Guión álgebra I etsi

MATEMATICAS IGrado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales. Curso 2014-2015.Departamento de Matematica Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Leccion 1. Conicas y cuadricas.

Guion de la leccion.

1. Elipses, hiperbolas y parabolas.

Parabola. Dada una recta L, llamada directriz, y un punto fijo F (no pertene-ciente a la recta), llamado foco, el conjunto de los puntos del plano que equidistande la recta L y del punto F se denomina parabola de foco F y directriz L.

Ecuacion de la parabola. Se toma el sistema de referencia dado por:– eje OX , la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz L;– origen del sistema de referencia, el punto O de dicha recta que equidista delfoco y de la directriz;– eje OY , la recta que pasa por O y es paralela a la directriz.Si se denota la distancia del foco F a la directriz L por d(F, L) = p > 0 entoncestenemos que, en este sistema de ejes,

F =⇣p2, 0⌘

y L ⌘ x = �p

2.

Ademas, un punto P = (x, y) pertenece a la parabola considerada si y solo si

y2 = 2px

Observemos que esta parabola es simetrica respecto al eje OX que tiene de ecua-cion y = 0.

1

2 Departamento de Matematica Aplicada II, M. Basallote, A. Jimenez

Elementos notables de la parabola.

- Eje de la parabola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.En este caso es el eje OX.

- Vertice es el punto de interseccion de la parabola con dicho eje. En este caso,es el origen de coordenadas (0, 0).

Algunas variantes de la ecuacion de la parabola.

- Si a esta parabola le efectuamos un giro de 180 grados, obtenemos una parabola

con vertice en (0, 0), con eje de simetrıa el eje OX, con foco eF = (�p

2, 0), con

directriz eL ⌘ x =p

2y de ecuacion

y2 = �2px con p = d( eF , eL) = d(F, L).

- Si en vez de efectuarle un giro se le hace una traslacion de manera que el eje desimetrıa tenga por ecuacion y = � y su vertice sea el punto (↵, �) obtenemos otra

parabola con foco eF = (p

2+ ↵, �), con directriz eL ⌘ x = �p

2+ ↵ y de ecuacion

(y � �)2 = 2p (x� ↵) con p = d( eF , eL) = d(F, L).

- De forma analoga, si intercambiamos en todo momento los papeles de x e y,obtenemos que una ecuacion del tipo

x2 = 2py con p = d(F, L).

define una parabola con eje de simetrıa el eje OY y vertice el origen de coorde-nadas.

- Si a esta parabola le efectuamos un giro de 180 grados, obtenemos una parabola

con vertice en (0, 0), con eje de simetrıa el eje OY, con foco eF =⇣0,�p

2

⌘, con

directriz eL ⌘ y =p

2y de ecuacion

x2 = �2py con p = d( eF , eL) = d(F, L).

- Si en vez de efectuarle un giro se le hace una traslacion de manera que el eje desimetrıa tenga por ecuacion x = ↵ y su vertice sea el punto (↵, �) obtenemos otra

parabola con foco eF =⇣↵,

p

2+ �

⌘, con directriz eL ⌘ y = �p

2+ � y de ecuacion

(x� ↵)2 = 2p (y � �) con p = d( eF , eL) = d(F, L).

Matematicas I. Grado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales 3

Elipse. Se denomina elipse al conjunto de los puntos del plano cuya suma delas distancias a dos puntos fijos F1 y F2, que llamaremos focos de la elipse, esconstante. A esa constante se le suele denotar por 2a > 0 y debe ser mayor quela distancia entre los focos.

Ecuacion de la elipse. Se toma el sistema de referencia dado por:– eje OX, la recta que une los focos F1 y F2.– eje OY , la recta perpendicular al eje OX que pasa por el punto medio de losfocos;– origen O del sistema de referencia, dicho punto medio.Si la distancia entre los focos se denota por d(F1, F2) = 2c > 0 con c < a, tenemosque en este sistema de referencia,

F1 = (c, 0) y F2 = (�c, 0).

Ademas, un punto P = (x, y) pertenece a la elipse considerada si y solo si

x2

a2+

y2

b2= 1 con b2 = a2 � c2.

Notemos que, en este caso b < a.


El eje OX y el eje OY son ejes de simetrıa de dicha elipse, y por tanto, laelipse es simetrica respecto del punto medio de los focos que se llama centro dela elipse.

La circunferencia no es mas que un caso particular de la elipse, que se ob-tiene cuando los dos focos son un mismo punto que se denomina centro de lacircunferencia: si F1 = F2 tenemos que c = 0 y, por tanto, a = b.

Elementos notables de la elipse.- Centro de la elipse es el punto medio de los focos. En este caso es el origen decoordenadas (0, 0).- Ejes de la elipse son dos: por un lado, la recta que une los dos focos y, por otro,la recta perpendicular a esta que pasa por el centro. En este caso son, el eje OXy el eje OY, respectivamente.- Vertices son los puntos en los que los ejes cortan a la elipse. En este caso, lospuntos (±a, 0) y (0,±b).- Semiejes de la elipse, son las distancias de los vertices al centro de la elipse. Eneste caso, a y b.

Algunas variantes de la ecuacion de la elipse.- Si a esta elipse se le hace una traslacion de manera que los ejes de simetrıa seanparalelos a los ejes coordenados y su centro sea el punto (↵, �) obtenemos otra

elipse con focos fF1 = (c+ ↵, �) y fF2 = (�c+ ↵, �) y de ecuacion

(x� ↵)2

a2+

(y � �)2

b2= 1 con b2 = a2 � c2 y 2c = d(fF1,fF2) = d(F1, F2)

- Si hacemos el mismo razonamiento que antes pero intercambiando en todomomento los papeles de x e y, esto es tomando como eje OY el que contiene alos focos, entonces obtenemos una ecuacion del tipo

x2

a2+

y2

b2= 1 con a2 = b2 � c2

que corresponde a una elipse con semiejes a y b con a < b.


Hiperbola. Se denomina hiperbola al conjunto de los puntos del plano cuyadiferencia de las distancias a dos puntos fijos F1 y F2, que llamaremos focos dela hiperbola, es constante. A esa constante se le suele denotar por 2a > 0 y debeser menor que la distancia entre los focos.

Ecuacion de la hiperbola. Se toma el sistema de referencia dado por:– eje OX, la recta que une los focos F1 y F2;– eje OY , la recta perpendicular al eje OX que pasa por el punto medio de losfocos;– origen O del sistema de referencia, tomamos dicho punto medio.Si la distancia entre los focos se denota por d(F1, F2) = 2c > 0 con a < c, tenemosque en este sistema de referencia,

F1 = (c, 0) y F2 = (�c, 0).

Ademas, un punto P = (x, y) pertenece a la hiperbola considerada si y solo si

x2

a2� y2

b2= 1 con b2 = c2 � a2.

Notemos que el eje OX y el eje OY son ejes de simetrıa de dicha hiperbola,y por tanto, la hiperbola es simetrica respecto del punto medio de los focos quese llama centro de la hiperbola.


Elementos notables de la hiperbola.- Centro de la hiperbola es el punto medio de los focos. En este caso es el origende coordenadas (0, 0).- Ejes de la hiperbola son dos: por un lado, la recta que une los dos focos y, porotro, la recta perpendicular a esta que pasa por el centro. En este caso son, el ejeOX y el eje OY, respectivamente.- Vertices son los puntos en los que los ejes cortan a la hiperbola. El eje quecontiene a los focos sı corta a la hiperbola mientras que el otro eje no. En estecaso, los vertices son los puntos (±a, 0).- Semiejes de la hiperbola, son dos: por un lado, la distancia de los vertices alcentro de la elipse (en este caso a) y, por otro, el valor b > 0 tal que c2 = a2 + b2.- Asıntotas son las rectas que pasan por el centro de la hiperbola y tienen de

pendientes m = ± b

a. Se dice que la hiperbola es equilatera si sus dos semiejes son

iguales, es decir, a = b, o equivalentemente, si sus asıntotas son perpendicularesentre sı.

Algunas variantes de la ecuacion de la hiperbola.- Si a esta hiperbola se le hace una traslacion de manera que los ejes de simetrıasean paralelos a los ejes coordenados y su centro sea el punto (↵, �) obtenemos

otra hiperbola con focos fF1 = (c+ ↵, �) y fF2 = (�c+ ↵, �) y de ecuacion

(x� ↵)2

a2� (y � �)2

b2= 1 con b2 = c2 � a2 y 2c = d(fF1,fF2) = d(F1, F2)

- Si hacemos el mismo razonamiento que antes pero intercambiando en todomomento los papeles de x e y, esto es, tomando como eje OY el que contiene alos focos, entonces obtenemos una ecuacion del tipo

x2

a2� y2

b2= �1 con a2 = c2 � b2

que corresponde a una hiperbola con vertices (0,±b) y que no corta al eje OX.

Sus asıntotas tienen por pendiente m = ± b

a.


Nota. La elipse, la hiperbola y la parabola son tambien llamadas secciones conicaspues son curvas que se obtienen al seccionar un cono circular recto mediante unplano (ver figuras). Mas concretamente,

(a) La hiperbola, se obtiene al cortar el cono con un plano que no pase por elvertice y cuyo angulo de inclinacion respecto al eje del cono sea menor que el dela generatriz del cono.

(b) La parabola, se obtiene al cortar el cono con un plano que no pase por elvertice y sea paralelo a una generatriz.

(c) La elipse, se obtiene al cortar el cono con un plano que no pase por elvertice y cuyo angulo de inclinacion respecto al eje del cono sea mayor que el dela generatriz del cono. La circunferencia se obtiene como un caso particular deelipse si cortamos con un plano perpendicular al eje del cono.

2. Conicas.

Conica. Una conica es el lugar geometrico de los puntos del plano cuyas coor-denadas (x, y) verifican una ecuacion de segundo grado del tipo

a11x2 + a22y

2 + 2a12xy + 2a1x+ 2a2y + a0 = 0.

Las parabolas, elipses e hiperbolas son casos particulares. Pero tambien estan lasllamadas conicas degeneradas:

– Un par de rectas que se cortan en un punto. Por ejemplo: x2 � y2 = 0, estoes, x = ±y.

– Un par de rectas paralelas. Por ejemplo: x2 � 4 = 0, esto es, x = ±4.– Un par de rectas coincidentes. Por ejemplo: x2 = 0, esto es, x = 0 dos veces.– Un unico punto. Por ejemplo: x2 + y2 = 0, esto es, (x, y) = (0, 0).– El vacıo. Por ejemplo x2 + y2 + 1 = 0.

Reduccion de la ecuacion de una conica sin termino cruzado. En par-ticular aquellas ecuaciones de segundo grado sin termino en xy (esto es, cona12 = 0) corresponden a conicas cuyas ecuaciones pueden reducirse completandocuadrados y realizando una traslacion a uno de los siguientes tipos de ecuaciones:


AX2 +BY 2 + C = 0,

AX2 +BY + C = 0,

donde los coeficientes de los terminos de grado dos son no nulos. Estas ecuacio-nes se denominan ecuaciones reducidas de la conica o ecuaciones de la conicareferidas a sus ejes.

Conica tipo elıptico. Se obtiene cuando al reducir la ecuacion se llega a laexpresion

AX2 +BY 2 + C = 0,

con los coeficientes A y B del mismo signo. Llegamos a uno de los tres casossiguientes, dependiendo del signo de C:– Si C tiene distinto signo que el de A y B, entonces obtenemos una elipse.– Si C tiene el mismo signo que el de A y B, entonces obtenemos el vacıo.– Si C = 0, entonces obtenemos un punto.

Conica tipo hiperbolico. Se obtiene cuando al reducir la ecuacion se llega a laexpresion

AX2 +BY 2 + C = 0,

con los coeficientes A y B de distinto signo. Llegamos a uno de los dos casossiguientes, dependiendo de C:– Si C 6= 0, entonces obtenemos una hiperbola.– Si C = 0, entonces obtenemos un par de rectas secantes.

Conica tipo parabolico. Se obtiene cuando al reducir la ecuacion se llega a laexpresion

AX2 +BY + C = 0.

Llegamos a uno de los dos casos siguientes, dependiendo de B y de C:– Si B 6= 0, entonces obtenemos una parabola.– Si B = 0 y C tiene el mismo signo que A, entonces obtenemos el vacıo.– Si B = 0 y C tiene distinto signo que A, entonces obtenemos un par de rectasparalelas.– Si B = C = 0, entonces obtenemos una recta.

3. Cuadricas.

Cuadrica. Una cuadrica es una superficie formada por todos los puntos delespacio cuyas coordenadas (x, y, z) verifican una ecuacion de segundo grado deltipo

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y + 2a3z + a0 = 0.

Reduccion de la ecuacion de una cuadrica sin terminos cruzados. Enparticular aquellas ecuaciones de segundo grado sin terminos cruzados pueden


reducirse completando cuadrados y realizando una traslacion a uno de los si-guientes tipos de ecuaciones:

AX2 +BY 2 + CZ2 +D = 0,

AX2 +BY 2 + CZ +D = 0,

AX2 +BY + CZ +D = 0,

donde los coeficientes de los terminos de grado dos son no nulos. Estas ecuacionesse denominan ecuaciones reducidas de la cuadrica.

Cuadrica tipo elipsoide. Los elipsoides se obtienen cuando, una vez comple-tado cuadrados, aparecen las tres variables elevadas al cuadrado y con los trescoeficientes del mismo signo. Llegamos a uno de los tres casos siguientes, depen-diendo del signo del segundo termino:

X2

a2+

Y 2

b2+

Z2

c2=

8<

:

10 con a, b, c 6= 0�1

Caso 1. Elipsoide real. La ecuacion

X2

a2+

Y 2

b2+

Z2

c2= 1

(+) (+) (+) = (+)

corresponde a un elipsoide real . Sus elementos notables son:– Centro del elipsoide, que en este caso es el origen de coordenadas y es un puntode simetrıa.– Ejes del elipsoide, que en este caso son los tres ejes coordenados.– Vertices, que son los puntos de corte del elipsoide con sus ejes. En este caso,son los puntos (±a, 0, 0), (0,±b, 0), y (0, 0,±c).– Semiejes, que son las distancias del centro a los vertices.

Elipsoide real


Caso 2: Un punto. La ecuacion

X2

a2+

Y 2

b2+

Z2

c2= 0

(+) (+) (+) = (0)

corresponde a un unico punto, es este caso, el (X, Y, Z) = (0, 0, 0).

Caso 3: Vacıo. La ecuacion

X2

a2+

Y 2

b2+

Z2

c2= �1

(+) (+) (+) = (�)

no tiene solucion real y no corresponde a ninguna superficie real.

Cuadrica tipo hiperboloide. Los hiperboloides se obtienen cuando, una vezcompletado cuadrados, aparecen las tres variables elevadas al cuadrado pero NOtodos los coeficientes son del mismo signo. Llegamos a uno de los tres casossiguientes, dependiendo del signo del segundo termino:

X2

a2+

Y 2

b2� Z2

c2=

8<

:

10 con a, b, c 6= 0�1

Caso 1: Hiperboloide hiperbolico o de una hoja. La ecuacion

X2

a2+

Y 2

b2� Z2

c2= 1

(+) (+) (�) = (+)

corresponde a un hiperboloide hiperbolico o hiperboloide de una hoja. Sus elemen-tos notables son:– Centro del hiperboloide, que en este caso es el origen de coordenadas y es unpunto de simetrıa.– Eje del hiperboloide, que en este caso es el eje OZ ⌘ {x = 0, y = 0}.

Hiperboloide de una hoja


Caso 2: Hiperboloide elıptico o de dos hojas. La ecuacion

X2

a2+

Y 2

b2� Z2

c2= �1

(+) (+) (�) = (�)

corresponde a un hiperboloide elıptico o hiperboloide de dos hojas.

Sus elementos notables son:

– Centro del hiperboloide, que en este caso es el origen de coordenadas y es unpunto de simetrıa.

– Eje del hiperboloide, que en este caso es el eje OZ ⌘ {x = 0, y = 0}.– Sus vertices (puntos de interseccion de la superficie con su eje), que en este casoson los puntos (0, 0,±c).

Hiperboloide de dos hojas

Caso 3: Cono. La ecuacion

X2

a2+

Y 2

b2� Z2

c2= 0

(+) (+) (�) = (0)

corresponde a un cono. Se puede considerar como un caso lımite o degeneradoentre los dos tipos de hiperboloides que acabamos de describir. Sus elementosnotables son:

– Eje del cono, que en este caso es el eje OZ ⌘ {x = 0, y = 0}.– Vertice (punto de corte de la superficie con su eje) que en este caso es el origende coordenadas y es un punto de simetrıa.


Cono

Cuadrica tipo paraboloide. Los paraboloides se obtienen cuando, una vezcompletado cuadrados, dos de las variables aparecen elevadas al cuadrado y latercera no aparece elevada al cuadrado. Llegamos a uno de los dos casos siguientes:

Z = ±✓X2

a2+

Y 2

b2

◆o Z = ±

✓X2

a2� Y 2

b2

◆.

Caso 1: Paraboloide elıptico. La ecuacion

Z = ±✓X2

a2+

Y 2

b2

◆(los coeficientes de las variables elevadas

al cuadrado son de igual signo)

corresponde a un paraboloide elıptico. Sus elementos notables son:– Eje del paraboloide, que en este caso es el eje OZ ⌘ {x = 0, y = 0}.– Vertice (punto de corte del paraboloide con su eje) que en este caso es el origende coordenadas.

Paraboloide elıptico

Caso 2: Paraboloide hiperbolico. La ecuacion

Z = ±✓X2

a2� Y 2

b2

◆(los coeficientes de las variables elevadas

al cuadrado son de distinto signo)


corresponde a un paraboloide hiperbolico. Sus elementos notables son:– Eje del paraboloide, que en este caso es el eje OZ ⌘ {x = 0, y = 0}.– Vertice (punto de corte del paraboloide con su eje) que en este caso es el origende coordenadas.

Paraboloide hiperbolico

Cilindros. Los cilindros se obtienen cuando, una vez completado cuadrados,alguna de las variables no aparece en la ecuacion o, aun apareciendo las tresvariables, solo hay una de ellas elevada al cuadrado. Un cilindro puede entendersecomo una conica desplazada a lo largo de todo un eje.

Caso 1: Una de las variables no aparece. Dependiendo de las otras dos variablesse pueden obtener distintos cilindros: cilindros elıpticos, cilindros hiperbolicos ycilindros parabolicos. Estos tipos incluyen los casos degenerados. Por ejemplo,

(a) los puntos (X, Y, Z) que satisfacenX2

a2+Y 2

b2= 1 y Z toma cualquier valor,

corresponde a un cilindro elıptico;

(b) los puntos (X, Y, Z) que satisfacenX2

a2� Y 2

b2= �1 y Z toma cualquier

valor, corresponde a un cilindro hiperbolico;(c) los puntos (X, Y, Z) que satisfacen Z2 = 2pY y X toma cualquier valor,

corresponde a un cilindro parabolico, etc.

