Estad stica 1 Curso. Titulaciones de grado de la ETSI Minas Examen...

Estadıstica1er Curso. Titulaciones de grado de la ETSI Minas

Examen final de julio, bloque no 1. 10-07-2012

Apellidos y nombre: Grupo:

Instrucciones :

La duracion de esta prueba es de 50 minutos.

Las preguntas se deben responder con claridad, precision y brevedad en el espacio reser-vado para ello en la propia hoja de enunciados. Salvo indicacion contraria en el enunciadode la pregunta, los numeros reales se deben expresar con tres decimales.

Como material de apoyo para la realizacion de la prueba se podra utilizar unicamenteuna calculadora.

Los telefonos moviles deben estar apagados y guardados.

1. (0.75 puntos) Que probabilidad hay de acertar la maxima categorıa en el sorteo del eu-romillon si se hace una sola apuesta? (5 numeros acertados de 50 posibles y 2 numerosacertados de 11 posibles)

Solucion:

A = “acertar el sorteo”, A1 = “acertar la primera parte del sorteo”, A2 = “acertar lasegunda parte del sorteo”.

P (A) = P (A1)P (A2) =1(505

) · 1(112

) =5!

50 · 49 · 48 · 47 · 46· 2!

11 · 10= 8.58 · 10−9.

2. (0.5 puntos) Si dos sucesos A y B son excluyentes o incompatibles con probabilidades P (A)y P (B), ¿Cual es la probabilidad de su union?

Solucion:

P (A ∪B) = P (A) + P (B).

3. (0.75 puntos) Sean dos Va X e Y independientes, con varianzas V ar(X) y V ar(Y ). Lavarianza de 2X − 3Y + 1 es:

Solucion:

V ar(2X − 3Y + 1) = 22V ar(X) + (−3)2V ar(Y ) = 4V ar(X) + 9V ar(Y ).

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Examen final de julio, bloque no 1. – 10-07-2012 (cont.)

4. (0.75 puntos) Demostrar que V ar(X) = E(X2)− (E(X))2.

Solucion:

V ar(X) = E((X − E(X))2) = E(X2 + (E(X))2 − 2XE(X)) = E(X2)− (E(X))2.

5. (3.75 puntos) 5. Si una determinada Va X tiene como funcion de densidad:

f(x) =

C sin(x) si π/2 < x < π

0 en otro caso,

se pide:

(a) (0.75 puntos) Hallar C para que f sea una funcion de densidad.

Solucion:∫ ∞

−∞f(x)dx =

∫ π/2

−∞0dx+

∫ π

π/2C sin(x)dx+

∫ ∞

π0dx = −C[cos(x)]ππ/2 = C = 1.

(b) (0.75 puntos) Hallar su funcion de distribucion.

Solucion:

Si x < π/2 F (x) = 0,

Si π/2 ≤ x ≤ π F (x) =

∫ x

π/2sin(u)du = −[cos(u)]xπ/2 = − cos(x),

Si x > π F (x) = 1.

(c) (0.75 puntos) Hallar su esperanza.

Solucion:

E(X) =

∫ ∞

−∞xf(x)dx =

∫ π

π/2x sin(x)dx = −[x cos(x)]ππ/2 + [sin(x)]ππ/2 = π − 1.

(d) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que X tome valores menores que 2.

Solucion:

P (X < 2) =

∫ 2

−∞f(x)dx =

∫ 2

π/2sin(x)dx = −[cos(x)]2π/2 = − cos(2) + 0 ≈ 0.416.

Otra forma:

P (X < 2) = P (X ≤ 2) = F (2) = − cos(2) ≈ 0.416.

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(e) (0.75 puntos) Sabiendo que X es inferior a 2, calcular la probabilidad de que seainferior a 1.8.

Solucion:

P (X < 1.8|X < 2) =P (X < 1.8 ∩X < 2)

P (X < 2)=

P (X < 1.8)

P (X < 2)≈

∫ 1.8π/2 sin(x)dx

0.416≈ 0.546.

6. (2 puntos) En un control de calidad de una empresa farmaceutica se muestrearon al azar 50vacunas de un lote de 1000 unidades, obteniendose que 7 de ellas estaban contaminadas (C =“vacuna contaminada”; V = “vacuna valida”; C∗= “vacuna clasificada como contaminada”;V ∗ = “vacuna clasificada como valida”). Del test de calidad que se realiza para determinarla contaminacion de una vacuna, se sabe que tiene un 10% de falsos positivos y un 4% defalsos negativos. Se pide:

(a) (0.5 puntos) Calcular la probabilidad de que una vacuna tomada al azar del lote de1000 unidades este contaminada, suponiendo que la proporcion de vacunas contami-nadas en la muestra es representativa del lote completo.

Solucion:

P (C) =7

50= 0.14.

(b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que una vacuna tomada al azar del lote seaclasificada como contaminada

Solucion:

P (C∗) = P (C∗|C)P (C)+P (C∗|V )P (V ) = (1− 0.04)0.14+0.1(1− 0.14) = 0.2204.

(c) (0.75 puntos) Si la prueba ha clasificado una vacuna tomada al azar como valida,calcular la probabilidad de que salga a la calle estando realmente contaminada.

Solucion:

P (C|V ∗) =P (V ∗ ∩ C)

P (V ∗)=

P (V ∗|C)P (C)

1− P (C∗)=

0.04 · 0.141− 0.2204

≈ 0.00718.

7. (1.5 puntos) Se estima que en Madrid la temperatura media en el mes de julio sigue unadistribucion normal con media µ =26oC y desviacion tıpica σ =5oC. Se pide:

(a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que en el ano 2012 la temperatura media delmes de julio supere los 35oC.

Solucion:

P (X > 35) = P

(X − 26

5>

35− 26

5

)= P (U > 1.8) = 1−P (U ≤ 1.8) ≈ 0.03593.

(b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que la temperatura este dentro del intervalo(µ− 3σ, µ+ 3σ).

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Solucion:

P (µ−3σ < X < µ+3σ) = P (−3 < U < 3) = Φ(3)−Φ(−3) = 2Φ(3)−1 ≈ 0.9973.

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ESTADÍSTICA. 1ER CURSO. TITULACIONES DE GRADO DE LA ETSI MINAS

Examen final de junio, bloque nº 1 06-06-2012

Apellidos y nombre: Grupo: INSTRUCCIONES:

La duración de esta prueba es de 50 minutos.

Las preguntas se deben responder con claridad, precisión y brevedad en el espacio reservado para ello en la propia hoja de enunciado. Salvo indicación contraria en el enunciado de la pregunta, los números reales se deben expresar con tres decimales.

Como material de apoyo para la realización de la prueba se podrá utilizar únicamente una calculadora.

Los teléfonos móviles deben estar apagados y guardados.

1. (0.75 puntos) Dado un espacio muestral Ω infinito no numerable y acotado, se dice que P sigue una distribución al azar o equiprobable si la probabilidad de obtener un determinado suceso A es:

2. (0.75 puntos) Anualmente, el número de incendios forestales de superficie quemada

superior a 2000 hectáreas ocurridos en España viene dado por una Va con función de masa de Poisson,

( ) ...,2,1,0!

== − xx

exfxλλ

de parámetro λ = 5. Calcular la probabilidad de que en un año haya al menos dos incendios forestales de más de 2000 ha de superficie quemada.

3. (0.5 puntos) Dos sucesos incompatibles son necesariamente (rodear con un círculo):

a) Independientes. b) Dependientes. c) Complementarios. d) Idénticos.

2 1 0 1 1 0 1 1 50! 51! 1 5 0.9596

PA medAmedΩ

4. (0.75 puntos) Un dado de roll de diez caras tiene cuatro caras con el nº 1, tres caras con el nº 2, dos caras con el nº 3 y una única cara con el nº 4. Se lanza el dado dos veces. Calcular la probabilidad de que la suma de las dos tiradas sea igual a 5.

5. (0.75 puntos) En el experimento del ejercicio anterior, si se sabe que la primera tirada

ha salido un 2, calcular la probabilidad de que la suma sea mayor que 4.

6. (0.75 puntos) Sea una Va X con la función de densidad

( ) [ ][ ]

∉

∈+=

−

2,10

2,12

xsi

xsiBxAxxf

y sea su esperanza E(X)=1.6402. ¿Qué valor deben tomar A y B para que f sea una función de densidad de probabilidad?

+ "

#$ $

%12 + 1& + " %2 1

2& 1

+ "

#$ $

ln2 + " %83 13& 1.6402

Resolviendo el sistema resulta " 1 y 1.

, > 4|1ª2 , > 4,1ª21ª2 22,33 + 22,43

1ª2 0.3 × 0.2 + 0.3 × 0.10.3 0.3

1 410 0.4, 2 3

10 0.3, 3 210 0.2, 4 1

10 0.1 , 5 21,43 ∪ 24,13 ∪ 22,33 ∪ 23,23 21,43 + 24,13 + 22,33 + 23,23 0.4 × 0.1 + 0.1 × 0.4 + 0.3 × 0.2 + 0.2 × 0.3 0.2

7. (0.75 puntos) Enunciar brevemente los dos axiomas de la probabilidad.

