

Años (X) 1 2 3 4 5Ventas en miles 13 24 39 65 106

(Y)

1) Hallar "a" y "b" de la Regresión Lineal Simple con los datos de la tabla 1.

A) -18,7 Y 24,9 B) 18,7 Y -22,7 C) -18,7 Y 22,7 D) 22,7 Y 18,7 E) -18,7 Y-22,7

2) Hallar "a", "b" y "e" de la Regresión de la Parábola con los datos de la tabla 1.

A) 21,83 -12,04 Y 5,79 B) 18,76 -10,36 Y -2,17 C) 21,83 -18,7 Y 0,27

D) 24,37 -12,04 Y 1,87 E) -1,57 -21,16 Y 5,79

3) Hallar el Coeficiente de Determinación de la Regresión Lineal con los datos de la tabla 1.

A) 0,8352 B) 0,8159 C) 0,8956 D) 0,9211 E) 0,9326

4) Hallar el Coeficiente de Correlación de la Regresión Lineal con los datos de la tabla 1.

A) 0,9814 B) 0,9657 C) 0,8989 D) 0,9216 E) 0,9513

5) Hallar el Coeficiente de Determinación de la Parábola con los datos de la tabla 1.

A) 0,8952 B) 0,8152 C) 0,8959 D) 0,9831 E) 0,9344

6) Hallar el Coeficiente de Correlación de la Parábola con los datos de la tabla 1.

A) 0,9414 B) 0,9650 C) 0,8984 D) 0,9915 E) 0,9597

7) Hallar el coeficiente de de Spearman comparando el jornal con producción de lossiguientes datos:

Jornal diario 125 116 130 133 145 118Producción 45 82 56 62 80 65

A) - 0,2000 B) - 0,1650 C) 0,0028 D) -0,3991 E) 0,2000

11238R

W A L TE R e É s P E D E S RA M í R E Z

8) Hallar el coeficiente de de Spearman comparando los días trabajados con el volumende ventas, que se da a continuación:

Número de días trabajados 15 16 13 13 14 28 20Volumen de ventas (miles) 145 182 116 126 120 650 240

A) 0,1957 B) 0,8521 C) 0,9375 D) 0,8833 E) 0,5672


A) 162,26 166,67 166,33 166,00 D) 162,26 166,67 167,67 168,16

B) 161,00 166,67 166,00 169,00 E) 162,26 166,67 166,67 169,00

C) 161,00 166,00 167,33 168,00

10) Hallar los promedios móviles de cinco en cinco con los siguientes datos:

A) 45,2 70,8 77,6 C) 46,9 70,2 78,6 E) 46,2 70,4 78,0

B) 46,2 70,8 78,6 D) 44,7 70,8 78,2

11) Hallar la ecuación de la Regresión Lineal Simple con ¿ Xdatos:

o de los siguientes

Años 2005 2006 2007 2008 2009Producción 13 24 39 65 106

A) Y = 50,4 + 21,7 (X) C) Y = 48,4 + 21,7 (X) E) Y = 49,4 + 22,7 (X)

B) Y = 43,4 + 22,7 (X) D) Y = 47,4 + 22,9 (X)

12) Con la ecuación de la pregunta 11, proyecte la producción después de 2 años.

A) 140,2 B) 159,7 C) 117,5 D) 211 ,2 E) 186,2

13) Con la ecuación de la pregunta 11, proyecte la producción después de 10 años.

A) 276,4 B) 321,8 C) 344,8 D) 298 ,7 E) 482,4

12391

ESTADíSTICA 11

14) Dado: Índice Estacional = 0,6852 Y la Rectaproyección para X = 2?

23,5 - 1,9X. é Cuál deberá ser la

A) 19,70 B) 17,26 C) 13,50 D) 18,71 E) 11,38

15) Dado: Índice Estacional = 0,8527 Y la Recta = - 3,5 + 3,86X. é.Cuál deberá ser laproyección para X = 4?

A) 16,15 B) 10,99 C) 13,56 D) 10,18 E) 18,22


l. C, 2. A, 3. E, 4. S, 5. D, 6. D, 7. A, 8. C, 9. S, 10. S, 11. E, 12.A, 13. S, 14. C, 15. D

~2401


EXPLORACiÓN ON LINE

http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_linealhttp://www.eumed.net/cursecon/medir/estima.htmhttp://apuntes.rincondelvago.com/regresion-y-correlacion.htmlhttp://www.monografias.com/trabajos27/regresion-simple/regresion-simple.shtml

GLOSARIO

ecuaciones simultáneas. Ecuaciones que tienen incógnitas con el mismo valoren todas ellas. El término simultánea obedece a quepara hallar tales incógnitas, se resuelve en formasimultánea, entre otros métodos de solución.Se utiliza en la regresión y correlación.

función matemática. Ecuación con dos o más variables, donde una de ellasllamada generalmente "Y", es dependiente de la o lasotras variables independientes, llamadas generalmente"X" o "Xi".Se utiliza en la regresión y correlación.

mejor ajuste. Función matemática que representa mejor losdatos estimados (regresión), con relación a suscorrespondientes datos reales tomando como base lavariable independiente "X".Se utiliza en la regresión y correlación.

no paramétrico. Término utilizado estadística mente en una investigación,cuando se analiza una variable no numérica.La utiliza la Estadística Descriptiva como resultado deun censo y también la Estadística Inferencial comoresultado de una estimación.

variable independiente. Término utilizado en una función matemática, endonde esta variable puede asumir cualquier valor, ycomo consecuencia, la otra variable que la acompañaen la misma función queda representada dependiendode dicho valor.Se utiliza en la regresión.

12411

l L e e e ,o n

l-

6.1 Número índiceEl número índice es una medida estadística diseñada para poner de relieve cambios

en una variable o en un grupo de variables relacionadas con respecto a: el tiempo, la si-tuación geográfica, el ingreso o cualquier otra característica. Este tipo de número puededefinirse también como un valor relativo en tanto porciento, que permite medir en queproporción una variable ha cambiado con el tiempo.

El Número Índice es el cociente del valor actual entre un valor base, luego se multiplicael número resultante por 100 para expresar el índice como un porcentaje. El índicecorrespondiente al periodo base siempre es 100%, no interesando el tipo de informacióno el método de cálculo.

También se puede decir que un Número Índice es una medida estadística que tienecomo finalidad medir el tamaño o magnitud de una variable de interés en un determinadomomento con relación a otro momento pasado, para comparar su variación en el tiempo.

6.1.1 Nociones sobre números índices

Los Índices son aplicable a cualquier actividad, ya sea: económica, administrativa,social, cultural, médica, financiera, etc. Pero en esta unidad solo se tocará la actividadeconómica por tener múltiples aplicaciones.