Cilindro elıptico Cilindro hiperbolico Cilindro parabolico


Caso 2: Dos variables de grado uno y una de grado dos. En este caso se obtiene uncilindro parabolico en el que la recta que contiene a los vertices de las parabolasno es paralela a ninguno de los ejes coordenados.


Ejercicios.

Ejercicio 1. Expresa la ecuacion 2y2 + 4y + 3x+ 7 = 0 en la forma

(y � �)2 = 2p(x� ↵).

Determina el vertice, el foco, la directriz y el eje de simetrıa de la parabola. Hazla representacion grafica.

Ejercicio 2. Encuentra razonadamente la ecuacionde la parabola que tiene suvertice en el punto V = (�1, 1) y su foco en F = (�2, 1). Halla la ecuacion de surecta directriz. Hacer un dibujo esquematico de la conica.

Ejercicio 3. Halla la ecuacion de la parabola de eje horizontal que tiene por focoel punto F = (�2, 3) y pasa por el punto (�1, 3).

Ejercicio 4. Representa 4x2 + y2 � 8x + 4y + 4 = 0 obteniendo focos, centro,ejes, vertices y semiejes de la elipse.

Ejercicio 5. Halla la ecuacion de la elipse que pasa por el punto P = (3,�2)y tiene por focos los puntos F1 = (4, 2) y F2 = (�2, 2). Determina sus puntosnotables y dibujala.

Ejercicio 6. Representa la hiperbola 9x2 � y2 + 9x + 3y + 1 = 0 obteniendo sucentro, sus ejes de simetrıa, sus focos y sus asıntotas.

Ejercicio 7. Halla la ecuacion de la hiperbola que tiene por vertices los puntos(1, 2) y (1, 6), y pasa por el punto (3, 8).

Ejercicio 8. Calcula la ecuacion, los elementos notables y la grafica de la hiperbo-la que verifica que sus focos estan en la recta x = 1, la distancia entre los verticeses 6 y una de sus asıntotas es la recta y � 3x+ 1 = 0.

Ejercicio 9. Completa cuadrados, si es necesario, en las siguientes ecuaciones ydetermina el tipo de conica que es, sus elementos notables y su representaciongrafica:

(a) x2 + 2y2 � 4x� 4y + 4 = 0.(b) x2 � y2 + 4x� 6y � 9 = 0.(c) x2 � 4x+ 4y + 4 = 0.(d) y2 � 4y = 0.(e) x2 + y2 � 2x� 6y + 10 = 0.(f) 2x2 + y2 � 12x� 4y + 24 = 0.(g) 4x2 � y2 � 24x+ 8y + 36 = 0

Ejercicio 10. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina eltipo de conica que es, sus elementos notables y su representacion grafica:

(a) 3x2 + 3y2 + x+ 5y + 1 = 0.(b) 3x2 � 3y2 + x+ 5y + 1 = 0.(c) 3y2 + x+ 5y + 1 = 0.


Ejercicio 11. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina eltipo de conica que es y sus elementos notables:

(a) x2 + 2y2 � 4x� 45y + 4 = 0.

(b) x2 + y2 � 2x� 6y + 10 = 0.

(c) y2 � 4y = 0.

Ejercicio 12. Determina, segun los valores de ↵ 2 R, el tipo de conica quecorresponde a cada una de las ecuaciones siguientes:

(a) 2x2 + (↵2 � 1)y2 � 2x+ (↵� 1)y � 3 = 0.

(b) x2 + ↵y2 + x+ 2y + ↵� 1 = 0.

(c) ↵x2 + (↵2 � ↵)y2 � 2x� 4y + 2 = 0.

Ejercicio 13. Determina, si existen, los valores de ↵ 2 R para los que la siguienteecuacion corresponde a una circunferencia o a una hiperbola equilatera

2x2 + ↵y2 � 6x+ 3y + ↵ = 0.

Ejercicio 14. Determina a que tipo de cuadrica corresponde cada una de lasecuaciones siguientes. Halla sus elementos notables.

(a) 16x2 + 9y2 + 4z2 � 32x� 36y + 36 = 0.

(b) 4x2 � 4y2 � z2 � 16x� 2z + 15 = 0.

(c) x2 � z2 � 2x+ 4z + 1 = 0.

(d) x2 � 2y2 � 2x+ 8y � z � 5 = 0.

Ejercicio 15. Determina, segun los valores de a 2 R, el tipo de cuadrica al quecorresponden las ecuaciones siguientes:

(a) x2 + ay2 + z2 � 6x+ 4z + 8� a = 0.

(b) ax2 + (4� a2)y2 � z + 1 = 0.

(c) (a+ 1)x2 + (a2 � 4)y2 + az2 = �a2 + a+ 2.

(d) x2 � y2 + z2 � 2x+ 4y + 6z + a = 0.

(e) x2 + (a2 � 4)y2 + (a+ 2)z2 � a = 0.

Ejercicio 16. Clasifica, segun los valores de a 2 R, la cuadrica de ecuacion

4x2 � ay2 + 9z2 � 16x� 2ay � 18z = 2a� 25.

Para a = 36, dibuja la cuadrica que se obtiene y halla sus elementos notables.

Ejercicio 17. Observa la cuadrica de la figura y determina su ecuacion en coor-denadas x, y y z.


Ejercicio 18. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina eltipo de cuadrica que es, sus elementos notables y su representacion grafica:

(a) x2 + 3y2 + z2 + 2x+ 5y � 2z + 1 = 0.(b) 3x2 + y2 � z2 + x+ 2y + 2z + 1 = 0.(c) x2 + y2 + x+ 4y + 3z � 1 = 0.(d)x2 + y2 + x+ 4y � z2 � 1 = 0.(e) x2 + y2 + x+ 4y � 1 = 0.(f) x2 � y2 + x+ 4y � 1 = 0.(g) x2 � y2 + x+ 4y + z � 1 = 0.

Ejercicio 19. Determina, segun los valores de ↵ 2 R, el tipo de cuadrica quecorresponde a cada una de las ecuaciones siguientes:

(a) 2x2 + (↵2 � 1)y2 + z2 + 2x+ 5y � 2z + 1 = 0.(b) x2 + ↵y2 + x+ 2y + (↵� 1)z + 1 = 0.(c) ↵x2 + (↵2 � ↵)y2 + ↵3z2 + x+ 4y � 1 = 0.

Ejercicio 20. Determina, segun los valores de ↵ 2 R, el tipo de cuadrica quecorresponde a cada una de las ecuaciones siguientes:

(a) ↵x2 + (4� ↵2)y2 � z + 1 = 0.(b) x2 + ↵y2 + z2 � 6x+ 4z + 8� ↵ = 0.(c) x2 � y2 + z2 � 2x+ 4y + 6z + ↵ = 0.

Ejercicio 21. Indica la respuesta correcta:

(a) La ecuacion y2 � 6x� 4y � 20 = 0 corresponde a:

Una parabola cuyo vertice es V = (�4, 2).

Una parabola cuyo eje es la recta de ecuacion y = �4.

Dos rectas que se cortan en un punto.

(b) La ecuacion 5x2 + y2 = 1 corresponde a:

Una elipse con focos en el eje de abscisas.


Una elipse con focos en el eje de ordenadas.

Una hiperbola.

(c) La cuadrica x2 � y2 + z2 + 4y + 6z + 13 = 0 verifica:

Tiene por centro C = (0, 2,�3).

Contiene a la recta x� 1 = y � 2, z = 4.

No tiene centro.


Leccion 2. Numeros complejos.


1. Numeros complejos.

Numero complejo. Un numero complejo es un par ordenado (a, b) donde a yb son numeros reales. Usualmente se suele escribir el numero complejo z = (a, b)como z = a + ib donde i verifica que i2 = �1 y es llamada unidad imaginaria.Los numeros reales a y b son denominados, respectivamente, parte real y parteimaginaria del numero complejo z y se denotan como

a = Re(z) y b = Im(z).

Dos numeros complejos z y w son iguales si y solamente si Re(z) = Re(w) yIm(z) = Im(w). Al conjunto de todos los numeros complejos lo denotamos porC, es decir,

C = {z = a+ ib : a, b 2 R} .Sea z = a + bi un numero complejo. Si a = 0 entonces z = 0 + ib = ib y

diremos que el numero es imaginario puro. Si b = 0 entonces z = a+ i0 = a y, enparticular, el numero es real. De esta forma el conjunto de los numeros reales esun subconjunto de los numeros complejos.

Representacion geometrica de un numero complejo. Todo numero com-plejo se puede representar como un punto del plano, llamado plano complejo, enel que el eje horizontal X es llamado eje real y recoge las partes reales y el ejevertical Y es el eje imaginario y recoge las partes imaginarias.

19


Suma y producto de numeros complejos. Dados dos numeros complejosz = a + ib y w = c + id, definimos la suma z + w y el producto zw como losnumeros complejos

z + w = (a+ c) + i(b+ d) y zw = (ac� bd) + i(ad+ bc).

Si z, w y v son tres numeros complejos, se satisfacen las siguientes propiedades:(1) Propiedad conmutativa de la suma: z + w = w + z.(2) Propiedad asociativa de la suma: (z + w) + v = z + (w + v).(3) Existe un elemento nulo para la suma, el 0 = 0 + i0, tal que 0 + z = z

para todo z 2 C.(4) Cada numero complejo z = a + ib tiene un elemento opuesto, el numero

�z = �a� ib, tal que z + (�z) = 0.(5) Propiedad conmutativa del producto: zw = wz.(6) Propiedad asociativa del producto: (zw)v = z(wv).(7) Existe un elemento unidad para el producto, el 1 = 1 + i0, que verifica

que 1z = z1 = z para todo z 2 C.(8) Cada numero complejo z no nulo tiene un elemento inverso z�1, tal que

zz�1 = z�1z = 1. De hecho, si z = a+ bi 6= 0 se tiene que

z�1 =a

a2 + b2+ i

�b

a2 + b2.

(9) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: (z + w)v =zv + zw.

Diferencia y cociente de numeros complejos.(1) La diferencia entre el numero complejo z = a + ib y el numero complejo

w = c+ id se entiende como la suma de z con el opuesto de w.(2) El cociente entre el numero complejo z = a + ib y el numero complejo

w = c+ id se entiende como el producto de z con el inverso de w.

Conjugado de un numero complejo. Sea z = a + ib un numero complejo.Se define el conjugado de z, y se representa por z, como el numero complejoz = a� ib.

Si z y w son dos numeros complejos, se satisfacen las siguientes propiedades:(1) z + w = z + w.(2) zw = zw.

(3) Si w 6= 0, se tiene⇣ zw

⌘=

z

w.

(4) z + z = 2Re(z).(5) z � z = i2 Im(z).(6) zz = (Re(z))2 + (Im(z))2 . Por ello, si z 6= 0, entonces zz > 0.

Modulo de un numero complejo. Sea z = a + ib un numero complejo. Sedefine el modulo de z, y se representa por |z|, como el numero real no negativo

|z| =pa2 + b2.


Si z y w son dos numeros complejos, se satisfacen las siguientes propiedades:(1) |z| = 0 si y solo si z = 0.(2) |z| = |z| .

(3) |zw| = |z| |w| y, si w 6= 0,��z

w

�� =|z||w| .

(4) |Re(z)| |z| y |Im(z)| |z| .(5) zz = |z|2 . De aquı se deduce que, si z 6= 0, entonces z�1 =

z

|z|2. De esta

manera, si w 6= 0,z

w= zw�1 =

zw

|w|2.

(6) Desigualdad triangular: |z + w| |z|+ |w| .

2. Representacion en forma polar de un numero complejo.

Coordenadas polares de un punto en el plano. El punto P = (a, b) delplano puede representarse a traves de las denominadas coordenadas polares (r, ✓),donde r es la distancia de P al origen de coordenadas y ✓ es el angulo que formael vector de posicion de P con la parte positiva del eje de abscisas. Se entiendeque ✓ es positivo si es medido en sentido antihorario y negativo en caso contrario.La relacion entre las coordenadas cartesianas y polares viene dada por

a = r cos ✓, b = rsen ✓.

Argumento de un numero complejo. Sabemos que al numero z = a + ib lecorresponde el punto P = (a, b) del plano complejo. Si consideramos las coordena-das complejas (r, ✓) de dicho punto, entonces r = |z|. Al numero ✓ lo llamaremosargumento de z y lo representaremos por arg(z). Un numero complejo z tieneinfinitos argumentos, sin embargo, solo hay uno que esta en el intervalo [0, 2⇡).Es el llamado argumento principal de z y se denota por Arg(z) (a veces se tomacomo argumento principal aquel que esta en el intervalo (�⇡, ⇡]). Se observa que

r = +pa2 + b2 = |z| y que tan ✓ =

b

a.


La notacion de Euler. Si ✓ 2 R, se denota por ei✓ el numero complejo demodulo 1 y argumento ✓

ei✓ = cos ✓ + isen ✓.

Se satisfacen las siguientes igualdades:(1) ei✓ = e�i✓.(2)��ei✓�� = 1.

(3) ei✓1ei✓2 = ei(✓1+✓2).(4) ei(✓+2k⇡) = ei✓.(5) Formula de De Moivre. Si n 2 Z entonces

�ei✓�n

= ein✓.

Forma polar de un numero complejo. El numero complejo z = a+ bi puedeescribirse mediante su modulo r y su argumento ✓ como

z = a+ bi = r (cos ✓ + isen ✓) = rei✓ = |z|eiarg (z),

que denominaremos forma polar de z.Los numeros complejos z = rei✓ y w = breib✓ son iguales si y solo si

r = br y ✓ � b✓ = 2⇡k con k 2 Z,

esto es, tienen los mismos modulos y la diferencias de los argumentos es un multi-plo entero de 2⇡.

Usando la forma polar de un numero complejo se verifica que si z = rei✓ yw = breib✓ entonces:

zw = rbrei(✓+b✓)

y, si ademas, z 6= 0, entonces

z�1 =1

re�i✓.

En consecuencia, si z = rei✓ y w = breib✓ 6= 0 entonces:

z

w=

r

brei(✓�b✓).

Potencias de numeros complejos. Si z = rei✓ es un numero complejo, en-tonces se define, para cada n 2 N, la potencia n-esima de z como zn := rnein✓.Ası pues, para n 2 N, la potencia n-esima de un numero complejo tiene pormodulo la potencia n-esima del numero y por argumento el argumento del nume-ro multiplicado por n.

Si z 6= 0, se define z�n como el inverso de zn, esto es, z�n =1

rne�in✓.

Raıces n-esimas de un numero complejo. Se dice que un numero complejoz = rei✓ es raız n-esima de z0 = r0ei✓0 6= 0 si y solo si zn = z0.

z = npz0 si y solo si zn = z0.


Raıces n-esimas de un numero complejo hay, justamente, n. Todas ellas tienenel mismo modulo, la raız n�esima del modulo del numero, y sus argumentos son✓0 + 2k⇡

n=

✓0n

+2k⇡

ncon k = 0, 1, 2, . . . n� 1. Luego, son de la forma

zk

= npre

i

✓✓0+2k⇡

n

◆

, con k = 0, 1, 2, . . . , n� 1.

Notemos que la diferencia entre los argumentos de dos raıces consecutivas es2⇡

n. Por tanto, los puntos que representan a esas n raıces son los vertices de un

polıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro el origen decoordenadas y radio n

pr0.

3. Las raıces de un polinomio complejo.

Teorema fundamental del Algebra. Todo polinomio con coeficientes comple-jos

P (z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z

3 + · · ·+ an

zn an

6= 0, con n � 1

donde a0, a1, a2, a3, ..., an

son numeros complejos, tiene n raıces complejas(contando su multiplicidad).

Es decir, que dado cualquier polinomio con coeficientes complejos como elanterior P (z), podemos asegurar que existen n numeros complejos z1, z2, . . . , zntales que

P (z) = an

(z � z1) (z � z2) . . . (z � zn

) .

Ademas se verifican las siguientes relaciones entre las raıces y los coeficientes

z1 + z2 + . . .+ zn

= �an�1

an

, z1z2 . . . zn = (�1)na0an

.

Polinomios con coeficientes reales. Si el polinomio P (z) tiene coeficientesreales, esto es,

P (z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z

3 + · · ·+ an

zn an

6= 0, con n � 1

donde a0, a1, a2, a3, ..., an son numeros reales, ademas de saber que tiene n raıcescomplejas se puede decir algo mas acerca de dichas raıces:

(1) Por un lado las raıces complejas no reales aparecen por pares conjugados.Es decir, si z0 = x0 + iy0 2 C es una raız de un polinomio con coeficientes reales,entonces sus conjugada z0 = x0 � iy0 2 C tambien lo es.

(2) Como consecuencia, todo polinomio de grado impar con coeficientes realestiene alguna raız real.


Ejercicios.

Ejercicio 1. Si z = a+ ib, expresa el numero z2 en forma binomica.

Ejercicio 2. Expresa en forma binomica los siguientes numeros complejos.

(a)1 + i

1� i.

(b)(2� i)2

(�3i)3.

(c) (3 + 2i)(2� i) +2� 3i

4� i.

(d)1

i+1

i+1

i+ 1

.

Ejercicio 3. Halla los valores de b y c para los que (9 + bi)(c+ 3i) = 3 + 29i.

Ejercicio 4. Si z1 = 2 + i y z2 = 3� 2i, calcula:(a) |3z1 � 4z2| .(b) |z1|4 .

(c)

✓z1

z2 + i

◆2

.

Ejercicio 5. Dados z1 = 1 +p3i y z2 =

p2 (1� i) , calcula

z1001

z1042

y expresalo en

forma binomica.

Ejercicio 6. Dados los numeros complejos z1 = 1 + i, z2 = 1 � i, z3 = 3 + 4i,calcula

5z1 + 2z2 � z3, z21 , z1z2z3,z1z3z2

, |2z1 � 3z3| ,��z1z3z2

�� ,zn1zn�22

(n 2 N).

Ejercicio 7. Siendo z = ei2⇡5 (comprueba que z4 = z), calcula

w = 1 + z + z4 + z9 + z16.

Ejercicio 8.Utilizando la formula de De Moivre, expresa sen(2✓), cos(2✓), sen(3✓)y cos(3✓) en funcion de sen(✓) y cos(✓).

Ejercicio 9. Calcula todas la raıces sextas de un numero w 2 C sabiendo que�p3 + i es una de ellas.

Ejercicio 10. Sean z1 =

p2

2+

p6

2i y z2 = 1+ i. Halla las raıces cuartas de

z161z82

.

Ejercicio 11. Halla las raıces cuartas de w = Re

✓�6

1 + i

◆.