8. Varios test de inteligencia sobre una determinada población dieron un cociente intelectual (CI) que sigue una ley normal con media 110 y desviación típica 20.

a) (1 punto) De acuerdo a los criterios diagnósticos de los trastornos mentales del DSM-IV-TR, determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga algún tipo de retraso mental (CI<70).

b) (1 punto) ¿Qué intervalo centrado en 110 contendría al 50% de la población?

110 6 < 89 < 110 + 6 %110 6 11020 < : < 110 + 6 110

20 & ;620 < : < 6

20< Φ; 620< Φ; 620< Φ; 620< >1 Φ; 620<?

2Φ; 620< 1 0.5

Φ; 620< 0.75 → 620 0.67 → 6 13.4

89 < 70 %89 11020 < 70 110

20 & : < 2 1 : < 2 1 Φ2 1 0.97725 0.02275

∪ B CB

1) Si B son excluyentes DB ∩ F ∅H:

2)Ω 1

9. Sea X la variable aleatoria del tiempo diario (horas) que pasa una persona viendo la televisión, cuyo modelo de distribución no se conoce, pero sí se conoce E(X)=2 y Var(X)=9.

a) (1 punto) Hallar la probabilidad de que al cabo de un año una persona haya visto la televisión durante más de 600 horas.

10. La Va X tiene densidad

( ) ( ) ( )( )

−∉

−∈=

πππππ,0

,21

xsi

xsixf

a) (1 punto) Hallar su función de distribución y su función de cuantiles.

I 0JK ≤ M

I N $

12M

12 +

2M JK ∈ PM, MQN

R

I 1JK M

I 12 +

2M S → M2S 1JKS ∈ P0,1Q

Función de distribución:

Función de cuantiles:

T CBUV

BW

XT CXB 365 × 2 730

T > 700 %T 730√1095 > 700 730

√1095 & : > 0.91 : < 0.91 0.81859

Supuestas las B independientes: Z6[T ∑Z6[B 365 × 3 1095 Por el teorema central del límite:

b) (1 punto) Calcular su esperanza y su varianza.

X #$ $

2M

R R

0

X #$ $

2M

R R

M 3

Z6[ X X M 3


Evaluacion continua, prueba no 1. Manana. 22-03-2012


Instrucciones :





1. (0.4 puntos) Si A y B no pueden suceder a la vez entonces P (AB) =

Solucion:

0

2. (0.4 puntos) Si A y B no pueden suceder a la vez entonces P (A | B) =

Solucion:

0

3. (0.4 puntos) Expresado en funcion de F (x), P (a < X ≤ b) =

Solucion:

F (b)− F (a)

4. (0.4 puntos) Si X es continua con densidad f (x) entonces c∫R f (x) dx =

Solucion:

c

5. (0.4 puntos) Si X es continua con densidad f (x) entonces E (g (X)) =

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Evaluacion continua, prueba no 1. Manana. – 22-03-2012 (cont.)

Solucion: ∫ ∞

−∞g(x)f(x)dx

6. (0.4 puntos) Si X es una variable cualquiera se define V ar (X) =

Solucion:

E((X − E(X))2)

7. (0.4 puntos) Si X es una variable cualquiera entonces V ar (a+ bX) =

Solucion:

b2V ar(X)

8. (0.4 puntos) Si Xi son cualesquiera con esperanzas E (Xi) = µi entonces E (∑

aiXi + c) =

Solucion: ∑aiµi + c

9. (0.4 puntos) Si X es cualquiera con E (X) = µ y V ar (X) = σ2 entonces V ar(X−µσ

)=

Solucion:

1

10. (0.4 puntos) Si Xi son independientes con esperanzas E (Xi) = µ y V ar (Xi) = σ2 y si nes grande entonces P (

∑ni=1Xi ≤ a) ≈

Solucion:

ϕ

(a− nµ

σ√n

)

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11. (2 puntos) En la seccion de pronostico meteorologico de un informativo de television el lo-cutor dice lo siguiente: “la probabilidad de que llueva el sabado es del 50% y la probabilidadde que llueva el domingo tambien es del 50% por lo tanto la probabilidad de que llueva elfin de semana es del 100%”. ¿Es correcta la afirmacion del locutor? Si no lo es, ¿Cual es laprobabilidad de que llueva en algun momento del fin de semana? Nota: se supondra que laproposicion “que llueva el fin de semana” es cierta si llueve el sabado o el domingo y quelos sucesos llover el domingo y llover el sabado son independientes.

Solucion:

Si se denota: A = “que llueva el sabado” y B = “que llueva el domingo” entoncesA ∪B = “que llueva el fin de semana”. En consecuencia:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (AB) = 0.5 + 0.5− 0.25 = 0.75.

Por lo tanto la afirmacion del locutor es incorrecta, siendo la probabilidad de que lluevaen algun momento del fin de semana igual a 0.75.

12. (2 puntos) Sea X una variable aleatoria discreta y sea f la funcion definida por

f(x) =

k

2|x| si x ∈ −2,−1, 1, 20 si x /∈ −2,−1, 1, 2

, k ∈ lR.

(a) (0.5 puntos) ¿Que valor debe tomar k para que f sea la funcion de masa de X?

Solucion:

Supongase que se denota por x1 = −2, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 2 a los cuatro puntosdel conjunto S = −2,−1, 1, 2 en los que f toma valores no nulos. Entonces:

4∑i=1

f(xi) =3

2k = 1 ⇒ k =

2

3≈ 0.667.

(b) (1.5 puntos) Si F es la funcion de distribucion de X, ¿cuanto vale F (0)? Dibujese unagrafica de la funcion F en el intervalo [−3, 3].

Solucion:

F (0) = P (X ≤ 0) = f(−2) + f(−1) =3

4k =

1

2= 0.500.

F(x)

x−2 −1

1/6

−3 0 1

5/61

1/2

2 3

Figura 1: Dibujo de la funcion F en el intervalo [−3, 3]

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13. (2 puntos) Un oleoducto se forma uniendo tramos de tuberıa cuya longitud Xi varıa aleato-riamente segun una distribucion desconocida con E(Xi)=5m y

√V ar(Xi)=0.5m. Calcule,

aproximadamente, la probabilidad de que uniendo 1000 tramos de manera independiente secomplete una longitud L =

∑1000i=1 Xi superior a 5010m.

Solucion:

E(Xi) = 5m,√

Var(Xi) = 0.5m. Aplicando el teorema central del lımite, L =∑1000

i=1 Xi

se puede aproximar mediante una variable aleatoria normal con E(L) = 1000 × 5 =5000m y

√Var(L) =

√1000× 0.5 ≈ 15.811m. Entonces:

P (L > 5010) ≈ P (U > 0.63246) = 1− Φ(0.63246) ≈ 0.264.

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Evaluacion continua, prueba no 1. Tarde. 22-03-2012


Instrucciones :





1. (0.4 puntos) Si A y B no pueden suceder a la vez entonces P (A ∪B) =

Solucion:

P (A) + P (B)

2. (0.4 puntos) Si A y B pueden suceder a la vez entonces P (A ∪B) =

Solucion:

P (A) + P (B)− P (AB)

3. (0.4 puntos) Si A y B son independientes entonces, expresado en funcion de P (A) y P (B),P (AcB) =

Solucion:

(1− P (A))P (B)

4. (0.4 puntos) La funcion de distribucion de X se define F (x) =

Solucion:

P (X ≤ x)

5. (0.4 puntos) Si X es continua, expresado en funcion de la densidad f (x), P (a < X < b) =

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Evaluacion continua, prueba no 1. Tarde. – 22-03-2012 (cont.)

Solucion: ∫ b

af(x)dx

6. (0.4 puntos) Si X es continua con densidad f (x) se define E (X) =

Solucion: ∫ ∞

−∞xf(x)dx

7. (0.4 puntos) Si X tiene E (X) = µ y V ar (X) = σ2 entonces E(X2)=

Solucion:

σ2 + µ2

8. (0.4 puntos) Si X es una variable cualquiera entonces E (a+ bX) =

Solucion:

a+ bE(X)

9. (0.4 puntos) SiXi son independientes con varianzas V ar (Xi) = σ2i entonces V ar (

∑aiXi + c) =

Solucion: ∑a2iσ

2i

10. (0.4 puntos) Si X es cualquiera con E (X) = µ y V ar (X) = σ2 entonces E(X−µσ

)=

Solucion:

0

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11. (2 puntos) Se desea estudiar la validez de una nueva prueba clınica para la deteccion decierta enfermedad, cuya prevalencia en la poblacion bajo estudio es de un 10%. La pruebapuede dar positivo o negativo. En el primer caso el individuo se clasifica como enfermo(E∗) y en el segundo como sano (S∗). Para la prueba se conocen los porcentajes de falsospositivos (la prueba da positivo estando el individuo sano) y de falsos negativos (la pruebada negativo estando el individuo enfermo), que resultan ser 4% y 15% respectivamente. Sepide calcular los valores predictivos positivo (probabilidad de que un individuo este enfermo(E) si la prueba ha dado positivo) y negativo (probabilidad de que el individuo este sano(S) si la prueba ha dado negativo) de la prueba.