12451

ESTADIsTICA 11

Los tipos de índices a tratar en la unidad son:

1° Índices de precios (P)2° Índices de cantidad o de Quantum (Q)3° Índice de Valor (V)

Tales indicadores utilizan:

Po : Precio de un bien en el periodo basep¡ : Precio de un bien en el periodo dado ( i = 1, 2, 3, ..... )qo : Cantidad de un bien en el periodo baseq¡ : Cantidad de un bien en el periodo dado ( i = 1, 2, 3, .....)

6.1.2 Clasificación de los Números Índices por su contenido

Según su contenido los números índices son de dos naturalezas: índices simples eíndices compuestos.

6.1.2.1 índice simple

Son indicadores que contienen una unidad de información; es decir, un solo dato o unsolo artículo llamado dado, entre otro dato o artículo llamado base, por 100.

Este tipo de índice nos permite analizar la variación de los datos en forma individual.

p.P = _1 (100)

Po

q.Q = _1 (100)

qoV r.«= _1_1 (100)

Poqo

Ejercicio resuelto:

1) Tomando como año base el 2006, hallar los Índices Simples de: Precio, Cantidad y deValor; con los siguientes datos:

Precio Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Artículo A 2,50 2,80 3,20 2,90 5 8 7 6

124611


Solución:

a) Cálculo de los Índices de Precio:

pp._1_ (100)

PoP(2006) =

P2006--- (l00)P2006

= 2,50 (100)= 100,0%2,50

P(200?)P2OO7

(l00) = 2,80 (100) = 112,0%

P2OO62,50

P(2008)P2OO8 (l00) = 3,20 (100)= 128,0%

P2OO62,50

P(2009) = P2OO9(l00) = 2,90 (100)= 116,0%

P2OO62,50

b) Cálculo de los Índices de Cantidad:

q. q2006 2 (l00) =Q = _1 (l00) Q(2006) = (l00) = 100,0%

qo q2006 5••

Q2007 8Q(200?) = (l00) = - (l00) = 160,0%

Q20065

Q(2008) = Q2008 (l00) = '2 (l00) 140,0%

Q20065

Q(2009)Q2009 (l00) = ~ (100) 120,0%

Q20065

12471

ESTADíSTICA 11

e) Cálculo de los Índices de Valor:

r,«, P2006q2006 25x5v= (100) V(2DD6) = (100) = -'- (100) 100,0%

poqo P2006q2006 2,5x5

P2007Q2007 2,8x8(100)

V(2DD7) = (100) --- 179,2%

P2006Q20062,5x5

P2008Q2008 3,2x7(100) 179,2%V(2DDB) = (100) ---

P2006Q20062,5x5

V(2DD9) = P2009Q2009 2,9x6(100) 139,2%(100) = --

P2006Q20062,5x5

Como debe haber observado el alumno, todas las operaciones hechas son iguales; esdecir, dividir una cifra dada entre otra cifra base, por cien. El índice del año base general-mente no se calcula por que siempre la cifra dada es igual a la cifra base, por 100.

En adelante como las operaciones son sencillas, con la ayuda de la calculadora, serealizarán tales operaciones en la misma calculadora, y solo se escribirá la respuestafinal ampliando la tabla de datos, donde se incluirá el índice ya calculado, tal como seobserva en las siguientes tablas:

Precio

Años 2006 2007 2008 2009Artículo A 2,50 2,80 3,20 2,90

Índice de Precios 100,0 112,0 128,0 116,0

Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009Artículo A 5 8 7 6

Índice de Cantidad 100,0 160,0 140,0 120,0Valor = Precio x Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009Artículo A 12,5 22,4 22,4 17,4

Índice de Valor 100,0 179,2 179,2 139,2

De esta manera se ahorra tiempo y esfuerzo en el cálculo de los Números Índices.

12481

WAL TER CÉS PED ES RAM íREZ

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Índices simples:

1) Hallar el índice del día martes con relación al lunes:

Días lunes MartesProducción (Unid.) 15 17

Resp: 113,3%

2) Hallar el índice del día viernes con relación al sábado:

Días viernes sábadoProducción (Unid.) 16 10

Resp: 160,0%

3) Hallar el índice del 2009 con relación al 2007:

Años 2007 2008 2009Arroz 2,80 3,20 2,90

Resp: 103,6%

4) Hallar el índice del 2008 con relación al 2009:

Años 2007 2008 2009Arroz 2,80 3,20 2,90

Resp: 110,3%

6.1.2.2 índice compuesto

Son indicadores que contienen un conjunto de datos; para calcular estos índices,es conveniente primero dar un tratamiento a los datos, dependiendo de la modalidadde cálculo. Este tipo de índice nos permite analizar la variación de los datos en formaconjunta y por sus características muy marcadas, estos índices se verán en la siguientelección.

12491

L e e e ,o n 2

6.2 Métodos para calcular índices compuestosExisten diferentes manera de cómo calcular un índice compuesto, en esta unidad se

verán los más importantes

6.2.1 Índices de agregados no ponderados

Son indicadores que contienen la suma de una determinada variable; es decir, cuando setienen varios datos de una misma variable, se juntan los datos correspondientes al periododado, luego se dividen entre la suma de los datos del periodo señalado como base, por 100.

Este tipo de índice nos permite analizar la variación de los datos en su conjunto,donde la variación individual no tiene importancia; por lo tanto, es útil para conocer:el consumo familiar, el consumo en materias primas, el gasto diario o mensual de unapersona, etc. Pero tiene la desventaja de que una variación en los artículos de costosbajos no afectan tanto al índice como lo hace una variación de los artículos de costosaltos. Otra desventaja de este índice es que, cuando las cantidades tienen unidadesdiferentes, no se puede calcular el índice de cantidad; por ejemplo, é córno sumar 4 litrosde leche con 6 kilos de arroz y 20 panes?

PL'..p.

__ 1 (100)L'..po

Q'L.q.