Ejercicio 12. Dados z1 = �8 + 8p3i y z2 = 1�

p3i, se pide:

(a) Hallar las raıces cuartas de z1.

(b) Hallar el cocientez201z802

.

Ejercicio 13. Dados los numeros complejos z1 = �2, z2 = �2i, z3 = 3 � 3i, yz4 = �2 + 2

p3i:

(a) Representalos geometricamente y escrıbelos en forma polar y exponencial.

(b) Calcula y representa geometricamente: z1 + z3, z2z3, z3z4,z3z4, z273 , z2004 .

(c) Calcula y representa geometricamente: 3pz1, 5

pz3, 4

pz4,

4

qz21 , ( 4

pz1)

2 .

Ejercicio 14. Calcula:(a) La parte imaginaria de (1� i)5 y la parte real de (1� i)2002.(b) Las raıces sextas de z = �1.

(c) La parte real de las sumas100X

k=0

ik,100X

k=0

✓1 + ip

2

◆k

.

Ejercicio 15. Encuentra todas la soluciones de la ecuacion

z6 + 8p2(1� i)z2 = 0.

Ejercicio 16. Calcula los ceros del polinomio z4 � 8iz.

Ejercicio 17. Encuentra todas las soluciones de la ecuacion

(3� 2z)3 + 27 = 0.

Ejercicio 18. Resuelve las siguientes ecuaciones polinomicas y factoriza los po-linomios correspondientes:

z2 � 2z + 2 = 0, z2 + (i� 1)z � i = 0, z6 � 2z3 + 2 = 0.

Ejercicio 19.(a) Halla la parte real e imaginaria del numero complejo z dado por

z =⇣1 +

p3i⌘27

+⇣1�

p3i⌘27

.

(b) Expresa en forma binomica las soluciones de la ecuacion

iz3 � 1 = 0.

Ejercicio 20. Resuelve, para n = 1, 2, . . . , la ecuacion polinomica

zn + (z � 2)n = 0.


Ejercicio 21. Indica la respuesta correcta. El teorema fundamental del Algebragarantiza que un polinomio real de grado 9,

tiene 9 raıces reales porque sus coeficientes son reales.

no puede tener raıces reales.

tiene 9 raıces complejas.

Ejercicio 22. Sin tratar de calcular las raıces de los siguientes polinomios,

P1(z) = z3 + 28z2 + 2z � 1, P2(z) = z4 + 2z3 � 2z � 15,P3(z) = iz2 + (3� i)z � (1 + i), P4(z) = iz5 + z3 � (1 + i)z2,

¿que se puede decir de ellas?, ¿puede garantizarse la existencia de alguna raızreal?:

Ejercicio 23. Encuentra los numeros complejos z = rei✓ que satisfacen quez4 = (z)2 .

Ejercicio 24. Encuentra los valores de z que satisfacen la ecuacion

⇣z +

p2ei⇡/4

⌘4= 16ei2⇡/3.

Ejercicio 25. Resuelve las siguientes ecuaciones (no polinomicas)(a) z � 1

z

= 3i.(b) (z)2 = z2.

Ejercicio 26. Representa en el plano complejo las curvas y recintos determinadospor las siguientes igualdades y desigualdades:

(a) Im

✓1

z

◆> Re

✓1

z

◆.

(b) Re(z2) = 0.(c) Im(z2) = 3.(d) |z � 3| = |z + i|.(e) |z � 3| > |z + i|.


Leccion 3. Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales.


1. Matrices y determinantes.

Matriz. Una matriz es un conjunto de numeros ordenados en filas y columnas,de forma que todas las filas tienen el mismo numero de elementos y todas lascolumnas tienen el mismo numero de elementos.

A =

2

66666664

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...

......

...ai1 a

i2 · · · aij

· · · ain

......

......

am1 a

m2 · · · amj

· · · amn

3

77777775

Si tiene m filas y n columnas, decimos que la dimension de la matriz es m⇥n. Elelemento a

ij

es el que esta en la fila i�esima y en la columna j�esima. A vecesrepresentaremos la matriz como A = [a

ij

] sin necesidad de representar todos loselementos de la matriz. Si m 6= n, decimos que la matriz es rectangular. Si m = n,decimos que la matriz es cuadrada.

Si A es una matriz m⇥n, los elementos a11, a22, . . . , arr con r = mın {m,n} ,forman la diagonal principal de la matriz. Si todos los elementos por debajo(arriba) de la diagonal principal son nulos, entonces la matriz se denomina tra-pezoidal superior (inferior). En particular, las matrices trapezoidales que ademasson cuadradas son llamadas triangulares.

Suma de matrices. Dadas dos matrices A = [aij

] y B = [bij

] con las mismasdimensiones m⇥n, la matriz suma A+B es la matriz A+B = [c

ij

] con entradascij

= aij

+ bij

.

La suma de matrices tiene las propiedades siguientes:(1) Propiedad conmutativa: A+B = B + A.(2) Propiedad asociativa: (A+B) + C = A+ (B + C).(3) Existencia de elemento neutro para la suma, la matriz nula 0 que tiene

todos sus elementos iguales a 0, que satisface 0+A = A+0 para cualquier matrizA.

27


(4) Existencia de la matriz opuesta: Dada A = [aij

] , existe una matriz querepresentaremos por �A y cuyos elementos son �A = [b

ij

] con bij

= �aij

, quesatisface A+ (�A) = (�A) + A = 0.

Nota: La diferencia entre matrices se entiende como la suma de la primeracon la matriz opuesta de la segunda.

Producto de un numero por una matriz. Dada una matriz A = [aij

] y unescalar (o numero) ↵, la matriz producto ↵A es la matriz ↵A = [c

ij

] con entradascij

= ↵aij

.

El producto de un numero por una matriz tiene las propiedades siguientes:(1) ↵(A+B) = ↵A+ ↵B.(2) (↵ + �)A = ↵A+ �A.(3) ↵(�A) = (↵�)A.(4) 1.A = A, siendo 1 el numero real unidad.

Producto de matrices. Para hacer el producto AB de la matriz A = [aij

] dedimensiones m ⇥ n y la matriz B = [b

ij

] de dimensiones p ⇥ q debe ocurrir quen = p, es decir, que el numero de columnas de la primera sea igual al numerode filas de la segunda. En este caso, la matriz producto AB es la matriz dedimensiones m ⇥ q cuyo elemento ij�esimo es la suma de los productos de loselementos de la fila i de A por los correspondientes de la columna j de B, estoes,

AB = [cij

] con entradas cij

= ai1b1j + a

i2b2j + · · ·+ ain

bnj

=nX

k=1

aik

bkj

,

para i = 1, 2, . . . ,m y j = 1, 2, . . . , q.

El producto de matrices tiene las propiedades siguientes (siempre que lasdimensiones sean las adecuadas):

(1) Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).(2) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

(A+B)C = AC +BC, A(B + C) = AB + AC.

(3) Existencia de matriz unidad o matriz identidad I (matriz cuadrada cu-yos elementos diagonales son 1 y los elementos no diagonales son 0) tal que almultiplicar por cualquier matriz A da la propia matriz A.

Notas:(1) El producto de matrices no es, en general, conmutativo.(2) Si dos matrices cuadradas del mismo orden conmutan, AB = BA, entonces

es valido la formula del binomio de Newton. Esta es,

(A+B)n =

✓n

0

◆An +

✓n

1

◆An�1B + · · ·+

✓n

k

◆An�kBk + · · ·+

✓n

n

◆Bn,


donde

✓n

k

◆=

n!

k!(n� k)!=

n(n� 1)(n� 2) . . . (n� k + 1)

k!y 0! = 1.

(3) Al contrario de lo que ocurre con los numeros, el producto de dos matricesdistintas de la matriz nula puede ser igual a la matriz nula. De aquı se deduceque de ser AB = AC, en general, no se puede asegurar que B = C.

Trasposicion de una matriz. Dada una matriz A = [aij

] de dimensiones m⇥n,su matriz traspuesta, que denotaremos por AT , es la matriz de dimensiones n⇥my que resulta al cambiar en A las filas por la columnas. Luego, si AT = [b

ij

] ,entonces b

ij

= aji

.Una matriz A se dice simetrica si coincide con su traspuesta, esto es, AT = A

(este concepto no tiene sentido si la matriz no es cuadrada).

La trasposicion de matrices tiene las propiedades siguientes (siempre que lasdimensiones sean las adecuadas):

(1)�AT

�T

= A.(2) (A+B)T = AT +BT .(3) (↵A)T = ↵AT .(4) (AB)T = BTAT .

Determinante de una matriz cuadrada. El determinante de una matriz cua-drada es un numero que depende de las entradas de la matriz. Lo definimos deforma recursiva de la siguiente manera.

– Determinante de orden 1 : det(A) = det(a11) = a11.– Determinante de orden n > 1 :

det(A) = det

2

6664

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

an1 a

n2 · · · ann

3

7775

= a11 det(A11)� a12 det(A12) + · · ·+ (�1)1+na1n det(A1n)

=nX

j=1

(�1)1+ja1j det(A1j),

donde la matriz Aij

representa la matriz cuadrada de orden n� 1 que se obtieneal suprimir de la matriz A la fila primera y la columna j� esima.

El desarrollo del determinante tambien se puede hacer por los elementos decualquier otra fila (no necesariamente la primera) o bien por los elementos decualquier columna. En general, si se desarrolla por los elementos de la fila i�esima,tenemos:

det(A) =nX

j=1

(�1)i+jaij

det(Aij

),

donde la matriz Aij

representa la matriz cuadrada de orden n� 1 que se obtieneal suprimir de la matriz A la fila i�esima y la columna j� esima.


El determinante de una matriz verifica las siguientes propiedades:(1) Si B es una matriz que se obtiene de A intercambiando dos filas, entonces

det(B) = � det(A).(2) Si B es la matriz que se obtiene de A multiplicando una de sus filas por

un numero ↵, entonces det(B) = ↵ det(A).(3) Si en la matriz A descomponemos una de sus filas como suma de dos

vectores y consideramos las dos matrices B y C que se obtienen de estas dosnuevas filas, conservando las demas filas de A, entonces det(A) = det(B)+det(C).

(4) Si B es la matriz que se obtiene de A sumando a una de sus filas unmultiplo de otra, entonces det(B) = det(A).

(5) Si una fila de A es combinacion lineal de las demas, entonces det(A) = 0.(6) det(AT ) = det(A) (esta propiedad nos permite trasladar a las columnas

las propiedades enunciadas anteriomente para las filas).(7) Si B es otra matriz cuadrada de la misma dimension que A, entonces

det(AB) = det(A) det(B) = det(BA).(8) det(I) = 1, siendo I la matriz unidad.

Matriz inversa de una matriz cuadrada. Dada una matriz cuadrada A, sedenomina matriz inversa de A y se representa por A�1, a toda matriz cuadradade la misma dimension que A que cumpla la condicion

AA�1 = A�1A = I.

Una matriz cuadrada se dice que es regular o no singular si posee inversa; en casocontrario se dice que es singular.

La matriz inversa verifica las siguientes propiedades:(1) La matriz A es no singular si y solo si det(A) 6= 0.

(2) Si A es no singular, entonces det(A�1) =1

det(A).

(3) Si A es no singular, entonces A�1 es no singular y (A�1)�1 = A.

(4) Si A es no singular entonces AT es no singular y�AT

��1= (A�1)T .

(5) Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces AB es nosingular si y solo si A y B son no singulares y, en ese caso, (AB)�1 = B�1A�1.En particular, si A es no singular entonces cualquier potencia natural suya Ak

con k = 1, 2, 3... es no singular y ademas�Ak

��1= (A�1)k .

(6) Si A es no singular y ↵ es un numero no nulo, entonces ↵A es no singular

y (↵A)�1 =1

↵A�1.

2. Algoritmo de Gauss.

Matriz escalonada por filas. Se dice que una matriz U es escalonada por filassi

– todos los elementos que estan por debajo del primer elemento no nulo decada fila son nulos.


– el primer elemento no nulo de cada fila esta a la derecha del primer elementono nulo de la fila anterior, y

– las filas nulas (si las hay) estan por debajo de las filas no nulas.Por ejemplo, una matriz escalonada por filas puede ser la que tiene la siguiente

estructura:

U =

2

66666664

⇤ ⇤ ⇤ ⇤ · · · ⇤ ⇤ ⇤0 ⇤ ⇤ ⇤ · · · ⇤ ⇤ ⇤0 0 0 ⇤ · · · ⇤ ⇤ ⇤...

......

.... . . ⇤ ⇤ ⇤

0 0 0 0 · · · 0 ⇤ ⇤0 0 0 0 · · · 0 0 0

3

77777775

.

Operaciones elementales por filas. Se denominan operaciones elementalespor filas en una matriz a las siguientes:

(1) Intercambio de filas.(2) Multiplicacion de una fila por un numero distinto de 0.(3) Sumar a una fila un multiplo de otra.

Algoritmo de Gauss. El Algoritmo de Gauss permite reducir una matriz cual-quiera B de dimension m ⇥ n a una matriz escalonada por filas U a traves deoperaciones elementales por filas. Los pasos a seguir son los siguientes:(1) Eleccion del pivote. Tomamos la primera columna de la matriz. Elegiremosun elemento no nulo en dicha columna que llamaremos pivote.

– Si el primer elemento de dicha columna es no nulo, este sera elegido comopivote.

– Si el primer elemento de dicha columna es nulo, pero por debajo de el hayalguno no nulo, entonces escogemos uno de ellos como pivote y realizamos unintercambio de filas para situar dicho termino en el primer lugar.Si todos los elementos de esta primera columna son nulos entonces no es posibleseleccionar un pivote en dicha columna y repetimos el paso (1) con la submatrizgenerada al eliminar la primera columna.(2) Pivoteo. En el paso anterior hemos elegido el pivote y lo hemos situado en laprimera posicion de la primera columna. Hacemos ahora ceros en dicha columnapor debajo del pivote. Para ello, a cada una de las filas siguientes le restamos unmultiplo de la fila del pivote de forma que se anule el correspondiente elementoen la columna del pivote.(3) Se repite el proceso desde el paso (1) con la submatriz que queda al eliminarla fila y la columna del pivote.El proceso se termina cuando no quedan columnas en la que obtener el siguientepivote.

Nota: El algoritmo que acabamos de describir no determina de forma unicala forma escalonada superior por filas que se obtiene, sino que esta depende de la


eleccion de pivote que se haga en cada columna donde sea posible. Sin embargo,sı es unico el numero de pivotes obtenidos.

Rango de una matriz. El rango de una matriz B se denota por r(B) y se definecomo el numero de pivotes que aparecen al aplicar el algoritmo de Gauss a dichamatriz.

Matrices elementales. Los pasos (1) y (2) del algoritmo de Gauss se puedenrealizar matricialmente premultiplicando nuestra matriz, en cada paso, por lassiguientes matrices elementales:Matriz de permutacion. La matriz P

ij

de la forma

Pij

=

2

6666666666664

1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 00 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0...

.... . .

......

...0 0 · · · 0 · · · 1 · · · 0...

......

. . ....

...0 0 · · · 1 · · · 0 · · · 0...

......

.... . .

...0 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1

3

7777777777775

(i)

(j)

(i) (j)se llama matriz de permutacion y permite, premultiplicando por ella, intercambiarlas filas (i) y (j) de la matriz dada.Matriz de pivoteo. La matriz M

i

de la forma

Mi

=

2

6666666664

1 0 · · · 0 · · · 00 1 · · · 0 · · · 0...

.... . .

......

0 0 · · · 1 · · · 00 0 · · · �↵

i+1 · · · 0...

......

...0 0 · · · �↵

m

· · · 1

3

7777777775

(i)

(i)permite, premultiplicando por ella, efectuar sobre la matriz dada las operacionesde filas siguientes:

Fk

⌘ Fk

� ↵k

Fi

, para todo k = i+ 1, . . . ,m.

Los numeros ↵k

con k = i+1, . . . ,m se llaman coeficientes de Mi

. Si el objetivo eshacer pivoteo por debajo de un pivote situado en la posicion (i, j), entoces debeelegirse cada coeficiente ↵

k

como el cociente entre el termino (k, j) y el termino(i, j), con k = i+ 1, . . . ,m. En dicho caso denominamos a M

i

matriz de pivoteo.


Propiedades de las matrices elementales.(1) Los determinantes de las matrices elementales son

det(Pij

) = �1, det(Mi

) = 1.

(2) Las matrices elementales son invertibles. Se verifica que P�1ij

= Pij

. Lamatriz M�1

i

es una matriz del mismo tipo que Mi

con coeficientes opuestos a losde M

i

.(3) El efecto que produce postmultiplicar una matriz por una matriz de per-

mutacion Pij

es intercambiar las columnas i, j de la matriz dada. El resultadodel producto P

ij

Mk

Pij

, para i, j > k, es una matriz del mismo tipo que Mk

perointercambiando el coeficiente de la fila i con el coeficiente de la fila j.

(4) Dadas dos matrices elementalesMi

,Mj

con j > i de coeficientes ↵i+1, ...,↵m

y �j+1, ..., �m

respectivamente, se verifica que

Mj

Mi

=

2

66666666666666664

1 0 · · · 0 0 · · · 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0 · · · 0...

.... . .

......

......

0 0 · · · 1 0 · · · 0 · · · 00 0 · · · �↵

i+1 1 · · · 0 · · · 0...

......

.... . .

......

0 0 · · · �↵j

0 · · · 1 · · · 00 0 · · · �↵

j+1 0 · · · ��j+1 · · · 0

......

......

......

0 0 · · · �↵m

0 · · · ��m

· · · 1

3

77777777777777775

(i)

(j)

(i) (j)

En las siguientes secciones veremos aplicaciones del algoritmo de Gauss endiversos topicos del Algebra lineal.

3. Factorizacion LU de una matriz.

Factorizacion LU de una matriz. Sea A una matriz cualquiera. Si en elalgoritmo de Gauss aplicado a A no es necesario efectuar ninguna permutacion,entonces la matriz A admite una factorizacion del tipo A = LU donde

– L es triangular inferior con elementos de la diagonal principal iguales a 1 yque puede ser obtenida a partir de las matrices de pivoteo usadas en el algoritmo;

– U es trapezoidal superior y coincide con la matriz resultante del algoritmo.

Factorizacion LU de una matriz permutada. Sea A una matriz cualquiera.Si en el algoritmo de Gauss aplicado a A es necesario efectuar alguna permutacion,entonces existe una matriz P tal que la matriz PA admite una factorizacion deltipo PA = LU donde


– L es triangular inferior con elementos de la diagonal principal iguales a 1y que puede ser obtenida a partir de las matrices de pivoteo y de permutacionusadas en el algoritmo;

– U es trapezoidal superior y coincide con la matriz resultante del algoritmo;– P es el producto de todas las permutaciones realizadas en el algoritmo.