Solucion:

Prevalencia = P (E) = 0.1.Falso positivo = P (E∗|S) = 0.04.Falso negativo = P (S∗|E) = 0.15.

Valor predictivo positivo:

P (E|E∗) =P (E∗|E)P (E)

P (E∗|E)P (E) + P (E∗|S)P (S)=

(1− 0.15)0.1

(1− 0.15)0.1 + 0.04(1− 0.1)≈ 0.702.

Valor predictivo negativo:

P (S|S∗) =P (S∗|S)P (S)

P (S∗|S)P (S) + P (S∗|E)P (E)=

(1− 0.04)(1− 0.1

(1− 0.04)(1− 0.1) + 0.15(0.1)≈ 0.983.

12. (2 puntos) Dada la funcion f : R → R tal que f(x) = k/x si x ∈ (1, 2) y f(x) = 0 six /∈ (1, 2), se pide contestar a las dos preguntas siguientes.

(a) (1 punto) Determinar el valor de k para que f sea una funcion de densidad de proba-bilidad.

Solucion: ∫ 2

1

k

xdx = k[lnx]21 = k ln 2 = 1 ⇒ k =

1

ln 2≈ 1.443.

(b) (1 punto) Si X es una variable aleatoria cuya funcion de densidad es f , determinar elcuantil de orden 0.95 (x0.95, el numero real tal que F (x0.95) = 0.95).

Solucion:

F (x0.95) = P (X ≤ x0.95) =1

ln 2

∫ x0.95

1

1

udu =

1

ln 2lnx0.95 = 0.95 ⇒

x0.95 = 20.95 ≈ 1.932.

13. (2 puntos) El volumen de ventas diarias de una empresa (expresado en miles de euros)es una variable aleatoria X con E(X) = 100 Ke y Var(X) = 4.1(Ke)2. Determinar,aproximadamente, la probabilidad de que a lo largo de un periodo de 100 dıas, el volumen deventas supere 10005Ke, suponiendo que el volumen de ventas de cada dıa es independientedel de los restantes.

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Solucion:

Xi = volumen de ventas diarias de una empresa. E(Xi) = 100 Ke, Var(Xi) = 4.1(Ke)2.Z = Volumen de ventas en un periodo de 100 dıas. Aplicando el teorema central dellımite, Z =

∑100i=1Xi se puede aproximar mediante una variable aleatoria normal con

E(Z) = 100× 100 = 10000 Ke y√

Var(Z) =√100×

√4.1 ≈ 20.249 Ke. Entonces:

P (Z > 10005) ≈ P (U > 0.247) = 1− Φ(0.247) ≈ 0.401.

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Instrucciones :





1. (0.5 puntos) Si (X1, X2, ..., Xn) es una muestra aleatoria de una Va X con E (X) = µ yV ar (X) = σ2, demuestre que V ar

(X)= σ2/n

Solucion:

Capıtulo 5, seccion 5.3

2. (0.5 puntos) Si X tiene densidad exponencial de parametro λ demuestre que X es insesgadopara 1/λ

Solucion:

Se sigue de que E (X) = 1/λ (vea el formulario) y E(X)= E (X).

3. (0.5 puntos) (cont.) ¿Cuanto vale su varianza?

Solucion:

V ar(X)=

1

nλ2

ya que

V ar(X)=

V ar (X)

n

y (vea el formulario)

V ar (X) =1

λ2

4. (1.5 puntos) La Va X tiene densidad

f (x) =

λ exp (−λ (x− θ)) si x > θ

0 si x ≤ θ

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para la cual es

E (X) = θ +1

λ

V ar (X) =1

λ2

Estime los parametros λ y θ por el metodo de los momentos y calcule las estimaciones conla muestra (1, 7, 4).(con 1 decimal)

Solucion:

V ar (X) =1

λ2

λ =1√

V ar (X)=

1√E (X2)− (E (X))2

λ =1√

1n

∑X2

i −(1n

∑Xi

)2θ = E (X)− 1

λ

θ =1

n

∑Xi −

√1

n

∑X2

i −(1

n

∑Xi

)2

Con la muestra (1, 7, 4) es

1

n

∑xi = (1 + 7 + 4) /3 = 4

1

n

∑x2i =

(12 + 72 + 42

)/3 = 22

y resultan las estimaciones

λ =1√

22− 42≈ 0.4

θ = 4−√

22− 42 ≈ 1.6

5. (0.5 puntos) T1 y T2 son estimadores insesgados de la magnitud µ. Compruebe que el esti-mador combinado T = αT1 + (1− α)T2 es tambien insesgado.

Solucion:

E (T1) = E (T2) = µ pues son insesgados. Por su parte (esperanza de una combinacionlineal) E (T ) = αE (T1) + (1− α)E (T2) y resulta E (T ) = αµ+ (1− α)µ = µ

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6. (1 punto) (cont.) Los estimadores tienen distinta precision: V ar (T1) = 1 y V ar (T2) = 2 yson independientes. Halle el valor del peso α que hace mınima V ar (T ) y calcule dicho valormınimo.

Solucion:

Varianza de una combinacion lineal de Vas independientes:

V ar (T ) = α2V ar (T1) + (1− α)2 V ar (T2)

= α2 + 2 (1− α)2

que es una funcion de α continua y diferenciable (parabola positiva). Para hallar el αque la hace mınima

d

dαV ar (T ) = α− 2 (1− α) = 0 → α = 2/3

y el valor mınimo es

V ar (T ) =

(2

3

)2

+ 2

(1

3

)2

=6

9=

2

3

7. (0.5 puntos) (cont.) Si T1 es N (µ, 1) y T2 es N(µ,

√2), y son independientes, ¿cual es la

distribucion del estimador T anterior (el de varianza mınima)?

Solucion:

T (combinacion lineal de Vas normales independientes) es N(µ,√

23

).

8. (2 puntos) (cont.) Construya un intervalo de confianza 1−α para µ. Calculelo si se disponede dos medidas particulares t1 = 10 y t2 = 8, con 1− α = 0.95.

Solucion:

ComoT − µ√

2/3∼ N (0, 1)

es

P

(−u1−α/2 <

T − µ√2/3

< u1−α/2

)= 1− α

y despejando µ

P

(T − u1−α/2

√2

3< µ < T + u1−α/2

√2

3

)= 1− α

La estimacion de µ es

t =2

3× 10 +

1

3× 8 ≈ 9.3

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y el error

1− α = 0.95

u1−α/2 = u0.975 = 1.96

ε = u1−α/2

√2

3= 1.96×

√2

3= 1.6

9. (1.5 puntos) La resistencia a la compresion (en Nmm−2), en probetas de hormigon de 28dıas de curacion se modeliza como una variable aleatoria X ∼ N (µ, σ). Con una muestrade 30 probetas de X se ha obtenido

∑xi = 976.5 y

∑x2i = 32021.

Estime un lımite x tal que P (X > x) ≥ 0.95 con una confianza del 95% (es decir, al menosel 95% del hormigon colocado en obra posee, a los 28 dıas, una resistencia igual o mayorque x con una confianza del 95%) (con 2 decimales).

Solucion:

El lımite inferior buscado (de tolerancia) es de la forma x = x− k × s donde k = 2.220en la tabla VI.

x =976.5

30y

s =

√√√√ 1

n− 1

(n∑

i=1

X2i − 1

n

(∑Xi

)2)=

√1

29

(32021− 1

30× 976.52

)= 2.852252588

x− k × s =976.5

30− 2.220× 2.852252588 ≈ 26.22 Nmm−2

10. (1.5 puntos) Para estimar la proporcion p de piezas defectuosas en una linea de produccionse examina un lote de 1000 resultando 10 defectuosas. Calcule un intervalo aproximado parap de confianza 95%.(redondeado a 3 decimales).

Solucion:

El intervalo es (seccion 6.4 del Capıtulo 6)

p ∈

(x± u1−α/2

√x (1− x)

n

)

1− α = 0.95

u1−α/2 = u0.975 = 1.96

x =10

1000= 0.01

ε = 1.96×√

0.01× 0.99

1000≈ 6.1× 10−3

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y el intervalo resultap ∈ (0.004, 0.016)

con una confianza del 95%.

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Examen final de junio, bloque no 2. 06-06-2012


Instrucciones :





Nota: En las cuestiones 1 a 4 (X1, X2, ..., Xn) es una muestra aleatoria de una Va X conE (X) = µ y V ar (X) = σ2.

1. (0.5 puntos) ¿Cuanto vale V ar(X)?

Solucion:

σ2

n

2. (0.5 puntos) ¿Cuanto vale E((

X)2)

?

Solucion:

E((

X)2)

= V ar(X)+(E(X))2

=σ2

n+ µ2

3. (0.5 puntos) ¿Cuanto vale E(

1n

∑(Xi −X

)2)?