= __ 1_ (100)'L.qo

12511

ESTADíSTICA 11

Ejercicio resuelto

1) Tomando como año base el 2006, hallar los Índices de Agregados no ponderados de:Precio, Cantidad y de Valor; con las siguientes marcas de un mismo artículo adqui-rido en el tiempo:

Precio Cantidad

Artículos \ Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Marca Alfa 12,20 12,80 19,20 20,90 5 8 6 6

Marca Noly 14,10 14,40 15,80 16,40 3 5 2 7

Marca Tito 11,20 11,30 11,50 13,20 4 9 10 11

Solución:

a) Cálculo de los Índices de Precios:

PreCio

Artículos \ Años 2006 2007 2008 2009Marca Alfa 12,20 12,80 19,20 20,90Marca Noly 14,10 14,40 15,80 16,40Marca Tito 11,20 11,30 11,50 13,20

~ 37,50 38,50 46,50 50,50Índice de Precios 100,0 102,7 124,0 134,7

El índice de precios se ha hallado, dividiendo las sumas como si fueran índices simplesde cada uno de los años dados entre la suma del año base (37,50), por cien


Cantidad

Artículos \ Años 2006 2007 2008 2009Marca Alfa 5 8 6 6Marca Loly 3 5 2 7

Marca Tito 4 9 10 11

~ 12 22 18 24

Índice de Cantidad 100,0 183,3 150,0 200,0

12521

WAL TER e ÉS PEO ES RAM íREZ


¡1-

Valor = Precio x Cantidad

Artículos \ Años 2006 2007 2008 2009Marca Alfa 61,00 102,40 115,20 125,40Marca Loly 42,30 72,00 31,60 114,80Marca Tito 44,80 101,70 115,00 145,20

I 148,10 276,10 261,80 385,40Índice de Valor 100,0 186,4 176,8 260,2

Para el cálculo del índice de valor, primero se debe multiplicar cada precio por su res-pectiva cantidad (del mismo periodo o año), luego sumar todos valores de cada año;finalmente, el índice se obtiene dividiendo las sumas de los productos de cada año entrela suma de los productos del año base (148,10), como si fueran índices simples, por cien.

Resolver los ejercicios propuestos sobre Índices de agregados No Ponderados:

1) Hallar el índice de agregados no ponderados tomando como base el 2007:

Gastos alimentos Vestidos salud educación2007 161,00 102,40 45,20 125,402008 142,30 122,00 163,80

31,60

Resp: 105,9%


Gastos alimentos Vestidos salud educación2007 161,00 102,40 45,20 125,402008 142,30 122,00 163,80

31,60

Resp: 94,4%

12531

ESTADíSTICA"


Insumos telas Botones hilos2006 2161,00 103,80 25,202009 3142,30 129,00 27,60

Resp: 144,1%

4) Hallar el índice de agregados no ponderados tomando como base el' 2007:

Compras cuadernos lapiceros folder papel2007 105,00 32,40 45,20 145,402009 140,80 22,00 61,60 157,80

Resp: 116,5%

6.2.2 Índices de promedios relativos no ponderados

Son indicadores que contienen la suma de los índices simples de una determinadavariable periodo tras periodo; es decir, cuando se tienen varios datos de una mismavariable en distintos periodos, se calculan los índices individuales tal como se calculanlos índices simples multiplicados por 100, luego se suman estos índices simples yse dividen entre el número datos de la variable de cada periodo, para obtener así elpromedio.

Este tipo de índice nos permite analizar la variación de los datos en forma individualy a la vez, nos indica como han variado en conjunto. Aquí todos los artículos tienen lamisma importancia, es decir que no interesa si ha variado un artículo de menor costo oun artículo de mayor costo, simplemente analiza la variabilidad entre los artículos.

p.¿_l (100)

Po

q.¿_l (100)

qon n

¿ p¡q¡ (100)

PoqoV= _

np Q

12541

WAL TER CÉSP EDES RAMfREZ

Ejercicio resuelto

1) Tomando como año base el 2006, hallar los Índices de Promedios Relativos No Ponde-rados de: Precio, Cantidad y de Valor; con las siguientes marcas de ropa:

Precio Cantidad

Artículos \ Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Marca Alfa 12,20 12,80 19,20 20,90 5 8 6 6Marca Noly 14,10 14,40 15,80 16,40 3 5 2 7Marca Tito 11,20 11,30 11,50 13,20 4 9 10 11

Solución:


Precio Índices Simples

Artículos \ Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Marca Alfa 12,20 12,80 19,20 20,90 100,0 104,9 157,4 171,3Marca Noly 14,10 14,40 15,80 16,40 100,0 102,1 112,1 116,3Marca Tito 11,20 11,30 11,50 13,20 100,0 100,9 102,7 117,9

I: 300,0 307,9 372,2 405,5

p.¿_l (100)

P = Pon

P(2006)

3003

100,0% P(2007)

307,93

102,6%

P(2008)

372,23

124,1% P(2009)

405,53

135,2%

12551

ESTADíSTICA 11


Cantidad Índices Simples

Artículos \ Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Marca Alfa 5 8 6 6 100,0 160,0 120,0 120,0Marca Noly 3 5 2 7 100,0 166,7 66,7 233,3Marca Tito 4 9 10 11 100,0 225,0 250,0 275,0

1: 300,0 551,7 436,7 628,3

Q

q.¿_l (100)qo Q (2006) =

3003

100,0% Q(2007) =551,7

3= 183,9%

n

436,7 =Q(2008) = 145,6%

Q(2009) =3

628,33

209,4%


Valor = Precio x Cantidad Índices Simples

Artículos \ Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Marca Alfa 61,00 102,40 115,20 125,40 100,0 167,9 188,9 205,6Marca Noly 42,30 72,00 31,60 114,80 100,0 170,2 74,7 271,4Marca Tito 44,80 101,70 115,00 145,20 100,0 227,0 256,7 324,1

1: 300,0 565,1 520,3 801,1

v(100)

V (2006) =300

3100,0%

565,1V(2007)= -3- = 188,4%

n

V(2008)

520,33

173,4% V(2009)801,1

3267,0%

12561

WAL TER CÉSPE DES RAM fREZ

Resolver los ejercicios propuestos sobre Índices de promedios relativos NoPonderados:

1) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2006:

Insumos telas Botones hilos2006 2161,00 103,80 25,202009 3142,30 129,00 27,60

Resp: 1?6,4%

2) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2007:

Ventas vestidos camisas pantalones2007 1964,00 489,00 693,002009 2245,00 588,00 784,00

Resp: 115,9%

3) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2008

Recreación cine discoteca concierto2008 108,00 496,00 215,002009 126,00 288,00 198,00

Resp: 89,0%

4) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2009

Compras cortinas arto decorativos pinturas2008 1108,00 4096,00 1215,002009 1026,00 2988,00 2198,00

Resp: 100,1%

6.2.3 Índices de agregados ponderados

Son indicadores de tipo compuesto porque contienen un valor producto de la multi-plicación de precio por cantidad. Estos índices a pesar de contener valores no son índicesde valor, por que uno de los componentes es una ponderación o factor del otro; es decir,que multiplica por igual al numerador que está en el periodo dado y al denominador queestá en el periodo base, sin variar.