Calculo del determinante de una matriz cuadrada. Sea A una matrizcuadrada y U el resultado de aplicar el algoritmo de Gauss sobre ella. Entonces

det(A) = (�1)pdet(U)

donde p es el numero de permutaciones realizadas.

4. Sistemas de ecuaciones lineales.

Sistema de ecuaciones lineales. Un sistema lineal de m (m = 1, 2, . . .) ecua-ciones con n (n = 1, 2, . . .) incognitas x1, x2, . . . , xn

es un sistema de ecuacionesdel tipo

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

= b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn

= b2...

......

am1x1 + a

m2x2 + · · ·+ amn

xn

= bm

9>>>=

>>>;

Dicho sistema se puede reescribir en forma matricial de la siguiente manera:

2

6664

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 a

m2 · · · amn

3

7775

2

6664

x1

x2...xn

3

7775=

2

6664

b1b2...bm

3

7775,

esto es, Ax = b donde la matriz A = [aij

] recoge todos los coeficientes y es llamadamatriz de los coeficientes , la matriz columna x = [x

i

] recoge a las incognitas yla matriz columna b = [b

i

] recoge a los terminos independientes. Llamaremosmatriz ampliada [A|b] del sistema a la matriz que recoge todos los coeficientes ylos terminos independientes.

[A|b] =

2

6664

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

.... . .

......

am1 a

m2 · · · amn

bm

3

7775

Se denomina solucion del sistema Ax = b a toda matriz columna x que veri-fique la igualdad.


Resolucion de un sistema de ecuaciones lineales. Un metodo para resolverun sistema de ecuaciones lineales consiste en la aplicacion del algoritmo de Gaussa la matriz ampliada del sistema. Este algoritmo transforma el sistema inicial enun sistema escalonado por filas equivalente, esto es, con las mismas soluciones.

2

6664

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

.... . .

......

am1 a

m2 · · · amn

bm

3

7775!

2

6666666664

⇤ ⇤ ⇤ ⇤ · · · ⇤ ⇤ ⇤0 ⇤ ⇤ ⇤ · · · ⇤ ⇤ ⇤0 0 0 ⇤ · · · ⇤ ⇤ ⇤0 0 0 0

. . . ⇤ ⇤ ⇤0 0 0 0 · · · 0 ⇤ ⇤0 0 0 0 · · · 0 0 ⇤0 0 0 0 · · · 0 0 0

3

7777777775

Una vez obtenida dicha forma escalonada por filas las soluciones del sistemaresultante se obtienen mediante sustitucion regresiva.

Estudio de la compatibilidad de un sistema lineal. Si al reducir un sistemam ⇥ n de ecuaciones lineales Ax = b a forma escalonada por filas obtenemos rpivotes en la matriz A de coeficientes del sistema, esto es r(A) = r, entoncesr mın {m,n} . Ademas, se verifica que:

(1) Si la columna del termino independiente b es columna pivote, entonces elsistema es incompatible.

(2) Si la columna del termino independiente b no es una columna pivote yr = n, entonces el sistema es compatible determinado.

(3) Si la columna del termino independiente b no es una columna pivote yr < n, entonces el sistema es compatible indeterminado.

Sistema lineal homogeneo. Un sistema homogeneo (de m ecuaciones lineales yn incognitas) se define como aquel de la forma Ax = 0. Estos sistemas son siemprecompatibles puesto que el vector nulo 0 2 Rn verifica A0 = 0. Esta solucion sedenomina solucion trivial o nula.

Estructura de las soluciones de un sistema lineal homogeneo. Si al efec-tuar eliminacion gaussiana en el sistema Ax = 0 de m ecuaciones con n incognitasse obtienen en la matriz de los coeficientes r pivotes (o lo que es lo mismo n� rvariables libres), entonces pueden conseguirse n � r soluciones u1, u2,. . . , un�rtales que la solucion general de Ax = 0 es

{x = ↵1u1 + ↵2u2 + . . .+ ↵n�run�r 2 Rn : ↵1,↵2, . . . ,↵n�r 2 R} .

Estructura de las soluciones de un sistema lineal completo. Sea A unamatriz m⇥ n y b un vector de Rm. Se verifica que2

4sol. general delsistema completo

Ax = b

3

5 =

0

@sol. particular delsistema completo

Ax = b

1

A+

2

4todas las soluciones

del sistema homogeneoAx = 0

3

5


Es decir, si tenemos una solucion particular xp

del sistema Ax = b, se verificaque

(1) Cualquier otra solucion x del sistema Ax = b se puede expresar como lasolucion particular x

p

+ una solucion (x� xp

) del sistema homogeneo asociado.(2) Al sumar x

p

con una solucion del sistema homogeneo se obtiene una solu-cion del sistema completo.

5. Metodo de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa.

Forma escalonada reducida. Una forma escalonada reducida (por filas) es unaforma escalonada (por filas) que cumple dos condiciones adicionales:

- La entrada principal de cada fila no nula es 1.- Cada 1 principal es la unica entrada diferente de cero en su columna.

La matriz reducida por filas de una matriz dada A es unica.

Obtencion de la forma escalonada reducida por filas. Para obtener laforma escalonada reducida por filas de una matriz se realiza el siguiente proceso:

(1) Reduccion por filas de la matriz, usando el algoritmo de Gauss.(2) En cada columna donde se haya obtenido un pivote (de la misma forma

que se ha pivotado hacia abajo para anular los elementos por debajo del pivote)ahora se pivota hacia arriba para anular los elementos que estan por encima decada pivote.

(3) Cada fila donde aparezca un pivote la dividimos entre dicho valor y deesta forma obtenemos un 1 en cada posicion pivote.

2

64a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · a

mn

3

75!

2

66666664

1 0 ⇤ 0 · · · 0 0 ⇤0 1 ⇤ 0 · · · 0 0 ⇤0 0 0 1 · · · 0 0 ⇤...

......

.... . . 1 0 ⇤

0 0 0 0 · · · 0 1 ⇤0 0 0 0 · · · 0 0 0

3

77777775

Caracterizacion de la existencia de la matriz inversa mediante pivotes.Una matriz cuadrada A de orden n tiene inversa si y solo si tiene rango n.

Metodo de Gauss-Jordan. Supongamos que la matriz cuadrada A tiene inver-sa. Para obtenerla, se halla la forma escalonada reducida (por filas) de la matriz[A|I]. Notemos que, al ser la matriz A invertible, todas las columnas de A soncolumnas pivotes en [A|I].

⇥A I

⇤!

2

6664

⇤ ⇤ · · · ⇤ ⇤ ⇤ · · · ⇤0 ⇤ · · · ⇤ ⇤ ⇤ · · · ⇤...

.... . .

......

.... . .

...0 0 · · · ⇤ ⇤ ⇤ · · · ⇤

3

7775


!

2

6664

1 ⇤ · · · ⇤ ⇤ ⇤ · · · ⇤0 1 · · · ⇤ ⇤ ⇤ · · · ⇤...

.... . .

......

.... . .

...0 0 · · · 1 ⇤ ⇤ · · · ⇤

3

7775!

2

6664

1 0 · · · 0 ⇤ ⇤ · · · ⇤0 1 · · · 0 ⇤ ⇤ · · · ⇤...

.... . .

......

.... . .

...0 0 · · · 1 ⇤ ⇤ · · · ⇤

3

7775

!⇥I A�1

⇤

Con este proceso, la matriz A se transforma en la identidad y la matriz identidadse transforma en A�1.

6. Vectores en Rm. Dependencia e independencia lineal.

Combinacion lineal. Dados n vectores v1, v2,. . . , vn de Rm, se llama combina-cion lineal de dichos vectores a todo vector de la forma

v = ↵1v1 + ↵2v2 + · · ·+ ↵n

vn

, con ↵1, ↵2, . . . , ↵n

2 R.

Notemos que determinar si un cierto vector v 2 Rm es o no combinacion linealde otros vectores v1, v2,. . . , vn 2 Rm es lo mismo que determinar si el sistema deecuaciones lineales

2

64

...... · · · ...

v1 v2 · · · vn

...... · · · ...

3

75

2

6664

↵1

↵2...↵n

3

7775=

2

64

...v...

3

75

tiene solucion, en cuyo caso cada una de las posibles soluciones nos dara unaforma de expresar v como combinacion lineal de v1, v2,. . . , vn.

Dependencia lineal. Dados n vectores v1, v2,. . . , vn

de Rm, se dice que elconjunto {v1, v2, . . . , vn} es linealmente dependiente si existen ↵1, ↵2,. . . , ↵n

2 Rno todos nulos tales que ↵1v1 + ↵2v2 + · · · + ↵

n

vn

= 0. En particular, se tieneque por lo menos uno de ellos se puede expresar como combinacion lineal de losdemas.

Notemos que determinar si un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} es lineal-mente dependiente es lo mismo que determinar si el sistema de ecuaciones linealeshomogeneo

2

64

...... · · · ...

v1 v2 · · · vn

...... · · · ...

3

75

2

6664

↵1

↵2...↵n

3

7775=

2

640...0

3

75

tiene solucion solucion no trivial, esto es, si es un sistema compatible indetermi-nado.


Independencia lineal. Dados n vectores v1, v2,. . . , vn de Rm, se dice que elconjunto {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si no es linealmente depen-diente, esto es, los unicos numeros ↵1, ↵2, . . . ,↵n

2 R para los que es posibleque

↵1v1 + ↵2v2 + · · ·+ ↵n

vn

= 0

son ↵1 = ↵2 = · · · = ↵n

= 0.Notemos que determinar si un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} es lineal-

mente independiente es lo mismo que determinar si el sistema de ecuacioneslineales homogeneo

2

64

...... · · · ...

v1 v2 · · · vn

...... · · · ...

3

75

2

6664

↵1

↵2...↵n

3

7775=

2

640...0

3

75

tiene como unica solucion la trivial, esto es, si es un sistema compatible determi-nado.

Propiedades de la dependencia lineal.(1) La dependencia o independencia lineal del conjunto {v1, v2, . . . , vn} no

depende del orden en el que esten dados los vectores.(2) Siendo c 2 R, c 6= 0,

{v1, v2, . . . , vn} es lin. dep. () {u1 = cv1, v2, . . . , vn} es lin. dep.

{v1, v2, . . . , vn} es lin. ind. () {u1 = cv1, v2, . . . , vn} es lin. ind.

(3) El conjunto {0, v2, . . . , vn} es linealmente dependiente.(4) Siendo ↵ 2 R

{v1, v2, . . . , vn} es lin. dep. () {v1, u2 = v2 + ↵v1, , . . . , vn} es lin. dep.

{v1, v2, . . . , vn} es lin. ind. () {v1, u2 = v2 + ↵v1, , . . . , vn} es lin. ind.

(5) Al anadir vectores a un conjunto linealmente dependiente se obtiene unconjunto linealmente dependiente. Y al suprimir vectores de un conjunto lineal-mente independiente se obtiene un conjunto linealmente independiente.

Caracterizaciones de la independencia lineal. Consideremos {v1, v2, . . . , vn}vectores de Rm y consideremos la matriz A cuyas columnas con las coordenadasde los vectores dados

A =

2

64

...... · · · ...

v1 v2 · · · vn

...... · · · ...

3

75

Son equivalentes:(1) {v1, v2, . . . , vn} son linealmente independientes.


(2) El sistema de ecuaciones Ax = 0 tiene solo la solucion trivial.(3) Al reducir A a forma escalonada por filas se obtienen n pivotes, es decir,

r(A) = n.

Caracterizaciones de la dependencia lineal. Consideremos {v1, v2, . . . , vn}vectores de Rm y consideremos la matriz A cuyas columnas con las coordenadasde los vectores dados

A =

2

64

...... · · · ...

v1 v2 · · · vn

...... · · · ...

3

75

Son equivalentes:(1) {v1, v2, . . . , vn} son linealmente dependientes.(2) El sistema de ecuaciones Ax = 0 tiene infinitas soluciones.(3) Al reducir A a forma escalonada por filas se obtienen r pivotes con r < n,

es decir, r(A) < n. Luego, hay r vectores linealmente independientes.(4) Alguno de los vectores v

k

es combinacion lineal de los restantes.

Nota: Si tenemos los vectores {v1, v2, . . . , vn} de Rm y consideramos la matrizA cuyas columnas con las coordenadas de los vectores dados

A =

2

64

...... · · · ...

v1 v2 · · · vn

...... · · · ...

3

75

entonces al llevar A a su forma reducida por filas no solo conseguiremos saberque columnas son dependientes de las demas (y, por tanto, que vectores soncombinacion lineal de los demas) sino que ademas obtendremos las combinacioneslineales que los ligan.


Ejercicios.

Ejercicio 1. Calcula el rango de la siguiente matriz

A =

2

66664

1 1 1 1 22 1 3 2 21 �1 3 1 �20 1 �1 0 21 0 2 1 0

3

77775.

Ejercicio 2. Aplica el metodo de eliminacion de Gauss a las siguientes matricesy obten la factorizacion A = LU .

(a) A =

2

664

2 �1 3 42 �1 4 2�4 2 �7 �7�2 1 �1 �1

3

775 , (b) B =

2

664

2 1 0 �1 24 5 0 0 3�2 8 1 8 10 3 �1 1 1

3

775 ,

(c) C =

2

66664

2 �1 1 01 1 �1 �1�1 �1 1 10 1 �1 23 0 0 �1

3

77775.

Ejercicio 3. Encuentra la factorizacion PA = LU de las matrices

(a) A =

2

664

1 2 32 4 21 1 1�2 1 �1

3

775 , (b) A =

2

664

0 1 2 0�1 0 1 2�2 �1 1 10 �2 �1 0

3

775 .

Ejercicio 4. Calcula la factorizacion A = LU de

A =

2

41 ↵ 21 ↵2 32 2↵ + 1 2

3

5

cuando sea posible. En caso contrario encuentra la factorizacion PA = LU . De-termina el valor del determinante de A en funcion de ↵.

Ejercicio 5. Encuentra los vectores de R4 que verifican que la suma de suscomponentes es 3, sus componentes segunda y cuarta son iguales y su terceracomponente es el doble de la primera.

Ejercicio 6. Resuelve los siguientes sistemas:

(a)

8<

:

x1+ x2+ x3 = 32x1+3x2+ x3 = 6x1+5x2+2x3 = 8

9=

; , (b)

8<

:

x1+2x2+x3 = 52x1+4x2�x3 = 7x1� x2 = 1

9=

; ,


(c)

8<

:

2x1+x2+ x3 = 1x1�x2+2x3 = �1x1+x2+3x3 = 1

9=

; .

Ejercicio 7. Resuelve los siguientes sistemas y expresa la solucion en formavectorial parametrica:

(a)

8>><

>>:

x1+x2+2x3+2x4 = 0x1+x2�3x3�3x4 = 0x1+x2+4x3+4x4 = 0x1+x2+5x3+5x4 = 0

9>>=

>>;, (b)

8<

:

x1+2x2+ x3 = 32x1+4x2+3x3+x4 = 9�x1�2x2+ x3+x4 = 2

9=

; .

Ejercicio 8. Discute, segun los valores de a 2 R, el sistema8>><

>>:

ax1 + x2 + x3 + x4 = ax1 + ax2 + x3 + x4 = ax1 + x2 + ax3 + x4 = ax1 + x2 + x3 + ax4 = a

9>>=

>>;.

Ejercicio 9. Discute los siguientes sistemas segun los valores de los parametros:

(a)

8>><

>>:

ax+ y + z + u = ax+ ay + z + u = ax+ y + az + u = ax+ y + z + au = a

9>>=

>>;, (b)

8>><

>>:

ax+ y + z = ax+ ay � z = 13x+ y + bz = 2x� y � z = 1

9>>=

>>;.

Ejercicio 10. Sean

A =

2

41 0 �1 20 2 1 01 �2 �2 2

3

5 , b =

2

412↵

� � 2↵

3

5 y x =

2

664

x1

x2

x3

x4

3

775 .

(a) Calcula los valores de ↵ y � para los que el sistema Ax = b es compatible.(b) Con ↵ = 0 y � = 1, halla la solucion (o soluciones) de Ax = b que verifican

x2 = 0 y x1 � x3 + x4 = 0.

Ejercicio 11. Para cada ↵, � 2 R, considera los vectores

v1 =

2

664

1�1�↵1

3

775 , v2 =

2

664

1↵1

�↵

3

775 , v3 =

2

664

10

�11

3

775 , v4 =

2

664

1�1�1

3

775

y la matriz B = [v1|v2|v3] . Discute el sistema Bx = v4 segun los valores de ↵ y�.

Ejercicio 12. Consideremos el sistema siguiente2

664

1 2 �32 �1 43 a 1b 4 �b

3

775

2

4x1

x2

x3

3

5 =

2

664

�132

b� 4

3

775 .


Determina las condiciones a satisfacer por a y b para que dicho sistema sea,respectivamente,

(a) incompatible, (b) compatible determinado, (c) compatible indeterminado.

Ejercicio 13. ¿Para que valores de a 2 R tiene inversa la matriz A dada por

A =

2

41 2 1

�a 0 1a 1 a

3

5?

Calcula la inversa para a = 0.

Ejercicio 14. ¿Son invertibles las siguientes matrices? En caso afirmativo, calculasus inversas usando el metodo de Gauss-Jordan. En caso negativo, explica porque.

A =

2

42 �1 0�1 2 �10 �1 2

3

5 , B =

2

42 0 01 1 1�1 1 1

3

5 ,

C =

2

41 1 10 1 10 0 1

3

5 , D =

2

41 1 00 1 10 0 1

3

5 .

Ejercicio 15. Calcula, si existen, las inversas de

A =

2

664

2 1 4 60 3 8 50 0 0 70 0 0 9

3

775 , B =

2

664

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

3

775 .

Ejercicio 16. Sean los vectores

v1 =

2

4121

3

5 , v2 =

2

4112

3

5 , v3 =

2

414

�1

3

5 , v4 =

2

4011

3

5 y v5 =

2

4334

3

5 .

(a) Considera la matriz A =⇥v1 v2 v3 v4 v5

⇤y encuentra su forma

escalonada por filas.(b) ¿Son v1, v2 y v3 linealmente independientes?(c) Escribe, si es posible, v2 como combinacion lineal de v1, v3 y v4.(d) Escribe, si es posible, v1 como combinacion lineal de v2, v4 y v5.

Ejercicio 17. Sean los vectores

v1 =

2

4121

3

5 , v2 =

2

4112

3

5 , v3 =

2

414

�1

3

5 , v4 =

2

401a

3

5 y v5 =

2

4334

3

5 .


(a) Considera la matriz A =⇥v1 v2 v3 v4 v5

⇤y encuentra su forma

escalonada por filas, segun los valores de a 2 R. Escribir, cuando sea posible, v5como combinacion lineal de v1, v2 y v3 y como combinacion lineal de v1, v2 y v4.