Solucion:n− 1

nσ2

4. (1.5 puntos) A partir de la identidad

(Xi − µ) =(Xi −X

)+(X − µ

)demuestre que ∑

(Xi − µ)2 =∑(

Xi −X)2

+ n(X − µ

)2

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Examen final de junio, bloque no 2. – 06-06-2012 (cont.)

Solucion:

Elevando al cuadrado:

(Xi − µ)2 =(Xi −X

)2+(X − µ

)2+ 2

(Xi −X

) (X − µ

)Sumando:∑

(Xi − µ)2 =∑(

Xi −X)2

+∑(

X − µ)2

+ 2∑(

Xi −X) (

X − µ)

Pero∑(Xi −X

) (X − µ

)=(X − µ

)∑(Xi −X

)=(X − µ

) (∑Xi − nX

)= 0

y resulta lo propuesto.

5. (0.5 puntos) Si T es un estadıstico tal que E (T ) = 2θ+1 forme a partir de el un estimadorinsesgado para θ

Solucion:T − 1

2

6. (0.5 puntos) Si X ∼ N (µ, σ) y n = 20 halle el numero a

P

(−a <

X − µ

S/√n

< a

)= 0.95

Solucion:

La distribucion de X−µS/

√nes Student(19) ası que a = t0.975 (19) = 2.0930

7. (0.5 puntos) (cont.) Si x = 10 y s = 0.1, de un intervalo para µ

Solucion:

Despejando µ queda

P

(X − a

S√n< µ < X + a

S√n

)= 0.95

y sustituyendo

µ ∈(10− 2.0930× 0.1√

20, 10 + 2.0930× 0.1√

20

)= (9.953, 10.047)


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8. (0.5 puntos) Si X ∼ N (µ, σ) y n = 20 halle el numero a

P

((n− 1)S2

σ2< a

)= 0.95

Solucion:

La distribucion de (n−1)S2

σ2 es ji-cuadrado(19) ası que a = χ20.95 (19) = 30.1435

9. (0.5 puntos) (cont.) Si x = 10 y s = 0.1 de un lımite inferior para σ

Solucion:

Despejando σ queda

P

(S

√n− 1

a< σ

)= 0.95

y sustituyendo

σ > 0.1×√

19

30.1435= 0.0794


10. (0.5 puntos) A partir de una muestra (x1, x2, .., xn) de una Va X con funcion de densidad(de Pareto)

f (x) =a

xa+1x > 1

cuya esperanza es

E (X) =a

a− 1a > 1

hallar la estimacion de a por el metodo de los momentos.

Solucion:

Estimando E (X) por x y denotando a la estimacion de a

x =a

a− 1→ a =

x

x− 1

11. (1.5 puntos) (cont.) Hallar la estimacion de a por el metodo de maxima verosimilitud.

Solucion:

La funcion de verosimilitud (densidad de probabilidad de la muestra como funcion dea) es

L (a) =∏

f (xi) =∏ a

xa+1i

= an∏ 1

xa+1i

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y hay que hallar el a que la hace maxima. Es mas comodo maximizar lnL (a)

lnL (a) = n ln a− (a+ 1)∑

lnxi

derivando e igualando a cero

d lnL (a)

da=

n

a−∑

lnxi = 0 → a =n∑lnxi

que corresponde a un maximo pues

d2 lnL (a)

da2= − n

a2< 0

12. (0.5 puntos) (cont.) Hallar la estimacion de E (X) por el metodo de los momentos.

Solucion:

La estimacion es x

13. (0.5 puntos) (cont.) Hallar la estimacion de E (X) por el metodo de maxima verosimilitud.

Solucion:

Por la propiedad de invariacion la estimacion es

a

a− 1

donde a es la estimacion de maxima verosimilitud de a.

14. (1.5 puntos) (cont.) Calcular las estimaciones anteriores con la muestra (1.11, 1.47, 1.48,1.49, 1.56, 1.05, 13.38, 1.83, 4.51, 1.20).

Solucion:

La estimacion de E (X) por el metodo de los momentos es

x =1.11 + 1.47 + 1.48 + 1.49 + 1.56 + 1.05 + 13.38 + 1.83 + 4.51 + 1.20

10= 2.908

La estimacion de a por el metodo de los momentos es

a =x

x− 1=

2.908

2.908− 1= 1.5241

La estimacion de a por el metodo de maxima verosimilitud es

a =n∑lnxi

=10

6.6606= 1.5014

La estimacion de E (X) por el metodo de maxima verosimilitud es

a

a− 1=

1.5014

1.5014− 1= 2.9944

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Instrucciones :





1. (0.5 puntos) Demuestre que para una muestra aleatoria de tamano n, V ar(X)= V ar(X)

n .

Solucion:

V ar(X)= V ar

(1

n

n∑i=1

Xi

)=

1

n2

n∑i=1

V ar(Xi) =1

nV ar(X).

2. (0.5 puntos) Dados dos estimadores insesgados, T1 y T2, de un cierto parametro θ y talesque V ar(T1) > V ar(T2). ¿Cual de los dos tiene un error cuadratico medio mas pequeno?,¿cuanto vale?

Solucion:

T2, V ar(T2).

3. (0.5 puntos) Un estimador T converge en probabilidad a θ si se cumple:

Solucion:

1) lımn→∞

E(T ) = θ, 2) lımn→∞

V ar(T ) = 0, n = tamano de la muestra aleatoria.

4. (0.5 puntos) Si la estimacion de Maxima Verosimilitud de un cierto parametro p es p, ¿cuales la estimacion de Maxima Verosimilitud de p2 + 3p?

Solucion:

p2 + 3p.

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5. (0.5 puntos) Dada una muestra de n elementos, ¿un intervalo de confianza del 99% tienemayor o menor longitud que uno del 95%?

Solucion:

Mayor.

6. (0.5 puntos) Si deseamos estimar un intervalo de confianza para la media de una distribu-cion normal con σ desconocida, ¿debemos usar la distribucion de Student o la Ji-cuadrado?

Solucion:

La de Student.

7. (0.5 puntos) Si [a, b] es un intervalo de confianza 1−α para un parametro θ de una variablealeatoria X, ¿que relacion hay entre [a, b] y θ?

Solucion:

θ ∈ [a, b] con confianza 1− α o (equivalente) P (A < θ < B) = 1− α

A,B : estadısticos cuyas realizaciones son, respectivamente, a y b.

8. (1.5 puntos) Una variable aleatoria X tiene una funcion de distribucion F (x) = 1 − e−λx

(x > 0). El parametro λ es desconocido aunque se sabe que solo puede valer 0.75 o 2.Una muestra de tamano 1 ha resultado en un valor comprendido entre 1.7 y 2.6. Estime elparametro usando el principio de maxima verosimilitud.

Solucion:

La funcion de verosimilitud es:

L(λ|x) = P (1.7 < X < 2.6) = F (2.6)− F (1.7) = e−1.7λ − e−2.6λ.

Por otro lado L(0.75|x) = e−1.7(0.75)− e−2.6(0.75) ≈ 0.137 y L(2|x) = e−1.7(2)− e−2.6(2) ≈0.028, de donde se deduce que L(0.75|x) > L(2|x) y la estimacion del parametro esλ = 0.75

9. (2 puntos) Sea una Va X de Poisson de parametro λ.

(a) (1.5 puntos) Halle el estimador MV de λ con una muestra de tamano n.

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Solucion:

L(λ|x) =∏(

e−λλxi

xi!

)= e−nλλ

∑xi

(∏ 1

xi!

)lnL(λ|x) = −nλ+

∑xi lnλ+ ln

(∏ 1

xi!

)d lnL

dλ(λ|x) = −n+

nx

λ= 0

λ = x

que corresponde a un maximo pues

d2 lnL

dλ2(λ|x) = −nx

λ2< 0 ∀λ

El estimador de maxima verosimilitud es X.

(b) (0.5 puntos) Halle el estimador de MV de 1λ .

Solucion:

Si el estimador de MV de λ es X entonces, aplicando el principio de invariacion,el de 1/λ es 1/X.

10. (3 puntos) En un examen, evaluado de 0 a 10 puntos, han tomado parte todos los alumnosde una clase. Se sabe que la distribucion de las calificaciones del examen sigue una normalN(µ, σ) con parametros µ y σ desconocidos. El profesor corrige los 10 primeros examenesy comprueba que obtienen el siguiente resultado: (3.5, 4, 6.5, 3, 7, 1.5, 4, 4.5, 9, 5). Se pide:

(a) (1 punto) Estimar la nota media, µ, usando la media muestral, y la desviacion tıpica,σ, usando la desviacion tıpica muestral.

Solucion:

x =

∑10i=1 xi10

= 4.8

s =

[∑10i=1(xi − x)2

9

] 12

=

19

10∑i=1

x2i −1

10

(10∑i=1

xi

)2 1

2

≈ 2.176

(b) (1 punto) Determinar intervalos de confianza del 95% para la nota media y la desvia-cion tıpica.