12571

ESTADíSTICA 11

Como los índices trabajan con dos periodos, uno llamado dado y el otro llamado base;los Índices de Agregados Ponderados tienen también dos tipos de ponderaciones, que son:

6.2.3.1 índice de agregados ponderados por el método de Laspeyres

Este índice utiliza como ponderación al periodo base, nos permite analizar la variaciónde los datos en su conjunto, suponiendo que el elemento utilizado como ponderaciónse mantiene constante con relación al periodo base. En el Perú se utiliza el índice deprecios por este método, para calcular el Índice de Precios del Consumidor conocidocomo "Costo de Vida".

El alumno habrá observado en la fórmula, que el índice de precios tiene como ponde-ración a la cantidad en el periodo base, por que son iguales arriba y abajo; y, el índicede cantidad tiene como ponderación al precio, por la misma razón.

Ejercicio resuelto

Tomando como año base el 2006, hallar los Índices de Agregados ponderados por elmétodo de Laspeyres de Precio y de Cantidad; con las siguientes marcas de ropa:

Precio Cantidad


Solución:

Datos del ejercicio con el indicador, que son necesarios para hallar el índice de pre-cio.

Precio Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009

Artículos \ Indicador Po Pl P2 P3 qo ql q2 q3Marca Alfa 12,20 12,80 19,20 20,90 5 8 6 6Marca Noly 14,10 14,40 15,80 16,40 3 5 2 7Marca Tito 11,20 11,30 11,50 13,20 4 9 10 11

12581



Precio variable por qo

Años 2006 2007 2008 2009Artículos \ Indicador Poqo P1 q¿ P2qo P3qoMarca Alfa 61,00 64,00 96,00 104,50Marca Noly 42,30 43,20 47,40 49,20Marca Tito 44,80 45,20 46,00 5~,80

I: 148,10 152,40 189,40 206,50

Lp¡qo(100)

LPoqoPL

P(2006)148,1 (100) = 100,0% P(2007)

152,4 (100) 102,9%148,1 148,1

P(2008)189,4 (100) = 127,9% P(2009)

206,5 (100) 139,4%148,1 148,1

Datos del ejercicio con el indicador, que son necesarios para hallar el índice decantidad.

Precio Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Artículos \ Indicador Po P1 P2 P3 qo ql q2 q3Marca Alfa 12,20 12,80 19,20 20,90 5 8 6 6Marca Noly 14,10 14,40 15,80 16,40 3 5 2 7Marca Tito 11,20 11,30 11,50 13,20 4 9 10 11

12591

ESTADfsTICA 11


Cantidad variable por Po

Años 2006 2007 2008 2009Artículos \ Indicador Po qo Poql Poq2 Poq3

Marca Alfa 61,00 97,60 73,20 73,20Marca Noly 42,30 70,50 28,20 98,70Marca Tito 44,80 100,80 112,0 123,20

I 148,10 268,90 213,40 295,10

QL ='L.Poq¡

(100)'L.Poqo

Q (2006)148,1 (100) 100,0% Q(2007)

268,9 (100) 181,6%148,1 148,1

Q(2008) = 213,4 (100) = 144,1% Q(2009)295,1 (100) = 199,3%

148,1 148,1

6.2.3.2 índice de agregados ponderados por el método de Paasche

Este índice utiliza como ponderación al periodo dado, nos permite analizar la variaciónde los datos en su conjunto, suponiendo que el elemento utilizado como ponderaciónvaría según el periodo dado (consumo real).

El alumno habrá observado en la fórmula, que el índice de precios tiene como ponde-ración a la cantidad en el periodo dado, por que son iguales arriba y abajo; y, el índicede cantidad tiene como ponderación al precio, por la misma razón.


Tomando como año base el 2006, hallar los Índices de Agregados ponderados por elmétodo de Paasche de Precio y de Cantidad; con las siguientes marcas de ropa:

12601

WAL TER CÉS PEDES RAM íREZ

Precio Cantidad


Solución:

Datos del ejercicio con el indicador, que son necesarios para hallar el ín9ice de precio.

Precio Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Artículos \ Indicador Po P1 P2 P3 qo ql q2 q3Marca Alfa 12,20 12,80 . 19,20 20,90 5 8 6 6Marca Noly 14,10 14,40 15,80 16,40 3 5 2 7Marca Tito 11,20 11,30 11,50 13,20 4 9 10 11


Precio variable por Cantidad Cantidad variable por Povaro

Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008Artíc.\ Poqo P1 ql P2q2 P3q3 Po qo Poql Poq2Indicad.Marca Alfa 61,00 102,40 115,20 125,40 61,00 97,60 73,20Marca Noly 42,30 72,00 31,60 114,80 42,30 70,50 28,20Marca Tito 44,80 101,70 115,00 145,20 44,80 100,80 112,0

I 148,10 276,10 261,80 385,40 148,10 268,90 213,40

Pp = 'i:.p¡q¡'i:.Poq¡

(100)

P(2006) = 148,1 (100) 100,0% P(2007)276,1 (100) 102,7%

148,1 268,9

P(2OO8) = 261,8 (100) 122,7% P(2OO9)385,4 (100) = 130,6%

213,4 295,1

12611

ESTADfsTICA 11

Datos del ejercicio con el indicador, que son necesarios para hallar el índice de cantidad.

Precio Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Artículos \ Indicador Po p¡ P2 P3 qo q¡ q2 q3Marca Alfa 12,20 12,80 19,20 20,90 5 8 6 6Marca Noly 14,10 14,40 15,80 16,40 3 5 2 7Marca Tito 11,20 11,30 11,50 13,20 4 9 10 11


Precio variable por Cantidad varo Precio variable por qo

Años 2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Artíc.\ Indicad. Po qo p¡ q¡ Pz qz P3 q3 Po qo ,p¡ qo Pz qo P3 qo

Marca Alfa 61,00 102,40 115,20 125,40 61,00 64,00 96,00 104,50Marca Noly 42,30 72,00 31,60 114,80 42,30 43,20 47,40 49,20Marca Tito 44,80 101,70 115,00 145,20 44,80 45,20 46,00 52,80

I 148,10 276,10 261,80 385,40 148,10 152,40 189,40 206,50

Qp'LPiqi

(100)'Lp¡qo

"Q (2006)

148,1 (l00) 100,0% Q(2007) = 276,1 (100) 181,2%148,1 152,4

Q(2008)261,8 (100) = 138,2% Q(2009) = 385,4 (l00) = 186,6%189,4 206,5

Nota importante:

El hecho de haber utilizado el mismo ejemplo para casi todos los métodos de cálculode los índices, obedece únicamente a que solo de esta manera, el alumno puede sacarsus propias conclusiones sobre las características de cada método.

