UNIVERSIDAD NACIONAL

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA

ESCUELA ACADÉMICA: Ingeniería de minas

CURSO: Estadística

AÑO Y SEMESTRE ACADÉMICO: 2015 – II

CICLO: V

DOCENTE: SALDAÑA MIRANDA, Marcela Yvone

RESPONSABLES:

FUENTES TOLEDO, Waldir

HUERTA SOTELO, Ray

OCAMPO ENRIQUE, Marco

ROSARIO HURTADO, Vlademir

ZAVALETA TRUJILLO, Leonel

Trabajo De Investigación

INTRODUCCION

Es difícil exagerar la importancia de la teoría de probabilidades, en muchos problemas de ingeniería necesitamos tomar decisiones frente a la incertidumbre. Para un ingeniero posiblemente no tiene sentido en preguntarse durante cuánto tiempo funcionara un determinado mecanismo pero si tendrá tiempo en preguntarse cuál es la probabilidad de que este mecanismo funcione más de diez horas.

Para un fabricante a gran escala tendrá sentido preguntarse qué porcentaje de sus productos serán aceptados en el mercado. En la mayoría de los casos hay que tomar decisiones en base a los experimentos y que sean aleatorios.

PROBABILIDADES

EXPERIMENTO:

Se utiliza para describir un proceso que genera un conjunto de datos cualitativos o cuantitativos. En la mayoría de los casos los resultados del experimento dependen del azar no pueden pronosticarse con exactitud, los experimentos pueden ser de dos clases:

a) EXPERIMENTO DETERMINISTICO.- Si los resultados del experimento están completamente determinados y pueden describirse por una forma matemática llamada método determinístico.

EJEMPLO

Lanzar una pelota a una tina de agua

b) EXPERIMENTO NO DETERMINISTICO.- Si los resultados del experimento no pueden determinarse con exactitud antes de determinar el experimento y se denota por Ԑ.

EJEMPLO

Ԑ1: Lanzar tres monedas y observar la cara superior

1° 2° 3° RESULTADO

C CCCC

C S CCSC CSC

SS CSSC SCC

CS S SCS

C SSCS

S SSS

Diagrama del árbol

Ԑ2: Lanzar dos dados y observar la cara superior

1 2 3 4 5 6

1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)

2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)

3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)

4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)

5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)

6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)

Cuadro de doble entrada

ESPACIO MUESTRAL (Ω):

Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento

EJEMPLO

Hallar los espacio muestral del ejemplo anterior:

Ω1: CCC; CCS; CSC; CSS; SCC; SCS; SSC; SSS Ω2: (1;1), (1;2), (1;3),………..….., (6;4), (6;5), (6;6)

EVENTOS:

Es un subconjunto del espacio muestral se representa por las letras mayúsculas del abecedario.

EJEMPLO

Del conjunto 1 y 2 hallar los eventos

Z: Que las monedas sean iguales ↔Z: CCC; SSS P: Que la primera sea cara ↔ P: CCS; CSC; CCC; CSS Y: Que la primera sea menor que tres ↔Y: (1;1) R: Que los dos datos sean iguales ↔R: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5),

(6;6)

SUCESO:

Es todo elemento del espacio muestral o de un evento

OPERACIONES CON EVENTOS:

i. UNION.- Dados los eventos A y B que consiste que todos los elementos del espacio muestral que pertenecen a A o a B o a ambos de este modo.

AUB = W Є Ω / W Є A V W Є B

Ω Ω

AUB AUB

ii. INTERSECCION.- Dados los eventos A y B; que consiste que todos los puntos muestrales son comunes de A y B.

Ω

A∩B

iii. DIFERENCIA.- A y B son dos eventos que consiste que todos los puntos muestrales que los puntos de A no pertenecen a B.

Ω

A-B

iv. MUTUAMENTE EXCLUYENTES.- Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no ocurren juntos es decir:

Ω

A∩B=ø

ALGEBRA DE EVENTO

1. A U B = AA ∩ B = A

2. A U B = B U AA ∩ B = B ∩ A

3. A U AC = ΩA ∩ AC = ø

4. A U Ω = ΩA ∩ Ω = A

A B A B

A B

A B

A B

5. A U ø = AA ∩ ø = ø

6. ΩC =ø; øC = Ω; (AC)C = A

7. A U (B ∩ C) = (A U B) ᴧ (A U C); A ∩ (B U C) = (A ∩ B) v (A ∩ C)

8. (A U B)C = AC ∩ BC

(A ∩ B)C = AC U BC

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

Axiomas:

Axioma N° 01 P(A) ≥ 0

Axioma N° 02 P(Ω) = 1

Axioma N° 03 0 ≤ P(A) ≤ 1

Teoremas:

Teorema N° 01 P(ø) = 0

Teorema N° 02 P(Ā) = 1.P(A); P(A) = 1.P(A)

Teorema N° 03 A C B → P(A) ≤ P(A)

Teorema N° 04 P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)→P(AB)

* Si se tiene tres eventos tenemos como resultado

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)

PROBABILIDAD CONDICIONAL:

P(A /B)=P(AB)P(B)

Donde: P(B) > 0

REGLA DE LA MULTIPLICACION:

P(A B) = P(A) . P(B/A)

Generalizando tenemos:

P(A B C) = P(A) . P(B/A) . P(C/A B)

EVENTOS INDEPENDIENTES:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

PARTICION DE UN ESPACIO MUESTRAL

Se denomina partición de un espacio muestral a un conjunto de eventos A1, A2,…, AK

no vacío mutuamente excluyentes y cuya unión es el espacio muestral

A2 A4

A1A3 A5………………………….. AK

PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

PROBABILIDAD TOTAL:

Si K eventos A1, A2,……, AK constituyen una partición del espacio muestral entonces para cualquier evento en el espacio muestral se tiene:

P(B) = P(A1) . P(B/A1) + P(A2) . P(B/A2) + ………. + P(AK) .P(B/AK)

P (B )=∑i=1

K

P ( Ai ) .P ( BA i

)

TEOREMA DE BAYES:

Si los K eventos A1, A2,……, AK constituyen una partición del espacio muestral para cualquier evento B del espacio muestral se tiene:

P( AiB )=P ( Ai ) . P( BA i )

P (B )

A1∩B..........................................AK∩B

Donde: P(B) > 0

Ω

B

A1 ………………… AK

VARIABLES ALEATORIAS

Se denomina variable aleatoria a una variable estadística cuantitativa definida en un espacio muestral las variables aleatorias se clasifican en variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

EJEMPLO

Ω = CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS

Interés número de caras

CCC 3

CCS CSC 2 SCC

SSC SCS 1 CSS

SSS O

1) VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.- Es aquella entre cuyos valores posibles no admite otros. Su rango es un conjunto finito o infinito numerable

FUNCION PROBABILIDADCondición:

f(x) > 0; ∀ x Є R

∑Xi∈ R

f ( x )=1

P (A )= ∑Xi∈ A

P [X=Xi ]=∑ f (Xi )

Representación tabular

X X1 X2 …….. Xk

P(x) P(X1) P(X2) …….. P(Xk)

Representación grafica

P(x)

X

FUNCION DE DISTRIBUCION.- La función de distribución o función acumulativa de una variable discreta se define en todos los números reales.

F ( x )=P [ x≤ x ]=∑k ≤ x

P [x ≤k ]=∑k ≤ x

f (x ); Para: -∞ ‹ x ‹ ∞

F(x): función acumulativa

2) VARABLE ALEATORIA CONTINUA

FUNCION DE DENSIDADCondición

f(x) ≥ 0 ∀ x Є R

∫−∞

∞

f ( x )=1

P (A )=P [X∈ A ]=∫A

f ( x )dx

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

FUNCION DE DISTRIBUCION.- La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continúa X cuya función de densidad es f(x) se define en todo el número real X por:

F ( x )=P [X ≤ X ]=∫−∞

X

f (t )dt; Para: -∞ ‹ x ‹ ∞

Gráficamente:

F(x) = P[X = x]

ESPERANZA Y VARIANZA

E ( x )=∑i=1

n

x iP (x i )=∫−∞

∞

xf ( x )dx

V ( x )=E (x2 ) . [E ( x ) ]2

Donde:

E (x2 )=∑i=1

n

x i2P (x i )=∫

−∞

∞

x2 f ( x )dx

EJEMPLOS APLICATIVOS DE PROBABILIDADES

INTERVALO DE CONFIANZAa. Intervalo de confianza para la media

Cuando se conoce la varianza poblacional

[−Z1−∝/2 . σ X√n

≤μ≤+Z1−∝/2. σ X

√n ] Cuando se desconoce la varianza poblacional pero conocemos Sx

2

[−t (1−∝/2 ;n−1). SX√n

≤μ≤+t(1−∝/2 ;n−1) . S X

√n ] Intervalo de confianza para la proporción

[P−Z1−∝ /2√ P (1−P )n

≤μ≤ P+Z1−∝ /2√ P(1−P)n ]

Donde: P=xn

EJEMPLOS DE INTERVALOS DE CONFIANZA

PRUEBA DE HIPOTESISSe denomina prueba de hipótesis estadístico a cualquier información o

conjetura que se hace a cerca de la distribución de una o más poblaciones. Esta puede referirse bien a la forma o tipo de distribución de probabilidad o al valor o valores de uno o más parámetros de la distribución conocida como forma

FORMULACION DE HIPOTESIS

HIPOTESIS NULA (H0).- Es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida a comprobación experimental, permitiendo seguir aceptando o rechazando dicha hipótesis alterna. Se acepta en caso que se rechace la hipótesis nula.