Solucion:

µ ∈(x− t0.975(9)

s√10

, x+ t0.975(9)s√10

)=

(4.8− 2.2622

2.1756√10

, 4.8 + 2.26222.1756√

10

)≈ (3.24, 6.36)

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σ ∈

(s

√n− 1

χ21−α/2

, s

√n− 1

χ2α/2

)=

(2.1756

√9

χ20.975(9)

, 2. 175 6

√9

χ20.025(9)

)

=

(2.175 6

√9

19.0228, 2.175 6

√9

2.7004

)≈ (1.497, 3.972)

(c) (1 punto) Determinar un intervalo de tolerancia para la calificacion del examen decontenido 0.95 y confianza tambien 0.95. Interpretar el resultado.

Solucion:

p = 0.95, 1− α = 0.95, n = 10. Entonces k = 3.393. El intervalo de tolerancia esentonces

(x− ks, x+ ks) = (4.8− 3.393 · 2.1756, 4.8 + 3.393 · 2.1756)≈ (−2.582, 12.182)

El resultado nos dirıa que con una confianza del 95%, el 95% de los alumnostendran una nota entre −2.58 y 12.18. Pero estos lımites sobrepasan las notasmaxima y mınima posibles y, por tanto, no obtenemos una informacion relevante.La muestra no aporta ninguna informacion adicional sobre algo que ya sabıamossin necesidad de corregir ningun examen: mas del 95% (de hecho el 100%) de lasnotas estan en [0, 10] y por lo tanto en [−2.58, 12.18].

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Instrucciones :





1. (0.5 puntos) Una muestra aleatoria simple de tamano n = 5 de una variable aleatoria Xes:

Solucion:

X = (X1, X2, X3, X4, X5) ,

donde las Xi son identicas a X e independientes.

2. (0.5 puntos) Demuestre que E(X) = E(X).

Solucion:

E(X) = E

(1

n

n∑i=1

Xi

)=

1

n

n∑i=1

E(Xi) =1

n

n∑i=1

E(X) =n

nE(X) = E(X).

3. (0.5 puntos) Un estimador T es insesgado para el parametro θ si E(T − θ) =

Solucion:

0.

4. (0.5 puntos) Una cierta distribucion de probabilidad contiene tres parametros. Tomamosuna muestra de n elementos y queremos estimar dichos parametros en funcion de los re-sultados de la muestra. Para ello usamos el metodo de los momentos. ¿Cuantos momentosdebemos calcular?

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Solucion:

Tres.

5. (0.5 puntos) Si deseamos estimar un intervalo de confianza para la desviacion tıpica de unadistribucion normal, ¿debemos usar la distribucion de Student o la Ji-cuadrado?

Solucion:

La Ji-cuadrado.

6. (0.5 puntos) ¿Que tamano de muestra se necesita para estimar, con confianza 0.95, la mediade una variable aleatoria normal de σ = 0.2 con un error menor que 0.01?

Solucion:

n =(u0.975σ

ε

)2=

(1.96(0.2)

0.01

)2

≈ 1536.6 ⇒ n = 1537.

7. (0.5 puntos) Si [a, b] es un intervalo de tolerancia con contenido p y confianza 1 − α paraX, ¿que relacion hay entre [a, b] y X?

Solucion:

P (a < X < b) ≥ p con confianza 1−α o (equivalente) P (P (A < X < B) ≥ p) = 1−α.

A,B : estadısticos cuyas realizaciones son, respectivamente, a y b.

8. (1.5 puntos) Una variable aleatoria X tiene funcion de masa de Poisson. El parametro dela distribucion, λ, es desconocido, aunque se sabe que solo puede ser igual a 2 o 3. Unamuestra de tamano 2 de X ha resultado x = (1, 3). Estime λ usando el principio de maximaverosimilitud.

Solucion:

La funcion de verosimilitud es:

L(λ|x) = e−λλx1

x1!e−λλ

x2

x2!= e−2λλ

4

6.

Por otro lado L(2|x) = 24

6 e−2(2) ≈ 0.049 y L(3|x) = 34

6 e−2(3) ≈ 0.033, de donde se

deduce que L(2|x) > L(3|x) y la estimacion del parametro es λ = 2.

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9. (2 puntos) La variable X tiene una funcion de densidad f (x) = xσ2 e

(− x2

2σ2

)x > 0 (de

Rayleigh) y su esperanza es E (X) = σ√

π2 . Se pide:

(a) (1.5 puntos) Hallar la estimacion de maxima verosimilitud de σ con una muestra(x1, x2, ..., xn) .

Solucion:

L (σ|x) =∏

f (xi) =∏ xi

σ2exp

(− x2i2σ2

)=

1

σ2nexp

(−∑

x2i2σ2

)∏xi

lnL (σ|x) = −2n lnσ −∑

x2i2σ2

+∑

lnxi

igualando a cero la derivada

d

dσlnL (σ|x) = −2n

σ+

∑x2i

σ3= 0 → σ =

√1

2n

∑x2i

la solucion es

σ =

√1

2n

∑x2i

que corresponde a un maximo pues(d2

dσ2lnL (σ|x)

)= − 8n2∑

x2i< 0

(b) (0.5 puntos) Hallar la estimacion de maxima verosimilitud de E (X)

Solucion:

La estimacionde MV de E (X) es σ√

π2 .

10. (3 puntos) La resistencia a la rotura de cierto tipo de cables de acero, expresada en Kp,se supone que es una VA X ∼ N(µ, σ). Una muestra de 6 cables ha dado los valores(533, 538, 552, 539, 564, 541). Se pide:

(a) (1 punto) Estimar la resistencia media, µ, usando la media muestral, y la desviaciontıpica, σ, usando la desviacion tıpica muestral.

Solucion:

x =

∑6i=1 xi6

= 544.5 Kp

s =

[1

5

(6∑

i=1

(xi − x)2

)] 12

=

[1

5

(6∑

i=1

x2i − 6x2

)] 12

=

[1

5(1779535− 1778881.5)

] 12

≈ 11.432 Kp

(b) (1 punto) Construir intervalos del 95% para la resistencia media y la desviacion tıpica.

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Solucion:

El intervalo del 95% para µ es x ± t0.975s/√n donde t0.975(5) = 2.5706 y resulta

µ ∈ (532.502, 556.498) Kp.

El intervalo del 95% para σ es

(s√

n−1χ21−α/2

, s√

n−1χ2α/2

)donde χ2

0.975(5) = 12.8325 y

χ20.025(5) = 0.8312 y resulta σ ∈ (7.136, 28.039) Kp.

(c) (1 punto) Estimar con una confianza del 99% la tension que pueden soportar el 95%de los cables, es decir, el lımite inferior de tolerancia para la resistencia.

Solucion:

Para hallar el lımite inferior de tolerancia con 1− α = 0.99, p = 0.95 y n = 6, enla tabla V se lee k = 5.406 y el lımite inferior es

xL = 544.5− 5.406× 11.432 = 482.696

es decir, con una confianza del 99%

P (X > 482) ≥ 0.95

o, lo que es lo mismo, el 95% de los cables tienen una resistencia mayor que 482Kp.

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Instrucciones :





1. (0.75 puntos) Suponga que b0+b1x es la recta de mınimos cuadrados que ajusta la muestra(xi, yi), i = 1, 2, ..., n. Si yi = b0 + b1xi, demuestre que

∑ni=1(yi − yi) = 0.

Solucion:

Si b0 y b1 son los coeficientes de la recta de mınimos cuadrados se debe verificar:

∂q

∂b0(b0, b1) =

n∑i=1

(yi − yi) = 0

En donde q(b0, b1) =∑n

i=1(yi − (b0 + b1xi))2.

2. (0.75 puntos) Si en una muestra (xi, yi), i = 1, 2, ..., n se verifica∑n

i=1(xi − x)2 = 0,¿como estan situados en el plano los puntos de la muestra?

Solucion:

Estan alineados segun una recta vertical.

3. (0.75 puntos) En la ecuacion XtXb = Xty, ¿Cual es el vector Xty si se desea ajustar laparabola y = b0 + b1x+ b2x

2 a los datos (xi, yi) = (1, 2), (3, 3), (5, 2), (2, 8)?

Solucion:

Xty =

1537111

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4. (0.5 puntos) ¿Cuales son los valores posibles de r (coeficiente de correlacion lineal)?

Solucion:

r ∈ [−1, 1]

5. (0.75 puntos) Suponga que b0+b1x es la recta de mınimos cuadrados que ajusta la muestra(xi, yi), i = 1, 2, ..., n. Si yi = b0+b1xi, ¿cual es la relacion entre

∑ni=1(yi−y)2,

∑ni=1(yi−

y)2 y∑n

i=1(yi − yi)2.

Solucion: ∑(yi − y)2 =

∑(yi − yi)

2 +∑

(yi − y)2

6. (1.5 puntos) En un ajuste por mınimos cuadrados se utiliza una muestra de tamano n = 20.Sabiendo que r = 0.9, b1 = 0.5 y

∑ni=1(xi−x)2 = 40, halle la cota de error de la estimacion

de µ(x) = β0 + β1x en x = x con una confianza del 99%. Utilice cuatro decimales en loscalculos.