12621


Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Índices de AgregadosPonderados:

1) Hallar el índice de precios de Laspeyres con los siguientes datos:

Precio Cantidad

Artículos base actual base actualA 5,20 8,80 50 80B 14,10 12,40 30 50e 89,20 91,30 40 '90

Resp: 105,0

2) Hallar el índice de cantidad de Laspeyres con los siguientes datos:

Precio Cantidad

Artículos base actual base actualA 5,20 8,80 50 80B 14,10 12,40 30 50e 89,20 91,30 40 90

Resp: 215,2

3) Hallar el índice de precios de Paasche con los siguientes datos:

Precio Cantidad


Resp: 104,3

4) Hallar el índice de cantidad de Paasche con los siguientes datos:

Precio Cantidad


Resp: 213,7

12631

I

~I L

, 3I e e e o n~fI

~

6.3 Cambio de base del índiceSuponiendo que se han elaborados los índices por cualquier método de cálculo y se

nos dice que el periodo base utilizado no es el más representativo y se tiene que cambiarde base; cuando se presenta este tipo de situación, no es necesario volver a calcularel índice utilizando otra base, por que se puede utilizar el índice calculado como dato yluego se le da el mismo tratamiento como si fuera un índice simple.

p.p = _1 (100)

Po

q.Q = _1 (100)

qov·V = _1_ (100)Vo

12651

ESTADíSTICA 11


1) Cambiar la base del Índice de Precio para el 2008:

Precio

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 102,7 124,0 134,7

Solución: Todos los índices serán divididos entre 124,0 que es la nueva base.

P(2006)100,0 (l00) 80,6% P(2007)

102,7 (l00) 82,8%124,0 124,0

P(2008)124,0 (l00) 100,0% P(2009)

134,7 (100) 108,6%124,0 124,0

2) Cambiar la base del Índice de Cantidad para el 2008:

Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 183,3 150,0 200,0

" Q (2006)100,0 (l00) 66,7% Q(2007)

183,3 (l00) 122,2%=150,0 150,0

Q(2008)150,0 (l00) 100,0% Q(2009)

200,0 (100) 133,3%150,0 150,0

3) Cambiar la base del Índice de Valor para el 2008.


Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 186,4 176,8 260,2

12661


V (2006)100,0 (100) 56,6% V(2007)

186,4 (100) 105,4%176,8 176,8

176,8 (100) 100,0% V(2009) = 260,2 (100) 147,2%176,8 176,8V(2008)

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Cambio de Base.

1) é.Cuál es el índice del 2007 con base al 2008?

Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 183,3 150,0 200,0

2) z.Cuál es el índice del 2009 con base al 20077

Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 183,3 150,0 200,0

3) Cambiar la base del índice del martes con relación al jueves:

Valor

Días lunes martes miércoles juevesÍndice 100,0 186,4 176,8 260,2

4) Cambiar la base del índice del lunes con relación al miércoles:

Valor


12671

lti

L e e e ,o n 4

,6.4 Variaciones dellndice

Cuando no se conoce sobre la composición de los Números Índices, es muy fácil engañar.• al lector. Por ejemplo si se quiere mostrar indicadores o índices con magnitud alta, se utiliza

como periodo base, el periodo de menor cuantía; en caso contrario, se utiliza como periodobase el de mayor cuantía; por un lado el lector ve índices bastantes altos y por el otro ladove índices bajos, sin saber que han sido calculados con la misma información.

La única manera de saber que dos índices de magnitudes diferentes, realmente soniguales por que fueron calculados con la misma información, es mostrando las variacionesque han tenido en el tiempo. Por consiguiente dos índices distintos por su magnitud, soniguales; si tienen las mismas variaciones.

12691

ESTADíSTICA 11

Tales variaciones pueden ser de dos tipos:

6.4.1 Variaciones con relación a un periodo de referencia

Este tipo de variación, se calcula igual como si fuera un cambio de base con la diferenciade que el divisor es el índice que corresponde al periodo de referencia, menos 100%. Alrestar 100 al índice calculado, nos queda la variación con relación a un periodo de referencia.

Varo Pp._1 (100)-100Po

Varo Q q._1 (100)-100qo

V·VaroV = _1_' (100)-100Va


1) Hallar las variaciones del índice con relación al 2006.

Precio

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 102,7 124,0 134,7

Solución:

Todos los índices serán divididos entre 100,0 (índice del 2006) y el resultado serámultiplicado por 100, para luego restarle 100.

Var(2006) 100,0 (100) -100 =100,0

0,0% Var(2007) 102,7 (100) -100 =100,0

2J%

Var(2008)=124 O--' (100) -100 = 24,0%100,0

Var(2009)=1347-'- (100) -100 = 34,7%100,0

Obsérvese que si usted solo hubiera restando 100 a cada uno de los índices, losresultados serían los mismos; recuerde que esto solo sucede cuando se toma comoreferencia el año base, en caso contrario es necesario hacer todo el proceso completo.

2) Hallar las variaciones del índice con relación al 2006.

Precio

Años 2006 2007 2008 2009Índice 80,6 82,8 100,0 108,6

12701

\

WAL TE R CÉSP E D ES RAM fREZ

Solución:

Todos los índices serán divididos entre 80,6 (índice del 2006) y el resultado serámultiplicado por 100, para luego restarle 100.

Var(2006) 80,6 (100) -100 = 0,0% Var(2007)= 82,8 (100) -100 = 2,7%80,6 80,6

Var(2008)= 100,0 (100) -100 = 24,0% Var(2009)= 108,6 (100) -100 = 34,7%80,6 80,6

Si usted compara estas varracrones con las obtenidas en el ejercicio anterior,inmediatamente se da cuenta de que se tratan de los mismos índices, pese a quenominalmente son distintos.

6.4.2 Variaciones con relación al periodo anterior

Este tipo de variación, se calcula igual como si fuera un cambio de base con la diferenciade que el divisor es el índice que corresponde al periodo anterior, menos 100%. Al restar100 al índice calculado, nos queda la variación con relación al periodo anterior.

Varo Pp._1 (100) -100

PoVaro Q

q._1 (100)-100qo

ViVaroV = V

o(100) -100

El alumno habrá notado que el cálculo de las variaciones con el año anterior, es la mismafórmula que se utilizó para ver las variaciones con relación a un periodo de referencia;es decir, que la fórmula no ha cambiado, con la salvedad de que ya no se divide entre elíndice de un mismo periodo, sino que se divide entre el índice del periodo anterior.

Ejercicios resueltos:

1) Hallar las variaciones del índice con relación al año anterior.

Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 183,3 150,0 200,0

Varo Qq.

~I (100)-100qo

183,3Var(2007)= -- (100) -100 = 83 3%

100,0 '

12711

ESTADíSTICA 11

Var(2008) = 150,0 (100) -100 = - 18,2%183,3

Var(2009) = 200,0 (100) -100 = 33,3%150,0

Las variaciones con relación al 2006 no se puede determinar, por que se desconoce elíndice del periodo anterior.