HIPOTESIS ALTERNA (H1):

ERROR TIPO I, ERROR TIPO II Y NIVEL DE SIGNIFICANCIA

Decisión/Hipótesis H0 verdadero H1 falso

Rechazar

H0

Error tipo I

Probabilidad: α

Decisión correcta

Probabilidad: 1−β

Aceptar

H1

Decisión correcta

Probabilidad: 1−α

Error tipo II

Probabilidad: β

ERROR DE TIPO I.- Se comete al tomar la decisión de rechazar la hipótesis nula cuando realmente es verdadera.

ERROR DE TIPO II.- Se comete al tomar la decisión de aceptar la hipótesis nula cuando realmente es falsa.

NIVEL DE SIGNIFICANCIA (α ).- Es la probabilidad de cometer el error de tipo

I

RA RA α 1−α RR∝/2 RR∝/2

C -C C Unilateral Bilateral

Donde:RA: Región aceptadaRR: Región de rechazoC: Punto critico

TIPOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS Prueba bilateral

H0: Q = Ǭ H1: Q ≠ Ǭ RA

1−α RR∝/2 RR∝/2

-C C Prueba unilateral

H0: Q ≤ ǬH1: Q ¿ Ǭ RA

α RR∝

C

H0: Q ≥ ǬH1: Q ¿ Ǭ RA

RR∝ α

-C

Pasos para una prueba de hipótesis:

I. Formular la hipótesis II. Fijar el nivel de significancia

III. Determinar el estadístico de prueba IV. Especificar la región critica V. Realizar los cálculos

VI. Tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nulaVII. Realizar la conclusión

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA

Cuando se conoce la varianza poblacional (estadístico de prueba)

Z= X−μσ x√n

Z(1-∝/2): Si la pruebe de hipótesis es bilateral.

Z(1-∝): Si la prueba de hipótesis es unilateral.

FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS

H0: μ=μ0H1: μ≠μ0 (Valor de la media poblacional)

RA 1−α

RR∝/2 RR∝/2

-Z(1-∝/2) Z(1-∝)

H0: μ≤μ0H1: μ>μ0 RA

1−α RR∝

Z(1-∝)

H0: μ≥μ0H1: μ<μ0 RA

RR∝ 1−α

-Z(1-∝/2)

Cuando se desconoce la varianza poblacional (Estadístico de prueba)

t=−μSx√n

t(1-∝/2; n-1): Si la pruebe de hipótesis es bilateral.

Z(1-∝; n-1): Si la prueba de hipótesis es unilateral.

FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS

H0: μ=μ0H1: μ≠μ0 (Valor de la media poblacional)

RA 1−α

RR∝/2 RR∝/2

-t(1-∝/2; n-1) t(1-∝/2; n-1)

H0: μ≤μ0H1: μ>μ0 RA

1−α RR∝

t(1-∝; n-1)

H0: μ≥μ0H1: μ<μ0 RA

RR∝ 1−α

- t(1-∝; n-1)

EJEMPLOS APLICATIVOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS

1) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1 000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?

a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto

Datos:n = 1000x = 25

Donde:x = ocurrenciasn = observaciones

= proporción de la muestra

= proporción propuestaSolución:a)

a = 0,01

H0 es aceptada, ya que zprueba (-0,93) es menor que ztabla (2,326), por lo que no es cierto que más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.

En Excel

b)

a = 0,01

H0 es rechazada, ya que Zprueba (1,13) es menor que Ztabla (2,326), por lo que es cierto que menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto.

2) Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen por debajo de las 170,000 unidades mensuales, se considera razón suficiente para lanzar una campaña publicitaria que active las ventas de esta marca. Para conocer la evolución de las ventas, el departamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta marca. A partir de estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media = 169.411,8 unidades., desviación estándar = 32.827,5 unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se distribuyen normalmente; con un nivel de significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos. ¿Se considerará oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria?

Datos:

n = 51

Solución:

H0: ( = 170000H1: ( < 170000

a = 0,05

Se rechaza Ho, porque zprueba (-0,12) es menor que ztabla (1,645), por lo tanto se acepta H1: ( < 170000, y se debe considerar oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria.En Excel

BIBLIOGRAFIA:MANUEL CÓRDOVA ZAMORA/Estadística Descriptiva e Inferencial,(PUCP)

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/ CursoEstadistica.htm

Apuntes de la Lic. SALDAÑA MIRANDA, Marcela Yvone

Apuntes de la clase del Lic. DE LA CRUZ MONZALVITE , Jorge Eduardo