Solucion:

ε = t1−α2s

√1

n+

(x− x)2∑(xi − x)2

= t1−α2s

√1

n= 2.8784 · 0.3610 ·

√1

20= 0.2324.

Donde:

s2 =1

18SSres =

1

18

(1

r2− 1

)SSex =

1

18· 0.2346 · 0.52 · 40 = 0.1303, s = 0.3610.

7. (3.5 puntos) Se realiza un estudio de mercado del precio de la vivienda en una cierta zona.Para ello, se anotan los precios de las viviendas en venta y su superficie. El resultado es lasiguiente tabla:

Precio (miles de euros) 102 123 161 79 96 150 53

Superficie (metros cuadrados) 50 60 80 40 47 75 25

(a) (1.5 puntos) Ajuste el modelo lineal Y (x) = β0 + β1x + U a los datos de la muestra(siendo x la superficie e Y(x) el precio), estimando β0 y β1 por el metodo de mınimoscuadrados. Calcule el coeficiente de correlacion del ajuste y estime la desviacion tıpicade Y (x). Utilice cuatro cifras decimales en los calculos.

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Solucion:

x = 53.8571, y = 109.1429,∑

x2i = 22559,∑

y2i = 92220,∑

xiyi = 45607.∑(xi−x)2 =

∑x2i −nx2 = 2254.8571,

∑(yi−y)2 =

∑y2i −ny2 = 8834.8571∑

(xi − x)(yi − y) =∑

xiyi − nxy = 4460.1429.

b1 =(xi − x)(yi − y)∑

(xi − x)2=

4460.1429

2254.8571= 1.9780.

b0 = y − b1x = 2.6126.

s =

√∑(yi − y)2 − b21

∑(xi − x)2

n− 2

=

√8834.8571− 1.97802 · 2254.8571

5= 1.5978.

r =

∑(xi − x)(yi − y)√∑

(xi − x)2∑

(yi − y)2=

4460.1429√8834.8571 · 2254.8571

= 0.9993.

(b) (1 punto) Suponiendo un modelo normal, construya un intervalo de confianza del 95%para el precio de una vivienda de 85 metros cuadrados.

Solucion:

El intervalo lo delimitan

(b0 + b1x)± t1−α2s

√1

n+

(x− x)2∑(xi − x)2

= 2.6126 + 1.9780 · 85± 2.5706 · 1.5978√

1

7+

(85− 53.8571)2

2254.8571= 170.7439± 3.1091 miles de euros.

donde hemos usado t1−α2(n− 2) = t0.975(5) = 2.5706.

(c) (1 punto) Suponiendo un modelo normal, construya un intervalo de confianza del 95%para el precio por metro cuadrado de las viviendas situadas en la zona estudiada.

Solucion:


1.9780± t1−α2s

√1∑

(xi − x)2= 10.2840± 2.5706 · 1.5978

√1

2254.8571

= 1.9780± 0.0865 miles de euros/m2

8. (1.5 puntos) Un serie de medidas para determinar la masa del boson de Higgs (medida enGeV/c2, es decir Gigaelectron-voltios partido por la velocidad de la luz al cuadrado) arrojalos siguientes valores:

x = (112.4, 121.3, 121.4, 124.0, 130.0, 132.5, 133.3, 135.0, 155.0)

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(a) (1 punto) Calcule los cuartiles, los valores atıpicos de la muestra y estudie la simetrıa.

Solucion:

Con p = 0.25 es np+0.5 = 9 · 0.25+0.5 = 2+0.75, ası que k = 2 y r = 0.75.Por lo tanto q1 = Q(0.25) = x2+0.75(x3−x2) = 121.3+0.75(121.4−121.3) =121.374 GeV/c2.

q2 = xm = x8 = 130 GeV/c2.

Con p = 0.75 es np+0.5 = 9 · 0.75+0.5 = 7+0.25, ası que k = 7 y r = 0.25.Por lo tanto q3 = Q(0.75) = x7+0.25(x8−x7) = 133.3+0.25(135−133.3) =133.725 GeV/c2.

El coeficiente de simetrıa es:

q3 + q1 − 2xmq3 − q1

=133.725 + 121.374− 2 · 130

133.725− 121.374= −0.3968.

La muestra es asimetrica a la izquierda (los datos a la izquierda de la medianase extienden mas lejos que a la derecha).

El lımite inferior de valores atıpicos es li = q1 − 1.5(q3 − q1) = 102.85 < x1,ası que no hay valores atıpicos inferiores.

El lımite superior de valores atıpicos es ls = q3 + 1.5(q3 − q1) = 152.25 < x9,ası que x9 = 155 es atıpico.

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(b) (0.5 puntos) Dibuje el diagrama de caja (boxplot) de la muestra. ¿Es consistente elresultado obtenido con la masa de 126 GeV/c2 predicha por la teorıa?

Solucion:

115

120

125

130

135

140

145

150

155

1

Mas

a de

l bos

ón d

e H

iggs

(G

eV/c

2 )

1

q1

q3

xm

x9

x1

x8

Figura 1: Diagrama de caja de la muestra x

El diagrama de caja indica que el resultado podrıa ser consistente con la masa pre-dicha por la teorıa pues se observa que 126 esta dentro del rango intercuartılico yno muy alejado de xm. En cualquier caso los diagramas de caja no dan resultadosconcluyentes, habrıa que analizar la muestra en detalle: calcular la media (esti-macion de la masa del boson) y estimar el error cometido en la estimacion (unaconclusion del analisis serıa que habrıa que aumentar el tamano de la muestra paraobtener acotaciones del error aceptables). El diagrama de caja unicamente permiteuna vision rapida de la distribucion de la muestra pero no puede sustituir a lamuestra.

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Examen final de junio, bloque no 3. 06-06-2012


Instrucciones :






∑ni=1 xi(yi − yi) = 0.

Solucion:

Si b0 y b1 son los coeficientes de la recta de mınimos cuadrados se debe verificar:

∂q

∂b1(b0, b1) =

n∑i=1

xi(yi − yi) = 0

En donde q(b0, b1) =∑n

i=1(yi − (b0 + b1xi))2.

2. (1.5 puntos) En el modelo lineal Y (x) = β0+β1x+U , el estimador de mınimos cuadrados de

β1 es B1 =∑n

i=1(xi−x)(Yi−Y )∑nj=1(xj−x)2

y el de β0 es B0 = Y −B1x, siendo n el numero de elementos de

la muestra. Demuestre queB0 tambien se puede expresar como∑n

i=1

(1n − xi−x∑n

j=1(xj−x)2x)Yi.

Solucion:

B1 =

∑ni=1 (xi − x)

(Yi − Y

)∑nj=1 (xj − x)2

=

∑ni=1 (xi − x)Yi − Y

∑ni=1 (xi − x)∑n

j=1 (xj − x)2=

∑ni=1 (xi − x)Yi∑nj=1 (xj − x)2

.

Ya que∑

(xi − x) = 0. Sustituyendo el valor de B1 en la expresion de B0:

B0 =n∑

i=1

1

nYi −

∑ni=1 (xi − x)Yi∑nj=1 (xj − x)2

x =n∑

i=1

(1

n− xi − x∑n

j=1 (xj − x)2x

)Yi.

3. (0.5 puntos) Se dispone de una muestra (xi, yi), i = 1, 2, ..., n para la que se cumple r = 1.¿Como estan situados en el plano los puntos de la muestra?

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Solucion:

Formando una recta

4. (0.75 puntos) En la ecuacion XtXb = Xty, ¿Cual es la matriz X si se desea ajustar elplano y = b0 + b1x+ b2z a los datos (xi, zi, yi) =

(14 , 1, 2), (1, 2, 3), (

23 , 5, 1), (2, 6, 8)

?

Solucion:

X =

1 1/4 11 1 21 2/3 51 2 6

5. (0.75 puntos) Suponga que b0+b1x es la recta de mınimos cuadrados que ajusta la muestra(xi, yi), i = 1, 2, ..., n. Si yi = b0 + b1xi, demuestre que y = y.

Solucion:

y =1

n

n∑i=1

yi =1

n

n∑i=1

(b0 + b1xi) = b0 + b1x = y.

6. (0.75 puntos) En un ajuste por mınimos cuadrados se utiliza una muestra de tamano n =20. Sabiendo que R2 = 0.82 y

∑ni=1(yi − y)2 = 40, halle la cota de error de la estimacion

de µ(x) = β0 + β1x en x = x con una confianza del 95%. Utilice cuatro decimales en loscalculos.

Solucion:

ε = t1−α2s

√1

n+

(x− x)2∑(xi − x)2

= t1−α2s

√1

n= 2.1009 · 0.6325 ·

√1

20= 0.2971.

Donde:

s2 =1

18SSres =

1

18

(1−R2

)SStot =

1

18· 0.18 · 40 = 0.4, s = 0.6325.