La variación del 2008 es negativa, lo que significa que el índice ha disminuido en18,2% con relación al 2007.



Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 186,4 176,8 260,2

Varo V V·Var(2007) 186,4 (100) -100 = 86,4%= i:s: (100) -100

Vo 100,0

176,8 260,2 (100) -100 =Var(2008) = -- (100)-100=-52% Var(2009) 47,2%186,4 ' 176,8


Precio

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 102,7 124,0 134,7

Solución:

Varo Pp._1 (100) -100Po

Var(2007) = 102,7 (100) -100 = 2,7%100,0

Var(2008) 124,0 (100) -100 = 20,7% Var(2009)102,7

134,7 (100)-100 = 8,6%124,0

12721

WAL TE R CÉSP EDES RAM íREZ

r-

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Variaciones de los Índices:

1) Hallar la variación del índice del 2009 con relación al 2007.

Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 114,3 128,0 243,0

Resp: 112,6 %


Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 152,4 140,0 156,0

. Resp: 11,4 %

3) Hallar la variación del índice del miércoles con relación al martes.

Valor -


Resp: - 6,4%

4) Hallar la variación del índice del jueves con relación al miércoles.

Valor


Resp: 7,6 %.

5) Hallar la variación del índice de octubre con relación a agosto.

Valor

Meses julio agosto septiembre octubreÍndice 100,0 134,2 145,5 161,4

Resp: 20,3 %.

12731

ESTADíSTICA 11

6) Hallar la variación del índice de agosto con relación a septiembre.

Valor

Meses julio agosto septiembre octubreÍndice 100,0 134,2 145,5 161,4

Resp: - 7,8 %.

WALTER CÉSPEDES RAMíREZ.~i

AUTOEVALUACIÓN N°S

1) Hallar el índice simple del café.

Año base actualCafé 2800 3250

A) 166,1% B) 109,9% C) 113,5% D) 116,1% E) 118,2%

2) Hallar el índice del azúcar del 2009 con relación al 2007.

Años 2007 2008 2009Azúcar 1,40 2,40 2,50

A) 164,6% B) 179,4% C) 183,5% D) 186,5% E) 178,6%

3) Hallar el índice de agregados no ponderados.

Gastos alimentos recreación bebidas transporteActual 145,50 48,40 14,60 25,50Base 140,10 66,7 22,50 22,70

A) 107,6% B) 92,9% C) 113,5% D) 116,8% E) 118,1%

4) Hallar el índice de agregados no ponderados.

Ventas verduras frutas legumbres hortalizasBase 141,00 131,40 55,20 25,40

Actual 148,60 122,00 81,60 63,80

A) 117,8% B) 199,4% C) 113,2% D) 84,9% E) 111,4%

5) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2007.

Gastos alimentos recreación bebidas transporte2007 145,50 48,40 14,60 25,502008 140,10 66,70 22,50 22,70

A) 96,6% B) 137,8% C) 119,3% D) 116,1 % E) 107,4%

12751

ESTADIsTICA 11

6) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2007.

Ventas verduras frutas legumbres hortalizas2007 141,00 131,40 55,20 25,402008 148,60 122,00 81,60 63,80

A) 122,9% B) 205,4% C) 149,3% D) 184,7% E) 154,3%

7) Hallar el índice de precios por el método de Laspeyres, tomando como base el 2008.

Precios (promedio) Cantidades (prom.)

Años 2008 2009 2008 2009Alimentos 15,80 16,40 3 4Transporte 3,50 3,80 4 6Educación 6,10 5,50 7 4Otros 16,30 16,80 2 2

A) 102,2% B) 99,9% C) 103,3% D) 114,2% E) 88,7%

8) Hallar el índice de cantidad por el método de Laspeyres, tomando como base el 2008.



A) 103,3% B) 104,1% C) 109,5% D) 111,1% E) 102,7%

9) Hallar el índice de precios por el método de Paasche, tomando como base el 2008.



A) 105,5% B) 99,4% C) 107,7% D) 104,2% E) 102,0%

12761

[I WAL TER CÉS PED ES RAMíREZ,rrIf

~

10) Hallar el índice de cantidad por el método de Paasche, tomando como base el 2008.


Años 2008 2009 2008 2009Alimentos 15,80 16,40 3 4Transporte 3,50 3,80 4 6Educación 6,10 5,50 ,7 4Otros 16,30 16,80 2 2

A) 102,0% B) 105,5% C) 101,3% D) 114,3% E) 117,0%

11) ¿Cuál es el índice del 2009 con base al 20077

Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 113,0 122,7 145,3

A) 100,0% B) 117,8% C) 129,3% D) 128,6% E) 127,4%

12) é Cuál es el índice del 2006 con base al 2008?

Cantidad

Años 2006 2007 2008 2009Índice 100,0 113,0 122,7 145,3

A) 100,0% B) 97,6% C) 81,5% D) 108,6% E) 122,7%


Años 2006 2007 2008 2009Índice 108,4 114,3 128,0 140,6

A) 32,2% B) 29,7% C) 19,3% D) 28,6% E) 12,9%

14) Hallar la variación del índice del 2009 con relación al año anterior.

Años 2006 2007 2008 2009Índice 108,4 114,3 128,0 140,6

A) 12,6% B) 10,7% C) 11,7% D) 8,5% E) 9,8%

12771

ESTADíSTICA"

15) ¿En qué se asemejan los índices de Laspeyres con los índices de Paasche?

A) No hay semejanza entre ambos índices.B) Ambos métodos utilizan la misma ponderación.C) Ambos son índices compuestos no ponderados.D) Ambos utilizan el mismo periodo base en la ponderación.E) Ambos son índices ponderados compuestos.


l. D, 2. E , 3. B, 4. A, 5. C, 6. C, 7. B, 8. A, 9. E, 10. B, 1l. D, 12. C, 13. B, 14. E, 15. E

12781


r'

FEXPLORACiÓN ON LINE

http://es,wikipedia,org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%ADndicehttp://www.eumed.net/cursecon~ibreria/drm/li.htmhttp:/ ~uscador. rincondelvago. com/numeros + indiceshttp://www.monografias.com/trabajos I l/rurmind/nurnind.shtml

GLOSARIO

indicador. Es una medida de resumen de preferenciaestadística, referente a: la cantidad, magnitudo símbolo de un conjunto de parámetros oatributos. Elemento o dato que es utilizado comoreferencia para conocer el estado de las unidadesde análisis (personas, naciones, sociedades,bienes, etc.).Se utiliza mayormente el los números índices..

periodo base. Unidad de tiempo en: horas, días, meses,trimestres, años, etc., que se utiliza en el cálculodel número índice como divisor de otro periodo,generando un valor relativo con relación alperiodo divisor.Se utiliza en el cálculo del número índice.

periodo dado. Unidadde tiempo en: horas, días, meses,trimestres,años, etc., que el número índice lo utiliza comodividendo entre otro periodo llamado base.Se utiliza en el cálculo del número índice.

ponderación. Término utilizado estadísticamente para agregarvalores adicionales en magnitudes diferentes auna misma variable, de tal manera que existadiferencia dentro de ella.La utiliza la Estadística cada vez que asignemayor o menor importancia o peso a un datocon relación a otros.