(b) Sea la matriz B =⇥v1 v2 v3 v4

⇤. Discutir el sistema Bx = v5 segun

los valores de a 2 R encontrando su solucion cuando sea compatible.

Ejercicio 18. Dados los vectores de R5,

v1 =

2

66664

21

�132

3

77775, v2 =

2

66664

11011

3

77775, v3 =

2

66664

15421

3

77775y v4 =

2

66664

26432

3

77775.

(a) ¿Son v1, v2, v3 y v4 linealmente independientes?(b) ¿Es v4 combinacion lineal de v1, v2,y v3?(c) ¿Es v1 combinacion lineal de v2, v3,y v4?(d) ¿Es v4 combinacion lineal de v1 y v2?(e) ¿Es v4 combinacion lineal de v2,y v3?(f) ¿Son v1, v2 y v3 linealmente independientes?


Leccion 4. El espacio vectorial Rn.


1. Subespacios vectoriales de Rn.

Subespacio vectorial. Se llama subespacio vectorial de Rn a todo subconjuntono vacıo S ✓ Rn que verifica que si dos vectores estan en S, entonces tambien loesta cualquiera de sus combinaciones lineales, esto es,

si u, v 2 S y ↵, � 2 R entonces ↵u+ �v 2 S.

Notas:(1) El vector nulo pertenece a cualquier subespacio vectorial.(2) S = {0} y S = Rn son subespacios vectoriales llamados subespacios tri-

viales.(3) En el espacio bidimensional R2 los subespacios son, ademas de los dos

subespacios triviales, las rectas que pasan por el origen.(4) En el espacio tridimensional R3 los subespacios son, ademas de los dos

subespacios triviales, las rectas y planos que pasan por el origen.

Subespacio generado por un conjunto de vectores. Dado un conjunto devectores {v1, v2, . . . , vp} de Rn, se llama subespacio generado por dichos vectoresal conjunto de todas las combinaciones lineales de dichos vectores,

Gen {v1, v2, . . . , vp} = {↵1v1 + ↵2v2 + · · ·+ ↵p

vp

: ↵1,↵2, . . . ,↵p

2 R} .

Propiedades de los subespacios generados.(1) Gen{v1, v2, . . . , vp} es un subespacio vectorial de Rn.(2) Gen{v1, v2, . . . , vp} ◆Gen{v2, . . . , vp} .(3) Gen{v1, v2, . . . , vp} =Gen{↵v1, v2, . . . , vp} si ↵ 6= 0.(4) Gen{v1, v2, . . . , vp} =Gen{v1 + ↵v2, v2, . . . , vp} .(5) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al anadir

combinaciones lineales de dichos vectores.(6) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al quitar

vectores que sean combinacion lineal de los restantes.

45


2. Espacio columna y espacio nulo de una matriz.

A partir de una matriz A =

2

6664

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 a

m2 · · · amn

3

7775se pueden definir dos

subespacios vectoriales importantes: el espacio nulo y el espacio columna.

Espacio nulo de una matriz. Se denomina espacio nulo de la matriz A alconjunto solucion del sistema homogeneo Ax = 0,

Nul(A) = {x 2 Rn : Ax = 0} .

El espacio nulo de A es un subespacio vectorial contenido en Rn.

Un vector x =

2

6664

x1

x2...xn

3

77752 Rn pertenece al espacio nulo de A si y solo si Ax = 0,

esto es, si y solo si,

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

= 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn

= 0...

am1x1 + a

m2x2 + · · ·+ amn

xn

= 0

9>>>=

>>>;

Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones implıcitas del espacio Nul(A).

Espacio columna de una matriz. Se denomina espacio columna de la matrizA al conjunto formado por todas las combinaciones lineales de las columnas deA, es decir, si v1, v2, . . . , vn 2 Rm son los n�vectores columnas de A,

Col(A) = Gen {v1, v2, . . . , vn} .

El espacio columna de A es un subespacio vectorial contenido en Rm.

Un vector y =

2

6664

y1y2...ym

3

77752 Rm pertenece al subespacio columna de A si y solo

si existen ↵1,↵2, . . . ,↵n

2 R tal que

y = ↵1v1 + ↵2v2 + · · ·+ ↵n

vn

= A

2

6664

↵1

↵2...↵n

3

7775,

Fernando Sánchez Gómez





esto es, existen ↵1,↵2, . . . ,↵n

2 R tal que8>>><

>>>:

y1 = ↵1a11 + ↵2a12 + · · ·+ ↵n

a1n,y2 = ↵1a21 + ↵2a22 + · · ·+ ↵

n

a2n,...

ym

= ↵1am1 + ↵2am2 + · · ·+ ↵n

amn

.

Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones parametricas del espacio Col(A).En particular ocurre que

Col(A) = {y 2 Rm : Ax = y es un sistema compatible} .

Ecuaciones implıcitas y parametricas de un subespacio. Todo subespaciovectorial de Rn puede describirse como el espacio nulo de una matriz. Se deno-minan ecuaciones implıcitas del subespacio a unas ecuaciones implıcitas de dichoespacio nulo. De forma analoga, todo subespacio vectorial de Rn puede describirsecomo el espacio columna de una matriz. Se denominan ecuaciones parametricasdel subespacio a unas ecuaciones parametricas de dicho espacio columna.

3. Bases y dimension de un subespacio vectorial.

Base de un subespacio. Dado un subespacio vectorial S ✓ Rn distinto delsubespacio nulo S 6= {0} , se dice que un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vp} deS es una base de S si:

(1) {v1, v2, . . . , vp} es un conjunto linealmente independiente.(2) {v1, v2, . . . , vp} generan S, esto es, S =Gen{v1, v2, . . . , vp} .

Caracterizacion matricial de base. Sea S ✓ Rn un subespacio no nulo. Elconjunto {v1, v2, . . . , vp} ⇢ S es una base de S si y solo si la matriz

A =

2

64

......

......

v1 v2 · · · vp

......

......

3

75

verifica que Nul(A) = {0} y Col(A) = S.

Base canonica de Rn. Los vectores de Rn,8>>><

>>>:e1 =

2

6664

10...0

3

7775, e2 =

2

6664

01...0

3

7775, . . . , e

n

=

2

6664

00...1

3

7775

9>>>=

>>>;

forman una base de Rn, llamada base canonica de Rn.


Coordenadas de un vector respecto de una base. Sea S un subespaciovectorial con base {v1, v2, . . . , vp}, cada vector v de S se puede expresar de formaunica como combinacion lineal de los vectores de la base dada,

v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cp

vp

.

Los coeficientes que aparecen en dicha expresion (c1, c2, . . . , cp) se denominancoordenadas de v respecto a la base dada B = {v1, v2, . . . , vp} y se suele denotarpor

[v]B =

2

6664

c1c2...cp

3

7775

Dimension de un subespacio vectorial. Dado un subespacio vectorial S deRn distinto del subespacio nulo S 6= {0} , se verifican:

(1) S tiene base.(2) Todas las bases de S tienen el mismo numero de elementos.

Al numero de elementos de una base de S se le denomina dimension de S, quedenotaremos como dim(S). Por definicion, la dimension del subespacio formadopor el vector nulo es cero.

El espacio vectorial Rn tiene dimension n y si S es un subespacio vectorial deRn y dim(S) = n, entonces S = Rn.

Relacion de la dimension de un subespacio con el rango de una matriz.Sea A una matriz m⇥ n cualquiera.

(1) dim(Col(A)) = r(A).(2) r(A) = r(AT ).(3) Teorema del rango.

dim(Col(A)) + dim(Nul(A)) = n.

Si la matriz A representa la matriz de coeficientes de un sistema de ecuacioneslineales compatible, entonces el Teorema del rango se puede expresar mediante

(numero de pivotes) + (numero de variables libres) = n.

Teorema de la base. Consideremos un subespacio vectorial S de Rn de dimen-sion p (p n) y un conjunto de vectores {u1, u2, . . . , uq

} ⇢ S.(1) Si {u1, u2, . . . , uq

} generan S, entonces q � p. Ademas, q = p si y solo si{u1, u2, . . . , uq

} es una base de S.(2) Si {u1, u2, . . . , uq

} es linealmente independiente, entonces q p. Ademasq = p si y solo si {u1, u2, . . . , uq

} es una base de S.


Cambio de base. Sean dos bases B = {v1, v2, . . . , vn} y U = {u1, u2, . . . , un

} deRn y las matrices B y U cuyas columnas son, respectivamente, los vectores dedichas bases, esto es,

B =

2

64

......

......

v1 v2 · · · vn

......

......

3

75 U =

2

64

......

......

u1 u2 · · · un

......

......

3

75 .

La matrizP

B U= B�1U

permite cambiar las coordenadas de cualquier vector respecto de la base U a suscoordenadas respecto de B, esto es, si v 2 Rn entonces

[v]B = PB U

[v]U .

Propiedades de la matriz de cambio de base. Sean dos bases B y U de Rn.(1) Si U = {u1, u2, . . . , un

} , entonces

PB U

=⇥[u1]B [u2]B · · · [u

n

]B⇤,

esto es, las columnas de la matriz del cambio estan formadas por las coordenadasde los vectores de la base U respecto de la base B.

(2) La matriz del cambio de base es invertible y se tiene que PU B

=⇣

PB U

⌘�1.

4. Transformaciones lineales.

Transformacion lineal. Se dice que una transformacion T : Rn ! Rm que

a cada vector x =

2

64x1...xn

3

75 2 Rn hace corresponder como imagen un vector

Tx = y =

2

64y1...ym

3

75 2 Rm es lineal si se verifica que

T (↵x+ �bx) = ↵T (x) + �T (bx) para todo x, bx 2 Rn y todo ↵, � 2 R.

Propiedades de las transformaciones lineales.(1) Toda transformacion lineal T : Rn ! Rm debe transformar el vector nulo

de Rn en el vector nulo de Rm.(2) Toda transformacion lineal T : Rn ! Rm transforma una combinacion

lineal de los vectores {v1, v2, . . . , vp} de Rn en una combinacion lineal de losvectores {T (v1) , T (v2), . . . , T (vp)} de Rm.


(3) Toda transformacion lineal T : Rn ! Rm transforma un subespacio S deRn en otro subespacio T (S) de Rm dado por

T (S) = {T (x) : x 2 S} = {y 2 Rm : existe x 2 S con T (x) = y} .

Representacion matricial. Dada una transformacion lineal T : Rn ! Rm,existe una unica matriz A (de dimensiones m ⇥ n ) que verifica que la imagende cualquier vector x 2 Rn es T (x) = Ax 2 Rm, esto es, es la unica matriz queal multiplicarla por un vector x 2 Rn arbitrario da el vector transformado de xmediante T. A esa matriz A se le denomina matriz asociada a T (respecto a lasbases canonicas {e1, e2, . . . , en} de Rn y {e01, e02, . . . , e0n} de Rm)

Ademas, esa matriz tiene por columnas los vectores T (e1), T (e2), . . . T (en),

A =

2

64

...... · · · ...

T (e1) T (e2) · · · T (en

)...

... · · · ...

3

75

Nucleo e imagen de una transformacion lineal. Consideremos una trans-formacion lineal T : Rn ! Rm. Se denomina nucleo de T al subespacio vectorialde Rn

{x 2 Rn : T (x) = 0} .

Se llama imagen de T al subespacio vectorial de todos los vectores de Rm queson imagen de algun vector de Rn, esto es,

T (Rn) = {T (x) : x 2 Rn} = {y 2 Rm : existe x 2 Rn con T (x) = y} .

Observese que si A es la matriz asociada a la transformacion T , entonces elnucleo de T coincide con Nul(A) y la imagen de T coincide con Col(A).


Ejercicios.

Ejercicio 1. Consideremos en R3 el conjunto S formado por aquellos vectorestales que la suma de sus componentes valen 0. ¿Es S un subespacio vectorial? ¿Yel conjunto bS formado por aquellos vectores tales que la suma de sus componentesvalen 1?

Ejercicio 2. Determina cuales de los siguientes conjuntos de vectores son subes-pacios vectoriales:

(a) El conjunto de los vectores (x1, x2) 2 R2 cuyas coordenadas verifican,respectivamente,

(a.1) x1x2 = a (a 2 R),(a.2) x1 + 2x2 = 0 o x1 � x2 = 0,(a.3) x2

1 + x22 = a (a 2 R),

(a.4) x1 + 2x2 = a y x1 � x2 = b, (a, b 2 R).(b) El conjunto de los vectores (x1, x2, x3) 2 R3 cuyas coordenadas verifican,

respectivamente,(b.1) (x1 + x2)(x2 + x3) = 0,(b.2) x1 = 0 y (x2 = 0 o x3 = 0),

(b.3) Se pueden expresar de la forma

8<

:

x1 = ↵,x2 = ↵ + ↵2,x3 = 0,

9=

; para algun ↵ 2 R.

(b.4) x1 + x2 + x3 0.(c) El conjunto de los vectores (a1, a2, . . . , an) 2 Rn tales que cada una de las

coordenadas a3, . . . , an es la media (aritmetica) de las coordenadas anteriores.

Ejercicio 3. Para cada b 2 R, considera la matriz

B =

2

41 �1 1 11 2 0 �10 b �1 �2

3

5 .

Encuentra, segun los valores de b, un conjunto generador linealmente indepen-diente del espacio Nul(B).

Ejercicio 4. Para cada a 2 R, considera la matriz

A =

2

664

0 1 11 �1 �3

�2 0 4�1 2 a

3

775 .

Encuentra, segun los valores de a, unas ecuaciones implıcitas del espacio Col(A).Para a = 1, escribe razonadamente, si es que existe, una matriz C de dimensiones4⇥ 5 tal que Col(C) = Col(A).


Ejercicio 5. Dada la matriz

A =

2

664

�1 0 1 2 1�2 2 2 5 01 �4 0 �3 3

�1 2 1 3 �1

3

775 .

Considera los subespacios Nul(A) y Col(A) y encuentra, para cada uno de ellos,unas ecuaciones implıcitas, unas ecuaciones parametricas y un sistema generador.

Ejercicio 6. Halla las ecuaciones parametricas de Nul(A), siendo A la matriz

A =

2

66664

1 �2 0 01 �3 3 00 1 �1 0

�1 2 4 02 �3 �1 0

3

77775.

Ejercicio 7. Encuentra unas ecuaciones implıcitas del subespacio de R4 dado por

E = Gen

8>><

>>:

2

664

1110

3

775 ,

2

664

2012

3

775 ,

2

664

021

�2

3

775 ,

2

664

0�2�12

3

775 ,

2

664

�110

�2

3

775

9>>=

>>;.

Ejercicio 8. Determina dos bases distintas de cada uno de los subespacios si-guientes ası como ecuaciones implıcitas independientes para cada uno de ellos:

(a) Vectores de R3 que pueden expresarse como combinacion lineal de

v1 =

2

4�102

3

5 y v2 =

2

4111

3

5

y cuyas coordenadas verifican la ecuacion x1 � x2 + x3 = 0.(b) Subespacio de R4 generado por los vectores

v1 =

2

664

�1020

3

775 , v2 =

2

664

20�40

3

775 v3 =

2

664

1111

3

775 y v4 =

2

664

3202

3

775 .

(c) Subespacio de R4 definido por las ecuaciones implıcitas8<

:

x1 � x2 + x3 � x4 = 0�2x1 + x2 + x3 = 03x1 � 2x2 � x4 = 0

9=

; .


Ejercicio 9.(a) Demuestra que para una matriz cuadrada A se verifica que

Nul(A) ✓ Nul(A2) ✓ · · · y Col(A) ◆ Col(A2) ◆ · · ·

(b) Demuestra que para dos matrices A y B con las dimensiones adecuadasse verifica que

Nul(B) ✓ Nul(AB) y Col(A) ◆ Col(AB).

Ejercicio 10. Extiende a una base de Rn el conjunto linealmente independienteque se da:

(a) {v1 = (1, 1, 1)} en R3.(b) {v1 = (1, 3, 4), v2 = (1, 0, 2)} en R3.(c) {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 3, 0)} en R3.(d) {v1 = (1, 1, 0, 1), v2 = (2, 1, 0, 3)} en R4.

Ejercicio 11. Determina la dimension del espacio columna de las siguientes ma-trices:

A =

2

664

0 1 �1 2 00 2 1 2 �20 1 �1 2 00 0 �1 �2 3

3

775 , B =

2

664

�1 1 �1 23 2 3 22 1 2 20 1 0 �2

3

775 .

Ejercicio 12. Sea A una matriz 20⇥15 cuyo rango es rango(A) = 12. Determinala dimension de los siguientes subespacios vectoriales,

Col(A), Nul(A), Col(AT ) y Nul(AT ).

Ejercicio 13. Halla las matrices de cambio de base entre la base canonica de R3

y la base

B =

8<

:v1 =

2

4�210

3

5 , v2 =

2

41

�23

3

5 , v3 =

2

4�10

�1

3

5

9=

;

y obten las coordenadas del vector u =

2

40

�410

3

5 respecto de la base B.

Ejercicio 14. Sean B1 = {u1, u2, u3, u4} y B2 = {v1, v2, v3, v4} dos bases de R4

tales que

u1 = v1 � v2,

u2 = v2,

u3 = v2 � 2v3,

u4 = v1 + v2 + v3 + v4.


Halla las matrices de cambio de base entre las bases B1 y B2.

Ejercicio 15. Considera la base B =

⇢u1 =

21

�, u2 =

�3�1

��de R2. Obten,

en dicha base, unas ecuaciones implıcitas y una ecuaciones parametricas de lossubespacios que, en la base canonica, vienen definidos mediante

E ⌘ x1 + x2 = 0,

F ⌘ x1 � 2x2 = 0,

G = Gen

⇢11

��,

H = Gen

⇢31

��.

Ejercicio 16. Dadas las bases de R2

B1 =

⇢u1 =

�52

�, u2 =

2

�1

��y B2 =

⇢v1 =

�31

�, v2 =

�41

��,

(a) Halla las matrices de cambio de base entre B1 y B2.(b) Obten las coordenadas respecto de la base B2 del vector v cuyas coorde-

nadas respecto de la base B1 son [v]B1=

21

�.

Ejercicio 17. ¿Cuales de las siguientes transformaciones T : R2 ! R3 son linea-les?

T

✓x1

x2

�◆=

2

4x1 + x2

2x1

x1 � x2

3

5 , T

✓x1

x2

�◆=

2

4ex1

0x2

3

5 .

Ejercicio 18. Sea T : R3 ! R3 la transformacion dada por

T

0

@

2

4x1

x2

x3

3

5

1

A =

2

4x1 + x2

x3 � x1

x1 � x2 � x3

3

5 .

Se pide:(a) Comprobar que T es una transformacion lineal.(b) Hallar la matriz A asociada a T (respecto de las bases canonicas).