7. (3.5 puntos) Una empresa mide el tiempo (en minutos), y, que 15 empleados tardan enllegar al trabajo desde su domicilio. En la muestra obtenida por la empresa tambien seanota la distancia (en Km), x, entre el domicilio de cada empleado y el centro de trabajo.De esta muestra se conoce lo siguiente:

∑15i=1 xi = 184,

∑15i=1 yi = 403,

∑15i=1 x

2i = 2616,∑15

i=1 y2i = 12493 y

∑15i=1 xiyi = 5623.

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(a) (1.5 puntos) Ajuste el modelo lineal Y (x) = β0 + β1x + U a los datos de la muestra,estimando β0 y β1 por el metodo de mınimos cuadrados. Calcule el coeficiente de corre-lacion del ajuste y estime la desviacion tıpica de Y (x). Utilice cuatro cifras decimalesen los calculos.

Solucion:

x =184

15= 12.2667, y =

403

15= 26.8667.∑

(xi−x)2 =∑

x2i −nx2 = 358.9333,∑

(yi−y)2 =∑

y2i −ny2 = 1665.7333.∑(xi − x)(yi − y) =

∑xiyi − nxy = 679.5333.

b1 =(xi − x)(yi − y)∑

(xi − x)2=

679.5333

358.9333= 1.8932.

b0 = y − b1x =403

15− 1.8932

184

15= 3.6434.

s =

√∑(yi − y)2 − b21

∑(yi − y)2

n− 2

=

√1665.7333− 1.89322 · 358.9333

13= 5.4011.

r =

∑(xi − x)(yi − y)√∑

(xi − x)2∑

(yi − y)2=

679.5333√358.9333 · 1665.7333

= 0.8788.

(b) (1 punto) Suponiendo un modelo normal, construya un intervalo de confianza del 95%para el tiempo medio que tardan en llegar los empleados que viven a una distancia de7 Km del centro de trabajo.

Solucion:


(b0 + b1x)± t1−α2s

√1

n+

(x− x)2∑(xi − x)2

= 3.6434 + 1.8932 · 7± 2.1604 · 5.4011√

1

15+

(7− 12.2667)2

358.9333= 16.8958± 4.4270 min.


(c) (1 punto) Suponiendo un modelo normal, construya un intervalo de tolerancia de con-tenido p = 0.95 y confianza 0.95 para el tiempo que tardan en llegar los empleados queviven a una distancia de 7 Km del centro de trabajo.

Solucion:


yL = (b0 + b17)− ks = 16.8958− 3.1091 · 5.4011 = 0.1030 min.

yS = (b0 + b17) + ks = 16.8958 + 3.1091 · 5.4011 = 33.6886 min.

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En donde:

k = u0.975

√13

χ20.05

[1 +

d2

2−

d4(2u20.975 − 3

)24

]

= 1.96

√13

5.8919

[1 +

d2

2−

d4(2(1.96)2 − 3

)24

]= 3.1091.

d2 =1

n+

(x− x)2∑(xi − x)2

=1

15+

(7− 12.2667)2

358.9333= 0.1439.

8. (1.5 puntos) En 1879 Michelson realizo 100 medidas de la velocidad de la luz en el aire. Lamedidas se realizaron en cinco grupos de 20 medidas cada uno. A continuacion se propor-ciona la muestra correspondiente a uno de los grupos. La unidad son 1000 Km/s y se les harestado 299 (es decir, el numero 0.65 corresponde a una medida de 299.65× 103 Km/s).

x = (0.65, 0.74, 0.76, 0.81, 0.85, 0.85, 0.88, 0.90, 0.93, 0.93, 0.95, 0.96, 0.96, 0.98, 0.98, 0.98,

1.00, 1.00, 1.00, 1.07)

(a) (1 punto) Calcule los cuartiles, los valores atıpicos de la muestra y estudie la simetrıa.

Solucion:

Con p = 0.25 es np+ 0.5 = 20 · 0.25 + 0.5 = 5 + 0.5, ası que k = 5 y r = 0.5.Por lo tanto q1 = Q(0.25) = x5+0.25(x6−x5) = 0.85+0.5(0.85−0.85) = 0.85(299.85 · 103 Km/s).

q2 = xm = x8 = 0.94 (299.94 · 103 Km/s).

Con p = 0.75 es np+0.5 = 20 ·0.75+0.5 = 15+0.5, ası que k = 15 y r = 0.5.Por lo tanto q3 = Q(0.75) = x15+0.5(x12−x11) = 0.98+0.75(0.98− 0.98) =0.98 (299.98 · 103 Km/s).


q3 + q1 − 2xmq3 − q1

=0.98 + 0.85− 2 · 0.94

0.98− 0.85= −0.3846.

La muestra es asimetrica a la izquierda (los datos a la izquierda de la medianase extienden mas lejos que a la derecha).

El lımite inferior de valores atıpicos es li = q1 − 1.5(q3 − q1) = 0.6550 > x1,ası que x1 = 0.65 es atıpico.

El lımite superior de valores atıpicos es ls = q3 + 1.5(q3 − q1) = 1.175 > x20,ası que no hay valores atıpicos superiores.

(b) (0.5 puntos) Dibuje el diagrama de caja (box-plot) de la muestra.

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Solucion:

299.65

299.7

299.75

299.8

299.85

299.9

299.95

300

300.05

1

Vel

ocid

ad d

e la

luz

(103 K

m/s

) q3

xm

x1

x2

x20

q1

Figura 1: Diagrama de caja de la muestra X

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Instrucciones :





1. (0.75 puntos) Escriba la cantidad que se hace mınima para ajustar el modelo lineal µ (x) =β0 + β1x a la muestra (xi, yi), i = 1, 2, ..., n

Solucion:

q(b0, b1) =

n∑i=1

((yi − (b0 + b1xi))2

2. (0.75 puntos) Si en una muestra (xi, yi), i = 1, 2, ..., n se verifica∑n

i=1(yi − y)2 = 0,¿como estan situados en el plano los puntos de la muestra?

Solucion:

Estan alineados segun una recta horizontal.

3. (0.5 puntos) ¿Cuales son los valores posibles de R2?

Solucion:

R2 ∈ [0, 1]

4. (0.75 puntos) Se dispone de una muestra (xi, yi), i = 1, 2, ..., n para los que se cumpleyi = 3xi + 2. ¿Cuanto vale el coeficiente de correlacion lineal?

Solucion:

r = 1.

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∑ni=1(xi − x)(yi − yi) = 0.

Solucion:n∑

i=1

(xi − x)(yi − yi) =

n∑i=1

xi(yi − yi)− x

n∑i=1

(yi − yi) = 0− 0 = 0,

ya que:

∂q

∂b1(b0, b1) =

n∑i=1

xi(yi − yi) = 0 y∂q

∂b0(b0, b1) =

n∑i=1

(yi − yi) = 0.

6. (0.75 puntos) Si el modelo ajustado por mınimos cuadrados es µ (x) = 2− 5x y R2 = 0.64,¿cuanto vale r?

Solucion:

r = −√0.64 = −0.8.

7. (0.75 puntos) ¿Como se caracteriza la simetrıa o asimetrıa de una muestra por medio delos cuartiles empıricos?

Solucion:

Estudiando si q3 − xm es igual o distinto que xm − q1. Si son iguales la muestra essimetrica, si son distintos la muestra es asimetrica.

8. (3.5 puntos) Se dispone de la muestra

(1.70, 1.73), (1.73, 1.75), (1.78, 1.73), (1.70, 1.70), (1.75, 1.73), (1.80, 1.78),

donde x es la altura del padre e y la del hijo (en metros).

(a) (1.5 puntos) Ajuste un modelo lineal

Solucion: ∑xi = 10.46,

∑x2i = 18.2438∑

yi = 10.42,∑

y2i = 18.0996∑xiyi = 18.1694∑

(xi − x)2 =∑

x2i −(∑

xi

)2/n = 0.0085333∑

(yi − y)2 =∑

y2i −(∑

yi

)2/n = 0.0035333

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b1 =

∑xiyi − (

∑xi) (

∑yi) /n∑

x2i − (∑

xi) /n= 0.453125

b0 = y − b1x = 0.946719 m

SSres =∑

(yi − yi)2 =

∑(yi − y)2 − b21

∑(xi − x)2

= 0.003533− 0.4531252 × 0.008533 = 0.0017812

s =

√SSres

n− 2=

√0.0017812

4= 0.0211 m

(b) (0.5 puntos) ¿Que porcentaje de la variabilidad de las alturas de los hijos es explicadopor la relacion lineal con las alturas de los padres?

Solucion:

R2 = 1− SSres

SStot= 1− 0.0017812

0.0035333= 0.49588 (49.59%)

(c) (0.5 puntos) ¿Cual es la estimacion de la altura media de los hijos cuyos padres sonde 1.75 m?

Solucion:

µ (1.75) = 0.946719 + 0.453125× 1.75

= 1.73968775 m

(d) (1 punto) Suponiendo un modelo normal, acote el error de la estimacion anterior conuna confianza del 95%.