12791

!f

l

rr

f~

~.i~f

~

II

ANEXOS

Tabla 1: Tabla área bajo la curva normalTabla 2: Tabla t-studentTabla 3: Tabla ji-cuadradoTabla 4: Tabla de distribución de Fisher


r,i1

rl,,r

~

I

Tabla 1

r

TABLA ÁREA BAJO LA CURVA NORMALValores de probabilidad según el área sombreada

-~ -L - o IZ 2 3 De O a Z

Z O 1 2 3 4 5 '6 7 8 90,0 0.0000 0,0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590,1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0,0675 0:0714 0,0753O) 0.0793 0.0832 0,0871 0.0910 0.0948 0,0987 0.1026 0.1064 0.1103 0,11410,3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170,4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0,1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790,5 0.1915 0.1950 0.1985 0,2019 0,2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240,6 0,2257 0,2291 0.2324 0,2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549OJ 0.2580 0.2611 0.2642 0,2673 0.2704 0,2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520,8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.313309 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891,0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211,1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301,2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151,3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.417714 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.43191,5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411,6 0.4452 0.4463 0,4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45451,7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.46331,8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.470619 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.47672,0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.48172,1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.48572) 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.48902) 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.491624 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362,5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522,6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.49642J 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.49742,8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.498129 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.49863,0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.49903,1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.49933,2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0,49953,3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.499734 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.49983,5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.49983,6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49993J 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49993,8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.499939 0.5000 0.5000 0.5000 0,5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

12851

ESTADíSTICA"

Tabla 2

TABLA t-STUDENT (Valores "1",según el área sombreada a una o a dos colas)

!

11\ (NIVEL DE SIGNIFICACiÓN PARA UNA PRUEBA DE DOS COLAS)/ ' ,/i"_o=< .J~ 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01. 0,001

Il' (NIVEL DE SIGNIFICACiÓN PARA UNA PRUEBA DE UNA COLA)

// ~---_/ ! ~(,. 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005

"

Lea usted el cruce de: laGrados de Libertad columna según nivel de significación con la fila según el grado de libertad

(al)1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,6192 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,5983 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,9414 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,6105 1476 2015 2571 3365 4032 68596 1,440 1,913 2,447 3,143 3,707 5,9597 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,4058 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,0419 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 1372 1812 2228 2764 3169 458711 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,43712 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,31813 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,22114 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,14015 1341 1753 2131 2,602 2947 410316 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,01517 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,96518 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,89219 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,88320 1325 1725 2,086 2528 2845 385021 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,81922 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,79223 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,76724 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,74525 1,316 1708 2,060 2485 2,787 372526 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,70727 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,69028 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,67429 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,65930 1,310 1697 2,042 2457 2750 364640 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,55160 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460120 1,289 1658 1,980 2358 2617 3373

12861

t

l!r

W A L TE R e É sP E D E S RA M í R E Z

Tabla 3

r~.

I~TABLA JI-CUADRADO

(Valores 'i", según el área sombreada)Lea Usted el cruce de la columna según el área con la fila según

ilos grados de libertad

2 i0,99 i0,9752 2 2 2 2 2 2

-/0:0252

io,oosV X 0,995 X 095 X 0,90 X 0,75 X 0,50 X 0,25 X 0,10 X 0,05 X 0,01

1 7,88 6,63 5,02 3,84 2,71 1,32 0,455 0,102 0,016 0,004 0,001 0,0002 0,0002 10,6 9,21 7,38 5,99 4,61 2,77 1,39 0,575 0,211 0,103 0,051 0,0201 0,0103 12,8 11,3 9,35 7,81 6,25 4,11 2,37 1,21 0,584 0,352 0,216 0,115 0,0724 14,9 13,3 11,1 9,49 7,78 5,39 3,36 1,92 1,06 0,711 0,484 0,297 0,2075 167 15,1 128 111 924 663 4,35 267 1,61 115 0,831 0554 0412

6 18,5 16,8 14,4 12,6 10,6 7,84 5,35 3,45 2,20 1,64 1,24 0,872 0,6767 20,3 18,5 16,0 14,1 12,0 9,04 6,35 4,25 2,83 2,17 1,69 1,24 0,9898 22,0 20,1 17,5 15,5 13,4 10,2 7,34 5,07 3,49 2,73 2,18 1,65 1,349 23,6 21,7 19,0 16,9 14,7 11,4 8,34 5,90 4,17 3,33 2,70 2,09 1,73

10 252 23,2 205 18,3 16 ° 125 9,34 6,74 4,87 394 325 256 216

11 26,8 24,7 21,9 19,7 17,3 13,7 10,3 7,58 5,58 4,57 3,82 3,05 2,6012 28,3 26,2 23,3 21,0 18,5 14,8 11,3 8,44 6,30 5,23 4,40 3,57 3,0713 29,8 27,7 24,7 22,4 19,8 16,0 12,3 9,30 7,04 5,89 5,01 4,11 3,5714 31,3 29,1 26,1 23,7 21,1 17,1 13,3 10,2 7,79 6,57 5,63 4,66 4,0715 328 306 275 25 O 223 182 143 110 855 726 626 523 460

16 34,3 32,0 28,8 26,3 23,5 19,4 15,3 11,9 9,31 7,96 6,91 5,81 5,1417 35,7 33,4 30,2 27,6 24,8 20,5 16,3 12,8 10,1 8,67 7,56 6,41 5,7018 37,2 34,8 31,5 28,9 26,0 21,6 17,3 13,7 10,9 9,39 8,23 7,01 6,2619 38,6 36,2 32,9 30,1 27,2 22,7 18,3 14,6 11,7 10,1 8,91 7,63 6,8420 40 O 37,6 342 31,4 284 238 19,3 15,5 12,4 109 9,59 826 7,43