Ejercicio 19. Sea T : R3 ! R3 la transformacion lineal que verifica

T

0

@

2

4101

3

5

1

A =

2

411

�2

3

5 , T

0

@

2

4011

3

5

1

A =

2

411

�2

3

5 y T

0

@

2

401

�1

3

5

1

A =

2

41

�12

3

5 .


Se pide:(a) Hallar la matriz A que representa a T cuando se trabaja con las bases

canonicas.(b) Determina el nucleo de T .

Ejercicio 20. Dada la transformacion lineal T : R3 ! R3 que a cada x =

2

4x1

x2

x3

3

5

le hace corresponder

T (x) =

2

4x1 � x2

ax2 � x3

�x1 + ax3

3

5 2 R3.

(a) Halla la matriz A asociada a la transformacion lineal T (respecto de lasbases canonicas).

(b) Encuentra una base de la imagen de T segun los valores de a 2 R.(c) Para a = 1, obten unas ecuaciones implıcitas de la imagen de T y una

base del nucleo de T .

Ejercicio 21. Sea T : R3 ! R4 la transformacion lineal que verifica

T

0

@

2

4120

3

5

1

A =

2

664

1�1�12

3

775 , T

0

@

2

4110

3

5

1

A =

2

664

0�303

3

775 y T

0

@

2

4101

3

5

1

A =

2

664

1�4�15

3

775 .

(a) Calcula la matriz A asociada a T .(b) Encuentra una base y unas ecuaciones implıcitas de la imagen de T .(c) Obten una base y unas ecuaciones implıcitas del nucleo de T .

Ejercicio 22. Sea T : R5 ! R3 la transformacion lineal con matriz asociada Aque verifica

T (e1) =

2

4103

3

5 , T (e2) =

2

4120

3

5 y Nul(A) =

⇢x1 + 2x3 = 0,x2 � 3x4 = 0.

(a) Halla un sistema generador linealmente independiente de Nul(A).(b) Encuentra la matriz A.(c) Halla unas ecuaciones implıcitas del subespacio Col(A) y razona si el vector

v =

2

664

1020

3

775 pertenece a dicho subespacio.

Ejercicio 23. Determina la matriz A de una transformacion lineal T : R3 �! R2

sabiendo que el Nul(A) viene dado por la ecuacion implıcita x1 � x2 � x3 = 0 y


que

T

0

@

2

4111

3

5

1

A =

2�1

�.

Ejercicio 24. Se considera la transformacion lineal T cuya matriz asociada es

A =

1 2 1 22 4 1 3

�.

(a) Determina la imagen de T .(b) Calcula los vectores del nucleo de T que, a su vez, verifican el sistema de

ecuaciones ⇢x1 + 4x2 � 2x3 + x4 = 2,x1 + 6x2 � 4x3 + x4 = 4.

(c) Sea S el conjunto de los vectores encontrados en el apartado anterior. ¿EsS un subespacio vectorial de R4? Justifica la respuesta.

Ejercicio 25. Sea T : R3 ! R4 la aplicacion lineal dada por

T (x) =

2

664

1 2 �32 �1 43 a 1b 4 �b

3

775

2

4x1

x2

x3

3

5 .

Determina las condiciones que deben satisfacer los numeros a y b para que elvector v = (�1, 3, 2, b� 4) verifique respectivamente:

(a) No pertenezca a la imagen de T .(b) Sea la imagen de un unico vector de R3.(c) Sea la imagen de infinitos vectores de R3.

Ejercicio 26.(a) Sea T : R2 ! R2 la transformacion lineal que corresponde a un giro de

centro el origen de coordenadas y angulo ✓ (en el sentido positivo). Halla la matrizdel giro T.

(b) Sea T : R2 ! R2 la transformacion lineal que corresponde a una homoteciade razon r, esto es, T (x, y) = (rx, ry). Halla la matriz que representa a dichahomotecia.

(c) Sea T : R2 ! R2 la transformacion lineal que corresponde a la proyeccionortogonal sobre la recta y = mx. Halla la matriz de la proyeccion T.

(d) Sea T : R2 ! R2 la transformacion lineal que corresponde a la simetrıarespecto de la recta y = mx. Halla la matriz de la simetrıa T.

Ejercicio 27. Determina la matriz de cada una de las siguientes transformacioneslineales:

(a) Proyeccion ortogonal sobre la recta 2x� 3y = 0.


(b) Simetrıa respecto de la recta 2x� 3y = 0.

(c) Proyeccion ortogonal sobre la recta

⇢2x� 3y + z = 0x+ y + z = 0

�.

(d) Simetrıa respecto de la recta del apartado anterior.(e) Proyeccion ortogonal sobre el plano 2x� 3y + z = 0.(f) Simetrıa respecto al plano 2x� 3y + z = 0.

Ejercicio 28. Describe como se transforman:(a) los vectores canonicos,(b) el cuadrado unidad,(c) el rectangulo [2, 4]⇥ [1, 2]

mediante las matrices

A =

3 00 �2

�, B =

1 20 1

�, C =

1p2

1 1�1 1

�, D =

1 11 1

�.


Leccion 5. Ortogonalidad. Mınimos cuadrados.


1. Producto escalar y ortogonalidad.

Producto escalar. Consideremos dos vectores u =

2

6664

c1c2...cn

3

7775, v =

2

6664

d1d2...dn

3

77752 Rn,

se denomina producto escalar de los vectores u y v, al numero real

u · u = uTv = c1d1 + c2d2 + · · ·+ cn

dn

.

Norma de un vector. Se denomina norma del vector v 2 Rn al numero realno-negativo

kvk =pv · v � 0,

Distancia entre dos vectores. Se denomina distancia entre u, v 2 Rn al nume-ro real no-negativo

d(u, v) = ku� vk .

Angulo entre dos entre dos vectores. El angulo determinado por dos vectoresno nulos u, v 2 Rn puede caracterizarse mediante la igualdad

u · v = kuk kvk cos(du, v)

Propiedades del producto escalar. Sean u, v 2 Rn y ↵ 2 R, se verifican:(1) kvk = 0 si y solo si v = 0.(2) k↵vk = |↵| kvk .(3) Desigualdad triangular: ku+ vk kuk+ kvk .Como consecuencia ku� vk kuk+ kvk .(4) Desigualdad de Cauchy-Schwartz: |u · v| kuk kvk .

Vectores ortogonales. Se dice que dos vectores u, v 2 Rn son ortogonales, y sedenota por u ? v, si su producto escalar vale 0, esto es, si u · v = 0.

59


En general, el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vp} de Rn es ortogonal si cadauno de los vectores v

k

es ortogonal a todos los demas, esto es, vk

· vj

= 0 paraj 6= k. Si ademas, cada uno de los vectores v

k

tiene norma igual a 1, esto es,

vk

· vj

= 0 y kvk

k = 1 para j 6= k y k, j 2 {1, 2, . . . , p}.

se dice que el conjunto es ortonormal.

Propiedades de la ortogonalidad.(1) Los vectores u, v 2 Rn son ortogonales si y solo si forman un angulo de 90

grados.(2) Teorema de Pitagoras. Los vectores u, v 2 Rn son ortogonales si y solo si

ku+ vk2 = kuk2 + kvk2 .

(3) Si {v1, v2, . . . , vp} es un conjunto de vectores no nulos ortogonales dos ados, entonces son linealmente independientes.

2. El subespacio ortogonal a un subespacio dado.

Subespacio ortogonal a uno dado. Dado un subespacio vectorial S de Rn

se denomina subespacio ortogonal de S al conjunto S? formado por todos losvectores de Rn que son ortogonales a todos los de S,

S? = {v 2 Rn : v ? u para todo u 2 S} .

El subespacio ortogonal al subespacio nulo {0} es Rn y viceversa.

Propiedades del subespacio ortogonal. Dado un subespacio S de Rn se ve-rifica:

(1) S? es un subespacio vectorial.

(2)�S?�?

= S.(3) El unico vector que esta en S y en S? es el vector nulo.(4) Si S = Gen {v1, v2, . . . , vp} entonces

v 2 S? si y solo si v ? v1, v ? v2, . . . , v ? vp

,

esto es, para probar que un vector es ortogonal a todos los vectores de un subes-pacio vectorial S basta ver que es ortogonal a los vectores que generan a S.

(5) Si A es una matriz real m⇥ n. Se verifica:

(Col(A))? = Nul(AT ), (Nul(A))? = Col(AT ).

El espacio Col(AT ) se suele denominar espacio fila de la matriz A.(6) dim(S?) = n� dim(S).


3. Bases ortonormales de un subespacio. Matrices ortogonales.

Base ortonormal de un subespacio. Sea S un subespacio vectorial de Rn

y sea {v1, v2, . . . , vp} un conjunto de vectores de S. Decimos que {v1, v2, . . . , vp}constituyen una base ortogonal de S si son base de S y, ademas, conjunto orto-gonal. Decimos que {v1, v2, . . . , vp} constituyen una base ortonormal de S si esuna base y conjunto ortonormal.

Desarrollo de Fourier de un vector. Sea {v1, v2, . . . , vp} una base ortogonalde un subespacio S de Rn. Entonces, las coordenadas de un vector v 2 S respecto

de dicha base vienen dadas porv · v

k

kvk

k2, es decir, se verifica que

v =v · v1kv1k2

v1 +v · v2kv2k2

v2 + · · ·+ v · vp

kvp

k2vp

.

La expresion anterior se suele denominar desarrollo de Fourier de v respecto a labase {v1, v2, . . . , vp} .

Como caso particular tenemos que si {v1, v2, . . . , vp} es una base ortonormalde S, entonces

v = (v · v1) v1 + (v · v2) v2 + · · ·+ (v · vp

) vp

.

Matriz ortogonal. Se denomina matriz ortogonal a toda matriz Q real cuadradacuyas columnas son ortonormales.

Propiedades de las matrices ortogonales. Sea Q una matriz ortogonal. Severifica:

(1) Q es no singular y Q�1 = QT .(2) det(Q) = ±1.(3) QT es ortogonal. Por tanto, las filas de Q son ortonormales.(4) Si Q0 es otra matriz ortogonal entonces QQ0 es ortogonal.(5) Si T es la transformacion lineal asociada a la matriz Q entonces T conserva

angulos y distancias, es decir:a) kQxk = kxk .b) (Qx) · (Qy) = x · y.c) Qx ? Qy si y solo si x ? y.

4. Proyeccion ortogonal sobre un subespacio.

Proyeccion ortogonal. Sea S un subespacio vectorial de Rn. Dado cualquiervector v 2 Rn existe un unico vector u 2 S llamado proyeccion ortogonal de vsobre S tal que v � u 2 S?.

De hecho, si {u1,u2, . . . , up

} es una base ortogonal de S, entonces la proyeccionortogonal de v sobre S es

u := proyS

(v) =v · u1

ku1k2u1 +

v · u2

ku2k2u2 + · · ·+ v · u

p

kup

k2up


y la proyeccion ortogonal de v sobre S? es proyS

?(v) = v � u.

Propiedades de la proyeccion ortogonal. Sea S un subespacio vectorial deRn.

(1) Si v 2 S, entonces proyS

(v) = v y proyS

?(v) = 0.(2) Se verifica que

proyS

(v) + proyS

?(v) = v.

Por tanto, todo vector v 2 Rn se puede expresar de forma unica como suma deun vector de S y otro de S?.

(3) Si {u1,u2, . . . , up

} es una base ortonormal de S, entonces la proyeccionortogonal de un vector v 2 Rn sobre S es

u := proyS

(v) = (v · u1) u1 + (v · u2) u2 + · · ·+ (v · up

) up

.

(4) La transformacion que a cada v 2 Rn le hace corresponder proyS

(v) 2 Ses una transformacion lineal.

Matriz de la proyeccion ortogonal. Sea S un subespacio vectorial de Rn. SiU es una matriz cuyas columnas forman una base ortonormal de S, entonces lamatriz de la transformacion proyeccion ortogonal sobre S es P

S

= UUT , esto es,

proyS

(v) = UUTv para cualquier v 2 Rn.

Dicha matriz verifica las siguientes propiedades:(1) (P

S

)2 = PS

(2) PS

es simetrica.(3) P

S

+ PS

? = I.

Teorema de la mejor aproximacion. Sea S un subespacio vectorial de Rn yconsideremos un vector v 2 Rn y un vector u 2 S. Son equivalentes:

(1) u es la proyeccion ortogonal de v sobre S, esto es, u 2 S y v � u 2 S?.(2) u es el vector de S mas proximo a v, esto es, u 2 S y para todo w 2 S se

tiene que kv � uk kv � wk .


El metodo de ortogonalizacion de Gram-Schmidt. El metodo de ortogo-nalizacion de Gram-Schmidt permite construir de manera progresiva una baseortogonal de un subespacio vectorial a partir de una base de dicho subespacio eincluso a partir de un conjunto de vectores que genere dicho subespacio. Consi-deremos una base {v1, v2, . . . , vp} de un subespacio vectorial S de Rn. Entonceslos siguientes vectores

u1 = v1

u2 = v2 �v2 · u1

ku1k2u1

u3 = v3 �v3 · u1

ku1k2u1 �

v3 · u2

ku2k2u2

...

up

= vp

� vp

· u1

ku1k2u1 �

vp

· u2

ku2k2u2 � · · ·� v

p

· up�1

kup�1k2

up�1

estan bien definidos, son no nulos y ortogonales dos a dos. Ademas:(1) {u1, u2, . . . , up

} es una base ortogonal de S = Gen {v1, v2, . . . , vp} .(2) Para cada k = 1, 2, ..., p, {u1, u2, . . . , uk

} es una base ortogonal del subes-pacio Gen {v1, v2, . . . , vk} .

Notas:(1) Si el objetivo es conseguir una base ortonormal de S, una vez que se ha

obtenido una base ortogonal basta normalizar los vectores obtenidos.(2) En cada paso del metodo de Gram-Schmidt que acabamos de describir

podrıamos multiplicar o dividir el vector obtenido por un coeficiente no nulo yseguir los calculos con dicho vector.

(3) Si no se parte de una base sino que, por ejemplo, el vector vk

es combinacionlineal de los anteriores v1, v2, . . . , vk�1, al aplicar el metodo de Gram-Schmidtobtenemos u

k

= 0. Es decir, el metodo de Gram-Schmidt devuelve el vector nulocuando se aplica a un conjunto de vectores linealmente dependientes.

5. Problemas de mınimos cuadrados.

Solucion en el sentido de los mınimos cuadrados. Sea Ax = b un sistemade ecuaciones lineales, con A matriz m⇥ n. Encontrar una solucion en el sentidode mınimos cuadrados consiste en encontrar un vector x0 2 Rn para el cualkAx0 � bk sea mınima, es decir,

kAx0 � bk kAx� bk para todo x 2 Rn.

Ecuaciones normales de Gauss. Consideremos un sistema Ax = b con A unamatriz real m⇥ n y b 2 Rm y sea x0 2 Rn. Son equivalentes:

(1) x0 es solucion en el sentido de mınimos cuadrados del sistema Ax = b.(2) x0 verifica Ax0 = proy

Col(A)(b).


(3) x0 verifica ATAx0 = AT b, es decir, es solucion del sistema lineal

ATAx = AT b

llamado ecuaciones normales de Gauss.

Notas:(1) Las ecuaciones normales de Gauss constituyen un sistema compatible.(2) El sistema de ecuaciones Ax = proy

Col(A)(b) es equivalente a las ecuacionesnormales de Gauss.

(3) La ecuaciones normales de Gauss forman un sistema compatible determi-nado si y solo si el sistema homogeneo Ax = 0 tiene solucion unica.


Ejercicios.

Ejercicio 1. Dado el subespacio

E = Gen

8>><

>>:

2

664

1021

3

775 ,

2

664

2123

3

775 ,

2

664

01

�21

3

775

9>>=

>>;,

se pide:(a) Obtener una base y unas ecuaciones implıcitas de E?.(b) ¿Cual es la dimension del subespacio E ?(c) Hallar una base de E.

Ejercicio 2. Sea F el subespacio

F ⌘

8<

:

2x1 + x2 + 3x3 � x4 = 03x1 + 2x2 � 2x4 = 0

3x1 + x2 + 9x3 � x4 = 0

9=

; .

Se pide:(a) Obtener una base y unas ecuaciones implıcitas del subespacio F?.(b) Hallar la dimension del subespacio F.

Ejercicio 3. Descompon el vector

2

664

13

�14

3

775 en suma de vectores u + v siendo u

proporcional a

2

664

2101

3

775 y v ortogonal a u.

Ejercicio 4. Comprueba que la matriz

Q =

2

41/p5 �2/

p6 2/

p30

2/p5 1/

p6 �1/

p30

0 1/p6 4/

p30

3

5

es una matriz ortogonal.

Ejercicio 5. Demuestra que toda matriz A ortogonal de tamao 2⇥2 es la matrizasociada a una transformacion lineal que corresponde a un giro o a una simetrıaaxial.

Ejercicio 6. Sea A =1

2

2

664

1 0 1 00 1 0 11 0 1 00 1 0 1

3

775 . Sabemos que A es la matriz de la

proyeccion ortogonal sobre un subespacio S de R4, esto es, A = PS

, se pide:


(a) Encontrar una base ortonormal del subespacio S.

(b) Calcular la proyeccion ortogonal del vector v =

2

664

1111

3

775 sobre los subespa-

cios S y S?.

Ejercicio 7. Sea S el subespacio de R4 dado por

S = Gen

8>><

>>:

2

664

1001

3

775 ,

2

664

0102

3

775 ,

2

664

0011

3

775

9>>=

>>;

y sea A la matriz A =

2

664

a1 b1a2 2a3 b2�2 b3

3

775 , se pide:

(a) Hallar la proyeccion ortogonal del vector v =

2

664

1111

3

775 sobre S.

(b) Calcular A sabiendo que Col(A) esta contenido en S?.

Ejercicio 8. Sea S el subespacio de R3 de ecuacion implıcita x1 � x3 = 0 ysea T : R3 ! R3 la aplicacion lineal que tiene asociada (respecto de las basescanonicas) la matriz

A =

2

43 �2 10 �1 22 �1 0

3

5 ,

se pide:(a) Encontrar una base de T (S).

(b) Hallar la proyeccion ortogonal del vector v =

2

4�111

3

5 sobre el subespacio

T (S). ¿Cual es la proyeccion ortogonal de v sobre el subespacio (T (S))??

Ejercicio 9. Para cada ↵ 2 R, considera el subespacio H de R3 de ecuacion

implıcita ↵x1+x2+4↵x3 = 0 y los vectores v1 =

2

4112

3

5 y v2 =

2

4102

3

5 . Determina

↵ para que la proyeccion ortogonal de v1 sobre H sea perpendicular a v2.

Ejercicio 10. Halla la proyeccion ortogonal de los siguientes vectores sobre lossubespacios que se indican:


(a)

2

664

4�13

�2

3

775 sobre el subespacio definido por x1 + x2 + x3 + x4 = 0.