Solucion:

t0.975 (4) = 2.7764

ε = t1−α/2 × s×

√1

n+

(x− x)2∑(xi − x)2

= 2.7764× 0.0211×

√1

6+

(1.75− 10.46/6)2

0.0085333

= 0.0242868322 m

9. (1.5 puntos) En la siguiente muestra se recoge el peso (en centigramos) de 18 semillas deuna leguminosa:

x =(18, 19 20 21 22 23 24 24 25 25 26 27 28 29 29 29 30 31

).

Se pide:

(a) (1 punto) Dibujar el histograma que estima la densidad de probabilidad de la variablealeatoria X = peso de la semilla (en centigramos) a partir de la muestra anterior. Al

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dibujarlo se tomara el origen de intervalos en 18 y la longitud de las clases (h) iguala 5. Es imprescindible indicar que representan los ejes de abscisas y de ordenadas yescribir en ambos los valores numericos necesarios para poder interpretar el resultado.

Solucion:

18 20 22 24 26 28 30 32 340

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Peso de las semillas (centigramos)

Den

sida

d de

pro

babi

lidad

(b) (0.5 puntos) Escribir la expresion de la funcion de densidad empırica dibujada en elapartado anterior y comprobar que, efectivamente, verifica las propiedades de unafuncion de densidad.

Solucion:

f(x) =

0 si x < 18

618·5 ≈ 0.0667 si x ∈ [18, 23]

718·5 ≈ 0.0778 si x ∈ (23, 28]

518·5 ≈ 0.0556 si x ∈ (28, 33]

0 si x > 33

f es una funcion de densidad porque:

1. f(x) ≥ 0 ∀x ∈ ℜ,

2.∫ℜ f(x)dx = 6

18 + 718 + 5

18 = 1.

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Instrucciones :





1. (0.75 puntos) En el modelo lineal Y (x) = β0+β1x+U , el estimador de mınimos cuadrados

de β1 es B1 =∑

(xi−x)(Yi−Y )∑(xi−x)2

. Demuestre que B1 tambien se puede expresar como B1 =∑(xi−x)Yi∑(xi−x)2

Solucion:

B1 =

∑(xi − x)

(Yi − Y

)∑(xi − x)2

=

∑(xi − x)Yi − Y

∑(xi − x)∑

(xi − x)2=

∑(xi − x)Yi∑(xi − x)2

.

Ya que∑

(xi − x) = 0.

2. (0.75 puntos) Se dispone de una muestra (xi, yi), i = 1, 2, ..., n para los que se cumpleyi = 2xi. ¿Cuanto vale el coeficiente de correlacion lineal?

Solucion:

r = 1.

3. (0.75 puntos) En la ecuacion XtXb = Xty, ¿Cual es la matriz X si se desea ajustar laparabola y = b0 + b1x+ b2x

2 a los datos (xi, yi) =(12 , 2), (1, 3), (

32 , 5), (2, 8)

?

Solucion:

X =

1 1/2 1/41 1 11 3/2 9/41 2 4

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4. (0.75 puntos) Indique cual es la expresion del coeficiente de determinacion de un ajuste pormınimos cuadrados y explique brevemente que representa.

Solucion:

R2 =

∑ni=1(yi − y)2∑ni=1(yi − y)2

= 1−∑n

i=1(yi − yi)2∑n

i=1(yi − y)2.

El coeficiente de determinacion, R2, representa la proporcion de la variabilidad total delas yi explicada por la relacion lineal y(x) = b0 + b1x.

5. (0.75 puntos) Suponga que b0+b1x es la recta de mınimos cuadrados que ajusta la muestra(xi, yi), i = 1, 2, ..., n. Si zi = yi − yi, en donde yi = b0 + b1xi, ¿cuanto vale z?

Solucion:

z =

∑ni=1 zin

=

∑ni=1 yin

−∑n

i=1 yin

= y − y = 0. Debido a que y = b0 + b1x = y.

6. (0.75 puntos) De una muestra de tamano n se conocen los siguientes datos: r = 0.8,∑ni=1(xi − x)2 = 16.9,

∑ni=1(yi − y)2 = 96.1, x = 6 e y = 12. A partir de los mismos,

obtenganse la recta de regresion mınimo cuadratica de X sobre Y.

Solucion:

a1 = r

√∑ni=1(xi − x)2∑ni=1(yi − y)2

= 0.8

√16.9

96.1≈ 0.335, a0 = x− a1y ≈ 1.974.

Por lo tanto:E(X|Y = y) = 1.974 + 0.335y.

7. (0.5 puntos) Dada la muestra 1, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, determinar el cuartil q2 (es decir, la me-diana).

Solucion:

4

8. (3.5 puntos) Con objeto de verificar experimentalmente la ley de Hooke, se miden las dis-tintas fuerzas Fi que soporta un muelle a distintas longitudes xi conocidas. Se obtienenası los datos de la siguiente tabla

Fuerza (Newtons) 1 2 3 4 5 6

Longitud (metros) 0.22 0.30 0.39 0.51 0.62 0.68

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Teniendo en cuenta que la ley de Hooke establece que la fuerza aplicada es proporcional ala deformacion, F = k(x− x0) (es decir, F = b1x+ b0 siendo b1 = k y b0 = −kx0), se pide:

(a) (1.5 puntos) Ajustar los datos al modelo lineal y calcular el coeficiente de correlacionr. Dar una estimacion de la constante del muelle k.

Solucion: ∑Fi = 21, F =

21

6= 3.5∑

xi = 2.72, x =2.72

6= 0.45333∑

F 2i = 91∑

Fixi = 11.21∑x2i = 1.3974

b1 =

∑xiFi − nxF∑x2i − nx2

=11.21− 621

62.726

1.3974− 6(2.726

)2 = 10.2840

b0 = F − b1x =21

6− 10.2840

2.72

6= −1.1621

s =

√∑F 2i − nF

2 − b21(∑

x2i − nx2)

n− 2

=

√√√√91− 6(216

)2 − 10.28402(1.3974− 6

(2.726

)2)4

= 0.1732

r =

∑(xi − x)(Fi − F )√∑

(xi − x)2∑

(Fi − F )2=

∑xiFi − nxF√(∑

x2i − nx2) (∑

F 2i − nF

2)

=11.21− 621

62.726√(

1.3974− 6(2.726

)2)(91− 6

(216

)2) = 0.9966

La constante k se puede aproximar por 10.2840 N/m.

(b) (1 punto) Suponiendo un modelo normal, calcular un intervalo de confianza del 95%para la fuerza que corresponderıa a una longitud de muelle de 0.4 m.

Solucion:


(b0 + b1x)± t1−α2s

√1

n+

(x− x)2∑(xi − x)2

= −1.1621 + 10.2840 · 0.4± 2.7764 · 0.1732√

1

6+

(0.4− 0.4533)2

0.1643= 2.9515± 0.20625 N

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(c) (1 punto) Suponiendo un modelo normal, calcular un intervalo de confianza del 95%para el valor de k.

Solucion:


10.2840± t1−α2s

√1∑

(xi − x)2= 10.2840± 2.7764 · 0.1732

√1

0.1643

= 10.2840± 1.1863 N/m

9. (1.5 puntos) La Agencia europea para la seguridad y la salud en el trabajo fija un lımite deexposicion profesional para el plomo en el aire de 150µgm−3. Para controlar los valores Xde contaminacion en un laboratorio se han muestreado 15 puntos resultando las siguientesconcentraciones (en µgm−3) : 4, 7, 15, 19, 22, 59, 68, 80, 115, 120, 132, 208, 309, 371, 579.

(a) (0.5 puntos) Calcule los cuartiles, el coeficiente de simetrıa y los valores atıpicos.

Solucion:

Con p = 0.25 es np+0.5 = 15 ·0.25+0.5 = 4+0.25, ası que k = 4 y r = 0.25.Por lo tanto q1 = Q(0.25) = x4+0.25(x5−x4) = 19+0.25(22− 19) = 19.75.

q2 = xm = x8 = 80.

Con p = 0.75 es np+0.5 = 15·0.75+0.5 = 11+0.75, ası que k = 11 y r = 0.75.Por lo tanto q3 = Q(0.75) = x11 +0.75(x12 − x11) = 132+ 0.75(208− 132) =189.


q3 + q1 − 2xmq3 − q1

=189 + 19.75− 2 · 80

189− 19.75= 0.288.

La muestra es asimetrica a la derecha (los datos a la derecha de la medianase extienden mas lejos que a la izquierda).

El lımite inferior de valores atıpicos es li = q1− 1.5(q3− q1) = −234.12 < x1,ası que no hay valores atıpicos inferiores.

El lımite superior de valores atıpicos es ls = q3+1.5(q3− q1) = 442.88 < x15,ası que x15 = 579 es atıpico.

(b) (1 punto) Dibuje el diagrama de caja de la muestra de X

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Solucion:

0

100

200

300

400

500

600

1

q3

q1

x15

x14

x1

xm

Figura 1: Diagrama de caja de la muestra X

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Estad stica 1 Curso. Titulaciones de grado de la ETSI Minas Examen...

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