21 41,4 38,9 35,5 32,7 29,6 24,9 20,3 16,3 13,2 11,6 10,3 8,90 8,0322 42,8 40,3 36,8 33,9 30,8 26,0 21,3 17,2 14,0 12,3 11,0 9,54 8,6423 44,2 41,6 38,1 35,2 32,0 27,1 22,3 18,1 14,8 13,1 11,7 10,2 9,2624 45,6 43,0 39,4 36,4 33,2 28,2 23,3 19,0 15,7 13,8 12,4 10,9 9,8925 469 443 406 377 344 293 243 199 165 146 131 115 105

26 48,3 45,6 41,9 38,9 35,6 30,4 25,3 20,8 17,3 15,4 13,8 12,2 11,227 49,6 47,0 43,2 40,1 36,7 31,5 26,3 21,7 18,1 16,2 14,6 12,9 11,828 51,0 48,3 44,5 41,3 37,9 32,6 27,3 22,7 18,9 16,9 15,3 13,6 12,529 52,3 49,6 45,7 42,6 39,1 33,7 28,3 23,6 19,8 17,7 16,0 14,3 13,130 537 50,9 47 O 43,8 403 34,8 293 245 20,6 185 16,8 15 O 13,8

40 66,8 63,7 59,3 55,8 51,8 45,6 39,3 33,7 29,1 26,5 24,4 22,2 20,750 79,5 76,2 71,4 67,5 63,2 56,3 49,3 42,9 37,7 34,8 32,4 29,7 28,060 92,0 88,4 83,3 79,1 74,4 67,0 59,3 52,3 46,5 43,2 40,5 37,5 35,570 104,2 100,4 95,0 90,5 85,5 77,6 69,3 61,7 55,3 51,7 48,8 45,4 43,380 1163 1123 1066 1019 966 881 793 711 643 604 572 535 512

90 128,3 124,1 118,1 113,1 107,6 98,6 89,3 80,6 73,3 69,1 65,6 61,8 59,2100 1402 135,8 1296 124,3 1185 1091 99,3 901 82,4 779 74,2 701 673

12871

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Puntos "F" al 5% Superior

~ 1 2" 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 00

1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,9 243,9 245,9 248,0 249,1 250,1 251,1 252,2 253,3 254,32 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,503 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 8,534 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5,635 661 579 541 519 505 495 488 482 477 474 468 462 456 453 450 446 443 440 4366 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 3,677 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 3,238 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 2,939 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 2,71

10 496 410 371 348 333 322 314 307 302 298 291 285 2,77 274 270 266 262 258 25411 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,79 2,72 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,45 2,4012 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 2,3013 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,2114 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,1315 454 368 329 306 290 279 271 264 259 254 248 240 233 229 225 220 216 211 20716 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 2,0117 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,9618 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,34 2,27 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,97 1,9219 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 1,8820 435 349 310 287 271 260 251 245 239 235 228 220 212 208 204 199 195 190 18421 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 1,8122 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,23 2,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,7823 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,20 2,13 2,05 " 2,01 1,96 1,91 1,86 1,81 1,7624 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,79 1,7325 424 339 299 276 260 249 240 234 228 224 216 209 201 196 192 187 182 177 17126 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 2,07 1,99 1,95 1,90 1,85 1,80 1,75 1,6927 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,13 2,06 1,97 1,93 1,88 1,84 1,79 1,73 1,6728 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,12 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,71 1,6529 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,10 2,03 1,94 1,90 1,85 1,81 1,75 • 1,70 1,6430 4 17 332 292 269 253 242 233 227 221 216 209 201 193 189 184 179 174 168 16240 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 1,92 1,84 1,79 1,74 1,69 1,64 1,58 1,5160 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,l0 2,04 1,99 1,92 1,84 1,75 1,70 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,17 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 1,61 1,55 1,50 1,43 1,35 1,2500 384 300 260 237 221 210 201 194 188 183 175 167 157 152 146 139 132 122 100

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Puntos "F" al 10% Superior

~ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 00

1 39,86 49,50 53,59 55,83 27,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 60,71 61,22 61,74 62,00 62,26 62,53 62,79 63,06 63,332 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,48 9,493 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,18 5,17 5,16 5,15 5,14 5,134 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,79 3,78 3,765 406 378 362 352 345 340 337 334 332 3,30 327 324 321 3 19 3 17 316 314 3,12 3106 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,84 2,82 2,80 2,78 2,76 2,74 2,727 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 2,63 2,59 2,58 2,56 2,54 2,51 2,49 2,478 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,34 2,32 2,299 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 2,34 2,30 2,28 2,25 2,23 2,21 2,18 2,16

10 329 292 273 261 2,52 246 241 238 235 232 228 224 220 218 216 213 211 208 20611 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 2,21 2,17 2,12 2,10 2.08 2,05 2,03 2,00 1,9712 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 2,10 2,06 2,04 2.01 1,99 1,96 1,93 1,9013 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,10 2,05 2,01 1,98 1.96 1,93 1,90 1,88 1,8514 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 2,05 2,01 1,96 1,94 1.91 1,89 1,86 1,83 1,8015 307 270 249 236 227 221 216 212 209 206 202 197 192 190 1.87 185 182 179 17616 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 1,99 1,94 1,89 1,87 1.84 1,81 1,78 1,75 1,7217 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 1,96 1,91 1,86 1,84 1.81 1,78 1,75 1,72 1,6918 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 1,93 1,89 1,84 1,81 1.78 1,75 1,72 1,69 1,6619 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 1,91 1,86 1,81 1,79 1.76 1,73 1,70 1,67 1,6320 297 259 238 225 216 209 204 200 196 194 189 184 179 177 1.74 171 168 164 16121 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 1,87 1,83 1,78 1,75 1.72 1,69 1,66 1,62 1,5922 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,86 1,81 1,76 1,73 1.70 1,67 1,64 1,60 1,5723 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 1,84 1,80 1,74 1,72 1.69 1,66 1,62 1,59 1,5524 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 1,83 1,78 1,73 1,70 1.67 1,64 1,61 1,57 1,5325 292 253 232 218 209 202 197 193 189 187 182 177 172 169 1.66 163 159 156 15226 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 1,81 1,76 1,71 1,68 1.65 1,61 1,58 1,54 1,5027 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 1,80 1,75 1,70 1,67 1.64 1,60 1,57 1,53 1,4928 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 1,79 1,74 1,69 1,66 1.63 1,59 1,56, 1,52 1,4829 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 1,78 1,73 1,68 1,65 1.62 1,58 1,55 1,51 1,4730 288 249 228 214 205 198 193 188 185 182 177 172 167 164 1.61 157 154 150 14640 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,71 1,66 1,61 1,57 1.54 1,51 1,47 1,42 1,3860 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 1,60 1,54 1,51 1.48 1,44 1,40 1,35 1,29120 275 235 213 199 190 182 177 172 168 165 160 155 148 145 1.41 137 132 126 119

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ESTADISTICA II

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