(b)

2

664

1111

3

775 sobre el subespacio de R4 dado por:

E ⌘⇢

x� y + z � 2t = 0y + z = 0

�.

(c)

2

43

�45

3

5 sobre el subespacio T (E) siendo T la aplicacion lineal dada por

la matriz

A =

2

41 0 1�1 1 00 1 �1

3

5

y E el subespacio de R3 dado por x� y � z = 0.

Ejercicio 11. Halla el vector perteneciente al subespacio de R4 generado por losvectores 2

664

20

�12

3

775 ,

2

664

12

�20

3

775 y

2

664

�120

�2

3

775

que esta mas cerca del vector

2

664

1111

3

775.

Ejercicio 12. Consideremos los vectores y el subespacio vectorial dados por

v1 =

2

4�11�3

3

5 , v2 =

2

42↵↵3

3

5 , u =

2

4↵0�1

3

5 ; S ⌘ x1 + x2 + ↵x3 = 0.

Determina ↵ sabiendo que proyS

(v1) = proyS

(v2) = u.

Ejercicio 13. Sean S1 y S2 los subespacios vectoriales de R4 definidos mediante

S1 ⌘ x1 + x2 + x3 + x4 = 0, y S2 ⌘ x1 + x2 � x3 � x4 = 0.


Determina el vector v 2 R4 cuyas proyecciones ortogonales sobre S1 y S2 son,respectivamente,

u1 = proyS1(v) =

2

664

3�55�3

3

775 , u2 = proyS2(v) =

2

664

7�17�1

3

775 .

Ejercicio 14. Sea A una matriz 4⇥ 3 tal que

Nul(A) = Gen

8<

:

2

4�351

3

5

9=

; , Col(A)? = Gen

8>><

>>:v1 =

2

664

1�110

3

775 , v2 =

2

664

2�101

3

775

9>>=

>>;.

(a) Calcula la proyeccion ortogonal del vector v =

2

664

1111

3

775 2 R4 sobre el subes-

pacio Col(A).

(b) Determina la matriz A sabiendo que es de la forma A =

2

664

1 0 ⇤2 1 ⇤⇤ ⇤ ⇤⇤ ⇤ ⇤

3

775 .

Ejercicio 15. Halla una base ortonormal del espacio Col(A) y del espacio Nul(A)siendo

A =

2

664

1 1 00 �1 11 1 �11 1 1

3

775 .

Ejercicio 16. Dado el subespacio

E = Gen

8>><

>>:

2

664

a000

3

775 ,

2

664

aab0

3

775 ,

2

664

ab

�a1

3

775

9>>=

>>;con a, b 2 R.

(a) Halla una base ortonormal del subespacio E segun los valores de losparametros a y b.

(b) Halla la proyeccion ortogonal sobre E del vector v =

2

664

1�11

�1

3

775 , segun los

valores de los parametros a y b.


(c) Dado F ⌘

8<

:

x1 = 05x1 + x2 + 3x3 = 0

�2x1 + 3x2 � x3 + x4 = 0

9=

; , determina los valores de a

y b para que F = E?.

Ejercicio 17. Dado el subespacio S ⇢ R3 definido por x1 � 2x2 + 2x3 = 0, sepide:

(a) Halla la matriz de la proyeccion ortogonal sobre S. ¿Cual es la matriz dela proyeccion ortogonal sobre S??

(b) Determina una base de S?.

(c) Demuestra que Col(A) = S, siendo A =

2

42 00 1�1 1

3

5 .

(d) Halla el vector de S que dista menos de v =

2

4111

3

5.

Ejercicio 18. Aplica el metodo de Gram-Schmidt a:

(a) La base de R4,

8>><

>>:

2

664

1010

3

775 ,

2

664

1100

3

775 ,

2

664

0111

3

775 ,

2

664

0110

3

775

9>>=

>>;.

(b) Las columnas de las matrices

A =

2

41 10 11 0

3

5 , B =

2

41 11 22 1

3

5 .

Ejercicio 19. Consideremos el subespacio E definido mediante

E = Gen

8>><

>>:

2

664

a000

3

775 ,

2

664

aab0

3

775 ,

2

664

ab

�a1

3

775

9>>=

>>;, a, b 2 R.

(a) Halla una base ortonormal del subespacio E segun los valores de a y b.(b) Halla la matriz de la proyeccion ortogonal sobre E, cuando a = 0.(c) Calcula los valores de los parametros a y b tales que el subespacio dado

por las ecuaciones

8<

:

x1 = 05x1 + x2 + 3x3 = 0

�2x1 + 3x2 � x3 + x4 = 0

9=

; .

sea ortogonal a E.


Ejercicio 20. Dados el subespacio E = Gen

8>><

>>:

2

664

1001

3

775 ,

2

664

0102

3

775 ,

2

664

0011

3

775

9>>=

>>;y la ma-

triz

A =

2

664

a1 b1a2 2a3 b2�2 b3

3

775 .

(a) Calcula una base de E?.(b) Halla la matriz de la proyeccion ortogonal sobre E.(c) Calcula A sabiendo que Col(A)) esta contenido en E?.

(d) Resuelve Ax = b con b =

2

664

1�100

3

775, en el sentido de los mınimos cuadrados.

Ejercicio 21. Considera los vectores v1, v2, v3 y v4 de R4 y la matriz C dados por

v1 =

2

664

1�120

3

775 , v2 =

2

664

0122

3

775 , v3 =

2

664

1�123

3

775 , v4 =

2

664

�1�812

3

775 ; C =

2

4 v1 v2

3

5 .

(a) Calcula la matriz de la proyeccion ortogonal sobre S = Gen {v1, v2, v3}, elvector de S mas cercano a v4 y la distancia de v4 a S.

(b) Resuelve, en el sentido de los mınimos cuadrados, el sistema Cx = v3.

Ejercicio 22. Sea el sistema Ax = b con A =

2

42 2 02 2 02 0 2

3

5 y b =

2

4022

3

5 . Se pide:

(a) Probar que el sistema es incompatible.(b) Resolverlo en el sentido de mınimos cuadrados.

Ejercicio 23. Encuentra la recta y = ↵x + � que mejor se ajusta, en el sentidode mınimos cuadrados, a al nube de puntos (0, 2), (1, 6) y (3, 0).

Ejercicio 24. Determina la conica de la familia

ax2 + 4axy + ay2 + bx� by + 1 = 0

que mejor se ajusta, en el sentido de mınimos cuadrados, a los puntos (1, 0),(�1, 0), (�1, 1) y (0, 2).


Leccion 6. Autovalores y autovectores.


1. Definicion, propiedades e interpretacion geometrica.

Autovalor y autovector. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos queun escalar � 2 C es un autovalor de A si existe un vector v 2 Cn, v 6= 0 tal queAv = �v, en cuyo caso se dice que v es un autovector de A asociado al autovalor�. Por lo tanto, se satisface que

Nul (A� �I) = {0} [ {autovectores de A asociados al autovalor �} .

Notas:(1) Si tenemos un autovector v de A asociado a un autovalor �, cualquier

multiplo no nulo de v tambien es un autovector de A asociado al mismo �.(2) Si tenemos dos autovectores v1 y v2 asociados a un mismo autovalor �,

cualquier combinacion lineal no nula de dichos autovectores tambien es un auto-vector de A asociado al mismo autovalor �.

(3) Al hacer transformaciones por filas o por columnas sobre una matriz A,los autovalores y autovectores de la matriz que se obtiene NO guardan relacion(en general) con los autovalores y autovectores de la matriz original.

(4) En general NO se tiene que los autovalores de la matriz suma/resta/productode dos matrices sean las suma/resta/producto de los autovalores de cada una dedichas matrices.

Caracterizaciones del concepto de autovalor. Dada una matriz cuadrada Ay un numero �0 2 C son equivalentes:

(1) �0 es un autovalor de la matriz A.(2) El sistema homogeneo (A � �0I)x = 0 es un sistema compatible indeter-

minado.(3) dim(Nul(A� �0I)) � 1, equivalentemente, r(A� �0I) no es maximo.(4) La matriz A� �0I no tiene inversa.(5) det(A� �0I) = 0.

71


Polinomio caracterıstico de una matriz. Sea A = [aij

] una matriz n⇥ n. Sedenomina polinomio caracterıstico de la matriz A al polinomio de grado n

p(�) = det(A� �I) =

��

a11 � � a12 · · · a1na21 a22 � � · · · a2n...

.... . .

...an1 a

n2 · · · ann

� �

��

.

Los autovalores de A son las soluciones de la ecuacion p(�) = 0, llamada ecuacioncaracterıstica de la matriz A. Por tanto, la matriz A tiene n autovalores (nonecesariamente diferentes entre sı) que pueden ser reales o complejos no-reales.

Ademas se verifica que si �1,�2, . . .�n

son los autovalores de A entonces(1) �1�2 . . .�m

= det(A).(2) �1 + �2 + · · ·+ �

n

= traza(A) := a11 + a22 + · · ·+ ann

.

Propiedades de autovalores y autovectores. Sea A una matriz cuadradan⇥ n. Si � es un autovalor de A y v un autovector asociado suyo, entonces:

(1) ↵� es un autovector de ↵A y v es un autovector asociado suyo.(2) (�� µ) es un autovalor de A� µI y v es un autovector asociado suyo.(3) �k es un autovalor de Ak y v es un autovector asociado suyo.(4) Si A tiene inversa, entonces � 6= 0, ��1 es un autovalor de A�1 y v es un

autovector asociado suyo.(5) � es autovalor de AT pero v NO es necesariamente autovector de AT .

Independencia lineal de autovectores. El conjunto formado por autovectoresde una matriz asociados a autovalores diferentes es linealmente independiente.

2. Matrices diagonalizables.

Matriz diagonalizable. Se dice que una matriz A es diagonalizable si existeuna matriz P invertible, llamada matriz de paso, y una matriz D diagonal tal queAP = PD. Cuando esto ocurra se obtiene la siguiente factorizacion

A = PDP�1

denominada diagonalizacion de la matriz A.

Propiedades de las matrices diagonalizables. Sea A una matriz n ⇥ n. Severifica:

(1) A es diagonalizable si y solo si tiene n autovectores linealmente indepen-dientes.

(2) A es diagonalizable si y solo si existe una base {v1, v2, ..., vn} de Cn for-mada por autovectores de la matriz A asociados a sus autovalores �1,�2, ...,�n

,


respectivamente. Las matrices

P =⇥v1 v2 . . . v

n

⇤yD =

2

6664

�1 0 · · · 00 �2 · · · 0...

.... . . 0

0 0 · · · �m

3

7775

nos proporcionan una diagonalizacion de A.(3) Si A es diagonalizable tambien lo es cualquier potencia Ak, k = 1, 2, . . .

Mas aun,si A = PDP�1 entonces Ak = PDkP�1.

(4) Si A es diagonalizable tambien lo es cualquier matriz de la forma A� µI.Mas aun,

si A = PDP�1 entonces A� µI = P (D � µI)P�1.

(5) Si A tiene inversa, A es diagonalizable si y solo si lo es su inversa A�1.Mas aun,

si A = PDP�1 entonces A�1 = PD�1P�1.

(6) A es diagonalizable si y solo si lo es AT . Mas aun,

si A = PDP�1 entonces AT =�P T

��1DP T .

Condicion suficiente de diagonalizabilidad. Si todos los autovalores de Ason simples (A tiene n autovalores distintos) entonces A es diagonalizable.

Multiplicidades de un autovalor. Sea A una matriz n⇥n y sea �0 un autovalorde A. Se denomina

(1) Multiplicidad algebraica de �0, y se denota por ma

(�0), a la multiplicidadde �0 como raız del polinomio caracterıstico p(�) = det(A� �I) de A.

(2) Multiplicidad geometrica de �0, y se denota por mg

(�0), es el numero(maximo) de autovectores linealmente independientes asociados al autovalor �0,esto es, la dimension del espacio Nul(A� �0I),

dim(Nul(A� �0I)) = n� r (A� �0I) ,

Si �0 un autovalor de una matriz A entonces 1 mg

(�0) ma

(�0).

Condicion equivalente de diagonalizabilidad. A es diagonalizable si y solosi para cada autovalor � se verifica que m

g

(�) = ma

(�).

3. Autovalores y autovectores complejos de matrices reales.

En esta seccion veremos la interpretacion en el espacio Rn de la presencia deun autovalor complejo no-real de una matriz real A de orden n.

Veremos que dicha presencia indica que sobre un determinado plano de Rn

la matriz A actua como un giro, respecto a unas variables apropiadas, y una


homotecia. La razon de la homotecia sera el modulo del autovalor |�| =pa2 + b2

y en angulo de giro sera ±argumento de �.

Parte real e imaginaria de un vector complejo. Si tenemos un vector com-plejo

v =

2

64c1 + id1

...cn

+ idn

3

75 2 Cn con c1, . . . , cn, d1, . . . , dn 2 R,

los vectores reales cuyas coordenadas son, respectivamente, las partes real e ima-ginaria de v se denominan vector parte real y vector parte imaginaria de v, y elvector complejo cuyas coordenadas vienen dadas por los complejos conjugados delas coordenadas de v se denomina vector conjugado de v, v.

u1 = Re(v) =

2

64c1...cn

3

75 , u2 = Im(v) =

2

64d1...dn

3

75 , v = u1 + iu2, v = u1 � iu2.

Autovalores y autovectores de una matriz real. Si A es una matriz real, �un autovalor de A complejo no-real y v 2 Cn un autovector de A asociado a �.Entonces � tambien es autovalor de A y v 2 Cn es un autovector de A asociadoa �.

Matrices reales 2⇥ 2. Autovalores y autovectores complejos. Considere-mos una matriz real A de orden 2⇥ 2 con un autovalor complejo � = a+ ib 2 C,(a, b 2 R, b 6= 0). Y consideremos un autovector v = u1 + iu2 2 C2 (u1, u2 2 R2)de A asociado a �. Entonces se verifica:

(1) A es diagonalizable y

P�1AP = D =

� 00 �

�con Q =

⇥v v

⇤.

(2) Los vectores parte real y parte imaginaria de v, estos son, {u1, u2} sonlinealmente independientes.

(3) Au1 = au1 � bu2, Au2 = bu1 + au2 y, por tanto,

bP�1A bP = C =

a b�b a

�donde bP =

⇥u1 u2

⇤.

(4) La transformacion lineal asociada a A es la composicion de un giro y unahomotecia en R2.


Matriz diagonal por bloques. Si A es una matriz real diagonalizable entoncesexisten dos matrices dadas por bloques

C =

2

666664

C1 0 0 · · · 00 C2 0 · · · 00 0 C3 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · Ck

3

777775y bP =

hbP1

bP2 . . . bPk

i

verificando A bP = bPC, donde, para cada j = 1, ..., k:(1) A cada autovalor real �

j

con autovector asociado vj

le corresponden los

bloques Cj

= [�j

] y bPj

= [vj

] .(2) A cada par de autovalores complejos no-reales conjugados

��j

= a+ bi,�j

con autovectores asociados {vj

= u1 + iu2, vj} le corresponden Cj

=

a b�b a

�y

bPj

=⇥u1 u2

⇤.

4. Matrices simetricas reales. Diagonalizacion ortogonal.

Las matrices simetricas reales constituyen uno de los tipos mas importantesde matrices para las cuales puede garantizarse la diagonalizabilidad y, ademas,mediante una matriz de paso real y ortogonal.

Autovalores y autovectores de una matriz simetrica real. Sea A unamatriz simetrica real Entonces:

(1) Todos los autovalores son reales y, por tanto, todos los autovectores sonreales.

(2) Si v1 y v2 son autovectores de A asociados a autovalores distintos �1 y �2,entonces v1 y v2 son ortogonales.

Teorema espectral para matrices simetricas. Sea A una matriz real n⇥ n.Son equivalentes:

(1) A es simetrica.(2) A es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, es decir, existe

una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tal que A = QDQT . En estecaso la matriz D recoge los autovalores de A y la matriz Q recoge, columna acolumna, autovectores ortonormales de la matriz A.

5. Matrices no diagonalizables. Autovectores generalizados.

Si A una matriz de dimension n⇥ n no diagonalizable entonces existe, por lomenos un autovalor � de A para el cual m

g

(�) < ma

(�) y, por tanto, el numerode autovectores de A es menor que n y no pueden constituir una base de Cn.

Autovectores generalizados. Sea A una matriz de dimension n⇥n y sea � unautovalor de A. Se dice que un vector v 6= 0 es un autovector generalizado de A


asociado a � si se verifica que (A� �I)kv = 0 para algun entero positivo k, estoes, si v pertenece al espacio Nul

�(A� �I)k

�.

Si A no es diagonalizable entonces existe una base {v1, v2, ..., vn} de Cn for-mada por autovectores y autovectores generalizados de la matriz A asociados asus autovalores �1,�2, ...,�n

, respectivamente.

Busqueda de autovectores generalizados. Sea A una matriz y sea � unautovalor de A de multiplicidad algebraica m

a

(�). Existe un valor 1 r ma

(�)tal que

Nul(A� �I) ( Nul�(A� �I)2

�( . . . ( Nul ((A� �I)r) =

= Nul�(A� �I)r+1

�= . . . = Nul

�(A� �I)ma(�)

�.

Ademas se verifica

dim⇥Nul

�(A� �I)ma(�)

�⇤= m

a

(�).

6. Aplicaciones. Formas cuadraticas.

Forma cuadratica. Dada una matriz real y simetrica A = [aij

], una forma

cuadratica asociada a A es una aplicacion que a cada x =

2

6664

x1

x2...xn

3

77752 Rn le hace

corresponder un numero real

(x) = xtAx =nX

i,j=1

aij

xi

xj

.

Reduccion de una forma cuadratica. Sea una forma cuadratica en Rn,expresada, en la base canonica de Rn, por (x) = xtAx siendo A una matrizsimetrica. Sea P una matriz ortogonal cuyas columnas son autovectores de A,entonces la expresion de en la base ortonormal formada por dichos autovectoreses una suma de cuadrados

(x) = �1 bx12 + �2 bx2

2 + · · ·+ �n

cxn

2,

siendo �1,�2, · · · ,�n

los autovalores de A, e bx =

2

6664

bx1

bx2...cxn

3

7775= P tx las coordenadas

de x en la base ortonormal formada por autovectores de A.


Usando este resultado podemos determinar que signos puede tomar una formacuadratica. A partir de este resultado es obvio que si los tres autovalores de Ason positivos, entonces la forma cuadratica generada por A toma valores positivossalvo en el origen y lo analogo ocurre para el caso en que los tres autovalores sonnegativos. Esto permite hacer una clasificacion de las formas cuadraticas.

Clasificacion de una forma cuadratica. Se dice que una forma cuadratica o, por extension, la matriz real simetrica A que la genera, es:

(1) Definida positiva si (x) > 0 para todo x 2 Rn con x 6= 0 o, equivalente-mente, si todos los autovalores de A son positivos.

(2) Definida negativa si (x) < 0 para todo x 2 Rn con x 6= 0 o, equivalente-mente, si todos los autovalores de A son negativos.

(3) Semidefinida positiva si (x) � 0 para todo x 2 Rn y no es definida o,equivalentemente, si 0 es un autovalor y los demas autovalores de A son positivos.

(4) Semidefinida negativa si (x) 0 para todo x 2 Rn y no es definida o,equivalentemente, si 0 es un autovalor y los demas autovalores de A son negativos.

(5) Indefinida si no es definida ni semidefinida; o sea, si existen vectores x 2 Rn

para los que (x) > 0 y existen vectores x 2 Rn para los que (x) < 0 o,equivalentemente, si A tiene algun autovalor positivo y algun autovalor negativo.

7. Aplicaciones. Conicas y cuadricas con terminos cruzados.

Recordemos que una conica es el lugar geometrico de los puntos (x, y) delplano que satisfacen una ecuacion general de segundo grado:

f(x, y) = a11x2 + a22y

2 + 2a12xy + 2a1x+ 2a2y + a0 = 0

donde los coeficientes a11, a22, a12 no son todos cero. La ecuacion de la conica sepuede escribir de la forma

f(x, y) = [x y]

a11 a12a12 a22

� xy

�+ 2 [a1 a2]

xy

�+ a0 = 0,

f(x, y) = xTAx+ 2aTx+ a0 = 0,

donde A es una matriz real y simetrica 2⇥ 2, a,x 2R2 y a0 2 R.De forma analoga, una cuadrica es el lugar geometrico de los puntos (x, y, z)

del espacio que satisfacen una ecuacion general de segundo grado:

f(x, y, z) = a11x2+a22y

2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a1x+2a2y+2a3z+a0 = 0

donde los coeficientes a11, a22, a33, a12, a13, y a23 no son todos cero. La ecuacionde la cuadrica se puede escribir de la forma

f(x, y, z) = [x y z]

2

4a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

3

5

2

4xyz

3

5+ 2 [a1 a2 a3]

2

4xyz

3

5+ a0 = 0,

f(x, y, z) = xTAx+ 2aTx+ a0 = 0,


donde A es una matriz real y simetrica 3⇥ 3, a,x 2R3 y a0 2 R.Para reducir a forma canonica la ecuacion de una conica o de una cuadrica,

es suficiente realizar en primer lugar una transformacion ortogonal que nos hagadesaparecer los productos mixtos en la expresion. Esto se consigue teniendo encuenta que la matriz A es real y simetrica y efectuando un cambio a una baseortonormal de autovectores. Posteriormente, efectuar una traslacion usando losmismos razonamientos que en la leccion 1.


Ejercicios.

Ejercicio 1. Calcula los autovalores y autovectores de la matrizA =

2

42 1 12 3 23 3 4

3

5 .

¿Es diagonalizable la matriz A?

Ejercicio 2. Dada la matriz A =

2

43 0 a3 �1 b

�2 0 c

3

5 , con a, b, c 2 R, se pide:

(a) Calcular A de forma que el vector

2

420

�1

3

5 sea un autovector cuyo auto-

valor correspondiente es � = �1.(b) Hallar los demas autovalores y autovectores de A. ¿Es diagonalizable la

matriz A?


2

664

1 0 a a0 1 a a1 0 a a0 1 a a

3

775 , ¿para que valores de a 2 R

es diagonalizable la matriz A?


2

41 0 1a �2 23 0 �1

3

5 , se pide:

(a) Calcular los valores de a 2 R para los que A es diagonalizable.(b) Para dichos valores, calcular los autovalores y autovectores de A�1.

Ejercicio 5. ¿Para que valores de a 2 R tiene la matriz A =

2

41 0 0a 1 01 1 2

3

5 tres

autovectores independientes?


2

4a1 b1 c11 b2 c20 b3 c3

3

5 , se pide:

(a) Hallar A sabiendo que sus autovalores son �1 = 2 (simple) y �2 = 3

(doble), que v1 =

2

4121

3

5 es un autovector asociado a �2 y que v2 =

2

4210

3

5

satisface Av2 = 3v2 + v1.(b) ¿Es A diagonalizable?

Ejercicio 7. Sabiendo que la matriz A =

2

40 c a1 0 b1 1 0

3

5 es diagonalizable y tiene


un autovector de la forma

2

4d0

�1

3

5 con d > 0 cuyo autovalor es doble, calcula a,

b y c.


2

41 �1 �11 �1 01 0 �1

3

5 ,

(a) ¿Es A diagonalizable?(b) ¿Podemos hacer A semejante a una matriz diagonal por bloques real a

traves de una matriz de paso real? En caso afirmativo, encuentra dicha matriz depaso real.

Ejercicio 9. Sea A =

2

664

2 �1 1 01 1 �1 �1

�1 �1 1 10 1 �1 2

3

775 .

(a) ¿Es diagonalizable?(b) ¿Es A semejante a una matriz diagonal por bloques real con matriz de

paso real?

Ejercicio 10. Dada A =

2

43 0 a� 1

a� 2 4 01 0 a+ 1

3

5 , con a 2 R.

(a) ¿Para que valores de a la matriz A es diagonalizable?(b) Determina los valores de a para los que A es diagonalizable ortogonal-

mente. Para dichos valores, encontrar la factorizacion que nos permite hacer esadiagonalizacion ortogonal.

(c) Determina los valores de a para los que la matriz1

3A � 2

5aI no tiene

inversa.

Ejercicio 11. Diagonaliza ortogonalmente la matriz simetrica real

A =

2

4�6 1 01 �6 00 0 2

3

5 .


2

41 1 �11 1 1

�1 1 1

3

5 , se pide:

(a) Diagonalizar ortogonalmente la matriz A.(b) Calcular los autovalores y autovectores de A20, A� 5I y A�1.

Ejercicio 13. Sea A una matriz 4 ⇥ 4 simetrica real de la que se sabe que los

vectores v1 =

2

664

1001

3

775 , v2 =

2

664

1100

3

775 y v3 =

2

664

01

�10

3

775 son autovectores asociados a


un autovalor �1 y que la matriz A tiene otro autovalor �2 6= �1. Encuentra unabase ortogonal de R4 formada por autovectores de A.

Ejercicio 14. Diagonaliza ortogonalmente la matriz A =

2

43 1 11 3 11 1 3

3

5 .


2

41 1 00 1 00 0 2

3

5 ,

(a) ¿Es A diagonalizable?(b) Encuentra en R3 una base formada por autovectores y autovectores gene-

ralizados (si fuese necesario).


2

43/2 1/2 1/20 2 1

1/2 �1/2 5/2

3

5 ,

(a) ¿Es A diagonalizable?(b) Encuentra en R3 una base formada por autovectores y autovectores gene-

ralizados (si fuese necesario).


2

664

a �a a� 3 10 a 0 00 a 3 �10 4� a 0 a

3

775 , se pide:

(a) Calcular, para cada valor de a 2 R, los autovalores de A determinandosus multiplicidades algebraicas y geometricas.

(b) Para a = 2, determinar una base de R4 formada por autovectores y auto-vectores generalizados.

Ejercicio 18. Sea T : R4 ! R4 la aplicacion lineal dada por T (x) = Ax, donde

A =

2

664

a 1 �1 �10 b 0 �3�1 2 c 10 1 0 d

3

775 .

(a) Halla A sabiendo que T (S1) = S2, donde

S1 ⌘⇢

x1 � x2 = 0x3 + x4 = 0

y S2 = Gen

8>><

>>:

2

664

1�211

3

775 ,

2

664

03

�1�2

3

775

9>>=

>>;.

(b) Prueba que A no es diagonalizable.(c) Halla una base de R4 formada por autovectores y autovectores generaliza-

dos.


Ejercicio 19. Comprobar que si una matriz ortogonal tiene autovalores realesentonces estos son 1 o -1.

Ejercicio 20. Sea T una transformacion ortogonal en el plano. ¿Como se puededistinguir, usando autovalores, si T es un giro o una simetrıa axial?

Ejercicio 21. En cada uno de los siguientes casos, escribe de forma desarrolladala forma cuadratica generada por la matriz que se da y clasifıcala

2 11 2

�,

1 �1

�1 0

�,

1 �2

�2 3

�,

2 �2

�2 2

�,

2

41 2 22 1 �22 �2 1

3

5 ,

2

43 2 42 0 24 2 3

3

5 ,

2

42 1 01 2 10 1 2

3

5 .

Ejercicio 22. En cada uno de los siguientes casos, encuentra la matriz real ysimetrica A que genera la forma cuadratica que se da y clasifıcala

(1) (x1, x2) = 2x21 + 3x1x2 + 6x2

2,(2) (x1, x2) = �x2

1 + x22,

(3) (x1, x2) = 8x1x2 + 4x22,

(4) (x1, x2, x3) = x21 + 2x1x2 + 4x1x3 + 3x2

2 + x2x3 + 7x23,

(5) (x1, x2, x3) = �x21 + x2

2 � 5x23 + 6x1x3 + x2x3,

(6) (x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + x23 � x1x2 � x1x3 � x2x3.

Ejercicio 23. Reduce, clasifica y representa las siguientes conicas:(a) 4x2 + y2 � 4xy � 2y + 1 = 0.(b) 5x2 + 2y2 � 4xy + 12x� 4y = 0.(c) 5x2 + 2y2 � 4xy + 12x� 4y + 9 = 0.(d) x2 + 4y2 � 4xy + 6x� 12y + 9 = 0.(e) 2xy � 5 = 0.(f) x2 + 4xy + 4y2 � 2

p5x+

p5y + 5 = 0.

(g) 97x2 � 192xy + 153y2 + 2x+ 114y � 167 = 0.(h) 3x2 � 10xy + 3y2 + 2 = 0.

Ejercicio 24. Dadas las conicas

↵x2 + 2xy + ↵y2 � 2 = 0,

clasificarlas segun los valores de ↵.

Ejercicio 25.(a) Determina el valor de ↵ para el que la conica x2�2↵xy+2↵y2�2x+4↵y = 0

es una parabola. Reduce y representa dicha parabola.(b) Determina el valor de ↵ para el que la conica x2 + 2↵xy + y2 = 1 es una

elipse. Calcula los semiejes de dicha elipse.


(c) Determina los valores del parametro real ↵ para los que la ecuacion

2x2 � 2xy + ↵y2 = �5

tiene soluciones reales.

Ejercicio 26. Reduce, clasifica y representa las siguientes cuadricas:(a) 3x2 + 2xy � 10y2 = 0.(b) x2 + y2 � z2 � 2z � 1 = 0.(c) 2x+ 2y � 2z � 2xy + 4xz + 4yz � 3z2 = 0.(d) 5x2 + 6y2 + 7z2 � 4xy + 4yz � 10x+ 8y + 14z � 6 = 0.(e) 4x2 + y2 + 4z2 � 4xy + 8xz � 4yz � 12x� 12y + 6z = 0.

Matematicas IGrado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales

Curso 2013/2014. Examen de Prueba

OBSERVACIONES:

Cada hoja entregada debe contener nombre, apellidos y numerode identificacion escritos de forma clara.

No mezclar ejercicios distintos en un mismo folio.

Ejercicio 1(a) Sea S el subespacio vectorial de R6 de ecuaciones implıcitas

8<

:

x1 �2x2 �x3 +x4 +x5 +x6 = 0�2x1 +2x3 +x4 = 0�x1 �2x2 +x3 +2x4 +x5 +x6 = 0

9=

; .

Se pide:(a.1) [2 puntos] Determinar una base de S? y la dimension de S.(a.2) [2 puntos] Calcular la proyeccion ortogonal del vector v = e5 + e6 sobre

S, donde e5 y e6 son vectores de la base canonica de R6.

(b) Sea T : R3 �! R4 una transformacion lineal tal que:

T

2

4100

3

5 =

2

664

�1111

3

775 , T

2

4011

3

5 =

2

664

1000

3

775 , T

2

401�1

3

5 =

2

664

1002

3

775 .

(b.1) [1 punto] Halla la matriz A asociada a T .(b.2) [2 puntos] Determina unas ecuaciones implıcitas de la imagen de T , es

decir, del espacio columna de A.(b.3) [1 punto] Busca el vector x de R3 cuya imagen T (x) mas se acerca al

vector

2

664

1100

3

775.

(c) Sea z un numero complejo tal que |z + 1| = |z � 1|.c.1) [1 punto] Demuestra que Re (z) = 0.c.2) [1 punto] Calcula las raıces cuartas de z4 suponiendo que |z| = 1.

85



Curso 2013/2014. Examen de Prueba

OBSERVACIONES:

Cada hoja entregada debe contener nombre, apellidos y numerode identificacion escrito de forma clara.


Ejercicio 2(a) Considera la matriz A dada por

A =

2

4a+ 1 0 1� 2a0 a2 01 0 1� a

3

5 con a 2 R.

(a.1) [2 puntos] Determina los valores de a para que la matriz A sea diago-nalizable. ¿Cuando es ortogonalmente diagonalizable?

(a.2) [2 puntos] Para a = 0 obten una base ortonormal B de R3 formada porautovectores de la matriz A y calcula la matriz de cambio de base P

B C

, donde C

es la base canonica de R3.(a.3) [3 puntos] Para a = 1 considera el sistema de ecuaciones en diferencias

un

= Aun�1 para n � 1, partiendo de u0 =

2

41�1�1

3

5 y calcula u2014.

(b) Considera la familia de cuadricas

x2 + ↵y2 + z2 + 2x� 2↵2y + ↵2 + 1 = 0 con ↵ 2 R.

(b.1) [2 puntos] Clasifica dichas cuadricas segun los valores de ↵.(b.2) [1 punto] Dibuja la cuadrica que se obtiene para ↵ = �2.



Curso 2013/2014. Examen de Primera Convocatoria

OBSERVACIONES:

Cada hoja entregada debe contener el nombre, apellidos y numerode identificacion escritos de forma clara.


Ejercicio 1(a) Considera la matriz A y el vector b dados por

A =

2

664

�1 �2 �14 10 20 �2↵ 3↵� 31 0 5

3

775 , b =

2

664

�↵4↵� 43↵ + 3

3

3

775 con ↵ 2 R.

(a.1) [3 puntos] ¿Para que valores de ↵ se tiene que el vector b pertenece alsubespacio Col(A)?

(a.2) [1 punto] ¿Cual es la dimension de Col(A) ? ¿Y la dimension de (Col(A))?

? Describe el subespacio Nul(A).(a.3) [2 puntos] Para a = �5, obten unas ecuaciones implıcitas del subespacio

Col(A) y una base del subespacio (Col(A))?.(a.4) [2 puntos] Para a = �5, calcula la matriz de la proyeccion ortogonal

sobre el subespacio Col(A).

(b) Considera la ecuacion z2 � 2Re(z0)z + |z0|2 = 0 donde z0 es un numerocomplejo.

(b.1) [1 punto] Halla las soluciones de dicha ecuacion en terminos de z0.(b.2) [1 punto] Expresa en forma binomica las soluciones de dicha ecuacion

para el caso

z0 =

ei⇡/6 +

1

2+

p3

2i

!2



Curso 2013/2014. Examen de Primera Convocatoria

OBSERVACIONES:




A =

2

664

1 a 0 �a0 a 0 2� a0 a 1 �a0 2� a 0 a

3

775 con a 2 R.

Se pide:(a.1) [2 puntos] Determinar los valores de a para que la matriz A sea diago-

nalizable. ¿Para que valores de a es la matriz A ortogonalmente diagonalizable?(a.2) [2 puntos] Para a = 2, encontrar una factorizacion diagonal de A, esto es,

encontrar una matriz no singular P y una matriz diagonal D tal que AP = PD.(a.3) [3 puntos] Para a = 3/2, resolver el sistema de ecuaciones en diferencias

un

= Aun�1 para n � 1, partiendo de u0 =

2

664

0002

3

775 .

(b) Dada la familia de cuadricas

(↵ + 2)x2 + (↵ + 1)y2 + z2 � (2↵ + 4)x� 2↵z = 2↵ con ↵ 2 R,

se pide:(b.1) [2 puntos] Clasificarla segun los valores de ↵.(b.2) [1 punto] Considerar, para ↵ = 0, la conica que se obtiene al cortar lacuadrica correspondiente con el plano z = 0. Determinar sus elementos notablesy hacer un esbozo de la misma.



Curso 2013/2014. Examen de Segunda Convocatoria

OBSERVACIONES:



Ejercicio 1(a) Considera la matriz A y el vector b dados por

A =

2

664

1 2 0 ↵ + 1↵ 4 1 ↵� 1�2 �2 1 01 0 �1 1

3

775 , b =

2

664

1�2↵↵

3

775 con ↵ 2 R.

(a.1) [2,5 puntos] Clasifica el sistema de ecuaciones Ax = b segun losvalores de ↵.

(a.2) [2,5 puntos] Para el caso en que b 2 Col(A) y dim(Col(A)) =3, determina una base y unas ecuaciones implıcitas de Col(A). ¿Cuales son lascoordenadas del vector b respecto dicha base?

(a.3) [3 puntos] Para ↵ = 1, halla la matriz de la proyeccion ortogonalsobre Nul(A) y sobre (Nul(A))?. Determina el vector de Nul(A) mas proximoa b y halla una base de (Nul(A))?.

(b) (b.1) [1 punto] Resuelve la ecuacion z3 + 27i = 0.(b.2) [1 punto] Halla los numeros complejos z de modulo 5 que verifican

z = z + 6i.



Curso 2013/2014. Examen de Segunda Convocatoria

OBSERVACIONES:




A =

2

664

0 a2 0 01 0 0 00 0 0 a2

0 0 1 0

3

775 con a 2 R.

Se pide:(a.1) [2 puntos] Determinar los valores de a para que la matriz A sea

diagonalizable.(a.2) [2 puntos] Analizar si existen valores de a para los que la matriz

A es ortogonalmente diagonalizable. En caso afirmativo, encontrar una matrizortogonal Q y una matriz diagonal D tal que AQ = QD.

(a.3) [2 puntos] Para a = 0, encontrar una base de R4 formada porautovectores y autovectores generalizados de la matriz A. ¿Cuanto vale An paran 2 N?

(b) Dada la familia de cuadricas

↵x2 + (↵ + 2)y2 + 3z2 � 2↵x� 6↵z = �2↵2 � ↵� 4 con ↵ 2 R,

se pide:(b.1) [2 puntos] Clasificarla segun los valores de ↵.(b.2) [2 puntos] Considerar, para ↵ = �1, la conica que se obtiene al

cortar la cuadrica correspondiente con el plano z = �1. Determinar sus elementosnotables y hacer un esbozo de la misma.

Guión álgebra I etsi

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